Semana 2 - Lecciones New

7/18/2019 Semana 2 - Lecciones New

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CIRCUITOS COMBINACIONALES.1Elena Valderrama

Universidad Autónoma de Barcelona



2 .11. Circuitos combinacionales

Circuitos digitales que implementan una o varias funciones de conmutación, y tales que

las salidas

del

circuito

en

cada

instante

de

tiempo

dependen

única

y exclusivamente

de

las

.

combinacional

combinacional ……

2



2 .11. Circuitos combinacionales

Sumador de números de números de 4 cifras binarias (4 bits)

Sumador números

de 4 bits

s <= X + Y + acarreoIN;

if s > 1111 then Z <= s ‐ 10000; acarreoOUT <= 1;

else Z <=

s;

acarreoOUT <=

0;

end if ;

(Operaciones en base‐2) 3



2.1 Síntesis a partir de una tabla: Memoria ROM2 .1

Sumador números

de 4 bits

= IN

if s > 1111 then Z <= s ‐ 10000; acarreoOUT <= 1;

else Z <= s; acarreoOUT <= 0;

4



TABLA DE VERDAD 2 .1

….….

5



TABLA DE VERDAD

d e 5

b i t s

a b r a s ( 5 1 2 )

M

d e 2 9 p a….….

R



2.1 Síntesis a partir de una tabla: Memoria ROM2 .1

CC de n entradas y m salidas ROM de 2n palabras de m bits por palabra

n

Circuito

m bits

…

combinacional ……

… … habitualmente ineficiente !

7



2 .1PREGUNTA

¿Cuál

debería

ser

el

tamaño

mínimo

(número

de

palabras

y

número

de

bits

por

palabra

de una ROM ue im lementase un circuito combinacional de 8 entradas 16 salidas?

1. 23 palabras de 16 bits. pa a ras e s

3. 24 palabras de

8 bits

4. 216 palabras de 8 bits

8



2.2 Síntesis a partir de una tabla: Puertas lógicas2 .1

xi yi

Sumador 1 bit acarreo IN acarreoOUT

Sumador números

de 4 bits

z i

x3 y3 x2 y2 x1 y1 x0 y0

Sumador 1 bitacarreoOUT

Sumador 1 bit

Sumador 1 bit

Sumador 1 bit acarreo IN

z 3 z 2 z 1 z 0

9



2 .1

Sumador 1 bit

xi yi

acarreo IN acarreoOUT

i o

z i

s = xi yi ci;

if s = 0 then

zi <=

0;

co =

0;

elsif s = 1 then zi <= 1; co <= 0;

elsif s = 2 then zi <= 0; co <= 1;

else zi <= 1; co <= 1;

end if ;

end if ;

end if ;

10




Sumador

xi yi

1 bit cico

z i

xi y

i c

i c

o z

i

0 0 0 0 0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1 0

0

0

1

1 0

1

1

0

1 1

0

1

0

1 1

1

1

1

11




x xSumador

xi yi

cc

y z

y x z 1 t

z i x y z x y z x y

xi yi ci co z i

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 0

0 1

1 0

0 0

0 1

1 0

0

1

AND OR

0 1

1

1

0

1 0 0 0 1

1 0

1

1

0

1 1 1 1

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

12




Sumador

xi yi

cc1 t

z i

xi yi ci co z i

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1

1

1

0

1 0 0 0 1

1 0

1

1

0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

13




Sumador

xi yi

cc1 t

z i

xi yi ci co z i

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1

1

1

0

1 0 0 0 1

1 0

1

1

0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

14



2 .1

utilizando el menor número posible de puertas

ÁLGEBRA DE BOOLE

15



E ercicio2 .1

Diseñar

con

puertas

lógica

la

salida

z i del

sumador

de

1

bitSumador

xi yi

1 bit cico

z i

xi yi ci co z i

0 0 0 0 0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1 0

0

0

1

1 0

1

1

0

1 1

0

1

0

1 1

1

1

1

16



Solución del e ercicio ro uesto2 .1

Sumador

xi yi

Diseñar con puertas lógica la salida

z i del sumador de 1 bit

1 bit cico

z i

xi yi ci co z i

0 0 0 0 0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1 0

0

0

1

1 0

1

1

0

1 1

0

1

0

1 1

1

1

1

17




Sumador

xi yi

cc1 t

z i

xi yi ci co z i

0

0

0

0

0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0

1

1

1 0

1 0 0 0 1

1

0

1

1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

18



RESUMEN2 .1

Circuitos combinacionales

Diseño de circuitos combinacionales utilizando memorias ROM tablas

Primer intento de diseño utilizando puertas lógicas

19



2 .1

20



ÁLGEBRA DE BOOLE.2Elena Valderrama




2 .21. Álgebra de Boole

Un álgebra de Boole un conjunto finito de elementos sobre el cual se han definido dos

.

El álgebra de conmutación(*) es un álgebra de Boole en el que el conjunto de elementos se

limita a {0,1}

operaciónoperación B ,,1,0

(*) En el ámbito de los sistemas digitales se trabaja con álgebras de conmutación, aunque se utiliza el nombre genéricos de

álgebra de Boole.22




P 1 ‐ Las operaciones + y . son internas, Bba y Bba Bba ,,

‐ , ,,

P 3 – Existencia del elemento inverso, 0,1|, aaaa Ba Ba

P 4 ‐ Las operaciones son conmutativas, abbaabba ,

P 5 ‐ Las operaciones son distributivas, )()(,)( cabacbacabacba

23




La única manera de definir las operaciones suma_lógica y producto_lógico de forma que

cumplan los

5 postulados

es

…

a b a+b a.b

0 0

0

0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 1 1

24




)()(,)( cabacbacabacba

25



2 .22. Propiedades útiles del álgebra de Boole

1 ‐ Elemento inverso, 01,10

2 ‐

Idempotencia,

aaaaaa ,

aaa ,,

aaaa Ba 1,0,

0,1|, aaaa Ba Ba

‐

P2 ‐

P3 ‐

abbaabba ,


P4 ‐

P5 ‐

26



2 .2

Demuestra que aaa

,

anteriormente

aaa ,,

aaaa Ba 1,0,

0,1|, aaaa Ba Ba

‐

P2 ‐

P3 ‐

abbaabba ,


P4 ‐

P5 ‐

27



2 .2

Demuestra que aaa

,

anteriormente

aaa ,,

aaaa Ba 1,0,

0,1|, aaaa Ba Ba

‐

P2 ‐

P3 ‐

abbaabba ,


P4 ‐

P5 ‐

28



2 .22. Propiedades útiles del álgebra de Boole

1 ‐ Elemento inverso, 01,10

2 ‐

Idempotencia,

aaaaaa ,

3 ‐ Involución, aa

4 ‐ Asociatividad, cbacbacbacba )..().(,)()(

5 ‐

Absorción,

abaaabaa )(,.

6 ‐ (sin nombre), babaababaa .)(,.

7 ‐ de Morgan,

8 ‐

de

Morgan

generalizada,

babababa .,.)(

nnnn aaaaaaaaaaaa .......,....)...( 21212121

29



2 .2PREGUNTA

A qué expresión booleana es equivalente la siguiente: bacd ba .)(

1. d cbba ..

2.

3.

4. d bcbba ...

ba.

d cbba ..

30



2 .23. Funciones booleanas y tablas de verdad

a) Toda función booleana puede representarse explícitamente por una tabla de verdad

acca ..,,

a b c f(a,b,c)

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

31




b) Dada una tabla de verdad ¿podemos encontrar una función booleana equivalente?... La respuesta es SI

LITERAL

ua qu e va a e o su e emen o nve so : ...,,,,,, ccaa

MINTERM de n variables

Cualquier producto de n literales tal que cada variable aparece una sola vez. Para n=3, los siguientes términos son minterms :

...,..,..,..,..

32




MINTERM de n variables : Cada minterm toma el valor 1 para una única combinación de

valores

a b c

0 0 01.. cba cbam ..0

0 1 0

0 1 1

..

1.. cba1.. cba

cam ..1

cbam ..2 cbam ..3

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1.. cba

1.. cba

1.. cba

cbam ..4

cbam ..5

cbam ..6

1 1 11.. cba cbam ..7

33



PREGUNTA

Indica cuál de las siguientes expresiones corresponde al minterm‐5 (m5 )en n=4:

1. d cba ...

2.

3.

4. d cba ...

cba ..

d cba ...

34

0 1 0 1




MINTERM de una función booleana de n variables

Son aquellos

minterms que

coinciden

con

los

1s

de

la

función

a b c f(a,b,c)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

35




Representación canónica en suma de productos de una función booleana de n variables

Toda función booleana puede representarse

de una manera única como la suma de sus minterms

a

b

c

f(a,b,c)

0 0 0 0

cbam ..2 cbam ..3

cbacbacbacba f

mmmcba f

......),,(

),,(),,( 632

0

1 0 1

0 1 1 1

cbam ..6

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

36




if ((b=1 and c=0) or (a=0 and b=1)) then f=1;

else f=0;

end if

a b c f(a,b,c)

cbbaaacbccba

cbacbacbacba f

..).(.)(.

......),,(

0 0 0 0

0 0 1

0

0 1 0 1

cbacbacbacba f

mmmcba f

......),,(

),,(),,( 632

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0

1

1 1 1 0

37



2 .24. Ejemplo: Sumador binario de nºs de 4 bits

xi yi

Sumador 1 bit acarreo IN acarreoOUT

Sumador números

de 4 bits

z i

x3 y3 x2 y2 x1 y1 x0 y0

Sumador 1 bitacarreoOUT

Sumador 1 bit

Sumador 1 bit

Sumador 1 bit acarreo IN

z 3 z 2 z 1 z 0

38



2 .24. Ejemplo: Sumador binario de nºs de 4 bits

Sumador

xi yi xi yi ci co z i

0

0

0

0

0

0 0 1 0 1

1 bit cico

z i

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

.

39



RESUMEN2 .2

Álgebra de Boole. Postulados y propiedades.

Re resentación tabular de funciones booleanas

Concepto de minterm y forma canónica de suma de productos

Cómo obtener el circuito que implementa una descripción funcional particular

escr pc n unc ona a a e ver a unc n es oo eana s c rcu o

40



NAND, NOR, XOR, NXOR, TRI-STATE.3Elena Valderrama




2 .31. NAND, NOR

Símbolos algebraicos: a b a↑b a↓b

0 0 1 1

NAND(a, b) = a b,

NOR(a, b) = a b.

0 1

1

0

1 0 1 0

1 1 0 0

42



2 .31. NAND, NOR

Las puertas lógicas NAND y NOR son módulos universales

43

_



2 .3

¿Cómo implementarías una AND con puertas NOR e inversores?

1.

2.

3.

44



2 .3

¿Cómo implementarías el circuito siguiente utilizando sólo puertas NAND?

45



2 .3

¿Cómo implementarías el circuito siguiente utilizando sólo puertas NAND?

46



2 .32. XOR, NXOR

a b XOR XNOR

:

XOR(a, b) = a b,

XNOR(a, b) = (a b)

0 0 0 1

0 1 1 0

1 0 1 0

XOR = OR

exclusiva

47

Las puertas lógicas XOR y NXOR no son módulos universales



2 .32. XOR, NXOR Las puertas lógicas XOR son asociativas

a b c z

0 0 0 0

0 0 1 1

1

0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

a b c

z a

b

c

z ≈

b

c

a

z ≈

0

1

0

1

1 1 0 0

1 1 1 1n) … n) … n) …

…

1

0

Las puertas lógicas NAND y NOR no son asociativas

48

≠



2 .32.1. XOR, NXOR Ejemplos de uso: Comparador de igualdad

If ((x3=y3) and (x2=y2) and (x1=y1) and (x0=y0)) then z=1; else z=0; end if ;

49



2 .32.2. XOR, NXOR Ejemplos de uso: Bits de paridad (par)

50



2 .32.3. XOR, NXOR Ejemplos de uso: Sumador de números de 4 bits

Sumador

x3 y3

acarreoSumador

x2 y2

Sumador

x1 y1

Sumador

x0 y0

acarreo

z 3

z 2

z 1

z 0

51




52




x y

Suma

1 bitSuma

1 bitco ci

x y

z

co

ci

53

z




Sumador

x3 y3

acarreoSumador

x2 y2

Sumador

x1 y1

Sumador

x0 y0

acarreo

z 3

z 2

z 1

z 0

54



2 .33. BUFFER TRI‐STATE, INVERSOR TRI‐STATE

c c x z

0 0 H

0 1 H z

c

1 0 0

1

1

1

x z

c x z

0 0 H

0

1

H

1 0 1

1 1 0

55




cc x z

0 0 0

z

c

0 1 1

1 0 H

1 1 H

x z

c x z

0 0 1

0 1 0

1 0 H

1 1 H

56




C 1 C 2 C K

x1 x2 x3 .. xn y1 y2 y3 .. yn z 1 z 2 z 3 .. z n

Si C 1=0 X bus; si C 2=0 Y bus; ... C n=0 Z bus

o una

se a

i est

act va

i =

en

ca a

nstante

e t empo

57



2 .3nombre símbolo función

OR

INV

NAND

NOR

XNOR

Tri-state

58



RESUMEN 2 .3

NAND, NOR. Concepto e módulo universal.

XOR NXOR

Buffers tri‐state. Bus.

59

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