Semana n 1_mat_bas_2013-ii_victor_calagua_porras
-
Upload
felipe-mendoza -
Category
Education
-
view
24 -
download
0
Transcript of Semana n 1_mat_bas_2013-ii_victor_calagua_porras
MATEMATICA BASICA
ICONJUNTOS NUMERICOS
2013-I
VÍCTOR CALAGUA PORRAS
SISTEMA NUMERICO
MB
PROGRAMA DE ESTUDIOS BÁSICOS
Números Naturales ( N ) N={0,1;2;3;4;5;....}Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionales (Q) Q={...; -2; -1; ;0; ; ; 1; ;2 ; 3; .... }
Números Irracionales ( I ) I={...; ; ....}2; 3;
Números Reales ( R=QI )R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3
1-
2
1
5
Números Complejos ( C )C={...;-2; ;0;1; ; 1+3i; 3; ....}2; 3
1-2
02/05/2023
2
Víctor Calagua Porras
1
2
4
3
MB
Matemática Básica
Sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.
Venn(1834-1923)
(1;3) (7;6)
(2;4) (5;8)Euler (1707-1783
b c
f g
he
d =18
Prov.
Ext. a
Hombres mujeres
Charles Lutwidge Dodgson (Lewis Carrol) (1832-1898 )
02/05/2023
3
Prof. Víctor Calagua Porras
MB
Matemática Básica
Prof. Victor Calagua Porras
4
N
ZQ I
RC
MB
02/05/2023Matemática Básica
5
A está contenido en B, si y sólo sí todo elemento de A está en B
NOTACIÓN : A B
Se lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA B
A
INCLUSIÓN
Simbólicamente: A B x: x A x B
02/05/2023Prof. Víctor Calagua PorrasMatemática Básica
Prof. Víctor Calagua Porras
6
139
77
9
A B
El conjunto “A unión B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o a B o a ambos conjuntos.
A B
A B x / x A x B
Ejemplo:
15
1113
3
5
4
2
2;3;4;5;7;9;11A B ;13;15
02/05/2023
MB
Matemática Básica
Prof. Victor Calagua Porras
7
76
55
6
A B
El conjunto “A intersección B” que se representa por A B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.
A B x /x A x B
Ejemplo:
= 1;2;3;4;5;6;7 y B = 5;6A ;7;8;10
10
87
3
1
4
2
B = 5 7A ;6;
02/05/2023Matemática Básica
Prof. Víctor Calagua Porras
8
76
55
6
A B
El conjunto “A menos B” que se representa por es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
A B
A B x /x A x B
Ejemplo: = 1;2;3;4;5;6;7 y B = 5;6A ;7;8;10
10
87
3
1
4
2
- B = 1;A 2;3;4
02/05/2023
MB
Matemática Básica
Prof. Víctor Calagua Porras
9
76
55
6
A B
El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se representa por es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A - B) o (B - A).
A B
A B x /x (A B) x (B A)
Ejemplo: 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;A 7;8;10
10
87
3
1
4
2
B 1;2;3;4A 8;10
02/05/2023
MB
Matemática Básica
También es correcto afirmar que:
A B (A B) (B A)
A B (A B) (A B)
A B
A- B B - A
A B
02/05/2023
10
Prof. Víctor Calagua Porras
MB
Matemática Básica
11
Dado un conjunto universal U y un conjunto A, se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.Notación: A’ ó AC Simbólicamente:
,A x /x U x AA’ = U - A
UAA’
El conjunto diferencia A – B se denomina también complemento de B respecto de A. CA B= {x/ x A x B}Ejemplo: U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9}y A ={1;3; 5; 7; 9}
A’={2;4;6,8}
12 3
45
6
78
9
U AA
02/05/2023Prof. Víctor Calagua Porras
MB
Matemática Básica
EJERCICIOS
02/05/2023Prof. Víctor Calagua Porras
12
1. Sean los conjuntos
Determine: a) los elementos de A b) los elementos de B
A x / – 6 x 7 y B x / 0 x 8 Z Z
c) (A B) d) (A B) e) B A f) B Ag) A B h) P(A B) i ) n(A B)
2. Sea ,
, determine
5. Si se cumple que:
¿cuántos subconjuntos propios tiene AB ?
A x 3 x 11 Z B x x 7 y N C 7,8,9,11 (B A) (A B) C
x 1A 1 x 17 y2
Z
x 1B 1 x 9; x2
Z
Conjuntos Numéricos
Matemática Básica
Matemática Básica
II Sistemas de los números Reales
Es un conjunto de números denotado por R con dos operaciones: Adición (+) y Multiplicación (.) y una relación de orden “menor que” (<) verificando los siguientes axiomas:
1) a, b R: a + b R y a.b R2) a y b R :
a + b = b + a y a.b = b.a
Cerradura
Conmutativa
MB
Prof. Víctor Calagua Porras 02/05/2023
13
14
3) a, b y c R: a+(b+c) = (a+b)+c y a(b.c) = (a.b)c
4) Elementos neutros.- ! 0 y 1 tales que, a en R: a+0 = a y a.1 = a
5)
6) Distributividad: a, b y c en R a(b+c) = ab+ac
11
a ! a / a ( a) 0 a 0 ! a / a.a 1
RR
RR
Asociativa
MB
Prof. Víctor Calagua Porras 02/05/2023Matemática Básica
15
O1) Tricotomía: a < b a = b a > bO2) Transitividad: Si a < b y b < c entonces a < cO3) Si a < b entonces a+c < b+c, c RO4)Si a<b y 0 < c entonces ac < bc
Axioma del Supremo: “Todo subconjunto de números reales superiormente acotada posee supremo”.
AXIOMAS DE ORDENOrden.-Los número reales es ordenado, por la relación “menor que” denotada por < ; y definida a continuación: a < b sí y sólo sí b-a>0
MB
Prof. Víctor Calagua PorrasMatemática Básica 02/05/2023
16
Propiedades1)aR , a.0= 0 = 0.a Demostrar2) aR , -a = (-1).a 3) a+b = a +c b=c Demostrar3) a,bR , a(-b)=(-a)b= -(ab)4) aR , -(-a) = a 5) a,bR , (-a)(-b)= ab
DEFINICIÓN 1.-Sustracción: Sean a y b R a-b=a+(-b)
Prof. Víctor Calagua Porras
MB
Matemática Básica
17
Definición 2. 1aSean a,b , b 0 abb
RPropiedades
1 1 1a,b ; ab 0 (ab) a1 b. Ra,b,c,d ; b 0 d 0
a c ad bc Demost
2
rarb d bd
.
R
1 Si a,b,x ;a 0
ax b 0 x a b
3.
R
Prof. Víctor Calagua Porras
MB
Matemática Básica
18
a,b 4 ab 0 a 0 . b 0 R2 2 a,b a b a b a b5. R
DESIGUALDADESa,b a b b a R
a,b a b a b a b R
a,b a b a b a b R
Definición 1.- Sean
Definición 2.- Sean
Definición 3.- Sean
Definición 4.- Sea a a positivo a 0 R
Prof. Víctor Calagua Porras
MB
02/05/2023Matemática Básica
19
Definición 5.- Sea a a negativo a 0 R
Definición 7.- Sean a, b R entonces a y b tienen signos distintos si y sólo si uno es positivo y el otro negativo.
Definición 6.- Sean a, b R entonces a y b tienen el mismo signo si y sólo si ambos son positivos o negativos.
Prof. Víctor Calagua Porras
MB
02/05/2023Matemática Básica
20
Víctor Calagua Porras
1. Demuestre a) 0 + x = x; b) 11a a, a 0 R -
EJERCICIOS
3. Si a,b , con ab 1, demuestre que a b 2 R
a c a6. Si a,b,c / 0 c a b, demostrar queb c b
R
a b4. Si 0 a b demuestre que a ab b2
MB
02/05/2023Matemática Básica
21
I. Abierto a, b = {x/ a < x < b}
[a, b = {x/ a x < b}
a, b] = {x/ a < x b}
I. Cerrado [a, b] = {x/ a x b}
b a
b a
b a
a b
III INTERVALOS Son subconjuntos de números reales que nos permite representar la solución de ecuaciones e inecuaciones
02/05/2023Prof. Víctor Calagua Porras
MB
Matemática Básica
Intervalos al infinito:
a, + = {x/ a < x < +} + a
- , b = {x/ - < x < b} - b
[a, + = {x/ a x < +}
+
-, b] = {x/ - < x b }
-
a
b
-, + = {x / x } =R R + +0
02/05/202322
Prof. Víctor Calagua Porras
MB
Matemática Básica
23
1. En el conjunto de los números reales, exprese los conjuntos dados como intervalos y grafique sobre la recta real.
a) A x / x 7 R b) B x / 6 x 8 R c) x / x 4 x 13 R d) x x 3 x 5 R /
e) x / x 1 13 x / x 12 R R f ) x / x 8 x / x 14 R R
3. Si , determine
xA x / 7,3 y B x / 7x 1,147
R R
cA B, A – B
MB
Prof. Víctor Calagua Porras 02/05/2023Matemática Básica
24
21 6 M x x x R
COTAS1.- Halle el mínimo número M tal que
2 21 6 ( 3) 10 x x x
2 2
2( 3) 0 ( 3) 0
( 3) 10 10
R Rx x x x
x
M 10mínimo
Solución.- Completando cuadrados se tiene,
.
Por propiedad,
Por tanto,
.
MB
Matemática Básica
02/05/2023Prof. Víctor Calagua Porras
25
4. Si , encuentre el menor número
b y el mayor número a tal que Adicional . Si , determine el
menor intervalo donde se halle 5 – 2x
x 22 3, xx 5
R
2. Si halle el mayor valor de m y el
menor M /
1 3x , ,2 2
2m x x 3 M
2 23. Sean a,b / a b 1, halle el mayor valor
de M que satisface a b M
R
x 1 9, 5 1 a,b
3x 7
Matemática Básica
IV INECUACIONES
Inecuación.- Es una desigualdad que contiene una o varias variables. En nuestro caso solamente consideraremos inecuaciones con una sola variable.
Inecuación polinomial.- Es toda desigualdad donde el primer miembro es un polinomio y el segundo miembro es el número real cero.
Es decir; toda expresión algebraica de la forma
2 n0 1 2 np(x) a a x a x ... a x
1 2 nCoeficientes : a ,a ,..., a n ; var iable : xa 0
p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0
Conjunto solución de una inecuación. Son todos los números reales que verifican la desigualdad.
MB
Prof. Víctor Calagua Porras 02/05/2023
26
Matemática Básica
INECUACION DE SEGUNDO Y TERCER GRADO
Cuando el grado del polinomio es igual a 2 ó 3,
las desigualdades
se llaman desigualdades de segundo ó tercer grado respectivamente.
p(x)
p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0, , ,
2ax bx c Observación Toda expresión polinomial cuadrática de la forma:
es irreducible si no se puede factorizar en factores lineales en R .
MB
Prof. Víctor Calagua Porras
2702/05/2023Matemática Básica
Observación .- Llamaremos puntos críticos de los polinomios 2p(x) ax bx c
3 2p(x) ax bx cx d
a 0 p(x) 0
,
con a las raíces de la ecuación
Método abreviado para resolver inecuaciones.-Para resolver las inecuaciones polinomiales y racionales por éste método se procede en la forma siguiente:1º) Se factoriza el polinomio ( ó polinomios) como producto de factores lineales y/o cuadráticos de la forma x – a . Los factores cuadráticos irreducibles se eliminan.
2º) Cada factor lineal se iguala a cero para hallar los puntos críticos
MB
Prof. Víctor Calagua Porras28
02/05/2023Matemática Básica
3º) Se ubican los puntos críticos sobre la recta real de menor a mayor o viceversa4º) Se determinan tantos intervalos como puntos críticos se obtengan y se etiquetan los intervalos de derecha hacia izquierda con signos en forma alternada hasta terminar. ó
5º) Se escribe el conjunto solución de la inecuación según la regla siguiente :
p(x) 0 x a) Si pertenece a la unión de intervalos abiertos con signos positivos b) Si pertenece a la unión de intervalos cerrados con signos positivos
p(x) 0 x
c) Si pertenece a la unión de intervalos abiertos con signos negativos
p(x) 0 x
d) Si pertenece a la unión de intervalos cerrados con signos negativos
p(x) 0 x
MB
x
Prof. Víctor Calagua Porras
x
x
x
29
02/05/2023Matemática Básica
30
2 5 6 0x x
Ejercicio 1.- Resolver la inecuación,
( 3)( 2) 0x x Solución.-
4)
2,3x
2
+
2) Los puntos críticos (p.c) son 2 y 3 . 3) Ubicamos los p.c. en la recta real y se tiene
3 +
5) Elegimos el intervalo que tiene el signo” – “
1) Factorizando:
2,3CS
MB
Prof. Víctor Calagua Porras 02/05/2023Matemática Básica
31
2 2 15 0x x
Ejercicio 2.- Resolver la inecuación,
( 5)( 3) 0x x Solución.-
4)
.
, 5 3,x
-5
+
2) Los puntos críticos (p.c.) son -5 y 3 . 3) Ubicamos los p.c. en la recta real y se tiene
3 +
5) Elegimos los intervalos con signo” + “
1) Factorizando:
, 5 3,CS
MB
Prof. Víctor Calagua Porras 02/05/2023Matemática Básica
32
Ejercicios:5. Exprese en forma de intervalos los conjuntos:
2 6Adicional. Resolver 2x 1 2x 1
3 2
3 2 2
3 2 3 2
3 2
a) x 2x x 2 0b) 2x 3x 11x 6 0 e) x (x 1) 6xc) x 5x 13x 7 0 f) 12x 4x 3x 1 0d) x 3x 13x 150 0
MB
a) A x / 3x 1 11x 17 R xb) C x / 5(x 1) 117
R3x 2 4 3x 5x 7c) D x /
5 2 3
R
d) E x / 2x 3x 7 8x 6 R7. Resuelva las siguientes inecuaciones en
:
Prof. Víctor Calagua Porras 02/05/2023Matemática Básica
33
3. El costo de producir x tarjetas de video por día está dado por . Si éstas se pueden vender a 140 nuevos soles cada una, ¿cuántas tarjetas deben producirse y venderse para obtener utilidades diarias de al menos 900 nuevos soles?
V APLICACIONES1. Se compra un número par de circuitos. Si se
vende la cuarta parte quedan menos de 118 por vender y si se vende la sexta parte quedarían más de 129 por vender, ¿Cuántos circuitos se compró?
MB
Prof. Víctor Calagua Porras
2C 300 70x x
02/05/2023Matemática Básica