Facultad de EducacionEscuela de Pedagogıa en Matematica y Estadıstica

Asignatura: Fundamentos de la Matematica

Secuencia Didactica I: Logica Proposicional

Introduccion

Imaginemos que tenemos un plano enorme “infinito” y lo queremos cubrir con piezas igualessin dejar agujeros, por ejemplo, podrıamos usar cuadrados o triangulos (cırculos no, puesto quedejan agujeros). ¿Cual es la mejor pieza que podemos usar? Pappus de Alejandrıa, en el ano300, dijo que la mejor forma es usar hexagonos, como hacen las abejas cuando construyen supanal. Pero Pappus no lo demostro, se quedo en lo que se conoce como una “conjetura”.

En 1999 (1700 anos despues), Thomas Hales, demostro que Pappus (y las abejas) tenıan razon.Ası la conjetura de Pappus, se convirtio en teorema, el “Teorema del Panal”, que sera unaverdad para siempre.

Pero que pasa, si pensamos en 3 dimensiones, es decir, si queremos llenar el espacio con piezasiguales, sin dejar agujeros, podemos usar cubos ¿cierto? (esferas no, puesto que dejan agujeros).¿Cual es la mejor pieza que podemos usar?, Lord Kelvin, dijo que la mejor pieza es usar unoctaedro truncado, pero Kelvin no lo demostro, se quedo en una conjetura, la conjetura deKelvin. Luego, algunos ano mas tarde, Weaire y Phelan, encontraron un conjetura mejor, unapieza que se lo conoce con el nombre de sus creadores. Pero esta sigue siendo una conjeturahasta que alguien demuestre que la estructura de Weaire y Phelan es la mejor pieza posiblepara cubrir el espacio tridimensional.

Figura 1: Hexagonos Figura 2: Estructura Weaire-Phelan

Para que una aseveracion sea considerada como verdadera, y no sea una simple conjetura, estadebe ser demostrada. La logica proposicional es la herramienta que nos permite construir lamatematica, es la herramienta que nos permite comunicar la matematica de forma universal.La logica, nos ayuda, a construir una demostracion en matematica. En esta secuencia didactica,recordaremos los elementos mas importantes de la logica proposicional, a traves, de una seriede actividades.

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Actividades

Sean p y q proposiciones. Detetermine si la proposicion

[p ∧ (p −→ q)] −→ q

es una tautologıa, una contradiccion, o una contingencia.Respuesta:

. Actividad 1

Si la proposicion p −→ q es falsa, entonces ¿cual es el valor de verdad de la siguienteproposicion?

[p ∨ (q ∧ r)]←→ [(p ∨ r) ∧ q].

Respuesta:

. Actividad 2

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Se sabe que la siguiente proposicion es Falsa

[(∼ p ∨ q) ∧ r] −→ (r −→∼ p).

Determine el valor de verdad de la proposicion

[(p∧ ∼ r) ∨ (q −→∼ p)]←→ [(∼ q ∧ r) −→ p].

Respuesta:

. Actividad 3

Escriba el contrarrecıproco de la siguiente proposicion.

∀n,m ∈ N : n ·m par =⇒ (n par) ∨ (m par).

Respuesta:

. Actividad 4

Niegue la siguiente proposicion

T : (∀x ∈ R)(x2 − 4x + 4 < 0 −→ x > 0).

Respuesta:

. Actividad 5

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Considere el enunciado T : (x > 0 ∧ y > 0) −→ x · y > 0.

1. Escriba en lenguaje cotidiano, lo mas simple posible, el enunciado anterior.

2. Utilizando el Contra-recıproco reescriba en lenguaje cotidiano el enunciado T .

3. Encuentre una expresion equivalente para T .

Respuesta:

. Actividad 6

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Considere el conjunto A = {−2,−1, 1, 2} y las proposiciones

p :(∀x ∈ A)(∀y ∈ A)(x < y −→ xy > 0).

q :(∃x ∈ A)(∀y ∈ A)(2x− y < 0).

a) Determine si p es verdadera o falsa.

b) Determine si q es verdadera o falsa.

c) Escriba la negacion de p.

d) Escriba la negacion de q.

Respuesta:

. Actividad 7

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Resumen

Conectivos Logicos

Conjuncionp q p ∧ qV V VV F FF V FF F F

Disyuncionp q p ∨ qV V VV F VF V VF F F

Condicionalp q p → qV V VV F FF V VF F V

Bicondicionalp q p ↔ qV V VV F FF V FF F V

Disyuncion excluyente

p q p Y qV V FV F VF V VF F F

Algebra de Proposiciones

∼ (∼ p)⇔ p

Idempotencia

• p ∧ p⇔ p

• p ∨ p⇔ p

Conmutatividad

• p ∧ q ⇔ q ∧ p

• p ∨ q ⇔ q ∨ p

Asociatividad

• (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

• (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

• (p→ q)→ r ⇔ p→ (q → r)

Distributividad

• p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

• p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Leyes de Morgan

• ∼ (p ∧ q)⇔∼ p∨ ∼ q

• ∼ (p ∨ q)⇔∼ p∧ ∼ q

Negaciones importantes

• ∼ (p→ q)⇔ (p∧ ∼ q)

• ∼ (p↔ q)⇔ (p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)

Otras

• (p↔ q)⇔ (p→ q) ∧ (q → p)

• (p↔ q)⇔ (p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)

• (p→ q)⇔ (∼ p ∨ q)

Contra-recıproca

• (p→ q)⇔ (∼ q →∼ p)

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