Secuencia II
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SECUENCIA DIDCTICA II
Geometra Plana
BLOQUE II: Polgonos y circunferencia
2.1. Polgonos2.1.1. Definicin y clasificacin de polgonos.
Objetivo:El estudiante aprender a definir y clasificar los polgonos de acuerdo a sus
propiedades y elementos.
Definicin: Es una figura plana, cerrada y simple formada por segmentos que no se
corta a s mismos, proviene del latn poli que significa muchos y de gonos que significa
ngulos, que pudiera traducirse como una figura de muchos ngulos.
Clasificacin de los Polgonos
Los polgonos se pueden clasificar siguiendo diferentes criterios:
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Actividad.
Con la la investigacin que realices tanto en internet como en algunos libros,
contesta lo siguiente:
Describe las caractersticas de cada uno de los polgonos que a continuacin serelacionan.
a) Convexo: ____________________________________________________
b) Concavo:____________________________________________________
c) Regular: _____________________________________________________
d) Dar tres ejemplos de polgonos regulares: __________________________
e) Irregular: _____________________________________________________
f) Dar tres ejemplos de polgonos irregulares: _________________________
g) Equiltero: ___________________________________________________
h) Equingulo: __________________________________________________
i) Dibuja un polgono convexo. K) Dibuja un polgono cncavo.
______________________ _______________________
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Ejercicio 12.
Con la investigacin que realices tanto en internet como en algunos libros,
relaciona el nombre que corresponde al nmero de lados de los siguientes polgonos.
1) Dodecgono ( ) 6 lados
2) Heptgono ( ) 20 lados
3) Octodecgono ( ) 4 lados
4) Pentacontgono ( ) 90 lados
5) Cuadriltero ( ) 7 lados
6) Hectgono ( ) 8 lados
7) Hexgono ( ) 19 lados
8) Pentgono ( ) 100 lados
9) Icosgono/Isodecagono ( ) 18 lados
10) Octagono ( ) 12 lados
11) Eneadecgono/Nonadecagono ( ) 5 lados
12) Eneacontgono ( ) 50 lados
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2.1.2. Elementos de los polgonos.
Objetivo:El estudiante conocer los elementos de un polgono, investigndolos en
libros y/o internet.
Actividad.Investiga los elementos del siguiente polgono.
Ejercicio 13.
Con lo aprendido hasta ahora contesta las siguientes cuestiones:
1) Los elementos de un polgono son: lados, vrtices. Cul es el elemento que falta y
que est sealado con una flecha?
a) ngulo internob) ngulo externoc) ngulo recto
2) Es el polgono ms sencillo.
a) tringulo b) pentgono c) enegono
vrticelado
G: _____________________________
k: ______________________________
g: ______________________________
c: ______________________________
E: _____________________________
____________________________
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3) Son los polgonos con sus lados y sus ngulos iguales.
a) irregulares b) regulares c) convexos4) Es el punto donde se cruzan dos lados consecutivos de un polgono.
5) Son los lados de un polgono
que se unen en el mismovrtice.
a) Opuestos b) colaterales c) consecutivos
6) Es el segmento que une dos vrtices no contiguos de un polgono.
a) Diagonal b) eje de simetra c) radio
7) La siguiente figura es un ejemplo de un polgono
a) Recto b) cncavo c ) convexo
8) El tringulo equiltero es un ejemplo de polgono
__________________________________________________________________
9 ) Tetradecgono es un polgono de __________ lados
10) Octacontgono es un polgono de __________ lados
2.1.3. Propiedades de los Polgonos
Objetivo:El estudiante determinar los elementos de un polgono mediante la
aplicacin de algunas frmulas geomtricas.
Calculo de elementos fundamentales de un polgono.
a) Suma de ngulos interiores de cualquier polgono: 2180 nSi
b) Un ngulo interior de un polgono regular: n
ni
2180
.
c) Suma de ngulos exteriores de cualquier polgono: .
d) Un ngulo exterior de un polgono regular:
.
e) Un ngulo central de un polgono regular:
.
a) punto medio b) centro c) vrtice
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f) Nmero de diagonales que se pueden trazar desde todos los vrtices:
.
g) Nmero de diagonales que se pueden trazar desde un vrtice: d = n3.
h) Nmero de tringulos que se forma en cualquier polgono: .
Ejemplo. Resuelve lo que a continuacin se te presenta, aplicando las frmulas antes
enlistadas.
1) Cunto suman los ngulos interiores de un pentgono regular?
Datos Procedimiento Solucina) Si =
b) Pentgono regular
n = 5
c) Frmula: 180(n -2)
a) Sustituir valores en la frmula:
Si = 180(n2) = 180(52) =
Si = 180 (3)
Si = 540
La suma de los ngulos interiores
de un pentgono regular es de
540.
2) Determina el nmero total de diagonales que pueden trazarse en un endecgono
regular.
Datos Procedimiento Solucina) D =
b) Endecgono regular
n = 11
c) Frmula:
a) Sustituir valores en la frmula:
El total de diagonales de un
endecgono regular es de 44
diagonales.
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Ejercicio 14. Resuelve lo que a continuacin se te presenta, aplicando las frmulas
antes enlistadas.
1.- Hallar la suma de ngulos internos de un hexgono.
2.- Cul es el polgono cuya suma de ngulos interiores es de 1260?
3.- Hallar el valor de un ngulo interior de un hexgono regular.
4.- Determinar cul es el polgono regular cuyo ngulo interior vale 135.
5.- Hallar la suma de ngulos interiores de un heptgono.
6.- Hallar el valor de un ngulo exterior de un decgono
7.- Calcular el nmero de diagonales que se pueden trazar desde un vrtice de un
octgono.
8.- Calcular el nmero total de diagonales que se pueden trazar en un polgono de 20
lados.
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9.- Cuantas diagonales se pueden trazar en total en un enegono?
10.-Cunto medir el quinto ngulo? En un pentgono irregular si cuatro de susngulos miden 125, 85,130 y 80.
11.- Calcular el nmero de tringulos que se pueden trazar en los siguientes polgonos:
a) cuatro lados. b) hexgono
c) nueve lados d) pentadecgono
e) 19 lados f) 25 lados
12.- Hallar la suma de ngulos internos de los polgonos anteriores:
a ) _________________________ b ) __________________________
c ) ________________________ d ) __________________________
e ) ________________________ f ) __________________________
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13.- Cul es el nombre del polgono que tiene 12 diagonales ms que lados?
14. Cul es el polgono cuya suma de ngulos interiores es de?:a) 7020 b) 6120
c) 1980 d) 3420
15.- Cul es el nombre del polgono que tiene el doble de diagonales que lados?
16.-Determinar cul es el polgono regular cuyo ngulo interior vale 108
17.- encuentra el valor de las incgnitas en la siguiente figura
a = _________
b = ________
c = __________
Cuadrilteros
c
b b
a
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Es un polgono que tiene cuatro lados.Los cuadrilteros pueden tener distintas
formas, pero todos ellos tienen cuatrovrtices y dosdiagonales.
Los cuadrilteros se clasifican de la siguiente manera:
Actividad. Investiga las caractersticas de cada cuadriltero.
a) Paralelogramo: ________________________________________________
b) Trapecio: ____________________________________________________
c) Trapezoide: __________________________________________________
d) Paralelogramos rectngulos: _____________________________________
e) Paralelogramos oblicungulos: ___________________________________
http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuatrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Diagonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Diagonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuatrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono -
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f) Cuadrado: Paralelogramo que tiene todos sus lados iguales, cuatro ngulos
iguales y rectos.
g) Rectngulo: __________________________________________________
h) Rombo: ______________________________________________________i) Romboide: ___________________________________________________
j) Trapecio rectngulo: ___________________________________________
k) Trapecio issceles: ____________________________________________
l) Trapecio escaleno: _____________________________________________
m) Trapezoides simtricos: _________________________________________
n) Trapezoides asimtricos: ________________________________________
o) Con tu juego de geometra y en papel milimtrico, traza los siguientes
cuadrilteros: cuadrado, rectngulo, rombo, romboide, trapecio (rectngulo,
issceles y escaleno) y trapezoides (simtricos y asimtricos).
Elementos de los cuadrilteros.
Investiga los elementos del siguiente cuadriltero.
< B: ______________________________
Cuntos? __________________________
< BDE: ____________________________
Cuntos? __________________________
d: Lados.___________________________
Cuntos? ___4______________________
_______________________________
Cuntos? __________________________
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Ejercicio 15. Con lo que aprendiste con el tema de cuadriltero, subraya la respuesta
de cada cuestin.
1) Las bases de los trapecios son paralelas y de diferente longitud. Por el nmero de
lados, los trapecios se clasifican como ____?
a) tringulos b) pentgonos c) cuadrilteros
2) Los RECTANGULOS son figuras geomtricas planas formadas por cuatro lados.
Cmo son los lados opuestos?
a) todos diferentes b) perpendiculares c) iguales y paralelos
3) Este cuadriltero es un trapecio. Cmo se llama el lado AB?
a) base menor b) base mayor c) eje de simetra
4) Los rectngulos tienen 4 ngulos internos. Cunto mide cada uno?
a) 45 b) 100 c) 90.
5) Los trapecios issceles tienen dos lados de igual longitud, cules son?
a) los que unen las bases b) los que unen los vrtices opuestos c) las bases
6) Los cuadrados tienen cuatro ngulos internos iguales. Cunto mide cada uno?
a) 180 b) 45 c) 90
A B
D C
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7) Qu es un paralelogramo?
a) Polgono de cuatro lados iguales dos a dos.
b) Polgono de cuatro lados paralelos dos a dos.
c) Polgono que tiene dos pares de lados consecutivos.
2.2. Circunferencia.
2.2.1 Definicin de circunferencia.
Objetivo:El alumno analizara la definicin de una circunferencia.
Definicin:La Circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos estn en un mismo
plano. Todos estos equidistan de otro punto llamado centro de la circunferencia. El
Crculo es la superficie definida, encerrada, por una circunferencia.
2.2.2 Elementos de la circunferencia.
Objetivo: El estudiante conocer los elementos de una circunferencia y los podr
identificar en otras circunferencias.
Investiga tanto en Internet como en libros los elementos de una circunferencia, a
completa lo que a continuacin se te presenta, de acuerdo a la figura.
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Nombre Concepto :
:
:
:
:
:
2.2.3. Propiedades de la circunferencia.
Objetivo:El estudiante conocer las propiedades de la circunferencia y los aplicara en
la resolucin de ejercicios.
ngulos en la circunferencia
Consulta en Internet y en libros de geometra los ngulos que se forman en una
circunferencia, as como la frmula con que se obtiene el valor de cada ngulo.
ngulos Figura Frmula redactadaCentral:
Inscrito:
Semiinscrito:
Interior:
Exterior:
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Ejercicio 16. Resuelve los siguientes ejercicios de ngulos que se forman en una
circunferencia aplicando sus elementos y sus propiedades.
1) O centro de la circunferencia, BAC=30 EOC=40. Calcular EDB
SiBAC=30 arco BC = ______
Si EOC=40. arco CE = ______
As que arco BE = ______
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En base en el siguiente esquema resuelve:
c a A
5) Si arco a = 15 angulo A = 25 arco c = _______
6) Si arco c = 90 y arco a = 40 < A = _______
7) Si arco c = a + 40 < A = _______
8) Si arco c = 135 y angulo A = 40 arco a = _______
9) Si arco c = 3 a y ngulo A = 25 arco a = _______
En base en el siguiente esquema resuelve:
CB
yx
D E A
10) Si BD = 26 y CA = 96. Calcular la medida del < x ____________
11) Si AC = 90 y BD = 70. Calcular la medida del < x ____________
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En base en el siguiente esquema resuelve:
CB
yx
D E
A
12) Si < x = 60 y DA = 160. Calcular la medida del arco BC ____________
13) Si < y = 72 y AD = 2 BC. Calcular la medida del arco BC ____________
14) Si < y = 110 y AC = 100. Calcular la medida del arco BD ____________
Si ABC es un tringulo inscrito como se ilustra, hallar
15) Si arco a = 100 y arco c = 200 Calcular la medida del < A____________
16) Si AB BC y arco a = 100 Calcular la medida del < A____________
ab
c
C
B
A
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Si ABC es un tringulo inscrito como se ilustra, hallar
17) Si AC es un dimetro y arco a = 100 Calcular la medida del < A____________
18) Si arco b : a : c estn en razn 1 : 2 : 3
Calcula arco a ___________________ y la medida del < B ___________________
19) Hallar x si: < 50 DCA ; < 20 CDB
20) Calcular x si: el arco AB mide 60; el arco AE es 70 y el ngulo D mide 20
ab
c
C
B
A
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21) En la siguiente figura arco CD = 100 arco AyD = 150 y AB es tangente a la circunferencia
Encuentra:< BAC _______________ < ACD _______________
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El apotema que es la lnea perpendicularque une el centro con cualquiera de
sus lados; por lo cual un polgono regular tiene tantos apotemas como lados.
Actividad.
Realiza una investigacin de acuerdo a los datos que te piden en la siguientetabla.
Figura Frmula de Permetro y
rea
Tringulo
Cuadrado
Rectngulo
Rombo
Romboide
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Trapecio
Hexgono
Crculo
Ejercicio 17. Calcula el rea sombreda de las siguientes figuras geomtricas.
1) Todos sus lados son congruentes y adems todos sus ngulos son rectos. Se sabe
que la longitud de cada lado es 6, determine el rea de la parte de la regin sombreada
2) Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo que la circunferencia tiene un
radio de 4 cm.
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3) Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo que de largo el rectngulo mide
20 cm (el punto resaltado representa el centro de la circunferencia).
4) Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo que la circunferencia
mediana tiene un dimetro de 8 cm. y las pequeas de 4 cm. cada una
5) Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo que los catetos del triangulo
miden 12 y 16 cm.
6) Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo el cuadrado mide 5 cm. delado.
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7) El lado del cuadrado es 4 cm.; los arcos de circunferencias son congruentes. Hallar
el rea sombreada.
8)Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo que la circunferencia mayor ( c )
tiene un dimetro de 12 cm. y la mediana ( b ) 9 y la pequea ( a ) de 5 cm.
9) Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo el cuadrado mide 12 cm. de lado
10) Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo que los crculos son tangentes
exteriormente con radios congruentes r = 6.
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11) Encuentre el rea sombreada de la figura sabiendo que las circunferencias son
congruentes y miden 7 cm. de dimetro cada una.
12)
13)
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14)
Ejercicio 18. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando frmulas de reas y otros
conocimientos y habilidades adquiridas en temas anteriores.
1) Cul es el ancho de un rectngulo que mide 16 cm. de largo si su rea es
equivalente al de un cuadrado de 12 cm. de largo?
2) Calcula la medida del lado de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 10 cm.
Tambin se pide el rea del cuadrado
3) En un rectngulo, el largo excede en 8 cm. al ancho. Si el permetro mide 72 cm.
Cul es su rea?
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4) Las bases de un trapecio miden 12 cm. y 21 cm. Cul es su rea si la medida de
su altura es igual a la medida de la base menor?
5) Determina el permetro de un rectngulo cuya rea es 200 m2y su largo 25 m.
2.3.2 Volmenes de los cuerpos geomtricos.
Objetivo:El estudiante conocer las frmulas para calcular volmenes de cuerpos
geomtricos y los aplicar en la resolucin de ejercicios.
Volumen y capacidad.
El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo, la unidad principal
es el metro cbico (m3) y capacidad es lo que cabe dentro de un recipiente.
Volumen de prisma.
Frmula:
Ejemplo.
Calcula la longitud de la arista de un cubo de 343 m3de volumen.
Datos Formula Procedimientosa) Cubo.b) V = 343 m3.c) a = ?
h = a
Ab= a2
a) Frmula:
b) Sustituir datos en a):
c) Extrayendo raz cbica: a = 7.
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Volumen de pirmide.
Frmula:
Ejemplo.
La base de esta pirmide pentagonal es un polgono regular de lado 1,3 cm y
apotema 0,9 cm. Calcula su volumen sabiendo que su altura es 2,7 cm.
Datos Formula Procedimientosa) Pirmide
pentagonal.b) b = 1.3 cmc) a = 0.9 cm
d) h = 2.7 cme) V = ?
a) rea de la base:
b) Volumen.
Volumen de cilindro.
Frmula:
Se echan 7 cm3 de agua en un recipiente cilndrico de 1,3 cm de radio. Qu
altura alcanzar el agua?
Datos Formula Procedimientos
a) Cilindro.b) V = 7 m3.c) r = 1.3 cmd) h = ?
a) Frmula:
b) Sustituir datos en a):
c) Frmula: d) Sustituir b) y V en la frmula.
e) Despejando h, resulta: h = 1.32 cm.
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Cuntos cubos cilndricos, de 47 cm de altura y 16 cm de radio, se tienen que
vaciar en una piscina de 10x6x1.5 m para llenarla?
Datos Formula Procedimientos
a) Cilindro.b) h = 47 cm.
c) r = 16 cm
d) h = prisma
rectngular.
e) Dimensin:
106 m
a) Frmula:
b) Sustituir datos en a):
c) Frmula:
d) Sustituir b) y V en la frmula.
e) Conversin a m3: 0.037 m3.
f) Frmula:
g) Sustituir datos en f :
h) Frmula:
i) Sustituir datos en h:
j) Dividir el volumen del prisma entre la
del cilindro, resulta: 2432 cubos de
agua.
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Volumen de una esfera.
Frmula:
Se introduce una bola de plomo, de 1 cm de radio, en un recipiente cilndrico de
3,1 cm de altura y 1,5 cm de radio. Calcula el volumen de agua necesario para llenar el
recipiente.
Datos Formula Procedimientos
a) Esfera.
b) r = 1 cm.
c) Cilindro.d) h = 3.1 cm
e) r = 1.5 cm.
a) Frmula:
b) Sustituir datos en a):
c) Frmula:
d) Sustituir datos en la frmula.
e) Frmula:
f) Sustituir datos en e :
g) Diferencia de volmenes:
.
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5) Cuntos bloques cbicos de piedra, aproximadamente, de 50 cm de arista,
hacen falta para construir una pirmide regular con base cuadrada de 208 m de
lado y 101 m de altura?
6) Se echan 19,8 cm3 de agua en un recipiente cilndrico de 1,8 cm de radio. Qu
altura alcanzar el agua?
7) Cuntas copas puedo llenar con 11 litros de refresco, si el recipiente cnico de
cada copa tiene una altura interior de 9 cm y un radio interior de 5 cm?
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8) Cuntos kilogramos pesa una bola de plomo de 17 cm de radio? El plomo tiene
una densidad de 11,4 g/cm3.
9) Calcula el volumen de un tronco de cono de 7,6 cm de altura, sabiendo que los
radios de sus bases miden 4,9 cm y 2,1 cm. (Frmula: Vtc= VcgVcp).
10) Calcula el volumen de la escultura de la imagen, sabiendo que sus bases son
rectngulos de 3 x 12 dm y su altura 20 dm.