REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

EXTENSIÓN PORLAMAR

OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS Y FUNCIONES

Alumno: Stalin Meza

C.I.: V-17.090.049

Método de Lagrange

¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que puede tener una la función

, sobre el círculo ?

Solución:

Se pide calcular los valores extremos de la función

sujeta a la restricción

Calculamos los gradientes:

Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse:

Partiendo de la ecuación Nº 1 se tiene:

xx 22 ……ec nº 1

yy 24 ……ec nº 2

122 yx ……ec nº3

22 2, yxyxf

xx 22 022 xx

012 x

entonces se verifican estos dos valores en las otras ecuaciones.

Si x=0 en la ec nº4 se obtiene:

Luego si , en la ec nº2 se tiene y=0, y luego en la ec nº3,

Como consecuencia tal vez tiene valores extremos en los puntos:

(0,1)

(0,-1)

(1,0)

(-1,0)

Al evaluar a en esos cuatro puntos se encuentra que:

Por consiguiente, hay dos valores máximos en los puntos (0,1); (0,-1) y dos valores mínimos en los puntos: (1,0) y (-1,0).

0x y 1 ,

Método de Jacobiano

Dado el sistema de ecuaciones

12x1+5x2-x3=15

X1-6x2-4x3=9

2x1-3x2+8x3=5

Con valores iniciales x1= 1 , x2= 3 , x3= 2

Solución:

Se chequea si la matriz es diagonalmente dominante, si todas las desigualdades se cumplen la solución

debe converger por este método.

12 5 -1

1 -6 -4

2 -3 8

12 >= 5 + -1 = 6

-6 >= 1 + -4 = 5

8 >= -2 + -3 = 5

5

9

15

x

x

x

8-32

-4-61

1512

3

2

1

12

515 32

1

xxx

-6

49 31

2

xxx

8

325 21

3

xxx

Despejamos x1 de la ecuación 1, x2 de 2 y x3 de 3.

Para los valores iniciales;

X1=1

X2= 3

X3=2

12

5151

2(3)x

= 0.1666

-6

492

(2)1x

= -2.6666

8

325 1

3

(3)(1)x

= 1.50

Iteración # 1

X1=0.1666

X2=-2.6666

X3=1.125

Ahora calculamos el error absoluto relativo aproximado:

%5001001

a

0.16666- 1

0.16666

%212.501002

a

2.6666-3

2.6666

%33.331003

a

1.50-2

1.50

El máximo error absoluto relativo aproximado después de la primera iteración es 86%.

Sean:

- la función objetivo :

- Las restricciones :

Supondremos que tanto la función objetivo como las restricciones son

diferenciables. Vamos a considerar el siguiente problema de optimización:

Donde

Definición: Diremos que x verifica KT si existe un λ tal que:

Kuhn Tucker

Tenemos los siguientes resultados: