Semana 14 de Matematica Unidad II Cónicas Versión PDF

MATEMTICA

UNIVERSIDAD DE EL SALVADORCurso de Nivelacin 2014

Universidad de El Salvador, Derechos Reservados ersidad de El Salvador, Derechos Reservados

Universidad de El Salvador, Derechos Reservados 2013

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR CURSO DE NIVELACIN PARA NUEVO INGRESO 2014

MATEMTICA

CURSO DE MATEMTICA EN LNEA

Contenido CNICAS .............................................................................................................................................. 1

LA CIRCUNFERENCIA ....................................................................................................................... 1

Ecuacin general de una circunferencia ..................................................................................... 3

LA ELIPSE ......................................................................................................................................... 5

RELACIONES ENTRE EL SEMIEJE MAYOR, EL SEMIEJE MENOR Y LA MITAD DE LA DISTANCIA

FOCAL .......................................................................................................................................... 6

DEDUCCIN DE LA ECUACIN ORDINARIA DE LA ELIPSE ........................................................... 7

LA PARBOLA ................................................................................................................................ 11

Parbolas con eje de simetra horizontal. ................................................................................. 11

Parbolas con eje de simetra vertical ...................................................................................... 13

LA HIPRBOLA ............................................................................................................................... 15

ASINTOTAS DE LA HIPRBOLA ................................................................................................... 15

EXCENTRICIDAD ......................................................................................................................... 16

RELACIN ENTRE EL SEMI-EJE TRANSVERSO, EL SEMI-EJE CONJUGADO Y LA MITAD DE LA

DISTANCIA FOCAL ...................................................................................................................... 16

DEDUCCIN DE LA ECUACIN ORDINARIA DE UNA HIPRBOLA DE EJE TRANSVERSO

HORIZONTAL ............................................................................................................................. 17

ECUACIN ORDINARIA DE LA HIPRBOLA DE EJE TRANSVERSO VERTICAL .............................. 19

GEOMETRA ANALTICA ................................................................................................................. 21

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ............................................................................................... 21

DISTANCIA DIRIGIDA ................................................................................................................. 22

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA ........................................................................... 22

PLANO CARTESIANO .................................................................................................................. 23

FORMULA DE LA DISTANCIA...................................................................................................... 24

PUNTO MEDIO ........................................................................................................................... 25

RECTAS EN EL PLANO .................................................................................................................... 26

PEDIENTE DE UNA RECTA .......................................................................................................... 26

ECUACIONES DE RECTAS ........................................................................................................... 28

1 Universidad de El Salvador, Derechos Reservados 2013


MATEMTICA

CNICAS

LA CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan (igual distancia)

de un punto fijo. El punto fijo es el centro de la circunferencia, y la distancia entre el centro y un

punto de la circunferencia es su radio

c: centro

r: Radio

p: Punto de la circunferencia

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 22

, p e ro ,

E c u a c i n o rd in a r ia d e la c irc u n fe re n c ia

, C o o rd e n a d a s d e l c e n tro .

C P x h y k C P r

r x h y k

r x h y k

h k

= - + - = \

= - + -

= - + -



MATEMTICA

( ) ( )2 2

E je m p lo :

1 ) D a d a la e c u a c i n d e la c irc u n fe re n c ia : 3 + 4 2 5 , c a lc u le

la s c o o rd e n a d a s d e l c e n tro y la lo n g itu d d e su ra d io .

x y+ - =

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2 2

S o lu c i n :

S e t ie n e :

, e n to n c e s

3 4 5 p o r ta n to

3, 4 , 5

x h y k r

x y

h k r

- + - =

- - + - =

= = =

2 ) S i u n a c irc u n fe re n c ia t ie n e su c e n tro e n e l p u n to (-3 ,4 ) , y u n p u n to P

d e lla e s (-1 ,2 ) . E sc rib a su e c u a c i n .

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2

22 2

2 2

3, 4 , 1, 2

1 3 2 4

4 4

8 8 , P o r ta n to

3 4 8

3 4 8

h k x y

C P x h y k

r

r

x y

x y

= = = - =

= - + -

= - - - + -

= +

= =

- - + - =

+ + - =



MATEMTICA

Ecuacin general de una circunferencia

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 0

2 2 0

s i 2 , 2 y

S e t ie n e :

0 E c u a c i n g e n e ra l

x h y k r

x h h x y k k y r

x y h x k y h k r

A x A y hA x kA y A h k r A

hA D kA E A h k r F

A x A y D x E y F

- + - =

+ - + + - =

+ - - + + - =

+ + - + - + + - =

- = - = + - =

+ + + + =

2 2

E je m p lo : C a lc u le la s c o o rd e n a d a s d e l c e n tro y la lo n g itu d d e l ra d io

d e la s ig u ie n te c irc u n fe re n c ia .

4 4 2 0 1 6 3 7 0x y x y+ + - + =

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

2

S o lu c i n :

4 2 0 4 1 6 3 7

4 2 0 4 1 6 3 7

5 5 4 44 2 0 4 1 6 3 7

2 2 2 2

2 5 2 54 2 0 4 1 6 4 4 3 7

4 4

5 2 54 4 2 4 3

2 4

x x y y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

+ + - = -

+ + - = -

+ + - + - + - = -

+ + - + - + - = -

+ - + - - = -

7



MATEMTICA

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

54 2 5 4 2 1 6 3 7

2

54 4 2 3 7 2 5 1 6

2

54 4 2 4

2

52 1

2

5, 2 , 1

2

x y

x y

x y

x y

h k r

+ - + - - = -

+ + - = - + +

+ + - =

+ + - =

-= = =

Ejercicio. Las siguientes ecuaciones Son ecuaciones de una circunferencia?

2 2

2 2

1) 8 6 2 5 0

2 ) 2 4 9 0

x x y y

x y x y

- + + + =

+ - + + =

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

S o lu c i n :

1) 8 6 2 5

8 1 6 1 6 6 9 9 2 5

4 1 6 3 9 2 5

4 3 2 5 1 6 9

4 3 0

R / L a e c u a c i n n o e s d e u n a c irc u n fe re n c ia , re p re s e n ta e l p u n to (4 ,-3 )

x x y y

x x y y

x y

x y

x y

- + + = -

- + - + + + - = -

- - + + - = -

- + + = - + +

- + + =



MATEMTICA

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 ) 2 4 9

2 1 1 4 4 4 9

1 1 2 4 9

1 2 9 1 4

1 2 4

R / L a e c u a c i n n o e s u n a c irc u n fe re n c ia (e l ra d io 4 n o e s re a l) .

x x y y

x x y y

x y

x y

x y

- + + = -

- + - + + + - = -

- - + + - = -

- + + = - + +

- + + = -

-

LA ELIPSE Una elipse es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que

la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos.

Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La elipse es simtrica respecto de dos rectas perpendiculares.



MATEMTICA

F F ' : D is ta n c ia fo c a l.

V V ' : E je m a y o r

A A ' : E je m e n o r

F F ' F F 'E X C E N T R IC ID A D = , E =

E J E M A Y O R V V '

C o m o P y V p e r te n e c e n a la e lip s e , s e t i e n e :

P F ' P F V F ' V F

P o r s im e tr a : V F V 'F ' , e n to n c e s

P F ' P F V F ' V 'F ' V V ' , e s d e c ir

P F ' P F E J E M A Y O R

+ = +

+

+ = + =

+ =

RELACIONES ENTRE EL SEMIEJE MAYOR, EL SEMIEJE MENOR Y LA MITAD DE LA DISTANCIA FOCAL

2 2 2 2 2 2 2 2 2S e o b s e rv a q u e c b a c a b b a c+ = = - = -



MATEMTICA

DEDUCCIN DE LA ECUACIN ORDINARIA DE LA ELIPSE

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22 2

2 22 2

S i P (x ,y ) p e r te n e c e a la e lip s e , s e t ie n e :

P F ' P F V V '

2

2

x h c y k x h c y k a

x h c y k a x h c y k

+ =

- - + - + - + + - =

- + + - = - - - + -



MATEMTICA

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 22 2

2 2 22 2 22

2 2 2 22

2 22

2 22

2 22

2

4 4

4 4

4 4

2 2 2 4 4

4 4 4


x h c y k a x h c y k a x h c y k

x h c x h c a a x h c y k

x h c x h c x h c x h c a a x h c y k

c x h a a x h c y k

c x h a a x h c y k

- + + - = - - - + -

- + + - = + - - + - - - - + -

- + - - - = - - - + -

- + - + + - + + - - = - - - + -

- = - - - + -

- = - - - + -

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

2 22

2 2 2

c x h a a x h c y k

a x h c y k a c x h

- = - - - + -

- - + - = - -

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

222 2 2

22 22 2

2 2 22 2 4 2 2

2 2 22 2 2 2 2 4 2 2

2 2 22 2 2 4 2 2

2 22 2 2 2 2 2

2 2

2 2

, p e

a x h c y k a c x h

a x h c y k a c x h

a x h c c x h y k a c x h a c x h

a x h a c a c x h a y k a c x h a c x h

a x h c x h a y k a a c

a c x h a y k a a c

- - + - = - -

- - + - = - -

- + - - + - = + - - -

- + - - + - = + - - -

- - - + - = -

- - + - = -

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

ro

1

a c b

b x h a y k a b

b x h a y k a b

a b a b

x h y k

a b

- =

- + - =

- + -=

- -+ =



MATEMTICA

O b s e rv a c io n e s :

) S i , e n e s te c a s o e l lu g a r g e o m tr ic o e s u n a e lip s e c o n e je m a yo r

h o r z o n ta l.

) S i , e n to n c e s 0 . L o s fo c o s s e c o n fu n d e n c o n e l c e n tro . E l

lu g a r g e o m tr ic o e s u n a c irc u

a b a

b b a c



MATEMTICA

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

E je m p lo : L a e c u a c i n 4 2 1 6 1 3 0 re p re s e n ta u n a e lip s e .

C lc u le la s c o o rd e n a d a s c e n tro , fo c o s , v r t ic e s . B o s q u e je e l g r f ic o .

S o lu c i n

4 2 1 6 1 3 0

2 4 1 6 1 3

2 1 1 4 4 4 4 1 3

x y x y

x y x y

x x y y

x x y y

x

+ - + + =

+ - + + =

- + + = -

- + - + + + - = -

-( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 4 2 4 1 3

1 4 2 1 3 1 6 1

1 4 2 4

1 4 21

4 1

y

x y

x y

x y

- + + - = -

- + + = - + +

- + + =

- ++ =

2 2 2 2 2

2 2 2

4 2 , 1 1;

1, 2

4 1 3

3

L a e c u a c i

a a b b a c b

h k c a b

= = = = = +

= = - = -

= - =

=

( )

( ) ( )

( ) ( )

n re p re s e n ta a u n a e lip s e d e e je m a yo r h o r iz o n ta l .

, 1, 2

F , 1 3 , 2

a b

c h k c

h c k F

>

= -

+ = + -



MATEMTICA

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

F ' , F 1 3 , 2

V , V 1 2 , 2 V 3, 2

V ' , V ' 1 2 , 2 V ' 1, 2

A , A 1, 2 1 A 1, 1

A ' , A ' 1, 2 1 A ' 1, 3

h c k

h a k

h a k

h k b

h k b

- = - -

+ = + - = -

- = - - = - -

+ = - + = -

- = - - = -

LA PARBOLA

Una parbola es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su

distancia de una recta fija, situada en el plano, es igual a su distancia de un punto fijo del plano y

que no pertenece a la recta

La recta fija se llama DIRECTRIZ y el punto fijo se llama FOCO.

PARBOLAS CON EJE DE SIMETRA HORIZONTAL.



MATEMTICA

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1 2

2 2

2 2

: P A R M E T R O . E l v r t ic e e s e l p u n to m e d io

d e l s e g m e n to , , , , ,

E C U A C I N D E L A D IR E C T R IZ :

S , p e r te n e c e a la p a r b o la , s e t ie n e

V F V

A F V h k V F p F h p k

x h p

B x y

d d

x h p x h p y k

x h p x h p y k

= +

= -

=

- - = - + + -

- + = - - + -

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 22 2

2

2

2 2

4

4

x h p x h p y k

x h p p x h x h p p x h y k

p x h y k

y k p x h

- + = - - + -

- + + - = - + - - + -

- = -

- = -

Se observa que:

a) Si 0p > , debe ser 0x h- , luego x h y la parbola se abre (es cncava) hacia la

derecha.

b) Si 0p < , debe ser 0x h- , luego x h y la parbola se abre (es cncava) hacia la

izquierda.



MATEMTICA

PARBOLAS CON EJE DE SIMETRA VERTICAL

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

22

22

2 22

2 2 2

2

2

2

2

, , , F ,

2 2 2

4

4

V h k V F p h k p

d d

y k p x h y k p

y k p x h y k p

y k p x h y k p

y k p y k p x h

y k p y k p y k p y k p x h

p y k x h

p y k x h

x h p y k

= +

=

- - = - + - +

- + = - + - -

- + = - + - -

- + - - - = -

- + - - - - + + - - = -

- = -

- = -

- = -

Si 0 0 p y k y k> - , por lo tanto la parbola se abre hacia arriba.

Si 0 0 p y k y k< - , por lo tanto la parbola se abre hacia abajo.



MATEMTICA

Ejemplo: La ecuacin 24 2 9 0x y y+ + + = representa una parbola. Calcular:

a) Coordenadas de vrtice,

b) Coordenadas de foco,

c) La ecuacin de la directriz.

( ) ( )

2

2

2

2

S o lu c i n

4 2 9 0

4 2 1 8 0

2 1 8 4

1 4 2

x y y

x y y

y y x

y x

+ + + =

+ + + + =

+ + = - -

+ = - +

La ecuacin anterior representa una parbola con eje de simetra horizontal.

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

a ) , 2 , 1 , 1

b ) , 2 1 , 1 3, 1

c ) E C U A C I N D E L A D IR E C T R IZ

2 1

1

L a p a r b o la s e a b re h a c ia la iz q u ie rd a 1

V h k V p

F h p k F F

x h p

x

x

p

- - = -

+ - + - - - -

= -

= - - -

= -

= -



MATEMTICA

LA HIPRBOLA Una hiprbola es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera

que el valor absoluto de la diferencias de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

La hiprbola consta de dos ramas simtricas respecto de dos rectas perpendiculares.

F y F ' s o n lo s fo c o s

O D O FV y V ' s o n lo s v r t ic e s

F F ' : D is ta n c ia fo c a l

V V ' : E je tra n s v e rs o

A A ' : E je c o n ju g a d o

=

ASINTOTAS DE LA HIPRBOLA

Son dos rectas que pasan por el centro tales que a medida que un punto en cualquier rama de la hiprbola se aleja indefinidamente del centro, la distancia de ese punto a una de las rectas decrece continuamente y tiende a cero



MATEMTICA

EXCENTRICIDAD

F F 'D is ta n c ia fo c a lE x c e n tr ic id a d = , E =

E je t ra n s v e rs o V V '

C o m o P y V p e r te n e c e n a u n a ra m a d e la h ip rb o la , s e t ie n e :

P F ' P F V F ' V F

P o r s m e tr a V F V 'F ' , e n to n c e s

P F ' P F V F ' V F

P F ' P F V V ' o s e a

P F ' P F E J E T R A N

- = -

=

- = -

- =

- = S V E R S O

S i P e s t e n c u a lq u ie r ra m a , e n to n c e s

P F ' P F E J E T R A N S V E R S O .- =

RELACIN ENTRE EL SEMI-EJE TRANSVERSO, EL SEMI-EJE CONJUGADO Y LA MITAD DE LA DISTANCIA FOCAL



MATEMTICA

DEDUCCIN DE LA ECUACIN ORDINARIA DE UNA HIPRBOLA DE EJE TRANSVERSO HORIZONTAL

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

2 22 2

2 22 2

2 22 22

2 2

2 2 2

V , F , A ,

V ' , F ' , A ' ,

P F ' V V '

2

2

4

4

4

h a k h c k h k b

h a k h c k h k b

P F

x h c y k x h c y k a



a x h c y k

x h c x h c a

+ + +

- - -

- =

- - + - - - + + - =

- + + - = + - - + -

- + + - = + - - + - +

- - + -

- + - - - = ( )( ) ( )2 2

4 a x h c y k+ - - + -



MATEMTICA

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )

22 22

2 22

2 22

2 22

2 2 2

2

2 22

4 4

2 2 2 4 4

4 4 4

=

x h c x h c x h c x h c a a x h c y k

c x h a a x h c y k

c x h a a x h c y k

c x h a a x h c y k

a x h c y k a c x h

c x h a

a x h c y k c

- + - + + - + + - - = + - - + -

- = + - - + -

- = + - - + -

- = + - - + -

- - + - = - + -

- -

- - + - =

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22

2 2 22 2 2 4 22 2

x h a

a x h c c x h y k c x h a a c x h

- -

- + - - + - = - + - -

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 22 2 2 2 2 2 4 2

2 2 22 2 2 4 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

, p e ro

1

1

a x h a c a c x h a y k c x h a a c x h

a x h c x h a y k a a c

a c x h a y k a a c a c b

b x h a y k a b

y k x h

b a

x h y k

a b

- - - - + - = - + - -

- - - + - = -

- - + - = - - = -

- - + - = -

- -+ =

-

- -- =



MATEMTICA

ECUACIN ORDINARIA DE LA HIPRBOLA DE EJE TRANSVERSO VERTICAL

( ) ( )2 2

2 2

S e o b tie n e d e ig u a l fo rm a q u e la e c u a c i n 1

d e l e je tra n sv e rso h o riz o n ta l

y k x h

b a

- -- =

2 2E je m p lo . L a e c u a c i n 2 6 4

R e p re s e n ta u n a h ip rb o la . C a lc u le la s c o o rd e n a d a s d e l v r t ic e , fo c o

y la s c o o rd e n a d a s d e l v r t ic e , fo c o y la s e c u a c io n e s d e la s a s n to ta s .

B o s q u e je s u g r f ic o .

x x y y+ - + =



MATEMTICA

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

S o lu c i n :

2 6 4

2 6 4

2 1 1 6 9 9 4

1 1 3 9 4

1 3 4 9 1

1 3 4

3 11, e n to n c e s

4 4

1, 3 , 4 2 , 4 , 2

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

x y

y x

h k a a b b

+ - + =

+ - - =

+ + - - - + - =

+ - - - + =

+ - - = - +

+ - - = -

- +- =

= - = = = = =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 2 2

L a e c u a c i n d e la h ip rb o la e s d e e je t r a n s v e rs o v e r t c a l

V , V 1, 3 2 V 1, 5

V ' , V 1, 3 2 V 1,1

2 2 8 2 2

F , F 1, 3 2 2

F ' , F 1, 3 2 2

3 1 4E c u a c io n e s

3 1 2

h k b

h k b

a b c c c c

h k c

h k c

y x y x

y x y x

+ = - + = -

- = - - = -

+ = + = = =

+ = - +

- = - -

- = + = +

- = - + = - +

d e la s a s n to ta s



MATEMTICA

GEOMETRA ANALTICA En esta parte de la geometra estudiaremos: la distancia, punto medio de un segmento de recta, la circunferencia, restas en el plano, la parbola, la elipse y la hiprbola.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

( )

A B : D is ta n c ia

A B 1B A A B A B A B= - = - - = - - = -

Ejemplo: calcule la distancia indicada.



MATEMTICA

1)

2 )

3 )

4 )

A B

C A

A D

D B

S o lu c i n :

1) 5 2 3 3

2 ) 2 ( 1) 2 1 3 3

3) 4 2 6 ( 6 ) 6

4 ) 5 ( 4 ) 5 4 9 9

A B

C A

AD

D B

= - = =

= - - = + = =

= - - = - = - - =

= - - = + = =

DISTANCIA DIRIGIDA La distancia dirigida desde A hasta B se define como B-A, y la distancia dirigida desde B hasta A, es

A-B.

Ejemplo. Calcule la distancia dirigida indicada.

1)

2 )

3 )

4 )

A B

C A

B C

A D

S o lu c i n :

1) 5 2 3

2 ) 2 ( 3 ) 5

3 ) 3 5 8

4 ) 5 2 7

A B

C A

B C

A D

= - =

= - - =

= - - = -

= - - = -

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA



MATEMTICA

PM: Punto medio, PM(A, B): Punto medio entre A y B.

PM A = B PM -------> PM + PM = B +A ------->

2PM = A + B -----> 2

A BPM

+=

Ejemplo: calcule el valor del punto medio.

1) PM (A,B) 2) PM(C,A) 3) PM (C,B)

S o lu c i n

1)2

2 6

2

= 4

A BPM

+=

+=

2 )2

4 2

2

= -1

C APM

+=

- +=

3 )2

4 6

2

= 1

C BPM

+=

- +=

PLANO CARTESIANO



MATEMTICA

(a ,b) : Par ordenado

a: Distancia dirigida desde el eje Y al punto P, se llama abscisa.

B: Distancia dirigida desde el eje X al punto P, se llama ordenada.

Ejemplo: Ubique en el plano cartesiano los puntos A(1,2), B(-2,1), C(-3,-2), D(3,-1)

Solucin

FORMULA DE LA DISTANCIA



MATEMTICA

( )

( )

22 2

1 2 2 1 2 1

22 2

1 2 2 1 2 1

( ) ( ) T e o re m a d e p it g o ra s

( ) ( )

P P x x y y

P P x x y y

= - + -

= - + -

Ejemplo: Calcule el valor de X para que la distancia entre P1 (x, 3) y P2 (2,-1) sea 5.

( )

( )

22 2

1 2 2 1 2 1

2 2

2

2

2

2

( ) ( )

5 ( 2 ) (3 1 )

5 = ( 2 ) 1 6

2 5 = ( 2 ) 1 6

2 5 -1 6 = ( 2 )

9 ( 2 )

P P x x y y

x

x

x

x

x

= - + -

= - + - -

- +

- +

-

= -

( ) ( )

[ ] [ ]

2

2

9 ( 2 )

( 2 ) 9 0

2 3 2 3 0

5 1 0

5 0 5

1

x

x

x x

x x

x x

x

= -

- - =

- - - + =

- + =

- = =

+ 0 1

R / 5 1

x

x x

= = -

= = -

PUNTO MEDIO



MATEMTICA

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

( ) ( )

( ) ( )

2

2

P A PM PM B P

P PM PM P

x x x x

x x x

x xx

D = D

=

- = -

= +

+=

2 1

1 2

1 2

2

2

y y y y

y y y

y yy

- = -

= +

+=

1 2 1 2( , ) ,2 2

x x y yx y

+ + =

Ejemplo: Calcular las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos A (-5,-3) y

B(9,3)

1 2

2

3 3

2

0

y yy

y

y

+=

- +=

=

( )( , ) 2 , 0x y =

RECTAS EN EL PLANO

PEDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de una recta no vertical, mide el nmero de unidades

que la recta asciende (o desciende) verticalmente por cada unidad

de desplazamiento horizontal de izquierda a derecha

1 2 2

5 9

2

2

x xx

x

x

+=

- +=

=

X

Y

1x

2x

2y

1y

( )2 1x x-

( )2 1y y-

0



MATEMTICA

2 1

2 1

: P e n d ie n te

E je m p lo

y ym m

x x

- =

-

( )

( )

2 1

2 1

1 2

1 2

1 2

1 2

=

y ym

x x

y y

x x

y ym

x x

-=

-

- -

- -

-=

-

( )

1 2

E je rc ic io . C a lc u le e l v a lo r d e la p e n d ie n te d e la re c ta q u e p a s a

p o r ( 2 , 4 ) y ( 2 , 6 )

S o lu c i n

4 6 2 1

2 2 4 2

P P

m

-

- -= = = -

- -

X

Y

0m >

0

1)

X

Y

0m =

0

2 )

X

Y

0m

Semana 14 de Matematica Unidad II Cónicas Versión PDF

Documents

Transcript of Semana 14 de Matematica Unidad II Cónicas Versión PDF