Semana_1_IO[1]

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18/04/2023

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Lic. Mario Ninaquispe Soto

Aspectos fundamentales de la Investigación Operativa como Ciencia:

Programación LinealEjercicios:

Planteamiento de Modelos de Programación Lineal

EAP. Ingenieria de Sistemas - Lic. Mario Ninaquispe Soto

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La Investigación Operativa como ciencia

La primera actividad de la Investigación de Operaciones (IO) se dio durante la segunda guerra mundial en Gran Bretaña, donde a un grupo de científicos de distintas áreas del saber los reunieron para que estudiaran los problemas tácticos y estratégicos asociados a la defensa del país.

El nombre de IO fue dado aparentemente por que el equipo fue dado aparentemente estaba llevando a cabo la actividad de Investigar Operaciones Militares.

Motivados por los resultados, los administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realizar investigaciones similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de especialistas, l os cuales empezaron a tener buenos resultados en la planeación de minas en el mar y la utilización efectiva del equipo electrónico. EAP. Ingenieria de Sistemas - Lic. Mario Ninaquispe Soto

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Al término de la guerra y atraídos por los buenos resultados obtenidos por los estragas militares, los administradores industriales empezaron a aplicar las herramientas de la IO en la resolución de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento en tamaño y complejidad de las industrias.

Los gerentes han sufrido los cambios sobre todo en lo relacionado a tecnología y métodos o procesos de trabajo, haciendo más compleja la toma de decisiones, solo basta ver todo lo que implica trabajar a través del Internet.



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En resumen, la IO se ocupa de la toma de decisiones óptimas y del modelo de sistemas determinanticos y probabilísticos que se originan en la vida real. Estas aplicaciones, que ocurren en el gobierno, en los negocios, en las industrias, en las ingenierías en la economía, y en las ciencias naturales y sociales, se caracterizan en gran parte por la necesidad de asignar recursos escasos. La IO adopta el método científico como estructura para la solución de los problemas, dando mayor énfasis al juicio objetivo que al juicio subjetivo. En su sentido más amplio la IO, puede ser caracterizada como la aplicación de métodos científicos, técnicas científicas e instrumentos científicos a problemas que involucran operaciones de sistemas, de modo que provean a los tomadores de decisiones (ejecutivos) responsables de las operaciones, soluciones óptimas para los problemas.EAP. Ingenieria de Sistemas - Lic. Mario Ninaquispe Soto


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Definición de Toma de Decisiones:Es un proceso de elegir entre diferentes cursos alternativos de acción para obtener metas y objetivos.

Metodología Científica: Como es obvio, el enfoque principal de un estudio de IO es la Toma de Decisiones. Es decir el resultado que derive del análisis, debe tener consecuencias directas y no ambiguas para el tomador de decisiones.El método científico aplicado en un proceso de IO, se inicia con la observación cuidadosa y formulación del problema; para luego construir un modelo científico que trate de abstraer la esencia del problema real. De este modelo se obtendrán las conclusiones y soluciones que también son válidas para el problema real; por lo que en forma iterativa el modelo se llega a verificar con la experimentación adecuada.



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Posteriormente se trata de encontrar una solución, la mejor o la óptima, y para ello se define una medida de efectividad que considere las metas. Esta medida servirá para comparar los cursos de acción alternos. Los pasos a seguir normalmente son:

Construcción de un modelo que extrae los elementos del problema de decisión del mundo real.Realizar el examen y análisis de las relaciones que determina las consecuencias de la decisión.Desarrollar una técnica de solución que produzca un valor óptimo basado en los objetivos del tomador de decisiones.



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Elementos de un proceso de decisión: Los elementos de una decisión constan de:

Un tomador de decisiones (que puede ser un individuo, grupo, organización o la sociedad misma).Un conjunto posible de cursos de acción que pueden tomarse para resolver el problema de decisiones.Un conjunto posible de estados que pueden ocurrir.Un conjunto de consecuencias asociadas a cada curso de acción y estado posible que pueda ocurrir.La relación entre las consecuencias y los valores del tomador de decisiones.



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Según Moskowitz, define 5 pasos principales:

Formulación y definición del problemaConstrucción del modeloSolución del modeloValidación del modeloImplementación de resultados


El Proceso de la Investigación de Operaciones

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Fase 1: Formulación y Definición del problema

Se requiere:Descripción precisa de las metas u objetivos del estudioIdentificar las variables de decisión controlables y no controlables del sistema de decisiónReconocer las limitaciones o restricciones en las variables del sistema



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Fase 2: Construcción del Modelo

Se detalla el proceso. Primero, le investigador debe decidir el modelo más adecuado para representar el sistema. Este modelo debe especificar las relaciones cuantitativas para el objetivo y las restricciones del problema en términos de las variables de decisión. Debe proporcionar estimados de los parámetros, obtenidos bien se a partir de daros históricos, subjetivos o formalmente estimados por medio de algún mecanismo estadístico. Se debe escoger un horizonte de tiempo. También se debe determinar si el sistema es determinísticos, dependiendo de la complejidad y posibilidad de solución de las relaciones matemáticas.



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Fase 3: Solución del Modelo

El modelador debe, junto a los parámetros específicos por datos históricos, tecnológicos o prácticos, calcular o derivar una solución matemática. Si el modelo se acomoda a uno de los modelos matemáticamente bien conocidos como el de programación lineal, se puede obtener una solución óptima utilizando estas técnicas. Si por lo contrario, las relaciones matemáticas del modelo son muy complejas para permitir una solución analítica, entonces el método de simulación puede ser lo más apropiado.En la solución del modelo, se deben realizar análisis de sensibilidad, para determinar el comportamiento del sistema ante cambios en las especificaciones y parámetros del sistema. Es una práctica importante, toda vez que los datos de entrada (parámetros) no necesariamente son precisos o estables y las suposiciones estructurales del modelo puede que no sean válidas.



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Fase 4: Validación del Modelo

Requiere que se determinen si tal modelo puede predecir confiablemente el comportamiento del sistema. También comprende la prueba de las suposiciones estructurales del modelo (variables, relaciones funcionales, etc.) para determinar su validez. Una práctica importante es comprar el desempeño del modelo actual con datos de entrada históricos. El modelo será válido, si bajo condicione similares de entrada, puede reproducir razonablemente el comportamiento pasado del sistema. Es importante resaltar, que no hay garantía de que el comportamiento futuro del sistema continúe duplicando la historia pasada.



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Fase 5: Implementación

Es importante que quieres participen en la toma de decisiones como resultado del estudio analicen el problema. De esta forma el proyecto toma validez real y no sea considerado un mero ejercicio académico.



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14MODELOS DE INVESTIGACIÓN

OPERATIVAMODELOS DE INVESTIGACIÓN

OPERATIVA

DETERMINISTICOS PROBABILÍSTICOS ESTOCÁSTICOS

OPTIMIZACIÓN NO LINEAL

OPTIMIZACIÓN LINEAL

PROGRAMACIÓN DINÁMICA

PROGRAMACIÓN ESTOCÁSTICA

MÉTODOS CLÁSICOS PROGRAMACIÓN LIENAL

INVENTARIOS COLAS

MÉTODOS DE BÚSQUEDA

TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN

SIMULACIÓN PROCESOS ESTOCÁSTICOS

PROGRAMACIÓN NO LINEAL

PROGRAMACIÓN ENTERA Y BINARIA

PERT CPM TEORÍA DE DECISIONES Y

JUEGOS

REDES METAHEURÍSTICA

HEURÍSTICA

Modelos de Investigación Operativa


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CASO DE ESTUDIO.- Un taller de mantenimiento fabrica dos tipos de piezas para la reparación de equipos fundamentales del proceso productivo. Estas piezas requieren un cierto tiempo de trabajo en cada una de las tres máquinas que las procesan. Este tiempo, así como la capacidad disponible (h) y la ganancia por cada pieza se muestran en el cuadro siguiente:

Se logra vender todo lo producido y se desea determinar la cantidad de piezas a fabricar que optimice la ganancia.

¿Cómo lograría optimizar el sistema en estudio?

MáquinaTiempo por Pieza

Fondo de Tiempo (h)A B

I 2 2 160

II 1 2 120

III 4 2 280

Ganancia ($/Pieza) 6 4

Modelo de Programación Lineal


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El objetivo de la programación lineal (PL) es optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal de n variables sujeto a restricciones lineales de igualdad o desigualdad. Más formalmente, se dice que un problema de PL consiste en encontrar el óptimo (máximo o mínimo) de una función lineal en un conjunto que pueda expresarse como la intersección de un número finito de hiperplano semiespacios en Rn.

Características generales de los modelos de PL: Una sola función objetivo (FO)Maximización o minimización de la FO sujeta a disponibilidad de recursosProporcionalidad de la función objetivo y de las restricciones con respecto al nivel de producción de cada artículo, etc.



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Si se expresan estas condiciones en forma ligeramente modificadas y se consideran más de acuerdo con el orden en el cual se relacionan con el planteamiento del modelo, entonces es posible enunciar que un problema puede resolverse a través de la PL si satisface los siguientes requerimientos: 1. Puede plantearse un FO para el problema en términos de

variables de decisión, es decir: x1, x2, x3, x4, …, xn.2. Las variables del problema deben estar interrelacionadas para

generar el resultado total, es decir, puede dejarse de fabricar un producto (variable) para fabricar o utilizar una mayor cantidad de otro producto.

3. Las restricciones relacionadas con la disponibilidad o uso de los recursos, la satisfacción de los requerimientos o surtimiento de la demanda deben ser de forma lineal.

4. Los valores de las variables en la solución pueden ser fraccionarios, pero deben ser mayores o iguales a cero.



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Maximizar (Minimizar) Sujeto a (s.a.):

Donde representan las variables de decisión

nn xcxcxcxcZ ........332211

0,

,,........

................

................

................

,,........

,,........

,,........

,3,2,1

2211

11212111

22222121

11212111

n

mnmnmm

nn

nn

nn

xxxx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

0,,3,2,1 nxxxx

Modelo Matemático de PL


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Planteamiento de Problemas:La habilidad para transformar un problema del mundo real en un modelo de PL debidamente planteado es un arte. Al plantear los problemas, se han encontrado que los siguientes procedimientos son muy útiles: 1. Debe concentrarse en identificar la función objetivo general.

¿Cuál es el objetivo final del problema, maximizar utilidades, minimizar costos, minimizar las materias primas, que se requieren, maximizar el uso de la fuerza de trabajo, etc.)

2. Debe plantearse el objetivo en forma verbal, incluyendo en la expresión la forma que el objetivo se relaciona con los diversos factores (variables de decisión) sobre las cuales tiene control quien toma las decisiones.

3. Se debe identificar y plantear en forma verbal cada restricción.4. Otros consideran en primer lugar reunir todos los datos del

problema.



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20Luego de haber descrito el problema en forma verbal, se debe transformar las descripciones verbales en forma matemática:

1. Identificar y definir las variables de decisiones (las xj) asociadas con el problema, incluyendo en sus unidades de medición.

2. Identificar los coeficientes de contribución (los cj) asociados con cada variable.

3. Plantear la función objetivo y verificar que existe consistencia en las unidades de medición.

4. Identificar la tasa física de los coeficientes de sustitución (los aij), incluyendo en la definición las unidades de medición relacionadas con el coeficiente respectivo.

5. Identificar los recursos o requerimientos disponible, es decir los coeficientes del segundo término (los bi), que son los valores que aparecen al lado derecho del signo igual en las ecuaciones de restricción.

6. Plantear las restricciones relacionadas con cada uno de los respectivos recursos o requerimientos y verificar que haya consistencia en las unidades de medición para cada restricción.

7. Definir las condiciones de no negatividad asociadas con las variables de decisión



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Variables Continuas y Variables Discretas: Los valores de las variables en la solución pueden ser fraccionarios o continuos. No siempre es práctico en la vida real. Puede evitarse este problema en la programación lineal redondeando los valores continuos para que sean discretos; sin embargo, esto no siempre da como resultado una solución factible. Existen algoritmos que proporcionan valores discretos óptimos en las soluciones.



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1.- Un taller de mantenimiento fabrica dos tipos de piezas para la reparación de equipos fundamentales del proceso productivo. Estas piezas requieren un cierto tiempo de trabajo en cada una de las tres máquinas que las procesan. Este tiempo, así como la capacidad disponible (h) y la ganancia por cada pieza se muestran en el cuadro siguiente:

Se logra vender todo lo producido y se desea determinar la cantidad de piezas a fabricar que optimice la ganancia.

MáquinaTiempo por Pieza Fondo de

Tiempo (h)A B

I 2 2 160

II 1 2 120

III 4 2 280Ganancia ($/Pieza) 6 4

Ejercicios Prácticos


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Formulación completa del modelo matemático:

Max Z = 6X1 + 4X2

S.A.2X1 + 2X2 160 X1 + 2X2 120 4X1 + 2X2 280 X1 0; X2 0


Formulando el modelo PPL:

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2.- Una compañía fabrica tres productos de caucho: Airtex, Extendex y Resistex ; los tres requieren los mismos polímetros químicos. La cantidad de cada ingrediente usada por libra del producto es como sigue:

La empresa tiene el compromiso de producir al menos 1000 libras de Airtex, 500

libras de Extendex y 400 libras de Resistex para la próxima semana, pero la gerencia sabe que puede vender más de cada producto. Los inventarios actuales de los ingredientes son 500 libras del Polímetro A, 425 libras del polímetro B, 650 libras del polímetro C y 1100 libras de la base.

Cada libra de Airtex produce a la compañía una ganancia de $7, cada libra de Extendex produce una ganancia de $7 y cada libra de Resistex una ganancia de $6. Determine un plan óptimo de producción para esta semana.

PRODUCTO Polímetro A Polímetro B Polímetro C Base

Airtex 4 2 4 6

Extendex 3 2 2 9

Resistex 6 3 5 2


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25 Max Z = 7A+7E+6R

S.A.4A + 3E + 6R 5002A + 2E + 3R 4254A + 2E + 5R 6506A + 9E + 2R 1100A 1000

E 500 R 400

A 0; E 0, R 0


Formulación completa del modelo matemático:

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3.- El taller de Joe se especializa en cambios de aceite del motor y regulación del sistema eléctrico. El beneficio por cambio del aceite es $7 y de $15 por regulación. Joe tiene un cliente fijo con cuya flota, le garantiza 30 cambios de aceite por semana. Cada cambio de aceite requiere de 20 minutos de trabajo y $8 de insumos. Una regulación toma una hora de trabajo y gasta $15 en insumos. Joe paga a los mecánicos $10 por hora de trabajo y emplea actualmente a dos de ellos, cada uno de los cuales labora 40 horas por semana. Las compras de insumos alcanzan un valor de $1,750 semanales. Joe desea maximizar el beneficio total. Formule el problema


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4.- El departamento de nutrición de un Hospital prepara 30 menús de cena, uno para cada día del mes. Una comida consiste en espagueti, pavo, papas, espinacas y pastel de manzana. Como Director de Nutrición, se ha determinado que esta comida debe proporcionar 63,000 miligramos (mg) de proteínas, 10mg de hierro, 15 mg de niacina, 1mg de tiamina y 50 mg. de vitamina C. Cada 100 gramos de esta comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas indicadas en la siguiente tabla:

Para evitar demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella más de 300 gr de espagueti, 300 gr de pavo, 200 gr. de papas, 100 gr. de espinaca, y 100 gr. de pastel de manzana. Se desea determinar la composición de una comida que satisfaga los requerimientos nutricionales y proporcione la mínima cantidad de grasas.

Nutrientes mg/100g COMIDAS PROTEÍNAS HIERRO NIACINA TIAMINA VITAMINA

C GRASA

Espagueti 5,000 1.1 1.4 0.18 0.0 5,000 300gr Pavo 29,300 1.8 5.4 0.06 0.0 5,000 300gr Papas 5,300 0.5 0.9 0.06 10.0 7,900 200gr Espinacas 3,000 2.2 0.5 0.07 28.0 3,000 100gr Pastel de manzana 4,000 1.2 0.6 0.15 3.0 14,300 100 63,000 10 15 1 50


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Muchas gracias!

Lic. Mario Ninaquispe Soto

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