Selectividade resueltos

Matemáticas II

PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD2000 – 2007

José Antonio Ríos

ies Salvador de Madariaga

Índice general

Pruebas de Selectividad 1

Junio 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Septiembre 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Junio 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Septiembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Junio 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Septiembre 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Junio 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Septiembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Junio 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Septiembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Junio 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Septiembre 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Junio 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Septiembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Junio 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Septiembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Problemas Resueltos 19

Álgebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Análisis Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Pruebas de Selectividad

Junio 2007

Álgebra lineal

1. a) (Problema 3.) Sean F1, F2, F3 las filas primera, segunda y tercera, respectiva-

mente, de una matriz cuadrada M de orden 3 , con det(M) = −2. Calcula el

valor del determinante de la matriz que tiene por filas F1 − F2, 2F1, F2 + F3.

b) (Problema 7.) Dada la matriz C =(1 12 1

), halla dos matrices X e Y que

verifican X + Y−1 = CX − Y−1 = Ct

siendo Ct la matriz traspuesta de C .2. (Problema 30.)

a) Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema de ecuacio-

nes lineales: mx + y + z = 0x −my − z = 12x + y + z = 0

b) Resuélvelo, si es posible, en el caso m = 2.

Geometría

1. a) Los puntos A(1,1,0), B(0,1,1) y C(−1,0,1) son vértices consecutivos de un

paralelogramo ABCD. Calcula las coordenadas del vértice D y el área del

paralelogramo.

b) Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto B(0,1,1) y es perpendi-

cular a la recta que pasa por los puntos A(1,1,0) y C(−1,0,1).2. Dadas las rectas

r :

x = 1y = 2+ λz = 2+ 2λ

; s :x1= y + 1

2= z + 2

2

a) Estudia su posición relativa.

b) Halla la ecuación del plano que contiene a las dos rectas.

1

2 Septiembre 2007

Análisis

1. a) Dada la función

f(x) =

ax2 + 1 si x < 2

e2−x + 2 si x ≥ 2

calcula a para que f(x) sea continua en x = 2. Para el valor obtenido de a,

¿es derivable en x = 2?

b) Dada g(x) = ax4+bx+c, calcula los valores de a, b, c para que g(x) tenga

en el punto (1,−1) un mínimo relativo y la recta tangente a la gráfica de

g(x), en x = 0, sea paralela a la recta y = 4x.

c) Enunciado del teorema fundamental del cálculo integral. Dada la fun-

ción F(x) =∫ x0 e−t

2dt, ¿tiene F(x) puntos de inflexión? Justifica la respuesta.

2. a) Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Rolle.

b) Dada f(x) = x3−9x, calcula para f(x): puntos de corte con los ejes, interva-

los de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, intervalos

de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

c) Calcula el área de la región del plano limitada por el eje OX y la curva y =x3 − 9x.

Septiembre 2007

Álgebra lineal

1. Dada la matriz

A =

m 0 00 0 m0 −1 m+ 1

a) Estudia, según los valores de m, el rango de A

b) Para m = −1, calcula la matriz X que verifica X · A + A = 2I, siendo I la

matriz unidad de orden 3.

2. a) Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema de ecuacio-

nes lineales x +my +mz = 1x +my +mz =mmy +mz = 4m


Geometría

1. a) Calculam para que los puntos A(2,1,−2), B(1,1,1), C(0,1,m) estén alinea-

dos.

b) Calcula el punto simétrico del punto P(−2,0,0) respecto de la recta que pasa

por los puntos (2,1,−2) y B(1,1,1).


2. Dadas las rectas

r :x1= y − 1−1 = z − 2−3 ;

x = 1+ λy = 3+ 2λz = 1+ λ

a) Estudia su posición relativa.

b) Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la

recta s.

Análisis

1. a) Calcula lımx→0

ex senx − x2x2 + x4 .

b) Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima que se puede

construir de modo que su base esté sobre el eje OX y los vértices del lado

opuesto estén sobre la parábola y = −x2 + 12.

c) Enunciado del teorema fundamental del cálculo integral. Calcula la

ecuación de la recta tangente a la gráfica de F(x) =∫ x0[2+ cos(t2)

]dt, en el

punto x = 0.

2. a) Enunciado del teorema de Bolzano. ¿Podemos asegurar que la gráfica de

f(x) = x5 + 2x4 − 4 corta el eje OX en algún punto del intervalo (1,2)?

b) Dada la función

g(x) =

0 si x à −√2

−x2 + 2 si x > −√2

¿Es g(x) continua en x = −√2? ¿Es derivable en x = −

√2?

c) Calcula el área de la región del plano limitada por las gráficas de g(x) y

h(x) = |x|.

Junio 2006

Álgebra lineal

1. (Problema 8.) Dada la matriz

A =

m 0 11 0 m0 −1 0

a) Calcula los valores del parámetro m para los cuales A tiene inversa.

b) Para m = 0, calcula A3 y A25.

c) Para m = 0, calcula la matriz X que verifica X ·A = B,

siendo B =(0 −1 −1

).

2. (Problema 29.)

4 Junio 2006

a) Descute e interpreta geométricamente, según los valores del parámetros m,

el sistema 2x −y + z = 0x − 2y + z =mmx −y + z = 0

b) Resuélvelo, si es posible, para los casos m = 0 y m = 2.

Geometría

1. (Problema 39.)

a) Definición e interpretación geométrica del producto vectorial de dos vectores

libres de R3.

b) Calcula los vectores unitarios y perpendiculares a los vectores~u = (1,−2,2) y ~v = (1,0,1).

c) Calcula la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por el

punto (1,1,1) y los vectores ~u = (1,−2,2) y ~v = (1,0,1).2. (Problema 54.) Dado el plano π : 2x + λy + 3 = 0 y la recta

r :

x + 2y − 2z + 6 = 07x −y − 2z = 0

a) Calcula el valor de λ para que la recta r y el plano π sean paralelos. Para ese

valor de λ, calcula la distancia entre r y π .

b) ¿Para algún valor de λ, la recta r está contenida en el plano π? Justifica la

respuesta.

c) ¿Para algún valor de λ, la recta y el plano π son perpendiculares? Justifica la

respuesta.

Análisis

1. (Problema 64.)

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = (x + 1)ex en

el punto de corte de f(x) con el eje OX.

b) Calcula, para f(x) = (x + 1)ex : intervalos de crecimiento y decrecimiento,

extremos relativos, puntos de inflexión, concavidad y convexidad.

c) Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del

cálculo diferencial.

2. (Problema 71.)

a) Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del

cálculo diferencial.

b) De entre todos los triángulos rectángulos con hipotenusa 10 cm, calcula las

longitudes de los catetos que corresponden al de área máxima.

c) Calcula el valor de m para que el área del recinto limitado por la recta y =mx y la curva y = x3, sea 2 unidades cuadradas.


Septiembre 2006

Álgebra lineal

1. (Problema 6.)

a) Sean A, B y C tres matrices tales que el producto A ·B ·C es una matriz 3×2y el producto A · Ct es una matriz cuadrada, siendo Ct la traspuesta de C .

Calcula, razonando la respuesta, las dimensiones de A, B y C .

b) Dada M =(−1 01 −1

), obtén todas las matrices X que conmutan con M , es

decir, verifican X ·M = M ·X.

c) Calcula la matriz Y que verifica M ·Y +M−1 ·Y = I, siendo M la matriz dada

en el apartado anterior, M−1 la matriz inversa de M e I la matriz unidad de

orden 2.

2. (Problema 20.)

a) Si en un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, el rango

de la matriz de los coeficientes es 3, ¿podemos afirmar que el sistema es

compatible? Razona la respuesta.

b) Discute, según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones linea-

les: y +mz = 0

x + z = 0mx −y =m

c) Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0.

Geometría

1. (Problema 45.)

a) Dados los vectores ~u = (1,0,−1), ~v = (1,1,0), calcula los vectores unitarios

de R3 que son ortogonales a los dos vectores dados.

b) Sea π el plano determinado por el punto P(2,2,2) y por los vectores ~u =(1,0,−1) y ~v = (1,1,0). Calcula el ángulo que forma el plano π con la recta

que pasa por los puntos O(0,0,0) y Q(2,−2,2).c) Calcula el punto simétrico de O(0,0,0) respecto al plano x −y + z − 2 = 0.

2. (Problema 47.) Los lados de un triángulo están sobre las rectas

r1 :x − 11

= y − 1−1 = z + 12

; r2 :

x = 2+ ty = 2+ tz = −1

; r3 :

x −y − z − 1 = 0x − z = 0

a) Calcula los vértices del triángulo. ¿Es un triángulo rectángulo? Razona la

respuesta.

b) Calcula la ecuación del plano π que contiene el triángulo. Calcula la inter-

sección del plano π con los ejes OX, OY y OZ.

6 Junio 2005

Análisis

1. a) (Problema 69.) Calcula los valores de a y b para que la gráfica de f(x) =ax + b

xtenga un mínimo relativo en el punto

(12,4)

. Para esos valores de a

y b, calcula: asíntotas e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x).

b) (Problema 77.) Calcula lımx→0

x2ex

cos2 x − 1

c) Definición de primitiva e integral indefinida de una función. Enunciado de la

regla de Barrow.

2. a) (Problema 59.) Definición de función continua en un punto. ¿Qué tipo de

discontinuidad tiene en x = 0 la función f(x) = x2

|x|?

b) (Problema 72.) Un alambre de 170 cm de longitud se divide en dos partes. Con

una de las partes se quiere formar un cuadrado y con la otra un rectángulo

de modo que la base mida el doble de la altura. Calcula las longitudes de las

partes en que se ha de dividir el alambre para que la suma de las áreas del

cuadrado y del rectángulo sea mínima.

c) (Problema 87.) Calcula el área del recinto limitado por la recta y = 2−x y la

curva y = x2.

Junio 2005

Álgebra Lineal

1. (Problema 4.) Halla todas las matrices A =(aij

), cuadradas de orden 3, tales que

a21 = a32 = 0 y A + At = 4I, siendo I la matriz identidad de orden tres y At la

matriz traspuesta de A, de las que además se sabe que su determinante vale 10.

2. (Problema 27.) Discuta e interprete geométricamente, según los diferentes valores

del parámetro m, el siguiente sistema:

−x +y − z = −14x − 2y + 2z = 2m−3x − 2y +mz = −4

Geometría

1. (Problema 56.) Calcule la distancia entre las rectas de ecuaciones

r : x = y − 13

= z − 47, s : x − 2 = y − 2

3= z − 3

4

2. (Problema 31.) Demuestre que los puntos P = (0,0,4), Q = (3,3,3), R = (2,3,4) y

S = (3,0,1) son coplanarios y determine el plano que los contiene.


Análisis

1. a) Enunciado e interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio del

Cálculo Integral para funciones continuas.

b) (Problema 84.) Sea f : [−2,2] ⊂ R -→ R continua en [−2,2] tal que

∫ −1−2f(t)dt =

∫ 21f(t)dt

¿se puede asegurar que existen b y c en [−2,2] tales que b à −1, c á 1 y

f(b) = f(c)? Justifique su respuesta.

2. a) Enunciado de la Regla de L’Hôpital.

b) (Problema 65.) Calcule la relación entre a y b para que sea continua en toda

la recta real la función f : R -→ R definida por

f(x) =

eax − 12x

si x ≠ 0

b si x = 0

Bloque 4

1. a) Definición de cota superior de una sucesión de números reales. Definición

de sucesión acotada inferiormente.

b) (Problema 57.) Demuestre que la sucesión de término general an =4n− 1n+ 1 es

creciente y halle una cota inferior positiva (justificando que es cota inferior).

2. a) Explique, brevemente, el método de integración de funciones racionales

P(x)/Q(x), en el caso de que el denominador, Q(x) tenga sólo raíces reales.

b) (Problema 79.) Calcule∫

2x − 1x(x + 1)2 dx.

Septiembre 2005

Álgebra

1. (Problema 11.) Resuelva la ecuación matricial A ·X + C = B, siendo

A =(4 1−1 0

), B =

(1 2 0 −1−2 −1 1 0

), C =

(0 −1 2 11 0 −3 0

)

2. (Problema 28.) Discuta y resuelva, según los valores del parámetro α, el siguiente

sistema de ecuaciones. Interprételo geométricamente en cada caso

2x − 3y + z = 0x −αy − 3z = 05x + 3y − z = 0

8 Junio 2004

Geometría

1. a) ¿Qué condición deben cumplir los coeficientes de las ecuaciones generales

de dos planos para que sean perpendiculares?

b) (Problema 50.) Halle el ángulo que forman los planos π : 2x − y + z − 7 = 0y σ : x +y + 2z = 11.

2. a) Definición de producto mixto de tres vectores. ¿Puede ocurrir que el produc-

to mixto de tres vectores sea cero sin ser ninguno de los vectores el vector

nulo? Razone la respuesta.

b) (Problema 36.) Para ~u, ~v , ~w, tres vectores en el espacio tales que∣∣~u∣∣ = 2,∣∣~v∣∣ = 3 y

∣∣ ~w∣∣ = 5, halle los valores mínimo y máximo del valor absoluto de

su producto mixto.

Análisis

1. a) Continuidad lateral de una función en un punto.

b) (Problema 76.) Analice la continuidad, en el punto x = 0, de la función fdada por

f(x) =

2x − 1x

si x < 0

cos(x)x2 + 1 si x ≥ 0

2. a) Teorema fundamental del cálculo integral para las funciones conti-

nuas. Enunciado e interpretación geométrica.

b) (Problema 78.) Sea F(x) =∫ x0 sen(t2)dt. Calcule la segunda derivada de la

función F (sin intentar calcular la integral).

Bloque 4

1. (Problema 58.) Calcule: a) lımn→∞

(√n2 − 5n+ 4−n

), b) lım

n→∞

(2n − 82n+1

).

2. (Problema 80.) Calcule∫x3 + x + 2x2 + 3 dx.

Junio 2004

Álgebra

1. (Problema 25.) Halle tres números sabiendo que el primero menos el segundo es

igual a un quinto del tercero, si al doble del primero le restamos seis nos queda

la suma del segundo y el tercero y, además, el triple del segundo menos el doble

del tercero es igual al primero menos ocho.

2. (Problema 2.) Demuestre que toda matriz cuadrada 3-dimensional se puede escri-

bir como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.


Geometría

1. a) Distancia entre dos rectas que se cruzan.

b) (Problema 52.) Halle la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones

r :

x = αy = −1z = 1−α

s :

x = 1+ βy = 2z = 2β

2. a) Ángulo que forman dos rectas. Condición de perpendicularidad.

b) (Problema 48.) Determine el ángulo que forman la recta que pasa por los

puntos A(1,0,−1) y B(0,1,−2) y la recta de ecuación x = y − 12

= z − 2−1 .

Análisis

1. (Problema 74.) Un barco B y dos ciudades A y C de la costa forman un triángulo

rectángulo en C . Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 km y 5 km,

respectivamente. Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabien-

do que puede nadar a 3 km/h y caminar a 5 km/h ¿a qué distancia de A debe

abandonar la costa para nadar hasta B si quiere llegar lo antes posible?

2. (Problema 88.) Demuestre que la función f dada por f(x) = 4x2 + x − 2 es estric-

tamente positiva en [2,+∞) y halle el área de la región determinada por la gráfica

de f , el eje de abscisas y las rectas x = 2 y x = 3.

Bloque 4

1. a) Escriba los distintos casos de indeterminación que pueden presentarse al

calcular límites de sucesiones de números reales y ponga un ejemplo sencillo

(sin resolverlo) de, por lo menos, cuatro de los casos.

b) (Problema 60.) Calcule lımn→∞(√n+ 7−√n

)√3n+ 5 indicando el tipo de

indeterminación (o indeterminaciones) que se presentan al intentar resolver

este límite.2. a) Explique brevemente (en cinco líneas como máximo) como se aplica el méto-

do de Gauss para calcular el rango de una matriz.

b) (Problema 5.) Determine, empleando el método de Gauss, el rango de la

matriz siguiente. 2 −1 0 71 0 1 33 2 7 71 1 1 1

Septiembre 2004

Álgebra Lineal

1. a) Enunciado de la Regla de Cramer.

10 Septiembre 2004

b) Determine los coeficientes del polinomio de grado dos tal que su gráfica

pasa por los puntos (0,5), (1,7) y (−1,5). ¿Puede haber otro polinomio de

segundo grado que pase por esos tres puntos? Razone la respuesta.

2. a) Exprese la condición que tienen que cumplir dos matrices M y N para que

pueda hallarse su suma. Y, si lo que pretendemos es multiplicarlas, ¿qué

condición deben cumplir las matrices?

b) (Problema 10.) Dadas las matrices

A =(1 22 −1

), B =

(55

)

Halle una matriz X tal que AX + B = 0.

Geometría

1. Compruebe que los puntos A = (1,0,3), B = (−2,5,4), C = (0,2,5) y D =(−1,4,7) son coplanarios. De todos los triángulos que se pueden construir tenien-

do como vértices tres de los cuatro puntos, ¿cuál es el de mayor área? Obtenga el

valor de dicha área.

2. Halle la ecuación general del plano π que contiene a la recta r :x − 12

= y − 14

=z2

y es paralelo a la recta s que pasa por los puntos P = (2,0,1) y Q = (1,1,1).Calcule la distancia de s a π .

Análisis

1. a) Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.

b) Determine las abscisas de los puntos de la curva y = x3

3−x2−3x+1 en los

que la recta tangente forma un ángulo de 135◦ con el sentido positivo del eje

de abscisas.

2. a) Definición de función continua en un punto. Explique brevemente los tipos

de discontinuidades que existen.

b) Estudie la continuidad en toda la recta real de la función f dada por

f(x) =

sen(x)x

si x > 0

x + 1 si x ≤ 0

Bloque 4

1. Dejamos caer una pelota desde una altura de 4 metros y, tras cada rebote, la

altura alcanzada se reduce a la mitad de la altura anterior. ¿Qué altura alcanzará la

pelota tras cada uno de los cinco primeros rebotes? ¿Y tras el rebote vigésimo? ¿Y

tras el n-ésimo rebote? Si an representa la altura alcanzada tras el n-ésimo rebote,

obtenga una cota superior y otra inferior de esta sucesión. Calcule lımn→∞ an.

2. (Problema 81.) Calcule∫

3x − 2x2 + x + 1 dx.


Junio 2003

Álgebra Lineal

1. (Problema 12.) Se consideran dos matrices A y B que verifican A + B =(3 27 0

)y

A− B =(2 3−1 0

). Calcule la matriz A2 − B2.

2. (Problema 18.) Calcule mediante transformaciones elementales (sin emplear la re-

gla de Sarrus) y justificando los pasos, el determinante siguiente.∣∣∣∣∣∣∣∣2+ a b ca 2+ b ca b 2+ c

∣∣∣∣∣∣∣∣Geometría

1. a) Definición de módulo de un vector. Propiedades.

b) (Problema 38.) Determine los valores de a y b (a > 0) para que los vectores~v1 = (a, b, b) ~v2 = (b,a, b) y ~v3 = (b, b,a) sean unitarios y ortogonales dos

a dos.

2. a) Ángulo que forman una recta y un plano.

b) (Problema 49.) Determine el ángulo que forman el plano π : x+2y−3z+4 =0 y la recta 2x −y = 03y + 2z = 12

Análisis Matemático

1. a) ¿Qué es un punto de inflexión de una función?

b) (Problema 66.) Halle la condición que debe cumplir λ para que el polinomio

x4 + x3 + λx2 sea cóncavo en algún intervalo. Determine el intervalo de

concavidad en función de λ.

2. a) Enunciado e interpretación geométrica del Teorema de Bolzano.

b) (Problema 62.) ¿Se puede asegurar, utilizando el Teorema de Bolzano que

la función f(x) = tg(x) tiene una raíz en el intervalo [π/4,3π/4]? Razone

la respuesta. Esboce la gráfica de f en ese intervalo.

Septiembre 2003

Álgebra Lineal

1. (Problema 17.) Demuestre que la matriz A =(2 11 2

)verifica una ecuación del tipo

A2 +αA+ βI = 0, determinando α y β (I denota la matriz identidad). Utilice este

hecho para calcular la inversa de A.

12 Junio 2002

2. (Problema 23.) Discuta e interprete geométricamente, según el parámetro α el

sistema de ecuaciones 3x −y = αx5x +y + 2z = αy4y + 3z = αz

Geometría

1. a) ¿Qué significa geométricamente que tres vectores del espacio tridimensional

sean linealmente independientes?

b) (Problema 32.) Dados los vectores ~u1 = (1,2,1), ~u2 = (1,3,2), ~v1 = (1,1,0)y ~v2 = (3,8,5), demuestre que los vectores ~u1 y ~u2 dependen linealmente

de los vectores ~v1 y ~v2. Determine la ecuación general del plano que pasa

por el origen y contiene los vectores ~v1 y ~v2, y determine la posición relativa

de los vectores ~u1 y ~u2 respecto a ese plano.

2. a) Definición de producto escalar de dos vectores. Interpretación geométrica.

b) (Problema 44.) Determine la ecuación que satisfacen los vectores ortogonales

a la recta

r :

2x +y − z = 0x −y + 3z = 0

Interprete geométricamente el resultado obtenido.


1. (Problema 68.) Dada la parábola f(x) = ax2+bx+ c, determine los valores de a,

b y c sabiendo que f tiene un máximo en el punto de abscisa x = −1/2 y la recta

tangente a f en el punto (1,3) es y = −3x + 6.

2. (Problema 90.) Determine el área de la región limitada por la gráfica de la función

f(x) = x2 + x + 5, el eje OX y la rectas x = −1/2 e y = x + 6.

Junio 2002

Álgebra Lineal

1. a) Definición de producto de matrices.

b) (Problema 1.) Dadas tres matrices A, B y C se sabe que A ·B ·C es una matriz

de orden 2× 3 y que B ·C es una matriz de orden 4× 3, ¿cuál es el orden de

A? Justifíquelo.

2. a) Enunciado del Teorema de Rouché-Frobenius.

b) (Problema 19.) ¿Es compatible determinado el siguiente sistema de ecuacio-

nes? 3x + 2z = 25x + 2y = 1x − 2y + 4z = 3


Justifique su respuesta. Como consecuencia de su respuesta anterior, justifi-

que si tiene una, ninguna o más de una solución este sistema.

Geometría

1. (Problema 55.) Halle la distancia del plano π : 4x − 10y + 2z = 1 al plano

σ :

x = 2λ+ 3µy = λ+ µz = λ− µ

2. (Problema 34.) Determine el vector (o vectores) unitarios ~v = (a, b, c) (con a > 0,

b > 0, c > 0), que forman un ángulo de π6 radianes con el vector ~u = (1,1,1) y un

ángulo de π4 radianes con ~w = (2,0,2).


1. (Problema 85.) Dibuje la gráfica de f(x) = |x2−4| en el intervalo [−3,3] y calcule

su integral en ese intervalo.

2. (Problema 67.) Dada F(x) = x2 − 2x + 2x − 4 , escriba la ecuación de la secante a F

que une los puntos (−2, F(−2)) y (2, F(2)). ¿Existe un punto c en el intervalo

[−2,2] verificando que la tangente a la gráfica de F en (c, F(c)) es paralela a la

secante que ha hallado? En caso afirmativo razone su respuesta y calcule c, en

caso negativo razone porqué no existe.

Septiembre 2002

Álgebra Lineal

1. (Problema 22.) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones según el valor de α y

resuélvalo en el caso en que sea compatible indeterminado.x +y + z = α− 1αx + 2y + z = αx +y +αz = 1

2. (Problema 13.) Halle, si existe, una matriz X que verifique la ecuación B2X − BX =B, siendo

B =(2 −10 3

)

Geometría

1. a) Deduzca las ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita (o general) de un

plano determinado por un punto y dos vectores directores.

14 Junio 2001

b) (Problema 46.) Dados los puntos P(3,4,1) yQ(7,2,7), determine la ecuación

general del plano que es perpendicular al segmento PQ y que pasa por el

punto medio de ese segmento.

2. a) Definición e interpretación geométrica de producto vectorial de dos vectores.

b) (Problema 35.) Dados los vectores ~u = (−2,0,4) y ~v = (−1,0, α), ¿para qué

valores de α el módulo del vector(~u+ ~v

)×(~u− ~v

)vale 4?


1. (Problema 73.) Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,1) y tal que

el área triángulo formado por esta recta y los semiejes positivos coordenados sea

mínima.

2. (Problema 91.) Calcule el número positivo α tal que el valor del área de la región

limitada por la recta y = α y la parábola y = (x − 2)2 sea 36.

Junio 2001

Álgebra Lineal

1. a) Propiedades del producto de matrices.

b) (Problema 14.) Sean

M =

0 1 10 0 10 0 0

y N = M+ I, donde I denota la matriz identidad de orden 3, calcule N2 yM2.¿Son N o M inversibles? Razone la respuesta.

2. a) Propiedades de los determinantes.

b) (Problema 16.) Sean F1, F2, F3, F4 las filas de una matriz cuadrada P de orden

4×4, tal que su determinante vale 3. Calcule razonadamente el valor del de-

terminante de la inversa de P , el valor del determinante αP , donde α denota

un número real no nulo, y el valor del determinante de la matriz tal que sus

filas son 2F1 − F4, F3, 7F2 y F4.

Geometría

1. a) ¿En qué posición relativa pueden estar tres planos en el espacio que no tienen

ningún punto en común?

b) (Problema 42.) Determine la posición relativa de los planos π : x−2y+3z =4, σ : 2x +y + z + 1 = 0 y ϕ : −2x + 4y − 6z = 0.

2. a) Ángulo que forman dos rectas.

b) (Problema 43.) Determine el ángulo que forman la recta r , que pasa por el

punto (1,−1,0) y tal que su vector dirección es ~v = (−2,0,1) y la recta s de

ecuaciónx − 74

= y + 64

= z2



1. (Problema 70.) Sabiendo que P(x) es un polinomio de tercer grado con un punto

de inflexión en (1,0) y con P ′′′(1) = 24 donde, además, la tangente al polinomio

en ese punto es horizontal, calcule∫ 0−1 P(x)dx.

2. (Problema 89.) Dadas

f(x) = x − |x|2

, g(x) =

3x si x ≤ 0x2 si x > 0

calcule∫ 0−1 x2(g ◦ f)(x)dx. (g ◦ f denota la composición.)

Septiembre 2001

Álgebra Lineal

1. (Problema 24.) Calcule α para que el siguiente sistema homogéneo tenga más

soluciones que la trivial. Resuélvalo para dicho valor y explique la interpretación

geométrica del sistema y de su solución.x + 2y − z = 02x +y −αz = 0x −y − z = 0

2. (Problema 15.) Calcule los valores del parámetro α para los que la matriz M no

tiene inversa. Calcule la matriz inversa para α = 2, si es posible.

M =

1 0 −10 α 34 1 −α

Geometría

1. a) (Problema 37.) Sean ~u y ~v dos vectores. Compruebe que si(~u+ ~v

) (~u− ~v

)=

0 entonces |~u| = |~v|.b) Calcule los vectores unitarios que sean perpendiculares a los vectores ~u =(−3,4,1) y ~v = (−2,1,0).

2. a) Definición de la distancia mínima entre dos rectas en el espacio. Casos posi-

bles.

b) (Problema 53.) Calcule la distancia entre las rectas r y s, donde r tiene por

ecuaciones r : x = 3y = 5z y la recta s pasa por los puntos A(1,1,1) y

B(1,2,−3).


1. a) ¿Puede haber dos funciones distintas que tengan igual función derivada? Si

la respuesta es afirmativa, ponga un ejemplo. Si, por el contrario, la respuesta

es negativa, razónela.

16 Junio 2000

b) (Problema 63.) Calcula la derivada de la función f(x) = |x−2| en x = 2, si es

posible. Represente la gráfica de la función y, sobre ella, razone su respuesta.2. a) Enunciado del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.

b) (Problema 83.) Sean f y g, dos funciones continuas, definidas en el intervalo

[a, b], que verifican que∫ ba f =

∫ ba g. Demuestre que existen α,β ∈ [a, b]

tales que f(α) = f(β).

Junio 2000

Álgebra Lineal

1. (Problema 9.) Se dice que dos matrices cuadradas, A y B, de orden n × n, son

semejantes si existe una matriz inversible P , tal que B = P−1AP , donde P−1 denota

la matriz inversa de P . Determine si son semejantes las matrices

A =(1 20 1

)y B =

(1 00 −1

)2. (Problema 21.) Discuta, según los valores de α, el siguiente sistema de ecuaciones

lineales e interprételo geométricamente.x −y + z = 0αy + 2z = 42y +αz = 4

Geometría

1. (Problema 41.) Calcule el volumen del tetraedro de vértices el punto P(1,1,1) y

los puntos de corte del plano π : 2x+3y+z−12 = 0 con los ejes de coordenadas.

Calcule también el punto de corte del plano π y la recta perpendicular a π que

pasa por el punto P .2. (Problema 40.) Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y general del

plano determinado por los puntos A = (1,0,0), B(2,−1,2) y C(5,−1,1). Calcule

la distancia del punto P(2,7,3) al plano.


1. a) Definición de una función continua en un punto. Definición de derivada de

una función en un punto.

b) (Problema 61.) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función

f(x) =

x2 − 9x − 3 si x 6= 3

6 si x = 3

en el punto x = 3.2. a) Enunciado de la Regla de Barrow.

b) (Problema 82.) Sea f(x) =∫ x11t dt, y sean a,b ∈ R+. Demuestre que f(a.b) =

f(a)+ f(b).


Septiembre 2000

Álgebra Lineal

1. a) ¿Qué relación existe entre el conjugado del opuesto de un número comple-

jo, z = a + bi, y el opuesto del conjugado del mismo número? Razona la

respuesta.

b) Calcular los números reales x e y de modo que

3− xi1+ 2i = y + 2i

2. a) Un sistema lineal de tres ecuaciones con dos incógnitas, ¿puede ser compa-

tible y determinado? En caso afirmativo ponga un ejemplo.

b) Discuta y resuelva, según los valores del parámetro α, el siguiente sistema

(Problema 26.) x +y +αz = 12x +αy + z = 2

Geometría

1. (Problema 33.) Calcule α para que los puntos A = (1,1,1), B = (3,0,2), C(5,−2,2)y D = (2,1, α) sean coplanarios. Calcule el área del polígono ABCD.

2. (Problema 51.) Dado el plano π1 : 3x+αy +z = 6. Calcule α para que la recta que

pasa por el punto P(1,1,2) y es perpendicular al plano π1 sea paralela al plano

π2 : x −y = 3. Calcule la distancia de la recta r al origen.


1. a) ¿Puede una función polinómica de grado dos tener un punto de inflexión?

Razone la respuesta.

b) (Problema 75.) Estudie la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la

función f(x) = lnxx

.

2. a) Si f es un función continua en [a, b], ¿puede ser∫ ba f(t) = 0? Razone la

respuesta con un ejemplo.

b) (Problema 86.) Calcule∫ √30x√1+ x2 dx.

Problemas Resueltos

Álgebra Lineal

1. Dadas tres matrices A, B y C se sabe que A · B · C es una matriz de orden 2 × 3 y

que B · C es una matriz de orden 4× 3, ¿cuál es el orden de A? Justifíquelo.

Solución

Para que las matrices se puedan multiplicar, el número de columnas de la matriz Atiene que coincidir con el número de filas de la matriz B, y el número de columnas de

B tiene que coincidir con el número de filas de C . Sea, entonces, A de orden m × n, Bde orden n× p y C de orden p × q.

El producto de matrices tiene el mismo número de filas que la primera y el mismo

número de columnas que la última. Por tanto, el producto A ·B ·C será de ordenm×qy como sabemos que es una matriz 2× 4 deducimos que m = 2.

Análogamente, el producto B · C será de orden n × q y como sabemos que es una

matriz 4× 3, deducimos que A es una matriz de orden 2× 4.

2. Demuestre que toda matriz cuadrada 3-dimensional se puede escribir como suma

de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

Solución

Sea A una matriz cuadrada de orden 3

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Queremos escribir esta matriz como suma de una matriz simétrica y otra antisimé-

trica. Una matriz es simétrica si lo es con respecto a la diagonal principal. Una matriz

es antisimétrica si los elementos situados simétricamente con respecto a la diagonal

principal son opuestos. Es decir estamos buscando una igualdad del tipo

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=x11 x12 x13x12 x22 x23x13 x23 x33

+ y11 y12 y13−y12 y22 y23−y13 −y23 y33

19

20 Álgebra Lineal

Tenemos que hallar los valores de xij y de yij . Igualando coeficientes tenemos que

resolver un conjunto de sistemas de ecuaciones del tipoa12 = x12 +y12a21 = x12 −y12

(Análogamente para x13, y13 y para x23, y23.)El sistema se resuelve fácilmente, por ejemplo sumando y restando las ecuaciones.

Llegamos a x12 = (a12 + a21)/2, y12 = (a12 − a21)/2Para cada elemento de la diagonal principal se tiene una ecuación con dos incógnitas

a11 = x11 +y11. Podemos tomar x11 = a11, y11 = 0.Nota. Es evidente que el hecho de que la matriz sea de orden 3 no tiene ninguna in-

fluencia, el resultado es válido para cualquier matriz cuadrada.Además, si nos fijamos en el resultado obtenido podríamos seguir un camino

más general: dada una matriz A, cuadrada de orden n, entonces:a) La matriz X = 1

2(A+At

)es simétrica. (¿Por qué?)

b) La matriz Y = 12(A−At

)es antisimétrica. (¿Por qué?)

c) Se verifica A = X + Y = 12(A+At +A−At

)3. Sean F1, F2, F3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz

cuadrada M de orden 3 , con det(M) = −2. Calcula el valor del determinante de la

matriz que tiene por filas F1 − F2, 2F1, F2 + F3.

Solución

Aplicando las propiedades de los determinantes tenemos

det(F1 − F2,2F1, F2 + F3 = det(F1 − F2,2F1, F2)+ det(F1 − F2,2F1, F3)= 0+ det(F1 − F2,2F1, F3)= det(F1,2F1, F3)− det(F2,2F1, F3)

= −2det(F2, F1, F3) = −4

4. Halle todas las matrices A =(aij

), cuadradas de orden 3, tales que a21 = a32 = 0

y A+At = 4I, siendo I la matriz identidad de orden tres y At la matriz traspuesta de A,

de las que además se sabe que su determinante vale 10.

Solución

En primer lugar escribimos una matriz A, cuadrada de orden 3, y su traspuesta

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, At =

a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33

Teniendo en cuenta que a21 = a32 = 0

A =

a11 a12 a130 a22 a23a31 0 a33

, At =

a11 0 a31a12 a22 0a13 a23 a33


De la igualdad A+At = 4I se deduce

A+At =

2a11 a12 a13 + a31a12 2a22 a23

a31 + a13 a23 2a33

=4 0 00 4 00 0 4

Igualando términos tenemos a11 = 2, a12 = 0, a31 + a13 = 0 (es decir a13 = −a31),

a22 = 2, a23 = 0, a33 = 2. Es decir

A =

2 0 a130 2 0−a13 0 2

Como det(A) = 10 se deduce 8+ 2a213 = 10, es decir a213 = 1. Por tanto a13 = ±1.

Por tanto, hay dos soluciones

A =

2 0 10 2 0−1 2 0

A =

2 0 −10 2 01 2 0

5. Determine, empleando el método de Gauss, el rango de la matriz siguiente2 −1 0 71 0 1 33 2 7 71 1 1 1

Solución

2 −1 0 71 0 1 33 2 7 71 1 1 1

1.-→

1 1 1 11 0 1 33 2 7 72 −1 0 7

2.-→

1 1 1 10 −1 0 20 −1 4 40 −3 −2 5

3.-→

1 1 1 10 −1 0 20 0 4 20 0 −14 −7

4.-→

1 1 1 10 −1 0 20 0 −2 −10 0 0 0

1. Cambiamos el orden de las filas: (F1, F2, F3, F4)→ (F4, F1, F3, F2)2. F2 − F1 → F2; F3 − 3F1 → F3; F4 − 2F1 → F43. F4 − 3F3 → F44. 7F3 + 2F4 → F4

Se deduce que el rango de la matriz es 3.

22 Álgebra Lineal

6. a) Sean A, B y C tres matrices tales que el producto A · B · C es una matriz 3 × 2y el producto A · Ct es una matriz cuadrada, siendo Ct la traspuesta de C . Calcula,

razonando la respuesta, las dimensiones de A, B y C .

b) Dada M =(−1 01 −1

), obtén todas las matrices X que conmutan con M , es decir,

verifican X ·M = M ·X.

c) Calcula la matriz Y que verifica M · Y +M−1 · Y = I, siendo M la matriz dada en el

apartado anterior, M−1 la matriz inversa de M e I la matriz unidad de orden 2.

Solución

a) Recordemos dos matrices se pueden multiplicar si el número de columnas de la

primera coincide con el número de filas de la segunda y el producto tiene el mismo

número de filas que la primera y el mismo número de columnas que la segunda.

Sea A de orden m × n, B de orden n × p y C de orden p × q entonces sabemos

que Ct es de orden q × p y A · B · C es de orden m × q y como sabemos que es de

orden 3× 2 deducimos m = 3 y q = 2.

Por otra parte para poder hallar el producto A ·Ct debemos tener n = q = 2 y el

producto es de orden m× p. Finalmente por ser cuadrada p =m = 3.b) Para poder calcular los dos productos X·M yM·X la matriz X tiene que ser cuadrada

de orden 2.

M =(a bc d

)Entonces (

a bc d

)(−1 01 −1

)=(−1 01 −1

)(a bc d

)Desarrollando e igualando llegamos al sistema

−a+ b = −a−b = −b−c + d = a− c−d = b − d

Se deduce a = d y b = 0 y las matrices que conmutan son(a 0c a

)

donde a y c son dos números reales cualesquiera.c) Despejamos Y

M · Y +M−1 · Y =(M +M−1

)Y = I =⇒ Y =

(M +M−1

)−1Calculamos la inversa de M (teniendo en cuenta que det(M) = 1)(

−1 01 −1

)-→

(−1 10 −1

)-→

(−1 0−1 −1

)= M−1


M +M−1 =(−2 00 −2

)= −2I

Y =(M +M−1

)−1=(−1/2 00 −1/2

)

7. Dada la matriz C =(1 12 1

), halla dos matrices X e Y que verifican

X + Y−1 = CX − Y−1 = Ct

siendo Ct la matriz traspuesta de C .

Solución

Sumando las dos ecuaciones tenemos 2X = C+Ct de donde X = 12(C+Ct). Restando

tenemos 2Y−1 = C − Ct de donde Y−1 = 12(C + Ct).

C + Ct =(1 12 1

)+(1 21 1

)=(2 33 2

), X =

(1 3/23/2 1

)

8. Dada la matriz

A =

m 0 11 0 m0 −1 0

a) Calcula los valores del parámetro m para los cuales A tiene inversa.

b) Para m = 0, calcula A3 y A25.c) Para m = 0, calcula la matriz X que verifica X ·A = B, siendo B =

(0 −1 −1

).

Solución

a) Desarrollando por la tercera fila tenemos

det(A) =∣∣∣∣∣m 11 m

∣∣∣∣∣ =m2 − 1

Entonces det(A) = 0 ⇒ m2 − 1 = 0 ⇒ m = ±1 Como la condición necesaria y

suficiente para que una matriz tenga inversa es que el determinante sea distinto de

cero, se deduce que la matriz A tiene inversa ∀m ∈ R,m 6= ±1.

b) En el caso m = 0

A =

0 0 11 0 00 −1 0

24 Álgebra Lineal

Y tenemos

A2 =

0 0 11 0 00 −1 0

0 0 11 0 00 −1 0

= 0 −1 00 0 1−1 0 0

A3 = A2 ·A

0 −1 00 0 1−1 0 0

0 0 11 0 00 −1 0

=−1 0 00 −1 00 0 −1

= −IDonde I representa la matriz unidad de orden 3. A partir de la igualdad anterior

se deduce que A6 = A3 ·A3 = (−I)(−I) = I.Finalmente A25 = A24 ·A =

(A6)4 ·A = I ·A = A.

c) Para m = 0 det(A) = −1. Hallamos la inversa

A -→ At =

0 1 00 0 −11 0 0

-→ Adj(At) =

0 −1 00 0 1−1 0 0

A−1 =

0 1 00 0 −11 0 0

Resolvemos la ecuación matricial: X = B ·A−1

X = (0 − 1 − 1) ·

0 1 00 0 −11 0 0

= (−1 0 1)

9. Se dice que dos matrices cuadradas, A y B, de orden n×n, son semejantes si existe

una matriz inversible P , tal que B = P−1AP , donde P−1 denota la matriz inversa de P .

Determine si son semejantes las matrices

A =(1 20 1

)y B =

(1 00 −1

)

Solución

Como P es inversible, a partir de B = P−1AP tenemos PB = AP . Se trata, entonces,

de hallar una matriz

P =(x yz t

)que verifica (

x yz t

)(1 00 −1

)=(1 20 1

)(x yz t

)De donde (

x −yz −t

)=(x + 2z y + 2tz t

)


Igualando los términos correspondientes tenemos el sistema

x = x + 2z−y = y + 2tz = z−t = t

Entonces −t = t =⇒ t = 0, sustituyendo en la segunda y = 0, además x+2z = x =⇒z = 0.

Ahora bien, la matriz (x 00 0

)

tiene determinante 0. Por tanto no es inversible y las matrices no son semejantes.

Nota. Hay otra forma de llegar al resultado. Como det(A·B) = det(A)·det(B). Entonces

si existe la matriz P inversible (es decir det(P) 6= 0), se verifica

−1 = det(B) = det(P−1AP

)= det

(P−1

)det(A)det(P) = 1

det(P)· 1 · det(P) = 1

lo cual es absurdo. Por tanto no puede existir la matriz P .

10. Dadas las matrices

A =(1 22 −1

), B =

(55

)

Halle una matriz X tal que AX + B = 0.

Solución

Teniendo en cuenta las propiedades de las matrices tenemos AX = −B y, por tanto,

X = A−1(−B) Como det(A) = −5, la matriz A tiene inversa y su inversa es(1 22 −1

)-→

(−1 −2−2 1

); A−1 =

(1/5 2/52/5 −1/5

)

X =(1/5 2/52/5 −1/5

)(−5−5

)

X =(−3−1

)

11. Resuelva la ecuación matricial A ·X + C = B, siendo

A =(4 1−1 0

), B =

(1 2 0 −1−2 −1 1 0

), C =

(0 −1 2 11 0 −3 0

)

26 Álgebra Lineal

Solución

Teniendo en cuenta las propiedades de la suma y el producto de matrices tenemos

A ·X + B = C -→ A ·X = B − C -→ X = A−1(B − C)

Calculamos B − CB − C =

(1 3 −2 −2−3 −1 4 0

)Para hallar la inversa de la matriz A calculamos sucesivamente la traspuesta de A

(At) y la adjunta de la traspuesta que coincide con la inversa puesto que det(A) = 1(4 1−1 0

)-→

(4 −11 0

)-→

(0 −11 4

)

Finalmente

X =(0 −11 4

)(1 3 −2 −2−3 −1 4 0

)

X =(

3 1 −4 0−11 −1 14 −2

)

12. Se consideran dos matrices A y B que verifican A+B =(3 27 0

)y A−B =

(2 3−1 0

).

Calcule la matriz A2 − B2.

Solución

A+ B =

3 2

7 0

A− B =

2 3

−1 0

Si sumamos las dos ecuaciones obtenemos

2A =(5 56 0

); A =

(5/2 5/23 0

)

Si restamos las ecuaciones tenemos

2B =(1 −18 0

); B =

(1/2 −1/24 0

)

Entonces

A2 =(5/2 5/23 0

)(5/2 5/23 0

)=(55/4 25/415/2 15/2

)

B2 =(1/2 −1/24 0

)(1/2 −1/24 0

)=(−7/4 −1/42 −2

)


Finalmente

A2 − B2 =(31/2 13/211/2 19/2

)

Nota. No es posible utilizar la igualdad A2−B2 = (A+B)(A−B), ya que no es válida si

A y B son matrices.(31/2 13/211/2 19/2

)= A2 − B2 6= (A+ B)(A− B) =

(3 27 0

)(2 3−1 0

)=(4 914 21

)

Si desarrollamos el producto (A+B)(A−B) = A2−AB+AB−B2, como el producto

de matrices no es conmutativo, los términos intermedios no se anulan. Es decir

A2 − B2 ≠ (A+ B)(A− B) si A y B son matrices.

13. Halle, si existe, una matriz X que verifique la ecuación B2X − BX = B, siendo

B =(2 −10 3

)

Solución

Por la propiedad distributiva, si B2X − BX = B entonces(B2 − B

)X = B.

B2 =(2 −10 3

)(2 −10 3

)=(4 −50 9

)

B2 − B =(2 −40 6

)Entonces det

(B2 − B

)= 12.

Calculamos la inversa

(B2 − B

)−1= 112

(6 40 2

)=(1/2 1/30 1/6

)

Finalmente

X =(1/2 1/30 1/6

)(2 −10 3

)

X =(1 1/20 1/2

)

14. Sean

M =

0 1 10 0 10 0 0

y N = M + I, donde I denota la matriz identidad de orden 3, calcule N2 y M2. ¿Son N o

M inversibles? Razone la respuesta.

28 Álgebra Lineal

Solución

Tenemos

N =

0 1 10 0 10 0 0

+1 0 00 1 00 0 1

=1 1 10 1 10 0 1

Por tanto

M2 =

0 1 10 0 10 0 0

0 1 10 0 10 0 0

=0 0 10 0 00 0 0

N2 =

1 1 10 1 10 0 1

1 1 10 1 10 0 1

=1 2 30 1 20 0 1

Además det(M) = 0 y det(N) = 1. Por tanto M no es inversible y N si tiene inversa.

15. Calcule los valores del parámetro α para los que la matriz M no tiene inversa.

Calcule la matriz inversa para α = 2, si es posible.

M =

1 0 −10 α 34 1 −α

Solución

La condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa es que el

determinante de la matriz sea distinto de cero.

Tenemos det(M) = −α2+4α−3, por tanto la matriz no tiene inversa para los valores

de α que verifican la ecuación −α2 + 4α − 3 = 0. Resolviendo la ecuación obtenemos

α = 1 y α = 3Si α = 2 entonces det(M) = 1 y la inversa es

1 0 −10 2 34 1 −2

-→

1 0 40 2 1−1 3 −2

-→

−7 −1 212 2 −3−8 −1 2

16. Sean F1, F2, F3, F4 las filas de una matriz cuadrada P de orden 4 × 4, tal que su

determinante vale 3. Calcule razonadamente el valor del determinante de la inversa de

P , el valor del determinante αP , donde α denota un número real no nulo, y el valor del

determinante de la matriz tal que sus filas son 2F1 − F4, F3, 7F2 y F4.

Solución

Teniendo en cuenta que det(A · B) = det(A) · det(B) se deduce que

1 = det(I) = det(P · P−1) = det(P) · det(P−1)


Por tanto det(P−1) = 1/3 .

Para calcular el determinante de αP , recordemos que si multiplicamos una matriz

por un escalar se multiplica por cada término, es decir αP = (αF1, αF2, αF3, αF4). Sin

embargo las propiedades de los determinantes actúan por filas o columnas, es decir

det(αP) = αdet(F1, αF2, αF3, αF4) = · · · = α4 det(F1, F2, F3, F4) = 3α4

Sabemos que det(F1, F2, F3, F4) = 3. Y por las propiedades de los determinantes

det(2F1 − F4, F3,7F2, F4) = det(2F1, F3,7F2, F4)− det(F4, F3,7F2, F4)

(Este último determinante es nulo por tener dos filas iguales)

= 2det(F1, F3,7F2, F4) = 2 · 7det(F1, F3, F2, F4)

(Si cambiamos dos filas en un determinante, cambia el signo)

= −14det(F1, F2, F3, F4) = −42

17. Demuestre que la matriz A =(2 11 2

)verifica una ecuación del tipo A2+αA+βI =

0, determinando α y β (I denota la matriz identidad). Utilice este hecho para calcular la

inversa de A.

Solución

A2 =(2 11 2

)(2 11 2

)=(5 44 5

)Tenemos entonces(

5 44 5

)+(2α αα 2α

)+(β 00 β

)=(0 00 0

)

Igualando los elementos correspondientes tenemos el sistema de ecuaciones

5+ 2α+ β = 04+α = 04+α = 05+ 2α+ β = 0

es decir

5+ 2α+ β = 04+α = 0

De la segunda tenemos α = −4Sustituyendo en la primera tenemos β = 3Para utilizar esta fórmula en el cálculo de la inversa, recordemos que la inversa de

una matriz A, es una matriz A−1 tal que A ·A−1 = I (y A−1 ·A = I).Ahora bien de A2 +αA+ βI = 0 tenemos A(A+αI) = −βI.

30 Álgebra Lineal

Sustituyendo: A(A− 4I) = −3I. Es decir −13A(A− 4I) = I. Por tanto

A−1 = −13(A− 4I) = −1

3

((2 11 2

)− 4

(1 00 1

))Finalmente, tenemos

A−1 =(2/3 −1/3−1/3 2/3

)

18. Calcule mediante transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus)

y justificando los pasos, el determinante∣∣∣∣∣∣∣∣2+ a b ca 2+ b ca b 2+ c

∣∣∣∣∣∣∣∣Solución

Si sumamos a la primera columna, la segunda y la tercera, tenemos∣∣∣∣∣∣∣∣2+ a+ b + c b c2+ a+ b + c 2+ b c2+ a+ b + c b 2+ c

∣∣∣∣∣∣∣∣ =Todos los elementos de la primera columna son múltiplos de 2+a+b+c. Por tanto

(2+ a+ b + c)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 b c1 2+ b c1 b 2+ c

∣∣∣∣∣∣∣∣ =Si restamos a la segunda y a la tercera filas la primera, tenemos

(2+ a+ b + c)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 b c0 2 00 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣Este último determinante es triangular y, por tanto, es igual al producto de los

elementos de la diagonal principal∣∣∣∣∣∣∣∣2+ a b ca 2+ b ca b 2+ c

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 4(2+ a+ b + c)

19. ¿Es compatible determinado el siguiente sistema de ecuaciones?3x + 2z = 25x + 2y = 1x − 2y + 4z = 3

Justifique su respuesta. Como consecuencia de su respuesta anterior, justifique si tiene

una, ninguna o más de una solución este sistema.


Solución

La matriz del sistema es 2 0 2 25 2 0 11 −2 4 3

Tenemos∣∣∣∣∣3 0

5 2

∣∣∣∣∣ = 6 6= 0∣∣∣∣∣∣∣∣3 0 25 2 01 −2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣3 0 25 2 06 0 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ (Sumando a la tercera fila la segunda: F3 ← F3 + F2)

= 0 (La primera y la tercera fila son proporcionales)

∣∣∣∣∣∣∣∣3 0 25 2 11 −2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣3 0 25 2 16 0 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ (Sumando a la tercera fila la segunda: F3 ← F3 + F2)

= 0 (La primera y la tercera fila son proporcionales)

Es decir rgA = rgA∗ = 2. El sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas

soluciones.

20. a) Si en un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, el rango de

la matriz de los coeficientes es 3, ¿podemos afirmar que el sistema es compatible?

Razona la respuesta.b) Discute, según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones lineales:

y +mz = 0x + z = 0

mx −y =m

c) Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0.

Solución

a) Si tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas entonces la matriz del

sistema es una matriz cuadrada de orden 3 y la matriz ampliada es una matriz 3×4.

Se deduce que si rg(A) = 3 entonces rg(A∗) = 3 ya que el rango no puede ser menor

por contener la matriz A y no puede ser 4 ya que tiene 3 filas. Por tanto rg(A) =rg(A∗) = nº incógnitas y, por el Teorema de Rouché, el sistema es compatible

determinado (tiene solución única).b) La matriz del sistema es 0 1 m 0

1 0 1 0m −1 0 m

32 Álgebra Lineal

Tenemos ∣∣∣∣∣0 11 0

∣∣∣∣∣ 6= 0por tanto rg(A) á 2.

Además ∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 01 0 0m −1 m

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −mSe deduce

Si m = 0 entonces rg(A) = rg(A∗) = 2 =⇒ sci.

Si m 6= 0 entonces rg(A) = rg(A∗) = 3 =⇒ scd.

21. Discuta, según los valores de α, el siguiente sistema de ecuaciones lineales e inter-

prételo geométricamente. x −y + z = 0αy + 2z = 42y +αz = 4

Solución

La matriz del sistema es 1 −1 1 00 α 2 40 2 α 4

Tenemos ∣∣∣∣∣1 −1

0 2

∣∣∣∣∣ = 2 6= 0Se deduce que rg(A) á 2∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 10 α 20 2 α

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣α 22 α

∣∣∣∣∣ = α2 − 4Si α2 − 4 = 0 entonces α = 2 o α = −2.

Si α 6= 2 y α 6= −2 entonces rg(A) = 3, por tanto rg(A∗) = 3 scd, el sistema tiene

solución única.Son tres planos que se cortan en un punto.

Si α = 2 entonces rg(A) = 2 y es fácil ver que, también, rg(A∗) = 2 (la segunda y la

tercera ecuaciones son iguales). Por tanto el sistema es compatible indeterminado,

tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro.La segunda y la tercera ecuación corresponden al mismo plano. Por tanto te-

nemos dos planos coincidentes y un plano no paralelo (se cortan en una recta).Si α = −2, la matriz del sistema es 1 −1 1 0

0 −2 2 40 2 −2 4


∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 00 −2 40 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −16Por tanto rg(A) = 2, rg(A∗) = 3, el sistema es incompatible.

La segunda y la tercera ecuación representan dos planos paralelos y distintos

porque −22 =2−2 6=

44 . La primera ecuación corresponde a un plano no paralelo con

los otros dos. Por tanto tenemos dos planos paralelos y uno que corta cada uno

de los otros en una recta.

22. Discuta el siguiente sistema de ecuaciones según el valor de α y resuélvalo en el

caso en que sea compatible indeterminadox +y + z = α− 1αx + 2y + z = αx +y +αz = 1

Solución

La matriz del sistema es 1 1 1 α− 1α 2 1 α1 1 α 1

Tenemos∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1α 2 11 1 α

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (Restando a la primera columna la segunda: C1 ← C1 − C2)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 1

α− 2 2 10 1 α

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −(α− 2)∣∣∣∣∣1 11 α

∣∣∣∣∣ = −(α− 2)(α− 1)Si α 6= 2 y α 6= 1 entonces rg(A) = rg(A∗) = 3 scd. El sistema tiene solución única.

Si α = 2. La matriz del sistema es 1 1 1 12 2 1 21 1 2 1

∣∣∣∣∣1 12 1

∣∣∣∣∣ = −1 6= 0La cuarta columna es igual a la primera así que rg(A) = rg(A∗) = 2 sci. El

sistema tiene infinitas soluciones. Tenemos que resolver el sistemay + z = 1− x2y + z = 2− 2x

y =

∣∣∣∣∣ 1− x 12− 2x 1

∣∣∣∣∣−1 z =

∣∣∣∣∣1 1− x2 2− 2x

∣∣∣∣∣−1

34 Álgebra Lineal

Las soluciones paramátricas sonx = λy = 1− λz = 0

Si α = 1. La matriz del sistema es 1 1 1 01 2 1 11 1 1 1

;

∣∣∣∣∣1 11 2

∣∣∣∣∣ = 1Tenemos ∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 01 2 11 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 01 1 11 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1Por tanto rg(A) = 2 y rg(A∗) = 3 si. El sistema no tiene solución.

23. Discuta e interprete geométricamente, según el parámetro α el sistema de ecua-

ciones 3x −y = αx5x +y + 2z = αy4y + 3z = αz

Solución

Si transponemos términos el sistema que tenemos que discutir es el siguiente(3−α)x −y = 05x + (1−α)y + 2z = 0

4y + (3−α)z = 0

La matriz del sistema es 3−α −1 0 05 1−α 2 00 4 3−α 0

El sistema es homogéneo y, por tanto, compatible. Tenemos que calcular el deter-

minante ∣∣∣∣∣∣∣∣3−α −1 05 1−α 20 4 3−α

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (3−α)2(1−α)−(8(3−α)− 5(3−α)

)=

(3−α)((3−α)(1−α)− 3

)= (3−α)(α2 − 4α) = (3−α)α(α− 4).

El determinante se anula para α = 0, α = 3 y α = 4.

Para cualquier otro valor de α el determinante es distinto de cero, y rg(A) = 3 =rg(A∗). Es decir el sistema tiene solución única: x = 0, y = 0, z = 0. Geométricamente

son tres planos que se cortan en el origen de coordenadas.


Si α = 0, la matriz del sistema queda 3 −1 0 05 1 2 00 4 3 0

∣∣∣∣∣3 −15 1

∣∣∣∣∣ 6= 0Entonces rg(A) = rg(A∗) = 2 sci. El sistema tiene infinitas soluciones que

dependen de un parámetro. Geométricamente son tres planos que se cortan en

una recta que pasa por el origen.Si α = 3. Entonces 0 −1 0 0

5 −2 2 00 4 0 0

∣∣∣∣∣0 −15 −2

∣∣∣∣∣ 6= 0Se deduce rg(A) = rg(A∗) = 2, sci. El sistema tiene infinitas soluciones que

dependen de un parámetro, además vemos que la primera y la tercera ecuación

representan el mismo plano (y = 0). Es decir hay dos planos coincidentes y otro

plano que corta al anterior en una recta que pasa por el origen.Si α = 4 entonces la matriz queda −1 −1 0 0

5 −3 2 00 4 −1 0

∣∣∣∣∣−1 −15 −3

∣∣∣∣∣ 6= 0Entonces rg(A) = rg(A∗) = 2, sci. Este caso es análogo al caso α = 0.

24. Calcule α para que el siguiente sistema homogéneo tenga más soluciones que la

trivial. Resuélvalo para dicho valor y explique la interpretación geométrica del sistema y

de su solución. x + 2y − z = 02x +y −αz = 0x −y − z = 0

Solución

El sistema es un sistema homogéneo, por tanto es siempre compatible. Cada una de

las ecuaciones corresponde a un plano que pasa por el origen.

La matriz del sistema es 1 2 −1 02 1 −α 01 −1 −1 0

Hallamos el determinante de la matriz de los coeficientes∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 −12 1 −α1 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 6− 3αSi α 6= 2 el determinante es distinto de cero. Es decir rg(A) = 3 = rg(A∗) scd

y el sistema tiene solución única. Como el sistema es homogéneo es la solución

trivial. (Geométricamente son tres planos que se cortan en el origen.)

36 Álgebra Lineal

Si α = 2 entonces como ∣∣∣∣∣1 21 −1

∣∣∣∣∣ 6= 0tenemos rg(A) = 2 = rg(A∗) sci. El sistema tiene infinitas soluciones.

El sistema que tenemos que resolver esx + 2y = zx −y = zResolviendo tenemos y = 0, x = z, es decir

x = λy = 0z = λ

Geométricamente son tres planos que se cortan en una recta.

25. Halle tres números sabiendo que el primero menos el segundo es igual a un quinto

del tercero, si al doble del primero le restamos seis nos queda la suma del segundo y el

tercero y, además, el triple del segundo menos el doble del tercero es igual al primero

menos ocho.

SoluciónSi llamamos x, y y z a los tres números, tenemos que resolver el sistema

x −y = 15z

2x − 6 = y + z3y − 2z = x − 8

es decir

5x − 5y − z = 02x −y − z = 6x − 3y + 2z = 8

Tenemos 2 −5 −1 02 −1 −1 61 −3 2 8

∣∣∣∣∣5 −52 −1

∣∣∣∣∣ ≠ 0,∣∣∣∣∣∣∣∣5 −5 −12 −1 −11 −3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 5 ≠ 0Es decir rg(A) = 3, por tanto rg(A∗) = 3 y el sistema es compatible determinado

(tiene solución única). Resolviendo mediante la regla de Crámer

x =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 −5 −16 −1 −18 −3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣5

= 1105= 22

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣5 0 −12 6 −11 8 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣5

= 905= 18

z =

∣∣∣∣∣∣∣∣5 −5 02 −1 61 −3 8

∣∣∣∣∣∣∣∣5

= 1005= 20


26. Discuta y resuelva, según los valores del parámetro α, el siguiente sistema x +y +αz = 12x +αy + z = 2

Solución

La matriz del sistema es (1 1 α 12 α 1 2

)Tenemos ∣∣∣∣∣1 1

2 α

∣∣∣∣∣ = α− 2Se presentan dos casos

Si α 6= 2 entonces el menor anterior es distinto de cero y rg(A) = rg(A∗) = 2y como el número de incógnitas es 3 y el sistema es compatible indeterminado

(sci).

Resolvemos el sistema x +y = 1−αz2x +αy = 2− z

x =

∣∣∣∣∣1−αz 12− z α

∣∣∣∣∣α− 2 = (α− 2)+ (α−α

2)zα− 2 ; y =

∣∣∣∣∣1 1−αz2 2− z

∣∣∣∣∣α− 2 = (2α− 1)z

α− 2Haciendo z = λ obtenemos las soluciones paramétricas

x = 1+ α−α

2

α− 2 λ

y = 2α− 1α− 2 λ

z = λ

Si α = 2, entonces la matriz del sistema es(1 1 2 12 2 1 2

)

Entonces como ∣∣∣∣∣1 22 1

∣∣∣∣∣ = −3 6= 0también en este caso rg(A) = rg(A∗) = 2, sci. La solución esx + 2z = 1−y2x + z = 2− 2y

38 Álgebra Lineal

x =

∣∣∣∣∣ 1−y 22− 2y 1

∣∣∣∣∣−3 = −3+ 3y−3 = 1−y ; z =

∣∣∣∣∣1 1−y2 2− 2y

∣∣∣∣∣−3 = 0

Las soluciones paramétricas son

x = 1− µy = µz = 0

27. Discuta e interprete geométricamente, según los diferentes valores del parámetro

m, el siguiente sistema: −x +y − z = −14x − 2y + 2z = 2m−3x − 2y +mz = −4

Solución

Escribimos la matriz del sistema −1 1 −1 −14 −2 2 2m−3 −2 m −4

Tenemos ∣∣∣∣∣−1 1

4 −2

∣∣∣∣∣ = 2− 4 6= 0Por tanto rg(A) á 2. Por otra parte∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1 −14 −2 2−3 −2 m

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1 −12 0 0−3 −2 m

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2∣∣∣∣∣ 1 −1−2 m

∣∣∣∣∣ = −2(m− 2) = −2m+ 4(En la primera igualdad hemos sumado a la segunda fila el doble de la primera.)

Si −2m+ 4 = 0 =⇒m = 2 y, por tanto

Si m 6= 2 entonces rg(A) = 3 =⇒ rg(A∗) = 3, el sistema es compatible determina-

do. Geométricamente son tres planos que se cortan en un punto.

Si m = 2, entonces rg(A) = 2, además∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1 −14 −2 4−3 −2 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −26 6= 0Es decir rg(A∗) = 3 es sistema es incompatible. Además vemos que los planos

correspondientes no son paralelos (para que fueran paralelos, los coeficientes

tendrían que ser proporcionales). Por tanto los planos se cortan dos a dos en una

recta.


28. Discuta y resuelva, según los valores del parámetro α, el siguiente sistema de

ecuaciones. Interprételo geométricamente en cada caso

2x − 3y + z = 0x −αy − 3z = 05x + 3y − z = 0

Solución

El sistema es un sistema homogéneo por tanto es compatible independientemente

del valor del parámetro α. La matriz del sistema es 2 −3 1 01 α −3 05 3 −1 0

Calculamos los siguientes determinantes

∣∣∣∣∣2 −35 3

∣∣∣∣∣ = 21 6= 0;

∣∣∣∣∣∣∣∣2 −3 11 −α −35 3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 7α+ 63Si igualamos el determinante anterior a 0 tenemos: 7α+ 63 = 0, α = −63/7 = −9.

Utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius tenemos

Si α 6= −9 entonces rg(A) = 3, rg(A∗) = 3 scd. El sistema tiene solución única, co-

mo es un sistema homogéneo la solución es x = 0, y = 0, z = 0. Geométricamente

son tres planos que se cortan en el origen de coordenadas.

Si α = −9 entonces rg(A) = 2, sci. Teniendo en cuenta el menor de orden 2distinto de cero calculado anteriormente, la solución es2x − 3y = −z5x + 3y = z

Resolviendo mediante la Regla de Cramer

x =

∣∣∣∣∣−z −3z 3

∣∣∣∣∣21

= 0

y =

∣∣∣∣∣2 −z5 z

∣∣∣∣∣21

= 7z21= z3

Las soluciones paramétricas son x = 0, y = λ/3, z = λ .

Geométricamente son tres planos que se cortan en una recta que pasa por el

origen de coordenadas.

40 Álgebra Lineal

29. Discute e interpreta geométricamente, según los valores del parámetros m, el

sistema 2x −y + z = 0x − 2y + z =mmx −y + z = 0

Resuélvelo, si es posible, para los casos m = 0 y m = 2.

Solución

La matriz del sistema es 2 −1 1 01 −2 1 mm −1 1 0

Teniendo en cuenta los determinantes

∣∣∣∣∣2 −11 −2

∣∣∣∣∣ = −3,∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1 11 −2 1m −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −4− 1−m− (−2m− 2− 1) =m− 2 = 0 =⇒m = 2Por tanto

Si m 6= 2 =⇒ rg(A) = 3 =⇒ scd. Geométricamente son tres planos que se cortan

en un punto.Si m = 2, tenemos que calcular el rango de la matriz ampliada. Para ello calcula-

mos el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1 01 −2 22 −1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (tiene dos filas iguales)

Se deduce que rg(A∗) = 2 =⇒sci. El sistema tiene infinitas soluciones, geomé-

tricamente son tres planos que se cortan en una recta. Puesto que la primera y

tercera ecuación son iguales representan el mismo plano. Por tanto, tenemos dos

planos que se cortan en una recta.Si m = 0 sabemos que el sistema tiene solución única (se deduce de la discusión

que acabamos de hacer). El sistema es2x −y + z = 0x − 2y + z = 0−y + z = 0

Es decir, es un sistema homogéneo con solución única por lo que se deduce que la

solución es x = 0, y = 0, z = 0 (la solución trivial).

Si m = 2 el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones). A

partir del menor de orden 2 calculado anteriormente, tenemos que resolver el sistema2x −y = −zx − 2y = 2− z


Por la regla de Crámer tenemos

x =

∣∣∣∣∣ −z −12− z −2

∣∣∣∣∣−3 = 2+ z−3

y =

∣∣∣∣∣2 −z1 2− z

∣∣∣∣∣−3 = 4− z−3

Las soluciones paramétricas son

x = −23− λ

y = −43+ λ

z = 3λ

30. a) Discute, según los valores del parámetrom, el siguiente sistema de ecuacio-

nes lineales: mx + y + z = 0x −my − z = 12x + y + z = 0


Solución

a) La matriz del sistema es m 1 1 01 −m −1 12 −1 1 0

=A partir de los determinantes siguientes∣∣∣∣∣1 −1

2 1

∣∣∣∣∣ 6= 0∣∣∣∣∣∣∣∣m 1 11 −m −12 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣m− 2 0 11 −m+ 1 −12 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−m+1)∣∣∣∣∣m 12 1

∣∣∣∣∣ = (−m+1)(m−2)(A la segunda columna le restamos la tercera)

Si m 6= 1 y m 6= 2 entonces rg(A) = 3 y, por tanto, rg(A∗) = 3 scd.

Si m = 1, rg(A) = 2, la matriz del sistema es 1 1 1 01 −1 −1 12 1 0

42 Geometría

Como el determinante ∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 01 −1 12 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0entonces rg(A∗) = 3, si

Si m = 2 como ∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 11 −2 12 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0Por tanto rg(A) = rg(A∗) = 2, sci.

Geometría

31. Demuestre que los puntos P = (0,0,4), Q = (3,3,3), R = (2,3,4) y S = (3,0,1)son coplanarios y determine el plano que los contiene.

SoluciónTenemos

---------------------------------------→PQ = (3,3,−1), ------------------------------→PR = (2,3,0), -------------------------→PS = (3,0,−3). Calculamos el producto

mixto ∣∣∣∣∣∣∣∣3 2 33 3 0−1 0 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0Como el producto mixto es cero, los vectores son coplanarios. La ecuación del plano

que determinan es ∣∣∣∣∣∣∣∣x 3 2y 3 3z − 4 −1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0Desarrollando tenemos 3x − 2y + 3z − 12 = 0

32. Dados los vectores ~u1 = (1,2,1), ~u2 = (1,3,2), ~v1 = (1,1,0) y ~v2 = (3,8,5),demuestre que los vectores ~u1 y ~u2 dependen linealmente de los vectores ~v1 y ~v2. Deter-

mine la ecuación general del plano que pasa por el origen y contiene los vectores ~v1 y

~v2, y determine la posición relativa de los vectores ~u1 y ~u2 respecto a ese plano.

SoluciónPara demostrar que ~u1 depende linealmente de ~v1 y ~v2 podemos escribir ~u1 = α~v1+

β~v2 y hallar α y β (α = 2/5, β = 1/5). Análogamente podemos escribir ~u2 = λ~v1 + µ~v2y calcular λ y µ (λ = −1/5, µ = 2/5).

Un método más sencillo consiste en utilizar las propiedades de los determinantes:

tres vectores son linealmente dependientes si el determinante es cero. O, dicho de otra

manera, si el producto mixto es nulo. Es decir, son linealmente dependientes por ser

nulos los siguientes determinantes.∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 11 1 03 8 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ;

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 21 1 03 8 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0


Para hallar la ecuación general del plano que pasa por el origen y contiene los vec-

tores ~v1 y ~v2, calculamos∣∣∣∣∣∣∣∣x y z1 1 03 8 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ; 5x − 5y + 5z = 0

Simplificando tenemos x −y + z = 0 . De la primera parte se deduce que ~u1 y ~u2son vectores de dirección del plano.

33. Calcule α para que los puntos A = (1,1,1), B = (3,0,2), C(5,−2,2) y D =(2,1, α) sean coplanarios. Calcule el área del polígono ABCD.

Solución

Los puntos son coplanarios si los vectores

------------------------------→AB = (2,−1,1), ------------------------------------→AC = (4,−3,1), -----------------------------------------→AD = (1,0, α− 1)

son linealmente independientes o, dicho de otra forma, si el producto mixto es 0.∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1 14 −3 11 0 α− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2α+ 4Por tanto −2α+ 4 = 0, de donde α = 2 y D(2,1,2).Ahora bien tenemos

------------------------------→BC = (2,−2,0) = −2(−1,1,0) = −2 -----------------------------------→BD, es decir los puntos B,

C , D están alineados. El polígono ABCD es, en realidad, un triángulo como vemos en la

figura siguiente

A

BC

D

El área del polígono es igual al área del triángulo ACD, S =∣∣ ------------------------------------→AC × -----------------------------------------→

AD∣∣/2

------------------------------------→AC × -----------------------------------------→

AD =

∣∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k4 3 −11 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −3~ı− 3~− 3~k

S = 12

∣∣∣ ------------------------------------→AC × -----------------------------------------→AD

∣∣∣ = 12

√27 = 3

√32≈ 2,6

44 Geometría

34. Determine el vector (o vectores) unitarios ~v = (a, b, c) (con a > 0, b > 0, c > 0),

que forman un ángulo de π6 radianes con el vector ~u = (1,1,1) y un ángulo de π

4radianes con ~w = (2,0,2).

Solución

Tenemos que hallar a, b y c, por tanto necesitamos tres ecuaciones.

Como el ~v es unitario tenemos a2 + b2 + c2 = 1. Las otras dos ecuaciones las

obtenemos a partir de los ángulos√32= cos

(π6

)= |a+ b + c|√

a2 + b2 + c2√3

Despejando, teniendo en cuenta que√a2 + b2 + c2 = 1, tenemos |a+ b + c| = 3/2.

Por otra parte √22= cos

(π4

)= |2a+ 2c|

1√8

Despejando tenemos 2 = 2|a+ c|, es decir |a+ c| = 1.

Tenemos que considerar dos casos a+ c = 1 y a+ c = −1.Si a + c = 1, sustituyendo en |a + b + c| = 3/2, y teniendo en cuenta que b > 0,

tenemos b = 1/2 . Sustituyendo en la primera ecuación tenemos que resolver

un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: a + c = 1 y a2 + c2 = 3/4.

Resolviendo el sistema, obtenemos dos soluciones:

a = 2−√2

4, b = 1

2, c = 2+

√2

4

a = 2+√2

4, b = 1

2, c = 2−

√2

4

Si a+ c = −1, sustituyendo en |a+ b+ c| = 3/2, tenemos b = 5/2 y, por tanto de

a2 + b2 + c2 = 1 obtenemos que a2 + c2 < 0, que no tiene soluciones reales. Por

tanto las únicas soluciones son las anteriores.

35. Dados los vectores ~u = (−2,0,4) y ~v = (−1,0, α), ¿para qué valores de α el

módulo del vector(~u+ ~v

)×(~u− ~v

)vale 4?

Solución

Tenemos ~u+ ~v = (−3,0, α+ 4); ~u− ~v = (−1,0,4−α). Entonces

(~u+ ~v

)×(~u− ~v

)=

∣∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k−3 0 α− 4−1 0 4−α

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (16− 4α)~ = (0,16− 4α,0)Para que el vector tenga módulo 4 hay dos posibilidades16− 4α = 416− 4α = −4

Por tanto hay dos soluciones: α = 3 y α = 5


36. Para ~u, ~v , ~w, tres vectores en el espacio tales que∣∣~u∣∣ = 2,

∣∣~v∣∣ = 3 y∣∣ ~w∣∣ = 5,

halle los valores mínimo y máximo del valor absoluto de su producto mixto.

Solución

Llamando α al ángulo que forman los vectores ~u y ~v × ~w y β al ángulo que forman~v y ~w. Entonces ∣∣~v × ~w∣∣ = |~v| | ~w| sen(β)

Teniendo cuenta la definición de producto mixto tenemos∣∣[~u, ~v, ~w ]∣∣ = ∣∣~u · (~u× ~v)∣∣ = ∣∣|~u| · |~v × ~w| cos(α)∣∣ = ∣∣|~u| |~v| | ~w| cos(α) sen(β)

∣∣Entonces el mínimo es 0 (si los tres vectores son linealmente dependientes). El má-

ximo es 2.3.5 = 30 que se alcanza cuando | cos(α)| = | sen(β)| = 1, geométricamente

los tres vectores son perpendiculares.

37. Calcule los vectores unitarios perpendiculares a los vectores ~u = (−3,4,1) y ~v =(−2,1,0).

Solución

Tenemos

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k−3 4 1−2 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −~ı− 2~+ 5~k = (−1,−2,5)Además |~u× ~v| =

√1+ 4+ 25 =

√30 Por tanto los vectores son

1√30(−1,−2,5) − 1√

30(−1,−2,5)

38. Determine los valores de a y b (a > 0) para que los vectores ~v1 = (a, b, b) ~v2 =(b,a, b) y ~v3 = (b, b,a) sean unitarios y ortogonales dos a dos.

Solución

Dos vectores son ortogonales si el producto escalar es igual a 0. Si hallamos el

producto escalar de dos cualesquiera de los vectores anteriores obtenemos 2ab + b2.Por otra parte un vector es unitario si el módulo es igual a 1. El módulo de cualquiera

de los vectores anteriores es a2 + 2b2. Tenemos, por tanto, que resolver el sistema2ab + b2 = 0a2 + 2b2 = 1

De la primera ecuación obtenemos b(2a+ b) = 0. Tenemos dos posibilidades

Si b = 0. Sustituyendo en la segunda a2 = 1. Como a > 0 tenemos a = 1.

a = 1, b = 0

46 Geometría

Si 2a+b = 0 entonces b = −2a. Sustituyendo en la segunda ecuación a2+8a2 = 1,

es decir 9a2 = 1. Como a > 0, tenemos a = 1/3, b = −2/3.

a = 13, b = −2

3

39. Calcula los vectores unitarios y perpendiculares a los vectores ~u = (1,−2,2) y

~v = (1,0,1).Calcula la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por el punto (1,1,1)y los vectores ~u = (1,−2,2) y ~v = (1,0,1).

Solución

Los vectores perpendiculares a ~u y ~v son ~u× ~v y −~u× ~v .

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k1 −2 21 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2~ı+ ~+ 2~kEl módulo es |~u× ~v| =

√4+ 1+ 4 = 3

Los vectores unitarios son

−23~ı+ 1

3~+ 2

3~k, y

23~ı− 1

3~− 2

3~k

Para hallar la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por el punto

(1,1,1) y los vectores ~u = (1,−2,2) y ~v = (1,0,1) empezamos calculando la ecuación

del plano ∣∣∣∣∣∣∣∣x − 1 y − 1 z − 11 −2 21 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2(x − 1)+ (y − 1)+ 2(z − 1) = 0Desarrollando tenemos la ecuación del plano π : − 2x +y + 2z − 1 = 0.

La distancia es

d = |1|√4+ 1+ 4 = 1/3

40. Determine las ecuaciones vectoriales, paramétricas y general del plano determi-

nado por los puntos A = (1,0,0), B(2,−1,2) y C(5,−1,1). Calcule la distancia del punto

P(2,7,3) al plano.

Solución

La ecuación vectorial queda determinada por un punto, A(1,0,0), y dos vectores de

dirección ~u = ------------------------------→AB = (1,−1,2), ~v = ------------------------------------→

AC = (4,−1,1)

π : (x,y, z) = (1,0,0)+ λ(1,−1,2)+ µ(4,−1,1)


Las ecuaciones paramétricas se obtienen a partir de las anteriores

π :

x = 1+ λ+ 4µy = −λ− µz = 2λ+ µ

La ecuación general se obtiene eliminando los parámetros∣∣∣∣∣∣∣∣x − 1 y z1 −1 24 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ π : x + 7y + 3z − 1 = 0

La distancia del punto P al plano π es

d(P,π) = |2+ 49+ 9− 1|√1+ 49+ 9 = 59√

59=√59 ≈ 7,68

41. Calcule el volumen del tetraedro de vértices el punto P(1,1,1) y los puntos de

corte del plano π : 2x + 3y + z− 12 = 0 con los ejes de coordenadas. Calcule también el

punto de corte del plano π y la recta perpendicular a π que pasa por el punto P .

Solución

Hallamos los puntos de corte del plano π con los ejes:

Eje X: Si y = 0 y z = 0 entonces x = 6, A(6,0,0)Eje Y : Si x = 0, z = 0 entonces y = 4, B(0,4,0)Eje Z : Si x = 0, y = 0 entonces z = 12, C(0,0,12)

Tenemos--------------------------------→PA = (5,−1,−1), --------------------------→PB = (−1,3,−1), --------------------------------→PC = (−1,−1,11).

[ --------------------------------→PA,

--------------------------→PB,

--------------------------------→PC

]=

∣∣∣∣∣∣∣∣5 −1 −1−1 3 −1−1 −1 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 144Por tanto

V =∣∣∣∣16

[ --------------------------------→PA,

--------------------------→PB,

--------------------------------→PC

]∣∣∣∣ = 16 · 144 = 24 u3

La recta perpendicular a π que pasa por P tiene como vector director el vector

normal al plano por tanto

r : (x,y, z) = (1,1,1)+ λ(2,3,1) = (1+ 2λ,1+ 3λ,1+ λ)

El punto de corte, Q, es un punto que verifica la ecuación de la recta y la ecuación

del plano

2(1+ 2λ)+ 3(1+ λ)+ (1+ λ)− 12 = 0

Es decir 14λ− 6 = 0 de donde λ = 3/7. Sustituyendo tenemos

Q(137,167,107

)

48 Geometría

42. Determine la posición relativa de los planos π : x−2y+3z = 4, σ : 2x+y+z+1 =0 y ϕ : −2x + 4y − 6z = 0.

Solución

Los planos π y ϕ son paralelos y distintos puesto que

−21= 4−2 =

−636= 04

Por otra parte el plano σ no es paralelo a los anteriores porque sus coeficientes no

son proporcionales.

Por tanto tenemos dos planos paralelos y un plano que corta a cada uno de los otros

en una recta.

43. Determine el ángulo que forman la recta r , que pasa por el punto (1,−1,0) y tal

que su vector dirección es ~v = (−2,0,1) y la recta s de ecuación

x − 74

= y + 64

= z2

Solución

La recta s pasa por el punto (7,−6,0) y tiene como dirección ~v = (4,4,2). Por tanto

cos(α) = cos(r , s) = | − 8+ 2|√5√36

= 1√5=√55

Por tanto el ángulo que forman las rectas es

arc cos

√55≈ 63◦26′6′′

44. Determine la ecuación que satisfacen los vectores ortogonales a la recta

r :

2x +y − z = 0x −y + 3z = 0

Interprete geométricamente el resultado obtenido.

Solución

En primer lugar hallamos el vector de dirección ~u de la recta mediante el producto

vectorial de los vectores ~u1 = (2,1,−1) y ~v2 = (1,−1,3)

~u = ~u1 × ~u2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k2 1 −11 −1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2~ı− 7 ~− 3 ~k = (2,−7,−3)Por tanto los vectores ~w = (x,y, z) ortogonales a la recta son los que verifican

~u. ~w = 0. Es decir

2x − 7y − 3z = 0

Geométricamente corresponde a un plano que pasa por el origen de coordenadas.


45. a) Dados los vectores ~u = (1,0,−1), ~v = (1,1,0), calcula los vectores unitarios

de R3, que son ortogonales a los dos vectores dados.

b) Sea π el plano determinado por el punto P(2,2,2) y los vectores ~u = (1,0,−1) y

~v = (1,1,0). Calcula el ángulo que forma el plano π con la recta que pasa por los

puntos O(0,0,0) y Q(2,−2,2).c) Calcula el punto simétrico de O(0,0,0) respecto al plano x −y + z − 2 = 0.

Solución

a) Los vectores ortogonales a ~u y ~v son ~u× ~v y −~u× ~v

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k1 0 −11 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = ~ı− ~+ ~kAdemas |~u × ~v| =

√3. Por tanto los vectores unitarios y ortogonales a los

vectores dados son √33(1,−1,1) y −

√33(1,−1,1)

b) El plano determinado por el punto P(2,2,2) y los vectores ~u = (1,0,−1) y ~v =(1,1,0) tiene como vector normal (característico) el vector ~w = ~u× ~v = (1,−1,1).

Por tanto el plano tiene por ecuación 1(x−2)−1(y −2)+1(z−2) =, es decir

π : x −y + z− 2 = 0. Por otra parte, la recta que pasa por los puntos O y Q tiene

como vector de dirección------------------------------------------------→OQ = (2,−2,2).

Puesto que ~w y------------------------------------------------→OQ son proporcionales tienen la misma dirección y por tanto

la recta y el plano son perpendiculares.

c) Para hallar el simétrico de O respecto al plano comenzamos hallando la recta que

pasa por O y es perpendicular al plano:

r :

x = λy = −λz = λ

Hallamos el punto de corte de la recta y el plano sustituyendo en la ecuación

del plano: λ− λ+ λ− 2 = 0 =⇒ λ = 2. El punto de corte es el punto M(1,−1,1) y

es el punto medio entre O(0,0,0) y su simétrico O′(x′, y ′, z′). Por tanto

x′

2= 1, y

′

2= −1, z

′

2= 1 =⇒ O′(2,−2,2)

46. Dados los puntos P(3,4,1) y Q(7,2,7), determine la ecuación general del plano

que es perpendicular al segmento PQ y que pasa por el punto medio de ese segmento.

Solución

El vector---------------------------------------→PQ = (4,−2,6) es perpendicular al plano perpendicular al segmento PQ.

El punto medio es M(5,3,4).

50 Geometría

Por tanto el plano buscado pasa por el puntoM y tiene como vector normal el vector~n = 1

2(4,−2,6) = (2,−1,3). Es decir π : 2(x−5)− (y −3)+3(z−4) = 0. Desarrollando

2x −y + 3z − 19 = 0

47. Los lados de un triángulo están sobre las rectas

r1 :x − 11

= y − 1−1 = z + 12

; r2 :

x = 2+ ty = 2+ tz = −1

; r3 :

x −y − z − 1 = 0x − z = 0

a) Calcula los vértices del triángulo. ¿Es un triángulo rectángulo? Razona la respuesta.

b) Calcula la ecuación del plano π que contiene el triángulo. Calcula la intersección

del plano π con los ejes OX, OY y OZ.

Solución

a) El vértice A es el punto de corte de r1 y r2. A partir de las ecuaciones de r2tenemos z = −1 sustituyendo en las ecuaciones de r1 hallamos x e y , obteniendo

A(1,1,−1).El vértice B será el punto de corte de r1 y r3. De la segunda ecuación de r3 se

deduce x = z. Sustituyendo en las ecuaciones de r1

x − 11

= x + 22

=⇒ x = 3, z = 3 =⇒ y − 1−1 = 2 =⇒ y = −1

Por tanto el vértice B es el punto (3,−1,3).El vértice C es el punto de corte de r2 y r3. Teniendo en cuenta que z = −1 y

que x = z llegamos fácilmente a C(−1,−1,−1).Ahora tenemos dos formas de comprobar si es un triángulo rectángulo de

dos formas: o bien si se cumple el teorema de Pitágoras o bien si dos de los tres

vectores------------------------------→AB,

------------------------------------→AC ,

------------------------------→BC son perpendiculares.

El teorema de Pitágoras de deduce de que | ------------------------------→AB| =√24, | ------------------------------------→AC| =

√8, | ------------------------------→BC| =

√32

y(√32)2=(√24)2+(√8)2

. La perpendicularidad de los vectores se deduce de------------------------------→AB · ------------------------------------→AC = 0

b) Para hallar el plano π que contiene a los puntos A, B, C , tenemos el punto A y los

vectores de dirección ~u = ------------------------------→AB = (2,−2,4) y ~v = ------------------------------------→

AC = (−2,−2,0)∣∣∣∣∣∣∣∣x − 1 y − 1 z + 12 −2 4−2 −2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 8(x−1)−8(y−1)−8(z+1) = 0 =⇒ π : x −y − z − 1 = 0

Para hallar el punto de corte con los ejes

OX :

y = 0z = 0=⇒ x = 1 =⇒ (1,0,0)


OY :

x = 0z = 0=⇒ y = −1 =⇒ (0,−1,0)

OZ :

x = 0y = 0=⇒ z = −1 =⇒ (0,0,−1)

48. Determine el ángulo que forman la recta que pasa por los puntos A(1,0,−1) y

B(0,1,−2) y la recta de ecuación x = y − 12

= z − 2−1

Solución

Los vectores de dirección son ~u = ------------------------------→AB = (−1,1,−1) y ~v = (1,2,−1). Por tanto

cos(α) = |~u · ~v||~u| · |~v| =

| − 1+ 2+ 1|√3√6

= 2√18= 23√2=√23

Es decir

α = arc cos

√23≈ 61◦52′28′′

49. Determine el ángulo que forman el plano π : x + 2y − 3z + 4 = 0 y la recta2x −y = 03y + 2z = 12

Solución

Vamos a pasar la ecuación de la recta a forma paramétrica. Para eso despejamos y(en la primera ecuación) 2x = y y z (en la segunda) z = (12 − 3y)/2 = (12 − 6x)/2 =6− 3x. Por tanto las ecuaciones paramétricas son:

x = λy = 2λz = 6− 3λ

Tenemos entonces: un vector normal del plano π es ~n = (1,2,−3) y un vector de

dirección de la recta es ~u = (1,2,−3). Por tanto la recta y el plano son perpendiculares.

50. Halle el ángulo que forman los planos π : 2x−y+z−7 = 0 y σ : x+y+2z = 11.

Solución

Los vectores normales a los planos son

~nπ = (2,−1,1); ~nσ = (1,1,2)

52 Geometría

Por tanto

cos(∠π,σ) =∣∣~nπ · ~nσ∣∣|~nπ | |~nσ |

= |2− 1+ 2|√4+ 1+ 1

√1+ 1+ 4 =

36= 12

El ángulo que forman los planos es: arc cos1/2 = 60◦ .

51. Dado el plano π1 : 3x + αy + z = 6. Calcule α para que la recta que pasa por

el punto P(1,1,2) y es perpendicular al plano π1 sea paralela al plano π2 : x − y = 3.

Calcule la distancia de la recta r al origen.

Solución

La recta, r , que pasa por el punto P y es perpendicular al plano π1, tiene como

vector de dirección el vector normal al plano.

La ecuación vectorial es

r : (x,y, z) = (1,1,2)+ λ(3, α,1)

Como es paralela a π2, el vector de dirección de la recta y el vector normal a π2,~n2 = (1,−1,0), son perpendiculares

3−α = 0 =⇒ α = 3

Para hallar la distancia del origen a la recta

d(O, r ) = |-----------------------------------→OP × ~u|~u

-----------------------------------→OP × ~u =

∣∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k1 1 23 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −5~ı+ 5~ = (−5,5,0)Por tanto | -----------------------------------→OP × ~u| =

√25+ 25, |~u| =

√9+ 9+ 1

d =√50√19≈ 1,62

52. Halle la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones

r :

x = αy = −1z = 1−α

s :

x = 1+ βy = 2z = 2β

Solución

La recta r está determinada por el punto A(0,−1,1) y el vector de dirección ~u =(1,0,−1). La recta s está determinada por el punto B(1,2,0) y el vector ~v = (1,0,2).Entonces

------------------------------→AB = (1,3,−1). Tenemos

(------------------------------→AB, ~u, ~v) =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −11 0 −11 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −3∣∣∣∣∣1 −11 2

∣∣∣∣∣ = −9


~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k1 0 −11 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −3~ = (0,−3,0); |~u× ~v| = 3

d(r , s) = |(------------------------------→AB, ~u, ~v)||~u× ~v| =

∣∣∣∣−93∣∣∣∣ = 3

53. Calcule la distancia entre las rectas r y s, donde r tiene por ecuaciones r : x =3y = 5z y la recta s pasa por los puntos A(1,1,1) y B(1,2,−3).

Solución

A partir de las ecuaciones r : x = 3y = 5z, dividiendo por 15 obtenemos

r :x15= y5= z3

Deducimos que la recta r pasa por el punto O(0,0,0) y tiene como vector director~u = (15,5,3).

Por su parte la recta s pasa por el punto A(1,1,1) y tiene como vector director~v = ------------------------------→

AB = (0,1,−4) [ -----------------------------------------→OA, ~u, ~v

]=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 115 5 30 1 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 52

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k15 5 30 1 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −23~ı+ 60~+ 15~kEntonces |~u× ~v| =

√4354

Por tanto

d =

∣∣∣[ -----------------------------------------→OA, ~u, ~v]∣∣∣|~u× ~v|

d = 52√4354

≈ 0,79

54. Dado el plano π : 2x + λy + 3 = 0; y la recta

r :

x + 2y − 2z + 6 = 07x −y − 2z = 0

a) Calcula el valor de λ para que la recta r y el plano π sean paralelos. Para ese valor

de λ, calcula la distancia entre r y π .

b) ¿Para algún valor de λ, la recta r está contenida en el plano π? Justifica las res-

puestas.

c) ¿Para algún valor de λ, la recta y el plano π son perpendiculares? Justifica la

respuesta.

54 Geometría

Solución

Escribimos la matriz del sistema 2 λ 0 −31 2 −2 −67 −1 −2 0

a) La recta y el plano son paralelos si el rango de la matriz de los coeficientes es 2

es decir si el siguiente determinante es nulo∣∣∣∣∣∣∣∣2 λ 01 2 −27 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −8− 14λ− (4− 2λ) = −12λ− 12

Por consiguiente el plano y la recta son paralelos si λ = −1 .

Cuando la recta y el plano son paralelos la distancia entre la recta y el plano

es igual a la distancia de un punto cualquiera de la recta al plano. Necesitamos un

punto de la recta.

b) La recta está contenida en el plano si el rango de la matriz de los coeficientes y el

rango de la matriz ampliada es 2. Por tanto tiene que ser λ = −1 y además el si-

guiente determinante tendría que ser nulo (para que el sistema fuera compatible)∣∣∣∣∣∣∣∣2 0 −31 −2 −67 −2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −60 6= 0Por tanto para ningún valor de λ la recta está contenida en el plano.

c) Hallamos un vector de dirección de la recta calculando el producto vectorial

~u =

∣∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k1 2 −27 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −6~ı− 12~− 15~k

Un vector de dirección de la recta es ~w = −13~u = (2,4,5). El vector normal

al plano es ~n = (2, λ,0). La recta y el plano son perpendiculares si ~w y ~n son

proporcionales, es decir22= λ4= 05

lo cual es imposible. Por tanto la recta y el plano no son perpendiculares para

ningún valor de λ.

55. Halle la distancia del plano π : 4x − 10y + 2z = 1 al plano σ :

x = 2λ+ 3µy = λ+ µz = λ− µ

.


Solución

El plano σ está determinado por el punto (0,0,0) y los vectores ~u = (2,1,1) y~v = (3,1,−1). Su ecuación implícita es∣∣∣∣∣∣∣∣

x y z2 1 13 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0Desarrollando: σ : 2x−5y+z = 0. Por tanto los planos son paralelos (42 =

−10−5 =

21 ).

Entonces la distancia entre los planos es igual a la distancia del origen ((0,0,0)) al plano

π .

d(π,σ) = |−1|√16+ 100+ 4 =

1√120

56. Calcule la distancia entre las rectas de ecuaciones

r : x = y − 13

= z − 47, s : x − 2 = y − 2

3= z − 3

4

Demuestre que los puntos P = (0,0,4), Q = (3,3,3), R = (2,3,4) y S = (3,0,1) son

coplanarios y determine el plano que los contiene.

Solución

La recta r pasa por el punto A(0,1,4) y tiene como vector de dirección ~u = (1,3,7).La recta s pasa por el punto B(2,2,3) y tiene como vector de dirección ~v = (1,3,4).

Las rectas no son paralelas (los vectores de dirección no son proporcionales). Por

tanto la distancia viene dada por la fórmula

d =

∣∣∣[ ------------------------------→AB, ~u, ~v]∣∣∣∣∣~u× ~v∣∣Tenemos

------------------------------→AB = (2,1,−1),

[------------------------------→AB, ~u, ~v] =

∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 −11 3 71 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −15

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k1 3 71 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −9~ı+ 3~,∣∣~u× ~v∣∣ = √90

Por tanto

d = 15√90

56 Análisis Matemático


Cálculo Diferencial

57. Demuestre que la sucesión de término general an =4n− 1n+ 1 es creciente y halle

una cota inferior positiva (justificando que es cota inferior).

Solución

Una sucesión es creciente si an+1 á an para todo n. Una forma de comprobar esta

desigualdad es comprobando que an+1 − an á 0 para todo n.

Tenemos

an+1 =4(n+ 1)− 1(n+ 1)+ 1 =

4n+ 3n+ 2

Entonces

an+1 − an =4n+ 3n+ 2 −

4n− 1n+ 1

= (4n+ 3)(n+ 1)− (4n− 1)(n+ 2)(n+ 2)(n+ 1)

= 4n2 + 7n+ 3−

(4n2 + 7n+ 2

)(n+ 2)(n+ 1)

= 5(n+ 2)(n+ 1) > 0

Por tanto la sucesión es creciente. (La última desigualdad se debe a que en una

sucesión n toma valores positivos, y, por tanto, la última fracción es el cociente de dos

números positivos.)

Puesto que la sucesión es creciente, el primer término de la sucesión es una cota

inferior (a1 à an para todo n).

Es decir, una cota inferior es a1 = 3/2

58. Calcule: a) lımn→∞

(√n2 − 5n+ 4−n

), b) lım

n→∞

(2n − 82n+1

).

Solución

a)

lımn→∞

(√n2 − 5n+ 4−n

)= lımn→∞

(√n2 − 5n+ 4−n

)(√n2 − 5n+ 4+n

)(√n2 − 5n+ 4+n

)

= lımn→∞

−5n+ 4(√n2 − 5n+ 4n

) = lımn→∞

−5+ 4n√

1− 5n+ 4n2+ 1

= −52

b)

lımn→∞

(2n − 82n+1

)= lımn→∞

(12− 82n+1

)= 12


59. ¿Qué tipo de discontinuidad tiene en x = 0 la función f(x) = x2

|x|?

Solución

Teniendo en cuenta que

|x| =

x si x á 0

−x si x < 0

tenemos

lımx→0−

x2

|x| = lımx→0−

x2

−x = lımx→0−

(−x) = 0

lımx→0+

x2

|x| = lımx→0+

x2

x= lımx→0+

(x) = 0

Por tanto existe límite cuando x tiende a 0 y se trata de una discontinuidad evitable.

60. Calcule lımn→∞(√n+ 7−√n

)√3n+ 5 indicando el tipo de indeterminación (o

indeterminaciones) que se presentan al intentar resolver este límite.

Solución

lımn→∞

(√n+ 7−

√n)√3n+ 5 = (∞−∞)∞

= lımn→∞

(√n+ 7−√n

) (√n+ 7+√n

)√3n+ 5(√

n+ 7+√n)

= lımn→∞

7√3n+ 5(√

n+ 7+√n) = (∞∞

)

= lımn→∞

7

√3+ 5

n√1+ 7

n+√1

(dividiendo por√n)

= 7√32≈ 6,06

61. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función

f(x) =

x2 − 9x − 3 si x 6= 3

6 si x = 3

en el punto x = 3.

Solución

La función es continua en el punto x = 3 si lımx→3 f(x) = f(3). Por una parte,

sabemos que f(3) = 6, por otra parte

lımx→3

f(x) = lımx→3

x2 − 9x − 3 = lım

x→3

(x + 3)��(x − 3)��(x − 3) = 6


La función es continua en x = 3.

Para estudiar la derivabilidad en x = 3 tenemos que calcular, si existe, lımx→3 f ′(x).Ahora bien si x 6= 3 entonces, como acabamos de ver, f(x) = x+3, y por tanto f ′(x) =1. Es decir lımx→3 f ′(x) = lımx→3 1 = 1. La función es derivable en x = 3 y f ′(3) = 1.

62. ¿Se puede asegurar, utilizando el Teorema de Bolzano que la función f(x) =tg(x) tiene una raíz en el intervalo [π/4,3π/4]? Razone la respuesta. Esboce la gráfica

de f en ese intervalo.

Solución

La función f(x) = tg(x) no es continua en x = π/2 y por tanto no podemos

aplicar el Teorema de Bolzano en ese intervalo. La gráfica de la función en el intervalo

se representa en la figura siguiente.

π4

3π4

1

−1

π2

63. Calcula la derivada de la función f(x) = |x−2| en x = 2, si es posible. Represente

la gráfica de la función y, sobre ella, razone su respuesta.

Solución

La gráfica de la función f(x) = |x − 2| la podemos construir a partir de la gráfica

de la función f(x) = |x| (es la misma gráfica, desplazada 2 unidades a la derecha), o

teniendo en cuenta

f(x) = |x − 2| =

−x + 2 si x à 2

x − 2 si x > 2

Es decir es la gráfica consta de dos semirrectas


2

Por tanto la función no es derivable en el punto x = 2, ya que la gráfica no tiene

tangente en ese punto.

64. a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = (x + 1)ex en

el punto de corte de f(x) con el eje OX.

b) Calcula, para f(x) = (x + 1)ex , intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos

relativos, puntos de inflexión, concavidad y convexidad.

c) Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo

diferencial.

Solución

a) Hallamos en primer lugar el punto de corte con eje OX:

f(x) = 0 =⇒ (x + 1)ex = 0 =⇒ x + 1 = 0 =⇒ x = −1

(la función exponencial no se anula para ningún valor de x.)

La derivada es f ′(x) = ex + (x + 1)ex = (x + 2)ex . La pendiente de la recta

tangente es f ′(−1) = e−1 = 1/e.Finalmente sustituimos en la ecuación de la recta tangente y−f(x0) = f ′(x)(x−

x0)

y = 1e(x + 1)

b) Para estudiar los intervalos de crecimiento, hallamos en primer lugar los valores

para los que se anula la derivada

f ′(x) = 0 =⇒ (x + 2)ex = 0 =⇒ x = −2

Como la función exponencial es siempre positiva el signo de la derivada coincide

con el signo del término x + 2, es decir

x −2y ′ −−− 0 +++y ↘ ↗

La función tiene un mínimo para x = −2. Para estudiar la concavidad, convexi-

dad, puntos de inflexión, hallamos la derivada segunda f ′′(x) = ex + (x + 2)ex =


(x + 3)ex . Para encontrar los posibles puntos de inflexión igualamos la derivada se-

gunda a cero

f ′′(x) = 0 =⇒ (x + 3)ex = 0 =⇒ x = −3

Teniendo en cuenta, análogamente al razonamiento hecho para el crecimiento,

el signo de la dervidada segunda coincide con el signo de x + 3

x −3y ′′ −−− 0 +++y _ ^

cóncava convexa

Por tanto la función tiene un punto de inflexión para x = −3.

65. Calcule la relación entre a y b para que sea continua en toda la recta real la

función f : R -→ R definida por

f(x) =

eax − 12x

si x ≠ 0

b si x = 0

Solución

La función f es continua si x 6= 0 por ser el cociente de dos funciones continuas.

Además es continua en x = 0 si lımx→0 f(x) = f(0) = b. Calculamos el límite (aplican-

do la regla de L’Hôpital)

lımx→0

f(x) = lımx→0

eax − 12x

=(00

)= lımx→0

aeax

2= a2

Se deduce que a = 2b .

66. Halle la condición que debe cumplir λ para que el polinomio x4 + x3 + λx2 sea

cóncavo en algún intervalo. Determine el intervalo de concavidad en función de λ.

Solución

La función es cóncava si f ′′(x) < 0. Tenemos

f ′(x) = 4x3 + 3x2 + 2λx f ′′(x) = 12x2 + 6x + 2λ

La derivada segunda es una función de segundo grado, el coeficiente principal (a =12) es positivo por lo que es una parábola convexa.


Para que sea negativa en algún intervalo, es necesario que tenga dos raíces reales. Es

decir el discriminante tiene que ser positivo (∆ = b2−4ac > 0). Tenemos ∆ = 36−96λ >0, 36 > 96λ, 3/8 > λ.

El polinomio será cóncavo en algún intervalo si

λ <38

El intervalo de concavidad será el intervalo comprendido entre las dos raíces(−6−

√36− 96λ24

,−6+

√36− 96λ24

)

67. Dada F(x) = x2 − 2x + 2x − 4 , escriba la ecuación de la secante a F que une los

puntos (−2, F(−2)) y (2, F(2)). ¿Existe un punto c en el intervalo [−2,2] verificando que

la tangente a la gráfica de F en (c, F(c)) es paralela a la secante que ha hallado? En caso

afirmativo razone su respuesta y calcule c, en caso negativo razone porqué no existe.

Solución

El teorema del valor medio afirma que si una función es continua en un intervalo

cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe un punto c en

el que la tangente en ese punto es paralela a la secante que une los extremos de la

curva (a, f (a)) y (b, f (b)). En este caso la función es continua en [−2,2] y derivable

en el intervalo (−2,2), por ser una función racional cuyo denominador se anula solo en

x = 4. Podemos aplicar el teorema y deducimos la existencia del punto.

En primer lugar hallamos el valor de la función en los puntos x = 2 y x = −2.

F(2) = −1; F(−2) = −53

Por tanto la secante es la recta que pasa por los puntos (−2,−5/3) y (2,−1).x − 24

= y + 12/3

; y = 16x − 8

6

Hallamos la derivada de la función

F ′(x) = x2 − 8x + 6(x − 4)2

Por tanto el punto c buscado es la solución (en el intervalo (−2,2) de la ecuación

x2 − 8x + 6(x − 4)2 = 1

6; 5x2 − 40x + 20 = 0; x2 − 8x + 4 = 0

Las raíces de la ecuación de segundo grado son

x1 =8+√48

2= 4+ 2

√3 ≈ 7,46; x2 =

8−√48

2= 4− 2

√3 ≈ 0,54

El valor de c es, por tanto,

c = 4− 2√3 ≈ 0,54


68. Dada la parábola f(x) = ax2+bx+c, determine los valores de a, b y c sabiendo

que f tiene un máximo en el punto de abscisa x = −1/2 y la recta tangente a f en el

punto (1,3) es y = −3x + 6.

Solución

La derivada de la función f(x) = ax2+bx+c es f ′(x) = 2ax+b. Como la función

tiene un máximo en x = −1/2, la derivada se anula en ese punto f ′(−1/2) = 0. Por

tanto −a+ b = 0, es decir b = a.

Como la ecuación de la tangente en (1,3) es y = −3x + 6, deducimos que f(1) = 3y que f ′(1) = −3. Sustituyendo en la función y en su derivada tenemos a+ b + c = 3 y

2a+ b = −3.

Sustituyendo b = a en esta última ecuación obtenemos sucesivamente

a = −1, b = −1, c = 5

Nota. Como f es un polinomio de segundo grado, es una parábola. Por tanto, puesto

que tiene un máximo en x = −1/2, se deduce que la parábola es cóncava y que el

coeficiente a es negativo.

69. Calcula los valores de a y b para que la gráfica de f(x) = ax + bx

tenga un

mínimo relativo en el punto(12,4)

. Para esos valores de a y b, calcula: asíntotas e

intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x).

Solución

Hallamos la derivada de la función e igualamos a 0

f ′(x) = a− bx2= 0 =⇒ x = ±

√ba

Sabemos que la función tiene un mínimo en(12,4)

por lo que sustituyendo en la

función y en el valor obtenido para la derivada

±√ba= 12=⇒ ba= 14=⇒ a = 4b

4 = f(12

)= a1

2+ 2b =⇒ a+ 4b = 8 =⇒ 2a = 8 =⇒ a = 4, b = 1

Por tanto la función es f(x) = 4x + 1x= 4x

2 + 1x

.

Asíntotas:

Verticales: x = 0Horizontales: No hay puesto que lımx→±∞ f(x) = ∞.

Oblícuas: m = lımx→∞

f(x)x

= lımx→∞

4 + 1x2

= 4, n = lımx→∞

(f (x) − mx) =

lımx→∞

(1x

)= 0. Es decir y = 4x


Crecimiento: Puesto f ′(x) = 4− 1x2= 4x

2 − 1x2

el signo de la derivada coincide con el

signo del numerador y tenemos

x −1/2 0 1/2y ′ + + 0 − − | − − 0 + +y ↗ ↘ | ↘ ↗

Se deduce que la función es creciente en (−∞,−1/2) ∪ (1/2,+∞) y es decreciente

en (−1/2,0)∪ (0,1/2).

70. Sabiendo que P(x) es un polinomio de tercer grado con un punto de inflexión

en (1,0) y con P ′′′(1) = 24 donde, además, la tangente al polinomio en ese punto es

horizontal, calcule∫ 0−1 P(x)dx.

Solución

Sea P(x) = ax3+bx2+cx+d. Entonces P ′(x) = 3ax2+2bx+c, P ′′(x) = 6ax+2by P ′′′(x) = 6a.

Tenemos P ′′′(1) = 24, de donde 6a = 24, a = 4. Si (1,0) es un punto de inflexión

tenemos P ′′(1) = 0 y P(1) = 0. Sustituyendo en la segunda derivada 6a+ 2b = 0, como

a = 4, obtenemos b = −12. Sustituyendo en la función a+ b + c + d = 0.

Además sabemos que la tangente en x = 1 es horizontal, es decir P ′(1) = 0. Sustitu-

yendo tenemos 3a+ 2b + c = 0, de donde c = 12. Finalmente, sustituyendo los valores

de a, b y c en P(1) = 0, deducimos d = −4.

Es decir

P(x) = 4x3 − 12x2 + 12x − 4∫ 0−1

(4x3 − 12x2 + 12x − 4

)dx =

[x4 − 4x3 + 6x2 − 4x

]0−1 = 0− (1+ 4+ 6+ 4) = 15∫ 0

−1P(x)dx = 15

71. a) De entre todos los triángulos rectángulos con hipotenusa 10 cm, calcula las

longitudes de los catetos que corresponden al de área máxima.

b) Calcula el valor de m, para que el área del recinto limitado por la recta y =mx y la

curva y = x3, sea 2 unidades cuadradas.

Solución

a) Sean x e y los catetos del triángulo. El área del triángulo es S = xy/2. Por el teorema

de Pitágoras x2+y2 = 100, despejando tenemos y =√100− x2. Por tanto la función

que hay que optimizar es

S = 12x√100− x2

S′ = 1�2

√100− x2 + −�2x2

�2�2√100− x2


Para que sea máximo S′(x) = 0,

12

√100− x2 = x2√

100− x2=⇒ 100− x2 = x2 =⇒ x2 = 50

Finalmente x =√50 , sustituyendo y2 = 100− 50 = 50, es decir y =

√50

El triángulo es de área máxima ya que el signo de la derivada es igual al signo del

numerador (el denominador es positivo)b) Para calcular el área limitada por y =mx e y = x3 hallamos los puntos de corte:

m = x3 =⇒

x = 0m = x2 =⇒ x = ±√m

Teniendo en cuenta que las dos funciones son impares (f(−x) = −f(x)) el área

es

2 = 2∫m0

(mx − x3

)dx = 2

[12mx2 − 1

4x4]√m0= 2

(12m2 − 1

4m2

)Despejando

12m2 − 1

4m2 = 1 =⇒ 1

4m2 = 1 =⇒m2 = 4

Por tanto m = 2 .Nota. m = −2 no vale porque el punto de corte (x = √m) no sería un número real.

72. Un alambre de 170 cm de longitud se divide en dos partes. Con una de las partes

se quiere formar un cuadrado y con la otra un rectángulo de modo que la base mida el

doble de la altura. Calcula las longitudes de las partes en que se ha de dividir el alambre

para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.

Solución

Sea x el lado del cuadrado, el área es x2 y el perímetro 4x.

Sea y la altura del rectángulo, 2y su base, por lo que el área es 2y2 y el perímetro

6y .

Por tanto tenemos que hacer mínima la suma S = x2+2y2. Sabiendo que 4x+6y =170 obtenemos y = 85− 2x

3. Sustityendo en S

S = x2 + 29(85− 2x)2, S′ = 2x − 2

9· 2(85− 2x)

Resolviendo S′ = 0 obtenemos x = 20. Por tanto una de las partes tiene longitud

4x = 80 cm y la otra 90 cm.

73. Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,1) y tal que el área

triángulo formado por esta recta y los semiejes positivos coordenados sea mínima.

Solución

Las rectas que pasan por el punto (3,1) tienen por ecuación y −1 =m(x−3). Para

hallar la recta buscada tenemos que encontrar el valor de m.

Los puntos de corte con los ejes se obtienen haciendo x = 0, y = 0. Obtenemos los

puntos (−1/m+ 3,0) y (0,−3m+ 1).


(− 1m+ 3,0

)(0,−3m+ 1)

El área será

S = 12(1− 3m)

(3− 1

m

)El valor de m para el que el área es mínima hace que la primera derivada sea cero y

la segunda positiva. Derivando (con respecto a m)

S′ = 12

(−9+ 1

m2

)= 0

Resolviendo, tenemos dos valores: m = 1/3 y m = −1/3.

Hallamos la segunda derivada

S′′ = 12

(− 2m3

)Entonces si m = 1/3, S′′ < 0, es un máximo. (Además es fácil ver en este caso que

los dos puntos de corte coinciden con el origen y no tenemos un triángulo.)

Si m = −1/3 entonces S′′ > 0 y es un mínimo.

Por tanto la solución es y − 1 = −13(x − 3). Despejando tenemos

y = −13x + 2

74. Un barco B y dos ciudades A y C de la costa forman un triángulo rectángulo en

C . Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 km y 5 km, respectivamente. Un

hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a 3 km/h

y caminar a 5 km/h ¿a qué distancia de A debe abandonar la costa para nadar hasta Bsi quiere llegar lo antes posible?

SoluciónComo la velocidad es constante el tiempo es t = e/v . Si el hombre abandona la

costa en un punto que dista x km de A tenemos la situación que aparece en la figura

siguiente

A C

B

12

513

x 12− x

y


Llamando T al tiempo total necesario

T = x5+ y3= 115(3x + 5y)

Por el teorema de Pitágoras y =√25+ (12− x)2 =

√x2 − 24x + 169. Sustituyendo

T = 115

(3x + 5

√x2 − 24x + 169

)Derivando

T ′ = 115

(3+ 5 (2x − 24)

2√x2 − 24x + 169

)= 115

(3+ 5(x − 12)√

x2 − 24x + 169

)Para que el tiempo sea mínimo T ′ = 0. Sumamos e igualamos el numerador a 0

3√x2 − 24x + 169+ 5x − 60 = 0

Despejando

3√x2 − 24x + 169 = 60− 5x

Elevando al cuadrado

9(x2 − 24x + 169

)= 3600− 600x + 25x2

Llegamos a la ecuación de segundo grado 16x2 − 384x + 2079 = 0 cuyas raíces son

x = 63/4 y x = 33/4. La primera es mayor que 12.

Por tanto la solución es 33/4 km

75. Estudie la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la función f(x) = lnxx

.

Solución

Hallamos la primera y la segunda derivada de la función

f ′(x) =1x · x − lnx

x2= 1− lnx

x2

f ′′(x) =− 1x · x2 − 2x(1− lnx)

x4= x(−3+ 2 lnx)

x4= −3+ 2 lnx

x3

Si f ′′(x) = 0 entonces −3+ 2 lnx = 0 =⇒ lnx = 3/3, por tanto la derivada segunda

se anula para x = e3/2.Ahora bien, la función lnx está definida para x > 0 y es creciente siempre. Por tanto

el denominador es positivo (x3 > 0) y el numerador es negativo si x < e3/2 y positivo

para x > e3/2. En definitiva

x = e3/2 es un punto de inflexión.

Si x < e3/2 entonces f ′′(x) < 0 y la función es cóncava (_).

Si x > e3/2 entonces f ′′(x) > 0 y la función es convexa (^).


76. Analice la continuidad, en el punto x = 0, de la función f dada por

f(x) =

2x − 1x

si x < 0

cos(x)x2 + 1 si x á 0

Solución

Una función es continua en un punto a si se verifica lımx→a f(x) = f(a). Además,

cuando la función está definida a trozos existe el límite en un punto si lımx→0− f(x) =lımx→0+ f(x).

En este caso tenemos, por una parte, f(0) = cos(0)/1 = 1. Por otra parte tenemos

lımx→0−

f(x) = lımx→0−

2x − 1x

= 00

(aplicando L’Hôpital)

= lımx→0−

2x ln21

= ln2

y

lımx→0+

cos(x)x2 + 1 = 1

Por tanto no existe lımx→0 f(x) y, por tanto, la función no es continua en x = 0.

77. Calcula lımx→0

x2ex

cos2 x − 1

Solución

Aplicamos la Regla de L’Hôpital

lımx→0

x2ex

cos2 x − 1 =(

es de la forma00

)= lımxto0

2xex + x2ex−2 senx cosx

= lımx→0

(x2 + 2x)ex− sen2x

= lımx→0

(2x + 2)ex + (x2 + 2x)ex−2 cos2x

= 2−2 = −1

Cálculo Integral

78. Sea F(x) =∫ x0 sen(t2)dt. Calcule la segunda derivada de la función F (sin inten-

tar calcular la integral).

Solución

Por el Teorema fundamental del Cálculo Integral tenemos F ′(x) = sen(x2).Si derivamos F ′(x) obtenemos la derivada segunda

F ′′(x) = 2x cos(x2)

79. Calcule∫

2x − 1x(x + 1)2 dx.


Solución

El grado del numerador es 1 y el del denominador es 2, por tanto no hay que dividir.

El denominador está descompuesto en factores por lo que podemos pasar directamente

a la descomposición en fracciones simples. Tenemos una raíz real simple (x = 0) y una

raíz real doble (x = −1). Por tanto necesitamos tres sumandos (uno para la raíz simple

y dos para la raíz doble).

2x − 1x(x + 1)2 =

Ax+ Bx + 1 +

C(x + 1)2 =

A(x + 1)2 + Bx(x + 1)+ Cxx(x + 1)2

Si x = 0 obtenemos A = −1. Si x = −1, entonces −3 = −C , es decir C = 3. Final-

mente si x = 1 entonces 1 = −4+ 2B + 3, por tanto B = 1. Integrando∫2x − 1x(x + 1)2 dx = −

∫dxx+∫dxx + 1 + 3

∫(x + 1)−2 dx

= − ln |x| + ln |x + 1| − 3x + 1 +K

80. Calcule∫x3 + x + 2x2 + 3 dx.

Solución

Como el grado del numerador es 3 y el del denominador es 2, dividimos

x3 + x + 2 x2 + 3−x3 − 3x x

− 2x + 2

Si P = Q · C + R entoncesPQ= C + R

Q. Y tenemos

∫x3 + x + 2x2 + 3 dx =

∫xdx +

∫ −2x + 2x2 + 3 dx

= 12x2 −

∫2xdxx2 + 3 + 2

∫dx

3((

x√3

)2+ 1

)

= 12x2 − ln

(x2 + 3

)+ 23

√3 arc tg

(x√3

)+ C

81. Calcule∫

3x − 2x2 + x + 1 dx.

Solución

El grado del numerador es 1, el grado del denominador es 2, así que no es necesa-

rio dividir. El denominador (de grado 2) no tiene raíces reales, por tanto no se puede

descomponer.


Tenemos x2 + x + 1 =(x + 1

2

)2+ 34

. La integral se descompone en un logaritmo

neperiano y un arco tangente. La derivada del denominador es 2x + 1.

∫3x − 2

x2 + x + 1 dx = 3∫ x − 2

3x2 + x + 1 dx =

32

∫ 2x + 1− 1− 23

x2 + x + 1 dx

= 32

(∫2x + 1

x2 + x + 1 dx −53

∫dx

x2 + x + 1

)

= 32

ln∣∣∣x2 + x + 1∣∣∣− 5

2

∫dx(

x + 12

)2+ 34

= 32

ln∣∣∣x2 + x + 1∣∣∣− 5

2· 43

∫dx(

x + 1/2√3/2

)2+ 1

= 32

ln∣∣∣x2 + x + 1∣∣∣− 10

3

√32

arc tg(x + 1/2√3/2

)+K

82. Sea f(x) =∫ x11t dt, y sean a,b ∈ R+. Demuestre que f(a.b) = f(a)+ f(b).

Solución

Como f(x) =∫ x11t dt = [ln t]

x1 = lnx − ln1 = lnx, tenemos

f(a.b) =∫ a.b1

1tdt = ln(a.b)− ln1

= lna+ lnb = f(a)+ f(b)

83. Sean f y g, dos funciones continuas, definidas en el intervalo [a, b], que verifican

que∫ ba f =

∫ ba g. Demuestre que existen α,β ∈ [a, b] tales que f(α) = f(β).

Solución

Por el teorema del valor medio del cálculo integral sabemos quea) Existe α tal que

∫ ba f = f(α)(b − a)

b) Existe β tal que∫ ba g = g(β)(b − a)

Igualando tenemos que existen α y β tal que f(α) = g(β).

84. Sea f : [−2,2] ⊂ R -→ R continua en [−2,2] tal que∫ −1−2f(t)dt =

∫ 21f(t)dt,

¿se puede asegurar que existen b y c en [−2,2] tales que b à −1, c á 1 y f(b) = f(c)?Justifique su respuesta.

Solución

Aplicando el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral a la función f en

el intervalo [−2,−1], existe un punto b ∈ [−2,−1] (es decir −2 à b à −1) tal que∫ −1−2f(t)dt = f(b)(−1− (−2)) = f(b)


Aplicando el teorema al intervalo [1,2], existe c tal que 1 à c à 2 tal que

∫ 21f(t)dt = f(c)(2− 1) = f(c)

Por hipótesis las dos integrales son iguales, por tanto f(b) = f(c).

85. Dibuje la gráfica de f(x) = |x2 − 4| en el intervalo [−3,3] y calcule su integral

en ese intervalo.

Solución

Las raíces de la ecuación x2 − 4 = 0 son x = 2 y x = −2 y por tanto y = x2 − 4 es

negativa en el intervalo (−2,2). De donde

f(x) = |x2 − 4| =

x2 − 4 si x à 2 o x á 2

−x2 + 4 si − 2 < x < 2

La gráfica de la función se obtiene a partir de la gráfica de y = x2 − 4 que es una

parábola convexa que corta al eje X en los puntos (−2,0) y (2,0).

Para calcular la integral en ese intervalo vamos a utilizar que la función es par

(simétrica respecto al eje Y ). Por tanto.

∫ 3−3f(x)dx = 2

(∫ 20

(−x2 + 4

)dx +

∫ 32

(x2 − 4

)dx

)= 2

([−13x3 + 4x

]20+[13x3 − 4x

]32

)

= 2(−83+ 8− 0+ 9− 8−

(83− 8

))= 2

(−163+ 8

)= 16

3

86. Calcule∫ √30x√1+ x2 dx


Solución

Teniendo en cuenta que (1+ x2)′ = 2x la integral es inmediata

∫ √30x√1+ x2 dx =

∫ √30x(1+ x2

)1/2dx = 1

3

[(1+ x2)3/2

]√30

= 13

(43/2 − 1

)= 73

87. Calcula el área del recinto limitado por la recta y = 2− x y la curva y = x2.

Solución

Hallamos los puntos de corte 2 − x = x2 =⇒ x2 + x − 2 = 0 cuyas soluciones son

x = 1 y x = −2. Es fácil ver que la recta está por encima de la parábola entre esos

dos valores (por ejemplo para x = 0 la recta toma el valor y = 2 y la parábola el valor

y = 0).

El área es

S =∫ 1−2

(2− x − x2

)dx =

[2x − 1

2x2 − 1

3x3]1−2

= 2− 12− 13−(−4− 2+ 8

3

)= 92u2

88. Demuestre que la función f dada por f(x) = 4x2 + x − 2 es estrictamente posi-

tiva en [2,+∞) y halle el área de la región determinada por la gráfica de f , el eje de

abscisas y las rectas x = 2 y x = 3.

Solución

El numerador de f es positivo y el denominador es un polinomio de segundo grado

cuyas raíces son

x2 + x − 2 = 0; x = −1±√9

2=

x = 1x = −2

Como el coeficiente de x2 es positivo la parábola es convexa y, por tanto, solo es

negativa en el intervalo (−2,1). Es decir f(x) es positiva en el intervalo [2,+∞). El área

buscada es igual a la integral.

S =∫ 32

4x2 + x − 2 dx

Hallamos la descomposición en fracciones simples

4x2 + x − 2 =

Ax − 1 =

Bx + 2 =

A(x + 2)+ B(x − 1)(x − 1)(x + 2)Si x = 1⇒ 4 = 3A⇒ A = 4/3

Si x = −2⇒ 4 = −3B ⇒ B = −4/3


Finalmente

S = 43

[ln |x − 1| − ln |x + 2|

]32= 43(ln2− ln5− (0− ln4)

)= 43(3 ln2− ln5)u2

(En la última igualdad se utiliza ln4 = ln22 = 2 ln2.)

89. Dadas

f(x) = x − |x|2

, g(x) =

3x si x à 0

x2 si x > 0

calcule∫ 0−1 x2(g ◦ f)(x)dx. (g ◦ f denota la composición.)

Solución

Teniendo en cuenta la definición de la función valor absoluto tenemos

f(x) = x − |x|2

=

x si x à 0

0 si x > 0

Si −1 à x à 0 entonces x es negativo y, por tanto, (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x) =3x. Por tanto

∫ 0−1x2(g ◦ f)(x)dx =

∫ 0−1x23xdx =

[3x4

4

]0−1= 0− 3

4= −3

4

90. Determine el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x) =x2 + x + 5, el eje OX y la rectas x = −1/2 e y = x + 6.

Solución

Hallamos los puntos en los que se cortan la parábola y la recta

y = x + 6y = x2 + x + 5=⇒ x + 6 = x2 + x + 5 =⇒ x2 = 1 =⇒

x = 1x = −1

El punto de corte de la recta con el eje X se obtiene haciendo y = 0. Es decir x = −6.


−1−6 1

El área del recinto consta de un triángulo y del recinto comprendido entre x = −1 y

x = −1/2. Tenemos

S = 125 · 5+

∫ −1/2−1

(x2 + x + 5

)dx = 25

2+[13x3 + 1

2x2 + 5x

]−1/2−1

= 252+(− 124+ 18− 52−(−13+ 12− 5

))= 252+ 2912

= 17912u2

91. Calcule el número positivo α tal que el valor del área de la región limitada por la

recta y = α y la parábola y = (x − 2)2 sea 36.

Solución

Hallamos los puntos de corte de la parábola y la recta

(x − 2)2 = α =⇒ x − 2 = ±√α =⇒ x = 2±

√α

Entonces

36 =∫ 2+√α2−√α

(α− (x − 2)2

)dx =

[αx − 1

3(x − 2)3

]2+√α2−√α

= α(2+√α)− 1

3(√α)3 − (α(2−√α)− 1

3(−√α)3)

= 43α√α

De donde α√α = 27. Elevando al cuadrado α3 = 272 = 36. Finalmente α = 9

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