ÁLGEBRA

153

Fallece JohnNeper.

Desarrolló un sistema para expresarc u a l q u i e r n ú m e r o d e f o r m aexponencial.

Felipe de Borja y Aragón esel Virrey del Perú.

1617

1551

1550

1594Introdujo el primersistemade logaritmosenMirifici logarithmorumcanonis descriptio.

Fundación de la UniversidadNacional Mayor de SanMarcos.

1614

Nace John Neper, enEscocia.

Juan de Mendoza y Lunaes el virrey del Perú. En sugobierno se realizó el primercenso de Lima.

García Hurtado deMendoza y Manríquezes el segundo virreydel Perú.Crea una máquina de

cálculo constituida por unábaco con piezas móvilesque recibió el nombre de“Napier's Bond”.

ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010

154

InecuacionesFraccionarias y de

Grado Superior

Son aquellas que presentan lasiguiente forma general:

Resuelve: x3 - 6x2 + 11x - 6 £ 0P(x)

Ejemplo:

Factorizando (x - 1)(x - 2)(x - 3) £ 0

Resolución:

Inecuaciones de GradoSuperior

a0xn + a1xn-1 + a2x

n-2 + ... + an > 0;(<; ³; £) / n Î Z+ Ù n ³ 3

Donde :a0; a1; a2; ...; an ® constantes o

coeficientes

RESOLUCIÓN

A. Se factoriza el polinomio teniendoen cuenta que todos los factoresprimos tengan coeficiente principalpositivo.

B. Se hallan a continuación los puntoscríticos, igualando cada factor acero y éstos se ubican en la rectanumérica, guardando su relaciónde orden.

C. Se forma así intervalos, los cualesde derecha a izquierda, poseen unsigno comenzando con el signo másy alternando con el signo menos.

D. Si el P(x) ³ 0, se toman los intervalospositivos; si el P(x) £ 0, se toman losintervalos negativos, obteniendo asíel intervalo solución.

Hallando los puntos críticos:P.C. = {1; 2; 3}

Ubicando en la recta numérica:

1 2 3-¥ +¥- + +-

comenzamos

Luego como P (x) £ 0, tomamos losnegativos:

x Î <-¥ ; 1] U [2; 3]

Nota

1. A veces se encuentrantrinomios y = ax2 + bx +c, que no son factorizables,entonces se ca lcu la sudiscriminante. Si D < 0 Ùa > 0, entonces el trinomioes (+) " x Î R, por ello sedescarta de la inecuación osimplemente pasa a dividir,ésto no altera el sentido de ladesigualdad.

2. Si encontramos factores dela forma: (ax + b)2n; n ÎZ+ estos pasan a dividir ose descartan, pero su puntocrítico queda pendiente de sies solución o no.

3. Si encontramos factores de laforma: (ax + b)2n+1; n Î Z+

quedará en la inecuación sólo(ax + b).

Resuelve:(x2-2x+4)(x+3)2(x-7)3(x+1)(x-2) ³ 0

Ejemplo:

- El trinomio (x2 - 2x + 4) tieneD = -12, negativo, coeficienteprincipal positivo, por lo tanto es(+) " x Î R. Se descarta o pasa adividir sin alterar el sentido.

- El factor (x + 3)2 se descarta, perosu punto crítico x = -3 cumple conla desigualdad, al final debe estarcontenido en la solución.

- El factor (x - 7)3 es reemplazado por(x - 7). Luego tenemos:(x - 7)(x + 1)(x - 2) ³ 0.P.C. = {-1; 7; 2}Ubicando en la recta:

Resolución:

-1 2 7-¥ +¥- + +-

Luego como P(x) ³ 0 se toman lospuntos (+) más el punto crítico x= -3

x Î [-1; 2] U [7; +¥> U {-3}

1. Resuelve:6 x2 - 2 2 x - 3 x + 2 £ 0

Resolución:

Dándole una forma adecuada alprimer miembro y factorizando:

ÁLGEBRA

155

6 x2 - (2 2 + 3) x + 2 £ 02 x -13 x -2

Þ x = = ; x = =

Estos son los “puntos críticos”

\ C.S. = [ 2 /2; 2 3 /3]

aplicandoaspa

simple

12

22

23

2 33

-¥ +¥+ +-

2 33

22

2. Señala el valor de “a” para el cual elsistema:

x2 - 4x + 3 < 0 ... (1)x2 - 2x + 4 £ 6 - x ... (2)x ³ a ... (3)

se verifica para un único valor enterode “x”.

Resolución:

Resolviendo (1):x2-4x+3 < 0 Þ (x-1)(x-3) < 0

Luego: 1 < x < 3

Resolviendo (2):x2 - x - 2 £ 0 Þ (x-2)(x+1) £ 0

Luego: -1 £ x £ 2

Graficando los resultados:

Luego, el único valor entero es 2.

-1 1 32

3. ¿Entre qué límites debe variar “m”para que la inecuación:x2 + 2mx + m > 3/16 se verifiquepara todo valor real de “x”?

Resolución:

De la inecuación tenemos:x2 + 2mx + m - 3/16 > 0

si se verifica " x Î R, debecumplirse:

1 > 0 ; (2m)2 - 4(1)(m - 3/16) < 0coef. discriminantede “x2”

De lo último se tiene:16 m2 - 16 m + 3 < 0

® (4m - 1)(4m - 3) < 0

Luego los puntos críticos son:m = 1/4 ; m = 3/4

Así tenemos:

Por lo tanto:

1/4 < m < 3/4

1/4 3/4

4. ¿Paraquévalores de“a” la inecuación:(3a2 -a)x2 +(2a - 9)x+2a2 -5<0 sesatisface sólo para x Î <1/2, 3/7>?

Resolución:

Como x Î<1/2, 3/7> Þ los puntoscríticos son: x1 = 1/2; x2 = 3/7

Eso significa que:(x-1/2)(x-3/7)<0®14x2 -13x+3<0

multiplicando

Así:14 = 3a2 - a ; 2a -9 = -13 ; 2a2 -5 = 3

a = 7/3 Ú a = -2; a = -2; a =± 2

Luego, la única solución es:

a = -2

5. Indica la condición que debe tenerel número “n” para que el polinomiox2 + 2x + n sea superior a 10.

Resolución:

Se tiene: x2 + 2x + n > 10Þ x2 + 2x + n - 10 > 0

Tenemos:1 > 0 ; 22 - 4(1)(n - 10) < 0

Así se tiene: 4 - 4n + 40 < 0

Þ n > 11

Nivel I

1) Resuelve:(x + 5)(x + 3)(x - 7) £ 0

a) <-¥, -3] U [7, ¥>b) <-¥, -3] U [5, 7]c) <-¥, 3] U [5, 7]d) <-¥, -5] U [-3, 7]e) [-5, -3] U [7, ¥>

2) Resuelve:(x + 4)(x + 6)(x + 8) ³ 0

a) <-¥, -4] U <6, 8]b) <-¥, 4] U [6, 8]c) [-8, -6] U [-4, ¥>d) [4, 6] U [8, ¥>e) <-¥, -8] U [-6, -4]

3) Resuelve:x3 - 6x2 + 11x - 6 > 0

a) <1, 2> U <3, ¥>b) <-3, -2> U <-1, ¥>c) <-¥, -3> U <-2, ¥>d) <-¥, -3> U <-2, -1>e) <-¥, 1> U <2, 3>

4) Resuelve:x3 - 5x + 6x ³ 0

a) [0, 2] U [3, ¥>b) [2, ¥>c) [0, ¥>d) <-¥, 0] U [2, 3]e) <-2, 3]

5) Resuelve:x3 < 9x

a) <-¥, -3> U <0, 3>b) <-¥, -9>c) <-¥, -3> U <3, ¥>d) <-3, 0> U <3, ¥>e) <-3, 3>

ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010

156

6) Resuelve:x3 £ 16x

a) <-¥, -4> U <0, 16>b) <-¥, -4] U [0, 4]c) [-4, 0] U [4, ¥>d) [-4, 4]e) <-¥, -4] U [4, ¥>

7) Resuelve:x3 - 10x2 + 29x - 20 £ 0

a) <-¥, 1> U <4, 5>b) <-¥, -5] U [-4, -1]c) <-¥, 1] U [4, 5]d) [1, 4] U [6, ¥>e) [1, 4] U [5, ¥>

8) Resuelve:x3 + 2x2 - 5x - 6 > 0

a) x Î [-3, -1] U [2, ¥>b) x Î <-3, -1] U <2, ¥>c) x Î <-¥, -3] U <-1, 2>d) x Î [-1, 2] U [4, ¥>e) N.A.

9) Resuelve:x3 > x

a) x > 1b) x < 1c) x Î <-¥, 1> U <1, ¥>d) x Î <-1, 0> U <1, ¥>e) x Î <0, 1>

10) Resuelve:x4 - 8x2 - 9 < 0

a) <8, 9>b) <-¥, 8> U <9, ¥>c) <-3, 3>d) <-¥, 3>e) R

11) Resuelve:x3 - 3x2 - 2 < 0

a) [2, ¥>b) [-2, ¥> - {-1}c) [-2, ¥>d) [2, ¥> U {1}e) [2, ¥> U {-1}

12) Resuelve:x3 - 18x2 + 77x - 60 > 0

a) <1, 5> U <12, ¥>b) <1, 4> U <10, ¥>c) <-1, 5> U <12, ¥>d) <0, 5> U <10, ¥>e) <-12, -5> U <-1, ¥>

13) Resuelve:(x2 - x)2 - 14(x2 - x) + 24 £ 0

a) [-3, -1] U [4, ¥>b) [-3, -1] U [2, 4]c) <-¥, -3] U [4, ¥>d) [-1, 2] U [4, ¥>e) x Î f

14) Resuelve:x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8 > 0

halla un intervalo de su solución.

a) <-¥, 4>b) <-¥, -1> U <2, ¥>c) <-2, +¥>d) <-1, 1>e) <-4, -1>

15) Resuelve:x4 - 4x3 - 3x2 + 14x - 8 ³ 0

halla un intervalo de su solución.

a) <-¥, 2] d) <-¥, 1]b) [-4, ¥> e) [1, 4]c) {1}

Nivel II

16) Resuelve:x5 - 5x4 + 2x3 + 14x2 - 3x - 9 < 0

a) <-¥, 1> - {-1}b) <-¥, -1> U {1}c) <-1, 1>d) <1, ¥>e) <3, ¥>

17) Resuelve:(x2 + 1)(x2 + 2)(x - 3) > 0

a) R d) <3, ¥>b) f e) <1, 2>c) <-¥, 1> U {3}

18) Resuelve:(x - 2 - x2)(x2 + 2x - 8) < 0

halla un intervalo solución.

a) <1, ¥> d) <-¥, 1>b) <-¥ , -4> e) N.A.c) <-4, 1>

19) Resuelve:(x3 - 1)(x3 - x2 + 2x -2)(x -2) < 0halla un intervalo de su solución.

a) <-¥ , 2> d) <1, ¥>b) <-¥ , 1> e) N.A.c) <2, ¥>

20) Resuelve:(x2 - x - 2)(x - 4) ³ 0

a) [-1, 4]b) [2, 4]c) [4, ¥>d) <-¥ , -1] U [2, 4]e) [-1, 2] U [4, ¥>

21) Resuelve:x(x - 1)2 > 0

a) <0, ¥> - {1}b) x Î R - {1}c) {1}d) <-¥ , 0>e) <-1, 1>

22) Resuelve:(x + 1)(x + 3)2(x - 7)5(x - 2) ³ 0

a) [-1, 2] U [7, ¥> U {-3}b) [1, 2] U [7, ¥> - {-3}c) Rd) fe) N.A.

ÁLGEBRA

157

23) Resuelve:(x + 4)5(x + 1)4(x- 2)3(x- 5)2 £ 0indica la suma de los valoresenteros que la verifican.

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -7

24) Resuelve:(x2 - x)2 - 14(x2 - x) + 24 £ 0

a) x Î [-3, -1] U [4, ¥>b) x Î [-3, -1] U [2, 4]c) x Î <-¥, -3] U [4, ¥>d) x Î [-1, 2] U [4, ¥>e) N.A.

25) Resuelve:(x2 - 4)(x2 - 9)(x2 - 1) > 0

a) x Î <-¥, -3] U <-2, -1> U<1, 2> U <3, ¥>

b) x Î <-3, -2> U <-1, 1> U<2, 3>

c) x Î [-2, -1> U <1, 2>d) x Î [-3, -2] U [1, 2>e) N.A.

26) Resuelve:(x2 - x + 1)(x2 + x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 1) < 0

a) x Î <-¥, -3> U <1, 2>b) x Î <-¥, 1] U <2, ¥>c) x Î <-3, 1> U <2, ¥>d) x Î Re) x Î f

27) Resuelve:(x2 + 4)(x2 - 9)(x2 - 3) £ 0

a) x Î [-3, - 3> U [ 3, 3]b) x Î [-3, -2] U [2, 3]c) x Î <-¥, -3> U [3, ¥>d) x Î fe) x Î R

28) Resuelve:(x2 + 7)(x+ 4)8(x- 2)7(x- 5)(x+ 6)< 0

a) x Î <-¥, -7] U [2, 5]b) xÎ <-¥, -6] U <2, 5> U {-4}c) xÎ<-¥, -6>U<2,5>U{-3}d) x Î <-¥, -6> U <2, 5>

- {-3}e) x Î <-¥, -6> U <2, 5>

29) Resuelve:(x2 + 1)(x - 3)5(x- 7)(2 - x) £ 0

a) x Î [2, 3] U [7, ¥>b) x Î <-¥, 2] U [3, 7]c) x Î [3, 7]d) x Î Re) x Î f

30) Resuelve:(x + 2)8(x - 1)16(x + 3)7(x + 1)7 £ 0

a) x Î <-¥, -3] U [-1, ¥>b) x Î [-3, -1]c) x Î [-3, -1] U {1}d) x Î Re) N.A.

Nivel III

31) Resuelve:

a) x Î <-¥ , -4] U <3, ¥>b) x Î [-4, 3>c) x Î <3, ¥>d) x Î [-4, ¥>e) N.A.

x + 4x - 3 ³ 0

32) Resuelve:

a) x Î [7, ¥> d) x Î Rb) x Î [2, 7] e) x Î fc) x Î <2, 7]

x + 3x - 2 ³ 2

33) Resuelve:

si: a > b > 0

a) -a < x < -b d) a < x < -bb) a < x < b e) -a < x < bc) b < x < a

x - ax - b > x + b

x + a

34) Resuelve:

a) x £ 7 d) x Î <0, 7]b) x ³ 7 e) N.A.c) x Î [0, 7]

7x ³ 1

35) Resuelve:

a) x Î [2, 4]b) x Î <2, 4>c) x Î <1, 3>d) x Î <-¥, 2> U <4, ¥>e) N.A.

x + 4x + 2 ³ x + 2

x - 4

36) Resuelve:

a) x Î [-3, 3]b) x Î [-3, 3] - {0}c) x Î [-2, 2] - {0}d) x Î <-¥, -3] U [3, ¥>e) N.A.

9x2 ³ 1

37) Resuelve:

a) [-3, ¥>b) <-¥, -2] U <3, ¥>c) <-3, 2]d) [2, ¥>e) x Î R

x + 2x - 3 ³ 0

38) Resuelve:

a) [-4, 1> U [2, 3>b) <-¥, -4> U [-1, 2>c) Rd) [-4, 4]e) f

(x + 4)(x - 2)(x + 1)(x - 3) £ 0

39) Resuelve:

a) <-¥, 3> U <5, ¥>b) <-¥, 2> U <5, ¥>c) <-¥, 5> U <7, ¥>d) <-¥, 2> U <3, ¥>e) <-¥ , 2> U <3, 5> U

<7, ¥>

x2 - 5x + 6x2 - 12x + 35

> 0

ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010

158

40) Resuelve:

indica un intervalo solución.

a) <1, 2> d) <-¥, -3]b) [-1, 0] e) N.A.c) <-3, -2]

(x2 - 1)(x2 - 4)x2 + 3x

³ 0

41) Resuelve:

si su C.S. = <-¥ , a> U <b,¥>,halla ab + a + b

a) -1 b) -5 c) -6d) -7 e) -8

x + 12 - x £ x

x + 3

42) Indica la suma de valoresenteros positivos que verificanla inecuación:

a) 16 b) 21 c) 28d) 23 e) 32

-10(x + 8)xx2 + x - 56

³ x2 - 8x + 152(x - 5)

43) Resuelve e indica un intervalosolución:

a) <1, 2>b) <-2, -1>c) <-¥, - 35]d) x Î < 35, ¥>e) N.A.

(x2 + 4)(x2 - 1)(x2 - 4)(x2 + 7)(x2 + 2)(x2 - 35) £ 0

44) Resuelve:

a) x Î <-2, 0>b) x Î <0, 2>c) x Î <0, ¥>d) x Î fe) x Î <0, ¥>

x2

x + 2 > 4x + 2 - 2

45) Si la expresión:

es una cantidad no negativa,calcula el intervalo al cualpertenece “x”.

a) <-¥ , -2> U <-1, 1> U<3, ¥>

b) <-¥ , -2] U <-1, 1> U[3, ¥>

c) <-¥, -1> U <1, ¥>d) <-¥, -2] U <-1, 3> - {1}e) [-2, -1> U <1, 3>

xx - 1

- 2x + 1

- 2x2 - 1

46) Resuelve:

halla un intervalo de la solución.

a) <1, 2> d) <-2, 1>b) <2, 4> e) N.A.c) <-1, 2>

3x - 2x + 1 < 4

x - 2

47) Halla una inecuación entera decoeficientes racionales de gradomínimo, cuya solución es:<-¥, -2> U <-2, 2> U <3, ¥>

a) (x - 3)(x - 2)(x + 2)2 > 0b) (x + 3)(x + 2)3 > 0c) (x - 3)(x - 2)2(x + 2) < 0d) (x - 3)2(x - 2)(x + 2) > 0e) (x + 3)(x + 2)2(x - 2) £ 0

48) Resuelve:

e indica el mínimo valor enteroque puede tomar “x”.

a) -3 b) -7 c) -8d) 5 e) 1

(x2 - 9)(x + 5)4(x + 8)(x - 2)3

(x - 5)(x + 1)£ 0

49) Halla el intervalo formado porlos valores de “x” que satisfacenla siguiente desigualdad.

a) <4, ¥> d) <2, 4>b) <2, ¥> e) <0, ¥>c) <-2, 4>

> 12x x - 2 - 4 x - 2

x - 2 (x - 4)

Los primeros en tratar lasecuaciones de primer gradofueron los árabes, en un librollamado Tratado de la cosa , y a laciencia de hacerlo, Álgebra (delárabe Algabru walmuqabalah,reducción y cotejo). La cosaera la incógnita. La primeratraducción fue hecha al latín enEspaña, y como la palabra árabela cosa suena algo parecido a la Xespañola medieval (que a veces hadado J y otra X porque su sonidoera intermedio, como en México/ Méjico, Ximénez / Jiménez), losmatemáticos españoles llamarona la cosa “X” y así sigue.