Selectividade resueltos

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Matemáticas II PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 2000 2007 José Antonio Ríos ies Salvador de Madariaga
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Matemticas IIPROBLEMAS DE SELECTIVIDAD2000 2007Jos Antonio Rosies Salvador de Madariagandice generalPruebas de Selectividad 1Junio 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Septiembre 2007. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Junio 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Septiembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Junio 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Septiembre 2005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Junio 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Septiembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Junio 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Septiembre 2003. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Junio 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Septiembre 2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Junio 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Septiembre 2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Junio 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Septiembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Problemas Resueltos 19lgebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Geometra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Anlisis Matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Pruebas de SelectividadJunio 2007lgebra lineal1. a) (Problema 3.) Sean F1, F2, F3las las primera, segunda y tercera, respectiva-mente, de una matriz cuadrada Mde orden 3 , con det(M) = 2. Calcula elvalor del determinante de la matriz que tiene por las F1F2, 2F1, F2+F3.b) (Problema7.) DadalamatrizC=

1 12 1, halladosmatricesXeY queverican

X +Y1= CX Y1= Ctsiendo Ctla matriz traspuesta de C.2. (Problema 30.)a) Discute, segn los valores del parmetro m, el siguiente sistema de ecuacio-nes lineales:

mx + y +z = 0x my z = 12x + y +z = 0b) Resulvelo, si es posible, en el caso m= 2.Geometra1. a) Los puntos A(1, 1, 0), B(0, 1, 1) y C(1, 0, 1) son vrtices consecutivos de unparalelogramoABCD. Calculalascoordenadasdel vrticeDyel readelparalelogramo.b) Calcula la ecuacin del plano que pasa por el punto B(0, 1, 1) y es perpendi-cular a la recta que pasa por los puntos A(1, 1, 0) y C(1, 0, 1).2. Dadas las rectasr :

x = 1y = 2 +z = 2 +2; s :x1 = y +12= z +22a) Estudia su posicin relativa.b) Halla la ecuacin del plano que contiene a las dos rectas.12 Septiembre 2007Anlisis1. a) Dada la funcinf(x) =

ax2+1 si x < 2e2x+2 si x 2calcula a para que f(x) sea continua en x = 2. Para el valor obtenido de a,es derivable en x = 2?b) Dada g(x) = ax4+bx+c, calcula los valores de a, b, c para que g(x) tengaenel punto(1, 1)unmnimorelativoylarectatangentealagrcadeg(x), en x = 0, sea paralela a la recta y = 4x.c) Enunciado del teorema fundamental del clculo integral. Dada la fun-cin F(x) =

x0et2dt, tiene F(x) puntos de inexin? Justica la respuesta.2. a) Enunciado e interpretacin geomtrica del teorema de Rolle.b) Dada f(x) = x39x, calcula para f(x): puntos de corte con los ejes, interva-los de crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos relativos, intervalosde concavidad y convexidad y puntos de inexin.c) Calcula el rea de la regin del plano limitada por el eje OAy la curva y =x39x.Septiembre 2007lgebra lineal1. Dada la matrizA =

m 0 00 0 m0 1 m+1

a) Estudia, segn los valores de m, el rango de Ab) Para m = 1, calculalamatriz Xqueverica X A + A =2I, siendo I lamatriz unidad de orden 3.2. a) Discute, segn los valores del parmetro m, el siguiente sistema de ecuacio-nes lineales

x +my +mz = 1x +my +mz = mmy +mz = 4mb) Resulvelo, si es posible, en el caso m= 1.Geometra1. a) Calcula m para que los puntos A(2, 1, 2), B(1, 1, 1), C(0, 1, m) estn alinea-dos.b) Calcula el punto simtrico del punto P(2, 0, 0) respecto de la recta que pasapor los puntos (2, 1, 2) y B(1, 1, 1).Pruebas de Selectividad 32. Dadas las rectasr :x1 = y 11= z 23;

x = 1 +y = 3 +2z = 1 +a) Estudia su posicin relativa.b) Calculalaecuacindel planoquecontienealarectar yesparaleloalarecta s.Anlisis1. a) Calculalmx0exsenx x2x2+x4.b) Calculalosvrticesyelreadelrectngulodereamximaquesepuedeconstruirdemodoquesubaseestsobreeleje OAylosvrticesdelladoopuesto estn sobre la parbola y = x2+12.c) Enunciadodelteoremafundamentaldelclculointegral. Calculalaecuacin de la recta tangente a la grca de F(x) =

x02 +cos(t2)dt, en elpunto x = 0.2. a) EnunciadodelteoremadeBolzano.Podemosasegurarquelagrcadef(x) = x5+2x44 corta el eje OAen algn punto del intervalo (1, 2)?b) Dada la funcing(x) =

0 si x2x2+2 si x > 2Es g(x) continua en x = 2? Es derivable en x = 2?c) Calculael readelaregindel planolimitadaporlasgrcasdeg(x)yh(x) = x.Junio 2006lgebra lineal1. (Problema 8.) Dada la matrizA =

m 0 11 0 m0 1 0

a) Calcula los valores del parmetro m para los cuales A tiene inversa.b) Para m= 0, calcula A3y A25.c) Para m= 0, calcula la matriz Xque verica X A = B,siendo B =

0 1 1

.2. (Problema 29.)4 Junio 2006a) Descute e interpreta geomtricamente, segn los valores del parmetros m,el sistema

2x y +z = 0x 2y +z = mmx y +z = 0b) Resulvelo, si es posible, para los casos m= 0 y m= 2.Geometra1. (Problema 39.)a) Denicin e interpretacin geomtrica del producto vectorial de dos vectoreslibres de R3.b) Calcula los vectores unitarios y perpendiculares a los vectores u = (1, 2, 2) yv = (1, 0, 1).c) Calculaladistanciadelorigendecoordenadasalplanodeterminadoporelpunto (1, 1, 1) y los vectores u = (1, 2, 2) yv = (1, 0, 1).2. (Problema 54.) Dado el plano : 2x +y +3 = 0 y la rectar :

x +2y 2z +6 = 07x y 2z = 0a) Calcula el valor de para que la recta ry el plano sean paralelos. Para esevalor de , calcula la distancia entre ry .b) Paraalgnvalorde ,larecta restcontenidaenelplano ?Justicalarespuesta.c) Para algn valor de , la recta y el plano son perpendiculares? Justica larespuesta.Anlisis1. (Problema 64.)a) Calcula la ecuacin de la recta tangente a la grca de f(x) = (x + 1)exenel punto de corte de f(x) con el eje OA.b) Calcula,para f(x) = (x + 1)ex:intervalosdecrecimientoydecrecimiento,extremos relativos, puntos de inexin, concavidad y convexidad.c) Enunciadoeinterpretacingeomtricadelteoremadelvalormediodelclculo diferencial.2. (Problema 71.)a) Enunciadoeinterpretacingeomtricadelteoremadelvalormediodelclculo diferencial.b) De entre todos los tringulos rectngulos con hipotenusa 10 cm, calcula laslongitudes de los catetos que corresponden al de rea mxima.c) Calcula el valor de m para que el rea del recinto limitado por la recta y =mx y la curva y = x3, sea 2 unidades cuadradas.Pruebas de Selectividad 5Septiembre 2006lgebra lineal1. (Problema 6.)a) Sean A, B y Ctres matrices tales que el producto A B Ces una matriz 32yelproducto A Ctesunamatrizcuadrada,siendo Ctlatraspuestade C.Calcula, razonando la respuesta, las dimensiones de A, By C.b) Dada M =

1 01 1,obtn todaslas matrices Xqueconmutan con M,esdecir, verican X M = M X.c) Calcula la matriz Yque verica M Y +M1 Y = I, siendo M la matriz dadaen el apartado anterior, M1la matriz inversa de Me Ila matriz unidad deorden 2.2. (Problema 20.)a) Si enunsistemadetresecuacioneslinealescontresincgnitas, el rangodelamatrizdeloscoecienteses3, podemosarmarqueel sistemaescompatible? Razona la respuesta.b) Discute, segn los valores del parmetro m, el sistema de ecuaciones linea-les:

y +mz = 0x +z = 0mx y = mc) Resuelve el sistema anterior para el caso m= 0.Geometra1. (Problema 45.)a) Dados los vectores u = (1, 0, 1),v = (1, 1, 0), calcula los vectores unitariosde R3que son ortogonales a los dos vectores dados.b) Sea elplanodeterminadoporelpunto P(2, 2, 2)yporlosvectores u =(1, 0, 1) y v = (1, 1, 0). Calcula el ngulo que forma el plano con la rectaque pasa por los puntos O(0, 0, 0) y Q(2, 2, 2).c) Calcula el punto simtrico de O(0, 0, 0) respecto al plano x y +z 2 = 0.2. (Problema 47.) Los lados de un tringulo estn sobre las rectasr1:x 11= y 11= z +12; r2:

x = 2 +ty = 2 +tz = 1; r3:

x y z 1 = 0x z = 0a) Calculalosvrticesdel tringulo. Esuntringulorectngulo?Razonalarespuesta.b) Calculalaecuacindelplano quecontieneeltringulo. Calculalainter-seccin del plano con los ejes OA, OVy OZ.6 Junio 2005Anlisis1. a) (Problema69.) Calculalosvaloresde ay bparaquelagrcade f(x) =ax + bxtenga un mnimo relativo en el punto

12, 4. Para esos valores de ay b, calcula: asntotas e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x).b) (Problema 77.) Calculalmx0x2excos2x 1c) Denicin de primitiva e integral indenida de una funcin. Enunciado de laregla de Barrow.2. a) (Problema59.) Denicindefuncincontinuaenunpunto. Qutipodediscontinuidad tiene en x = 0 la funcin f(x) =x2x?b) (Problema 72.) Un alambre de 170 cmde longitud se divide en dos partes. Conuna de las partes se quiere formar un cuadrado y con la otra un rectngulode modo que la base mida el doble de la altura. Calcula las longitudes de laspartes en que se ha de dividir el alambre para que la suma de las reas delcuadrado y del rectngulo sea mnima.c) (Problema 87.) Calcula el rea del recinto limitado por la recta y = 2 x y lacurva y = x2.Junio 2005lgebra Lineal1. (Problema 4.) Halla todas las matrices A =

aij

, cuadradas de orden 3, tales quea21 = a32 = 0y A + At= 4I,siendo Ilamatrizidentidaddeordentresy Atlamatriz traspuesta de A, de las que adems se sabe que su determinante vale 10.2. (Problema 27.) Discuta e interprete geomtricamente, segn los diferentes valoresdel parmetro m, el siguiente sistema:

x +y z = 14x 2y +2z = 2m3x 2y +mz = 4Geometra1. (Problema 56.) Calcule la distancia entre las rectas de ecuacionesr : x = y 13= z 47, s : x 2 = y 23= z 342. (Problema 31.) Demuestre que los puntos P = (0, 0, 4), Q = (3, 3, 3), R = (2, 3, 4) yS = (3, 0, 1) son coplanarios y determine el plano que los contiene.Pruebas de Selectividad 7Anlisis1. a) Enunciado e interpretacin geomtrica del Teorema del Valor Medio delClculo Integral para funciones continuas.b) (Problema 84.) Sea f : [2, 2] RR continua en [2, 2] tal que

12f(t) dt =

21f(t) dtsepuedeasegurarqueexisten by cen [2, 2]talesque b 1, c 1yf(b) = f(c)? Justique su respuesta.2. a) Enunciado de la Regla de LHpital.b) (Problema 65.) Calcule la relacin entre a y b para que sea continua en todala recta real la funcin f : RR denida porf(x) =

eax12xsi x 0b si x = 0Bloque 41. a) Denicindecotasuperiordeunasucesindenmerosreales. Denicinde sucesin acotada inferiormente.b) (Problema 57.) Demuestre que la sucesin de trmino general an = 4n1n+1escreciente y halle una cota inferior positiva (justicando que es cota inferior).2. a) Explique, brevemente, el mtodo de integracin de funciones racionalesP(x)/Q(x), en el caso de que el denominador, Q(x) tenga slo races reales.b) (Problema 79.) Calcule

2x 1x(x +1)2 dx.Septiembre 2005lgebra1. (Problema 11.) Resuelva la ecuacin matricial A X +C = B, siendoA =

4 11 0, B =

1 2 0 12 1 1 0, C =

0 1 2 11 0 3 02. (Problema 28.) Discuta y resuelva, segn los valores del parmetro , el siguientesistema de ecuaciones. Interprtelo geomtricamente en cada caso

2x 3y +z = 0x y 3z = 05x +3y z = 08 Junio 2004Geometra1. a) Qucondicindebencumplirloscoecientesdelasecuacionesgeneralesde dos planos para que sean perpendiculares?b) (Problema 50.) Halle el ngulo que forman los planos : 2x y +z 7 = 0y : x +y +2z = 11.2. a) Denicin de producto mixto de tres vectores. Puede ocurrir que el produc-tomixtodetresvectoresseacerosinserningunodelosvectoreselvectornulo? Razone la respuesta.b) (Problema36.)Para u,v,w,tresvectoresenelespaciotalesque u = 2, v= 3 y w= 5, halle los valores mnimo y mximo del valor absoluto desu producto mixto.Anlisis1. a) Continuidad lateral de una funcin en un punto.b) (Problema76.) Analicelacontinuidad, enel puntox =0, delafuncinfdada porf(x) =

2x1xsi x < 0cos(x)x2+1si x 02. a) Teoremafundamentaldelclculointegralparalasfuncionesconti-nuas. Enunciado e interpretacin geomtrica.b) (Problema78.)Sea F(x) = x0sen(t2) dt. Calculelasegundaderivadadelafuncin F(sin intentar calcular la integral).Bloque 41. (Problema 58.) Calcule: a) lmn

n25n+4 n

, b) lmn

2n82n+1.2. (Problema 80.) Calcule

x3+x +2x2+3dx.Junio 2004lgebra1. (Problema 25.) Halle tres nmeros sabiendo que el primero menos el segundo esigual a un quinto del tercero, si al doble del primero le restamos seis nos quedala suma del segundo y el tercero y, adems, el triple del segundo menos el dobledel tercero es igual al primero menos ocho.2. (Problema 2.) Demuestre que toda matriz cuadrada 3-dimensional se puede escri-bir como suma de una matriz simtrica y otra antisimtrica.Pruebas de Selectividad 9Geometra1. a) Distancia entre dos rectas que se cruzan.b) (Problema 52.) Halle la distancia entre las rectas ry sde ecuacionesr:

x = y = 1z = 1 s :

x = 1 +y = 2z = 22. a) ngulo que forman dos rectas. Condicin de perpendicularidad.b) (Problema48.) Determineel nguloqueformanlarectaquepasaporlospuntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 2) y la recta de ecuacin x = y 12= z 21.Anlisis1. (Problema 74.) Un barco By dos ciudades A y Cde la costa forman un tringulorectngulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A y Cson 13 km y 5 km,respectivamente.Unhombresituadoen Adeseallegarhastaelbarco B.Sabien-doquepuedenadara 3km/hycaminara 5km/haqudistanciade Adebeabandonar la costa para nadar hasta Bsi quiere llegar lo antes posible?2. (Problema 88.) Demuestre que la funcin fdada por f(x) =4x2+x 2es estric-tamente positiva en [2, +) y halle el rea de la regin determinada por la grcade f, el eje de abscisas y las rectas x = 2 y x = 3.Bloque 41. a) Escribalosdistintoscasosdeindeterminacinquepuedenpresentarsealcalcular lmites de sucesiones de nmeros reales y ponga un ejemplo sencillo(sin resolverlo) de, por lo menos, cuatro de los casos.b) (Problema60.)Calculelmnn+7 n 3n+5indicandoeltipodeindeterminacin (o indeterminaciones) que se presentan al intentar resolvereste lmite.2. a) Explique brevemente (en cinco lneas como mximo) como se aplica el mto-do de Gauss para calcular el rango de una matriz.b) (Problema5.) Determine, empleandoel mtododeGauss, el rangodelamatriz siguiente.

2 1 0 71 0 1 33 2 7 71 1 1 1

Septiembre 2004lgebra Lineal1. a) Enunciado de la Regla de Cramer.10 Septiembre 2004b) Determineloscoecientesdel polinomiodegradodostal quesugrcapasaporlospuntos (0, 5), (1, 7)y (1, 5).Puedehaberotropolinomiodesegundo grado que pase por esos tres puntos? Razone la respuesta.2. a) Expreselacondicinquetienenquecumplirdosmatrices My Nparaquepuedahallarsesusuma. Y, si loquepretendemosesmultiplicarlas, qucondicin deben cumplir las matrices?b) (Problema 10.) Dadas las matricesA =

1 22 1, B =

55Halle una matriz Xtal que AX +B = 0.Geometra1. CompruebequelospuntosA=(1, 0, 3), B=(2, 5, 4), C=(0, 2, 5) yD=(1, 4, 7) son coplanarios. De todos los tringulos que se pueden construir tenien-do como vrtices tres de los cuatro puntos, cul es el de mayor rea? Obtenga elvalor de dicha rea.2. Halle la ecuacin general del plano que contiene a la recta r: x 12= y 14=z2yesparaleloalarecta squepasaporlospuntos P = (2, 0, 1)y Q = (1, 1, 1).Calcule la distancia de sa .Anlisis1. a) Interpretacin geomtrica de la derivada de una funcin en un punto.b) Determine las abscisas de los puntos de la curva y = x33x23x+1 en losque la recta tangente forma un ngulo de 135 con el sentido positivo del ejede abscisas.2. a) Denicindefuncincontinuaenunpunto.Expliquebrevementelostiposde discontinuidades que existen.b) Estudie la continuidad en toda la recta real de la funcin fdada porf(x) =

sen(x)xsi x > 0x +1 si x 0Bloque 41. Dejamoscaerunapelotadesdeunaalturade4metrosy, trascadarebote, laaltura alcanzada se reduce a la mitad de la altura anterior. Qu altura alcanzar lapelota tras cada uno de los cinco primeros rebotes? Y tras el rebote vigsimo? Ytras el n-simo rebote? Si an representa la altura alcanzada tras el n-simo rebote,obtenga una cota superior y otra inferior de esta sucesin. Calcule lmnan.2. (Problema 81.) Calcule

3x 2x2+x +1 dx.Pruebas de Selectividad 11Junio 2003lgebra Lineal1. (Problema 12.) Se consideran dos matrices A y Bque verican A + B =

3 27 0 yAB =

2 31 0. Calcule la matriz A2B2.2. (Problema 18.) Calcule mediante transformaciones elementales (sin emplear la re-gla de Sarrus) y justicando los pasos, el determinante siguiente.2 +a b ca 2 +b ca b 2 +cGeometra1. a) Denicin de mdulo de un vector. Propiedades.b) (Problema 38.) Determine los valores de a y b(a > 0) para que los vectores v1 = (a, b, b) v2 = (b, a, b) y v3 = (b, b, a) sean unitarios y ortogonales dosa dos.2. a) ngulo que forman una recta y un plano.b) (Problema 49.) Determine el ngulo que forman el plano : x+2y3z+4 =0 y la recta

2x y = 03y +2z = 12Anlisis Matemtico1. a) Qu es un punto de inexin de una funcin?b) (Problema 66.) Halle la condicin que debe cumplir para que el polinomiox4+ x3+ x2seacncavoenalgnintervalo. Determineel intervalodeconcavidad en funcin de .2. a) Enunciado e interpretacin geomtrica del Teorema de Bolzano.b) (Problema 62.) Se puede asegurar, utilizando el Teorema de Bolzano quela funcin f(x) = tg(x) tiene una raz en el intervalo [/4, 3/4]? Razonela respuesta. Esboce la grca de fen ese intervalo.Septiembre 2003lgebra Lineal1. (Problema 17.) Demuestre que la matriz A =

2 11 2verica una ecuacin del tipoA2+A+I = 0, determinando y (Idenota la matriz identidad). Utilice estehecho para calcular la inversa de A.12 Junio 20022. (Problema23.) Discutaeinterpretegeomtricamente, segnel parmetroelsistema de ecuaciones

3x y = x5x +y +2z = y4y +3z = zGeometra1. a) Qu signica geomtricamente que tres vectores del espacio tridimensionalsean linealmente independientes?b) (Problema 32.) Dados los vectores u1 = (1, 2, 1),u2 = (1, 3, 2),v1 = (1, 1, 0)y v2 = (3, 8, 5),demuestrequelosvectores u1y u2dependenlinealmentedelosvectores v1y v2. Determinelaecuacingeneraldelplanoquepasapor el origen y contiene los vectoresv1 yv2, y determine la posicin relativade los vectores u1 y u2 respecto a ese plano.2. a) Denicin de producto escalar de dos vectores. Interpretacin geomtrica.b) (Problema 44.) Determine la ecuacin que satisfacen los vectores ortogonalesa la rectar:

2x +y z = 0x y +3z = 0Interprete geomtricamente el resultado obtenido.Anlisis Matemtico1. (Problema 68.) Dada la parbola f(x) = ax2+bx +c, determine los valores de a,b y c sabiendo que ftiene un mximo en el punto de abscisa x = 1/2 y la rectatangente a fen el punto (1, 3) es y = 3x +6.2. (Problema 90.) Determine el rea de la regin limitada por la grca de la funcinf(x) = x2+x +5, el eje OXy la rectas x = 1/2 e y = x +6.Junio 2002lgebra Lineal1. a) Denicin de producto de matrices.b) (Problema 1.) Dadas tres matrices A, B y Cse sabe que A B Ces una matrizde orden 2 3 y que B Ces una matriz de orden 4 3, cul es el orden deA? Justifquelo.2. a) Enunciado del Teorema de Rouch-Frobenius.b) (Problema 19.) Es compatible determinado el siguiente sistema de ecuacio-nes?

3x +2z = 25x +2y = 1x 2y +4z = 3Pruebas de Selectividad 13Justique su respuesta. Como consecuencia de su respuesta anterior, justi-que si tiene una, ninguna o ms de una solucin este sistema.Geometra1. (Problema 55.) Halle la distancia del plano : 4x 10y +2z = 1 al plano:

x = 2 +3y = +z = 2. (Problema 34.) Determine el vector (o vectores) unitarios v = (a, b, c) (con a > 0,b > 0, c > 0), que forman un ngulo de6radianes con el vectoru = (1, 1, 1) y unngulo de4radianes con w = (2, 0, 2).Anlisis Matemtico1. (Problema 85.) Dibuje la grca de f(x) = x24 en el intervalo [3, 3] y calculesu integral en ese intervalo.2. (Problema67.) Dada F(x) =x22x +2x 4, escribalaecuacindelasecantea Fqueunelospuntos(2, F(2))y(2, F(2)). Existeunpuntocenel intervalo[2, 2]vericandoquelatangentealagrcade Fen (c, F(c))esparalelaalasecantequehahallado?Encasoarmativorazonesurespuestaycalcule c, encaso negativo razone porqu no existe.Septiembre 2002lgebra Lineal1. (Problema22.)Discutaelsiguientesistemadeecuacionessegnelvalorde yresulvalo en el caso en que sea compatible indeterminado.

x +y +z = 1x +2y +z = x +y +z = 12. (Problema 13.) Halle, si existe, una matriz Xque verique la ecuacin B2X BX =B, siendoB =

2 10 3Geometra1. a) Deduzca las ecuaciones vectorial, paramtricas e implcita (o general) de unplano determinado por un punto y dos vectores directores.14 Junio 2001b) (Problema 46.) Dados los puntos P(3, 4, 1) y Q(7, 2, 7), determine la ecuacingeneraldelplanoqueesperpendicularalsegmento PQyquepasaporelpunto medio de ese segmento.2. a) Denicin e interpretacin geomtrica de producto vectorial de dos vectores.b) (Problema 35.) Dados los vectores u = (2, 0, 4) y v = (1, 0, ), para quvalores de el mdulo del vector u+v

uv

vale 4?Anlisis Matemtico1. (Problema 73.) Calcule la ecuacin de la recta que pasa por el punto (3, 1) y tal queel rea tringulo formado por esta recta y los semiejes positivos coordenados seamnima.2. (Problema 91.) Calcule el nmero positivo tal que el valor del rea de la reginlimitada por la recta y = y la parbola y = (x 2)2sea 36.Junio 2001lgebra Lineal1. a) Propiedades del producto de matrices.b) (Problema 14.) SeanM =

0 1 10 0 10 0 0

y N = M+I, donde I denota la matriz identidad de orden 3, calcule N2y M2.Son No Minversibles? Razone la respuesta.2. a) Propiedades de los determinantes.b) (Problema 16.) Sean F1, F2, F3, F4 las las de una matriz cuadrada Pde orden44, tal que su determinante vale 3. Calcule razonadamente el valor del de-terminante de la inversa de P, el valor del determinante P, donde denotaun nmero real no nulo, y el valor del determinante de la matriz tal que suslas son 2F1F4, F3, 7F2 y F4.Geometra1. a) En qu posicin relativa pueden estar tres planos en el espacio que no tienenningn punto en comn?b) (Problema 42.) Determine la posicin relativa de los planos : x2y+3z =4, : 2x +y +z +1 = 0 y : 2x +4y 6z = 0.2. a) ngulo que forman dos rectas.b) (Problema43.)Determineelnguloqueformanlarecta r, quepasaporelpunto (1, 1, 0) y tal que su vector direccin esv = (2, 0, 1) y la recta sdeecuacinx 74= y +64= z2Pruebas de Selectividad 15Anlisis Matemtico1. (Problema 70.) Sabiendo que P(x) es un polinomio de tercer grado con un puntode inexin en (1, 0) y con P(1) = 24 donde, adems, la tangente al polinomioen ese punto es horizontal, calcule 01P(x) dx.2. (Problema 89.) Dadasf(x) = x x2, g(x) =

3x si x 0x2si x > 0calcule 01x2(g f)(x) dx. (g fdenota la composicin.)Septiembre 2001lgebra Lineal1. (Problema24.) Calculeparaqueel siguientesistemahomogneotengamssoluciones que la trivial. Resulvalo para dicho valor y explique la interpretacingeomtrica del sistema y de su solucin.

x +2y z = 02x +y z = 0x y z = 02. (Problema15.)Calculelosvaloresdelparmetro paralosquelamatriz Mnotiene inversa. Calcule la matriz inversa para = 2, si es posible.M =

1 0 10 34 1

Geometra1. a) (Problema 37.) Seanu yvdos vectores. Compruebe que si u+v uv

=0 entonces u = v.b) Calculelosvectoresunitariosqueseanperpendicularesalosvectores u =(3, 4, 1) yv = (2, 1, 0).2. a) Denicin de la distancia mnima entre dos rectas en el espacio. Casos posi-bles.b) (Problema53.)Calculeladistanciaentrelasrectas ry s,donde rtieneporecuacionesr : x =3y =5zylarectaspasaporlospuntosA(1, 1, 1)yB(1, 2, 3).Anlisis Matemtico1. a) Puede haber dos funciones distintas que tengan igual funcin derivada? Sila respuesta es armativa, ponga un ejemplo. Si, por el contrario, la respuestaes negativa, raznela.16 Junio 2000b) (Problema 63.) Calcula la derivada de la funcin f(x) = x2 en x = 2, si esposible. Represente la grca de la funcin y, sobre ella, razone su respuesta.2. a) Enunciado del Teorema del Valor Medio del Clculo Integral.b) (Problema 83.) Sean fy g, dos funciones continuas, denidas en el intervalo[a, b], quevericanque ba f= ba g. Demuestrequeexisten, [a, b]tales que f() = f().Junio 2000lgebra Lineal1. (Problema9.) Sedicequedosmatricescuadradas, AyB, deordenn n, sonsemejantes si existe una matriz inversible P, tal que B = P1AP, donde P1denotala matriz inversa de P. Determine si son semejantes las matricesA =

1 20 1y B =

1 00 12. (Problema 21.) Discuta, segn los valores de , el siguiente sistema de ecuacioneslineales e interprtelo geomtricamente.

x y +z = 0y +2z = 42y +z = 4Geometra1. (Problema41.)Calculeelvolumendeltetraedrodevrticeselpunto P(1, 1, 1)ylos puntos de corte del plano : 2x+3y+z12 = 0 con los ejes de coordenadas.Calculetambinelpuntodecortedelplano ylarectaperpendiculara quepasa por el punto P.2. (Problema40.) Determinelasecuacionesvectorial, paramtricasygeneral delplano determinado por los puntos A = (1, 0, 0), B(2, 1, 2) y C(5, 1, 1). Calculela distancia del punto P(2, 7, 3) al plano.Anlisis Matemtico1. a) Denicindeunafuncincontinuaenunpunto.Denicindederivadadeuna funcin en un punto.b) (Problema 61.) Estudie la continuidad y derivabilidad de la funcinf(x) =

x29x 3si x = 36 si x = 3en el punto x = 3.2. a) Enunciado de la Regla de Barrow.b) (Problema 82.) Sea f(x) =

x11t dt, y sean a, b R+. Demuestre que f(a.b) =f(a) +f(b).Pruebas de Selectividad 17Septiembre 2000lgebra Lineal1. a) Qurelacinexisteentreelconjugadodelopuestodeunnmerocomple-jo,z =a + bi, yel opuestodel conjugadodel mismonmero?Razonalarespuesta.b) Calcular los nmeros reales x e yde modo que3 xi1 +2i = y +2i2. a) Un sistema lineal de tres ecuaciones con dos incgnitas, puede ser compa-tible y determinado? En caso armativo ponga un ejemplo.b) Discutayresuelva,segnlosvaloresdelparmetro ,elsiguientesistema(Problema 26.)

x +y +z = 12x +y +z = 2Geometra1. (Problema 33.) Calcule para que los puntos A = (1, 1, 1), B = (3, 0, 2), C(5, 2, 2)y D = (2, 1, ) sean coplanarios. Calcule el rea del polgono ABCD.2. (Problema 51.) Dado el plano 1 : 3x+y +z = 6. Calcule para que la recta quepasaporelpunto P(1, 1, 2)yesperpendicularalplano 1seaparalelaalplano2 : x y = 3. Calcule la distancia de la recta ral origen.Anlisis Matemtico1. a) Puedeunafuncinpolinmicadegradodostenerunpuntodeinexin?Razone la respuesta.b) (Problema 75.) Estudie la concavidad, convexidad y puntos de inexin de lafuncin f(x) =lnxx.2. a) Sif esunfuncincontinuaen[a, b], puedeser ba f(t) =0?Razonelarespuesta con un ejemplo.b) (Problema 86.) Calcule

30x

1 +x2dx.Problemas Resueltoslgebra Lineal1. Dadas tres matrices A, By Cse sabe que A B Ces una matriz de orden 2 3 yque B Ces una matriz de orden 4 3, cul es el orden de A? Justifquelo.SolucinPara que las matrices se puedan multiplicar, el nmero de columnas de la matriz Atiene que coincidir con el nmero de las de la matriz B, y el nmero de columnas deBtiene que coincidir con el nmero de las de C. Sea, entonces, A de orden m n, Bde orden np y Cde orden p q.El producto de matrices tiene el mismo nmero de las que la primera y el mismonmero de columnas que la ltima. Por tanto, el producto A B Cser de orden mqy como sabemos que es una matriz 2 4 deducimos que m= 2.Anlogamente,elproducto B Cserdeorden n qycomosabemosqueesunamatriz 4 3, deducimos que A es una matriz de orden 2 4.2. Demuestrequetodamatrizcuadrada 3-dimensionalsepuedeescribircomosumade una matriz simtrica y otra antisimtrica.SolucinSea A una matriz cuadrada de orden 3A =

a11a12a13a21a22a23a31a32a33

Queremos escribir esta matriz como suma de una matriz simtrica y otra antisim-trica. Una matriz es simtrica si lo es con respecto a la diagonal principal. Una matrizesantisimtricasi loselementossituadossimtricamenteconrespectoaladiagonalprincipal son opuestos. Es decir estamos buscando una igualdad del tipo

a11a12a13a21a22a23a31a32a33

=

x11x12x13x12x22x23x13x23x33

+

y11y12y13y12y22y23y13y23y33

1920 lgebra LinealTenemos que hallar los valores de xijy de yij. Igualando coecientes tenemos queresolver un conjunto de sistemas de ecuaciones del tipo

a12 = x12+y12a21 = x12y12(Anlogamente para x13, y13 y para x23, y23.)El sistema se resuelve fcilmente, por ejemplo sumando y restando las ecuaciones.Llegamos a x12 = (a12+a21)/2, y12 = (a12a21)/2Para cada elemento de la diagonal principal se tiene una ecuacin con dos incgnitasa11 = x11+y11. Podemos tomar x11 = a11, y11 = 0.Nota. Esevidentequeelhechodequelamatrizseadeorden 3notieneningunain-uencia, el resultado es vlido para cualquier matriz cuadrada.Adems, si nos jamos en el resultado obtenido podramos seguir un caminoms general: dada una matriz A, cuadrada de orden n, entonces:a) La matriz X =12A+At

es simtrica. (Por qu?)b) La matriz Y =12AAt

es antisimtrica. (Por qu?)c) Se verica A = X +Y =12A+At+AAt

3. Sean F1, F2, F3 las las primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matrizcuadradaMdeorden3, condet(M) = 2. Calculael valordel determinantedelamatriz que tiene por las F1F2, 2F1, F2+F3.SolucinAplicando las propiedades de los determinantes tenemosdet(F1F2, 2F1, F2+F3 = det(F1F2, 2F1, F2) +det(F1F2, 2F1, F3)= 0 +det(F1F2, 2F1, F3)= det(F1, 2F1, F3) det(F2, 2F1, F3)= 2det(F2, F1, F3) =44. Halle todas las matrices A =

aij

, cuadradas de orden 3, tales que a21 = a32 = 0y A+At= 4I, siendo Ila matriz identidad de orden tres y Atla matriz traspuesta de A,de las que adems se sabe que su determinante vale 10.SolucinEn primer lugar escribimos una matriz A, cuadrada de orden 3, y su traspuestaA =

a11a12a13a21a22a23a31a32a33

, At=

a11a21a31a12a22a32a13a23a33

Teniendo en cuenta que a21 = a32 = 0A =

a11a12a130 a22a23a310 a33

, At=

a110 a31a12a220a13a23a33

Problemas Resueltos 21De la igualdad A+At= 4Ise deduceA+At=

2a11a12a13+a31a122a22a23a31+a13a232a33

=

4 0 00 4 00 0 4

Igualando trminos tenemos a11 = 2, a12 = 0, a31+ a13 = 0 (es decir a13 = a31),a22 = 2, a23 = 0, a33 = 2. Es decirA =

2 0 a130 2 0a130 2

Como det(A) = 10 se deduce 8 +2a213 = 10, es decir a213 = 1. Por tanto a13 = :1.Por tanto, hay dos solucionesA =

2 0 10 2 01 2 0

A =

2 0 10 2 01 2 0

5. Determine, empleando el mtodo de Gauss, el rango de la matriz siguiente

2 1 0 71 0 1 33 2 7 71 1 1 1

Solucin

2 1 0 71 0 1 33 2 7 71 1 1 1

1.

1 1 1 11 0 1 33 2 7 72 1 0 7

2.

1 1 1 10 1 0 20 1 4 40 3 2 5

3.

1 1 1 10 1 0 20 0 4 20 0 14 7

4.

1 1 1 10 1 0 20 0 2 10 0 0 0

1. Cambiamos el orden de las las: (F1, F2, F3, F4) (F4, F1, F3, F2)2. F2F1 F2; F33F1 F3; F42F1 F43. F43F3 F44. 7F3+2F4 F4Se deduce que el rango de la matriz es 3.22 lgebra Lineal6. a) Sean A, By Ctres matrices tales que el producto A B Ces una matriz 3 2yelproducto A Ctesunamatrizcuadrada,siendo Ctlatraspuestade C.Calcula,razonando la respuesta, las dimensiones de A, By C.b) DadaM =

1 01 1, obtntodaslasmatricesXqueconmutanconM, esdecir,verican X M = M X.c) Calcula la matriz Yque verica M Y + M1 Y = I, siendo M la matriz dada en elapartado anterior, M1la matriz inversa de Me Ila matriz unidad de orden 2.Solucina) Recordemosdosmatricessepuedenmultiplicarsi el nmerodecolumnasdelaprimera coincide con el nmero de las de la segunda y el producto tiene el mismonmero de las que la primera y el mismo nmero de columnas que la segunda.Sea A de orden m n, Bde orden n py Cde orden p qentonces sabemosque Ctes de orden q py A B Ces de orden m qy como sabemos que es deorden 3 2 deducimos m= 3 y q = 2.Por otra parte para poder hallar el producto A Ctdebemos tener n = q = 2 y elproducto es de orden mp. Finalmente por ser cuadrada p = m= 3.b) Para poder calcular los dos productos XM y MX la matriz X tiene que ser cuadradade orden 2.M =

a bc dEntonces

a bc d1 01 1=

1 01 1a bc dDesarrollando e igualando llegamos al sistema

a +b = ab = bc +d = a cd = b dSe deduce a = d y b = 0 y las matrices que conmutan son

a 0c adonde a y cson dos nmeros reales cualesquiera.c) Despejamos YM Y +M1 Y =

M +M1

Y = I Y =

M +M1

1Calculamos la inversa de M(teniendo en cuenta que det(M) = 1)

1 01 1

1 10 1

1 01 1= M1Problemas Resueltos 23M +M1=

2 00 2= 2IY =

M +M1

1=

1/2 00 1/27. Dada la matriz C =

1 12 1, halla dos matrices Xe Yque verican

X +Y1= CX Y1= Ctsiendo Ctla matriz traspuesta de C.SolucinSumando las dos ecuaciones tenemos 2X = C+Ctde donde X =12(C+Ct). Restandotenemos 2Y1= C Ctde donde Y1=12(C +Ct).C +Ct=

1 12 1+

1 21 1=

2 33 2, X =

1 3/23/2 18. Dada la matrizA =

m 0 11 0 m0 1 0

a) Calcula los valores del parmetro m para los cuales A tiene inversa.b) Para m= 0, calcula A3y A25.c) Para m= 0, calcula la matriz Xque verica X A = B, siendo B =

0 1 1

.Solucina) Desarrollando por la tercera la tenemosdet(A) =m 11 m= m21Entoncesdet(A) = 0 m2 1 = 0 m = :1Comolacondicinnecesariaysuciente para que una matriz tenga inversa es que el determinante sea distinto decero, se deduce que la matriz A tiene inversa m R, m= :1.b) En el caso m= 0A =

0 0 11 0 00 1 0

24 lgebra LinealY tenemosA2=

0 0 11 0 00 1 0

0 0 11 0 00 1 0

=

0 1 00 0 11 0 0

A3= A2 A

0 1 00 0 11 0 0

0 0 11 0 00 1 0

=

1 0 00 1 00 0 1

= IDonde Irepresenta la matriz unidad de orden 3. A partir de la igualdad anteriorse deduce que A6= A3 A3= (I)(I) = I.Finalmente A25= A24 A =A6

4 A = I A = A.c) Para m= 0 det(A) = 1. Hallamos la inversaAAt=

0 1 00 0 11 0 0

Adj(At) =

0 1 00 0 11 0 0

A1=

0 1 00 0 11 0 0

Resolvemos la ecuacin matricial: X = B A1X = (0 1 1)

0 1 00 0 11 0 0

= (1 0 1)9. Se dice que dos matrices cuadradas, A y B, de orden nn, son semejantes si existeunamatrizinversible P,talque B = P1AP,donde P1denotalamatrizinversade P.Determine si son semejantes las matricesA =

1 20 1y B =

1 00 1SolucinComo Pes inversible, a partir de B = P1APtenemos PB = AP. Se trata, entonces,de hallar una matrizP =

x yz tque verica

x yz t1 00 1=

1 20 1x yz tDe donde

x yz t=

x +2z y +2tz tProblemas Resueltos 25Igualando los trminos correspondientes tenemos el sistema

x = x +2zy = y +2tz = zt = tEntonces t = t t = 0, sustituyendo en la segunda y = 0, adems x+2z = xz = 0.Ahora bien, la matriz

x 00 0tiene determinante 0. Por tanto no es inversible y las matrices no son semejantes.Nota. Hay otra forma de llegar al resultado. Como det(AB) = det(A)det(B). Entoncessi existe la matriz Pinversible (es decir det(P) = 0), se verica1 = det(B) = det

P1AP

= det

P1

det(A) det(P) =1det(P) 1 det(P) = 1lo cual es absurdo. Por tanto no puede existir la matriz P.10. Dadas las matricesA =

1 22 1, B =

55Halle una matriz Xtal que AX +B = 0.SolucinTeniendo en cuenta las propiedades de las matrices tenemos AX = B y, por tanto,X = A1(B) Como det(A) = 5, la matriz A tiene inversa y su inversa es

1 22 1

1 22 1 ; A1=

1/5 2/52/5 1/5X =

1/5 2/52/5 1/555X =

3111. Resuelva la ecuacin matricial A X +C = B, siendoA =

4 11 0, B =

1 2 0 12 1 1 0, C =

0 1 2 11 0 3 026 lgebra LinealSolucinTeniendo en cuenta las propiedades de la suma y el producto de matrices tenemosA X +B = CA X = B CX = A1(B C)Calculamos B CB C =

1 3 2 23 1 4 0Parahallarlainversadelamatriz Acalculamossucesivamentelatraspuestade A(At) y la adjunta de la traspuesta que coincide con la inversa puesto que det(A) = 1

4 11 0

4 11 0

0 11 4FinalmenteX =

0 11 41 3 2 23 1 4 0X =

3 1 4 011 1 14 212. Se consideran dos matrices A y B que verican A+B =

3 27 0y AB =

2 31 0.Calcule la matriz A2B2.Solucin

A+B =

3 27 0

AB =

2 31 0

Si sumamos las dos ecuaciones obtenemos2A =

5 56 0; A =

5/2 5/23 0Si restamos las ecuaciones tenemos2B =

1 18 0; B =

1/2 1/24 0EntoncesA2=

5/2 5/23 05/2 5/23 0=

55/4 25/415/2 15/2B2=

1/2 1/24 01/2 1/24 0=

7/4 1/42 2Problemas Resueltos 27FinalmenteA2B2=

31/2 13/211/2 19/2Nota. No es posible utilizar la igualdad A2B2= (A+B)(AB), ya que no es vlida siA y Bson matrices.

31/2 13/211/2 19/2= A2B2= (A+B)(AB) =

3 27 0 2 31 0=

4 914 21Si desarrollamos el producto (A+B)(AB) = A2AB+ABB2, como el productodematricesnoesconmutativo, lostrminosintermediosnoseanulan. EsdecirA2B2 (A+B)(AB) si A y Bson matrices.13. Halle, si existe, una matriz Xque verique la ecuacin B2X BX = B, siendoB =

2 10 3SolucinPor la propiedad distributiva, si B2X BX = Bentonces B2B

X = B.B2=

2 10 32 10 3=

4 50 9B2B =

2 40 6Entonces detB2B

= 12.Calculamos la inversa

B2B

1=112

6 40 2=

1/2 1/30 1/6FinalmenteX =

1/2 1/30 1/62 10 3X =

1 1/20 1/214. SeanM =

0 1 10 0 10 0 0

y N = M +I, donde Idenota la matriz identidad de orden 3, calcule N2y M2. Son NoMinversibles? Razone la respuesta.28 lgebra LinealSolucinTenemosN =

0 1 10 0 10 0 0

+

1 0 00 1 00 0 1

=

1 1 10 1 10 0 1

Por tantoM2=

0 1 10 0 10 0 0

0 1 10 0 10 0 0

=

0 0 10 0 00 0 0

N2=

1 1 10 1 10 0 1

1 1 10 1 10 0 1

=

1 2 30 1 20 0 1

Adems det(M) = 0 y det(N) = 1. Por tanto Mno es inversible y Nsi tiene inversa.15. Calculelosvaloresdel parmetro paralosquelamatriz Mnotieneinversa.Calcule la matriz inversa para = 2, si es posible.M =

1 0 10 34 1

SolucinLacondicinnecesariaysucienteparaqueunamatriztengainversaesqueeldeterminante de la matriz sea distinto de cero.Tenemos det(M) = 2+43, por tanto la matriz no tiene inversa para los valoresde quevericanlaecuacin 2+ 4 3 = 0.Resolviendolaecuacinobtenemos = 1 y = 3Si = 2 entonces det(M) = 1 y la inversa es

1 0 10 2 34 1 2

1 0 40 2 11 3 2

7 1 212 2 38 1 2

16. Sean F1, F2, F3, F4las las de una matriz cuadrada Pde orden 4 4, tal que sudeterminante vale 3. Calcule razonadamente el valor del determinante de la inversa deP, el valor del determinante P, donde denota un nmero real no nulo, y el valor deldeterminante de la matriz tal que sus las son 2F1F4, F3, 7F2 y F4.SolucinTeniendo en cuenta que det(A B) = det(A) det(B) se deduce que1 = det(I) = det(P P1) = det(P) det(P1)Problemas Resueltos 29Por tanto det(P1) = 1/3 .Paracalculareldeterminantede P,recordemosquesimultiplicamosunamatrizporunescalarsemultiplicaporcadatrmino,esdecir P = (F1, F2, F3, F4).Sinembargo las propiedades de los determinantes actan por las o columnas, es decirdet(P) = det(F1, F2, F3, F4) = = 4det(F1, F2, F3, F4) = 34Sabemos que det(F1, F2, F3, F4) = 3. Y por las propiedades de los determinantesdet(2F1F4, F3, 7F2, F4) = det(2F1, F3, 7F2, F4) det(F4, F3, 7F2, F4)(Este ltimo determinante es nulo por tener dos las iguales)= 2det(F1, F3, 7F2, F4) = 2 7det(F1, F3, F2, F4)(Si cambiamos dos las en un determinante, cambia el signo)= 14det(F1, F2, F3, F4) =4217. Demuestre que la matriz A =

2 11 2verica una ecuacin del tipo A2+A+I =0, determinando y (Idenota la matriz identidad). Utilice este hecho para calcular lainversa de A.SolucinA2=

2 11 22 11 2=

5 44 5Tenemos entonces

5 44 5+

2 2+

00 =

0 00 0Igualando los elementos correspondientes tenemos el sistema de ecuaciones

5 +2+ = 04 + = 04 + = 05 +2+ = 0es decir

5 +2+ = 04 + = 0De la segunda tenemos = 4Sustituyendo en la primera tenemos = 3Para utilizar esta frmula en el clculo de la inversa, recordemos que la inversa deuna matriz A, es una matriz A1tal que A A1= I(y A1 A = I).Ahora bien de A2+A+I = 0 tenemos A(A+I) = I.30 lgebra LinealSustituyendo: A(A4I) = 3I. Es decir 13A(A4I) = I. Por tantoA1= 13(A4I) = 13

2 11 24

1 00 1Finalmente, tenemosA1=

2/3 1/31/3 2/318. Calcule mediante transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus)y justicando los pasos, el determinante2 +a b ca 2 +b ca b 2 +cSolucinSi sumamos a la primera columna, la segunda y la tercera, tenemos2 +a +b +c b c2 +a +b +c 2 +b c2 +a +b +c b 2 +c=Todos los elementos de la primera columna son mltiplos de 2+a+b+c. Por tanto(2 +a +b +c)1 b c1 2 +b c1 b 2 +c=Si restamos a la segunda y a la tercera las la primera, tenemos(2 +a +b +c)1 b c0 2 00 0 2Esteltimodeterminanteestriangulary, portanto, esigual al productodeloselementos de la diagonal principal2 +a b ca 2 +b ca b 2 +c= 4(2 +a +b +c)19. Es compatible determinado el siguiente sistema de ecuaciones?

3x +2z = 25x +2y = 1x 2y +4z = 3Justiquesurespuesta. Comoconsecuenciadesurespuestaanterior, justiquesitieneuna, ninguna o ms de una solucin este sistema.Problemas Resueltos 31SolucinLa matriz del sistema es

2 0 2 25 2 0 11 2 4 3

Tenemos3 05 2= 6 = 03 0 25 2 01 2 4=3 0 25 2 06 0 4(Sumando a la tercera la la segunda: F3 F3+F2)= 0 (La primera y la tercera la son proporcionales)3 0 25 2 11 2 3=3 0 25 2 16 0 4(Sumando a la tercera la la segunda: F3 F3+F2)= 0 (La primera y la tercera la son proporcionales)EsdecirrgA =rgA = 2. Elsistemaescompatibleindeterminado, tieneinnitassoluciones.20. a) Si enunsistemadetresecuacioneslinealescontresincgnitas, el rangodelamatrizdeloscoecienteses3, podemosarmarqueel sistemaescompatible?Razona la respuesta.b) Discute, segn los valores del parmetro m, el sistema de ecuaciones lineales:

y +mz = 0x +z = 0mx y = mc) Resuelve el sistema anterior para el caso m= 0.Solucina) Si tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas entonces la matriz delsistema es una matriz cuadrada de orden 3 y la matriz ampliada es una matriz 34.Se deduce que si rg(A) = 3 entonces rg(A) = 3 ya que el rango no puede ser menorporcontenerlamatriz Aynopuedeser 4yaquetiene 3las. Portantorg(A) =rg(A) =n incgnitasy, porel TeoremadeRouch, el sistemaescompatibledeterminado (tiene solucin nica).b) La matriz del sistema es

0 1 m 01 0 1 0m 1 0 m

32 lgebra LinealTenemos0 11 0= 0por tanto rg(A)2.Adems0 1 01 0 0m 1 m= mSe deduceSi m= 0 entonces rg(A) = rg(A) = 2 sci.Si m= 0 entonces rg(A) = rg(A) = 3 scd.21. Discuta, segn los valores de , el siguiente sistema de ecuaciones lineales e inter-prtelo geomtricamente.

x y +z = 0y +2z = 42y +z = 4SolucinLa matriz del sistema es

1 1 1 00 2 40 2 4

Tenemos1 10 2= 2 = 0Se deduce que rg(A)21 1 10 20 2 = 22 = 24Si 24 = 0 entonces = 2 o = 2.Si = 2 y = 2 entonces rg(A) = 3, por tanto rg(A) = 3 scd, el sistema tienesolucin nica.Son tres planos que se cortan en un punto.Si = 2 entonces rg(A) = 2 y es fcil ver que, tambin, rg(A) = 2 (la segunda y latercera ecuaciones son iguales). Por tanto el sistema es compatible indeterminado,tiene innitas soluciones que dependen de un parmetro.La segunda y la tercera ecuacin corresponden al mismo plano. Por tanto te-nemos dos planos coincidentes y un plano no paralelo (se cortan en una recta).Si = 2, la matriz del sistema es

1 1 1 00 2 2 40 2 2 4

Problemas Resueltos 331 1 00 2 40 2 4= 16Por tanto rg(A) = 2, rg(A) = 3, el sistema es incompatible.La segunda y la tercera ecuacin representan dos planos paralelos y distintosporque 22=22 =44. La primera ecuacin corresponde a un plano no paralelo conlos otros dos. Por tanto tenemos dos planos paralelos y uno que corta cada unode los otros en una recta.22. Discuta el siguiente sistema de ecuaciones segn el valor de y resulvalo en elcaso en que sea compatible indeterminado

x +y +z = 1x +2y +z = x +y +z = 1SolucinLa matriz del sistema es

1 1 1 1 2 1 1 1 1

Tenemos1 1 1 2 11 1 = (Restando a la primera columna la segunda: C1 C1C2)=0 1 12 2 10 1 = (2)1 11 = (2)(1)Si = 2 y = 1 entonces rg(A) = rg(A) = 3 scd. El sistema tiene solucin nica.Si = 2. La matriz del sistema es

1 1 1 12 2 1 21 1 2 1

1 12 1= 1 = 0Lacuartacolumnaesigual alaprimeraas querg(A) =rg(A) =2sci. Elsistema tiene innitas soluciones. Tenemos que resolver el sistema

y +z = 1 x2y +z = 2 2xy =1 x 12 2x 11z =1 1 x2 2 2x134 lgebra LinealLas soluciones paramtricas son

x = y = 1 z = 0Si = 1. La matriz del sistema es

1 1 1 01 2 1 11 1 1 1

;1 11 2= 1Tenemos1 1 01 2 11 1 1=1 0 01 1 11 0 1= 1Por tanto rg(A) = 2 y rg(A) = 3 si. El sistema no tiene solucin.23. Discuta e interprete geomtricamente, segn el parmetro el sistema de ecua-ciones

3x y = x5x +y +2z = y4y +3z = zSolucinSi transponemos trminos el sistema que tenemos que discutir es el siguiente

(3 )x y = 05x +(1 )y +2z = 04y +(3 )z = 0La matriz del sistema es

3 1 0 05 1 2 00 4 3 0

Elsistemaeshomogneoy,portanto,compatible.Tenemosquecalculareldeter-minante3 1 05 1 20 4 3 = (3 )2(1 ) 8(3 ) 5(3 )

=(3 )(3 )(1 ) 3

= (3 )(24) = (3 )(4).El determinante se anula para = 0, = 3 y = 4.Paracualquierotrovalorde eldeterminanteesdistintodecero, yrg(A) = 3 =rg(A). Es decir el sistema tiene solucin nica: x = 0, y = 0, z = 0. Geomtricamenteson tres planos que se cortan en el origen de coordenadas.Problemas Resueltos 35Si = 0, la matriz del sistema queda

3 1 0 05 1 2 00 4 3 0

3 15 1= 0Entoncesrg(A) =rg(A) =2sci. El sistematieneinnitassolucionesquedependendeunparmetro. Geomtricamentesontresplanosquesecortanenuna recta que pasa por el origen.Si = 3. Entonces

0 1 0 05 2 2 00 4 0 0

0 15 2= 0Sededucerg(A) =rg(A) = 2,sci.Elsistematieneinnitassolucionesquedependendeunparmetro,ademsvemosquelaprimeraylaterceraecuacinrepresentan el mismo plano (y = 0). Es decir hay dos planos coincidentes y otroplano que corta al anterior en una recta que pasa por el origen.Si = 4 entonces la matriz queda

1 1 0 05 3 2 00 4 1 0

1 15 3= 0Entonces rg(A) = rg(A) = 2, sci. Este caso es anlogo al caso = 0.24. Calcule para que el siguiente sistema homogneo tenga ms soluciones que latrivial. Resulvalo para dicho valor y explique la interpretacin geomtrica del sistema yde su solucin.

x +2y z = 02x +y z = 0x y z = 0SolucinEl sistema es un sistema homogneo, por tanto es siempre compatible. Cada una delas ecuaciones corresponde a un plano que pasa por el origen.La matriz del sistema es

1 2 1 02 1 01 1 1 0

Hallamos el determinante de la matriz de los coecientes1 2 12 1 1 1 1= 6 3Si =2eldeterminanteesdistintodecero. Esdecirrg(A) =3 =rg(A)scdyelsistematienesolucinnica.Comoelsistemaeshomogneoeslasolucintrivial. (Geomtricamente son tres planos que se cortan en el origen.)36 lgebra LinealSi = 2 entonces como1 21 1= 0tenemos rg(A) = 2 = rg(A) sci. El sistema tiene innitas soluciones.El sistema que tenemos que resolver es

x +2y = zx y = zResolviendo tenemos y = 0, x = z, es decir

x = y = 0z = Geomtricamente son tres planos que se cortan en una recta.25. Halle tres nmeros sabiendo que el primero menos el segundo es igual a un quintodel tercero, si al doble del primero le restamos seis nos queda la suma del segundo y elterceroy, adems, eltripledelsegundomenoseldobledelterceroesigualalprimeromenos ocho.SolucinSi llamamos x, yy z a los tres nmeros, tenemos que resolver el sistema

x y = 15z2x 6 = y +z3y 2z = x 8es decir

5x 5y z = 02x y z = 6x 3y +2z = 8Tenemos

2 5 1 02 1 1 61 3 2 8

5 52 1 0,5 5 12 1 11 3 2= 5 0Esdecirrg(A) = 3, portantorg(A) = 3yelsistemaescompatibledeterminado(tiene solucin nica). Resolviendo mediante la regla de Crmerx =0 5 16 1 18 3 25= 1105=22y =5 0 12 6 11 8 25= 905=18z =5 5 02 1 61 3 85= 1005=20Problemas Resueltos 3726. Discuta y resuelva, segn los valores del parmetro , el siguiente sistema

x +y +z = 12x +y +z = 2SolucinLa matriz del sistema es

1 1 12 1 2Tenemos1 12 = 2Se presentan dos casosSi =2entoncesel menoranterioresdistintodeceroyrg(A) =rg(A) =2ycomoelnmerodeincgnitases 3yelsistemaescompatibleindeterminado(sci).Resolvemos el sistema

x +y = 1 z2x +y = 2 zx =1 z 12 z 2= (2) +(2)z2; y =1 1 z2 2 z2= (21)z2Haciendo z = obtenemos las soluciones paramtricas

x = 1 + 22y = 212z = Si = 2, entonces la matriz del sistema es

1 1 2 12 2 1 2Entonces como1 22 1= 3 = 0tambin en este caso rg(A) = rg(A) = 2, sci. La solucin es

x +2z = 1 y2x +z = 2 2y38 lgebra Linealx =1 y 22 2y 13= 3 +3y3= 1 y; z =1 1 y2 2 2y3= 0Las soluciones paramtricas son

x = 1 y = z = 027. Discuta e interprete geomtricamente, segn los diferentes valores del parmetrom, el siguiente sistema:

x +y z = 14x 2y +2z = 2m3x 2y +mz = 4SolucinEscribimos la matriz del sistema

1 1 1 14 2 2 2m3 2 m 4

Tenemos1 14 2= 2 4 = 0Por tanto rg(A)2. Por otra parte1 1 14 2 23 2 m=1 1 12 0 03 2 m= 21 12 m= 2(m2) = 2m+4(En la primera igualdad hemos sumado a la segunda la el doble de la primera.)Si 2m+4 = 0m= 2 y, por tantoSi m= 2 entonces rg(A) = 3 rg(A) = 3, el sistema es compatible determina-do. Geomtricamente son tres planos que se cortan en un punto.Si m= 2, entonces rg(A) = 2, adems1 1 14 2 43 2 4= 26 = 0Es decir rg(A) = 3 es sistema es incompatible. Adems vemos que los planoscorrespondientesnosonparalelos(paraquefueranparalelos, loscoecientestendran que ser proporcionales). Por tanto los planos se cortan dos a dos en unarecta.Problemas Resueltos 3928. Discutayresuelva, segnlosvaloresdel parmetro, el siguientesistemadeecuaciones. Interprtelo geomtricamente en cada caso

2x 3y +z = 0x y 3z = 05x +3y z = 0SolucinEl sistema es un sistema homogneo por tanto es compatible independientementedel valor del parmetro . La matriz del sistema es

2 3 1 01 3 05 3 1 0

Calculamos los siguientes determinantes2 35 3= 21 = 0;2 3 11 35 3 1= 7+63Si igualamos el determinante anterior a 0 tenemos: 7+63 = 0, = 63/7 = 9.Utilizando el Teorema de Rouch-Frobenius tenemosSi = 9 entonces rg(A) = 3, rg(A) = 3 scd. El sistema tiene solucin nica, co-mo es un sistema homogneo la solucin es x = 0, y = 0, z = 0. Geomtricamenteson tres planos que se cortan en el origen de coordenadas.Si = 9entoncesrg(A) =2, sci. Teniendoencuentael menordeorden2distinto de cero calculado anteriormente, la solucin es

2x 3y = z5x +3y = zResolviendo mediante la Regla de Cramerx =z 3z 321= 0y =2 z5 z21= 7z21 = z3Las soluciones paramtricas son x = 0, y = /3, z = .Geomtricamente son tres planos que se cortan en una recta que pasa por elorigen de coordenadas.40 lgebra Lineal29. Discuteeinterpretageomtricamente, segnlosvaloresdel parmetrosm, elsistema

2x y +z = 0x 2y +z = mmx y +z = 0Resulvelo, si es posible, para los casos m= 0 y m= 2.SolucinLa matriz del sistema es

2 1 1 01 2 1 mm 1 1 0

Teniendo en cuenta los determinantes2 11 2= 3,2 1 11 2 1m 1 1= 4 1 m(2m2 1) = m2 = 0m= 2Por tantoSi m = 2rg(A) = 3scd.Geomtricamentesontresplanosquesecortanen un punto.Si m = 2, tenemos que calcular el rango de la matriz ampliada. Para ello calcula-mos el siguiente determinante2 1 01 2 22 1 0= 0 (tiene dos las iguales)Se deduce que rg(A) = 2sci. El sistema tiene innitas soluciones, geom-tricamentesontresplanosquesecortanenunarecta. Puestoquelaprimeraytercera ecuacin son iguales representan el mismo plano. Por tanto, tenemos dosplanos que se cortan en una recta.Si m= 0 sabemosqueelsistematienesolucinnica(sededucedeladiscusinque acabamos de hacer). El sistema es

2x y +z = 0x 2y +z = 0y +z = 0Es decir, es un sistema homogneo con solucin nica por lo que se deduce que lasolucin es x = 0, y = 0, z = 0 (la solucin trivial).Si m= 2 el sistemaescompatibleindeterminado(tieneinnitassoluciones). Apartir del menor de orden 2 calculado anteriormente, tenemos que resolver el sistema

2x y = zx 2y = 2 zProblemas Resueltos 41Por la regla de Crmer tenemosx =z 12 z 23= 2 +z3y =2 z1 2 z3= 4 z3Las soluciones paramtricas son

x = 23 y = 43 +z = 330. a) Discute, segn los valores del parmetro m, el siguiente sistema de ecuacio-nes lineales:

mx + y +z = 0x my z = 12x + y +z = 0b) Resulvelo, si es posible, en el caso m= 2.Solucina) La matriz del sistema es

m 1 1 01 m 1 12 1 1 0

=A partir de los determinantes siguientes1 12 1= 0m 1 11 m 12 1 1=m2 0 11 m+1 12 0 1= (m+1)m 12 1= (m+1)(m2)(A la segunda columna le restamos la tercera)Si m= 1 y m= 2 entonces rg(A) = 3 y, por tanto, rg(A) = 3 scd.Si m= 1, rg(A) = 2, la matriz del sistema es

1 1 1 01 1 1 12 1 0

42 GeometraComo el determinante1 1 01 1 12 1 0= 0entonces rg(A) = 3, siSi m= 2 como2 1 11 2 12 1 0= 0Por tanto rg(A) = rg(A) = 2, sci.Geometra31. Demuestrequelospuntos P = (0, 0, 4), Q = (3, 3, 3), R = (2, 3, 4)y S = (3, 0, 1)son coplanarios y determine el plano que los contiene.SolucinTenemosPQ =(3, 3, 1),PR =(2, 3, 0),PS =(3, 0, 3). Calculamoselproductomixto3 2 33 3 01 0 3= 0Como el producto mixto es cero, los vectores son coplanarios. La ecuacin del planoque determinan esx 3 2y 3 3z 4 1 0= 0Desarrollando tenemos 3x 2y +3z 12 = 032. Dadoslosvectoresu1 =(1, 2, 1),u2 =(1, 3, 2),v1 =(1, 1, 0)y v2 =(3, 8, 5),demuestre que los vectores u1 y u2 dependen linealmente de los vectoresv1 yv2. Deter-minelaecuacingeneraldelplanoquepasaporelorigenycontienelosvectores v1y v2, y determine la posicin relativa de los vectores u1 y u2 respecto a ese plano.SolucinPara demostrar queu1 depende linealmente dev1 yv2 podemos escribiru1 = v1+ v2y hallar y ( = 2/5, = 1/5). Anlogamente podemos escribir u2 = v1+ v2y calcular y ( = 1/5, = 2/5).Un mtodo ms sencillo consiste en utilizar las propiedades de los determinantes:tres vectores son linealmente dependientes si el determinante es cero. O, dicho de otramanera, sielproductomixtoesnulo. Esdecir, sonlinealmentedependientesporsernulos los siguientes determinantes.1 2 11 1 03 8 5= 0;1 3 21 1 03 8 5= 0Problemas Resueltos 43Para hallar la ecuacin general del plano que pasa por el origen y contiene los vec-toresv1 yv2, calculamosx y z1 1 03 8 5= 0; 5x 5y +5z = 0Simplicando tenemos x y +z = 0 . De la primera parte se deduce que u1y u2son vectores de direccin del plano.33. Calculeparaquelos puntosA =(1, 1, 1), B=(3, 0, 2), C(5, 2, 2)yD=(2, 1, ) sean coplanarios. Calcule el rea del polgono ABCD.SolucinLos puntos son coplanarios si los vectoresAB = (2, 1, 1),AC = (4, 3, 1),AD = (1, 0, 1)son linealmente independientes o, dicho de otra forma, si el producto mixto es 0.2 1 14 3 11 0 1= 2+4Por tanto 2+4 = 0, de donde = 2 y D(2, 1, 2).Ahora bien tenemosBC = (2, 2, 0) = 2(1, 1, 0) = 2 BD, es decir los puntos B,C, D estn alineados. El polgono ABCD es, en realidad, un tringulo como vemos en lagura siguienteABCDEl rea del polgono es igual al rea del tringulo ACD, S =AC AD/2AC AD =

k4 3 11 0 1= 3 3 3

kS = 12AC AD = 12

27 =332 2,644 Geometra34. Determine el vector (o vectores) unitarios v = (a, b, c) (con a > 0, b > 0, c > 0),queformanunngulode6radianesconel vectoru =(1, 1, 1)yunngulode4radianes con w = (2, 0, 2).SolucinTenemos que hallar a, b y c, por tanto necesitamos tres ecuaciones.Comoelvesunitariotenemosa2+ b2+ c2=1. Lasotrasdosecuacioneslasobtenemos a partir de los ngulos32= cos

6=a +b +ca2+b2+c23Despejando, teniendo en cuenta quea2+b2+c2= 1, tenemos a +b +c = 3/2.Por otra parte22= cos

4= 2a +2c18Despejando tenemos 2 = 2a +c, es decir a +c = 1.Tenemos que considerar dos casos a +c = 1 y a +c = 1.Si a + c = 1, sustituyendo en a + b + c = 3/2, y teniendo en cuenta que b > 0,tenemos b = 1/2 . Sustituyendoenlaprimeraecuacintenemosqueresolverunsistemadedosecuacionescondosincgnitas: a + c =1ya2+ c2=3/4.Resolviendo el sistema, obtenemos dos soluciones:a = 2 24, b = 12, c = 2 +24a = 2 +24, b = 12, c = 2 24Si a+c = 1, sustituyendo en a+b +c = 3/2, tenemos b = 5/2 y, por tanto dea2+ b2+ c2= 1 obtenemos que a2+ c2< 0, que no tiene soluciones reales. Portanto las nicas soluciones son las anteriores.35. Dadoslosvectoresu =(2, 0, 4)y v=(1, 0, ), paraquvaloresdeelmdulo del vector u+v

uv

vale 4?SolucinTenemos u+v = (3, 0, +4);uv = (1, 0, 4 ). Entonces u+v

uv

=

k3 0 41 0 4 = (16 4) = (0, 16 4, 0)Para que el vector tenga mdulo 4 hay dos posibilidades

16 4 = 416 4 = 4Por tanto hay dos soluciones: = 3 y = 5Problemas Resueltos 4536. Para u,v,w, tres vectores en el espacio tales que u = 2, v = 3 y w = 5,halle los valores mnimo y mximo del valor absoluto de su producto mixto.SolucinLlamando al ngulo que forman los vectores u yv wy al ngulo que forman vy w. Entonces v w= v w sen()Teniendo cuenta la denicin de producto mixto tenemos[ u,v, w]= u uv=u v w cos()=u v w cos() sen()Entonces el mnimo es 0 (si los tres vectores son linealmente dependientes). El m-ximoes 2.3.5 = 30quesealcanzacuando cos() = sen() = 1,geomtricamentelos tres vectores son perpendiculares.37. Calcule los vectores unitarios perpendiculares a los vectores u = (3, 4, 1) y v =(2, 1, 0).SolucinTenemos uv =

k3 4 12 1 0= 2 +5

k = (1, 2, 5)Adems uv =1 +4 +25 =30 Por tanto los vectores son130(1, 2, 5) 130(1, 2, 5)38. Determine los valores de a y b(a > 0) para que los vectores v1 = (a, b, b) v2 =(b, a, b) yv3 = (b, b, a) sean unitarios y ortogonales dos a dos.SolucinDosvectoressonortogonalessi el productoescalaresigual a0. Si hallamoselproductoescalardedoscualesquieradelosvectoresanterioresobtenemos 2ab + b2.Por otra parte un vector es unitario si el mdulo es igual a 1. El mdulo de cualquierade los vectores anteriores es a2+2b2. Tenemos, por tanto, que resolver el sistema

2ab +b2= 0a2+2b2= 1De la primera ecuacin obtenemos b(2a +b) = 0. Tenemos dos posibilidadesSi b = 0. Sustituyendo en la segunda a2= 1. Como a > 0 tenemos a = 1.a = 1, b = 046 GeometraSi 2a+b = 0 entonces b = 2a. Sustituyendo en la segunda ecuacin a2+8a2= 1,es decir 9a2= 1. Como a > 0, tenemos a = 1/3, b = 2/3.a = 13, b = 2339. Calculalosvectoresunitariosyperpendicularesalosvectoresu =(1, 2, 2)y v = (1, 0, 1).Calcula la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por el punto (1, 1, 1)y los vectores u = (1, 2, 2) yv = (1, 0, 1).SolucinLos vectores perpendiculares a u yvson uvy uv. uv =

k1 2 21 0 1= 2 + +2

kEl mdulo es uv =4 +1 +4 = 3Los vectores unitarios son23 + 13 + 23

k, y23 13 23

kPara hallar la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por el punto(1, 1, 1) y los vectores u = (1, 2, 2) y v = (1, 0, 1) empezamos calculando la ecuacindel planox 1 y 1 z 11 2 21 0 1= 2(x 1) +(y 1) +2(z 1) = 0Desarrollando tenemos la ecuacin del plano :2x +y +2z 1 = 0.La distancia esd =14 +1 +4 = 1/340. Determine las ecuaciones vectoriales, paramtricas y general del plano determi-nado por los puntos A = (1, 0, 0), B(2, 1, 2) y C(5, 1, 1). Calcule la distancia del puntoP(2, 7, 3) al plano.SolucinLa ecuacin vectorial queda determinada por un punto, A(1, 0, 0), y dos vectores dedireccin u =AB = (1, 1, 2),v =AC = (4, 1, 1): (x, y, z) = (1, 0, 0) +(1, 1, 2) +(4, 1, 1)Problemas Resueltos 47Las ecuaciones paramtricas se obtienen a partir de las anteriores:

x = 1 + +4y = z = 2 +La ecuacin general se obtiene eliminando los parmetrosx 1 y z1 1 24 1 1= 0 : x +7y +3z 1 = 0La distancia del punto Pal plano esd(P, ) = 2 +49 +9 11 +49 +9=5959 =

59 7, 6841. Calculeel volumendel tetraedrodevrticesel puntoP(1, 1, 1)ylospuntosdecorte del plano : 2x +3y +z 12 = 0 con los ejes de coordenadas. Calcule tambin elpunto de corte del plano y la recta perpendicular a que pasa por el punto P.SolucinHallamos los puntos de corte del plano con los ejes:Eje X: Si y = 0 y z = 0 entonces x = 6, A(6, 0, 0)Eje Y: Si x = 0, z = 0 entonces y = 4, B(0, 4, 0)Eje Z: Si x = 0, y = 0 entonces z = 12, C(0, 0, 12)TenemosPA = (5, 1, 1),PB = (1, 3, 1),PC = (1, 1, 11).PA,PB,PC=5 1 11 3 11 1 11= 144Por tantoV =16PA,PB,PC= 16 144 =24 u3LarectaperpendicularaquepasaporPtienecomovectordirectorel vectornormal al plano por tantor: (x, y, z) = (1, 1, 1) +(2, 3, 1) = (1 +2, 1 +3, 1 +)El punto de corte, Q, es un punto que verica la ecuacin de la recta y la ecuacindel plano2(1 +2) +3(1 +) +(1 +) 12 = 0Es decir 14 6 = 0 de donde = 3/7. Sustituyendo tenemosQ

137, 167, 10748 Geometra42. Determine la posicin relativa de los planos : x2y+3z = 4, : 2x+y+z+1 =0 y : 2x +4y 6z = 0.SolucinLos planos y son paralelos y distintos puesto que21=42 = 63= 04Por otra parte el plano no es paralelo a los anteriores porque sus coecientes noson proporcionales.Por tanto tenemos dos planos paralelos y un plano que corta a cada uno de los otrosen una recta.43. Determine el ngulo que forman la recta r, que pasa por el punto (1, 1, 0) y talque su vector direccin esv = (2, 0, 1) y la recta sde ecuacinx 74= y +64= z2SolucinLa recta s pasa por el punto (7, 6, 0) y tiene como direccinv = (4, 4, 2). Por tantocos() = cos(r, s) = 8 +2536=15 =55Por tanto el ngulo que forman las rectas esarc cos55 6326644. Determine la ecuacin que satisfacen los vectores ortogonales a la rectar:

2x +y z = 0x y +3z = 0Interprete geomtricamente el resultado obtenido.SolucinEn primer lugar hallamos el vector de direccin u de la recta mediante el productovectorial de los vectores u1 = (2, 1, 1) yv2 = (1, 1, 3) u =u1u2 =

k2 1 11 1 3= 2 7 3

k = (2, 7, 3)Portantolosvectoresw =(x, y, z)ortogonalesalarectasonlosqueverican u.w = 0. Es decir2x 7y 3z = 0Geomtricamente corresponde a un plano que pasa por el origen de coordenadas.Problemas Resueltos 4945. a) Dados los vectoresu = (1, 0, 1),v = (1, 1, 0), calcula los vectores unitariosde R3, que son ortogonales a los dos vectores dados.b) Sea el planodeterminado por elpunto P(2, 2, 2) y losvectores u = (1, 0, 1) y v = (1, 1, 0). Calcula el ngulo que forma el plano con la recta que pasa por lospuntos O(0, 0, 0) y Q(2, 2, 2).c) Calcula el punto simtrico de O(0, 0, 0) respecto al plano x y +z 2 = 0.Solucina) Los vectores ortogonales a u yvson uvy uv uv =

k1 0 11 1 0= +

kAdemas u v = 3. Portantolosvectoresunitariosyortogonalesalosvectores dados son33(1, 1, 1) y 33(1, 1, 1)b) Elplanodeterminadoporelpunto P(2, 2, 2)ylosvectores u = (1, 0, 1)y v =(1, 1, 0) tiene como vector normal (caracterstico) el vectorw =uv = (1, 1, 1).Por tanto el plano tiene por ecuacin 1(x2) 1(y 2) +1(z 2) =, es decir: x y +z 2 = 0. Por otra parte, la recta que pasa por los puntos O y Q tienecomo vector de direccinOQ = (2, 2, 2).Puesto que wyOQ son proporcionales tienen la misma direccin y por tantola recta y el plano son perpendiculares.c) Para hallar el simtrico de O respecto al plano comenzamos hallando la recta quepasa por O y es perpendicular al plano:r :

x = y = z = Hallamos el punto de corte de la recta y el plano sustituyendo en la ecuacindel plano: + 2 = 0 = 2. El punto de corte es el punto M(1, 1, 1) yes el punto medio entre O(0, 0, 0) y su simtrico O(x, y, z). Por tantox2= 1, y2= 1, z2= 1O(2, 2, 2)46. Dados los puntos P(3, 4, 1) y Q(7, 2, 7), determine la ecuacin general del planoque es perpendicular al segmento PQ y que pasa por el punto medio de ese segmento.SolucinEl vectorPQ = (4, 2, 6) es perpendicular al plano perpendicular al segmento PQ.El punto medio es M(5, 3, 4).50 GeometraPor tanto el plano buscado pasa por el punto M y tiene como vector normal el vector n =12(4, 2, 6) = (2, 1, 3). Es decir : 2(x5) (y 3) +3(z 4) = 0. Desarrollando2x y +3z 19 = 047. Los lados de un tringulo estn sobre las rectasr1:x 11= y 11= z +12; r2:

x = 2 +ty = 2 +tz = 1; r3:

x y z 1 = 0x z = 0a) Calcula los vrtices del tringulo. Es un tringulo rectngulo? Razona la respuesta.b) Calcula laecuacin delplano quecontiene eltringulo.Calcula lainterseccindel plano con los ejes OA, OVy OZ.Solucina) El vrticeAesel puntodecorteder1yr2. Apartirdelasecuacionesder2tenemos z = 1 sustituyendo en las ecuaciones de r1 hallamos x e y, obteniendoA(1, 1, 1).El vrtice Bser el punto de corte de r1y r3. De la segunda ecuacin de r3sededuce x = z. Sustituyendo en las ecuaciones de r1x 11= x +22x = 3, z = 3 y 11= 2y = 1Por tanto el vrtice Bes el punto (3, 1, 3).El vrtice Ces el punto de corte de r2y r3. Teniendo en cuenta que z = 1 yque x = z llegamos fcilmente a C(1, 1, 1).Ahoratenemosdosformasdecomprobarsi esuntringulorectngulodedos formas: o bien si se cumple el teorema de Pitgoras o bien si dos de los tresvectoresAB,AC,BCson perpendiculares.El teorema de Pitgoras de deduce de que AB =24, AC =8, BC =32y

32

2=

24

2+

8

2. La perpendicularidad de los vectores se deduce deAB AC = 0b) Para hallar el plano que contiene a los puntos A, B, C, tenemos el punto A y losvectores de direccin u =AB = (2, 2, 4) yv =AC = (2, 2, 0)x 1 y 1 z +12 2 42 2 0= 8(x1)8(y1)8(z+1) = 0: x y z 1 = 0Para hallar el punto de corte con los ejesOA :

y = 0z = 0x = 1(1, 0, 0)Problemas Resueltos 51OV :

x = 0z = 0y = 1(0, 1, 0)OZ :

x = 0y = 0z = 1(0, 0, 1)48. Determineelnguloqueformanlarectaquepasaporlospuntos A(1, 0, 1)yB(0, 1, 2) y la recta de ecuacin x = y 12= z 21SolucinLos vectores de direccin son u =AB = (1, 1, 1) yv = (1, 2, 1). Por tantocos() =uvu v = 1 +2 +136=218 =232 =23Es decir = arc cos23 61522849. Determine el ngulo que forman el plano : x +2y 3z +4 = 0 y la recta

2x y = 03y +2z = 12SolucinVamos a pasar la ecuacin de la recta a forma paramtrica. Para eso despejamos y(en la primera ecuacin) 2x = yy z(en la segunda) z = (12 3y)/2 = (12 6x)/2 =6 3x. Por tanto las ecuaciones paramtricas son:

x = y = 2z = 6 3Tenemosentonces:unvectornormal delplano es n = (1, 2, 3)yunvectordedireccin de la recta esu = (1, 2, 3). Por tanto la recta y el plano son perpendiculares.50. Halle el ngulo que forman los planos : 2xy+z7 = 0 y : x+y+2z = 11.SolucinLos vectores normales a los planos son n = (2, 1, 1);n = (1, 1, 2)52 GeometraPor tantocos(, ) = n n n n=2 1 +24 +1 +11 +1 +4 = 36 = 12El ngulo que forman los planos es: arc cos 1/2 = 60.51. Dadoelplano 1: 3x + y + z = 6.Calcule paraquelarectaquepasaporel punto P(1, 1, 2) y es perpendicular al plano 1sea paralela al plano 2: x y = 3.Calcule la distancia de la recta ral origen.SolucinLarecta, r, quepasaporel puntoPyesperpendicularal plano1, tienecomovector de direccin el vector normal al plano.La ecuacin vectorial esr: (x, y, z) = (1, 1, 2) +(3, , 1)Comoesparalelaa 2, elvectordedireccindelarectayelvectornormala 2, n2 = (1, 1, 0), son perpendiculares3 = 0 = 3Para hallar la distancia del origen a la rectad(O, r) = OP u uOP u =

k1 1 23 3 1= 5 +5 = (5, 5, 0)Por tanto OP u =25 +25, u =9 +9 +1d =5019 1, 6252. Halle la distancia entre las rectas ry sde ecuacionesr:

x = y = 1z = 1 s :

x = 1 +y = 2z = 2SolucinLarecta restdeterminadaporelpunto A(0, 1, 1)yelvectordedireccin u =(1, 0, 1).Larecta sestdeterminadaporelpunto B(1, 2, 0)yelvector v = (1, 0, 2).EntoncesAB = (1, 3, 1). Tenemos(AB,u,v) =1 3 11 0 11 0 2= 31 11 2= 9Problemas Resueltos 53 uv =

k1 0 11 0 2= 3 = (0, 3, 0); uv = 3d(r, s) = (AB,u,v)uv=93=353. Calculeladistanciaentrelasrectas ry s,donde rtieneporecuaciones r: x =3y = 5z y la recta spasa por los puntos A(1, 1, 1) y B(1, 2, 3).SolucinA partir de las ecuaciones r: x = 3y = 5z, dividiendo por 15 obtenemosr:x15 = y5 = z3Deducimos que la recta rpasa por el punto O(0, 0, 0) y tiene como vector director u = (15, 5, 3).Porsupartelarectas pasaporel puntoA(1, 1, 1)ytienecomovectordirector v =AB = (0, 1, 4)OA,u,v=1 1 115 5 30 1 4= 52 uv =

k15 5 30 1 4= 23 +60 +15

kEntonces uv =4354Por tantod =OA,u,vuvd =524354 0,7954. Dado el plano : 2x +y +3 = 0; y la rectar :

x +2y 2z +6 = 07x y 2z = 0a) Calcula el valor de para que la recta ry el plano sean paralelos. Para ese valorde , calcula la distancia entre ry .b) Paraalgnvalorde ,larecta restcontenidaenelplano ?Justicalasres-puestas.c) Paraalgnvalorde, larectayel planosonperpendiculares?Justicalarespuesta.54 GeometraSolucinEscribimos la matriz del sistema

2 0 31 2 2 67 1 2 0

a) La recta y el plano son paralelos si el rango de la matriz de los coecientes es 2es decir si el siguiente determinante es nulo2 01 2 27 1 2= 8 14 (4 2) = 12 12Por consiguiente el plano y la recta son paralelos si = 1 .Cuando la recta y el plano son paralelos la distancia entre la recta y el planoes igual a la distancia de un punto cualquiera de la recta al plano. Necesitamos unpunto de la recta.b) La recta est contenida en el plano si el rango de la matriz de los coecientes y elrango de la matriz ampliada es 2. Por tanto tiene que ser = 1 y adems el si-guiente determinante tendra que ser nulo (para que el sistema fuera compatible)2 0 31 2 67 2 0= 60 = 0Por tanto para ningn valor de la recta est contenida en el plano.c) Hallamos un vector de direccin de la recta calculando el producto vectorial u =

k1 2 27 1 2= 6 12 15

kUnvectordedireccindelarectaesw = 13 u = (2, 4, 5). Elvectornormalal planoes n =(2, , 0). Larectayel planosonperpendicularessiwy nsonproporcionales, es decir22 = 4 = 05locual esimposible. Portantolarectayel planonosonperpendicularesparaningn valor de .55. Halle la distancia del plano : 4x 10y +2z = 1 al plano :

x = 2 +3y = +z = .Problemas Resueltos 55SolucinEl planoestdeterminadoporel punto(0, 0, 0)ylosvectoresu =(2, 1, 1)y v = (3, 1, 1). Su ecuacin implcita esx y z2 1 13 1 1= 0Desarrollando: : 2x5y +z = 0. Por tanto los planos son paralelos (42 = 105=21).Entonces la distancia entre los planos es igual a la distancia del origen ((0, 0, 0)) al plano.d(, ) =116 +100 +4 =112056. Calcule la distancia entre las rectas de ecuacionesr : x = y 13= z 47, s : x 2 = y 23= z 34Demuestrequelospuntos P =(0, 0, 4), Q =(3, 3, 3), R =(2, 3, 4)y S =(3, 0, 1)soncoplanarios y determine el plano que los contiene.SolucinLa recta rpasa por el punto A(0, 1, 4) y tiene como vector de direccinu = (1, 3, 7).La recta spasa por el punto B(2, 2, 3) y tiene como vector de direccinv = (1, 3, 4).Lasrectasnosonparalelas(losvectoresdedireccinnosonproporcionales). Portanto la distancia viene dada por la frmulad =[AB,u,v] uvTenemosAB = (2, 1, 1),[AB,u,v] =2 1 11 3 71 3 4= 15 uv =

k1 3 71 3 4= 9 +3 , uv=

90Por tantod =159056 Anlisis MatemticoAnlisis MatemticoClculo Diferencial57. Demuestrequelasucesindetrminogeneral an =4n1n+1escrecienteyhalleuna cota inferior positiva (justicando que es cota inferior).SolucinUna sucesin es creciente si an+1anpara todo n. Una forma de comprobar estadesigualdad es comprobando que an+1an0 para todo n.Tenemosan+1 = 4(n+1) 1(n+1) +1= 4n+3n+2Entoncesan+1an = 4n+3n+2 4n1n+1= (4n+3)(n+1) (4n1)(n+2)(n+2)(n+1)= 4n2+7n+3 4n2+7n+2

(n+2)(n+1)=5(n+2)(n+1) > 0Portantolasucesinescreciente. (Laltimadesigualdadsedebeaqueenunasucesin n toma valores positivos, y, por tanto, la ltima fraccin es el cociente de dosnmeros positivos.)Puestoquelasucesinescreciente, elprimertrminodelasucesinesunacotainferior (a1an para todo n).Es decir, una cota inferior es a1 = 3/258. Calcule: a) lmn

n25n+4 n

, b) lmn

2n82n+1.Solucina)lmn

n25n+4 n

=lmn

n25n+4 n

n25n+4 +n

n25n+4 +n

=lmn5n+4

n25n+4n

=lmn5 +4n

1 5n +4n2 +1=52b)lmn

2n82n+1=lmn

12 82n+1=12Problemas Resueltos 5759. Qu tipo de discontinuidad tiene en x = 0 la funcin f(x) =x2x?SolucinTeniendo en cuenta quex =

x si x0x si x < 0tenemoslmx0x2x =lmx0x2x =lmx0(x) = 0lmx0+x2x =lmx0+x2x=lmx0+(x) = 0Por tanto existe lmite cuando x tiende a 0 y se trata de una discontinuidad evitable.60. Calculelmnn+7 n 3n+5indicandoel tipodeindeterminacin(oindeterminaciones) que se presentan al intentar resolver este lmite.Solucinlmn

n+7 n

3n+5 = ()=lmnn+7 n n+7 +n 3n+5n+7 +n

=lmn73n+5n+7 +n =

=lmn7

3 +5n

1 +7n +1(dividiendo porn)=732 6,0661. Estudie la continuidad y derivabilidad de la funcinf(x) =

x29x 3si x = 36 si x = 3en el punto x = 3.SolucinLafuncinescontinuaenel puntox =3si lmx3f(x) =f(3). Porunaparte,sabemos que f(3) = 6, por otra partelmx3f(x) = lmx3x29x 3= lmx3(x +3)$$$$(x 3)$$$$(x 3)= 658 Anlisis MatemticoLa funcin es continua en x = 3.Para estudiar la derivabilidad en x = 3 tenemos que calcular, si existe, lmx3f(x).Ahora bien si x = 3 entonces, como acabamos de ver, f(x) = x+3, y por tanto f(x) =1. Es decir lmx3f(x) = lmx31 = 1. La funcin es derivable en x = 3 y f(3) = 1.62. Sepuedeasegurar,utilizandoel TeoremadeBolzanoquelafuncin f(x) =tg(x) tiene una raz en el intervalo [/4, 3/4]? Razone la respuesta. Esboce la grcade fen ese intervalo.SolucinLafuncinf(x) =tg(x)noescontinuaenx=/2ypor tantonopodemosaplicar el Teorema de Bolzanoen ese intervalo. La grca de la funcin en el intervalose representa en la gura siguiente.43411263. Calcula la derivada de la funcin f(x) = x2 en x = 2, si es posible. Representela grca de la funcin y, sobre ella, razone su respuesta.SolucinLagrcadelafuncin f(x) = x 2lapodemosconstruirapartirdelagrcadelafuncin f(x) = x(eslamismagrca,desplazada 2unidadesaladerecha),oteniendo en cuentaf(x) = x 2 =

x +2 si x2x 2 si x > 2Es decir es la grca consta de dos semirrectasProblemas Resueltos 592Portantolafuncinnoesderivableenelpunto x = 2, yaquelagrcanotienetangente en ese punto.64. a) Calcula la ecuacin de la recta tangente a la grca de f(x) = (x + 1)exenel punto de corte de f(x) con el eje OX.b) Calcula, para f(x) = (x +1)ex, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremosrelativos, puntos de inexin, concavidad y convexidad.c) Enunciado e interpretacin geomtrica del teorema del valor medio del clculodiferencial.Solucina) Hallamos en primer lugar el punto de corte con eje OA:f(x) = 0(x +1)ex= 0x +1 = 0x = 1(la funcin exponencial no se anula para ningn valor de x.)Laderivadaesf(x) =ex+ (x + 1)ex=(x + 2)ex. Lapendientedelarectatangente es f(1) = e1= 1/e.Finalmente sustituimos en la ecuacin de la recta tangente yf(x0) = f(x)(xx0)y = 1e(x +1)b) Paraestudiarlosintervalosdecrecimiento, hallamosenprimerlugarlosvalorespara los que se anula la derivadaf(x) = 0(x +2)ex= 0x = 2Como la funcin exponencial es siempre positiva el signo de la derivada coincidecon el signo del trmino x +2, es decirx 2y 0 +++y Lafuncintieneunmnimopara x = 2.Paraestudiarlaconcavidad,convexi-dad,puntosdeinexin,hallamosladerivadasegunda f(x) = ex+ (x + 2)ex=60 Anlisis Matemtico(x +3)ex. Para encontrar los posiblespuntos de inexin igualamos la derivada se-gunda a cerof(x) = 0(x +3)ex= 0x = 3Teniendoencuenta, anlogamentealrazonamientohechoparaelcrecimiento,el signo de la dervidada segunda coincide con el signo de x +3x 3y 0 +++ycncava convexaPor tanto la funcin tiene un punto de inexin para x = 3.65. Calculelarelacinentreaybparaqueseacontinuaentodalarectareal lafuncin f : RR denida porf(x) =

eax12xsi x 0b si x = 0SolucinLafuncin fescontinuasi x = 0porserelcocientededosfuncionescontinuas.Adems es continua en x = 0 si lmx0f(x) = f(0) = b. Calculamos el lmite (aplican-do la regla de LHpital)lmx0f(x) = lmx0eax12x=

00= lmx0aeax2= a2Se deduce que a = 2b.66. Halle la condicin que debe cumplir para que el polinomio x4+ x3+ x2seacncavo en algn intervalo. Determine el intervalo de concavidad en funcin de .SolucinLa funcin es cncava si f(x) < 0. Tenemosf(x) = 4x3+3x2+2x f(x) = 12x2+6x +2La derivada segunda es una funcin de segundo grado, el coeciente principal (a =12) es positivo por lo que es una parbola convexa.Problemas Resueltos 61Para que sea negativa en algn intervalo, es necesario que tenga dos races reales. Esdecir el discriminante tiene que ser positivo ( = b24ac > 0). Tenemos = 3696 >0, 36 > 96, 3/8 > .El polinomio ser cncavo en algn intervalo si < 38El intervalo de concavidad ser el intervalo comprendido entre las dos races

6 36 9624,6 +36 962467. DadaF(x) =x22x +2x 4, escribalaecuacindelasecanteaF queunelospuntos (2, F(2)) y (2, F(2)). Existe un punto c en el intervalo [2, 2] vericando quela tangente a la grca de Fen (c, F(c)) es paralela a la secante que ha hallado? En casoarmativo razone su respuesta y calcule c, en caso negativo razone porqu no existe.SolucinElteoremadelvalormedioarmaquesiunafuncinescontinuaenunintervalocerrado [a, b]yderivableenelintervaloabierto (a, b)entoncesexisteunpunto cenel quelatangenteenesepuntoesparalelaalasecantequeunelosextremosdelacurva (a, f(a))y (b, f(b)).Enestecasolafuncinescontinuaen [2, 2]yderivableen el intervalo (2, 2), por ser una funcin racional cuyo denominador se anula solo enx = 4. Podemos aplicar el teorema y deducimos la existencia del punto.En primer lugar hallamos el valor de la funcin en los puntos x = 2 y x = 2.F(2) = 1; F(2) = 53Por tanto la secante es la recta que pasa por los puntos (2, 5/3) y (2, 1).x 24= y +12/3; y = 16x 86Hallamos la derivada de la funcinF(x) = x28x +6(x 4)2Por tanto el punto cbuscado es la solucin (en el intervalo (2, 2) de la ecuacinx28x +6(x 4)2= 16; 5x240x +20 = 0; x28x +4 = 0Las races de la ecuacin de segundo grado sonx1 = 8 +482= 4 +2

3 7,46; x2 = 8 482= 4 2

3 0,54El valor de ces, por tanto,c = 4 2

3 0,5462 Anlisis Matemtico68. Dada la parbola f(x) = ax2+bx+c, determine los valores de a, b y c sabiendoque ftieneunmximoenelpuntodeabscisa x = 1/2ylarectatangentea fenelpunto (1, 3) es y = 3x +6.SolucinLa derivada de la funcin f(x) = ax2+bx+c es f(x) = 2ax+b. Como la funcintieneunmximoen x = 1/2, laderivadaseanulaenesepunto f(1/2) =0. Portanto a +b = 0, es decir b = a.Como la ecuacin de la tangente en (1, 3) es y = 3x +6, deducimos que f(1) = 3y que f(1) = 3. Sustituyendo en la funcin y en su derivada tenemos a +b +c = 3 y2a +b = 3.Sustituyendo b = a en esta ltima ecuacin obtenemos sucesivamentea = 1, b = 1, c = 5Nota. Como fesunpolinomiodesegundogrado,esunaparbola.Portanto,puestoque tiene un mximo en x = 1/2, se deduce que la parbola es cncava y que elcoeciente a es negativo.69. Calculalosvaloresde ay bparaquelagrcade f(x) =ax +bxtengaunmnimorelativoenel punto

12, 4. Paraesosvaloresdeayb, calcula: asntotaseintervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x).SolucinHallamos la derivada de la funcin e igualamos a 0f(x) = a bx2 = 0x = :

baSabemosquelafuncintieneunmnimoen

12, 4porloquesustituyendoenlafuncin y en el valor obtenido para la derivada:

ba = 12 ba = 14a = 4b4 = f

12= a12 +2ba +4b = 82a = 8a = 4, b = 1Por tanto la funcin es f(x) = 4x +1x = 4x2+1x.Asntotas:Verticales: x = 0Horizontales: No hay puesto que lmx:f(x) = .Oblcuas: m= lmxf(x)x= lmx4 +1x2=4, n= lmx(f(x) mx)=lmx

1x= 0. Es decir y = 4xProblemas Resueltos 63Crecimiento: Puesto f(x) = 4 1x2 =4x21x2el signo de la derivada coincide con elsigno del numerador y tenemosx 1/2 0 1/2y+ + 0 0 + +y Sededucequelafuncinescrecienteen (, 1/2) (1/2, +)yesdecrecienteen (1/2, 0) (0, 1/2).70. SabiendoqueP(x)esunpolinomiodetercergradoconunpuntodeinexinen (1, 0)ycon P(1) =24donde, adems, latangenteal polinomioenesepuntoeshorizontal, calcule 01P(x) dx.SolucinSea P(x) = ax3+bx2+cx+d. Entonces P(x) = 3ax2+2bx+c, P(x) = 6ax+2by P(x) = 6a.Tenemos P(1) = 24, de donde 6a = 24, a = 4. Si (1, 0) es un puntode inexintenemos P(1) = 0 y P(1) = 0. Sustituyendo en la segunda derivada 6a+2b = 0, comoa = 4, obtenemos b = 12. Sustituyendo en la funcin a +b +c +d = 0.Adems sabemos que la tangente en x = 1 es horizontal, es decir P(1) = 0. Sustitu-yendo tenemos 3a +2b +c = 0, de donde c = 12. Finalmente, sustituyendo los valoresde a, b y cen P(1) = 0, deducimos d = 4.Es decirP(x) = 4x312x2+12x 4

01

4x312x2+12x 4

dx =x44x3+6x24x01 = 0 (1 +4 +6 +4) = 15

01P(x) dx = 1571. a) Deentretodoslostringulosrectngulosconhipotenusa10cm, calculalaslongitudes de los catetos que corresponden al de rea mxima.b) Calcula el valor de m, para que el rea del recinto limitado por la recta y = mx y lacurva y = x3, sea 2 unidades cuadradas.Solucina) Sean x e y los catetos del tringulo. El rea del tringulo es S = xy/2. Por el teoremade Pitgoras x2+y2= 100, despejando tenemos y =100 x2. Por tanto la funcinque hay que optimizar esS = 12x

100 x2S = 12

100 x2+2x222100 x264 Anlisis MatemticoPara que sea mximo S(x) = 0,12

100 x2=x2100 x2100 x2= x2x2= 50Finalmente x =

50 , sustituyendo y2= 100 50 = 50, es decir y =

50El tringulo es de rea mxima ya que el signo de la derivada es igual al signo delnumerador (el denominador es positivo)b) Para calcular el rea limitada por y = mx e y = x3hallamos los puntos de corte:m= x3

x = 0m= x2x = :mTeniendo en cuenta que las dos funciones son impares (f(x) = f(x)) el reaes2 = 2

m0

mx x3

dx = 212mx2 14x4

m0= 2

12m2 14m2Despejando12m2 14m2= 1 14m2= 1m2= 4Por tanto m= 2 .Nota. m= 2 no vale porque el punto de corte (x =m) no sera un nmero real.72. Un alambre de 170 cm de longitud se divide en dos partes. Con una de las partesse quiere formar un cuadrado y con la otra un rectngulo de modo que la base mida eldoble de la altura. Calcula las longitudes de las partes en que se ha de dividir el alambrepara que la suma de las reas del cuadrado y del rectngulo sea mnima.SolucinSea x el lado del cuadrado, el rea es x2y el permetro 4x.Sea yla altura del rectngulo, 2ysu base, por lo que el rea es 2y2y el permetro6y.Por tanto tenemos que hacer mnima la suma S = x2+2y2. Sabiendo que 4x+6y =170 obtenemos y = 85 2x3. Sustityendo en SS = x2+ 29(85 2x)2, S = 2x 29 2(85 2x)Resolviendo S = 0obtenemos x = 20.Portantounadelaspartestienelongitud4x = 80 cm y la otra 90 cm.73. Calculelaecuacindelarectaquepasaporel punto(3, 1)ytal queel reatringulo formado por esta recta y los semiejes positivos coordenados sea mnima.SolucinLas rectas que pasan por el punto (3, 1) tienen por ecuacin y 1 = m(x 3). Parahallar la recta buscada tenemos que encontrar el valor de m.Los puntos de corte con los ejes se obtienen haciendo x = 0, y = 0. Obtenemos lospuntos (1/m+3, 0) y (0, 3m+1).Problemas Resueltos 65

1m +3, 0(0, 3m+1)El rea serS = 12 (1 3m)

3 1mEl valor de m para el que el rea es mnima hace que la primera derivada sea cero yla segunda positiva. Derivando (con respecto a m)S = 12

9 +1m2= 0Resolviendo, tenemos dos valores: m= 1/3 y m= 1/3.Hallamos la segunda derivadaS = 12

2m3Entonces si m = 1/3, S < 0, es un mximo. (Adems es fcil ver en este caso quelos dos puntos de corte coinciden con el origen y no tenemos un tringulo.)Si m= 1/3 entonces S > 0 y es un mnimo.Por tanto la solucin es y 1 = 13(x 3). Despejando tenemosy = 13x +274. Un barco By dos ciudades A y Cde la costa forman un tringulo rectngulo enC. Las distancias del barco a las ciudades A y Cson 13 km y 5 km, respectivamente. Unhombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a 3 km/hy caminar a 5 km/h a qu distancia de A debe abandonar la costa para nadar hasta Bsi quiere llegar lo antes posible?SolucinComolavelocidadesconstanteel tiempoest =e/v. Si el hombreabandonalacostaenunpuntoquedista xkmde AtenemoslasituacinqueapareceenlagurasiguienteA CB12513x 12 xy66 Anlisis MatemticoLlamando Tal tiempo total necesarioT = x5 + y3 =115(3x +5y)Por el teorema de Pitgoras y =

25 +(12 x)2=x224x +169. SustituyendoT =115

3x +5

x224x +169

DerivandoT =115

3 +5(2x 24)2x224x +169=115

3 +5(x 12)x224x +169Para que el tiempo sea mnimo T = 0. Sumamos e igualamos el numerador a 03

x224x +169 +5x 60 = 0Despejando3

x224x +169 = 60 5xElevando al cuadrado9

x224x +169

= 3600 600x +25x2Llegamos a la ecuacin de segundo grado 16x2384x +2079 = 0 cuyas races sonx = 63/4 y x = 33/4. La primera es mayor que 12.Por tanto la solucin es 33/4 km75. Estudie la concavidad, convexidad y puntos de inexin de la funcin f(x) =lnxx.SolucinHallamos la primera y la segunda derivada de la funcinf(x) =1x x lnxx2= 1 lnxx2f(x) = 1x x22x(1 lnx)x4= x(3 +2lnx)x4= 3 +2lnxx3Si f(x) = 0 entonces 3 +2lnx = 0 lnx = 3/3, por tanto la derivada segundase anula para x = e3/2.Ahora bien, la funcin lnx est denida para x > 0 y es creciente siempre. Por tantoel denominador es positivo (x3> 0) y el numerador es negativo si x < e3/2y positivopara x > e3/2. En denitivax = e3/2es un punto de inexin.Si x < e3/2entonces f(x) < 0 y la funcin es cncava ().Si x > e3/2entonces f(x) > 0 y la funcin es convexa ().Problemas Resueltos 6776. Analice la continuidad, en el punto x = 0, de la funcin fdada porf(x) =

2x1xsi x < 0cos(x)x2+1si x0SolucinUna funcin es continua en un punto a si se verica lmxaf(x) = f(a). Adems,cuando la funcin est denida a trozos existe el lmite en un punto si lmx0 f(x) =lmx0+ f(x).En este caso tenemos, por una parte, f(0) = cos(0)/1 = 1. Por otra parte tenemoslmx0f(x) =lmx02x1x= 00(aplicando LHpital)=lmx02xln21= ln2ylmx0+cos(x)x2+1 = 1Por tanto no existe lmx0f(x) y, por tanto, la funcin no es continua en x = 0.77. Calculalmx0x2excos2x 1SolucinAplicamos la Regla de LHpitallmx0x2excos2x 1 =

es de la forma00=lmxto02xex+x2ex2senxcos x = lmx0(x2+2x)exsen2x= lmx0(2x +2)ex+(x2+2x)ex2cos 2x=22 =1Clculo Integral78. Sea F(x) =

x0sen(t2) dt. Calcule la segunda derivada de la funcin F(sin inten-tar calcular la integral).SolucinPor el Teorema fundamental del Clculo Integral tenemos F(x) = sen(x2).Si derivamos F(x) obtenemos la derivada segundaF(x) = 2xcos(x2)79. Calcule

2x 1x(x +1)2 dx.68 Anlisis MatemticoSolucinEl grado del numerador es 1 y el del denominador es 2, por tanto no hay que dividir.El denominador est descompuesto en factores por lo que podemos pasar directamentea la descomposicin en fracciones simples. Tenemos una raz real simple (x = 0) y unaraz real doble (x = 1). Por tanto necesitamos tres sumandos (uno para la raz simpley dos para la raz doble).2x 1x(x +1)2 = Ax +Bx +1 +C(x +1)2 = A(x +1)2+Bx(x +1) +Cxx(x +1)2Si x = 0obtenemos A = 1.Si x = 1,entonces 3 = C,esdecir C = 3.Final-mente si x = 1 entonces 1 = 4 +2B +3, por tanto B = 1. Integrando

2x 1x(x +1)2 dx =

dxx+

dxx +1 +3

(x +1)2dx= lnx +lnx +1 3x +1 +K80. Calcule

x3+x +2x2+3dx.SolucinComo el grado del numerador es 3 y el del denominador es 2, dividimosx3+ x +2 x2+3x33x x2x +2Si P = Q C +R entoncesPQ = C +RQ. Y tenemos

x3+x +2x2+3dx =

xdx +

2x +2x2+3dx= 12x2

2xdxx2+3 +2

dx3

x32+1= 12x2ln

x2+3

+ 23

3arc tg

x3+C81. Calcule

3x 2x2+x +1 dx.SolucinEl grado del numerador es 1, el grado del denominador es 2, as que no es necesa-riodividir. Eldenominador(degrado 2)notieneracesreales,portantonosepuededescomponer.Problemas Resueltos 69Tenemos x2+ x + 1 =

x + 122+ 34.Laintegralsedescomponeenunlogaritmoneperiano y un arco tangente. La derivada del denominador es 2x +1.

3x 2x2+x +1 dx = 3

x 23x2+x +1 dx = 32

2x +1 1 23x2+x +1dx= 32

2x +1x2+x +1 dx 53

dxx2+x +1= 32 lnx2+x +1 52

dx

x + 122+ 34= 32 lnx2+x +1 52 43

dx

x +1/23/22+1= 32 lnx2+x +1 10332arc tg

x +1/23/2+K82. Sea f(x) =

x11t dt, y sean a, b R+. Demuestre que f(a.b) = f(a) +f(b).SolucinComo f(x) =

x11t dt = [lnt]x1 = lnx ln1 = lnx, tenemosf(a.b) =

a.b11t dt = ln(a.b) ln1= lna +lnb = f(a) +f(b)83. Sean fy g, dos funciones continuas, denidas en el intervalo [a, b], que vericanque ba f =

ba g. Demuestre que existen , [a, b] tales que f() = f().SolucinPor el teorema del valor medio del clculo integral sabemos quea) Existe tal que ba f = f()(b a)b) Existe tal que ba g = g()(b a)Igualando tenemos que existen y tal que f() = g().84. Sea f : [2, 2] RRcontinuaen [2, 2]talque

12f(t) dt =

21f(t) dt,se puede asegurar que existen b y cen [2, 2] tales que b1, c1 y f(b) = f(c)?Justique su respuesta.SolucinAplicando el Teorema del Valor Medio del Clculo Integral a la funcin fenel intervalo [2, 1], existe un punto b [2, 1] (es decir 2b1) tal que

12f(t) dt = f(b)(1 (2)) = f(b)70 Anlisis MatemticoAplicando el teorema al intervalo [1, 2], existe ctal que 1c2 tal que

21f(t) dt = f(c)(2 1) = f(c)Por hiptesis las dos integrales son iguales, por tanto f(b) = f(c).85. Dibuje la grca de f(x) = x2 4 en el intervalo [3, 3] y calcule su integralen ese intervalo.SolucinLas races de la ecuacin x2 4 = 0 son x = 2 y x = 2 y por tanto y = x2 4 esnegativa en el intervalo (2, 2). De dondef(x) = x24 =

x24 si x2 o x2x2+4 si 2 < x < 2Lagrcadelafuncinseobtieneapartirdelagrcade y = x2 4queesunaparbola convexa que corta al eje Xen los puntos (2, 0) y (2, 0).Paracalcularlaintegral eneseintervalovamosautilizarquelafuncinespar(simtrica respecto al eje Y). Por tanto.

33f(x) dx = 2

20

x2+4

dx +

32

x24

dx= 2

13x3+4x

20+13x34x

32= 2

83 +8 0 +9 8

83 8= 2

163+8=16386. Calcule

30x

1 +x2dxProblemas Resueltos 71SolucinTeniendo en cuenta que (1 +x2) = 2x la integral es inmediata

30x

1 +x2dx =

30x

1 +x2

1/2dx = 13(1 +x2)3/230= 13

43/21

=7387. Calcula el rea del recinto limitado por la recta y = 2 x y la curva y = x2.SolucinHallamoslospuntosdecorte 2 x = x2 x2+ x 2 = 0cuyassolucionessonx =1y x = 2. Esfcil verquelarectaestporencimadelaparbolaentreesosdos valores (por ejemplo para x = 0 la recta toma el valor y = 2 y la parbola el valory = 0).El rea esS =

12

2 x x2

dx =2x 12x2 13x3

12= 2 12 13

4 2 + 83=92u288. Demuestrequelafuncin fdadapor f(x) =4x2+x 2esestrictamenteposi-tivaen [2, +)yhalleelreadelaregindeterminadaporlagrcade f, elejedeabscisas y las rectas x = 2 y x = 3.SolucinEl numerador de fes positivo y el denominador es un polinomio de segundo gradocuyas races sonx2+x 2 = 0; x = 1 :92=

x = 1x = 2Comoelcoecientede x2espositivolaparbolaesconvexay, portanto, soloesnegativa en el intervalo (2, 1). Es decir f(x) es positiva en el intervalo [2, +). El reabuscada es igual a la integral.S =

324x2+x 2 dxHallamos la descomposicin en fracciones simples4x2+x 2 =Ax 1 =Bx +2 = A(x +2) +B(x 1)(x 1)(x +2)

Si x = 1 4 = 3A A = 4/3Si x = 2 4 = 3B B = 4/372 Anlisis MatemticoFinalmenteS = 43lnx 1 lnx +232 =