S3

Lic. Edgar Fernández C. -Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2014-II

TRIGONOMETRÍA “RAZONES TRIGONOMÉTRICAS y RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

RECTÁNGULOS’’ Docente: Lic. Edgar Fernández C.- Rodolfo Carrillo V.RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DEFINICIÓN: Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un triángulo rectángulo. En el triángulo adjunto, tenemos:

A los resultados así obtenidos se les asigna un nombre asociado a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así en el gráfico; para tenemos: a : cateto opuesto (CO) b: hipotenusa (H)

c : cateto adyacente (CA) Luego se definen:

Por ejemplo:

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se encuentran los lados de dicho triángulo. Dos de los más usados son:

Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de y .

A B

C

a b

c

2 + 2 2

+ B 90

13 5

12

α ;

;

1

12

1

12

12

1

45⁰

45⁰

1

1 2

30⁰

60⁰

1

2

3

Semana Nº 3


A partir de estos se determinarán otros

adicionales como:

PROPIEDADES:

I. Las razones trigonométricas de un ángulo; dependerán de la medida de dicho ángulo y no de los

lados del triángulo rectángulo en que se ubique. Por ejemplo:

II. R. T. Recíprocas: Se nota claramente, de las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo agudo, que existen tres parejas que son una la recíproca inversa de la otra, por lo que su producto es siempre igual a 1. Estas parejas son las siguientes:

1 1 1

Note que los ángulos agudos, deben ser iguales. Por ejemplo: si nos dicen que: Tan(3x - 10º).Cot(x + 0 ) = 1; Para calcular "x" diremos: Tan(3x - 10º).Cot(x + 0 ) = 1

37⁰

53⁰

3 5

4

22⁰ 0’

1 5

2 + 1

67⁰ 0’

15⁰

6 − 2 4 75⁰

6 + 2

37⁰/2

1 10

3 53⁰/2

1

2

8⁰

1 2

7

82⁰

16⁰

7 2

24

74⁰

A

Q M

N P B

C

Iguales

AC BC Sen

AN MN Sen

AQ PQ Sen


3x – 10 = x + 0 x = 20

III. R. T. de Ángulos Complementarios: Cuando se calculan las razones trigonométricas de los 2 ángulos

agudos de un triángulo rectángulo, se puede notar que existen ciertas parejas de éstas que toman el mismo valor. Esta característica la vamos a indicar de la siguiente manera:

Si: α son agudos tales: α + 90 Entonces:

α α α

Por ejemplo:

10 0 20 0 0 0 2 66

α α

+ 10 0 −

Si: α son agudos tales: α α α

Entonces: α + 90

Por ejemplo: ll r ‘‘x’’ i:

2 + 10 2 + 10 + 90

0 16

Problema Resuelto: Si el área de un triangulo rectángulo ABC (recto en A) es de 5m2 y SenB=2SenC, halle el perímetro del triangulo.

Resolución: Piden + +


ba

c Datos:

Área del triangulo ABC:

2

10

B 2

2

2

Reemplazamos (II) en (I)

2 10 2 Reemplazando en (II)

2 Por el teorema de Pitágoras 2 2 + 2

2 2 2 + 2 El perímetro del triángulo ABC es:

+ + ( + )

PROBLEMAS PROPUESTOS

CEPUNS 2010 III -PRIMER EXAMEN SUMATIVO

1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que:

+ 2 9

Entonces el valor de: + es:

a) 9/4 b) 9 2 c) 9

d) 9 e) 2 9

2. En la figura, el triangulo ABC es rectángulo, recto en A, CP=2 cm., PB=3 cm. Halle α.

30˚ αA B

C

P

a)

b)

c)

2

d)

e)

2

3. En un triangulo ABC (recto en B) se cumple que

2 y su perímetro es 90. Calcular el cateto

mayor. a) 36 b) 20 c) 15

d) 48 e) 24


4. Del grafico, calcule α +

si ̅̅̅̅ 2 B̅̅ ̅̅ .

α

60˚A

B

C

a) 1 b) 2 c) 1/3

d) 3 e) 1/2

5. Del gráfico, calcule + 2 .

7

4

4

21

a) 4 b) 2 c) 1

d) 5 e) 3

6. Del grafico, calcule 1 .

37˚

53˚

a) 5 b) 3 c) 2

d) 4 e)6

7. Determine α en la figura mostrada, si AB=BC y M punto medio de ̅̅ ̅̅ , donde ̅̅̅̅̅ B ̅̅̅̅

60˚

A

B

M

C

D

a)

2 b)

c)

2

2

d) 2

2 e)

2


8. Si α son ángulos agudos y complementarios, tales que:

α

2 +

+ 1

2

Halle el valor de

+ α −2

a)6/5 b) 8/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 1/5

9. Del grafico mostrado l ul r: ‘‘ ’’

37º 60º

45º

x

a)

b)

2 c) 3/2

d) 4/3 e) 2 10. Del grafico , hallar α

2 3

α

a) 1/2 b) 3/2 c) 2/3 d) 3/5 e) 5/3

11. Del gráfico, hallar en términos de α

:

A

O

B

CD

α α

a) 2 α b) α c) α d) 2 α e) α

12. Del gráfico, halle


α −

α

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

UNS –PREFERENCIAL 2009

13. En l a figura AOB es un cuadrante, tal que OD= 4(DE), entonces el valor de es:

A

O B

D

E

Fα

a)

b)

c)

d) 1/4 e) 1/2 14. Del grafico mostrado, calcular: 2

a) 4 b) 6 c) 2 d) 8 e) 16

15. Del gráfico, halle .

R

R

a) − b) 2 − c) − 2

d) − 1 e) 2 − 1


16. Del grafico mostrado. Calcular el área de la región sombreada, si se sabe que: BC=9, DE=4, AE=20 y

.

A

B

C

D

E a) 18 b) 36 c) 72

d) 80 e) 90

17. Calcular si B 2 B

127˚

N

B C

D a) 50/17 b) 50/13 c) 50/19

d) 50/9 e) 41/50

18. En un triángulo rectángulo la suma de las inversas de los catetos es 2

. Halle la bisectriz que parte

del ángulo recto.

a) 2 b) 3 c) 5

d) 2 e) 4 19. i d r d pu d g i ll r: ‘‘ ’’

MO B

N

A

a) 2 − 1 b) 2 + 1 c) 2 −

d) 2 + e) 1

20. Halle α , si P y T son puntos de tangencia.

α

O

P

T


a) 2 b) c) 2

d) 2

e)

2 2

21. Siendo α + α + + los números de las longitudes de los lados de un triangulo

rectángulo verifican la igualdad: α + 2 + α +

Evaluar:

− α ( α

) + + α ( α

)

− ( α

)

Además: α + α + +

a) 2 − 1 b) 2 + 1 c) 2 2 − 1

d) 2 2 + 1 e)1

22. Dado un cuadrado B y , halle: .

H

D C

BA

a) 1 b) 2 c) ½ d) ¼ e) 4

23. Calcular el valor de , a partir del gráfico mostrado.

: r

3

2

37˚

O´

O

20

a) 2

b)

2

2 c)

d)

e)

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