• Salvador cazares velazquez

registro:9310067

INGENIERIA INDUSTRIAL

ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALESDIFERENCIALES

CONCEPTOS BÁSICOS DE ECUACIONES CONCEPTOS BÁSICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALESDIFERENCIALES

INTRODUCCIONINTRODUCCION

• Las ecuaciones diferenciales aparecen de manera natural en muchas áreas de las ciencias y de las humanidades.

• Algunos de las aplicaciones donde se presentan las E.D. son por ejemplo: en la detección de falsificaciones en artículos de arte, diagnóstico de diabetes, y diseminación de la gonorrea. Etc.

DEFINICIÓN. ECUCACIÓN DIFERENCIALDEFINICIÓN. ECUCACIÓN DIFERENCIAL

• Llamamos ecuación diferencial a cualquier ecuación en la que aparecen relacionadas:

una o varias variables independientes.

una variable dependiente de ella o ellas.

las derivadas de esta última con respecto a una o mas variables independientes.

EJEMPLOSEJEMPLOS

dy

+ y²= x²dx

dy+ y = x

dx

∂²u= 0

∂y²

∂²u+

∂x²

QUÉ ES ORDEN?QUÉ ES ORDEN?

• Se le llama orden de una ecuación diferencial al orden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.

A QUE SE LE LLAMA GRADO?A QUE SE LE LLAMA GRADO?

• Se le llama grado de una ecuación diferencial al exponente, si es un número natural, al que está elevada la derivada de mayor orden que aparece en ella.

• Si esta derivada está elevada a un exponente no natural, no es posible definir el grado de la ecuación.

CLASIFICACIÓN de ecuaciones diferencialesCLASIFICACIÓN de ecuaciones diferenciales

• Según el tipo se clasifican en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.)

Ecuaciones diferenciales parciales (E.D.P.)

E. D. O.E. D. O.

• Esta ecuación diferencial contiene derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

• Ejemplo:

dy+ y = x²

dx

dy+

dx

dz= 0

dx

E. D. P.E. D. P.• Llamamos Ecuación Diferencial Parcial a aquella donde

la función incógnita depende de varias variables independientes.

• Por tanto en una ecuación diferencial de este tipo aparecen las derivadas parciales de la función incógnita respecto de las variables independientes.

• Ejemplo:

∂²u+

∂x²

∂²u+

∂y²

∂²u

∂z²= 0

CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDENCLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN

• Según el orden se clasifican en ecuaciones diferenciales de primer, segundo y tercer orden, etc., según sea la mayor derivada que aparezca en la expresión.

• Ejemplo:• F (x, y, y´)=0 primer orden• F (x, y, y´, y´´)=0 segundo orden• F (x, y, y´, y´´,y´´´)=0 tercer orden• n• F (x, y, y…..y )=0 orden a la n

SEGÚN EL GRADOSEGÚN EL GRADO

Según el grado se clasifican en lineales (E. D. L.)

y no lineales (E. D. N. L.), siempre y cuando la

ecuación diferencial esté dada en forma de

Polinomio.

E. D. LE. D. L

• Tiene dos características que las distinguen del resto:

a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado.

b) Los coeficientes de la variable y y de sus derivadas dependen solo de la variable independiente x o bien todas sus constantes.

• Ejemplo de EDL:

d³y+4

dx³

d²y+ x

dx²

dy -y = x³

dx

E. D. N. L.E. D. N. L.

• Son aquellas que no cumplen con las propiedades lineales.

DEFINICIÓN DE SOLUCIÓNDEFINICIÓN DE SOLUCIÓN

• Solución de una E.D. es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad.

SOLUCION GENERALSOLUCION GENERAL

• Llamamos solución general de una ecuación diferencial al conjunto de todas las funciones que verifican dicha ecuación.

SOLUCION PARTICULAR• La solución particular de una ecuación

diferencial es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICAINTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

• Una ecuación de primer orden y de primer grado determina una sola pendiente en cada punto y por consiguiente, solamente pasa una curva por ese punto.

• Una ecuación de segundo grado determina en general dos pendientes y por consiguiente, pasan dos curvas por cada punto.

• El grado de una ecuación de primer orden indica así el número de curvas que pasan por un punto, aunque es posible que no sean todas distintas o reales.

TRAYECTORIAS ORTOGONALESTRAYECTORIAS ORTOGONALES

Son las curvas que se intersecan formando ángulo recto. Si dos curvas son ortogonales en un punto, sus tangentes son perpendiculares en el punto de intersección.

• Ejemplo:x²+2bx +y² = 0

CAMPO DIRECCIONALCAMPO DIRECCIONAL

La terna (x,y,y’) determina la dirección de una recta que pasa por el punto(x,y). El conjunto de los segmentos de estas rectas es la representación geométrica del campo direccional.

Ejemplo:

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICASREFERENCIAS BIBLIOGRAFICASEcuaciones diferenciales y sus aplicaciones

M. Braun

Editorial Iberoamericana

Métodos clásicos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias

Juan Luis Varona Malumbres

Universidad de la Rioja Editorial II

Ecuaciones Diferenciales

H. B. Phillips

Editorial Hispano Americana

Ecuaciones Diferenciales

Ignacio Acero/Mariló López

Editorial Alfaomega

Ecuaciones Diferenciales

Isabel Carmona

Editorial Pearson