Secciones cónicas

Prof. Raúl Carrasco V.

Secciones cónicas• Se llama secciones cónicas a las que pueden

obtenerse mediante la intersección de un plano con un cono recto.

1. Circunferencia

Es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo es

constante.

La ecuación de la circunferencia:

• Centro =(h,k)• Radio = r

222 kyhxr

Ejemplo

• La ecuación de la circunferencia de centro (4,-1) y radio 3

22 149 yx

ElipseLa elipse es el lugar geométrico de los

puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos

es constante

Ecuación:

• La ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos sobre el eje de las abscisas es:

12

2

2

2

by

ax

• Si los focos están sobre el eje de ordenadas , la ecuación de la elipse es

• En ambos casos se verifica:

12

2

2

2

ay

bx

222 cba

Ejemplo

• Para hallar la ecuación de una elipse de focos F1=(3,0) y F2=(-3,0) cuyo eje mayor es 10, procedemos así:

• Hallamos a resolviendo la ecuación 2a=10; a =5• Hallamos b mediante la relación

4222 bcba

11625

22

yx

Hipérbola:La Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos

del plano tales que el módulo de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es

constante

La ecuación

• Centro en el origen de coordenadas y foco sobre el eje de las abscisas es

• Si los focos están sobre el eje de ordenadas, la ecuación es:

12

2

2

2

ay

bx

12

2

2

2

ay

bx

En ambos casos se verifica que: 222 bac

Parábola:

La parábola es el lugar geométrico de los puntos tales que sus distancias a un punto fijo llamado

foco y a una recta llamada directriz

La ecuación• Con vértice en el origen y

directriz de ecuación x = -p, la ecuación de la parábola es

• Si la ecuación de la directriz es y = -p, la ecuación de la parábola es

pxy 42

pyx 42

Ejemplo

• La ecuación de la parábola de foco (5,0) y directriz x =-5 es :

xyxy 205.4 22