Selec MatII GEO 05-11 inverso.pdf

ENRIQUE CANT ABAD. SELECTIVIDAD BLOQUE GEOMETRA 05-11.

BLOQUE 2: GEOMETRA.Ao 2011.

JUN11, PA2En el espacio se dan las rectas

r :x z 22x y z 0

y s :2x y 3x y z 2

.

Obtener razonadamente:

a) Un punto y un vector director de cada recta. (3 puntos).b) La posicin relativa de las rectas r y s . (4 puntos).c) La ecuacin del plano que contiene a r y es paralelo a s . (3 puntos).Resolucin:

a) Tomamos z 0 en las ecuaciones de r :

ec1 x 2ec2 2 2 y 0 y 4

. Punto P 2, 4, 0

Para obtener el vector podemos hacer el producto vectorial de los vectores normales de cada uno de losplanos que forman las ecuaciones de r :

1, 0, 1 2,1, 1 i j k1 0 12 1 1

i j k 1, 1,1 v r 1, 1,1

Para obtener punto de s, tomamos x 0.

ec1 y 3 y 3ec2 y z 2 z 1

Punto Q 0,3, 1

Obtenemos el vector de s como en la recta r :

2,1, 0 1,1,1 i j k2 1 01 1 1

i 2j k 1, 2,1 u s 1, 2,1

As, recta r : P (2,4,0) y vr (1,1,1); recta s : Q (0,3,1) y u

s (1,2,1)

b) Como los vectores no son proporcionales, no tienen la misma direccin, por lo que slo puede pasarque se crucen o que se corten.

Para saberlo estudiaremos si el vector PQ depende linealmente de vr

y us. Si as fuese, significara que

-1-


ambas rectas estn en un mismo plano, por lo que habran de ser secantes. Si no, se cruzan.

PQ 2,7, 1.1 1 11 2 12 7 1

1 0.

Entonces los tres vectores vr

, us

y PQ son linealmente independientes, y las rectas r y s se cruzan.c) El plano pedido tiene el vector de r, el vector de s y un punto de r :

v r 1, 1,1, u s 1, 2,1, P 2, 4, 0.

Ecuacin del plano

1 1 x 21 2 y 41 1 z

0 x z 2 0 x z 2

JUN11, PB2En el espacio se dan las rectas

r :

x

y 1 z 3

y s : x 1 y z 3.

Obtener: razonadamente:

a) Un vector director de cada una de dichas rectas r y s . (2 puntos).b) La ecuacin del plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto (0,1,3) . (3 puntos).c) El punto de interseccin de las rectas r y s (2 puntos) y la ecuacin del plano que contiene a estasrectas r y s . (3 puntos).

Resolucin:

a) El vector de r viene determinado por los coeficientes de r : vr (1,1,0).

El vector de s por la forma continua de la ecuacin de la recta:

x au1

y b

u2 z cu3 ,

como recta que pasa por el punto (a,b,c) y tiene como vector director (u1, u2, u3).

As, un vector director de s es us (1,1,1).

b) Por ser perpendicular a r, el vector director de r es el vector normal del plano.Ecuacin del plano: 1x 1y 0z D. Y el punto (0,1,3) ha de cumplir la ecuacin:

1 0 1 1 0 3 D D 1. x y 1

c) Para buscar el punto de corte, sustituimos las expresiones de r en las ecuaciones de s :

-2-


1 1 3 3 1y se cumplen las 2 igualdades.

As, el punto de corte es (tomamos 1 en las ecuaciones de r) :

r :

x 1y 1 1z 3

Punto de corte: 1, 0, 3

Para la ecuacin del plano podemos tomar el vector de r, el vector de s, y un punto cualquiera decualquiera de las rectas (tomamos (1,0,3) )

1 1 x 11 1 y0 1 z 3

0 2z y x 5 0 : x y 2z 5

SEP11, PA2

En el espacio se dan las rectas

r :

x 3 y 1 2z 2

y s :x 2y 1 03y z 2 0

Obtener razonadamente:

a) El valor de para el que las rectas r y s estn contenidas en un plano. (4 puntos).b) La ecuacin del plano que contiene a las rectas r y s para el valor de obtenido en el apartadoanterior. (2 puntos).

c) La ecuacin del plano perpendicular a la recta r que contiene el punto (1, 2,1). (4 puntos).Resolucin:

a) Para que las tres rectas estn contenidas en un mismo plano, el vector director de r, vr, el vector

director de s, vs, y el vector que va de un punto de r (P), a un punto de s (Q), PQ, tienen que ser

coplanarios, y por tanto el determinante de la matriz formada por los tres vectores ha de ser 0.

As, necesitamos obtener un vector y un punto de cada recta.

Recta r :

vr (1,2,1) (coeficientes del parmetro en las ecuaciones paramtricas)

P (3,1,2) (trminos independientes de las ecuaciones paramtricas)Recta s :

-3-


vs :

i j k1 2 00 3 1

2 i 3k j 2, 1, 3

Q : Tomamos y 0 en las ecuaciones. x 1; z 2. Q (1, 0, 2)

detvr, vs, PQ 1 2 12 1 32 1

5 15 0 3.

As, cuando 3, las dos rectas son coplanarias. Si 3, no lo son.

b) Para obtener la ecuacin del plano, utilizamos dos vectores del mismo (vr

y vs) y un punto (P)

1 2 12 1 3

x 3 y 1 z 2 0 5x 5y 5z 30 0 x y z 6 0

c) El plano perpendicular a r, tendr a vr

como vector normal y ha de contener el punto (1, 2,1).As, los coeficientes de la ecuacin del plano son (1,2,1) y hay que hallar D para que el punto (1,2,1)cumpla la ecuacin.

x 2y z D 0 1 2 2 1 D 0 D 6.

x 2y z 6 0

SEP11, PB2

Se da la recta

r :x 4y 0y z 0

y el plano : 2 2x y z 2 6 0

dependiente del parmetro real . Obtener razonadamente:a) La ecuacin del plano que pasa por el punto (1,1,0). (3 puntos).b) La ecuacin del plano que es paralelo a la recta r . (4 puntos).c) La ecuacin del plano que es perpendicular a la recta r . (3 puntos).Resolucin:

a) : 2 2x y z 2 6 0.

Sustituimos las coordenadas (1,1,0):

-4-


2 2 1 1 0 2 6 0 1 4 0 14

2 12 x y 14 z 2 6

14 0

52 x y

14 z

72 0

14

: 10x 4y z 14 0

b) El plano y la recta r sern paralelos cuando el vector director de r y el vector normal de seanperpendiculares.

vr

: Para obtener el vector director de r, hacemos el producto vectorial de los coeficientes de cadauna de las ecuaciones generales.

i j k1 4 00 1 1

4 i k j . vr 4, 1, 1.

El vector normal de viene determinado por los coeficientes de su ecuacin general, n (2 2, 1,).Para que sean perpendiculares ambos vectores, su producto escalar ha de ser 0:

vr n 8 8 1 9 9 0 1.

Por lo tanto, el plano que es paralelo a la recta r es aquel en el cual 1 :

1 : 2 2 1x y 1z 2 61 0 y z 4 0

c) El plano y la recta r sern perpendiculares cuando el vector director de r y el vector normal de sean paralelos.

vr 4, 1, 1; n 2 2, 1,.

Sern paralelos cuando sean proporcionales:

2 24

11

1 1 cumple las 2 igualdades.

As la solucin buscada es el plano con 1:

1 : 2 2 1x y 1z 2 6 1 0 4x y z 8 0

Ao 2010.JUN10, PA2Dadas las rectas de ecuaciones

r :5x y z 42x 2y z 5

y s :x y 5z 4

se pide:

-5-


a) Justificar que las rectas r y s se cruzan. (4 puntos).b) Calcular razonadamente la distancia entre las rectas r y s . (3 puntos).c) Determinar la ecuacin del plano que es paralelo y equidistante a las rectas r y s. (3 puntos).

Resolucin:

a) Se puede resolver de dos formas:1 forma: Estudiamos el rango de la matriz determinada por las 4 ecuaciones.

rg

5 1 1 42 2 1 51 1 0 50 0 1 4

Trans rg

5 2 1 01 2 1 01 1 0 14 5 5 4

F44F3F4 rg

5 2 1 01 2 1 01 1 0 18 1 5 0

4

El rango es 4 porque el determinante de la matriz que queda es (desarrollando por adjuntos de la ltimacolumna)

a34 A34 1 5 2 11 2 18 1 5

54 0.

Por tener rango 4, el sistema formado por las 4 ecuaciones no tiene solucin, ya que

rgA 4 rgA 3 (ya que A es 4x3)

As, las rectas no tiene nign punto en comn, y como rg(A) 3, las rectas tienen distinta direccin,luego las rectas se cruzan.

2 Forma:

Estudiemos la posicin relativa de las rectas. Para ello tomaremos el vector director de cada una de

ellas y un vector que vaya de un punto de r a un punto de s (PQ) :

vr

i j k5 1 12 2 1

3j 12k 3i 3, 3,12 Tomamos vr 1, 1,4

vs

i j k1 1 00 0 1

j i 1,1, 0 Tomamos vs 1, 1, 0

PQ : Tomando z 0 en las ecuaciones de r,

P 14 ,114 , 0

-6-


y tomando x 0 en las ecuaciones de r,

Q 0, 5, 4 PQ 14 ,94 , 4 .

Podemos tomar en su lugar w (1,9,16), que tiene la misma direccin.Estudiamos ahora el rango de

rgvr, vs, w :1 1 41 1 01 9 16

8 0.

Luego los tres vectores son linealmente independientes y por lo tanto vr

y vs

no tienen la mismadireccin y adems el vector que va de una recta a la otra no se encuentra en el plano determinado por

vr, v

s. , por lo que las rectas se cruzan.

b) Para calcular la distancia de r a s, primero obtenemos el plano rs que contiene a r siendo paralelo as. Entonces la distancia del plano rs a la recta s es la distancia entre rectas.

Tomamos los vectores directores de r y s y un punto de r :

vr 1, 1,4; vs 1, 1, 0; P 14 ,114 , 0

1 1 x 141 1 y 1144 0 z

0 : 4x 4y 2z 10 rs : 2x 2y z 5

Ahora tomamos un punto cualquiera de s ( Q (0,5,4) ) y calculamos su distancia al plano rs :

dQ,rs |2 0 2 5 4 5|22 22 12

99

3 unidades.

Y esta es la distancia entre las rectas r y s.

c) El plano calculado en b) es paralelo a ambas rectas, por lo que su vector normal nos servir,

n (2,2,1). El plano que buscamos es 2x 2y z D 0 (Falta averiguar D)La distancia que le separa de ambas rectas (r y s) ha de ser la mitad de la calculada en b): 3/2

-7-


ds, dQ, |2 0 2 5 4 D|22 22 12

32 2 |14 D| 3 3

|14 D| 92 14 D 92 D

372

14 D 92 D 192

dr, dP, 2 14 2

114 1 0 D

22 22 12 32

|5 D|3

32

|5 D| 92 5 D 92 D

192

5 D 92 D 12

As pues, el valor de D que da una distancia de 3/2 a cada una de las rectas es D 19/2.

Por lo que el plano que buscamos es 2x 2y z 19/2 0 4x 4y 2z 19.

JUN10, PB2Sea r la recta de vector director (2,1,1) que pasa por el punto P (0,3,1). Se pide:a) Hallar razonadamente la distancia del punto A (0,1,0) a la recta r . (4 puntos).b) Calcular razonadamente el ngulo que forma la recta que pasa por los puntos P y A con la recta r enel punto P. (4 puntos).c) Si Q es el punto donde la recta r corta al plano de ecuacin z 0, comprobar que el tringulo devrtices APQ tiene ngulos iguales en los vrtices P y Q. (2 puntos).

Resolucin:

a) Hallaremos el plano a r que pasa por A. Despus halaremos el punto A interseccin de r y .A es el punto de r que est ms prximo a A. Por eso la distancia de A a la recta r es la distancia entrelos puntos A y A.

El vector normal a ser el vector director de r : n (2,1,1). Con este vector normal y el punto A,construimos :

: 2x y z D 2 0 1 0 D D 1

: 2x y z 1

Ahora hallamos A :

Recta r

r :

x 0 2y 3 z 1

2 2 3 1 1 6 3 12

-8-


Sustituimos en la ecuacin de r y ya tenemos A :

A 1, 52 ,12

dA, A AA 12 322 12

2 144

72

b) Para calcular el ngulo entre rectas tomamos sus vectores directores:

AP 0, 2,1; vr 2,1, 1 cos |0, 2,1 2,1, 1|5 6

330

3 30

30 3010

56 47 21

c) Primero hallaremos Q :Como z 0, en las ecuaciones de r, z 0 1 1

Sustituyendo en r, Q (2,2,0).

Tener ngulos iguales en P y en Qquiere decir que es issceles, por lo

que es equivalente a que AP y AQtengan el mismo mdulo.

AP |0, 2,1| 5 ; AQ |2, 1, 0| 5

Luego el tringulo es issceles y los ngulos en P y en Q son iguales

SEP10, PA2

Se pide obtener razonadamente:

a) La ecuacin del plano que pasa por los puntos O (0,0,0), A (6,3,0) y B (3,0,1). (3 puntos).b) La ecuacin de la recta r que pasa por el punto P (8,7,2) y es perpendicular al plano .(3 puntos).c) El punto Q del plano cuya distancia al punto P es menor que la distancia de cualquier otro puntodel plano al punto P. (4 puntos).

Resolucin:

a) Lo construiremos con los vectores OA, OB y el punto O :

6 3 x3 0 y0 1 z

0 9z 6y 3x 0 : x 2y 3z 0

-9-


b) Su vector director ha de ser el normal del plano: vr (1,2,3).

Con P y con vr,

r :

x 8 y 7 2z 2 3

c) Buscamos el punto de ms prximo a P. Para encontrarlo usaremos la recta r perpendicular alplano que pasa por P.

El punto Q ser la interseccin de la recta r con .Sustituimos un punto genrico de r en la ecuacin de :

: 8 27 2 32 3 0

14 28 2. Sustituimos en r : Q 6, 3, 4

SEP10, PB2

Dadas las dos rectas r y s de ecuaciones

r : x 43 y 4

2 z 4 ; s : x y2

z3

se pide calcular razonadamente:

a) Las coordenadas del punto P de interseccin de las rectas r y s. (3 puntos).b) El ngulo que forman las rectas r y s. (3 puntos).c) Ecuacin implcita Ax By Cz D 0 del plano que contiene a las rectas r y s. (4 puntos).

Resolucin:

a) Pasaremos las ecuaciones a paramtricas para igualar las coordenadas:

r : Punto A (4,4,4), vector vr (3,2,1). s : Punto B (0,0,0), vector v

s (1,2,3)

r :

x 4 3ty 4 2tz 4 t

s :

x s

y 2sz 3s

,

donde t y s son los parmetros de cada una de las rectas.

Igualamos:

4 3t s4 2t 2s4 t 3s

-10-


Sustituimos la ec1 en la ec2 y en la ec3:

(ec2) 4 2t 24 3t 4t 4 t 1; s 1(ec3) 4 t 34 3t 8t 8 t 1; s 1

Como los valores de s y t coinciden, existe el punto de corte y lo averiguamos sustituyendo en lasecuaciones de una de las rectas (por ejemplo s ):

P 1, 2, 3

b) Lo calcularemos con sus vectores directores:

cos |3, 2, 1 1, 2, 3|

14 14 1014

57 44 24

55

c) Tomemos los vectores vr (3,2,1), v

s (1,2,3) y el punto B (0,0,0):

3 1 x2 2 y1 3 z

0 4x 8y 4z 0 : x 2y z 0

Ao 2009JUN09, P2.1Sean A, B y C los puntos de interseccin del plano de ecuacin x 4y 2z 4 0 con los tres ejescoordenados OX, OY y OZ, respectivamente. Se pide calcular razonadamente:

a) El rea del tringulo ABC. (1,1 puntos).b) El permetro del tringulo ABC. (1,1 puntos).c) Los tres ngulos interiores del tringulo ABC. (1,1 puntos).Resolucin:

a) Calculemos los puntos A,B y C:A tiene sus coordenadas y 0 , z 0. B tiene sus coordenadas x 0, z 0 y C tiene sus coordenadas x 0 , y 0

A x 4 0 2 0 4 0 x 4 A 4, 0, 0

B 0 4 y 2 0 4 0 4y 4 B 0, 1, 0

C 0 4 0 2z 4 0 2z 4 C 0, 0,2

Para calcular el rea obtendremos los vectores CA y CB. El mdulo de su producto vectorial es el readel paralelogramo que generan los 2 vectores.

El rea del tringulo pedido es la mitad del rea del paralelogramo citado.

-11-


CA 4, 0, 2

CB 0, 1, 2 rea ABC 12 CA CB

12

i j k4 0 20 1 2

12 |2,8, 4| 12 22 82 42 12 84 21

b) Tenemos que calcular las medidas de los lados, que son

CA , CB , AB

CA 42 02 22 20 2 5 ; CB 02 12 22 5 ; AB 42 11 02 17

Permetro ABC 2 5 5 17 3 5 17 10. 831

c) El ngulo sobre el vrtice A viene determinado por

AC 4, 0,2 ; AB 4, 1, 0.

cosA AB ACAB AC

16 0 017 2 5

885

A arccos 885

29. 805

El ngulo sobre el vrtice B viene determinado por

BC 0,1,2yBA 4,1, 0.

cosB BC BABC BA

0 1 05 17

185

B arccos 185

83. 772

El ngulo sobre el vrtice C viene determinado por

CA 4, 0, 2 ; CB 0, 1, 2.

cosC CA CBCA CB

0 0 42 5 5

25 B arccos25 66. 423

JUN09, P2.2Dados los puntos O(0,0,0) , A(4,4,0) y P(0,0,12) , se pide obtener razonadamente:a) La ecuacin de la recta que pasa por A y es perpendicular al plano de ecuacin z 0 . (1 punto).b) La ecuacin de un plano que cumpla las dos condiciones siguientes:

Pase por P y por un punto Q de la recta de ecuacin x y 4 Sea perpendicular a la recta que pasa por O y Q. (2,3 puntos por hallar uno de los dos planos

solucin).Resolucin:

-12-


a) El plano z 0 tiene por vector normal n (0,0,1). La recta pedida es

x 4y 4z

x 4y 4

b) Sea Q (4,4,). OQ (4,4,). Por lo que el plano pedido tendr como vector normal (4,4,) :La ecuacin del plano tendr la forma 4x 4y z d. Ahora bien, si ha de pasar por P y por Q:

P : 4 0 4 0 12 d 12 dQ : 4 4 4 4 d 32 2 d

Resolvemos por sustitucin:

32 2 12 2 12 32 0.1 8 d1 962 4 d2 48

Entonces las 2 posibilidades para el plano pedido son

1 : 4x 4y 8z 96. y 2 : 4x 4y 4z 48

Simplificadas:

1 : x y 2z 24. y 2 : x y z 12

SEP09, P2.1

Dados los puntos P (3,1,4) y Q (1,0,1) , y el plano de ecuacin : x 2y 2z 5 0 , se pidecalcular razonadamente :

a) La ecuacin de la recta r que pasa por el punto P y es perpendicular al plano . (1,4 puntos).b) La ecuacin de los planos que pasan por el punto P y son perpendiculares al plano . (1 punto).c) La ecuacin del plano que pasa por los puntos P y Q y es perpendicular al plano . (0,9 puntos).Resolucin:

a) Si la recta r es perpendicular a , su vector director ser el vector normal de .: dr (1,2,2).

Con el punto P y el vector dr

r

x 3 y 1 2z 4 2

x 31 y 12

z 42 r :

2x y 7 02y 2z 10 0

b) Los planos buscados son todos aquellos que contienen a la recta del apartado a).

Entonces, se trata de planos que pasan por el punto P y tienen como vectores directores a vr, y a

cualquier otro vector u (u1,u2,u3) :

-13-


Planos pedidos:

x 3 ay 1 2 bz 4 2 c

x 3 1 ay 1 2 bz 4 2 c

0

2b 2cx 2a cy 2a bz 2b 10a 7c 0

siendo a,b,c nmeros cualesquiera, no todos nulos (ya que representan al vector u).Resolucin alternativa:

Dado que se trata de todos los planos que contienen a la recta r, esto se llama el haz de planos de r.El haz de planos se construye realizando una Combinacin Lineal de las 2 ecuaciones generales de larecta r :

m2x y 7 n2y 2z 10 0 2mx m 2ny 2nz 7m 10n 0.

c) Expongo 2 formas de resolucin, la 2 es ms sencilla, aunque es muy til repasar y comprenderambas.

Sea ax by cz d 0 la ecuacin de :

Como contiene a Q a 1 b 0 c 1 d 0 a c d 0Como contiene a P a 3 b 1 c 4 d 0 3a b 4c d 0

Como es perpendicular a , sus vectores normales son perpendiculares:

a, b, c 1,2, 2 a 2b 2c 0

Resolvamos el sistema que hemos obtenido:

a c d 03a b 4c d 0a 2b 2c 0

.

Como no es un sistema cuadrado, lo resolveremos por Gauss.

1 0 1 1 03 1 4 1 01 2 2 0 0 F2 F23F1

F3 F31F1

1 0 1 1 00 1 1 2 00 2 1 1 0

F3F32F1

1 0 1 1 00 1 1 2 00 0 3 5 0

Como tenemos ms ecuaciones que incgnitas, tomaremos d como parmetro:

ec3 3c 5d 0 c 5d3

ec2 b c 2d 0 b 5d3 2d 0 b 2d 5d3

d3

ec1 a c d 0 a c d 5d3 d 8d

3

-14-


La ecuacin del plano queda:

8d3 x

d3 y

5d3 z d 0

donde d puede tomar un valor cualquiera (saldran ecuaciones proporcionales que representan elmismo plano).Si tomamos por ejemplo d 3 : 8x y 5z 3 0.Resolucin alternativa:

Como es perpendicular a , el vector normal de est contenido en (n (1,2,2) ).

As conocemos 2 puntos y un vector de . Restamos los dos puntos y as obtenemos otro vector de :

QP P Q 2, 1, 3.

Construimos ahora el plano con el punto Q (1,0,1) y los dos vectores anteriores:

x 1 1 2y 2 1

z 1 2 3 8x y 5z 3 0.

NOTA: Existira una tercera resolucin posible cogiendo la ecuacin del haz de planos del apartado b),y sustituyendo en ella las coordenadas de Q. Resolvemos los valores de m y n, y con ellos obtenemos laecuacin de .

SEP09, P2.2

Sea el plano de ecuacin : 3x 2y 4z 12 0. Calcular razonadamente:a) Las ecuaciones de los dos planos paralelos a que distan 5 unidades de . (1,2 puntos).b) Los tres puntos A, B y C, interseccin del plano con cada uno de los tres ejes coordenados. (0,6puntos).c) Los tres ngulos del tringulo ABC. (1,5 puntos).Resolucin:

a) Como son planos paralelos a , su ecuacin es : 3x 2y 4z d 0.Dado un punto de , P (4,0,0), su distancia al plano es 5 unidades:

dP, |3 4 2 0 4 0 d|32 22 42

5 |3 4 2 0 4 0 d| 5 29

2 posibilidades:

3 4 2 0 4 0 d 5 29 d 5 29 12 14. 9263 4 2 0 4 0 d 5 29 d 5 29 12 38. 926

As, los planos pedidos son:

-15-


1 : 3x 2y 4z 5 29 12 02 : 3x 2y 4z 5 29 12 0

b) Un punto del eje OX tiene las coordenadas y,z nulas:a, 0, 0 3a 2 0 4 0 12 0 a 4.

El punto de corte con OX es A (4,0,0).Anlogamente,

0, b, 0 3 0 2 b 4 0 12 0 b 6.

El punto de corte con OY es B (0,6,0).

0, 0, c 3 0 2 0 4 c 12 0 c 3.

El punto de corte con OY es C (0,0,3).c) Para calcular los ngulos calculemos los vectores que determinan los lados.

AB B A 4, 6, 0 : AC 4, 0, 3.

Con las 2 expresiones del producto escalar: AB AC :

4 4 6 0 3 0 AB AC cos

cos 16AB AC

1616 36 16 9

1652 5

1610 13

85 13

arccos 85 13

63656

ngulo sobre el vrtice B :

BA 4,6, 0; BC 0,6, 3.

Igual que en el ngulo anterior:

cos 3652 45

362 13 3 5

366 65

665

arccos 665

41909

ngulo sobre el vrtice C :

CA 4, 0,3; CB 0, 6,3

cos 925 45

915 5

35 5

-16-


arccos 35 5

74435

Comprobacin:

63. 656 41. 909 74. 435 180. 0

Ao 2008JUN08, P2.1

Se dan los puntos A(2,1,1) y B(1,0,1) , y la recta r de ecuacin r : x 5 y z 22 . Se pide calcular

razonadamente:

a) El punto C de r que equidista de A y B.b) El rea del tringulo ABC.Resolucin:

a) Como C es un punto de r, vamos a escribir su forma genrica a partir de la ecuacin paramtrica

x 51

y 01

z 22

x 5 ty 0 tz 2 2t

C 5 t, t,2 2t

Ahora se ha de cumplir que

dA, C dB, C AC BC

3 t2 t 12 3 2t2 4 t2 t2 1 2t2

9 6t t2 t2 2t 1 9 12t 4t2 16 8t t2 t2 1 4t 4t2

6t2 16t 19 6t2 12t 17 4t 2 t 12 .

Sustituyendo en las ecuaciones de r obtenemos C

C 5 t, t,2 2t 92 ,12 ,1

Otra forma de resolverlo:

Los puntos que equidistan de A y B forman su plano mediatriz Vamos a obtenerlo:

Sea P un punto cualquiera P(x,y,z),

dP, A dP, B x 22 y 12 z 12 x 12 y2 z 12

x2 4x 4 y2 2y 1 z2 2z 1 x2 2x 1 y2 z2 2z 1

2x 2y 4z 4 0 x y 2z 2 0.

-17-


El punto C que buscamos se encuentra en la interseccin de este plano mediatriz y la recta r

r : x 5 y z 22 r :

x y 52y z 2

As, C es la solucin del sistema:

x y 2z 2x y 5

2y z 2.

Este sistema se puede resolver por Gauss, por Cramer, o expresndolo en forma matricial (as se hacecon calculadora grfica). Has de saber resolverlo de cualquiera de estas formas. Aqu lo resolveremospor sustitucin:

2ec x y 5. 3ec z 2y 2.

Sustituyendo en la ec1:

y 5 y 22y 2 2 2y 1 y 12 .

x 12 5 92 z 2

12 2 1.

Solucin : C 92 ,12 ,1

b) El rea del tringulo ABC resulta ser la mitad del rea del paralelogramo definido por AB y AC.

AB 1,1,2; AC 52 ,32 ,2, reaABC

12 AB AC

AB AC i j k1 1 2

5232 2

1,7, 4 reaABC 12 12 72 42 12 66

JUN08, P2.2Dada la recta r, interseccin de los planos y z 0 y x 2y 1 0 , y la recta s de ecuacin x2 y 1 z 3, se pide:

a) Obtener, razonadamente, las ecuaciones paramtricas de r y s.

-18-


b) Explicar de un modo razonado cul es la posicin relativa de las rectas r y s.c) Calcular la distancia entre las rectas r y s.Resolucin:

a) Para la recta r resolvemos el SCI

x 2y 1 0y z 0

, tomando z , ec2 y

ec1 x 2 1 0 x 1 2 r :x 1 2y z

Para la recta s resolvemos el SCI

x 2y 2y z 4

, tomando y , s :x 2 2y z 4

b) Para analizar la posicin relativa compararemos los vectores directores:

vr 2,1, 1 y vs 2, 1,1 : 22 11

11

Son vectores proporcionales, por lo que tienen la misma direccin. Entonces se trata de rectas paralelaso coincidentes.

Para comprobarlo escogemos un punto cualquiera de la recta r (tomamos 0 y lo llamamos P ) P (1,0,0).Ahora vemos si pertenece o no a s:

s :

1 2 20 0 4

sistema que no tiene solucin para , y por eso P no pertenece a la recta s.

Entonces, las rectas son paralelas.

c) Dado que se trata de rectas paralelas, escogemos un punto cualquiera de la recta r ( P (1,0,0) ) ycalculamos su distancia a la recta s.

Escogiendo un punto cualquiera de s ( Q (2,0,4) ), la distancia de P a s resulta ser la altura delparalelogramo definido por QP y v

s.

Y la altura es el rea ( QP vs

) dividido entre la longitud de la base.( vs

) :

-19-


dP, s QP vs

vs

i j k3 0 42 1 1

22 12 12

|4,5, 3|6

16 25 9

6 506

253

53

5 3

3

SEP08, P2.1

Dados los dos planos 1 : x y z 3 y 2 :x y z 0, se pide calcular razonadamente:

a) El valor de para que los planos 1 y 2 sean perpendiculares y, para este valor de , obtener lasecuaciones paramtricas de la recta interseccin de esos dos planos. (1,5 puntos).b) El valor de para que los planos 1 y 2 sean paralelos y, para este valor de , obtener la distanciaentre los dos planos 1 y 2. (1,8 puntos).Resolucin:

a) Los vectores normales a los planos son v1 (1,1,1) y v2 (1,1,). Los planos sern perpendicularescuando los vectores v1 y v2 lo sean (su producto escalar ha de ser 0).

v1 v2 1 1 0 2.

Vamos a obtener ahora (con 2 ) la recta interseccin de ambos planos:

x y z 3x y 2z 0 F21F1F2

x y z 3

3z 3 r :

x 2 y z 1

b) Los planos sern paralelos cuando sus vectores normales lo sean. Para ser paralelos han de serproporcionales:

11

11

1 1.

Para calcular la distancia entre planos paralelos (con 1), escogemos un punto del plano 1 ( P (1,1,1) ) y calculamos su distancia al plano 2 :

dP,2 |ap1 bp2 cp3 d|a2 b2 c2

|1 1 1 1 1 1 0|

1 1 1 3

3

3 33 3 .

Tambin se puede calcular la distancia del punto al plano con el siguiente procedimiento:

1) Obtenemos la recta al plano 2 que pasa por P :

x 1 y 1 z 1

-20-


2) Obtenemos el punto Q interseccin de la recta y el plano (sustituyendo las coordenadas de un puntode la recta en la ecuacin del plano):

1 1 1 0 1.x 1 1 0y 1 1 0z 1 1 0

Q 0, 0, 0

3) La distancia de P al plano es la distancia de P a Q

dP,2 dP, Q QP 12 11 12 3 .

SEP08, P2.2

Dados el punto O (0,0,0) y el plano : x y z 6, se pide calcular razonadamente:a) La ecuacin de la recta r que pasa por O y es perpendicular al plano . (1,1 puntos).b) Las coordenadas del punto simtrico de O respecto del plano . (1,1 puntos).c) La ecuacin del plano que contiene al eje X y a la recta r. (1,1 puntos).Resolucin:

a) Si es su vector director ser

v 1, 1, 1 r :x

y z

x y z

b) Calculemos primero el punto M interseccin de la recta r y el plano :

6 2 M 2, 2, 2

El punto O que buscamos es

O M OM 2, 2, 2 2, 2, 2 4, 4, 4.

c) Un punto del eje X es O (0,0,0) (de hecho tambin pertenece a la recta r, es el punto de corte deambas rectas)

Un vector del eje X es u (1,0,0) y de la recta r es v (1,1,1). Ya tenemos un punto y dos vectores delplano que buscamos:

:

x 0 y 0 0 z 0 0

x

y z

Para obtener la ecuacin general resolvemos

-21-


x 1 1y 0 1z 0 1

0 y z 0

Ao 2007JUN07, P2.1Dadas las rectas r y s, que se cortan, de ecuaciones

r : x 12 2y 16

2z 36 ; s :

x 32

2y 32

z 14

se pide calcular:

a) El punto P de corte de las rectas r y s.b) Un vector direccional de r y otro de s, y el ngulo que forman las rectas r y s en el punto de corteP.

c) La ecuacin implcita ax by cz d 0 del plano que contiene a las rectas r y s.RESOLUCIN:a) Tomaremos las ecuaciones paramtricas, a partir de punto y vector

r : x 12 y 1/23

z 3/23 ; s :

x 32

y 3/21

z 14

En forma paramtrica:

r :

x 1 2ty 1/2 3tz 3/2 3t

, s :

x 3 2sy 3/2 sz 1 4s

Igualamos las coordenadas

1 2t 3 2s1/2 3t 3/2 s3/2 3t 1 4s

2t 2s 23t s 23t 4s 1/2

t s 13t s 26t 8s 1

1 1 13 1 26 8 1

1 1 10 2 10 14 7

1 1 10 2 10 0 0

2ec : 2s 1 s 12 1ec : t 12 1 t

12 .

Sustituyendo t en las ecuaciones de r (o el valor de s en las ecuaciones de s)

P 2,1, 3

-22-


b) Sean v (2,3,3) y u (2,1,4) los vectores de r y s respectivamente (obtenidos en a) )Con la frmula del producto escalar obtenemos el ngulo que forman:

cos u v

u v

|4 3 12|4 9 9 4 1 16

522 21

0. 23262

arcos0. 23262 76. 55

c) Como el plano contiene a ambas rectas, el producto vectorial de sus vectores directores ser unvector normal al plano:

u v i j k2 3 32 1 4

15 i 14 j 4k 15,14,4

Podemos tomar como vector normal a el vector (15,14,4)

: 15x 14y 4z D 0

Para obtener D sustituimos el punto P, que ha de verificar la ecuacin de

15 2 14 1 4 3 D 0 30 14 12 D 0 D 28

15x 14y 4z 28 0

JUN07, P2.2Dados el punto Q (3,1,4) y la recta r de ecuacin paramtrica r : x 2 3 , y 2, z 1 4, sepide:

a) Hallar la distancia del punto Q a la recta r.b) Justificar que la recta s que pasa por Q y tiene a (1,1,1) como vector direccional, no corta a r.c) Calcular la distancia entre las rectas r y sRESOLUCIN:

a) Procedimiento:1 Obtenemos el plano a r que pasa por Q ().2 Calculamos el punto de corte de recta y plano (P)3 Calculamos la distancia de P a Q.

1) Vector de r : (3,2,4) Plano 3x 2y 4z D 0. Para averiguar D, sustituimos el punto Q

3 3 2 1 4 4 D 0 D 27 : 3x 2y 4z 27 0

2) Para calcular el punto de corte de r y sustituimos las coordenadas de r en la ecuacin de

3 2 3 2 2 41 4 27 0

6 9 4 4 16 27 0 29 29 1

Sustituyendo 1 en las ecuaciones de r : P (1,2,5)

-23-


3)dr, Q dP, Q PQ 22 12 12 6 .

b) Obtenemos la recta s en paramtricas

s :

x 3 ty 1 tz 4 t

Para intentar averiguar el punto de corte, igualamos las coordenadas de ambas rectas: (han de tenerdistinto parmetro):

2 3 3 t2 1 t1 4 4 t

t 3 5t 2 1t 4 3

1 3 51 2 11 4 3

1 3 50 1 40 1 2

1 3 50 1 40 0 6

(3ec) 0 6 .Luego el sistema es Incompatible y por lo tanto no hay punto de corte.c) Para calcular la distancia entre 2 rectas que se cruzan (sabemos que no son paralelas porque susvectores directores no son proporcionales), seguimos el siguiente procedimiento:

1 Obtenemos el plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s (lo llamaremos 1).2 Escogemos un punto cualquiera de s y calculamos su distancia al plano calculado.

1) El vector normal de 1 se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores de r y s (es aambos).

i j k3 2 41 1 1

j k 2i 2, 1,1. 1 : 2x y z D 0

Para averiguar D, sustituimos un punto de la recta r : R (2,0,1)

2 2 0 1 D 0 5 D 0 D 5 1 : 2x y z 5 0.

2) Un punto de s es S (3,1,4) y su distancia al plano viene dado por la expresin

dS,1 |Ax0 By0 Cz0 D|A2 B2 C2

|2 3 1 1 1 4 5|

4 1 1 6

6

6 66 6

SEP07, P2.1

Dado el plano : 2x y 3z 1 0 y el punto Q(2,1,3) , se pide calcular:

-24-


a) La distancia del punto Q al plano .b) El rea del tringulo cuyos vrtices P1, P2 y P3 son los puntos de interseccin del plano con losejes coordenados.c) El volumen del tetraedro de vrtices P1, P2, P3 y Q.RESOLUCIN:a) Utilizamos la frmula correspondiente

dQ, |2 2 1 3 3 1|22 12 32

1314

.

b) Sea P1 el punto sobre el eje OX, entonces P1 (a,0,0).Para que P1 est en el plano ha de cumplir su ecuacin:

2a 0 3 0 1 0 a 1/2 P1 1/2, 0, 0

Anlogamente

P2 0, b, 0 2 0 b 3 0 1 0 b 1 P2 0, 1, 0

P3 0, 0, c 2 0 0 3 c 1 0 c 1/3 P3 0, 0, 1/3

Tomando los vectores P1P3 y P1P2, el mdulo de su producto vectorial resulta ser el rea delparalelogramo que determinan. El tringulo pedido resulta ser la mitad:

A 12 P1P3 P1P2 12

i j k 12 0

13

12 1 0

1213 ,

16 ,

12

1219

136

14

12

1436

12

146

1412

c) El producto mixto de los vectores P1P2, P1P3 y P1Q nos da el volumen del paraleleppedo quegeneran.

Como la base del tetraedro resulta ser la mitad, habr que multiplicar por 1/2.

Adems, como el tetraedro es un cuerpo piramidal, su volumen es 1/3 del prisma correspondiente.

Entonces el volumen pedido es 1/6 del resultado del producto mixto.

V 16

12 1 0

12 013

32 1 3

16 136

1336

SEP07, P2.2

Dados los planos de ecuaciones : 1 : x 2y z 3 0, y 2 : 2x y z 6 0,

-25-


a) Calcular el ngulo que forman los planos 1 y 2 .b) Calcular la ecuacin paramtrica de la recta r, interseccin de los planos 1 y 2c) Comprobar que el plano de ecuacin x y 1 0 es el plano bisector de 1 y 2 , es decir, formaun ngulo /2 con cada uno de los planos 1 y 2.donde es el ngulo obtenido en el apartado a).RESOLUCIN:a) El ngulo entre los plano coincide con el ngulo que forman sus rectas normales. Tomamos losvectores correspondientes:

cos |1, 2, 1 2, 1,1|

1 4 1 4 1 1 36

12 60.

b) Hemos de resolver el sistema formado por sus ecuaciones:

x 2y z 3 02x y z 6 0

, Gauss :1 2 1 32 1 1 6

1 2 1 30 3 3 12

1 2 1 30 1 1 4

Tomando z , y 4 x 5

Solucin:r : 5, 4, :

c) Calculemos el ngulo 1 entre 1 y :

cos1 |1, 2, 1 1, 1, 0|1 4 1 1 1

312

32 3

3 3

6 32 1 30

Y el ngulo 2 entre y 2 :

cos2 |1, 1, 0 2, 1,1|1 1 4 1 1

312

32 2 30

Ao 2006JUN06, P2AEn el espacio se consideran:

La recta r interseccin de los planos de ecuaciones implcitas: x y z 5 y 2x y 2z 2.

Y la recta s que pasa por los puntos P (3,10,5) Y Q (5,12,6) . Se pide:a) Calcular las ecuaciones paramtricas de la recta r y de la recta s.b) Calcular el punto H interseccin de r y s y el ngulo , que determinan r y s.c) Calcular los puntos M y N de la recta r para los cuales el rea de cada uno de los tringulos de

vrtices PQM y PQN es 3 unidades de rea.RESOLUCIN:a) Recta r: Se puede pasar a forma paramtrica resolviendo el sistema

-26-


x y z 52x y 2z 2

F2 F2 2F1 x y z 5y 8

Tomando z t,

y 8, x 8 t 5 x t 3. Solucin r :x t 3y 8z t

Recta s: El vector director ser PQ Q P (2,2,1).

Con el punto P y el vector PQ :

s :

x 3 2ty 10 2tz 5 t

b) Para hallar la interseccin, cambiamos en la recta s el parmetro "t" por "s" e igualamos lascoordenadas.

t 3 3 2s8 10 2st 5 s

Por la Ec2, s 1, y en la ec3 obtenemos t 4.

La ec1 tambin se cumple: 4 3 3 2(1)Sustituimos t 4 en r (o s 1 en s) y tenemos el punto interseccin

H 1, 8, 4

Averiguaremos el ngulo con la frmula del producto escalar:

cos |1, 0, 1 2, 2, 1|

2 3 1

2

22 . arccos

22 45

c) Los puntos M y N tendrn la forma (t 3, 8, t), cada uno con un valor de t distinto.Para calcular el rea del tringulo PQM, hay que calcular

PQ Q P 2, 2, 1, PM M P t 6,2, t 5.

rea 12 PQ PM 12

i j k2 2 1

t 6 2 t 5

12 |2t 8,t 4,2t 8| 12 2t 82 4 t2 8 2t2

-27-


12 4t2 32t 64 16 8t t2 64 32t 4t2 12 9t

2 72t 144 .

Igualamos el valor del rea a 3 y resolvemos:

12 9t

2 72t 144 3 9t2 72t 144 6 9t2 72t 144 36

9t2 72t 108 0 t2 8t 12 0 t 6t 2

Valores que sustituidos en la ecuacin de r nos da los puntos M y N.

M 3, 8, 6; N 1, 8, 2

JUN06, P3ADados los puntos

A 4,4, 9, B 2, 0, 5, C 4, 2, 6, L 1, 1, 4, M 0, 2, 3, N 3, 0, 5

se pide:

a) Calcular la distancia d del punto C al punto medio del segmento de extremos A, B y el rea S deltringulo de vrtices A, B, C.

b) Calcular las ecuaciones implcitas del plano que pasa por los puntos A, B, C y del plano quepasa por los puntos L, M, N.

c) Calcular la ecuacin paramtrica de la recta r interseccin de los planos y y el ngulo quedeterminan los planos y .

RESOLUCIN:a) Calculamos el punto medio de AB

MAB 4 22 ,4 0

2 ,9 5

2 3,2, 7.

d dC, MAB 4 32 2 22 6 72 1 16 1 18 3 2 u.

Para hallar el rea del tringulo necesitamos AB y AC

AB B A 2, 4,4; AC C A 0, 6,3

S 12 AB AC 12

i j k2 4 40 6 3

12 122 62 122 12 324 9 u

2

b) El plano que pasa por los puntos A, B y C, tiene por vector normal

AB AC 12,6,12.

Simplificando podemos tomar

-28-


n 2,1,2 : 2x y 2z D 0

Sustituimos el punto B en la ecuacin del plano

: 4 10 D 0 D 6 : 2x y 2z 6 0

Para calcular el plano LMN, sea P (x,y,z) un punto cualquiera del plano, entonces los vectores

LM 1, 1,1; LN 2,1, 1; LP x 1, y 1, z 4

han de ser linealmente dependientes Entonces su matriz por filas (o columnas) ha de tenerdeterminante 0:

x 1 y 1 z 41 1 12 1 1

5 z y 0. : y z 5 0

c) r : Hay que resolver

2x y 2z 6 0 y z 5 0

Resolvemos el sistema tomando z t

y 5 t 1 ec 2x 5 t 2t 6 0 x t 12 .

r :

x t 12y 5 tx t

Para calcular el ngulo que forman los planos, calculamos el ngulo de sus vectores normales,utilizando la frmula del producto escalar:

cos 2,1,2 0,1,1

9 2 3

3 2 1

2

22 45

SEP06, P2A

En el espacio se consideran:

La recta r interseccin de los planos de ecuaciones implcitas 2x 2y z 9 y 4x y z 42.

Y la recta s que pasa por los puntos (1,3,4) y (3,5,2) . Se pide:a) Calcular las ecuaciones paramtricas de la recta r y de la recta s.b) Justificar que las rectas r y s se cruzan.c) Calcular un vector direccional de la recta t, perpendicular comn a las rectas r y s y calcular el

punto P de interseccin de las rectas s y t.

RESOLUCIN:

-29-


a) Ecuaciones de r : Hay que resolver el sistema

2x 2y z 94x y z 42

Hacemos 1 cero:

2x 2y z 93y 3z 24

2x 2y z 9

y z 8

Tomando z t :

ec2 y 8 t ec3 2x 28 t t 9 2x t 25 x 25 t2

r :

x 25 t2y 8 tz t

r :

x 252 12 t

y 8 tz 0 t

Ecuaciones de s : vector director AB B A (2,8,2) (Llamando A y B a los puntos de s dados)Podemos tomar como vector director (1,4,1), y el punto A (1,3,4)

s :

x 1 ty 3 4tz 4 t

b) Vectores directores de ambas:

r : 12 ,1, 1 vr 1,2, 2; s : vs 1,4, 1.

Como no son proporcionales, no son rectas paralelas, pueden ser secantes o que se crucen.

Intentamos encontrar el punto de corte, para ello igualamos las coordenadas de ambas rectas (llamandos al parmetro de la recta s):

25 t2 1 s

8 t 3 4st 4 s

2s t 234s t 5s t 4

ec3

t s 4 ec2

4s s 4 5

3s 9 s 3 ec3

t 3 4 7

Pero estos valores de s y t no cumplen la 1 ec, por lo que no tiene solucin el sistema y por lo tanto noexixte punto de corte.

As, se trata de rectas que se cruzan.

c) Un vector perpendicular a los vectores de r y s , se puede obtener realizando el producto vectorial de

-30-


los mismos.

1,2, 2 1,4, 1 i j k1 2 21 4 1

6 3 6 2, 1, 2

Como la recta atraviesa perpendicularmente a las rectas r y s, en sendos puntos M y N debe suceder

que MN sea paralelo a (2,1,2). Tomando

M 25 t2 , 8 t, t , N 1 s, 3 4s,4 s

MN 1 s 25 t2 , 3 4s 8 t,4 s t 2s t 23

2 ,4s t 5, s t 4

Para que sean paralelos, sus coordenadas han de ser proporcionales:

2s t 232 2

4s t 51

s t 42

(1 igualdad):2s t 23 16s 4t 20 18s 5t 3

(2 igualdad): 8s 2t 10 s t 4 9s 3t 6 3s t 2

Resolvemos el sistema

18s 5t 33s t 2

s 133 , t 15

Ahora como se nos pide el punto de interseccin con s, sustituimos el parmetro s en la expresin delpunto N :

N 1 s, 3 4s,4 s 163 ,163 ,

13

SEP06, P2B

En el espacio se consideran:

El plano que pasa por los puntos (11,1,2), (5,7,5) y (7,1,2). Y la recta r interseccin de los planos de ecuaciones implcitas x y z 15 y 2x 7y 2z 3.

a) Calcular la ecuacin paramtrica de r y la ecuacin implcita del plano .b) Calcular el punto P interseccin de r y y el ngulo que determinan r y .c) Calcular los puntos M y N de la recta r cuya distancia al plano es igual a 3 u.l.RESOLUCIN:a) Aplicando el mtodo de Gauss a las ecuaciones de r:

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r :x y z 152x 7y 2z 3

x y z 15 9y 27

y 3

Tomamos z t

ec1 x 3 t 15 x 12 t r :x 12 ty 3z t

Plano :

Llamamos A,B,C a los tres puntos respetivamente, obtenemos dos vectores que los unen

AB 6, 6, 3 2, 2, 1; AC 4,2,4 2, 1, 2

Entonces u( 2,2,1 ); v (2,1,2) (proporcionales a AB y AC) tambin son vectores linealmenteindependientes del plano:

Su producto vectorial ser un vector normal al plano

u v i j k2 2 12 1 2

6j 6k 3i 3, 6,6 : 3x 6y 6z D 0

Simplificando : x 2y 2z D 0. Sustituimos el punto A :

11 2 1 2 2 D 0 D 9 : x 2y 2z 9 0

b) Para calcular el punto P, sustituimos las coordenadas paramtricas de un punto de r en :

12 t 2 3 2 t 9 0 9 3t 0 t 3

con lo que sustituimos este valor en la ecuacin de r y ya tenemos P:

P 12 t, 3, tt3 9, 3, 3

Para obtener el ngulo , calcularemos primero el ngulo que forma el vector director de r, dr

(1,0,1) con el vector normal al plano n (1,2,2)

cos |1, 0, 1 1, 2,2|

2 3

|3|3 2

12

22 45.

Ahora, 90 45.

c) Como M y N son puntos de la recta r tienen la forma (12 t, 3, t)La distancia de a uno de estos puntos viene dado por la expresin:

|12 t 2 3 2t 9|1 22 22

|9 3t|

3 |3 t| |3 t| 3

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3 t 33 t 3

t 0t 6

Valores que nos dan los puntos M y N.

M 12, 3, 0; N 6, 3, 6

Ao 2005JUN05, P2ASe considera el plano : y z 12m 0 (m parmetro real) y las rectas

u :x 1y z

, v :x 2y 2z

, w :x 3y 3z

Sean A, B y C los puntos de interseccin de con u,v y w respectivamente.

a) Calcular las coordenadas de A, B y C en funcin de m.b) Hallar los valores de m para los que el rea del tringulo ABC es 1 u.a.RESOLUCIN:a) Sustituimos las ecuaciones de la recta u en el plano :

y y 12m 0 y 6m. A 1, 6m, 6m

De la misma forma,

B 2, 8m, 4m y C 3, 9m, 3m.

b) Calculamos

AB B A 1, 2m,2m; AC C A 2, 3m,3m

Con lo que el rea del tringulo se calcula as:

reaT 12 AB AC 12

i j k1 2m 2m2 3m 3m

12 |0,m,m|

Por tanto,

12 |0,m,m| 1 |0,m,m| 2 2m2 2 m 2 .

JUN05, P2BHallar las ecuaciones de los planos que pasan por el punto ( 7, 2, 3 ) y tales que las proyeccionesperpendiculares del origen sobre dichos planos son puntos de la recta (x,y.z) (0,4,1) t (1,0,0)RESOLUCIN:

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Un punto cualquiera (punto genrico) de la recta (la llamaremos r) es P(t,4,1).

Si la proyeccin perpendicular de O sobre el plano es un punto P de r, entonces PO (t,4,1) es unvector perpendicular al plano.

As, la ecuacin del plano tendr la forma

tx 4y z D 0.

Como Q (7,2,3) es un punto del plano, cumplir su ecuacin:

t7 4 2 3 D 0 D 7t 5

Y la ecuacin del plano queda:

tx 4y z 7t 5 0

Adems tambin P es un punto del plano, por lo que se verifica:

t t 4 4 1 7t 5 0 t2 7t 12 0 t 3t 4

Por lo que encontramos 2 planos que son soluciones de las condiciones pedidas:

3x 4y z 26 04x 4y z 33 0

SEP05, P2A

Un paraleleppedo rectangular (ortoedro) tiene tres de sus aristas sobre las rectas:

l :x 0y 0

, m :x 2y 0z 0

, y n :2x y 0z 0

y uno de sus vrtices es (12,21,11). Se pide:a) Hallar los vrtices restantes b) Calcular su volumen.

RESOLUCIN:a) Las rectas expresadas en paramtricas quedaran:

l : 0, 0, t; m : 2u, u, 0; n : v,2v, 0.

Igualando las coordenadas, podemos comprobar que las tres rectas se cortan en (0,0,0).Multiplicando sus vectores directores ( (0,0,1) ; (2,1,0) ; (1,-2,0) ) concluimos que son perpendicularesTambin podemos comprobar que el punto (12,21,11) no pertenece a ninguna de las rectas.

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Llamamos a los vrtices como indica la figura.Entonces

A 0, 0, 0; E 0, 0, t; D 2u, u, 0; B v,2v, 0

(valores de t,u,v por determinar)

C AC AB AD 2u v, u 2v, 0

Anlogamente

F v,2v, t; H 2u, u, t

Por eliminacin G (12,21,11).

Ahora AE CG, por lo que

G C 0, 0, t C G 0, 0, t 12, 21,11 t.

Igualamos las coordenadas de C con las obtenidas anteriormente:

2u v 12u 2v 210 11 t

Obtenemos t -11, v -6, u 9. As:

A 0, 0, 0; E 0, 0,11; D 18, 9, 0; B 6, 12, 0;

C 12, 21, 0; F 6, 12,11; H 18, 9,11; G 12, 21,11

b) Para obtener el volumen basta con calcular:

V AB, AD, AE 6 12 018 9 00 0 11

594 u2

SEP05, P2B

Dados los planos : 5x y z 0 , : x y z 0 y el punto P(9,4,1) , determinar:a) La ecuacin del plano que pasa por P y es perpendicular a y .

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b) El punto simtrico de P respecto de la recta r, interseccin de los planos y .RESOLUCIN:a) Si es perpendicular a y a entoces su vector normal lo obtendremos con el producto vectorial delos vectores normales a y .

5,1,1 1, 1,1 i j k5 1 11 1 1

2, 4, 6.

Tomaremos el vector (1,2,3), que es proporcional y por tanto tiene la misma direccin.La ecuacin del plano ser

x 2y 3z D 0

Como contiene al punto P(9,4,1):

9 2 4 3 1 D 0 D 14

y as

x 2y 3z 14 0

b) Llamemos P al punto simtrico, que deber encontrarse en el plano calculado en el apartado a).Para calcular la recta r como intersecin de y hay que resolver el sistema

5x y z 0x y z 0

Naturalmente es SCI, y tomando z t, obtenemos

r :

x t3y 2t3z t

En la interseccin del plano de a) con la recta r encontramos el punto M, punto central o punto mediode P y P.

Calculemos M: Sustituimos las coordenadas paramtricas de un punto de r en la ecuacin del plano:

x 2y 3z 14 0 t3 22t3 3t 14 0

t 4t 9t 42 0 14t 42 t 3.

Por lo que hallamos el punto M sustituyendo t 3 en las ecuaciones de r:

M 33 ,2 3

3 , 3 1, 2, 3.

Dados P y M, se halla P as:

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P M PM 1, 2, 3 1, 2, 3 9, 4,1 7, 0, 7

Ya que PM M P.

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