Semana 1 estatica dinamica
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UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL CONO SUR
UNTECSCARRERA PROFESIONAL: ING.MECANICA Y
ELECTRICA CURSO: ESTATICA Y DINAMICA
CICLO:IVSEMANA : 1 SESION 1
TEMA: ANALISIS VECTORIAL
Profesor: Ing. Jorge Cumpa Morales CICLO: 2012-I I
MAGNITUDES FÍSICASMAGNITUDES FÍSICAS..
• Magnitudes fMagnitudes fíísicas escalares ysicas escalares y
vectoriales. Algebra vectorial.vectoriales. Algebra vectorial.
•EjemplosEjemplos
Magnitudes Magnitudes físicasfísicas
por su naturaleza
Escalares
Vectoriales
Magnitudes Magnitudes físicasfísicas
Escalares
Vectoriales
Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad
Asociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad sino por su dirección
y su sentido
Magnitudes Magnitudes físicasfísicas
Masa, densidad, temperatura, energía,
trabajo, etc
Velocidad, fuerza, cantidad de movimiento, aceleración, torque, etc.
Escalares
Vectoriales
Relacion entre (x,y) y (r,θ)
y (m)
x (m)O
origenabcisa
ordenada
(x,y)
θ
r
θcosrx =θrseny =
θtan=xy22 yxr +=
VectoresVectores
Notación A
Módulo A > 0
A
Dirección ϕθ,
x
y
z
θ
ϕAp
ϕx
y
Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores
• Dados A y B, si A = B entonces A = B
• Todo vector se puede desplazar paralelamente a
si mismo
A
B
C
CBA
==
Suma de Suma de VectoresVectores
BA
R
BA C
C
Ley del polígono
El vector resultante es aquel vector que va desde el origen del primer vector hasta el extremo del ultimo
vector
A
B
C
D
Entonces si se tiene los siguientes vectores
El vector resultante de la suma de todos ellos será:
A B
C
D
DCBAR
+++=
R
Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores
A
Opuesto-A
Nulo 0 = A + ( )-A
Vector unitario
A
A
=μ
µµ= ˆAA
Propiedades Propiedades de la suma de de la suma de
VectoresVectores
Ley Conmutativa
ABBAR +=+=
Ley Asociativa
C)BA)CBAR
++=++= ((
Diferencia
B-AR
=
)B(-AR
+=A
B A
-BR
Ley conmutativa
¿Como se explica esta regla?
Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para
encontrar el vector suma
B
R = A+B
A
B R = B+A
(Método paralelogramo)
B R = A+B
Multiplicación de un vector por un escalar
Dado dos vectores ByA
Se dicen que son paralelos si BA
α=
BAsi
↑↑> 0αBAsi
↑↓< 0αBAsi
==1α
A
B
AB
21=
A
B
AB
41−=
Ejemplo :
Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores
A B
C
A B
CR = 2
Vectores unitarios en el plano
ijx
y
i Vector unitario en la dirección del eje x+
j Vector unitario en la dirección del eje y+
Vectores unitarios en el espacio
xy
z
ij
k
Representación Representación de un vectorde un vector
x
y
z
θ
ϕ
A
Ax
Ay
Az
θsenAAx ϕcos=θsenAsenAy ϕ=
θcosAAz =222zyx AAAAA ++==
kAjAiAA zyx
++=
Observaciones:
Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido.
La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado
Determínese la resultante de los siguientes vectores
+A4u 3u
B
BAR
+=7u
+
A
B
8u 4u =
BAR
+=
4u
Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud
¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?
4u
3uA
B
La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla
BAR
+=
A
B
yA
xA
xB
yB
4u
3u
5u
6u
8u
10u
yA
xA
xB
yB
4u
3u
6u8u
yx AAA
+=
yx BBB
+=
yy BA
+xx BA
+10u
5u
yyxx BABAR
+++=
uR 55510 22 =+=
yA
xA
xB
yB
xCyC
xD
yD
yyyyy DCBAR
+++=
xxxxx DCBAR
+++=
xR
yR
15 u5 u
yx RRR
+=105R =
xy
z(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
A
Dados los puntos indicados el vector que los une esta representado por
xy
z(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
A
k)z(zj)y(yi)x(xA 121212ˆˆˆ −+−+−=
Producto Producto escalar de dos escalar de dos
vectoresvectoresθABBA cos=⋅
cosθAAB =Proyección de A sobre B
cosθBBA =
Proyección de B sobre A
1ˆˆ =⋅ ii1ˆˆ =⋅ jj
0ˆˆ =⋅ ji
0ˆˆ =⋅kj0ˆˆ =⋅ki
xAiA =⋅ ˆ
1ˆˆ =⋅kk
yAjA =⋅ ˆ
zAkA =⋅ ˆ
ZZYYXX BABABABA ++=⋅
Producto Producto vectorial de dos vectorial de dos
vectoresvectores BAC
×=θABC sen=
0ii
=× 0ˆˆ
=× jj
0ˆˆ
=×kk
kji ˆˆˆ =× ikj ˆˆˆ =×
jik ˆˆˆ =×
)kBjBiB()kAjAiA(BAC zyxzyx ++×++=×=
YZZYX BABAC −=
zxxzy BABAC −=
xyyxz BABAC −=
Demostrar:
Determinese la suma de los siguientes vectores:Ejemplo 1:
k5j8i3A ˆˆˆ ++=
kji-5B ˆ3ˆ2ˆ −+=
kji4C ˆ2ˆ7ˆ −−=
Ejemplo 2:
8m
10m
5m
A
B
C
Determine la suma de los vectores indicados
x
y
z
Ejemplo 3
Dados los vectores:
k3j5i4B
k5j3i3A
−+=−+=
Determine :
a) El producto escalar entre ellos.
b)el producto vectorial entre ambos
e) el ángulo que forman entre sí.