SEMANA 31

GEOMETRÍA POLIEDROS

RUMBO AGRARIA Ciclo Anual 2014 Página 1

GEOMETRÍA poliedros SEMANA 31

POLIEDROS

Son aquellos sólidos cuyas superficies están formadas por

regiones poligonales planas.

Previamente:

A. Teorema de Euler

B. Cantidad de Aristas (A)

C1: Cantidad de caras de n1 lados

C2: Cantidad de caras de n2 lados

.

.

.

Ci: Cantidad de caras de ni lados

¿Cuáles de los siguientes sólidos son poliedros? ¿Por

qué?

POLIEDROS REGULARES

Son aquellos poliedros cuyas caras son regiones regulares

congruentes, y sus ángulos poliedros son congruentes.

Sólo existen 5 poliedros regulares: tetraedro regular,

hexaedro regular, hexaedro regular, octaedro regular,

dodecaedro regular e icosaedro regular.

1) TETRAEDRO REGULAR

2) HEXAEDRO REGULAR



3) OCTAEDRO, DODECAEDRO E ICOSAEDRO

REGULAR

PROBLEMAS

1. ¿Cuántos poliedros cuyas caras son triángulos equiláteros

existen?

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

2. Si la arista de un tetraedro regular es 3. Calcular su

altura.

a) 3 b) 3 6 c) 6

d) 6 /2 e) 6 /3

3. Si la arista de un tetraedro regular es 3 2 . Calcular su

altura.

a) 2 2 b) 2 3 c) 3

d) 2 e) 1

4. Calcular el volumen de un tetraedro regular de arista igual

a 6.

a) 18 b) 18 2 c) 18 3

d) 9 3 e) 4 2

5. Hallar el área total de un tetraedro regular, siendo la

suma de las longitudes de sus aristas 36cm.

a) 36 cm2 b) 6 3 c) 24

d) 36 3 e) 24 3

6. En un tetraedro regular, si el segmento que une los puntos

medios de dos aristas opuestas es MN, ¿cuánto mide el

lado del tetraedro regular?

a) MN 3 b) MN 2 /2 c) MN 2

d) MN 3 /2 e) 2/3 MN

7. De la figura, calcular el volumen del cubo si AC = 3 2

a) 9 u2 b) 9 3 c) 81

d) 27 e) 27 3

Tetraedro R. Hexaedro R. Dodecaedro R

Octaedro R Icosaedro R





Poliedro Regular

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

CForma

CaraV A

4 4 6

6 8 12

8 6 12

12 20 30

20 12 30

C

A



8. Calcule el volumen del cubo mostrado:

a) 64u2 b) 216 c) 144

d) 256 e) 116

9. En el cubo, calcular el área de la región sombreada:

a) 2a2 b) 4a2 2 c) 2a2 3

d) a2 3 e) a2 2

10. Hallar el perímetro de la región sombreada

sabiendo que la arista del cubo es igual a 7.

a) 14 2 b) 21 2 c) 28 2

d) 14 2 + 7 e) 7 2 + 14

11. Calcular el volumen de un tetraedro regular,

sabiendo que su área es igual a 18 3 m2.

a) 3m2 b) 9 c) 12

d) 9 2 e) 1

12. Calcular el área de la región sombreada.

a) a2 b) a2 3 c) 2a2 3

d) a2 3 /2 e) a2 3 /4

13. Calcular el área de la región sombreada si “O” es el

centro del cubo.

a) a2 2 b) a2 2 /2 c) a2 2 /4

d) a2 3 e) a2 3 /2

14. Calcular el área de la región sombreada, si el

volumen del cubo es 144 2 .

a) a2 2 b) a2 2 /2 c) a2 2 /4

d) a2 3 e) a2 3 /2

15. Calcular el área de la región sombreada si el

volumen del cubo es igual a 216 m3.

a) 6 2 b) 36 2 c) 9 2

d) 3 2 e) 2

16 u2

A

C

B

D

a

E



16. Un poliedro está formado por 4 triángulos y 5

cuadriláteros. Hallar el número de caras (C); vértices (V)

y aristas (A).

a) 6; 8; 10 b) 6; 8; 12 c) 12; 13; 15

d) 13; 14; 15 e) 9; 9; 16

17. Un poliedro está formado por 3 cuadriláteros y 8

triángulos. Hallar el número de caras (C); vértices (V) y

aristas (A).

a) 10; 18; 15 b) 12; 18; 9 c) 11; 9; 18

d) 13; 14; 15 e) 9; 18; 9

18. Un poliedro convexo está formado por 5 triángulos,

3 pentágonos y 2 cuadriláteros. Halle el número de

aristas.

a) 20 b) 19 c) 18

d) 17 e) 16

19. Sea un poliedro formado por 5 triángulos, 6

cuadriláteros y 3 pentágonos. Calcular la suma del número

de caras y aristas.

a) 52 b) 38 c) 44

d) 30 e) 41

20. Halle el número de vértices de un poliedro formado

por 4 triángulos, 8 rectángulos y 6 pentágonos.

a) 21 b) 18 c) 24

d) 30 e) 28

21. La longitud del segmento que une los puntos medios

de dos aristas opuestas de un tetraedro regular es de 2

cm. ¿Cuál es la longitud de su arista?

a) 1cm b) 2 c) 3

d) 2 e) 2 /2

22. En un tetraedro regular ABCD, cuya área de su

superficie es 16 3 cm2 , se ubica el baricentro “G” de la

cara ACD, luego se prolonga CG hasta “K”, tal que:

(KG) / (AD) = 2/ 3 . Calcule el área de la superficie BCK.

a) 4 3 cm2 b) 4 2 c) 8 3

d) 8 2 e) 6 2

23. En un tetraedro regular ABCD, se ubica el punto

“L” en la altura AH. Calcule la medida del ángulo diedro

formado por las caras BCD y BLD.

a) arctang ( 2 )

b) artang ( 3 )

c) arctang (2)

d) arccot ( 2 )

e) arccot ( 3 )

24. Se tiene un cubo ABCD – EFGH y un punto interior

en el cubo “P”, si:

(PA)2 + (PC)2 – (PB)2 = a2 . Hallar “PD”

a) a b) 2a c) a/2

d) 3a/2 e) 3a

25. Un poliedro que tiene 12 vértices y 21 aristas está

formado por “2p” triángulos, “c” cuadriláteros y “p”

pentágonos, todos convexos. Entonces “p” y “c” son,

respectivamente:

a) 1 y 8 b) 3 y 2 c) 2 y 5

d) 3 y 4 e) 4 y 1

26. Las longitudes de los lados del paralelepípedo están

en relación de 1, 2 y 3. Si su volumen es 48 m2, calcule su

área total.

a) 72m2 b) 88 c) 44

d) 176 e) 48

27. Calcula la diagonal de este ortoedro:

a) 2 2 b) 3 2 c) 2

d) 3 e) 9



28. ¿Cuál es el precio de una caja de embalaje 60cm x

40cm x 50 cm si la madera cuesta a razón de 50 nuevos

soles / m2.

a) s/.37 b) 148 c) 74

d) 84 e) 72

29. Las áreas de tres caras de un paralelepípedo son

6u2, 12u2 y 8u2. Calcule el valor de su volumen.

a) 48u3 b) 32 c) 56

d) 24 e) 36

30. En la figura OABC es un tetraedro regular,

AT = 3 (TO) = 6 . Hallar el área de la región triangular

BTC.

a) 24m2 b) 30 c) 20

d) 36 e) 22



9 10

SEGMENTO

Porción de línea recta limitada por dos puntos llamados

extremos del segmento.

: se lee, segmento AB

MEDIDA DEL SEGMENTO

Número de veces de una unidad de longitud.

m ó AB: se leen, medida del segmento AB

Ejemplo:

AB = 8

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Punto del segmento que equidista de los extremos.

Si “M” es punto medio del , entonces: AM = MB = a.

SEGMENTOS CONGRUENTES

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.

Donde AB CD nos señala que AB y CD , son

congruentes. La notación aquí mostrada indica que AB = CD.

OPERACIONES DE LONGITUDES DE SEGMENTOS

Para el gráfico

Suma: AB +BC + CD = AD Resta: AB = AD – BD

Multiplicación: AC = 5CD División: 2

BDAB

PROBLEMAS

31. En una recta se ubican los

puntos consecutivos A, B, C y D tal

que 3(AC) = 7(CD).Calcular BC, si:

7(BD) – 3(AB) = 50

a) 7, 5 b) 10 c) 25

d) 12, 5 e) 5


puntos consecutivos A, B, C, D y E

tal que AC = 3BD, AB = DE y AE –

5BC = 28.Calcular CD.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5



tal que BC = DE y AB =

2CD.Calcular BD, si

AD + 2DE = 24.

a) 8 b) 6 c) 12

d) 9 e) 15

34. Sobre una recta se dan los

puntos consecutivos A, B, C y D.

Hallar AD, sabiendo que AB + AC =

10 m, AD = 4CD y AC – AB = 2

m.

a) 8 m b) 6 m c)4 m

d) 2 m e) 0

35. Sobre una recta se tiene los

puntos consecutivos A, B y D. Entre

B y D se toma un punto C, tal que

3CDAC . Determinar BC

sabiendo que: BD = 5AB = 20.

a) 1 b) 2 c)4

d) 3 e) 5

36. Sobre una recta se dan puntos

consecutivos A, B y C. Hallar 22

BMAM , sabiendo que: AB x

AC = 16 m2 y que M es punto medio

de BC.

a) 16 m2 b) 14 m2 c) 12 m2

d) 10 m2 e) 8 m2

37. Sobre una línea recta se

consideran los puntos consecutivos

A, B, C y D; de modo que: AC = 24

m y BD = 30 m. Hallar la longitud

del segmento que une los puntos

medios de AB y CD .

a) 21 m b) 23 m c) 25 m

d) 27 m e) 30 m

38. Se tiene los puntos colineales P, M,

Q, N, R y S. Tal que M y N son

puntos medios de PR y QS . Hallar

MN . Si: 7PQ , 5RS .

a) 3 b) 12 c) 2

d) 6 e)

39. Sobre una recta se ubican los puntos

consecutivos P, Q, R y S tal que

10QRPS . Hallar la longitud del

segmento que une los puntos medios

de PR y QS .

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 5

40. Sobre una línea recta se consideran

los puntos consecutivos A; B, C y D; de

modo que:

AB . BD + AC . CD = AD . BC y

AB . CD = 8m2. Hallar BC.

a) 1 m b) 2 m c) 3 m

d) 4 m e) 5 m


los puntos consecutivos A, B, C, M; tal

A B C D



que: AB + AC = 10 m; AC –

AB = 2m y AM = 4.CM. Hallar AM.

a) 4, 5 m b) 5 m c) 8 m

d) 10 m e) 12 m


los puntos consecutivos A, B, C y D; de

manera que:

2.AB = CD; AM = 14 m. Hallar BD. Si:

M punto medio de BC .

a) 28 m b) 25 m c) 30 m

d) 35 m e) 36 m

43. Sobre una recta se toman los puntos

consecutivos A, B, C y D. Si AC = 2 y

BD = 3, hallar CD – AB.

a) 0,5 b) 1 c)2

d) 1,5 e) 3


consecutivos A, B, C y D. Hallar BC

sabiendo que: AD = 18 cm y MN = 13

cm, siendo M y N puntos medios de

AB y CD respectivamente.

a) 4 cm b) 8 cm c) 5cm

d) 6 cm e) 10,5 cm

45. En una recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C y D, tal que:

4(AB) – BD – 2(CD) = 4, AB = 3 y

AC = 5. Calcule la longitud del

segmento que une los puntos medios de

AB y AD .

a) 3,5 b) 1,5 c) 2,5

d) 2 e) 3

46. Sobre una recta se tienen los puntos

consecutivos P, Q, R y S, tales que:

5

RS

4

QR

3

PQ y 2(PQ) + 5(QR) +

8(RS) = 132 u. Hallar PQ.

a) 2 b) 6 c)4

d) 8 e) 10


consecutivos P, Q, R y S. Hallar PR

sabiendo que QR = RS y

PS2 – PQ2 = 12QS.

a) 3 b) 5 c)7

d) 6 e) 8

48. Sean los puntos colineales A, B, C y

D, de manera tal que: 5

CD

8

BD ;

además AC = 6 y AB = 4. Calcular AD.

a) 28 b) 3 c)3/28

d) 28/3 e) 2

49. Se tiene los puntos colineales A, B,

C, D, y E; situados de tal forma que

AC + BD + CE = 45; 2

3

BDAE

Calcular “AE”

a) 9 b) 12 c)18

d) 27 e) 30


consecutivos A, B, C, D, E, y F de modo

que:3AF = 7BE = 10CD

AC + BD + CE + DF = 50.

Calcular CD

a) 0,5 b) 4,5 c)6,5

d) 8,5 e) 10,5

51. Se dan los puntos consecutivos A, B,

C, D y E sobre una recta, si se cumple

que: BEAD = 20 y además 3

AEBD

calcular BD .

a) 3 b) 5 c)6

d) 8 e) 9

52. Se tiene los putos consecutivos y

colineales: R,U,M,B,O tales que:

RM=UB, UM=BO/3 y

3RU/2+BO =36. Calcular RO

a) 18 b) 27 c)24

d) 36 e) 48

53. P,Q,R,S y T son puntos consecutivos

y colineales de una recta, Q biseca a

PT, PR=3RS, QS=12 y PT=40. Hallar

QR.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 12

54. Sobre una recta se ubican los


tal que AD + BE = 111 y

9754

DECDBCAB .

Calcular CE.

a) 24 b) 30 c)45

d) 48 e) 32


los puntos consecutivos M, N, P, Q

de modo que:

PQ = 3.NP y 3.MN + MQ = 4m.

Hallar MP:

a) 1 m b) 1,5 m c) 0,5 m

d) 0,2 m e) 2 m


los puntos consecutivos A, B y C;

luego se toma el punto medio M de

BC . Hallar AM. Si: AB + AC = 14 m.

a) 3 m b) 4 m c) 5 m

d) 7 m e) 9 m


los puntos consecutivos A; B, C, D y

E. Calcular la longitud del segmento

que une los puntos medios de AB y

DE . Si: CE = 8 m, BD = 12 m y AC =

10 m.

a) 16 m b) 12 m c) 7 m

d) 15 m e) 18 m

58. Se tienen los puntos consecutivos

A, B, C y D, siendo “B” punto medio

de AC .

Calcular AB , si: 34ACBD y

22AD .

a) 3 b) 4 c)5

d) 6 e) 12

59. Sobre una recta se tienen los

puntos consecutivos A, B, C, D, y E

si: 6DE

5CD

3BC

2AB ;

además: 64AE .Calcular: BC

a) 12 b) 10 c)9

d) 15 e) 8


consecutivos A, B, C, D y E tal que:

DE

1

CD

6

BC

5

AB

3 ;Además:

75AE ; Calcular: CD

a) 30 b) 20 c) 10

d) 15 e) 12




consecutivos A, B, C, D y E de tal

manera que: AB = BC/2 = CD/3 =

DE/4.Si AC = 6 m, calcular AE.

a) 40 m b) 20 m c)45 m

d) 30 m e)35 m

62. Se tiene los puntos colineales A, B,

C y D. Hallar BC sí ;AC=BD=6

10AD .

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

63. se toman los puntos colineales A, B,

C y D siendo M y N puntos medios

de AB y CD . Hallar AD; si 8MN

y 3BC .

a) 11 b) 12 c)13

d) 14 e) 15


consecutivos M, O, A, y B de modo

que: 6OA y 7OB . Hallar MO

y además 5)MB(2)OA(4MA

a) 9 b) 11 c)13

d) 15 e) 16


consecutivos A, B , C y D . Hallar AD

, si: 60AC ; 140CDAD

a) 80 b) 100 c) 170

d) 160 e) 180

66. Sean los puntos consecutivos A, B, P,

Q, sobre una recta, donde:

AQ1

AP1

AB2

Calcular AB, si AP = 3 y AQ = 5.

a) 15/4 b) 15/2 c)15

d) 7, 5 e) 0

67. Se tienen los puntos consecutivos A,

B, C , D y E. Hallar AB si: 24AE ,

AB2DE ; 36CEBDAC

a) 4 b) 8 c)12

d) 16 e) 18

68. Dados los puntos colineales A, B, C, D

y E ubicados en ese orden. Si:

BCAB ; DECD ; 10BD y

16BE . Calcular AD

a) 5 b) 10 c)11

d) 14 e) 22


consecutivos A, B, C, D y E tal que:

18CEAB ; 16CDBE ;

14DEAE .Hallar: AE

a) 18 b) 20 c)24

d) 28 e) 30


consecutivos A,B,C,D. de modo que

AB=3BC=3CD y (AC)(AB)=48.Hallar

CD

a) 6 b) 4 c)3

d)5 e) 2

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