APUNTE DE CLASE RESISTENCIA DE MATERIALES I

ING - 206

Prof. Martin Melendez 2008

Tema 1: Introducción a la Mecánica de Materiales Tensión, Compresión y Cortante 1.1 Introducción a la Mecánica de Materiales 1.1.1 Hipótesis Fundamentales 1.2 Esfuerzo y Deformación Unitaria Normales 1.2.1 Esfuerzos 1.2.2 Deformación Unitaria Normal 1.2.2 Limitaciones 1.3 Línea de Acción de las Fuerzas Axiales en una Distribución Uniforme de Esfuerzos 1.4 Propiedades Mecánicas de los Materiales 1.4.1 Teoría Elástica 1.4.2 Ensayo de Tensión 1.4.3 Curva tensión-deformación 1.4.4 Esfuerzo y Deformación Ingeniériles 1.4.5 Fragilidad 1.4.6 Compresión 1.4.6.1 Realización de la Prueba de Compresión 1.4.7 Tabla de Propiedades Mecánicas 1.5 Elasticidad, Plasticidad y Flujo Plástico. 1.5.1 Carga Repetida de un Material 1.5.2 Flujo Plástico 1.6 Elasticidad Lineal Ley de Hooke y Relación de Poisson 1.6.1 Ley de Hooke 1.6.2 Relación de Poisson 1.7 Esfuerzos Cortantes y Deformación Unitaria Cortante 1.7.1 Igualdad de los Esfuerzos Cortantes sobre Planos Perpendiculares 1.7.2 Deformación Unitaria Cortante 1.7.3 Convención de signos para esfuerzos cortantes y deformaciones unitarias cortantes 1.7.4 Ley de Hooke en Corte 1.8 Esfuerzo y Cargas Admisible 1.8.1 Factores de Seguridad 1.8.2 Esfuerzos Admisibles 1.8.3 Cargas Admisibles 1.9 Diseño para Cargas Axiales y Corte Directo Tema 2: Miembros Cargados Axialmente 2.1 Introducción 2.2 Cambios De Longitud de Miembros Cargados Axialmente 2.2.1 Resortes 2.2.2 Barras Prismáticas

CONTENIDO

2.2.3 Cables 2.3 Cambio en Longitud de Barras No Uniforme 2.3.1 Barras con Cargas Axiales Indeterminadas 2.3.2 Barras con Cargas o Dimensiones en Variación Continua 2.3.3 Limites de Aplicación 2.4 Estructuras Estáticamente Indeterminadas 2.5 Esfuerzos Sobre Secciones Inclinadas 2.5.1 Elementos de Esfuerzos 2.5.2 Esfuerzos Sobre Secciones Inclinadas 2.5.3 Esfuerzos Normales y Cortantes Máximos 2.5.4 Esfuerzo Uniaxial 2.6 Energía de Deformación 2.6.1 Energía de Deformación Elástica e Inelástica 2.6.2 Comportamiento Linealmente Elástico 2.6.3 Desplazamiento Causados por Una Sola Carga 2.6.4 Densidad de la Energía de Deformación Tema 3: Fuerzas Cortantes y Momentos Flexionantes 3.1 Introducción al Ámbito del Diseño Estructural 3.2 Tipos de Vigas, Cargas y Reacciones 3.2.1 Tipos de Cargas 3.2.2 Reacciones 2.2.3 Equilibrio Estático 2.2.4 Estabilidad Geométrica y Determinación Estática 3.3 Fuerzas Cortantes y Momentos Flexionantes 3.3.1 Convención de Signos 3.4 Relaciones Entre Cargas, Fuerzas y Momentos Flexionantes 3.4.1 Cargas Distribuidas 3.4.2 Cargas Concentradas 35 Diagrama de Fuerza Cortante y de Momento Flexionante 3.5.1 Cargas Concentradas 3.5.2 Carga Uniforme 3.5.3 Varias Cargas Concentradas Tema 4: Esfuerzos en Vigas 4.1 Introducción 4.2 Flexión Pura y Flexión No Uniforme 4.3 Curvatura de una Viga 4.4 Deformaciones Unitarias Longitudinales en Vigas 4.5 Esfuerzos Normales en Vigas (Materiales Elástico Lineales) 4.5.1 Localización del Eje Neutro 4.5.2 Relación Momento-Curvatura 4.5.3 Formula de la Flexión 4.5.4 Esfuerzos Máximos en una Sección Transversal 4.5.5 Formas Doblemente Simétricas 4.5.6 Limitantes

4.6 Diseño de Vigas para Esfuerzos de Flexión 4.6.1 Vigas de Perfiles y Tamaños Estandarizados 4.6.2 Eficiencia relativa de Diferentes formas de Vigas 4.7 Esfuerzos Cortantes en Vigas de Sección Transversal Rectangular 4.7.1 Esfuerzos Cortantes Verticales y Horizontales 4.7.2 Obtención de la Formula del Esfuerzo Cortante 4.7.3 Calculo del Momento Estático Q 4.7.4 Distribución de los Esfuerzos Cortantes en una Viga Rectangular 4.7.5 Limitantes 4.7.6 Efectos de las deformaciones Cortantes 4.8 Esfuerzos Cortantes en Vigas de Sección Transversal Circular 4.9 Esfuerzos Cortantes en las Almas de Vigas con Patines 4.9.1 Esfuerzos Cortantes en el Alma 4.9.2 Esfuerzos Cortantes Máximos y Mínimos 4.9.3 Fuerza Cortante en el Alma 4.9.4 Limitantes

1.1 Introducción a la Mecánica de Materiales 1.1.1 Hipótesis Fundamentales 1.2 Esfuerzo y Deformación Unitaria Normales 1.2.1 Esfuerzos 1.2.2 Deformación Unitaria Normal 1.2.2 Limitaciones 1.3 Línea de Acción de las Fuerzas Axiales en una Distribución Uniforme de Esfuerzos 1.4 Propiedades Mecánicas de los Materiales 1.4.1 Teoría Elástica 1.4.2 Ensayo de Tensión 1.4.3 Curva tensión-deformación 1.4.4 Esfuerzo y Deformación Ingeniériles 1.4.5 Fragilidad 1.4.6 Compresión 1.4.6.1 Realización de la Prueba de Compresión 1.4.7 Tabla de Propiedades Mecánicas 1.5 Elasticidad, Plasticidad y Flujo Plástico. 1.5.1 Carga Repetida de un Material 1.5.2 Flujo Plástico 1.6 Elasticidad Lineal Ley de Hooke y Relación de Poisson 1.6.1 Ley de Hooke 1.6.2 Relación de Poisson 1.7 Esfuerzos Cortantes y Deformación Unitaria Cortante 1.7.1 Igualdad de los Esfuerzos Cortantes sobre Planos Perpendiculares 1.7.2 Deformación Unitaria Cortante 1.7.3 Convención de signos para esfuerzos cortantes y deformaciones unitarias cortantes 1.7.4 Ley de Hooke en Corte 1.8 Esfuerzo y Cargas Admisible 1.8.1 Factores de Seguridad 1.8.2 Esfuerzos Admisibles 1.8.3 Cargas Admisibles 1.9 Diseño para Cargas Axiales y Corte Directo

Tema 1

Introducción a la Mecánica de Materiales Tensión, Compresión y Cortante

1.1 INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE MATERIALES La resistencia de materiales clásica es una disciplina de la ingeniería mecánica y la ingeniería estructural que estudia los sólidos deformables mediante modelos simplificados. La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo. Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Típicamente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular. Para el diseño mecánico de elementos con geometrías complicadas la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario usar técnicas basadas en la teoría de la elasticidad o la mecánica de sólidos deformables más generales. La teoría de sólidos deformables requiere generalmente trabajar con tensiones y deformaciones. Estas magnitudes vienen dadas por campos tensoriales definidos sobre dominios tridimensionales que satisfacen complicadas ecuaciones diferenciales. Sin embargo, para ciertas geometrías aproximadamente unidimensionales (vigas, pilares, celosías, arcos, etc.) o bidimensionales (placas y láminas, membranas, etc.) el estudio puede simplificarse y se pueden analizar mediante el cálculo de esfuerzos internos definidos sobre una línea o una superficie en lugar de tensiones definidas sobre un dominio tridimensional. Además las deformaciones pueden determinarse con los esfuerzos internos a través de cierta hipótesis cinemática. En resumen, para esas geometrías todo el estudio puede reducirse al estudio de magnitudes alternativas a deformaciones y tensiones. El esquema teórico de un análisis de resistencia de materiales comprende:

• Hipótesis cinemática establece como serán las deformaciones o el campo de desplazamientos para un determinado tipo de elementos bajo cierto tipo de solicitudes. Para piezas prismáticas las hipótesis más comunes son la hipótesis de Bernouilli-Navier para la flexión y la hipótesis de Saint-Venant para la torsión.

• Ecuación constitutiva que establece una relación entre las deformaciones o desplazamientos deducibles de la hipótesis cinemática y las tensiones asociadas. Estas ecuaciones son casos siempre casos particulares de las ecuaciones de Lamé-Hooke.

• Ecuaciones de equivalencia, son ecuaciones en forma de integral que relacionan las tensiones con los esfuerzos internos.

• Ecuaciones de equilibrio que relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores. En las aplicaciones prácticas el análisis es sencillo, se construye un esquema ideal de cálculo formado por elementos unidimensionales o bidimensionales, y se aplican fórmulas preestablecidas en base al tipo de solicitación que presentan los elementos. Esas fórmulas preestablecidas que no necesitan ser deducidas para cada caso, se basan en el esquema de cuatro puntos anterior. Más concretamente la resolución práctica de un problema de resistencia de materiales sigue los siguientes pasos:

1. Cálculo de esfuerzos, se plantean las ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad que sean necesarias para encontrar los esfuerzos internos en función de las fuerzas aplicadas.

2. Análisis resistente, se calculan las tensiones a partir de los esfuerzos internos. La relación entre tensiones y deformaciones depende del tipo de solicitación y de la hipótesis cinemática asociada: flexión de Bernouilli, flexión de Timoshenko, tracción, pandeo, torsión de Coulomb, teoría de Collignon para tensiones cortantes, etc.

3. Análisis de rigidez, se calculan los desplazamientos máximos a partir de las fuerzas

aplicadas o los esfuerzos internos. Para ello puede recurrirse directamente a la forma de la hipótesis cinemática o bien a la ecuación de la curva elástica, las fórmulas vectoriales de Navier-Bresse o los teoremas de Castigliano.

Los cuerpos absolutamente rígidos, indeformables, con los que se ha tratado en la materia de Estática I, no existen en la realidad. Las deformaciones de los cuerpos, debida a la acción de cargas, en realidad son pequeñas y en general pueden ser detectadas solamente con instrumentos especiales. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes del equilibrio y del movimiento del sólido, por lo que la Mecánica Teórica prescinde de ellas. Sin embargo, sin el estudio de estas deformaciones seria imposible resolver un problema de gran importancia practica como es el de determinar las condiciones para las cuales puede tener lugar la falla de una pieza, o aquellas en las que la misma puede servir sin tal peligro. Las construcciones que el ingeniero encuentre en su práctica tienen, en la mayoría de los casos configuraciones bastante complejas. Los diversos elementos de estas se reducen a los siguientes tipos simples. Barra: Es un cuerpo que tiene dos dimensiones pequeñas en comparación con la tercera, como caso particular, pueden ser de sección transversal constante y de eje rectilíneo.

La línea que une los centros de gravedad de sus secciones transversales se denomina eje de la barra. Placa: Es un cuerpo limitado por dos planos, a distancia pequeña en comparación con las otras dimensiones.

Bóveda: Es un cuerpo limitado por dos superficies curvilíneas, a distancia pequeña en comparación con las otras dimensiones.

En la Resistencia de Materiales se estudian principalmente, los casos de barras que tienen sección constante y eje recto. Entenderemos por falla de una estructura o de determinadas partes de la misma: a la rotura, o sin llegar a ello, a la existencia de un estado inadecuado. Esto último puede ocurrir por varios motivos: deformaciones demasiado grandes, falta de estabilidad de los materiales, fisuraciones, pérdida del equilibrio estático por pandeo, abollamiento o vuelco, etc. En este curso limitaremos el estudio a la falla por rotura, deformaciones excesivas o pandeo. La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitaciones internas y las deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas exteriores. La diferencia entre la Mecánica Teórica y la Resistencia de Materiales radica en que para ésta lo esencial son las propiedades de los cuerpos deformables, mientras que en general, no tienen importancia para la primera. Feodosiev ha dicho que la Resistencia de Materiales puede considerarse como Mecánica de Los Sólidos Deformables. La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos simples de cálculo, aceptables desde el punto de vista práctico, de los elementos típicos más frecuentes de las estructuras, empleando para ello diversos procedimientos aproximados. La necesidad de obtener resultados concretos al resolver los problemas prácticos nos obliga a recurrir a hipótesis simplificativas, que pueden ser justificadas comparando los resultados de cálculo con los ensayos, o los obtenidos aplicando teorías más exactas, las cuales son más complicadas y por ende usualmente poco expeditivas. Los problemas a resolver haciendo uso de esta ciencia son de dos tipos: 1- Dimensionamiento 2- Verificación En el primer caso se trata de encontrar el material, las formas y dimensiones mas adecuadas de una pieza, de manera tal que ésta pueda cumplir su cometido: Trabajar con seguridad, en perfecto estado y con gastos adecuados El segundo caso se presenta cuando las dimensiones ya han sido prefijadas y es necesario conocer si son las adecuadas para resistir el estado de solicitaciones actuantes. 1.1.1 Hipótesis Fundamentales

a) El material se considera macizo (continuo): El comportamiento real de los materiales cumple con esta hipótesis aún cuando pueda detectarse la presencia de poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la materia, compuesta por átomos que no están en contacto rígido entre sí, ya que existen espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formando una red ordenada.

Esta hipótesis es la que permite considerar al material dentro del campo de las funciones continuas.

b) El material de la pieza es homogéneo (idénticas propiedades en todos los puntos): El acero es un

material altamente homogéneo; en cambio, la madera, el hormigón y la piedra son bastante heterogéneos. Sin embargo, los experimentos demuestran que los cálculos basados en esta hipótesis son satisfactorios.

c) El material de la pieza es isótropo: Esto significa que admitimos que el material mantiene

idénticas propiedades en todas las direcciones.

d) Las fuerzas interiores, originales, que preceden a las cargas, son nulas. Las fuerzas interiores entre las partículas del material, cuyas distancias varían, se oponen al cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas. Al hablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas moleculares que existen en sólido no sometido a cargas.

1.2 ESFUERZO Y DEFORMACIÓN UNITARIA NORMALES Los conceptos fundamentales de la mecánica de materiales son el esfuerzo y deformación unitaria. 1.2.1 Esfuerzos: se representa con la letra (σ) y se define como magnitudes físicas con unidades de fuerza sobre área utilizadas en el cálculo de piezas prismáticas como vigas o pilares y también en el cálculo de placas y láminas. P σ = ------- A Las unidades de los esfuerzos son las mismas que para la presión, fuerza dividida por área, se utilizan con frecuencia: MPa, psi, Kpsi, Kg. /mm2, Kg. /cm2. Cuando se utilizan unidades del SI, la fuerza se expresa en newtons (N) y el área en metros cuadrados (m2). Por lo tanto las unidades de esfuerzos serán newtons por metro cuadrado (N/m2) o también llamado Pascal (Pa). Por ser esto una unidad muy pequeña, es mejor utilizar Megapascal (Mpa) (que es 106 veces Pa). Cuando la barra se estira debido a las fuerzas P, los esfuerzos que se producen son esfuerzos de tensión o esfuerzos de tracción. Si las fuerzas tienen una dirección contraria y hacen que la barra se comprima se trata de esfuerzos de compresión. Siempre que los esfuerzos actúen en una forma perpendicular a la superficie de corte, se llama esfuerzos normales. Por lo tanto los esfuerzos normales pueden solamente ser de tracción o de compresión. Mas adelante veremos otro tipo de esfuerzo (esfuerzo cortante), que es el que actúa de forma paralela a la superficie de aplicación.

1.2.2 Deformación Unitaria Normal: Una forma de comparar la deformación entre dos elementos, es expresarla como una deformación porcentual, o en otras palabras, calcular la deformación que sufrirá una longitud unitaria del material, la cual se denomina deformación unitaria e. La deformación unitaria se calculará como: ε = δ /Lo

Deformación debida a esfuerzos de tensión y de compresión, respectivamente.

Algunas características mecánicas de los materiales como su resistencia (capacidad de oponerse a la rotura), su rigidez (capacidad de oponerse a las deformaciones) y su ductilidad (capacidad de deformarse antes de romperse), por lo general se obtienen mediante ensayos en laboratorio (resistencia de materiales experimental), sometiendo a pruebas determinadas porciones del material (probetas normalizadas) para obtener esta información. Parece que el primero que realizó ensayos para conocer la resistencia de alambres fue Leonardo Da Vinci, pero probablemente el primero en sistematizar la realización de ensayos y en publicar sus resultados en forma de una ley fue Robert Hooke, sometiendo alambres enrollados (resortes), a la acción de diferentes cargas y midiendo las deformaciones producidas, lo que le permitió enunciar los resultados obtenidos en forma de ley (“como la tensión así es la fuerza”), en su tratado publicado en 1678; esto es lo que se conoce en su forma moderna como la LEY DE HOOKE En la práctica, a veces se anotan las unidades originales de δ y L en las deformaciones unitarias y entonces su valor aparece en formas como mm/m, µm/m y pulg/pulg. 1.2.3 Limitaciones A partir de todas las consideraciones anteriores podemos formular una hipótesis: “Los esfuerzos internos en una sección cualquiera de un cuerpo se desarrollan punto a punto”. Esta hipótesis será de gran importancia y, como se ve en otros cursos, pueden demostrarse experimentalmente. Si consideramos un cuerpo sometido a cargas exteriores en equilibrio, y lo dividimos en dos partes mediante la intersección con un plano cualquiera, sabemos que en la sección originada aparecerán fuerzas que mantienen el equilibrio de la porción. Si en la sección tomamos un punto P y

donde, ε: deformación unitaria, δ: deformación total. Lo: longitud inicial del elemento deformado.

un entorno de área ∆Ω, sobre dicha área existirá una fuerza elemental ∆F. Haciendo el cociente de ∆F/∆Ω, con ∆Ω tendiendo a cero, definiremos como “vector tensión total o tensión resultante en el punto P, al siguiente límite. La tensión es una magnitud vectorial, por lo tanto queda definida mediante tres parámetros: intensidad, dirección y sentido. Por otro lado, la dimensión que tiene es la de una fuerza por unidad de área, y puede medírsela, por ejemplo, en Kg. /cm2 (KN/cm2) El vector tensión total puede descomponerse según dos direcciones, una normal al plano de la sección y otra contenida en el mismo, obteniéndose así dos componentes de tensión denominadas tensión normal (s) y tensión tangencial (t). Tomando el caso de una barra lateral de una prensa, cuando más gira el volante superior mayor es la fuerza que debe absorber la barra. Se observa así mismo que la barra se estira ligeramente de modo que para cada valor de F se produce un pequeño alargamiento d. Como el esfuerzo F es constante en toda la barra, todas las fibras longitudinales están estiradas uniformemente. Podemos entonces establecer el cociente entre el desplazamiento d y la longitud L de la barra cuando está descargada, a este cociente lo denominamos “deformación unitaria o especifica”

Observamos que ésta no tiene unidades, es decir, es una magnitud adimensional. Ahora bien, si todas las fibras se han alargado igual, cada punto del cuerpo está caracterizado por tener la misma deformación especifica, aunque en otros casos esto podría no ser así, con lo que cada punto tendría un valor distinto de ε. De las consideraciones anteriores podemos deducir que cada punto de la barra tiene una tensión y una deformación.

1.3 LÍNEA DE ACCIÓN DE LAS FUERZAS AXIALES EN UNA DISTRIBUCIÓN UNIFORME DE ESFUERZOS

De toda la explicación anterior de lo que es esfuerzo y deformación unitaria en una barra prismática hemos supuesto que el esfuerzo normal σ esta distribuido uniformemente sobre el corte o la sección transversal. Lo que nos toca ahora demostrar es precisamente esta hipótesis de que “El esfuerzo normal esta distribuido uniformemente sobre la sección transversal si la línea de acción de las fuerzas axiales pasa por el centroide del área transversal”. Para esto, imaginémonos una barra prismática de una forma arbitraria en su sección transversal, y sometida a fuerzas axiales P, que producen esfuerzos σ uniformemente distribuidos (ver figura). Sea p1 el punto de corte transversal donde la línea de acción de las fuerzas cruza la sección transversal. Se define un conjunto de ejes xy en el plano de la sección transversal, las coordenadas del punto p1 se representan por x-y. Para determinar las coordenadas, se observan que los momentos Mx y My de la fuerza P respecto a los ejes x-y, respectivamente deben ser iguales a los momentos correspondientes de los esfuerzos uniformemente distribuidos. Los momentos de la fuerza P son: Mx = Py My = - Px donde se considera positivo un momento cuando su vector, de acuerdo a la regla de la mano derecha, actúa en la dirección positiva del eje correspondiente. Los momentos de los esfuerzos distribuidos se obtienen integrando sobre el área transversal A. La fuerza diferencial que actúa sobre un elemento de área dA es igual a σdA; y de acuerdo al eje en que actúa son σydA y - σxdA respectivamente. Los momentos totales se obtienen integrando sobre el área transversal:

Estas ecuaciones dan como resultado los momentos producidos por los esfuerzos σ. Si igualamos los momentos Mx y My que obtuvimos con la fuerza P, con los momentos que obtuvimos con los esfuerzos distribuidos, tenemos que:

Como los esfuerzos σ están uniformemente distribuidos, se sabe que son constantes sobre el área transversal A y pueden salir de los signos de integración. También recordemos que σ = P/A; por consiguiente llegaremos a las siguientes ecuaciones:

Estas ecuaciones son precisamente las mismas que definen las coordenadas de un centroide de cualquier área determinada. Así podemos llegar a la siguiente conclusión Para que exista tensión o compresión uniforme en una barra prismática, la fuerza axial debe de actuar a través del centroide del área transversal.

Ejemplo 1-1 Un pequeño poste construido con un tubo circular hueco de aluminio, soporta una carga de compresión de 26 kips. Los diámetros internos y externos del tubo son d1 = 4.0 pulg y d2 = 4.5 pulg respectivamente y su longitud es de 16 pulg. Se mide el acortamiento del poste debido a la carga y resulta ser de 0.012 pulg. Determinar el esfuerzo y la deformación unitaria de compresión en el poste (no tenga en cuenta el peso del poste miso y suponga que el poste no se pandea bajo la carga). Datos Formulas Grafico π P = 26 Klb. = 26,000 lb A = ----- (d2

2 – d12)

L = 16 pulg. 4 d1 = 4.0 pulg d2 = 4.5 pulg σ = P/A δ = 0.012 pulg ε = δ/L Solución: Esfuerzo de Compresión Suponiendo que la carga de compresión actúa en el centro del tubo hueco, se puede usar la ecuación σ = P/A, para calcular el esfuerzo normal. El área la calculamos con la formula: π π A = ----- (d2

2 – d12) = ----- [(4.5 pulg)2 – (4.0 pulg)2]

4 A = 3.338 pulg2 σ = 26,000 lb / 3.338 pulg2 = Deformación Unitaria 0.012 pulg ε = δ/L = ----------------- = 16 pulg

750 x 10-6

7,790 lb/pulg2

Practica 1: Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios: Pagina 49 ejercicios 1.2-1, 1.2-2, 1.2-3, 1.2-4 Pagina 50 ejercicios 1.2-5, 1.2-6, 1.2-7, 1.2-8, 1.2-9 Pagina 51 ejercicios 1.2-10, 1.2-11 y 1.2-12

Ejemplo 1-2 Una varilla redonda de acero de longitud L y diámetro d cuelga en un tiro de mina y sostiene una canasta de mineral con peso W en su extremo inferior. a) deducir la formula del esfuerzo máximo σmax en la varilla, teniendo en cuenta el peso de la varilla misma. b) calcular el esfuerzo máximo si L=40 m. d = 8 mm y W = 1.5 kN Datos P = W = 1.5 kN Pvarilla = W0 = γV L = 40 m d = 8 mm Solución a) La fuerza axial máxima Fmax en la varilla esta en el extremo superior y es igual al peso W de la canasta + el peso W0 de la varilla misma. Esta ultima es igual a la densidad gravimetrica o densidad de peso γ, del acero multiplicado por el volumen de la varilla. W0 = γV = γAL donde A es el área transversal de la varilla Fmax W + γ σmax = ---------- = -------------- = W/A + γL A A

σmax = W/A + γL

b) Para calcular el esfuerzo máximo sustituimos los valores numéricos en la ecuación anterior. El área será πd2/4, siendo d = 8mm y la densidad de peso γ del acero es 77 kN/m3 (Tabla H-1 pagina 912) σmax = W/A + γL 1.5 Kn x 1000 1000 σmax = -------------------------------- + [77 Kn/m x ---------- x (40 x 1000)] π (8mm)2/4 106 σmax = 29.8 MPa + 3.1 MPa = 32.9 MPa

1.4 PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES Las propiedades mecánicas pueden definirse como aquellas que tienen que ver con el comportamiento de un material bajo fuerzas aplicadas. Las propiedades mecánicas se expresan en términos de cantidades que son funciones del esfuerzo o de la deformación o ambas simultáneamente. En ingeniería, las propiedades mecánicas de los materiales son las características inherentes que permiten diferenciar un material de otros; desde el punto de vista del comportamiento mecánico de los materiales en ingeniería, también hay que tener en cuenta el comportamiento que puede tener un material en los diferentes procesos de mecanizados que pueda tener. Entre estas características mecánicas y tecnológicas destacan:

• Resistencia a esfuerzos de tracción, compresión, flexión y torsión, así como desgaste y fatiga, dureza, resiliencia, elasticidad, tenacidad, fragilidad, cohesión, plasticidad, ductilidad, maleabilidad, porosidad, magnetismo, las facilidades que tenga el material para soldadura, mecanizado, tratamiento térmico así como la resistencia que tenga a los procesos de oxidación, corrosión. Asimismo es interesante conocer el grado de conductividad eléctrica y la conductividad térmica que tenga y las facilidades que tenga para formar aleaciones.

Aparte de estas propiedades mecánicas y tecnológicas cabe destacar cuando se elige un material para un componente determinado, la densidad de ese material, el color, el punto de fusión la disponibilidad y el precio que tenga. Debido a que cada material se comporta diferente, es necesario analizar su comportamiento mediante pruebas experimentales... Entre las propiedades mecánicas más comunes que se mide en los materiales están la resistencia a tracción, a compresión, la deformación, el coeficiente de Poisson y el módulo de elasticidad o módulo de Young. 1.4.1 Teoría Elástica La elasticidad es estudiada por la teoría de la elasticidad, que a su vez es parte de la mecánica de sólidos deformables. La teoría de la elasticidad (TE) describe como un sólido se mueve y deforma como respuesta a fuerzas exteriores. La propiedad elástica de los materiales está relacionada, como se ha mencionado, con la capacidad de un sólido de sufrir transformaciones termodinámicas reversibles. Cuando sobre un sólido deformable actúan fuerzas exteriores y éste se deforma se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial elástica y por tanto se producirá un aumento de la energía interna. El sólido se comportará elásticamente si este incremento de energía puede realizarse de forma reversible, en este caso decimos que el sólido es elástico. Modulo de Young o Modulo de Elasticidad es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado límite elástico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud, no disminuye.

El límite elástico es distinto para los diversos materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que puede calcularse empíricamente en base al ensayo de tracción del material. El modulo de elasticidad se representa mediante la letra E y podemos definirla como: f E = ----- s Recordemos que f = P/A; y si l es la longitud del miembro y e la deformación total, y definimos a S como la deformación unitaria, entonces tenemos que ε s = ------ l Entonces podemos describir el modulo de elasticidad como: P l E = ------- A ε

El modulo de elasticidad de un material es el cociente de la división del esfuerzo unitario entre la deformación unitaria.

Donde: f = es el esfuerzo unitario s = deformación unitaria

Donde: E: modulo de elasticidad ε: deformación total, en pulg. o

centímetro P: fuerzas en lbs. o kilogramos A: área de la sección transversal,

en pulg2 o cm2 l: longitud en pulg. o centímetro

Ley de Hooke: la deformación ε de un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F. P l ε = ------- A E 1.4.2 Ensayo de Tensión

El ensayo de tensión de un material consiste en someter a una probeta normalizada realizada con dicho material a un esfuerzo axial de tracción creciente hasta que se produce la rotura de la probeta. En un ensayo de tensión pueden determinarse diversas características de los materiales elásticos:

• Módulo de elasticidad o Módulo de Young, que cuantifica la proporcionalidad anterior. • Coeficiente de Poisson, que cuantifica la razón entre el alargamiento longitudinal y el acortamiento

de las longitudes transversales a la dirección de la fuerza. • Límite de proporcionalidad: valor de la tensión por debajo de la cual el alargamiento es

proporcional a la carga aplicada. • Límite de fluencia o límite elástico aparente: valor de la tensión que soporta la probeta en el

momento de producirse el fenómeno de la cedencia o fluencia. Este fenómeno tiene lugar en la zona de transición entre las deformaciones elásticas y plásticas y se caracteriza por un rápido incremento de la deformación sin aumento apreciable de la carga aplicada.

• Límite elástico (límite elástico convencional o práctico): valor de la tensión ha la que se produce un alargamiento prefijado de antemano (0,2%, 0,1%, etc.) en función del extensómetro empleado.

• Carga de rotura o resistencia a la tracción: carga máxima resistida por la probeta dividida por la sección inicial de la probeta.

• Alargamiento de rotura: incremento de longitud que ha sufrido la probeta. Se mide entre dos puntos cuya posición está normalizada y se expresa en tanto por ciento.

• Estricción: es la reducción de la sección que se produce en la zona de la rotura.

Normalmente, el límite de proporcionalidad no suele determinarse ya que carece de interés para los cálculos. Tampoco se calcula el Módulo de Young, ya que éste es característico del material; así, todos los aceros tienen el mismo módulo de elasticidad aunque sus resistencias puedan ser muy diferentes.

Existen materiales (ejemplo el aluminio) que no tienen un punto de fluencia bien determinado, pero que sufre grandes deformaciones unitarias después de rebasar el límite de proporcionalidad. Se puede determinar un esfuerzo arbitrario de fluencia llamado de fluencia desplazado. En el diagrama esfuerzo deformación se traza una recta paralela a la parte inicial lineal de la curva, desplazada cierta deformación unitaria normalizada en un 0.2%. El cruce de la línea desplazada con la curva esfuerzo deformación unitaria (ver figura anterior) define el limite de fluencia.

Como este esfuerzo se determina con una regla arbitraria y no es una propiedad física intrínseca del material se debe diferenciar de una resistencia real de fluencia llamándolo esfuerzo de fluencia desplazado.

1.4.3 Curva tensión-deformación

En el ensayo se mide la deformación (alargamiento) de la probeta entre dos puntos fijos de la misma a medida que se incrementa la carga aplicada, y se representa gráficamente en función de la tensión (carga aplicada dividida por la sección de la probeta). En general, la curva tensión-deformación así obtenida presenta cuatro zonas diferenciadas:

1. Deformaciones elásticas: en esta zona las deformaciones se reparten a lo largo de la

probeta, son de pequeña magnitud y, si se retirara la carga aplicada, la probeta recuperaría su forma inicial. El coeficiente de proporcionalidad entre la tensión y la deformación se denomina módulo de elasticidad o de Young y es característico del material. Así, todos los aceros tienen el mismo módulo de elasticidad aunque sus resistencias puedan ser muy diferentes. La tensión más elevada que se alcanza en esta región se denomina límite de fluencia y es el que marca la aparición de este fenómeno. Pueden existir dos zonas de deformación elástica, la primera recta y la segunda curva, siendo el límite de proporcionalidad el valor de la tensión que marca la transición entre ambas.

2. Fluencia o cedencia. Es la deformación brusca de la probeta sin incremento de la carga aplicada. El fenómeno de fluencia se da cuando las impurezas o los elementos de aleación bloquean las dislocaciones de la red cristalina impidiendo su deslizamiento, mecanismo mediante el cual el material se deforma plásticamente. Alcanzado el límite de fluencia se logra liberar las dislocaciones produciéndose la deformación bruscamente. La deformación en este caso también se distribuye uniformemente a lo largo de la probeta pero concentrándose en las zonas en las que se ha logrado liberar las dislocaciones (bandas de Luders). No todos los materiales presentan este fenómeno, en cuyo caso la transición entre la deformación elástica y plástica del material no se aprecia de forma clara.

3. Deformaciones plásticas: si se retira la carga aplicada en dicha zona, la probeta recupera sólo parcialmente su forma quedando deformada permanentemente. Las deformaciones en esta región son más acusadas que en la zona elástica.

4. Estricción o Falla. Llegado un punto del ensayo, las deformaciones se concentran en la parte central de la probeta apreciándose una acusada reducción de la sección de la probeta, momento a partir del cual las deformaciones continuarán acumulándose hasta la rotura de la probeta por ese zona. La estricción es la responsable del descenso de la curva tensión-deformación; realmente las tensiones no disminuyen hasta la rotura, sucede que lo que se representa es el cociente de la fuerza aplicada (creciente) entre la sección inicial y cuando se produce la estricción la sección disminuye, efecto que no se tiene en cuenta en la representación gráfica. Los materiales frágiles no sufren estricción ni deformaciones plásticas significativas, rompiéndose la probeta de forma brusca. Terminado el ensayo se determina la carga de rotura, carga última o resistencia a la tracción: la máxima resistida por la probeta dividida por su sección inicial, el alargamiento en (%) y la estricción en la zona de la rotura.

Otras características que pueden caracterizarse mediante el ensayo de tracción son la resiliencia y la tenacidad, que son, respectivamente, la energía elástica y total absorbida y que vienen representadas por el área comprendida bajo la curva tensión-deformación hasta el límite elástico en el primer caso y hasta la rotura en el segundo.

1.4.4 Esfuerzo y Deformación Ingeniériles Los resultados de un solo ensayo se aplican a todos los tamaños y secciones transversales de especimenes de determinado material, siempre que se convierta la fuerza en esfuerzo, y la distancia entre marcas de calibración se conviertan en deformaciones. F Esfuerzo Ingenieril σ = ---- A0 ∆l Deformación Ingenieril ε = ---- l0 Propiedades Ingeniériles de la Prueba de Tensión σ Propiedades Elásticas E = ---- ε L Deformación verdadera εv = ln ----- L0 Ductilidad % elongación (%e) y % de reducción de área (%RA) capacidad de un material para deformarse permanentemente sin romperse cuando se le aplica una fuerza en relación a su longitud o área.

Donde A0 es el área de la sección transversal original del espécimen antes de que comience el ensayo, l0 es la distancia original entre las marcas de calibración y ∆l Es el cambio de longitud o elongación después de haber aplicado la fuerza F.

Lf – L0 %e = ----------- x 100 L0 A0 - Af %RA = ------------- x 100 A0 1.4.5 Fragilidad

La fragilidad es la cualidad de los objetos y materiales de romperse con facilidad.

Técnicamente sin embargo la fragilidad se define como la capacidad de un material de fracturarse con escasa deformación, a diferencia de los materiales dúctiles que se rompen tras sufrir acusadas deformaciones plásticas. La rotura frágil tiene la peculiaridad de absorber relativamente poca energía, a deferencia de la rotura dúctil, ya que la energía absorbida por unidad de volumen viene dada por:

Si un material se rompe prácticamente sin deformación las componentes del tensor deformación εij resultan pequeñas y la suma anterior resulta en una cantidad relativamente pequeña.

Los materiales que fallan bajo tensión a valores relativamente bajos de deformación unitaria se consideran frágiles. Ejemplos de materiales frágiles serian el concreto, piedra, hierro colado, vidrio, cerámica, etc. estos materiales fallan solo con un alargamiento pequeño después de llegar a su limite de proporcionalidad. Además, la reducción en su área es insignificante, por lo que el esfuerzo nominal de fractura es igual al esfuerzo ultimo real (ver diagrama). El vidrio ordinario es un material frágil casi ideal, porque casi no tiene ductilidad. La curva esfuerzo deformación unitaria para el vidrio sometido a tensión es básicamente una recta y la falla se presenta antes de que haya fluencia alguna.

Ejemplo 1-3 Un espécimen para ensayo de tensión se maquino con un diámetro de 25mm en la sección de calibre y se sometió al ensayo con los resultados de carga-elongación siguientes: Cargas (N) Longitud del Calibre (mm) 0 50.0000 50,000 50.0613 100,000 50.1227 150,000 50.1848 175,000 50.50 200,000 51.35 225,000 52.90 231,000 (ruptura) 53.40

Después de la fractura, se midió una longitud de calibre de 53.1mm y el diámetro fue de 23.25mm. Convierta los datos a esfuerzo-deformación ingenieril, grafíquelos y determine: a) El modulo elástico b) La ductilidad en por ciento de e y en por ciento de RA c) El esfuerzo verdadero y la deformación verdadera en la fractura. π (D0)2 A0 = ----------- = π/4 (25)2 = 490.87 mm2 4

Deformación Esfuerzo Carga

(N) Lcalibre (mm)

∆L (mm) (Lcalibre –L)

Ainst (mm2) ([A0 * L]/Lcalibre)

Ing (e) (∆L/L)

Verdadero (ε)

(∆L/Lcalibre)

S (N/mm2)

(carga/A0)

σ (N/mm2) (carga/Ainst

) 0 50.0000 0 490.87 0 0 0 0 50,000 50.0613 0.0613 490.27 0.001226 0.001225 101.86 101.98 100,000 50.1227 0.1227 489.67 0.002454 0.002451 203.72 204.22 150,000 50.1848 0.1848 489.07 0.003696 0.003689 305.58 306.70 175,000 50.50 0.50 486.01 0.100000 0.009950 356.51 360.07 200,000 51.35 1.35 477.97 0.027000 0.02664 407.44 418.44 225,000 52.90 2.90 463.96 0.0580 0.05638 458.37 484.96 231,000 53.40 3.40 459.62 0.0680 0.06579 470.59 502.59

Grafico esfuerzo Deformacion

0

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8

Esfuerzo Deformacion RealEsfuerzo - Deformacion Ingenieril

a) Calcular el modulo elástico o de Young s E = -------- = 101.86/ 0.001226 = 83,083 Pascal = 83.08 GPa. e σ E = ------ = 101.98/0.001225 = 83, 248 Pascal = 83.25 GPa ε

1.4.6 Compresión Para conocer el comportamiento de los materiales cuando están sometidos a un trabajo bajo fuerza de presión en su destino final, entiéndase esto como el momento en que se ha terminado una obra, es necesario conocer qué tanto resistirá este material cuando ya esté en uso. Para ello empleamos una de las tantas pruebas a las que se someten los materiales, la compresión. Veremos que la misma consiste básicamente en simular la presión a la cuál se somete el material en condiciones normales de uso pero de forma acelerada hasta llegar al punto de ruptura con el objetivo de analizar la resistencia máxima que el mismo puede alcanzar. En nuestro caso la descripción y análisis de la prueba de compresión tendrá su apoyo en el comportamiento del hormigón donde veremos que, al aplicar una fuerza en dirección al eje longitudinal de la probeta de prueba, que simulan las vigas de concreto, ésta tiende a disminuir su volumen hasta llevar al punto de ruptura. Durante el estudio de la prueba veremos que no solo es importante conocer las características del material a examinar sino que para llevar a cabo con éxito la prueba de compresión, es necesario conocer el funcionamiento y componentes de la maquina con la que se realiza la prueba. Veremos que la maquina consiste básicamente en un aparato que controla una fuerza gradual que se va aplicando al material el cual se quiere examinar durante un periodo de tiempo constante. Las curvas esfuerzo-deformación unitaria que se deriva para materiales en compresión difieren de las curvas de tensión. Los metales dúctiles, como el acero, aluminio y cobre, tienen límites de proporcionalidad en compresión muy cercanos a los de tensión y las regiones iniciales de sus diagramas de esfuerzo deformación unitaria en tensión y en compresión son más o menos iguales. Sin embargo, después de que comienza la fluencia el comportamiento es muy distinto.

E = 83.5 GPa. b) La ductilidad en por ciento de e y en por ciento de RA Lf – L0 %e = ----------- x 100 = (53.1 -50)/50 X 100 = 6.2% L0 A0 - Af (π/4) (25)2 – (π/4) (23.25)2 %RA = ------------- x 100 = ------------------------------------ x 100 = 13.51 A0 (π/4) (25)2 c) El esfuerzo verdadero y la deformación verdadera en la fractura. Esfuerzo Verdadero = 502.59 (esfuerzo de rotura σ) Lf Deformación verdadera = ln ------ = ln (53.10/50) = 0.060 L0

En una prueba de tensión, el espécimen se estira, puede haber una estricción y finalmente se presenta la fractura. Cuando el material se comprime, se expande hacia fuera en los lados y su forma se vuelve como un barril, porque la fricción entre el espécimen y las placas en los extremo evita la expansión lateral. Al aumentar la carga, el espécimen se aplana y ofrece una resistencia alta a mayores acortamiento, lo cual significa que la curva esfuerzo deformación unitaria aumenta su pendiente. Esta característica se puede ver en la figura adjunta. Donde se ve un diagrama esfuerzo-deformación para el cobre. Ya que el área transversal real de un espécimen probado en compresión es mayor que el área inicial, el esfuerzo real en una prueba de compresión es menor que el esfuerzo nominal. La compresión es una presión que tiende a causar una reducción de volumen. Cuando se somete un material a una fuerza de flexión, cizalladura o torsión, actúan simultáneamente fuerzas de tensión y de compresión. Por ejemplo, cuando se flexiona una varilla, uno de sus lados se estira y el otro se comprime. Los ensayos practicados para medir el esfuerzo de compresión son contrarios a los aplicados al de tracción donde se somete a los cuerpos o materiales a fuerzas opuestas que actúan sobre los mismos produciendo cierto estiramiento. Por lo regular el ensayo de compresión se realiza en materiales duros, semiduros o blandos teniendo en cuenta que a los materiales duros como los metales no son muy comunes que se les haga este tipo de prueba. El ensayo consiste básicamente en aplicar una fuerza en dirección del eje longitudinal o en otras palabras aplicar una fuerza estática directamente sobre el cuerpo que se quiere examinar. Esta fuerza tiende a provocar un acortamiento o disminución de volumen hasta que el material llegue al punto de ruptura. Existen varias desventajas especiales del ensayo de compresión a los cuales nos debemos dirigir con atención:

• La dificultad de aplicar una carga verdaderamente concéntrica o axial. Esto se refiere al control que se debe tener en el momento de aplicar la carga o fuerza que actuará en nuestro material de tal modo que quede justamente en el centro de forma que la fuerza sea igual en todo momento para todo en cuerpo del material.

• El carácter relativamente inestable de este tipo de carga en contraste con la carga. Existe siempre una tendencia en el establecimiento de esfuerzos flexionantes ya que el efecto de las irregularidades de alineación accidentales dentro de la probeta se acentúa a medida que la carga prosigue.

• La fricción entre los puentes de la máquina de ensayo o placa de apoyo y las superficies de los extremos de la probeta debido a la expansión lateral de esta altera considerablemente los resultados que se obtendrían si tal condición de ensayo no estuviera presente.

• Las áreas secciónales, relativamente mayores de la probeta para ensayo de compresión para obtener un grado apropiado de estabilidad de la pieza. Esto se traduce en la necesidad de una máquina de ensaye de capacidad relativamente grandes o probetas tan pequeñas y por lo tanto, cortas que resulta difícil obtener de ellas mediciones de deformación de precisión adecuada se supone que se desean las características simples del material y no la acción de los miembros estructurales como columnas, de modo que la tensión se limita aquí al bloque de compresión corto.

Para el esfuerzo uniforme de la probeta de compresión, una sección circular es preferible a otras formas. Sin embargo, la sección cuadrada o rectangular se usa frecuentemente par piezas manufacturadas tale como el azulejo.

La selección de la relación de la longitud y el diámetro de una probeta de compresión parece se más o menos un compromiso entre varias condiciones indeseables. A medida que la longitud de la probeta aumenta se presenta una tendencia creciente hacia la tensión de la pieza. Con la consiguiente distribución no uniforme del esfuerzo sobre una sección recta se sugiere una relación en que la longitud de la probeta disminuya el efecto de la restricción fricciona en los extremos. Comúnmente se emplea una relación entre longitud y diámetro de dos o más probetas aunque la relación de altura y diámetro varié para materiales diferentes. Es por ello que para acomodar un compresómetro con la precisión y frecuencia deseada es necesario utilizar una probeta relativamente larga. El tamaño real depende del tipo de material homogéneo para los cuales se requiera solamente la resistencia ultima, pueden usarse probetas pequeñas el tamaño de las probetas de material heterogéneas debe ajustarse al tamaño de las partículas componentes o agregados. Los extremos a los cuales se aplica la carga deben ser planos y perpendiculares al eje de la probeta o de hecho, convertidos así mediante el uso del cabeceo y dispositivos de montaje. Los tramos de calibración para mediciones de deformación deben preferiblemente ser más cortos que el largo de la probeta cuando menos en diámetro de la probeta.

Las probetas para ensayos de compresión de materiales metálicos recomendados por ASTM [3] dice que las probetas cortas son para usarse con metales antifricción, las de longitud mediana para uso general y las largas para ensayos que determine él modulo de elasticidad. Las probetas para ensayos de compresión de láminas metálica deben cargarse en una plantía que provee apoyo lateral con el pandeo sin interferir con las deformaciones axiales de la probeta los detalles de estas plantillas y las probetas correspondientes estas cubiertos por la ASTM.

Para el concreto, las probetas estándar son cilindros con una altura del doble del diámetro [4]. Para el concreto con agregado de tamaño máximo no mayor de 2 pulg. El tamaño normal del cilindro es de 6 * 12 pulg. Para el concreto que contenga agregados de tamaño máximo hasta de 2.5 pulg. que se usa en un cilindro de 8 * 16 es práctica común en muchos laboratorios usar 3 * 6 pulg. para concreto con lo de agregados hasta d ¾ e pulg y para ensayos de concreto con agregados hasta de 6 pulg.)

1.4.6.1 Realización de la Prueba de Compresión Preparación previa Cuando se quiere someter a una prueba de compresión algún material, en nuestro caso digamos cilindros de hormigón, es necesario hacer un curado del mismo donde adquiera ciertas propiedades que demuestres como será su comportamiento cuando esté sometido a un trabajo. Después de terminado este proceso, se mueven los cilindros, que por lo general mas de tres para obtener mejores resultados, y se seca la superficie de los mismos. El siguiente paso será hacer una marca de referencia en cada una de las bases de los cilindros. Esto nos servirá para ubicar el centro de los mismos y colocarlos lo mas ajustado posible en la cámara de compresión o bases circulares de la maquina. Luego de esto se conectan los cables para hacer las lecturas digitales pero sin encender la maquina hasta después de haberlas ajustado a 15 voltios. Pasado esto, colocamos el compresómetro en el cilindro y se da inicio al proceso de compresión. Durante la prueba de compresión nuestro objetivo será reconocer la resistencia del hormigón con relación a la mezcla ya preparada de acuerdo al diseño de mezcla según fue asignado a los diferentes grupos. Con estas pruebas podemos confirmar los resultados del diseño de la mezcla y además establecer la relación entre las resistencias de tensión y flexión con la resistencia a compresión. También tendremos la oportunidad de comparar resultados a 7 y 28 días de madurez, notando el desarrollo de resistencia con respecto al tiempo y poder luego predecir resistencias a 28 días con resultados a tiempos menores.

Durante la prueba compresión también determinaremos el módulo de elasticidad del Hormigón tomando lecturas de carga y deformación del cilindro. Aparato de compresión: El aparato de compresión puede ser una báscula de plataforma equipada con un

marco de carga activado con un gato de tornillo, o con un mecanismo de carga

hidráulica, o cualquier otro instrumento de compresión con suficiente capacidad

de control para proporcionar la velocidad de carga. En lugar de la báscula de

plataforma es común que la carga sea medida con un anillo o una celda de carga

fijada al marco (Figura 1). Para suelos cuya resistencia a la compresión

inconfinada sea menor de 100 kPa (1kg/cm2) el aparato de compresión debe ser

capaz de medir los esfuerzos compresivos con una precisión de 1 kPa (0.01

kg/cm2); para suelos con una resistencia a la compresión inconfinada de 100 kPa

(1 kg/cm2) o mayor el aparato de compresión debe ser capaz de medir los

esfuerzos compresivos con una precisión de 5 kPa (0.05 Kg/cm2).

Uno de los aparatos mas utilizados es la prensa universal (ver figura) modelos RH-10 hasta RH-50 que tienen una capacidad de carga de 10 a 50 toneladas según el modelo.

Tomemos un ejemplo: Un cubo de madera de 20 x 19.8 x 102.3 mm es sometido a una prueba de compresión. La carga máxima se determino cuando el material comienza a presentar alguna fractura y esta fue cuando la madera alcanzo una carga máxima de 1880 kg.

La altura de la madera que inicialmente es de 102.3 mm se determina su compresión en el momento en que esta cambia; considerando en todo momento que el volumen antes y después de la compresión siempre es el mismo. Calcule: esfuerzo máximo, deformación máxima y el modulo de young.

σ Esfuerzo δ Deformación a) Esfuerzo Máximo

Carga Máxima: 1880 Kg

Área de la pieza: 396 mm2

donde

h1 = 102.3 mm

h2 = 99.9 mm, por tanto:

V1 = V2 = A1 h1 =A2h2, para A2 tenemos:

A2 = (A1h1)/h2

σ = P / A2 = (P/A1) (h2/h1) de donde σ= (1880Kg / 396 mm2) (102.3mm/99.9mm)

σ = 4.8615 Kg / mm2

b) Deformación máxima

δ= F/A (Li-Lf)/Li

(102.3/99.9)/102.3 = 0.0234 mm / mm c) Modulo de Young

E = σ /δ= 4.8615 kg/mm2 / 0.0234 mm/mm

E = 207.75/kg/mm2

1.4.7 Tabla de Propiedades Mecánicas En su libro de texto, Mecánica de Materiales” de James M. Gere existen unas tablas con propiedades mecánicas de diversos materiales, en el apéndice H empezando en la pagina 911. Estas tablas las estaremos utilizando exclusivamente para fines didácticos, por lo que se recomienda no utilizar estas tablas con fines específicos de ingeniería o de diseño. Para uso de ingeniería o diseño se recomienda consultar a los fabricantes o proveedores de materiales para obtener de ellos información acerca de sus productos. 1.5 ELASTICIDAD, PLASTICIDAD Y FLUJO PLÁSTICO. Los diagramas esfuerzo-deformación unitaria reflejan el comportamiento de los materiales ingeniériles cuando se ensayan a tensión o en compresión, ahora que pasa cuando retiramos la carga y el material ya no esta “sometido a una carga” o descargamos el material. Por ejemplo si aplicamos una carga a un espécimen de tensión, de forma tal que el esfuerzo y la deformación vayan desde el origen O hasta un punto A de la curva esfuerzo-deformación unitaria. Además supongamos que cuando se quita la carga el material sigue exactamente la curva y regresa al origen O. Esta propiedad del material, que es capaz de regresar a su dimensión original durante la descarga se llama elasticidad, y se dice entonces que este material es elástico.

Practica 2: Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios: Pagina 51 ejercicios 1.3-1, 1.3-2, 1.3-3, Pagina 52 ejercicios 1.3-4, 1.3-5, 1.3-6, 1.3-7

Un detalle importante es que la curva esfuerzo-deformación no necesariamente debe de ser lineal del punto O al punto A para que el material sea elástico. Ahora imaginémonos que el mismo material se carga hasta un valor mayor, de forma tal que alcanzamos el punto B en la curva esfuerzo deformación unitaria. Cuando se descarga partiendo del punto B, el material sigue la línea BC en el diagrama. Esta línea de descarga, es paralela a la parte inicial de la curva de descarga. La línea BC será paralela a una tangente a la curva esfuerzo-deformación unitaria en el punto O. Al llegar al punto C ya no se tiene el espécimen cargado, pero el material ha quedado con una deformación permanente, que es representada en nuestro grafico por la línea OC. La barra es más larga que antes de hincar la prueba de tensión. A este alargamiento residual se le llama cedencia permanente. De la deformación total posible (OD) la barra se recupero un poco (CD),-recuperación elástica-; pero se deformo permanentemente otro tanto (OC). Así durante la descarga, regresa a su forma original en forma parcial, por lo que se dice que el material es parcialmente elástico. Por lo tanto es lógico pensar que en la curva esfuerzo-deformación unitario entre los puntos A y B debe haber un punto del cual el material sea elástico y inmediatamente después el material será parcialmente elástico. A este punto es el que llamamos límite elástico. Cuando un material es cargado hasta la región plástica se presentan grandes deformaciones permanentes, se dice que el material sufre un flujo plástico. 1.5.1 Carga Repetida de un Material Cuando un material trabaja constantemente dentro de los límites elásticos, este se puede cargar y descargar innumerables veces sin que cambie su comportamiento en forma apreciable. Sin embargo cuando se carga hasta el intervalo plástico, se altera su estructura interna y cambia sus propiedades. Ya hemos visto que se da en un espécimen una deformación unitaria permanente después de descargarlo de la región plástica. Ahora supongamos que el material vuelve a cargarse después de la descarga. La nueva carga no se iniciara en el punto O sino que se iniciara en el punto C del diagrama y continua subiendo hasta el punto B, donde se inicio el ciclo de deformación plástica. Posteriormente seguirá su curva original de esfuerzo deformación unitaria hacia un punto F cualquiera. Durante la segunda carga el material se comportara de forma elástica desde C hasta B, y la pendiente de la recta CB es igual a la pendiente de la tangente a la curva original de carga, en el punto O. Ahora el limite de proporcionalidad esta en el punto B, con mayor esfuerzo que el limite elástico original (punto E). De este modo al estirar un material como el acero o el aluminio hasta llevarlo al intervalo inelástico, o plástico, cambian las propiedades del material, aumenta la región linealmente elástica, aumenta el limite de proporcionalidad y aumenta el limite elástico. Sin embargo el material reducirá su ductilidad, ya que en

el “nuevo material” la cantidad de fluencia mas allá del limite elástico (de B a F) es menor que en el material original (de E a F) 1.5.2 Flujo Plástico El flujo plástico es la propiedad de muchos materiales mediante la cual ellos continúan deformándose a través de lapsos considerables bajo un estado constante de esfuerzo o carga. La velocidad del incremento de la deformación es grande al principio, pero disminuye con el tiempo, hasta que después de muchos meses alcanza asintóticamente un valor constante. Para entender mejor imaginémonos que una barra vertical se carga lentamente con una fuerza P y se produce un alargamiento igual a δ0. Supongamos que la carga y el alargamiento correspondientes se llevan a cabo durante un intervalo de tiempo t0. Después del tiempo t0, la carga permanece constante. Sin embargo, debido al flujo plástico la barra puede alargarse en forma gradual aun cuando la carga no cambie; nótese que después ya el alargamiento es casi mínimo. Otra forma de interpretar el flujo plástico es la de un alambre que se estira entre dos soportes inmóviles (p.e. el alambre de tender la ropa en cada una de sus casas), por lo que tiene un esfuerzo inicial de tensión σ0 y t0 el tiempo durante el cual se estiro el alambre en el principio. Con el paso del tiempo el esfuerzo en el alambre disminuye en forma gradual y termina por llegar a un valor constante, aun cuando los extremos de los alambres no se muevan. A este proceso se le llama relajación de un material. Es de vital importancia el flujo plástico a temperaturas elevadas y en consecuencia se debe de tener especial cuidado cuando se diseñan motores, hornos y otras estructuras que funcionen a temperaturas altas por largos periodos de tiempo. También es importante para hormigones pretensados, los cuales pueden causar ondulaciones en las vigas, hundimientos o deformaciones.

Practica 3: Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios: Pagina 53 ejercicios 1.4-1, 1.4-2, 1.4-3, 1.4-4, 1.4-5,

1.6 ELASTICIDAD LINEAL LEY DE HOOKE Y RELACIÓN DE POISSON La mayoría de los materiales estructurales (metales, madera, plásticos y cerámicos), se comportan en forma tanto elástica como lineal cuando se comienzan a cargar. En consecuencia, sus curvas de esfuerzo-deformación unitaria comienzan con una recta que pasa por el origen. Un ejemplo de esto es la curva esfuerzo-deformación unitaria del acero estructural que mostramos a la derecha, donde la región desde el origen O hasta la limite proporcional (punto A) es tanto lineal como elástico. Cuando un material se comporta en forma elástica y también presenta una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria se llama linealmente elástico. Esta clase de comportamiento tiene extrema importancia en ingeniería, por una razón mas que obvia: al diseñar estructuras y maquinarias que funcionen en esta región uno evita deformaciones permanentes debido a la fluencia. Es de vital importancia para los ingenieros diseñar, ya sean maquinarias y/o estructuras siempre en el renglón elástico lineal, y evitar así que estas maquinarias y estructuras fallen causando perdidas humanas y monetarias. 16.1 Ley de Hooke Ya vimos con anterioridad que la relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria en una barra en tensión o compresión simple se expresa con la expresión: σ = E ε Esta expresión σ = E ε se acostumbra llamar Ley de Hooke. Esta expresión es una versión limitada de la Ley de Hooke porque solo se relaciona con los esfuerzos y las deformaciones unitarias axiales causadas en tensión o compresión simple de una barra. La ley completa seria estudiada en un postgrado, por su complejidad. A nosotros nos basta esta versión El modulo de elasticidad es la pendiente del diagrama esfuerzo-deformación unitaria en la región linealmente elástica. Su unidad será Pascales en el sistema internacional. 1.6.2 Relación de Poisson Cuando una barra prismática se carga a tensión, hemos visto que se produce una alargamiento (deformación axial), es decir la barra se hace más larga. La pregunta es de donde sale este material para hacerse mas larga… la respuesta es de su sección transversal (es decir del ancho de la barra) haciéndose mas estrecha.

donde σ = es el esfuerzo axial ε = es la deformación unitaria axial E = constante de proporcionalidad llamada Modulo de Elasticidad

A este fenómeno se llama contracción lateral que no es más que una contracción normal a la dirección de la carga aplicada. La forma más fácil de apreciar la contracción lateral es al estirar una banda de hule, donde a simple vista se ve la reducción. Sin embargo en los metales los cambios en las dimensiones laterales (siempre en la región linealmente elástica) suelen ser demasiados pequeños para ser visibles, solamente se pueden apreciar con instrumentos de medición sensibles. Relación de Poisson (ν): la deformación unitaria lateral ε’ en cualquier punto de una barra es proporcional a la deformación unitaria axial ε en el mismo punto, si el material es linealmente elástico. La relación de esas deformaciones unitarias es una propiedad intrínseca del material. Esta relación adimensional suele representarse con la letra griega ni (ν) y se puede definir con la ecuación:

El signo menos significa que las deformaciones unitarias lateral y axial suelen tener signos opuestos. Por ejemplo, la deformación unitaria axial en una barra en tensión es positiva (porque aumenta la longitud de la barra) y la deformación unitaria lateral es negativa (porque disminuye el ancho de la barra). Por consiguiente, para la mayoría de los materiales ordinarios la relación de Poisson tiene un valor positivo. Cuando conocemos la relación de Poisson de un material, se puede obtener la deformación unitaria lateral a partir de la axial como la siguiente formula: Recuerde que estas formulas solo son aplicables a una barra bajo esfuerzo uniaxial, es decir, una barra en la que el único esfuerzo es el esfuerzo normal σ en la dirección axial. Para todos los materiales isotropicos , Poisson determino que ν = ¼. Cálculos mas recientes, basados en mejores modelos de estructura atómica, dan como resultado que ν = 1/3. Ambos valores se acercan mbos valores se acercan bastante a los valores reales experimentales, que están entre un intervalo de 0.25 a 0.35 para la mayor parte de los metales y muchos otros materiales. La excepción de esto seria el hule cuya relación de Poisson es cercana a los 0.5 En los apéndices H-2 de su libro de texto se presentan tablas de relaciones de Poisson para diversos materiales en la región linealmente elástica. Para nuestros fines consideraremos que la relación de Poisson es igual tanto para tensión como para compresión.

ε' = -ν ε

Ejemplo 1-4 Un tubo de acero de L =4 pies de longitud, diámetro externo d2 = 6.0 pulg y diámetro interno d1 =4.5 pulg se comprime con una fuerza axial P = 140 klb. El modulo de elasticidad del material es de E = 30,000 klb/pulg2 y la relación de Poisson es ν = 0.30. Determine las siguientes variables para el tubo: a) el acortamiento δ b) la deformación unitaria lateral ε’ c) el aumento ∆d2 del diámetro interior y el aumento ∆d1 del diámetro interior d) el aumento ∆t del espesor de la pared. Solución π π A = ----- (d2

2 – d12) = ------- [(6.0 pulg)2 – (4.5 pulg)2]

4 4 A = 12.37 pulg2 P 140 klb σ = - -------- = - ---------------- = - 11.32 klb/pulg2 A 12.37 pulg2 σ = -11.32 klb/pulg2; se chequea este esfuerzo a ver si esta en el renglón linealmente elástico. Para esto nos vamos a la página 914, tabla H-3 y se chequea el esfuerzo de fluencia σY para el acero, los cuales todos andan por los rangos de 40 hasta 150 klb/pulg2. Por lo tanto: σ < σY σ -11.32 klb/pulg2 ε = ------ = ----------------------- = -377.3 x 10-6 E 30,000 klb/pulg2 a) acortamiento δ Como ya conocemos la deformación unitaria axial, se puede determinar el cambio de longitud en el tubo. δ = ε L = (-377.3 x 10-6) (48 pulg) = -0.018 pulg

Datos L = 4 pies = 48 pulg d1 = 4.5 pulg d2 = 6 pulg P = 140 klb E = 30,000 klb/pulg2 ν = 0.30 El signo menos nos indica que el

tubo se reduce

Esto nos dice que esta muy por debajo del esfuerzo de fluencia por lo tanto el material se comporta en forma linealmente elástica y la deformación unitaria axial se puede calcular con la ley de Hooke

1.7 ESFUERZOS CORTANTES Y DEFORMACIÓN UNITARIA CORTANTE Hasta ahora nos hemos ocupado de los esfuerzos normales producidos por cargas axiales que actúan sobre barras rectas. Estos esfuerzos llamados “esfuerzos normales” porque actúan en dirección perpendicular a la superficie (sección transversal) del material. Ahora empezaremos a estudiar aquellos esfuerzos que actúan de manera tangencial a la superficie del material, llamados esfuerzos cortantes, esfuerzo de corte o esfuerzo de cizallamiento.

Practica 4: Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios: Pagina 54 ejercicios 1.5-1, 1.5-2, 1.5-3, 1.5-4, 1.5-5, 1.5-6, 1.5-7

b) deformación unitaria lateral desde la relación de Poisson ε’ = - ν ε = - (0.30) (-377.3 x 10-6) = 113.2 x 10-6 c) Aumento diámetro exterior e interior ∆d2 = ε’ d2 = (113.2 x10-6) (6.0 pulg) = 0.000679 pulg ∆d1 = ε’ d1 = (113.2 x10-6) (4.5 pulg) = 0.000509 pulg d) Aumento del espesor t ∆t = ε’ t = (113.2 x 10-6) (0.75) = 0.000085 pulg. ∆d2 - ∆d1 ∆t = ---------------- ½ (0.0000679 – 0.000509) = 0.000085 2 Los resultados numéricos obtenidos en este ejercicio ilustran ampliamente la magnitud de los cambios que se producen al ser aplicados un esfuerzo (no importa si es de compresión o tensión), donde se producen cambios extremadamente pequeños. A pesar de ser tan pequeños, estos cambios son muy útiles para cuando tengamos que realizar análisis de estructuras estáticamente indeterminadas y/o en la determinación experimental de esfuerzos y deformaciones unitarias.

El signo positivo de ε’ indica el aumento de las dimensiones laterales, como se supone frente a una compresión

Otra vez el signo negativo indica una reducción en el tubo

Uno de los mejores ejemplos para analizar el esfuerzo cortante es examinar una conexión atornillada como el que mostramos en la figura.

Esta conexión consiste de una barra plana A, una horquilla C y un tornillo B que atraviesa a la barra y a la horquilla. Sometidos a una carga de tensión P, la barra y la horquilla oprimen al tornillo en compresión y se desarrollan los esfuerzos de contactos, llamados esfuerzos de compresión o esfuerzos de carga. Además, la barra y la horquilla tienden a cortar (o cizallar) el tornillo, y son los esfuerzos cortantes quienes resisten esa tendencia. Mas claro, veamos la conexión en una vista lateral (figura b). Con este esquema en mente tracemos un diagrama de cuerpo libre en el tornillo (figura c). Los esfuerzos que transmite la horquilla contra el tornillo aparecen del lado izquierdo del tornillo y lo hemos identificado como 1 y 3. Los esfuerzos de la barra están del lado derecho y lo identificamos con un 2. La distribución real de los esfuerzos de carga es difícil de determinar, por lo que se acostumbra suponer que están distribuidos uniformemente. Basándonos en la hipótesis de distribución uniforme se puede calcular un esfuerzo de carga promedio σb, dividiendo la fuerza total de carga Fb entre el área Ab. Fb σb = ---------------- Ab

Donde suponemos que Ab no es el área proyectada de la superficie portante curva, sino que seria el rectángulo cuya altura es igual al espesor de la horquilla y el ancho al diámetro del tornillo. Fb por su parte es representada por los esfuerzos marcados con 1, y que es igual a P/2. Lo mismo ocurre para la otra sección de la horquilla con el área y los esfuerzos marcados con 3. Para el área marcada con el 2, recordemos que tiene una barra plana y que su área Ab será igual al rectángulo con altura igual al espesor de la barra plana y ancho igual al diámetro del tornillo. La fuerza correspondiente Fb es igual a la carga P.

Si vemos con detenimiento la figura c observaremos que hay una tendencia a cortar el tornillo en los cortes transversales mn y pq, llamados planos de corte y es donde actúa las fuerzas de corte V. En este ejemplo existen dos planos de corte por lo que decimos que el tornillo esta bajo doble cortante, que es igual a la mitad de la carga transmitida por el tornillo, es decir V = P/2. Otro ejemplo seria el de una conexión atornillada en corte simple (ver figura), en donde la fuerza axial P en la barra metálica se transmite a la brida de la columna de acero a través de un tornillo.

Si realizamos un corte transversal a la columna (figura b) vemos con más detalle la conexión. De igual modo, en un esquema del tornillo (figura c) se ve la distribución supuesta de los esfuerzos de carga que actúan sobre el tornillo. Haciendo un corte en el tornillo en mn obtenemos el diagrama de la figura d, que incluye la fuerza cortante V que en este caso es igual a P que actúa sobre el área transversal del tornillo. El esfuerzo cortante promedio sobre el área transversal de un tornillo se obtiene dividiendo la fuerza total de corte V entre el área A de la sección transversal sobre la cual actúa.

V τprom = ---------- A

Nota Importante: En las descripciones anteriores de conexiones atornilladas no se tuvieron en cuenta la fricción (producidas al apretar el tornillo) entre los elementos que se conectan. La presencia de la fricción equivale a la parte de la carga que es tomada por fuerzas de fricción reduciendo con ello las cargas sobre los tornillos. Como es difícil y poco fiable la estimación de fuerzas de fricción, se acostumbra a dejar de lado estas fuerzas y omitirlas en los cálculos.

1.7.1 Igualdad de los Esfuerzos Cortantes sobre Planos Perpendiculares

Si queremos tener una imagen mas completa de la acción de los esfuerzos cortantes, consideremos un elemento pequeño de material cualquiera con forma de un paralepípedo rectangular con sus lados de longitudes a, b, y c en las direcciones x, y, y z. las caras frontal y trasera de este elemento no tienen esfuerzos. Suponga ahora que un esfuerzo cortante τ1 esta uniformemente distribuido sobre la cara de la derecha cuya área es bc. Para que el elemento este en equilibrio en la dirección y, la fuerza total de corte τ1bc que actúa sobre la cara de la derecha debe de estar equilibrada por una fuerza de corte igual y dirección contraria que actué sobre la cara izquierda. Ya que las áreas de esas dos caras son iguales los

esfuerzos cortantes deberán de ser iguales. Las fuerzas τ1bc que actúan sobre la cara de la derecha y de la izquierda forma un par que tiene un momento respecto al eje z de magnitud τ1abc, que actúa en dirección contraria a las manecillas del reloj como se ve en la figura. Para que el elemento este en equilibrio se requiere que este momento se equilibre con uno igual y opuesto, resultante de los esfuerzos cortantes que actúan sobre las caras superior e inferior del elemento. Si se representan los esfuerzos sobre las caras superiores e inferiores por τ2, se ve que las fuerzas cortantes horizontales son iguales a τ2ac. Esas fuerzas forman un par en el sentido de las manecillas del reloj de magnitud τ2abc. Para que haya equilibrio de momentos para el elemento, respecto al eje z se ve que τ1abc es igual τ2abc, o sea que τ1 = τ2 En resumen podemos llegar a las siguientes observaciones sobre un paralepípedo rectangular sometido a esfuerzos cortantes:

1. los esfuerzos cortantes sobre caras opuestas (y paralelas) de un elemento son de igual magnitud y de dirección opuesta.

2. Los esfuerzos cortantes sobre las caras adyacentes (y perpendiculares) de un elemento son de igual magnitud y sus direcciones son tales que ambos esfuerzos apunta o se alejan de la línea de intersección de las caras.

1.7.2 Deformación Unitaria Cortante Los esfuerzos cortantes que actúan sobre un elemento de material se acompañan con deformaciones unitarias cortantes. Para visualizarlas lo primero que debemos tener en cuenta que estas deformaciones por cortante no tienden a alargar o acortar el elemento x,y,y z, en otras palabras las longitudes no cambian . Los esfuerzos cortantes producen un cambio en la forma del elemento.

Si suponemos que el elemento original es un paralepípedo rectangular, al deformarse tomara la forma de un paralepípedo oblicuo y las caras frontales y posteriores se vuelven romboides. Esta deformación será un ángulo (γ) de distorsión medido con respecto a la vertical y/o horizontal, y se llama deformación unitaria cortante. Como es un ángulo se mide en grados o radianes. 1.7.3 Convención de signos para esfuerzos cortantes y deformaciones unitarias cortantes Para poder comunicar nuestros resultados con otras personas es necesario unificar criterios sobre los signos de los esfuerzos que aplicamos. En nuestro caso es de establecer la de los esfuerzos y las deformaciones unitarias cortantes. Utilizando el mismo esquema anterior de un paralepípedo, llamaremos caras positivas del elemento a las que se encuentran orientadas en las direcciones positiva de los ejes. Es decir, una cara positiva tiene su normal al exterior dirigida hacia la dirección positiva de un eje coordenado. Las caras opuestas serán las negativas. Utilizando la terminología del párrafo anterior, la convención de signos para los esfuerzos cortantes y las deformaciones unitarias cortantes son las siguientes:

1.7.4 Ley de Hooke en Corte Los materiales sometidos a esfuerzo cortante sus propiedades pueden obtenerse normalmente de forma experimental. Para ello es necesario someter un tubo circular a torsión, que producirá un estado de corte puro (explicado en la segunda parte de esta materia). A partir de los resultados de estas pruebas se puede trazar el diagrama de esfuerzo cortante-deformación unitaria cortante (es decir un diagrama de τ en función de γ). Los diagramas que se obtienen son semejantes a los de esfuerzo axial-deformación. El tramo inicial de diagrama de esfuerzo cortante- deformación unitaria cortante es una línea recta análoga a la del esfuerzo axial- deformación, por lo que, de forma semejante, puede establecerse la Ley de Hooke para esfuerzo cortante, cuya expresión tiene la forma:

Un esfuerzo cortante que actúa sobre una cara positiva de un elemento es positivo si actúa en la dirección positiva de uno de los ejes coordenados y es negativa si actúa en la dirección negativa de un eje. Un esfuerzo cortante que actúa sobre una cara negativa de un elemento es positivo si actúa en la dirección negativa del eje y es negativo si actúa en dirección contraria. La deformación unitaria cortante de un elemento es positiva cuando se reduce el ángulo entre dos caras positivas (o entre dos caras negativas). La deformación unitaria es negativa cuando aumenta el ángulo entre dos caras positivas (o entre dos caras negativas).

donde: τ: es el esfuerzo cortante en Pascal γ: es la deformación angular en radianes G: es el denominado modulo de elasticidad a esfuerzo

cortante, también llamado modulo de rigidez.

El modulo de rigidez (G) tiene las mismas unidades que el modulo de Elasticidad (E), que son lb/pulg2, klb/pulg2 en el sistema ingles y Pascal (o sus múltiplos) en el SI. Para el hierro fundido los valores característicos de G es de 32 hasta 69 GPa mientras que el modulo de elasticidad para el hierro fundido es de 83 a 170 GPa. Los módulos de elasticidad y el modulo de rigidez se relacionan entre si por medio de la siguiente ecuación:

donde ν es la relación Poisson. Esta ecuación nos indica que E, G y ν no son propiedades independientes entre si, sino todo lo contrario. Si como dijimos los valores de ν varían entre cero y 0.50, en la ecuación se ve que G debe de ser de un tercio a la mitad de E.

Ejemplo 1-5 En la figura se ve un punzón para perforar placas de acero. Supongamos que para generar un agujero en una placa de 8 mm se usa un punzón cuyo diámetro es de d= 20 mm. Si se requiere una fuerza P=110 kN para realizar el agujero ¿cuál es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresión promedio en el punzón? Datos t= 8 mm d= 20 mm P= 110 kN Solución: a) esfuerzo cortante promedio en la placa se obtendrá dividiendo la fuerza P entre el área de la placa sometida al corte. El área de corte As es igual a la circunferencia del agujero por el espesor de la placa As = π d t = π (20 mm) (8 mm) = 502.7 mm2 P 110 * 1000 τprom = ------ = --------------------- = 219 MPa As 502.7

As 502.7 b) el esfuerzo promedio de compresión en el punzón es: P P 110 (1000) σc = ----------- = ------------- = ---------------- = 350 MPa Apunzón π d2/4 π (20mm)2/4

Ejemplo 1-6 Un tornapunta de acero (S) sirve como puntal en un montacargas para botes; transmite una fuerza de compresión P = 12 klb a la cubierta de un muelle. El puntal tiene una sección transversal cuadrada hueca con espesor de pared t = 0.375 pulg, y el ángulo θ entre el poste y la horizontal es 40º. Un pasador atraviesa el poste transmite la fuerza de compresión del poste a dos soportes G, soldados a la placa de base B. La placa de base esta sujeta a la cubierta con cuatro anclas. El diámetro del pasador es dpas= 0.75 pulg, el espesor de las cartelas es tG = 0.625 pulg, el espesor de la placa de la base es tB = 0.375 pulg y el diámetro de las anclas es de dancla = 0.50 pulg. Determinar los siguientes esfuerzos: a) el esfuerzo de soporte entre el puntal y el pasador b) el esfuerzo cortante en el pasador c) el esfuerzo de soporte entre el pasador y las cartelas d) el esfuerzo de soporte entre las anclas y la placa de base e) el esfuerzo cortante en las anclas No tenga en cuenta fricción alguna entre la placa de base y la cubierta. a) Esfuerzo de Soporte entre el puntal y el pasador Calcularemos el esfuerzo de soporte entre el puntal y el pasador dividiendo la fuerza en el puntal entre el área total de soporte del puntal contra el pasador . Esta área es igual a dos veces el espesor del puntal (ya que el apoyo está en dos lugares) por el diámetro del pasador

Datos: dpas= 0.75 pulg tG = 0.625 pulg tB = 0.375 pulg dancla = 0.50 pulg P = 12 klb tpared = 0.375 pulg θ = 40º

P 12 klb σb1 = ------------ = ---------------------------------- = 21.3 klb/pulg2 2 t dpas 2 (0.375 pulg) (0.75 pulg) b) esfuerzo cortante en el pasador El pasador se corta en dos planos, que son los planos entre el puntal y las cartelas. Por consiguiente el esfuerzo cortante promedio en el pasador (que esta a cortante doble) es igual a la carga total aplicada al pasador dividida entre dos veces su área transversal. P 12 klb τpas = --------------- = ------------------- = 13.6 klb/pulg2 2 π d2

pas/4 2 π (0.75)2/4 c) esfuerzo de apoyo entre pasador y soporte El pasador se apoya contra los soportes en dos lugares, por lo que el área e apoyo es el doble del espesor de los soportes por el diámetro del pasador P 12 klb σb2 = ------------ = -------------------- = 12.8 klb/pulg2

2 tG dpas 2 (0.625) (0.75) d) esfuerzo de soporte entre las anclas y la placa de base la componente vertical de la fuerza P se transmite al muelle por apoyo directo entre la placa de base y el muelle. Sin embargo la componente horizontal se transmite a través de las anclas. El esfuerzo promedio de carga entre la placa de la base y las anclas es igual al componente horizontal de la fuerza P dividido entre el área de carga de cuatro tornillos. El área de carga de un tornillo es igual al espesor de la placa de base multiplicado por el diámetro del tornillo. P cos 40º 12 cos 40 º σb3 = ------------ = ------------------------------- = 12.3 klb/pulg2 4 tB dtorn 4 (0.375pulg) (0.50pulg) e) esfuerzo cortante en las anclas El esfuerzo cortante promedio en las anclas es igual al componente horizontal de la fuerza P dividido entre el área transversal total de los cuatro tornillos de anclaje(note que cada tornillo está sometido a cortante sencillo. P cos 40 º 12 klb (cos40º) τtorn = --------------- = ------------------------ = 13.6 klb/pulg2 4 π d2

torn/4 4 π (0.50pulg)2/4

Ejemplo 1-7 Una placa de apoyo de las que se usan para soportar maquinas y vigas de puente consiste en un material linealmente elástico (por lo general un elastómero, como hule) recubierto con una placa de acero. Suponer que el espesor del elastómero es h, las dimensiones de la placa son a x b y que la placa de apoyo esta sujeta a una fuerza cortante horizontal V. Deducir las formulas del esfuerzo cortante promedio τprom, en el elastómero y el desplazamiento horizontal d de la placa. Ver figura. Solución Se supone que los esfuerzos cortantes se distribuyen uniformemente en todo el volumen del elastómero. Entonces, el esfuerzo cortante en cualquier plano horizontal del elastómero es igual a la fuerza de corte V dividida en el área ab del plano: V τprom= --------- ab la deformación cortante (de acuerdo a la ley de Hooke) τprom V γ = ----------- = ----------- Ge ab Ge El desplazamiento horizontal d es igual a h tan γ V d = h tan γ = h tan (--------- ) ab Ge h V d = h γ = -------------- ab Ge

como para ángulos muy pequeños tan γ ≈ γ por lo que podemos sustituir en la formula tan γ por γ

Practica 5: Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios: Pagina 55 ejercicios 1.6-1, 1.6-2, 1.6-3, Pagina 56 ejercicios 1.6-4, 1.6-5, 1.6-6, 1.6-7 Pagina 57 ejercicios 1.6-8, 1.6-9, 1.6-10, 1.6-11 Pagina 58 ejercicios 1.6-12

Datos espesor = h dimensiones = a x b cortante horizontal = V desplazamiento horizontal = d

donde Ge es el modulo del material elastomérico en corte.

1.8 ESFUERZO Y CARGAS ADMISIBLES En Introducción a la Ingeniería a ustedes les definieron la ingeniería como la aplicación de la ciencia a las finalidades comunes de la ciencia. Si queremos cumplir con esta finalidad o misión profesional los ingenieros debemos de diseñar una variedad de objetos para satisfacer las necesidades básicas de la sociedad. Entre estas necesidades están: las viviendas, agricultura, transporte, comunicaciones, entre muchas otras… Los factores a considerar cuando uno realiza un diseño comprenden funcionalidad, resistencia, apariencia, economía, efectos ambientales, durabilidad, etc. Sin embargo como nuestra finalidad aquí es el estudio de la resistencia de los materiales, nuestra finalidad principal en este curso será diseñar estos elementos para que tengan la resistencia necesaria para cumplir con su cometido. Podemos definir la resistencia como la capacidad que tiene un elemento de soportar y transmitir cargas. Los objetos de que hablamos son vigas, columnas, losas de entrepiso o techo, maquinarias, recipientes, camiones, aviones, barcos, etc. A estos objetos se les llama normalmente cuando nosotros le trabajamos, “estructuras”. Por lo tanto podemos concluir que “una estructura es cualquier objeto que debe soportar o transmitir cargas”. 1.8.1 Factores de Seguridad Un requisito esencial para que la construcción cumpla sus funciones es que no sufra fallas o mal comportamiento debido a su incapacidad para soportar las cargas que sobre ella se imponen. Además, deben de cuidarse otros aspectos como los relativos al funcionamiento y a la habitabilidad, que en general son responsabilidad de otras materias. En general, el ingeniero estructuralista no debe olvidar que: Las obras no se construyen para que resistan. Se construyen para alguna otra finalidad o función que lleva como consecuencia esencial, el que la construcción mantenga su forma y condiciones a lo largo del tiempo. Su resistencia es una condición fundamental, pero no es su finalidad única, ni siquiera la finalidad primaria.1 Basándonos en lo anterior de que la resistencia es la capacidad de una estructura para resistir cargas, podemos reformular esta afirmación para que diga que: “la resistencia real de una estructura cualquiera debe de ser mayor que la resistencia requerida”. La relación de la resistencia real comparada con la resistencia requerida es lo que se llama factor de seguridad (n). 1 Diseño Estructural, Roberto Meli Piralla, Ediciones Revolucionarias, Abril 1987

Una estructura es un mecanismo diseñado y construido para soportar cargas y resistir fuerzas. El objeto de la mecánica de materiales es la de estudiar de forma metódica la formación y el análisis de las estructuras.

Resistencia Real Factor de Seguridad (n) = ---------------------------- Resistencia Requerida Como es lógico este factor de seguridad siempre deberá ser mayor que 1, para evitar la falla. Dependiendo de que se este diseñando, para que y la economía entre muchos otros factores, n variara de un poco mas de 1 hasta 10. En la practica real este numero varia entre 1.5 hasta 8. La determinación de una factor de seguridad también debe tener en cuenta lo siguiente: probabilidad de sobrecargas accidentales de la estructura, debido a que las cargas exceden las cargas de diseño; tipos de cargas (estáticas o dinámicas); si las cargas se aplican una vez o si son reiterativas; la exactitud de conocer las cargas; la posibilidad de que el material falle por fatiga; inexactitudes en la construcción (error humano); deterioro debido a efectos ambientales; exactitud de los métodos de análisis, etc. Si al sumar todos estos, el factor de seguridad es muy grande, la estructura será muy costosa, y quizás inadecuada para sus funciones (por ejemplo muy grande y pesada ). Imaginémonos que usted debe de diseñar un techo de una vivienda cerca del mar. Usted deberá tomar en consideración para realizar sus cálculos el peso del techo, el peso de los hombres que van a trabajar en el, si viene un huracán, tener en cuenta la velocidad de sus vientos, estamos en una zona sísmica, el salitre es un elemento altamente corrosivo, existe un río cercano así que deberíamos tomar en cuanta lo posibilidad de que hubiera una inundación, pero luego que la colocación del techo se haya hecho de forma errónea, o que la madera utilizada fuera de mala calidad, el hormigón que se vació quedo con burbujas dentro de el, etc. Si tomamos en cuanta todos los factores que enunciamos este será el techo mas caro del mundo, cuales son las probabilidades de que en medio de un huracán estén dos hombres trabajando encima del techo, que ocurra un terremoto, que la mano haya sido mala al igual que el hormigón… si usted es un ingeniero serio, mínimas. Por eso es que los factores de seguridad deben de determinarse deforma probabilística y tomar los riesgos mas probables y que de alguna manera ya incluyan algunos otros (p.e. si la resistencia del viento ya es mayor que la de dos hombres trabajando… solo utilice la resistencia al viento). En general los factores de seguridad ya vienen dados en las normas y especificaciones de construcción y son establecidos por ingenieros con una vasta experiencia. Estos códigos y reglamentos lo que pretenden darnos un grado razonable de seguridad sin que los costos aumenten demasiados. Ahora en la ingeniería mas que factores de seguridad se habla de márgenes de seguridad, y se define como el margen de seguridad menos uno multiplicado por 100, y se expresa en por ciento. Margen de seguridad = (n-1) x 100. 1.8.2 Esfuerzos Admisibles Para muchas estructuras (por no decir que la mayoría) es mucho mas importante que el material permanezca dentro del intervalo linealmente elástico, para evitar deformaciones permanentes cuando se quiten las cargas. Para esto es necesario establecer el factor de seguridad con respecto al punto de fluencia de la estructura.

La fluencia se inicia cuando se llega al esfuerzo de fluencia en cualquier punto de la estructura. En consecuencia, al aplicar un factor de seguridad con respecto al esfuerzo de fluencia(o resistencia de fluencia) se obtiene un esfuerzo admisible (o esfuerzo de trabajo) que no se debe rebasar en lugar alguno de la estructura. Resistencia de Fluencia Esfuerzo Admisible = -------------------------------- Factor de Seguridad Para tensión y corte respectivamente lo podemos escribir como: σY τY σadm = ------ y τadm = ------ n1 n2 siendo σY y τY los esfuerzos de fluencia y n1 y n2 los factores de seguridad correspondientes. Uno de los factores de seguridad mas utilizados en la construcción para los aceros estructurales es de 1.67; así un acero dulce con un esfuerzo de fluencia de 36klb/pulg2 tiene un esfuerzo admisible de 21.6 klb/pulg2. En algunos casos el factor de seguridad se aplica al esfuerzo último y no al esfuerzo de fluencia, este método es adecuado para materiales frágiles, como el concreto, el vidrio o algunos plásticos y para materiales que no tengan un esfuerzo de fluencia claramente definido, como la madera y los aceros de alta resistencia. En estos casos, los esfuerzos admisibles en tensión y corte son: σU τU σadm = ------ y τadm = ------ n3 n4 Utilizando el ejemplo anterior para el acero dulce cuyo factor de seguridad es de 1.67 con respecto a la fluencia, le corresponde un factor de seguridad aproximado de 2.8 con respecto a la última resistencia. 1.8.3 Cargas Admisibles Habiendo ya establecido el esfuerzo admisible para un material y estructura determinado, se puede determinar la carga admisible para esa estructura. La relación entre la carga admisible y el esfuerzo admisible depende directamente del tipo de estructura. Aquí nos ocuparemos por ahora de las estructuras más elementales tales como: barras en tensión o compresión, pasadores o tornillos en corte directo y en apoyos. En estas estructuras los esfuerzos están uniformemente distribuidos (o suponemos que lo están) sobre un área. Por ejemplo:

1. en el caso de una barra en tensión el esfuerzo esta uniformemente distribuido sobre el área transversal, siempre que la fuerza axial resultante actué pasando por el centroide del área transversal.

2. lo mismo ocurre con una barra sometida a compresión, siempre que esta no se pandee. 3. en el caso de un pasador sometido a corte, solo tendremos en cuenta el esfuerzo cortante promedio

sobre el área transversal lo que equivales a suponer que el esfuerzo cortante esta uniformemente distribuido

4. De igual manera, solo consideraremos un valor promedio esfuerzo de apoyo que actúa sobre el área proyectada del pasador.

Para los cuatro casos precedentes la carga admisible (también llamada carga permisible) es igual al esfuerzo admisible por el área sobre la que actúa. Carga admisible = (Esfuerzo Admisible) (Área) Para barras en tensión y compresión directas (sin pandeo), la ecuación se transforma en Padm = σadm A Siendo σadm el esfuerzo normal admisible y A la sección transversal de la barra. Si la barra tiene un orificio (es decir es un tubo) se utiliza el área neta cuando la barra esta en tensión. Si la barra esta en compresión puede usarse el área bruta si el orificio se ocupa con un pasador o tornillo, que pueda transmitir los esfuerzos de compresión. Para pasadores o pernos en corte directo, la ecuación se transforma en: Padm = τadm A Donde τadm es el esfuerzo cortante admisible y A es el área sobre la cual actúan los esfuerzos cortantes. Si el pasador esta sometido a corte sencillo, el área en es área transversal del pasador; si esta en corte doble, es el doble del área transversal. Por último para calcular la carga admisible en el apoyo es: Padm = σb Ab En la que σb es el esfuerzo admisible en el apoyo y Ab es el área proyectada del pasador, u otra superficie sobre la cual actúen los esfuerzos de apoyo.

Ejemplo 1-8 Una barra de acero sirve de soporte colgante para maquinaria pesada en una fábrica y se fija en un soporte mediante la conexión atornillada que se muestra en la figura. La parte principal del colgante tiene una sección transversal rectangular b1 =1.5 pulg de ancho y t = 0.5 pulg de espesor. En la conexión aumenta el soporte colgante hasta alcanzar un ancho b = 3.0 pulg. El tornillo que transfiere la carga del colgador a las dos cartelas, tiene un diámetro d =1.0 pulg. Determinar el valor admisible de la carga de tensión P en el colgante con base en las cuatro consideraciones siguiente:

a) el esfuerzo admisible de tensión en la parte principal del soporte colgante es de 16,000 lb/pulg2.

b) es esfuerzo admisible de tensión en su sección transversal por el orificio del tornillo es 11,000 lb/pulg2 (en esta parte, el esfuerzo admisible es menor, por las concentraciones de esfuerzos en torno al orificio).

c) el esfuerzo admisible de carga entre el soporte colgante y el tornillo es de 26,000 lb/pulg2.

d) el esfuerzo cortante admisible en el tornillo es de 6,500 lb/pulg2.

Solución: a) la carga admisible P1 según el esfuerzo en la parte principal del soporte colgante, es igual al

esfuerzo admisible en tensión por el área transversal del colgador P1 = σadm A = σadm b1t = 16,000 lb/pulg2) (1.5 pulg x 0.5 pulg) P1 = 12,000 lb b) El área transversal del soporte colgante que atraviesa su orificio de tornillo, se debe de hacer un

calculo parecido, pero con un esfuerzo admisible distinto y un área distinta. El área transversal neta, es decir, el área que queda después de haber perforado el orificio en la barra, es igual al ancho neto por el espesor.

P2 = σadm A = σadm (b2-d) t = (11,000 lb/pulg2) (3.0 pulg – 1.0 pulg) (0.5 pulg) P2 = 11,000 lb c) la carga admisible respecto al apoyo entre el soporte colgante y el tornillo es igual al esfuerzo

admisible de apoyo por el área de apoyo. El área portante es la proyección del área real de contacto que a su vez es igual al diámetro de tornillo por el espesor del soporte colgante.

P3 = σb A = σb d t = (26,000 lb/pulg2) (1.0 pulg) (0.5 pulg) P3 = 13,000 d) la carga admisible por corte en el tornillo es igual al esfuerzo cortante admisible multiplicado por

el área de corte. Esta rea de corte es el doble del área transversal del tornillo (ya que el tornillo esta a doble corte).

P4 = τadm A = τadm (πd2/4) = (6,500 lb/pulg2) (2) (π) (1.0 pulg)2/4 P4 = 10,200 lb. Al comparar los resultados anteriores se ve que el valor mínimo de la carga es Padm = 10,200 lb.

Practica 6: Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios: Pagina 60 ejercicios 1.7-1, 1.7-2, 1.7-3, 1.7-4, 1.7-5, Pagina 61 ejercicios 1.7-6, 1.7-7, 1.7-8, Pagina 62 ejercicios 1.7-9, 1.7-10, 1.7-11

1.9 DISEÑO PARA CARGAS AXIALES Y CORTE DIRECTO Acabamos de ver la determinación de las cargas admisibles en estructuras sencillas y como determinar los esfuerzos, y las deformaciones totales de barras. El determinar la cantidad y dirección de estas magnitudes es lo que se llama “analizar una estructura” o simplemente “análisis”. En el contexto de la mecánica de materiales, el análisis consiste en determinar la respuesta de una estructura a las cargas, cambios de temperatura y cualquier otra acción o reacción física.

Por respuesta de una estructura se entienden los esfuerzos, deformaciones unitarias, y deformaciones totales producidas por las cargas. Una respuestas también puede ser la capacidad de carga de una estructura (p.e. la carga admisible sobre una estructura es una forma de respuesta).

Se dice que conocemos una estructura cuando se cuenta con una descripción física completa de ella, esto es, cuando conocemos todas sus propiedades. Entre las propiedades que debemos conocer de una estructura están:

1. tipos de miembros y la forma en que están dispuestos

2. las dimensiones de todos los miembros,

3. los tipos de apoyo y los lugares donde se ubican

4. los materiales usados

5. las propiedades de dichos materiales

Así, cuando se analiza una estructura, se dan las propiedades y se determina la respuesta.

El proceso inverso de un análisis, es el diseño. Cuando uno diseña una estructura, se deben de determinar las propiedades de la estructura para que puedan soportar las cargas y cumplir sus funciones. El ejemplo clásico de un diseño técnico es determinar el tamaño de un miembro que va a soportar las cargas dadas.

El diseño de una estructura suele ser un proceso mucho mas largo y difícil que el de analizarla; el análisis realmente no es mas que una parte característica del proceso de diseño.

Lo que haremos ahora será ver el diseño en su forma más elemental, calculando los tamaños necesarios de miembros a tensión y a compresión simple, así como pasadores y tornillos cargados en corte. En estos casos el proceso de diseño es bastante directo, si se conocen las cargas que se van a transmitir y los esfuerzos admisibles en los materiales, se puede calcular las áreas requeridas en los miembros, utilizando la siguiente ecuación:

Carga por transmitir Área requerida = ---------------------------- Esfuerzo Admisible

Esta ecuación es valida para cualquier estructura en la que los esfuerzos este uniformemente distribuidos sobre el área.

Además las consideraciones de resistencia es muy probable que en el diseño de una estructura entren la rigidez y la estabilidad. La rigidez es la capacidad de la estructura para resistir cambios de forma. La estabilidad es la capacidad de la estructura de recibir pandeo bajo fuerzas de compresión. El pandeo es la variable principal que se considera al diseñar columnas (miembros esbeltos sometidos a compresión). Al analizar o diseñar una estructura, las fuerzas que actúan sobre ella las llamaremos carga o reacciones. Las cargas son fuerzas activas que se aplican a la estructura debido a algunas causas externas, como la gravedad, presión de agua, viento, movimientos sísmicos del suelo, etc. Las reacciones son fuerzas pasivas que se inducen en los soportes de la estructura. Sus magnitudes y direcciones se determinan por la naturaleza de la estructura mínima. Por esto es que como parte de un análisis es necesario calcular las reacciones mientras que las cargas las conocemos de antemano.

Ejemplo 1-9 La armadura de dos barras ABC (ver figura anexa) tiene soportes con pasadores en los puntos A y C, que están a 2.0 m de distancia. Los miembros AB y BC son barras de acero conectadas por un pasador en la junta B. La longitud de la barra BC es de 3.0 m. Un letrero que pesa 5.4 kN esta colgado de la barra BC en los puntos D y E a 0.8 y a 0.4 m, respectivamente, de los extremos de la barra. Determinar el área transversal necesaria en la barra AB, y el diámetro necesario del pasador en el soporte C, si los esfuerzos admisibles en tensión y corte son 125Mpa y 45 Mpa respectivamente. Los pasadores en los soportes están en corte doble. No tome en cuenta los pesos de los miembros AC y BC. Datos LAC = 2.0 m LCB = 3.0 m LCD = 0.80 m LEB = 0.40 m LED = 1.80 m W = 5.4 kN σadm = 125 MPa τadm = 45 MPa

Diagrama de Cuerpo Libre

Solución El objetivo de este ejercicio es determinar el tamaño de la barra AB y del perno en el soporte C requerido. Para poder llegar a esto primero deberemos de determinar las fuerzas de tensión en la barra y la fuerza de corte que actúa sobre el pasador. Esto lo podemos obtener basándonos en el diagrama de cuerpo libre. Calculo de las Reacciones Basándonos en el diagrama de cuerpo libre (a) vemos todas las fuerzas que actúan sobre la armadura que son las cargas debidas al peso del letrero y las fuerzas de reacción que se ejercen sobre los pasadores de soporte en A y C. Cada reacción se indica con sus componentes horizontal y vertical, y la reacción resultante se representa por una línea interrumpida. (fíjense el uso de líneas diagonales que cruzan las flechas, para que podamos distinguir las reacciones de las cargas). Para poder calcular la reacción horizontal en A debemos de tomar momento con respecto a C: ∑MC = 0 = RAH (2.0) – 2.7kN (0.8m) – 2.7 kN(2.6m) 2RAH = 2.16 + 7.02 RAH = 9.18/2 RAH = 4.59 kN Si sumamos las fuerzas horizontales tenemos que ∑FH = 0 = RCH + RAH = 0 RAH = RCH = 4.59 kN Para obtener la componente vertical de la relación en el soporte C se puede usar un diagrama de cuerpo libre del miembro BC. Al sumar momentos con respecto a la junta B encontramos la reacción vertical en C ∑MB = 0 = -RCV (3.0 m) + (2.7kN) (2.2m) + (2.7kN) (0.4m) = 0 RCV = 2.34 kN Para obtener la reacción vertical en A debemos volver a usar el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y hacer una sumatoria de fuerzas verticales. ∑Fvert = 0 = RAV + RCV – 2.7 KN – 2.7 kN = RAV + 2.34 kN - 5.4 kN RAV = 3.06 kN Conociendo las componentes verticales y horizontales de los apoyos A y C podemos obtener la reacción.

RA = √ (RAV)2+ (RAH)2 = 5.516 kN RC = √ (RCV)2+ (RCH)2 = 5.152 kN La fuerza de tensión en la barra AB es igual a la reacción en A. FAB = RA = 5.516 kN La fuerza cortante que actúa en el pasador C es igual a la reacción en C VC = RC = 5.152 Kn área Necesaria en la Barra El área transversal requerida en la barra AB se calcula dividiendo la fuerza de tensión entre el esfuerzo admisible. FAB 5.516 kN (1000) AAB = ------------ = ---------------------- = 44.13 mm2 σadm 125 Mpa La barra se deberá diseñar con una área transversal igual o mayor a los 44.13 mm2, para que pueda soportar el peso del letrero. Diámetro requerido en el pasador Recordemos que el pasador esta sometido a doble corte por lo que VC 5.152 kN (1000) Apas = --------- = ------------------------- = 57. 2 mm2 2 τadm 2 (45 Mpa) El diámetro del pasador se puede calcular con la formula dpas = √ 4Apas/π = 8.54 mm Se necesitara un pasador de por lo menos 8.54 mm para que pueda soportar el letrero.

Practica 6: Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios: Pagina 63 ejercicios 1.8-1, 1.8-2, 1.8-3, Pagina 64 ejercicios 1.8-4, 1.8-5, 1.8-6, 1.8-7, Pagina 65 ejercicios 1.8-8, 1.8-9, 1.8-10, 1.8-11 Pagina 63 ejercicios 1.8-12, 1.8-13

2.1 Introducción 2.2 Cambios De Longitud de Miembros Cargados Axialmente 2.2.1 Resortes 2.2.2 Barras Prismáticas 2.2.3 Cables 2.3 Cambio en Longitud de Barras No Uniforme 2.3.1 Barras con Cargas Axiales Indeterminadas 2.3.2 Barras con Cargas o Dimensiones en Variación Continua 2.3.3 Limites de Aplicación 2.4 Estructuras Estáticamente Indeterminadas 2.5 Esfuerzos Sobre Secciones Inclinadas 2.5.1 Elementos de Esfuerzos 2.5.2 Esfuerzos Sobre Secciones Inclinadas 2.5.3 Esfuerzos Normales y Cortantes Máximos 2.5.4 Esfuerzo Uniaxial 2.6 Energía de Deformación 2.6.1 Energía de Deformación Elástica e Inelástica 2.6.2 Comportamiento Linealmente Elástico 2.6.3 Desplazamiento Causados por Una Sola Carga 2.6.4 Densidad de la Energía de Deformación

Tema 2

Miembros Cargados Axialmente

2.1 MIEMBROS CARGADOS AXIALMENTE. INTRODUCCION Las estructuras que solo están sometidas tensión o a compresión se les llama estructuras cargadas axialmente o miembros con carga axial. El elemento mas común es la barra sólida con ejes longitudinales rectos, aun cuando también los cables y resortes son ejemplos clásicos de miembros cargados axialmente. En el capitulo anterior determinamos ya las formulas para los esfuerzos que actúan sobre las secciones transversales (σ = P/A) y las deformaciones longitudinales (ε = δ/L). En este capitulo trataremos de describir otros aspectos del comportamiento de miembros cargados axialmente. Veremos como determinar el cambio de longitudes causado por las cargas aplicadas aun cuando el miembro este en un estado estáticamente indeterminado. Veremos que sucede cuando una barra esta sometida a cambios de temperatura y se introducirá el termino esfuerzo térmico y deformación térmica. También estudiaremos los efectos que producen en una barra malos ajustes y las deformaciones unitarias previas. Presentaremos un panorama generalizado de los esfuerzos en las barras con cargas axial y describiremos los esfuerzos sobre secciones inclinadas (distintas a una sección transversal). Depuse estudiaremos la energía de deformación y la carga de impacto. 2.2 CAMBIO DE LONGITUD DE MIEMBROS CARGADOS AXIALMENTE Recordemos que un miembro cargado axialmente es una barra, cable o resorte (entre otros) donde la carga exterior esta aplicada (ya sea de compresión o tensión) en sus ejes longitudinales, y que produce un esfuerzo igual a través de toda su sección transversal. La mejor manera de iniciar el estudio de miembros cargados axialmente y queremos calcular su cambio de longitud, es el resorte helicoidal. Estos resortes se utilizan en diversas clases de maquinas y dispositivos… en los carros podemos encontrar docenas de resortes helicoidales sometidos a cargas axiales. Cuando aplicamos una carga a lo largo de un eje de un resorte, este se alarga o se acorta dependiendo de la dirección de la carga. Si la fuerza se aleja del resorte, el resorte por lógica se va a alargar y decimos que esta cargado en tensión. Si la carga actúa hacia dentro del resorte y este se acorta decimos que esta cargado en compresión.

2.2.1 Resortes Si nos fijamos en la figura, esta representa un alargamiento de un resorte. La parte superior de la figura muestra un resorte en su estado natural con una longitud inicial L (llamada también: longitud sin esfuerzo, longitud relajada o longitud libre). La parte inferior del dibujo muestra los efectos cuando cargamos dicho resorte a los efectos de una carga de tensión. Bajo la acción de la fuerzo P, el resorte se elonga una cantidad δ, y la longitud final del resorte será L + δ. Si el material del resorte es linealmente elástico, la carga y el alargamiento serán proporcionales: P = k δ δ = f P A la constante k se le llama rigidez del resorte, y se define como: “la fuerza necesaria para producir un alargamiento unitario”. Dicho en una expresión algebraica k = P / δ A la constante f se le llama flexibilidad del resorte y se define como: “la elongación producida por una carga de valor unitario”. Expresado en formula f = δ / P Por consiguiente viendo las formulas anteriores nos damos cuenta que la rigidez y la flexibilidad de un resorte son reciproca entre si. La flexibilidad de un resorte se puede determinar con facilidad midiendo la elongación producida por una carga conocida, y a partir de ahí calcular su rigidez.

donde k y f son constantes de proporcionalidad.

1 k = ------- f

1 f = ------- k

A la rigidez y la flexibilidad de un resorte también se llama, constante del resorte y docilidad, respectivamente.

Ejemplo 2.1 Una estructura rugida ABC en forma de L esta formada por un brazo horizontal AB (longitud b = 10.5 pulg) y un brazo vertical BC (longitud c = 6.4 pulg) y esta articulada en el punto B (ver figura anexa). La articulación esta fija a la estructura externa BCD, instalada en un banco de laboratorio. La posición del indicar C se controla con un resorte (rigidez k = 4.2 lb/pulg) fijo a una varilla roscada. La posición de esta varilla roscada se ajusta girando una tuerca. La distancia entre los hilos de la tuerca es de p = 1/16 pulg (es decir entre cada rosca exista una distancia igual a 1/16 pulg), que quiere decir que un giro completo de la tuerca mueve esa cantidad a la varilla. Al principio en el colgante no hay peso alguno y la tuerca se gira hasta que el extremo del brazo BC esta directamente sobre la marca de referencia en la estructura externa. Si se coloca un peso W = 2 lb sobre el colgante en A, ¿cuántas revoluciones de tuerca se requerirán para regresar el indicador a la marca? Desprecie las deformaciones de las partes metálicas del dispositivo ya que son despreciables en comparación con el cambio de longitud del resorte. Datos: W = 2 lbs b = 10.5 pulg. c = 6.4 pulg k = 4.2 lb/pulg p = 1/16 pulg Solución Analizando la figura, vemos que el peso que actúa hacia abajo hará que el indicador C se mueve hacia la derecha. Cuando lo haga, el resorte se estirara cierta cantidad, que es calculable a partir de la fuerza sobre el resorte. Para calcular la fuerza en el resorte lo primero será trazar un diagrama de cuerpo libre de la estructura ABC. Analizando el diagrama vemos que W representa la fuerza aplicada sobre el colgante y F representa la fuerza aplicada por el resorte. Las reacciones en la articulación (que son iguales en magnitud) se indican con diagonales que cruzan las flechas. Si buscamos momento con respecto a B

2.2.2 Barras Prismáticas Al igual que los resortes una barra prismática se elonga bajo carga de tensión y se acorta bajo carga de compresión. Lo más fácil para analizar su comportamiento es utilizar una barra prismática circular de eje recto. Recordemos que una barra prismática es un miembro estructural que tiene un eje longitudinal recto y una sección transversal constante en toda su longitud. Para nuestras demostraciones y por asuntos didácticos utilizaremos normalmente una barra prismática de sección transversal circular o rectangular, también existen otros tipos de geometrías para las secciones transversales, como ilustramos a continuación.

W b ∑MB = 0 = F c – W b = 0 de donde F = ---------- c Para calcular el alargamiento F W b δ = ------ = ------------- k c k Para regresar el indicador a la marca se deberá girar la tuerca las vueltas que sea necesaria para mover la varilla roscada hacia la izquierda, igual al alargamiento del resorte. Llamaremos n a la cantidad de vueltas necesarias para llevar a la varilla a su posición inicial. W b n p = δ = --------- c k W b n = ---------- c k p El resultado numérico seria entonces: W b (2 lb) (10.5 pulg) n = ---------- = --------------------------------------------- = 12. 5 revoluciones c k p (6.4 pulg) (4.2 lb/pulg) (1/16 pulg)

Cuando una barra prismática es sometida a una carga de tensión o compresión P (utilizaremos tensión por facilidad), la barra tiene una elongación δ. Si la carga actúa pasando por el centroide de corte transversal en el extremo, el esfuerzo normal uniforme en cortes transversales alejados de los extremos se define con la formula σ = P/A; donde A es el área transversal. Además si la barra se fabrica con un material homogéneo, la deformación unitaria axial es ε = δ/L; siendo δ la elongación y L la longitud de la barra. Vamos a suponer que el material es linealmente elástico lo que quiere decir que obedece a la Ley de Hooke. Entonces, el esfuerzo y la deformación unitaria longitudinales se relacionan con la ecuación σ = E ε; donde E es el modulo de elasticidad. Combinando estas relaciones obtenemos la siguiente ecuación del alargamiento de la barra: Esta ecuación indica que el alargamiento es directamente proporcional a la carga P y la longitud L e inversamente proporcional al modulo de elasticidad E y al área transversal A. Al producto de EA se le conoce como rigidez axial de la barra. Esta ecuación aun cuando se dedujo para tensión es exactamente valida para compresión. Para diferenciar cuando es tensión o acortamiento se ha hecho necesario una convención de signos y esta nos dice que cuando una barra prismática se alarga (tensión) la elongación se supondrá positiva, y si la barra se acorta (compresión) entonces será negativa. El cambio de longitud de una barra, en el caso normal, es muy

P L δ = ------- A E

pequeño en comparación con su longitud, en especial cuando el material es un metal estructural como acero o aluminio.

Ejemplo 2-2 Un puntal de aluminio que tenga 75 pulg de longitud y este sometido a una fuerza moderada de compresión de 7,000 lb/pulg2. Si el modulo de elasticidad es de 10,500klb/pulg2, cual es el área necesaria para que la longitud final del puntal sea de un 99.99% de su longitud original. Datos L = 75 pulg σ L P = 7,000 lb/pulg2 δ = --------- E = 10,500 klb/pulg2 E δ % elongación = ------- de donde δ = L (% elongación) L δ = (0.99) (75pulg) = 74.9925 – L =0.0075 pulg δ = 0.0075 pulg

Ejemplo 2-3 El dispositivo de la figura, consiste en una viga horizontal ABC soportada por dos barras verticales BD y CE. La barra CE esta articulada en ambos extremos, pero la barra BC esta fija a su base en su extremo inferior. La distancia de A a B es 450 mm y de B a C es 225 mm. Las longitudes de las barras BD y CE son 480 mm y 600 mm respectivamente y sus áreas transversales son 1,020 mm2 y 520 mm2 respectivamente. Las barras son de acero cuyo modulo de elasticidad es E – 205 GPa. Suponga que la viga ABC es rígida, calcule la carga máxima admisible, Pmax, si el desplazamiento del punto A se limita a 1.0 mm Datos: LAB = 450 mm LBC = 225 mm LBD = 480 mm LCE = 600 mm ABD = 1,020 mm2 ACE = 520 mm2

E = 205 GPa δA = 1.0 mm Pmax =?

Para calcular el desplazamiento del punto A se necesita conocer los desplazamientos de los puntos B y C. En consecuencia, debemos calcular los cambios de longitud de las barras BD y CE utilizando la ecuación: P L δ = ----------- A E De la formula anterior nos falta el valor de P y las fuerzas en las barras CE y BD. La barra CE esta articulada en ambos extremos, en un miembro con dos fuerzas y solo transmite una fuerza vertical FCE a la viga. Sin embargo, la barra BD puede transmitir una fuerza vertical FBD y también una fuerza horizontal H. Por equilibrio de lavita ABC en dirección horizontal, se observa que la fuerza horizontal es nula. Podemos obtener dos ecuaciones más de equilibrio, que nos permitirán expresar las fuerzas FBD y FCE en función de la carga P. ∑M = 0 = 450 P – 225 FCE = 2P = FCE ∑Y = 0 = FBD – P – FCE = 3P = FBD El acortamiento del miembro BD es : FBD LBD 3P (480 mm) δBD = -------------- = ----------------------------------------- = 6.887P x 10-6 mm (si la carga P se expresa E ABD (205 GPa) (1000) (1020 mm2) en newtons) Diagrama de desplazamiento: Si conocemos los cambios de longitud de las dos barras, entonces podemos determinar el desplazamiento del punto A. Cuando vemos el diagrama de desplazamientos este nos muestras las posiciones relativas de los puntos A, B, y C. la línea ABC representa el alineamiento original de los tres puntos. Después de aplicada la carga P, el miembro BD se acorta la cantidad δBD y el punto B se mueve hacia B’. también el miembro CE se alarga la cantidad δCE y el punto C se mueve hacia C’. Como se supone que la viga ABC es rígida, los puntos A’, B’, y C’ están en una línea recta. Por triángulos semejantes se pueden determinar las relaciones entre los desplazamiento en los puntos A, B y C. Con los triángulos semejantes A’A”C’ y B’B”C’ se obtiene:

Noten que la fuerza FCE actúa hacia abajo sobre la barra ABC, y la fuerza FBD actúa hacia arriba. Por lo anterior, el miembro CE esta en tensión y el miembro BD esta en compresión.

2.2.3 Cables Los cables se utilizan para transmitir grandes fuerzas de tensión, por ejemplo cuando se izan o se remolcan objetos pesados, se suben elevadores, se aseguran las torres (se colocan vientos) y se soportan puentes colgantes. A diferencia de los resortes y las barras prismáticas los cables no pueden resistir compresión, además tienen poca resistencia a la flexión. Por consiguiente: los cables pueden ser curvos y/o rectilíneos. Un cable se considera como un miembro con carga axial porque solo esta sujeto a fuerzas de tensión. Como las fuerzas de tensión en un cable se dirigen en el sentido del eje, pueden variar tanto en dirección como en magnitud, dependiendo de la configuración del cable.

A’A” B’B” δA + δCE δBD + δCE --------- = -------- o sea -------------- = ----------------- A”C’ B”C’ 450 + 225 225 Sustituyendo los valores de δBD y δCE de las ecuaciones anteriores tenemos que:

Como el ejercicio nos indica que el valor limite del desplazamiento de δA es de 1.0 se despeja la ecuación y se tiene que: 225 (1 + 11.26P x 10-6) = 675 (6.88P x10-6 + 11.26P x 10-6) 225 + 2.53P x 10-3 = 4.65P x 10-3 +7.60P x 10-3 225 = 9.72P x 10-3 225 P = ----------------- = 23,148 ≈ 23,200 N 9.72 x 10-3 Pmax = 23.2 kN

y donde todos los términos están en milímetros

Como estamos trabajando con estructuras que se comportan linealmente elásticas, los desplazamientos son proporcionales a las magnitudes de las cargas. Por ejemplo si la carga es la mitad de Pmax (11.6 kN) el desplazamiento del punto A es de 0.5 mm.

Los cables se fabrican a partir de una gran cantidad de alambres devanados (enrollados en forma helicoidal). Si bien existe una gran forma de devanar los hilos de un cable, que depende principalmente de la forma y para que se vaya a utilizar, el más común es el cable de seis cordones como se muestra en la figura, de trenzado helicoidal, en torno a un eje central o alma. Cada cordón, por su parte esta compuesto por muchos alambres que también están enrollados de forma helicoidal. El área transversal de un cable es igual al área transversal total de los alambres individuales, que es llamada área efectiva o área real. Por ejemplo: el área transversal real de un cable de 1 pulg de diámetro es de 0.471 mm2, mientras que el área de círculo de 1 pulg de diámetro es de 0.785 mm2. Bajo una misma carga de tensión, el alargamiento de un cable es mayor que el de una barra maciza del mismo material y la misma área transversal, porque los alambres de un cable: se aprietan” de la misma manera que las fibras de una cuerda. Es por eso que el modulo de elasticidad (llamado modulo efectivo en un cable) es menor que el del material del que esta hecho. El modulo efectivo de los cables de acero es 20,000 klb/pulg2 (140GPa) aproximadamente, mientras que el modulo del acero es de 30,000 klb/pulg2 (210 GPa). Para determinar el alargamiento de un cable se hace con la ecuación y se usa el modulo efectivo como E y el área efectiva como A. En la practica tanto el área efectiva como el modulo efectivo se obtienen con los fabricantes de cables. Para resolver los problemas de este libro utilizaremos la siguiente tabla1. La última columna contiene la resistencia a la ruptura, que es la que hace que el cable se rompa. La carga admisible se obtiene a partir de la carga última, aplicándole un factor de seguridad que puede ir desde 3 a 10 dependiendo del uso que vayan a tener los cables.

PROPIEDADES DE LOS CABLES DE ACERO Diámetro Nominal Peso Aproximado Área Efectiva Resistencia

a la Ruptura pulg mm lb/pie N/m pulg2 mm2 lb kN 0.50 12 0.42 6.1 0.119 76.7 23,100 102 0.75 20 0.95 13.9 0.268 173 51,900 231 1.00 25 1.67 24.4 0.471 304 91,300 406 1.25 32 2.64 38.5 0.745 481 144,000 641 1.50 38 3.83 55.9 1.08 697 209,000 930 1.75 44 5.24 76.4 1.47 948 285,000 1260 2.00 50 6.84 99.8 1.92 1230 372,000 1650

1 Bajo ninguna circunstancia deben usarse estos valores para aplicaciones reales de ingeniería. Es solo con fines didácticos.

P L δ = ------- A E

Practica 8: Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios: Pagina 155 ejercicios 2.2-1, 2.2-2, 2.2-3, 2.2-4 Pagina 156 ejercicios 2.2-5, 2.2-6, 2.2-7, 2.2-8 Pagina 157 ejercicios 2.2-9, 2.2-10, 2.2-11

2.3 CAMBIOS EN LONGITUD DE BARRAS NO UNIFORMES Cuando una barra prismática de un material linealmente elástico se carga solo en los extremos se determina su cambio de longitud con la ecuación δ = PL /AE, como ya vamos en la sección anterior. Ahora veremos como se puede aplicar esta ecuación a casos más generales. 2.3.1 Barras con Cargas Axiales Indeterminadas Para determinar el cambio de longitud de una barra prismática con una o mas cargas axiales actuando en puntos intermedios a lo largo del eje, se suma algebraicamente todos los alargamientos y acortamientos de cada segmento individual. Los pasos a seguir son los siguientes: 1. Identifique los segmentos de la barra (AB, BC y

CD) respectivamente. 2. Determine las fuerzas axiales internas N1, N2 y

N3, en los segmentos b, c, y d. Observe que las fuerzas axiales internas se representa con la letra N, para diferenciarlas de las cargas externas P. Si se suman las fuerzas axiales:

N1 = -PB + PC +PD N2 = PC + PD N3 = PD

3. Determinar los cambios de longitud de los

segmentos con las siguientes ecuaciones: N1L1 N2L2 N3L3 δ1 = ----------- δ2= ----------- δ3 = ----------- EA EA EA donde L1, L2 y L3 son las longitudes de los segmentos, y EA es la rigidez axial de la barra. 4. Sumar δ1, δ2, δ3 para obtener δ, el cambio de longitud de toda la barra.

2.3.2 Barras Formadas por Segmentos Prismáticos El mismo método general se puede usar cuando la barra esta formada por varios segmentos prismáticos cada uno con distintas fuerzas axiales, distintas dimensiones y materiales diferentes. El cambio de longitud se puede determinar con la ecuación:

En donde el subíndice i es un índice numerador para los distintos segmentos de la barra y n es la cantidad total de segmentos. En especial, observe que Ni no es una carga externa, sino una fuerza axial interna en el segmento i

2.3.4 Barras con Cargas o Dimensiones en Variación Continua

La fuerza axial N y el área transversal A pueden variar en forma continua como vemos en la figura con una barra cónica. Esta barra no solo tiene un área transversal variable en forma continua, sino una axial en variación continua, sino una axial en variación continua. De acuerdo al dibujo, la carga consiste en dos partes: una fuerza única PB que actúa en el extremo B de la barra y las fuerzas distribuidas p(x) que actúan a lo largo del eje (las unidades de una fuerza distribuidas son fuerzas por unidad de distancia, p.e. libras por pulgadas o newtons por metro). Una carga axial distribuida pudiera ser el resultado de factores como fuerzas centrifugas, fuerzas de fricción o el peso de una barra que cuelga en posición vertical. Con estas condiciones ya no es posible la utilización de la ecuación anterior para obtener el cambio de longitud. En lugar de ellos, se determina el cambio de longitud de un elemento diferencial de la barra, para después integrar sobre la longitud de esta. Seleccionaremos un elemento diferencial a la distancia x del extremo izquierdo de la barra. La fuerza axial interna N(x) que actúa en su sección transversal se puede determinar a partir del equilibrio, usando el segmento AC o bien el segmento CB como cuerpo libre. En general, esa fuerza es una función de x. También conocemos las dimensiones de la barra, se puede expresar el área transversal A(x) en función de x.

El alargamiento dδ de elemento diferencial se puede obtener con la ecuación δ = PL/AE, sustituyendo N(x) por P, dx por L y A(x) por A, como sigue: N(x) dx dδ = ------------- EA(x) El alargamiento de toda la barra se obtiene integrando sobre la longitud:

Ejemplo 2-3: Una barra vertical de acero ABC se soporta con un pasador en su extremo superior y se carga con una fuerza P1 en su extremo inferior. En la junta B hay una viga horizontal BDE articulada a la barra vertical y la viga horizontal esta soportada en el punto D. Esa viga sostiene una carga P2 en E. La parte superior de la barra vertical (segmento AB) tiene una longitud L1 = 20.0 pulg y área transversal A1 = 0.25 pulg2. La parte inferior (segmento BC) tiene longitud L2 = 38.8 pulg y área A2 = 0.15 pulg2. El modulo de elasticidad E del acero es de 29.0 x 106 lb/pulg2. Las partes izquierda y derecha de la viga BDE tiene longitud a = 28 pulg y b = 25 pulg, respectivamente. Calcular el desplazamiento vertical δc en el punto C, si la carga P1 = 2,100 lb y la carga P2 = 5,600lb. Los pesos de la barra y de la viga son despreciables. Datos L1 = 20.0 pulg A1 = 0.25 pulg2 L2 = 38.8 pulg A2 = 0.15 pulg2 E = 29.0 x 106 lb/pulg2 a = 28 pulg b = 25 pulg P1 = 2,100 lb P2 = 5,600lb δc = ?

Solución: Fuerzas Axiales en la Barra ABC. De la figura (a) observamos que el desplazamiento vertical del punto C es igual al cambio de longitud de la barra ABC. Por consiguiente lo primero que debemos hacer es determinar las fuerzas axiales en ambos segmentos de la barra. La fuerza axial N2 en el segmento inferior es igual a la carga P1. La fuerza axial N1 en el segmento superior se puede calcular si se conoce ya sea la reacción vertical en A o la fuerza que aplica la viga a la barra. Esta ultima fuerza puede obtenerse con un diagrama de cuerpo libre de la viga (figura b), en el que la fuerza que actúa sobre la viga (de la barra vertical) se representa por P3 y la reacción vertical en el soporte D se representa por RD. Ninguna fuerza horizontal actúa entre la barra vertical (figura c). Por consiguiente, no hay reacción horizontal en el soporte D de la viga. Obtenemos el momento con respecto a D, en el diagrama de cuerpo libre de la viga, y se obtiene: ∑MD = 0 = P3a – P2b P2 b P3a = P2b P3 = ------------- a (5600) (25) P3 = ---------------- = 5,000 lb. 28 Ahora ya podemos calcular la reacción hacia abajo en el soporte A. ∑Fy = 0 = P3 – RA – P1 RA = P3 – P1 RA = 5000 lb – 2100 lb = 2,900 lb Con esto ya tenemos las dos fuerzas internas N1 y N2. En la parte superior de la barra vertical (segmento AB) esta sujeta a una fuerza axial de compresión N1 = RA, es decir = 2,900 lbs. En el segmento BC, este soporta una fuerza axial de tensión N2 igual a P1, es decir 2,100 lb. Cambio de longitud:

Esta fuerza actúa hacia abajo sobre la viga y hacia arriba sobre la barra vertical.

(-2900 lb)(20 pulg) (2100 lb) (34.8 pulg) δc = ----------------------------------------- + ------------------------------------------ (29 x 106 lb/pulg2) (0.25 pulg2) (29 x 106 lb/pulg2) (0.15 pulg2) δc = -0.0080 + 0.0168 = 0.0088pulg Como δ es positivo significa que la barra se alarga. Es decir,

hacia abajo.

Ejemplo 2-4 Una barra cónica, de sección transversal redonda maciza y longitud L (ver figura) esta sometida en el extreme B, y la sujeta a una carga de tensión P en el extreme libre A. Los diámetros A y B son dA y dB respectivamente. Determine el alargamiento de la barra, debido a la carga P, suponiendo que el ángulo de conicidad es pequeño (menos de 10º).

Solución: la barra que se analiza tiene una fuerza axial constante (carga P) en toda su longitud, sin embargo, el área transversal varia de forma continua de un extremo al otro. Por lo que deberemos de integrar para determinar el cambio de longitud.

área Transversal: el primer paso para solucionar este problema es obtener una ecuación del área transversal A(x) en cualquier corte transversal de la barra. Para esto es necesario establecer un origen de la coordenada x-x. El mejor punto de colocar el cero de la coordenada x-x es la unión de las dos prolongaciones de cada lado de la barra, aquí podemos colocar nuestro punto 0. La distancia LA y LB del origen a los extremos A y B están respectivamente en la relación

Datos: Barra cónica Diámetros = dA, dB Long = L Carga = P

LA dA ------ = ------- LB dB Por triangulo semejante se obtiene la relación del diámetro d(x) a la distancia x del origen, entre el diámetro dA y dB de la barra. d(x) x dA x ------- = ------- o sea d(x) = ------------- dA LA LA El área transversal a la distancia x del origen es : Para obtener el cambio de longitud sustituimos A(x) en la ecuación y obtenemos: Cuando realizamos la integración, obtenemos: Esta ecuación podemos simplificar la relación de las longitudes: Y así transformamos la ecuación en: Por ultimo sustituimos la relación LA/LB = dA/dB y se obtiene la ecuación final.

2.4 ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Los resortes, barras y cables que hemos estudiado hasta este momento comparte una propiedad muy importante: podemos determinar sus reacciones y fuerzas internas utilizando nada más que los diagramas de cuerpo libre y las ecuaciones de equilibrio. A este tipo de estructura se les clasifica como Estructuras Estáticamente Determinadas. Las fuerzas en una estructura estáticamente determinada se pueden encontrar sin conocer las propiedades de los materiales. En nuestro mundo las estructuras existente son mas complejas que las barras, resortes o cables que hemos estudiado, y no se pueden determinar sus reacción y fuerzas internas solamente con la estática. Si vemos el caso del grafico que presentamos en que la barra AB esta fija en ambos extremos. Esta tiene dos reacciones verticales (RA y RB) , pero una sola condición de equilibrio útil: la suma de las fuerzas en dirección vertical. Esta ecuación tiene dos incógnitas, no basta para determinar las reacciones. Este tipo de estructura se clasifica con Estructuras Estáticamente Indeterminadas. Para analizarlas es necesario utilizar las ecuaciones de equilibrio conjuntamente con las ecuaciones que describen los desplazamientos de la estructura. Veamos el siguiente ejemplo para entender mejor: Tomemos una barra prismática AB que esta fija a soportes rígidos en ambos extremos y esta cargada axialmente por una fuerza P en un punto intermedio C. ∑ Fvert = 0 = RA – P +RB Se necesita una ecuación mas para despejar las dos reacciones desconocidas. Esta ecuación adicional se basa en que una barra con ambos extremos fijos no cambia de longitud. Si la separamos de sus soportes , obtenemos una barra que esta libre en ambos extremos y cargada con tres fuerzas: RA, RB y P. Esas fuerzas producen en la barra un cambio e longitud δAB que debe de ser igual a cero. δAB = 0 Esta ecuación se llama Ecuación de Compatibilidad y expresa el hecho de que el cambio de longitud de la barra debe ser compatible con las condiciones de soporte.

Practica 9: Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios: Pagina 158 ejercicios 2.3-1, 2.3-2, Pagina 159 ejercicios 2.3-3, 2.3-46, 2.3-5, 2.3-6. 2.3-7 Pagina 160 ejercicios 2.3-8, 2.3-9, 2.3-10

Para resolver este par de ecuaciones se deben de expresar la ecuación de compatibilidad en términos de las fuerzas desconocidas RA y RB. Las relaciones entre las fuerzas que actúan sobre la una barra y sus cambios de longitud se conocen como relación fuerza –desplazamiento. Esas relaciones tienen varias formas, que dependen de las propiedades del material. Si el material es linealmente elástico se puede utilizar la ecuación δ = PL/EA para obtener las relaciones entre fuerza y desplazamiento. RA a RB b δAC = ------------ δCB = - --------- Estas son las relaciones EA EA fuerza-desplazamiento. El signo menos indica un acortamiento de la barra

Para resolver definitivamente las incógnitas: RA a RB b δAB = δAC + δCB = -------- - ------- = 0 EA EA Sacando Momento con respecto a B y A respectivamente obtenemos que P b P a RA = -------- y RB = ---------- L L Entonces conocidas las reacciones podemos ya determinar el resto de las fuerzas y desplazamientos.

NOTA IMPORTANTE Para el análisis de una Estructura estáticamente Indeterminada implica plantear y resolver ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y relaciones de fuerza-desplazamiento. Las ecuaciones de equilibrio relacionan las cargas que actúan sobre la estructura, con fuerzas desconocidas (que pueden ser reacciones o fuerzas internas) y las ecuaciones de compatibilidad expresan condiciones sobre desplazamientos de la estructura. Las relaciones fuerza-desplazamiento son ecuaciones que usan las dimensiones y las propiedades de los miembros estructurales (EA) para relacionar las fuerzas y los desplazamientos de esos miembros. En el caso de barras con cargas axial que se comportan en forma linealmente elástica, las relaciones se basan en la ecuación δ = PL/EA. Estos tres conjuntos se deben de resolver simultáneamente para determinar las fuerzas y los desplazamientos desconocidos. de ecuaciones. Para estructuras mas formales y complejas se necesitan métodos mucho mas complicados. Dos métodos que se usan con frecuencia son: el método de la flexibilidad (método de fuerza) y el método de la rigidez (método del desplazamiento), los cuales se exponen detalladamente en los cursos de análisis estructural.

Desde el punto de vista histórico pareced que el primero en hacer un análisis de un sistema estáticamente indeterminado fue Euler en 1774, quien considero el problema de una mesa rígida con cuatro patas soportada sobre una mesa elástica. El siguiente fue Navier quien en 1825 hizo notar que las reacciones estáticamente indeterminadas solo se podían determinar teniendo en cuenta la elasticidad de las estructuras. Navier resolvió armaduras y vigas estáticamente indeterminadas.

Ejemplo 2-5 Un cilindro circular macizo de acero S esta encerrado en un tubo circular de cobre C. El cilindro y el tubo son comprimidos entre las placas rígidas de una maquina de pruebas, con fuerza de compresión P. El cilindro de acero tiene un área transversal As y modulo de elasticidad Es, el tubo de cobre tiene área Ac y modulo Ec, ambas tienen una longitud L. Determine las siguientes cantidades: a) las fuerzas de compresión Ps en el cilindro de acero y Pc en el tubo de cobre b) los esfuerzos correspondientes de compresión σs y σc c) el acortamiento δ del conjunto Solución a) fuerzas de compresión en el cilindro de acero y en el tubo de cobre Si de forma imaginaria quitamos la tapa superior del conjunto y dejar expuestas las fuerzas de compresión Ps y Pc que actúan sobre el cilindro de acero y el tubo de cobre respectivamente (dibujo C). La fuerza Ps es la resultante de los esfuerzos uniformemente distribuidos que actúan sobre la sección transversal del cilindro de acero y la fuerza Pc es la resultante de los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal del tubo de cobre. Ecuación de Equilibrios: en la figura (d) tenemos un diagrama de cuerpo libre de la placa superior. Esta placa esta sometida a la fuerza P y a las fuerzas desconocidas de compresión Ps y Pc. La ecuación de equilibrio seria: ∑Fvert = 0 = Ps + Pc - P

Esta ecuación, que es la única ecuación de equilibrio del sistema contiene dos incógnitas, por consiguiente, si tenemos más incógnitas que ecuaciones de equilibrio, entonces estamos en presencia de una estructura estáticamente indeterminada. Ecuación de compatibilidad: Como las placas en los extremos son rígidas, el cilindro de acero y el tubo de cobre deben de acortarse la misma cantidad. Representando los acortamientos de las partes de acero y de cobre por δs y δc respectivamente, obtenemos la siguiente ecuación de compatibilidad. δs = δc Relaciones Fuerzas Desplazamiento Ps L Pc L δs = ----------- δc = --------- Es As Ec Ac Resolviendo las ecuaciones tenemos que: Ps L Pc L --------- = -------- Es As Ec Ac Si combinamos las ecuaciones de equilibrio con las de la relación de fuerzas de desplazamiento y simplificamos tenemos que

b) esfuerzos de compresión en el cilindro de acero y en el tubo de cobre

c) acortamiento del conjunto al sustituir los valores en las formulas de la relación de esfuerzo-deformación

Este resultado nos indica que el acortamiento del conjunto es igual a la carga total dividida entre la suma de las rigideces de las dos partes. Recordemos que la ecuación de la rigidez de una barra con carga axial es k = EA/L.

Ejemplo 2-6 Una barra rígida horizontal AB esta articulada en el extreme A y esta soportada por dos alambres (CD y EF) en los puntos D y F (figura a). Una carga vertical P actúa sobre el extremo B de la barra, cuya longitud es 3b, y los alambres CD y EF tienen longitudes L1 y L2 respectivamente. También, el alambre CD tiene diámetro d1 y modulo de elasticidad E1. El alambre EF tiene diámetro d2 y modulo E2. a) obtener formulas para determinar la carga permisible P si los esfuerzos admisibles en los alambres CD y EF son σ1 y σ2 respectivamente. El peso de la barra es despreciable. Calcularla carga admisible P para las siguientes condiciones: El alambre CD es de aluminio (E1 = 72 GPa), diámetro d1 = 4.0 mm y longitud L1 = 0.40. El alambre EF es de magnesio (E2 = 45 GPa), diámetro d2 = 3.0 mm y longitud L2 = 0.30 m. Los esfuerzos admisible en los alambre de aluminio y magnesio son σ1 = 200Mpa y σ2 = 175 Mpa respectivamente.

Datos: Carga Vertical = P Long Barra AB = 3b Long Barra DC = L1 = 0.40 m Long Barra EF = L2 = 0.30 Modulo Elasticidad alambre CD = E1 = 72 GPa Modulo Elasticidad alambre EF = E2 = 45GPa Diámetro alambre CD = d1 = 4.0 mm Diámetro alambre EF = d2 = 3.0 mm Esfuerzo Admisible CD = σ1 =200 Mpa Esfuerzo Admisible EF = σ2 = 175 MPa

Solución: Utilizaremos primero el diagrama de cuerpo libre de la barra AB. En este diagrama T1 y T2 son las fuerzas desconocidas de tensión en los alambres, RH y RV son las componentes horizontales y verticales de la reacción en los soportes. Este análisis no lleva a saber que esta estructura es estáticamente indeterminada porque tenemos 4 fuerzas desconocidas y solo tres ecuaciones independientes de equilibrio. ∑MA = T1b +T2b – P(3b) = 0 T1 +2T2 = 3P ∑FY = - RV – T1 – T2 + P = 0 RV + T1 + T2 = P ∑FH = RH = 0 Ecuación de Compatibilidad Para obtener una ecuación relacionada con los desplazamiento, fíjense que la carga P hace que la barra AB gire en torno al soporte articulado en A y con ello los alambres se estiran. Los desplazamientos resultantes podemos observarlo en la figura adjunta, donde la línea AB representa la posición original de la barra rígida y la línea AB’ representa la posición girada. Los desplazamientos δ1 y δ2 son los alargamientos de los alambres. Como esos desplazamientos son muy pequeños, la barra gira un ángulo muy pequeño (mostrado de forma exagerada en la figura) y podremos hacer cálculos suponiendo que los puntos D, F y B se mueven verticalmente hacia abajo (en lugar de moverse en arcos de círculos). Ya que las distancias horizontales AD y DF son iguales, por semejanza de triángulos podemos decir que: δ2 = 2δ1 Por lo tanto podemos decir que: T1 L1 T2 L2 δ1 = ----------- δ2 = ------------ E1 A1 E2 A2 Y donde A1 y A2 son las áreas transversales de los alambres CD y EF respectivamente; esto es: π d1

2 π d22

A1 = ----------- A2 = ----------- 4 4

Recordemos que la flexibilidad es igual a f = L/AE, por lo L1 L2 f1 = ----------- f2 = ----------- E1 A1 E2 A2 Así entonces δ1 = f1 T1 δ2 = f2 T2 y recordemos que δ2 = 2δ1 f2 T2 2 f1 T1 Por lo que f2T2 = 2f1T1 de donde T1 = ------------- T2 = ------------------ 2f1 f2 Simplificando en la ecuación de momento tenemos que: T1 + 2T2 = 3P f2 T2 --------- + 2T2 = 3P 2 f1 f2T2 + 4f1 T2 = 6Pf1 T2 (f2 + 4f1) = 6Pf1 6Pf1 T2 = ------------------ 4 f1 + f2 Para T1 2 f1 T1 T1 + 2 (---------) = 3P f2 4f1 T1 T1 + ----------- = 3P f2 T1f2 + 4f1 T1 = 3Pf2 T1 (f2 + 4f1) = 3Pf2 3Pf2 T1 = ------------ 4f1 +f2 Analizando el resultado de ambas formulas T2 será dos veces el valor de T1.

Para calcular la carga admisible P T1 3P f2 6P f1 σ1 = --------- = ------- (------------) y σ2 = ----- (-----------) A1 A1 4f1 + f2 A2 4f1 + f2 σ1 A1 (4f1 + f2) σ2 A2 (4f1 + f2) P1 = ----------------------- y P2 = ----------------------- 3f2 6f1 La menor de esas dos cargas es la carga máxima admisible Padm. Cálculos numéricos para obtener la carga admisible Paso 1 Cálculo de las áreas: πd1

2 π (4.0mm)2 A1 = ---------- = ----------------- = 12.57 mm2 = 1.257 x 10-5 m2 4 4 πd2

2 π (3.0 mm)2 A2 = ---------- = ----------------- = 7.069 mm2 = 7.069 x 10-6 m2 4 4 L1 0.40 m f1 = ---------- = ----------------------------------------------------- = 0.4420 x 10-6 m/N E1 A1 (72 GPa) (10, 000,000) (1.257 x 10-5 m2) L2 0.30 m f2 = ------------ = -------------------------------------------------- = 0.9431 x 10-6 m/N E2 A2 (45 GPa) (10, 000,000) (7.069 x 10-6 m2) Recordemos que los esfuerzos admisibles son σ1 =200 MPa σ2 = 175 MPa σ1 A1 (4f1 + f2) (200 MPa) (1,000) (1.257 x10-5 m2) [4 (0.442 x 10-6) + 0.9431 x10-6] P1 = ----------------------- = ----------------------------------------------------------------------------------------- 3f2 3 (0.9431 x 10-6) P1 = 2.40 kN σ2 A2 (4f1 + f2) (175 MPa) (1,000) (7.069 x10-6 m2) [4 (0.442 x 10-6) + 0.9431 x10-6] P2 = ----------------------- = -------------------------------------------------------------------------------------- 6f1 6 (0.442 x 10-6)

2.5 ESFUERZOS SOBRE SECCIONES INCLINADAS Hasta ahora nos hemos concentrado en estudiar miembros con cargas axiales (tensión y compresión) como los únicos esfuerzos que tomamos en consideración y siempre aplicados de forma normal (perpendicular) a la sección transversal. Un ejemplo de esto son los gráficos que mostramos a continuación. Cando se realiza un corte transversal indeterminado sobre un plano mn de la barra mostrada (perpendicular al eje x) obtenemos un diagrama de cuerpo libre (figura b). Como ya hemos visto, los esfuerzos normales que actúan sobre la parte cortada pueden calcularse con la formula σx = P/A, siempre y cuando la distribución de esfuerzos sea uniforme sobre toda el área transversal A. Recuerden que esta condición se presenta si y solo so la barra es prismática, el material es homogéneo, la fuerza axial P para por el centroide del área transversal y el corte transversal esta lejos de cualquier concentración de esfuerzos. Por supuesto, no existen esfuerzos cortantes que actúen sobre la sección cortada, ya que es perpendicular al eje longitudinal de la barra. Por comodidad, en general mostraremos los esfuerzos en una vista bidimensional de la barra (figura c) y no la vista tridimensional que es un poco mas compleja; pero debemos recordar, al trabajar con figuras planas que la barra tiene un espesor perpendicular al plano de la figura, y debe de tenerse siempre en cuenta para cuando se hagan deducciones y sobre todo en los cálculos.

P2 = 1.26 kN Como se toma el menor de los dos como 3 (0.9431 x 10-6)carga admisible, entonces Padm = 1.26 kN

Practica 10: Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios: Pagina 162 ejercicios 2.4-1, 2.4-2, Pagina 163 ejercicios 2.4-3, 2.4-4, 2.4-5, 2.3-6. 2.4-6 Pagina 164 ejercicios 2.4-7, 2.4-8, 2.4-9, 2.4-10 Pagina 165 ejercicios 2.4-11, 2.4-12

2.5.1 Esfuerzos Sobre Secciones Inclinadas Todo esfuerzo aplicado a una barra es igual en toda la barra; los que actúan sobre una sección inclinada deben de estar uniformemente distribuidos (ver figura anexa). Por equilibrio de cuerpo libre sabemos que la resultante de los esfuerzos debe ser una fuerza horizontal P (que se traza con una línea de puntos).

Lo primero que debemos hacer es un esquema para especificar la orientación del corte inclinado pq. Lo mas lógico es especificarlo con el ángulo θ entre el eje x y la normal n de la sección. La resultante de esos esfuerzos es una fuerza P que actúa en dirección x. Esta resultante se puede descomponer en dos componentes, una fuerza normal N perpendicular al plano inclinado pq, y una fuerza cortante V, tangencial a ese plano. Esas componentes de fuerza son: N= P cos θ V = P sen θ

Asociados con las fuerzas N y V están los esfuerzos normal y cortante, uniformemente distribuidos sobre la sección inclinada (figures c y d).

El esfuerzo normal es igual a la fuerza normal N dividida entre el área de la sección. El esfuerzo cortante es igual a la fuerza cortante V dividida entre el área de la sección. Entonces los esfuerzos son: N V σ = -------- τ = ------ A1 A1 Para establecer una convención de notación y signos normalizadas, para secciones inclinadas, usaremos el subíndice θ para indicar que los esfuerzos actúan sobre una sección inclinada, en un ángulo θ, al igual que utilizamos los subíndices x ó y para denotar que los esfuerzos actúan de manera perpendicular a estos ejes. Los esfuerzos σθ son positivos en tensión y los esfuerzos cortantes τθ cuando tienden a producir rotación del material en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Para una barra en tensión, la fuerza norma N produce esfuerzos normales positivos σθ. Esos esfuerzos se determinan con las siguientes ecuaciones:

Donde A1 es el área de la sección inclinada y es igual a: A A1 = -------- cos θ

N P V P σθ = ------ = ------ cos2θ τθ = ---- = - ---- sen θ cos θ A1 A A1 A Recordemos que la relación P/A = σx; por relaciones trigonométricas:

Podemos llegar a las siguientes conclusiones

Estas ecuaciones definen los esfuerzos que actúan sobre un corte inclinado orientado en un ángulo θ con respecto al eje x. Es importante recordar que las dos ecuaciones anteriores fueron deducidas a partir de la estática y en consecuencia son independientes del material que sean. Estas ecuaciones son validas para cualquier material y se comporten de forma linealmente elásticas. 2.5.2 Esfuerzos Normales y Cortantes Máximos Para ver la forma en que los esfuerzos varían cuando una sección inclinada se corta en varios ángulos generalmente utilizamos la siguiente representación grafica de esfuerzos normales y cortantes en función del ángulo de la sección inclinada. Tomamos el eje horizontal como θ, cuando varia de -90º a +90º; y el eje vertical representa los esfuerzos σθ y τθ. Como usted puede notar en el grafico el esfuerzo normal σθ es igual a σx cuando θ = 0. Entonces a medida que θ aumenta o disminuye el esfuerzo normal disminuye hasta volverse cero cuando θ = ± 90º, porque no hay esfuerzos normales sobre secciones cortadas en direcciones paralelas al eje longitudinal. El esfuerzo normal máximo se presenta cuando θ = 0, y es: σmax = σx Observemos también que cuando θ = ±45º, el esfuerzo normal tiene la mitad de su valor máximo.

El esfuerzo cortante τθ es cero sobre secciones transversales de la barra (θ = 0) y también sobre secciones longitudinales (θ = ± 90º). Entre estos dos extremos el esfuerzo varia como se indica en la grafica, llegando al valor máximo positivo cuando θ = - 45º y el valor máximo negativo cuando θ = + 45º. Estos esfuerzos cortantes máximos tienen la misma magnitud: σx τmax = --------- pero tienden a hacer girar al elemento en direcciones opuestas. 2 Para explicar mejor estos fenómenos supongamos la siguiente barra en tensión y tomemos dos puntos A y B. A orientado hacia θ = 0 y el elemento B esta orientado con θ = + 45º. El elemento A tiene los esfuerzos normales máximos (σmax = σx) y el elemento en B tiene los esfuerzos cortantes máximos (τmax = σx/2).

En el caso de A los únicos esfuerzos son los esfuerzos normales máximos, (ya que en todas las caras no existen esfuerzos cortantes). En el caso del elemento B, los esfuerzos normales y cortantes actúan sobre todas las caras (excepto, desde luego, las caras delanteras y traseras del elemento). Si tomamos la cara a 45º (la superior derecha); sobre ella los esfuerzos normales y cortantes son σx/2 y - σx/2 respectivamente. En consecuencia, el esfuerzo normal es de tensión (positivo) y el esfuerzo cortante actúa en el sentido de las manecillas del reloj (negativo) contra el elemento. Los esfuerzos sobre las caras restantes (135º, -45º, -135º) se obtienen de forma parecida.

Así en este caso especial de un elemento orientado a θ = 45º, los esfuerzos normales sobre las cuatro caras son iguales (σx/2), y los cuatro esfuerzos cortantes tienen la misma magnitud (igual a σx/2). Observe que los esfuerzos cortantes que actúan sobre planos perpendiculares son de igual magnitud y sus direcciones son hacia o alejándose de la línea de intersección de los planos. Si la barra es cargada en compresión en vez de tensión, el esfuerzo σx será de compresión y tendrá valor negativo y en consecuencia todos los esfuerzos que actúan sobre el elemento de esfuerzo que actúan sobre el elemento de esfuerzo tendrán direcciones contrarias a las de una barra en tensión. Muchas veces, aun cuando el esfuerzo cortante máximo en una barra con carga axial es la mitad del esfuerzo normal, el esfuerzo cortante puede causar la falla si el material es mucho mas débil en cortante que en tensión. Un comportamiento de esta clase se produce cuando tenemos una barra de acero dulce (baja en carbono) y con las superficies pulidas, cargado en tensión. Durante la prueba de tensión aparecen bandas de deslizamiento en los lados de la barra, a unos 45º respecto al eje. Esas bandas indican que el material falla en corte a lo largo de los planos sobre los que el esfuerzo cortante es máximo.2 Parecen comenzar cuando se llega al esfuerzo de fluencia en la barra.

2 Estas bandas fueron descubiertas por G. Piobert en 1842 y por W Luders en 1860 y hoy se les llama “bandas de Luders o Bandas de Piobert”.

Ejemplo 2- 7 Una barra prismática tiene un área transversal A = 1,200 mm2 y se comprime con una carga axial P = 90 kN. a) Calcular los esfuerzos que actúan sobre una sección inclinada (pq) de la barra, cortada a un ángulo θ = 25º. b) Determinar el estado completo de esfuerzos para θ = 25º e indicar los esfuerzos sobre un elemento de esfuerzos con la orientación indicada.

Datos: Área A = 1,200 mm2 Solución: Carga Axial P = 90 kN a) Esfuerzo sobre la sección inclinada: Para determinar los esfuerzos que Sección Inclinada θ = 25º actúan sobre una sección a θ = 25º, primero calcularemos el esfuerzo normal σx que actúa sobre una sección transversal: P 90kN (1000) σx = - -------- = - --------------------- = -75 MPa A 1200 mm2 Donde el signo menos indica que el esfuerzo es de compresión. A continuación se calculan los esfuerzos normales y cortantes, con θ = 25º. σθ = σx cos2 θ = (-75 Mpa) (cos 25º)2 = - 61.6 Mpa τθ = - σx sen ecos θ = - (-75 Mpa) (sen 25º) (cos 25º) = 28.7 MPa normal El esfuerzo normal σθ es negativo (de compresión) y el esfuerzo τθ es positivo (contrario a las manecillas del reloj. b) Estado completo de esfuerzo: Para determinar el estado completo de los esfuerzos debemos determinar los esfuerzos que actúan sobre todas las caras de un elemento de esfuerzo orientado a 25º. Utilizaremos los esfuerzos ya calculados para θ = 25º. Los esfuerzos sobre la cara opuesta, cd son iguales a los que hay sobre la cara ab, que es muy fácil de comprobar sustituyendo θ = 25º + 180º = 205º. Para las caras ad y bc θ = 25º ± 90 = -65º (115º) y utilizando las mismas ecuaciones σθ = σx cos2 θ = - 75 Mpa (cos -65º)2 = 13.4 Mpa. τθ = - σx sen θ cos θ = -75 (sen -65º) (cos -65º) = -28.7 MPa.

Ejemplo 2- 8 Una barra en compresión tiene un área transversal cuadrada, con lado b y debe soportar una carga P = 8,000 lb. La barra esta formada por dos piezas de material unidas por una junta biselada a lo largo del plano pq, que forma un ángulo α = 40º con la vertical. El material es un plástico estructural, para el que los esfuerzos admisibles en compresión y cortantes son 11,000 lb/pulg2 y 600 lb/pulg2 respectivamente. También los esfuerzos admisibles en la junta pegada son de 750 lb/pulg2 en compresión y de 500 lb/pulg2 en cortante. Determine el ancho b mínimo de la barra. Solución: El ángulo α = 40º con la vertical lo que nos indica que el ángulo θ = 50º. El área transversal de la barra se obtendrá por medio de la carga P y el esfuerzo σx sobre las secciones transversales, con la ecuación: P A = ------- σx Por consiguiente para obtener el área de la sección es necesario obtener el valor de σx, correspondiente a los cuatro esfuerzos admisibles. El valor mínimo de σx determinara el área mínima requerida. Esfuerzos admisibles en la junta: σθ -750 lb/pulg2 σx = --------- = ------------------------ = -1,815 lb/pulg2 cos2 θ (cos -50 º)2 τθ - 500 lb/pulg2 σx = ------------- = --------------------------- = - 1,015 lb/pulg2 senθ cosθ (sen -50º) (cos -50º) σθ 11,000 lb/pulg2 σx = --------- = ------------------------ = -1,815 lb/pulg2 cos2 θ (cos -50 º)2

Datos: Carga P = 8,000 lb Ángulo α = 40º σadm = 11,000 lb/pulg2 τadm = 600 lb/pulg2 σadm-junta = 750 lb/pulg2 τadm-junta = 500 lb/pulg2

2.6 ENERGIA DE DEFORMACION

La energía de deformación es un concepto fundamental en la mecánica aplicada. Los principios de energía de deformación se utilizan para determinar las respuestas de las maquinas y estructuras sometidas tanto a carga estáticas como dinámicas. Para poder entender los conceptos de energía de deformación, tomemos una barra prismática de longitud L, sujeta a una fuerza de tensión P. Supondremos que la carga se aplica con mucha lentitud, por lo que aumenta gradualmente desde cero hasta su valor máximo P. Esa carga se llama carga estática, ya que no tiene efectos dinámicos o inerciales debido al movimiento. La barra se alarga en

forma gradual, a medida que se aplica la carga, y llega a su elongación máxima δ al mismo tiempo que P llega a su máximo valor. Después de este punto la carga y la elongación permanecen invariables.

Para el esfuerzo de cortante podemos utilizar la ecuación que me dice que σx τadm = --------- por lo que σx = 2 τadm 2 σx = 2 (-600 lb/pulg2) = 1,200 lb/pulg2 El ancho mínimo de la barra se calculara con el σx más pequeño, que en este caso es de 1,015 lb/pulg2. P 8,000 lb A = ---------- = ---------------------- = 7.88 pulg2 σx 1,015 lb/pulg2 A = b2 b = √7.88 = 2.81 pulg Cualquier ancho mayor a 2.81 pulg asegurara que no se rebasen los esfuerzos admisibles. En la practica de la ingeniería se tomaría b = 3.00 pulg.

Practica 10: Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios: Pagina 170 ejercicios 2.6-1, 2.6-2, Pagina 171 ejercicios 2.63, 2.6-4, 2.6-5, 2.6-6. 2.6-7, 2.6-8 Pagina 172 ejercicios 2.6-9, 2.6-10, 2.6-11, 2.6-12, 2.6-13, 2.6-14 Pagina 173 ejercicios 2.6-15, 2.6-16

Durante el proceso de carga, la carga P se mueve con lentitud la distancia δ y efectúa cierta cantidad de trabajo. De la mecánica elemental “una fuerza constante efectúa un trabajo igual al producto de la fuerza por la distancia que recorre. En nuestro caso, la magnitud de la fuerza varía desde cero hasta su valor máximo P. Para calcular el trabajo efectuado por la carga en estas condiciones necesitamos saber la forma en que variara la fuerza. Esta información esta contenida en el diagrama de carga – desplazamiento, que se ve en la figura. En este diagrama el eje vertical representa la carga axial y el eje horizontal representa la elongación correspondiente de la barra. La forma de la curva dependerá de las propiedades del material. Representemos con P1 cualquier valor de la carga entre cero y el valor máximo P y la elongación correspondiente de la barra lo representaremos por δ1. El incremento dP1 en la carga producirá un incremento dδ1 en el alargamiento. El trabajo efectuado por la carga durante este alargamiento incremental es el producto de la carga por la distancia que recorre; esto es, el trabajo será igual a P1dδ1. Este trabajo esta representado en el diagrama carga-desplazamiento por el área de la banda sombreada debajo de la curva. El trabajo total efectuado por la carga al aumentar de cero al valor máximo P es la suma de todos los elementos de las bandas:

Cuando la carga elonga la barra se producen deformaciones. La presencia de esas deformaciones aumenta el valor de la energía de la barra misma. Por consiguiente definiremos la energía de deformación como la energía absorbida por la barra durante el proceso de carga. De acuerdo con el principio de conservación de la energía, sabemos que la energía de deformación es igual al trabajo efectuado por la carga, siempre y cuando no se agregue ni se quite energía en forma de calor. En consecuencia:

En términos geométricos, el trabajo efectuado por la carga es igual al área bajo la curva de carga desplazamiento.

Donde U es el símbolo de la energía de deformación

El trabajo y la energía se expresan en las mismas unidades. En el SI, la unidad de trabajo y la energía es el joule (J), que es igual a un newton*metro (1 J = 1 Nm). En el sistema ingles, el trabajo y la energía se expresan en pies-libras (pie-libra) o cualquier otro equivalente. 2.6.1 Energía de Deformación Elástica e Inelástica Ahora imaginemos que la fuerza P se retira lentamente de la barra, esta se acortara. Si no se rebaso el límite elástico del material, la barra regresara a su longitud original. Si el límite elástico fue rebasado, quedara una deformación permanente. Así ya sea toda o parte de la energía de deformación se recuperara en forma de trabajo. Este comportamiento se puede ver en el grafico adjunto. Durante la aplicación de la carga, el trabajo efectuado es igual al área bajo la curva (área OABCDO). Cuando la carga se retira, el diagrama de carga desplazamiento sigue la línea BD si el punto B esta mas allá del limite elástico, y queda un alargamiento permanente OD. Así la energía de deformación recuperada durante la descarga, conocida como energía de deformación elástica, se representa por el triangulo sombreado BCD. El área OABDO representa energía que se pierde en el proceso de deformación permanente de la barra. A esta energía se le conoce como energía de deformación inelástica. En ingeniería la mayor parte de las estructuras se diseñan esperando que el material permanezca dentro del intervalo elástico bajo las condiciones ordinarias para las que fueron diseñadas. Siempre que la carga este debajo de este valor, toda la energía de deformación se recupera durante la descarga u no queda alargamiento permanente. De esta forma la barra actúa como un resorte elástico que almacena y libera energía cuando se aplica y se quita la carga. 2.6.2 Comportamiento Linealmente Elástico Como trataremos siempre que las estructuras permanezcan siempre dentro del intervalo elástico bajo las condiciones de carga, el material sigue la Ley e Hooke, por lo que la curva carga-desplazamiento es una recta. La energía de deformación U almacenada en la barra (que es igual al trabajo W efectuado por la carga) es:3 3 El principio que el trabajo de las cargas externas es igual a la energía de deformación (para el caso del comportamiento linealmente elástico) fue enunciado por B.P. E. Claperyron (1799- 1864) y se llama Teorema de Clapeyron

representada por el área del triangulo sombreado OAB en la figura.

La relación entre la carga P y la elongación δ de una barra de material linealmente elástico se describe con la ecuación Si combinamos esta ecuación con la anterior podremos expresar la energía de deformación de una barra linealmente elástica de las dos formas siguientes:

La primera ecuación expresa la energía de deformación en función de la carga y la segunda la expresa en función del alargamiento. En la primera ecuación cuando aumentamos la longitud de una barra, aumentamos la cantidad de energía de deformación, aunque la carga sea la misma. (Esto es porque la carga deforma mayor cantidad de material). Por el otro lado, al aumentar el modulo de elasticidad, o el área transversal, disminuye la energía de deformación, porque se reducen las deformaciones en la barra. Estas ecuaciones pueden escribirse también para un resorte linealmente elástico, sustituyendo la rigidez EA/L de la barra prismática por la rigidez k del resorte.

Otras ecuaciones se obtienen si reemplazamos k por 1/f, siendo f la flexibilidad 2.6.3 Barras No Uniforme La energía de deformación total U de una barra formada por varios segmentos es igual a la suma de las energías de deformación de los segmentos individuales. La energía de deformación del segmento AC es igual a la energía de deformación del segmento AB más la del segmento BC. Este concepto podemos escribirlo, en términos generales como:

Si suponemos que el material de la barra es linealmente elástico y que la fuerza axial interna es constante dentro de cada segmento, en este caso, podemos utilizar las ecuaciones

donde Ui es la energía de deformación del segmento i de la barra y n es la cantidad de elementos (esta relación es valida sea que el material se comporte en forma lineal o no).

y obtener las energías de deformación de los segmentos y la ecuación se vuelve:

La energía de deformación de una barra no prismática con una fuerza axial continuamente variable se puede obtener al integrar la ecuación anterior a todo lo largo de la longitud de la barra.

2.6.4 Desplazamientos Causados por Una Sola Carga El desplazamiento de una estructura linealmente elástica que solo soporta una carga se puede determinar a partir de su energía de deformación. Si tenemos una armadura de dos barras cargadas por una fuerza vertical P. Nuestro objetivo es calcular δen la articulación B, donde se aplica la carga. Cuando se aplica con lentitud a la armadura, la carga P efectúa trabajo al moverse el desplazamiento vertical δ. Como el diagrama carga-desplazamiento es lineal, la energía de deformación U almacenada en la estructura, es igual al trabajo efectuado por la carga.

De donde se obtiene: Bajo ciertas condiciones especiales el desplazamiento de una estructura se puede determinar en forma directa a partir de la energía de deformación. Las condiciones que se deben de cumplir para aplicar la ecuación anterior son las siguientes:

1. la estructura se debe de comportar en una forma linealmente elástica 2. solo debe de actuar una carga sobre la estructura.

donde Ni es la fuerza axial que actúa en el segmento i y Li, Ei, Ai son las propiedades del segmento i.

En esta ecuación N(x) y A(x) son la fuerza axial y el área transversal a la distancia x del extremo de la barra

Además, el único desplazamiento que se puede determinar es el correspondiente a la carga misma (esto es, el desplazamiento debe de tener la dirección de la carga y debe de estar en el punto donde se aplica la carga. 2.6.5 Densidad de la Energía de Deformación Muchas es veces es conveniente usar el termino densidad de energía de deformación, que no es mas que la energía de deformación por unidad de volumen de material. En el caso de materiales linealmente elásticos, las ecuaciones de la densidad de energía de deformación se pueden obtener a partir de las formulas de energía de deformación de una barra prismática. Como la energía de deformación de la barra esta uniformemente distribuida en su volumen, podemos determinar la densidad de energía de deformación dividiendo la energía de deformación total U entre el volumen de la barra AL. Así, la densidad de energía de deformación, representada por el símbolo u, se puede expresar en cualquiera de las dos formas siguientes:

Si sustituimos P/A por el esfuerzo σ y δ/L por la deformación unitaria ε, obtenemos que:

Estas ecuaciones definen la densidad de energía de deformación en un material linealmente elástico, en función del esfuerzo normal σ, o de la deformación unitaria normal ε. Estas ecuaciones tienen una interpretación geométrica sencilla. Son iguales al área σε/2 del triangulo bajo el diagrama esfuerzo deformación unitaria de un material que sigue la Ley de Hooke (σ = Eε). En casos mas generales, cuando el material no sigue la Ley de Hooke, la densidad de energía de deformación sigue siendo igual al área bajo la curva de esfuerzo deformación unitaria, pero se debe evaluar el área para cada material en particular. Las unidades de la densidad de energía de deformación son energía entre volumen. Por lo tanto en el SI serán joules por metros cúbicos (J/m3); en el sistema ingles serán pies-libras por pie cúbico. La densidad de energía de deformación de un material, cuando se somete a esfuerzos hasta el límite de proporcionalidad, se llama modulo de resiliencia ur y se determina sustituyendo el límite de proporcionalidad σpl:

Si tomamos por ejemplo un acero dulce con σpl = 36,000 lb/pulg2 y E = 30 x 106 lb/pulg2, tendrá un modulo de resiliencia ur = 21.6 lb/pulg2 (o 149 kPa).

Otra característica importante en los materiales es la tenacidad, que es la capacidad de un material e absorber energía sin romperse. El modulo correspondiente se llama modulo de tenacidad (ut), y es la densidad de energía de deformación cuando el material se somete a esfuerzos hasta el punto de falla. Mientras mayor sea el modulo de tenacidad, la capacidad del material para absorber energía sin fallar es mayor. Por consiguiente, es importante un modulo de tenacidad elevado cuando el material se sujeta a cargas de impacto.

Note que el modulo de resiliencia es igual al área bajo la curva de esfuerzo-deformación unitaria hasta el limite de proporcionalidad. La resiliencia representa la capacidad de un material de absorber y liberar energía dentro del intervalo elástico.

Ejemplo 2- 9 Tres barras redondas tienen la misma longitud L, pero distintas formas como se muestra en la figura. La primera barra tiene diámetro d en toda su longitud, la segunda tiene diámetro d en la quinta parte de su longitud y la tercera tiene diámetro d en una quinceava parte de su longitud. Por lo demás, la segunda y la tercera barra tienen diámetro 2d. Las tres barras se someten a la misma carga axial P. Comparar las cantidades de energía de deformación almacenadas en las barras, suponiendo que tienen un comportamiento linealmente elástico. (Los efectos de las concentraciones de esfuerzos y los pesos de las barras son despreciables.) Solución: a) energía de deformación U1 de la primera barra. Se determina directamente con la ecuación: Donde A = πd2/4. b) Energía de Deformación U2 de la segunda barra. La energía de deformación se determina sumando las energías de deformación en los tres segmentos de la barra

Este resultado corresponde al 40% de la energía de deformación de la primera barra. Así, si aumenta el área transversal en parte de la longitud, se reduce mucho la cantidad de energía de deformación que puede almacenarse en la barra. c) energía de deformación U3 de la tercera barra. Aplicando de nuevo la formula de la energía, tenemos: Ahora la energía de deformación disminuyo hasta el 30% de la primera barra.

Nota: Al comparar los resultados, se ve que la energía de deformación disminuye a medida que aumenta la parte de la barra que tiene área mayor. Si se aplica la misma cantidad de trabajo a las tres barras, el esfuerzo mayor estará en la tercera barra, pues es el que tiene menor capacidad de absorción de energía. Si la región de diámetro d se hace todavía más pequeña, la energía de deformación disminuirá más. Por lo anterior llegamos a la conclusión de que solo se necesita una pequeña cantidad de trabajo para llevar al esfuerzo de tensión a un valor alto de una barra con una ranura; cuanto mas estrecha sea la ranura, mas intensa será la condición. Cuando las cargas son dinámicas es importante la capacidad de absorber energía, la presencia de ranuras es muy perjudicial. En el caso de cargas estáticas, los esfuerzos máximos son más importantes que la capacidad de absorber energía. En este ejemplo, las tres barras tienen el mismo esfuerzo máximo P/A (siempre que se amortigüen las concentraciones de esfuerzo) y en consecuencia.

Ejemplo 2-10 Determinar la energía de deformación de una barra prismática colgada de su extreme superior (ver figura) Considerar las siguientes cargas: a) el peso propio de la barra b) el peso de la barra mas una carga P en el extremo inferior Suponga que el comportamiento es linealmente elástico.

Solución a) energía de deformación debida al peso de la barra misma (dibujo a) La barra se sujeta a una fuerza axial variable, siendo cero la fuerza interna en el extremo inferior y máxima en el extremo superior. Para determinar la fuerza axial se considera un elemento de longitud dx (se muestra sombreado en la figura) a la distancia x del extremo superior. La fuerza axial N(x) que actúa sobre este elemento es igual al peso de la barra abajo del elemento: En donde γ es la densidad de peso del material y A es el área transversal de la barra. Se sustituye en la ecuación de la energía y se integra, para obtener la energía total de deformación. b) energía de deformación debida al peso de la barra más la carga P. En este caso, la fuerza axial N(x) que actúa sobre el elemento es Si la comparamos con la ecuación anterior vemos que estamos sumando al peso propio de la barra una fuerza P en el extremo inferior, y al aplicar esta carga a la ecuación de la energía obtenemos:

Nota: El primer termino del lado derecho es igual que la energía de deformación de una barra que cuelga bajo su propio peso y el ultimo termino es el mismo que la energía de deformación de una barra solo sometida a una fuerza axial P. Sin embargo, el termino intermedio que contiene a γ y P, lo que indica que depende tanto del peso de la barra como de la magnitud de la carga aplicada. Así en este ejemplo se ve que la energía de deformación de una barra sujeta a dos cargas NO es igual a la suma de las energías de deformación producidas por las cargas individuales, cuando actúan por separado.

Practica 11: Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios: Pagina 17

3.1 Introducción al Ámbito del Diseño Estructural 3.2 Tipos de Vigas, Cargas y Reacciones 3.2.1 Tipos de Cargas 3.2.2 Reacciones 2.2.3 Equilibrio Estático 2.2.4 Estabilidad Geométrica y Determinación Estática 3.3 Fuerzas Cortantes y Momentos Flexionantes 2.3.1 Convención de Signos 3.4 Relaciones Entre Cargas, Fuerzas y Momentos Flexionantes 2.4.1 Cargas Distribuidas 2.4.2 Cargas Concentradas 35 Diagrama de Fuerza Cortante y de Momento Flexionante 3.5.1 Cargas Concentradas 3.5.2 Carga Uniforme 3.5.3 Varias Cargas Concentradas

TEMA 3

FUERZA CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES

3.1 Introducción El diseño estructural abarca las diversas actividades que desarrolla el proyectista para determinar la forma, dimensiones y características detalladas de una estructura, o sea de aquella parte de la construcción que tiene como función absorber las solicitaciones que se presentan durante las distintas etapas de su existencia. El diseño estructural se encuentra inserto en el proceso más general del proyecto de una obra civil, en la cual se definen las características que debe de tener la construcción para cumplir de manera adecuada las funciones que están destinadas a desempeñar. Un requisito esencial para que la construcción cumpla sus funciones es que no sufra fallas o mal comportamiento debido a su incapacidad para soportar las cargas que sobre ella se imponen. Además, deben de cuidarse otros aspectos como los relativos al funcionamiento y a la habitabilidad, que en general son responsabilidad de otras materias. En general, el ingeniero estructuralista no debe olvidar que: Las obras no se construyen para que resistan. Se construyen para alguna otra finalidad o función que lleva como consecuencia esencial, el que la construcción mantenga su forma y condiciones a lo largo del tiempo. Su resistencia es una condición fundamental, pero no es su finalidad única, ni siquiera la finalidad primaria.1 En el proceso del diseño estructural es un proceso creativo mediante el cual se definen las características de un sistema de manera que cumpla en forma óptima sus objetivos. El objetivo de un sistema estructural es resistir las fuerzas a las que van a estar sometidas, sin colapsar o tener un mal comportamiento. Podrá lograrse una estructura mal ideada cumpla con requisitos de estabilidad, pero seguramente será una solución antieconómica o antifuncional. Cualquier intento de clasificación o subdivisión del proceso de diseño resulta hasta cierto punto arbitrario. Sin embargo, es útil para entender su esencia, considerar tres aspectos fundamentales, la estructuración, el análisis y el dimensionamiento. Para la resistencia de materiales o mecánica de materiales nuestro trabajo estará en el análisis y el dimensionamiento. Para realizar un análisis de fuerzas cortantes y momento flexionantes (principal objetivo de este capitulo) nos limitamos al estudio de vigas, arcos pórticos, etc. formando un sistema coplanario de sus cargas y reacciones. La estructura que se analiza es un modelo matemático representado por los ejes centroidales de sus miembros, soportado por reacciones idealizadas y sometido a cargas simbólicas supuestas. Para poder realizar el análisis se utilizan cuatro tipos de cantidades básicas:

1 Diseño Estructural, Roberto Meli Piralla, Ediciones Revolucionarias, Abril 1987

Una estructura es un mecanismo diseñado y construido para soportar cargas y resistir fuerzas. El objeto de la mecánica de materiales es la de estudiar de forma metódica la formación y el análisis de las estructuras.

1. Cantidades Geométricas: coordenadas, segmentos, ángulos y características de las secciones transversales.

2. Cantidades Estáticas: cargas, reacciones y esfuerzos 3. Deformaciones: desplazamientos lineales, y angulares del eje centroidal y los apoyos. 4. Constante de los materiales: modulo de elasticidad y de rigidez del material estructural, y

coeficientes de cambios volumétricos. También para poder hacer el análisis se introducen cinco hipótesis simplificadoras:

1. El material estructural es homogéneo, isotropito, continuo y obedece a la ley de Hooke. 2. Todas las deformaciones son pequeñas y no alteran (significativamente) la geometría inicial de la

estructura. 3. Todas las cargas se aplican gradualmente y el principio de superposición es valido. 4. Las constantes de los materiales se determinan experimentalmente y son independientes del

tiempo. 5. El sistema esta en un estado de equilibrio estático.

3.2 Tipos de Vigas, Cargas y Reacciones 33.2.1 Tipos de Vigas Las vigas se describen según el modo en que están sostenidas; por ejemplo, una viga con un soporte de pasador en un extremo y un soporte de rodillo en el otro se denomina viga simplemente apoyada o viga simple. La característica esencial de un soporte de pasador es que impide la traslación en el extremo de una viga pero no su rotación. El extremo A de la viga en la figura no puede moverse en sentido horizontal o vertical, pero el eje de la viga puede girar en el plano de la figura. El extremo B de la viga, el soporte tipo rodillo impide la traslación en dirección vertical pero no en la horizontal. Cuando la viga esta fija en un extremo y libre en el otro se llama viga en voladizo. En el soporte fijo (o empotramiento) la viga no puede trasladarse ni girar, mientras que en el extremo libre puede hacer ambas cosas. En consecuencia, en los empotramientos pueden existir fuerzas y momentos de reacción. Una viga con un voladizo, la misma esta simplemente apoyada en los puntos A y B (es decir tiene un soporte pasador en A y un soporte de rodillo en B) pero además se extiende mas allá del soporte B. El segmento BC en voladizo es similar a la viga en voladizo excepto que el eje de la viga puede girar en el punto B.

Si a la viga con voladizo le colocamos un soporte de rodillo o de pasador, tendríamos entonces lo que se llama una viga continua o viga en tramos. Como en la viga simple en los extremos puede tener impedimentos de traslación más no de giro. 3.2.2 Tipos de Cargas Las fuerzas y momentos que actúan sobre una estructura se denominan cargas y se clasifican así: Cargas Individuales

(1) Cargas concentradas P: es una fuerza individual aplicada en un cierto punto de la estructura. La representación grafica de esta carga es una línea recta con una flecha que indica la línea de acción y el sentido. Todas las cargas concentradas son realmente cargas distribuidas sobre un pequeño segmento de la estructura.

(2) Carga Uniformemente Distribuida: es un peso o una presión

uniformemente distribuida sobre toda la longitud del miembro estructural o sobre una parte de ella. La representa un rectángulo de altura p (intensidad de carga) y longitud d.

(3) Momento Aplicado o par de fuerzas Q: representa la

hacino de un momento externo aplicado en un cierto punto de la estructura. La representación grafica es un arco circular con una flecha que indica el sentido.

(4) Carga que varia irregularmente: es un peso o presión, cuya

variación no esta definida por una función analítica. Para su análisis, el diagrama de carga se divide en franjas angostas de longitud ∆x, consideradas cargas concentradas Pj = pj ∆x, en donde pj es la intensidad media de carga en el dominio ∆x.

Superposición de cargas. La teoría elemental de estructura supone la validez de la superposición lineal de cargas. Definición 1: Suma. El efecto de un sistema de cargas es igual a la suma de los efectos de las

cargas individuales (aplicadas separadamente). Definición 2: Colocación. El efecto de un sistema de cargas es independiente del orden en el cual

se hayan aplicado las cargas individuales. Efecto de las cargas Un sistema de cargas que actúa sobre una estructura desarrolla tres tipos de efectos: reacciones, esfuerzos y deformaciones. Todas estas cantidades son funciones de las cargas (de magnitud, posición y sentido) y de la estructura (geometría, condiciones de los extremos y propiedades del material estructural. 3.2.3 Reacciones Las fuerzas y momentos desarrollados en los puntos de apoyo se denominan reacciones. Estas son: Fuerzas de reacción (RA, RB,…), Momentos de Reacción (MAB, MBA,…) Aunque una fuerza se puede descomponer sobre un plano en cualquier número de componentes, se acostumbra representar una fuerza de reacción por dos componentes ortogonales u oblicuas. Condiciones de los Extremos: El número de reacciones depende del tipo de apoyo. Existen tres tipos básicos: a) Extremo articulado móvil o apoyo de rodillos. Tiene dos

grados de libertad (figuras a y b). Puede rotar libremente alrededor de su eje y se puede desplazar en una dirección en el plano. En un apoyo de rodillos existe únicamente una fuerza de reacción. Esta fuerza RAy actúa perpendicularmente a la trayectoria del desplazamiento y su línea de acción pasa por el centro de apoyo.

b) Extremo articulado inmóvil o articulación tiene únicamente un grado de libertad. Puede rotar libremente alrededor de su eje, pero no se puede desplazar en ninguna dirección. En una articulación existen dos fuerzas de reacción, RAx y RAy, mutuamente perpendiculares, y sus líneas de acción pasan por el centro de la articulación.

c) Un extremo empotrado o fijo esta completamente restringido, sin libertad para rotar o desplazarse. En un

extremo empotrado existen todos los elementos de reacción. 3.2.3 Equilibrio Estático Equilibrio de un sistema: Un sistema estructural esta en estado de equilibrio estático cuando la resultante

de todas sus fuerzas y todos los momentos es igual a cero. Equilibrio de una parte de un sistema: Si un sistema estructural esta en estado de equilibrio estático,

cualquier parte de el estará en el mismo estado. Para que exista dicho estado en un sistema coplanario, se deben cumplir simultáneamente tres condiciones: ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 3.2.4 Esfuerzos Resultantes Cuando un miembro estructural LR (ver figura) se corta por un punto dado C y se separa en dos partes, se presentan tres esfuerzos (esfuerzos resultantes en la sección transversal) en el centroide de la cara de corte de cada parte. Estos esfuerzos son: Fuerza Normal N Fuerza Cortante V Momento de flexión M Los esfuerzos en la cara de corte de la parte CL representan el efecto de la parte retirada CR y viceversa. En consecuencia, los respectivos esfuerzos son iguales en magnitud y opuestos en sentido. NCL – NCR = 0 VCL – VCR = 0 MCL – MCR = 0 Fuerza normal: la fuerza normal N en una sección dada es igual a la suma algebraica de todas las fuerzas

y componentes de fuerza que actúan normalmente a la sección y sobre un lado de esta. Fuerza Cortante: la fuerza cortante (fuerza tangencial) o simplemente el esfuerzo cortante V, en una

sección dada, es igual a la suma algebraica de todas las fuerzas y componentes de fuerzas que actúan paralelamente a la sección y sobre un lado de esta.

Momento de Flexión: El momento de flexión M en una sección dada es igual a la suma algebraica de todos los pares de fuerza y de todos los momentos estáticos de las fuerzas que actúan sobre un lado de la sección con respecto a sus centroides.

Convención de Signos Para el calculo de reacciones se utiliza la convención de signos de estática (ver figura 1) y para el calculo de esfuerzos se introduce la convención de signos de deformación (figura 2).

Reacciones:

1) Todas las fuerzas o componentes de fuerzas que actúan a lo largo del eje X son positivas si actúan de izquierda a derecha y son negativas si actúan de derecha a izquierda.

2) Todas las fuerzas o componentes de fuerza que actúan a lo largo del eje Y son positivas si actúan hacia arriba y son negativas si actúan hacia abajo.

3) Todos los momentos son positivos si rotan en el sentido del giro de las manecillas de reloj, y negativos si rotan en sentido opuesto.

Esfuerzos:

1) Todas las fuerzas que producen alargamiento son positivas y las que producen acortamiento son negativas.

2) Todas las fuerzas que producen empuje en el sentido del giro de las manecillas del reloj son positivas, y las que producen empuje en el sentido opuesto son negativas.

3) Todos los momentos que producen alargamiento de la parte inferior de un miembro son positivos y los que producen alargamiento de la parte superior son negativos.

1 2

Ejemplo 1 Calcular las reacciones sobre una viga simple que se muestra en la figura Datos L = 30 pies L1 = L2 = L3 = 10 pies P1 = 10 k P2 = 20 k N1 = 5 k N2 = 30 k

Solución ΣFx = 5 + 30 + RBx; RBx =35 k ΣFy = RAy + RBy – 10 – 20; RAy + RBy = 30 k ΣMB = RAy (30) – 10 (20) – 20 (10): 30 RAy = 400; RAy = 13. 33k 13.33 + RBy = 30; RBy = 16.67 k

Ejercicio Calcular las reacciones sobre la viga simple que se muestra en la figura.

3.3 Estabilidad Geométrica y Determinación Estática Estructura Geométricamente Estable: Una estructura es geométricamente estable si para cualquier movimiento incipiente se desarrolla una resistencia a ese movimiento. Esto requiere de la presencia de por los menos tres fuerzas no concurrentes y no paralelas. Estructura Geométricamente Inestable: Una estructura que tenga un numero suficiente de reacciones para lograr la estabilidad, pero colocadas incorrectamente es geométricamente inestable. Estructuras Estáticamente Determinadas Una estructura es estáticamente determinada si sus reacciones se pueden calcular a partir de las ecuaciones de equilibrio estático. Estructuras Estáticamente Indeterminadas: Una estructura es estáticamente indeterminada si sus reacciones no se pueden calcular a partir de las ecuaciones de equilibrio estático solamente y se deben considerar las condiciones de deformación. Las reacciones superfluas, aquellas que no son necesarias para el equilibrio estático, se denominan redundantes y el grado de indeterminación estática esta definido por el número de redundantes:

n = r – e – f Las ecuaciones especiales son ecuaciones de equilibrio estático engendradas por las condiciones internas.

ECUACIONES ESPECIALES Articulación Intermedia Guía Horizontal Guía vertical

Mi = 0 El momento de flexión en i es cero.

Nj = 0 La fuerza normal en j es cero.

La fuerza cortante en k es cero.

n numero de redundantes r numero de reacciones e numero de equilibrio estático externo f numero de ecuaciones especiales

i j

k

Ejemplo Determine si las siguientes figuras son geométricamente estables o inestable y estáticamente determinadas o indeterminadas La estructura es geométricamente estable porque tiene 7 apoyos de los cuales dos de B y tres de C son no concurrentes ni paralelas

Apoyo A Articulación 2 Apoyo B Articulación 2 Apoyo C Empotramiento 3 ------------ r = 7 e = 3 f = 0 (no tiene ecuaciones especiales) n = r – e – f n = 7 – 3 – 0 = 4 Estáticamente indeterminada en cuarto grado.

3.4 Diagrama de Fuerzas Cortantes y de Momento Flexionante Cuando diseñamos una viga por lo general necesitamos saber como varían a lo largo de ella las fuerzas cortantes, y los momentos flexionantes. Los valores máximos y mínimos de estas cantidades resultan de especial importancia. Las informaciones correspondientes la dan graficas en que las fuerzas cortantes y momentos flexionantes se trazan como ordenadas y la distancia x a lo largo del eje de la viga se traza como abscisa. Tales graficas se llaman diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante Para realizar los diagramas de cortantes y momento flexionante podemos resumirlo en cuatro pasos:

1. Calculo de las reacciones 2. Escritura de las ecuaciones de esfuerzos 3. Dibujo de los diagramas de esfuerzos 4. Localización de los esfuerzos extremos.

3.4.1 Ecuaciones Integrales y sus relaciones entre esfuerzos Cortantes y Momento Flexionante

Esfuerzo Normal

Esfuerzo Cortante

Momento Flexionante

4.1 Introducción 4.2 Flexión Pura y Flexión No Uniforme 4.3 Curvatura de una Viga 4.4 Deformaciones Unitarias Longitudinales en Vigas 45 Esfuerzos Normales en Vigas (Materiales Elástico Lineales) 4.5.1 Localización del Eje Neutro 4.5.2 Relación Momento-Curvatura 4.5.3 Formula de la Flexión 4.5.4 Esfuerzos Máximos en una Sección Transversal 4.5.5 Formas Doblemente Simétricas 4.5.6 Limitantes 3.6 Diseño de Vigas para Esfuerzos de Flexión 3.6.1 Vigas de Perfiles y Tamaños Estandarizados 3.6.2 Eficiencia relativa de Diferentes formas de Vigas 3.7 Esfuerzos Cortantes en Vigas de Sección Transversal Rectangular 3.7.1 Esfuerzos Cortantes Verticales y Horizontales 3.7.2 Obtención de la Formula del Esfuerzo Cortante 3.7.3 Calculo del Momento Estático Q 3.7.4 Distribución de los Esfuerzos Cortantes en una Viga Rectangular 3.7.5 Limitantes 3.7.6 Efectos de las deformaciones Cortantes 3.8 Esfuerzos Cortantes en Vigas de Sección Transversal Circular 3.9 Esfuerzos Cortantes en las Almas de Vigas con Patines 3.9.1 Esfuerzos Cortantes en el Alma 3.9.2 Esfuerzos Cortantes Máximos y Mínimos 3.9.3 Fuerza Cortante en el Alma 3.9.4 Limitantes

Tema 4

Esfuerzos en Vigas

3.1 Introducción Hasta este momento se supone que ya ustedes saben como las cargas que actúan sobre una viga generan acciones internas (o resultantes de esfuerzos) en forma de fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Aquí nosotros queremos estudiar los esfuerzos y deformaciones relacionados con esas fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Si conocemos los esfuerzos y las deformaciones, podremos analizar y diseñar vigas sometidas a diversas condiciones de carga. Las cargas que actúan sobre una viga ocasionan que éstas se flexionen, con lo que sus ejes se deforman en una curva. Como ejemplo pongamos una viga en cantilever sometido a una carga P en su extremo libre. (ver foto y dibujo ilustrativo). El eje recto en un inicio se flexiona y adopta una forma curva, que es llamada curva de deflexión de la viga. Para facilitarnos el trabajo es conveniente construir un sistema de ejes de coordenadas donde el origen este localizado en un punto apropiado sobre el eje longitudinal de la viga. Para este caso, colocamos el origen en el apoyo fijo. Suponemos que las vigas consideradas en esta parte de nuestros estudios son simétricas respecto al plano xy, lo que significa que el eje de las y es un eje de simetría de la sección transversal; además, todas las cargas deben de actuar en el plano xy. En consecuencia, las deflexiones por flexión ocurren en este mismo plano, conocido como plano de flexión. De esta forma podemos decir que la curva de deflexión de la viga mostrada es una curva plana situada en el plano de flexión. La deflexión de la viga en cualquier punto a lo largo de su eje es el desplazamiento de ese punto desde su posición original, medido en la dirección y. Denotamos la deflexión con la letra v para distinguirla de la coordenada y. *

* En la mecánica aplicada los símbolos tradicionales para desplazamientos en las dirección x, y, z son u, v, w respectivamente

3.2 Flexión Pura y flexión No Uniforme Cuando analizamos una viga es muy común que debamos distinguir entre una viga sometida a flexión pura y flexión no uniforme. Una viga sometida a flexión pura es una viga bajo un momento flexionante constante; por tanto, ocurre solo en regiones de una viga donde la fuerza cortante es cero. (Recuerde que la derivada del momento nos da el cortante y si la flexión es constante entonces el cortante es cero V = dM/dx =0 Como ejemplo de una flexión pura, consideremos una viga simple AB cargada con dos pares M1 que tienen la misma magnitud, pero que actúan en direcciones opuestas. Estas cargas producen un momento flexionante constante M= M1, a todo lo largo de la viga, como se observa en el diagrama de momento flexionante. Note que la fuerza cortante V es cero para todas las secciones transversales de la viga. Por el contrario, la flexión no uniforme se refiere a flexión en presencia de fuerzas cortantes, lo que significa que el momento flexionante cambia al movernos a lo largo del eje de la viga. También podemos tener una combinación de un tramo de una viga sometida a flexión pura y otro tramo a flexión no uniforme. Si tenemos una viga cargada de forma simétrica (ver figura), vemos que es un ejemplo de una viga que esta parcialmente en flexión pura y parcialmente en flexión no uniforme, como se muestra en los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. La región central esta en flexión pura porque las fuerzas cortante es cero y el momento flexionante es constante. Las partes de la viga cercanas a los extremos se encuentran en flexión no uniforme porque están presentes fuerzas cortantes y los momentos flexionantes varían.

3.3 Curvatura de una Viga Cuando aplicamos diferentes cargas a una viga, el eje longitudinal adopta la forma de una curva, como ya vimos. Las deformaciones unitarias y los esfuerzos resultantes en la viga se relacionan directamente con la curvatura de la curva de flexión. Veamos gráficamente el concepto de curvatura. Consideremos de nuevo un voladizo sometido a una carga P que actúa en el extremo libre de la viga. La curva de deflexión de esta viga se muestra en la parte inferior. Para fines de análisis, identifiquemos dos puntos m1 y m2 sobre la curva de deflexión. El punto m1 se selecciona a una distancia arbitraria x del eje y el punto m2 se localiza a una pequeña distancia ds subsiguiente a lo largo de la curva. En cada uno de estos puntos dibujamos una línea perpendicular a la tangente a la curva de deflexión; es decir, perpendicular a la

curva misma. Estas líneas normales se cortan en el punto O', que es el centro de curvatura de la curva de deflexión. Dado que la mayoría de las vigas tienen deflexiones muy pequeñas y curvas de deflexión casi planas, el punto O' suele quedar mucho mas alejado de la viga que como se indica en la figura. La distancia m1 O' de la curva al centro de curvatura se llama radio de curvatura ρ y la curvatura κ que se define como el reciproco del radio de la curvatura.

La curvatura mide cuan agudamente esta doblada una viga. Si la carga sobre la viga es pequeña, esta permanecerá casi recta, y el radio de curvatura será muy grande y la curvatura muy pequeña. Si la carga se incrementa, la flexión aumentara, el radio de curvatura será más pequeño y la curvatura será menor. De la geometría del triangulo O'm1m2, obtenemos ρ dθ = ds en donde dθ (medido en radianes) es el ángulo infinitesimal entre las normales y ds es la distancia infinitesimal a lo largo de la curva entre los puntos m1 y m2. Si combinamos amabas ecuaciones tenemos que: Esta ecuación para la curvatura se obtiene se encuentra en cualquier libro de calculo básico y es valida para cualquier curva. Recuerden que “Si la curvatura es constante a todo lo largo de la longitud de la curva, el radio de curvatura también será constante y la curva será el arco de un circulo.”

Si la viga es prismática y el material es homogéneo, la curvatura variara solo con el momento flexionante. En consecuencia, una viga en flexión pura tendrá curvatura constante y una viga en flexión no uniforme, curvatura variable. 3.3.1 Convención de Signos para la Curvatura La convención de signos para la curvatura dependerá de la orientación de los ejes coordenados. Pero en general trabajamos los signos de acuerdo al siguiente grafico.

3.4 Deformaciones Unitarias Longitudinales en Vigas. Las deformaciones unitarias longitudinales en una viga se encuentran analizando la curvatura de la viga y las deformaciones asociadas. Consideremos la porción AB de una viga en flexión pura sometida a momentos flexionantes positivos M. La viga tiene inicialmente un eje longitudinal recto (el eje x en la figura) y que su sección transversal es simétrica respecto al eje y. Debido a la acción de los momentos flexionantes, la viga se flexiona en el plano xy (plano de flexión) y su eje longitudinal adopta la forma de la curva circular (curva ss). La viga se flexiona con la concavidad hacia arriba, que es una curvatura positiva. Si analizamos las secciones transversales de la viga, como las secciones mn y pq, estas permanecen planas y normales al eje longitudinal.

Postulado de Bernoulli- Navier La simetría de la viga y su carga significa que todos los elementos de la viga deben deformarse de manera idéntica, lo que solo es posible si las secciones transversales permanecen planas durante la flexión.

Este postulado es valido para vigas de cualquier material, sea elástico o inelástico, lineal o no lineal. Por supuesto, las propiedades del material, así como sus dimensiones deben de ser simétricas respecto al plano de flexión. Debido a las deformaciones por flexión que mostramos en la figura, las secciones transversales mn y pq giran respecto de si mismas sobre ejes perpendiculares al plano xy. Las líneas longitudinales sobre la parte inferior de la viga se alargan, mientras que la de la parte superior se acortan. Así la parte inferior de la viga esta en tensión y la superior en compresión. En algún lugar en la frontera de la parte superior con la inferior existe una superficie en que las líneas longitudinales no cambian de longitud. Esta línea ss se llama superficie neutra de la viga. Su intersección con cualquier plano transversal se llama eje neutro de la sección transversal. El resto de las líneas longitudinales entre los dos planos se alargan o s acortan con lo que se generan las deformaciones normales εx; y viene dado por la formula

Ejemplo 1 Una viga de acero AB simplemente apoyada de longitud L =8.0 pies y altura h = 6.0 pulg., es flexionada por pares Mo que le dan la forma de arco circular con una deflexión δ hacia abajo en el centro del claro. La deformación unitaria normal longitudinal (alargamiento) sobre la superficie inferior es e 0.00125, y la distancia desde la superficie inferior de la viga hasta la superficie neutra es de 3.0 pulg. Determine el radio de curvatura ρ, la curvatura κ y la deflexión δ de la viga. Nota: Esta viga tiene una deflexión relativamente grande, por ser grande su longitud en comparación con su altura (L/h=16), y también por que la deformación unitaria de 0.00125 es grande (mas o menos igual a la longitud de fluencia del acero). Datos: L = 8 pies h = 6 pulg. εx = 0.00125 y = 3 pulg.

5.5 Esfuerzos Normales en Vigas Hemos visto que los elementos longitudinales de una viga están sometidos solo a tensión o a compresión, esto nos permite a nosotros entonces utilizar la curva de esfuerzo-deformación unitaria del material para poder determinar los esfuerzos a partir de las deformaciones unitarias. Los esfuerzos actúan sobre toda la sección transversal de la viga y varían en intensidad dependiendo de la forma del diagrama esfuerzo-deformación unitaria y de las dimensiones de la sección transversal. Ya que vamos a trabajar en la dirección longitudinal (x-x), es mejor utilizar el símbolo σx para nombrar estos esfuerzos. La relación esfuerzo-deformación unitaria que se encuentra con mas frecuencia es la ecuación para un material elástico (Ley de Hooke). σ = Eε

Solución: Curvatura ρ = - y / ε ρ = -3/ 0.00125 = 2,400 pulg. = 200 pies. κ = 1 / ρ κ = 1 / 200 = 0.0050 pie-1 L/2 (8.0 pies) (12 pulg. /pie) Deflexión δ = ρ (1 – cos θ) sen θ = ------- = --------------------------------- ρ 2 (2400) sen θ = 0.0200 θ = 0.0020 rad = 1.146° δ = 2400 (1 – cos θ) = 2400 (1 – 0.999800) δ = 0.0480pulg. Razón de la longitud del claro con la deflexión L/ δ (8.0 pies) (12 pulg. /pie) L/ δ = --------------------------------- = 200 0.480 pulg.

Esta ecuación nos muestra que los esfuerzos normales que actúan sobre la sección transversal varían linealmente con la distancia y desde la superficie neutral.

Esta distribución del esfuerzos se presenta en la figura anexa para el caso en que momento flexionante M sea positivo y la viga se flexiona con curvatura positiva. Cuando la curvatura es positiva los esfuerzos σx son negativos (de compresión) arriba de la superficie neutra y positivos (tensión) debajo de ella. Para que la ecuación σx = -Eκy tenga algún valor practico, debemos de localizar el origen de las coordenadas de manera que podamos determinar la distancia y, en otras palabras debemos saber donde se localiza el eje neutro de la sección transversal. Es importante también que obtengamos una relación entre la curvatura y el momento flexionante. En general, podemos resumir que la resultante de los esfuerzos normales consiste en dos resultantes de esfuerzo:

1. una fuerza que actúa en la dirección X 2. un par de flexión que actúa alrededor del eje z.

Sin embargo recordemos que la fuerza axial es cero cuando una viga esta sometida a flexión pura. Con esto mantenemos el principio de estática de las leyes de newton que

1. las fuerzas resultantes en dirección x-x es igual a hacer 2. el momento resultante es igual al momento flexionante M.

Con la primera encontraremos la posición del eje neutro y con la segunda la relación momento curvatura. 3.5.1 Localización del Eje Neutro Si queremos obtener la primera ecuación de estática, debemos considerar un elemento de área dA de acuerdo a la sección transversal de la figura anexa. El elemento esta localizado a una distancia y del eje neutro, por lo que la ecuación σx = -Eκy da el esfuerzo σx que actúa sobre el elemento. La fuerza que actúa sobre el elemento es igual a σxdA. Como no hay fuerza resultante en acción sobre la sección transversal, la integral de σxdA sobre el área A de toda la sección transversal debe de ser nula; entonces la primera ecuación de estática es:

Tanto la curvatura κ como el modulo de elasticidad E son constantes diferentes de cero en cualquier sección transversal de una viga flexionada, así que bien se pueden eliminar de la ecuación y obtenemos: Esta ecuación nos indica que el momento estático del área de la sección transversal, evaluado con respecto a su eje z, es cero. En otras palabras, el eje z debe pasar por el centroide de la sección transversal. Y, puesto que z es entonces el eje neutro podemos llegar a la siguiente conclusión:

3.5 2 Relación Momento – Curvatura La segunda ley de la estática nos dice que la resultante de momento de los esfuerzos normales σx que actúan sobre la sección transversal es igual al momento flexionante M. Una demostración de donde sale la siguiente formula esta muy bien descrita en su libro, en la pagina 311. Lo mas importante es saber que para expresar la curvatura en términos del momento flexionante en una viga la formula es: Esta formula es conocida como la ECUACIÓN MOMENTO CURVATURA. Esta ecuación nos dice que la curvatura es directamente proporcional al momento flexionante M e inversamente proporcional a la cantidad EI, llamada rigidez de flexión de la viga. 3.5.3 Formula de la flexión Ya hemos localizado el eje neutro y tenemos la relación momento curvatura, entonces podemos determinar los esfuerzos en términos del momento flexionante. Sustituyendo la expresión para la curvatura en la expresión para el esfuerzo σx, obtenemos: Esta ecuación llamada formula de la flexión, muestra que los esfuerzos son directamente proporcionales al momento flexionante M e inversamente proporcionales al momento de inercia I de la sección transversal. Además los esfuerzos varían en sentido lineal con la distancia y desde el eje neutro, como señalamos

El eje neutro pasa por el centroide del área de la sección transversal cuando el material obedece la Ley de Hooke y no existen fuerzas axiales actuando sobre la sección transversal.

antes. Los esfuerzos calculados con la formula de la flexión se les llama esfuerzos de flexión o esfuerzos flexionantes. 3.5.4 Esfuerzos Máximos en una Sección Transversal Los esfuerzos de flexión máximos de tensión y decomprensión que actúan en cualquier sección transversal dad ocurren en puntos localizados a la mayor distancia del eje neutro Llamemos c1 y c2 las distancias desde el eje neutro a los elementos extremos en las direcciones positivas y negativas, respectivamente. Los esfuerzos normales máximos correspondientes σ1 y σ2 son:

En donde

Las cantidades S1 y S2 se conocen como módulos de sección del área de la sección transversal. Los módulos de sección tienen dimensiones longitudinales a la tercera potencia (mm3 o pulg.3) 3.5.5 Formas Doblemente Simétricas Si la sección transversal de una viga es simétrica con respecto al eje z y al eje y (sección transversal doblemente simétrica), entonces c1 = c2 = c y los esfuerzos de tensión y compresión son numéricamente iguales.

En donde es el único modulo de sección transversal. Sección Transversal Rectangular

Sección Transversal Circular

3.5.6 Limitantes Todo el análisis que hemos realizado hasta ahora es para vigas prismáticas sometidas a flexión pura de material elástico lineales homogéneos.

Ejemplo 1 Un alambre de acero de alta resistencia de diámetro d se dobla alrededor de un tambor cilíndrico de radio Ro. Determine el momento flexionante M y el esfuerzo deflexión máximo σmax en el alambre, considerando que d = 4 mm y Ro = 0.50 m. (el alambre tiene un modulo de elasticidad E = 200 GPa y limite proporcional σp1 = 1,200 Mpa). Datos: d = 4 mm Ro = 0.50 m E = 200 Gpa σp1 = 1,200 Mpa Radio de Curvatura: El radio de curvatura del alambre doblado es la distancia desde el centro del tambor hasta ρ = Ro + d/2 500 + (4/2) = 502 mm Momento Flexionante El momento flexionante en el alambre puede encontrarse a partir de la relación momento-curvatura: EI 2EI M = ------- = ------------ ρ 2Ro + d en donde I es el momento de inercia del área de la sección transversal del alambre. Si sustituimos I en términos del diámetro d del alambre. π E d4 π (200 Gpa) (109) (0.004)4 160.85 M = -------------------- = ------------------------------- = ------------- 32(2Ro + d) 32 [2(0.50) + 0.004] 32.128 M = 5.006 N-m Ed 200 Gpa (1000) (0.004) 800 Mpa-m σmax = ------------- = ----------------------------------= ------------------ 2Ro + d 2(0.50) + 0.004 1.004m σmax = 797 Mpa. Fíjense que σmax es menor que el limite proporcional del acero del alambre (σp1 = 1,200 Mpa); por consiguiente los cálculos son validos. Nota: como el radio del tambor es mucho mas grande en comparación que el diámetro del alambre, en la realidad pudiéramos despreciar a d con respecto a 2Ro, estando esto del lado de la seguridad pero además la diferencia es menor al 1%.

Solución: Lo primero será determinar el radio de curvatura ρ del alambre doblado. Luego conociendo ρ, podremos encontrar el momento flexionante y los esfuerzos máximos

Ejemplo 3 Una viga simple AB de claro L = 22 pies (ver figura) sustenta una carga uniforme de intensidad q=1.5 klb/pie y una carga concentrada P=12 klb. La carga uniforme incluye el peso de la viga. La carga concentrada actúa en un punto situado a 9.0 pies del extremo izquierdo de la viga. La viga esta hecha de madera laminada pegada y tiene una sección transversal con ancho b = 8,75 pulg. y altura h = 27 pulg. Determine los esfuerzos máximos de tensión y compresión de la viga debido a flexión. Datos: L = 22 pies b = 8.75 pulg. h = 27 pulg. q= 1.5 klb/pie P = 12 klb Solución: Lo primero es calcular las reacciones en los apoyos A y B, con ΣFy = 0 y ΣM = 0. Los resultados son RA = 23.59 klb y RB = 21.41 klg. Conocidas las reacciones, debemos trazar el diagrama de fuerzas cortantes y momento flectores. Fíjense que la fuerza cortante pasa de positivo a negativo bajo la carga concentrada P. Es en este mismo punto donde e momento máximo ocurre, calculándole el momento máximo es Mmax = 151.6 klb-pie Los esfuerzos flexionantes máximos en la viga están en la sección transversal de momento máximo. Calculo del modulo de sección = S = bh2/6 = 1/6 (8.75) (27)2 = 1063pulg3 Determinación de los esfuerzos máximos de tensión y compresión (151.6 klb-pie) (12pulg/pie) σt = σ2 = Mmax/S = ----------------------------------- = 1.71klb/pulg2 x (1000 lb) = 1710 lb/pulg2 1063 pulg3

σc = σ1 = - Mmax/S = -1710 ln/pulg2 Como el momento Flexionante es positive, el esfuerzo máximo de tensión ocurre en la parte inferior de la viga y el esfuerzo máximo de compresión en la arte superior.

La viga ABC tiene apoyos simples en A y B, y un voladizo de B a C. El claro es de 3.0 m. y la longitud del voladizo es de 1.5 m. En toda su longitud actúa una carga uniforme de intensidad q = 3.2 kN/m. La sección transversal de la viga tiene forma de canal con b = 3—mm y altura h = 80 mm. El espesor del alma es de t = 12 mm, y el espesor promedio de los patines es el mismo. Para fines de cálculo de propiedades de la sección transversal, suponga que esa forma consiste en los tres rectángulos como se ven en la figura. Determine los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la viga debidos a la carga uniforme. Solución Reacciones y fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Se inicia el análisis de esta viga calculando las reacciones en los apoyos A y B, como ya sabemos. Los resultados son: RA = 3.6 kN RB = 10.8 kN Como es sabido con estos valores se trazan los diagramas de esfuerzo cortantes y momentos flexionantes, y se identifican los valores máximos y donde el cortante cambia de signo.

El cortante es igual a cero (cambia de signo) en dos sitios, a 1.125 del apoyo A y en el apoyo B. El momento máximo positivo esta a 1.125 m del apoyo A y el momento máximo negativo estará en el apoyo B. Mpos = 2.025 kN-m Mneg = -3.6 kN-m Ubicación del eje neutro: El origen O de las coordenadas yz se coloca en el centroide del área transversal, por lo que el eje z viene a ser el eje neutro de esa área.

1. divida el área en tres rectángulos (A1, A2, y A3). 2. establezca un eje de referencia Z-Z a través del borde superior del área transversal y se hace

que y1 y y2 sean respectivamente las distancias del eje Z-Z a los centroides de las áreas A1 y A2.

3. Haga el calculo para ubicar el centroide del perfil del canal completo (distancia c1 y c2):

Area 1: y1 = t/2 = 6 mm A1 = (b-2t) (t) = (276 mm) (12mm) 3,312 mm2 Area 2 = Area 3 y2 = h/2 = 40 mm A2 = ht = (80) (12) = 960 mm2

(6mm) (3312 mm2) + 2 (40mm) (960 mm2) = -------------------------------------------------------- 3312 mm2 + 2 (960 mm2) c1 = 18.48 mm

c2 = h – c1 = 80 mm – 18.48 mm = 61.52 mm Momento de Inercia: Para calcular los esfuerzos con la formula de la flexión se debe de determinar el momento de inercia del área transversal con respecto al eje neutro. Para esto debemos de utilizar el teorema del eje paralelo. Comencemos con el área A1 y su momento de inercia (Iz) respecto al eje z: (IZ)1 = (IC)1 + A1d1

2 En este caso la ecuación (IC)1 es el momento de inercia del área A1 respecto a su propio eje centroidal. (Ic)1 = 1/12 (b- 2t) (t)3 = 1/12 (276mm) (12 mm)3 = 39,744 mm4 y d1 que es la distancia del eje centroidal del área A1 al eje z d1 = c1 – t/2 = 18.48mm – 6mm = 12.48 mm Por consiguiente el momento de inercia del área A1 respecto al eje Z es: (Iz)1 = (Ic)1 + A1 d1

2 = 39,744 + (3,312) (12.48)2 = 555,589 mm4 ≈ 555,600 mm4 Haciendo lo mismo con las áreas A2 y A3 (Iz)2 = (Iz)3 = 956,600 mm4 Iz = (Iz)1 + (Iz)2 + (Iz)3 = 2. 469 x 106 mm4

3.6 Diseño de Vigas para Esfuerzos de Flexión Cuando un ingeniero va a diseñar una viga requiere la consideración de muchos factores, entre ellos el tipo de estructura que se va a construir( avión, automóvil, edificio (escuela, hospital, etc.), carretera, etc.), los materiales a usarse, las cargas que se van a soportar, el daño ecológico que podemos producir y los costos.

Modulo de sección. Los módulos de sección para la parte superior e inferior de la respectivamente son: S1 = Iz / c1 = 2.469 x 10 6 / 18.48 = 133,600 mm3 S2 = Iz / c2 = 2.469 x 106 / 61.52 = 40,100 mm3 Teniendo los módulos de sección podemos entonces calcular los esfuerzos máximos. Esfuerzos máximos positivos: en la sección transversal donde el momento flexionante positivo es máximo el esfuerzo máximo de tensión esta en la parte inferior de la viga (σ2) y el esfuerzo máximo de compresión esta en la parte superior (σ1) σt = σ2 = Mpos/S2 = 2.025 kN-m* (1000 mm/m) (1000 MPa/kN) / 40,100 mm3 = 50 5 MPa σc = σ1 = - Mpos/S1 = - 2.025 kN-m * (1000 mm/m) (1000 MPa/kN)/ 133, 600 mm3 = -15.20 MPa de igual manera, los esfuerzos máximos en la sección que tiene momento negativo máximo son: σt = σ1 = - Mneg/ S1 = - (-3.6 kN-m) (1000 mm/m) (1000 MPa/kN) /133,600 mm3 = 26.90 MPa σc = σ2 = Mneg/ S2 = (-3.6 kN-m) (1000 mm/m) (1000 (MPa/kN) / 40,100 mm3 = - 89.80 MPa Cuando comparamos los cuatro esfuerzos podemos notar que el esfuerzo máximo de tensión en la viga es de 50.5 Mpa y esta en la parte inferior de ella, en la sección transversal de momento flexionante máximo positivo por consiguiente: (σt)max = 50.5 Mpa y el esfuerzo máximo de compresión esta en la parte inferior de la viga en la sección de momento máximo negativo (en el apoyo B donde se inicia el voladizo) (σc)max = -89.8 MPa

Sin embargo desde el punto de vista de la mecánica de materiales y la resistencia de los materiales la tarea se reduce a seleccionar una forma y tamaño de vigas tales que los esfuerzos reales en esta no excedan los esfuerzos permisibles del material. En este capitulo consideraremos solo los esfuerzos de flexión, posteriormente añadiremos los esfuerzos por cortantes y las concentraciones de esfuerzos. Al diseñar una viga para resistir los esfuerzos de flexión, por lo general se inicia calculando el modulo de sección requerido; por ejemplo (el mas sencillo) si nuestra viga tiene una sección transversal doblemente simétrica y los esfuerzos permisibles son los mismos en tensión y en compresión, podemos calcular el modulo requerido dividiendo el momento flexionante máximo entre el esfuerzo permisible en flexión del material. Mmax S = ------------ σperm El esfuerzo permisible (σperm ) se basa en la propiedad del material y en el factor de seguridad deseado. Para garantizar que no se rebase este esfuerzo, debemos escoger una viga que suministre un modulo de sección por lo menos tan grande como el obtenido en la ecuación. Si la sección transversal no es doblemente simétrica, o si los esfuerzos permisibles son diferentes en tensión y en compresión, hay que determinar dos módulos de sección requeridos, uno basado en tensión y otro en compresión. Luego debemos proporcionar una viga que satisfaga ambos criterios. Para minimizar el peso y ahorrar material, se suele escoger una viga que tenga la menor área transversal y que suministre los módulos de sección requeridos (y que cumpla cualquier otro requisito de diseño impuesto). Las vigas se construyen en una gran variedad de formas y tamaños para satisfacer una gran cantidad de propósitos; por ejemplo: se fabrican grandes vigas de acero soldadas , vigas de aluminio con tubos redondos o rectangulares, vigas de madera o de hormigón armado… todo dependerá de nuestra necesidad. Además, las vigas de acero, aluminio, plástico y madera pueden adquirirse en las formas y tamaños ya estándar en los diferentes comercios del ramo o en catálogos de distribuidores y fabricantes. Los perfiles de fácil obtención incluyen vigas de patín ancho, vigas I, perfiles angulares, canales, vigas rectangulares y tubos. 3.6.1 Vigas de perfiles y Tamaños Estandarizados Las dimensiones y propiedades de muchos tipos de vigas aparecen en los manuales de ingeniería; por ejemplo, los perfiles y tamaños de vigas de acero estructural están estandarizados por el American Institute of Steel Cosntruction (AISC), quienes publican un manual que da sus diferentes propiedades (peso por pie, área, altura, espesor del alma, ancho y espesor promedio del patín (si es el caso), y en los ejes X-X y Y-Y, momento de inercia, modulo de sección y radio de giro).

Las propiedades de las vigas de aluminio y de madera se tabulan de forma similar y se encuentran en publicaciones de la Aluminum Association y de la American Forest and Paper Association, o en el Manual de diseño para Maderas del Grupo Andino. Al final de este capitulo hemos anexado algunas tablas (abreviadas) que nos permitirán resolver los ejercicio ( en unidades inglesas, por el uso de la madera aquí en dominicana). Los perfiles de acero estructural reciben designaciones como W30 x 211. esto significa que el perfil tiene una forma de W (llamado también perfil de patín ancho) , con un peralte nominal de 30 pulgadas y un peso de 211 lb por pie de longitud. Se aplican designaciones parecidas a perfiles S (o vigas I) y perfiles C ( o perfiles ∟); se designan por las longitudes de los dos lados y el espesor. Por ejemplo un perfil ∟8 x 6 x 1 denota un angular con lados desiguales, uno de 8 pulg., el otro de 6 pulg. de longitud y con un espesor de 1 pulg. Por lo general, los perfiles estructurales de aluminio (los mas dañinos al medio ambiente) se fabrican por el proceso de extrusión, donde una “columna” caliente se empuja o extruye a través de un dado que le da la forma deseada. Como los daos son relativamente fáciles de hacer y el material es trabajable, las vigas de aluminio pueden extruirse casi de cualquier forma deseada. La mayoría de las vigas de madera tienen secciones transversales rectangulares que se designan con dimensiones nominales, como 4 x 8 pulg. Estas dimensiones representan el tamaño en que se corta la madera sin terminar. Las dimensiones netas (o dimensiones reales) de una viga de madera son menores que las nominales si los lados de la madera aserrada se cepillan para darles una textura lisa. Por esto hablamos siempre de una viga 4 x 8 bruta o cepillada. La bruta tiene o casi siempre tiene la medida expresada. La cepillada la medida normal será de 3.5 x 7.25 pulg. cuando usted vaya a realizar un cálculo se recomienda utilizar siempre las medidas netas (cepilladas). Si debe utilizar el manual de diseño para maderas del grupo andino, este tiene en sus tablas tanto las medidas en el sistema ingles como en el SI. 3.6.2 Eficiencia Relativa de Diferentes Formas de Vigas

Uno de los objetivos al diseñar una viga es usar un material con eficiencia, dentro de las restricciones que nos impone el diseño o la función, la apariencia y los costos de fabricación, entre muchas otras cosas.

Desde el punto de vista de la resistencia, la eficiencia en flexión depende principalmente de la forma de la sección transversal. En particular la viga mas eficiente es aquella en que el material se localiza tan lejos como sea practico del eje neutro. Cuanto mas lejos este una cantidad dada de material del eje neutro, mayor resulta el modulo de sección y cuanto mayor es el modulo de sección, mayor es el momento de flexión que puede resistirse (para un esfuerzo permisible dado). Como ejemplo analicemos las cuatro secciones que se nos presentaron en el dibujo:

a) forma rectangular: con ancho b y altura h, el modulo de sección será

bh2 S = -------- = 0.167 Ah 6 b) sección transversal circular: El lado h de un cuadrado con la misma área de un circulo es h = (d/2) √π. Los módulos de sección correspondientes serian: h3 π √π d3 Scuadrado = ----- = ------------- = 0.1160d3 6 48 π d3 Scirculo = -------- = 0.0982 d3 32 De donde obtenemos que: Scuadrado --------------- = 1.18 Scirculo Este resultado muestra que una viga de sección transversal cuadrada es más eficiente para resistir flexión que una viga circular con la misma área. La razón por supuesto, es que el circulo tiene una cantidad relativamente mayor de material cerca del eje neutro. Este material se esfuerza menos, por lo que no contribuye mucho a la resistencia de la viga. La forma ideal de la sección transversal para una viga de área A transversal dada y altura h se obtendrá colocando la mitad del área a un distancia h/2 arriba del eje neutro y la otra mitad a una distancia h/2 abajo del eje neutro. Para esta forma ideal, obtenemos:

donde A denota el área de la sección transversal. Esta ecuación nos muestra que la eficiencia de una sección transversal rectangular de área dada aumenta de conforme se incrementa h (y se disminuye b para mantener el área constante). Sin embargo una viga muy estrecha fallara debido al pandeo lateral y no por falta de resistencia del material

Estos límites teóricos son aproximados en la práctica por medio de secciones de patín ancho y secciones I, que tienen la mayoría parte de su material en los patines. Para vigas estándares de patín ancho, el modulo de sección es aproximadamente S ≈ 0.35 Ah Que es menor que lo ideal pero mucho mayor que el modulo de sección de una sección transversal rectangular de la misma área y altura. Otra característica favorable de una viga de patín ancho es u mayor ancho y consiguiente mayor estabilidad con respecto al pandeo lateral que una viga rectangular de la misma altura y modulo de sección. De igual manera tenemos que decir que existen límites prácticos respecto al espesor del alma de una viga de patín ancho. Si el alma es demasiado delgada, esta resulta muy susceptible al pandeo local o puede quedar sobreesforzada en cortante (tema que veremos mas adelante). Vamos a realizar cuatro ejemplos que les ilustraran el proceso de seleccionar una viga con base a los esfuerzos permisibles. Solo tomaremos en cuenta los efectos de flexión (obtenidos con la formula de la flexión). Al resolver estos ejemplos veremos que al querer seleccionar una de las vigas que aparecen en las tablas de los apéndices, debemos utilizar la siguiente regla:

Si existen varias opciones en una tabla, es preferible la viga mas ligera que suministre el modulo de sección requerido.

Ejemplo 5 Una viga de madera simplemente apoyada con claro L = 12 pies, sustenta una carga uniforme q = 420 lb/pie. El esfuerzo permisible de flexión es de 1,800 lb/pulg2, la madera pesa 35 lb/pie3 y la viga esta soportada en sentido lateral contra pandeo lateral y volteo. Seleccione el tamaño adecuado para la viga utilizando la tabla en el apéndice F. Datos: q = 420 lb/pie L = 12 pie σperm = 1800 pie/pulg2 Densidad γ = 35 lb/pie3

Solución: Como ya sabemos cuanto pesara la viga, procedemos mediante ensayo de tanteo y error como sigue:

1. calculamos el modulo de sección requerido con base en la carga uniforme dada. 2. escogemos el tamaño de prueba para la viga 3. añadimos el peso de la viga a la carga uniforme y calculamos nuevamente el modulo de sección

requerido 4. comprobamos que la viga elegida sea satisfactoria. Si no lo es, seleccionamos una viga mayor y

repetimos el proceso. 1. El momento flexionante máximo en la viga ocurre en el centro del claro y la ecuación es: Mmax = qL2/8 = (420 lb/pie) (12 pies)2 (12 pulg/pie)/8 = 90,720 lb-pulg El modulo de sección requerido es: Mmax S = ----------- = 90,720 lb-pulg / 1800 lb/pulg2 = 50.40 pulg3 σperm 2. de la tabla en el apéndice F vemos que la viga mas ligera con un modulo de sección de por lo

menos 50.40 pulg3 respecto al eje x-x es una viga de 3 x 12 pulg (dimensiones nominales). Esta viga tiene un modulo de sección igual a 52.73 pulg3 y pesa 6.8 lb/pie (fíjense que en el apéndice F se encuentran pesos de vigas basados en una densidad de 35 lb/pie3.

3. la carga uniforme sobre la viga es de 420lb/pie + 6 .8 lb/pie = 426 lb/pie y el modulo de sección

requerido correspondiente es: 426. 8 lb/pie S = (50.40pulg3) ---------------- = 51.22 pulg3 420 lb/pie 4. la viga seleccionada tiene un modulo de sección de 52.73 pulg3 que es mayor que el modulo

requerido de 51.22 pulg3. Por lo tanto la viga de 3 x 12 es satisfactoria.

Ejemplo 6 Un poste vertical de 2.5 m de alto debe de soportar una carga lateral P= 12 kN en su extremo superior. Se proponen dos soluciones alternativas: un poste sólido de madera y un tubo hueco de aluminio.

a) Cual es el diámetro mínimo requerido d1 para el poste de madera si el esfuerzo permisible de flexión en la madera es de 15Mpa.

b) Cual es el diámetro exterior mínimo requerido d2 para el tubo de aluminio si el espesor de su pared debe ser igual a un octavo del diámetro exterior y el esfuerzo permisible por flexión en el aluminio es de 50 Mpa

Datos P = 12 kN h = 2.5 m σperm = 15 MPa; 50 MPa a) Poste de Madera: el modulo de sección requerido S1 para el poste de madera π d1

3 Mmax S1 = ---------- = ----------- 32 σperm Mmax 30 kN-m ---------- = --------------------- = 0.0020 m3 = 2 x 106 mm3 σperm 15 MPa x 104 π d1

3 --------- = 2 x 106 mm3 32 2 x 10 6 mm3 x 32 d1

3 = ------------------------- π d1 = 273 mm el diámetro seleccionado para el poste de madera tiene que ser igual o mayor que 273 mm para no rebasar el esfuerzo permisible. b) Tubo de aluminio. Para determinar el modulo de sección S2 para el tubo, primero debemos encontrar el momento de inercia I2 de la sección transversal. El espesor de la pared del tubo es d2/8, por lo que el diámetro interior es d2 – d2/4 o lo que es lo mismo 0.75 d2. Entonces el momento de inercia será: I2 = π/64 [d2

4 – (0.75d2)4 = 0.03356d24

El modulo de sección del tubo se obtiene de la ecuación S2 = I2/c 0.03356 d24 S2 = -------------------- = 0.06712 d2

3 d2/2 El modulo de sección requerido es S2 = Mmax/ σperm

Solución: Momento flexionante máximo: el momento flexionante máximo ocurre en la base del poste y es igual a la carga P multiplicada por la altura h; entonces, Mmax = Ph = 12 kN * 2.5 m = 30 kN-m

30 kN-m S2 = -------------------- = 0.0006m3 = 600 x 103 mm3 50 MPa x 1000 Al igualar las dos expresiones anteriores para el modulo de sección, podemos despejar el diámetro requerido: 0.06712 d2

3 = 600 x 103 mm3 600 x 103 mm3 d2 = ---------------------- = 208 mm 0.06712 El diámetro interior será 0.75 d2 = 0.75 (208) dint = 156 mm

Ejemplo 7 Una viga simple AB con claro de 21 pies debe soportar una carga uniforme q = 2,000 lb/pie distribuida a lo largo de la viga como se muestra en la figura. Considerar tanto la carga uniforme como el peso de la viga y usar un esfuerzo permisible de flexión de 18,000 lb/pulg2 a fin de escoger una viga de acero estructural de patín ancho para sustentar las cargas. Datos q =2000 lb/pie L – 21 pie σperm = 18,000 lb/pulg2 Solución Para solucionar este problema los pasos que debemos dar son los siguientes:

1. encontrar el momento flexionante máximo en la viga debido a la carga unitaria. 2. conocido el momento máximo, hallamos el modulo de sección requerido 3. seleccionamos una viga de prueba de patín ancho en la tabla E-1 del apéndice E y obtenemos el

peso de la viga 4. conocido el peso calculamos un nuevo valor de momento flexionante y un nuevo valor del

modulo de sección

5. vemos si la viga seleccionada aun funciona. De lo contrario, elegimos un nuevo tamaño de viga y repetimos el proceso hasta hallar un tamaño de viga satisfactorio.

Momento Flexionante máximo. Como ayuda para localizar la sección transversal de momento flexionante máximo, debemos construir un diagrama de fuerza cortante (ver figura pagina anterior). Como parte de ese proceso sabemos que el valor de las reacciones es de: RA = 18,860 lb RB = 17,140 lb Recordemos que el momento máximo lo obtenemos donde el cortante es igual a cero por lo que para saber el punto exacto donde tendré el momento máximo: V = RA – qx1 = 0 que es valida para el intervalo 0 ≤ x ≥ 12 pies. Despejando a x, tenemos RA 18,860 lb x1 = --------- = --------------- = 9.43 pies q 2,000 lb/pie que es menor que 12 pies, por lo que nuestro calculo es valido. El momento flexionante máximo por consiguiente será: qx1

2 Mmax = RAx1 - --------- = 88,920 lb-pie 2 Modulo de sección requerido con base solo en la carga q se obtiene por: Mmax (88,920 lb-pie) (12 pulg/pie) S = --------- ------------------------------------ = 59.3 pulg3 σperm 18,000 lb/pulg2 Viga de Prueba Entramos a la tabla E-1 y seleccionamos la viga de patín ancho mas ligera que tenga un modulo de sección mayor que 59.3 pulg3. La viga mas ligera que tiene tal modulo de sección es la W12 x 50 con un S = 64.7 pulg3. Esta viga pesa 50 lb/pie (recuerde que las tablas suministradas son abreviadas solo para estudio de esta materia; existen tablas mucho mas completas y por lo tanto es posible que exista una viga mas ligera). Recalculamos las reacciones, el momento flexionante máximo y el modulo de sección requerido con la viga cargada por la carga uniforme q y su propio peso. Debido a esta combinación de cargas las reacciones ahora son: RA = 19,380 lb RB = 17,670

Y la distancia a la sección transversal de fuerza cortante igual a cero es: 19,380 lb x1 = ---------------- = 9.454 pies 2,050 lb/pie El momento flexionante máximo aumenta a 91,610 lb-pie y el nuevo modulo de sección requerido es: Mmax (91,610 lb-pie) (12 pulg/pie) S = --------- ------------------------------------ = 61.1 pulg3 σperm 18,000 lb/pulg2 Vemos que la viga W12 x 50 con modulo de sección 64.7 pulg3 aun nos trabaja. Nota: Si el nuevo modulo de sección requerido excediese al de la viga W 12 x50, entonces se debe seleccionar una nueva viga con un modulo de sección mayor y repetir el proceso.

Ejemplo 8 Una presa temporal de madera esta construida con tablones horizontales A soportados por postes verticales de madera B empotrados en el suelo, de manera que trabajan como vigas en voladizo. Los postes son de sección transversal cuadrada (dimensiones b x b) y están espaciados a una distancia s = 0.80 m, centro a centro. Suponga que el nivel máximo del agua detrás de la presa en h = 2.0 m. Determine la dimensión b mínima requerida para los postes si el esfuerzo permisible por flexión en la madera es σperm = 8.0 Mpa. Datos: s = 0.80 m h = 2.0 m σperm = 8.0 Mpa Diagrama de Carga: Cada poste esta sometido a una carga con distribución triangular producida por la presión del agua que actúa contra los tablones. En consecuencia, el diagrama de carga para cada poste es triangular. La intensidad máxima qo de la carga sobre estos es igual a la presión del agua a la profundidad h, multiplicada por el espaciamiento s de los postes.

qo = γhs en donde γ es el peso especifico del agua. Observe que qo tiene unidades de fuerza por unidad de distancia, γ tiene unidades de fuerza por unidad de volumen y h y s tienen unidades de longitud. Modulo de Sección: Como cada poste es una viga en voladizo (en vertical), el momento flexionante máximo ocurre en la base y esta dado por la siguiente expresión: qo h h γ h3s Mmax = --------- ( -------) = --------------- 2 3 6 Así pues, el modulo de sección requerido es: Mmax γ h3s S = ------------- = ---------------- σperm 6 σperm Para una viga de sección transversal cuadrada, el modulo de sección es S = b3/6. Si sustituimos esta expresión para S en la ecuación anterior obtenemos una formula para el cubo de la dimensión b mínima de los postes: γ h3s b3 = ----------- σperm colocando los valores numéricos en la formula tenemos: (9.81 kN/m3) (2.0 m)3 (0.8 m) b3 = ----------------------------------------- = 0.007848 m3 = 7.8484 x 106 mm3 8. Mpa (1000) De donde b = 199 mm Así, la dimensión mínima requerida b para los postes es de 199 mm. Cualquier dimensión mayor, digamos 200 mm, garantizara que el esfuerzo real de flexión sea menor que el esfuerzo permisible.

3.7 Vigas No Prismáticas Lo que hemos visto hasta ahora en este tema, las formulas han sido formuladas para vigas prismáticas (vigas rectas, con la misma sección transversal en toda su longitud); sin embargo, las vigas no prismáticas suelen usarse para reducir peso y mejorar la apariencia de estas. Podemos encontrar este tipo de vigas en automóviles, aviones, maquinarias, puentes, edificios, herramientas, etc. Las formulas para la flexión pura da valores razonablemente exactos para los esfuerzos en vigas no prismáticas cuando los cambios en las dimensiones transversales son graduales. Por lo tanto los esfuerzos en las vigas no varían de igual manera a lo largo del eje de una viga prismática y de una viga no prismática. En una viga prismática, el modulo de sección S es constante, de modo que los esfuerzos varían en proporción directa al momento flexionante (recuerden σ = M/S); pero en una viga no prismática, el modulo de sección también varia a lo largo del eje. En consecuencia, no podemos suponer que los esfuerzos máximos ocurran en la sección transversal con el momento flexionante máximo, a veces se presenta en otras partes, como veremos en el ejemplo. 3.7.1 Vigas Totalmente Esforzadas Para reducir al mínimo la cantidad de material y contar entonces con la viga más ligera posible, se pueden variar las dimensiones de sus secciones transversales, para que en cada una haya el esfuerzo de flexión máximo permisible. Una viga en estas condiciones se llama viga totalmente esforzada, viga totalmente cargada, o viga de resistencia constante. Es lógico pensar, sin embargo, que es muy difícil alcanzar estas condiciones ideales, a causa de problemas prácticos de construcción de la misma, y por la posibilidad de que las cargas sean distintas de las supuestas en el diseño.

Ejemplo 9 Una viga ahusada en voladizo AB de sección transversal circular sólida soporta una carga P en el extremo libre. El diámetro dB en el extremo mayor es el doble del diámetro dA en el extremo menor. Determine el esfuerzo de flexión σB en el soporte fijo y el esfuerzo máximo de flexión σmax. Datos: Diámetro A = dA dA/dB = 2 Diámetro B = dB Carga = P Longitud = L Solución: Si el ángulo de ahusamiento de la viga es pequeño, los esfuerzos de flexión obtenidos con la formula de la flexión apenas diferirán de los valores exactos. Como una guía respecto a la exactitud, podemos decir que si el ángulo entre la línea AB y la horizontal (o vertical dependiendo del caso) es de 20º el error de calculo de los esfuerzos normales con la formula de la flexión será cercano al 10%. Si reducimos el ángulo reducimos el error. Modulo de Sección El modulo de sección en cualquier sección transversal de la viga puede expresarse como una función de la distancia x, medida a lo largo del eje de la viga. Puesto que el modulo de sección depende del diámetro, primero debemos expresar el diámetro en términos de x como sigue: dx = dA + (dB – dA) x/L en donde dx es el diámetro a la distancia x desde el extremo libre. Por lo tanto, el modulo de sección a la distancia x desde el extremo es: π dx

3 π Sx = --------- = ------ (dA + (dB – dA) x/L)3 32 32 Esfuerzo de flexión Mx 32 P x σ1 = --------- = ------------------------------------------ Sx π (dA + (dB – dA) x/L)3 Por lógica estructural, podemos advertir que σ1 es de tensión en la parte superior de la viga y de compresión en la parte inferior.

3.8 Esfuerzos Cortantes en Vigas de Sección Transversal Rectangular Cuando una viga esta sometida a flexión pura, las únicas resultantes de esfuerzo son los momentos flexionantes y los únicos esfuerzos son los esfuerzos normales que actúan sobre las secciones transversales. Sin embargo, la mayoría de las cargas están sometidas a cargas que producen tanto momentos flexionantes como fuerzas cortantes (flexión no uniforme). En estos casos se desarrollan esfuerzos normales y cortantes en la viga. Los esfuerzos normales se calculan con la formula de la flexión, siempre que la viga este construida con un material elástico lineal. Los esfuerzos cortantes será lo que analizaremos de aquí en adelante. 3.8.1 Esfuerzos Cortantes Vertical y Horizontal

Consideremos una viga de sección transversal rectangular (ancho b y peralte h) sometida a una fuerza cortante positiva V. Hipótesis para los esfuerzos por cortante

1. Es razonable suponer que los esfuerzos cortantes τ que actúen sobre la sección transversal son paralelos a la fuerza cortante; es decir, paralelos a los lados verticales de la sección transversal.

2. También cabe suponer que los esfuerzos cortantes están

uniformemente distribuidos a través del ancho de la viga, aunque ellos pueden variar según el peralte.

Si tenemos en cuenta las dos hipótesis anteriores podemos determinar la intensidad del esfuerzo cortante en cualquier punto sobre la sección transversal. Para fines de hacer el análisis, volvamos a aislar un pequeño elemento mn de la viga (figura a) cortando entre dos secciones transversales adyacentes y entre dos planos horizontales. De acuerdo a las hipótesis ya planteadas, los esfuerzos cortantes τ que actúan sobre la cara frontal de este elemento son verticales

y uniformemente distribuidos de un lado de la viga al otro.

Estas tres ecuaciones son validas para cualquier valor de dA y dB siempre y cuando el ángulo de ahusamiento sea igual o menor a los 20º. Esfuerzo máximo en el soporte fijo (empotramiento) Al sustituir x = L y dB = 2dA 4PL σB = ----------- π dA

3

Recuerden que los esfuerzos cortantes que actúan sobre un lado de un elemento van acompañados por esfuerzos cortantes de igual magnitud que actúan sobre caras perpendiculares del elemento (figuras b y c). así, se tienen esfuerzos cortantes horizontales entre capas horizontales de la viga y esfuerzos cortantes verticales sobre las secciones transversales. En cualquier punto de la viga, estos esfuerzos cortantes complementarios son iguales en magnitud. La igualdad de los esfuerzos cortantes horizontales y verticales que actúan sobre un elemento conduce a una conclusión importante respecto a los esfuerzos cortantes en la parte superior e inferior de la viga. Si imaginamos que el elemento mn (figura a) colocado en la parte superior o inferior de la viga – no importa- vemos que los esfuerzos cortantes horizontales deben de desaparecer porque no hay esfuerzos sobre la superficie exterior de la viga. Por tanto, se deduce que los esfuerzos cortantes verticales también deben de desaparecer en esas posiciones; en otras palabras: τ = 0 cuando y = ± h/2 La existencia de esfuerzos cortantes horizontales en una viga es muy fácil de demostrarse por medio de un sencillo experimento. Tome dos vigas rectangulares idénticas sobre apoyos simples y cargan con una fuerza P (ver figura). Si la fricción entre ambas vigas es pequeña, se flexionaran en forma independientes. Cada Viga estará en compresión arriba de sus propio eje neutro y en tensión debajo de este; por la tanto la superficie inferior de la viga superior se deslizara con respecto a la superficie superior de la viga inferior. Si suponemos ahora que las dos vigas están pegadas a lo largo de la superficie de contacto, de manera que formen una viga sólida única. Cuando esta viga se carga, deben de desarrollarse esfuerzos cortantes horizontales a lo largo de la superficie pegada para impedir el deslizamiento mostrado en la figura b. Debido a la presencia de estos esfuerzos cortantes, la viga sólida es mucho más rígida y fuerte que las dos vigas separadas. 3.8.2 Obtención de la Formula del Esfuerzo Cortante Visto todo lo anterior podemos hacer el análisis para obtener los esfuerzos cortantes τ en una viga rectangular. Sin embargo, en vez de evaluar los esfuerzos cortantes verticales que actúan sobre una sección transversal es más fácil evaluar los esfuerzos cortantes horizontales que actúan entre capas de la viga. Por supuesto, los esfuerzos cortantes verticales tienen la misma magnitud que los esfuerzos cortantes horizontales. Embarcarnos en hacer la demostración de la formula del Esfuerzos Cortante, es larga y engorrosa. Una demostración entendible se puede obtener en el libro de texto “Mecánica de Materiales” de James Gere en las páginas 335, 336, 337 y 338 donde concluye con el siguiente párrafo:

“… la integral es el momento estático del área transversal arriba del nivel en el cual se esta evaluado el esfuerzo cortante τ. Generalmente, este primer momento estático se denota con el símbolo Q.” Con esta notación, la ecuación para el esfuerzo cortante es: VQ τ = --------- Esta ecuación es conocida como formula del cortante y puede I b usarse para determinar el esfuerzo cortante τ en cualquier punto de en la sección transversal de una viga rectangular. Observe que para una sección transversal especifica, la fuerza cortante V, el momento de inercia I y el ancho b son constantes; sin embargo, el momento estático Q (y por tanto el esfuerzo cortante τ) varían con la distancia y1 desde el eje neutro. 3.8.3 Calculo del Momento estático Q

Si el nivel en que se va a determinar el esfuerzo cortante esta arriba del eje neutro (como se muestra en la figura (d)) es natural obtener Q calculando el momento estático del área transversal arriba de ese nivel (el área sombreada en la figura). Sin embargo, como alternativa, podríamos calcular el momento estático del

área transversal remanente; es decir, el área abajo del área sombreada. Su momento estático es igual al negativo de Q. Podemos basar la explicación en el hecho de que el momento estático de toda el área transversal con respecto al eje neutro es igual a cero (porque el eje neutro pasa por el centroide); por tanto, el valor de Q para el área debajo del nivel y1 es el negativo de Q para el área de arriba de este nivel. Por conveniencia solemos utilizar el área de arriba del nivel y1 cuando el punto donde queremos encontrar el esfuerzo cortante esta en la parte superior de la viga, y usamos el área de abajo del nivel y1 cuando el punto esta en la parte inferior de la viga. 3.8.4 Distribución de los Esfuerzos Cortantes en una Viga Rectangular Determinemos ahora la distribución de los esfuerzos cortantes en una viga de sección transversal rectangular. El momento estático Q de la parte sombreada del área de la sección transversal se obtiene multiplicando el área por la distancia de su propio centroide al eje neutro:

Sustituyendo la expresión para Q en la formula del cortante, obtenemos:

Esta ecuación demuestra que los esfuerzos cortantes en una viga rectangular varían cuadraticamente con la distancia y1 desde el eje neutro. Al graficarlo a lo largo del peralte de la viga, τ varía como vemos en la figura (b). Nótese que el esfuerzo cortante es cero cuando y1 = ± h/2. El valor máximo del esfuerzo cortante ocurre en el eje neutro (y1 = 0) donde el momento estático Q tiene su valor máximo. Sustituyendo y1 = o en la ecuación anterior tenemos:

Obsérvese que las ecuaciones anteriores para los esfuerzos cortantes pueden usarse en el cálculo de los esfuerzos cortantes verticales que actúan sobre las secciones transversales o de los esfuerzos cortantes horizontales que actúan entre capas horizontales de la viga.

En donde A = bh es el área de la sección transversal. Así, el esfuerzo cortante máximo en una viga de sección transversal rectangular es 50% mayor que el esfuerzo cortante promedio V/A.

3.8.5 Limites de Aplicación Las formulas para los esfuerzos cortantes presentadas en esta sección están sometidas a las mismas restricciones que la formula de la flexión de la cual se obtuvieron; son validas para vigas de materiales elásticos lineales con deflexiones pequeñas. Para vigas rectangulares, la exactitud de la formula del cortante depende de la razón peralte acho de la sección transversal. La formula puede considerarse exacta para vigas muy angostas (peralte h mucho mayor que b), pero se vuelve menos exacta al aumentar b con especto a h. un ejemplo de esto es que cuando una viga es cuadrada (b = h) el esfuerzo cortante máximo es un 13% mayor que el valor dado por la ecuación obtenida. Un error común es aplicar la formula del cortante a secciones transversales para las cuales no son aplicables; por ejemplo no funcionan en secciones de forma triangular o semicircular. Para evitar el mal uso de esta formula debemos de recordar siempre que partimos de dos hipótesis al deducirlas:

1. Los bordes de la sección transversal deben de ser paralelos al eje y (de forma tal que los esfuerzos cortantes actúen en paralelo al eje).

2. Los esfuerzos cortantes deben ser uniformes a través del ancho de la sección transversal 3.8.6 Efectos de las Deformaciones Cortantes Puesto que el esfuerzo cortante τ varia parabolicamente sobre el peralte de una viga rectangular, podemos deducir que la deformación unitaria cortante γ = τ / G varia de igual forma. Como resultado de esas deformaciones unitarias cortante, las secciones transversales de la viga, que eran superficies planas en un inicio, resultan alabeadas. Esta deformación se muestra en la figura anexa, en que la secciones transversales mn y pq planas al principio se han vuelto superficies curvas m1n1 y p1q1, en que la deformación unitaria cortante máxima se presenta en la superficie neutra. En los puntos m1, p1, n1, y q1 la deformación unitaria cortante es cero, por lo que las curvas m1n1 y p1q1 son perpendiculares a las superficies superior e inferior de la viga. Si la fuerza cortante V es constante a lo largo del eje de la viga, el alabeo es el mismo en cada sección transversal; por tanto, las deformaciones unitarias cortantes no afectan el alargamiento y el acortamiento de los elementos longitudinales debidos a los momentos flexionantes y la distribución de los esfuerzos normales es la misma que en la flexión pura.

Ejemplo 10 Una viga metálica con claro L =3 pies esta simplemente apoyada en los puntos A y B. La carga uniforme sobre la viga (incluido su peso) es q= 160 lb/pulg. La sección transversal de la viga es rectangular con ancho b= 1 pulg y peralte h = 4 pulg. La viga esta bien apuntalada contra el pandeo lateral. Determine los esfuerzos normales σC y τC en el punto C, localizado a 1 pulg debajo de la parte superior de la viga y a 8 pulg del apoyo derecho. Muestre estos esfuerzos en un croquis de un elemento esfuerzo en el punto C. Solución La fuerza cortante (Vc) y el momento flexionante (Mc) en la sección que pasa por el punto C se calculan con los métodos tradicionales: Mc = 17,920 lb-pulg Vc = -1,600 lb Momento de Inercia bh3 I = ---------- = 1/12 (1.0 pulg) (4 pulg)3 = 5.333 pulg4 12 Esfuerzo Normal en el Punto C Mc (y) (17,920 lb-pulg) (1 pulg) σC = - --------- = - ------------------------------- = -3,360 lb/pulg2 I 5.333 pulg4 El signo negativo me indica que el esfuerzo esta trabajando a compresión Esfuerzo Normal en el Punto C Para obtener el esfuerzo Cortante en el punto C es necesario evaluar el momento estático Qc del área de la sección transversal arriba del punto C. El momento estático es igual al producto del área (nombrada como Ac) y su distancia centroidal (nombrada yc) desde el eje z, entonces: Ac = (1 pulg) (1 pulg) = 1 pulg2 yc = 1.5 pulg Qc = Ac yc = (1 pulg) (1.5pulg) = 1.5 pulg3

Ejemplo 11 Una viga de madera AB que sostiene dos cargas concentradas P tiene una sección transversal rectangular de ancho b = 100 mm y peralte h = 150 mm. Las distancias de los extremos de la viga a las cargas son a = 0.5m. Determine el valor permisible máximo Pmax de las cargas si el esfuerzo permisible por flexión es σperm = 11 Mpa (en compresión y tensión) y el esfuerzo permisible en cortante horizontal es τperm = 1.2 Mpa. Desprecie el peso de la viga. Solución: La fuerza cortante máxima se presenta en los apoyos y el momento flexionante máximo, en toda la región entre las dos cargas. Sus valores son: Vmax = P Mmax = Pa

El modulo de sección S y el área transversal A son b h2 S = ---------- A = bh 6 Los esfuerzos máximos normal y cortante en la viga se obtienen con las formulas de la flexión y el cortante

Por tanto, los respectivos valores permisibles máximos para la carga P en flexión y cortante son:

Sustituyendo en la ecuación Vc Qc (1,600 lb) (1.5 pulg3) τ = ------------ = ------------------------------- = 450 lb/pulg2 I b (5.333 pulg4) (1.0 pulg)

3.9 Esfuerzos Cortantes en Vigas de Sección Transversal Circular Cuando una viga tiene una sección transversal circular (ver figura) no podemos suponer que los esfuerzos cortantes actúen paralelos al eje y; por ejemplo, es fácil demostrar que el punto m (sobre el borde de la sección transversal), el esfuerzo cortante τ debe actuar tangencialmente al borde. Esta observación se deriva del hecho de que la superficie exterior de la viga esta libre de esfuerzo, de modo que el esfuerzo cortante que actúa sobre la sección transversal no puede tener un componente en dirección radial. Aunque no hay una manera simple de encontrar los esfuerzos cortantes que actúan sobre toda la sección transversal, podemos determinarlos con facilidad en el eje neutro (donde los esfuerzos son máximos) mediante alguna hipótesis razonables sobre la distribución de los esfuerzos. Supongamos que los esfuerzos que actúan paralelo al eje de las y y que tienen una intensidad constante a través del ancho de la viga (del punto p al punto q). Esta hipótesis es la misma que utilizamos para obtener la formula τ = VQ/I b, podemos utilizar la formula del cortante en el calculo de los esfuerzos en el eje neutro.

Sustituyendo los valores numéricos en la formulas, obtenemos que: (11 Mpa) (100 mm) (150mm)2 Pflexión = ---------------------------------------- = 8.25 kN 6 (0.5) 2 (1.2 MPa) (100 mm) (150 mm) Pcortante = ------------------------------------------ = 12. kN 3 Por lo tanto el esfuerzo flexionante rige el diseño y la carga permisible máxima es Pmax = 8.25 kN

Notas acerca de este ejemplo: 1. En este ejemplo, los esfuerzos normales máximos y los esfuerzos cortantes máximos no se

presentan en la misma posición en la viga; el esfuerzo normal es máximo en la región central de la viga en las partes superior e inferior de la sección transversal y el esfuerzo cortante es máximo cerca de los apoyos en el eje neutro de la sección transversal.

2. En la mayoría de las vigas, los esfuerzos de flexión (no los esfuerzos cortantes) rigen la carga permisible, como sucedió en este ejemplo.

3. Aunque la madera no es un material homogéneo y a menudo se aleja de un comportamiento elástico lineal, podemos obtener buenos resultados aproximados con las formulas de la flexión y el cortante. Esos resultados aproximados suelen ser adecuados para diseñar vigas de madera.

Para usarlas en la formula del cortante, necesitamos las siguientes propiedades de una sección transversal circular de radio r.

La expresión para el Momento de Inercia I se toma del caso 9 del apéndice D suministrado, y las expresiones para el momento estático Q se basan en las formulas para un semicírculo. Sustituyendo estas expresiones en la formula del cortante, tenemos

En donde A = πr2 es el área de la sección transversal. Esta ecuación hace ver que el esfuerzo cortante máximo de una viga circular es igual a 4/3 vece el esfuerzo cortante vertical promedio (V/A).

Si una viga tiene una sección transversal circular hueca, podemos suponer de nuevo con exactitud razonable que los esfuerzos cortantes en el eje neutro son paralelos al eje y que están uniformemente distribuidos a través de la sección. En consecuencia, podemos volver a utilizar la formula del cortante para encontrar los esfuerzos máximos. Las propiedades requeridas de la sección circular hueca son:

Donde r1 y r2 son los radios internos y externos de la sección transversal; por tanto el esfuerzo máximo es:

En donde

Ejemplo 12 Un poste vertical es un tubo redondo de diámetro exterior d2 = 4.0 pulg y diámetro interior d1 = 3.2 pulg; esta cargado con una fuerza horizontal P = 1500 lb. a) Calcula el esfuerzo cortante máximo en el poste. b) Para la misma carga P y el mismo esfuerzo cortante,

¿cuál es el diámetro d0 de un poste redondo macizo? Solución a) esfuerzo cortante máximo Para el poste con sección transversal circular hueca debemos aplicar la ecuación sustituyendo la carga P por la fuerza cortante V, y el área transversal A por la expresión π (r2

2 –r12)

Sustituyendo los valores P = 1,500 lb r2 = d2/2 = 2.0 pulg r1 = d1/2 = 1.6 pulg Obtenemos el valor de τmax = 658 lb/pulg2 que es el esfuerzo cortante máximo del poste. b) Diámetro del Poste Redondo Macizo: para el poste con sección transversal redonda maciza se aplica la otra vez la misma ecuación solo que sustituyendo V por P y a r por d0/2 4 P τmax = ------------------- 3 π (d0/2)2 Despejando a d0: 16 P 16 (1500 lb) d0

2 = ----------------- = ---------------------------- = 3.87 pulg2 3 π τmax 3 (π) (658 lb/pulg2) d0 = 1.97 pulg

3.10 Esfuerzos Cortantes en las almas de Vigas con Patines Cuando una viga de patín ancho esta sometida a fuerzas cortantes y a momentos flexionantes (flexión no uniforme) se desarrollan esfuerzos normales y cortantes en sus secciones transversales. La distribución de los esfuerzos cortantes en una viga de patín ancho es mas complicada que en una viga rectangular; por ejemplo los esfuerzos cortantes en los patines de la viga actúan tanto en dirección vertical como en dirección horizontal (direcciones y y z) como indican las flechas en la figura. Los esfuerzos cortantes en el alma de una viga de patín ancho, actúan solo en la dirección vertical y son los mayores que los esfuerzos en los patines. Estos esfuerzos pueden encontrarse con los procedimientos usados para hallar los esfuerzos cortantes en vigas rectangulares. 3.10.1 Esfuerzos Cortantes en el Alma Comencemos el análisis determinando los esfuerzos cortantes en el nivel ef en el alma de una viga de patín ancho. Plantearemos las mismas hipótesis que para el caso de una viga rectangular, es decir: 1- supondremos que los esfuerzos cortantes actúan paralelos al eje 2- que se distribuyen de manera uniforme a través del espesor del alma.

Nota del ejemplo: Muy pocas veces los esfuerzos cortantes de diseño de las vigas redondas o rectangulares fabricadas por metales o como el acero o el aluminio son los que determinan el diseño. Los esfuerzos por cortantes permisibles en estos materiales esta entre los limites aproximados del 25 al 50% del esfuerzo permisible de tensión. Por lo tanto a medida que aumenta la carga, se alcanzara el esfuerzo admisible a la tensión mucho antes de alcanzar el esfuerzo admisible al cortante. Un caso muy distinto seria con materiales débiles al corte, como la madera. Para una viga normal de madera el esfuerzo permisible en corte horizontal esta entre el 4 y el 10% del esfuerzo permisible de flexión. En consecuencia aunque el esfuerzo cortante máximo tenga un valor relativamente bajo es a veces quien determina el diseño.

Entonces la formula τ = VQ/I b aun es aplicable; sin embargo el ancho b es ahora el espesor t del alma y el área utilizada al calcular el momento estático Q es el área entre la línea ef y el borde superior de la sección transversal (área sombreada en el dibujo). Al obtener el momento estático Q del área sombreada, despreciaremos los efectos de los pequeños filetes en la unión del alma y patines (puntos b y c). Después dividiremos el área sombreada en dos rectángulos. El primer rectángulo es el patín superior cuya área es: donde b es el ancho del patín, h es el peralte total de la viga y h1 es la distancia entre los paños interiores de los patines. El segundo rectángulo es la parte del alma entre ef y el patín; es decir, el rectángulo efcb, cuya área es:

En donde t es el espesor del alma y y1 es la distancia del eje neutro a la línea ef Los momentos estáticos de las área A1 y A2, evaluados respecto al eje neutro, se obtienen multiplicando estas áreas por la distancias desde sus respectivos centroides al eje z. Al sumar estos dos momentos estáticos se obtiene el momento estático Q del área combinada.

Al sustituir la A1 y la A2 de la ecuación y luego simplificarla tendremos

Por tanto, el esfuerzo cortante τ en el alma de la viga a la distancia y1 del eje neutro es:

En donde el momento de inercia de la sección transversal es

3.10.2 Esfuerzos Cortantes Máximos y Mínimos El esfuerzo cortante máximo en el alma de una viga de patín ancho se presenta en el eje neutro donde y1 = 0 y el esfuerzo cortante mínimo se manifiesta donde el alma encuentra los patines (y1 = ± h1/2). Las formulas para estos esfuerzos serian:

En el grafico (que repetimos aquí) están marcados τmax y τmin. Para vigas compuestas de patín ancho, el esfuerzo máximo en el alma es entre un 10 y un 60% mayor que el esfuerzo mínimo.

El esfuerzo τmax no es solo el cortante máximo en el alma sino que también es el esfuerzo cortante máximo en cualquier parte de la viga. 3.10.3 Fuerza Cortante en el Alma La fuerza cortante vertical tomada nada mas por el alma puede determinarse multiplicando el área del diagrama de esfuerzos cortantes por el espesor t del alma. El diagrama de esfuerzos cortantes consta de dos partes, un rectángulo de área h1τmin y un segmento parabólico del área. 2/3 (h1) (τmax - τmin) Si sumamos ambas áreas, y multiplicamos por el espesor t del alma, combinamos términos y obtenemos la fuerza cortante total en el alma. th1 Valma = ------ (2τmax + τmin) 3 Para vigas de proporciones habituales, la fuerza cortante en el alma es entre 90 y 98% de la fuerza total cortante total V sobre la sección transversal; los patines toman el resto del cortante.

Como el alma resiste la mayoría de la fuerza cortante, a menudo los ingenieros aproximan el cálculo del valor del esfuerzo cortante máximo dividiendo la fuerza cortante total entre el área del alma. El resultado es el esfuerzo cortante promedio en el alma, suponiendo que el alma toma toda la fuerza cortante

Para vigas típicas de patín ancho, el esfuerzo promedio calculado de esta manera esta dentro del 10% (más o menos) del esfuerzo cortante máximo calculado con la ecuación. Así pues, esta última ecuación ofrece una manera simple de estimar el esfuerzo cortante máximo.

Ejemplo 13 Una viga de patín ancho esta sometida a una fuerza cortante vertical V = 45 kN. Sus dimensiones transversales b = 165 mm, t = 7.5 mm, h = 320 mm y h1 = 290 mm. Calcular los esfuerzos cortantes máximos y mínimos y la fuerza cortante total en el alma (ignore las áreas de los filetes en sus cálculos) Solución: Esfuerzos Cortantes máximos y mínimos: estos esfuerzos lo calcularemos con las siguientes formulas:

Pero para utilizar esta ecuación primero es necesario encontrar el momento de inercia del área transversal de la viga con la siguiente ecuación: I = 1/12 (bh3 – bh1

3 + th13) = 130.45 x 106 mm4

Con este valor sustituimos a I como también los valores de la fuerza de corte V y las dimensiones en las ecuaciones y obtenemos los siguientes resultados: τmax = 21.0 MPa τmin = 17.4 Mpa

En este caso, la relación de τmax con τmin es de 1.21; es decir, el esfuerzo máximo en el alma es 21% mayor que el mínimo. Fuerza cortante Total: La fuerza cortante en el alma se calcula con la ecuación th1 Valma = ------ (2τmax + τmin) = 43 kN 3 Como pueden ver con este resultado el alma de esta viga resiste el 96% de la fuerza cortante total y el esfuerzo cortante promedio en el alma de la viga será V τprom = ------ = 20.7 MPa th1 que es solo el 1% menor que el esfuerzo máximo.

Ejemplo 14 Una viga con sección transversal en forma de T esta sometida a una fuerza cortante vertical V = 10,000 lb. Las dimensiones de la sección transversal son b = 4 pulg, t = 1.0 pulg, h = 8.0 pulg y h1 = 7.0 pulg. Determine el esfuerzo cortante τ1 en la parte superior del alma (nivel nn) y el esfuerzo cortante máximo τmax (desprecie las áreas de los filetes).

Solución: Posición del Eje Neutro: El eje neutro de la viga T se localiza calculando las distancias entre c1 y c2 desde la parte e inferior de la viga al centroide de la sección transversal. Dividamos primero la sección transversal en dos rectángulos, el patín y el alma. Luego calculemos el momento estático Qaa de esos dos rectángulos con respecto a la línea aa en la parte inferior de la viga. La distancia c2 es igual a Qaa dividido entre el área A de toda la sección transversal. Los cálculos serian:

El momento de inercia I de toda el área de la sección transversal (con respecto al eje neutro) puede encontrarse determinando el momento de Inercia Iaa respecto a la línea aa en la parte inferior de la viga y luego utilizar el teorema de los ejes paralelos. I = Iaa – Ac2

2

Los cálculos son: bh3 (b – t) h1

3 Iaa = ------- - ---------------- = 339.67 pulg4 Ac2

2 = 270.02 pulg4 3 3 I = 69.65 pulg4 Esfuerzo Cortante en la parte superior del alma: Para encontrar el esfuerzo cortante τ1 en la parte superior del alma (a lo largo de la linean n) necesitamos calcular el momento estático Q1 del área arriba del nivel nn. Este momento estático es igual al área del patín multiplicado por la distancia del eje neutro al centroide del patín. h - h1 Q1 = b(h – h1) (c1 - ---------- ) 2 8 pulg – 7 pulg Q1 = (4pulg) (8 pulg – 7 pulg) (3.045 – (----------------------) 2 Q1 = (4) (1) (3.045 -0.5) = 10.18 pulg3

PRACTICA No 4 Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Gere; haga los siguientes ejercicios Pagina 366 ejercicios No. 5.4-1, 5.4-2, 5.4-3, 5.4-5,5.4-5 Pagina 367 ejercicios No 5.4-6, 5.5-1, 5.5-2, 5.5-3 Pagina 368 ejercicios No 5.5-4, 5.5-5, 5.5-6, 5.5-7, 5.5-8 Pagina 369 ejercicios No 5.5-9, 5.5-10, 5.5-11, 5.5 -12, 5.5-13 Pagina 370 ejercicios No 5.5-14, 5.5-15, 5.5-16, 5.5-17, 5.5-18, 5.5-19 Pagina 372 ejercicios No 5.6-1, 5.6-2, 5.6-3, 5.6-4, 5.6-5 Pagina 373 ejercicios No 5.6-6, 5.6-7, 5.6-8, 5.6-9 Pagina 374 ejercicios No 5.6-10, 5.6-11, 5.6-12, 5.6-13, 5.6-14 Pagina 375 ejercicios No 5.6-15, 5.6-16, 5.6-17 Pagina 376 ejercicio No 5.7-1

Si calculáramos el momento estático del área por debajo del nivel nn, deberíamos de obtener exactamente el mismo resultado. h1 Q1 = t h1(c2 - ------) = (1 pulg) (7 pulg) (4.955 – 7/2) = 10.18 pulg3 2 Se sustituyen los valores en la formulan del cortante y: VQ1 (10,000 lb) (10.18pulg3) τ1 = ---------- = -------------------------------- = 1,460 lb/pulg2 I t (69.65 pulg4) (1 pulg) Este esfuerzo existe tanto como esfuerzo cortante vertical sobre la sección transversal y como un esfuerzo cortante horizontal sobre el plano horizontal entre el patín y el alma. Esfuerzo Cortante Máximo: El esfuerzo cortante máximo ocurre en el alma al nivel del eje neutro; por tanto, calculamos el momento estático Qmax del área transversal debajo del eje neutro. Qmax = t c2 (c2/2) = (1 pulg) (4.955 pulg) (4.955pulg/2) = 12.28 pulg3 Como se indico, obtenemos el mismo resultado si calculamos el momento estático del área arriba del eje neutro, pero esos cálculos serian un poco más largos. Sustituyendo en la formula del cortante V Qmax (10,000lb) (12.28 pulg3) τmax = --------------- = --------------------------------- = 1,760 lb/pulg2 I t (69.65 pulg4) (1 pulg) Que es el esfuerzo cortante máximo en la viga

Pagina 377 ejercicios No 5.7-2, 5.7-3 Pagina 378 ejercicios No 5.7-6, 5.7-7, 5.7-8 Pagina 379 ejercicios No 5.8-1, 5.8-2, 5.8-3,5.8-4,5.8-5, 5.8-6 Pagina 380 ejercicios No 5.8-7, 5.8-8, 5.8-10 Pagina 381 ejercicio No 5.9-1 Pagina 382 ejercicio No 5.9-2, 5.9-3 Pagina 383 ejercicios No5.10-1, 5.10-2, 5.10-3,5.10-4, 5.10-5, 5.10-6, 5.10-7, 5.10-8, 5.10-9 Pagina 384 ejercicios No 5.10-10, 5.10-11, 5.10-12, 5.10-13