segundo parcial de matematica del cbc

Modelos de Parciales, cátedra Gutierrez, CBC, UBA. Pág. 1

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Segundo Parcial: Matemática

(1) Paternal: 2000

1) Si 143)( +−= xxf x escribir la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de

abscisa x = 3.

2) Dada la función xxx ef 3)(

3 −= hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y

mínimos locales y hacer un gráfico de f.

3) Calcular ∫ + dxsenxx )2.(

4) Hallar el área encerrada por los gráficos de: y = x + 1; y = − 4x − 3 y el eje y.

Respuesta: 1) 23 x – 8 y = 37;

2) Máximo: (– 1; f(-1)), Mínimo: (1; f(1)), intervalo de Crecimiento: (− ∞, −1) ∪ (1, + ∞), intervalo de decrecimiento: (–1; 1).

3) x2 – x cos x + sen x + c 4) Área: 1,8.

← Gráfico (2).

(2) Paseo Colón: 1999

1) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos de la función: x

x exf 23)( .=

2) Sea f: [0, π] → R, dada por f(x) = x – sen (2x). Determinar para que valores de xo la recta tangente del gráfico de f en Po = (xo; f(xo)) es paralela al eje x y dar la ecuación de dicha recta para cada valor de xo

3) Calcular ∫ =+− dxxx ]2)1.([ 2

4) Hallar el área de la región limitada por la parábola y = x2 – 2x – 3 y la recta y = − x –1

Respuesta: 1) Mín.: (– 3/2, f (– 3/2)); intervalo de Crecimiento: (– 3/2 , + ∞); Intervalo de decrecimiento: (−∞,– 3/2), Punto de inflexión: (0, f(0)).

2) π/6 , y = 29,134 3) cxxx ++− 232

72 37 ,

4) Área: 4,5.

← Gráfico del ej. 4.

- 4 - 2 0 2 4

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

Modelos de Parciales, cátedra Gutierrez, CBC, UBA. Pág. 2

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(3) Paseo Colón: 1998

1) Hallar máximos, mínimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 3

12)( +−

=x

xf x

2) Determinar el valor de a para que la pendiente de la recta tangente al gráfico de )ln( 2

)( axxf x += en el punto (1, f(1) ) sea igual a 3.

3) Calcular: ∫ =+ dxex x .).1( 2

4) Hallar el área encerrada entre el gráfico de f(x) = sen x; el eje x y las rectas π=π−= 2y2

xx .

Respuesta: 1) Mínimo: (-1, f(-1)); Máximo: (3, f(3)); Intervalo de crecimiento: (-1, 3); Intervalo de

decrecimiento: (−∞, −1)∪(3, +∞). 2) a = – ½ ; 3) ( ) cxe x ++212

21 ; 4) Área: 6.

(4) Ciudad Universitaria: 1997

1) Hallar todos los puntos para los cuales la recta tg al gráfico de la función xx

f x 61

)( += es

paralela a la recta de ecuación: y = −3x + 5 2) Hallar dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos locales de

3)( −−= xxf x

3) Calcular ∫ dxxx )3sen( . 4) Hallar el área de la región encerrada por los gráficos de f(x) = (x – 2)2 y g(x) = 2 x + 4

Respuestas: 1)(– 1/3, f(– 1/3)); (1/3, f(1/3); 2) Dominio: [3, + ∞), Mínimo: (3,25; f(3,25)), Intervalos de

Decrecimiento: (3; 3,25), Intervalo de Crecimiento: (3,25; + ∞). 3) cxxx ++− 3sen3cos.91

31 4)

Área: 36.

(5) Paseo Colón: 1996:

1) Hallar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos locales de la función f(x) = ln (x 2 + 5) graficar. 2) Hallar los puntos de la gráfica f(x) = x3 – 10 x 2 en los que la recta tangente tiene pendiente – 12. 3) Calcular dxxx 4.∫ −

4) Hallar una función f cuya gráfica, por el punto )1;2

( −π verifique f ’(x) = 1 – cos x

Respuestas: 1) Dominio: R, Mínimo: (0, ln5), Intervalo de Crecimiento: (0, + ∞), Intervalo de

Decrecimiento: (− ∞, 0). 2) (6, - 144) y ( 2/3 , -118/27). 3) ( ) cxxx +−−− 51543

32 )4(4

4) 2

sen)(π−−= xxf x

Segundo Parcial, Matemática, Cátedra Gutierrez

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Segundo parcial de Matemática

Cátedra Gutiérrez

Paternal: 2000

1. Si 423)( +−= xxf x escribir la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de

abscisa x = 3.

2. Dada la función xxx ef 18)(

3−= hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento máximos y

mínimos locales y hacer un gráfico de f.

3. Calcular ∫ + dxxx )cos4.(

4. Hallar el área encerrada por los gráficos de: y = x + 5; y = − 3x − 2 y el eje y.

1. La recta tangente se expresa como: y = m x + b ; donde m (pendiente de la recta) es la derivada de la función en el punto indicado en el ejercicio.

- .Lo primero que se debe hacer es derivar la función: )23.(422

1´ 2

3)( −

+−= x

xxf x

- .Hallamos 25

)23.3.(43.232

1´ 2

3)3( =−

+−=f (la pendiente de la recta) m = 5/2

- .Ahora nos conviene hallar el punto en cuestión. 543.233)3( =+−=f P = (3; 5)

- .Con el punto P y la pendiente puede hallarse la recta: 25

25 −= xy

2. Lo primero que debe hacerse es derivar la ecuación e igualarla a cero para poder aplicar el teorema de “Bolsano” y hallar los máximos y mínimos de la función.

)183.(´ 218)(

3−= − xef xx

x → 3x2 – 18 = 0 → x2 = 9 → x = 3 y x = − 3. (sólo se despeja el

polinomio ya que la función exponencial no puede dar cero).

- 3 30´ )3( >−<xf 0´ )3 3( <<<− xf 0´ )3( >−<xf

creciente crecientedecreciente

Máximo Mínimo

Intervalo de crecimiento: (− ∞, −3) ∪ (3, + ∞)

Segundo Parcial, Matemática, Cátedra Gutierrez

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Intervalo de crecimiento: (− 3, 3)

3) Para integrar debemos aplicar el método “por partes”

∫∫ −= duvvudvu . . .

{

cxxxxxxv

dxxdv

dxdu

xu

cxxxxxdxxxxxxdxxxdvu

+++=+=+=

==

=++−+=+−+=+ ∫∫

cossen .2sen 4

)cos4(

cos2sen .4 )sen 4()sen 4.( )cos4.(

2

2243421

4.

El área queda determinada entre y = x + 5 (techo) y y = − 3x – 2 (piso)

125,6)]75,1(7)75,1.(2[0

72 )74( )23()5(

2

0

75,1

20

75,1

0

75,1

=−+−−=

=+=+=−−−+−

−−∫∫ xxdxxdxxx

El área es de 6,125.

- 1,75

Matemática – Segundo Parcial – Cátedra Gutiérrez – CBC – Pág. 1

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Segundo Parcial: Cátedra Gutiérrez

(1) Segundo Parcial: Ciudad 1er Cuatrimestre 01 Tema 1.

Ejercicio1: Dada 2

19)( −

+=x

xf x , hallar: dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y

mínimos relativos y asíntotas.

asíntotas.

Ejercicio 2: Si f(x) = 1 + 2α cos (x), determinar α ∈ R para que la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa xo = 0. sea paralela a la recta de ecuación y = 3x + 2

Ejercicio 3: Calcular: ∫

++ + dxex xx ).1(2 622 3

Ejercicio 4: Hallar el área de la región del primer cuadrante limitada por los ejes coordenados y la parábola y = x2 – 6x + 9

Respuesta.:

1) Dom: R – {2}; Máximo: (– 1, f(– 1)) ; Mínimo: (5, f(5)); Int. de Crec.: (− ∞, − 1) ∪ (5, + ∞) Int. de decrec.: ( – 1, 2) ∪ (2, 5); A. V. = {2}; A. H. = {0}

2) α = 1 3) cexdxex xxxx ++=

++ ++∫ 62

61622 33

2 ).1(2 4) El área determinada es 9.

(2) Matemática: 1er Cuat. 2001 – Sede Merlo

En cada ejercicio escriba todos los razonamientos que justifican la respuesta.

1) Sea f(x)= 4

5−+

xkx

Hallar k ∈ R de modo que f`´(5) =7.

2) Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos de

f(x) = x4 – 8 x2+ 16 x2 – 1. Graficar aproximadamente.

3) Calcular ∫+

dxx

x

63 2

4) Calcular el área comprendida entre las curvas: y = ex; y = e2; x = 0.

Respuesta:

1) k = 13 2) (gráfico al costado) Máximo: (2, 15); Mínimo: (0, – 1); Mínimo: (4, – 1) Int. De Crec.: (0, 2) ∪ (4, + ∞) ; Int. De decrec: (− ∞, 0) ∪ (2, 4)

3) cxdxx

x ++=+

∫ 6363

231

2

4) 12022

0

2

0

−=−==∫ eeeedxe xx

Matemática – Segundo Parcial – Cátedra Gutiérrez – CBC – Pág. 1

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Segundo Parcial: Cátedra Gutiérrez

1. Sea f(x) = 5x2 ln(2x–1). Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa x = 1.

2. Sea 12)5( 2

)( −+=x

xf x . Hallar dominio, ecuaciones de las asíntotas, intervalos de crecimiento y de

decrecimiento, máximos y mínimos relativos de f.

3. Calcular ∫ +.

))4cos(5(

)4sen(2

dxx

x

4. Hallar el área de la región del plano limitada por las rectas y = 12x – 4; x = 0 y el gráfico de la función f(x) = 6x2 + 2.

Respuesta:

1. f(x) = 5x2 ln(2x–1). La derivada: f ’(x) = 10x.ln(2x–1) + 12

10 2

−xx

El punto es f(1) = 0 ó (1, 0). La pendiente: m = f ’(1) = 10. La ecuación de la recta tangente es: y = 10x – 10.

2. 12)5( 2

)( −+=x

xf x . La derivada:

2

2

)()12(

6022'

−

−−=x

xxf x

Dominio: R – {½}; Asíntotas horizontal = {½};

Int. Crec.: (– ∞, – 5) ∪ (6, + ∞); Int. Decrec.: (– 5, ½) ∪ (½, 6); Máx. (– 5, 0); Mín.: (6, 11).

3. ∫ ++

=+

cx

dxx

x)4cos(5(

1.

))4cos(5(

)4sen(41

2 (se resuelve por el método de sustitución)

xxx 662 23 +− 4. El intervalo de integración es [0, 1].

[ ] 202662)412()26(

1

0

1

0

232 =−=+−=−−+∫ xxxdxxx

Segundo parcial – Matemática – CBC – Gutiérrez

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Segundo Parcial Matemática

Cátedra Gutiérrez

(1) Matemática – 2º Parcial – 2° Cuat. 2005

1) Sea f(x) = ln (ax+2). Hallar a ∈R para que la recta tangente al gráfico de f en el punto xo = 3 tenga pendiente m = 4.

2) Sea f(x) = ex (x2 + 6x – 26). Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y mínimos locales de f.

3) Calcular

4) Hallar el área de la región encerrada por las curvas: y = x – 8; y = 9/x; x = 1

Respuestas

1) a = – 8/11 Derivar la ecuaci ón, reemplazar el valor de x e igualar a 4. Así vas a poder despejar a.

2) f’(x) = ex (x2 + 6x – 26) + ex (2x + 6). El dominio de la funci ón son todos los reales.

Derivar, igualar a cero y despejar x. Después al aplicar Bolzano podrás calcular los intervalos que te piden.

Min relativo x = 2; Max relativo x = – 10 Intervalo de Crecimiento = (– ∞, -10) ∪ (2, + ∞ ) Intervalo de Decrecimiento = (– 10, 2) 3) Es una integral por partes. F(x) = 1/5 (x+4) sen (5x) + 1/25 cos (5x) +C

4) Punto de intersecci ón: 9 (el 1 no es intersecci ón pero como es dato se debe tomar en cuenta)

Queda determinada un área entre 1 y 9 donde y = 9/x es el techo y el piso es y = x – 8.

Área = 3,77


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Cátedra Gutiérrez


1) Sea f(x) = (x3 – 3x2 + 6)1/2. Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en xo =1.

2) Sea .

Hallar Dominio de f(x), ecuaciones de las asíntotas, máximos y mínimos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento y hacer un gráfico aproximado.

3) Calcular

4) Hallar el área encerrada por las curvas y = x2 + 3; y = – x2 + 3 para x ∈[–1; 2].

Solución:

1) P = (1, 2) Recta Tg: y = – ¾ x + 11/4

2) Dom: R – {– 2, 2} AV: x = – 2, x = 2 AH: y = 0 Mín: 1, Máx: 9. (El gráfico queda por tu cuenta…)

3) f(x) = 5/6 x 6/5 + ¼ ln (x4 + 1) + c

4) Punto de intersecci ón: 0, quedan determinadas dos áreas una entre – 1 y 0, la otra entre 0 y 2.

Valor del Área: 6

CBC – Matemática – Cátedra Gutiérrez – Segundo Parcial 2005 Pág. 1

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Segundo Parcial de Matemática

Segundo cuatrimestre 2005. – Cátedra Gutiérrez

1) Hallar todos los puntos del gráfico de f(x) = ln (3x2 + 4x + 2) donde la recta tangente tiene pendiente igual a 2.

2) Hallar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos de la función:

3) Calcular:

4) Calcular el área de la región comprendida entre los gráficos de: f(x) = 3/x; y = 9; x = 3.

________________________________________________________________________________

Solución:

1) Tenés que derivar, igualar a dos y despejar x. Una vez que tenés el valor de x, buscás la imagen correspondiente en la ecuación original, la primitiva.

Los puntos: (0; ln2); (– 1/3, 0)

2) Dom: R – {– 5}; Mínimo: {– 3} no hay máximos.

Intervalo de crecimiento: (– ∞, – 5) ∪ (–3, + ∞ )

Intervalo de decrecimiento: (– 5, –3)

3) Aplicando método por partes. (Cómo me di cuenta que era por partes? Sencillamente la derivada de una no te da la otra. No se puede aplicar sustitución.)

(x + 5) ex – ex + c = x ex + 4 ex + c

4) Lo primero que se debe hacer es igualar las ecuaciones para ver cuales son los puntos de intersección, esos serán los límites de integración.

Lo fundamental es ver cual es el techo y cual es el piso, para ello podés hacer una pequeña trampita. Tomá un valor intermedio entre los que hallaste al igualar las ecuaciones (1 y 1/3 en este caso) y lo reemplazas en cada una de las ecuaciones. Así vas a saber quien está más arriba, techo, y quien está más abajo, piso. Después integrás y reemplazás los valores. Ojo el resultado final no puede ser negativo.



Cátedra Gutiérrez


1) Sea f(x) = 3eax + b, determinar a y b de manera que la recta y = 9x + 2 sea tangente de f en el punto de abscisa xo = 0.

Rta. El punto es P = (0, 2) y a = 3 b = – 1 (recomendación, calcular el punto con la recta.)

2) Sea f(x) = 5x + 104

5−x

hallar dominio de f, intervalos de crecimiento y decrecimiento,

extremos locales y ecuaciones de las asíntotas.

Rta. Dominio: R – {5/2} A.V. x = 5/2 A.H. no existe

Intervalo de crecimiento: (– ∞, 2) ∪ (3, + ∞)

Intervalo de decrecimiento: (2, 5/2) ∪ (5/2, 3)

Máximo: {2} Mínimo: {3}

3) =−∫ dxxx )cos()42(

Rta. Se resuelve por partes. (2x – 4) es la parte que se deriva y cos x la que se integra.

f(x) = (2x – 4) sen x + ½ cos x + c

4) Hallar el área encerrada entre las curvas y = x2 + 5x – 1, y = 2x + 3

Rta. Los límites de integración son – 4 y 1.

El área: 355/6

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Segundo parcial – Matemática – CBC – Gutiérrez – soko.com.ar

Matemática – 2º Parcial – 1° Cuat. 2008

Cátedra Gutiérrez

Respuesta:

1) k = 4 Recta tangente: y = 19 x + 7

2) Dominio: R – { 4 } Asíntota vertical: x = 4, asíntota horizontal: no hay.

Crece: (– ∞, 1) (9, + ∞) Decrece: (1, 9) Máximo: x = 1 Mínimo x = 9 ∪

3) Se resuelve mediante el método de sustitución: f(x) = 32

211 +xe

4) ( ) ( ) =−+− ∫∫ dxxdxx25

16160

44 26


UBA XXI – CBC – Matemática – Segundo parcial – soko.com.ar

UBA XXI

Matemática – 2º Parcial – 2° Cuat. 2008

1) En la gráfica está representada la función derivada f ’ de f.

a) Determinar los intervalos de decrecimiento.

b) Indicar máximos y mínimos.


Rta.: a) ( ) ),3(0, +∞∪∞−

b) Máximo: x = 3, Mínimo x = 0

(ojo 6 es punto de inflexión)

2) En una ciudad el nivel de contaminación de N presente en la atmósfera en cierto tiempo

(medidos en horas) está dada por la expresión: 240 ,1)4(

52)( ≤≤+−

= tt

N t

a) En qué período del día el nivel de contaminación disminuye?

b) ¿En qué instante es el máximo nivel de contaminación?

c) ¿Cuál es ese nivel?

Rta.: a) Disminuye en el intervalo (4, 24)

b) Es máximo en t = 4

c) N(4) = 5

3) Hallar la ecuación de la recta tangente de la función en el punto que se indica.

21. 2)( −= xxf x en xo = 11

Rta. : 10

13311021

+−= xy

UBA XXI – CBC – Matemática – Segundo parcial – soko.com.ar

4) Hallar el área comprendida entre los gráficos 2)(

214

xxf x

+= , x = 2, x = 4. Represente la

gráfica.

Rta.: Se resuelve por sustitución.

=+

∫ dxx

x4

2221

4 ln 33 – ln 9 = ln (11/3)

5) Integrales.

a) =∫ xdxx ln.4

b) =∫−

dzz

e z

2

14

Rta.:

a) Por partes: kxxxxdxx +−=∫ 4 54 542516ln.

54ln.

b) Por sustitución: kedzz

e zz

+= −−

∫ 1414

41

2


segundo parcial de matematica del cbc

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