Señales Limitadas por Banda y Teorema de MuestreoFormas de onda limitadas por bandaTeorema de muestreo

Señales Limitadas por Banda y Teorema de Muestreo

Una forma de onda limitada en banda tiene espectros diferentes de cero sólo dentro de una cierta banda de frecuencias. En este caso se aplican importantes teoremas, en particular el de muestreo, para procesar la forma de onda. Esto es muy importante y aplicable a problemas de comunicación digital.

Formas de Onda limitadas por banda

Definición: Una forma de onda w(t) es (absolutamente) limitada en banda a B hertz si

Definición: Una forma de onda w(t) es (absolutamente) limitada en banda en tiempo si

Teorema: Una forma de onda absolutamente limitada en banda no puede ser absolutamente limitada por tiempo y viceversa.

De este teorema surge una paradoja. Se sabe que una forma de onda limitada en banda no puede ser limitada en tiempo. Sin embargo, se cree que una forma de onda física está limitada por tiempo debido a que el dispositivo que genera la forma de onda se construyó en algún tiempo finito en el pasado y el dispositivo decaerá en algún tiempo futuro 1produciendo, por lo tanto, una forma de onda limitada por tiempo. Esta paradoja se resuelve observando que se está modelando un proceso físico con un modelo matemático y tal vez las suposiciones no están satisfechas, aunque se considere lo contrario.

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Otro teorema de interés establece que si w(t) es absolutamente limitada por banda, entonces es una función analítica. Una función analítica es aquella que posee derivadas con valores finitos cuando se evalúan para cualquier valor finito de t.

Teorema de Muestreo

El teorema de muestreo es uno de los de mayor utilidad porque se aplica a los sistemas digitales de comunicación, y es otra aplicación de una expansión de series ortogonales.

Teorema de Muestreo: Cualquier forma de onda física puede representarse sobre el intervalo - ∞ < t < ∞ mediante

y fs es un parámetro al cual se le asigna algún valor conveniente mayor a cero. Aún más, si w(t) está limitada

en banda a B hertz y fs ≥ 2B, entonces la ecuación (2-158) se convierte en la representación de la función de muestreo, donde

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Esto es que, para fs ≥ 2B, los coeficientes de la serie ortogonal son simplemente los valores de la forma de onda generados cuando se obtiene una muestra cada 1/fs segundos.

Demostración: Debe saberse que

a partir de un conjunto de funciones ortogonales. Por lo tanto, la ecuación (2-161) satisface que

Empleando el teorema de Parseval, en la ecuación (2-40) se ve que el lado izquierdo se convierte en

Ver tabla 2-2, Funcion Sinc

Ver tabla 2-1, retraso de tiempo

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Por lo tanto, los términos de ϕn(t), como resultan de la ecuación (2-161), son funciones ortogonales con Kn = 1/ fs . Utilizando la ecuación (2-84) se observa que la ecuación (2-159) sigue de ella. Más aún, se demostrará que la ecuación (2-160) sigue para el caso donde w(t) está absolutamente limitada en banda a B hertz con fs ≥ 2B. Empleando la ecuación (2-84) y el teorema de Parseval, en la ecuación (2-40), se tiene que

Sustituyendo (2-164) resulta en

Pero debido a que W(f) es cero para |f| > B, donde B ≤ fs /2, los límites de la integral pueden extenderse a (-∞, ∞) sin cambiar el valor de la integral. Esta integral con límites infinitos es sólo la transformada inversa de Fourier de W(f) evaluada a t = n/fs. Por consecuencia, an = w(n/fs), que es igual a la ecuación (2-160).

De la ecuación (2-167) resulta obvio que la mínima velocidad de muestreo permitida para la reconstrucción de una forma de onda limitada por banda sin errores está dada por

Esto se conoce como la frecuencia de Nyquist.

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Ahora se examina el problema de la reproducción de una forma de onda de banda limitada utilizando N valores de muestra. Suponga que sólo está interesado en reproducir la forma de onda sobre un intervalo de T0 segundos, como lo muestra la figura 2-17a. Entonces puede truncar la serie de funciones de muestreo de la ecuación (2-158), de forma tal que se incluyan sólo N funciones ϕ(t) cuyos picos están dentro del intervalo T0 de interés. Es decir, la forma de onda puede reconstruirse aproximadamente utilizando N muestras. La ecuación es

donde el conjunto {ϕn (t)} está descrito por la ecuación (2-161). La figura 2-17b muestra la forma de onda reconstruida (línea sólida), la cual se obtiene mediante la suma ponderada de formas de onda retrasadas por tiempo de tipo (sen x)/x (líneas rayadas), donde las ponderaciones son los valores de muestra an = w(n fs) denotados por los puntos. La forma de onda está limitada en banda a B hertz con la frecuencia de muestreo de fs ≥ 2B. Los valores de muestra pueden almacenarse, por ejemplo, en la memoria de una computadora digital, de tal manera que la forma de onda puede reconstruirse en un futuro o los valores pueden transmitirse sobre un sistema de comunicación en donde se lleva a cabo la reconstrucción de la forma de onda en el lado receptor. En cualquiera de estos casos, la forma de onda puede reconstruirse a partir de los valores de muestra mediante la ecuación (2-169). Es decir, cada valor de muestra se multiplica por la función (sen x/x) adecuada y estas funciones (sen x/x) ponderadas se suman para generar la forma de onda original. La figura 2-17b ilustra este procedimiento. El mínimo número de valores de muestra necesarios para la reconstrucción de la forma de onda es

y existen N funciones ortogonales en el algoritmo de reconstrucción. Se puede decir que N es el número de dimensiones requeridas para la reconstrucción de la aproximación a T0 segundos de la forma de onda.

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Referencias

Señales Limitadas por Banda y Teorema de Muestreo

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