SEMINARIO DE MATEMÁTICAS - artemisa.unicauca.edu.co
23
1 SEMINARIO DE MATEMÁTICAS Mag. Carlos Alberto Ardila Albarracín TEMA 1.1. LÓGICA PROPOSICIONAL PARTE A. ELEMENTOS FUNDAMENTALES
Transcript of SEMINARIO DE MATEMÁTICAS - artemisa.unicauca.edu.co
1
SEMINARIO DE
MATEMÁTICASMag. Carlos Alberto Ardila Albarracín
TEMA 1.1. LÓGICA PROPOSICIONALPARTE A. ELEMENTOS FUNDAMENTALES
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 2
Seminario de Matemáticas
Una proposición es una declaración o frase para
la cual es posible determinar si es verdadera o
falsa.
Ejemplos:
"Mario es un programador" ES una proposición.
"Desearía ser rico" NO ES una proposición.
Indique cuáles son proposiciones:
2 + 3 = 7
Calígula fue presidente de los Estados Unidos
¿Qué hora es?
¡Atención!
La diferencia de dos números primos
2 + 2 = 4
Washington D.C. es la capital de Florida
¿Cómo están?
1. PROPOSICIONES
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 3
Seminario de Matemáticas
Si tanto p como q son proposiciones,
se pueden formar nuevas proposiciones compuestas utilizando conectores:
Conjunción (AND) ^
Disyunción inclusiva (OR) v
Disyunción exclusiva (XOR) v
Negación ~ ( también: ¬ )
Implicación ó Condicional →
Doble Implicación ↔
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 4
Seminario de Matemáticas
Sea p: “Los tigres son felinos”
Sea q: “Chicago es la capital del estado de Illinois”
(p ^ q): “Los tigres son felinos y Chicago es la capital
del estado de Illinois”
(p ^ q) ES FALSA. ¿Por qué?
Los “valores de verdad” de proposiciones compuestas
se determinan mediante “Tablas de verdad”
Conjunción:
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 5
Seminario de Matemáticas
Los “valores de verdad” de proposiciones compuestas
se determinan mediante “Tablas de verdad”
Disyunción:
Sea p: “Mario es un programador”
Sea q: “Adriana es una abogada”
(p v q): “Mario es un programador o Adriana es una
abogada”
(p v q) solo será FALSA cuando AMBAS
proposiciones sean FALSAS.
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 6
Seminario de Matemáticas
Los “valores de verdad” de proposiciones compuestas
se determinan mediante “Tablas de verdad”
Disyunción exclusiva ("Solo p o q pero no ambos"):
Sea p: “Mario es un programador”
Sea q: “Adriana es una abogada”
(p v q): “O Mario es un programador o Adriana es
una abogada”
(p v q) será VERDADERA cuando SOLO UNA de
las proposiciones sea VERDADERA.
“O me dices todo lo que sabes o te demando”
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 7
Seminario de Matemáticas
Los “valores de verdad” de proposiciones compuestas
se determinan mediante “Tablas de verdad”
Disyunción exclusiva: ¿Y si son 3 proposiciones?
p XOR q es equivalente a (p^¬q) v (¬p^q)
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 8
Seminario de Matemáticas
En las expresiones que incluyen algunos o todos los operadores: ¬ ^ v
en ausencia de paréntesis,
primero se evalúa ¬, después ^ y luego v
Esta convención se conoce como precedencia del operador.
Determine el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta:
¬ p v q ^ r
dados estos valores, p=falsa, q=verdadera, r=falsa
1. Se evalúa: ¬p = verdadera
2. Se evalúa: q ^ r = verdadera ^ falsa = falsa
3. Ahora, el resultado de: ¬p v [resultado q ^ r ]
verdadera v falsa = verdadera
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 9
Seminario de Matemáticas
Más ejemplos:
Los 2 anteriores ejemplos representan las Leyes de Morgan
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 10
Seminario de Matemáticas
2. PROPOSICIONES CONDICIONALES Y EQUIVALENCIA
Una proposición condicional
tiene la forma “Si p entonces q”
Representada por: p → q
p se denomina el antecedente o hipótesis
q se denomina el consecuente o conclusión
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 11
Seminario de Matemáticas
La proposición p → q siempre es verdadera aunque
la hipótesis sea falsa, sin importar el valor de verdad de q.
En esa situación se dice que p → q es
"verdadera por defecto" o "vacuamente verdadera".
En palabras, la proposición p → q también se lee:
p implica q
p es condición suficiente para q
q es condición necesaria para p
p solo si q
Una condición necesaria está expresada por la conclusión
Una condición suficiente está expresada por la hipótesis
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 12
Seminario de Matemáticas
Una condición necesaria es justamente eso:
una condición que se necesita para lograr un resultado en particular.
La condición no garantiza el resultado;pero si no se cumple, el resultado NO se logrará.
Una condición suficiente
es una condición que basta para garantizar un resultado en particular.
Si la condición no se cumple,
el resultado puede lograrse de otras formas o tal vez no se logre;
pero si la condición se cumple, el resultado está garantizado.
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 13
Seminario de Matemáticas
Equivalencia lógica
Se dice que dos proposiciones son
“lógicamente equivalentes” si sus
tablas de verdad son idénticas.
Se puede decir que:
~p q
es lógicamente equivalente con
(p → q)
Se dice que una proposición es una
“tautología” si su tabla de verdad
contiene únicamente valores de
“verdadero” para todos los casos.
Se dice que una proposición es una
“contradicción” si su tabla de verdad
contiene únicamente valores de “falso”
para todos los casos.
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 14
Seminario de Matemáticas
Doble implicación (o bicondicional):
TIP. La precedencia de los operadores es la siguiente:
1. ¬
2. ^3. v
4. → , ↔ en cualquier orden
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 15
Seminario de Matemáticas
3. CUANTIFICADORES
Una función proposicional P(x)
es una sentencia que involucra una variable x.
x es un elemento de un conjunto D.
D se llama el dominio de P(x).
Ejemplo:
P(x): 2x es un entero par.
x es un elemento de un conjunto de enteros.
el Dominio de P(x) es el conjunto
de los enteros: D={enteros}
“Para todos” y “para algunos”
Muchas sentencias en matemáticas y ciencia de
la computación usan expresiones tales como
“Para todos” y “para algunos”.
Ejemplos:
Para todo triángulo T,
la suma de los ángulos de T es 180 grados.
Para todo entero n, n es menor que p,
para algún número primo p.
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 16
Seminario de Matemáticas
Cuantificador Universal
Se puede escribir
“P(x) para todo x en un dominio D”: x P(x)
El símbolo se denomina
“cuantificador universal”
La sentencia x P(x) es:
Verdadera si P(x) es verdadera para TODO x D
Falsa si P(x) es falsa para ALGÚN x D
Cuantificador Existencial
Para algún x D,
P(x) es verdadera si existe un elemento x
en el dominio D para el cual P(x) es verdadera.
En símbolos: x, P(x).
El símbolo se denomina cuantificador existencial.
Contraejemplos:
La sentencia universal x P(x) es FALSA si x D para el cual P(x) sea falsa
(así exista solo un caso posible).
El valor x que hace falsa a P(x) se denomina contraejemplo de la sentencia x P(x).
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 17
Seminario de Matemáticas
SUMARIO
Para probar que una sentencia universalmente cuantificada x P(x) es VERDADERA:
NO BASTA con mostrar que P(x) es verdadera para algún x D
ES OBLIGATORIO mostrar que P(x) es verdadera para todo x D
Para probar que una sentencia universalmente cuantificada x P(x) es FALSA:
BASTA con mostrar algún x D para el cual P(x) es falsa
Ese valor x se llama contraejemplo para la sentencia x P(x)
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 18
Seminario de Matemáticas
4. ARGUMENTOS VÁLIDOS
Un argumento es
una secuencia de
proposicionesescritas:
p1
p2
p3
.
.
.
pn
------------
q
O también : p1, p2, p3, ... , pn / q
El símbolo se lee "por lo tanto".
Las proposiciones p1, p2, p3, ... , pnse conocen como hipótesis o premisas,
y la proposición q recibe el nombre de conclusión.
El argumento es válido siempre y cuando,
si p1, p2, p3, ... , pn son todas verdaderas,
entonces q también es verdadera;
de otra manera, el argumento es inválido (o falacia).
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 19
Seminario de Matemáticas
Reglas de Inferencia
1. Modus ponens
p → q
p
Por lo tanto, q
2. Modus tollens
p → q
¬q
Por lo tanto, ¬p
3. Adición
p
Por lo tanto, (p v q)
4. Simplificación
p ^ q
Por lo tanto, p
5. Conjunción
p
q
Por lo tanto, (p ^ q)
6. Silogismo
hipotético
p → q
q → r
Por lo tanto, (p → r)
7. Silogismo
disyuntivo
p v q
¬p
Por lo tanto, q
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 20
Seminario de Matemáticas
Reglas de inferencia para afirmaciones cuantificadas
Dado un enunciado verdadero de la forma x P(x), todo caso de sustitución de la variable x por constantes de su
conjunto de referencia, da lugar a un enunciado verdadero.
Si una función proposicional tiene todos sus casos
de sustitución por constantes de su conjunto de referencia
verdaderos, se infiere la verdad del enunciado x P(x).
Dado un enunciado verdadero de la forma x, P(x), se infiere de él un
caso de sustitución de la función proposicional, con la restricción de
que se utilice una constante que no haya figurado antes dentro de la
demostración.
Si una función proposicional tiene por lo menos uno de sus casos de
sustitución por constantes de su conjunto de referencia verdadero,
se infiere la verdad del enunciado x, P(x)
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 21
Seminario de Matemáticas
Reglas de inferencia: Ejemplos
UNO. Sea P(n) la función proposicional “n divide a 77”.
Si tenemos la sentencia: ∀n P(n). Diga si es verdadera o falsa.
El dominio de discurso es el conjunto de enteros positivos.
P(n): n divide a 77.
n es un elemento de un conjunto de enteros.
el Dominio de P(n) es el conjunto de los enteros positivos: D={enteros positivos}
Si debe cumplirse para el Dominio, eso es lo mismo que:
“Para todo entero positivo n, n divide a 77”: ∀n P(n)
¿Existe un contraejemplo? Es decir, ¿ n D para el cual P(n) sea falsa?
P(12): 12 divide a 77 (FALSO). Existe un contraejemplo.
Por consiguiente, la sentencia es FALSA.
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 22
Seminario de Matemáticas
Reglas de inferencia: Ejemplos
DOS. Sea P(x) la afirmación “x es un atleta profesional” y sea Q(x) la afirmación “x juega fútbol”.
El dominio de discurso es el conjunto de todas las personas.
Si planteamos esta sentencia:
∀x (P(x) → Q(x))Tradúzcala a palabras y establezca su valor de verdad.
∀x (P(x) → Q(x))Todo atleta profesional juega fútbol.
[Falsa]
Si planteamos esta sentencia:
x (Q(x) → P (x))Tradúzcala a palabras y establezca su valor de verdad.
x (Q(x) → P (x))Algún jugador de fútbol es un atleta profesional.
[Verdadera]
Si planteamos esta sentencia:
∀x (P(x) ^ Q(x))Tradúzcala a palabras y establezca su valor de verdad.
∀x (P(x) ^ Q(x))Todos son atletas profesionales Y jugadores de fútbol.
[Falsa]
Departamento de Sistemas - Maestría en Computación 23
Seminario de Matemáticas
Reglas de inferencia: Ejemplos
TRES. Determine el valor de verdad de la siguiente sentencia: ∀x(x2 > x)El dominio de discurso es el conjunto de los números reales.
La función proposicional es: P(x): x2 > x
La afirmación es: ∀x(x2 > x)
Palabras: “Para todo real x, el cuadrado de x es mayor que x”
¿Existe un contraejemplo? Es decir, ¿ x D para el cual P(x) sea falsa?
P(0): 02 > 0 (FALSO). El contraejemplo existe.
Por consiguiente, P(x) es FALSA.
----- FIN DEL DOCUMENTO
