SEMEJANZA

Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño

La idea de la “misma forma” aparece en las ampliaciones o reducciones.

¿ Qué observas ?10 cm

5 cm

4 cm 8 cm

¿Cómo expresamos matemáticamente esta idea de la “ misma forma”?

La respuesta es comparando el largo y el ancho de ambas fotografías :Las razones entre el ancho y el largo de cada foto son iguales; es decir:

las dos fotografías son:

¿IDÉNTICAS O SEMEJANTES ?

cm

cm

cm

cm

10

5

8

4

Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales10 x 4 = 8 x 5

Dos figuras son semejantes porque:

1º Tienen la misma forma, por ampliación o por reducción.

2° Tienen diferente tamaño, porque los lados de la figura mayor son una ampliación en forma proporcional de los lados de la figura menor, manteniéndose constante los

ángulos.

No son figuras semejantes

¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?

Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman “homólogos”.

¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.

Multiplica cada uno de los lados por 3.

x 3

Los lados del triángulo se han triplicado.

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

11

Identificamos algunos elementos :

RAZÓN DE SEMEJANZA : 3

LADOS HOMÓLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Criterios de semejanza de triángulos

Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos.

Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos

Existen tres criterios de semejanza de triángulos

1. AA ( ángulo-ángulo)2. LLL (lado-lado-lado)3. LAL (lado-ángulo-lado)

Primer criterio : AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos

congruentes son semejantes entre sí.

A´

B´C’

A

BC

´

´

´

Es decir: Si ´ ,

´ de lo anterior se deduce que

´Entonces, ABC semejante con A´B´C´

Ejemplo

¿Son los siguientes triángulos semejantes?

¡SI!Por que al tener dos de

sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA

65° 25°

A

BC

Q

25°

65°

PR

Segundo criterio: LLL

Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí.

A´

B´C’

A

BC

aa´

El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de

razón de semejanza.

Es decir:aa´ = b

b´ = cc´ =K

b b´

c

c´

Ejemplo :

Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

1,5 3 = =

3,5 7

510

A

BC

1,5

3,5

5

P

Q

R

3

7

10Efectivamente , así es, ya que los productos la razón entre

los lados correspondientes es constante

Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

= 0,5

Tercer criterio:LAL

Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí.

A’

B’C’

A

BC

Es decir:

aa’

aa’ = c

c’

c

c’

y = ’

´

Entonces ABC semejante aA’B’C’

Ejemplo :

¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente así es, ya que los productos

“cruzados” son iguales

3 • 12 = 4 • 9

¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes?

Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Mediante la semejanza de triángulos se pueden calcular distancias inaccesibles. Por ejemplo, para calcular la altura de un árbol se hace lo siguiente:

A

E

D

C

B

Los triángulos ABC y ADE son semejantes, lo cual se denota así:

Aplicaciones de la semejanza de triángulos

ABC CDE

A

E

D

C

BA

Al separar los triángulos de la figura anterior se tiene lo siguiente:

En ellos se tiene: , ,A A B D C D

AB AC BC

AD AE DE

Dado que las longitudes en el piso y la longitud en el asta se pueden medir, entonces usando una de las proporciones anteriores se obtiene la altura del árbol. Observe:

yAB AD DE

BC

E

AB BC AB DEBC

AD DE AD

F

ED

C

BA

A D

B E

C F

A D

B E

C F

AB DE

BC EF

AC DF

, ,A D B E C F

Supóngase que

Entonces, se tiene

En la semejanza de triángulos; la igualdad de las medidas de los ángulos, define una correspondencia entre los vértices, los ángulos y entre los lados de los triángulos. Dichas correspondencias se denotan con una flecha de doble punta , lo cual se lee “se corresponde con”. Observe:

Dos triángulos son semejantes, si sus ángulos correspondientes tienen la misma medida y si sus lados correspondiente son proporcionales.

, ,A D B E C F

ABC CDE AB AC BC

DE DF EF

F

La sombra que una persona proyecta al alejarse de un farol es 1/3 de su distancia al poste del farol. Si la persona mide 1.70 m y la punta de la sombra dista de dicho poste 12 m, ¿qué altura tiene el farol y qué longitud tiene la sombra?

Un topógrafo desea medir el ancho de una montaña, por donde se pretende hacer un túnel desde un punto A hasta un punto B, opuesto a ella y visibles ambos desde un punto C en la llanura, como se muestra en la figura adjunta. Para ello él localiza los puntos D y E de modo que

Calcule la longitud del túnel.

AC BC

CE CD

Se dispone de dos tirantes, uno de 30 m y otro de 25 m, para contener un puente de 33 m de largo como se muestra en la figura adjunta, en donde .

Entonces:

¿A qué distancia está el punto C de las bases de los postes ?

Si , ¿cuánto mide el poste ?.

B E

yAB DE

24AB DE

31 D

C

BA

¿Cuál de los segmentos de la figura mide ?

3

Dos triángulos son semejantes, si dos ángulos de uno miden lo mismo que dos ángulos del otro.

D

C

BA

E

Si , ¿son semejantes los triángulos ABC y DEC ?AB DE

Si la razón de los lados correspondientes es uno, los triángulos son congruentes.

D

C

BA E

FEl símbolo de congruencia es y se lee “ es congruente con”.

,ABC DEF

porque: 1AB BC AC

DE EF DF

D

C

B

AO

Si y O es punto medio de , ¿son congruentes los triángulos AOB y COD ?

AB DCAC