>>ss >>tf2ss >>ss2tf >>ss2ss

>>eye >>fliplr >>deconv

jlc

El espacio de estados es un ente matemtico que

permite obtener el modelo de un sistema en el

dominio del tiempo; es tan general que sirve para

sistemas no lineales y de mltiples entradas y

salidas.

jlc

Ventajas de la Representacin en Variables de

Estado

La representacin de sistemas de mltiples entradas

y mltiples salidas es ms sencilla

Toda la dinmica del sistema se representa por

ecuaciones diferenciales o de diferencia de primer

orden.

jlc

Simulacin con mtodos computacionales ms

eficientes

Nueva perspectiva sobre la dinmica de los

sistemas

Algunas de las tcnicas de control moderno se

basan en este tipo de representacin.

jlc

o Variables de estado.

Conjunto mnimo de variables del sistema, tal que,

conocido su valor en un instante dado permiten

conocer la respuesta del sistema ante cualquier

seal de entrada o perturbacin.

Estas variables de estado deben ser linealmente

independientes entre s.

jlc

o Estado de un sistema dinmico.

Es el conjunto mnimo de informacin tal que su

conocimiento en = 0 conjuntamente con la entrada para 0 , determina totalmente el comportamiento el sistema para 0.

o Vector de estado.

Es aquel que tiene como componentes las

variables de estado ()

jlc

Ecuacin de estados

Ecuacin de salida

u: vector de entradas

y: vector de salidas

x: vector de variables de estado.

A: Matriz caracterstica del sistema

B: Matriz de entrada

C: Matriz de salida

D: Matriz de transferencia directa

entrada-salida

jlc

El modelo en EE para una planta con n variables de estado, p entradas y q salidas estara compuesto por dos ecuaciones

= +

= + ( )( )

jlc

Espacio de estados cannicos EEC Controlable y observable

Espacio de estados fsicos EEF Por variables fsicas y por elementos que almacenan energa

jlc

Para los sistemas LTI, existen infinitas formas de

representar los sistemas por EE, formas que son de

referencia llamadas cannicas (normadas o

estandarizadas) que nos sern tiles en el momento

de analizar y disear el control para el sistema.

Adems no existe solamente una sola forma

cannica, sino varias como son controlable,

observable, entre otras

jlc

El modelo de una planta tipo SISO expresado por una

EDO de orden

El nmero de variables de estado es igual al orden

de la ecuacin diferencial.

jlc

ubdt

dub

dt

ydb

dt

udbya

dt

dya

dt

yda

dt

yda

m

m

mn

n

n 012

2

2012

2

2 .....

En primer lugar expresados de la forma mnica:

coeficiente de la derivada de mayor orden igual a 1),

y el coeficiente de u(t) igual a 1.

Definiendo las variables de estado como la salida junto con sus 1 derivadas

jlc

uyadt

dya

dt

yda

dt

yda

dt

ydn

n

nn

n

012

2

21

1

1 ..

1 = 2 = 3 = =

1

jlc

Todas la derivadas de las variables de estado se

expresaron en funcin de variables de estado, excepto

. . Sin embargo, se puede despejar de la EDO

declarando las derivadas de las variables de estado

como sigue

n

n

dt

yd

yadt

dya

dt

yda

dt

ydau

dt

ydn

n

nn

n

012

2

21

1

1 ..`

1021321 ..` xaxaxaxaux nnn

Entonces las ecuaciones de primer orden seran

jlc

Expresadas en forma canonca matricial se obtendra

Como es de notarse la matriz caracterstica del

sistema A queda en trminos de los coeficientes de la

ecuacin diferencial.

jlc

Expresadas en forma de Diagrama de Bloques

jlc

El modelo genrico de espacio de estados obtenido es

un modelo en forma cannica controlable, que est

compuesto como se muestra en la siguiente ecuacin

Donde

0 = vector de ceros de orden (n-1)x1 1x(n-1), segn sea el caso.

= Matriz identidad de orden n-1

a = Vector de coeficientes de la EDO de orden n

jlc

-

Cualquier modelo en EE cuya matriz caracterstica del

sistema tenga estas componentes (0, y a), sin importar el orden donde se encuentren ubicadas

(siempre y cuando cumplan con que A sea de orden n),

se considera un modelo cannico de la planta.

jlc

El EE se puede obtener directamente de EDO o de FT, teniendo cuidado de dejar la representacin de forma

mnica (el coeficiente de mayor exponente sea 1)

jlc

uyadt

dya

dt

yda

dt

yda

dt

ydn

n

nn

n

012

2

21

1

1 .. EDO

FT

Representar la EDO con C.I.=0 por EEc

jlc

>> sft=tf(1,[1 3 2]);

>> [yt_ft,t]=step(sft,t);

>> yt=dsolve('2*D2y+6*Dy+4*y=2','y(0)=0','Dy(0)=0');

>> t=[0:.1:10];

>> yt_edo=subs(yt,t);

>> see=ss([0 1;-2 -3],[0;1],[1 0],0);

>> [yt_ee]=step(see,t);

>> subplot(131)

>> plot(t,yt_edo,b)

>> subplot(132)

>> plot(t,yt_ft,r)

>> subplot(133)

>> plot(t,yt_ee,g)

jlc

01

2

2

1

1

01

2

2

1

1

..

..

)(

)()(

asasasas

bsbsbsbsb

sU

sYsG

n

n

n

m

m

m

m

ubdt

dub

dt

udb

dt

udbya

dt

dya

dt

yda

dt

ydm

m

mm

m

mn

n

nn

n

011

1

1011

1

1 ......

El EE que representa al sistema se puede hallar

recordando que la FT se puede expresar en DB como

una multiplicacin de funciones, tal y como

aparece a continuacin.

jlc

01

2

2

1

1

01

2

2

1

1

..

..

asasasas

bsbsbsbsbn

n

n

m

m

m

m

U(s)

Y(s)

01

2

2

1

1 .. bsbsbsbsbm

m

m

m

Y(s) 01

2

2

1

1 ..

1

asasasas nnn

U(s) Z(s)

Si tomamos el sistema ente U(s) y la variables de

estados a la variable auxiliar Z(s) y sus n-1

derivadas tendramos el caso estudiando

anteriormente, por ende la ecuacin de estados se

mantendra igual para (n>m).

jlc

01

2

2

1

1 ..

1

asasasas nnn

U(s) Z(s)

La ecuacin de salida que expresa y(t) se obtendra

de la transformada inversa de Laplace de la FT

contenida en el bloque que tiene como entrada Z(s)

y como salida Y(s).

En funcin de las variables de estado

jlc

01

2

2

1

1 .. bsbsbsbsbm

m

m

m

Y(s) Z(s)

Ordenando el sistema de manera vectorial y DB se

tiene:

jlc

jlc

>> t=[0:.1:7];

>> sft=tf([2 1],[1 2 1]);

>> see=ss([0 1;-1 -2],[0;1],[1 2],0);

>> [yt_ft]=step(sft,t);

>> [yt_ee]=step(see,t);

>> plot(t,yt_ee,'xr',t,yt_ft,'b')

Los coeficiente de ci se calculan de realizar la divisin de los polinomio B(s) entre A(s) siendo d0 es el residuo de la divisin.

jlc

ubdt

dub

dt

udb

dt

udbya

dt

dya

dt

yda

dt

ydm

n

nn

n

nn

n

nn

n

011

1

1011

1

1 ......

01

2

2

1

1

01

2

2

1

1

..

..

asasasas

bsbsbsbsbn

n

n

n

n

n

n

U(s)

Y(s)

0

01

2

2

1

1

01

2

2

1

1

..

..d

asasasas

cscscscn

n

n

n

n

U(s)

Y(s)

y

Si n>m entonces bn== bm+1=0. Lo anterior es la una manera general de mostrar la forma CANONCA CONTROLABLE

jlc

nnnnnn babcbabcbabc 111111000 ,,, nbd 0

Para obtener la representacin en forma CANONCA

OBSERVABLE se puede realizar la asignacin

siguiente:

jlc

jlc

jlc

jlc