Semana 7 estructuras

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

SEPARATA 7 ESTÁTICA (GEAF 204)

SEMESTRE 2013 – II

CONTENIDO: SEMANA 7

Análisis estructural

Armaduras simples métodos de nudos y método de secciones.

Armaduras espaciales.

AUTOR: Mg. Martín Sandoval Casas.


FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

ESTÁTICA (GEAF 204)

1. GENERALIDADES:

FUNDAMENTACIÓN DEL CURSO: La asignatura de Estática corresponde al área de formación profesional y es de naturaleza teórico – práctica y de carácter obligatorio. Esta asignatura tiene como propósito hacer comprender a los estudiantes que en toda estructura, así como en todos sus elementos que lo conforman deben considerarse tres conceptos importantes: equilibrio, estabilidad y resistencia. En este curso se tratan los dos primeros aspectos, es decir, que la estructura y sus partes componentes deben disponerse de tal manera que se asegure el estado de reposo con respecto a su base. COMPETENCIAS. Identifica los distintos tipos de estructuras de Ingeniería Civil que se presentan en la vida diaria en la práctica profesional. 2. INTRODUCCIÓN

Esta separata desarrolla los puntos contenidos en la programación del sílabo correspondientes a la octava semana: El análisis de estructuras es un tema muy importante en el desarrollo de la estática y en la formación de un ingeniero civil. El análisis estructuras se hace con la aplicación de la primera ley de Newton y la segunda condición de equilibrio. Al final el alumno podrá analizar estructuras en el plano y en el espacio, así como aplicarlas en casos reales y construir estructuras estables en forma experimental. 3. CONTENIDO

3.1. SEGUNDA UNIDAD: EQUILIBRIO CUERPOS RÍGIDOS Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Sem

an

a

Contenidos Capacidad Indicador de logro Actitudes Indicador de logro

7

Análisis estructural Armaduras: métodos de nodos y método de secciones. Armaduras espaciales.

Resuelve situaciones problemáticas sobre armaduras.

Resuelve problemas de armaduras planas y espaciales en una práctica dirigida.

Protege su entorno físico.

Respeta los espacios que permiten la libre circulación entre el mobiliario del aula, a fin de mitigar los riesgos en caso de evacuación.


ESTRUCTURAS

Las estructuras están en toda la naturaleza, en una telaraña, en el sistema esquelético, etc.

Trataremos de enfocar analizando las fuerzas internas de una parte de la estructura sobre otra parte

de la misma. Para determinar las fuerzas internas se dividirá la estructura y se realizará un DCL de

cada parte.

CLASIFICACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS.

1. Armaduras. Estas estructuras se diseñan para soportar cargas y prevenir el movimiento. Las

partes de la armadura se componen de piezas espigadas y rectas que se conectan en sus

extremos, formando juntas. Estas armaduras pueden ser planas o espaciales, dependiendo

la configuración de sus miembros. En este caso se considera solo fuerzas de tensión o

comprensión.

2. Marcos. Un marco se diseña para soportar cargas y prevenir el movimiento pero, a

diferencia de la armadura, tiene al menos un miembro con más de dos fuerzas actuando

sobre él. Esto significa que algunas partes del marco estará sujeto a los efectos de flexión y

torsión.

3. Máquinas. Es un ensamble de partes que trasmiten fuerzas y movimiento, es decir se

trasmite energía de un cuerpo a otro y por lo tanto se tendrá partes móviles.

ARMADURAS PLANAS

El análisis de armaduras se basa en que se supone que todos los miembros o partes de la armadura

son miembros de dos fuerzas. Un miembro es un elemento, recto y rígido que esta remachado a uno

o más elementos diferentes en conexiones llamadas juntas.

Tensión Compresión

Si hay equilibrio entonces Las fuerzas son iguales en magnitud pero opuestas en dirección.

El elemento constitutivo básico de toda armadura es el triángulo. Para mantener su forma y resistir

las grandes cargas que se apliquen, las armaduras han de ser estructuras rígidas, desde luego esto

no significa que la estructura no se deforme, experimentara deformaciones muy pequeñas, pero

mantendrá casi totalmente su forma. Las armaduras grandes se construyen a base de triángulos, a

estas armaduras se denominan armaduras simples.

La importancia de la armadura simple es que permite de manera sencilla la rigidez y resolubilidad de

la armadura. Sea m el número de miembros y n el número de nudos de la armadura, estos estarán

relacionados por:

m = 2n – 3 (1)

Fa Fa Fb Fb


Esta es la condición necesaria para garantizar que el número de ecuaciones a resolver (2n) es igual

al número de incógnitas a despejar (m fuerzas en los miembros más tres reacciones en los apoyos).

Esta relación solo es garantía para armaduras simples y planas. Una generalización de la ecuación

(1) es:

m = 2n – r (2)

Donde r es el número de reacciones en los apoyos.

CONSIDERACIONES DE ANÁLISIS

La armadura solo está cargada en los nudos.

Se desprecian los pesos de los miembros de la armadura.

MÉTODO DE NUDOS

Consideremos la siguiente armadura.

Veamos si cumple la condición de rigidez y resolución, vemos que son 5 miembros (m), cuatro

nudos (n) y tres reacciones en los apoyos

Según la ecuación (1) se tiene 5 = 2*4 – 3, por lo tanto la estructura es rígida y tiene solución.

El diagrama de cuerpo libre de la armadura es

Como la estructura se encuentra en equilibrio, entonces

podemos aplicar la primera ley de Newton y

obtenemos:

Aplicamos la primera ley de Newton en el eje x. 1 000 + Ax = 0, por lo tanto Ax = – 1

000 N, lo cual implica que su magnitud es 1 000 N y su dirección es opuesta a la elegida, es decir la

reacción Ax no apunta hacia la derecha, según lo hemos elegido en la figura, su correcta disposición

seria hacia la izquierda.

Aplicamos la primera ley de Newton en el eje y. Ay + By = 2 000 N

1 000 N

D

4 m

8 m

A B

C

2 000 N

1 000 N

D

4 m

8 m

A B

C

2 000 N

Ax Ay By


Aplicamos sumatoria de momentos en A. Los torques horarios los igualamos con los torques

antihorarios, entonces tenemos:

1 000 (4) + 2 000(8) = By(8), entonces By es 2 500 N y en la dirección mostrada.

Reemplazamos en la ecuación anterior y obtenemos Ay = – 500 N. El resultado implica que la

dirección de Ay es contraria a la elegida.

Si la estructura es un cuerpo rígido en equilibrio, entonces cada una de sus partes también lo estará.

El método de nudos consiste en desmontar la armadura y analizar cada miembro de la armadura y

cada pasador, para esto se debe realizar un correcto diagrama de cuerpo libre.

Si sacamos el miembro DC, tenemos:

En magnitud, podemos decir FCD = FDC, además serian fuerzas de compresión.

Si analizamos el nudo D, tenemos, según la tercera ley de Newton F’CD sería la reacción a la fuerza FCD que actúa sobre la barra CD.

Aplicando la primera ley de Newton al nudo D, se tiene que F’CD = 1 000 N y FAD es nula.

Si analizamos el nudo C, aplicamos la primera ley de Newton al eje x, se tiene:

1 000 N = FAC cos FAC = 1 118 N Analizamos el eje y y obtenemos:

2 000 N + FACsen = FBC FBC = 2 500 N Ahora analizamos el nudo B, si aplicamos la primera ley de Newton al eje x, de inmediato se obtiene que FAB es nula. Y si analizamos el eje y, obtenemos que By = 2 500 N. Finalmente analizamos el nudo A, y lo usamos para verificar nuestros resultados, cumple con todo lo encontrado. Finalmente podemos concluir que las barras AD y AB no soportan fuerzas, pero están listas a actuar en el caso que se apliquen fuerzas diferentes a las aplicadas, por ejemplo una carga vertical en el nudo D y actuaria la barra AD. Las barras BC y CD están sometidas a fuerzas de compresión y la barra AC está sometida a tensión.

FCD FDC

D 1 000 N F’CD

FAD

C 1 000 N

FBC

2 000 N

FAC

1

2

√

B FAB

By

FCB = 2 500 N

1 000 N

Ay

FDA = 0 N FCA

FBA = 0 N

A


MÉTODO DE SECCIONES

En el método de nudos se trata de descomponer todas las partes de la armadura y analizar uno a

uno los nudos, este proceso resulta trabajoso si queremos calcular alguna fuerza que esta por el

medio de la armadura. El método de secciones permite partir la armadura en dos partes, si el total

está en equilibrio, las partes o secciones también lo están.

Determínese la fuerza en el miembro EF de la armadura. Hacemos el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura.

En el eje x, la aplicación de la primera ley de Newton, nos da: Bx + 16 = 0 por lo tanto Bx = – 16 kN.

Esto significa que la dirección elegida no es la correcta, es decir, su dirección no es hacia la derecha

sino hacia la izquierda.

El análisis en el eje y, By + Jy = 56 kN.

Ahora aplicamos momentos con respecto a B, igualamos los momentos horarios y antihorarios.

28(8) + 28(24) + 16(10) = Jy(32) entonces Jy = 33 kN.

Reemplazamos en la relación anterior y obtenemos By = 23 kN.

Ahora realizamos cortes, para buscar las fuerzas pedidas.

28 kN 28 kN

A C E G I K 16 kN

10 m

8 m 8 m 8 m 8 m 8 m

J H F D

B

28 kN 28 kN

A C E G I K 16 kN

10 m

8 m 8 m 8 m 8 m 8 m

J H F D

B

Bx Jy By

28 kN 28 kN

A C E G I K 16 kN

10 m

8 m 8 m 8 m 8 m 8 m

J H F D

B

Bx Jy By


Analizamos la sección de la izquierda Si tomamos el punto E y evaluamos los torques, se

tiene:

28(8) + FFD(10) = 23(16) +16(10)

De donde FFD es 30,4 kN.

En el je x, podemos establecer que:

FFD +FFG = 16 N. 30,4 +FFG = 16 FFG = –14,4 N.

En el eje y, podemos establecer que:

By = 28 + FFE 23 = 28 + FFE FFE = –5 kN.

ARMADURAS ESPACIALES

Una armadura cuyos nudos no se encuentran todos en un plano, o los apoyos y cargas no son

coplanarios, estamos frente a una armadura espacial. El equivalente tridimensional del triángulo es el

tetraedro, las armaduras espaciales se construyen a partir de subunidades tetraédricas, ahora cada

nudo lleva tres miembros y la relación entre los nudos y el número de miembros es:

m = 3n – 6

Las armaduras espaciales simples son siempre rígidas, el método de análisis ya fue descrito en los

temas anteriores, es decir podemos aplicar la suma de momentos igual a cero y la suma de fuerzas

igual a cero.

28 kN

A C E

10 m

8 m 8 m 8 m

D

B 16 kN

By

FFE

FFG

FFD

23 kN

x

y

z

A

B

C

D

x

y

z

A

B

C

D


EJERCICIOS PROPUESTOS – ARMADURAS

1. Determínese la fuerza en el miembro GI de la armadura.

2. Determine la fuerza en la barra CD de la cercha tipo Fink mostrado. 3. Determine las barras de fuerza nula en la armadura mostrada.

D

E C

B

A

8 paneles de 1,5 m = 12 m

10 kN

10 kN

20 kN

20 kN

20 kN

2 m

G D

F

E C

B

A

K

J

I

H

M

L

N

O

P

Q

28 kN 28 kN

A C E G I K 16 kN

10 m

8 m 8 m 8 m 8 m 8 m

J H F D

B


4. Calcule la magnitud y calidad de los esfuerzos que se desarrollan en todas las barras. 5. Determínese las fuerzas en cada una de

las armaduras y establezca para cada miembro si se encuentra en tensión o en compresión.

6. Determínese los miembros de fuerza cero en la armadura siguiente. 7. Determínese la fuerza FH, GH y GI de la armadura del techo que se muestra en la figura.

60º

60º 60º 30º 30º

3 m 3 m 3 m

1 000 N 1 000 N

1 000 N 2 000 N

A

B

D

C

F

E G

1,5 m 1,5 m

A C B

1,6 kN

E

0,8 m

F

D

0,8 m

G D

F

E C

B

A

K

J

I

H

M

L

N

O

P

Q

1 kN

1 kN

1 kN

1 kN 1 kN

5 kN 5 kN 5 kN

8 m

6 secciones de 5 m = 30 m

A

C

B

E

D

G

F

I

H

K

L

J


8. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura e indique si los miembros están en tensión o compresión.

9. Determínese los miembros de fuerza cero en la armadura siguiente 10. En la armadura, todos los ángulos son de 90º o 45º:

a. Halle las reacciones externas. b. Halle los esfuerzos en las barras CD y FI.

1

2

3

4

6

5 7

8

10 kN

4 paneles a 3 m = 12 m

1 m

3 m

A B C D E

F H

G I J

K O

L M N

a a a a

a

a

P

Q

45º

2 2 T

3T T

2 m 2 m

A

B C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M


11. El panel pesa 600 N, halle las fuerzas en: GJ; CD y CF. 12. Halle las fuerzas (indicando tracción o compresión) en todas las barras de la armadura. 13. Para la armadura

mostrada. Determine los esfuerzos y calidad de las barras.

4 m

4 m

4 m

4 m

12 m

10 kN

10 kN

A

B

F

D

H

C

E

G

I

6 kN 3 kN 2 kN

0,5 m 0,5 m

0,25 m

0,25 m

A B C

D

K H G F E

J I

60 cm 60 cm 60 cm 60 cm

60 cm

UCV

140 cm

60 cm A

B C

D

E

F

G

H

I

J


1,2 m

1,4 m 1,5 m 1,0 m

0,3 m

0,4 m

0,7 m

2 800 N

1 3600N

B

A

C

D

H

F

G

E

2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m

3 m

A

B

D

G

K

N

M

C E H J L

F I

12 kN

6 kN

6 kN

1 000 N 2 000 N

3,0 m

1,8 m 5,4 m 1,8 m

3,0 m

A

D

F E C

B

14. Determine las fuerzas en BF y FE 15. En la siguiente armadura:

a. Calcule las reacciones. b. Determine la fuerza en la barra BE. c. Halle la fuerza en el miembro DE.

16. Halle las fuerzas en las barras EH, DG y JI


4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Riley W, Sturges L. Ingeniería Mecánica – Estática. Editorial Reverte, S.A. 2008.

Hibbeler, Russel; Mecánica Vectorial para Ingenieros Tomo I Estática Editorial Pearson Prentice Hill, 2004, Décima Edición.

Meriam,J.L., Kraige L.G. ; Mecánica para Ingenieros ESTATICA , Editorial Reverté S.A. University of California . 1998 , Tercera Edición

Shames, Irving; Mecánica para Ingenieros Estática Ed. Prentice Hill Cuarta Edición. 1998 Madrid.

Mc Gill, Mecánica para Ingeniería Estática, Grupo Editorial Iberoamerica, México D.F.

Sandor, Bela; Ingeniería Mecánica Estática, Segunda Edición, Editorial Prentice Hall, 2006.

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