en la primera parte del artículo dedicado a FelixKlein, publicado en Suma 82, nos centramos enlos aspectos topológicos por los que este granmatemático de inicios del tercer milenio es co-nocido.

Por una parte, vimos cómo de un cuadradose derivan el cilindro, la esfera, el toro, la bandade Möbius y la botella de Klein utilizando ins-trucciones de pegado topológico con nomencla-tura de colores y vectores.

Por otra, se destacó el papel que la topologíade esos objetos geométricos ha desarrollado enámbitos, en un principio no matemáticos, comoel cine. Y todo ello a través de los diálogos futurosque un chico llamado santiago mantenía conpersonajes ilustres de la historia de las matemá-ticas recreados virtualmente por el ordenador dela nave espacial en la que viajaba. dicho ordena-dor estaba encarnado en la personalidad virtualdenominada HaL, como el ordenador conscientede la célebre odisea espacial dirigida por stanleyKubrick en 1968.

ahora, en esta segunda parte del artículo, elpunto de atención pasa de las matemáticas almatemático y a la persona. siempre acompañadospor santiago conoceremos con más detalle cómopensaba y cómo vivió el hombre Felix Klein.

Artículo solicitado por Suma en julio de 2016 y aceptado en septiembre de 2016

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Felix christian Klein. cómover la botella medio vacía

o medio llena (2.a parte)Francisco Maíz JiMénez

antonio Pérez sanz (coordinador)

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pp. 93-102

En puertas deltercer milenio

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8. Felix Klein. Primeros pasos

FeLix KLein: Hola, yo nací en cuadrados de nú-meros primos.

santiaGo: ¿cómo es eso?FeLix KLein: nací el 25 de abril de 1849, es

decir, 5² del 2² del 43². el lugar de mi nacimientofue düsseldorf, Prusia (que después formó partede alemania) de la que mi padre era secretariodel Gobierno, por lo que mi nacimiento fue todoun acontecimiento que incluso fue publicado enlos periódicos de la época.

Viví en mi ciudad natal hasta que entré en launiversidad de Bonn, donde estudié matemáticasy física (1865-1866). esta última materia era laque más me atraía y por lo que obtuve un puestode asistente de laboratorio del matemático y físicoPlücker, pero este me supervisó mi doctoradocon una tesis matemática sobre geometría linealy aplicaciones a la mecánica, que era de su interéspor esa época. Justo cuando me estaba docto-rando falleció mi tutor, dejando incompleta suinmensa obra sobre fundamentos de la geometríalineal, por lo que se me asignó para terminar lasegunda parte de la nueva geometría del espaciode Plücker.

aLFred cLeBscH: Yo estaba en Göttingen en1868, y en 1869, Klein visitó nuestra universidady lo conocí. Me causó una fuerte impresión; tanto

es así que recibió mi apoyo para ocupar una cá-tedra a sus cortos 23 años, pues yo ya podía pre-ver que se convertiría en uno de los principalesmatemáticos de su tiempo.

KLein: durante 1869 estuve, además de enGöttingen, en Berlín y en París.

9. Sophus Lie. Viajes y comienzode una amistad

soPHus Marius Lie: recuerdo perfectamente latemporada que compartimos en París… conocía Klein durante el invierno de 1869, en Berlín.al principio me pareció una coincidencia asom-brosa, pues Klein era alumno de Plücker, uno delos matemáticos que junto con Jean Victor Pon-celet más me inspiraron con sus escritos. Perodespués nos unió además una gran amistad ymucho trabajo de colaboración.

en 1870 decidimos viajar juntos a París paradespués ir a inglaterra, por lo que Klein pidióinfructuosamente recomendaciones para ambosal Ministerio de educación de Berlín.

en París conocimos a Gaston, darboux y Jor-dan, que nos dio a conocer los trabajos de Galoisgracias al Traité des sustitutions et des équations algé-briques que había publicado en 1868. Klein y yotrabajamos mucho juntos, por lo que decidimostomar habitaciones adosadas. Fruto de esta cola-boración publicamos tres volúmenes: Gesemmeltemathematisque Abhandlungen. Por mi parte, en esaépoca descubrí la transformación que lleva minombre.

KLein: descubrimos propiedades fundamen-tales de las rectas asintóticas de la superficie deKummer y trabajamos en la investigación de las

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Sophus Marius Lie

Nota histórica

el Parlamento español había ofrecido el trono vacante al príncipe Leopoldo de Hohenzollern-Sigmaringen, primo del rey de Prusia, Guillermo i Hohenzollern. La tensión entre Francia, que se oponíaa estar entre dos reyes prusianos, y Prusia estaba en aumento. La guerra fue provocada por el cancillerprusiano, otto Von Bismark, que insultó a Francia alterando un mensaje de su rey (el telegrama deems), que buscaba paradójicamente dar fin a la crisis entre Francia y Prusia. el canciller buscaba laguerra para unificar bajo dominio prusiano a los estados del sur de Alemania y lo provocó redactandoun comunicado de prensa en el que supuestamente resumía el contenido del telegrama.

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W-curvas. nuestro objetivo eraconvertir el hacer geométrico enhacer algebraico. Para ello cam-biamos nuestro punto de vista,dejando de ser la geometría elestudio de objetos en el espacio,pasando a ser el estudio del pro-pio espacio. en París descubrílas posibilidades unificadoras queencerraba el concepto de grupoy realicé mis primeros descubri-mientos matemáticos importantes en colabora-ción con Lie, en 1970.

un conjunto forma grupo respecto de unaoperación si:

—el conjunto es cerrado bajo la operación.—el conjunto contiene un elemento identidadrespecto de la operación.—todo elemento del conjunto tiene un elementoinverso respecto de la operación.—La operación es asociativa.

Lo interesante del concepto de grupo es quelos elementos del conjunto pueden ser números(aritmética), puntos u otros elementos geomé-tricos, transformaciones (en álgebra o geometría)u otro tipo de objetos. Por otra parte, la operaciónpuede definirse desde el punto de vista aritmético(suma, multiplicación…), geométrico (rotacionesen torno a un punto…) o cualquier otra reglaque cumpla las condiciones de grupo.

Lie: antes de que pudiéramos partir a ingla-terra, en julio de 1870 otto Von Bismark, elcanciller prusiano, publicó un mensaje que hizoque Francia declarara la guerra a Prusia el 19 dejulio, por lo que Klein tuvo que volver rápida-mente a Berlín. Yo por mi parte decidí ir a piehasta italia, atravesando Francia, pero a los 50kilómetros de marcha, en el bosque de Fontai-nebleau, me detuvieron como sospechoso deser espía alemán. Y hubiera sido disparado a lasseis de la mañana si no hubiera sido por dar-boux. incluso en diarios noruegos se publicó«científico noruego encarcelado por ser espía».seguramente las cartas y documentos matemá-ticos que portaba, los confundieron con men-sajes cifrados de espionaje. además alguno deellos estaba escrito en alemán.

KLein: Y sin duda tambiénpor tu apariencia. Por algo te lla-maban el gigante germano.

Lie: ¡Pero yo no soy ger-mano! ¡soy noruego! Y lo sabesbien, pequeño (esta es unabroma entre ellos, ya que kleinsignifica pequeño en alemán yLie era muy alto)

KLein: además ya te advertíque tu adicción por las largas

caminatas es inmoderada.KLein (susurra a santiago): tiene un carácter

terrible, aunque su amistad y su capacidad mate-mática son sumamente apreciables.

KLein: Volviendo a mis viajes por europa.Mi precipitada salida de París hizo que se pausarami relación profesional con Lie. desde entoncesnuestra amistad y colaboración matemática fuebásicamente por correspondencia.

durante la guerra tuve que cumplir con elservicio militar como asistente médico. Final-mente volví a mis quehaceres docentes, siendonombrado profesor a principios de 1871 en Göt-tingen, donde publiqué dos artículos sobre lageometría no euclídea, en los que probé quetanto la geometría euclídea como la geometríano euclídea son casos particulares de la geometríaproyectiva con una sección cónica específica ad-junta. esto implicó el resultado siguiente: la geo-metría no euclídea es consistente si y solo si loes la geometría euclídea. este resultado zanjó lacontroversia de la geometría no euclídea, aunquealgunos científicos como cayley aún no estabanpreparados para este salto, acusándome de argu-mentaciones circulares.

Posteriormente fui nombrado profesor en er-langen en 1872.

10. el programa erlangen,la geometría y las matemáticas

KLein: La generalidad del concepto de grupo ysu potencia como idea unificadora me inspiraronpara mi disertación inaugural de acceso a mipuesto de profesor en erlangen. ahí reflejé la

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Nuestro objetivo era convertirel hacer geométrico en hacer

algebraico. Para ellocambiamos nuestro punto de

vista, dejando de ser lageometría el estudio de objetosen el espacio, pasando a ser el

estudio del propio espacio.

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posibilidad de utilizar los grupos para caracteri-zar las geometrías que hasta ese momento seestudiaban por separado. Básicamente se tratabade describir una geometría como el estudio delas propiedades de las figuras que permaneceninvariantes al actuar sobre ellas un grupo detransformaciones. Por lo tanto, toda clasificaciónde los grupos de transformaciones se convierteen una clasificación de las geometrías (ErlangerProgramm).

Fíjate que en el programa define la geometríade forma que incluye tanto a la euclidiana comoa la no euclidiana.

santiaGo: eso es demasiado general para mí.¿Podrías darme un ejemplo?

KLein: claro. La geometría euclídea plana,que seguro conoces, sería el estudio de las pro-piedades de las figuras del plano (como áreas,longitudes…) que permanecen invariantes me-diante las transformaciones que vulgarmente lla-mamos movimientos en el plano (simetrías, tras-laciones y rotaciones).

Fíjate que si añadimos las homotecias a losmovimientos, se mantendrían los ángulos, perono las áreas ni longitudes.

Por indicarte otros ejemplos: la geometría afínsería el estudio de los invariantes mediante elgrupo de las traslaciones, la geometría proyectivasería el estudio de los invariantes mediante elgrupo de las proyectividades y la topología seríael estudio de los invariantes mediante el grupode las funciones continuas y de inversa continua.

HaL: con su disertación, Klein puso fin a ladistinción entre el método sintético y el alge-braico-analítico. en su época supuso la consa-gración de la Geometría Proyectiva como reinade las geometrías. Por otra parte, era la primeravez que una ciencia (la Geometría) fue capaz deautodefinirse rigurosamente.

su disertación de erlangen y sus posteriorestrabajos al principio no tuvo mucha repercusión,aunque poco a poco se fue extendiendo por to-dos los ámbitos científicos.

santiaGo: Klein, tienes unas ideas que gene-ralizan mucho. seguro que tienes también unaidea globalizadora de las Matemáticas.

KLein: Yo concibo la matemática en su evolu-ción como un árbol que crece no solo en sus ra-

mas, sino también en sus raíces: «las relacionespuramente lógicas deben quedar como el esqueletodel organismo de las matemáticas, pero lo vivo delas matemáticas, su eficacia externa, sus estímulosestriban siempre en sus aplicaciones, es decir enlas correlaciones entre los entes puramente lógicosy todos los demás dominios del saber».

establezco también una división de las Mate-máticas en dos partes:

—Matemáticas de la aproximación (por ejemplo,el estudio de π).—Matemáticas de la precisión (por ejemplo, ladivisión de la circunferencia en partes iguales).

en mi libro, en el apartado titulado «inter-medio: sobre el moderno desarrollo y la cons-trucción de la matemática», hago un estudio dela construcción de la matemática, distinguiendotres tipos de procesos o conceptos generales quehan tenido los matemáticos sobre la ciencia:

—descomponer toda la ciencia en regiones es-tancas y aisladas del resto, sin que ninguna deellas dependa ni recurra a los recursos de las otras.

este tipo de pensamiento se usó en la cienciagriega en general y euclides en particular. tam-bién fue utilizado en la matemática del siglo xVi

por cauchy, por Weierstrass (en 1860) y en lasaxiomáticas de la geometría.

—se da especial importancia al enlace entre lasdistintas partes de la ciencia, usando mutuamentelos recursos de estas. se prefieren los métodosque abarcan varias regiones de la ciencia y el ideales ver la ciencia matemática como un todo.

este tipo de pensamiento fue usado por al-gunas tendencias de la matemática griega, por lageometría analítica de descartes en la relaciónentre número y espacio, por el cálculo diferenciale integral del siglo xVii, por Leibniz (sobre todoen física matemática y teoría de funciones de va-riable compleja) y newton en el cálculo infinite-simal. también en la matemática de los siglosxViii y xix (en la geometría proyectiva).

—se trata del procedimiento algorítmico, que aveces se considera los cimientos del edificio ma-temático.

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este tipo de pensamiento fue usado en lasmatemáticas de la india y de los árabes. Leibnizse vio influenciado por esta forma de entenderla ciencia y newton lo usó cuando dio la seriedel binomio general.

11. Munich y Leipzig

Lie: en 1872, el Parlamento noruego creó paramí una cátedra en la universidad de cristianía(la antigua oslo), donde desarrollé mis ideas. Porotra parte la vida me dio penas y alegrías en esasfechas: en 1873 murió mi padre, en 1874 me casécon anna sophie Birch, hija de una prima her-mana del famoso matemático noruego nielsHenrik abel. tuve dos hijas y un hijo.

KLein: La boda de Lie me sorprendió, ya queambos éramos reacios a casarnos. Ya le advertíque «en esas condiciones no se puede trabajar».

Lie: no te hagas el sorprendido. al año si-guiente también tú te casaste y también lo hiciste,igual que yo, con una pariente de un famosocientífico.

KLein: es cierto. en erlangen había pocosestudiantes, por lo que me trasladé a la escuelasuperior técnica de Munich en 1875. ese mismoaño me casé con la nieta del famoso filósofoGeorg Wilhelm Fiedrich Hegel.

estuve cinco años en Munich, donde tuveunos grandes estudiantes, como Hurwitz, vondyck, rohn, runge, Planck, Bianchi, ricci y cur-bastro, que con el tiempo brillaron con luz propiacomo científicos de primer nivel. este fue el pri-mer momento donde realmente sentí la vocación

de maestro. seguramente por los excelentes re-sultados que obtuvieron mis alumnos.

en 1880 conseguí una cátedra de geometríaen Leipzig, donde también había otros colegasinteresados en una docencia de excelencia: vondyck, rohn, study y engel. esto hizo que in-tentara crear una escuela fuerte en Leipzig, ins-pirado en todas las que había observado en misviajes y fundamentada en el enfoque geométricoque utilizó riemann para la teoría de funciones.

comencé a realizar una doble función: la pu-ramente académica, por un lado; y la otra, queestaba enfocada a la creación de una escuelapropia: maestro, editor, organizador de eventosy encuentros científicos… en estos momentosfue cuando estuve en mi cumbre como mate-mático:

Había trabajado en teoría de funciones, queyo considero como mi mayor contribución a lasmatemáticas, gracias a las ideas de riemann mez-cladas con otros conocimientos y ramas de lasmatemáticas: álgebra, geometría multidimensionaly teoría de invariantes, de grupos, de números yde ecuaciones diferenciales (especialmente enmis propios campos: funciones modulares elíp-ticas y funciones automorfas).

consideré las ecuaciones de 4.º y 5.º grado,usando para ello resultados de Hermite y Kro-necker. Quedó resuelto el problema usando elgrupo del icosaedro, lo que me llevó a publicaren 1884 un libro sobre el icosaedro.

también escribí una serie de artículos sobrefunciones modulares elípticas.

desarrollé una teoría de funciones automor-fas, al igual que Poincaré en 1881. con él co-mencé a escribirme y entablé una amistosa riva-

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Universidad de Leipzig Henri Poincaré

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lidad. era un formidable matemático y ambosbuscábamos formular y probar un gran teoremade uniformización.

con gran trabajo y estrés conseguí adelantarmea Poincaré al formular el teorema que buscábamosy esbozar una estrategia de demostración.

Pero este gran esfuerzo y el intentar compa-ginarlo con el resto de mis tareas administrativashicieron que durante el otoño de 1882 mi delicadasalud se derrumbara y tuviese que darme unapausa. como consecuencia de mis problemas desalud, sufrí una depresión entre 1883 y 1884.

Lie: en mi estancia en cristianía, la falta dereconocimiento matemático me hacía sentir de-cepcionado, pero Klein me mandó en 1884 auno de sus discípulos recientemente doctoradoen Leipzig, Fiedrich engel, para ayudarme en laredacción de mis trabajos. este primer encuentrocon engel durante 9 meses fue especialmentefructífero matemáticamente para ambos.

KLein: en 1884 publiqué junto con robertFricke cuatro volúmenes sobre funciones mo-dulares automorfas y elípticas, que con el tiempollegó a ser un clásico.

aunque en 1885 fui elegido miembro de lareal sociedad de Gran Bretaña, finalmente, en1886 di por concluida mi carrera en la investiga-ción matemática de primer nivel y acepté unacátedra en la universidad de Göttingen.

12. educación matemática

santiaGo: Perdona que te interrumpa, pero alescucharte sobre el cambio de la investigación ala docencia me surge una duda. ¿siempre tuvisteclaro en qué ibas a trabajar?

KLein: no, como ya te he contado, mi pri-mera intención fue estudiar Física. después meinteresé por las matemáticas y posteriormente, apartir de 1900 sobre todo, por la docencia. en1905 se me permitió formular los Meraner Lehr-plan-entwürfe (diseños de programas de estudios)e intenté por todos los medios la modernizaciónde la instrucción matemática en alemania.

en el congreso internacional de Matemáticosde roma, en 1908, me eligieron presidente de la

comisión internacional sobre instrucción Ma-temática.

¿tú tienes claro lo que deseas estudiar?santiaGo: estoy pensando en ser profesor

de matemáticas.KLein: si me permites, te voy a dar mi opi-

nión sobre el tema, que puedes leer más profun-damente en mi libro Matemática elemental desdeun punto de vista superior. si realmente te inte-resa la educación…

HaL: santiago, ten en cuenta que la persona-lidad virtual de Klein te dará su opinión personal,si bien no es muy desacertada, ya que ningúngran matemático se preocupó antes que él por laenseñanza de las matemáticas.

santiaGo: estoy interesado en oírlo, HaL,deja que prosiga.

KLein: como te iba diciendo, en mis tiempos(no sé si esto habrá cambiado) la enseñanza ma-temática en educación Primaria y secundaria eramuy elemental y al pasar a la universidad se pro-ducía un gran salto que imprimía en el estudianteuniversitario otras formas de pensamiento, olvi-dando al menos parcialmente lo aprendido ante-riormente. cuando el estudiante termina sus es-tudios universitarios y pasa al profesorado, nopuede enseñar del mismo modo que a él le hanimpartido clases en la universidad, por lo quevuelve a tener que cambiar su pensamiento. elcomportamiento más usual ante estos cambioses impartir clase, en el mejor de los casos, comole impartieron educación Primaria en su mo-mento, olvidando rápidamente todo lo aprendidoen la universidad.

esta situación es la que me provocó que es-cribiera esta obra. está claro que será una tareainfructuosa si a un niño le intentas explicar elconcepto de número axiomáticamente, y te re-comiendo que nunca te lo propongas. es mejorhacerlo usando conocimientos de la vida real queél conozca. esto debería extenderse al resto dela enseñanza, relacionando la matemática con lavida cotidiana.

otra cosa muy importante es el concepto defunción, que relaciona cualquier par de magnitu-des en un plano, y debería explicarse aunquedejes de impartir otros conceptos del temario.

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santiaGo (susurra a HaL): Pero las funcionesse dan siempre en secundaria ¿no?

HaL: esto no fue así hasta que Klein hizocambiar la educación. Primero se cambió en ale-mania y luego en el resto del mundo.

KLein: … es muy importante también la in-troducción al cálculo infinitesimal, así como la en-señanza del cálculo, que debe dar seguridad en elmanejo de sus reglas. también es necesario unificarlos criterios entre maestros y profesores, ya queno solo imparten conceptos de forma diferente,sino que incluso usan notación distinta. Por ejem-plo, «¥» y «· » como signos de la multiplicación.

La sustitución de números por letras para elcálculo literal debe ser paulatina, acostumbrán-dose poco a poco a dicha abstracción.

Hay que tener una especial sensibilidad en laintroducción de los números negativos y de losparéntesis, pues no son intuitivos. de hecho creoque sería mejor que en los primeros cursos nointentaras explicar la regla de los signos.

no se debe ahondar en exceso en el conceptode número y su origen, en extremo difícil; de he-cho, se experimenta una sensación de bienestarcuando se deja de lado su investigación.

te recomiendo también que tanto tú comotus futuros alumnos utilicéis las máquinas de cal-cular y la tecnología que tengas a tu alcance.

Las matemáticas son más atractivas si son ex-puestas usando elementos intuitivos y figurasapropiadas, porque se facilitaría mucho su com-prensión con estos recursos.

Las cuatro recomendaciones principales queles hacía a los futuros profesores eran:

1. Las exposiciones de conceptos abstractosdeben ser intuitivas y utilizando representacionesgráficas.

2. Hay que resaltar los enlaces con conceptospreviamente conocidos.

3. Hay que dar importancia a la evoluciónhistórica de los conocimientos científicos.

4. Hay que presentar algunos ejemplos de li-bros populares u otros soportes para diferenciarentre los conceptos del gran público influidospor tales obras y los mismos conceptos expresa-dos por matemáticos profesionales.

todos los puntos descritos deben ser cono-cidos por los aspirantes al magisterio secundario,pues al llegar a la práctica de la enseñanza trope-zarán con que los conceptos de los alumnos sonaquellos vulgares. si no conocen bien los ele-mentos intuitivos de la Matemática ni las rela-ciones vivas entre las distintas ramas de esta, nila relación entre ella con las demás ciencias ni,sobre todo, su desarrollo histórico, les fallarásiempre el terreno que pisen y una de dos: o vol-verán su atención al campo de la matemáticapura y no serán entendidos por sus discípulos osucumbirán a la lucha, olvidando cuanto apren-dieron en los cursos superiores cayendo en larutina de siempre.

estos consejos son especialmente importantesen el campo del cálculo infinitesimal, donde ladiscontinuidad en la enseñanza alcanza un gradomáximo.

HaL: santiago, tienes que tener en cuenta queen sus tiempos, la enseñanza secundaria estabasiempre destinada a los futuros universitarios.Por otro lado, su libro estaba destinado a formarprofesores de enseñanza primaria y secundaria.

13. Göttingen

KLein: desde que acepté mi cátedra en Göttin-gen en 1886 hasta que me retiré en 1913 intentéque Göttingen volviera a ser el centro de inves-tigación en matemática más importante delmundo. aunque no lideraba las investigaciones,ya que no me veía con el ánimo suficiente des-pués de mi depresión, en Göttingen impartí gran

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Universidad de Göttingen

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variedad de cursos, cambiando la geometría porla física matemática. incluso llegué a publicar untrabajo sobre el giróstato.

se me permitió establecer un centro de in-vestigación siguiendo mis directrices: reunionessemanales de discusión, biblioteca matemáticacon sala de lectura… también conseguí traer aHilbert desde Königsberg para el grupo de in-vestigación en 1895.

santiaGo: ¿Pero en las universidades tambiénse ficha a estrellas como en equipos deportivos?

HaL: así ha sido siempre. en muchas oca-siones, las estrellas invitadas daban más fama alas universidades que el resto del profesorado.te pondré algunos ejemplos para que te hagasuna idea.

HiLBert: Mi nombre empezaba a sonar másallá de Königsberg y a apesar de tener otras ofer-tas acepté la de Klein para Göttingen porque megustó su forma de llevar la investigación mate-mática, sus sesiones grupales y su gran capacidadde administrador; sin duda, un gran estadista.también tenía una gran apertura de miras, tantoen las propias matemáticas, que no cerraba a susaplicaciones prácticas, como a la apertura de laspuertas de Göttingen a las mujeres, hasta ahoracerradas para ellas en la mayoría de centros deestudios del planeta.

HaL: entre los cerebros que atrajo a Göttin-gen, se encuentran dos de las mujeres matemáti-cas más célebres de su época:

Grace cHisHoLM: en 1893, después de haberaprobado los exámenes finales y obtenido mi tí-tulo en el Grintón college, me decidí a dirigirmea Göttingen para continuar con mis estudios. en1895 obtuve mi doctorado bajo la tutela de FélixKlein. Le estoy muy agradecida por ello.

HaL: Grace es considerada la primera mujeren doctorarse de una manera «normal».

eMMY noetHer: estudié matemáticas en launiversidad de erlangen–nüremberg y en 1903aprobé el examen final. Mis primeras clases lasimpartí en el instituto matemático de la univer-sidad de erlangen, sustituyendo ocasionalmentea mi padre entre los años 1908 y 1915. Luego,en 1915, fui invitada a la universidad de Göt-tingen por Felix Klein y david Hilbert. allí im-partí clases en nombre de david Hilbert (queme las cedió) hasta 1919, cuando me fue otorgadala habilitación como privatdozent.

HaL: Gracias a Klein cambió el estudio delas ciencias aplicadas en las universidades alema-nas. también le debemos a él en gran parte quese erigieran los institutos de Matemáticas purasy aplicadas. Perdura en el recuerdo además su la-bor en la enciclopedia Matemática, de la que fueuno de los creadores y editores.

cLeBscH: Klein también escribió en revistasespecializadas. Yo mismo fundé la revista Mat-hematische Annalen, pero no fue hasta que Kleinse hizo cargo de ella que su fama rivalizó e in-cluso rebasó a Crelle Journal (apoyada por la es-cuela de matemáticas de Berlín). Y esto lo con-siguió por sus grandes dotes matemáticas yadministrativas.

KLein: unos pocos editores bien agrupadosfueron los artífices, además de una buena elecciónde temas, seleccionados democráticamente: aná-lisis complejo, geometría algebraica, teoría de in-variantes, análisis real y teoría de grupos (si bienesta última elección estoy seguro que se hizo endeferencia a mi persona).

santiaGo: ¿también hay competencia entrerevistas matemáticas?

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david Hilbert (1862-1943) Grace chisholm (1868-1944) emmy noether (1882-1935)

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HaL: así es. Lie: en 1886 fui llamado por la universidad

de Leipzig para suceder a Klein, que había sidonombrado profesor de la universidad de Göttin-gen. Fue en Leipzig donde, siguiendo la recomen-dación de Klein, comencé a reunir alumnos bri-llantes que dieron difusión a mis ideas. de nuevovolví a trabajar con engel, pero esta vez durantenueve años, hasta mi principal publicación: Theorieder Transformationsgruppen, entre 1888 y 1893.

aunque mi estancia en Leipzig fue prolífica,no fue del todo feliz. Por una parte tuve ciertasdesavenencias con mis compañeros, de los quedecidí alejarme.

KLein: su carácter no era fácil de entender yhabía que tenerle un especial aprecio para tenerun trato de continuo con él. además, por aquellaépoca su esposa anna enfermó, lo que le produjouna crisis nerviosa que concluyó en 1889 en unadepresión por la que estuvo ingresado siete mesesen una clínica psiquiátrica en los alrededores deHannover.

Lie: cuando salí del sanatorio volví a mi tra-bajo, aunque los otros matemáticos se estabanaprovechando de mis descubrimientos, usándolosy copiándolos.

KLein: ¡Vamos sophus!, sabes que eso escomo tu apellido («lie» significa mentira).

Lie: después de mi estancia en la clínica cortémi comunicación con Klein e incluso llegué aescribir: «Yo no soy pupilo de Klein, ni es el casoopuesto, aunque esto podría acercarse más a laverdad».

anne HeGeL (esposa Klein): Felix no llegó acomentar nunca esa frase en público. Prefiriódejarlo pasar por bondad y porque lo entendíaen su enfermedad.

Lie: Finalmente, en 1892 decidí irme a París,donde mis trabajos fueron bien reconocidos porlos jóvenes matemáticos franceses con los quesolía charlar en el café de la source.

el 7 de junio de 1892 me nombraron miembrode la sección de Geometría de la academia deciencias de París. Por su parte, Klein recibía lamedalla de Morgan de la sociedad Matemáticade Londres en 1893. Gracias a un informe deKlein, la sociedad Físico-Matemática de Kazanme otorgó el Premio Lobachevski en 1897.

anne HeGeL: una tarde de verano, cuandovolvíamos a casa de una excursión, allí, delantede nuestra puerta, estaba sentado un hombre pá-lido y enfermo. ¡Lie!, exclamamos grátamentesorprendidos. Los dos amigos se dieron la mano,se miraron uno a otro a los ojos, todo lo pasadodesde su último encuentro lo daban por olvidado.Lie se quedó un día con nosotros, el queridoamigo, y ya había cambiado… Poco después mu-rió, pero no antes de que el gran matemáticofuese recibido en noruega como un rey.

KLein: Poco antes de mi retiro recibí la Me-dalla copley de la sociedad en 1912. Y a pesarde mi retiro, seguí enseñando matemáticas en micasa durante la Gran Guerra.

HaL: Klein murió en Göttingen el 22 de juniode 1925.

14. el manifiesto de los 93

andré WeiL: en 1914 se publicó un texto fir-mado por 93 intelectuales alemanes para contra-rrestar la negativa opinión pública que tenían elresto de países por el bombardeo de la catedralde reims (elegida por los alemanes por ser el lu-gar de la consagración de los monarcas de Fran-cia) y de la ciudad belga de Lovaina. Pero lejos

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tumba de Félix christian Klein en Göttingen explosión de una bomba alemana en la catedral de reims

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de calmar los ánimos, más bien hicieron todo locontrario, y los antigermanos utilizaron el mani-fiesto como una muestra de la barbarie teutona.entre los nombres que aparecían en el manifiestoestaba el de Klein.

andré WeiL: Pude informarme de que mu-chos de los firmantes, entre ellos Felix Klein, nohabían visto el texto. solo se les pidió por telé-fono una adhesión que les fue presentada comoun deber patriótico. también he de decir queHilbert se negó a firmarlo.

Grace cHisHoLM Young, de collonge, Laconversion (suiza): el times publicó un escritoque envié con motivo de la muerte de FelixKlein. en este escrito dejo constancia de las cir-cunstancias de un lamentable error que me aclaróel propio Klein en respuesta a una carta. Mecontestó, el 7 de diciembre de 1918, que su pri-mera noticia del manifiesto fue mediante su lec-tura en un periódico. Para su sorpresa, vio sunombre impreso cuando él únicamente habíadado su consentimiento telegrafiado al pregun-tarle si firmaría que los intelectuales del mundocivilizado mantendrían una actitud objetiva du-rante la guerra.

HaL: al parecer, la manipulación de telegra-mas era algo habitual, como pudiste comprobarcon Bismark y Klein. también otros firmantesdel manifiesto declararon no estar de acuerdocon el texto, tal como comunicó el astrónomoFoerster, que se encontró en la mismas circuns-tancias que Klein.

KLein: al parecer, en lo referente al mani-fiesto, yo mismo dejé de seguir mi máxima favo-rita: «nunca ser tonto».

conclusiones

santiaGo: Me ha gustado mucho esta experienciade aprendizaje contada por sus protagonistas, aun-

que a veces no he entendido todo lo que explica-ban. sin duda, Klein fue un gran maestro.

HaL: Me alegro. tu apreciación será transmi-tida en los informes que se generen para el pro-yecto Klein. si quieres conocer algo más sobreeste personaje de la historia de las matemáticas terecomiendo el artículo sobre él publicado en larevista Suma (números 82 y 83) en 2016.

si te parece, ahora podríamos hablar con lapersonalidad virtual de…

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