secuencia 33 Representación gráfica de sistemas de ecuaciones de... · En este grado los alumnos...

260 L ib ro para e l maest ro

Eje

Manejo de la información.

Tema

Representación de la información.

Antecedentes

En este grado los alumnos representaron gráficamente funciones de primer grado y aprendieron a resolver ecuaciones de primer grado mediante distintos métodos. En esta secuencia aplicarán lo aprendido para resolver sistemas de ecuaciones por el método gráfico.

Propósito de la secuencia Representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretar

la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

Sesión Propósitos de la sesión Recursos

1

La feria ganadera Resolver problemas sobre movimiento rectilíneo por medio de la representación gráfica de sistemas de ecuaciones e identificar la solución del sistema con las coordenadas del punto de la intersección de las rectas.

Interactivo Solución de un sistema

de ecuaciones como intersección de rectas

2

¿Dónde está la solución? Descubrir que si al graficar un sistema de ecuaciones se obtienen dos rectas paralelas, el sistema no tiene solución.

Video El viaje

Interactivo Solución de un sistema de ecuaciones

como intersección de rectas Aula de medios

Sistemas de ecuaciones (Hoja de cálculo)

3

Soluciones múltiples Descubrir que si al graficar un sistema de ecuaciones se obtiene una sola recta para ambas ecuaciones, el sistema tiene más de una solución.

Programa integrador 28

244

secuencia 33

En esta secuencia representarás gráficamente un sistema de ecuacio-nes lineales y estudiarás la relación entre la intersección de las gráfi-cas y la solución del sistema.

LA FERIA GANADERAPara empezarEn la secuencia 30 aprendiste a resolver sistemas de ecuaciones por diferentes métodos algebraicos. En esta sesión estudiarás la relación entre la solución de un sistema y la in-tersección de las rectas que corresponden a las ecuaciones del sistema.

Consideremos lo siguienteDon Matías va de Toluca a Morelia para asistir a la feria ganadera que se celebrará en la capital del estado de Michoacán. Va en un camión de pasajeros que viaja a velocidad constante de 60 km/h.

A don Matías se le olvidaron unos papeles para la compra de vacas. Uno de sus trabaja-dores va a intentar alcanzarlo en motocicleta, sale cuando don Matías ya va en el kiló-metro 30 de la carretera. La motocicleta viaja a 80 km/h.

sEsIóN 1

Representacióngráfica de sistemas de ecuaciones

¿En qué kilómetro de la carretera Toluca – Morelia, el motociclista alcanzará al camión?

Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.

Toluca

Atlacomulco

Maravatío

Morelia

km 30

MAT2 B5 S33.indd 244 9/10/07 12:48:36 PM

Propósito de la sesión. Resolver problemas sobre movimiento rectilíneo por medio de la representación gráfica de sistemas de ecuacio-nes e identificar la solución del sistema con las coordenadas del punto de la intersección de las rectas.

Propósito del interactivo. Presentar el problema de forma dinámica para que los alumnos lo exploren.

Propósito de la actividad. A través de una situación de movimiento rectilíneo, se plantea un problema en el que la solución gráfica le dé sentido a la solución algebraica.

Sugerencia didáctica. Se espera que con lo aprendido anteriormente los alumnos sean capaces de plantear un sistema de ecuaciones para resolver el problema, sin embargo, quizá comiencen a explorar la solución mediante otros métodos. Permítales utilizar el procedi-miento que quieran y no haga correcciones si no logran llegar a la respuesta correcta. Más adelante tendrán oportunidad de verificar sus resultados.

Respuestas.

a) Sí lo va a alcanzar.

b) En el kilómetro 120.

261L ib ro para e l maest ro

245

IIMATEMÁTICAS

Manos a la obraI. Para resolver este problema, es útil usar álgebra. Usen las letras d y t para represen-

tar:

d, la distancia recorrida en kilómetros,

t, el tiempo en horas, tomado a partir de que el motociclista sale de Toluca.

Contesten las siguientes preguntas para encontrar las expresiones algebraicas que permiten encontrar la distancia recorrida d a partir del tiempo t, tanto para el camión como para la motocicleta.

a) La motocicleta va a 80 km/h, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido en una hora?

b) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?

c) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en t horas?

d) Cuando la motocicleta salió de Toluca el camión ya había recorrido 30 km. ¿En

qué kilómetro estaba el camión una hora después de que salió el motociclista?

e) ¿En qué kilómetro estaba el camión 2 horas después de que salió el motociclista?

f) ¿En qué kilómetro estaba t horas después de que salió el motociclista?

Comparen sus respuestas y comenten: ¿porqué la expresión d = 60t no permite en-contrar la distancia d recorrida por el camión después de t horas de que la motoci-cleta salió de Toluca?

II. Grafiquen las expresiones algebraicas que encontraron, para eso, realicen lo que se les pide a continuación.

a) Completen las siguientes tablas usando las expresiones de la distancia d y el tiem-po t que para el camión y la motocicleta.

Camión Motocicleta

Expresión: d = Expresión: d =

t d Punto (t , d ) t d Punto (t , d )

0 30 (0,30) 0 0 (0,0)

1 80

2 2

2 12 2 3

4

MAT2 B5 S33.indd 245 9/10/07 12:48:37 PM

Posibles dificultades. En caso de que los alumnos encuentren difícil contestar el inciso c), pida a tres o cuatro alumnos que expliquen con sus propias palabras cómo encontraron las respuestas de los incisos a) y b), esto puede ayudarles a descubrir el patrón y a determinar que para saber en qué kilómetro se encuentra la motocicleta (multiplicar el tiempo por 80). Emplee una estrategia similar para el inciso f), hay que multiplicar el tiempo por 60 y luego sumarle 30.

Respuestas.

a) 80 kilómetros.

b) 160 kilómetros.

c) d = 80t

d) En el kilómetro 90, porque el camión viaja a una velocidad constante de 60km/h.

e) En el kilómetro 150.

f) d = 60t + 30

Posibles dificultades. Si los alumnos tienen dificultades para establecer por qué la expresión d = 60t no permite encontrar la distancia recorrida por el camión, explíqueles que cuando la motocicleta salió de Toluca el camión ya llevaba 30 kilómetros recorridos, por eso se le tienen que sumar a la expresión.

60t + 30 80t

90 (1,90) 1 (1,80)

150 (2,150) 160 (2,160)

180 (2 12 ,180) 220 (2 3

4 ,220)


246

secuencia 33b) En el siguiente plano cartesiano grafiquen las expresiones para el camión y la

motocicleta.

Tiempo en horas

Dis

tan

cia

reco

rrid

a d

esd

e To

luca

d

t

240

220

200

160

120

80

40

01 2 3

Contesten las siguientes preguntas.

c) ¿Aproximadamente en qué kilómetro de la carretera Toluca - Morelia el motoci-

clista alcanzará a don Matías?

d) ¿Aproximadamente en cuánto tiempo lo alcanzará?

Comparen sus respuestas y comenten:

Para ubicar con precisión la distancia donde don Matías es alcanzado por el motociclista, es recomendable resolver el sistema de ecuaciones mediante algún método algebraico.

a) ¿Qué método escogerían para resolver este sistema?

b) ¿Por qué razón lo escogerían?

iii. Apliquen el método que escogieron y resuelvan el sistema.

a) ¿Cuál es el valor de la incógnita t ? t =

b) ¿Cuál es el valor de la incógnita d? d =


a) ¿En qué tiempo alcanzará el motociclista a don Matías?

b) ¿En qué kilómetro de la carretera Toluca – Morelia el motociclista alcanza a don Matías?

c) ¿Los valores de d y t obtenidos mediante el método que eligieron son iguales o son próximos a los estimados mediante la representación gráfica de las ecuaciones?

MAT2 B5 S33.indd 246 9/10/07 12:48:38 PM

Sugerencia didáctica. La construcción de la gráfica permitirá ver a los alumnos el punto de intersección de las rectas, que señala el lugar y tiempo en el que el motociclista alcanzará al camión. Aproveche la actividad para destacar que:

los puntos de cada tabla pertenecen a una misma recta,

el punto en el que se cortan las rectas indica la solución del problema, pero hay que interpretar el tiempo que le corresponde (abscisa) y los kilómetros que ha recorrido desde Toluca (ordenada).

Respuestas.

c) En el kilómetro 120.

d) En una hora y media.

Posibles respuestas. Puede ser que cada alumno seleccione el método que le resulte más fácil, sin embargo, es importante que una vez que hayan resuelto la ecuación, algunos alumnos pasen al pizarrón a explicar por qué eligieron tal o cual método y cuáles fueron sus resultados.

El método que podría ser más sencillo en este caso es el de igualación porque las dos variables están despejadas y porque se relaciona con el punto de intersección, sin embargo, puede emplearse otro.

•

•

Respuestas.

a) t = 1.5

b) d = 120

Sugerencia didáctica. Es común que los alumnos piensen que 1.5 horas es igual a una hora con cinco minutos o a una hora con cincuenta minutos. Aclare que 0.5 de hora es la mitad de una hora, es decir, 30 minutos.

Respuestas.

a) En 90 minutos o una hora y media.

b) En el kilómetro 120.

c) Son iguales.


247

IIMATEMÁTICAS

A lo que llegamosLa representación gráfica de un sistema de ecuaciones permite encon-trar la solución del sistema al encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas correspondientes a las ecuaciones.

Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:

d = 60td = 40t + 30

tiene la siguiente representación gráfica:

d

t

240

200

160

120

80

40

1 1.5 2 3

Punto de intersección

d = 60t

d = 40t + 30

90

0

Para encontrar con precisión la solución se puede usar un métodoalgebraico.

Lo que aprendimos1. Si en el problema toman como momento inicial cuando salió el camión, contesta lo

siguiente:

a) El camión va 60 km/h, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido en 1 hora?

b) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?

c) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en t horas?

d) Después de que el camión salió de Toluca, ¿cuánto tiempo pasó para que saliera la

motocicleta? (Recuerda que: el camión ya había recorrido 30 km).

MAT2 B5 S33.indd 247 9/10/07 12:48:39 PM

Posibles dificultades. Los estudiantes pueden tener dificultades para ubicar los puntos del motociclista, sobre todo en el tiempo cero.

Cuando hayan ubicado en el plano los puntos (1,40), (2, 120) y (3, 200), pregúnteles:

¿Los tres puntos que ubicaron en el plano quedaron en línea recta?

Si unen los tres puntos con una línea y la prolongan, ¿en qué punto corta al eje y?

Se espera que los alumnos entonces respondan (0,–40).

Respuestas.

a) 60 kilómetros.

b) 120 kilómetros.

c) d = 60t

d) Pasaron 30 minutos.

•

•


248

secuencia 33e) ¿En qué kilómetro estaba la motocicleta media hora después de que salió el ca-

mión?

f) ¿En qué kilómetro estaba el motociclista 1 hora después de que salió el camión?

g) ¿En qué kilómetro estaba el motociclista 112 hora después de que salió el camión?

h) ¿En qué kilómetro estaba el motociclista t horas después de que salió el camión?

i) Encuentra el sistema de ecuaciones y grafícalo.

j) Compara esta solución con la que obtuviste antes, ¿son iguales o distintas? ¿Por qué?

2. Ricardo, un hijo de don Matías, también trata de alcanzarlo, sólo que cuando él sale de Toluca, su papá le lleva una ventaja de 50 km. Ricardo viaja en su automóvil a 80 km/h.

a) Encuentra el sistema de ecuaciones que corresponde a este problema.

Sistema de ecuaciones (recuerda que el camión donde viaja don Matías va a 60 km/h)

E1: (ecuación que corresponde a don Matías).

E2: (ecuación que corresponde a Ricardo).

b) Para representar gráficamente el sistema anterior, completa las tablas para deter-minar las coordenadas de algunos puntos de las rectas que corresponden a cada ecuación.

Camión Automóvil

Ecuación 1: d = 60t + 50 Expresión: d =

t d Punto (t , d) t d Punto (t , d)

0 50 (0,50) 0 0 (0,0)

110 120

2 2

2 34 2 3

4

MAT2 B5 S33.indd 248 9/10/07 12:48:40 PM

Respuestas.

e) En el kilómetro cero.

f) En el kilómetro 40.

g) En el kilómetro 80.

h) d = 80t – 40

i) E1: d = 60t

E2 : d = 80t – 40

60t = 80t – 40

t = 2

d = 120

j) Es distinta porque ahora se considera el tiempo desde que salió el camión y no desde que salió la motocicleta. Por eso, aunque de cualquier manera se encuentran en el kilómetro 120, han transcurrido dos horas y no una hora y media, es decir, don Matías viajo dos horas antes de ser alcanzado por el motociclista, pero éste sólo viajo una hora y media para alcanzar a don Matías.

Sugerencia didáctica. Aclare que para plantear el sistema de ecuaciones que aquí se pide, deben considerar como punto de partida el momento en el que Ricardo sale de Toluca, es decir, que cuando el tiempo es cero Ricardo ha recorrido cero kilómetros, pero don Matías ya lleva 50.

Respuestas.

a) E1: d = 60t + 50

E2 : d = 80t

Integrar al portafolios. Guarde una copia de las respuestas de los alumnos a esta actividad. Es importante que sepan encontrar la solución gráfica a un sistema de ecuaciones antes de pasar a las siguientes sesiones, así que puede ser necesario que resuelvan más actividades de este tipo.

80t

1 (1,110) 1 12 (1 12 ,120)

170 (2,170) 160 (2,160)

215 (2 34 ,215) 220 (2 34 ,220)


249

IIMATEMÁTICASc) Representa gráficamente el sistema de ecuaciones.

Tiempo en horas

Dis

tan

cia

reco

rrid

a d

esd

e To

luca

d

t

240

220

200

160

120

80

40

01 2 3

De acuerdo a la gráfica que elaboraste estima:

d) ¿En qué kilómetro Ricardo alcanza a su papá?

e) ¿Cuánto tiempo tardará en lograrlo?

f) Resuelve el sistema de ecuaciones que se forma al igualar el lado derecho de las ecuaciones E1 y E2.

80t = 60t + 50

t =

g) Si sustituyes el valor de t en cualquiera de las ecuaciones E1 o E2 y haces las ope-raciones indicadas, ¿qué valor obtienes para d?

d=

¿DóNDE EsTÁ LA sOLUCIóN?Para empezarEn la sesión 1 de esta secuencia aprendiste a resolver sistemas mediante la represen-tación gráfica de las ecuaciones, ¿qué significa si al graficar las dos ecuaciones de un sistema obtienes dos rectas paralelas?, ¿cuál es el resultado de este sistema? Estas preguntas podrás contestarlas al terminar de estudiar esta lección.

sEsIóN 2

MAT2 B5 S33.indd 249 9/10/07 12:48:41 PM

Respuestas.

d) En el kilómetro 200.

e) Dos horas y media.

f) 80t = 60t + 50

80t – 60t = 50

20t = 50

t = 52

= 2.5

g) d = 200

Propósito de la sesión. Descubrir que si al graficar un sistema de ecuaciones se obtienen dos rectas paralelas, el sistema no tiene solución.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Analizar qué representa un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, determinar si tiene solución y resolverlo.

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 2.

d = 80td = 60t + 50


250

secuencia 33

Consideremos lo siguienteResuelvan el siguiente sistema de ecuaciones:

y = 3x + 2

y = 3x

x = , y =


a) ¿Qué método de solución usaron para resolver el sistema?

b) ¿Tiene solución el sistema?

c) Si tiene solución, ¿cuál es?

d) Si no tiene solución, ¿por qué creen que no tenga?

Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla para encontrar algunas parejas de números que cum-

plan con las ecuaciones. Después, grafiquen los puntos que obtengan.

Recta 1: y = 3x + 2 Recta 2: y = 3xx y Punto (x , y) x y Punto (x , y)

–1 –1

0 0

1 1

2 2

y

x

12

10

8

6

4

2

–2

–4

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 100

MAT2 B5 S33.indd 250 9/10/07 12:48:41 PM

Propósito de la actividad. Ahora los alumnos se enfrentarán a un sistema de ecuaciones que no tiene solución. Incluso si lo analizan antes de resolverlo podrán ver que no hay ningún número (y ) que sea igual a 3x más 2, y que también sea igual a 3x sin sumarle los 2. Sin embargo, dé tiempo a los alumnos para que intenten resolverlo y no les anticipe la solución.

Sugerencia didáctica. Dedique el tiempo necesario para esta discusión. Tanto a quienes afirmen que sí se puede resolver como a quienes digan lo contrario, pídales que expliquen por qué.

–1 (–1,–1) –3 (–1,–3)

2 (0,2) 0 (0,0)

5 (1,5) 3 (1,3)

8 (2,8) 6 (2,6)

y = 3x

y = 3x + 2


251

IIMATEMÁTICASContesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 1?

b) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 2?

c) ¿Cuánto es la pendiente de la recta 1?

d) ¿Cuánto es la pendiente de la recta 2?

Comparen sus respuestas y comenten: ¿existirá algún punto común a las dos rectas? ¿Cuál?

II. Resuelvan el siguiente problema:

Hallar dos números tales que tres veces el segundo menos seis veces el primero, den nueve como resultado; y que, al mismo tiempo, doce veces el primero menos seis veces el segundo, den dieciocho como resultado.

Los números son: y

Comparen sus respuestas. Comenten:

a) ¿Qué método usaron para encontrar los números?

b) ¿Creen que se puedan encontrar los dos números que se piden en el problema?

III. Contesten lo que se les pide:

a) Si se usa la letra x para representar al primer número y la letra y para representar al segundo número, ¿cuál de las siguientes parejas de ecuaciones corresponde al problema? Subráyenla.

Ecuación 1:Ecuación 2:

3x – 6y = 912x – 6y = 18


3xy = 96xy = 18


3y – 6x = 912x – 6y = 18

b) Completen la siguiente tabla para encontrar algunas parejas de números que cumplan con las ecuaciones que escogieron. Después, grafiquen los puntos que obtengan.

Recta 1: Recta 2:

x y Punto (x , y) x y Punto (x , y)

–1 –1

0 0

1 1

4 4

Recuerda que:

Si la ecuación de la recta es de la

forma y = mx + b, la pendiente

de la recta corresponde al

número m y la ordenada al

origen corresponde al número b.

Además, la ordenada al origen

de una recta es la ordenada del

punto de intersección de la recta

con el eje Y.

MAT2 B5 S33.indd 251 9/10/07 12:48:42 PM

Respuestas.

a) 2

b) 0

c) 3

d) 3

Sugerencia didáctica. Quizá algunos alumnos no recuerden cómo se puede conocer cuál es la pendiente de una recta. Si lo considera útil dígales que revisen las sesiones 3 y 4 de la secuencia 23 de este libro.

Posibles dificultades. Aunque ya trazaron las rectas y vieron que no se intersecan, posible-mente algunos alumnos crean que si se prolongan lo suficiente sí tendrán un punto en común. Si fuera el caso, haga una nueva tabla en el pizarrón y plantee valores grandes para x, por ejemplo, 13 500, 1 000 000, u otros que los alumnos piensen. Encuentren los valores de y para las dos rectas y analicen si hay algún punto que tenga las mismas coordenadas.

Explique que el punto y de la recta 1 siempre estará 30 números más arriba que la recta 2, por ello nunca se intersecarán.

Respuesta. El problema no tiene solución porque no existen dos números que cumplan ambas condiciones, sin embargo, no adelante a los alumnos la respuesta, permita que intenten averiguarlos.

3y – 6x = 9 12x – 6y = 18

1 (–1,1) –5 (–1,–5)

3 (0,3) –3 (0,–3)

5 (1,5) –1 (1,–1) 2 7 (2,7) 2 1 (2,1)


252

secuencia 33

Contesten las siguientes preguntas.

a) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 1?


c) ¿Cuánto mide el ángulo de inclinación de la recta 1?

d) ¿Cuánto mide el ángulo de inclinación de la recta 2?


a) ¿Existirá algún punto común a las dos rectas? ¿Cuál?

b) ¿Tiene solución el sistema?, ¿porqué?

A lo que llegamosMovimiento rectilíneo uniforme

Dado un sistema de ecuaciones puede tener o no solución.

• Tiene solución cuando las rectas asociadas a las ecuaciones del sistema se intersecan. El punto de intersección es la solución del sistema.

• No tiene solución cuándo las rectas asociadas a las ecuaciones del sistema no se intersecan, es decir, cuando son rectas paralelas.

y

x

12

10

8

6

4

2

–2

–4

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 100

MAT2 B5 S33.indd 252 9/10/07 12:48:43 PM

Respuestas.

a) 3

b) –3

c) 70º

d) 70º

Descripción del video. Se presenta un contexto relacionado con un viaje en donde se representan gráficamente y de manera animada los movimientos de dos vehículos (movimiento rectilíneo). Se dan escenarios en donde hay una sola solución y en donde no la hay. Se dan los elementos necesarios para entender cada una de las situaciones.

Propósito del interactivo. Generalizar los casos en los que un sistema de ecuaciones tiene o no solución.

y = 3x

y = 3x + 2


253

IIMATEMÁTICAS

Lo que aprendimosResuelve en tu cuaderno el siguiente sistema de ecuaciones y represéntalo en el plano cartesiano.

E1: y = 3x + 5

E2: y = 6x + 22

sEsIóN 3sOLUCIONEs MúLTIPLEsPara empezarEn las sesiones anteriores solucionaste sistemas de ecuaciones lineales con dos incógni-tas mediante su representación gráfica. Aprendiste que hay sistemas de ecuaciones que tienen una solución (el punto de intersección de las rectas) y sistemas que no tienen solución. ¿Habrá sistemas que tengan más de una solución? Con lo que aprendas en esta sesión podrás contestar esta pregunta.

Consideremos lo siguienteResuelvan el siguiente sistema de ecuaciones:

E1: 2x + y = 16

E2: y = 48 – 6x3

La solución del sistema es: x = , y =


a) ¿Tiene solución el sistema?

b) ¿Cuántas soluciones distintas encontraron?

y

x

12

10

8

6

4

2

–2

–4

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 100

MAT2 B5 S33.indd 253 9/10/07 12:48:43 PM

Integrar al portafolios. Analice las respuestas de los alumnos a esta actividad. Pida además que escriban si tiene solución o no y por qué.

Propósito de la sesión. Descubrir que si al graficar un sistema de ecuaciones se obtiene una sola recta para ambas ecuaciones, el sistema tiene más de una solución.

Propósito de la actividad. Ahora se plantea un sistema con un número infinito de soluciones. Los alumnos tendrán que compararlo con aquellos que tienen una solución única y con los que no tienen solución.

Posibles dificultades. Escuche las opiniones de los alumnos sobre las soluciones del sistema porque para muchos puede parecer que no tiene solución porque se eliminan ambas incógnitas. Las dudas que tengan los alumnos pueden aprovecharse para que resuelvan el apartado Manos a la obra. Ahí podrán darse cuenta de que el sistema tiene un número infinito de soluciones.

y = 3x + 1

y = 3x + 5


254

secuencia 33

Manos a la obrai. Completen las siguientes tablas para encontrar algunas parejas de números que cum-

plan con las ecuaciones que escogieron. Después, grafiquen los puntos que obtengan.

Recta 1: 2x + y = 16 Recta 2: y = 48 – 6x3

x y Punto (x , y) x y Punto (x , y)

–4 –1

0 –2

4 0

8 1

16 8

y

x

24

20

16

12

8

4

–4

–8

–12

–16

–20 –16 –12 –8 –4 4 8 12 16 200

MAT2 B5 S33.indd 254 9/10/07 12:48:44 PM

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que despejen la ecuación de la recta 1 para completar más fácilmente la tabla.

Propósito de la actividad. Al graficar las rectas lo alumnos descubrirán que se trata de la misma recta, lo que significa que las ecuaciones son equivalentes.

Si se dividen los dos términos de la segunda ecuación entre el numerador, resulta la primera ecuación y = 16 – 2x.

24 (–4,24) 20 (–1,20)

16 (0,16) 18 (–2,18)

8 (4,8) 16 (0,16)

0 (8,0) 14 (1,14)

–16 (16,–16) 0 (8,0)


255

IIMATEMÁTICAS¿Habrá algún punto de la recta 1 que no pertenezca a la recta 2?

¿Cuál? Argumenten su respuesta

Comparen sus respuestas.

II. Simplifiquen las expresiones de las rectas hasta obtener ecuaciones de la forma y = mx + b.

a) Recta 1: y =

b) Recta 2: y =


c) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 2?

d) ¿Cuánto es la pendiente de la recta 1?

e) ¿Cuánto es la pendiente de la recta 2?


a) ¿Cuántos puntos comparten las rectas 1 y 2?

b) ¿Cuántas soluciones tiene un sistema cuando la recta que corresponde a una ecuación es la misma que la recta que corresponde a la otra ecuación?

A lo que llegamosEn un sistema de ecuaciones, cuando la recta que corresponde a una ecuación es la misma que la recta que corresponde a la otra ecuación, entonces cualquier punto que pertenezca a las rectas es solución del sistema.

MAT2 B5 S33.indd 255 9/10/07 12:48:45 PM

Respuestas.

a) Comparten todos los puntos.

b) Tiene infinitas soluciones.

Sugerencia didáctica. Propicie que los alumnos sean los que determinen que el sistema tiene muchas soluciones al darse cuenta de que para una misma abscisa (x ) obtienen para ambas ecuaciones la misma ordenada (y ).

–2x + 16

–2x + 16

16

16

–2

–2


Respuestas.

b) E1: y = –2x – 4

E2 : y = 4x – 12

c) x = – 103

y = 83

256

secuencia 33

Lo que aprendimos1. Observa la siguiente gráfica y de acuerdo con ello contesta las preguntas.

a) ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones no tiene solución? Enciérralo en una curva.

e1: y = –2x – 4 e1: y = –2x – 4 e1: y = 4x – 12

e2: y = 4x + 16 e2: y = 4x – 12 e2: y = 4x + 16

b) De los tres sistemas de ecuaciones anteriores escribe el que tiene la solución

x = 43 , y = – 20

3

E1:

E2:

c) Encuentra la solución del sistema:

E1: y = - 2x – 4

E2: y = 4x + 16

x = , y =

y

x

24

20

16

12

8

4

–4

–8

–12

–16

–20 –16 –12 –8 –4 4 8 12 16 20

y = 4x – 12

y = 4x + 16

y = -2x – 4

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Integrar al portafolios. Estas tres actividades pueden servirle para valorar si los alumnos han comprendido lo que se aborda en esta secuencia. Valore si es necesario hacer un repaso, para lo cual podrían servirle los apartados A lo que llegamos.


257

IIMATEMÁTICAS2. Para conocer más sobre cuántas soluciones que puede tener un sistema de ecuacio-

nes pueden ver el programa Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones.

Para saber más

Sobre la representación grafica de sistemas de ecuaciones en la resolución de proble-mas consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch Carlos y Claudia Gómez. “Derechito”, “Sistemas de ecuaciones lineales” en Unaventana a las incógnitas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Hernández, Carlos. “Ecuaciones simultáneas”, “Velocidad”, “Casos posibles” en Mate-máticas y deportes. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Sobre resolución gráfica de sistemas de ecuaciones de primer grado consulta:http://descartes.cnice.mecd.esRUTA: Aplicaciones Álgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones.[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.

MAT2 B5 S33.indd 257 9/10/07 12:48:46 PM

Propósito del programa integrador 28. Mostrar cómo se obtiene la solución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.


propuesta de exÁmenes bimestrales

A continuación se presenta una propuesta para evaluar los bloques 3, 4 y 5 mediante exámenes que serán complementarios de la información que us-ted ha ido integrando en el portafolios del alumno.

Los exámenes tienen las siguientes características:

De cada secuencia se proponen entre uno y cuatro reactivos, cada reactivo evalúa un aspecto del contenido que se trató en la secuencia.

Cada examen se arma de la siguiente manera:

Hay dos opciones para cada reactivo, cada una evalúa el mismo contenido y tiene el mismo nivel de dificultad. La intención de poner estas dos opciones es que usted pueda elegir una o la otra y armar así distintas versiones del examen según le convenga. Encontrará todos los reactivos respondidos para facilitarle la calificación.

Recomendaciones para la aplicación de los exámenes, su revisión y califica-ción:

Debido a la longitud de los exámenes, se sugiere aplicar cada uno en dos sesiones de clase, al final de cada bloque. Una vez aplicado, haga una revi-sión grupal de las soluciones de los reactivos para aclarar dudas y dar opor-tunidad a que cada alumno haga las correcciones pertinentes de los errores que hubiera cometido.

Se sugiere no asignar más del 50% de la calificación bimestral a los resulta-dos de los exámenes, considere para el otro 50% las actividades que integró en el portafolios y otros aspectos que crea importantes (como la participa-ción, el cumplimiento de tareas, etc.).

E x á m E n E S b i m E S t R A L E S

m A t E m á t i C A S i i


Respuestas:

(g)

(b)

(e)

(j)

Respuestas:

(h)

(a)

(f)

(e)

SECUENCIA 18. SUCESIONES DE NÚMEROS CON SIGNO

Reactivo 11. En la columna de la izquierda se presentan los primeros términos de al-

gunas sucesiones y en la columna de la derecha, algunas reglas. Relacio-na ambas columnas.

Términos de la sucesión Reglas

( ) –7, –4, –1, 2, 5, 8, 11, 14, …

( ) 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, …

( ) 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, …

( ) –3, 4 11, 18, 25, 32, 39, 46, …

(a) 7n – 4

(b) 3n + 7

(c) 7n + 10

(d) 3n – 7

(e) 7n – 10

(f) 3n + 4

(g) 7n + 3

(h) 3n – 10

(i) 7n – 3

(j) 3n + 10

1’. En la columna de la izquierda se presentan los primeros términos de al-gunas sucesiones y en la columna de la derecha, algunas reglas. Relacio-na ambas columnas.

Términos de la sucesión Reglas

( ) –5, –3, –1, 1, 3, 5, 7, 9, …

( ) 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, …

( ) 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …

( ) –2, 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, …

(a) 2n + 5

(b) 5n – 3

(c) 2n – 5

(d) 5n +2

(e) 2n + 3

(f) 5n + 7

(g) 2n – 7

(h) 5n – 2

(i) 2n + 7

(j) 5n – 7

propuesta de examen bimestral bloque 3

E x A m E n b L o q U E 3


Reactivo 22. Responde las preguntas para la sucesión 13, 8, 3, –2, –7, –12, –17, …

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la suce-

sión?

b) ¿Cuál es la regla verbal para obtener esta sucesión?

c) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener esta sucesión?

d) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 40?

2’. Responde las preguntas para la sucesión 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4, …

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la suce-

sión?

b) ¿Cuál es la regla verbal para obtener esta sucesión?

c) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener esta sucesión?

d) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 50?

Reactivo 33. Responde las preguntas para la sucesión que se obtiene con la regla

–8n + 11.

a) Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión.

b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la suce-

sión?

c) ¿En qué lugar de la sucesión está el número –157?

3’. Responde las preguntas para la sucesión que se obtiene con la regla –6n + 13.

a) Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión.

b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la suce-

sión?

c) ¿En qué lugar de la sucesión está el número –137?

Respuestas:

a) –5

b) Se suma –5 al término anterior y el primer término es 13 o Se resta 5 al término anterior y el primer término es 13.

c) –5n + 18

d) –182

Respuestas:

a) 3, –5, –13, –21, –29, –37, –45, –53, –61, -69.

b) –8

c) En el lugar 21

Respuestas:

a) –3

b) Se suma –3 al término anterior y el primer término es 14 o Se resta 3 al término anterior y el primer término es 14.

c) –3n + 17

d) –133

Respuestas:

a) 7, 1, –5, –11, –17, –23, –29, –35, –41, –47.

b) –6

c) En el lugar 25



SECUENCIA 19. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Reactivo 11. Resuelve la siguiente ecuación y verifica tu solución:

3(x + 4) = –3x + 6

1’. Resuelve la siguiente ecuación y verifica tu solución:

8r + 8 = 4(r + 5)

Reactivo 22. Resuelve la siguiente ecuación y verifica tu solución:

r – 63

= r + 45

2’. Resuelve la siguiente ecuación y verifica tu solución:

x + 32

= x – 34

Reactivo 33. Pensé un número, le reste 15 y al resultado lo multiplique por –4 y obtu-

ve 14. ¿Cuál es la ecuación que permite encontrar el número que pensé?

a) x – 15 (-4) = 14

b) –4 (x –15) = 14

c) (15 – x) (–4) = 14

d) 4x – 15x = 14

Respuesta: x = –9

Verificación:

–9 + 32 = – 62 = –3

–9 – 34 = – 12

4 = –3

Respuesta: r =11

Verificación:

11 – 63 = 93 = 3

11 + 45 = 15

5 = 3

Respuesta: x = –1

Verificación:3 (–1 + 4) = 3 (3) = 9

–3 (–1) + 6 = 3 + 6 = 9

Respuesta: r = 3

Verificación:8(3) + 8 = 24 + 8 = 32

4(3 + 5) = 4(8) = 32

Respuesta: inciso b).



3’.El perímetro del siguiente rectángulo es 196.

2x– 5

x

¿Cuál es la ecuación que permite encontrar las medidas del largo y del ancho del rectángulo?

a) x (2x– 5) = 196

b) 3x – 5 = 196

c) 2x (3x– 5) = 196

d) 6x – 10 = 196

Reactivo 44. Plantea y resuelve con una ecuación el siguiente problema:

Un automóvil que viaja a una velocidad de 72.5 kilómetros por hora, va a alcanzar a otro que le lleva una delantera de 2 horas y viaja a 60 por hora. ¿Cuánto tardará el primer automóvil en alcanzar al segundo?

4’. Plantea y resuelve con una ecuación el siguiente problema:

La edad actual de José es 35 de la de su primo Toño, hace 4 años José

tenía 12 de la que entonces tenía Toño. ¿Cuál es la edad actual de

Toño?

Respuesta: Una posible ecuación es 72.5x = 60(x+ 2), x = 9.6. Lo alcanza en 9.6hs.

Respuesta: Una posible ecuación es 12 (x – 4) = 35x – 4, x = 20.

La edad actual de toño es 20 años.

Respuesta: inciso d).



SECUENCIA 20. RELACIÓN FUNCIONAL

Reactivo 11. Una señora compró algunas carnes frías para la semana. Para cada artí-

culo, la señora apuntó la cantidad comprada y el precio pagado por esa cantidad. Con los datos anotados se construyó la siguiente gráfica:

Peso (kg)

Prec

io (

$)

Peperoni

Salchicha

Mortadela

Jamón

Salami

a) ¿Cuál es el artículo que costó más caro (por el que se pagó más)?

b) Hay dos artículos cuyo precio por kilogramo fue el mismo, ¿cuáles son?

1’. Una señora compró algunas carnes frías para la semana. Para cada artí-culo, la señora apuntó la cantidad comprada y el precio pagado por esa cantidad. Con los datos anotados se construyó la siguiente gráfica:

Peso (kg)

Prec

io (

$)

Peperoni

Salchicha

Mortadela

Jamón

Salami

a) ¿Cuál es el artículo que costó más caro (por el que se pagó más)?

b) Hay dos artículos cuyo precio por kilogramo fue el mismo, ¿cuáles son?

Respuesta:

a) Salchicha

b) Salchicha y Jamón

Respuesta:

a) Salchicha

b) mortadela y Salami



Reactivo 22. Una llave arroja 8 litros de agua cada minuto sobre un tinaco que con-

tiene 80 litros de agua. Dibuja la gráfica de la relación existente entre el tiempo transcurrido y la cantidad de agua en el tinaco.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

200

150

100

50

0 x

y

Minutos

Litr

os

2’. Una llave arroja 6 litros de agua cada minuto sobre un tinaco que con-tiene 100 litros de agua. Dibuja la gráfica de la relación existente entre el tiempo transcurrido y la cantidad de agua en el tinaco.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

200

150

100

50

0 x

y

Minutos

Litr

os

Respuesta:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

200

150

100

50

0 x

y

Minutos

Litr

os

Respuesta:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

200

150

100

50

0 x

y

Minutos

Litr

os



Reactivo 33. En un laboratorio escolar se colgaron varios pesos a un resorte que mide

10 cm. Se registraron los cambios de longitud en cada caso y con ello se obtuvo la siguiente tabla.

Peso Longitud

Longitud

Peso

2 kg 11 cm

4 kg 12 cm

6 kg 13 cm

8 kg 14 cm

Escribe la expresión que relaciona la medida en centímetros del resorte y con el número de kilogramos colgados x. y =

3’. La longitud de los metales se modifica al ser sometidos a cambios de temperatura. La siguiente tabla muestra cómo varía la longitud de una barra de cobre al someterla a distintas temperaturas.

Temperatura. (ºC)

0 ºC 10 ºC 20 ºC 30 ºC 40 ºC

Longitud de la barra de cobre. (m)

10 m 10.01 m 10.02 m 10.03 m 10.04 m

Si x es la temperatura y y la longitud de la barra de hierro. ¿Cuál es la expresión que permite encontrar y a partir de x? y =

SECUENCIA 21. LOS POLÍGONOS Y SUS ÁNGULOS INTERNOS

Reactivo 11. La suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono es 3600º,

¿cuántos lados tiene este polígono? Justifica tu respuesta

1’. ¿Es posible que la suma de las medidas de los ángulos internos de un

polígono sea 3000º? Justifica tu respuesta

Respuesta: y= 0.5x+ 10

Respuesta: y = 0.001x + 10

Respuesta: 22 lados. Si se divide 3600 entre 180 el resultado es 20, eso quiere decir que es un polígono de 20 + 2 lados.

Respuesta: no. Al dividir 3000 entre 180 el resultado es 16 y sobran 120, no alcanza para otro triángulo.



Reactivo 22. Encuentra la medida del ángulo interno del polígono con vértice A.

A

106º

102º 106º

104º

2’. Encuentra la medida del ángulo interno del polígono con vértice A.

A

78º

113º

126º 136º

128º

SECUENCIA 22. MOSAICOS Y RECUBRIMIENTOS

Reactivo 11. observa el siguiente recubrimiento y contesta las preguntas.

a) ¿qué polígonos se utilizaron para for-mar el recubrimiento?

b) ¿Cuánto miden los ángulos internos de estos polígonos?

Respuestas:

a) Pentágonos regulares y rombos.

b) 108º los del pentágo-no y 36º y 144º los del rombo.

Respuesta: 122°

Respuesta: 139°



1’. observa el siguiente recubrimiento y contesta las preguntas.

a) ¿qué polígonos se utilizaron para formar el recubrimiento?

b) ¿Cuánto miden los ángulos in-ternos del polígono irregular?

SECUENCIA 23. LAS CARACTERÍSTICAS DE LA LÍNEA RECTA

Reactivo 11. ¿Cuál de las graficas asociadas a las siguientes expresiones algebraicas es

paralela a la gráfica asociada a la expresión y = 3x?

a) y = 2x + 3 b) y = x + 3 c) y = 3 d) y = 3x + 1

1´. ¿Cuál de las graficas asociadas a las siguientes expresiones algebraicas es paralela a la gráfica asociada a la expresión y = 2x + 1?

a) y = x + 2 b) y = 2x + 3 c) y = 3x + 2 d) y = 3x

Reactivo 22. La gráfica asociada a la expresión y = x + 1 interseca al eje y en el pun-

to (0,1) Encuentra 2 rectas que también intersequen al eje y en el punto (0,1).

Recta 1: y =

Recta 2: y =

¿Cómo es la ordenada al origen de las rectas que encontraste, distintas o

iguales?

Respuesta:

a) octágonos regulares y octágonos irregulares (o estrellas de 8 lados)

b) tiene cuatro ángulos de 45º y cuatro ángulos de 225º

Respuesta: inciso d).


Respuesta: Cualesquiera dos rectas que tengan distinta pendiente y que tengan a 1 como ordenada al origen, por ejemplo:

Recta 1: y = 2x + 1

Recta 2: y = 3x + 1

La ordenada al origen de las rec-tas es igual.



2’. La gráfica asociada a la expresión y = 6x + 3 interseca al eje Y en el pun-to (0,3) Encuentra 2 rectas que también intersequen al eje Y en el punto (0,3).

Recta 1: y =

Recta 2: y =

¿Cómo es la ordenada al origen de las rectas que encontraste, distintas o

iguales?

Reactivo 33. ¿Cuál de las siguientes líneas rectas es paralela a la gráfica de la expre-

sión de la línea recta y = 2x + 1? Subráyala.

Respuesta: Cualesquiera dos rec-tas que tengan distinta pendiente y que tengan a 3 como ordenada al origen, por ejemplo:

Recta 1: y = x + 3

Recta 2: y = 3x + 3

La ordenada al origen de las rec-tas es igual.

Respuesta: inciso c).

Respuesta: inciso c).

x

y

x

y

x

y

x

y

a) b) c) d)

3´. ¿Cuál de las siguientes líneas rectas es paralela a la gráfica de la expre-sión de la línea recta y = 3x + 2? Subráyala.

x

y

x

y

x

y

x

y

a) b) c) d)



Reactivo 44. En el siguiente plano cartesiano se encuentran graficadas tres rectas,

elige la opción que corresponda al conjunto de rectas graficadas.

x

y

a) y = 3x + 1 y = 2x + 1 y = x + 1

b) y = 2x + 2 y = x + 2 y = –x + 2

c) y = 15x + 2 y = 3x + 2 y = 5x + 2

d) y = 3x y = 2x y = x

4’. En el siguiente plano cartesiano se encuentran graficadas tres líneas rec-tas, elige la opción que corresponda al conjunto de rectas graficadas.

x

y

a) y = 2x – 4 y = 2x + 3 y = 2x

b) y = 3x y = x y = 4x

c) y = 3x + 3 y = 5x y = 3x - 4

d) y = 3x y = 2x y = x


Respuesta: inciso a).

e x a m e n b l o q u e 4


SECUENCIA 24. PROBLEMAS DE CONTEO

Reactivo 11. expresa el resultado de las siguientes operaciones como una potencia:

a) 44 × 45 = b) 214 × 27 = c) (32)8 =

d) (54)3 = e) 610

63 = f) 28

212 =

g) 85

85 =

1’. expresa el resultado de las siguientes operaciones como una potencia:

a) 57 × 52 = b) 64 × 610 = c) (26)3 =

d) (82)5 = e) 37

314 = f) 412

49 =

g) 28

28 =

Reactivo 22. encuentra el resultado de las siguientes potencias sin utilizar otra potencia.

a) 4–2 = b) 2–7 =

c) 101 = d) 90 =

e) 5–1 =

2. encuentra el resultado de las siguientes potencias sin utilizar otra potencia.

a) 2–4 = b) 5–2 =

c) 3–1 = d) 91 =

e) 50 =

Respuestas:

a) 116

b) 125

c) 13

d) 9

e) 1

Respuestas:

a) 116

b) 1128

c) 10

d) 1

e) 15

Respuestas:

a) 59

b) 614

c) 218

d) 810

e) 3–7 , 137 o ( 1

3 )7

f) 43

g) 20

Respuestas:

a) 49

b) 221

c) 316

d) 512

e) 67

f) 2–4 , 124 o ( 1

2 )4

g) 80


m a t e m á t i c a s i i


Reactivo 33. Relaciona las columnas para que cada número quede expresado en nota-

ción científica:

( ) 8 370 000 000 000 000

( ) 0. 0000000000000762

(a) 7.62 × 10–13

(b) 8.37 × 1015

(c) 0.762 × 10–13

(d) 0.837 × 1016

(e) 7.62 × 10–14

(f) 8.37 × 1016

(g) 0.762 × 1014

(h) 0.837 × 10–15

(i) 7.62 × 1014

(l) 8.37 × 10–15

3’. Relaciona las columnas para que cada número quede expresado en nota-ción científica:

( ) 712 000 000 000 000 000

( ) 0. 00000000000000854

(a) 7.12 × 10–17

(b) 8.54 × 1014

(c) 0.712 × 10–16

(d) 0.854 × 10–15

(e) 7.12 × 1015

(f) 8.54 × 10–15

(g) 0.712 × 1016

(h) 0.854 × 10–14

(i) 7.12 × 1017

(l) 8.54 × 10–14

Respuestas:

(i)

(f)

Respuestas:

(b)

(e)



SECUENCIA 25. TRIÁNGULOS CONGRUENTES

Reactivo 11. los puntos P, q y R son puntos medios de los lados del triángulo equilá-

tero abc. traza los segmentos Pq, qR y RP y responde lo siguiente.

A

B P C

QR

a) ¿en cuántos triángulos quedó dividido el triángulo abc?

b) ¿los triángulos en los que quedó dividido el triángulo abc son con-

gruentes? Justifica tu respuesta

1’. el punto i es el incentro del triángulo equilátero abc. traza los segmen-tos ia, ib, ic y contesta las preguntas.

A

B C

I

a) ¿en cuántos triángulos quedó dividido el triángulo abc?

b) ¿los triángulos en los que quedó dividido el triángulo abc son con-

gruentes? Justifica tu respuesta

Respuestas:

a) en tres

b) si. Pueden utilizar el criterio de congruencia para triángu-los lal o el criterio ala

Respuestas:

a) en tres

b) si. Pueden utilizar el criterio de congruencia para triángu-los lal



SECUENCIA 26. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

Reactivo 11. en el siguiente triángulo rectángulo marca sus puntos notables

1’. ¿cómo se llama el punto notable que se marca en cada triángulo?

a) b)

c) d)

Respuesta:

incentro

ortocentro

baricentro

Circuncentro

Respuestas:

a) incentro.

b) circuncentro.

c) baricentro.

d) ortocentro.



SECUENCIA 27. EVENTOS INDEPENDIENTES

Reactivo 11. en el experimento: Lanzar una moneda y un dado al mismo tiempo, ob-

servar la figura y el número que cae en las caras superiores, considera los siguientes eventos.

R “en la moneda cae sol”.

s “en el dado cae 3”.

t “en la moneda cae sol y en el dado cae 3”.

a) calcula la probabilidad de ocurrencia del evento R.

b) calcula la probabilidad de ocurrencia del evento s.

c) calcula la probabilidad de ocurrencia del evento t.

1’. en el experimento: Lanzar dos monedas al mismo tiempo, observar la figura que cae en las caras superiores, considera los siguientes eventos.

R “en la primera moneda cae águila”.

s “en la segunda moneda cae águila”.

t “en la primera y en la segunda monedas cae águila”.

a) calcula la probabilidad de ocurrencia del evento R.

b) calcula la probabilidad de ocurrencia del evento s.

c) calcula la probabilidad de ocurrencia del evento t.

Respuestas:

(a) 12

(b) 12

(c) 14

Respuestas:

(a) 12

(b) 16

(c) 112



Reactivo 22. Determina si los eventos que se definen son independientes o dependien-

tes.

a) Experimento. lanzar dos monedas al mismo tiempo.

Evento R “en la primera moneda cae sol”

Evento S “en la segunda moneda cae sol”

b) Experimento. lanzar dos veces una moneda.

Evento T “en el primer lanzamiento cae sol”

Evento U “en el segundo lanzamiento cae sol”

c) Experimento. De una bolsa con 5 canicas de las que 3 son verdes y 2 rojas, sacar primero una canica, devolverla a la bolsa y sacar otra ca-nica.

Evento J “en la primera extracción la canica es roja”

Evento K “en la primera extracción la canica es verde”

2’. Determina si los eventos que se definen son independientes o dependien-tes.

a) Experimento. lanzar dos monedas al mismo tiempo.

Evento R “en la primera moneda cae sol”

Evento S “en la segunda moneda cae águila”

b) Experimento. lanzar dos veces una moneda.

Evento T “en el primer lanzamiento cae sol”

Evento U “en el segundo lanzamiento cae águila”

c) Experimento. De una bolsa con 5 canicas de las que 3 son verdes y 2 rojas, sacar primero una canica, no devolverla a la bolsa y sacar otra canica.

Evento J “en la primera extracción la canica es roja”

Evento K “en la primera extracción la canica es verde”

Respuestas.

a) independientes.

b) independientes.

c) Dependientes.

Respuestas:

a) independientes.

b) independientes.

c) independientes.



SECUENCIA 28. GRÁFICAS DE LÍNEA

Reactivo 11. la siguiente tabla muestra el número de personas inscritas en el padrón

electoral de nuestro país en el periodo de 1997 a 2004.

¿cuáles de los siguientes pares de gráficas representan adecuadamente la información que muestra la tabla?

a) i y iV

b) ii y iii

c) iii y iV

d) no hay un par de gráficas adecuadas.

Respuesta: inciso a)

Población inscrita en el padrón electoral de México por sexo.

Año Hombres Mujeres

1997 25 660 000 27 360 000

1998 26 040 000 27 770 000

2000 28 790 000 30 795 000

2002 30 690 000 32 890 000

2003 31 690 000 33 990 000

2004 33 030 000 35 550 000

Fuente: iFe. estadísticas del padrón electoral por grupos de edad y sexo, cifras correspondientes al periodo 1997-2004. www.ife.org.mx (valores redondeados a miles)

Hombres

Mujeres

39 000 000

37 000 000

35 000 000

33 000 000

31 000 000

29 000 000

27 000 000

25 000 000

23 000 000 1997 1998 2000 2002 2003 2004

población inscrita en el padrón electoral de méxico por sexo

años

núm

ero

de p

erso

nas

Gráfica I

50 000 000

45 000 000

40 000 000

35 000 000

30 000 000

25 000 000

20 000 000

15 000 000

10 000 000

5 000 000

0 1997 1998 2000 2002 2003 2004


años

núm

ero

de p

erso

nas

Gráfica II

40 000 000

35 000 000

30 000 000

25 000 000

20 000 000 1997 1998 2000 2002 2003 2004


años

núm

ero

de p

erso

nas

en m

iles

Hombres

Mujeres

Gráfica III

40 000

38 000

36 000

34 000

32 000

30 000

28 000

26 000

24 000

22 000 1997 1998 2000 2002 2003 2004


años

núm

ero

de p

erso

nas

en m

iles

Hombres

Mujeres

Gráfica IV



1’. la siguiente tabla muestra el número de personas inscritas en el padrón electoral de nuestro país en el periodo de 1997 a 2004.

¿cuál de las siguientes gráficas correspon-de a los datos que se muestran en la tabla?

a) i

b) ii

c) iii

d) iV

Respuesta: inciso d)

Población inscrita en el padrón electoral de México por sexo.

Año Hombres Mujeres

1997 25 660 000 27 360 000

1998 26 040 000 27 770 000

2000 28 790 000 30 795 000

2002 30 690 000 32 890 000

2003 31 690 000 33 990 000

2004 33 030 000 35 550 000

Fuente: iFe. estadísticas del padrón electoral por grupos de edad y sexo, cifras correspondientes al periodo 1997-2004. www.ife.org.mx (valores redondeados a miles)

40 000 000

35 000 000

30 000 000

25 000 000

20 000 000 1997 1998 2000 2002 2003 2004


años

núm

ero

de p

erso

nas

en m

iles

Hombres

Mujeres

Gráfica III

40 000

38 000

36 000

34 000

32 000

30 000

28 000

26 000

24 000

22 000 1997 1998 2000 2002 2003 2004


años

núm

ero

de p

erso

nas

Hombres

Mujeres

Gráfica I

50 000

45 000

40 000

35 000

30 000

25 000

20 000

15 000

10 000

5 000

0 1997 1998 2000 2002 2003 2004


años

núm

ero

de p

erso

nas

en m

iles

Gráfica II

39 000 000

37 000 000

35 000 000

33 000 000

31 000 000

29 000 000

27 000 000

25 000 000

23 000 000 1997 1998 2000 2002 2003 2004


años

núm

ero

de p

erso

nas

Hombres

Mujeres

Gráfica IV



Reactivo 22. las siguientes gráficas de línea muestran información sobre dos aspectos

del problema de maltrato infantil en méxico.

30000 29000 28000 27000 26000 25000 24000 23000 22000 21000 20000 19000 18000 17000 16000 15000

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

denuncias recibidas por maltrato infantil atendidos por el diF-preman, 1995 a 2002

den

unci

as r

ecib

idas

años

30000 29000 28000 27000 26000 25000 24000 23000 22000 21000 20000 19000 18000 17000 16000 15000

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

menores maltratados atendidos por el diF-preman, 1995 a 2002

tota

l de

men

ores

mal

trat

ados

ate

ndid

os

años

a) De las siguientes cifras, señala cuál se aproxima más al número de denuncias que se recibieron en el año 2000.

28 000 27 800 27 500 27 000

b) ¿corresponde el año en que se atendió al mayor número de niños con el año en el que se presentaron el mayor número de denuncias?

c) Describe: ¿cuál es el mayor intervalo de crecimiento en el número de

denuncias?

Respuesta:

a) 27 800 denuncias

b) sí, pero también en el año de 2000 se atendió a un igual número de menores aunque las denuncias fueron un número menor (27 800 denuncias).

c) el mayor intervalo de creci-miento en el número de denuncias fue de 15 500 y ocurrió de 1995 a 1997.

Fuente: sistema nacional para el Desarrollo integral de la Familia. Dirección de asistencia Jurídica. subdirección de asistencia Jurídica y adopciones. Departamento de asistencia Jurídica Familiar. coordinación técnica de asistencia Psicosocial.*DiF-PReman es el Programa de Prevención al maltrato infantil del sistema nacional para el Desarrollo integral de la Familia.información presentada en mujeres y Hombres en méxico, ineGi, 2005 (los datos están redondeados a centenas).



2’. las siguientes gráficas de línea muestran información sobre dos aspectos relacionados con el problema de maltrato infantil en méxico.

30000 29000 28000 27000 26000 25000 24000 23000 22000 21000 20000 19000 18000 17000 16000 15000

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

denuncias recibidas por maltrato infantil atendidos por el diF-preman, 1995 a 2002

den

unci

as r

ecib

idas

años

30000 29000 28000 27000 26000 25000 24000 23000 22000 21000 20000 19000 18000 17000 16000 15000

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

menores maltratados atendidos por el diF-preman, 1995 a 2002

tota

l de

men

ores

mal

trat

ados

ate

ndid

os

años

a) De las siguientes cifras, señala cuál se aproxima más al menor número de niños atendidos.

18 000 17 600 17 200 17 000

b) ¿en qué año se presentó?

c) ¿corresponde el año en que se atendió al menor número de niños con el año en el que se presentaron el menor número de denuncias?

d) Describe: ¿cuál es el mayor intervalo de crecimiento en el número de menores atendidos que presentan las gráficas de línea?

Respuestas:

a) 17 600

b) en el año de 1996.

c) no.

d) el mayor intervalo de creci-miento en el número de menores atendidos fue de 9 000 y ocurrió de 1996 a 1997.

Fuente: sistema nacional para el Desarrollo integral de la Familia. Dirección de asistencia Jurídica. subdirección de asistencia Jurídica y adopciones. Departamento de asistencia Jurídica Familiar. coordinación técnica de asistencia Psicosocial.*DiF-PReman es el Programa de Prevención al maltrato infantil del sistema nacional para el Desarrollo integral de la Familia.información presentada en mujeres y Hombres en méxico, ineGi, 2005 (los datos están redondeados a centenas).



SECUENCIA 29. GRÁFICAS FORMADAS POR RECTAS

Reactivo 11. el siguiente recipiente está siendo llenado con agua con una llave que

arroja cierta cantidad cada minuto, al inicio el recipiente estaba vacío. De las gráficas que se presentan, ¿cuál corresponde a esta situación?

Nivel

Respuesta: inciso a)

Respuesta: inciso b)

Tiempo

Niv

el

Tiempo

Niv

el

Tiempo

Niv

el

Tiempo

Niv

el

a) b) c) d)

1’. el siguiente recipiente está siendo llenado con agua con una llave que arroja cierta cantidad cada minuto, al inicio el recipiente estaba vacío. De las gráficas que se presentan, ¿cuál corresponde a esta situación?

Nivel

Tiempo

Niv

el

Tiempo

Niv

el

Tiempo

Niv

el

Tiempo

Niv

el

a) b) c) d)



Reactivo 22. el rendimiento de un automóvil es el re-

sultado de dividir los kilómetros recorridos entre los litros de gasolina consumida.

observa la siguiente gráfica, que relaciona la cantidad de kilómetros recorridos por el automóvil y la cantidad de gasolina res-tante en su tanque.

a) ¿cuánta gasolina tenía el automóvil en su tanque?

b) en los primeros 30 km que recorrió el automóvil, ¿cuál fue su ren-

dimiento?

c) entre los 30 y 80 km, ¿cuál fue su rendimiento?

d) entre los 80 y 120 km, ¿cuál fue su rendimiento?

2’. el rendimiento de un automóvil es el re-sultado de dividir los kilómetros recorridos entre los litros de gasolina consumida.

observa la siguiente gráfica, que relaciona la cantidad de kilómetros recorridos por el automóvil y la cantidad de gasolina res-tante en su tanque.

a) ¿cuánta gasolina tenía el automóvil en su tanque?

b) en los primeros 50 km que recorrió el automóvil, ¿cuál fue su ren-

dimiento?

c) entre los 50 y 90 km, ¿cuál fue su rendimiento?

d) entre los 90 y 120 km, ¿cuál fue su rendimiento?

Respuestas:

a) 45 litros

b) 1.5 km/l

c) 5 km/l

d) 2.6 km/l

Respuestas:

a) 45 litros

b) 5 km/l

c) 2.6 km/l

d) 1.5 km/l

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

distancia recorrida (Kilómetros)

Gas

olin

a re

stan

te (L

itros

)

A

B

C

D

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

distancia recorrida (Kilómetros)

Gas

olin

a re

stan

te (L

itros

)

A

B

C

D



Reactivo 33. un automóvil viaja a una velocidad de 100 km/h cuando va en autopista,

80 km/h cuando va en carretera libre, y a 50 km/h cuando va dentro de la ciudad. el siguiente dibujo muestra el trayecto que tiene que recorrer el automóvil cuando viaja del punto a al punto b.

400 km

autopista libreCiudad

100 kma b400 km

en el siguiente plano cartesiano dibuja la gráfica de la distancia recorrida por el automóvil en relación al tiempo transcurrido.

1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

tiempo en horas

dis

tanc

ia e

n ki

lóm

etro

s

Respuestas:



3'. un estudiante camina a una velocidad de 1.5 m/s cuando el terreno es pla-no, 0.5 m/s cuando es de subida y 3 m/s cuando es de bajada. en su camino a la escuela tiene que pasar por un valle como se muestra en la figura.

600 m300 m

EscuelaCasa

450 m300 m

en el siguiente plano cartesiano dibuja la gráfica de la distancia recorrida por el estudiante en relación al tiempo transcurrido.

2 000

1 800

1 600

1 400

1 200

1 000

800

600

400

200

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 1 100 1 200 1 300 1 400

tiempo en segundos

dis

tanc

ia e

n m

etro

s

Respuesta:




SECUENCIA 30. SISTEMAS DE ECUACIONES

Reactivo 11. une con una línea cada sistema de ecuaciones con el método con el que

más se facilita resolverla.

Sistema Método

i) 3x + 5y = 15

4x – 5y = 28 a) Igualación

ii) 3x + 4y = 20

x = 2y

b) Suma o resta

iii) y = 3x + 5

y = 2x – 6

iv) 2x + 3y = 15

4x + 3y = 23

c) Sustitución

1’. une con una línea cada sistema de ecuaciones con el método con el que más se facilita resolverla.

Sistema Método

i) 2x + y = 15

y = 20 – x a) Igualación

ii) x + y = 20

x – y = 30

b) Suma o resta

iii) y = 2x – 3

y = 3x + 6

iv) x = 15 – 2y

x = 3y – 5

c) Sustitución

Respuestas: i) con b), ii) con c), iii) con a), iv) con b)

Respuestas: i) con c), ii) con b), iii) con a), iv) con a)

m a t e m á t I c a S I I


Reactivo 22. Indica cuál es el sistema de ecuaciones que está representado en la gráfica.

Sistema

40

35

30

25

20

15

10

5

5 10 15 20 25 30 35 400

x

ya) x + y = 20

y = 2x

b) x + y = 10

x = 2y

c) x + y = 30

x = 2y

d) x + y = 30

y = 2x

2’. Indica cuál es el sistema de ecuaciones que está representado en la gráfica.

Sistema

40

35

30

25

20

15

10

5

5 10 15 20 25 30 35 400

x

ya) x + y = 10

y = 2x

b) x + y = 10

x = y

c) x + y = 20

x = 2y

d) x + y = 20

y = x

Respuesta: inciso d)

Respuesta: inciso c)



Reactivo 33. Resuelve el siguiente problema usando un sistema de ecuaciones.

El perímetro del triángulo isósceles es 30 y el del rectángulo es 75, ¿cuánto valen w y z?

5z

ww

z

3’. Resuelve el siguiente problema usando un sistema de ecuaciones.

Un pantalón y una camisa cuestan $ 350.00 pero el pantalón vale $ 12.00 más que el triple del valor de una camisa. ¿Cuál es el valor de cada prenda?

Reactivo 44. Resuelve por el método que consideres conveniente el siguiente sistema

de ecuaciones. Realiza la verificación.

m = 5n – 49

6m – 3n = –1

4’. Resuelve por el método que consideres conveniente el siguiente sistema de ecuaciones. Realiza la verificación.

r = 3t – 34

6r – 5t = –6

Sistema de ecuaciones:

x + y =350

y = 3x + 12

Solución:

Valor de un pantalón: $265.50

Valor de una camisa: $84.50

Sistema de ecuaciones:

2w + z = 30

2w + 10z = 75

Solución:

w =12.5

z = 5

Solución:

m = 73n = 5

Solución:

r =1.5

t = 3



SECUENCIA 31. TRASLACIÓN, ROTACIÓN Y SIMETRÍA CENTRAL

Reactivo 11. Para pasar de la figura a a la figura a’, se hizo una rotación. ¿cuánto

mide el ángulo de rotación?

A'

A

1’. Para pasar de la figura a a la figura a’, se hizo una rotación. ¿cuánto mide el ángulo de rotación?

A'

A

Respuesta: el ángulo de rota-ción mide 45°.

Respuesta: el ángulo de rota-ción mide 60°.



Reactivo 22. con base en la siguiente figura, responde las preguntas.

E F

G

m

n

a) ¿qué movimiento tenemos que hacer para pasar de la figura e a la figura F?

b) ¿qué movimientos se pueden hacer para pasar de la figura F a la figura G?

c) ¿qué movimiento permite pasar directamente de la figura e a la figura G?

2’. con base en la siguiente figura, responde las preguntas.

m

n

H G

E F

a) ¿qué movimiento tenemos que hacer para pasar de la figura e a la figura F?

b) ¿Y de e a H?

c) ¿Y de H a G?

d) ¿qué movimiento permite pasar directamente de la figura e a la figura G?

Respuestas:

a) Simetría con respecto a la recta m.

b) Simetría con respecto a la recta n o una traslación.

c) Rotación de 180° o simetría central.

Respuestas:

a) traslación.

b) Simetría con respecto a la recta n.

c) Simetría con respecto a la recta m.

d) Rotación de 180° o simetría central.



SECUENCIA 32. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Reactivo 11. considera el experimento y los eventos que se han definido. Relaciona

las columnas de acuerdo a la probabilidad que le corresponde a cada evento.

experimento: lanzar un dado (no trucado) y observar el número de la cara superior que cae.

Sean los eventos:

A: “cae un número mayor que 4”.

B: ”cae un número impar”.

C: “cae un número menor que 4”.

P(a o b) 12

P(a) 13

P(a o c) 23

P(b) 56

1'. considera el experimento y los eventos que se han definido. Relaciona las columnas de acuerdo a la probabilidad que le corresponde a cada evento.

experimento: lanzar un dado (no trucado) y observar el número de la cara superior que cae.

Sean los eventos:

A: “cae un número menor que 5”.

B: ”cae un número par”.

C: “cae un número impar”.

P(a o b) 12

P(a) 1

P(b o c) 13

P(c) 56

Respuestas:

P(a o b) = 56

P(a) = 13

P(b o c) = 1

P(c) = 12

Respuestas:

P(a o b) = 23

P(a) = 13

P(a o c) = 56

P(b) = 12



Reactivo 22. Determina si los eventos que se definen son o no mutuamente exclu-

yentes.

a) Experimento. lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior.

Evento R “cae un número mayor que 4”

Evento S “cae un número impar”

b) Experimento. Seleccionar al azar a un estudiante de secundaria.

Evento T “en estudiante es hombre”

Evento U “el estudiante tiene 14 años”

c) Experimento. Seleccionar al azar una canica de una bolsa que contie-ne canicas azules y blancas.

Evento J “la canica es blanca”

Evento K “la canica es azul”

2’. Determina si los eventos que se definen son o no mutuamente exclu-yentes.

a) Experimento. lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior.

Evento R “cae un número mayor que 4”

Evento S “cae 6”

b) Experimento. Seleccionar al azar a un estudiante de secundaria.

Evento T “en estudiante es hombre”

Evento U “el estudiante es mujer”

c) Experimento. Seleccionar al azar una canica de una bolsa que contie-ne canicas blancas chicas, canicas azules chicas y canicas azules gran-des.

Evento J “la canica es blanca”

Evento K “la canica es grande”

Respuestas.

d) no mutuamente excluyentes.

e) no mutuamente excluyentes.

f) mutuamente excluyentes.

Respuestas:

a) no mutuamente excluyentes.

b) mutuamente excluyentes.

c) mutuamente excluyentes.



SECUENCIA 33. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Reactivo 11. une con una línea cada sistema de ecuaciones de acuerdo con el número

de soluciones que le corresponden.

Sistema Método

i) y = 2x + 5

y = 3x – 2 a) no tiene solución

ii) y = 2x + 5

y = 2x – 3

b) tienen una solucióniii) y = 2x + 5

–6x + 3y = 15

iv) y = 2x + 5

–2x + y = 6 c) tiene más de una solución

Reactivo 1’1’. une con una línea cada sistema de ecuaciones de acuerdo con el número

de soluciones que le corresponden.

Sistema Método

i) y = 5x + 5

y = 5x – 2 a) no tiene solución

ii) y = 2x + 7

y = 4x +14

b) tienen una solucióniii) y = 2x + 5

3y = 6x +15

iv) y = 2x + 5

y = 3x +1 c) tiene más de una solución

Respuestas: i) con a), ii) con b), iii) con c), iv) con b)

Respuestas: i) con b), ii) con a), iii) con c), iv) con a)



2. Señala la gráfica que representa al sistema:

y = 3x + 2

x + y = 10

a)10

5

–5

y

x –5 5 10

b)10

5

–5

y

x –5 5 10

c)10

5

–5

y

x –5 5 10

d)10

5

–5

y

x –5 5 10

2’. Señala la gráfica que representa al sistema:

y = 2x –5

x – y = 10

a)10

5

–5

y

x –5 5 10

b)10

5

–5

y

x –5 5 10

c)10

5

–5

y

x –5 5 10

d)10

5

–5

y

x –5 5 10

Respuesta: Inciso c)

Respuesta: Inciso a)



Reactivo 33. Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones.

y = 2x + 10

y = –2x + 10

a) y

x

20

15

10

5

–5

–10

–15

–15 –10 –5 5 10 15 20

b) ¿cuál es la solución del sistema? x = , y =

3’. Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones.

y = 3x + 5

y = 3x – 5

a) y

x

20

15

10

5

–5

–10

–15

–15 –10 –5 5 10 15 20

b) ¿el sistema tiene una solución, muchas soluciones o no tiene solu-

ción?

Respuesta:

a)20

15

10

5

–5

–10

–15

y

x –15 –10 –5 5 10 15 20

b) no tiene solución

Respuestas:

a) y

x

20

15

10

5

–5

–10

–15

–15 –10 –5 5 10 15 20

b) x = 0, y =10



4. observa la siguiente grafica y contesta las preguntas.

y

x

24

20

16

12

8

4

–4

–8

–12

–16

–20

–20 –16 –12 –8 –4 4 8 12 16 20 24

y = –2x – 4y = –2x + 24

y = 3x +12

a) ¿cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones no tiene solución? márcalo.

e1: y = –2x – 4 e1: y = –2x – 4 e1: y = 3x + 12

e2: y = 3x + 12 e2: y = –2x + 24 e2: y = –2x + 24

b) De los tres sistemas de ecuaciones anteriores, escribe el que tiene solución negativa para x, pero solución positiva para y.

Respuesta:

a) e1: y = –2x – 4

e2: y = –2x + 24

b) e1: y = –2x – 4

e2: y = 3x + 12



4’. observa la siguiente grafica y contesta las preguntas.

y

x

24

20

16

12

8

4

–4

–8

–12

–16 –12 –8 –4 4 8 12 16 20

y = –2x +16

y = 3x + –8

y = 3x +4

a) ¿cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones no tiene solución? Se-ñálalo.

e1: y = –2x +16 e1: y = –2x + 16 e2: y = 3x + 4

e2: y = 3x + 4 e2: y = 3x – 8 e2: y = 3x – 8

b) De los tres sistemas de ecuaciones anteriores, escribe el que tiene solución, tanto para x como para y, un valor mayor que 4 pero menor que 8.

Respuestas:

a) e1: y = 3x + 4

e2: y = 3x – 8

b) e1: y = –2x + 16

e2: y = 3x – 8

bibliografía

Revisor académico externoDavid Block Sevilla

Diseño de actividades tecnológicasMauricio Héctor Cano PinedaEmilio Domínguez BravoDeyanira Monroy Zariñán

matemáticas I I Volumen I Ilibro para el maestro

Se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de ,

el mes de de 2007.El tiraje fue de ejemplares, más sobrantes de reposición.

Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática. 23 agosto 2003. <http://www.inegi.gob.mx >

SeP. Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Educación Se-cundaria, méxico, 2000. Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria,

méxico, 2000. 20 agosto 2007. <http://www.reforma secundaria.sep.gob.mx/

index.htm >

SeP-Ilce. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo, Ense-ñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educación Secundaria, méxico, 2000. Geometría dinámica, Enseñanza de las Matemáticas con Tec-

nología (Emat). Educación Secundaria, méxico, 2000. Biología, Enseñanza de las Ciencias a través de Modelos Ma-

temáticos (Ecamm). Educación Secundaria, méxico, 2000.

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