Selectividad Andalucía. Matemáticas II. JUNIO 2015.€¦ · Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Se quiere...
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UNIVERSIDAD DE ANDALUCÍA
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CURSO 2014-2015
MATEMÁTICAS II
Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o
realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B..
c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara..
e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad
para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la
obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
OPCIÓN A
Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con
capacidad para 13'5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula
las dimensiones del depósito para el gasto en chapa sea el mínimo posible.
Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Calcula
dx
xx
x
22
2
.
Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones
0
1
zyx
zx
zyx
a) [1'5 puntos] Discute el sistema según los valores de .
b) [1 punto] Resuelve el sistema para 0 .
Ejercicio 4.- Sean los puntos 1,1,0A , 3,1,2B , 0,2,1C y mD ,1,2 .
a) [0'75 puntos] Calcula m para que A , B , C y D estén en un mismo plano.
b) [0'75 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos A y B son simétricos.
c) [1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices A , B y C .
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SOLUCIÓN OPCIÓN A:
Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con
capacidad para 13'5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula
las dimensiones del depósito para el gasto en chapa sea el mínimo posible.
La función que debemos optimizar (minimizar) es la superficie de la chapa, es decir
el área del depósito que se debe cubrir con ella para así minimizar el coste.
2
2··4
··4 xyxA
xA
yxAAAA
b
L
bL
La ecuación de ligadura o de apoyo es el volumen:
yxalturaAV b ·5'13·5'13 2
Despejando y de la ecuación de apoyo y sustituyéndola en la función a optimizar tenemos:
mxxx
AsOptimizamoxx
xx
xAx
y 985'22
2'5302
2'532'535'13··4
5'13322
22
Para comprobar que es un mínimo, sustituimos en la segunda derivada:
985'20
985'2
4'109985'2·2)985'2(
4'10923
3
3
3
xAx
xA es un mínimo.
Calculamos la altura con la relación de apoyo:
myx
y 493'1985'2
5'135'1322
Luego la solución es:
my
mx
493'1
985'2
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Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Calcula
dx
xx
x
22
2
.
2ln3
41ln
3
1
2
34
1
31
3
11
3
42
212
2
2
2
2
2
2
21
2
21
2
21
2
dim
2
2
2
222
22
2
2
2
xxdxx
dxx
AxSi
BxSi
x
B
x
A
xx
x
fraccionesenSeparamos
dxxx
x
dxxx
xxdx
xx
xdxdx
xx
x
xx
x
xx
x
polinomiososDivi
dxxx
x
Luego:
Cxxxdxxx
x
2ln
3
41ln
3
1
22
2
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Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones
0
1
zyx
zx
zyx
a) [1'5 puntos] Discute el sistema según los valores de .
b) [1 punto] Resuelve el sistema para 0 .
a) Para discutir el sistema en función de , lo podemos hacer a partir del teorema de Rouché-Fröbenius.
Para ello vamos a calcular el rango de A y de A*.
11
0
11
A
011
0
111*
A
Rango de A:
El rango de A como máximo es 3.
0
11
0
1122
A . Luego el Rg(A) es distinto de 3 para cualquier valor de , por lo
tanto 2)( ARg .
Calculamos todos los determinantes de los menores 2x2 para averiguar los valores de .
000
1
1
00
100
0
11
10111
1
1
101
1
1101
1
11
0011
0
1
00
100
1
0
33
2
3231
23
2
2221
13
2
1211
mmm
mmm
mmm
Los distintos valores de que nos van a ayudar a clasificar el sistema son: 110 .
-Para 0 :
0
00
1
yx
zy
Rg(A)=2=Rg(A*)<Nº de incógnitas=3Sistema Compatible Indeterminado
-Para 1 :
0
1
1
zyx
zx
zyx
Rg(A)=2
Calculamos el rango de A*, para ello hacemos todos los determinantes 3x3 que encontremos dentro
de A*.
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2)(3)(01111
011
101
111*
421 ARgARgCCC Sistema Incompatible
-Para 1 :
0
1
1
zyx
zx
zyx
Podemos comprobar que la 1ª Ecuación y la 3ª Ecuación de nuestro sistemas
son iguales pero con distintos resultados, por lo tanto el sistema es un Sistema Incompatible.
-Para 110 :
Sabemos que el Rg(A)=2, veamos cuál es el Rg(A*).
0
11
0
1122
321
CCC
2)(00
011
0
11*2
421
ARgCCC
2)(00
01
0
111*2
432
ARgCCC
Luego para 3)(2)(110 *ARgARg Sistema Incompatible.
En resumen:
)(ARg )( *ARg Clasificación del sistema
0 2 2 Sistema Compatible Indeterminado
0 2 3 Sistema Incompatible
b) Para 0 :
10
00
1
z
x
y
yx
zy
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Ejercicio 4.- Sean los puntos 1,1,0A , 3,1,2B , 0,2,1C y mD ,1,2 .
a) [0'75 puntos] Calcula m para que A , B , C y D estén en un mismo plano.
b) [0'75 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos A y B son simétricos.
c) [1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices A , B y C .
a) Para que estén en un mismo plano, el determinante de tres vectores formados por los puntos debe ser cero:
mCD
BC
AB
,1,3
3,1,3
2,0,2
306662
13
313
202
mm
m
b)
Para calcular el plano respecto del cual A y B son simétricos:
03
)2,1,1(2
1,0,12 zx
BAM
ABn
c)
3,1,3
2,0,2
BC
BA 2282,0,2
313
2022
BCxBA
kji
BCxBA
BCxBA
AT
222
22uAT
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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CURSO 2014-2015
MATEMÁTICAS II
Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o
realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B..
c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara..
e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad
para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la
obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
OPCIÓN B
Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Sabiendo que
2
2
0
cos1lim
xsen
xbxax
x
es finito e igual a uno, calcula los
valores de a y b .
Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Determina la función ,0:f sabiendo que xxf ln y que su gráfica
tiene tangente horizontal en el punto 2,1P (ln denota la función logaritmo neperiano).
Ejercicio 3.- Considera las matrices
mA
2
21 y
m
mB
23
02
021
a) [1'5 puntos] Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango.
b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.
Ejercicio 4.- Sea el plano 082 zyx .
a) [1'5 puntos] Calcula el punto P , simétrico del punto 5,1,2 P , respecto del plano .
b) [1 punto] Calcula la recta r , simétrica de la recta 1
5
3
1
2
2
zyxr , respecto del plano .
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SOLUCIÓN OPCIÓN B:
Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Sabiendo que
2
2
0
cos1lim
xsen
xbxax
x
es finito e igual a uno, calcula los
valores de a y b .
Para calcular los valores de a y b sabemos que el límite es finito e igual a uno, por lo tanto si hay alguna
indeterminación en el límite será la indeterminación 0
0, luego obligaremos a pasar por esta indeterminación.
2
11
2
121
2
12
4·cos2
cos2lim
',mindet0
0
·cos2
2lim
00
0
00
0mindet
0·cos2
2lim
',mindet0
0cos1lim
1cos1
lim
2220
20
20
2
2
0
2
2
0
aaa
xsenxx
xa
HôpitalLaplicamosaciónerInxx
xsenax
bb
aciónerInObligamosb
xx
xsenbax
HôpitalLaplicamosaciónerInxsen
xbxax
xsen
xbxax
x
x
x
x
x
Luego la solución es:
0
2
1
b
a
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Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Determina la función ,0:f sabiendo que xxf ln y que su gráfica
tiene tangente horizontal en el punto 2,1P (ln denota la función logaritmo neperiano).
El problema nos da la segunda derivada de una función por lo tanto vamos a buscar la función integrando
dos veces, pasando por la primera derivada.
Calculamos la primera derivada:
CxxxxfCxxxdxx
xxx
xvdxdv
dxx
duxu
partespornIntegració
dxxxf lnln1
··ln1
)ln(ln
Calculamos la segunda derivada:
DCxx
xx
xfDCxxx
xx
dxCxxxxf
xx
xdx
xx
xdx
x
xx
x
xvxdxdv
dxx
duxu
partespornIntegració
dxxx
dxCxdxdxxxdxCxxxxf
4
3ln
224ln
2ln
4ln
22ln
2
1
2ln
2
2
1)ln(
ln
lnln
22222
22222
2
Una vez que tenemos nuestra función primera derivada y nuestra función original, vamos a ver cuáles son
las ecuaciones que podemos formar para calcular las constantes C y D.
-Por tener una tangente horizontal en 1011ln11011 CCffx
-Por pasar por el punto 4
721
4
311ln
2
11212,1
22
DDffP
Luego la función xf es:
4
7
4
3ln
2
22
xx
xx
xf
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Ejercicio 3.- Considera las matrices
mA
2
21 y
m
mB
23
02
021
a) [1'5 puntos] Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango.
b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.
a) Para encontrar el valor o los valores de m para los que A y B tienen el mismo rango, debemos saber que
como máximo el rango puede ser 2, ya que la matriz A es de orden 2.
Rango de A:
El rango de A como máximo es 2.
41)(
42)(404
2
21
msiARg
msiARgmm
mA
Rango de B:
El rango de B como máximo es 3.
4
004
23
02
0212
m
mmm
m
mB
-Si 3)(0 BRgm
Buscamos un menor 2x2 cuyo determinante sea distinto de cero
2)(0402
21
BRg
-Si 3)(4 BRgm
Buscamos un menor 2x2 cuyo determinante sea distinto de cero
2)(01642
04
042
21
BRg
Luego para que tengan el mismo rango
b) Para encontrar el valor o los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante:
0m
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4
144
4
23
02
021
42
21
2
2 m
mmmm
mm
m
mB
mm
A
Luego para que tengan el mismo determinante
4
1
m
m
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Ejercicio 4.- Sea el plano 082 zyx .
a) [1'5 puntos] Calcula el punto P , simétrico del punto 5,1,2 P , respecto del plano .
b) [1 punto] Calcula la recta r , simétrica de la recta 1
5
3
1
2
2
zyxr , respecto del plano .
a) Para calcular el punto P , simétrico del punto 5,1,2 P , respecto del plano , vamos a introducir una recta
perpendicular al plano que pase por P' :
tz
ty
tx
P
nrr
5
1
22
5,1,2
1,1,2
Calculamos el punto M, que es el punto de intersección entre el plano y la recta r :
6,2,1
10851222
M
ttttrM
Calculamos P , simétrico de P respecto del punto M.
7,3,45,1,212,4,22 PPMP
Luego el punto simétrico pedido es:
b) Para la recta r , simétrica de la recta 1
5
3
1
2
2
zyxr , respecto del plano , lo primero que
tenemos que hallar es la posición relativa que hay entre la recta r y el plano .
Para ello vamos a tomar un vector director de la recta r y el vector normal del plano .
02
)1,3,2(
1,1,2nr
r
n
Son secantes.
Podríamos calcular r' si tuviéremos el punto M , que es el punto de
intersección entre el plano y la recta r , y el punto Q' que es
simétrico de Q (un punto cualquiera de la recta r ) respecto del plano
.
I
7,3,4 P
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Calculamos M, para ello vamos a poner la recta r en forma paramétrica.
tz
ty
tx
rzyx
r
5
31
22
1
5
3
1
2
2
8,8,4
308531222
M
ttttrM
Elijo un punto Q cualquiera de la recta r, para ello hago que 5,1,20 Qt .
Calculo la recta s que es perpendicular al plano y pasa por el punto Q.
tz
ty
tx
Q
nss
5
1
22
5,1,2
1,1,2
Calculamos el punto I intersección entre la recta s y el plano .
6,2,0
10851222
I
ttttsI
Calculamos el punto Q' simétrico de Q:
7,3,25,1,212,4,02 QQIQ
Ya sólo queda calcular la recta r' que pasa por los puntos Q' y M:
0122
028211
8
118
24
8,8,4
1,11,2
zx
yxr
tz
ty
tx
rM
QMr
Por lo tanto la recta r' pedida es:
0122
028211
zx
yxr