UNIVERSIDAD AUTONOMA

DE TAMAULIPAS

Facultad de Ingeniería “Arturo Narro Siller”

SEMESTRARIO DE LA ASIGNATURA

CALCULO DIFERENCIAL dy =

dxf(x) = -2 ≤ 1 – 2x < 3

P( -8, -15)

PROGRAMA DE CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD 1. NUMEROS REALES Y FUNCIONES

1.1 Los Números Reales1.1.1 Los Números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales1.1.2 Los Números Primos, divisibilidad y el Teorema Fundamental de

Eúclides1.1.3 Los Números Reales, la Recta Numérica, Desigualdades e

Intervalos1.2 Funciones1.2.1 Definición de Relación y Función

Dominio y Rango de una Función Funciones Elementales y sus Gráficas

1.2.2Composición de Funciones

UNIDAD 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD

2.1 Limite de una función real de Variable Real2.1.1 Concepto intuitivo de Limite

Definición Formal2.1.2 Técnicas conocidas para determinar limites

Limites Trigonométricos importantes2.1.3 Continuidad de una Función

UNIDAD 3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

3.1 Definición de Derivada3.1.1 Concepto de Velocidad y Velocidad Instantánea3.1.2 Derivadas de algunas funciones elementales a partir de su Definición3.1.3 Teoremas para derivar funciones3.1.4 Derivada de una Función Compuesta3.1.5 Ejercicios para derivar diferentes tipos de funciones Compuestas

1

y = 8x3 + 10x2 – 3x – 9

UNIDAD 4. EL DIFERENCIAL

4.1 El Diferencial de una Función Real de Variable Real4.1.1 Definición e Interpretación Geométrica del Diferencial de

Una función4.1.2 Incrementos y Diferenciales

Error Absoluto y Error Relativo4.1.3 Formulas para diferenciar Funciones

Diferenciales de orden superior

UNIDAD 5. APLICACIONES DE LA DERIVADA

5.1 Estudio y trazado de curvas5.1.1 Determinación de máximos y mínimos, puntos de inflexión,

Concavidad.5.1.2 Ecuaciones de la Recta Tangente y de la Recta Normal a una

Curva en un punto dado. Angulo entre curvas

5.2 Problemas de Optimización5.2.1 Problemas de optimización en las diversas áreas del Conocimiento.5.3 La regla de la Cadena y de la Derivación Implícita5.4 Variaciones en el Tiempo relacionadas5.5 Calculo de raíces por el método de5.6 Ejercicios de Cinemática

UNIDAD 6. DERIVADA DE UNA FUNCION MULTIVARIABLE

6.1 Funciones Multivariables6.1.1 Representación Grafica de las Superficies a partir de sus Componentes6.2 Derivada Parcial6.2.1 Definición de Derivada Parcial

2

6.2.2 Calculo de Derivadas Derivadas de Orden Superior

6.2.3 Ecuación del Plano Tangente a una Superficie El Diferencial Total y su interpretación Geométrica Regla de la Cadena

6.3 Derivación Implícita

6.3.1 Derivada Ordinaria de una función implícita Derivada Parcial de una Función Implícita con Cambio de

Variable 1.1 Los Números Reales

Se conocen como NUMEROS REALES a todos aquellos que se pueden representar en la Recta Numérica. - +

1.1.1 Los Números Naturales, Enteros, Racionales e

Irracionales

Números Naturales. (N) Son aquellos que nos sirven para contar.Por ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5…

Números Enteros. (Z) Son números sin parte fraccionaria y que tienen signo, se incluye al cero.Por ejemplo: -2, -1, 0, 1, 2, 3… Enteros Positivos (+) Enteros Negativos (-)

Números Racionales. (Q) Son todos los números que pueden expresarse de la forma a/b, donde “a” y “b” son enteros y b ≠ 0, ó también en forma decimal.

Números Irracionales. (I) Son números que son infinitos en la parte decimal pero que no tienen ni un periodo, es decir, son números irracionales los que no pueden expresarse como el cociente de dos enteros. Por ejemplo: ∏=3.1415…

3

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

En el Cálculo se estudiaran cantidades que se describen con números reales y los números reales están formados por números que son Racionales e Irracionales. Los números Racionales tienen la forma a/b, donde a y b son diferentes de cero y son enteros. Los números Irracionales son números que no pueden expresarse como un cociente de dos enteros.

Resolver Desigualdad 4x – 2 < 3x + 14x – 3x < 2 + 1 x < 3

La Recta Numérica. El conjunto R de los números reales puede ponerse en correspondencia 1 a 1 con el conjunto de los puntos de una línea recta. En consecuencia se puede representar a los números reales como los puntos de una recta horizontal llamada recta numérica o recta de coordenadas. El punto que se escoja para poner al cero se llama ORIGEN.La dirección hacia la derecha del cero se llama dirección Positiva y la dirección hacia la izquierda del cero es la Negativa.Los números reales que corresponden a puntos a la derecha del cero se llaman Números Positivos y los que correspondan a la izquierda del cero se llaman Negativos.

- +

Números Reales

Racionales

} Irracionales

Decimales No Periódicos (+) (-)

4

Enteros(+) (-)

Fracciones(+) (-)

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

Intervalo (-∞, 3)

Desigualdades.La recta numérica es útil para demostrar relaciones de orden entre 2 números reales “a” y “b”. Se dice que el número a es menor que el numero b, siempre que el número a esté a la izquierda del número b en la recta numérica. En forma equivalente como el número b está a la derecha de a en la recta numérica se dice que b es mayor que a y se escribe b>a. También se usa la notación a≤b si el número a es menor o igual al número b. De igual modo b≥a, quiere decir que b es mayor o igual que a.A los símbolos <, <, ≤, ≥, se les llama Símbolos de Desigualdad y a las expresiones como a > b, b ≤ a, se les llama Desigualdades.Solución de Desigualdades.En este caso nos interesa resolver diversas clases de desigualdades que contengan una variable. Por ejemplo:

2 -1 0 1 2 3

TABLA DE DESIGUALDADES E INTERVALOS

DESIGUALDAD

CONJUNTO SOLUCIÓN

NOTACIÓN DE

INTERVALO

NOMBRE GRAFICA

a < x < b { x | a < x < b }

(a, b) IntervaloAbierto

( )a b

a ≤ x ≤ b { x | a ≤ x ≤ b }

[a, b] IntervaloCerrado

[ ]a b

a < x ≤ b { x | a < x ≤ b }

(a, b] “Semiabierto”

( ]a b

a ≤ x < b { x | a ≤ x < b }

[a, b) “Semiabierto”

[ )a b

a < x { x | a < x <∞} (a, ∞) ( a

x < b { x | -∞ < x < b }

(-∞, b) ) b

5

Intervalos No

Acotados

1) 4x-2 < 3x+12) 4x-3x < 1+23) X < 3

x ≤ b { x |-∞< x ≤ b }

(-∞, b] ] b

a ≤ x { x | a ≤ x < ∞}

[a, ∞) ( a

SOLUCION DE UNA DESIGUALDAD SIMULTÁNEA.

-2 ≤ 1 – 2x < 31) -2 -1 ≤ -2x < 3-12) -3 ≤ -2x < 23) -3/-2 ≥ x > 2/-2

4) 3 / 2 ≥ x > -1

( ] -2 -1 0 1 2

Intervalo = ( -1, 3/2 ]5 Ejemplos de Desigualdades con una variable.

(1) 4x-2 < 3x+1 -3 -2 -1 0 1 2 32) 4x-3x < 1+2

(1) 4x-2 < 3x+1 -3 -2 -1 0 1 2 3

6

NOTA: Cuando el Coeficiente de la “x” es negativo, el sentido de la desigualdad cambia, cuando se pasa a dividir o multiplicar solamente.

3/2

1) x – 7 < 2x - 5x < 2x+7-5x–2x < 2-x < 2x > 2/-1

x > -2 Intervalo (-2, ∞)

2) 3x – 5 < 4x – 63x – 4x < -6 + 5-x > -1/-1

x > 1Intervalo (1, ∞)

3) 7x – 2 ≤ 9x + 37x – 9x ≤ 3 + 2-2x ≤ 5x ≥ 5 / -2 Intervalo [-5/2, ∞)

4) 5x – 3 > 6x – 45x – 6x >-4 + 3-x > -1x < -1/-1

x < 1 Intervalo (-∞, 1)

5) 10x + 1 > 8x + 510x – 8x > 5 -12x > 4x > 4/2

x > 2 Intervalo (2, ∞)

[1) 4x-2 < 3x+1 -3 -2 -1 0 1 2 3

)1) 4x-2 < 3x+1 -3 -2 -1 0 1 2 3

( ) -1 0 1 2 3 4 5

5 Ejemplos de Desigualdad Simultánea

( )1) 4x-2 < 3x+1 -3 -2 -1 0 1 2 3

7

1) – 4 < 3x + 2 < 5-4-2 < 3x < 5-2-6 < 3x < 3-6/3 < x < 3/3 -2 < x < 1Intervalo (-2, 1)

2) -3 < 4x – 9 < 119 - 3 < 4x < 11 + 96 < 4x < 206/4 < x < 20/4

1.5 < x < 5Intervalo (1.5, 5)

3) -3 < 1 – 6x ≤ 4-3 -1 < -6x ≤ 4 -1-4 < -6x ≤ 3-4/- 6 > x ≥ -3/62 / 3 > x ≥ - 1 / 2 Intervalo [- 1/2, 2/3)

4) 4 < 5 - 3x < 74 – 5 < -3x < 7 – 5-1 < -3x < 2-1/-3 > x > 2/-31 / 3 > x > - 2 / 3

Intervalo (- 2/3, 1/3)

5) -2 ≤ 4 + 3x ≤ 6-2 -4 ≤ 3x ≤ 6 -4-6 ≤ 3x ≤ 2-6/3 ≤ x ≤ 2/3

-2 ≤ x ≤ 2 / 3 Intervalo [-2, 2/3]

( ) ) -1 0 1 2 3 4 5

[ )1) 4x-2 < 3x+1 -3 -2 -1 0 1 2 3

( )1) 4x-2 < 3x+1 -2 -1 0 1 2

[ )1) 4x-2 < 3x+1 -2 -1 0 1 2

5 ejemplos de Solución de una Desigualdad No Lineal

8

- 2/31/3

2/3

x – 6 < 0x < 6

x – 2 < 0x < 2

) ) -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 R.P. Intervalo (-∞, 2)

( ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 R.P. Intervalo (6, ∞)

) ) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

R.P. Intervalo (-∞, -4)

( ( -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

R.P. Intervalo (3, ∞)R.F. (- ∞ , -4)U(3, ∞ ) ó R ≠ [-4, 3]

( ( -1 0 1 2 3 4 5 6 7 R.P. Intervalo (6, ∞)

) ) -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 R.P. Intervalo (-∞, -1)

R.F. (- ∞ , -1)U(6, ∞ ) ó R ≠ [-1, 6]

( ( -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

R.P. Intervalo (-1, ∞)

9

1) x2 – 8x + 12 < 0(x – 6) (x – 2) <

x – 6 > 0x > 6

x – 2 > 0x > 2

R.F. (- ∞ , 2)U(6, ∞ ) ó R ≠ [2, 6]

2) x2 + x – 12 < 0(x + 4) (x – 3) <

x + 4 < 0x < -4

x – 3 < 0x < 3

x + 4 > 0x > -4

x – 3 > 0x > 3

3) x2 – 5x – 6 > 0(x + 1) (x – 6) > 0

x + 1 < 0x < -1

x + 1 > 0x > -1

x – 6 < 0x < 6

x + 6 > 0x > 6

4) x2 + 4x +3 > 0(x + 1) (x + 3)

x + 1 > 0x > -1

x + 3 > 0x > -3

x + 1 < 0x < -1

x + 3 < 0x < -3

) ) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 R.P. Intervalo (-∞, -3)

R.F. (- ∞ , -3)U(-1, ∞ ) ó R ≠ [-3, -1]

) ) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 R.P. Intervalo (-∞, -1)

( ( -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 R.P. Intervalo (6, ∞)

R.F. (- ∞ , -1)U(6, ∞ ) ó R ≠ [-1, 6]

4 Ejemplos de Desigualdades de Orden Forma Racional.

1) x < 4 x – 3

10

5) x2 - 5x - 6 < 0(x + 1) (x – 6)

x + 1 < 0x < -1

x - 6 < 0x < 6

x + 1 > 0x > -1

x - 6 > 0x > 6

x – 3 < 0x < 3

x < 4 x – 3x > 4 (x – 3)x > 4x – 1212 > 3x12/3 > x4 > xx < 4

x -3 > 0x > 3

x < 4 x – 3 x < 4 (x - 3)x < 4x – 1212 < 4x – x12 < 3x12/3 < x4 < xx > 4

R.F. (- ∞ , 3)U(4, ∞ )

2) x > 4/5 x – 2

x -2 > 0x > 2 x > 4/5 x – 2

x > 4/5 (x – 2)x > 4/5 x – 8/58/5 > 4/5 x – 5/5 x8/5 > -1/5 x 8/5 > x-1/5

-8 > xx > -8

R.F. (- ∞ , 8)U(2, ∞ )

3) 6 < 12 x – 3x – 3 > 0x > 3

6 < 12 x – 3

11

( ( -1 0 1 2 3 4 5

(4, ∞)

) ) -1 0 1 2 3 4 5

(-∞, 3)

( ( -8 . . . . . . .0 1 2 3

(2, ∞)

x – 2 < 0x < 2

x > 4/5x – 2

x < 4/5 (x - 2)x < 4/5 x– 8/58/5 < 4/5 x – 5/5 x8/5 < - 1/5 x-40/5 > x-8 > xx < -8

) ) -10 -9 -8 . . . . 0 1 2

(-∞, 8)

( ( 0 1 2 3 4 5 6

(42/12, ∞)

x – 3 < 0x < 3

6 < 12 x – 3

6 > 12x – 3636 + 6 > 12x42/12 > x

) )-2 -1 0 1 2 3 4

(-∞, 3)

6 < 12x - 3636 + 6 < 12x42 < 12x42/12 < xx > 42 / 12

R.F. (- ∞ , 3)U( 42 / 12, ∞ )

4) x < 2/3 x -1x -1 > 2/3

x > 2/3 + 1x > 5 / 3

x < 2/3 x -1x < 2/3 x – 2/32/3 < 2/3 x – x2/3 < -1/3 x-6/-3 < xx > 2

R.F. (- ∞ , 5 / 3)U(2, ∞ )

Valor Absoluto de un Número Real.

1) |x|= a sí y sólo sí x = a ó x = -a

2) |x|< a sí y sólo sí –a < x < a 3) |x|≤ a sí y sólo sí –a ≤ x ≤ a

12

( ( 0 1 2 3

(2, ∞)

5/3

x – 1 < 2/3

x < 2/3 + 1x < 5 / 3

x < 2/3 x – 1x > 2/3 x – 2/32/3 > 2/3 x – x2/3 > -1/3 x-6/-3 > xx < 2

) ) 0 1 2 3

(-∞, 5/3)

4) |x|> a sí y sólo sí a < x < -a5) |x|≥ a sí y sólo sí a ≤ x ≤ -a

Ejemplo:|4x – 3|< 12-12 < 4x – 3 < 12- 12 +3<4x<12+ 3 -9 < 4x < 15- 9 / 4 < x < 15 / 4

Ejercicio.

1) 2x < 8 x – 5

13

-3 -2 -1 0 1 2 3

-9/415/4

- 8 < 2x < 8 x - 5

-8 < 2x x - 5

x – 5 > 0x > 5

-8 < 2x x - 5 (x – 5) -8 < 2x8x + 40 < 2x40 < 2x – 8x40 < - 6xx > -40/6

x > - 20 / 3

( ( -6 0 5

(5, ∞)

(( ) )( )( ) -∞ -20/3 0 5 20/3 ∞

R.F. (- ∞ , - 20 / 3)U( 20 / 3, ∞ )

FUNCIONES

Función. Es la relación entre 2 variables, en donde al asignarle un valor a la segunda, la primera queda determinada.

y = f (x)Variable. Es un elemento que puede tomar gran cantidad de valores durante un proceso matemático.Clasificación de Variables:

14

x – 5 < 0x < 5

-8 < 2x x - 5(x – 5) -8 > 2x8x + 40 > 2x40 > 2x – 8x40 > -6x-40/6 > xx < - 20 / 3

) ) -6 0 5 (-∞, -20/3)

2x < 8 x - 5

x- 5 > 0x > 5

2x < 8x – 5

2x < 8 (x - 5)2x < 8x – 402x – 8x < -40-6x < - 40x > -40/-6

x > 20 / 3

( ( 0 5 6 7

(20/3, ∞)

x- 5 < 0x < 5

2x < 8x – 5

2x > 8 (x - 5)2x > 8x – 402x – 8x > -40-6x > - 40x < -40/-6

x < 20 / 3

) ) 0 5 6

(-∞, 5)

R.F. (- ∞ , - 20 / 3)U (5, ∞ )

R.F. (- ∞ , 5)U( 20 / 3, ∞ )

Independiente. Esta variable representa todos los valores de x (Dominio)Dependiente. Esta variable representa todos los valores de y (Rango)

CLASIFICACION DE FUNCIONES.La clasificación de las funciones dependen del número de variables que contienen, es decir,:a) Funciones de una Variable. Cuando el valor de una variable “y” depende de una sola variable “x”, por ejemplo: Si un cuerpo móvil desarrolla una velocidad constante, el espacio recorrido depende de es tiempo en que este en movimiento, es decir, el tiempo es la variable independiente, el espacio recorrido la dependiente.b) Funciones de Varias Variables. Cuando el valor de una variable “y” depende de los valores de dos o más variables, por ejemplo: el área y el volumen.c) Funciones Algebraicas. Son aquellas que están formadas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, elevación de potencias y extracción de raíces).Ejemplo:

y = x (x 2 + 3x – 3) √x2 + 2

d) Funciones Trascendentes. Son aquellas que no cumplen con las condiciones de una función algebraica; se consideran como funciones trascendentes a las trigonometricas y trigonometricas inversas, respectivamente. También se consideran como trascendentes a las exponenciales y logarítmicas.

FUNCION TRASCENDENTE NOMBRE ESPECIFICO

f ( x ) = tg x Función Trigonométrica

f ( x ) = arc sen x Función Inversa

f ( x ) = 103x Función Exponencial

f ( x ) = ln (2x +3) Función Logarítmica

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS.

Estas se dividen en Racionales e Irracionales, según a las operaciones a las que estén sometidas las variables. La función Racional es aquella cuyas variables no contienen

exponentes fraccionarios, ni se encuentran bajo signo radical.

15

-2

-1

0

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

También es cuando una función se expresa como el cociente de dos funciones polinomiales.

y = x5 + 4

Función Irracional es aquella en la cual algunas de las variables tienen exponentes fraccionarios o se encuentran bajo signo radical.

y = x ¾ y = √3x + 2

ANALISIS GRAFICO DE LAS FUNCIONES.

Grafica de una Función.Generalmente para construir la grafica de una función se emplea el sistema de coordenadas rectangulares, los valores del Dominio se ubican en el Eje horizontal y los valores del Rango se ubican en el Eje vertical.La grafica es el conjunto de puntos cuyas coordenadas son valores correspondientes a la variable Independiente y de la Variable Dependiente.

DETERMINACION DEL DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES UTILIZANDO LA NOTACIÓN PARA INTERVALOS.

Ejemplo: Dada la función y = √3 – x , determinar el Dominio, Rango de la función y trazar la grafica correspondiente.

x y-4 2.

6-3 2.

4 -2

2.2

-1 20 1.

7 1 1.

4 2 1 3 0

16

y = x 3 + 3x + 2 x2 + 3x

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

DOMINIO. (-∞, 3]RANGO. [0, ∞)

Dada la función y = √x(x – 1) encontrar su dominio, rango y su grafica.

17

DOMINIO. (-∞, ∞)

x y-4 4.4-3 3.4-2 2.4-1 1.40 01 02 1.43 2.44 3.45 4.4

18

RANGO. [0, ∞)

Dada la función y = x - 2 encontrar su dominio, rango y su grafica. √x2- 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

DOMINIO. (-∞, -2) y (2, ∞)RANGO. (-3, ∞) y (0, ∞)

FUNCIONES EXPONENCIALES.Las Funciones Exponenciales son aquellas en donde aparece una constante elevada a una potencia variable, por ejemplo:

f (x) = 2x

en base a esto podemos elevar 2x para valores racionales de x.En general se puede utilizar cualquier base positiva a ≠ 1 para formar funciones exponenciales, así la función de base a se denota como f(x) = ax. x

f(x)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2x 0.03125

0.0625

0.125

0.25 0.5 1 2 4 8 16 32

2-x 32 16 8 4 2 1 0.5 0.250.12

50.0625

0.03125

3x 0.0041

0.0123

0.0370

0.11 0.33 1 3 9 27 81 243

x y -5 -1.5-4 -1.7-3 -2.2-2 --1 - 0 -1 -2 -3 0.4

54 0.65 0.6

56 0.7

19

Asíntotas

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

℮x 0.0067

0.0183

0.0497

0.1353

0.3678

12.71

7.389

20.08

54.59

148.4

DOMINIO. (-∞, ∞)

20

f(x) = 2x

RANGO. [0, ∞)

21

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-50

0

50

100

150

200

250

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

DOMINIO. (-∞, ∞)RANGO. [0, ∞)

DOMINIO. (-∞,∞)RANGO. (0, ∞)

22

f(x) = 2-x

f(x) = 3x

-50

0

50

100

150

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210

DOMINIO. (-∞,∞)RANGO. (0, ∞)

DOMINIO. (-∞,∞)

23

f(x) = ℮x

f(x) = Sen x

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210

-8

-7

-6-5

-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

56

7

8

-210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210

DOMINIO. (-∞,∞)RANGO. (-1, 1)

DOMINIO. (-∞,∞)RANGO. (-6.4, 6.4)

CALCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES.

24

Caso 1.Si la función dada está completamente simplificada se sustituye directamente el valor al que tiende la variable independiente en la función, dando lugar al limite buscado.Al ir aplicando las propiedades de los límites en la determinación del límite de funciones se ha observado que al sustituir directamente la variable independiente de la función, por el valor al que tiende dicha variable se encuentra el límite de la función.EJEMPLO:1) Calcular el límite de la función y = x2 + 2x – 1 cuando x2Lim x2 + 2x – 1x2Lim (2)2 + 2(2) – 1 = 7 2) Calcular el límite de la función y = x 3 + 5x 4x – 6

x1/2

y = ( 1 / 2) 3 + 5( 1 / 2) => y = ( 1 / 8 + 5 / 2) => y = 21 / 8 => y = -21/32 = -0.656 4(1/2) – 6 2 – 6 -4/1

3) Calcular el límite de la función y = x 2 + 2x – 3 x + 1

x1y = (1) 2 + 2(1) – 3 = 0 1 + 1 24) Calcular el límite de la función y = 2x 2 – 3x + 1 x +2

x-2y = 2(-2) 2 -3(-2) + 1 -2 + 2y = 15 0

FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO 0/0

Al calcular el límite de un cociente se ha observado que:a) Si el numerador y el denominador tienen limite ≠ 0, el límite del cociente es igual al cociente de los límites.b) Si el límite del numerador es cero y el denominador es ≠ 0, el límite del cociente es igual a cero.c) Si el límite del numerador es diferente de cero y el del denominador es cero, el cociente no tiene límite y se establece que tiende a +∞ ó -∞, según sea el caso.d) Si los límites del numerador y el denominador son ambos iguales a cero, se tiene la forma 0/0, que se denomina indeterminada.

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Ejemplo. Calcular el límite de la función y = x 2 – x – 12 x - 4

x 4y = 16 – 4 – 12 => 0 4 - 4 0

y = (x – 4) (x + 3) => y = x + 3 => y = 7 x – 4 x4

e) En ocasiones es necesario simplificar la función dada antes de sustituir directamente el valor de la variable independiente, ya que el no hacerlo a lugar a la forma indeterminada de 0/0. La transformación de la expresión dada se obtiene por medio de la factorización el numerador y el algunos casos es necesario factorizar el denominador.Ejemplo:

Lim x 2 + x – 6 => (x – 2)(x + 3) => (x + 3) => 2+3 => 5 / 4 x2 - 4 (x + 2)(x – 2) (x + 2) 2+2 x2

1) Calcular el límite de f(y)= y 3 -27 = 27 – 27 = 0 y2 – 9 9 -9 0

=> (y-3)(y 2 + 3y + 9) = lim y 2 + 3y + 9 = (3) 2 +3(3) + 9 = 27 (y+3) (y-3) y – 3 3-3 0

2) Calcular el límite de y = √ x - √ 2 x – 2

x2√ x - √ 2 . √ x + √ 2 => x - 2 => 1 => 1 x – 2 √x + √2 (x-2)(√x + √2) √2 + √2 2√2

3) Calcular el límite de y = x √x+1 -1

x . √ x+1 -1 = x ( √ x+1 + 1) => √x+1 + 1 = √(0)+1 +1 = 1+1= 2 √x+1 -1 √x+1 -1 x +1 - 1 x0

Tarea:Lim 4 - x 2 . 3- √ x 2 +5 = (4 – x 2 ) (3 + √ x 2 +5) 2 = 4 – x 2 + 9 + x 2 + 5 x2 3-√x2+5 3-√x2+5 9 – x2 + 5 9 – x2 + 5

= 4 + 9 + 5 = 18 _ = 18 = 1.8 9 – x2 + 5 14 – x2 10

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Ejercicio: Determinar los límites para Lim f(x+h) – f(x) de: h0 h

1) f(x) = 1 √ax

Lim 1 - 1 = √ax - √a(x+h) . √ax - √a(x+h) √ a(x+h) √ ax √ a(x+h) √ ax √ a(x+h) √ ax h h h

= ax – ax - ah = -ah => √a(x+h)√ax . √ax+ √a(x+h) h[√a(x+h)√ax . √ax+ √a(x+h)]

h 1= -a = -a => √a(x+h)√ax . √ax+ √a(x+h) √ax √ax . (√ax+ √ax) h0

= -a = - a ax (2√ax) 2ax3/2

FORMAS INDETERMINADAS DE LA FORMA ∞/∞

Estas formas se presentan al hacer que la variable “x” tienda a ∞ en el cociente de polinomios.a) Si el numerador tiende a ∞ y el denominador tiene límite, el cociente tiende a ∞.b) Si el numerador tiene límite y el denominador tiende a ∞, el cociente tiende a cero.c) Si los limites del numerador y del denominador son ambos iguales a infinito, se obtiene la forma indeterminada ∞/∞.La indeterminación se puede eliminar dividiendo los términos por la variable de máxima potencia que interviene en la expresión.

1) Lim c = ∞ ó c = ∞x0 x 0

2) Lim x = 0 ó c(0) = 0x0

3) Lim x = 0 ó 0 = 0x0 c c

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4) Lim c = 0 ó c = 0x∞ x ∞

5) Lim cx = ∞ ó c(∞) = ∞x∞

6) Lim x = 0 ó ∞ = ∞x∞ c c

Ejemplo: Calcular el límite de la función

4x 3 _ 5x 2 _ 6 4 _ 5 + 61) y = 4x 3 – 5x 2 + 6 = x 3 x 3 x 3 = x x 3 = 4 7x – 3x2 + 9x3 7x _ 3x 2 _ 9x 3 7 _ 3 + 9 9x∞ x3 x3 x3 x2 x

x∞

2 _ 5x 2 2 _ 52) 2 - 5x 2 = x 2 x 2 = x 2 _ = -5 = 5 4x – 8x2 4x _ 8x 2 4 _ 8 -8 8x∞ x2 x2 x

x 3 + 2x - 5 1 + 2 - 53) x 3 + 2x – 5 => x 3 x 3 x 3 = x 2 x 3 = 1 4x3 - 3 4x 3 _ 3 4 - 3 4 x∞ x3 x3 x3

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIONEn una función dada, se toman valores de “x” y se obtienen valores en “y”.Por ejemplo:f(x) = x2

Si tomamos valores para x, obtendremos una parábola, lo cual quiere decir que “la función x2 es continua para todos los valores de x”

Consideremos ahora la función 1/x, esta ecuación da un valor de y para cada valor de x que le asignemos, a excepción del valor de x=0, la función no está definida, por lo tanto no es continua.

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REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN.

1) Se sustituye en la función a x por (x+∆x) y se calcula el nuevo valor de la función (y+∆y). 2) Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene el incremento de y, que es el incremento de la función.

3) Se divide incremento de y por el incremento de x.

4) Se calcula el límite de este cociente cuando el incremento de x tiende a cero. El límite así hallado es la derivada buscada.

Ejemplo:

y = 3x2 + 5y + ∆y = 3(x + ∆x)2 + 5y + ∆y = 3(x2 + 2x∆x + ∆x2) + 5y + ∆y = 3x2 + 6x∆x + 3∆x2 + 5 – 3x2 – 5-y

∆y = 6x∆x + 3∆x2

∆y = 6x∆x + 3∆x 2 ∆x ∆x ∆y = 6x + 3∆x∆x∆x0

∆y = 6x => Lim 6x + 3∆x = 6x ∆x ∆x0

29

Ejercicios.

y = x3 – 2x + 7y + ∆y = (x + ∆x)3 – 2(x + ∆x) + 7 – (x3 – 2x + 7)y + ∆y = x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 – 2x - 2∆x + 7 – x3 + 2x – 7-y∆y = 3x 2 ∆x + 3x∆x 2 + ∆x 3 - 2∆x = 3x2 – 3x∆x + ∆x2 – 2 = ∆y = 3x2 - 2∆x ∆x ∆x0 ∆x

y = 2 _ θ + 1y + ∆y = 2 _ - 2 _ => 2(θ+1) – 2(θ + ∆θ + 1) =>-y (θ+∆θ+1) θ + 1 (θ + ∆θ + 1) (θ + 1)

- 2 ∆θ _ = - 2 ∆θ _ =>∆y = 2θ + 2 - 2θ - 2∆θ – 2 = (θ + ∆θ + 1)(θ + 1) ∆θ(θ + ∆θ + 1)(θ + 1) (θ + ∆θ + 1)(θ + 1) ∆θ 1 ∆θ (-2) _ = -2 _ = - 2 _ = - 2 _ ∆θ(θ + ∆θ + 1)(θ + 1) θ + ∆θ + 1(θ + 1) θ (θ + 1) θ2 + 1

y = t + 4 ty + ∆y = (t + ∆t) + 4 - t + 4 = [t(t+∆t) + 4] – t + 4(t + ∆t) => (t + ∆t) t t(t + ∆t)

t 2 + t∆t + 4 – t 2 - t∆t – 4t - 4∆t = -4t - 4∆t + 4 = -4t + 4 = -4t + 4 t(t + ∆t) t(t + ∆t) t(t) t2

∆t0

y = θ θ + 2y + ∆y = (θ + ∆θ) - θ = (θ + 2)(θ + ∆θ) – [(θ + ∆θ) + 2] θ => [(θ + ∆θ) +2] θ + 2 [(θ + ∆θ) + 2] [θ + 2]

= - 2 θ = - 2 θ (∆θ) = - 2θ

30

(θ + ∆θ) + 2 (θ + ∆θ) + 2 θ + 2 ∆θ ∆θ0

FORMULAS DE DERIVACIÓN.

I. dc = 0 dx

II. dx = 1 dx

III. d (u + v – w) = du + dv - dw dx dx dx dx

IV. d (cv) = c dv dx dx

V. d (uv) = u dv + v du dx dx dx

VI. d (vn) = nvn-1 dv dx dx

EJERCICIOS

1) y = 3x4 – 2x2 + 8 = 4(3x3) – 2(2x) + 0 = 12x 3 – 4x

2) y = 4 + 3x – 2x3 = 0 + 3 – 3(2x2) = - 6x 2 + 3

3) y = at5 – 5bt3 = 5(at4) – 3(5bt2) = 5at 4 – 15bt 2

4) y = z 2 - z 7 = 2(2z) – (z 2 ) 0 = 4z – 0 = z – 7(7z 6 ) – (z 7 )0 = 49z 6 – 0 = z - z 6 2 7 4 4 49 49

5) y = √v = (v)1/2 = 1/2 v -½ = 1 = 1 2 v1/2 2 √v

6) y = 2 - 3 = 2x-1 – 3x-2 = -2x-2 + 6x-3 = - 2 + 6 x x2 x2 x3

7) y = 2x3/4 + 4x-1/4 = 3/4 (2x)-1/4 + (-1/4 (4x)-5/4 = 3 / 2 x -1/4 – x -5/4

8) y = x2/3 – a 2/3 = 2 / 3 x -1/3

9) y = a + bx + cx 2 = x(b+2cx) – a + bx + cx 2 (1) = bx + 2cx 2 – a – bx – cx 2 => x x2 x2

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VI.a. d (xn) = nxn-1

dx

VII. d (u/v) = v du - u dv dx dx dx v2

VII.a. d (u/c) = du dx dx c

= cx 2 – a = cx 2 – a = c – a x2 x2 x2 x2

10) y = (2 – 3t2)3 = 3(2 – 3t2)2 (-6t) = - 18t(2-3t 2 ) 2

11) y = 3√4 – 9x = (4 – 9x)1/3 = 1/3 (4 – 9x)-2/3 (-9) = -9/3(4 – 9x)-2/3 = - 3 (4 - 9x)2/3

12) y = = 3 (-2 bx-3) = -6 bx-3 = - 6 bx3

13) y = (2 - 5θ)3/5 = 3/5(2 - 5 θ)-2/5 (-5) = -15/5(2 - 5θ)-2/5 = -3(2 - 5 θ)-2/5 => = -3 (2 - 5θ)2/5

14) y = a 2 + x 2 = a 2 – x 2 (2x) – (a 2 + x 2 ) (-2x) = 2a 2 x – 2x 3 + 2a 2 x + 2x 3 => a2 – x2 (a2 – x2)2 (a2 – x2)2

= 4 a 2 x (a2 – x2)2

1 + cx = √1 + cx = (1 + cx) 1/2 =>15) y = 1 – cx √1 – cx (1 – cx)1/2

= (1 - cx) 1/2 ( 1 / 2(1 + cx) -1/2 (c) – (1 + cx) 1/2 ( 1 / 2(1 – cx) -1/2 (-c) = ((1 – cx)1/2)2

= c(1 – cx) 1/2 + c(1 + cx) 1/2 = c(1 – cx) + c(1 + cx) = c – c 2 x + c + c 2 x => 2(1 + cx) 1/2 2(1 – cx) 1/2 2(1+cx) 1/2 (1 – cx) 1/ 2 2(1+cx) 1/2 (1 – cx) 1/2 (1 – cx) (1 – cx) (1 – cx)

= 2c

32

a – b x

3a – b x

3a – b x2

a–b x2

2(1+cx) 1/2 (1 – cx) 1/2 = 2c = c (1 + cx) 2(1+cx)(1 + cx)1/2(1 – cx)1/2 (1-cx)3/2(1 + cx)1/2

1

ln v = log ℮v

dc = (ln v) = dv dx dx = 1 dv v v dx

d (log v) = log ℮ dv dx v dx

d (av) = av ln a dv dx dx

d (℮v) = ℮v dv dx dx

d (sen v) = cos v dv dx dx

d (cos v) = - sen v dv dx dx

d (tg v) = sec2 v dv dx dx

d (ctg v) = csc2 v dv dx dx

d (sec v) = sec v tg v dv dx dx

d (csc v) = -csc v tg v dv dx dx

d vers v = sen v dv dx dx

d (arc sen v) = dv

33

d (arc ctg v) = dv dx - dx 1 + v2

d ( arc sec v) = dv dx dx v√v2 – 1

d ( arc csc v) = dv dx - dx v√v2 – 1

d (arc vers v) = dv dx dx √2v – v2

dx dx √1 – v2

d (arc cos v) = dv dx - dx √1 – v2

d (arc tg v) = dv dx dx _ 1 + v2 Ejercicios:

1) y = ln (ax + b) = 1 (a) = a (ax + b) ax + b2) y = ln (ax2 + b) = 1 (2ax) = 2 ax = 2 a ax2 + b ax2 + b ax +b

3) y = ln (ax + b)2 = 2 ln ax + b = 2. 1 (a) = 2 a __ ax + b ax + b4) y = ln axn = n ln ax = n . 1 (a) = n a = n ax ax x

5) y = ln (2x3 – 3x2 + 4) = 1 (6x2 – 6x) = 6x 2 – 6x = 6x (x – 1) 2x3 – 3x2 + 4 2x3–3x2+4 2x3–3x2+4

6) y = log 2 = log ℮ (-2x-2) = -2 x -2 log ℮ = - x-1 log ℮ = - log ℮ x 2x-1 2 x-1 x

7) y = ln x2 = ln x2 – ln(1 + x2) = 1 (2x) - 1 (2x) = 2x - 2x => 1 + x2 x2 1 + x2 x2 1+ x2

= 2 - 2x = 2(1 + x 2 ) – 2x (x) = 2 + 2x 2 – 2x 2 = 2 x 1 + x2 x(1 + x2) x(1 + x2) x(1+x2)

8) y = ln (ax √a + x) = ln ax + ln √a + x =>

= 1 (a) + 1 ln (a + x) = a + 1 1 (1) = a + 1 => ax 2 ax 2 a + x ax 2(a+x)= 1 + 1 = 2a + 2x + x = 3x + 2a = 3x + 2a x 2a + 2x x (2a + 2x) x (2a + 2x) x (2a + 2x)

9) y = x ln x = x (1 + ln x (1) = x + ln x = 1 + ln x x x

34

a + bt = ln (a + bt) 1/2 = ln (a + bt)1/2 – ln (a + bt)1/2 => 10) s = ln a – bt (a – bt)1/2

= 1/2 ln (a + bt) = 1 1 (b) = 1 b = b 2 a + bt 2 a + bt 2(a + bt)

= 1/2 ln (a - bt) = 1 1 (-b) = 1 - b = - b 2 a - bt 2 a - bt 2(a - bt)= b + b = b(a – bt) + b(a + bt) = ba – b 2 t + ba + b 2 t = 2(a + bt) 2(a - bt) 2 (a + bt) (a – bt) 2 (a + bt) (a – bt)

= 2ba = ab _ 2(a2 – b2t2) (a2 – b2t2) 11) y = 10nx = 10nx ln 10 (n) = n 10nx ln 10

12) y = ln x = x( 1 / x) (1) - ln x (1) = x / x – ln x = 1 – ln x x x2 x2 x2

13) v = ℮ u = u(℮ u ) (1) - ℮ u (1) = u℮ u - ℮ u = ℮ u (u – 1) U u2 u2 u2

14) y = ln (x2℮x) = 1 (2x ℮x) = 2x ℮ x = 2 ℮ x x2 ℮x x2 ℮x x ℮x

15) y = ℮ x – 1 = ℮ x + 1 (℮ x (1)) – (℮ x – 1) (℮ x ) = ℮ 2x + ℮ x - ℮ 2x + ℮ x => ℮x + 1 (℮x + 1)2 (℮x + 1)2 = 2 ℮ x (℮x + 1)2

35

Derivadas con Funciones Trigonométricas.

1) y = sen2 (Π – x) = [sen2 (Π – x)]2 = 2 sen (Π – x) (-1) cos (Π – x) =>

= -2 sen ( Π – x) cos ( Π – x)

2) y = 3 cos 2x = 3( - sen 2x) (2) = 6 sen 2x = - 6 sen 2x

3) y = sec 4x = sec 4x tg 4x (4) = 4 sec 4x tg 4x

4) Q = a csc bθ = a (- csc bθ ctg bθ) (b) = -ab csc bθ ctg bθ

5) s = √cos 2t = (cos 2t)1/2 = 1/2(cos 2t)-1/2 (- sen 2t (2)) = - sen 2t √cos 2t

6) y = 4 = 4(sec x)-1/2 = 4 (-1/2 (sec x)-3/2 sec x tg x => √sec x

= -4/2 (sec x)-3/2 sec x tg x = - 2 sec x tg x = - 2 tg Sec x √sec x √sec x

7) y = sen 2x cos x =sen 2x (- sen x) + cos x (cos 2x) (2) => = 2 cos 2x cos x – sen 2x sen x

8) y = ln √cos 2x = 1/2 ln cos 2x = 1/2 1 (-sen 2x (2)) = 1 – 2 sen 2x => cos 2x 2 cos 2x= - 2 sen 2x = - tg 2x 2 cos 2x

36

9) y = ℮ax sen bx = ℮ax (cos bx) (b) + (sen bx) (℮ax) (a) =

= (℮ax cos bxb + a℮ax sen bx) = ℮ ax (b cos bx + a sen bx)

10) y = ln sen ax = 1 (cos ax (a)) = a cos ax = a cos ax = a ctg ax sen ax sen ax sen ax

11) y = 3√tg 3θ = (tg 3θ)1/3 = 1/3(tg 3θ)-2/3 sec2 3θ (3) = sec 2 3θ (tg 3θ)2/3

12) y = tg 3t = sec2 3t (3) = 3 sec 2 3t

13) y = 2 ctg v/2 = 2(- csc2 v/2 (1/2)) = 2/2 – csc2 v/2 = - csc 2 v / 2

14) y = sen θ = θ (cos θ ) – sen θ (1) = θ cos θ – sen θ θ θ2 θ2

15) f(θ) = sen (θ + a) cos (θ – a)

= sen (θ + a) [- sen (θ – a) (1)] + [cos (θ – a) cos (θ + a) (1)] =>

= [- sen (θ – a) sen (θ + a)] + [cos (θ – a) cos (θ – a)] =>

= cos (θ – a) cos(θ + a) – sen (θ – a) sen (θ + a) =>

= cos (θ – a + θ + a) = cos 2 θ

16) y = ln 1 + sen x = ln (1 + sen x) 1/2 = ln (1 + sen x)1/2 – ln (1 – sen x)1/2 = 1 – sen x (1 – sen x)1/2

= 1/2 ln 1 + sen x – 1/2 ln 1 – sen x =1/2 1 (cos x) - 1/2 1 (-cos x)=

1 + sen x 1 – sen x

= c o s x + c o s x = cos x(1 – sen x) + cos x(1 + sen x) = 2(1+sen x) 2(1-sen x) 2(1 + sen x)(1 – sen x)

37

= cos x – sen x cos x + cos x + sen x cos x = 2 c o s x = 2(1 + sen x)(1 – sen x) 2(1 + sen x)(1 – sen x)

= cos x = cos x = cos x = sec x (1 + sen x)(1 – sen x) (1 – sen x2) cos2 x

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

1) y = arc cos x/a = 1 1/a = 1 / a = 1 / a = 1 / a = √1 – v2 √1 – x 2 √a 2 – x 2 √a 2 – x 2 a2 a2 √a2

= √a 2 = - 1 _ a√a2 – x2 √a2 – x2

2) y = arc ctg x/a = - 1 / a = 1 / a = -a 2 = - a _ 1 + x 2 a 2 + x 2 a(a2 + x2) a2 + x2

1 a2 a2

-1 1 -1 -13) y = arc sec 1/x = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = 1 1 - 1 1 1 – x 2 1 √1- x 2 1 √1-x 2

x x2 1 x x2 x √x2 x x

-1 = x 2 = -x 2 = -1 _ √1 – x x2√1 – x2 √1 – x2

x2

4) y = arc csc 2x = -2 = - 1 _ 2x√4x2 – 1 x√4x2 – 1

38

1 _ 5) y = arc sen √x = 1 ( 1 ) = 2√x = 1 = 1 _ √1 – (√x)2 2√x √1-x 2√x √1-x 2 √x – x2

1

6) θ = arc vers Q2 = 1 (2Q) = 2Q = 2Q => √2(Q2) – (Q2)2 √Q2(2-Q2) √Q2 √2-Q2

= 2 _ √2 – Q2

7) y = x arc sen 2x = x + arc sen 2x (1) = 2x + arc sen 2x

√1 – 4x2

8) y = x2 arc cos x = x2 - + arc cos x (2x) =>

= 2x arc cos x - x 2 _ √1 – x2

UNIDAD 5. APLICACIONES DE LA DERIVADA

El principio fundamental que reglamenta a la geometría es: El valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en aquel punto.

DIRECCION DE UNA CURVA.Si θ es el ángulo de inclinación de la tangente y por definición m=tg θ, entonces, la dirección de una curva en cualquier punto se define por: dy = m P(x,y) = tg θ dx

Si la dirección de la curva es paralela al eje de las “X” y la tangente es horizontal, al ángulo de inclinación θ = 0°, entonces:

dy = tg 0°= 0 dxPero si la dirección de la curva es perpendicular el eje de las “X” y la tg es vertical, el ángulo de inclinación θ = 90°, entonces: dy = tg 90°= ∞ dx

39

1 _ (2) √1 – (2x)2

1 _ √1 – x2

El ángulo de 2 curvas en un punto común es el que se forma por las tangentes en dicho punto; para hallar los ángulos de intersección de 2 curvas se emplea la formula:

tg θ = m2 – m1

1+m1m2

Si la tg θ es mayor a 0°, el ángulo de intersección es θ.Si la tg es menor que 0°, el ángulo de intersección es 180 – θ.Dada la curva y = x3 – 2x2 + 3, hallar:a) La inclinación de θ cuando x = 1b) El angulo θ cuando x = 3c) Los puntos donde la dirección de la curva es paralela al eje xd) Los puntos donde θ = 45°e) Los puntos donde la dirección de la curva es paralela a la recta 3x – 4y = 8R=a) y’ = 3x2 – 4x Sust. X = 1 y’ = -1y’ = m m= -1 => -1 = tg θ => θ = -1 tg-1 = 135°b) θ = 86.1°c) 3x2 – 4x = 0x(3x – 4) = 0x1 = 03x – 4 = 0x2 = 4 / 3

d) tg 45° = 1m = tg θm = 1dy = mdx

e) -b + - √b 2 – 4ac = -4 + - √(-4) 2 – 4(3)(-1) = -4 + - √28 =

x1 = -4 + √28 = 0.21 6x2 = -4 - √28 = -1.54

40

y = x3 – 2x2 + 3si x1 = 0y = (0)3 – 2(0)2 + 3y1 = 3

Si x2 = 4/3

y2 =(4/3)3 – 2(4/3)2 + 3y2 = 49 / 27

dy = 1 = 3x2 – 4x = 1 = 3x2 – 4x – 1= 0dx

Para x1

y = 3P (0.2, 3)

Para x2

y = -4.8P (-1.5, -4.8)

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-2 -1 0 1 2 3 4

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

6

41

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = x3 – 2x2 + 3

y = 3x2 – 4xcuando x = 1

y’ = 3x2 – 4xcuando x = 3

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION.

Se llama un Máximo Relativo de f, si existe un intervalo [A, B] que contiene a C, tal que f(x) sea mayor o igual que f(c) para toda “x” en dicho intervalo.

Y se llama un Mínimo Relativo de f, si existe un intervalo [A, B] que contiene a C, tal que f(x) sea menor o igual que f(c) para toda “x” en dicho intervalo.

Se hace notar que no deben confundirse los máximos y mínimos relativos con los puntos máximos o mínimos de la función, que son

42

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y = 3x – 4y = 8

y = 3x2 – 4x - 1

aquellos donde la ordenada “y” es menor o mayor que la grafica por lo que se denominan ABSOLUTOS.

METODO PARA CALCULAR LOS MAXIMO Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN.

1) Se halla la primera derivada de la función dada.

2) Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante, determinándose las raíces reales o críticas de la variable.

3) Se consideran los valores críticos uno por uno con el fin de hallar el signo de la primera derivada, que en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que el.

Si el signo de la primera derivada es primeramente positivo y después negativo, la función presenta un máximo para el valor crítico de la función.

En caso contrario, de un valor primeramente negativo y después positivo se tiene un mínimo, y si el signo de la primera derivada no cambia, la función no presenta ni máximo, ni mínimo para el valor crítico considerado.

Capturar los máximos y mínimos relativos de la función:y = 2x3 + 3x2 -12xy’ = 6x2 + 6x – 12 = x2 + x – 2 = 0(x + 2)(x – 1) = 0x1 = -2 x2 = 1

43

Máximo relativo

Mínimo Relativo

Mínimo absoluto

Máximo absoluto

Para x1= -2Valor Menor x = -3y = (-3)2 + (-3) – 2y = 4

Para x2 = 1Valor Menor x = 0y = (0)2 + (0) – 2y = -2

Sustituimos los valores críticos en la función original para encontrar los puntos.Para x1 = -2y = 2(-2)3 + 3(-2)2 – 12(-2)y = 20P(-2, 20)Punto Máximo Relativo

y = x3 – 3/2 x2 – 6x + 8y’ = 3x2 – 3x – 63x2 – 3x – 6 = x2 – x – 2 = 0

44

Para x1 = -2Valor Mayor x = -1y = (-1)2 + (-1) – 2

MAXIMO

Para x2 = -2Valor Mayor x = 2y = (2)2 + (2) – 2y = 4

MAXIMO

Para x2 = 1y = (1)3 + 3(1)2 – 12(1)y = 7P(1, -7)Punto Mínimo Relativo

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1

Punto Máximo Relativo

Punto Mínimo Relativo

(x – 2)(x + 1) = 0x1 = 2 x2 = -1

Para x1 = 2 Valor Menor x = 13(1)2 – 3(1) – 6 = -6Valor Mayor x = 33(3)2 – 3(3) – 6 = 12

Sustituimos los valores críticos en la función original para encontrar los puntos.Para x1 = 2y = (2)3 – 3/

2(2)2 – 6(2) + 8y = 4/3

P (2, 4/3)Punto Mínimo Relativo

y = -x2 + 2x + 1y’ = -2x + 2-2x + 2 = 0

45

Mínimo

Para x2 = -1Valor Menor x = -23(-2)2 – 3(-2) – 6 = 12Valor Mayor x = 03(0)2 – 3 (0) – 6 =

Máximo

Para x2 = -1y = (-1)3 – 3/

2(-1)2 – 6(-1) + 8y = 37/3

P (-1, 37/3)Punto Máximo Relativo

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

2(-x + 1) = 0-x + 1 = 0x1 = 1

Para x1 = 1Valor Menor x = 0-2 (0) + 2 = 2Valor Mayor x = 2-2 (2) + 2 = -2

Sustituimos el valor crítico en la función original para encontrar el punto.

Para x1 = 1y = -(1)2 + 2(1) + 1 y = 2

P(1, 2)Punto Máximo Relativo

y = 2x3 – 6xy’= 6x2 – 6 = 0x = + - √1

46

Máximo

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Punto Máximo Relativo

x1 = 1 x2 = -1

Para x1 = 1Valor Menor x = 0y = 6(0)2 – 6 = -6Valor Mayor x = 2y = 6(2)2 – 6 = 18

Sustituimos los valores críticos en la función original para encontrar los puntos.Para x1 = 1y = 2(1)3 – 6(1)y = -4P (1, -4)Punto Mínimo Relativo

47

Mínimo

Para x2 = -1Valor Menor x = -2y = 6(-2)2 – 6 = 18Valor Mayor x =

Máximo

Para x2 = -1y = 2(-1)3 – 6(-1)y = 4P(-1, 4)Punto Máximo Relativo

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Punto Máximo Relativo

Punto Mínimo Relativo

PUNTOS DE INFLEXIÓN Y SENTIDO DE LA CONCAVIDAD DE UNA CURVA.

1) Se halla la Segunda Derivada de la función dada.2) Se iguala a cero la segunda derivada y se resuelve la ecuación resultante considerándose las raíces reales de la ecuación.3) Se analizan los valores de las raíces obtenidas, primero para valores un poco menores y después para valores un poco mayores; si el signo de la Segunda Derivada cambia, indica la existencia de un punto de inflexión.

Cuando la Segunda Derivada es positiva, la curva de la grafica es cóncava hacia arriba y cuando la segunda derivada es negativa la curva es cóncava hacia abajo.

Hallar los puntos de inflexión y el sentido para y = x3 – 3x2 + 3, construir su gráfica.y’ = 3x2 – 6xy’’= 6x – 66x – 6 = 0x = 6/6 = 1

Para x = 1Valor Menor x = 0y = 6(0) – 6y = -6Valor Mayor x = 2y = 6(2) – 6y = 6

Existe un Punto de InflexiónCóncava hacia arriba

Para encontrar el punto de inflexión se sustituye el valor crítico.y = (1)3 – 3(1)2 + 3y = 1P (1, 1)Punto de Inflexión

48-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Punto de Inflexión

y = x4 – 4x3 + 16xy’= 4x3 – 12x2 + 16y’’= 12x2 – 24x12x2 – 24x = 012x(x – 2) = 0x1 = 0 x2 = 2

Para x1 = 0Valor Menor x = -1y = 12(-1)2 – 24(-1) = 36Valor Mayor x = 1y = 12(1) – 24(1) = -12

Existe un punto de inflexión.Cóncava hacia abajo

Para encontrar los puntos de inflexión se sustituyen los valores críticos en la función original.y = (0)4 – 4(0)3 + 16(0)y = 0P(0, 0)Punto de Inflexión

49

Para x2 = 2Valor Menor x = 1y = 12(1) -24(1) = 12Valor Mayor x = 3y = 12(3) – 24(3) = Existe un punto de inflexión.Cóncava hacia abajo

y = (2)4 – 4(2)3 + 16(2)y = 16P(2, 16)Punto de inflexión

-15

-12

-9

-6

-3

0

3

6

9

12

15

18

21

24

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Punto de

Punto de

y = x + 1 = x(1) – (x + 1) (1) = x – x – 1 = - 1 = x 2 (0) – (-1) (2x) => x x2 x2 x2 x4

= 2x = 2 x4 x3

Por el resultado de la segunda derivada de la función podemos observar que al no tener solución tiene como resultado la inexistencia de puntos de inflexión.

y = x4 + 2x3 – 7y’ = 4x3 + 6x2

y’’= 12x2 + 12x12x2 + 12x = 012x(x + 1) = 0x1 = 0 x2 = -1

Para x1 = 0Valor Menor x = -1/2

y = -Valor Mayor x = 1y = +

Existe un punto de inflexión.Cóncava hacia arriba.

Para encontrar los puntos de inflexión se sustituyen los valores críticos en la función original.Para x1 = 0y = (0)4 + 2(0)2 – 7y = -7P(0, -7)

50

Para x2 = -1Valor Menor x = -2y = +Valor Mayor x = -1/2

y = -

Existe un punto de inflexiónCóncava hacia abajo.

Para x2 = -1y = (-1)4 + 2(-1)2 – 7y = -8P(-1, -8)

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = 3x4 – 4x3 – 6x2 + 5y’= 12x3 – 12x2 – 12xy’’= 36x2 – 24x – 12

36x2 – 24x – 12 = 0 = 3x2 – 2x – 1 (3x + 1)(x – 1)x1 = -1/3 x2 = 1

Para x1 = -1/3

Valor Menor x = -1y = +Valor Mayor x = 0y = -

Existe un punto de inflexiónCóncava hacia abajo

Para encontrar los puntos de inflexión se sustituyen los valores críticos en la función original.

Para x1 = -1/3

y = 3(-1/3)4 – 4(-1/3)

3 – 6(-1/3)2 + 5

y = 4.5P (-1/3, 4.5)

51

Para x2 = 1Valor Menor x = 0y = -Valor Mayor x = 2y = +

Existe un punto de InflexiónCóncava hacia arriba

Para x2 = 1y = 3(1)4 – 4(1)3 – 6(1)2 + 5y = -2P (1, -2)

-20

0

20

40

60

80

100

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

DERIVACION DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

Una función en la que la variable dependiente, se expresa únicamente en términos de la variable dependiente y = f (x) se dice que es una función EXPLÍCITA. Por ejemplo: y = x3 – 1, mientras que una ecuación en la que no se encuentra despejada ninguna de las variables se dice que es una FUNCIÓN IMPLÍCITA.

x4 + x2y3 – y5 = 2x + 1

4x3 +[y3(2x)] + [x2(3y2 y’)] – 5y4y’ = 2

4x3 + 2xy3 + 3x2y2y’ – 5y4y’ = 2

3x2y2y’ – 5y4y’ = 2 – 4x3 – 2xy3

y’(3x2y2 – 5y4) = 2 – 4x3 – 2xy3

y’ = 2 – 4x 3 – 2xy 3 (3x2y2 – 5y4)

xy2 – x2 + 4 = 0

x(2yy’) + [y2 (1)] – 2x = 0

2xyy’ = 2x – y2

y’(2xy) = 2x – y2

y’ = 2x – y 2 2xy

(y – 1)2 = 4(x + 2)

y2 – 2y + 1 = 4x + 8

2yy’ – 2y’ = 4

y’ (2y – 2) = 4

y’ = 4 _

52

2y – 2

x + y2 y2 x

xy-2 + y2x-1 = 5

x(-2yy’) + (1)(y-2) + x-1 (2yy’) + y2 (-x-2)

-2xyy’ + y-2 + 2x-1 yy’ – y2 x-2 = 0

y’ (-2xy’ + 2x-1) = y2 x-2 – y-2

y’ = y 2 x -2 – y -2 -2xy + 2 x-1

Cos 2x – sen xy + 2y2 = 0

- sen 2x (2) – cos xy (x(y’) + 1(y)) + 4yy’ = 0

-2 sen 2x – cos xy xy’ + y + 4yy’ = 0

- Cos xy xy’ + y + 4yy’ = 2 sen 2x

y’ (- cos xy x + y + 4y) = 2 sen 2x

y’ = 2 s e n 2 x - cos xy x + y + 4y

53

NTEGRANTES

Matricula

Pérez Rodríguez Martín Noel

Banda Álvarez Gerardo Enrique

Isika Perales José Efraín

Sánchez Gilberto

54