s6- Rectas en El Espacio_2015-II (2)

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    GEOMETRÍA ANALÍTICA YALGEBRA

    RECTAS EN EL ESPACIO

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    La importancia de las rectasse puede ver a través decasos de estudio, como porejemplo en la imagen sepuede ver: una cámara, una

    lámina y un foco, y notar quese forma unas rectas en elespacio a través de laproyección de la luz de lacámara hacia una lámina y

    sobre la esfera.. !"ómo encontrar la ecuación vectorial de dicharecta#

    $. !%ué tipos de ecuaciones posee una recta en elespacio#

    OBSERVEMOS LAIMAGEN.

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    • &istancia entre dos puntos en elespacio

    • 'esolución de ecuacioneslineales.

    • (roducto escalar y vectorial devectores.

    Recordar

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    OBJETIVOS)l *nalizar la clase el alumno será capaz de:. 'epresentar de manera vectorial, paramétrica

    y simétrica una recta en el espacio.

    $. +denti*car cuando dos o más rectas del

    espacio son paralelas, perpendiculares, etc.

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    COORDENADAS EN EL ESPACIO DEUN VECTOR

    -, y, z son las coordenadas de (respecto delsistema de referencia /.

    0ector de posición de (

    1rigen de coordenadas

    [→OP] = x .

    →i + y .

    → j + z .

    →k 

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    EJES COORDENADOS. PLANOS COORDENADOS

    • Los planos 123, 134 y142 se denominan

    planos coordenadosdel sistema dereferencia.

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    COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE

    Las coordenadas de un vector libre se obtienen restando las

     coordenadas del punto P de las correspondientes de Q.

     

    •→PQ =

    →OQ –

    →OP

    • [→PQ] =

    →OQ –

    →OP = (b – a, b' – a' , b" – a")

    • Los puntos P y Q dete!inan e" #e$to %ijo →PQ 

    •→OP +

    →PQ =

    →OQ

    u PQ=r uuur

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    COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

    ! =→

    a +→

    &' =→

    a +

     

    &* =

    =→a +

     (

    → b – 

    →a ) =

     (

    →a +

    → b )

     

    x! =

     (x + x)

    y! = (y + y)

    z! =

     (z + z)

     

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    DETERMINACIÓN DE UNA RECTA. ECUACIÓN VECTORIAL

    •  na e$ta #iene dete!inada po un punto

    y una die$$in- La die$$in est.

    !a$ada po un #e$to "ibe→u ""a!ado

    vector director -

    •  n punto / est. en "a e$ta si y s"o si→

    P/

    y→u son popo$iona"es0 [

    →P/] = t -

    →u

    • 

    1i→ p es e #e$to de posi$in de P,

    →x es

    e #e$to de posi$in de /, 2ueda.0

    →x –

    → p = t -

    →u es de$i0

    →x =

    → p + t -

    →u

    La expesin→x =

    → p + t -

    →u $on t ∈ 3 es "a ecuación vectorial de "a e$ta 2ue

     pasa po P y ta" 2ue→u es un #e$to die$to de "a !is!a-

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    DETERMINACIÓN DE UNA RECTA: ECUACIONESPARAMÉTRICAS

     

    Las ecuaciones paramétricas de a e$ta 2ue pasa po P(xo, yo, zo) y 2ue tiene

     po #e$to die$to→# (#, #, #4) son

    x = xo + t-#y = yo + t-# 

    z = zo + t-#4

     

    x = xo + t-#(y = yo + t-#) 

    z = zo + t-#4

     

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    ECUACIONES DE LA RECTA EN FORMACONTINUA

     

    Las ecuaciones en forma continua de "a e$ta 2ue pasa po P(xo, yo, zo) y 2ue

    tiene po #e$to die$to→# (#, #, #4) son0

    x – xo#

     = y – yo

    # = z – z

    o

    #4 

    Las ecuaciones paramétricas de a e$ta 2ue pasa po P(xo, yo, zo) y 2ue tiene

     po #e$to die$to→# (#, #, #4) son

    x = xo + t-#y = yo + t-# 

    z = zo + t-#4

     

    5espejando t en $ada una de eas e i6uaando, obtene!os as e$ua$iones de a

    e$ta 2ue no dependen de nin67n pa.!eto-

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    ECUACIONES DE LOS EJES EN FORMA: VECTORIAL, PARAMÉTRICA Y CONTINUA

    Vectorial Paramétrica Continua

    8je O/   →x = t→

    ix = t

    y = 9

    z = 9 

    x

     =

    y

    9 =

    z

    9

    8je O:   →x = t→

     jx = 9

    y = t

    z = 9 

    x

    9 =

    y

     =

    z

    9

    8je O;   →x = t→

    k x = 9

    y = 9

    z = t 

    x

    9 =

    y

    9 =

    z

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    ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA PORDOS PUNTOS

    La recta r queda determinada por la

    siguiente determinación lineal: r),

    )5 ó r5, )5

    → →a, a$, a6

    b, b$, b6

    (or tanto la ecuación de la rectaserá:

    -, y, z 7 a, a$, a6 8 t b9a, b$9a$,b69a6 

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    EJEMPLO 1: allar las ecuacionesparamétricas y simétricas para la recta L que

    pasa por el punto (, ;$,

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    EJEMPLO 3: &eterminar tres vectores quesean paralelos a la recta:  x = < 8 ?t, y = 9< 8

    >t, z = 9 6t  

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    POSICIONES RELATIVAS DEDOS RECTAS

    Las rectas tienen todossus puntos comunes

    'ectas coincidentes

    1. RECTAS PARALELAS:

    /ean las rectas:

     dice que son paralelas si sus vectores directores son paral

    /@'0)"+AB: /i dos rectas son paralelas, entonces estas so

    incidentes o no se interceptan.

    Las rectas no tienenpuntos en comCn

    'ectas paralelas

    { }

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    EJEMPLO 4: &adas las rectas:

    @stablecer si son paralelas o coincidentes.

    { } ( ) ( 4) ?) ) (?4 @)

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    2. RECTAS PERPENDICULARES:

    /ean las rectas:

    e dice que son perpendiculares si sus vectores directoreson perpendiculares.

    EJEMPLO 5: &adas las rectas:

    @stablecer si son perpendiculares.

    { }

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    ÁNGULO ENTRE DOSRECTAS

    { }9  sS P tu t R= + ∈uur

    { }9 r  R P tu t R= + ∈uur

    θ 

    -$os-

     s r 

     s r 

    u u

    u u

    θ   −   ÷=

    ÷  

    uur uur

    uur uur

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    EJEMPLO 6: &adas las rectas:

    "alcular la medida del ángulo entre ellas.

    { } ( ) (94) )

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    ATOEVALACI!N

    . allar la ecuación vectorial de la recta que pasa por elpunto medio de )7 ,, F.

    $. allar la ecuación paramétrica de la recta L, que

    pasa por 6, y es paralela al producto vectorial de)7 , 6, ;> y 57;6,, ,

    > >

     x t 

     L y t 

     z t 

    = +

    = − + = −