Sem 5 Minimo Común Múltiplo (M.C.M.)

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Huamanga - Sector Público Mz. "H" - 6 III Bim. / ARITMÉTICA / 3ER. AÑO

Colegios FES Excelencia Académica basada en Principios Cristianos

Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)

Se llama M.C.M. de varios números positivos, al menor número distinto de cero que contiene a cada uno de ellos un número entero y exacto de veces.

Así:

Múltiplos comunes : 24, 48, 72 ...

Definición

MCM (60, 140, 200) = 23×3×52×7 = 4200

6 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,...8 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...

Números Múltiplos

60 140 200 2 30 70 100 2 15 35 50 2 15 35 25 3 5 7 25 5 1 7 5 5 1 7 1 7 1 1 1

MCM (6; 8) = 24

Cálculos del M.C.M.

• Por DescomPosición InDiviDual en Factores Primos

(descomposición canónica)

* El MCM es el producto de factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente.

Sean los números 80; 120 y 150.

Donde:

80 = 24 × 5

120 = 23 × 3 × 5

150 = 2 × 3 × 52

MCM (80, 120, 150) = 24 × 52 × 3 = 1200

• PorDescomPosiciónSimultánea De Factores Primos

* se busca todos los factores sin excepción.

Sean los números 60; 140 y 200

Los números de Mersenne son de la forma Mp=2p –1, cuando p es primo y Mp también lo es, Mp se denomina primo de Mersenne. Existen pruebas especiales de primalidad y búsqueda de factores que los hacen matemáticamente atractivos.

Marin Mersenne (1588-1648), fue un fraile franciscano que pasó la mayor parte de su vida en los monasterios parisinos. Fue el autor de Cognitata Physico-Mathematica, en donde afirma sin probarlo que Mp es primo para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257 y para ningún otro primo hasta 257. Llevó 300 años establecer la veracidad de esto. En 1947 se comprobó que Mersenne había cometido cinco errores (M61 es primo, M67 es compuesto, M89 es primo, M107 es primo y M257 es compuesto). Su correspondencia con Fermat, entre otros matemáticos, contribuyó al desarrollo de la Teoría de Números.

Marin Mersenne

Ejemplo :

Ejemplo :

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III Bim. / ARITMÉTICA / 3ER. AÑO Huamanga - Sector Público Mz. "H" - 6


1) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

I. MCM (18; 6) = 18 ( )

II. MCM (13; 7) = 91 ( )

III. MCM [n; n+1] = 1, n ∈ Z+. ( )

a) FVV d) VVF b) VFF e) FFF c) VVV

Nivel I

2) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

I. MCM (32;16) = 32 ( )

II. MCM (1;a;a2) es a2. ( )

III. MCM (A;B) es A x B. ( )

a) FFV d) VVF b) FVV e) FFF c) VVV

3) Si: A = 23 x 52 x 73 , B = 22 x 53 x 112 y C = 33 x 54

halla la cantidad de divisores del MCM (A; B; C).

a) 480 d) 1260 b) 240 e) 1400 c) 960

4) Si A = 24 x 53 x 72 , B = 23 x 52 x 73 y C = 34 x 53x 71

halla la cantidad de divisores del MCM (A; B; C).

a) 480 d) 300 b) 400 e) 600 c) 200

5) Si A = 2n+2 x 3n-3 y B = 22n-1 x 3n ;

y además la cantidad de divisores del MCM (A, B) es 420, halla «n».

a) 7 d) 14 b) 8 e) 16 c) 15

6) Si A = 2n-3 x 3n y B = 2n x 3n+2x 5n+4

Si la cantidad de divisores del MCM de A y B es 480, halla «n».

a) 6 d) 7 b) 8 e) 9 c) 5

7) El mínimo común múltiplo de 24k; 20k y 12k es 840. Calcula k.

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

8) El mínimo común múltiplo de 18p; 30p y 50p es 1800. Calcula p2+1.

a) 10 d) 37 b) 17 e) 50 c) 26

9) Halla «x» si el MCM de: A = 81 x 18x y B = 18 x 81x

es 16 x 318.

a) 8 d) 6 b) 10 e) 4 c) 2

10) Halla «x» si el MCM de: A = 64x x 18x y B = 36x x 9 es 221 x 38.

a) 6 d) 5 b) 3 e) 2 c) 4

11) ¿Cuántos son los números positivos menores que 3200 que son divisibles a la vez por 4, 5, 6 y 8?

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

12) ¿Cuántos son los números positivos menores que 500 que son divisibles a la vez por 3, 4, 8 y 12?

a) 18 d) 16 b) 20 e) 25 c) 24

Propiedades Básicas

MCM (36;9) = 36

1 Sean los números A y B , si A es divisible por B.

⇒

Sean los números 36 y 9 , donde 36 es divisible por 9.

⇒

Ejemplo :

MCM (12;25) = 300

2 Sean los números A y B , si A y B son P.E.S.I.

⇒

Sean los números 12 y 25 , donde 12 y 25 son P.E.S.I.

⇒

Ejemplo :

MCM (A; B) = A

MCM (A; B) = A x B

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Nivel II

13) S e t i e n e l a d r i l l o s c u y a s dimensiones son 12; 15 y 24 cm. ¿Cuántos ladrillos serán necesarios para asentar y formar un cubo compacto?

a) 400 d) 1000 b) 600 e) 1200 c) 800

14) ¿Cuántos ladrillos de dimensiones 6 x 1 5 x 2 0 c m s e n e c e s i t a para formar el segundo cubo compacto?

a) 450 d) 600 b) 540 e) 960 c) 680

15) Halla la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla que se puede dividir en pedazos de 2, 5 y 8 pies de longitud.

a) 80 pies d) 60 pies b) 40 pies e) 240 pies c) 120 pies

16) Halla la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla que se puede dividir en pedazos de 16, 8 y 18 cm de longitud.

a) 72 cm d) 14 m b) 52 m e) 288 cm c) 144 cm

17) Calcula el MCM de 12 y 5.

a) 70 d) 40 b) 50 e) 30 c) 60

18) Calcula el MCM de 2 y 16.

a) 16 d) 15 b) 18 e) 17 c) 12

19) Halla el MCM de:

a) 360 y 150

b) 45 y 39

c) 12 y 84

Rpta.: _____________

Rpta.: _____________

Rpta.: _____________

20) Halla el MCM de: A = 23 x 52 y B = 22 x 53

a) 100 d) 200 b) 400 e) 800 c) 1000

21) Calcula el MCM de: M = 210 x 34 x 52 y N = 28 x 36 x 51 x 7 a) 2 x 3 x 5 x 7 b) 28 x 34 x 51 x 71

c) 210 x 34 x 52

d) 28 x 34 x 51

e) 210 x 36 x 52 x 71

22) Halla el MCM de 39, 91 y 143. a) 3 003 d) 273 b) 3 542 e) 3 000 c) 715

23) ¿Cuál es el menor número, diferente de cero, divisible por 4, 12 y 18?

a) 12 d) 50 b) 24 e) 40 c) 36

24) ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir con reglas de 25 cm, 20 cm y 30 cm no graduadas?

a) 300 cm d) 400 cm b) 200 cm e) 500 cm c) 100 cm

25) ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con reglas de 30, 50 y 60 cm?

a) 400 cm d) 500 cm b) 300 cm e) 600 cm c) 200 cm

28) Halla el MCM de A y B si: A = 220 x 310 x 59 B = 210 x 36 x 512

a) 220 x 310 x 59 b) 210 x 36 x 59 c) 220 x 310 x 512

d) 220 x 36 x 512

e) 210 x 310 x 512

29) Halla el MCM de N y M si: N = 202 x 103 y M =304 x 105

a) 26 x 35 x 56 b) 210 x 310 x 54 c) 29 x 34 x 55

d) 29 x 34 x 59

e) 27 x 34 x 59

30) Si: A = 2n x 3n+2 y B = 2n+1 x 5n+1 halla el MCM de A y B si n

∈Z+.

a) 2n x 3n+1 b) 2n x 3n+2 c) 2n+1 x 3n+1

d) 2n x 3n+3

e) 2n+1 x 3n+2

26) Si MCM (9a, 2a) = 196, calcula «a».

a) 8 d) 50 b) 7 e) 4 c) 6

27) Si MCM (9a, 4b) = 90, calcula a . b

a) 12 d) 20 b) 15 e) 14 c) 18

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Nivel III

31) Calcula el MCM de A y B, si n >1 y n ∈Z+; y además:

A = 2n+1 x 34 x7 y B = 2n x 35

a) 2n x 35 b) 2n+1 x 35 x71 c) 2n+1 x 34

d) 2n+1 x 34 x 71

e) 22n x 35 x 71

32) Calcula el MCM de A y B, si n ∈Z+; y además:

A = 5n+2 x 75 x 3 y B = 35 x 5n

a) 5n x 35 b) 35 x 5n x 75 c) 35 x 5n+2 x 75

d) 31 x 5n+2 x 75

e) 5

33) Halla el menor número entero positivo que contiene a 25; 27 y 29 a la vez.

a) 25 d) 29

b) 212 e) 216

c) 221

34) Halla el MCM de 38, 37 y 310.

a) 315 d) 318

b) 317 e) 310

c) 325

35) Halla el MCM de: 1; 2; 4; 8;... ; 128 a) 1 x 2 x 4 x 8 x ... x 128 b) 128 c) 256 d) 1024 e) 4096

36) El menor número entero positivo divisible por:

5; 52; 53; 54;...; 520

es:

a) 5 d) 520

b) 540 e) 560

c) 5210

37) La edad de una persona tiene exactamente mitad, quinta y séptima. Calcula la suma de las cifras.

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

38) La edad de una persona tiene exactamente veinteavo y treintavo. La suma de las cifras de su edad será:

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

39) Las fiestas patronales de tres pueblos se celebran en forma especial cada 4, 6 y 8 años. ¿Cada cuántos años se celebra simultáneamente la fiesta patronal de estos pueblos?

a) 12 d) 2 b) 18 e) 36 c) 24

40) Dos letreros luminosos se encienden con intermitencias de 42 segundos y 54 segundos, respectivamente. Si a las 6 horas 15 minutos se encienden simultáneamente, ¿a qué hora vuelven a encenderse juntas?

a) 6h 21 min 18s b) 6h 22 min 18s c) 6h 21 min 15s d) 6h 20 min 15s e) 6h 22 min 18s

41) De un terminal terrestre salen 4 lineas de ómnibus; la primera

cada 6 minutos. la segunda

cada 8 minutos, la tercera cada 10 minutos y la cuarta cada 12 minutos. Si a las 2.00 a.m. salieron las 4 juntas, ¿a qué hora volverán a salir las cuatro al mismo tiempo?

a) 4 a.m. d) 7:30 a.m. b) 8 a.m. e) 8:30 a.m. c) 9 a.m.

42) En una reunión asisten entre 5000 y 6000 personas. Si se agrupan de a 8; de a 15 o de a 18 siempre sobra José; pero en grupos de a 11 es exacto. ¿Cuántos asistieron?

a) 5401 d) 5201 b) 5621 e) 5000 c) 5841

43) Las planas de aritmética, álgebra y geometría se reúnen cada 10; 12 y 14 días, respectivamente. Si hoy 1 de enero del 2007 se reúnen las tres planas, ¿en qué fecha se volverán a reunir todos?

a) 23 de febrero de 2007 b) 24 de febrero de 2007 c) 22 de febrero de 2007 d) 25 de febrero de 2007 d) 26 de febrero de 2007

44) En un patio de forma cuadrada se desea acumular losetas 15 x 24 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio. ¿Cuál es el menor número de losetas que se requiere?

a) 60 d) 40 b) 160 e) 80 c) 240

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45) En un patio de forma cuadrada se desea acumular losetas 24 x 30 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio. ¿Cuál es el menor número de losetas que se requiere?

a) 20 d) 120 b) 60 e) 10 c) 12

46) Halla el mayor número de 3 cifras que dividido entre 6, 8 y 14 da siempre residuo cero.

a) 740 d) 840 b) 999 e) 980 c) 960

47) Hallar el mayor número de 3 cifras que dividido entre 9, 12 y 14 da siempre residuo cero.

a) 962 d) 756 b) 892 e) 968 c) 896

48) ¿Cuál es el número comprendido entre 500 y 1000, que al ser dividido entre 12, 21 y 35 da siempre como residuo 6?

a) 642 d) 846 b) 946 e) 876 c) 866

49) ¿Cuál es el número comprendido entre 600 y 800, que al ser dividido entre 14, 18 y 35 da siempre como residuo 8?

a) 738 d) 630 b) 638 e) 688 c) 648

50) Un suceso ocurre cada 5 minutos, otro cada 10 minutos y otro ocurre cada 8 minutos. Si a las 5 p.m. ocurren los 3 sucesos a la vez, ¿a qué hora se encontrarán los 3 sucesos por última vez en el mismo día?

a) 11:20 p.m. d) 11:10 p.m. b) 11:40 p.m. e) 11:00 p.m. c) 11:30 p.m.

Reto

Tres amigos van a tomar unos tragos en un bar. Cada trago vale 10 soles por lo que cada amigo pone 10 soles, en total 30 para pagar los tragos.Después de pagar, el camarero recuerda que hay una oferta por cada tres tragos y les devuelve 5 soles.Como no pueden dividir 5 soles entre los tres, deciden quedar-se con 1 sol cada uno y darle los 2 sobrantes al camarero como propina.Al final cada uno puso 9 soles (10 al principio menos 1 que le han devuelto), que multiplicado por los 3 amigos dan 27 más los 2 que le dieron al camarero suman 29.¿ Qué pasó con el otro sol?

Los tres amigos

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1) ¿Cuál es el menor número, diferente de

cero, divisible por 4, 12 y 18?

a) 12 d) 50 b) 24 e) 40 c) 36

3) De un terminar terrestre salen 4 líneas de

ómnibus; la primera cada 6 minutos, la segunda cada 8 minutos, la tercera cada 10 minutos y la cuarta cada 12 minutos. Si a las 2.00 a.m. salieron las 4 juntas, ¿a qué hora volverán a salir las cuatro al mismo tiempo?

a) 4 a.m. d) 7:30 a.m. b) 8 a.m. e) 8:30 a.m. c) 9 a.m.

5) Halla el mayor número de 3 cifras que

dividido entre 6; 8 y 14 da siempre residuo cero.

a) 740 d) 980 b) 840 e) 960 c) 999

4) En un patio de forma cuadrada se desea

acomodar losetas de 15 x 24 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio. ¿Cuál es el menor número de losetas que se requiere?

a) 60 d) 80 b) 40 e) 240 c) 160

2) Si MCM (9a ; 2a) = 196, calcula a.

a) 8 d) 4 b) 5 e) 6 c) 7

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