Janet Domínguez Estrada 24100086

Precálculo gpo 1

SECCIONES CÓNICAS

También denominadas cónicas, pueden obtenerse al cortar con un plano dos conos circulares rectos opuestos por el vértice. Al varias la posición del plano

obtenemos un circulo, un elipse, una parábola o una hipérbola.

Las graficas de la ecuación Ax 2 + Bxy + Cx 2 + Dx + Ex + F = 0 son curvas planas para diversas elecciones de los coeficientes, y se obtienen al intersectar un

cono* con un plano; de ahí el nombre de secciones cónicas

Las cónicas degeneradas se obtienen si el plano corta al cono en sólo un punto a lo largo ya sea de una o dos líneas que estén en el cono. Las secciones cónicas fueron bastante estudiadas por los antiguos griegos, quienes descubrieron propiedades que nos permiten plantear sus definiciones en términos de punto y rectas.

*A partir de una recta fija L y de un punto fijo V y L, la superficie formada por todas las rectas que pasan por V

y que forman un ángulo constante con L se llama cono circular recto. La recta fija L se llama eje del cono y V

es el vértice. Las dos partes en que el vértice divide al cono se llama manto.

CIRCUNFERENCIA Un círculo se define como el conjunto de todos los puntos de un plano cuya distancia a

punto fijo es constante. El punto fijo se llama el centro, C, y la distancia constante al

centro del circulo se llama radio, r (donde r >0) coloquemos un circulo de radio r en el

plano cartesiano, con el centro en el punto (h,k) elijamos un punto en el plano, y

llamémosle (x,y) (figura 2).

La definición de un circulo nos dice que para que (x,y) este en el circulo la distancia

del centro (h,k) a (x,y) debe ser r. por la formula de la distancia, tenemos

(x-h)2 + (y-k)2

La ecuación quedaría

(x-h)2 + (y-k)2 = r2

•Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una

elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la

sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como

un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio

•La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se

denomina circunferencia unidad

•Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son

muy numerosas.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Secantes, cuerdas y tangentes.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;

diámetro, o cuerda mayor, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;

cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;

recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;

recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;

punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;

arco, segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;

semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Para determinar una ecuación del círculo con centro (-1,5) y radio 4, utilizamos la forma canónica del círculo con

h=-1, k=5 y r=4 para obtener:

[x-(-1)]2 + (y-5)2 = 4 o (x+1)2 + (y-5)2 = 16

EJEMPLO 1 Determinar el centro y radio del circulo

2x2 + 2y2 -8x + 12y-28 = 0

No está en forma canónica, así que debemos completar el cuadrado. Sin embargo, antes de

hacerlo, dividimos cada lado de la ecuación entre 2 para hacer los coeficientes de los términos

de segundo grado iguales a 1.

2x2 + 2y2 -8x + 12y-28 = 0

x2 + y2 -4x + 6y-14 = 0

x2 -4x+ y2 +6y = 14

Dividimos ambos lados de la ecuación entre 2

Sumamos 14 a cada lado y agrupamos los términos como se

muestra

Completamos el cuadrado para cada expresión cuadrática

Sumamos 4 y 9 en ambos lados de la ecuación

Reescribimos las expresiones cuadraticas en forma

factorizada

Ahora esta en forma canónica.

(x2 – 4x + 4) + (y2 +6y + 9) = 14+4+9

(x-2)2 + (y+3)2 = 27

Ahora podemos leer h=2, k=-3 y r=27 r 27 =3 3

Por lo tanto, el centro es (2,-3) y el radio es 3 3

Ejemplo 2 Una circunferencia tiene centro C(-3, 4) y pasa por el punto P(1, -2) . Determinar su Ecuación General. Solución:

Para llegar a la ecuación general partimos de la ecuación canónica: R2 = (x-h)2 + (y-k)2 Observamos si tenemos el centro, en este caso C(-3, 4) pero el radio no está dado. ¿Cómo encontrarlo? Se nos dan un punto P(1, -2) por donde pasa las circunferencia; y sabemos que R = d(C, P). Entonces, por definición de distancia, tenemos:

R = d(C, P) Luego, sustituyendo tenemos:

(x-h)2 + (y-k)2 = R2 (x+3)2 + (y-4)2 Desarrollando la Ecuación canónica. La ecuación general queda: x2 + y2 + 6x – 8y – 27 = 0

EJERCICIOS

(sin resolver)

1.- Determinar la Intersección entre la recta de ecuación x – y = 1 y la

circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x – 4y – 1 = 0.

2.- Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el

punto P(1, 6) y tangente a la recta de la ecuación x – y – 1 = 0

ELIPSE Una elipse es el conjunto de todos los puntos P del plano, tales que la

suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano es constante. Los

puntos fijos F’ y F se llaman focos. Con relación a la figura, el

segmento de recta V’V que pasa por los focos es el eje mayor. La

mediatriz B’B del eje mayor es el eje menor. Cada extremo del eje

mayor, V’ y V, se llama vértice. El punto medio del segmento F’F se

llama centro de la elipse.

El hecho de que la suma de la longitud de dos

lados cualquiera de un triangulo debe ser mayor

que el tercer lado, por lo que d(F´, P) + d(P,F) > d(F´, F)

d1 + d2 > 2c

2 a >2c

a>c

Se usara este resultado de la deducción que

comienza ahora. En relación con la figura

anterior, el punto P (x, y) pertenecerá a la elipse

si y solo si

d1 + d2 = 2 a

d(P,F´) + d(P, F) = 2 a

(x+c)2 + (y-0)2 + (x-c)2 + (y-0)2 = 2 a

Después de eliminar radicales y simplificar se obtienen

2

2

a

x+ 2

2

b

y=1

Ecuación estándar de un elipse

con centro en el origen.

Para a>b es un eclipse con centro (0,0) y vertice (±a,0). Los

extremos del eje menor son (0,±b). Los focos son (±c,0),

donde c2=a2-b2.

La longitud del eje mayor es 2 a ; la longitud del eje men

Es el lugar Geométrico de los puntos P(x, y) del plano, cuya suma de distancias a dos

puntos F1 y F2 (focos) es constante. (Ver grafica)

d(P,F1) + d(P,F2) = d(A1, A2) Donde:

C(h, k) es el centro.

A1, A2, B1, B2 Son los Vértices

F1, F2 Focos.

= 2a Eje Mayor.

= Eje Focal

= Eje Menor.

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

Viene dada por Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 donde A ≠ B pero de

igual signo. Ejemplo:

2x2 + 3y2 - 6x + 12y + -1 = 0

Excentricidad: es la relación entre “C” y “a” esto es

Coordenadas de los vértices y focos: es importante conocer estos puntos

de la elipse; pero es bastante sencillo determinar sus coordenadas,

tomando en cuenta que siempre se puede llegar a partir del centro de la

elipse.

CASO I:

A1(h+a, k) ; A2(h-a, k)

F1(h+c, k) ; F2(h-c, k)

B1(h, k+b) ; B2(h, k-b)

CASO II:

A1(h, k+a) ; A2(h, k-a)

F1(h, k+c) ; F2(h, k-c)

B1(h+b, k) ; B2(h+b, k)

Dónde C(h, k) “a” distancia del centro hasta A1 y A2,

“b” distancia del centro hasta B1, B2

“c” distancia del centro hasta F1, F2.

CASO II:

A1(h, k+a) ; A2(h, k-a)

F1(h, k+c) ; F2(h, k-c)

B1(h+b, k) ; B2(h+b, k)

EJEMPLO 1

Graficar 16x2 + 4y2 =16. identificar sus focos.

Solucion: primero escribimos la ecuacion en forma canonica. Para obtener un 1 del lado derecho, debemos

dividir entre 16

16x2 + 4y2 =16 dividimos ambos lados entre 16

simplificamos

la ecuación esta ahora en forma canónica

2

2

16

16x2

2

16

4y+ = 16

16

1

2x+ 4

2y= 1

Si comparamos nuestra ecuacion con ambas formas

canonicas de la elipse, observamos que el denominar de

y 2

es mayor que el denominador de x; por lo tanto, como a

debe ser mayor b, utilizamos la segunda forma

2

2

b

x2

2

a

y+ = 1

Graficamos los vertices

(0,±2) y los extremos del eje menor (±1,0) y

trazamos la grafica de la elipse.

Observe que a>b y c2=a2-b2 = 4 – 1 = 3 C = 3

Los focos son (0, ± ) 3

EJEMPLO 2

El arco de un puente es semieliptico con un eje mayor horizontal. La base del arco abarca los 50

pies de ancho de una carrera de doble sentida y la parte mas alta del arco mide 15pies en forma

vertical sobre la línea central de la carretera

¿puede pasar un camión de 14 pies de altura pasar debajo de este puente, estando a la derecha de

la línea central, si el camión tiene 10 pies de ancho?

Solucion:

Observamos que la abertura del

puente es una semielipse, y podemos

trazar esta elipse en un sistema de

coordenadas rectagulares con centro

en el origen, con el eje mayor en el

eje x. trazamos la grafica y

etiquetamos la informacion dada en

una grafica

Utilizamos la forma en que el eje

mayor es horizontal. Como a = 25, y

b=15, nuestra ecuacion es, por lo

tanto

2

2

25

x2

2

15

y+ =1

2

2

25

102

2

15

y+ =1

Y2=

15 (21/25) =189

Ejercicios

1-La tierra traza una ruta eliptica alrededor del sol, con el

sol en unno de los focos. La longitud de la mitad del eje mayor es de 93 millones de millas y la excentricidad es e≈

0.017. estimar la distancia mas cercana de la tierra al sol.

2-traza la grafica de lo siguiente e identificar sus ejes, centros, vertice y focos

16

32

x 4

42

y+ =1

PARABOLA

Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano que

equidistan de un punto fijo F (el foco) y una recta fija L (la

directriz) que están en el plano.

Una recta perpendicular a la directriz que pase por el foco se

llama eje, y el punto del eje que esta a la mitad d la directriz y el

foco se llama vértice.

La función cuadrática general f(x)=ax 2+bx+c

La parábola con vértice (0,0)

Θ Dado el foco y su directriz, elegimos un sistema de coordenadas de modo tal

que la directriz sea horizontal y el origen esté a la mitad de la distancia entre el

foco y la directriz. Llamaremos p a la distancia entre el foco y el origen (p>0), de

modo que la distancia entre el origen y la directriz también es p. Por lo tanto, las

coordenadas del foco F son (0,p) y la ecuación de la directriz es y=-p.

FORMA CANÓNICA DE LA ECUACIÓN DE UNA

PARÁBOLA CON FOCO (0,P) Y DIRECTRIZ Y=-P

La forma canónica para la ecuación de una

parábola con foco (0,p) y directriz y=-p es:

x2=4py

Esta es una parábola con vértice en el origen y

que tiene al eje y como su eje de simetría.

EJEMPLO 1

Determinar el foco y la directriz de la parábola y= x2.

Solución: para una parábola dada en la forma x2.=4py, sabemos que la ecuación de la directriz es y=-p y que el foco es (0,p), por lo que necesitamos identificar p. podemos

escribir la ecuación y= x2. en la forma despejando x2.

y=- x2.

Comparamos esto con la forma canónica para identificar p:

x2.=4py

x2.=-3y vemos que 4p=-3 p= -

Por lo tanto, el foco es (0, - ) y la directriz es y=

3

1

3

1

3

1

4

3

4

3

3

1

EJEMPLO 2

Determinar el foco y la directriz de la parábola x= 2 y2.

Solución: primero determinamos cual forma canónica debemos utilizar. Observemos que existe un término y2.(y no existe x2), tenemos una parábola simetría con respecto del eje x y utilizamos la forma y2.=4py.

podemos escribir la ecuación x=2y2 en la forma y2 = 4px y despejar y2

x=2y2 y2 = x

Comparamos esto con la forma canónica de la parábola con vértice en el origen y simetrica con respecto del eje x para identificar para identificar p:

x2.=4py

y2 = x tenemos 4p = p = 8

1

2

1

2

1

2

1

EJEMPLO 3

Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a. De la

ecuación de la parábola tenemos que

y2 – 6y + 9 – 9 -4x + 17 = 0

(y-3)2 – 4 (x-2) = 0

(y-3)2 = 4 (x-2)

De donde obtenemos que p=1 y el vértice v=(2,3), por lo tanto, la parábola abre

hacia la derecha y tiene el foco f(3,3), la recta directriz es x=1 . La gráfica se

muestra en la figura.

EJERCICIOS 1.Determinar la ecuación de la parábola con vértice

en el origen, simetría con respecto del eje y, si su foco es (0,-3)

2. Un micrófono de campo utilizado en un campo de futbol (figura 3) consta de un plato parabólico con receptor colocado en su foco. El plato se obtiene al girar la parábola y= x2 con respecto de eje de simetría, donde -1.5 ≤ x ≤ 1.5, y x se mide en pies ¿qué tan profundo debe ser el plato, y donde debe colocarse el receptor con respecto a la parte inferior (vértice) del plato?

9

1

HIPERBOLA

Una hiperbola es el conjunto de puntos en el

plano tales que el valor absoluto de la diferencia

de sus distancias de dos puntos fijos en una

constante positiva. Los puntos fijos son los focos

de la hiperbola

Ecuacion general

Siendo h y k las coordenadas en el plano del centro O.

Mientras que a y b son la distancia de los vértices A y A’

al foco G y F.

ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA

En una hipérbola hay que destacar los siguientes elementos:

Eje focal: recta que pasa por los focos.

Eje secundario: mediatriz del segmento que determinan los focos.

Focos: F y G, la distancia focal se representa por 2c.

Vértices: A y A´ que son los puntos intersección de la hipérbola con el eje focal; la longitud del segmento AA´ se representa por 2a.

Centro de la hipérbola, O, es el punto intersección de los ejes.

La hipérbola con centro en el origen y con

focos en el eje x tiene la ecuación

2

2

a

x2

2

b

y- = 1

EJEMPLOS

EJERCICIOS

Traza la grafica de la hipérbola

Identificar los focos y las asíntotas

9x2 – 27y2 = 225

2

Traza la grafica de la hipérbola

Identificar los focos

36y2 – x2 = 9

BIBLIOGRAFIA

ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA CON GEOMETRIA ANALITICA

Arthur Goodman/Lewis Hirsch

Precálculo

Algebra, geometria analitica y trigonometria

Barnett

ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA CON GEOMETRIA ANALITICA

Swokowski