S520B

INTRODUCCION A LA REOLOGIA

Contenido

1. VISCOSIDAD 1.1. Introducción........................................................................................... 01 1.2. Esfuerzo de corte................................................................................... 02 1.3. Velocidad de deformación...................................................................... 02 1.4. Ley de Newton de la viscosidad............................................................. 04 2. REOLOGIA 2.1. Definición.............................................................................................. 05 2.2. Fluidos newtonianos............................................................................. 05 2.3. Fluidos no newtonianos........................................................................ 06

2.3.1. Comportamiento plástico......................................................... 08 2.3.2. Comportamiento pseudoplástico................................................ 08

2.4. Fluidos Viscoelásticos.................................................................... 11 3. VISCOSIMETROS 3.1. Consideraciones generales............................................................... 12 3.2. Teoría de Viscosímetros capilares....................................................... 13 3.3. Teoría de Viscosímetros rotacionales................................................... 16 3.4. Caso de los fluidos no newtonianos.................................................... 18 4. BIBLIOGRAFIA 21

Cuaderno FIRP S520B 1 Introducción a la Reología

1. VISCOSIDAD

1.1 INTRODUCCION

Para comprender mejor las complejas propiedades de flujo, consideramos la manera en que fluyen dos materiales comunes. Para asignar valores a las propiedades respectivas, recordemos que valores altos se refieren a una mayor resistencia al flujo. Así si preguntamos: ¿cuál tiene mayor viscosidad: la miel o la mayonesa?, los que responden que la mayonesa, argumentan que esta última no fluye en, por ejemplo, un recipiente invertido, mientras que la miel si lo hace. Aquellos que dicen que la miel, argumentan que es más difícil batir un vaso con miel que uno con mayonesa.

Esta no es una paradoja, es simplemente la evidencia de que hay más para discutir en lo relacionado a la viscosidad.

Entonces, ¿qué es la viscosidad? Simplemente digamos que es la resistencia a fluír de un material.

Para medir y describir precisamente el flujo de un material es necesario confinarlo, hacer que ocurra el flujo por medios mecánicos, medir la fuerza requerida para ello y convertir las fuerzas medidas a valores específicos que puedan ser comparados con otros.

El principio involucrado es el siguiente: imaginemos un plato cuadrado, metálico, anclado (para evitar su movimiento) y cubierto con una capa delgada de grasa. Ahora imaginemos otro plato del mismo tamaño que el primero, colocado sobre la superficie opuesta de la capa de grasa a una distancia h. Para deslizar el plato superior se debe aplicar sobre él una fuerza (refiriéndonos a movimiento paralelo de los platos). (Fig. 1).

F

Vh

Plato Fijo

Plato Móvil

Fig. 1 Fuerza de cizalla entre dos planos paralelos

Una pequeña fuerza es suficiente para mover el plato en una distancia corta a una velocidad baja, pero si queremos moverlo a mayor velocidad se necesitará una fuerza mayor.

Por otro lado, se podría observar que es más difícil mover el plato con una capa de grasa delgada que con una gruesa. Así mismo un plato de mayores dimensiones será más difícil de mover para igual velocidad y espesor de grasa.


El asignar valores númericos a estos fenómenos, nos permite operar matemáticamente sobre estos y el asignar nombres a estas interacciones permite que sean objeto de discusión. 1.2. ESFUERZO DE CORTE

La fuerza F requerida para mover el plato superior se relaciona con el área en contacto con la sustancia y para llegar a una medida específica es necesario dividir la fuerza total necesaria para el movimiento por el área en contacto con la sustancia.

A esta relación se le denomina Esfuerzo de Corte (el movimiento entre planos es siempre referido como "corte" o "cizalla", en inglés "shear").

Las unidades usuales para la fuerza son la dina (1000 dinas equivalen al peso de 1 gramo aproximadamente), y para el área, el cm2. La fórmula sería:

€

τdinascm2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

F(dinas)A(cm2)

Las unidades análogas en el Sistema Internacional serían:

€

τNm2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

F(N)A(m2)

1.3. VELOCIDAD DE DEFORMACION O CIZALLAMIENTO:

El cizallamiento ejercido sobre el material es relacionado con la velocidad relativa de movimiento y la distancia entre platos (h en nuestro caso). A una velocidad, v, dada, mayor esfuerzo se requiere en una unidad de material cuando los platos están más cercanos. La medida específica de este trabajo por unidad de material es llamada velocidad o tasa de deformación o corte, y es definida como la velocidad relativa dividida por la distancia entre platos:

€

γ•

(s -1) = D =

€

v(cm/s)h(cm)

1.4. LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD

Hemos estudiado, en el ejemplo anterior, el efecto final de la fuerza aplicada sobre el plato, sin considerar el tiempo.

Supongamos ahora que el sistema esta inicialmente en reposo, y al cabo del tiempo t = 0, la lámina inferior de la Fig. 2 se pone en movimiento en la dirección x, con una velocidad v.

A medida que transcurre el tiempo el fluido gana cantidad de movimiento, y finalmente se establece el perfil de velocidad en régimen estacionario (fig. 2, a)-d). Una vez alcanzado dicho estado estacionario de movimiento, es preciso aplicar una fuerza constante F para conservar el movimiento de la lámina inferior.


τ < 0

τ = 0

τ pequeño

τ grande

γ

v

v

yx

Fluido inicialmente en reposo

Lámina inferior puesta en movimiento

Formación de la velociadad en flujo no estacionario

Distribución final de velocidad para flujo estacionario

V (y,τ)z

V (y)z

Figura 2. Desarrollo del perfil de velocidad

Para el flujo laminar se cumple:

FA = h

v y ó τ = η .

€

γ•

En esta ecuación la constante de proporcionalidad es la viscocidad (η) y del análisis dimensional resulta:

η (=) ML-1 t -1 En el sistema CGS: 1 dina.s/cm2 = 1 poise En el sistema SI : 1N.s/m2 = 10 poise En la práctica también se usa el centipoise: 1 poise = 100 centipoise (cP) En algunos casos debe utilizarse la viscocidad cinemática: Viscosidad cinemática (υ) = viscosidad (η) /masa volumétrica (ρ) cuya unidad en el sistema CGS es el Stokes: 1 Stokes = 1 poise/(1g/cm3) = dina.s.cm3. g-1. cm -2 = cm2. s-1 en el sistema SI: (=) m2. s-1


En la práctica, según los países y tipo de industria, existen otras unidades de viscosidad: segundos Saybold, segundos ASTM, unidades Brabender, grados Engler, segundos Reedwood…

Si retomamos la ecuación anterior encontramos que es conveniente describirla de una forma más explícita. El esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección "x" sobre la superficie del fluido, situada a una distancia constante "y", por el fluido existente en la región donde "y" es menor, se designa por τyx, y el componente "x" del vector velocidad del fluido, por "vx" De acuerdo con estos símbolos de ecuación queda:

τyx = - η dvxdy

Donde el signo "-" se puede explicar, para las coordenadas respectivas, según:

€

FA

= −η(0 − v)(y − 0)

Es decir, que la fuerza de cizalla por unidad de área es proporcional al gradiente negativo de

la velocidad local. Esta es la Ley de Newton de la viscosidad, y los fluidos que la cumplen se llaman fluidos newtonianos (todos los gases y la mayor parte de los líquidos sencillos, se comportan de acuerdo a esta Ley).

En las inmediaciones de la superficie que se mueve, donde y = 0, el fluido adquiere una determinada cantidad de movimiento en la dirección "x". Este fluido comunica, a su vez, parte de su cantidad de movimiento a la "capa" adyacente de líquido, dando lugar a que se mantenga en movimiento en la dirección "x". Por lo tanto tiene lugar una transmisión de cantidad de movimiento "x" a través del fluido en la dirección "y", y por consiguiente, τyx, puede interpretarse también como la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento "x" en la dirección "y".

El fenómeno que se estudia, se lo puede considerar como un proceso en el cual, planos paralelos infinitamente delgados se deslizan uno sobre otro como un paquete de cartas rígidas. (Ver Figura 3).

Figura 3 Idealización del deslizamiento entre planos


Esta interpretación está en íntima relación con la naturaleza de los fenómenos de transporte y transferencia, en los cuales el flujo de una variable extensiva es originado por la acción de un gradiente de potencial. Así mismo, este flujo es favorecido o restringido por la existencia de una mayor o menor conductividad, la cual es una propiedad intrínseca del material. Por ejemplo si consideramos la ley de Ohm, de la conductividad, tenemos:

Flujo de carga

Area = Conductividad x Diferencial de potencial

Longitud

Que relaciona la densidad de corriente (flujo de carga por unidad de área del conductor), con

el gradiente de potencial (campo eléctrico). Igualmente para la Ley de Fourier para la conductividad térmica, ley de Fick de difusión

molecular o la transferencia de masa en la que:

Flujo molarArea = Coef. transferencia x Gradiente de concentración

y para el caso que nos interesa, de la Ley de Newton, donde la fuerza (MLT -2), es un flujo de cantidad de movimiento o momento fuerza (MLT -1) y la viscosidad es la conductividad, en forma perpendicular a la dirección del flujo, de la cantidad de movimiento.

De acuerdo con la última expresión, se deduce que la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento sigue la dirección del gradiente negativo de la velocidad, es decir, que sigue la dirección de velocidad decreciente (de una región de alta velocidad a otra de baja velocidad).

El gradiente de velocidad puede considerarse, por consiguiente, como una "fuerza impulsora" de cantidad de movimiento. 2. REOLOGIA 2.1. DEFINICION Entendiendo como fluido aquella sustancia que no puede soportar un esfuerzo sin ponerse en movimiento, podemos decir que la reología es "la ciencia del flujo y la deformación", es decir, la rama de la física que estudia el comportamiento de los fluidos sometidos a diferentes tipos de esfuerzos. El campo de la reología se extiende desde la mecánica de los fluidos Newtonianos por una parte, hasta la elasticidad de Hooke por otra. Para tales estudios se usan aparatos llamados reómetros, que permiten cuantificar los parámetros inherentes al proceso, para así obtener, mediante gráficas adecuadas, la relación entre el esfuerzo y el cizallamiento. 2.2 FLUIDOS NEWTONIANOS Recordemos que cuando la viscosidad es constante, para cualquier valor de τ, el fluido recibe el nombre de Newtoniano.


La representación gráfica de τ vs.

€

γ•

de un fluido Newtoniano es una recta que pasa por el origen. (Fig. 4).

α

τ

γ

Newtoniano

Figura 4 Fluido newtoniano La pendiente es la viscosidad (η): η = tgα y la fluidez se define como: 1/η = 1/tg α

Por tanto, basta un par de valores (τ,

€

γ•

), para fijar sin lugar a dudas la posición de la recta y por tanto la viscosidad que depende sólo de la temperatura.

La relación τ = τ (T) entra en el campo de la reología físico-química, y de momento no vamos a estudiarla. Lo único que nos interesa señalar es que las variaciones de viscosidad con la temperatura son considerables, por ejemplo, en el aceite doméstico y por lo tanto, debe siempre acompañarse al valor de la viscosidad el de la temperatura. Así diremos, la viscosidad del agua a 47 ºC es tal o la de un aceite monomotor a 81 ºC es cual, etc.

Los fluidos (Newtonianos o no), también cambian su viscosidad con la presión. En aceites, por ejemplo, el incremento de viscosidad sigue aproximadamente una función exponencial respecto a la presión (factor a ser tomado en cuenta en el diseño de rodamientos, por ejemplo). 2.3. FLUIDOS NO NEWTONIANOS Son los que no cumplen con la Ley de Newton. Pueden clasificarse en tres grandes grupos: a) La ecuación que relaciona τ vs γ no es lineal: τ = τ (

€

γ•

)

b) τ es una función más o menos compleja de γ y eventualmente del tiempo: τ = τ (

€

γ•

,t)

c) El comportamiento reológico es el resultante de un sistema fluido (newtoniano o no), y un sistema elástico: fluidos viscoelásticos.


La complejidad reológica aumenta de a) a c).

Además estos grupos son ideales, pues con frecuencia existen fluidos reales complejos que son combinaciones de varios modelos reológicos.

En los fluidos no-newtonianos la temperatura tiene una enorme importancia ya que a menudo, pequeñas variaciones de temperatura pueden modificar notablemente el comportamiento reológico de un fluido de este tipo.

En los fluidos no-newtonianos no puede utilizarse el concepto de viscosidad por dos causas: a) En general, la consistencia (concepto análogo al de viscosidad, y que relaciona el esfuerzo de

corte con la tasa de deformación), depende de la presión tangencial, y, por lo tanto, no es constante sino que puede variar entre amplios límites. En oposición a la viscosidad que es siempre constante (a una temperatura dada).

b) Por otra parte, la consistencia tiene unas dimensiones diferentes de la viscosidad ya que no se

cumple: η = τ /

€

γ•

(para fluidos no-newtonianos)

Por esta razón los fluidos no-newtonianos se caracterizan por los reogramas, que son las representaciones gráficas de sus comportamientos, o bien por sus parámetros reológicos, que son las constantes de las ecuaciones que definen ese comportamiento reológico.

Tanto los reogramas como los parámetros reológicos se obtienen a partir de datos experimentales.

En general se traza primero el reograma, buscando un sistema de escalas que permita la linealización y, a partir de los datos gráficos, se calculan los parámetros reológicos. En muchos casos se utilizan solamente reogramas.

En los fluidos no-newtonianos se ha utilizado con frecuencia el concepto de viscosidad aparente que es la que tendría un fluido newtoniano cuya recta pasara por el mismo punto del reograma (Fig.5).

α

τ

γ

α

A

Figura 5 Viscosidad aparente y diferencial.


El fluido no newtoniano tiene en A, una viscosidad aparente:

ηap = tg α

La viscosidad aparente es un concepto que se presta a muchos errores como puede deducirse de la figura. No conviene, pues, usar ciertos aparatos para la medición de viscosidades en fluidos no-newtonianos.

Otro concepto utilizado es el de viscosidad diferencial que viene dado por el ángulo que forma la tangente a la curva, en un punto dado, con el eje de abcisas.

ηdif = tg α' 2.3.1 COMPORTAMIENTO PLASTICO

Los fluidos plásticos son aquellos que requieren de un esfuerzo inicial τo para iniciar la deformación (Fig.6)

τ

γ

A

το

Figura 6 Reograma para un fluido plástico

El reograma mostrado en la figura se refiere a un comportamiento plástico ideal. En este caso

si la tensión de cortadura aplicada es inferior a τo, el producto se comporta como un sólido. Sí es superior a τo se comporta como un fluido newtoniano.

El caso anterior es el llamado fluido plástico ideal o de Bingham, donde la ecuación de Newton se transforma en la de Bingham:

τ = τo + η . D

Esta ecuación corresponde a muchas suspensiones concentradas de sólidos. 2.3.2. COMPORTAMIENTO PSEUDOPLASTICO Corresponde a sistemas fluidos en los que no existe tensión de cortadura umbral. Gráficamente serán curvas que pasan por el origen (Fig.7). Se han propuesto, varios modelos matemáticos para estos sistemas, sin embargo, no hay ninguno que incluya a todos.


Figura 7 Reograma para un fluido pseudoplástico

2.3.2.1. Ecuación de Ostwald de Waele o ley de la potencia

τ = k (

€

γ•

) m ó log τ = log K + m log

€

γ•

donde k es el índice de consistencia (o viscosidad aparente a 1 s -1) y m es el índice de fluidez. Sí m = 1 el fluido es newtoniano Sí m < 1 es pseudoplástico Sí m > 1 es dilatante La viscosidad aparente ηap se define por: τ = ηap

€

γ•

ó ηap = k

€

γ• m-1

La ecuación de Ostwald es sencilla y sirve para interpolar. Tiene el incoveniente que en el origen de coordenadas

€

γ•

→ 0 y τ → 0 y por tanto ηap. está indetermiando

Normalmente se trabaja con escalas logτ vs. log

€

γ•

, en los cuales se obtienen reogramas lineales (Fig. 8).

log γ

log k

m

Figura 8 Reograma para un fluído pseudoplástico en escala log-log


Las emulsiones o suspensiones presentan a menudo un comportamiento pseudoplástico. Tal comportamiento se caracteriza por una disminución de la viscocidad a medida que el cizallamiento aumenta.

Desde el punto de vista físico esto significa que la resistencia a fluir disminuye cuando la velocidad de derrame aumenta.

Esto proviene obviamente de la forma en que se orientan las heterogeneidades contenidas en fluidos complejos como dispersiones y emulsiones.

El índice de fluidez para emulsiones crudo-agua a menudo está en el rango 0.2-0.6, y tiende a disminuir cuando la concentración de fase dispersa aumenta.

En la fig. 9 se presenta un ejemplo de un reograma log-log, donde se observa un ajuste al comportamiento pseudoplástico (líneas experimentales con pendientes menores que la de líneas punteadas correspondientes a fluidos newtonianos)

Figura 9 Comportamiento reológico de emulsiones crudo-agua (Bracho 1982) 2.3.2.2. Otras ecuaciones Entre otros tenemos los siguientes ajustes: —Ecuación de Steiger-Ory:

€

γ•

= a τ3 + cτ

con a y c constantes positivas; usada para valores medios y bajos de τ —Ecuación de Ellis:

€

γ•

= (vo + v1 τn-1) τ = voτ + v1τn

con n > 1 y vo, v1 constantes.

Observese que cuando: v1 = 0, es la Ec. de Newton, cuando n = 3, la Ec. de Steiger Ory y v0 = 0, la Ec. de Ostwald. Esta ecuación no se rectifica en gráficos log-log. Para el cálculo de parámetros se usa un sistema de 3 ecuaciones.


—Ecuación de Eyring: τ = A . Arcsenh [(1/B)

€

γ•

]

Este modelo de dos parámetros deriva de la teoría cinética de los líquidos. El modelo de Eyring predice el comportamiento pseudoplástico para valores finitos de τ, y tiende asintóticamente a la ley de viscosidad de Newton cuando τ tiende hacia cero, siendo en este caso η = A/B. A continuación se presenta un sumario de algunos comportamientos de flujo (Fig. 10).

Fig. 10 Modelos reométricos

2.4. FLUIDOS VISCOELASTICOS:

Son los formados por la suma de un componente elástico que absorbe la energía aplicada, transformándola durante la deformación en energía potencial, de forma que cuando esta cesa, la deformación vuelve a su estado inicial, y un componente viscoso, que absorbe la energía aplicada transformándola en calor y fluyendo.

Las emulsiones o slurries con alto contenido de fase interna presentan una cierta rigidez y pueden por lo tanto exhibir un comportamiento, en algo, semejante a la elasticidad de los sólidos. Los fluidos viscoelásticos presentan a la vez un comportamiento viscoso (newtoniano o no) y un comportamiento elástico (hookeano o no). En régimen transitorio, como por ejemplo en las operaciones de bombeo, tales fenómenos pueden volverse determinantes.


3. VISCOSIMETROS 3.1. CONSIDERACIONES GENERALES Según la geometría del sistema y de la parte móvil, los aparatos de medida se clasifican en:

a) Viscosímetros capilares: Aparatos basados en el movimiento laminar del fluido en el interior de un capilar. b) Viscosímetro de placas deslizantes: Aparatos basados en el cizallamiento de un fluido entre placas paralelas. c) Viscosímetros de caída de bola: Ya sea libre, forzada o en tubo inclinado. d) Viscosímetros coaxiales con movimiento axial e) Viscosímetros de cinta. f) Viscosímetro rotatorio Couette: Aparato basado en el movimiento rotatorio del líquido entre dos cilindros coaxiales: mientras uno gira se mide el par de torsión en el otro. g) Viscosímetro rotatorio Stormer: En el que se mide la velocidad a la que gira un cilindro interno sometido a una tensión dada. h) Viscosímetro rotatorio normal: En el que la medida se efectúa por reacción entre un cilindro interno rotatorio y un externo fijo. i) Viscosímetro Brookfield: Medida por la reacción de un cilindro que gira dentro del líquido sin ninguna superficie coaxial próxima. j) Reogoniómetros: Medida simultánea del par de reacción de un cono que gira sobre una placa y de la presión que el fluido ejerce normalmente a la misma. k) Viscosímetros ultrasónicos: Se basan en la alteración de un haz de ondas ultrasónicas en el interior del fluido.

Para la elección del tipo de aparato más adecuado conviene tener en cuenta que no existe

ningún aparato universal que sirva para todo tipo de fluidos. (Téngase en cuenta que los fluidos newtonianos pueden tener viscosidades comprendidas entre 10-5 y 1014 Poises). Por ello debe considerarse: 1.- Objeto de la medida: —Control de materias primas —Control de productos intermedios —Control de productos acabados —Investigación, etc.


2.- Zona del diagrama reológico que interesa: —Bajas viscosidades —Alto esfuerzo cortante, etc. Los factores para la decisión comprenden: —Tipo de fluido —En no newtonianos, zona del diagrama reológico a explorar. —Precisión necesaria —Número de medidas al día

—Costo de mano de obra: preparación, medida, limpieza, interpretación de datos… —Costo de mantenimiento y recalibración

Con los factores señalados, se puede fijar el tipo de viscosímetro. Para la marca, hay que tener en cuenta el precio, servicio de asistencia post-venta, etc. 3.2. TEORIA DE LOS VISCOSIMETROS CAPILARES Partimos de las siguientes hipótesis simplificatorias: —El líquido es incomprensible —El movimiento del líquido es laminar —La línea de desplazamiento es paralela al eje del tubo —El movimiento es en estado estacionario —No existe deslizamiento en la pared —Tubo capilar con diámetro mucho menor que la longitud (Ver. Fig. 11)

Figura 11 Viscosímetros capilares


Sea P la presión sobre el líquido en dinas/cm2, R el radio en cm y L la longitud en cm. El esfuerzo total sobre el líquido es = (π R2) P La superficie lateral del tubo es = 2 π RL Por lo tanto, sí hacemos un balance de fuerza tenemos

π R2 P1 - π R2 P2 - τR (2 π RL) = 0 ó τR = ∆P R/2L Con τR el esfuerzo de corte en la pared del capilar (r = R) y en general: τrz = r ∆P/2L (para cualquier radio r) Es decir: τ rz = τR (r/R)

Sí en un punto a una distancia r del centro, tenemos una velocidad v en la dirección z, y en otro punto a una distancia r+dr tenemos una velocidad v-dv, entonces: τ = f(

€

γ•

), con

€

γ•

= - dv/dr

El caudal será:

€

Q = vrdrdθ0

R∫0

2π∫ = 2π v rdr =

0

R∫ π v d r2( )0

R∫

usando la derivada del producto de la velocidad v por r2 → d(vr2) = v d(r2) + r2 dv entonces

€

Q = π d vr2( ) − π r2dv0

R∫0

R∫

Al integrar entre r=0 y r=R con las condiciones de borde vr2 = 0 en ambos casos entonces

€

Q = −π r2dv0

R∫ = πr2dr dv

dr0

R∫

Sí el fluido es newtoniano: η = τ/

€

γ•

= (r ∆P/2L)/(-dv/dr) Al integrar esta última ecuación nos queda que para la velocidad en dirección z: v = (∆ P/4 ηL) (R2 - r2) (Distribución parabólica de velocidad) Y por otro lado, sustituyendo en la expresión del caudal e integrando obtenemos:

€

Q =πΔPR4

8ηL ó

€

η =πΔPR4

8QL ecuación de Poiseuille


que también se puede escribir como: η =

€

πΔPR4

8VLt

donde V es el volumen y t el tiempo Sí hacemos V = constante (para un aparato dado):

η = k t con k una constante En la Fig. 12 se puede observar como es la distribución de velocidades y esfuerzos de corte para el caso estudiado.

zrz

v vD

r

z

Flujo de Poiseuille

Figura 12 Distribución de velocidades y esfuerzo de corte en tuberia

En los fluidos poco viscosos existe una notable discrepancia entre los valores reales y los valores determinados por las fórmulas anteriores. Ello es debido a dos causas: a) No toda la energía aplicada a través de P se emplea en vencer la resistencia viscosa, sino que una parte queda en forma de energía cinética. b) Debido a la variación rápida de v en la entrada y salida del capilar la longitud eficaz L del mismo es mayor que la real: Leficaz = L+nR, L >> R y normalmente entre 5 y 10 Por lo que teniendo en cuenta lo anterior, la fórmula de la viscosidad queda:

η =

€

πR4Pt8V(L + nR)

−mρV)

8(L + nR)t

siendo m, un factor de corrección entre 1 y 1,5 y ρ la densidad.

En el caso más general y más práctico de flujo por tuberías podemos aplicar estas mismas ecuaciones, en las que si Q se relaciona con la velocidad promedio:


vprom = Q/S con S la sección interna de la tubería = π R2

Tendríamos después de algunas simplificaciones:

€

η =ΔPR2

8vprom L

o escrito de otra forma: η = (∆P D/4L) / (8vprom/D), donde D es el diámetro de la tubería.

con (∆P D/4L) = τ R o esfuerzo de corte en la pared y 8 vprom/D =

€

γ•

R o velocidad de corte en la pared

Por lo tanto, la relación experimental del gradiente de presión impuesto y el caudal transportado permite determinar la relación entre el esfuerzo cortante en la pared, τR y la

velocidad de corte en la pared

€

γ•

R y por consiguiente determinar la viscosidad de un fluido

newtoniano. Efectuando una gráfica de τR vs.

€

γ•

R, tendríamos en la pendiente el valor de la viscosidad.

En todos los casos se debe acotar, que los regímenes son suficientemente lentos para obtener flujos laminares y no turbulentos. 3.3. TEORIA DE LOS VISCOSIMETROS ROTACIONALES DE CILINDROS CONCENTRICOS (FLUJO DE TIPO COUETTE) Se consideran las mismas hipótesis simplificatorias que en el caso anterior y además: —Ausencia de desplazamiento axial —Ausencia de deslizamiento en la pared de los cilindros (Ver Fig. 13).

R1 R2

Figura 13 Viscosímetros rotacionales


El cilindro interior es móvil, mientras el cilindro exterior permanece siempre fijo. Se impone

entonces una velocidad de rotación constante Ω al cilindro interior y se mide el torque G impuesto al eje de rotación.

La repartición de velocidades al interior del líquido verifica: vθ (R1) = Ω R1 vθ (R2) = 0

Y se define por la ecuación (del movimiento)

€

[

€

ddr

1rddr(rvθ(r))

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ ] = 0

Se obtiene finalmente: v (r) = Ω R1 [ R2/r - r/R2R2/R1 - R1/R2

]

La velocidad de corte se define por:

€

γ•

= r ddr

vθ(r)r

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

en este caso v(r) = - 2 Ω R12 R22

R22 - R12 1r2

Si se hace r = R1, se obtiene el valor de la velocidad de corte en el cilindro interior móvil.

€

γ•

R = 2 Ω R22

R22 - R

21

γR sólo depende de la velocidad de rotación angular. En el caso de cilindros muy cercanos: R2-R1<<R2, se puede escribir:

R1 ≅ R2 ≅ R ∆R = R2-R1 y γR ≅ - ΩR/ΔR lo cual es equivalente a suponer una repartición de velocidades lineal:

vθ (r) ≅ ΩR2 (r-R1

R2-R1 )

Véase Fig. 14


ΩR

R

r

1

2Cilindro fijo

Cilindro móvil

O

Figura 14

Si se llama Γ el torque ejercido sobre el eje de rotación, Γ = τrθ(R1) 2 π R1 h R1 (siendo h la altura común de los dos cilindros) en forma más general para un valor cualquiera de r : R1 ≤ r ≤ R2

Γ = τrθ (r) 2π r h r o sea τrθ (r) =

€

Γ2πhr2

la repartición del esfuerzo cortante es pues de la forma τrθ = a/r2 En la pared del cilindro móvil:

τR =

€

Γ2πh

1R12

la viscosidad del fluído es por tanto:

η = - τpγR =

€

Γ2πh

1R12

R22 - R

21

2Ω R22

; η =

€

Γ4πh

€

1Ω

1R12 −

1R22

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

la viscosidad es de la forma: η = k r /Ω Con k una constante función de las características del aparato. 3.4. CASO DE LOS FLUIDOS NO NEWTONIANOS:

En los dos casos anteriores, se han considerado fluídos que siguen la Ley de Newton, es decir fluidos cuya viscosidad permanece constante cuando τ y

€

γ•

varían. En el caso de flujo capilar, para fluidos no-newtonianos, la velocidad de corte ya no es 8.vprom/D y no se puede establecer


directamente la relación entre τ y

€

γ•

. Sí se supone que el fluido es bien representado por la ley de la potencia, se puede determinar k y m a partir de curvas experimentales de (D.∆P/4.L) vs. (8.v/D) en el caso, por ejemplo, de flujo en tubería.

En el caso de flujo entre cilindros concéntricos, la medición del torque, Γ, determina el esfuerzo cortante, τR y la velocidad de rotación Ω, permite calcular la velocidad de corte, τR, sin necesidad de suponer el fluido newtoniano. Los viscosímetros de tipo Couette permiten establecer, por tanto, directamente el reograma τ vs.

€

γ•

. Ecuación de Rabonowistch-Mooney

Para el flujo en tubería, se ha desarrollado una ecuación general que permite obtener el caudal en función de la expresión del esfuerzo de corte y cuya aplicación comprende cualquier tipo de fluido sea newtoniano o no. (Ver Fig. 15).

R

R

P1 P2

L

Figura 15 Flujo en tubería

El desarrollo es como sigue: (π R2 P1) - (π R2 P2) - τR (2π RL) = 0 τR = R∆P/2L τr = r∆P/2L ; τrz = τR r/R

€

Q = VZ rdrdθ =0

R∫0

2π∫ 2π VZ rdr =

0

R∫ π VZ 2rdr= π VZ d r

2( )0

R∫0

R∫

pero d(Vz r2) = 2r Vz dr + r2 dVz → Vz d(r2) = d(Vzr2) - r2 dVz

o

€

Q = π VZr2 − r2 dVZ0

R∫[ ]

0

R

en la pared r = R, Vz = 0 en el centro r = 0, r2 Vz = 0

por tanto

€

Q = −π r2 dVZ0

R∫ →

€

Q = −π r2 dVZdrdr

0

R∫


dVzdr = f(τrz) comportamiento del fluido → Q =

€

−π r2 f(τrz) dr0

R∫

como

€

τrz =τRrR

entonces

€

r2 =τ2rzτ2R

R2 →

€

−π R2 τ2rz

τ2Rf(τrz) dr0

R∫

como

€

dr =R dτrzτR

→

€

Q = π R2 τ2rz

τ2Rf(τrz)

R dτrzτR0

τR∫ →

€

Q =πR3

τR3 τ2rz f(τrz) dτrz0

τR∫

En esta ecuación de Rabinowitsch-Mooney, basta colocar la expresión para la velocidad de corte, f (τrz) e integrar, para obtener la fórmula para el caudal.

Por ejemplo f(τrz) =

€

τrzη

(newtoniano) or f(τrz) =

€

τrzK⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

1/ n

(ley de la potencia)

Para un flujo newtoniano se encuentra

€

Q =πΔPR4

8ηL y

€

VZprom =QπR2 =

ΔPR2

8ηL

con

€

τR =R ΔP2L

y

€

γ•

R

€

=4VZpromR

Para una ley de la potencia de relación τ = K

€

γ• n, un cálculo un poco mas complejo da:

€

Q = πR3 n3n +1

τRK

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 1/ n

donde τR = R ΔP/2L y

€

γ•

R

€

=3n +14n

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 4VZpromR


BIBLIOGRAFIA

(1) Bird B., Warren S., y Lightfoot E. Fenómenos de transporte. Ed. Reverté, España (1964) (2) Van Wazer J., Lyons J., Kimm K., y Colwell R. Viscosity and flow measurement. Intersciense Publisher, USA (1963) (3) Measurement of rheological properties, Contraves. Bulletin T990 e-7906 (4) Briceño M.I. Viscosidad de emulsiones. Cuaderno FIRP S525, ULA, Mérida (1998) (5) Harrison Mc. D. Absolute viscosity measurement. Haake Inc., N.J. (6) ROTOVISCO. Haake Viscometers, N.J.


Texto: Introducción a la Reología Autor: Orlando ROJAS Referencia: Cuaderno FIRP S520B Versión # 2 (1999) Editado y publicado por: Laboratorio FIRP Escuela de INGENIERIA QUIMICA, UNIVERSIDAD de Los ANDES Mérida 5101 VENEZUELA

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