Tema 5. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

B

A

C B’

A’

C’

Semejanza: Dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma, aunque no tengan el mismo tamaño. Es decir, una figura es un modelo a escala de la otra.En las figuras semejantes, sus lados no tienen por que ser exactamente iguales, pero cada uno de los lados de una de las figuras son iguales a cada uno de los lados correspondientes en la otra figura multiplicado por un valor constante.Sean los triángulos

EL ABC A’B’C’ sii : A = xA’, B = xB’ y C = xC’

Razones '

,'

,'

C

Cx

B

Bx

A

AxPodemos ver que:

C

C

B

Bx

C

C

B

B ''

A

A'

x

1 : tambiéno ,

''A'

A

Donde x es la constante de PROPORCIONALIDAD

Recordemos que: cuando se manejan dos razones se les llama Proporción Asi, la proporción

se lee: “a es a b como c es a d”, donde: a y d son extremosb y c son medios

d

c

b

a

Media proporcional:

Cuando en una proporción , donde b = c y b y c son medios

La proporción puede escribirse: y se lee: “b es media

proporcional de los extremos a y d”. Si se despeja a b, queda: , puede notarse que la media proporcional es igual al producto de los extremos.Ejemplo: , despejando queda: 82 = 16 . 4

d

c

b

a

a .d b 2

d

b

b

a

4

8

8

16

La cuarta proporcional de tres cantidad es el cuarto término de la proporción, los primeros tres términos de la cual se toman en orden.

Así, en la proporción que también puede escribirse a : b = c : d,

d es la cuarta proporcional para a, b y c.

d

c

b

a

Propiedades de las proporciones

1-

2.-

3.-

4.-

5.-

cbadd

c

b

a

c

d

d

c

b

a

a

b

d

b

d

c

b

a

c

a

d

dc

b

ba

d

c

b

a

' d d d'

c

b

a y

d

c

b

a

Cuarta proporcional

KB

CK

DA

CD KD

C

BA

TEOREMA: Si una recta paralela a uno de los lados de un triángulo corta a un segundo lado en segmentos que tienen una razón con términos enteros, la recta cortará al tercer lado en segmentos que tienen la misma razón.Hipótesis△ABC con DK∥ABTesis

Demostración

DA

CD

n

m

nDA

mCD

1.-

KB

CK

n

m

nKB

mCK 2.- m y n son las veces que cabe la unidad de medida

NOTA: la proposiciones 1 y 2 supone la existencia de una unidad común que será contenida un número entero de veces CD y DA. Cuando esto es cierto se dice que los segmentos son mutuamente CONMENSURABLES.

KB

CK

DA

CD 3.- igualación entre 1 y 2

m= 3

n= 2

La tesis es verdaderaEn conclusión el Teorema: Si una recta paralela a uno de los lados de un triángulo corta a un segundo lado en segmentos que tienen una razón con términos enteros, la recta cortará al tercer lado en segmentos que tienen la misma razón, es verdadero.

TEOREMA DE THALES: Sis y s’ son dos rectas secantes a un haz de rectas paralelas l1, l2, l3 ,l4 ,l5 …., entonces los segmentos determinados en s son proporcionales a los determinados sobre s ’.

'''''''' ED

DE

DC

CD

CB

BC

BA

AB

AB

CD

A’

E

B’ C’

D’ E’

f

gh

i

s s’ s’’Hipótesisl1∥l2 ∥l3∥l4∥ l5 s y s’ son secantes

BCfg

fAAB

CB

BA

fg

fA

'

''

'''

''''''

''

CB

BC

BA

AB

CB

BA

BC

AB

Demostración1.- s’’∥ s Por construcción

2.-

Sustituyendo A’f por AB y fg por BC

l1l2

l4

l3

l5

Tesis

La tesis es verdaderaEn conclusión el Teorema: Si s y s’ son dos rectas secantes a un haz de rectas paralelas l1, l2,…., entonces los segmentos determinados en s son proporcionales a los determinados sobre s’, es verdadero.

Por ser ABfA’ y BCgf paralelogramos

3.-

QC

AQ

PB

AP

A

B C

Q P Q’

TEOREMA: Si una recta intercepta a dos lados de un triángulo y determina sobre dichos lados segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado.

HipótesisPQ intercepta a AB y AC

TesisPQ ∥BC

1.-Por reducción al absurdo PQ ∥ BC hipótesis temporal2.- Se traza PQ’∥BC Por construcción

5.- AQ = A’Q’ y QC =Q’C PM igualación entre T2 y P3

4.- Por el teorema de ThalesC'Q'AQ

PBAP

Demostración

Q

Contradice el axioma de la construcción de un segmento, luego la hipótesis temporal es falsa. Por tanto, la tesis PQ ∥ BC es verdaderaEn conclusión el Teorema: Si una recta intercepta a dos lados de un triángulo y determina sobre dichos lados segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado, es verdadero.

QC

AQ

PB

AP3.- Por la hipótesis 2

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

A

B C

A’

B’ C’

’

’

△ABC ∽△A’B’C’ = ’, = ’, ’, y

DEFINICIÓN: Dos triángulos son semejantes si y sólo si los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos correspondientes son congruentes

'

x'c

c

'b

b

'a

a

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

A

B C

A’

B’ C’

’

’

• PRIMER CRITERIO: Ángulo – Ángulo. A.A.: Dos triángulos son semejantes sii tienen dos ángulos congruentes:

△ABC ∽△A’B’C’ = ’, = ’

• SEGUNDO CRITERIO: Lado- ángulo-lado. L.A.L.: Dos triángulos son semejantes sii tienen 2 lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.

x'c

c

'b

b

A

B C

A’

B’ C’

’

△ABC ∽△A’B’C’ = ’, y

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

• TERCER CRITERIO: Lado-Lado-Lado. L.L.L.: Dos triángulos son

semejantes sii tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

x'c

c

'b

b

'a

a

A

B C

A’

C’B’

△ ABC ∽ △ A’B’C’

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

DefiniciónProyección ortogonal de un punto sobre una recta: Llámese PROYECCIÓN ORTOGONAL de un punto P sobre una recta l al pie P’ de la perpendicular trazada desde ese punto a la recta. La Proyección de un segmento AB sobre l es el conjunto de puntos de la recta comprendidos entre las proyecciones de los extremos del segmento.

A B

A’ B’

B

A’ B’

A

P’

P

Teorema: La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina dos triángulos que son semejantes a él. A

B C

h

H

Proposiciones 1.- ABC HBA△ ∽△ Por ángulo-ángulo ( H y ∠ ∠)2.- ABC HAC△ ∽△ Por ángulo-ángulo (( H y ∠ ∠)

Hipótesis:△ABC es rectángulo en AAH es altura de ATesis△ABC HAC∽△△ABC HBA∽△

En conclusión el Teorema: La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina dos triángulos que son semejantes a él, es verdadero.

Ambas tesis son verdaderas

PROPIEDADES MÉTRICAS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

A

B C

h

H m n

Teorema (Teorema de la Altura): La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos determinados por ella.

Hipótesis: △ABC es rectángulo en AAH es altura de AAH determina a m y n

Demostración1.- ABC HBA△ ∽△ Por el Teorema anterior2.- ABC HAC△ ∽△ Por el Teorema anterior3.- HAB HAC△ ∽△ Por transitividad entre 1 y 2

4.- Lados proporcionales en △s semejantes

5.- Despeje de h en 4

n

h

h

m

nmh . 2

Tesis h2=m.n

En conclusión el Teorema: ): La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos determinados por ella, es verdadero.

La tesis es verdadera

A

B C

h

H m n

En conclusión el Teorema: La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos determinados por ella, es verdadero.

La tesis 2 es verdadera

Hipótesis: △ABC es rectángulo en AAH es altura de A

Tesis c2=a.mb2=a.n

Teorema (Teorema del Cateto): En todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella.

m . c 2 ac

m

a

c

nabb

n

a

b . 2 3-

2.-

1.- HAB HAC△ ∽△ Por transitividad entre 1 y 2

Demostración a

b c

La tesis 1 es verdadera

22222 a nm donde , cbanmaanambc

TEOREMA DE PITÁGORAS: El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.Del teorema anterior:

b2 = a . nc2 = a . m Sumando queda

bn2cba 222 bmcba 2222

A

B

C

h

H

m

a c

n b A

B

C

h

H n

a c

m

b

TEOREMA GENERALIZADO DE PITÁGORAS: En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo (obtuso) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos (más) el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.