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    PRUEBA JI CUADRADA

    Pruebas de bondad de ajuste

     YPruebas para tablas de contingencias

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    DISTRIBUCIÓN JI_CUADRADALa distribución ji_cuadrada permite probar, si dos o mas proporcionespueden ser consideradas iguales.

    Si se clasifca a una población en dierentes categorías con respecto a(edad, y gnero!, podemos utili"ar una prueba ji_cuadrada, para comdos atributos son independientes entre si# se denota por la letrele&ada al cuadrado' $ .

    ) medida *ue aumentan los grados de libertad la cur&a se &a simtrica y su cola derec+a se &a e-tendiendo.

    aracterísticas de la distribución'

     /odos los &alores de $ son positi&os.

    0s una cur&a sesgada +acia la derec+a.

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    PROPIEDADES DE LAS DISTRIBUCIONES JI_CUADRADA

    l.1Los &alores de $ son mayores o iguales *ue 2

    .1La orma de una distribución $ depende del g consecuencia +ay un numero ininito de distribuciones $ .

    5.103 rea bajo una cur&a ji_cuadrada y sobre el eje +ori"on

    7.1Las distribuciones $ no son simtricas, tienen colas esse e-tienden a la derec+a# estn sesgadas a la derec+a.

    8.1 uando n9 la media de una distribución $ es n16 yes (n16!.

    :.103 &alor modal de una distribución $ se da en el &alor (

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    Para una población con distribución normal, el cocie

    (n16! s( ; σ(

     /iene una distribución de probabilidad de

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    6. P>?0@)S A0 @2BA)A A0L )%?S/0

    una afrmación sobre el patrón esperado derecuencias en un conjunto de categorías.

    0l patrón esperado puede ajustarse a la suposicióigualdad de probabilidades, y puede, por ello, implicomparación de recuencias muestrales clasifcadacategorías defnidas de datos, teniendo en todoscasos el patrón esperado de recuencias *ue se basa

    una +ipótesis nula (Co! específca.La estadística de prueba, se distribuye como el mode probabilidad de ji1cuadrada, donde la Co es prueba de bondad del ajuste, siendo o' ser uniorme

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    6. 0jemplo' Aurante muc+o tiempo, un abricante d+a tenido el 7EF de sus &entas en apape*ueGos, el 7EF de tamaGo mediano y un EF

    tamaGos grandes# para fjar los programas adecude producción para el pró-imo aGo, se toma muestra aleatoria de 6EE &entas del Hltimo donde se encontró *ue el 88F de los aparatos pe*ueGos, el 58F eran medianos y sólo el 6EF grandes. Los porcentajes de compras de aparato

     /D de pantalla pe*ueGa, mediana y grande son7EF, 7EF y EF respecti&amente, para un ni&esignifcancia del 6F.

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    Co' los porcentajes de compras de aparatos de /D de pantape*ueGa,

    mediana y grande son del 7EF, 7EF y EF, respecti&

    C6' el patrón de compras de /D es dierente al patrón +istórplanteado Co.

    gl 4 I J m J 6 4 5 J E J 6 4

    y con …..α = 1% ….. La -2 crítica es de 9,21

    La -2 calculada será:4 (88 J 7E! ; 7E K (58 J 7E! ; 7E K (6E J E! ; E 4 66,8

     

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    E 7 : 6E 6 67

    M,6

      66,8 

    N2B) A0 )0P/)32BA0 L) Co

    La estadística ji1cuadrada calculada de 66,8 es mayor *ue el &alor de M,6+ipótesis nula a un ni&el de signifcancia del 6F, debe ser rec+a"ada, por loacepta el patrón de compras y se debe programar la producción de una madierente al patrón actual.

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    . P>?0@)S /)@L)S A0 2B/3BO0B3)

    Para las pruebas de bondad del ajuste, e-iste sólo ucategórica (de a+í, *ue m4E!.

    Las pruebas de independenciaQ implican por lo menos doy lo *ue se prueba es la suposición de *ue las dos &aestadísticamente independientes# implica *ue el saber len la *ue se clasifca una obser&ación con respecto a uno tiene ningHn eecto sobre la probabilidad de caer alguna de las di&ersas categorías de las otras &ariables.

    omo se trabaja con dos &ariables, se anotan las obser&adas en una tabla de clasifcación doble o de concon dimensiones'

      r - I, donde r es el nHmero de renglones y I es columnas.

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    Aada la +ipótesis de independencia de las dos &arecuencia esperada correspondiente a cada una de las ctabla de contingencia debe ser proporcional al total de obser&adas, tanto de columna como de renglón.

    con&eniente para determinar la recuencia esperada pade la tabla de contingencia *ue se encuentra en esecolumna, es'

     

    r' es la recuencia total del renglón

    I es la recuencia total de una columnan ' /amaGo de la muestra donde' (I16!

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    0jemplo' en la siguiente tabla, se muestra los clientes dede electrodomsticos, clasifcados por edad y por gnerodecir *ue estas dos &ariables son independientes a usignifcancia del 6F.

     0A)A O0B0>2  /2/)()R2S! C2@>0 ?%0>

    0B2> A0 5E :E 8E 66E

    5E Y )S E 6E ME

     /2/)L 67E :E EE

    o 4 Tr.2bser&adas

    O0B0>2

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     4 (66E! (67E! ;EE 4 687EE ; EE 4 UU

     4 (66E! (:E! ;EE 4 ::EE ; EE 4 55

     4 (ME! (67E! ;EE 4 6:EE ; EE 4 :5

     4 (ME! (:E! ;EE 4 87EE ; EE 4 U

     

    0A)A O0B0>2  /2/)L

    ()R2S! C2@>0 ?%0>

    0B2> A0 5E UU 55 66E

    5E Y )S :5 U ME

     /2/)L 67E :E EE

    e ' Tr.esperadas

    O0B0>2

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    Co' 0l Onero y la 0dad de los clientes de la tienda sonindependientes.

    C6' Son &ariables dependientes (0-iste relación entre ellas!

    gl 4 ( r 1 6! ( I J 6! 4 ( J 6! ( J 6! 4 6

    y con …..α = 1% ….. La -2 crítica es de 6,63

    La -2

     calculada será:4 (:E J UU! ; UU K (8E J 55! ; 55 K (E J :5! ; :5 K (6E J U! ; U 4

     

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    E 7 : 6E 6 67

    :,:5 

    U,E 

    N2B) A0 )0P/)32BA0 L) Co

    La estadística ji1cuadrada calculada de U,E es mayor *ue el &alor de :,:5+ipótesis nula a un ni&el de signifcancia del 6F, debe ser rec+a"ada, por loacepta *ue e-iste relación entre la edad y el gnero al momento de compraelectrodomsticos en la tienda.

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    0%0PL2'L) 0P>0S) ?B)@ 2BS3A0>) V?0 L2S 0S/?A3)B/0S B2 /30B0B >0BA3T)L/) A0 A0A3)32B ) C2>)S A0 0S/?A3?2 T?0>) A0 L) ?B3D0>S3A)A YA0 0LL2S />)@)%)B# 0B L) S3O?30B/0 /)@L) S0 ?0S/>) L2S D)L2>0S 2) ?B) ?0S/>) A0 5EE 0S/?A3)B/0S.

    S0>)B 3BA0P0BA3B0/0S ) ?B B3D0L A0 S3OB3T3)B3) A0L 8FW

    X ,E ,6 J ,M 5,E J 5,8 5,: J 7,E 9

    C 0 ' X5,E

    8 6 7 5E

    C 0' 5.E 78 E E 5E :

    CALIFICACIONES

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    0%0PL2'L) 0P>0S) ?B)@ 2BS3A0>) V?0 L2S 0S/?A3)B/0S B2 /30B0B >0BA3T)L/) A0 A0A3)32B ) C2>)S A0 0S/?A3?2 T?0>) A0 L) ?B3D0>S3A)A YA0 0LL2S />)@)%)B# 0B L) S3O?30B/0 /)@L) S0 ?0S/>) L2S D)L2>0S 2) ?B) ?0S/>) A0 5EE 0S/?A3)B/0S.

    S0>)B 3BA0P0BA3B0/0S ) ?B B3D0L A0 S3OB3T3)B3) A0L 8FW

    X ,E ,6 J ,M 5,E J 5,8 5,: J 7,E 9

    C / ' X7,E

    68 6 8 5

    C /' 7 1: 58 U 6 5 6

    CALIFICACIONES

    C /' )SA0 :

    6E 8 8 65 U

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