Ver Ejemplo Nº 1

MODELO DEL TAMAÑO DEL LOTE DE PRODUCCION

Se tiene una tasa de producción = b

b > a

Se tiene una tasa de consumo = a

Q A (b – a) = pendiente de la recta

Q1 N

- a = pendiente de la recta

0 C B

t1

t

t1 : tiempo en que se producen las Q unidades.

t : tiempo en que se consumen las Q unidades.

Q1: representan las unidades que quedan en inventario.

Función de costo

T = Costo fijo + costo variable

T = K + h (cantidad a mantener en inventario)

Del gráfico:

__

AC: representa la cantidad máxima producida.

__

NC: representa la máxima cantidad que se mantiene en inventario.

__

(Cantidad a mantener en inventario) = área bajo la curva = ½ NC * t

Por lo tanto

__

T = K + h (½ NC * t)

Pero __

NC = Q1

La ecuación de la recta ON es en general y = a` + b`t

Reemplazamos valores (t1, Q1) y (0,0) se tiene

(Q1 – 0) = 0 + (b – a) (t1 – 0)

Q1 = 0 + (b – a) t1

Como t1 = Q/b

__

⇨ NC = Q1 = (b – a) Q / b

Reemplazamos en T:

T = K + h (1/2 (b – a/b) Q) t /: t

Costo por unidad de tiempo

T`= K/t + h(1/2 (1 – a/b) Q)

t = Q/a

T` = aK/Q + ½ h (1 – a/b) Q

Derivando para obtener el valor del lote económico de producción se tiene:

(T`/ (Q = -aK/Q2 + ½ h (1 – a/b) = 0

Como

Q1 = (b - a)Q/b

Reemplazamos el valor Q*

Q1 = (b - a)/b [pic]

Q1 = [pic]

Q1 = [pic]

EJEMPLO Nº 1

Espacio de almacenamiento A = 25 m3

|ITEM |ki |ai |hi |Vi(m3) |

|1 |10 |2 |0,3 |1 |

|2 |5 |4 |0,1 |1 |

|3 |15 |3 |0,2 |1 |

SOLUCIÓN

ITERACION

|( |Q*i |ViQi |

| | 8.944 | |

|(= - 0,1 |11.547 = |35.491 ( 25 |

| |15.000 | |

| | 6.030 | |

|( = - 0,4 |6.667 = |22.184 ( 25 |

| |9.487 | |

| | 6.667 | |

|( = - 0,3 |7.559 = |24.833 ( 25 |

| |10.607 | |

Por lo tanto, los lotes óptimos son:

Q*1 = 6.667 unid.

Q*2 = 7.559 unid.

Q*3 = 10.607 unid.

EJEMPLO Nº 2

Un contratista tiene que proveer de 10.000 cojinetes por día a un fabricante de automóviles. Encuentra que iniciar un lote de producción, puede producir 25.000 cojinetes por día. El costo de mantener un cojinete en el almacén por un año es de 2 centavos, y el costo de arranque de un lote de producción es de $18. ¿Qué tan frecuentemente deben fabricarse los lotes de producción?

SOLUCION

a: Número de cojinetes requeridos por día.

b: Número de cojinetes producidos por día.

h: Costo de mantener un cojinete en inventarío por día.

K: Costo de arranque de un lote de producción.

Q: Número de cojinetes producidos por lote de producción.

t: Intervalos entre periodos de producción.

Para este caso en que existe producción y consumo simultáneamente, la representación del costo total por unidad de tiempo es:

CT = aK/Q + ½ h (1 - a/b)Q

(cT/(Q = - aK/Q2 + ½ h (1-a/b) = 0

⇨ Q2 = 2aK/h(1 - a/b)

Q* = [pic]

t* = Q*/a =

Valores para el problema.

a = 10.000 coj./día

b = 25.000 coj./día

h = 2 c/año /100 x 365 = 0,0000547 $/día

K = $18

Q* = [pic]

Q* = 104.732 cojinetes.

t* = 104.732 cojinetes/10.000 coj./dia = 10,47 días.

N=1/(10,47 días x Año/365días) aprox 35 ciclos en el año

-----------------------

T = aK/Q + ac + hQ / 2

T = aK/Q + ac + hS2/2Q + p(Q – S)2/2Q

$=>WX‚ƒ„…š›ž¡ª½Ò Ù &ì

X

y

ç

r

s

K

s

Ö

ý

Ž

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Ç

&?0M‰¤{lmÞñòó[pic]g”Ýñ—š¢¥¶¹ÙøîøçàøàøàøÖÑÌÈÃÌÈÌÈÌÈÌÈÌÈÌÈÌÈÌÈÌÈ̾ÈÌÈÌȺÈÌȶȮȪȥ̥ÌÈÌÈÌÈÌÈÌÈÌÈ hˆHÛ5?hø{éhø{éhe75?hj |0h@W h@W5? hŒz`5?he7 he75? h°?75?h°?7he75?CJ

Si ( = 0 se tiene el lote económico

Q*j = [pic]

Sí b = a; consumo igual a producción no

hay inventario.

Q*= [pic]

-----------------------

Ejemplo.

El proveedor de la tienda de un gran comerciante es un almacén lejano. El almacén puede abastecer cualquier articulo que se pide en cualquier cantidad. Uno de los articulos que se vende es aceite de motor para automóviles, la demanda del aceite tiene un promedio de 5 cajas y se distribuye normalmenteEl tiempo de entrega varia un poco, con un promedio de 3 dias, desviación estandar para la demanda del tiempo de entrega es 3.9. Los costos de ordenar se estiman

en $ 150 por orden, el costo de mantenimiento es de $ 100 por caja por año, el comerciante quiere un 98% de nuivel de servicio en el aceite del motor.Para encontrar la cantidad de reorden se necesita conocer la demanda anual promedio. Si la tienda abre 300 dias al año Calculea) La cantidad optima de pedidob) El inventario de seguridad

c) el punto de reorden

D= 5 cajas/ dia * 300 dias/ año =1500 cajas/ año

L= 3 dias

σ= 3,9 

Cp= $ 150

Cmi= $ 100 por caja/año

Nivel de servicio = 98%  entonces Z= 2,06

Dias habiles = 300

a)

b) Z σ= (2,06)*(3,9) = 8 cajas

c)R = 5*(3) +8 = 23 cajas

Ejercicio resueltoDetermine la cantidad óptima a ordenar para una parte comprada que tiene las siguientes características:

Uso estimado anual a tasa constante 10, 000 unidadesCosto de procesar una orden $ 32.00Intereses anual, impuesto y seguro como una fracción del valor de la inversión sobre el inventario promedio 20 %.

El esquema de precios es el siguiente:

Cantidad Precio0 < Q < 1, 000 $ 3.50

1, 000 £ Q < 2, 000 $ 2.952, 000 £ Q $ 2.00

No se permiten faltantes el lote se entrega en un embarque.

ResoluciónDatos.D = 10, 000 UnidadesC2 = $ 32.00C11 = $ 3.50C12 = $ 2.95C13 = $ 2.00i = 20 %

Nota: Cabe hacer mención que el costo de mantener una unidad en almacén está definido por C3 = iC1j.

Representando los costos unitarios proporcionados tenemos la siguiente gráfica. Para iniciar con el desarrollo del problema seguiremos el algoritmo antes descrito.

Paso 1Determinaremos la cantidad óptima a pedir para cada uno de los costos proporcionados.

Para C11 = $ 3.50 tenemos: 956.18Para C12 = $ 2.95 tenemos: 1041.51Para C13 = $ 2.00 tenemos: 1264.91 

Paso2Con los datos obtenidos anteriormente terminaremos que las cantidades óptimas que se encuentran dentro del intervalo correcto.Cantidad

Consideración0 < Q1 = 956.18 < 1, 000 Ö1, 000 £ Q2 = 1041.51 < 2, 000 Ö2, 000 £ Q3 = 1264.91 X

Debido a que Q3 no se encuentra dentro de su intervalo su valor quedará definido por su intervalo inferior, o sea, Q3 = 2, 000.Los datos obtenidos anteriormente pueden quedar representados en la siguiente gráfica.

Paso 3Ahora procederemos a determinar la costó total de los valores óptimos obtenidos anteriormente.

El costo total para el primer valor óptimo obtenido es (Q1 = 956.18): $ 35, 669.32El costo total para el segundo valor óptimo obtenido es (Q2 = 1041.51): $ 30, 114.48El costo total para el segundo valor óptimo obtenido es (Q3 = 2000): $ 20, 560.00

Paso 4Ahora solo falta determinar el mínimo valor del costo total calculado anteriormente. Vemos que el valor mínimo es el del Costo Total3 por consiguiente la cantidad optima a ordenar es de 2,000 unidades.Podemos concluir que la cantidad optima a pedir para este problema es de 2, 000 unidades y esto ocasiona tener un costo total de $ 20, 560.00.

EJERCICIOS Una empresa vende un articulo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del articulo es $ 1.00. No se permite faltante de unidades y su tasa de reemplazo es instantánea. Determinar:La cantidad optima pedidaEl costo total por añoEl numero de pedidos por añoEl tiempo entre pedidosDatosC1= $ 1.00C2 = $ 400.00C3 = $ 1.20La cantidad optima a pedir se calcula de la siguiente forma.

= 3 465 UnidadesEl costo total estará determinado por:

Costo = [(1)(18000)] + [ (400)(18000/3465)] + [(1.2)(3465/2)] = $ 22, 156 por año

El numero de pedidos por año esN = D / Q = 18 000 / 3465 = 5.2 Pedidos por año

 El tiempo entre pedidos es t = Q / D = 3465 / 18000 = 0.1925 años

 Dados los siguientes datos, determinar el costo total anual del sistema de inventario bajo una política óptima de ordenar:

Demanda anual (D) = 12000 un.Costo de mantener/un./año (i * C) = $ 1Costo de ordenar (S) = 15 $/unTiempo de entrega = 5 díasExistencia de seguridad: 200Precio unitario: $ 0.10

 Q opt = Ö(2* $ 15 * 12000 un )/ ($ 1 $/un)  Q opt = 600 un.CT = C * D + S * D/Q + i C Q/2 + (i * C) *Inv. Seg.= $ 0.10 * 12000 + $ 15 * 12000/ 600 + $ 1 * 600/2 + $ 1 * 200CT = $ 2000

   Una empresa enfrenta una demanda anual de 1.000 unidades de su principal producto. El costo de emitir una orden es de $10 y se ha estimado que el costo de almacenamientounitario del producto durante un año es de $2,5. Asuma que el Lead Time (Tiempo de Espera) desde que se emite una orden hasta que se recibe es de 7 días. Determine la cantidad óptima de pedido utilizando EOQ que minimiza los costos totales. ¿Cuál es elpunto de reorden (ROP)?

El tamaño óptimo de pedido (Q*) que minimiza los costos totales es 90 unidades. Adicionalmente, cada vez que el inventario llega a 20 unidades se emite un nuevo pedido por 90 unidades.

Un proveedor le ofrece la siguiente tabla de descuento para la adquisición de su principal producto, cuya demanda anual usted ha estimado en 5.000 unidades. El costo de emitir una orden de pedido es de $49 y adicionalmente se ha estimado que el costo anual dealmacenar una unidad en inventario es un 20% del costo de adquisición del producto. ¿Cuál es la cantidad de la orden que minimiza el costo total del inventario?.

Tamaño del Lote (Unidades)

Descuento (%)

Valor del Producto ($/Unidad)

0 a 999 0% 51.000 a 1999 4% 4,82.000 o más 5% 4,75

Determinar el tamaño óptimo de pedido (Q*) para cada nivel o quiebre de precios.

 Ajustar la cantidad a pedir en cada quiebre de precio en caso de ser necesario. En nuestro ejemplo para el tramo 1 Q(1)=700 unidades esta en el intervalo por tanto se mantiene; para el tramo 2 Q(2)=714 está por debajo de la cota inferior del intervalo, por tanto se aproxima a esta cota quedando Q(2)=1.000; finalmente en el tramo 3 Q(3)=718 que también está por debajo de la cota inferior del intervalo, por tanto se aproxima a esta cota quedando Q(3)=2.000Calcular el costo asociado a cada una de las cantidades determinadas (utilizando la fórmula de costo total presentada anteriormente)

Costo Tramo 1 = C(700)=$25.700Costo Tramo 2 = C(1.000)=$24.725Costo Tramo 3 = C(2.000)=$24.822

Se concluye que el tamaño óptimo de pedido que minimiza los costos totales es 1.000 unidades, con un costo total anual de $24.725.

  Una empresa vende un articulo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del articulo es $ 1.00. El costo por unidad de faltante es de $ 5.00 por año. Determinar:La cantidad optima pedida

El costo total por año

El numero de pedidos por año

El tiempo entre pedidos

DatosC1= $ 1.00C2 = $ 400.00C3 = $ 1.20C4 = $ 5.00La cantidad optima a pedir se calcula de la siguiente forma.

= 3 465 UnidadesEl costo total estará determinado por:

=  747 Unidades 

El numero de pedidos por año es

  = 4.66El tiempo entre pedidos es

  =0.215

La demanda de un articulo de una determinada compañía es de 18, 000 unidades por año y la compañía puede producir ese articulo a una tasa de 3 000 unidades por mes, El costo de organizar una tanda de producción es $ 500.00 y el costo de almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes.

Determinar la cantidad optima de debe de manufacturarse y el costo total por año suponiendo que el costo de una unidad es de $ 2.00,

=  4 470 UnidadesEl costo total anual es

=  $ 40, 026El inventario máximo estaría determinado por:

=  2 235 Unidades

C2 = $ 500.00C3 = $ 0.15 por mesC4 = $ 20.00 por añoLa cantidad optima estará definida por:

= 4670 Unidades  Para calcular el costo anual primero se deben calcular el numero de unidades agotadas.

 

=  193 UnidadesEl costo total quedara definido por

Costo Total = $ 39, 855 por periodo de planeación.

Cada año la Samltown Optometry Clinic Vende 10,000 armazones para lentes la clínica pide las armazones a un abastecedor regional, que cobre 14 dólares por armazón. Cada pedido incurre en un costo de 50 dólares.

La óptica cree que se demanda de armazones puede acumularse yque el costo por carecer de un armazón durante un año es 15 dólares debido a la pérdida de negocios futuros. El costo anual por mantener un inventario es de 30 centavos por dólar del valordel inventario. ¿Cuál es la cantidad óptima de pedido? ¿Cuál es laescasez máxima que se presentará? ¿Cuál es

el nivel máximo de inventario que se presentará?Solución:Paso 1: Identifico ModeloTamaño Económico de lote reabastecimiento instantáneo confaltantes permitidos ( modelo con escasez)Paso 2: Determino los costosPrecio del inventario = $15 por armazónC3=$50 por pedidoC2=$15 unidad/añoC1=$0.30 por dólar del valor del inventario Entonces el costo 1 corresponde A$30 --------- $1x ----------- $15$0.30/$1 * $15 = $4.50 o simplementeC1=0.30 * valor del inventario = 0.30(15) = $4.50Por lo tanto C1=$4.50La demanda es de r=10,000 armazones al año. Paso 3: Introducir datos en las formulasPara Q* (cantidad optima de pedido)

¿Cuál es el nivel máximo de inventario?

¿Cuál es la escasez máxima que se presentara?Esto se puede resolver de 2 formasForma 1:Carencia máxima = Q* - S* = 573.48 – 413.45 = 124.03 armazonesO bienForma 2:

Paso 4: ConclusiónEntonces la carencia máxima que se presentará será 124.03 armazones y cada pedido debe ser 537 o 538 armazones. Se tendrá un nivel máximo de existencias de 413.45 armazones. PROBLEMA 2. Descuentos por volumenCompra de disquetes. Una empresa local de contaduría enGuatemala pide cajas de 10 disquetes a un almacén en la Ciudad . El precio por caja que cobra el almacén depende del número de cajas que se le compren (ver tabla). La empresa de contadoresutiliza 10,000 disquetes por año. El costo de hacer un pedido es 100 dólares. El único costo de almacenamiento es el costo de oportunidad de capital, que se supone 20% por año. P1=50 dólares, P2=40 dólares, P3=48.50 dólaresNúmero de cajas pedidas (q) Precio por caja (dólares)

0£ q<100 50.00

100£ q<300 49.00

q³ 300 48.50

Cada vez que se hace un pedido de disquetes ¿Cuántas cajas se deben pedir? ¿Cuántos pedidos se hacen al año? ¿Cuál es el costo anual total para cumplir con la demanda de disquetes por parte de la empresa de contadores?Solución:Demanda = 10,000 disquetes por año, pero los precios son por caja y sabemos que 10 disquetes trae una caja por lo tanto la demanda es de 1,000 cajas por año.r=1,000 cajas/añoCosto de ordenar =C3=$100Costo de almacenamiento = C1 = 0.20 del valor del inventario C1=0.20Px : Px=P1, P2, P3...PnPor lo regular el costo de almacenar en este modelo se da en

porcentaje del inventario ya que el precio varia de acuerdo a la cantidad pedida. 

 

Teniendo estos Q* optimos miro si se encuentran en el rango de latabla Q1*=141.42 0£ q<100 X No cumple Q2*=142.86 100£ q<300 / Si cumpleQ3*=143.59 q³ 300 / Si cumple y Nuevo Q*3=300¿Por qué si cumple Q*3 y No Q*1?En Q*1 no puedo menos de lo que necesito por ejemplo no puedo pedir 100 ya que faltarían 42, al contrario de Q*3 donde si puedo pedir mas de 143 y pido 300 ya que es el mínimo que me permite ese precio y el nuevo Q*3 seria 300. Encuentro los Costo Totales:

El costo 1 se valuó dado que el Q* no cumple.Conclusión:Se incurre en menor costo anual el hacer un pedido optimo de 300 cajas, con un costo de $50,288.33/año ordenando 1,000/300=3.33 » 4 veces al año para satisfacer la demanda.PROBLEMA 3. ProducciónUn gran productor de medicina para los nervios produce sus provisiones en remesas, el costo de preparación para cada remese es de $750. De la producción se obtiene 48 galones diarios delproducto y cuesta $0.05 cada uno para conservarlos en existencia. La demanda constante es de 600 galones al mes. Suponga 12 meses, 300 días al año y 25 días al mes. Encuentre la cantidad optima de producción, el tiempo de

ciclo óptimo, la existencia máxima, la duración en días de cada remesa de producción y el costo total óptimo. Solución:Tamaño económico de lote, ciclo productivo, sin faltantes permitidos. C3= Costo de producción = $750C1= Costo de almacenamiento = $0.05 /mesK= tasa de producción = 48 gal/día x 25 días = 1,200 galones / mes r = demanda = 600 gal /mes

Se podría trabajar en días / meses / años / semanas etc y Q* siempre tiene que dar los mismo, siempre y cuando se utilicen las mismas unidades. Busco Existencia máxima

Producción Q*/K = 6,000gal/1,200 gal/mes =5 mesesTciclo= Q*/r =6,000ga/600 gal/mes= 10 mesesProduce=5/10=0.5 del tiempo 0.5(300)=150 días/año 

 Se puede utilizar cualquiera de las 2 formulas y da lo mismo para Q*

PROBLEMA 4. Con escasezUna empresa de limpieza industrial ha estimado una demanda anual de 50,000 guantes, se estima que existe un costo de ruptura o escasez de Q0.30 unidad/mes se debe analizar la forma de programar lotes de producción si se desean utilizar losrecursos minimizando los costos. El costo de mantener el inventario es de Q0.20 unidad/mes, el costo de emitir un lote es de Q150.00. Cual debería de ser la política de la siguiente empresa y la carencia máxima que se le presentara.Solución:

Tamaño económico del lote reabastecimiento instantáneo faltantes permitidos.r= demanda = 50,000/añoC2= costo de escasez Q0.30 unidad/mes x 12 meses = Q3.60unidad /año C1= costo de inventario = Q0.20 unidad/mes x 12 meses = Q2.40 unidad/añoC3= costo de ordenar = Q150.00Nótese que el costo de almacenar (C1) se dan directamente comoun valor fijo. (en este problema) 

D*=Q*-S* : D*= carencia máxima

Conclusión: La empresa debería pedir 3,227 o 3,228 unidades cada vez que haga un pedido. Su carencia máxima será de 1,291 unidades.PROBLEMA 5. Producción con escasezUna constructora debe abastecerse de 150 sacas de cemento pordía, la capacidad de producción de la máquina en la empresa es de 250 sacos al día, se incurre en un costo de $400.00 cada vez que se realiza una corrida de producción, el costo de almacenamiento es de $0.5 unidad por día, y cuando hace faltamateria prima existe una perdida de $0.7 unidad por día. a) Cuál seria la cantidad optima a pedir. b) La escasez máxima que se presenta .Solución:Tamaño económico de lote, ciclo productivo, faltantes permitidos.r = 150 sacos/día

k = 250 sacos/día C3=$400C1=$0.5 /díaC2=$0.7 /día

a) 

b) Conclusión: La cantidad optima a producir seria de 1,014 o 1,015 sacos por corrida presentándose una escasez máxima de 169 sacos.PROBLEMA 7. Tamaño económico sin faltantes.Una compañía se abastece actualmente de cierto producto solicitando una cantidad suficiente para satisfacer la demanda de un mes. La demanda anual del artículo es de 1500 unidades. Seestima que cada vez que hace un pedido se incurre en un costo de $20. el costo dealmacenamiento por inventario unitario por mes es de $2 y no se admite escasez.a. Determinar la cantidad de pedido optima y el tiempo entrepedidos

b. Determinar la diferencia de costos de inventarios anuales entre la política optima y la política actual, de solicitar un abastecimiento de un mes 12 veces al año.

Solución:r = 1500 unidades/año C3 =$20C1 =$2 unidad/mes = $24 unidad/año

T=Q*/r = 50/1500 = 1/30 año x 360 días/año = 12 díasPolítica Actual se le agota cada mes o sea 1/12 año1/12=Q*/1500 Q*=125 (política actual)

Política Optima

Q*= 50

Diferencia de $540 por lo tanto se ahora más cuando existe la política optima. PROBLEMA 8. Tamaño económico de lote, reabastecimiento instantáneo sin faltantesUna ferretería tiene que abastecer a sus clientes con 30 sacas de cemento a sus clientes con 30 sacaos de cemento diarios siendo esta una demanda conocida. Si la ferretería falla en la entrega del producto pierde definitivamente el negocio, para que esto no suceda se asume que no existirá escasez. El costo de almacenamiento por unidad de tiempo es de Q0.35 unidad al mes y el costo por hacer el pedido es de Q55.00 a) Cuál es la cantidad optima a pedir b)El periodo de agotamiento (asumir 1 mes = 30 días, 1 año = 360 días) Solución:r = 30 sacos / día C1= 0.35 unidad / mes r = 900 sacos / mes C3= Q55

 ó T=531.84/30 = 17.73díasPROBLEMA 9Un agente de Mercedes Benz debe pagar $20,000 por cadaautomóvil que compra. El costo anual de almacenamiento se calcula en 25% del valor del inventario. El agente vende un promedio de 500 automóviles al año. Cree que la demanda se acumula, pero calcula que si carece de un automóvil durante un año, perderá ganancias futuras por $20,000. Cada vez que coloca un pedido de automóviles, sus costos suman $10,000. a) Determine la política óptima de pedidos del agente b) ¿Cuál es la escasez máxima que se presentará? p = $20,000 p: precioC1=0.25xvalor del inventario = 0.25p C1=0.25(20,000)=$5,000C2=$20,000 / añoC3=$10,000

r = 500 / año

 carencia máxima

 (nivel máximo de inventario)# pedidos = 500/50 = 10 pedidos al año.CT= Costo de almacenar + Costo de ordenar + Costo de escasez