Introduccin

Cuarta semanaDr. Ignacio Chang1Transformada z inversaReduccin de diagramas de bloqueTransformada z inversaExisten varios mtodos para invertir una funcin transformada Un mtodo analticouno numricouno por simulacin. No importa cual sea el mtodo, la transformada z inversa dar solo los valores de la funcin en el tiempo en los instantes de muestreoDesarrollo en fracciones parcialesEste mtodo es similar a la inversin de Transformada de Laplace por fracciones parciales. Cuando la funcin de transferencia discreta posea ceros en el origen, se expande primero F(z) / z y finalmente, se multiplica el resultado por z para sustituir las z en el numerador, sino se procede a expandir F(z) y se emplean criterios matemticos para encontrar la transformada z inversa.

Si X(z) es racional, con todos sus polos simples y grado de numerador inferior al del denominador, entonces:

La transformada inversa ser la suma de las transformadas inversas. En el segundo caso da suma de secuencias exponencialesEjemploEncuentre la solucin de la sucesin de Fibonacci, utilizando el mtodo de fracciones parciales.

Solucin:Calculamos los polos (z-a)(z-b)a=1.618, b= -0.618Hacemos:

De la tabla se tiene que:

Luego la solucin es

Calcule la z inversa de la funcinQu hacemos en estos casos?Descomponemos en fraccionesSe divide entre zRespuestasCalcule los 6 primeros valores.Caso 2:

Calcule los primeros seis valores

Valoreskg(k)00102130.840.4950.272Mtodo Divisin largaPor definicin

Se expande a F(z) en una serie infinita de potencias negativas de z y se asocia el coeficiente de cada trmino i-simo con el correspondiente valor de f(i) (serie de Laurent de F(z)). Se obtiene la sucesinEjemploConsidere la ecuacin de Fibonacci

Encuentre y(k) por divisin larga.Solucin:

ky(k)011122334558Integral de inversin (teorema de los residuos)Si X(z) es una funcin racional, mediante el teorema de los residuos:

donde C es una curva que incluye al origen y contenida dentro del dominio de convergencia de la serie. Para un polo simplePara un polo mltiple

Polo simple y polo mltiplePara un polo simple se calcula

Para uno mltiple

EjemploCalcule la transformada z inversa deU(z) = z/(z - 1)2Mediante al integral de inversin.

Solucin:Se observa, que es un polo mltiple

Luego u(k) = k, que corresponde a la secuencia u(k) = {0; 1; 2; 3; 4; } que es la secuencia rampa unitaria

U(z) = z/(z - 1)2