Rompimiento de presas-1.pdf

1

CONTENIDO RESUMEN 12 0. INTRODUCCIÓN 14 1. CASOS DE FALLA 23

1.1 TETON DAM (USA, 1976) 23

1.2 MANTARO (PERÚ, 1974) 32

1.3 LA JOSEFINA (Ecuador, 1993) 34

2. ECUACIONES DE PREDICCIÓN 38

2.1 ECUACIONES DE PREDICCIÓN PARA EL DESARROLLO DE LA BRECHA 40

2.2 ECUACIONES DE PREDICCIÓN PARA EL CAUDAL PICO 45

2.3 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE PREDICCIÓN PARA EL CAUDAL PICO A 45 CASOS 50

2.3.1 Análisis estadístico para cada ecuación de predicción para el caudal pico 60

2.3.2 Análisis estadístico para cada presa 63

2.3.3 Ecuación de predicción propuesta por Barros (2002) 68

3. MODELOS PARAMÉTRICOS 73

3.1 MODELO DE BRECHA RECTANGULAR DE ANCHO CONSTANTE (SINGH, 1988), 74

3.2 MODELO DE BRECHA RECTANGULAR DE PROFUNDIDAD CONSTANTE (PACHECO-BARROS, 1998) 82

3.3 APLICACIÓN DEL MODELO DE BRECHA RECTANGULAR DE PROFUNDIDAD CONSTANTE (PACHECO-BARROS, 1998) 86

4. MODELOS MATEMÁTICOS FÍSICAMENTE BASADOS 92

2

4.1 BREACH: UN MODELO DE EROSIÓN PARA FALLAS DE PRESAS DE TIERRA (HYDROLOGIC RESEARCH LABORATORY, NATIONAL WEATHER SERVICE (NWS), NOAA) 94

4.1.1 Descripción del modelo. Generalidades 96

4.1.2 Ancho del canal de erosión 101

4.1.3 Determinación del nivel del embalse: 104

4.1.4 Hidráulica del canal de erosión 105

4.1.5 Transporte de sedimentos 108

4.1.6 Agrandamiento del canal por el colapso súbito: 109

4.1.7 Sumergencia 111

4.1.8 Porosidad del material 111

4.1.9 Algoritmo computacional 112

4.2 MODELO MATEMÁTICO BRECCIA ( MODELO DEL ENEL-CRIS, ENTE NAZIONALE ENERGIA ELETTRICA-CENTRO RICERCA IDRAULICA E STRUTTURALE ) 114

4.2.1 La presa 114

4.2.2 La brecha 114

4.2.3 El embalse 116

4.2.4 El caudal de rebose 117

4.2.5 La corriente a lo largo de la brecha 117

3

4.2.6 El material transportado por la corriente 119

4.2.7 La evolución de la brecha 120

4.2.8 Solución de las ecuaciones del modelo 121

4.3 APLICACIÓN DE LOS MODELOS 121

4.3.1 Modelos BREACH y BRECCIA. Análisis de sensibilidad en los casos Mantaro y La Josefina 122

4.3.2 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad de parámetros geotécnicos en 13 presas 127

4.3.3 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad de la cota de inicio de tubificación para 9 presas 147

4.3.4 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad al diámetro medio y a la porosidad para el caso Teton 158

4.3.5 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad de una presa a varios parámetros162

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 168

5.1 LAS BASES DE DATOS 168

5.2 LAS ECUACIONES DE PREDICCIÓN 169

5.3 LOS MODELOS PARAMÉTRICOS 170

5.4 LOS MODELOS MATEMÁTICOS FÍSICAMENTE BASADOS 171

5.5 RECOMENDACIONES Y ESTÍMULO PARA OTRAS INVESTIGACIONES 174

BIBLIOGRAFÍA 176 ANEXOS 180

LISTA DE TABLAS

4

Tabla 1. Características del embalse de Teton 31

Tabla 2. Datos de área y volumen del embalse de Teton 31

Tabla 3. Características de la presa del embalse de Teton 31

Tabla 4. Características del embalse de Mantaro 33

Tabla 5. Datos de área y volumen del embalse de Mantaro 33

Tabla 6. Características de la presa Mantaro 34

Tabla 7. Características del embalse de La Josefina 36

Tabla 8. Datos de área y volumen del embalse de La Josefina 36

Tabla 9. Características de la presa de La Josefina 37

Tabla 10. Ecuaciones de predicción para la formación de la brecha 44

Tabla 11. Características de la presa, el embalse y el caudal pico para 22 presas de material suelto (Froehlich, 1995) 49

Tabla 12. Ecuaciones de predicción para el caudal pico 52

Tabla 13. Coeficientes de determinación para las 13 ecuaciones de predicción 54

Tabla 14. Criterio de Chauvenet para rechazo de una lectura 58

Tabla 15. Resumen de rechazos para las 45 presas 60

Tabla 16. Resumen de rechazos para las presas según la variable independiente de las ecuaciones de predicción 63

Tabla 17. Resumen de pruebas de rechazo para las 13 ecuaciones de predicción 65

5

Tabla 18. Coeficientes de determinación para la regresión lineal entre variables de las ecuaciones de predicción y el caudal pico observado 68

Tabla 19. Prueba de rechazo para la ecuación de Barros (2002) 71

Tabla 20. Características físicas y datos de brecha de 52 casos históricos. 79

Tabla 21. Coeficientes de erosión para brecha rectangular (Singh, 1988) 80

Tabla 22. Coeficientes de erosión para 13 presas 87

Tabla 23. Modelos Físicamente basados(V.Singh & Scarlatos, 1988; Wurbs, 1987).94

Tabla 24. Datos reportados de los casos Mantaro y La Josefina 123

Tabla 25. Parámetros de referencia utilizados en la modelación 124

Tabla 26. Resultados de caudal pico y tiempo al pico 124

Tabla 27. Parámetros geotécnicos adoptados para la modelación de 13 presas 127

Tabla 28. Resultados de caudal obtenidos para 13 presas con el modelo BREACH128

Tabla 29. Resumen del estudio de sensibilidad de los parámetros geotécnicos para 13 presas 143

Tabla 30 Resumen del estudio de sensibilidad de la cota de inicio de tubificación para 9 presas 157

Tabla 31. Características geométricas de la presa y del embalse 163

Tabla 32. Rangos de variación de los parámetros para el análisis de sensibilidad 163

Tabla 33. Valores de los parámetros considerados para 31 casos de modelación para una presa 165

6

LISTA DE FOTOGRAFÍAS

Fotografía 1. Falla por tubificación en la presa Teton (10:45 a.m.,junio 5,1976) 24

Fotografía 2. Estado del rompimiento en la presa Teton a las 11:20 a.m. 26


Fotografía 4. Presa Teton poco después de las 11:30 a.m. 27


Fotografía 6. Transición de tubificación a brecha a las 11:55 a.m. 28

Fotografía 7. Estado del rompimiento temprano en la tarde del 5 de junio 29

Fotografía 8. Estado del rompimiento al final de la tarde del 5 de junio 29

Fotografía 9. Presa Teton en la actualidad 30

7

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Histogramas de altura de presa, volumen de embalse, factor de presa y caudal pico para la base de datos de 45 presas. 52

Figura 2. Gráficos comparativos de los caudales para las 13 ecuaciones de predicción de la Tabla 12 , 6 de 13(continúa en la p. siguiente) 55

Figura 3. Gráficos de las variables de las ecuaciones de predicción y el caudal pico observado (después del análisis estadístico) 69

Figura 4. Ecuación de predicción propuesta por Barros (2002) 70

Figura 5. Gráfico comparativo de los caudales para la ecuación de predicción Barros (2002) 71

Figura 6. Gráfico comparativo de los caudales para la ecuación de predicción Barros (2002), después del análisis estadístico 72

Figura 7. Hidrógrafas de 13 presas generadas con el modelo paramétrico de Pacheco-Barros 89

Figura 8. Sección transversal de una presa 99

Figura 9. Formación del canal de erosión en la presa 103

Figura 10. Vista frontal de la presa con el canal de erosión 104

Figura 11. Vista lateral mostrando las fuerzas que determinan el posible colapso de la porción superior (yc) de la presa. 110

Figura 12. Geometría de la presa y de la brecha, modelo BRECCIA 115

Figura 13. Análisis de sensibilidad para los casos Mantaro y La Josefina 126

8

Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas 129

Figura 15. Resultados del análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 7 presas 146

Figura 16. Análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 9 presas 148

Figura 17. Correlaciones entre la carga hidráulica inicial con los caudales y el tiempo en el cambio de flujo confinado a libre 158

Figura 18. Sensibilidad a la porosidad para el caso Teton 159

Figura 19. Sensibilidad al diámetro medio para el caso Teton (con cohesión) 160

Figura 20. Sensibilidad al diámetro medio para el caso Teton (sin cohesión) 161

Figura 21. Estudio de sensibilidad para una presa en Antioquia (Colombia) 166

9

LISTA DE ANEXOS

ANEXO A. BASE DE DATOS DE 108 PRESAS 181

ANEXO B. BASE DE DATOS DE 45 PRESAS 184

ANEXO C. LISTA DE PRESAS PARA ANÁLISIS DE REGRESIÓN 185

ANEXO D. ANÁLISIS ESTADÍSTICO PARA CADA ECUACIÓN DE PREDICCIÓN186

ANEXO E. ANÁLISIS ESTADÍSTICO PARA CADA PRESA 187

10

Dedico este trabajo:

A mis padres y hermanos

A mi Familia (Marta Lucía, Manuel y Sara)

A mis profesores del Posgrado

A mis compañeros del Posgrado

A mis discípulos

A mis compañeros de la Escuela de Ingeniería de Antioquia

A mis amigos

11

RECONOCIMIENTOS

A Ramón Galindo Pacheco (Posgrado en Aprovechamiento de recursos Hidráulicos,

Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín). Propuso el tema de esta tesis,

elaboró el primer plan de trabajo, suministró información valiosa, programas de

cómputo e ideas originales. Asumió con dedicación y notable interés la asesoría del

trabajo durante el tiempo que permaneció como profesor en el Posgrado.

Adriana Tobón Noreña (Empresas Públicas de Medellín). Abrió las puertas para

desarrollar y aplicar el conocimiento en casos reales demostrando con ello la

importancia de la predicción en la elaboración de Planes de Contingencia.

Rubén Darío Hernández Pérez (Escuela de Ingeniería de Antioquia). Brindó un

espacio indispensable para la culminación de este trabajo.

Mauricio Toro Botero (Posgrado en Aprovechamiento de recursos Hidráulicos,

Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín). Llevó a cabo una brillante

dirección con receptividad, creatividad, seriedad y una visión especial para alcanzar

la conexión de mucho trabajo que parecía disperso.

Marta Lucía Mejía Jiménez (mi esposa). Siempre creyó en el proyecto y sobretodo en

mí. Mantuvo la esperanza y la confianza. Empujó, apoyó, animó, oró. Siempre estuvo

dispuesta, atenta, despierta. Su inmenso amor merecía conocer este proyecto

culminado.

12

RESUMEN

Utilizando una base de datos de 45 casos de presas falladas en un rompimiento de

presa, se analizan tres métodos de predicción para el caudal pico resultante:

ecuaciones de predicción, modelos paramétricos y modelos matemáticos

físicamente basados. Se aplican 13 ecuaciones de predicción a la base de datos y

se propone una nueva; se realiza un análisis estadístico que permite evaluar los

datos de caudal pico y la aplicabilidad de las ecuaciones de predicción a cada

presa. Se propone un nuevo modelo paramétrico. Se realiza un exhaustivo análisis

de sensibilidad utilizando dos modelos matemáticos físicamente basados (BREACH

y BRECCIA).

Palabras claves: Presa, Rompimiento, Brecha, Ecuaciones de predicción, Modelos

paramétricos, Modelos matemáticos físicamente basados.

ABSTRACT

Using a database of 45 cases of dams failed in a dam breach, three prediction

methods are analyzed for the resultant peak discharge: predictor equations,

parametric models and physically based mathematical models. 13 predictor

equations are applied to the database and a new one is purposed; a statistical

analysis that allows evaluating the data of peak discharge and the applicability of the

predictor equations to each failed dam is carried out. A new parametric model is

purposed. An exhaustive analysis of sensibility is carried out using two physically

based mathematical models (BREACH and BRECCIA).

13

Key words: Dam, Break, Breach, Predictor Equations, Parametric Models, Physically

Based Mathematical Models

14

0. INTRODUCCIÓN

La falla de una presa puede resultar en un desastre de grandes proporciones con

pérdidas materiales, ambientales y de vidas humanas. Para la planificación del

territorio y la definición de usos del suelo en zonas aledañas a un embalse artificial o

en zonas con riesgo de formación de embalses naturales (por el represamiento

debido a deslizamientos de tierra), es urgente el estudio y análisis del rompimiento

por erosión de la presa que contiene al embalse. Las crecientes asociadas por la

falla de presas artificiales han producido algunos de los desastres más

devastadores en los últimos dos siglos. Costa (1985) reporta que el 60% de más de

11,100 fatalidades asociadas con fallas de presas, han ocurrido en tan sólo 3

fallas: Vaiont, Italia, 1963 (2,600 muertes por un sobrevertimiento en una presa en

arco de concreto producido por la onda generada por un deslizamiento); Johnstown

Dam, Pennsylvania, USA, 1889 (2,200 muertes por un sobrevertimiento en una presa

de tierra); y Machhu II, India, 1974 (más de 2,000 muertes por un sobrevertimiento en

una presa de tierra durante construcción). La mayoría de las causas de las fallas han

sido el sobrevertimiento debido a una inadecuada capacidad del vertedero (34%),

defectos de fundación (30%) y tubificación o filtración (28%)1. El número promedio

de fatalidades ha sido hasta casi 20 veces mayor cuando no existen adecuaciones o

medidas de prevención. Hay varias causas de falla en las presas de material suelto y

en algunas ocasiones es difícil determinar con exactitud el modo de falla,

especialmente si no hay testigos de ella. La International Commission on Large

Dams (ICOLD, 1974) reporta que cerca de una tercera parte de las fallas de presa

de material suelto son causadas por una capacidad inadecuada del vertedero que

15

da como resultado un sobrevertimiento de la presa2. Aproximadamente otra tercera

parte de las fallas de presas de material suelto se han atribuido a la tubificación

causada por filtraciones concentradas que erosionan las partículas del suelo a lo

largo de la trayectoria de la filtración, que aumenta gradualmente hasta que la falla

ocurre. La tercera parte restante de las fallas es causada por el deslizamiento de la

presa, asentamiento de la base, o una protección inadecuada contra la acción de las

olas.

Durante la falla de la presa se desarrolla un proceso dinámico complejo. Aunque los

principales modos de falla han sido identificados como el sobrevertimiento y la

tubificación, poco se conoce sobre la localización y el tamaño del canal (brecha

inicial) o del conducto con el cual se inicia el proceso. En la formación de esta

brecha y en el proceso de la falla se involucran aspectos hidráulicos, hidrodinámicos,

hidrológicos, geotécnicos y de mecánica de transporte de sedimentos. La predicción

de la forma, magnitud y tiempo del desarrollo de la falla de la presa es importante

para el diseño de un programa de evacuación y un manejo adecuado de las

operaciones en el embalse. Una vez se forma la brecha, la descarga de agua

continúa erosionándola hasta que el embalse es prácticamente vaciado.

El caso de la falla de la presa Baldwin Hills cerca de Los Ángeles, California (USA)

en 1964 y la posibilidad de ocurrencia de falla en la presa Lower Van Norman en

1971, llevaron a que el estado de California promulgara unos estatutos mediante los

cuales se exigía a los propietarios de presas, la elaboración de mapas de

1 WAHL, Tony L. Prediction of embankment dam breach parameters, literature review and needs assessment. En: Dam safety operation and maintenance an international technical seminar. Denver, CO, USA: USBR, 1996, p. 4. 2 FROEHLICH, David C. Peak outflow from Breached embankment dam . Journal of Water Resources Planning and Management . Vol. 121, No 1, January/February, 1995, p. 91.

16

inundación en el caso eventual de una falla. Aquí nació el desarrollo de

procedimientos para estimar los resultados del rompimiento por falla de las

presas. Anterior a esta medida, poco se había escrito acerca de procedimientos

para estimar tales resultados3. En los últimos 20 años se han desarrollado un buen

número de modelos matemáticos para la simulación de este proceso.

Para Colombia el Ministerio del Medio Ambiente expidió en Junio de 1997 los

términos de referencia (Eter-210) para el Estudio de Impacto Ambiental de proyectos

de aprovechamiento hidroeléctrico (Sector de Energía). En la Identificación y

Evaluación de Impactos Ambientales, debe tenerse en cuenta para el análisis de

riesgos, la posibilidad de la rotura de presa. En Junio de 1998, el mismo Ministerio

expidió la Resolución 0501 por la cual se establecen términos de referencia

genéricos (Eter-220) para la elaboración de Planes de Manejo Ambiental de

centrales hidroeléctricas en régimen de transición que son de competencia del

Ministerio del Medio Ambiente. Allí se presenta un listado de las amenazas a

considerar para el análisis de riesgos y el Plan de Contingencia, entre las cuales se

incluyen las fallas en la presa.

Los dos aspectos principales en el análisis del rompimiento de la presa son la

predicción de la hidrógrafa de salida y el desplazamiento de esa hidrógrafa aguas

abajo. Para la predicción de la hidrógrafa de caudales generada en la ruptura

gradual del cuerpo de la presa, se deben considerar las características de la brecha

(e.g. forma, ancho inicial, profundidad y tasa de formación), las del volumen

almacenado en el embalse y las del flujo entrante en la brecha. Para el

desplazamiento de la hidrógrafa aguas abajo de la presa, existen diversos modelos

3 WAHL, Tony L., Op. cit., p. 6.

17

computacionales basados en métodos de propagación de la onda, generalmente

utilizando flujo unidimensional.

Reclamation (1988) agrupa los métodos de análisis del rompimiento de la presa en

4 categorías4:

1. Métodos físicamente basados: predicen el desarrollo de la brecha y el caudal de

salida resultante utilizando un modelo de erosión basado en principios de

hidráulica, transporte de sedimentos y mecánica de suelos.

2. Modelos paramétricos: utilizan información de casos estudiados para estimar el

tiempo de falla y la geometría final de la brecha y simulan el crecimiento de la

brecha como un proceso lineal o no lineal dependiente del tiempo, calculando el

caudal de salida usando principios de la hidráulica.

3. Ecuaciones de predicción: calculan el caudal máximo (caudal pico) por medio de

una ecuación empírica basada en datos de casos estudiados y asumen una

forma razonable para la hidrógrafa de salida.

4. Análisis comparativo: si la presa en consideración es muy similar en tamaño y

construcción a la presa de una falla bien documentada, los parámetros de la

brecha y del caudal pico de salida pueden determinarse por comparación.

Los tres últimos métodos dependen de la similitud entre los datos del caso estudiado

y los datos seleccionados para las ecuaciones utilizadas. En general la base de

datos de las fallas de presas bien documentadas es pequeña y contiene pocos

ejemplos de presas muy altas o embalses de gran volumen de almacenamiento. Los

4 Ibid., p. 7.

18

datos de estudios de casos sólo proporcionan información limitada (e.g.

profundidad, ancho y forma final de la brecha, caudal pico y tiempo total de la falla o

de vaciado del embalse). Los datos de casos estudiados son insuficientes para

realizar predicciones de la tasa de formación de la brecha y del tiempo total

requerido para la falla, dada la dificultad en definir el punto de falla y en la

interpretación de la falla por parte del observador del lugar, que es a menudo el único

testigo que presencia el rompimiento de la presa. La identificación de casos

estudiados para un análisis comparativo o para el desarrollo de ecuaciones de

predicción puede ser imposible para presas grandes o aquellas de construcción

única. Además, la suposición de la tasa de crecimiento de las dimensiones de la

brecha no es muy realista en la mayoría de los casos.

Los modelos numéricos físicamente basados ofrecen la posibilidad de obtener una

información más detallada pero en la actualidad se reconoce que poseen

limitaciones en la precisión. Los modelos disponibles dependen de las relaciones de

transporte de sedimentos que no son siempre aplicables o no han sido verificadas

para las condiciones de régimen de flujo que se aplican en la brecha de la

presa. Además, muchos de los modelos disponibles no simulan los mecanismos de

falla observados en los casos estudiados o en los ensayos de laboratorio. Existen

distintos modelos matemáticos con idénticos propósitos pero que utilizan distintas

hipótesis, ecuaciones básicas y determinadas características particulares.

Algunos estudios de casos descritos por Wahl son:

K. Singh y Snorrason (1984) utilizaron los modelos DAMBRK y HEC-1 para estudiar

los efectos de las variaciones en los parámetros de la brecha sobre la descarga

máxima predicha para ocho rompimientos de presa hipotéticos. Ellos variaron el

ancho de brecha, la profundidad, el tiempo de falla y la carga hidráulica sobre la

19

cresta, entre rangos identificados de un análisis de 20 casos estudiados de fallas

reales. Grandes cambios en el caudal pico se produjeron variando el tiempo de falla

en embalses de pequeño volumen de almacenamiento. Una reducción del 50% en el

tiempo de falla durante la creciente máxima probable produjo incrementos en el

caudal pico del 13% al 83%. Para embalses grandes el caudal de salida era

insensible al mismo cambio en tiempo de falla, mostrando una variación de sólo el

1% al 5%. Cambios en el ancho de la brecha produjeron grandes variaciones en el

caudal pico para grandes embalses (35% al 87%) y pequeñas para pequeños

embalses (6% al 50%). La sensibilidad a la profundidad de la brecha fue

relativamente pequeña en los 20 casos estudiados, considerados por Singh y

Snorrason. Sólo hubo un cambio del 20% en el caudal pico en el rango de las

profundidades de brecha simuladas y el cambio en el caudal pico no mostró una

relación aparente con el tamaño del embalse5.

Petrascheck y Sydler (1984) también demostraron la sensibilidad de la descarga,

niveles de inundación y propagación de la creciente a cambios en el ancho de

brecha y el tiempo de formación de la misma. Para localidades cercanas a la presa

ambos parámetros pueden tener una gran influencia. Para sitios alejados aguas

abajo de la presa el tiempo de la onda de crecida puede ser alterado

significativamente por cambios en el tiempo de formación de la brecha, pero el

caudal pico y los niveles de inundación son insensibles a cambios en los parámetros

de la brecha.

Wurbs (1987) concluyó que la simulación de la brecha contiene la mayor

incertidumbre de todos los aspectos de la onda de crecida modelada en el

rompimiento. La importancia de diferentes parámetros varía con el tamaño del

5 Ibid., p.7.

20

embalse. En embalses grandes el caudal pico ocurre cuando la brecha alcanza su

máxima profundidad y ancho. Cambios en el nivel del embalse son relativamente

pequeños durante el período de formación de la brecha. En estos casos una

predicción precisa de la geometría de la brecha es más crítica. Para pequeños

embalses hay un cambio significativo en el nivel del embalse durante la formación de

la brecha y por ello el caudal pico ocurre antes de que la brecha se haya formado

completamente. Para estos casos la tasa de formación de la brecha es el parámetro

crítico6.

Planes de contingencia bien elaborados son indispensables para prevenir la pérdida

de vidas durante un desastre por el rompimiento de una presa. Un aspecto clave de

la mayoría de los planes de contingencia es el conocimiento del tiempo disponible

para llevar a cabo los programas de evacuación, de acuerdo con la amenaza de la

falla de la presa. En algunos casos, unos sistemas de alerta oportunos pueden

proporcionar un tiempo adicional que hace posible unos procedimientos de

evacuación y reduce la necesidad de modificaciones costosas en la presa o en el

vertedero de descarga. Distintos tipos de análisis ingenieriles deben utilizarse para

determinar los parámetros que afectan el desarrollo del plan de contingencia.

Para poblaciones localizadas lejos, aguas abajo de la presa, las características del

canal del río después de la presa juegan un papel importante en la determinación del

tiempo de llegada de la onda de creciente y en la atenuación del caudal pico y del

máximo nivel de inundación. Para esta población, el desplazamiento de la onda de la

creciente es el aspecto más importante del análisis. Sin embargo, para la población

de mayor riesgo ante la falla de la presa (aquella cercana a la presa) los parámetros

de la brecha (tiempo de iniciación, tasa de formación y geometría como una función

6 Ibid., p.8.

21

del tiempo) son los de mayor influencia. La mayoría de las aproximaciones cuentan

bien sea con datos obtenidos de casos estudiados de presas falladas o con

modelos numéricos que simulan los mecanismos de erosión y los regímenes de flujo

relevantes en un proceso de rompimiento sin unas consideraciones realistas.

En el trabajo que se desarrolla en los capítulos siguientes se hace uso de tres de los

distintos métodos de análisis que agrupa el Bureau, i.e., las ecuaciones de

predicción, los modelos paramétricos y los modelos matemáti cos físicamente

basados. La investigación va orientada a la aplicación de los métodos de análisis y

a la propuesta de una metodología de trabajo que permita validar los resultados. En

el Capítulo 1 se describen tres casos de falla bien documentados. En el Capítulo 2 se

lleva a cabo un análisis estadístico con 13 ecuaciones de predicción y una base de

datos de 45 presas. En el capítulo 3 se presentan dos modelos paramétricos y se

aplica uno de ellos a 13 presas de la misma base de datos anterior. En el capítulo 4

se describen dos modelos matemáticos físicamente basados, y se presentan

estudios de análisis de sensibilidad aplicados a distintas presas.

En Colombia, han ocurrido varios casos de rompimiento, pero poco se conoce sobre

ellos debido a la falta de un manejo técnico. Entre algunos de ellos están el de la

presa de La Regadera (Cundinamarca) en 19377. También en el departamento de

Antioquia ocurrió en Octubre de 1970, un deslizamiento de unos 8 millones de

metros cúbicos que ocasionó el represamiento del río Sucio y la posterior

destrucción de 120 casas en el municipio de Uramita (en ese entonces municipio de

Dabeiba), distintas localidades municipales, puentes, instalaciones de servicios

públicos y varios kilómetros de carretera. Este deslizamiento se conoce como El

7 FREGA, Giuseppe y MACCHIONE, Francesco. Formulazione e sviluppo di modelli matematici alle diferenze finite per la simulazione della rottura di una diga in materiali sciolti. ENEL CRIS-Università degli studi della Calabria, Montalto, diciembre de 1992, p. 14.

22

Revenidero8. El 25 de julio de 1994 se presentó un flujo de escombros a lo largo de

la quebrada El Uval, municipio de Guasca (Cundinamarca), originado por la falla de

una pequeña presa construida en 1979 para almacenar 200,000 m3 de agua para

riego y consumo doméstico. La creciente arrasó gran cantidad de árboles, causó la

destrucción de numerosas viviendas, generó algunos deslizamientos en las orillas

del cauce y destruyó parcialmente algunos acueductos veredales9.

Colombia es un país montañoso con zonas de alto riesgo de deslizamiento y la

consecuente formación de represamientos por el posible taponamiento de ríos o

quebradas. El 6 de febrero de 1999 se produjeron distintos deslizamientos en el

municipio de La Montañita (Caquetá) con el represamiento de varias quebradas10. A

consecuencia de estos deslizamientos 50 familias se vieron afectadas y se

registraron fuertes pérdidas materiales, ya que los aludes arrasaron tuberías de

acueductos, carreteras, puentes, viviendas, animales y cultivos, hasta varios

kilómetros abajo del pueblo.

8 CABALLERO ACOSTA, José Humberto y MEJÍA PELÁEZ, Isabel. Investigación histórica y de campo del derrumbe El Revenidero ocurrido en Octubre de 1970, municipio de Uramita, departamento de Antioquia. Revista Ingeominas (Instituto de Investigaciones en Geociencias, Minería y Química, Colombia), No.2,1993,p. 28-56.

9 CARO PEÑA, Pablo E. y ÁVILA ÁLVAREZ, Guillermo E. Evaluación de un flujo de escombros producido por la falla de una presa en el municipio de Guasca. VII Congreso Colombiano de Geología. IV Conferencia Colombiana de Geología Ambiental. No Exp. 18. Santafé de Bogotá, Colombia. Agosto 27 al 29 de 1996. 10 El Espectador. La Montañita se derrumbó. Lunes, 8 de febrero de 1999.

23

1. CASOS DE FALLA

Existe gran variedad de bases de datos que recogen información acerca de fallas de

presas. Quizás una de las más completas es la que ofrece Tony L. Wahl en el sitio

WEB del Water Resources Research Laboratory del U.S. Department of the Interior,

Bureau of Reclamation11, con datos de 108 presas compilados de diversas fuentes

de la literatura científica. Esta base de datos se presenta en el ANEXO A .

Puede encontrarse buena información acerca de tres casos de rompimiento en

particular: la presa Teton (USA) y dos presas naturales creadas por deslizamientos

conocidas como Mantaro (Perú) y La Josefina (Ecuador). Dada la descripción que

puede lograrse de los procesos de rompimiento mediante estos casos, a

continuación se presenta un resumen.

1.1 TETON DAM (USA, 1976)

La presa Teton (Teton Dam) del Bureau of Reclamation falló el 5 de junio de 1976

durante el llenado inicial, cuando el embalse estaba casi completamente lleno 12. A la

falla se atribuyó la muerte de 11 personas y daños en propiedades por cerca de 400

millones de dólares. La presa estaba situada sobre el río Teton, 5 kilómetros al

noreste de Newdale, Idaho (USA). El embalse formado por la presa de tierra se

comenzó a llenar el 3 de octubre de 1975 y el día de la falla almacenaba 310.3 hm 3

11 WAHL, Tony L. Report DSO-98-004: Prediction of embankment dam breach parameters - A literature review and needs assessment. U.S. Department of the Interior, Bureau of Reclamation, Dam Safety Office. July 1998. Disponible en Internet: <http://www.usbr.gov/wrrl/twahl/> 12 BUREAU OF RECLAMATION. Dams and Public Safety. Denver, CO: United States Government Printing Office. 1992. p 191-196.

24

de agua, 295.9 hm 3 de los cuales fueron desalojados en un período de 8 horas. Los

eventos fueron descritos por testigos en el reporte Teton Dam Failure Review Group

(U.S. Department of the Interior, 1977)13. A las 7:30 a.m. del sábado 5 de junio se

observaron dos filtraciones de agua en el cuerpo de la presa. Aproximadamente

0.06 m3/s manaban de la presa a una cota de 1,585.4 msnm y a las 8 a.m. fluían de

0.6 a 0,9 m3/s a una cota de 1,538.1 msnm. Para las 9 a.m. este flujo se había

incrementado a 1,417 m3/s. Otra fuga de cerca de 0.43 m3/s se observó a las 10

a.m. a una elevación de 1,585.4 m y a partir de ésta la cara aguas abajo de la presa

se comenzó a erodar progresivamente a medida que el flujo se incrementaba

(Fotografía 1 ).

Fotografía 1. Falla por tubificación en la presa Teton (10:45 a.m.,junio 5,1976)

Fuente: <http://ponce.sdsu.edu/teton_dam_failure_photos.html>

13 RAY,H.A. y KJELSTROM, L.C. The flood in southeastern Idaho from the Teton Dam failure of June 5,1976. En: U.S. Geological Survey,Open-file report 77-769. p 1-3.

25

A las 11:57 a.m. (Fotografía 2 a Fotografía 6) se formó una brecha en la presa y el

agua del embalse se precipitó hacia el cañón del río Teton, arrasando con una

cantidad apreciable del material de las paredes del cañón y dejando la casa de

máquinas enterrada bajo el material erodado. De acuerdo con un reporte de Ray et

al (1976), la falla comenzó por tubificación a las 10:00 am y lentamente se

incrementó el caudal de descarga hasta las 12:00 m cuando la porción de la presa

sobre el conducto creado por la tubificación colapsó y en los minutos próximos

(cerca de 12 minutos de acuerdo con Blanton, 1977) la brecha llegó a desarrollarse

completamente permitiendo un caudal pico entre 45,300 m3/s y 79,300 m3/s,

considerándose el mejor estimativo como de 65,100 m3/s (Brown y Rogers,

1977). En el momento del caudal pico la brecha (según observaciones en

fotografías) aparece con forma trapezoidal con un ancho superior en el nivel inicial de

la superficie del agua de cerca de 152 m y pendientes laterales en proporción 1

vertical a 0.5 horizontal (1:0.5) (Fotografía 7 y Fotografía 8). Un estimativo mayor de

ancho final de brecha, después de haber ocurrido más ensanchamiento posterior al

caudal pico fue reportado por Brown y Rogers (1977) como de 198 m. Luego del

caudal pico, el caudal decreció gradualmente a un flujo comparativamente bajo en

cerca de 5 horas, tiempo en el cual fue vaciado el embalse. El caudal de entrada al

embalse durante la falla fue insignificante. El nivel del eje del conducto de brecha

estaba 48.8 m sobre el piso de la presa.

La presa estaba localizada en un cañón formado por el río Teton sobre suelo

volcánico y que se extendía hasta aproximadamente 8,045 m aguas abajo de la

presa. Cerca de 6,436 m aguas abajo del final de este cañón, el río Teton se bifurca

en una ramificación norte y una ramificación sur y ambas ramificaciones caen más

abajo al río Henrys Fork. Aproximadamente 17,699 m aguas abajo de la

desembocadura de la ramificación sur del río Teton, el río Henrys Fork cae al río

Snake y 197,907 m aguas abajo de este punto se encuentra la presa de las

26

Cataratas Americanas. En las llanuras de inundación de estos ríos se practicaba la

agricultura extensiva. Las inundaciones en este sistema fluvial estaban generalmente

asociadas a los deshielos de primavera o las fuertes lluvias de verano.

En los 143 minutos siguientes al rompimiento de la presa, cerca de 213.3 hm3 de

agua drenaron por la brecha formada, resultando un caudal pico de

aproximadamente 65,179 m3/s en el cañón del río Teton entre 1,448 a 3,701 m

aguas abajo de la presa y produciendo la inundación de 479.2 km2, la muerte de 11

personas y cuantiosas pérdidas materiales. El volumen de la creciente de cerca de

197.3 hm3 de agua después de las atenuaciones sufridas en los 251,004 m

recorridos, fue amortiguado por el embalse de las Cataratas Americanas sobre el río

Snake, con una capacidad de almacenamiento de 1,603 hm 3.

Fotografía 2. Estado del rompimiento en la presa Teton a las 11:20 a.m.

Fuente: Ibid.

27


Fuente: Ibid.

Fotografía 4. Presa Teton poco después de las 11:30 a.m.

Fuente: Ibid.

28


Fuente: Ibid.

Fotografía 6. Transición de tubificación a brecha a las 11:55 a.m.

Fuente: Ibid.

29

Fotografía 7. Estado del rompimiento temprano en la tarde del 5 de junio

Fuente: Ibid.

Fotografía 8. Estado del rompimiento al final de la tarde del 5 de junio

Fuente: Ibid.

30

Fotografía 9. Presa Teton en la actualidad

Fuente: Ibid.

En las 48 horas siguientes a la rotura de la presa, un área de cerca de 479.2 km2 fue

inundada; sin embargo los sistemas de alerta permitieron evacuar las zonas en

peligro de inundación y salvar muchas vidas humanas. La onda de creciente alcanzó

velocidades cercanas a 12.2 m/s y las profundidades de agua oscilaron entre 22.9 m

cerca a la presa, hasta 15.2 m en zonas más alejadas aguas abajo. Las

comunidades de Willford y Sugar City ubicadas a más de 19 km de la presa, fueron

devastadas por una ola de 4.6 m de altura que llegó a ellas el 5 de junio a la 1 p.m.

Aproximadamente 40 minutos después llegó la onda de creciente a la población de

Rexburg (24,618 m aguas abajo de la presa) y en pocos minutos inundó el 80% de la

ciudad bajo 2.4 m de agua que arrastraban árboles y escombros. Cerca de dos

horas más tarde, la creciente alcanzó la confluencia de los ríos Henrys Fork y Snake

inundando 137.3 km2 de tierras dedicadas a la agricultura alrededor de los cerros

Menan y produciendo daños considerables en viviendas, carreteras, puentes,

canales y demás infraestructura de la zona. Para entonces, 6 horas después de la

falla de la presa, 238.3 km2 habían sido inundados. El 6 de junio a las 6 p.m., 30

31

horas después de ocurrido el rompimiento, 331.5 km2 habían sido inundadas; en

tanto que entre el 5 y el 7 de junio se presentaron inundaciones menores en 85.5 km2

más. Cerca de la media noche del 7 de junio, la cresta de la onda de creciente

producida por el rompimiento de la presa Teton llegó al embalse de las Cataratas

Americanas, el cual almacenó y amortiguó la creciente. Finalmente, las aguas que

habían inundado grandes extensiones y que no habían sido evaporadas o infiltradas,

regresaron a los canales, los cuales tuvieron caudales de medianos a altos durante

largo tiempo. En la Tabla 1 y en la Tabla 2 se presentan las principales

características del embalse de Teton y los datos de área y volumen para distintas

cotas. La Tabla 3 presenta algunas características de la presa.

Tabla 1. Características del embalse de Teton

Capacidad máxima (106 m3) 355.2

Capacidad en el momento de la falla (106 m3) 310.3 Área en el momento de la falla (km2) 7.89 Cota en el momento de la falla (msnm) 1,617

Embalse

Altura en el momento de la falla (m) 85.4

Tabla 2. Datos de área y volumen del embalse de Teton

Cota (msnm)

Área del espejo de agua (km2)

Volumen almacenado (millones de m3)

1,546.9 0.27 1,559.1 0.87 1,586.5 3.48 129.8 1,592.6 4.30 159.6 1,598.7 5.20 194.3 1,604.8 6.18 230.9 1,607.8 6.59 251.3 1,611.5 7.77 272.7

Tabla 3. Características de la presa del embalse de Teton Característica Presa de Teton

32

Tipo Presa de tierra compactada Cota de cresta (msnm) 1,624.6 Cota de fondo (msnm) 1,531.6 Altura (m) 93 Longitud de la cresta (m) 914.4 Ancho de la cresta (m) 10.7 Pendiente de la cara de aguas arriba Zu, 1(v):Zu(h)

2.5

Pendiente de la cara de aguas abajo Zd, 1(v):Zd(h)

2

1.2 MANTARO (PERÚ, 1974)

En el valle del río Mantaro, en el área montañosa del centro del Perú, ocurrió un

deslizamiento masivo de una ladera del monte Cochacay a las 9:00 p.m. del 25 de

abril de 197414. El deslizamiento, con un volumen de aproximadamente 1,600 106 m3

formó una presa de enormes proporciones con una altura de 170 m, una longitud a lo

largo del río de 3,800 m y un ancho de cresta en el cañón del río de 1,000 m15. Esta

presa represó el Río Mantaro creando un lago que alcanzó una profundidad de 170

m y una longitud de 31 km, almacenando 670 106 m3 de agua, antes del

sobrevertimiento que se produjo 44 días después del deslizamiento durante el

periodo de junio 6 al 8 de 1974 (Lee y Duncan, 1975). El flujo del sobrevertimiento

erosionó gradualmente un canal que se convirtió finalmente, en las próximas 6 a 10

horas, en una brecha de forma trapezoidal de aproximadamente 107 m de

profundidad, con un ancho superior de 244 m y pendientes de las paredes laterales

de 1:1. El caudal pico se estimó en 10,000 m3/s de acuerdo con el reporte de Lee y

14 FREAD, D.L. BREACH: an erosion model for earthen dam failures. En: The NWS DAMBRK Model: theoretical background/user documentation, National Weather Service (NWS), NOAA, 1991. p. 25. 15 QUEIROZ NOGUEIRA, Vicente de Paulo. A mathematical model of progressive earth dam failure. Dissertation, in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy . Colorado State University. Fort Collins. Colorado, 1984, p. 83.

33

Duncan (1975); Sembenelli reportó un caudal de 19,000 m3/s16, pero Ponce y

Tsivoglou (1981) reportaron luego un valor estimado de 13,700 m3/s. La brecha no

erosionó el lecho del río original; esto hizo que el gran lago permaneciera hasta que

la brecha hubo bajado de nivel, 24 horas después de que ocurriera el caudal pico. La

onda de la creciente produjo fuertes daños aguas abajo, incluyendo la destrucción de

la pequeña ciudad de Santiago de Anco (Salas, 1974). En la Tabla 4 y la Tabla 5 se

presentan las principales características del embalse de Mantaro y los datos de área

y volumen para distintas cotas. La Tabla 6 presenta algunas características de la

presa.

Tabla 4. Características del embalse de Mantaro

Capacidad en el momento de la falla (106 m3) 670 Área en el momento de la falla (km2) 9.90 Embalse Altura en el momento de la falla (m) 170

Tabla 5. Datos de área y volumen del embalse de Mantaro

Altura (m)

Área del espejo de agua (km2)

Volumen almacenado (millones de m3)

0 0 64 4.82 170 9.90 670

16 SEMBENELLI, Piero. La frana di Mayunmarca-Huaccoto. En: Rivista Italiana di Geotecnica, Organo dell’Associazione Geotecnica Italiana. Anno IX, No 1, Gennaio-Marzo 1975. p. 7-11.

34

Tabla 6. Características de la presa Mantaro

Característica Presa Mantaro

Tipo Presa creada por deslizamiento Altura (m) 170 Longitud de la cresta (m) 1,000 Ancho de la cresta (m) 0 Pendiente de la cara de aguas arriba Zu, 1(v):Zu(h)

17


8

1.3 LA JOSEFINA (ECUADOR, 1993)

El lunes 29 de marzo de 1993, se produjo un aluvión que formó un dique el cual

taponó los ríos Cuenca y Jadán en el sector conocido como La Josefina,

perteneciente a la Parroquia del Cantón Paute, a 22 Km de la ciudad de

Cuenca17. El deslizamiento se produce en dos instancias: en la primera, una gran

masa del Cerro Tamuga desciende provocando el taponamiento de los ríos; en un

segundo momento, el deslizamiento cubre una parte del primero apoyándose en el

Cerro Tubón, localizado en frente del Tamuga. El evento produjo la desaparición de

150 personas y de unas 7.000 damnificadas.

El deslizamiento ocurrió en un periodo de intenso invierno. La presencia de canteras

de explotación de material pétreo en la zona del deslizamiento fue sin duda causa de

la ocurrencia del fenómeno. Aproximadamente 27 millones de metros cúbicos de

material conformaron el dique. El material estaba compuesto por una mezcla

heterogénea, desde limos arcillosos plásticos a gravas y bloques angulares. El

17 ZEAS D., Rodrigo. El deslizamiento de la Josefina, tragedia nacional. En: Revista de la Sociedad Chilena de Ingeniería Hidráulica. Santiago de Chile. Vol. 13 No. 1, abril de 1997.p 6-22.

35

material corresponde a un cuerpo rocoso de origen volcánico conocido como

tonalita. La presa alcanzó una longitud de 900 m, un ancho de 300 m y una altura de

100 m. Durante los 33 días siguientes al deslizamiento se alcanzó un

almacenamiento de 200 millones de metros cúbicos de agua, inundándose unas

1.000 ha de tierras fértiles y zonas habitadas. La inundación dejó sumergidos varios

puentes y cerca de 6 Km de la vía Panamericana. La cota del espejo de agua llegó a

los 2,362.5 msnm.

Una semana después del deslizamiento se iniciaron trabajos de movimiento de tierra

con el fin de construir un canal para evitar el almacenamiento del agua. Se pretendía

disminuir la altura de la cresta de la cota 2,375 a la 2,353 msnm. Finalmente, el 15

de abril se había conformado un canal contra el cerro Tubón con un ancho de 6 m en

la base y talud de 70o en la margen izquierda. Se movieron unos 160,000 metros

cúbicos de tierra. El canal tenía un tramo inicial con una contrapendiente del 2%,

alcanzando la cota 2,357 en el punto más alto, a unos 80 m de la entrada; de ahí en

adelante presentaba una pendiente del 1%.

El viernes 30 de abril se inicia en forma el proceso de erosión del canal (brecha)

cerca de las 6 pm. El incremento del caudal fue notable a partir de la medianoche. A

las 6 am del sábado 1 o de mayo se tenía un caudal en la brecha de 300 m3/s, a las 7

am de 500 m3/s, registrándose luego incrementos de más de 1,000 m3/s cada 30

minutos. El caudal pico de la creciente se presentó cerca de las 9:30 am con un valor

cercano a los 8,400 m3/s. El volumen desalojado durante el sábado llegó a los 170

millones de metros cúbicos; volumen que transitó por los ríos Cuenca y Paute. Luego

de que la erosión alcanzó su máximo efecto, el canal construido descendió su piso

40 m, quedando con una ancho de 30 m en la entrada y de 70 m en la salida. El nivel

del espejo de agua descendió de la cota 2,362.5 a la 2,323 msnm.

36

Durante todo el tiempo del desastre participaron grupos como el Instituto de

Investigación de Ciencias Técnicas y la Facultad de Ingeniería de la Universidad de

Cuenca. También participaron grupos técnicos de misiones extranjeras de Italia,

Estados Unidos, Chile, Suiza, Naciones Unidas e instituciones nacionales como la

Escuela Politécnica Nacional (EPN)18,19, INAMHI, Instituto Ecuatoriano de

Electrificación (INECEL), EERCS, INERHI, el Colegio de Ingenieros Civiles del

Ecuador, la Comisión de Estudios para el Desarrollo de la Cuenca del Río Guayas

(CEDEGE)20 y la Fundación del Agua (CICA). En la Tabla 7 y en la Tabla 8 se

presentan las principales características del embalse de La Josefina y los datos de

área y volumen para distintas cotas. La Tabla 9 presenta algunas características de

la presa.

Tabla 7. Características del embalse de La Josefina

Capacidad en el momento de la falla (106 m3) 200 Área en el momento de la falla (km2) 10 Embalse Altura en el momento de la falla (m) 52.5

Tabla 8. Datos de área y volumen del embalse de La Josefina Altura

(m) Área del espejo de

agua (km2) Volumen almacenado

(millones de m3)

0 0 15.2 1.35

18 ZEVALLOS MORENO, Othón; FERNÁNDEZ MARÍA, Augusta; PLAZA NIETO, Galo; KLINKICHT SOJOS, Susana. Sin plazo para la esperanza, reporte sobre el desastre de La Josefina - Ecuador, 1993. Escuela Politécnica Nacional, 1996, 347 p. 19 ZEVALLOS MORENO Othón. Lecciones del deslizamiento “La Josefina” - Ecuador. En: Conferencia Interamericana sobre reducción de los desastres naturales. Cartagena de Indias, Colombia. Marzo 21 al 24 de 1994, 13p. 20 RIVERO, Jacinto; MARÍN, Luis; ORTÍZ, Guido. El desastre natural de La Josefina al sur-este del Ecuador. En: Memorias del XVII Congreso Latinoamericano de Hidráulica, Guayaquil, Ecuador,21 al 25 de octubre de 1996, p. 257-269.

37

24.4 2.89 33.5 4.84 42.7 7.15 52.5 10 200

Tabla 9. Características de la presa de La Josefina

Característica Presa La Josefina

Tipo Presa creada por deslizamiento Altura (m) 65 Longitud de la cresta (m) 300 Ancho de la cresta (m) 0 Pendiente de la cara de aguas arriba Zu, 1(v):Zu(h)

7


4

38

2. ECUACIONES DE PREDICCIÓN

El riesgo creado por la avenida resultante de la descarga rápida e incontrolada a

través de la brecha formada en una presa, necesita ser evaluado para proporcionar

unas medidas de seguridad adecuadas en el evento de que ocurra una falla

catastrófica. El nivel de detalle de los análisis hidrológicos e hidráulicos que se

necesitan para evaluar las consecuencias de la creciente, depende del peligro para

la vida humana y la cantidad de daños ambientales y a la propiedad que podrían

ocurrir. Si la pérdida de vidas humanas es improbable y el daño potencial de la

propiedad es pequeño, un procedimiento simple puede proporcionar una

descripción adecuada de la magnitud y del tiempo de la avenida aguas abajo,

resultante de la falla de la presa21.

Las presas de material suelto son el tipo más común de presas construidas. El

United States Committee on Large Dams (USCOLD) estima que el 79% de las

grandes presas en operación en Estados Unidos son de este tipo (USCOLD-ASCE,

1975)22. Las presas de material suelto generalmente se construyen con materiales

naturales obtenidos de zonas de préstamo o canteras, o de material sobrante de

operaciones mineras. Las presas de material suelto con cuerpo de arena o roca son

las más comunes y se clasifican con base en la composición del material

predominante . Las presas de tierra están formadas principalmente por material fino-

granular compactado y las presas de roca, por material preconsolidado o de roca

triturada. Una característica de las presas de material suelto que puede afectar la

21 FROEHLICH, David C., Op. cit, p. 90. 22 Ibid., p. 90.

39

tasa de formación de la brecha y por lo tanto el caudal pico, es el ancho promedio de

la presa desde el fondo de la brecha final hasta la cresta de la presa.

Fórmulas empíricas para estimar el desarrollo de la brecha y el caudal pico causado

por una falla gradual de la presa han sido presentadas por Kirkpatrick (1977), Hagen

(1982), K. Singh & Snorrason (1982), MacDonald & Langridge-Monopolis (1984),

Costa (1985), Soil Conservation Service (1981,1985), Bureau of Reclamation

(1986), Evans (1986)23, Von Thun & Gillette (1990), Dewey & Gillette (1993) y

Froehlich (1987, 1995)24. La escasez de datos ha llevado a tener que utilizar

estimaciones aproximadas de los caudales pico de salida a través de la

brecha. Algunos de los caudales pico de salida utilizados para desarrollar las

ecuaciones empíricas han sido medidos a una distancia considerable aguas abajo

de la presa fallada, pudiendo ser significativamente menores que el caudal pico a la

salida del embalse. Otros caudales pico han sido obtenidos mediante simulación

numérica del rompimiento de la presa y no de mediciones. En el caso de las

descargas simuladas, el caudal pico calculado depende del modelo de formación de

la brecha utilizado para simular la falla gradual de la presa y de las suposiciones de

las condiciones del tailwater de la presa. Considerando la dificultad en la estimación

de los parámetros que definen una brecha, la incertidumbre de un caudal de salida

simulado es necesariamente alta (MacDonald & Langridge-Monopolis, 1984). Casi

todas las relaciones propuestas se han basado en banco de datos de unas 20 a 50

presas. Los datos de falla de presa son escasos para presas de más de unos 20

23 Ibid., p. 91. 24 WAHL, Tony L., Report DSO-98-004: Prediction of embankment dam breach parameters - A literature review and needs assessment, Op. cit., p10.

40

metros (65 pies), en cambio sí existen datos sustanciales para la falla de presas

entre 6 y 15 metros de altura25.

En los Estados Unidos de América se han venido publicando desde 1988 trabajos

que reportan grandes cantidades de datos. Desde esa época ha habido varios

eventos mayores de inundación en ese país que han causado muchas fallas de

presa. Algunas de las más notables son la inundación del Mississippi en su parte alta

y del Missouri en su parte baja en el año de 1993, las fallas de presa en Georgia

causadas por la tormenta tropical Alberto en 1994 y las fallas de presa en Carolina

del Norte en septiembre de 1996. Para reportar incidentes de presa, incluyendo las

fallas de presa, se creó el National Performance of Dams Program (NPDP), el cual

está siendo administrado por la Universidad de Stanford en cooperación con la

Association of State Dam Safety Officials (ASDSO).26

2.1 ECUACIONES DE PREDICCIÓN PARA EL DESARROLLO DE LA

BRECHA 27

K. Singh & Snorrason (1982) proporcionaron una primera guía cuantitativa del ancho

de la brecha. Relacionaron el ancho de la brecha con la altura de la presa para 20

casos de falla y encontraron que el ancho de la brecha estaba generalmente entre 2 y

5 veces la altura de la presa. También reconocieron que el tiempo de falla, desde el

inicio de formación de la brecha hasta que se desarrolla por completo, estaba

generalmente entre 15 minutos y 1 hora. Encontraron además que para las fallas por

25 Ibid., p. 10. 26 Ibid., p. 11-12. 27 Ibid., p. 13-16.

41

sobrevertimiento, la profundidad máxima de sobrevertimiento antes de la falla estaba

entre 0.15 y 0.61 m (0.5 y 2.0 pies).

MacDonald & Langridge–Monopolis (1984) propusieron un factor de formación de

brecha, definido como el producto del volumen del flujo descargado a través de la

brecha (incluyendo el almacenamiento inicial y el flujo entrante al embalse durante la

falla) y la profundidad del agua en la presa en el momento de la falla medida desde el

piso de la brecha. Relacionaron con este factor el volumen del material de la presa

removido. Además, concluyeron del análisis de los 42 casos estudiados que las

pendientes de los lados de la brecha se podían asumir como 1h:2v y que la forma de

la brecha era triangular y trapezoidal, dependiendo de si la brecha alcanzaba la base

de la presa. También se propuso una curva envolvente para el tiempo de formación

de la brecha como una función del volumen del material erosionado.

Froehlich (1987) desarrolló ecuaciones de predicción adimensionales para estimar

el ancho promedio de la brecha (B ), un factor promedio para la pendiente de las

paredes de la brecha (Z) y el tiempo de formación (t f). Las predicciones estuvieron

basadas en las características de la presa incluyendo el volumen del embalse, la

altura del agua sobre el fondo de la presa, la profundidad de la brecha, el ancho de la

presa en la cresta y en el nivel del fondo de la brecha, teniendo en cuenta falla por

sobrevertimiento o por otra causa, y la presencia o ausencia de núcleo en la

presa. Froehlich concluyó que siendo todos los demás factores iguales, las brechas

provocadas por sobrevertimiento son más anchas y se erosionan lateralmente a una

tasa más rápida que las brechas provocadas por otras causas.

Froehlich revisó su análisis de 1987 en un trabajo de 1995, usando datos de un total

de 63 casos. 18 de estas fallas no habían sido previamente documentadas en la

literatura revisada para su reporte. Froehlich desarrolló unas nuevas ecuaciones de

42

predicción para el ancho promedio de la brecha ( B ) y el tiempo de falla (tf) (véase la

Tabla 10). En contraste con sus relaciones de 1987, las nuevas ecuaciones no son

adimensionales. Las dos relaciones de 1995 tenían mejores coeficientes de

determinación que las de 1987, aunque la diferencia para la relación del tiempo de

falla fue muy pequeña. En su trabajo de 1995 Froehlich no sugirió una ecuación de

predicción para las pendientes promedio de las paredes de la brecha, pero

recomendó que se utilizaran unos factores de corrección de 1.4 para fallas por

sobrevertimiento y de 0.9 para otros modos de falla.

Reclamation (1988) proporcionó una guía para seleccionar el ancho de brecha final y

el tiempo de falla a ser utilizado en los casos de clasificación de amenaza usando el

modelo SMPDBK (Simplified Dam Brake) (Fread & Wetmore, 1983). Los valores

sugeridos no pretenden producir predicciones precisas del caudal máximo de

descarga a través de la brecha, sino un valor conservador. Para presas de tierra, el

ancho de brecha recomendado es 3 veces la profundidad de la brecha, medido

desde el nivel inicial de agua en el embalse hasta el nivel del fondo de la brecha,

usualmente asumido en el piso del pie de la presa (hw). El tiempo recomendado

para la formación de la brecha (en horas) es 0.011 veces el ancho de la brecha (en

metros).

Singh & Scarlatos (1988) documentaron las tendencias de las características

geométricas y el tiempo de falla mediante el estudio de 52 casos. Encontraron que la

relación de ancho de brecha superior y de fondo (Bsuperior/Bfondo) estaba entre 1.06 y

1.74 con un valor promedio de 1.29 y una desviación estándar de 0.180. La relación

del ancho superior de la brecha con la altura de la presa estaba en un rango muy

amplio. Las pendientes del lado de la brecha estaban inclinadas 10o a 50° con la

vertical en casi todos los casos (relación 1h:5.8v a 1h:0.8v). Igualmente, casi todos

43

los tiempos de falla fueron de menos de 3 horas, y el 50% fueron de menos de 1.5

horas.

Von Thun & Gillette (1990) y Dewey & Gillette (1993) usaron datos de Froehlich

(1987) y MacDonald & Langridge–monopolis (1984) para desarrollar la guía para

estimar las pendientes de los lados de la brecha, el ancho de la brecha a la altura

media y el tiempo de falla. Propusieron que las pendientes de los lados de la brecha

se asumieran como 1h: 1v exceptuando las presas con pantallas cohesivas o con

cuerpos muy cohesivos, donde las pendientes de 1h: 2v o 1h: 3v podían ser más

apropiadas.

Von Thun & Gillette propusieron la siguiente relación para el ancho promedio de la

brecha:

bw C2.5hB += Ecuación 1

Siendo hw la profundidad del agua en la presa en el momento de la falla, medida

desde el nivel del piso de la brecha, y Cb una función del almacenamiento en el

embalse como sigue:

Tamaño del embalse (106 m3) Cb (m) Tamaño del embalse (acres-pie) Cb (pies) < 1.23 6.1 < 1,000 20 1.23 a 6.17 18.3 1,000 - 5.000 60 6.17 a 12.3 42.7 5,000 - 10,000 140 > 12.3 54.9 > 10,000 180

Von Thun & Gillette propusieron dos métodos para estimar el tiempo de formación

de la brecha:

tf = 0.020hw + 0.25 (material resistente a la erosión) Ecuación 2

tf = 0.015hw (material fácilmente erosionable) Ecuación 3

44

con tf en horas y hw en metros. Con base en el promedio entre el ancho superior y el

inferior de la brecha Von Thun & Gillette desarrollaron otras dos ecuaciones para el

tiempo de formación de la brecha:

w4hB

tf = (material resistente a la erosión) Ecuación 4

0.614hB

tfw +

= (material altamente erosionable) Ecuación 5

Con hw y B dados en metros. La Tabla 10 resume las ecuaciones para los

principales parámetros relacionados con la brecha.

Tabla 10. Ecuaciones de predicción para la formación de la brecha28

Autores Número de

casos estudiados

Ecuación propuesta Unidades en sistema SI

K.Singh & Snorrason (1982, 1984)

20 2hd ≤ B ≤ 5hd 0.15 m ≤ dovtop ≤ 0.61 m 0.25 h ≤ tf ≤ 1.0 h

MacDonald & Langridge-Monopolis (1984)

42 0.769wouter )h 0.0261(VV ⋅=

0.364erf )0.0179(Vt =

Froehlich (1987) 43 0.25*o

* )(S0.47KB =

Ko = 1.4 sobrevertimiento; 1.0 de otra forma 0.73*1.57*

wc )W()(h0.75KZ =

Kc = 0.6 con núcleo; 1.0 sin núcleo 0.47**

f )79(St =

Reclamation (1988) B = (3)hw tf = (0.011)B

V. Singh & Scarlatos (1988)

52 Bsuperior/Bfondo promedio 1.29

Von Thun & Gillette (1990) 57 Guía para B, Z, tf (véase p. 43) Dewey & Gillette (1993) 57 Modelo de iniciación de brecha; guía B, Z, tf

28 Ibid., p. 13.

45

Froehlich (1995) 63 0.19b

0.32wo hV0.1803KB =

0.90)(b

0.53wf h0.00254Vt −=

Ko = 1.4 (sobrevertimiento); 1.0 (de otro modo) B: ancho de la brecha B = ancho promedio de brecha (B top + Bbottom)/2

*B = ancho de brecha adimensional, b/hB

dovtop: profundidad del flujo de sobrevertimiento en la falla hb: altura de la brecha hd: altura de la presa hw: profundidad del agua en la presa en la falla, sobre el piso de la brecha

Ver: volumen de material de presa erosionado Vout: volumen de agua descargado a través de la brecha Vw: volumen de agua sobre el invert de la brecha en el tiempo de inicio de brecha S: capacidad del embalse S*: volumen adimensional, S/hb

3

tf: tiempo de formación del a brecha tf*= tiempo de formación de la

brecha adimensional, bf gh /t

*W = ancho promedio de la presa adimensional (Wcrest + Wbottom)/(2hb) Z: factor de pendiente del talud de la brecha (Z horizontal:1 vertical)

2.2 ECUACIONES DE PREDICCIÓN PARA EL CAUDAL PICO29

Entre las características del embalse que se pueden medir fácilmente y que tienen

influencia en el caudal pico de una presa fallada están el volumen y la altura del agua

en el embalse al comienzo de la formación de la brecha, ambas cantidades medidas

desde la elevación del fondo de la brecha final. Los caudales de entrada al embalse

durante la falla también pueden afectar el caudal pico, especialmente durante

grandes crecientes que producen el sobrevertimiento de la presa. Sin embargo, la

dificultad para estimar las hidrógrafas de entrada al embalse para las presas

falladas reportadas imposibilita la evaluación de los efectos del caudal de entrada.

El Soil Conservation Service (SCS) proporciona el siguiente procedimiento para

estimar el caudal pico producido por una falla de una presa de tierra (SCS,

1985). Para Hw ≥ 31.4 m, donde Hw es la profundidad del agua en el embalse en el

29 FROEHLICH, David C., Op. cit, p. 92-96.

46

momento de la falla, medida desde el fondo de la brecha final, el caudal pico a través

de la brecha, en m3/s se calcula como:

Qp = 16.6 Hw1.85 Ecuación 6

Para Hw < 31.4 m, el caudal pico se calcula como

Qp = 0.000421Br1.35 Ecuación 7

donde Br es un factor de brecha definido como

AHV

= B wwr Ecuación 8

siendo Vw el volumen en m3 almacenado en el embalse en el tiempo de la falla y A el

área transversal (en m2) de la presa en el sitio de la brecha. El área transversal de la

presa puede ser calculado como A = W x H, donde W es el ancho promedio de la

presa desde el fondo de la brecha final hasta la cresta de la presa y H es la distancia

desde el fondo de la brecha final hasta la cresta de la presa. De ahí que el caudal

pico para Hw < 31.4 m, está dado por:

35.1

H WH V

0.000421 = Q wwp Ecuación 9

Sin embargo, el caudal pico dado por la Ecuación 9 no debe exceder el valor dado

por la Ecuación 6 ni ser menor de:

Qp = 1.77Hw2.5 Ecuación 10

Varios estudios han utilizado el producto del volumen del embalse y la profundidad

en el tiempo de falla para predecir el caudal pico en el rompimiento de una

presa. Costa (1985) se refiere a este producto (V w x Hw) como el “factor de presa”,

que se describe como un índice de la entrega de energía en la presa cuando esta

falla. Con base en caudales pico medidos en presas construidas falladas, que

47

incluyen presas de material suelto y de concreto, Costa (1985) desarrolla la siguiente

ecuación para predecir el caudal pico de una presa fallada:

0.42wwp )H0.763(V = Q Ecuación 11

Los caudales pico de presas de concreto falladas son generalmente mayores que

los caudales pico de presas de material suelto falladas con volúmenes similares, por

el agrandamiento más rápido de la brecha durante la falla. Por esto, la Ecuación 11

probablemente sobrestime la predicción del caudal pico de las presas de material

suelto. Costa (1985), también presenta las siguientes ecuaciones para el cálculo del

caudal pico en presas artificiales o creadas por deslizamientos:

Variables independientes Tipo de presa Altura de presa (H) (m) Volumen (V) (m3) Factor de presa (H·V) (m4) Artificial Qp=10.5 H1.87 Qp=1.267 V0.48 Qp=1.887 (HV)0.42 Por deslizamiento Qp=6.3 H1.59 Qp=0.223 V0.56 Qp=0.476 (HV)0.43

Mac Donald and Langridge-Monopolis (1984) presentan una relación para el caudal

pico de presas falladas como una función del factor de presa, que es aproximado

por la siguiente ecuación:

0.47wwp )H1.176(V = Q Ecuación 12

La Ecuación 12 también está basada en los caudales pico de presas falladas de

concreto y material suelto y por eso pueden sobrestimar los caudales pico de estas

últimas.

48

Froehlich (1995) recopiló datos de 22 fallas de presas de material suelto30. En la

Tabla 11 se resumen los caudales pico y otros datos pertinentes de las 22 presas

de tierra. Estos datos incluyen una descripción de la presa, el modo de falla, las

características del embalse en el momento de la falla y el caudal pico medido. Los

caudales pico reportados para cada presa fallada son determinados a partir de

tablas de registro de los niveles de embalse o por mediciones de área-

pendiente. Los niveles de embalse se utilizan para determinar el cambio en el

volumen del embalse durante un corto período de tiempo a partir del cual se calcula

una tasa promedio de caudal de salida. Si el período de tiempo utilizado para

estimar el caudal de salida promedio es largo en comparación con el tiempo

requerido para que el embalse sea vaciado, el caudal de salida calculado puede ser

significativamente menor que el caudal pico instantáneo. Las mediciones de área-

pendiente se hacen en una localización del canal a una corta distancia aguas abajo

de la presa y dependen de la geometría de la sección transversal medida, de la

pendiente de la superficie del agua y de estimados de los coeficientes de rugosidad

para calcular la tasa del caudal pico usando la ecuación de Manning (Dalrymple and

Benson, 1984). El método utilizado para estimar el caudal pico reportado se conoce

para todos las presas menos una (Oros, Brasil).

Froehlich realizó un análisis de regresión múltiple para obtener una nueva expresión

empírica para la estimación rápida del caudal pico en la falla de una presa de

material suelto. La nueva ecuación de predicción utiliza información fácilmente

obtenible y también proporciona un medio para calcular los límites de predicción a

partir de los cuales se pueden determinar los factores de seguridad apropiados a

ser utilizados en la evaluación del potencial de amenaza por la creciente producida

por la falla de la presa.

30 FROEHLICH, David C. Op. Cit., p. 92.

49

Tabla 11. Características de la presa, el embalse y el caudal pico para 22 presas de material suelto (Froehlich, 1995)

Nombre de la presa y localización Año de construida/fallad

a

Tipo de falla

W (m)

Vw (106 m3)

Hw (m)

H (m)

Qp (m3/s)

Apishapa, Colo.(USA) 1920/1923 P 82.4 22.2 28 31.1 6,850 Baldwin Hills, Calif.(USA) 1951/1963 P 59.6 0.91 12.2 21.3 1,130 Butler, Ariz.(USA) /1982 O 9.63 2.38 7.16 7.16 810 Castlewood, Colo.(USA) 1890/1933 O 47.4 6.17 21.6 21.3 3,570 Fred Burr, Mont.(USA) /1948 P 30.8 0.75 10.2 10.4 654 French Landing, Mich.(USA) 1925/1925 P 34.3 3.87 8.53 14.2 929 Frenchman Creek, Mont.(USA) 1952/1952 P 37.3 16 10.8 12.5 1,420 Hatchtown, Utah.(USA) 1908/1914 P or F 44.8 14.8 16.8 18.3 3,080 Hell Hole, Calif.(USA) 1964/1964 P 103 30.6 35.1 56.4 7,360 Ireland No. 5, Colo.(USA) /1984 P 18 0.16 3.81 5.18 110 Kelly Barnes, Ga.(USA) 1948/1977 P 19.4 0.777 11.3 12.8 680 Laurel Run, Penn.(USA) /1977 O 40.6 0.555 14.1 13.7 1,050 Lily Lake, Colo.(USA) 1913/1951 P 0.0925 3.35 3.66 71 Little Deer Creek, Utah.(USA) 1962/1963 P 63.1 1.36 22.9 27.1 1,330 Lower Latham, Colo.(USA) /1973 P 25.7 7.08 5.79 7.01 340 Lower Two Medicine, Mont.(USA) /1964 P 29.6 11.3 11.3 1,800 Oros, Brazil 1960/1960 O 110 660 35.8 35.5 9,630 Prospect, Colo.(USA) 1914/1980 P 13.1 3.54 1.68 4.42 116 Puddingstone, Calif.(USA) 1926/1926 O 0.617 15.2 15.2 480 Quail Creek, Utah (USA) 1986/1989 P 56.6 30.8 16.7 21.3 3,110 South Fork, Penn.(USA) 1853/1889 O 64 18.9 24.6 24.4 8,500 Teton, Idaho (USA) 1975/1976 P 250 310 77.4 86.9 65,120 P= piping; O= Overtopping; F= Foundation

La transformación logarítmica de todas las variables presentó la mejor relación lineal

con la ecuación31:

ln Qp = -0.499+0.295 ln Vw +1.24 ln Hw Ecuación 13

donde Qp es el caudal pico calculado (m3/s); Vw es el volumen del embalse en el

momento de la falla (m3) y Hw es la altura del agua en el embalse en el momento de la

falla, medida desde el nivel del piso de la brecha final (m). El coeficiente de

determinación (R2) de la Ecuación 13 es 0.934 y el error estándar del logaritmo

natural de Qp predicho es 0.4198. Tomando el exponencial de cada lado de la

Ecuación 13 se obtiene

50

Qp = 0.607 Vw 0.295 Hw 1.24 Ecuación 14

Otras ecuaciones de predicción se presentan en la Tabla 12.

2.3 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE PREDICCIÓN PARA EL CAUDAL

PICO A 45 CASOS

De la base de datos de 108 presas presentada por Wahl32 ( ANEXO A ) se

seleccionan 42 presas que disponen de datos de caudal pico. Se agregan a esta

lista los casos de Mantaro (p. 32), La Josefina (p. 34) y Eigiau33 para conformar una

base de datos de 45 presas ( ANEXO B ). Wahl recopila además 13 ecuaciones de

predicción para el caudal pico34, las cuales son aplicadas a los 45 casos de

falla. Ninguna de las ecuaciones de predicción puede ser aplicada a la totalidad de

los 45 casos por falta de algunos datos. En la Tabla 12 se resume el número de

casos aplicables con cada ecuación, que depende de la disponibilidad de datos,

según las variables involucradas en cada ecuación ( ANEXO C ).

La Tabla 12. Ecuaciones de predicción para el caudal pico

Nombre (fecha), variable independiente Ecuación No. de casos

aplicados Kirkpatrick (1977), f(Hw) Qp = 1.268(Hw+0.3)2.5 34 SCS (1981), f(Hw) Qp = 16.6(Hw)1.85 34 Reclamation (1982), f(Hw) Qp = 19.1(Hw)1.85 34

31 FROEHLICH, David C. Op. Cit., p. 94. 32 WAHL, Tony L., report DSO-98-004: Prediction of embankment dam breach parameters - A literature review and needs assessment., Op. cit., p 55-60. 33 SINGH, Vijay P. Major recorded dam breaches in the world. En: Dam Breach Modeling Technology. Kluwer Academic Publishers, 1996, p.68. 34 WAHL Tony L. The uncertainty of embankment dam breach parameter predictions based on dam failure case studies. Prepared for: USDA/FEMA Workshop on Issues, Resolutions, and Research Needs Related to Dam Failure Analysis. Oklahoma City, OK. June 26-28, 2001, p. 7-8.

51

Froehlich (1995), f(Vw, Hw) Qp = 0.607(Vw0.295 Hw1.24) 33 McDonald and Langridge-Monopolis (1984,) f(Vw, Hw) Qp = 3.85(Vw Hw)0.411 33 McDonald and Langridge-Monopolis (1984), f(Vw, Hw) Qp = 1.154(Vw Hw)0.412 33 Singh and Snorrason (1984), f(hd) Qp = 13.4(Hd)1.89 37 Costa (1985), f(S, Hd) Qp = 0.981(S Hd)0.42 36 Hagen (1982), f(S, Hd) Qp = 0.54(S Hd)0.5 36 Costa (1985), envelope f(S, Hd) Qp = 2.634(S Hd)0.44 36 Singh and Snorrason (1984), f(S) Qp = 1.776(S)0.47 38 Costa (1985), envelope f(S) Qp = 1.122(S)0.57 38 Evans (1986), f(Vw) Qp = 0.72(Vw)0.53 37

Figura 1 muestra la distribución porcentual de las 45 presas según su altura, el

volumen del embalse, el factor de presa (H·V) y el caudal pico observado. Se aprecia

gran variación en las alturas de presa, desde 6.1 m hasta 93.0 m con un caso

excepcional de 170.0 m, y un 35% de las presas comprendidas entre 10 m y 15

m. Un notable porcentaje de presas tienen pequeño volumen de embalse: el 8%

tienen embalses inferiores a 100,000 m3, el 13% entre ese valor y 1 millón de m3, el

26% entre 1 y 10 millones de m3, y el resto de los embalses (53%) están

comprendidos entre 10 y 670 millones de m3, con sólo un 16% del total mayores de

100 millones de m3. El factor de presa (HV) es inferior a 109 para el 82% de los

casos. Para el caudal pico, predominan los caudales inferiores a 103 m3/s,

agrupando el 40% de los casos.

52

Tabla 12. Ecuaciones de predicción para el caudal pico

Nombre (fecha), variable independiente Ecuación No. de casos

aplicados Kirkpatrick (1977), f(Hw) Qp = 1.268(Hw+0.3)2.5 34 SCS (1981), f(Hw) Qp = 16.6(Hw)1.85 34 Reclamation (1982), f(Hw) Qp = 19.1(Hw)1.85 34 Froehlich (1995), f(Vw, Hw) Qp = 0.607(Vw0.295 Hw1.24) 33 McDonald and Langridge-Monopolis (1984,) f(Vw, Hw) Qp = 3.85(Vw Hw)0.411 33 McDonald and Langridge-Monopolis (1984), f(Vw, Hw) Qp = 1.154(Vw Hw)0.412 33 Singh and Snorrason (1984), f(hd) Qp = 13.4(Hd)1.89 37 Costa (1985), f(S, Hd) Qp = 0.981(S Hd)0.42 36 Hagen (1982), f(S, Hd) Qp = 0.54(S Hd)0.5 36 Costa (1985), envelope f(S, Hd) Qp = 2.634(S Hd)0.44 36 Singh and Snorrason (1984), f(S) Qp = 1.776(S)0.47 38 Costa (1985), envelope f(S) Qp = 1.122(S)0.57 38 Evans (1986), f(Vw) Qp = 0.72(Vw)0.53 37

Figura 1. Histogramas de altura de presa, volumen de embalse, factor de presa y caudal pico para la base de datos de 45 presas.

Histograma de altura de presa

0

5

10

15

20

25

30

35

40

7 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 180

Altura de presa, hd (m)

%

Histograma de volumen de embalse

0

5

10

15

20

25

30

0 1 10 20 30 100 300 500 700

Volumen de embalse, S (106 m3)

%

Histograma de factor de presa

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 10 20 30 115

Factor de presa, hw*Vw (109 m4)

%

Histograma de Caudal pico

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 4 6 10 30 70

Caudal pico, Qp (103 m3/s)

%

53

En la Figura 2 se presentan los gráficos comparativos de los logaritmos del caudal

pico observado versus el calculado con la ecuación de predicción y el

correspondiente coeficiente de determinación del análisis de regresión llevado a

cabo en el programa Microsoft Excel. En el análisis de regresión, Microsoft Excel

calcula para cada punto el cuadrado de la diferencia entre el valor Y estimado para

ese punto y su valor Y real. La suma de estas diferencias cuadradas se denomina

suma de los cuadrados residual. Microsoft Excel calcula a continuación la suma de

las diferencias al cuadrado entre los valores Y reales y la media de los mismos, la

cual se denomina suma total de los cuadrados (suma de los cuadrados de la

regresión + suma de los cuadrados residual). Cuanto menor sea la suma residual de

los cuadrados, en comparación con la suma total de los cuadrados, mayor será el

valor del coeficiente de determinación, R2, que es un indicador de hasta qué punto la

ecuación resultante del análisis de regresión explica la relación entre las variables. El

coeficiente de determinación compara los valores Y estimados y reales, y los rangos

con valor de 0 a 1. Si es 1, hay una correlación perfecta en la muestra, es decir, no

hay diferencia entre el valor Y estimado y el valor Y real. En el otro extremo, si el

coeficiente de determinación es 0, la ecuación de regresión no es útil para predecir

un valor Y. En la Tabla 13 se presentan los coeficientes de determinación según los

análisis de regresión de las 13 ecuaciones de predicción, ordenados de manera

descendente según el valor R2. La ecuación con mejor valor R2 es la de Froehlich

(1995), seguida por las dos ecuaciones de McDonald and Landgridge-Monopolis

(1984). Estas tres ecuaciones involucran como variables independientes a Hw y

Vw. La ecuación con menor valor R2 es la de Singh and Snorrason (1984), que utiliza

como variable independiente a Hd.

54

Tabla 13. Coeficientes de determinación para las 13 ecuaciones de predicción

Nombre (fecha), variable independiente Ecuación Coeficiente de determinación

Froehlich (1995), f(Vw, Hw) Qp = 0.607(Vw0.295 Hw1.24) 0.8542 McDonald and Langridge-Monopolis (1984,) f(Vw, Hw)

Qp = 3.85(Vw Hw)0.411 0.7385

McDonald and Langridge-Monopolis (1984), f(Vw, Hw)

Qp = 1.154(Vw Hw)0.412 0.7385

Kirkpatrick (1977), f(Hw) Qp = 1.268(Hw+0.3)2.5 0.6523 SCS (1981), f(Hw) Qp = 16.6(Hw)1.85 0.6433 Reclamation (1982), f(Hw) Qp = 19.1(Hw)1.85 0.6433 Costa (1985), f(S, Hd) Qp = 0.981(S Hd)0.42 0.6406 Hagen (1982), f(S, Hd) Qp = 0.54(S Hd)0.5 0.6406 Costa (1985), envelope f(S, Hd) Qp = 2.634(S Hd)0.44 0.6406 Evans (1986), f(Vw) Qp = 0.72(Vw)0.53 0.5681 Singh and Snorrason (1984), f(S) Qp = 1.776(S)0.47 0.5318 Costa (1985), envelope f(S) Qp = 1.122(S)0.57 0.5318 Singh and Snorrason (1984), f(hd) Qp = 13.4(Hd)1.89 0.4947

55

Figura 2. Gráficos comparativos de los caudales para las 13 ecuaciones de predicción de la Tabla 12 , 6 de 13(continúa en la p. siguiente)

Ecuación de Kirkpatrick (1977), f(hw))

R2 = 0.6523

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

Caudal pico observado

Cau

dal p

ico

calc

ulad

o

34dat

Ecuación de SCS (1981),f (hw)

R2 = 0.6433

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6


Cau

dal p

ico

calc

ulad

o

34dat

Ecuación de Reclamation (1982),f(hw)

R2 = 0.6433

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6


Cau

dal p

ico

calc

ulad

o

34dat

Ecuación de Froehlich (1995a),f(hw, Vw)

R2 = 0.85420

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6


Cau

dal p

ico

calc

ulad

o

33dat

Ecuación de McDonald & L-M (1984),f(hw, Vw)

R2 = 0.7385

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6


Cau

dal p

ico

calc

ulad

o

33dat

Ecuación Singh- Snorrason (1984),f(hd)

R2 = 0.4947

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6


Cau

dal p

ico

calc

ulad

o

37dat

56

Figura 2. Gráficos comparativos de los caudales para las 13 ecuaciones de predicción de la Tabla 12 ,6 de 13 (viene de la p. anterior)

Ecuación de Costa (1985),f(hd, S)

R2 = 0.6406

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6


Cau

dal p

ico

calc

ulad

o

36dat

Ecuación Singh- Snorrason (1984),f(S)

R2 = 0.5318

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6


Cau

dal p

ico

calc

ulad

o

38dat

Ecuación de Evans (1986),f (Vw)

R2 = 0.5681

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6


Cau

dal p

ico

calc

ulad

o

37dat

Ecuación de McDonald & L-M (1984),f(hw, Vw)

R2 = 0.7385

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6


Cau

dal p

ico

calc

ulad

o 33dat

Ecuación de Hagen (1982),f(hd,S)

R2 = 0.6406

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6


Cau

dal p

ico

calc

ulad

o

36dat

Ecuación de Costa -envelope-(1985),f(hd,S)

R2 = 0.6406

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6


Cau

dal p

ico

calc

ulad

o

36dat

57

Figura 2. Gráficos comparativos de los caudales para las 13 ecuaciones de predicción de la,1 de 13 (viene de la p. anterior)

Ecuación de Costa -envelope-(1985),f(S)

R2 = 0.5318

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6


Cau

dal p

ico

calc

ulad

o

38dat

Con el fin de evaluar tanto la aproximación de los valores de caudal pico de las 13

ecuaciones de predicción para las 45 presas como la correspondencia de los datos

de las presas de acuerdo con lo esperado por cada ecuación de predicción, se lleva

a cabo un análisis estadístico siguiendo dos vías diferentes: en una primera se aplica

el análisis estadístico a cada ecuación de predicción con la diferencia entre el caudal

predicho y el caudal pico observado de las presas aplicables en la ecuación; en la

segunda vía, se aplica el análisis estadístico a cada presa, con los valores de caudal

de todas las ecuaciones de predicción, incluyendo en la muestra el caudal pico

observado. El análisis utiliza el criterio de Chauvenet35 y el criterio de Peter J.

Rousseeuw36.

El criterio de Chauvenet define una dispersión aceptable (desde un punto de vista

probabilístico) alrededor del valor medio de una muestra de N lecturas tomadas de

35 COLEMAN Hugh W.; STEELE, W. Glenn. Experimentation and uncertainty analysis for engineers, Mississipi State University. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-63517-0. p. 31. 36 ROUSSEEUW, Peter J. Robust estimation and identifying outliers. En: Handbook of Statistical methods for engineers and scientist, editor: Harrison M. Wadsworth, Jr., McGraw-Hill, New York, p. 17.1-17.15.

58

una variable en particular. El criterio especifica que todos los puntos deben estar en

una banda alrededor del valor medio que corresponde a una probabilidad de 1-

1/(2N). Un valor puede ser rechazado si esa probabilidad es menor que 1/(2N). Esta

probabilidad puede relacionarse a una desviación definida desde el valor medio

según la probabilidad normal. Para una muestra cualquiera se calcula la desviación

adimensional τ como:

x

max

x

i

Sx

SXX

t =−

= Ecuación 15

Donde xmax es la máxima desviación permitida desde el valor medio para las N

lecturas y Sx es el índice de precisión (la desviación estándar) de la muestra de los N

puntos.

La Tabla 14 da la máxima desviación adimensional (τ ) aceptable para varios

tamaños de muestra.

Tabla 14. Criterio de Chauvenet para rechazo de una lectura

Número de lecturas (N) Relación entre la máxima desviación

aceptable y el índice de precisión τ =(xmax/Sx)

3 1.38 4 1.54 5 1.65 6 1.73 7 1.80 8 1.87 9 1.91

10 1.96 15 2.13 20 2.24 25 2.33 50 2.57 100 2.81 300 3.14 500 3.29 1000 3.48

59

El criterio de Rousseeuw se aplica a la diferencia de los valores predichos y los

observados de la siguiente manera:

ei =log(x̂ ) – log(x) = log( x̂ /x) Ecuación 16

donde ei es el error de predicción, x̂ el valor predicho y x el valor observado. Se

aplica luego el siguiente algoritmo a la serie de los errores de predicción:

5. Se determina T, la mediana de los e i valores. T es el estimador de localización.

6. Se calcula para cada error el valor absoluto de la desviación de la mediana y se

determina la mediana de estas desviaciones absolutas (MAD).

7. Se calcula el estimador de escala, S=1.483 * MAD. El factor 1.483 hace a S

comparable con la desviación estándar, que es el parámetro de escala usual en

una distribución normal.

8. Con S y T se calcula el parámetro Z para cada observación:

STe

Z ii

−= Ecuación 17

Donde los ei son los errores de los valores predichos con respecto a los observados,

de acuerdo con la Ecuación 16.

9. Son rechazadas las observaciones cuyos valores de IZ iI>2.5.

Este método rechaza en un nivel de probabilidad del 98.7% si las muestras son de

una perfecta distribución normal.

60

2.3.1 Análisis estadístico para cada ecuación de predicción para el caudal pico

En este caso el criterio de Chauvenet se aplica de 4 maneras diferentes: Ch1, hace

la diferencia entre el valor de la ecuación de predicción y el caudal pico observado;

Ch2, toma el valor absoluto de cada diferencia; Ch3, hace la diferencia entre los

logaritmos de los valores; Ch4, toma el valor absoluto de cada diferencia entre los

logaritmos de los valores. El criterio de Rousseeuw ( R) se aplica como se acaba de

explicar en la p. 59 . En la Tabla 15 se presentan los rechazos del análisis estadístico

aplicado según los criterios explicados, a las 45 presas para cada ecuación de

predicción. Se presenta la lista de las presas que son rechazadas alguna vez por

cualquiera de las ecuaciones de predicción; debe entenderse que las presas que no

aparecen es porque no son rechazadas. En el ANEXO D se entregan los resultados

de esta aplicación.

Tabla 15. Resumen de rechazos para las 45 presas presa Ecuación

Ecuación de Kirkpatrick (1977), f(Hw) Qp = 1.268(Hw+0.3)2.5

SCS (1981), f(Hw) Qp = 16.6(Hw)1.85

Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R

Baldwin Hills, California (USA) Break Neck Run (USA)

Davis Reservoir, California (USA) Euclides de Cunha, Brazil R R R R R R R R R

Frankfurt, Germany R

Goose Creek, South Carolina (USA) R R R R R R Hatfield (USA)

Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) R

Nanaksagar, India Oros, Brazil

Prospect, Colorado (USA) R Río Mantaro, Perú

Teton, Idaho (USA)

presa Ecuación

Reclamation (1982), f(Hw)

Qp = 19.1(Hw)1.85

Froehlich (1995), f(Vw, Hw)

Qp = 0.607(Vw0.295 Hw1.24)


Baldwin Hills, California (USA)

Break Neck Run (USA) Davis Reservoir, California (USA) R R R

Euclides de Cunha, Brazil R R R R R

Frankfurt, Germany R R Goose Creek, South Carolina (USA) R R R R R

Hatfield (USA)

Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) R Nanaksagar, India

Oros, Brazil Prospect, Colorado (USA)

Río Mantaro, Perú

Teton, Idaho (USA) R R

61

Tabla 15. Resumen de rechazos para las 45 presas (cont., viene de la p.anterior) presa Ecuación


Qp = 3.85(Vw Hw)0.411


Qp = 1.154(Vw Hw)0.412



Break Neck Run (USA) Davis Reservoir, California (USA) R R R

Euclides de Cunha, Brazil

Frankfurt, Germany Goose Creek, South Carolina (USA)

Hatfield (USA) Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA)

Nanaksagar, India

Oros, Brazil R R Prospect, Colorado (USA)

Río Mantaro, Perú


presa Ecuación

Singh and Snorrason (1984), f(hd) Qp = 13.4(Hd)1.89

Costa (1985), f(S, Hd) Qp = 0.981(S Hd)0.42


Baldwin Hills, California (USA) R Break Neck Run (USA) R R R R R R

Davis Reservoir, California (USA)

Euclides de Cunha, Brazil R Frankfurt, Germany R

Goose Creek, South Carolina (USA) Hatfield (USA) R

Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA)

Nanaksagar, India R Oros, Brazil

Prospect, Colorado (USA)

Río Mantaro, Perú R R R R R Teton, Idaho (USA) R R

presa Ecuación

Hagen (1982), f(S, Hd)

Qp = 0.54(S Hd)0.5

Costa (1985), envelope f(S, Hd)

Qp = 2.634(S Hd)0.44



Break Neck Run (USA) R R R Davis Reservoir, California (USA)



Hatfield (USA)

Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) Nanaksagar, India


Río Mantaro, Perú R R R R

Teton, Idaho (USA)

62

Tabla 15. Resumen de rechazos para las 45 presas (cont., viene de la p. anterior) presa Ecuación

Singh and Snorrason (1984), f(S) Qp = 1.776(S)0.47

Costa (1985), envelope f(S) Qp = 1.122(S)0.57


Baldwin Hills, California (USA) Break Neck Run (USA) R R R


Euclides de Cunha, Brazil Frankfurt, Germany

Goose Creek, South Carolina (USA) Hatfiel d (USA)


Nanaksagar, India Oros, Brazil R R


Río Mantaro, Perú R R Teton, Idaho (USA) R R

presa Ecuación

Evans (1986), f(Vw)

Qp = 0.72(Vw)0.53

Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R


Break Neck Run (USA) Davis Reservoir, California (USA)



Hatfield (USA)

Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) Nanaksagar, India


Río Mantaro, Perú


Los resultados de la Tabla 15 muestran una mayor exigencia en el análisis que utiliza

el criterio de Rousseeuw. En general este criterio rechaza presas que se incluyen en

los rechazos de los demás criterios, con excepción de las presas Oros, Río Mantaro

y Teton, las cuales son rechazadas por Ch1 y Ch2 en algunos casos. La ecuación de

predicción que más presas rechaza es la de Singh and Snorrason (1984), f(hd) (Qp =

13.4(Hd)1.89), que a su vez es la ecuación de menor coeficiente de determinación

(R2= 0.4947) ( Tabla 12 y Figura 2 ). Sin embargo no existe una relación directa entre

el número de presas rechazadas y el coeficiente de determinación de las ecuaciones

de predicción, pues otras ecuaciones rechazan entre una y 4 presas sin mantener

una relación con el coeficiente de determinación. Así, por ejemplo la ecuación de

Kirkpatrick (1977) (f(Hw), Qp = 1.268(Hw+0.3)2.5) con R2 = 0.6523 rechaza 3 presas

63

igual que la de Froehlich (1995) (f(Vw, Hw), Qp = 0.607(Vw 0.295 Hw 1.24) que tiene un

R2 de 0.8542.

La Tabla 16 presenta un resumen de los rechazos realizados. Las presas más

rechazadas son Teton y Río Mantaro que son las presas más altas. Les siguen Break

Neck Run, Euclides de Cunha, Goose Creek y Davis Reservoir, que son las presas

más bajas. Los mayores rechazos de presas son otorgados por las ecuaciones que

dependen de hd.

Tabla 16. Resumen de rechazos para las presas según la variable independiente de las ecuaciones de predicción

Número de rechazos

Presa f(hw) f(hw,Vw) f(hd) f(S,hd) f(S) f(Vw)

Total de

rechazos Baldwin Hills, California (USA) 1 1 Break Neck Run (USA) 1 2 1 4 Davis Reservoir, California (USA) 3 3 Euclides de Cunha, Brazil 3 1 4 Frankfurt, Germany 2 1 1 4 Goose Creek, South Carolina (USA) 3 1 4 Hatfield (USA) 1 1 Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) 2 2 Nanaksagar, India 1 1 Oros, Brazil 1 1 2 Prospect, Colorado (USA) 1 1 Río Mantaro, Perú 1 3 1 5 Teton, Idaho (USA) 2 1 1 1 5 Total de presas rechazadas 5 5 7 3 4 1

2.3.2 Análisis estadístico para cada presa

En este caso se lleva a cabo el análisis estadístico a la lista conformada por los

resultados de las ecuaciones de predicción aplicadas a cada presa incluyendo el

valor del caudal pico observado. Se aplican los criterios de Chauvenet y Rousseeuw

a los valores (Ch1, R1) y a los logaritmos de los valores (Ch2, R2). La Tabla 17

64

presenta los rechazos de este análisis. En el ANEXO E se entregan los resultados

del análisis estadístico.

65

Tabla 17. Resumen de pruebas de rechazo para las 13 ecuaciones de predicción Ecuación

Ecuación de Kirkpatrick (1977), f(Hw)

Qp = 1.268(Hw+0.3)2.5

SCS (1981), f(Hw) Qp = 16.6(Hw)1.85

Reclamation (1982), f(Hw) Qp = 19.1(Hw)1.85 Presa

Ch1 R1 Ch2 R2 Ch1 R1 Ch2 R2 Ch1 R1 Ch2 R2

Apishapa, Colorado (USA)

Baldwin Hills, Cal ifornia (USA)

Butler, Arizona (USA) R


Frankfurt, Germany

Fred Burr, Montana (USA)

French Landing, Michigan (USA)

Frenchman Creek, Montana (USA)

Goose Creek, South Carolina (USA) R

Hatchtown, Utah (USA)

Hatfield (USA)

Hell Hole, California (USA)

Ireland No. 5, Colorado (USA)

Johnstown -South Fork Dam-, Penn. (USA)

Lake Avalon, New Mexico (USA)

Lily Lake, Colorado (USA)

Lower Latham, Colorado (USA)

Lower Two Medicine, Montana (USA)

Mammoth (USA)


Mill River, Massachusetts (USA)

Nanaksagar, India

Oros, Brazil


Puddingstone, California (USA) R R

Quail Creek, Utah

Salles Oliveira, Brazil

Swift, Montana (USA)


Qp = 3.85(Vw Hw)0.411

Singh and Snorrason (1984), f(hd)

Qp = 13.4(Hd) 1.89

Hagen (1982), f(S, Hd)

Qp = 0.54(S Hd)0.5 Presa


Apishapa, Colorado (USA) R

Baldwin Hills, California (USA) R R R R

Butler, Arizona (USA) R R



Fred Burr, Montana (USA) R

French Landing, Michigan (USA) R R R


Goose Creek, South Carolina (USA)

Hatchtown, Utah (USA) R R R R

Hatfield (USA)

Hell Hole, California (USA) R R

Ireland No. 5, Colorado (USA) R R

Johnstown -South Fork Dam-, Penn. (USA) R R R


Lily Lake, Colorado (USA) R R

Lower Latham, Colorado (USA) R

Lower Two Medicine, Montana (USA) R

Mammoth (USA)

Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) R

Mill River, Massachusetts (USA) R

Nanaksagar, India

Oros, Brazil R R

Prospect, Colorado (USA) R

Puddingstone, California (USA) R

66

Quail Creek, Utah R R R

Salles Oliveira, Brazil R R

Swift, Montana (USA)

Tabla 17. Resumen de pruebas de rechazo para las 13 ecuaciones de predicción (viene de la p. anterior)

Costa (1985), envelope f(S, Hd)

Qp = 2.634(S Hd)0.44

Costa (1985), envelope f(S)

Qp = 1.122(S)0.57

Evans (1986), f(Vw)

Qp = 0.72(Vw)0.53 Presa


Apishapa, Colorado (USA) R R R

Baldwin Hills, California (USA) R

Butler, Arizona (USA)

Davis Reservoir, California (USA) R R R


Fred Burr, Montana (USA) R R


Frenchman Creek, Montana (USA) R R R

Goose Creek, South Carolina (USA) R R R

Hatchtown, Utah (USA) R R R R

Hatfield (USA) R

Hell Hole, California (USA) R


Johnstown -South Fork Dam-, Penn. (USA) R R R

Lake Avalon, New Mexico (USA) R R R


Lower Latham, Colorado (USA) R R

Lower Two Medicine, Montana (USA) R R R

Mammoth (USA) R R

Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) R R

Mill River, Massachusetts (USA) R R R R

Nanaksagar, India R

Oros, Brazil R R R


Puddingstone, California (USA)

Quail Creek, Utah R


Swift, Montana (USA) R


Qp = 1.154(Vw Hw)0.412

Costa (1985), f(S, Hd) Qp = 0.981(S Hd) 0.42

Singh and Snorrason (1984), f(S)

Qp = 1.776(S)0.47 Presa


Apishapa, Colorado (USA)


Butler, Arizona (USA)


Frankfurt, Germany

Fred Burr, Montana (USA)



Goose Creek, South Carolina (USA)

Hatchtown, Utah (USA)

Hatfield (USA)

Hell Hole, California (USA)


Johnstown -South Fork Dam-, Penn. (USA)



Lower Latham, Colorado (USA)

Lower Two Medicine, Montana (USA)

Mammoth (USA)


Mill River, Massachusetts (USA)

Nanaksagar, India

67

Oros, Brazil


Puddingstone, California (USA)

Quail Creek, Utah


Swift, Montana (USA) R R R

De nuevo en este caso, el criterio de Rousseeuw es más exigente que el de

Chauvenet, particularmente el que se aplica a los valores (R1). La ecuación de

Froehlich Qp = 0.607(Vw0.295 Hw1.24) es la única que no es rechazada. Las

ecuaciones que son rechazadas el mayor número de veces son las de McDonald

and Langridge-Monopolis (1984) (f(Vw, Hw), Qp = 3.85(Vw Hw)0.411), Costa

(1985) (envelope f(S, Hd), Qp = 2.634(S Hd)0.44) y Costa (1985) (envelope f(S),Qp =

1.122(S)0.57 que son aquellas cuyos valores de predicción suelen ser los más

elevados. También interesa destacar que 3 presas rechazan el valor del caudal

observado: Euclides de Cunha, Frankfurt y Break Neck Run. Este resultado se

interpreta como que el valor del caudal observado para estas presas difiere

notablemente, según el criterio estadístico, de los valores de todas las ecuaciones

de predicción. Estas mismas tres presas estuvieron entre las más rechazadas en el

análisis estadístico realizado para cada ecuación de predicción para el caudal pico.

68

2.3.3 Ecuación de predicción propuesta por Barros (2002)

Una vez realizados los análisis estadísticos se depura la base de datos de las 45

presas dejando únicamente las presas aceptadas (no rechazadas). Se analiza de

nuevo la relación entre cada variable involucrada en las ecuaciones de predicción y

el caudal pico, obteniéndose los coeficientes de determinación que se presentan en

la Tabla 18 . La Figura 3 presenta las gráficas de estas correlaciones.

Tabla 18. Coeficientes de determinación para la regresión lineal entre variables de las ecuaciones de predicción y el caudal pico observado Variables de la regresión lineal (log-log) No de presas Valor R2

hw 29 0.8962 hb 30 0.8792 hd 30 0.7980

hw*Vw 28 0.7554 Vw 36 0.5362

S*hd 33 0.5215 S 34 0.3508

69

Figura 3. Gráficos de las variables de las ecuaciones de predicción y el caudal pico observado (después del análisis estadístico)

Gráfico log10(hw) Vs log10(Qp)

y = 1.959560x + 0.923662R2 = 0.896248

0

1

2

3

4

5

6

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

log10 hw (m)

log 1

0 C

auda

l pic

o m

3 /s

29dat

Gráfico log10(hb) Vs log10(Qp)

y = 1.9609x + 0.8156R2 = 0.8792

0

1

2

3

4

5

6

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

log10 hb (m)

log 1

0 C

auda

l pic

o m

3 /s

30dat

Gráfico log10(hd) Vs log10(Qp)

y = 1.6522x + 1.1968R2 = 0.7980

0

1

2

3

4

5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

log10 hd (m)

log 1

0 Cau

dal p

ico

m3 /

s

30dat

Gráfico log10(hw*Vw) Vs log10(Qp)

y = 0.4883x - 0.6351R2 = 0.7554

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12

log10 Hw*Vw (m4)

log 1

0 Cau

dal p

ico

m3 /

s

28dat

Gráfico log10(Vw) Vs log10(Qp)

R2 = 0.5362

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10

log10 Vw (m3)

log 1

0 Cau

dal p

ico

m3 /

s

36dat

Gráfico log10(S*hd) Vs log10(Qp)

R2 = 0.5215

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 12

log10 S*hd (m4)

log 1

0 C

auda

l pic

o m

3 /s

33dat

70

Figura 3. Gráficos de las variables de las ecuaciones de predicción y el caudal pico observado (después del análisis estadístico) (viene de la p. anterior)

Gráfico log10(S) Vs log10(Qp)

R2 = 0.3508

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10

log10 S (m3)

log 1

0 C

auda

l pic

o m

3 /s

De todas las regresiones se escoge la de mayor coeficiente de determinación. Esta

regresión da como resultado la ecuación de predicción propuesta por Barros (

Figura 4 ):

Qp= 8.388064 hw1.959560 Ecuación 18

Figura 4. Ecuación de predicción propuesta por Barros (2002)

Gráfico (hw) Vs (Qp)Ecuación de Barros (2002)

y = 8.388064x1.959560

R2 = 0.8962480

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

70,000

0 20 40 60 80 100

hw (m)

Cau

dal p

ico

m3 /

s

29dat

Gráfico log10(hw) Vs log10(Qp)Ecuación de Barros (2002)

y = 1.959560x + 0.923662R2 = 0.896248

0

1

2

3

4

5

6

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

log10 hw (m)

log 1

0 Cau

dal p

ico

m3 /

s

29dat

Al realizar para la ecuación Barros (2002), el análisis de regresión como se hizo

para las 13 ecuaciones de predicción ( Figura 2 ), se obtiene un coeficiente R2 de

0.6433 ( Figura 5 )

71

Figura 5. Gráfico comparativo de los caudales para la ecuación de predicción Barros (2002)

Ecuación de Barros(2002),f(Hw)

R2 = 0.6433

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6


Cau

dal p

ico

calc

ulad

o

El análisis estadístico de las 45 presas para la ecuación de Barros (2002) da como

resultado las presas rechazadas que se presentan en la Tabla 19 .

Tabla 19. Prueba de rechazo para la ecuación de Barros (2002) Ecuación

presa Barros (2002), f(Hw)

Qp= 8.3881(hw) 1.9596

Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R


Break Neck Run (USA) Davis Reservoir, California (USA)

Euclides de Cunha, Brazil R R R R R

Frankfurt, Germany R Goose Creek, South Carolina (USA) R R R

Hatfield (USA)

Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) R Nanaksagar, India

Oros, Brazil Prospect, Colorado (USA) R

Río Mantaro, Perú


Al retirar estas presas rechazadas de la base de datos y realizar de nuevo el gráfico

comparativo de los caudales se obtiene un coeficiente de determinación de 0.8336

como se muestra en la Figura 6 .

72

Figura 6. Gráfico comparativo de los caudales para la ecuación de predicción Barros (2002), después del análisis estadístico

Ecuación de Barros(2002),f(Hw) datos depurados

R2 = 0.8336

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6


Cau

dal p

ico

calc

ulad

o

29dat

73

3. MODELOS PARAMÉTRICOS

La aplicación exitosa de la mayoría de los modelos matemáticos algunos de los

cuales se presentarán en el Capítulo 4, requiere de la especificación de la geometría

del embalse y de la presa, así como de otras características físicas del cuerpo de la

presa, e.g., el diámetro medio de las partículas, la resistencia a la erosión, el ángulo

de fricción interna, la cohesión y la porosidad. Uno de los aspectos más difíciles, sin

embargo, es la definición del tamaño y la forma de la brecha inicial. Sin importar el

nivel de sofisticación del modelo, hay un grado de incertidumbre resultante del

amplio rango de valores de los parámetros involucrados. Por esto, se justifica

investigar la posibilidad de reducir la complejidad matemática del problema sin

sacrificar los principios conceptuales involucrados.

En el caso de los modelos paramétricos se trata de utilizar la mínima cantidad de

ecuaciones básicas introduciendo unos coeficientes, los cuales son calibrados con

base en datos reales, dando así cierto carácter experimental a las ecuaciones

simplificadas que se utilizan.

En este capítulo se presentarán dos modelos paramétricos, también conocidos

como modelos analíticos, uno de ellos propuesto por Singh (1988) y el otro

propuesto por Pacheco (1998). Los modelos están basados en los principios de

conservación de la masa de agua, la hidráulica del vertedero de cresta ancha y la

consideración de una tasa de erosión del suelo, función de la velocidad o del

caudal. La forma de la brecha se toma como rectangular en ambos modelos y se

determina un coeficiente de erosión del suelo (un parámetro de calibración) con

base en una comparación con valores obtenidos a partir de la base de datos de las

45 presas.

74

Conceptualmente la erosión de la brecha puede considerarse como un proceso de

dos fases donde interactúan agua y sedimentos. El agua de descarga proporciona la

fuerza que erosiona la brecha. El crecimiento de la brecha afecta la descarga de

agua que controla la tasa de erosión. El fenómeno continúa hasta que el agua

almacenada se agota o hasta que la presa no se erosiona más. Las ecuaciones de

gobierno son principalmente la ecuación de continuidad en el embalse y una relación

entre la tasa de erosión y las características del flujo.

3.1 MODELO DE BRECHA RECTANGULAR DE ANCHO CONSTANTE (SINGH,

1988)37,38

Este modelo asume una brecha de sección rectangular con un ancho constante b

que crece únicamente en dirección vertical.

La ecuación del balance del volumen de agua puede ser escrita como:

QQIdtdH

(H)A bs −−= Ecuación 19

donde H es el nivel de la superficie del agua; I es el caudal que entra al embalse; Qb

es el caudal de salida a través de la brecha; Q es el caudal de descarga por

sobrevertimiento sobre la cresta, por el vertedero y por la casa de máquinas y As(H)

es el área superficial del embalse. La Ecuación 19 puede simplificarse

sustancialmente si se asume que la diferencia entre I y Q es de una magnitud muy

37 SINGH, Vijay P. Empirical models: dimensional analytical solutions. En: Dam Breach Modeling Technology. Kluwer Academic Publishers, 1996, p.101-121. 38 SINGH, Vijay P. y SCARLATOS, Panagiotis D. Analysis of gradual earth-dam failure. Journal of Hydraulic Engineering, Vol. 114, No. 1, January, 1988.

75

inferior a Qb. Esta suposición implica que el vaciado del embalse ha comenzado. Tal

suposición es análoga al almacenamiento lineal utilizado con frecuencia en modelos

de lluvia-escorrentía. Si además As es independiente de H (i.e., embalse prismático)

y el caudal de descarga a través de la brecha está dado por la ecuación de

continuidad

bb uAQ = Ecuación 20

donde u es la velocidad promedia del agua y Ab es la sección transversal mojada de

la brecha; entonces, la Ecuación 19 puede reducirse a

bs uAdtdH

A −= Ecuación 21

Observaciones experimentales y de campo han indicado que el flujo sobre y a través

de la brecha puede simularse con la hidráulica del flujo del vertedero de pared

gruesa (Chow 1959; Pugh y Gray 1984), i.e.,

1)(1βα ZHu −= Ecuación 22

donde α1 y β1 son coeficientes empíricos y Z es el nivel del piso de la brecha. Para

condiciones de flujo crítico, estos coeficientes están determinados como

[ ]1/23g(2/3)=1α y β1=1/2. Utilizando el sistema internacional de unidades, la Ecuación

22 queda escrita

1/2Z)1.7(Hu −= Ecuación 23

o para cualquier sistema

1/2ZHu )(1 −= α Ecuación 24

Combinando la Ecuación 21 y la Ecuación 24, se obtiene

76

b1/2

s AZ)(HdtdH

A −= 1α Ecuación 25

La Ecuación 25 es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con dos

incógnitas, H y Z. Una ecuación adicional puede obtenerse introduciendo la tasa de

erosión como una función de la velocidad del flujo, i.e.,

22

βα udtdZ

−= Ecuación 26

donde α2 y β2 son coeficientes empíricos. La Ecuación 26 está justificada

físicamente porque la erosión es directamente proporcional al esfuerzo cortante y por

lo tanto a la velocidad del agua. De acuerdo con Laursen (1956), la tasa del

transporte de sedimentos es una función potencial de la velocidad media del agua,

con un exponente igual a 4.5 ó 6. Se espera entonces que β2 tenga un valor similar a

éstos. Sin embargo, soluciones analíticas son factibles sólo si β2 es un entero igual o

menor que 2. La corrección para esta discrepancia en el valor del exponente β2

puede incorporarse durante la calibración del coeficiente α2, que aparece también

en la Ecuación 26. Tal ecuación es consistente con la fórmula de carga de lecho de

DuBoy (Lou, 1981). Por supuesto, la tasa de erosión depende también de otros

factores además de la velocidad, y puede formularse de distintas maneras.

Si la forma de la sección transversal de la brecha Ab se conoce, el sistema de la

Ecuación 25 y de la Ecuación 26 puede resolverse con respecto a H o Z, siempre

que las condiciones iniciales adecuadas estén dadas, i.e.,

H = H0 y Z = Z0 en t = t0 Ecuación 27

La expresión para el desarrollo de la brecha teniendo en cuenta las hipótesis de

forma rectangular y ancho constante se escribe

Ab = b(H - Z) Ecuación 28

77

Combinando la Ecuación 21 y la Ecuación 28 y dividiendo por la Ecuación 26 se

obtiene

Z)(HAb

dZdH

S2

−=α

Ecuación 29

Definiendo h = H - Z, la Ecuación 29 puede escribirse

1hAb

dZdh

S2

−=α

Ecuación 30

La solución de la Ecuación 30 de acuerdo con las condiciones iniciales de la

Ecuación 27 y con respecto a las variables iniciales H y Z es

−−

−− Z)(Z

Ab

expbA

ZH+bA

+Z=H 0S2

S200

S2

ααα

Ecuación 31

La Ecuación 31 expresa el nivel del agua H como una función del nivel del piso de la

brecha Z. Para derivar Z en función del tiempo, la Ecuación 24, la Ecuación 26 y la

Ecuación 31 se combinan obteniéndose finalmente

dt-=

AZZ

expAA

dZ211/2

1

021

αα

−−+

Ecuación 32

donde A1 y A2 están dadas respectivamente como

bA

A S21

α= Ecuación 33

bA

ZHA S2002

α−−= Ecuación 34

Ya que A 1>0, la solución de la Ecuación 32 se obtiene así (Gradshteyn y Ruzik 1983)

78

Ecuación 35

La Ecuación 35 describe el desarrollo de la brecha en el tiempo.

Singh evaluó el comportamiento de distintas soluciones analíticas asumiendo forma

de brecha rectangular, triangular y trapezoidal, así como coeficiente de erosión lineal

(β2 =1) y no lineal (β2 =2). Los datos de entrada incluyeron la elevación inicial de la

superficie del agua H0, el ancho de la brecha final b, y el volumen almacenado en el

embalse V. En las soluciones para brecha rectangular, el ancho constante se tomó

como un porcentaje (75%) del ancho promedio final b. El área superficial del

embalse se estimó como As = V/H0. El coeficiente α1 se asumió como 1.5 m1/2 /s. La

única cantidad que tuvo que ser estimada por medio de calibración fue el coeficiente

de erosión α2. La calibración se basó en el caudal pico Qbmax y en el tiempo de falla

tf. Para la calibración no se tuvo en cuenta la forma de la hidrógrafa resultante. Por lo

tanto se eligió, por ensayo y error, el valor de α2 que representa a Qbmax y tf lo mejor

posible. En la Tabla 21 se muestra el coeficiente de erosión de una brecha

rectangular para 16 casos, de los 52 presentados en la Tabla 20 . De esta tabla se

puede ver que el coeficiente de erosión lineal tiene un orden de magnitud mayor que

el no-lineal. Igualmente, el comportamiento general de la tasa de erosión lineal es

mejor que la tasa de erosión no-lineal.

−

−−−

+−

−

+−+

+−

+−−−

+=

2

tA

bexp

bA

)Z(HbA

)Z(H

tA

bexp

bA

)Z(HbA

)Z(H

1A)Zb(H

Aln

bA

ZZ(t)1/2

S

211/2

S21/200

1/2S21/2

00

1/2

S

21

1/2

S21/200

1/2

S21/200

S200

S2S20

αααα

αααα

ααα

79

Tabla 20. Características físicas y datos de brecha de 52 casos históricos39. No Nombre Altura (Zo) Ancho de

cresta Pendiente taludes Volumen

almacenado Caudal pico Ancho de la brecha Profundidad de

la brecha Tiempo de falla

vertical:horizontal sup/fondo/prom

(m) (m) a.arriba a.abajo (105 m3) (102 m3) (m) (m) (h)

1 Apishapa 34 4.9 0.33 0.50 225.00 68.50 91.5/81.5/86.5 30.50 2.50

2 Baldwin Hills 49 19 0.50 0.56 11 11.00 23/10/16.5 27.50 1.30

3 Bradfield 29 4.5 0.33 0.40 32 11.50 <0.5

4 Break Neck Run 7 4.3 0.33 0.50 0.49 0.09 -/-/30.5 7.00 3.00

5 Buffalo Creek 14 128 0.63 0.77 6.1 14.20 153/97/125 14.00 0.50

6 Bullock Drew Dike 5.8 4.3 0.50 0.33 11.3 13.6/11/12.3 5.80

7 Canyon Lake 6 9.85 0.1

8 Cheaha Creek 7 4.3 0.33 0.40 0.69 5.5

9 Coedty 11 3.1 67/18.2/42.5

10 Eigiau 10.5 4.3 0.33 0.50 45.2 4

11 Elk City 9 0.33 0.50 7.4 45.5/-/- 9

12 Erindale 10.5 39.5/-/- 4.6 <0.5

13 Euclides de Cunha 53 5 0.33 0.40 136 10.2 131/-/- 53 7.3

14 Frankfurt 10 4.3 0.33 0.50 3.5 0.79 9.2/4.6/6.9 10 2.5

15 French Landing 12 2.5 0.50 0.40 9.3 41/-/- 14.2 0.58

16 Frenchman Creek 12.5 6 0.33 0.50 210 14.1 67/54.4/60.4 12.5

17 Frias 1.00 1.00 62/-/- 15 0.25

18 Goose Creek 6 3 0.67 0.67 106 5.65 30.5/22.3/26.4 4.1 0.5

19 Grand Rapids 7.5 3.7 0.67 0.67 2.2 12.2/6/9.1 7.5 <0.5

20 Hatchtown 19 6 0.50 0.40 148 21 180/140.4/160.2 19 3

21 Hatfield 6.8 4.3 0.33 0.50 123 34 -/-/91.5 6.8 2

22 Hebron 11.5 3.7 0.33 0.67 61/30.4/45.7 15.3 2.25

23 Johnston City 4.3 1.8 0.21 0.36 5.75 13.4/2/7.7 5.2

24 Kaddam 12.5 2140 30/-/- 15.2 1

25 Kelly Barnes 11.5 6 1.00 1.00 5.05 6.8 35/18/26.5 11.5 0.5

26 Lake Avalon 14.5 4.3 0.33 0.50 77.5 23.2 -/-/137 14.5 2

27 Lake Barcroft 21 31.2 23/-/- 11 >1

28 Lake Frances 15 5 0.33 0.50 8.65 30/10.4/20.2 15 1

29 Lake Latonka 13 4.3 0.33 0.50 15.9 2.9 -/-/33.5 13 3

30 Laurel Run 13 4.3 0.33 0.50 3.85 10.5 -/-/-

31 Little Deer Creek 26 4.5 0.33 0.40 17.3 13.3 23/-/- 21.4 0.33

32 Lower Two Medicine 11 4.3 0.33 0.50 196 18 -/-/-

33 Lyman 20 3.7 0.50 0.50 495 107/87/97 20

34 Mammoth 21.3 4.5 0.33 0.40 136 25.2 -/-/9.2 21.3 3

35 Manchhu II 60 6 0.33 0.50 1100 540/-/- 60 2

36 Melville 11 3 0.33 0.67 40/-/- 11

37 Nanaksagar 16 4.5 0.33 0.50 2100 97 -/-/46 16 12

38 North Branch 2.9 -/-/-

39 Oakford Park 6 2.6 23/-/- 4.6 1

40 Oros 35.5 4.5 0.33 0.40 6500 115 200/-/- 35.5

41 Otto Run 6 -/-/-

42 Rito Manzanares 7.3 3.7 0.75 0.75 2.46E-03 19/-/- 7.3

43 Salles Oliveira 35 4.5 0.33 0.40 259 72 -/-/168 35 2

44 Sandy Run 8.5 4.3 0.33 0.50 0.568 4.35 -/-/-

45 Schaeffer 30.5 4.6 0.33 0.50 39.2 45 210/-/- 27.5 0.5

46 Sheep Creek 17 6 0.33 0.50 14.3 30.5/13.5/22 17

47 Sherburne 10.5 4.3 0.33 0.50 0.42 9.6 46/-/-

48 Sinker Creek 21 33.3 92/49.2/70.6 21 2

49 South Fork 1.22 -/-/-

50 Spring Lake 5.5 2.5 1.33 1.33 1.35 20/914.5 5.5

51 Teton 93 10.5 0.33 0.40 3560 666 -/-/46 79 4

52 Wheatland Number 1 13.6 6 115 46/41/43.5 13.5 1.5

39 Ibid., p. 23 y 24.

80

Tabla 21. Coeficientes de erosión para brecha rectangular (Singh, 1988) Coeficiente de erosión Qbmax calculado

Caso No de la Tabla 20 lineal No-lineal

Qbmax observado (103 m3/s)

Lineal (103 m3/s)

No-lineal (103 m3/s)

1 0.0020 0.00040 6.85 6.53 6.90 2 0.0070 0.00095 1.1 0.68 0.40 4 0.0010 0.0092 0.0045 5 0.0085 1.42 1.10 13 0.0014 0.00080 1.02 1.05 6.10 14 0.0010 0.00080 0.079 0.092 0.014 18 0.0013 0.00060 0.565 0.322 0.251 20 0.0008 0.00025 2.10 2.20 2.40 21 0.0020 0.00065 3.40 1.70 1.50 25 0.0050 0.00080 0.68 0.54 0.267 29 0.0010 0.00050 0.29 0.35 0.58 31 0.0090 0.00095 1.33 1.50 1.20 34 0.0050 0.00085 0.252 0.120 0.120 37 0.0003 0.00015 9.70 3.10 2.80 43 0.0020 0.00035 7.20 7.30 6.10 45 0.0080 0.00210 4.50 4.40 5.80

El modelo es válido sólo cuando la diferencia entre el caudal de entrada y el caudal

de salida Q es pequeña en comparación con el caudal a través de la brecha Qb, y

cuando la función As(H) no varía sustancialmente. La principal desventaja del modelo

es el coeficiente de erosión α2. Se necesita más investigación sobre este aspecto;

de manera que α2 pueda ser relacionado a algunas característica físico-químicas del

suelo. Desafortunadamente, pocos datos experimentales están disponibles bajo

condiciones dinámicas extremas que ocurren en el rompimiento de la presa. Los

modelos de transporte de sedimentos desarrollados en laboratorio y en ríos

naturales no son válidos, estrictamente hablando, para el rompimiento. Como

resultado, hay méritos para mantener un análisis simple, incorporando los

parámetros más esenciales. Los modelos presentados aquí son un paso en esta

dirección.

Las conclusiones presentadas por Singh acerca de su trabajo son:

81

1. Todos los modelos (se probaron modelos con brecha de sección rectangular y

triangular y con ecuación de erosión lineal y no-lineal) simularon

satisfactoriamente el caudal de salida producido durante la falla de la presa Teton

en el Río Teton en Idaho.

2. Los modelos de brecha rectangular parecen ser más precisos que los modelos

de brecha triangular. Sin embargo, esta observación está probablemente limitada

al caso específico de la presa Teton.

3. Los modelos de erosión lineal representan mejor la rama de recesión de la

hidrógrafa, mientras que los modelos de erosión no lineal aproximan mejor la

rama ascendente.

4. Incrementos en las cantidades α1, α2, b, s (s define la pendiente de los lados de

la brecha triangular, 1v:sh) y As producen un aumento en el caudal máximo de

salida, mientras que una disminución en estos resulta en una reducción del caudal

máximo.

5. Los resultados son casi insensibles a la cabeza hidráulica inicial.

6. Los resultados dependen fuertemente del valor del coeficiente de erosión α2.

7. El coeficiente α2 varía entre ciertos límites. Para erosión lineal, α2 estuvo entre

0.0008 y 0.0090, mientras que para erosión no lineal, α2 osciló entre 0.00015 y

0.0020. Por tanto, el valor de α2 para erosión lineal es de un orden mayor que el

de erosión no lineal. Los experimentos de laboratorio con varios tipos de suelos

pueden proporcionar un estimativo de la variabilidad de α2.

82

8. Los modelos de erosión lineal se comportaron, en general, mejor que los

modelos de erosión no lineal.

9. Si los modelos son utilizados con propósitos predictivos, se deben probar

diferentes valores del coeficiente de erosión para que el espectro de posibles

eventos sea evaluado, y no sólo un único evento.

3.2 MODELO DE BRECHA RECTANGULAR DE PROFUNDIDAD CONSTANTE

(PACHECO-BARROS, 1998)40

Para este modelo se considera desde un comienzo una brecha de sección

rectangular de altura igual a la de la presa, la cual se erosiona lateralmente. Esta

hipótesis aunque está lejos de ser real, evita involucrarse con el ancho de brecha

dando libertad para que el modelo lo determine como una variable dinámica. La

situación hipotética podría asimilarse a la consideración de falla por

sobrevertimiento y tubificación simultáneamente. El modelo exige igual que el

anterior, la calibración de un coeficiente de erosión, la cual se realiza con base en los

datos geométricos de la presa y en el valor del caudal pico conocido o estimado.

El modelo utiliza como ecuaciones básicas la ecuación de continuidad, la de flujo a

través de un vertedero de borde ancho y la de erosión.

40 PACHECO, Ramón Galindo. Modelo simplificado de la brecha formada por el proceso erosivo de una presa de tierra (manuscrito inédito), 1998.

83

La brecha se considera con una sección rectangular con una profundidad constante

igual a la altura de la presa. El ancho va aumentando con el proceso de erosión que

se considera tiene una relación directa y lineal con el caudal líquido.

Despreciando el caudal de entrada al embalse, considerando que el único caudal

representativo corresponde al que pasa a través de la brecha, la ecuación de

continuidad se expresa:

QdtdV

−= Ecuación 36

donde V es el volumen del embalse, t el tiempo y Q el caudal a través de la brecha.

Teniendo en cuenta que el volumen puede expresarse mediante una ecuación

monómica en función de la profundidad en el embalse

baHV = Ecuación 37

donde H es la profundidad y a, b son constantes características del embalse. Resulta

dtdH

abHQ 1b−−= Ecuación 38

Por propósitos de simplificación se asigna a b el valor de 1. Entonces:

dtdH

aQ −= Ecuación 39

El valor de a se obtiene de acuerdo con la Ecuación 37 a partir del volumen total del

embalse y de la profundidad total. Adquiere así el significado de área superficial

promedio.

84

El caudal a través de la brecha puede expresarse mediante la ecuación de un

vertedero de pared gruesa

3/23/2

H B g32Q

= Ecuación 40

Para el sistema internacional

3/2H B 1Q 7.= Ecuación 41

De acuerdo con la Ecuación 39 y la Ecuación 41

3/2Ha

1.7BdtdH

−= Ecuación 42

Se asume una relación directa y lineal entre el caudal del material erosionado y el

caudal líquido que pasa a través de la brecha.

eQQs = Ecuación 43

donde Qs es el caudal sólido y e es un coeficiente de erosión adimensional.

El caudal sólido puede expresarse también

dtdB

AQs = Ecuación 44

con A el área transversal de la presa en el sentido longitudinal, considerada

constante.

De la Ecuación 43 y de la Ecuación 44 resulta con la Ecuación 41,

3/2HA

1.7BedtdB

= Ecuación 45

85

y con la Ecuación 42 y la Ecuación 45 se obtiene

dBaeA

dH −= Ecuación 46

Integrando la Ecuación 46 se obtiene

)B(BaeA

HH 00 −−=− Ecuación 47

donde H0 es la altura de la presa y B0 el ancho inicial de la brecha.

De la Ecuación 47 se obtiene para B, con B0 ≅ 0,

H)-(HAae

B 0= Ecuación 48

Reemplazando en la Ecuación 41 la expresión anterior se obtiene:

3/2o H H) - (H

Pa

Q = Ecuación 49

donde 1.7e

AP = . Reemplazando en la Ecuación 42 la expresión anterior de B y

ordenando, se tiene,

dH)HH-(H

Pdt 3/2

0

= Ecuación 50

La integral de la Ecuación 50 es

cH-H

HHHH2ln

HP+

HH2Pt

0

003/2

00

+

−−= Ecuación 51

donde el valor de c se obtiene con H=H0-δ para t=δ (δ<<1).

86

Derivando la Ecuación 41 con respecto al tiempo,

dtdB

1.7HdtdH

1.7BH23

dtdQ 3/21/2 += Ecuación 52

reemplazando dH/dt y dB/dt según la Ecuación 42 y la Ecuación 45 y haciendo dQ/dt

= 0, para obtener el punto más alto de la hidrógrafa, se obtienen las siguientes

relaciones:

aeAB

23

H = Ecuación 53

0H53

H = Ecuación 54

0HAae

52

B = Ecuación 55

Luego, el caudal máximo resulta igual a

5/20

3/2

00max HAae

0.316H53

HAae

52

1.7Q =

= Ecuación 56

Para obtener valores del coeficiente de erosión se requiere de acuerdo con la

Ecuación 56 conocer la sección transversal de la presa en el sentido longitudinal (A),

su altura (H0), el área media superficial del embalse (a) y el caudal máximo

presentado durante el rompimiento de la presa (Qmax).

3.3 APLICACIÓN DEL MODELO DE BRECHA RECTANGULAR DE

PROFUNDIDAD CONSTANTE (PACHECO-BARROS, 1998)

Para la aplicación del modelo paramétrico es necesario conocer el caudal máximo,

el cual puede ser estimado mediante el uso de una ecuación de predicción. En este

caso se utiliza la ecuación de Barros (Ecuación 18 ) para 13 presas con datos

87

geométricos que permiten calcular la sección transversal de la presa en el sentido

longitudinal y el área media superficial del embalse. La Tabla 22 presenta los

coeficientes de erosión para estas 13 presas. Se han calculado 4 coeficientes de

acuerdo con 4 valores de caudal máximo: el caudal observado, y tres caudales

obtenidos de la ecuación de Barros (2002): (1) se obtiene de la aplicación directa de

la ecuación, (2) y (3) son los valores extremos obtenidos según el criterio de

Rousseeuw:

ee 2Se-2S-e- 10 x̂ ,10 x̂ + Ecuación 57

donde x̂ es el valor predicho, e es la media de los ei ( Ecuación 16 ) y Se es la

desviación estándar de los errores de la predicción. Estos valores extremos definen

aproximadamente una banda de confianza del 95%41.

Tabla 22. Coeficientes de erosión para 13 presas

coeficiente de erosión

Nombre

Area superficial promedio

(S/hd), a (m2)

Area transversa

l de la presa, A (m2)

según Qp observado

eobs

según Qp Barros (1)

ep

según Qp Barros (2)

em

según Qp Barros (3) eM

Apishapa, Colorado (USA) 659,051 3,080 0.0149 0.0125 0.0046 0.0336 Baldwin Hills, California (USA) 15,493 10,941 0.0595 0.0594 0.0221 0.1596 Buffalo Creek, West Virginia (USA) 34,522 2,080 0.3678 0.3838 0.1428 1.0318 Castlewood, Colorado (USA) 198,219 1,015 0.0275 0.0266 0.0099 0.0716 Davis Reservoir, California (USA) 4,878,049 355 0.0002 0.0005 0.0002 0.0013 Frenchman Creek, Montana (USA) 1,680,000 467 0.0023 0.0014 0.0005 0.0038 Goose Creek, South Carolina (USA) 1,737,705 74 0.0008 0.0000 0.0000 0.0001 Hatchtown, Utah (USA) 770,833 947 0.0074 0.0051 0.0019 0.0137 Hell Hole, California (USA) 456,308 8,174 0.0113 0.0138 0.0051 0.0370 Johnstown -South Fork Dam-, Penn. (USA)

496,063 2,657 0.0161 0.0084 0.0031 0.0227

Kelly Barnes, Georgia (USA) 43,610 205 0.0221 0.0316 0.0118 0.0850 Schaeffer, Colorado (USA) 128,525 2,466 0.0532 0.0803 0.0299 0.2159 Teton, Idaho (USA) 3,829,604 24,759 0.0160 0.0104 0.0039 0.0278

41 WAHL, Tony L. The uncertainty of embankment dam breach parameter predictions based on dam failure case studies. Op. cit., p. 6.42 WAHL, Tony L., report DSO-98-004: Prediction of embankment dam breach parameters - A literature review and needs assessment., Op. cit., p 18.

88

La Ecuación 49 y la Ecuación 51 permiten construir la hidrógrafa de caudal para

cada presa. La Figura 7 presenta las hidrógrafas para las 13 presas, habiendo

definido el valor de ∆h como Ho/75.

89

Figura 7. Hidrógrafas de 13 presas generadas con el modelo paramétrico de Pacheco-Barros

Hidrógrafa Apishapa

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

18,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /

s)

eobs

ep

em

eM

Hidrógrafa Baldwin Hills

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

0 1 1 2 2 3

tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /

s)

eobs= ep

em

eM

Hidrógrafa Buffalo Creek

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /

s)

eobs= ep

em

eM

Hidrógrafa Castlewood

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /

s)

eobs= ep

em

eM

Hidrógrafa Davis Reservoir

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

-10 10 30 50 70 90 110 130 150

tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /

s)

eobs

ep

em

eM

Hidrógrafa Frenchman Creek

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

0 10 20 30 40 50 60

tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /

s)

eobs

ep

em

eM

90

Figura 7. Hidrógrafas de 13 presas generadas con el modelo paramétrico de Pacheco-Barros (viene de la p. anterior)

Hidrógrafa Goose Creek

0

100

200

300

400

500

600

0 50 100 150 200

tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /

s)

eobs

eM

Hidrógrafa Hatchtown

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

- 1 1 3 5 7 9 11 13 15

tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /

s)

eobs

ep

em

eM

Hidrógrafa Hell Hole

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /

s)

eobs

ep

em

eM

Hidrógrafa Johnstown-South Fork Dam-

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

0 2 4 6 8 10

tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /

s)

eobs

ep

em

eM

Hidrógrafa Kelly Barnes

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /

s)

eobs

ep

em

eM

Hidrógrafa Schaffer

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

18,000

20,000

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /

s)

eobs

ep

em

eM

91

Figura 7. Hidrógrafas de 13 presas generadas con el modelo paramétrico de Pacheco-Barros (viene de la p. anterior)

Hidrógrafa Teton

0

20,000

40,000

60,000

80,000

100,000

120,000

0 5 10 15 20

tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /

s)

eobs

ep

em

eM

La Figura 7 muestra que el caudal observado está siempre comprendido entre los

valores extremos obtenidos con la ecuación de Barros (2002). La única presa para la

que nos se cumple la predicción es Goose Creek, la cual es rechazada en el análisis

estadístico con la ecuación de Barros (2002). Se explica según la Ecuación 56 que

un menor coeficente de erosión produce un menor caudal pico y según la Ecuación

51 un mayor tiempo al caudal pico.

92

4. MODELOS MATEMÁTICOS FÍSICAMENTE BASADOS

En los últimos 30 años numerosos autores han propuesto y desarrollado modelos

matemáticos físicamente basados, para la modelación del rompimiento de presas

de tierra. La Tabla 23 presenta una lista de algunos modelos reconocidos en la

literatura científica, sus modelos de transporte de sedimentos asociados, y otras

características (V. Singh & Scarlatos, 1988; Wurbs, 1987)42.

Cristofano (1965) propuso el primer modelo para el rompimiento de presas. Este

modelo relaciona la tasa de erosión de la brecha con la tasa de flujo de agua a

través de la brecha, utilizando una ecuación que da cuenta del esfuerzo cortante en

las partículas del suelo y las fuerzas del agua. El modelo asume una brecha

trapezoidal de ancho constante en el fondo; las pendientes de los lados de la brecha

se determinan por el ángulo de fricción del material y la pendiente de fondo del canal

de la brecha es igual al ángulo de fricción interna del material. También hace uso de

coeficientes empíricos.

Harris & Wagner (1967) aplicaron la ecuación de transporte de sedimentos de

Schoklitsch a los flujos de presa con brecha. Asumieron que la erosión de la brecha

empezaba inmediatamente después del sobrevertimiento, y que seguía hasta que la

brecha alcanzaba el fondo de la presa. Brown & Rogers (1977, 1981) presentaron un

modelo, BRDAM, basado en el trabajo de Harris y Wagner que era aplicable a

brechas inducidas por sobrevertimiento y por tubificación.

Lou (1981) y Ponce & Tsivoglou (1981) presentaron un modelo que conjugaba la

ecuación de transporte de sedimentos de Meyer–Peter y Müller con las ecuaciones

diferenciales unidimensionales de flujo no permanente y de conservación de

93

sedimentos. Las ecuaciones diferenciales eran solucionadas con un esquema

implícito de diferencias finitas que era computacionalmente complejo y con tendencia

a presentar problemas de inestabilidad numérica. La resistencia del flujo en la

brecha era representada utilizando el n de Manning. El ancho de la brecha estaba

empíricamente relacionado con el flujo a través suyo. El modelo tenía en cuenta el

agotamiento del volumen del embalse y sus condiciones de borde aguas arriba.

Los modelos FLOW SIM 1 y FLOW SIM 2 son principalmente modelos para el

desplazamiento de la creciente pero incluyen rutinas para la modelación de la brecha

similares a las del DAMBRK basadas en la fórmula de transporte de fondo de

Schoklitsch.

El modelo BEED (Breach Erosion of Embankment Dams) desarrollado por Singh &

Scarlatos (1985) es un modelo que simula el desarrollo de la brecha, el

desplazamiento de la creciente y del sedimento. La erosión y el transporte de

sedimentos son calculados utilizando las ecuaciones de Einstein-Brown y Bagnold.

Macchione & Sirangelo (1988, 1990) han propuesto recientemente un modelo

basado en las ecuaciones de Meyer-Peter y Müller.

El modelo BREACH (Fread, 1993) es probablemente el modelo matemático más

conocido y de este se hará una descripción en detalle más adelante.

94

Tabla 23. Modelos Físicamente basados(V.Singh & Scarlatos, 1988; Wurbs, 1987).

Modelo y año Transporte de

Sedimento Morfología de

brecha Parámetros

Otras características

Cristofano (1966) Fórmula empírica Ancho de brecha constante

Angulo de reposo

Harris & Wagner (1967) BRDAM (Brown & Rogers, 1977)

Fórmula de Schoklitsch

Forma de brecha parabólica

Dimensiones de brecha, sedimentos

DAMBRK (Fread, 1977)

Erosión lineal predeterminada

Rectangular, triangular o trapezoidal

Dimensiones de brecha, otros

Efectos tailwater

Lou (1981); Ponce & Tsivouglou (1981)

Fórmulas de Meyer - Peter y Müller

Relación del tipo de régimen

Esfuerzo cortante crítico, sedimento

Efectos tailwater

BEED (V. Singh & Scarlatos, 1985)

Fórmula de Einstein - Brown

Rectangular o trapezoidal

Sedimentos, otros

Efectos tailwater estabilidad de pendiente húmeda

FLOW SIM 1 and FLOW SIM 2 (Bodine, undated)

Erosión linear predeterminada; opción de fórmula de Schoklitsch

Reactangular, trioangular o trapezoidal

Dimensiones de brecha, sedimentos

BREACH (Fread, 1984a, 1985, 1993)

Fórmulas de Meyer - Peter y Müller modificadas por Smart

Rectangular, triangular o trapezoidal

Cortante crítico, sedimento

Efectos tailwater, estabilidad de pendiente seca

4.1 BREACH: UN MODELO DE EROSIÓN PARA FALLAS DE PRESAS DE

TIERRA (HYDROLOGIC RESEARCH LABORATORY, NATIONAL WEATHER

SERVICE (NWS), NOAA)43

BREACH es un modelo matemático basado en principios físicos de hidráulica,

transporte de sedimentos y mecánica de suelos, para predecir las características del

canal (tamaño y tiempo de formación) creado en el proceso de rompimiento de una

presa debido a la erosión, así como para conocer la hidrógrafa de salida que se

43 Fread, D.L. Op., cit., p. 1-21.

95

obtiene en este rompimiento. El modelo utiliza las ecuaciones de continuidad de

masa, de capacidad de transporte de sedimentos y de flujo uniforme. Utiliza las

ecuaciones de flujo sobre vertederos o a través de un orificio para simular el caudal a

través de un canal o conducto que será erosionado gradualmente a través de la

presa. La conservación de la masa, que tiene en cuenta el caudal entrante al

embalse, el volumen almacenado en él y el caudal saliente (sobre la cresta, por el

vertedero de descarga y por el canal de erosión), determina el nivel del agua en el

embalse en función del tiempo que junto con el nivel del piso del canal de erosión

predicho, define la cabeza que controla la descarga. El piso del canal de erosión se

supone con una pendiente igual a la de la cara de aguas abajo de la presa. Una

relación de transporte de sedimentos, la ecuación de Meyer-Peter y Muller

modificada para canales empinados se usa para predecir la capacidad de

transporte del flujo del canal cuya profundidad se determina por una relación de flujo

uniforme cuasi-permanente en la cual se aplica la ecuación de Manning durante un

intervalo de tiempo ∆t en cada paso del desarrollo del canal de erosión modelado. El

ensanchamiento del canal (de supuesta forma trapezoidal) está gobernado por la

tasa de erosión que es función de la pendiente del piso y de la profundidad del flujo y

depende de las propiedades del material de presa (tamaño D50, peso específico,

ángulo de fricción interna, fuerza de cohesión). El coeficiente n de Manning usado

para calcular la profundidad del flujo en el canal de erosión puede deducirse de

acuerdo con el tamaño del material del canal mediante la ecuación de Strickler o las

relaciones de Moody. Se consideran hasta tres materiales en la presa: un material

de cuerpo interno, un material de cuerpo externo y una delgada capa sobre la cara

de aguas abajo de la presa que puede ser un cubrimiento de grama o de un material

granular de mayor tamaño que el del cuerpo externo. Se consideran dos tipos

principales de fallas que pueden iniciar el rompimiento: la tubificación o el

sobrevertimiento. Además pueden producirse colapsos en los costados del canal

debidos a fallas de los taludes, provocadas por la fuerza hidrostática, que excede la

96

resistencia al esfuerzo cortante y las fuerzas de cohesión. El modelo tiene la

capacidad de determinar si el canal de erosión se desarrollará lo suficiente durante

el desbordamiento de la presa produciendo una descarga catastrófica del agua

represada. La hidrógrafa de salida se obtiene mediante una estructura iterativa

simple del modelo BREACH, que posee un eficiente y buen comportamiento

numérico. Unos pocos segundos de tiempo en computador se requieren en una

aplicación típica.

El modelo fue ensayado por la NWS en la presa Teton y en el deslizamiento natural

ocurrido en el río Mantaro. Los resultados de la hidrógrafa de salida obtenidos

mediante la modelación, estuvieron muy cerca de los datos registrados para esos

casos.

4.1.1 Descripción del modelo. Generalidades

El modelo BREACH simula la falla de una presa de tierra como la de la Figura 8 . La

presa puede ser homogénea o compuesta por dos materiales: uno en el cuerpo

interior cuyas propiedades definidas son el ángulo de fricción interna (φc), la fuerza

de cohesión (Cc), el tamaño medio de su granulometría (D 50c) y el peso específico

(γc); otro, en una zona externa para el cual se definen así mismo φs, Cs, D50s, y

γs. También puede especificarse la cara de aguas abajo de la presa así: 1) cubierta

en grama de estado (GL) o altura especificada (Gs); 2) material igual al de la zona

externa de la presa ó 3) material granular más grande que el de la zona externa

(D50DF). Para la descripción de la geometría de la presa se define su altura (Hu), el

nivel del piso (HL), la pendiente de la cara de aguas abajo según la relación

1(vertical): Zd (horizontal) y la de la cara de aguas arriba 1:Zu. Si la presa es

construida por el hombre se define el ancho de la cresta (Wc) y una tabla de

calibración del vertedero de descarga donde se relacione el caudal (Qsp(I)) contra el

97

nivel del agua (Hsp(I)), donde el primer nivel corresponde al de la cresta del

vertedero. Para una presa formada de manera natural por un deslizamiento se

considera que normalmente no existe un ancho de cresta ni un vertedero.

Las características del embalse se describen con una tabla de área superficial

(Sa(I)) contra el nivel del agua (Hsa(I)), un nivel inicial del agua al comienzo de la

simulación (Hi) y una tabla del caudal de entrada al embalse (Qin(I)) contra el tiempo

(Tin(I)).

Si se trata de simular una falla por desbordamiento, el nivel del agua en el embalse

debe ser mayor a la altura de la presa antes de que ocurra cualquier erosión. La

erosión comienza sólo en la cara de aguas abajo de la presa según lo muestra la

línea A-A de la Figura 8 . Si no hay cubierta de grama, se asume la existencia de un

pequeño caño de sección rectangular a lo largo de esta cara. Un canal de erosión

cuyo ancho depende de la profundidad se va formando a lo largo de la cara. El

caudal en el canal se calcula de acuerdo con la ecuación de vertedero de pared

gruesa (con unidades en el sistema inglés)44:

Qb = 3 Bo (H-Hc)1.5 Ecuación 58

en la cual Qb es el caudal en el canal de erosión, Bo es el ancho instantáneo del canal

inicial de forma rectangular, H es el nivel en el embalse y Hc es el nivel del piso del

canal. La Ecuación 58 se deduce asumiendo un vertedero de borde ancho a lo largo

del cual se presenta la profundidad crítica. Así, puede escribirse que:

44 Las ecuaciones del modelo BREACH que se presentan en este trabajo conservan la expresión del manual del usuario y en general corresponden el sistema inglés siempre que no se especifique lo contarrio.

98

( ) Hc - H32

= g B

Q3

2o

2b y despejando Qb se obtiene ( )1.5

o

1.5

b Hc-H B g 32

= Q

Como el canal se erosiona a lo largo de la cara de aguas abajo de la presa, el nivel

Hc se mantiene en lo alto de la presa Hu y el punto más extremo del canal aguas

arriba se mueve a lo largo de la cresta hacia la cara de aguas arriba de la

presa. Cuando el piso del canal de erosión ha alcanzado la posición de la línea B-B

de la Figura 8 , el nivel del piso Hc comenzará a erosionarse hacia abajo hasta un

nivel especificado Hm que puede llegar a ser igual al nivel del piso de la presa

(HL). La pendiente del piso del canal se mantiene cercana a la pendiente de la cara

de aguas abajo de la presa.

Si la cara de aguas abajo de la presa, representada en la Figura 8 por la línea A-A,

está cubierta de grama, la velocidad del flujo de desborde sobre ella se calcula en

cada intervalo de tiempo mediante la ecuación de Manning. Esta velocidad se

compara con la máxima velocidad permisible para canales engramados ( Chow,

1959 ). La falla de la cara de aguas abajo por erosión se inicia una vez se excede la

velocidad permisible. En ese momento se crea al instante un caño a lo largo de esa

cara con un ancho de 2 pies y 1 pie de profundidad. La erosión en el caño se

considera como cuando no hay cubierta de grama. La velocidad (v) a lo largo de la

cara de aguas abajo se calcula de acuerdo con la Ecuación 58:

v = q/y, con q = 3 (H-Hc)1.5 el caudal por unidad de ancho Ecuación 59 5/3

1/2(1/Zd) 1.49n q

=y

Ecuación 60

con y obtenido de la ecuación de Manning asumiendo un canal ancho ( R=y ) y n = a

qb es el coeficiente de Manning representado matemáticamente .

99

Figura 8. Sección transversal de una presa

Si se trata de simular una falla por tubificación, el nivel (H) en el embalse debe ser

mayor que el nivel del eje del orificio rectangular (Hpi) antes de que el orificio se

incremente por la erosión. El fondo del orificio se va erosionando verticalmente hacia

abajo mientras su clave lo va haciendo hacia arriba e igualmente se da un desarrollo

lateral en iguales proporciones. El caudal en el orificio (Qo) se calcula de acuerdo

con la ecuación de Bernoulli aplicada entre el eje del orificio (Hpi) y el nivel en el

embalse (H), teniendo en cuenta unas pérdidas por fricción en su longitud L para un

diámetro o ancho D, calculadas con la ecuación de Darcy-Weisbach:

2g1

A

Q

DL

f = 2g1

A

Q + Hpi-H

2o

2o

,que al despejar da para Qo:

2/1

o L/D f+1Hpi)-2g(H

A = Q

Ecuación 61

donde A es el área transversal del orificio.

Wc

Hy

Hi

Zu Zd 1 1

Hu

Hsp

D50c D50s

A B

A B

HL

100

El factor de fricción f se obtiene de acuerdo con las ecuaciones (Morris y Wiggert,

1972 ):

f = 64/R para R<2000 Ecuación 62

f = 0.105 ( D50/D )0.167 para R>2000 Ecuación 63

Donde A D Qo

= Rν

es el número de Reynolds, con ν = 1.2 10-5 pies2/s, la viscosidad

cinemática del agua a 60oF (150C)

El nivel superior del orificio va aumentando hacia arriba con la erosión (Hpu) hasta

llegar a un punto donde el flujo de control de orificio cambia por flujo de control de

vertedero. La transición de este cambio se supone que ocurre cuando se cumple con

la siguiente desigualdad:

H < Hpu + 2( Hpu - Hpi ) Ecuación 64

El caudal en el vertedero está gobernado por la Ecuación 58 en la cual Hc es

equivalente al nivel del orificio y Bo es el ancho del orificio en el instante de la

transición. Luego del instante de transición de la condición del flujo de orificio a

vertedero, se asume que el material existente entre la clave del orificio y la cresta de

la presa, colapsa y es transportado por el canal de erosión a la tasa presente de

transporte de sedimentos antes de que ocurra más erosión. Posteriormente la

erosión procede a formar un canal a lo largo de la cara de aguas abajo de la presa

entre el nivel de la batea del orificio y el piso de la presa. El resto del proceso de

erosión es muy similar al descrito en la falla por desbordamiento con la posición del

canal ahora indicada por la línea A-A de la Figura 8 .

La descripción general del proceso de erosión presentada, es para presas

construidas por el hombre. Si se trata de simular una presa por deslizamiento, el

proceso es similar, excepto que como no se considera un ancho de cresta (Wc), la

101

erosión comienza con el canal en la posición de la línea B-B de la Figura 8 . Los

tipos de falla por desbordamiento o tubificación también pueden darse en una presa

formada por un deslizamiento.

4.1.2 Ancho del canal de erosión

El método para la determinación del ancho del canal de erosión es un aspecto crítico

de cualquier modelamiento. En este modelo el ancho del canal está controlado

dinámicamente por dos mecanismos: el primero asume que el canal tiene una

sección inicial rectangular y el segundo relaciona el ancho del canal con la

estabilidad de los taludes ( Spangler 1951 ).

El ancho del canal está gobernado por la ecuación:

Bo = Br y Ecuación 65

donde Br es un factor basado en la sección hidráulicamente óptima y y es la

profundidad del flujo en el canal de erosión. Br tiene un valor de 2 para las fallas por

desbordamiento y de 1 para las fallas por tubificación. El modelo asume que y es la

profundidad crítica en la entrada al canal, es decir,

Hc)(H32

=y − Ecuación 66

De acuerdo con el segundo mecanismo, la sección inicial rectangular cambia a

trapezoidal cuando los costados del canal de erosión colapsan, formando un ángulo

α con la vertical como lo muestra la Figura 9 . El colapso ocurre cuando la

profundidad del canal erosionado (Hc’) alcanza la profundidad crítica (H’) que

depende de las propiedades del material de la presa: ángulo de fricción interna (φ),

cohesión (C) y peso específico (γ ), de acuerdo con la ecuación,

102

[ ] 3 2, 1, =k , 'cos( -1

'sen cos 4C = H'

1-k

1-kk φθγ

θφ−

Ecuación 67

En la cual el subíndice k indica una de las tres condiciones de colapso que se

muestran en la Figura 9 , θ es el ángulo que la pared lateral del canal de erosión

hace con la horizontal como lo presenta la Figura 10 .

Los ángulos θ ó α en cualquier momento durante la formación del canal están dados

por:

θ = θ’k-1 Hk ≤ H’k Ecuación 68

θ = θ’k Hk > H’k Ecuación 69

Bo = Br y k = 1 Ecuación 70

Bo = Bom k > 1 Ecuación 71

Bom = Br y cuando H1 = H’1 Ecuación 72

α = 0.5π - θ Ecuación 73

θ’o = 0.5π Ecuación 74

θ’k = (θ’k-1 + φ ) /2 Ecuación 75

Hk = H’c - y/3 Ecuación 76

El subíndice k se incrementa en 1 cuando Hk > H’k. En la Ecuación 76 el término y/3

es restado a H’ c para obtener la profundidad libre real del canal en la cual la

influencia del agua sobre la estabilidad de los taludes es tenida en cuenta. A través

de este mecanismo es posible que el canal se ensanche luego de que ha ocurrido el

caudal pico a través suyo después que la profundidad y disminuya para el resto del

caudal.

103

Figura 9. Formación del canal de erosión en la presa

La erosión se supone que ocurre de igual manera a lo largo del piso y de los taludes

del canal excepto cuando colapsan los taludes. Luego del colapso se interrumpe la

erosión en el piso hasta que el volumen de material colapsado es removido a la tasa

de la capacidad de transporte de sedimentos del canal en el instante del

colapso. Luego de esta corta pausa, el piso y los taludes continúan erosionándose.

Cuando una presa de deslizamiento se simula, la longitud más bien larga del canal

comparada con las presas construidas por el hombre, sugiere que el ancho del canal

debe calcularse aparte del ancho inicial de la entrada. En este caso, y en la Ecuación

70, la Ecuación 72 y la Ecuación 76 se calcula como la profundidad normal yn en el

canal, mejor que la profundidad crítica dada por la Ecuación 66.

Bo

Bom

α1 α2

α3

Hc

Hd

Presa

104

Figura 10. Vista frontal de la presa con el canal de erosión

4.1.3 Determinación del nivel del embalse:

La ley de conservación de masa se utiliza para calcular el cambio del nivel de la

superficie del agua en el embalse (H) debido al caudal de entrada al embalse (Qin),

el caudal de descarga del vertedero (Qsp), el caudal de descarga sobre la presa

(Qo), el caudal en el canal de erosión (Qb) y las características de almacenamiento

del embalse. La conservación de masa durante un intervalo de tiempo ∆t (en horas)

está representado así:

3,60043,560

t

H Sa = o)Q + spQ + Q( -in Q b ∆∆ Ecuación 77

donde ∆H es el cambio en el nivel de la superficie del agua durante el intervalo de

tiempo ∆t (en horas, 1hora=3600s), y Sa es el área superficial (en acres, 1 acre =

43,560 pies2) del embalse en el nivel H. La barra superior indica que el caudal es

promediado en el intervalo. Despejando de la Ecuación 77 se obtiene la siguiente

expresión para el cambio de nivel de la superficie del agua:

o)Q - spQ Q -in Q( Sa

t

43,5603,600

= H b −∆

∆ Ecuación 78

Hd

H’c Hk

Y/3 y α

θ

θk H’k

Presa

105

El nivel del embalse (H) en el tiempo t puede obtenerse fácilmente de la relación:

H = H’ + ∆H Ecuación 79

donde H’ es el nivel del embalse en el tiempo t-∆t.

El caudal de entrada al embalse (Qin) se determina de la tabla Qin contra Tin

especificada en un comienzo. El caudal del vertedero (Qsp) se determina de la tabla

también especificada de Qsp contra H. El caudal del canal de erosión (Qb) se calcula

de la Ecuación 61 para flujo orificio o de la Ecuación 58 para flujo sobre un vertedero

cuando Hc=Hu (la cota de la cresta de la presa); cuando Hc<Hu, se utiliza la

siguiente ecuación de vertedero de borde ancho:

Qb = 3 Bo (H-Hc)1.5 + 2.2 tan(α) (H-Hc)2.5 Ecuación 80

en la cual Bo se obtiene según la Ecuación 70 ó la Ecuación 71 y α está dada por la

Ecuación 73. El caudal sobre la cresta del vertedero (Qo) se calcula como el de un

vertedero de borde ancho con la Ecuación 58, donde Bo es reemplazado por la

longitud de la cresta y Hc por Hu.

4.1.4 Hidráulica del canal de erosión

El flujo del canal se asume descrito adecuadamente como un flujo uniforme cuasi-

permanente, determinado mediante la aplicación de la ecuación de Manning para

flujo en canales abiertos, en cada intervalo de tiempo ∆t,

2/3

5/31/2

b PA

S n

1.49 Q = Ecuación 81

106

en la cual S=1/Zd, A es el área de la sección transversal del canal, P es el perímetro

mojado del canal y n es el coeficiente de Manning. En este modelo n se calcula

usando la relación de Strickler basada en el tamaño promedio del grano del material

que conforma el canal,

n = 0.013 D500.167 Ecuación 82

donde D50 representa el diámetro del tamaño promedio del grano expresado en mm.

La utilización de un flujo uniforme cuasi-permanente se considera apropiado debido

a la corta longitud del canal y a las pendientes empinadas (1/Zd) para las presas

hechas por el hombre y aún en el caso de presas formadas por deslizamientos,

donde la longitud del canal es mayor y la pendiente menor, la variación del flujo es

muy pequeña con la distancia, a lo largo del canal. El uso de un flujo uniforme cuasi-

permanente en contraposición con las ecuaciones del flujo no permanente utilizadas

por Ponce y Tsivoglou (1981) simplifican enormemente la hidráulica y el algoritmo

computacional. Tal simplificación se considera comparable con las otras

simplificaciones inherentes al tratamiento del desarrollo del canal en presas, para el

cual mediciones precisas de las propiedades del material son escasas o imposibles

de obtener así como la varianza que tienen tales propiedades. La simplificación

hidráulica elimina dificultades numéricas computacionales y permite al modelo

requerir de mínimos recursos computacionales.

Cuando el canal es rectangular, se tiene la siguiente relación entre la profundidad del

flujo (yn) y el caudal (Qb) :

S B 1.49

n Q =yn

3/5

1/2o

b

Ecuación 83

107

en la cual Bo está definida por las ecuaciones comprendidas entre la Ecuación 70 y

la Ecuación 72.

Cuando el canal es trapezoidal, el siguiente algoritmo basado en la iteración Newton-

Raphson se utiliza para calcular la profundidad del flujo yn:

)(yn' f

)(yn f - yn = yn

k

kk1+k Ecuación 84

5/31/22/3 b

k A S 1.49 - PQ = )f(yn Ecuación 85

donde

A = 0.5 (Bo + B) Ynk Ecuación 86

B = Bom + 2 yn tanα Ecuación 87

P = Bom + 2 yn/ cosα Ecuación 88

2/31/21/3b

k A B S n

1.49

35

- PP'

Q 32

= )(yn' f Ecuación 89

con P’ = 1/ cosα Ecuación 90

El superíndice k es un contador de la iteración, la cual continúa hasta que

ynk+1 - ynk < ε, ε ≤ 0.01 Ecuación 91

El primer estimativo para yn se obtiene así:

S B 1.49

n Q = yn

3/5

1/2b1

Ecuación 92

donde

)B' + (B 0.5 = B om Ecuación 93

con B’ el ancho superior del canal a la profundidad yn en el tiempo t-∆t.

108

4.1.5 Transporte de sedimentos

La tasa a la cual el canal es erosionado depende de la capacidad de la corriente de

agua para transportar el material. Se utiliza la relación de transporte de sedimentos

de Meyer-Peter y Muller modificada por Smart (1984) para canales empinados,

O) - S (D S n

D P

DD

3.64 = Qs 1.12/30.2

30

90

Ecuación 94

Donde

50c Dt0.054O = (cohesivo) Ecuación 95

c'(PI)62.4

b'O = (no cohesivo) Ecuación 96

τc = a’ τc’ Ecuación 97

a’ = cosθ ( 1 - 1.54 tanθ) Ecuación 98

θ = tan-1 S Ecuación 99

τc’ = 0.122 / R*0.970 si R* < 3 Ecuación 100

τc’ = 0.056 / R*0.266 si 3 ≤< R* ≤ 10 Ecuación 101

τc’ = 0.0205 R*0.173 si R* > 10 Ecuación 102

S= 1/Zd Ecuación 103

R* = 1524 D50 (D S)0.5 Ecuación 104

Qs es la tasa de transporte de sedimentos; D30, D50, D90 son los tamaños del grano

en mm para el correspondiente porcentaje en peso del 30, 50 ó 90% en finos; D es

la profundidad hidráulica del flujo; S es la pendiente de la cara de aguas abajo de la

presa, τc’ es el esfuerzo cortante crítico de Shields, PI es el índice de plasticidad para

suelos cohesivos y b’ y c’ son coeficientes empíricos con los siguientes rangos:

0.003 =b’=0.019 y 0.58=c’=0.84 (Clapper and Chen, 1987).

109

4.1.6 Agrandamiento del canal por el colapso súbito:

Es posible que el canal sea ampliado por una falla de un colapso más bien súbito de

porciones superiores de la presa en las vecindades del canal en desarrollo. Este

colapso consiste en una porción en forma de cuña de la presa con una dimensión

vertical yc tal como lo presenta la Figura 11. El colapso puede deberse a la presión

del agua en la cara de aguas arriba de la presa que excede las fuerzas resistivas por

la cortante y la cohesión, que mantienen la cuña en su lugar.

Cuando esto ocurre, la cuña es empujada hacia adelante y es transportada por el

agua descargada por el canal ampliado. Cuando ocurre el colapso la erosión del

canal cesa hasta que el volumen de la cuña colapsada es transportado a través del

canal de erosión a la tasa de transporte del agua descargada. Un chequeo para el

colapso es hecho en cada intervalo de tiempo ∆t durante la simulación. El chequeo

consiste en asumir un valor inicial de yc igual a 10 y luego, sumando las fuerzas

actuando en la cuña de altura yc. Las fuerzas son aquellas debidas a la presión del

agua (Fw) y las fuerzas resistivas que son la cortante actuando a lo largo del piso de

la cuña (Fsb), la cortante actuando en ambos lados de la cuña (Fss), la fuerza debida

a la cohesión a lo largo del piso de la cuña (Fcb) y la fuerza de cohesión actuando a

lo largo de ambos lados de la cuña (Fcs).

110

Figura 11. Vista lateral mostrando las fuerzas que determinan el posible colapso de la porción superior (yc) de la presa.

El colapso ocurre si,

Fw > Fsb + Fss + Fcb + Fcs Ecuación 105

donde

hd)2 + yc ( B 62.4 21

= Fw Ecuación 106

[ 2yc B D Z21

? yc WccB ?2ycBZU21

62.4)(?ftan= Fsb +++−

] ycyn B D' Z62.4 B Wcchd 62.4 32

+ Ecuación 107

( )[ ]yc ZDZU Wcc yc K tan = Fss 2 ++φγ Ecuación 108

( )[ ] yc Zd+Zu + Wcc B C = Fcb o Ecuación 109

( )[ ] cos / yc 2 (B yc Zd+Zu + Wcc 2C = Fcs 0 α+ Ecuación 110

con φ

φsen + 1

sen - 1 K = Ecuación 111

sin a Hc B = B 0 + Ecuación 112

ZD’ = (1+ZD2)0.5 Ecuación 113

hd

yc

Fw

Zu 1

Wcc Xp

Fss Fcs

yn

Zd 1

Fsb Fcb

111

siendo BT el ancho superior de la brecha y yc, hd, Zu, Zd, Wcc, yn, están definidas

según la Figura 11. El ancho superior de la superficie del agua en el canal de erosión

B, se define según la Ecuación 65 ó la Ecuación 87 y α se define en la Ecuación 73,

según laFigura 10 .

Si la desigualdad de la Ecuación 105 no se satisface con el primer ensayo yc,

entonces no ocurre colapso en ese tiempo. Si es satisfecha la desigualdad, yc se

incrementa en 2 pies y se evalúa de nuevo la Ecuación 105. Este ciclo continúa hasta

que la desigualdad no es satisfecha.

4.1.7 Sumergencia

El caudal en el canal se verifica por efectos debidos a la profundidad del agua en la

descarga. Se calcula un factor de sumergencia Sb así:

3

tb 3

2

Hc - HHc - Y

2.78 - 1 = S

− Ecuación 114

con Yt la profundidad en la descarga, aguas abajo del pie de presa, calculada con la

ecuación de Manning, considerando la sección en la descarga y el caudal total. Si Sb

resulta ser menor que la unidad, entonces el caudal Qb se corrige así:

Qb = Sb Qb Ecuación 115

4.1.8 Porosidad del material

La porosidad del material de la presa influye en el transporte de este, y por lo tanto

es determinante en el cálculo del nivel del piso del canal. El cambio en el nivel del

piso del canal (∆Hc) se calcula así:

112

Po)-(1 L PQst 3,600

= Hc∆

∆ Ecuación 116

donde ∆t es el intervalo de tiempo en horas, L es la longitud del canal, P es el

perímetro total del canal, es decir,

αcosHc)-(Hu 2

+ B = P o Ecuación 117

Po es la porosidad del material y Qs es el caudal calculado según la Ecuación 94.

4.1.9 Algoritmo computacional

La secuencia de cálculos en el modelo es iterativa ya que el caudal en el canal

depende del nivel del piso y del ancho, mientras que las características del canal

dependen de la capacidad de transporte de sedimentos del caudal y esta depende a

su vez del tamaño del canal y del flujo. Un algoritmo simple se utiliza para dar cuenta

de la dependencia mutua del flujo, la erosión y las características del canal. El

algoritmo computacional es como sigue:

1. Se adopta un incremento de tiempo ∆t. t(i) = t(i -1) + ∆t

2. Se calcula Hc(i) = Hc(i-1) - ∆Hc, con ∆Hc inicialmente supuesto

3. Se calcula el nivel en el embalse H(i) = H(i-1) - ∆H, con ∆H estimado mediante

extrapolación de acuerdo con los cambios ocurridos previamente.

4. Se obtienen los caudales asociados con H(i): Qb, Qo, Qsp, Qin

5. Se calcula ∆H de acuerdo con la Ecuación 78

113

6. Se verifica el nivel del embalse H(i) = H(i-1) - ∆H

7. Se verifica Qb de acuerdo con la Ecuación 58 ó la Ecuación 80

8. Se verifican efectos de sumergencia

9. Se calculan Bo, α, BT, P y R para el canal, según las ecuaciones comprendidas

entre la Ecuación 70 y la Ecuación 73, la Ecuación 87 y la Ecuación 88

10. Se calcula Qs según la Ecuación 94

11. Se calcula ∆Hc según la Ecuación 116

12. Se compara ∆Hc con el valor inicialmente supuesto de acuerdo con un error de

tolerancia. Si la diferencia sobrepasa el error, se regresa al paso 2 con el cálculo

anterior de ∆Hc

13. Se verifica la estabilidad por colapso

14. Se vuelve al paso 1

15. Finalmente se obtiene la hidrógrafa de salida

114

4.2 MODELO MATEMÁTICO BRECCIA ( MODELO DEL ENEL-CRIS, ENTE

NAZIONALE ENERGIA ELETTRICA-CENTRO RICERCA IDRAULICA E

STRUTTURALE )45

El modelo matemático BRECCIA simula el crecimiento de la brecha que se

desarrolla en una presa de material suelto y que inicia su formación al verse

desbordada la presa, por el flujo que entra al embalse.

El modelo se basa en la ecuación de conservación del agua contenida en el embalse

y del material sólido que conforma la presa. El valor de la erosión operada por la

corriente de la brecha es evaluada por medio de las leyes de transporte de

Engelund.

4.2.1 La presa

Se hará referencia a una presa ideal de sección transversal en forma de triángulo

isósceles, constituida de material suelto de diámetro uniforme D.

4.2.2 La brecha

Una investigación sobre una presa en tierra desbordada ha revelado que la brecha

tiene en su mayor parte forma triangular con pendiente media de las paredes de

2:1. En otras, en que casi la altura de la brecha ha afectado la altura de la presa, la

brecha se desarrolla posteriormente alargándose un poco, erosionando la fundación,

manteniendo la misma pendiente de la pared antes dicha. En consideración de tales

características del fenómeno, se aproxima la brecha siguiendo la geometría ideal,

45 ENEL-CRIS. Modello matematico della breccia che si sviluppa in uno sbarramento in materiale

115

ilustrada en la Figura 12 , válida hasta que la erosión no afecte toda la altura de la

presa. Tales simplificaciones consisten en calcular analíticamente el volumen de la

brecha (identificado con el volumen del material transportado), expresando tal

volumen en función de la altura Hb inicial de la brecha (punto C’ de la Figura 12

). Sobre el plano de la fundación de la presa se obtiene la expresión:

2/1

22

22

02

22

)Hb2Hs( tanHb

- tan

Hb-Hs 2Hs 2

cotan Hb)-(Hs Hs

32

= Vb

−

φφ

φ Ecuación 118

donde φo es el ángulo que la línea de la pendiente máxima de la pared de la brecha

forma con la horizontal. De acuerdo con el estudio citado, se tiene que φo=arctan(2).

Figura 12. Geometría de la presa y de la brecha, modelo BRECCIA

sciolto per tracimazione. 1986, p. 1-10.

116

Q

Hs H

Hb

E,F,C

P C'

T Q

ϕ 2 ϕ 3

ϕ 1

B M' T' z

y

A

F E

C'

T

A

L

Hb

Hs

M

C

Vista frontal

Sección transversal

4.2.3 El embalse

El volumen del embalse de la presa se aproxima según la ecuación:

Vs = Cs Hm Ecuación 119

donde Cs y m son parámetros cuyo valor numérico depende de las características

geométricas del embalse y H es la altura del agua correspondiente en la presa.

Indicando con Q el caudal que rebosa sobre la presa y con Qo el caudal del afluente,

la ecuación de continuidad del embalse se escribe:

Qo+Q- = dt

dVs Ecuación 120

Esta ecuación puede expresarse de acuerdo con la Ecuación 119:

1-mH Cs mQo+Q-

= dt

dH Ecuación 121

117

4.2.4 El caudal de rebose

El extremo de la brecha constituye una entrada de vertedero. Tal entrada puede ser

asimilada de manera aproximada a un vertedero de forma triangular isósceles para

el cual es válida la fórmula para el cálculo del caudal:

5/2Hb)-(H 2g HbHs

B

154

=Q−

µ Ecuación 122

donde:

B = ancho de la brecha en el extremo superior

µ = coeficiente de descarga

g = aceleración de la gravedad

El extremo se considera como un umbral para el cual el coeficiente µ alcanza el límite

superior de 0.60. Dada la no correspondencia perfecta entre el vertedero ideal al

cual se refiere la Ecuación 122 y el vertedero real constituido por la brecha, el valor

real de µ podrá alejarse del valor guía.

4.2.5 La corriente a lo largo de la brecha

Si se considera la hipótesis que la evolución de la brecha es bastante lenta se puede

suponer con buena aproximación, que el flujo de la corriente que fluye ocurre en

condiciones casi estacionarias. En tales condiciones la corriente sigue la ley de

Bernoulli. Aplicando esta ley a las secciones situadas en la parte alta de la abertura

(punto C’) de la brecha y en una cota z sobre la fundación (véase la Figura 12), se

obtiene la ecuación:

118

DH-H = 2gU

+ cosy + z2

3ϕ Ecuación 123

donde y y U son respectivamente la profundidad y la velocidad de la corriente en la

cota z, y DH es la pérdida de energía entre las dos secciones, referida a la unidad de

peso del agua. La pérdida de energía DH puede ser evaluada mediante la ecuación:

DH = Jm L = Jm (Hb-z) sen-1ϕ3 Ecuación 124

en la que L es la distancia entre las dos secciones y Jm representa el valor medio de

la pérdida de energía por unidad de longitud y por unidad de peso, calculado por la

fórmula de Chézy:

R C gU

= J2

2

Ecuación 125

donde C es el parámetro adimensional de Chézy y R el radio hidráulico de la

corriente. Calculando J de la Ecuación 125 en la sección del valle puesta a la cota z,

el valor medio Jm se obtiene multiplicando el valor de J así obtenido, por un

coeficiente de conversión α, comprendido entre 0 y 1.

El procedimiento de solución de la Ecuación 123, la ecuación de Bernoulli aplicada a

la corriente a lo largo de la brecha es como sigue:

Sustituyendo en la Ecuación 123 la expresión de DH (Ecuación 124 y Ecuación 125),

se obtiene

DH-H = 2gU + cosy + z

2

3ϕ

119

0 = L R C g

U + H - 2gU + cosy + z

2

22

3 αϕ

Dado que 2

4

2

22

tan y

Q = U

ϕ

y 6/1

KsR 7.66 = C

, reemplazando en la ecuación anterior

resulta:

0 = y g 2

tanQ

R 58.68Ks L 2 + 1 + H -y cos + z = F(y)

44

22

4/3

1/3

3

ϕαϕ

ecuación que se resuelve por el método de Newton-Raphson.

4.2.6 El material transportado por la corriente

La corriente de rebose ejerce una acción erosiva sobre las paredes de la brecha. El

volumen de material suelto transportado por la corriente en la unidad de tiempo,

llamado caudal de sólido, depende de las características mecánicas de la corriente y

del material sólido: radio hidráulico (R), velocidad media (U), peso específico del

agua (Gw), diámetro medio del material (D), peso específico del material (Gs).

El caudal de sólido, Qs, puede ser calculado mediante la ecuación de Einstein:

2/1

3D 1GwGs

g P = Qs

−φ Ecuación 126

En la que P es el perímetro mojado (desarrollado transversalmente en la pared de la

brecha mojada por la corriente), y φ es el parámetro adimensional de transporte de

120

Einstein. El parámetro φ puede ser a su vez calculado mediante la fórmula de

Engelund:

φ = 0.05 C2 θ5/2 Ecuación 127

donde θ es el parámetro de Shields:

D Gw)-(Gs =

τθ Ecuación 128

y τ representa el esfuerzo tangencial medio ejercido por la corriente sobre el

perímetro mojado. El esfuerzo τ está dado por la fórmula:

2

2

C g UGw

= τ Ecuación 129

El parámetro de Chézy C, puede ser evaluado siguiendo la expresión de Strickler:

6/1

KsR

7.66 = C

Ecuación 130

donde Ks representa la rugosidad equivalente de Nikuradse, la cual es proporcional

al diámetro D del grano, Ks=Rs·D. El coeficiente de proporcionalidad Rs debe tener

en cuenta el transporte sólido al fondo y en suspensión. Este coeficiente se

constituye en una limitación del modelo dada la poca información que sobre él se

tiene.

4.2.7 La evolución de la brecha

Con la continua remoción del material de la presa, la brecha aumenta

progresivamente de dimensiones. La variación del volumen Vb de la brecha está

gobernada por la ecuación:

121

n1Qs

= dtVb d

− Ecuación 131

donde n es la porosidad de la presa y Qs el caudal sólido en la base de la brecha. El

caudal Qs viene calculado por la Ecuación 126 hasta la Ecuación 130, a partir de las

características de la corriente en la base de la brecha, z=0 (véase la Figura 12).

La ecuación de la brecha puede ser expresada en términos de la derivada temporal

de la altura Hb:

n-1Qs

Hb dVb d

= dtHb d 1−

Ecuación 132

4.2.8 Solución de las ecuaciones del modelo

El modelo se basa en dos ecuaciones diferenciales ordinarias en el tiempo, la

Ecuación 121 y la Ecuación 132, las cuales son solucionadas por el método de

Euler.

4.3 APLICACIÓN DE LOS MODELOS

A continuación se realizan algunas aplicaciones de los modelos matemáticos

físicamente basados en algunas de las presas de los capítulos anteriores. En la

utilización de los modelos físicamente basados se tienen en cuenta no sólo variables

geométricas como en las ecuaciones de predicción (Capítulo 2 ) o en los modelos

paramétricos (Capítulo 3 ), sino además variables o parámetros relacionadas con las

propiedades del suelo. Se hace necesario y recomendable llevar a cabo un análisis

de sensibilidad de estas variables con el fin de conocer cómo puede variar el valor

de predicción del caudal pico y el tiempo en el que este se produce.

122

4.3.1 Modelos BREACH y BRECCIA. Análisis de sensibilidad en los casos

Mantaro y La Josefina

Un ejemplo de un análisis de sensibilidad a tres parámetros del suelo como son el

diámetro medio (d50), la porosidad (Po) y el ángulo de fricción (a), es llevado a cabo

con los modelos BREACH Y BRECCIA para los casos Mantaro (p. 32) y La Josefina

(p. 34)46.

En la Tabla 24 se presentan los datos geotécnicos y geométricos de estas dos

presas naturales según el reporte de informes técnicos. En estos casos se ha tenido

en cuenta una variable hidrológica: el caudal inicial de entrada al embalse (Qin). Esta

variable puede utilizarse en el BREACH pero no en el BRECCIA. Con estos datos se

simularon en ambos modelos el rompimiento de las presas.

46 BARROS, Juan Fernando; PACHECO, Ramón; GÓMEZ, Paula. Sobre la modelación matemática del rompimiento de presas de tierra naturales. Casos Mantaro (Perú, 1974) y Josefina (Ecuador, 1993). En: Memorias XIX Congreso Latinoamericano de hidráulica. Tomo III. Córdoba, Argentina, 22 al 27 de octubre de 2000, p. 299-308.

123

Tabla 24. Datos reportados de los casos Mantaro y La Josefina

Presa Po d50

(mm) a (°)

γ (N/m3)

Hu (m)

Zu H

(m) Qin

(m3/s) Zd

C (N/m2)

Mantaro 0.50 11 30 15,700 26,000

170 17 170 13 8 1,436

La Josefina 0.10 100 27,000 64.9 7 52.5 100 4

El modelo BREACH presenta un buen comportamiento para el Caso Mantaro, pero

para el Caso La Josefina presenta problemas para los valores de Zd y d50. Con un

Zd igual a 4 y un d50 de 100, como está registrado en los informes técnicos, el

programa no completa su ejecución. Si se aumenta el valor de Zd a 5,

disminuyéndose la pendiente del paramento de aguas abajo, se obtiene un caudal

de 33,300 m3/s con un tiempo al pico (Tp) de 19.10 horas, valores mucho mayores

que los registrados por los observadores. Si se aumenta aún más el Zd el programa

no desarrolla la brecha, es decir, no se produce erosión. Una restricción del

BREACH es que no permite definir el ancho de la brecha inicial sino que el proceso

de erosión se inicia con una brecha de 0.2 pies de ancho, la cual se desarrolla

desde la cresta de la presa. Teniendo en cuenta que en La Josefina se construyó un

canal artificial, esta restricción obligó a utilizar en lugar de la altura real de la presa, la

distancia vertical medida desde el lecho del río hasta el piso del canal.

El modelo BRECCIA presentó problemas en el caso Mantaro con el d50. Para un

d50 igual a 11 mm como registran los informes se obtiene un caudal pico igual a

177,000 m3/s y un tiempo al pico (Tp) de 14 horas. Para obtener un valor cercano a

los registrados por los observadores debió utilizarse un d50 igual a 72 mm. En el

Caso La Josefina, sí se pudo utilizar la altura real de la presa ya que este modelo

permite definir el nivel inicial del piso de la brecha.

La sensibilidad en los resultados de Tp y Qp de los modelos se ha medido

realizando cambios en los valores del diámetro medio (d50), la porosidad (Po) y el

ángulo de fricción (a ). Teniendo en cuenta que en todos los casos la brecha se

124

desarrolla hasta el piso de la presa produciéndose el desembalse de todo el

volumen de agua almacenado, necesariamente un aumento en Tp debe implicar una

disminución en Qp y una disminución en Tp un aumento en Qp. Para el análisis de

sensibilidad se utilizan en este caso los valores de referencia según el registro de los

informes técnicos, cambiando el d50 y el Zd en el del BREACH para el caso La

Josefina y el d50 en el BRECCIA para el caso de Mantaro por las razones expuestas

anteriormente. En la Tabla 25 se presentan los datos finalmente utilizados.

Tabla 25. Parámetros de referencia utilizados en la modelación

Modelo BREACH

Presa Po d50 (mm)

a (°)

γ (N/m3)

Hu (m)

Zu H

(m) Qin

(m3/s) Zd

C (N/m2)

Mantaro 0.50 11 30 15,700 170 17 170 13 8 1,436 Josefina 0.10 30 10 27,000 52.5 7 52.5 100 10 1,436

Modelo BRECCIA

Presa Po d50

(mm) a

(°) γ

(N/m3) Hs (m)

Cotan φ2

H (m)

Mantaro 0.50 72 45 26,000 170 17 170 Josefina 0.10 100 45 27,000 64.9 7 52.5

Con los datos de la Tabla 25 se obtienen los resultados para caudal pico (Qp) y

tiempo al pico (Tp) que se presentan en la Tabla 26.

Tabla 26. Resultados de caudal pico y tiempo al pico

Presa Observado

Modelo BREACH Modelo BRECCIA

Qp (m3/s) Tp (h) Qp (m3/s) Tp (h) Qp (m3/s) Tp (h) Mantaro 10,000 - 14,000 24 13,374 16.31 18,566 54 Josefina 8,400 15.5 6,238 13.6 7,713 52

La sensibilidad de cada modelo se mide según la variación porcentual del resultado

que se calcula con la siguiente expresión:

referencia Qpreferencia Qp - obtenido Qp

(%) Qp ? = Ecuación 133

125

Donde “Qp referencia” es el valor obtenido con el respectivo modelo, utilizando los

datos de la Tabla 25 . De la misma manera se hace para Tp. En la Figura 13 se

muestran los resultados del análisis de sensibilidad. Los gráficos de la Figura 13

muestran para el diámetro medio en el BREACH una limitación importante: en la

caso Mantaro no se produce erosión para un d50 mayor de 11 mm y en el caso La

Josefina ocurre igual para un d50 mayor de 30 mm. En ambos casos un aumento en

el d50 representa un aumento en el Tp pero no representa variación importante en el

Qp. En el modelo BRECCIA el aumento en el d50 se manifiesta con una disminución

en el Qp y un aumento en el Tp en ambos casos. Para la porosidad, los gráficos de

la Figura 13 muestran que los dos modelos presentan un comportamiento similar

con el cambio de este parámetro . El aumento de la porosidad representa un

aumento en Qp y una disminución en Tp. En lo que se refiere al ángulo de fricción, el

BREACH reconoce que un valor de a mayor significa una altura crítica mayor de

acuerdo con la Ecuación 67 , es decir un talud más estable o la posibilidad de un

talud más alto sin la ocurrencia de un colapso súbito. Para el caso Mantaro, con el

aumento de a se producen cambios crecientes y decrecientes con una tendencia de

disminución en el Qp y de aumento en el Tp. Para el caso La Josefina, el aumento de

a representa una disminución en el Qp y aumento en el Tp. El modelo BRECCIA no

utiliza explícitamente el ángulo de fricción del material pero puede asumirse para su

representación el ángulo de la pendiente máxima de la pared de la brecha. El

aumento de este ángulo representa para el caso Mantaro un aumento en el Qp

mientras que en el Tp se presenta una disminución y posteriormente un aumento.

Este comportamiento es contradictorio e inconsistente. Para el caso La Josefina se

produce con el aumento de a una disminución y posteriormente un aumento en el Tp

y en el Qp se producen cambios crecientes y decrecientes con tendencia a la

disminución.

126

Figura 13. Análisis de sensibilidad para los casos Mantaro y La Josefina

Sensibilidad al d50

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

0 30 60 90 120 150d50 (mm)

Qp

(%)

Sensibilidad al d50

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

0 30 60 90 120 150 180

d50 (mm)

Tp

(%)

Sensibilidad a Po

-1000

100200

300

400500

600700800

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0porosidad

Qp

(%)

Sensibilidad a Po

-80

-60

-40

-20

0

20

40

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0porosidad

Tp

(%)

Sensibilidad a α

-80

-60

-40

-20

0

20

0 10 20 30 40 50 60 70

ángulo de fricción (o)

Qp

(%)

Sensibilidad a α

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40 50 60 70

ángulo de fricción (o)

Tp

(%)

Mantaro (BRECCIA) La Josefina (BRECCIA)

Mantaro (BREACH) La Josefina (BREACH)

127

4.3.2 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad de parámetros geotécnicos en 13

presas

Otra manera de realizar un análisis de sensibilidad es el estudio de las hidrógrafas

resultantes del rompimiento de la presa. Con el fin de estudiar la sensibilidad de 5

parámetros geotécnicos, se modelan rompimientos en 13 presas. Estos parámetros

son: diámetro medio (d50), porosidad (Po), ángulo de fricción interna (a), peso

específico (γ) y cohesión (Coh). Los datos geométricos se obtienen de la misma

base de datos de las 45 presas ( ANEXO B ), sin embargo, debido a la ausencia de

datos para los parámetros geotécnicos, se han adoptado ciertos valores con base

en experiencias en estudios realizados en el departamento de Antioquia47. Los

parámetros geotécnicos adoptados para la modelación se presentan en la Tabla 27 .

Tabla 27. Parámetros geotécnicos adoptados para la modelación de 13 presas d50

(mm) Po a (°) γ

(kgf/m3) Coh

(N/m2) Referencia 1.5 0.35 35 1,600 23,940

Análisis de sensibilidad 0.05 0.50 22 2,700 0

En la Figura 14 se presentan para cada presa las hidrógrafas obtenidas con los

valores de referencia de la Tabla 27 que constituyen los datos de la hidrógrafa de

referencia y las hidrógrafas obtenidas con los valores del análisis de sensibilidad. Se

ha procedido de manera que sólo se hace cambio en uno de los parámetros

geotécnicos, manteniendo los demás iguales a los valores de referencia de la Tabla

27 . Las hidrógrafas de referencia se han obtenido buscando resultados de caudal

pico lo más cercano posible al valor observado. Con este propósito, en los casos de

falla por tubificación se define la cota de inicio que produzca este resultado. En los

128

casos por sobrevertimiento se limita el crecimiento de la brecha con este mismo

fin. La Tabla 28 presenta los valores de caudal pico obtenidos según las hidrógrafas

de referencia. Los resultados de todas las modelaciones se presentan en la Figura

14 acompañados de los principales resultados de caudal y tiempo. Particularmente

en los casos de tubificación resulta de interés el momento del cambio del flujo

confinado a flujo libre en canal abierto o brecha. Cada uno de los gráficos de la

Figura 14 se acompaña de un comentario con respecto a la sensibilidad mostrada

por los parámetros y de una interpretación del fenómeno con base en la hidrógrafa

resaltando algunos puntos de interés. Los resultados se resumen posteriormente en

la Tabla 29 .

Tabla 28. Resultados de caudal obtenidos para 13 presas con el modelo BREACH

Presa Caudal Observado

(m3/s)

Caudal obtenido con el modelo BREACH

(m3/s) Apishapa 6,850 6,852 Baldwin Hills 1,130 1,134 Buffalo Creek 1,420 242 Castlewood 3,570 5,221 Davis Reservoir 510 514 Frenchman Creek 1,420 1,422 Goose Creek 565 600 Hatchtown 3,080 3,086 Hell Hole 7,360 7,370 Johnstown-South Fork 8,500 14,175 Kelly Barnes 680 524 Schaeffer 4,500 9,053 Teton 65,120 66,121

Los resultados de la Tabla 28 demuestran que la simulación con el modelo

BREACH puede ofrecer resultados de predicción iguales a los observados en 9 de

las 13 presas. Ninguna de las 4 presas restantes había sido rechazada en el análisis

47 GABiS -Gestión del ambiente para el bienestar social-. Grupo de investigación de la Escuela de Ingeniería de Antioquia. Determinación de la llanura de inundación del río Negro por eventual rompimiento de la presa La Fe. Empresas Públicas de Medellín, 2002.

129

estadístico realizado para las 45 presas en el Capítulo 2 aunque Johnstown-South

Fork había rechazado algunas ecuaciones de predicción en el análisis realizado

para estas.

Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas

ApishapaFalla por tubificación

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

0 1 2 3 4 5 6Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

) Ref, 0.18H

D=0.05 mm

Por=0.50

Nota: insensibilidad aα=22o

γ =2.7 T/m3

Coh=0

Altura de la presa (m): 34.14 Altura de inicio de tubificación (m): 6.10 Nivel inicial del embalse menos cota de inicio de tubificación (m): 25.50

Parámetros geotécnicos

Tiempo en el cambio de flujo confinado a libre (h)

Caudal en el cambio de flujo confinado

a libre (m3/s)

Tiempo al Caudal pico (h)

Caudal pico (m3/s)

Referencia 1.50 6,851.6 1.50 6,851.6 D50= 0.05 mm 3.13 3,140.6 2.77 3,228.5 Po= 0.50 1.22 7,507.3 1.22 7,538.3 α= 22o 1.50 6,850.9 1.50 6,851.6 γ= 2,700 kgf/m3 1.50 6,850.9 1.50 6,851.6 C = 0 1.50 6,850.9 1.50 6,851.6

En este caso se presentan variaciones en el caudal y en el tiempo con los cambios

en el diámetro medio y en la porosidad, pero no se presentan variaciones con los

cambios en los otros tres parámetros (ángulo de fricción, peso específico y

cohesión). Se destaca en las hidrógrafas el cambio súbito en el caudal cuando el

flujo confinado pasa a canal abierto. Esto se explica por la disminución en la carga

hidráulica debido a la elevación del piso de la brecha (antes fondo del conducto de

130

tubificación) provocado por el material de suelo presente entre la clave del conducto

y la cresta de la presa. El caudal pico se presenta durante la tubificación o en el

instante del cambio de flujo confinado a libre.

131

Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas (viene de la p. anterior)

Baldwin HillsFalla por tubificación

0

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

2,000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

) Ref, 0.88H

D=0.05 mm

Por=0.50

Coh=0

α=22o

γ =2.7 T/m3



Tiempo en el cambio de flujo confinado a libre

(h)

Caudal en el cambio

de flujo confinado a libre (m3/s)


Caudal pico (m3/s)

Referencia 0.60 241.0 1.39 1,134.4 D50= 0.05 mm 1.07 107.5 2.44 1,094.6 Por= 0.5 0.48 271.6 1.07 1,638.3 α= 22o 0.60 241.0 1.69 882.3 γ= 2,723 kgf/m3 0.60 241.0 2.03 781.6 C = 0 0.60 240.8 1.66 1,905.0

Se presentan variaciones en el caudal y el tiempo muy notables. El tiempo de

cambio de flujo confinado a libre se ve afectado sólo por el cambio de diámetro y

porosidad. Se presentan también colapsos por falta de estabilidad en los taludes de

la brecha debidos a la gran altura de la presa como por ejemplo a las 0.8 h en la

hidrógrafa de referencia, a las 1.6 h en la del cambio de d50, a las 0.6 h en la del

cambio de porosidad y en la sin cohesión. Sin duda la variabilidad en los resultados

es propiciada por la altura considerable de la presa. Observando las hidrógrafas se

aprecia que el desembalse más rápido ocurre en los casos sin cohesión y con mayor

132

porosidad. Ambos tienen relación directa con el rápido aumento del tamaño de la

brecha.


Buffalo CreekFalla por tubificación

0

50

100

150

200

250

300

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

) Ref, 0.02H

D=0.05 mm

Por= 0.50

Nota: insensibilidad aα=22o

γ =2.7 T/m3

Coh=0




(h)

Caudal en el cambio



Caudal pico (m3/s)

Referencia no hay cambio 0.66 242.44 D50= 0.05 mm no hay cambio 0.79 136.22 Por= 0.5 no hay cambio 0.54 281.37 α= 22o no hay cambio 0.66 242.36 γ= 2,723 kgf/m3 no hay cambio 0.66 242.36 C = 0 no hay cambio 0.66 242.36

Sólo se presenta sensibilidad al d50 y a la porosidad. El diámetro menor permite

que el proceso erosivo se inicie desde más temprano produciendo una hidrógrafa de

menor altura. La mayor porosidad provoca un crecimiento mayor del conducto

alcanzando el máximo caudal en el menor tiempo. No se presentan variaciones con

los cambios en los otros tres parámetros (ángulo de fricción, peso específico y

cohesión).

133


CastlewoodFalla por sobrevertimiento

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

) Ref

D=0.05 mm

Por= 0.50

Coh=0

Nota: insensibilidad a α=22o

γ =2.7 T/m3

Altura de la presa (m): 21.34 Nivel inicial del embalse (m): 21.40



Caudal pico (m3/s)

Referencia 0.50 5,220.7 D50= 0.05 mm 0.50 5,390.1 Por= 0.5 0.45 5,530.2 α= 22o 0.46 5,126.7 γ= 2,723 kgf/m3 0.58 3,820.7 C = 0 0.70 4,255.5

En esta falla por sobrevertimiento se produce un crecimiento de la brecha casi

instantáneo a partir de cierto tiempo durante el cual el proceso erosivo se ha

producido en el piso y paredes de la brecha. El piso de la brecha alcanza

rápidamente la base de la presa. A partir de ese momento se hace mayor la erosión

en las paredes, la brecha aumenta su capacidad de descarga y se alcanza

rápidamente el caudal pico. Los tiempos en los cuales el piso de la brecha alcanza la

base de la presa son: 0.45 para la hidrógrafa de referencia, la de cambio de a y la

de cambio de γ, 0.46 para la del cambio de diámetro, 0.34 para la de cambio de

porosidad y 0.69 para la de cambio de cohesión. Las mayores diferencias con la

hidrógrafa de referencia las presentan las del cambio de peso específico y cohesión.

134


Davis ReservoirFalla por tubificación

0

100

200

300

400

500

600

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)

Ref, 0.03H

D=0.05 mm

Por= 0.50

Nota: insensibilidad a γ =2.7 T/m3

α=22o

Coh=0

Altura de la presa (m): 11.89 Altura de inicio de tubificación (m): 0.30 Nivel inicial del embalse menos cota de inicio de tubifi cación (m): 10.20



(h)

Caudal en el cambio



Caudal pico (m3/s)

Referencia no hay cambio 0.67 514.0 D50= 0.05 mm no hay cambio 3.07 509.1 Por= 0.5 no hay cambio 0.52 514.5 α= 22o no hay cambio 0.52 514.5 γ= 2,723 kgf/m3 no hay cambio 0.67 514.0 C = 0 no hay cambio 0.67 514.0

En esta presa de pequeña altura no se presentan cambios considerables en los

valores de caudal máximo debido a los cambios en los valores de los parámetros

geométricos. Lo más notable es el proceso más gradual que se observa cuando se

hace el cambio de diámetro, en el cual el caudal máximo se presenta en mayor

tiempo que en los demás casos.

135


Frenchman CreekFalla por tubificación

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

0 2 4 6 8 10

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

) Ref, 0.02H

D=0.05 mm

Por=0.50

Coh=0

α=22o

γ =2.7 T/m3




(h)

Caudal en el cambio



Caudal pico (m3/s)

Referencia 1.83 971.9 4.87 1,422.3 D50= 0.05 mm 4.95 588.7 8.83 643.4 Por= 0.5 1.45 1,013.3 3.72 2,015.7 α= 22o 1.83 971.9 4.57 1,492.7 γ= 2,723 kgf/m3 1.83 971.5 4.27 1,419.6 C = 0 1.83 971.5 4.20 1,104.2

A pesar de su pequeña altura, similar al de la presa anterior (Davis Reservoir), los

resultados de caudal y tiempo son muy diferentes. Existe otro parámetro muy

influyente en los resultados, que será analizado más adelante (sección 4.3.3 ): la cota

de inicio de tubificación o si se prefiere, la carga hidráulica inicial (nivel inicial del

embalse menos cota de inicio de tubificación). Allí se encuentra la explicación de

esa diferencia. Por ahora interesa decir que en este caso la mayor sensibilidad se

presenta para el d50 y la porosidad. El cambio de diámetro a un tamaño menor

136

representa un cambio más gradual en la hidrógrafa. El cambio de porosidad a un

valor mayor, significa un crecimiento más acelerado de la brecha y por lo tanto un

mayor caudal máximo.


Goose CreekFalla por sobrevertimiento

0

100

200

300

400

500

600

700

3 4 5 6 7 8

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)

Ref

D=0.05 mm

Por=0.50

Coh=0

Nota:Insensibilidad a α=22o

γ =2.7 T/m3


Caudal en el cambio



Caudal pico (m3/s)

Referencia 5.55 600.3 D50= 0.05 mm 5.83 597.4 Por= 0.5 4.08 598.0 α= 22o 5.55 600.3 γ= 2,723 kgf/m3 5.55 600.3 C = 0 7.37 595.8

En este nuevo caso de falla por sobrevertimiento no se presentan diferencias

significativas en los resultados del caudal máximo pero sí en los tiempos. El

comportamiento de la brecha es similar al de Castlewood: el caudal aumenta a partir

del momento en el que el piso de la brecha alcanza la base de la presa y la erosión

lateral se intensifica. El crecimiento de la brecha es similar en todos los cambios de

parámetro debido a la poca altura de la presa. Se puede concluir sin embargo, con

137

base en los tiempos al caudal pico que la mayor porosidad acelera el proceso

erosivo y por tanto el más rápido crecimiento de la brecha.


HatchtownFalla por tubificación

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

) Ref, 0.81H

D=0.05 mm

Por=0.50

Coh=0

α=22o

γ =2.7 T/m3




(h)

Caudal en el cambio



Caudal pico (m3/s)

Referencia 0.58 29.4 1.92 3,085.8 D50= 0.05 mm 1.33 30.0 2.65 3,085.4 Por= 0.5 0.44 29.4 1.66 3,821.0 α= 22o 0.58 29.4 2.10 2,956.2 γ= 2,723 kgf/m3 0.58 29.4 2.32 2,837.7 C = 0 0.58 29.3 1.91 2,536.9

La observación de las hidrógrafas permite concluir que los mayores efectos se

producen en los cambios de diámetro y de porosidad. De nuevo la mayor porosidad

acelera el comienzo del proceso erosivo mientras que el d50 lo retrasa. Debido a

ello, los tiempos de cambio de flujo confinado a libre se ven afectados notablemente

con la variación de estos dos parámetros.

138


Hell HoleFalla por tubificación

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

0 1 2 3 4 5 6

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)

Ref, 0.45H

D=0.1 mm

Por=0.50

α=22o

Nota: la hidrógrafa de γ =2.7 T/m3

y la de Coh=0 son similares a la de α=22o




(h)

Caudal en el cambio



Caudal pico (m3/s)

Referencia 1.57 1,959.4 2.08 7,370.2 D50= 0.1 mm 2.39 1,083.6 4.56 5,640.8 Por= 0.5 1.24 2,166.3 1.64 8,564.5 α= 22o 1.57 1,959.4 2.10 8,321.2 γ= 2,723 kgf/m3 1.57 1,959.4 2.06 8,533.8 C = 0 1.57 1,959.4 2.08 8,384.1

En esta presa de altura considerable se hace evidente la influencia de dos

parámetros geotécnicos en particular: el d50 y la porosidad. Se concluye de nuevo

que la mayor porosidad acelera el proceso erosivo mientras que el menor diámetro

lo retrasa. Los tiempos de cambio de flujo confinado a libre se ven notablemente

afectados así como el valor del caudal máximo para los casos de cambio de

diámetro y de porosidad.

139


Johnstown-South ForkFalla por sobrevertimiento

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

18,000

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

) Ref

D=0.05 mm

Por=0.50

Coh=0

Nota: lnsensibilidad a α=22o

γ =2.7 T/m3




Caudal pico (m3/s)

Referencia 3.63 14,174.7 D50= 0.05 mm 3.87 14,874.2 Por= 0.5 2.59 14,464.0 α= 22o 3.61 14,413.7 γ= 2,723 kgf/m3 3.61 15,245.5 C = 0 4.13 13,505.6

En este caso de sobrevertimiento, los parámetros de mayor sensibilidad son la

porosidad, el d50 y la cohesión. El comportamiento de la erosión es similar al de los

otros dos casos de falla por sobrevertimiento analizados atrás (Castlewood y Goose

Creek). En el momento en el cual el piso de la brecha ha llegado a la base de la

presa, el proceso de erosión en las paredes produce un agrandamiento acelerado

de la brecha con el consecuente aumento súbito del caudal.

140


Kelly BarnesFalla por tubificación

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

) Ref, 0.97H

D=0.05 mm

Por=0.50

Coh=0

α=22o

γ =2.7 T/m3




(h)

Caudal en el cambio



Caudal pico (m3/s)

Referencia 0.69 0.2 1.05 524.1 D50= 0.05 mm 0.65 0.2 1.00 547.0 Por= 0.5 0.53 0.2 0.88 599.6 α= 22o 0.69 0.2 0.95 708.5 γ= 2,723 kgf/m3 0.69 0.2 0.95 706.4 C = 0 0.69 0.2 >8.05 no lo alcanza

Este caso de falla por tubificación se parece mucho los de falla por sobrevertimiento

debido a que la cota de inicio de la tubificación está a sólo 0.30 m de la cresta de la

presa. Por ello los tiempos de cambio de flujo confinado a libre son muy pequeños

(0.2 h) e iguales. Los resultados de caudal principalmente muestran sensibilidad a

los 5 parámetros mientras que los tiempos al caudal pico no varían notablemente,

con excepción cuando la cohesión es cero que no hay un desarrollo de la brecha en

el intervalo de tiempo de modelación (8.05 h). Sin cohesión se produce cambio en el

141

ángulo de los taludes laterales de la brecha que no ocurre en los demás casos. En

este caso no se alcanza el caudal máximo porque el modelo llega al límite de

iteraciones (5000) y se detiene la simulación.


SchaefferFalla por sobrevertimiento

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

0 1 2 3 4 5

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)

Ref

Por=0.50

Coh=0

Nota:no hay corrida con D< 1.5 mm.Insensibilidad a:α=22o

γ =2.7 T/m3




Caudal pico (m3/s)

Referencia 4.35 9,053.4 D50= 0.05 mm Por= 0.5 1.18 8,880.3 α= 22o 4.34 8,474.1 γ= 2,723 kgf/m3 4.35 8,841.1 C = 0 >5.93 no hay erosión

Se producen hidrógrafas similares a los demás casos de falla por sobrevertimiento

debido a la manera casi instantánea como el piso de la brecha llega a la base de la

presa. Como se ha presentado en casos anteriores, la mayor porosidad acelera el

proceso de erosión. Se presentan dos dificultades en la modelación: con el cambio

de diámetro el modelo no realiza ninguna simulación y con el cambio de porosidad

se llega al máximo de iteraciones sin haber alcanzado un desarrollo de la

142

brecha. Los resultados que se obtienen de caudal pico difieren notablemente de los

valores observados.


TetonFalla por tubificación

0

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

70,000

80,000

90,000

100,000

0 1 2 3 4 5 6

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

) Ref, 0.69H

D=0.05 mm

Por=0.50

Coh=0

α=22o

γ =2.7 T/m3




(h)

Caudal en el cambio



Caudal pico (m3/s)

Referencia 1.89 11,762.0 2.30 65,199.4 D50= 0.05 mm 4.97 6,159.7 5.55 49,314.0 Por= 0.5 1.49 12,575.1 1.84 67,585.2 α= 22o 1.89 11,762.0 2.31 86,400.9 γ= 2,723 kgf/m3 1.89 11,762.0 2.30 71,699.8 C = 0 1.89 11,762.0 2.31 81,759.8

Para este famoso caso se presenta sensibilidad a todos los parámetros, pero con

resultados de caudal cercanos al caudal observado en todos los casos. Las mayores

variaciones se presentan en el tiempo al pico principalmente para el cambio en la

porosidad donde el tiempo al pico en la hidrógrafa es menor que en la de la

referencia, y para el cambio en el diámetro que como en otros casos, retrasa el

comienzo de la erosión cuando se disminuye su valor.

143

La Tabla 29 es un cuadro comparativo de los caudales pico y los tiempos al caudal

pico de los resultados de los archivos de referencia con los originados por el cambio

de cada parámetro geotécnico.

Tabla 29. Resumen del estudio de sensibilidad de los parámetros geotécnicos para 13 presas

Presa Tipo

de falla

d50

Ref: 1.5 mm

Cambio: 0.05 mm

Porosidad

Ref: 0.35

Cambio: 0.50

Ángulo de fricción

Ref: 35o

Cambio: 22o

Peso específico

Ref: 1.6 T/m3

Cambio: 2.7 T/m3

Cohesión

Ref: 2.9 KPa

Cambio: 0 KPa

Apishapa Tubificación Q<Qref

T>Tref

Q>Qref

T<Tref

Q=Qref

T=Tref

Q=Qref

T=Tref

Q=Qref

T=Tref

Baldwin Hills Tubificación Q<Qref

T>Tref

Q>Qref

T<Tref

Q<Qref

T>Tref

Q<Qref

T>Tref

Q>Qref

T>Tref

Buffalo Creek Tubificación Q<Qref

T>Tref

Q>Qref

T=Tref

Q>Qref

T>Tref

Q>Qref

T>Tref

Q>Qref

T>Tref

Castlewood Sobrevertimiento. Q>Qref

T=Tref

Q>Qref

T<Tref

Q<Qref

T<Tref .

Q<Qref

T>Tref

Q<Qref

T>Tref

Davis Reservoir Tubificación Q<Qref

T>Tref

Q>Qref

T<Tref

Q>Qref

T<Tref

Q=Qref

T=Tref

Q=Qref

T=Tref

Frenchman Creek Tubificación Q<Qref

T>Tref

Q>Qref

T<Tref

Q>Qref

T<Tref

Q<Qref

T<Tref

Q<Qref

T<Tref

Goose Creek Sobrevertimiento Q<Qref

T>Tref

Q<Qref

T<Tref

Q=Qref

T=Tref

Q=Qref

T=Tref

Q<Qref

T>Tref

Hatchtown Tubificación Q<Qref

T>Tref

Q>Qref

T<Tref

Q<Qref

T>Tref

Q<Qref

T>Tref

Q<Qref

T<Tref

Hell Hole Tubificación Q<Qref

T>Tref

Q>Qref

T<Tref

Q>Qref

T>Tref

Q>Qref

T<Tref

Q>Qref

T=Tref

Johnstown-South Fork Sobrevertimiento Q>Qref

T>Tref

Q>Qref

T<Tref

Q>Qref

T<Tref

Q>Qref

T<Tref

Q<Qref

T>Tref

Kelly Barnes Tubificación Q>Qref

T<Tref

Q>Qref

T<Tref

Q>Qref

T<Tref

Q>Qref

T<Tref

no alcanza máximo caudal en tiempo < 8.05

Schaeffer Sobrevertimiento No hubo corrida Q<Qref

T<Tref

Q<Qref

T<Tref

Q<Qref

T=Tref

no se desarrolla la brecha en tiempo < 5.9

Teton Tubificación Q<Qref

T>Tref

Q>Qref

T<Tref

Q>Qref

T>Tref

Q>Qref

T=Tref

Q>Qref

T>Tref

De acuerdo con la información de la Tabla 29 , resumen cualitativo de los resultados

de la Figura 14 , se puede concluir con relación a la sensibilidad de los resultados en

cuanto al caudal y al tiempo por cambios en los 5 parámetros geoténicos:

1. Sensibilidad al d50 (disminución de 1.5 mm a 0.05 mm): la disminución del d50

produce una disminución en el caudal en la mayoría de los casos (en 9 de los 13),

un aumento del caudal en tres de ellos y una corrida abortada. El tiempo al pico

aumenta en 10 de los casos, disminuye en uno y permanece igual en otro.

144

2. Sensibilidad a la Porosidad (aumento de 0.35 a 0.50): el aumento en la

porosidad produce un aumento en el caudal en la mayoría de los casos (en 11 de

los 13) y una disminución en 3. El tiempo al pico disminuye en 12 de los casos y

permanece igual en uno.

3. Sensibilidad al ángulo de fricción (disminución de 35º a 22º): aunque hay cierta

tendencia al aumento del caudal pico con la disminución del ángulo de fricción (7

casos de los 13), también se presenta disminución en 4 casos y permanencia del

mismo valor de referencia en dos. En cuanto al tiempo al pico permanece igual

en dos casos, aumenta en 6 y disminuye en cinco. No hay una tendencia tan

marcada en cuanto a la influencia del cambio de este parámetro en los valores de

caudal pico y tiempo al pico, como en los de d50 y porosidad.

4. Sensibilidad al peso específico (aumento de 1.6 T/m3 a 2.7 T/m3): los cambios en

el caudal se presentan en las dos direcciones con un aumento en 5 casos, la

disminución en 5 y permanece igual en tres. El tiempo al pico permanece igual en

5 casos, aumenta en 4 y disminuye en 4.

5. Sensibilidad a la cohesión (disminución de 2.9 kPa a 0): se presentan cambios

en el caudal en las dos direcciones, con aumento en 4 casos, disminución en 5 y

permanencia sin cambio en 2. El tiempo al pico se mantiene igual en 3 casos,

aumenta en 6 y disminuye en dos casos, presentándose problemas en los

resultados en los dos casos restantes.

Como conclusión general se puede afirmar que las influencias más definidas en los

resultados de caudal pico y tiempo al pico se presentan con el cambio en el d50 y en

la porosidad.

145

Un acontecimiento relevante en el proceso de rompimiento de la presa cuando la

falla se ha iniciado por tubificación, es el cambio del flujo confinado a flujo libre, es

decir, el paso de conducto cerrado (tubo) a brecha. El momento de ocurrencia de

esta transición es definitivo en el resultado del caudal y del tiempo al pico. En las 13

presas analizadas anteriormente, se produce esta transición en 7 presas: Apishapa,

Baldwin Hills, Frenchman Creek, Hatchtown, Hell Hole, Kelly Barnes y Teton. La

Figura 15 presenta dos gráficos comparativos de los resultados de tiempo en el cual

se realiza la transición en la condición de flujo, cuando se cambia el valor del d50 y

de la porosidad. Como una confirmación de lo concluido en el capítulo anterior ( 4.3.2

) se observa que una mayor porosidad aumenta el caudal pico y un menor diámetro

medio disminuye el caudal pico. En cuanto al tiempo en el cual se da el cambio de

flujo confinado a libre, se muestra que la mayor porosidad induce un cambio más

rápido y que un menor diámetro retrasa el cambio. Esto se cumple para todos los

casos con una sola excepción relacionada con el tiempo de la transición en la presa

Kelly Barnes cuando se hace el cambio de d50 del archivo de referencia por el

menor valor.

146

Figura 15. Resultados del análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 7 presas

Sensibilidad de la carga hidráulica inicial con cambios en D50 y porosidad

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

0 5 10 15 20 25 30Carga hidráulica inicial (m)

Cau

dal (

m3 /s

)

Sensibilidad de la carga hidráulica inicial con cambios en D50 y porosidad

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6Tiempo de cambio de flujo confinado a libre (h)

Car

ga h

idrá

ulic

a in

icia

l (m

)

Valor de D50= 1.5 mm y Porosidad= 0.50 Valor de referencia: D50= 1.5mm y Porosidad= 0.35 Valor de D50= 0.05 mm y Porosidad= 0.35

147

4.3.3 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad de la cota de inicio de tubificación

para 9 presas

Un estudio sistemático se ha realizado para 9 presas del mismo grupo de las 13

anteriores, donde se ha producido la falla por tubificación. Se trata en este caso de

analizar la influencia que tiene en los resultados la determinación de la cota de inicio

de tubificación, o interpretado de otra manera, la influencia de la carga hidráulica

inicial (nivel inicial del embalse menos cota de inicio de tubificación). Se han definido

distintas alturas con respecto a la altura de cada presa. Los valores de los

parámetros geotécnicos son los de referencia presentados en la Tabla 25 . Y la

hidrógrafa de referencia es la misma para cada presa de las consideradas en el

análisis de sensibilidad para los 5 parámetros geotécnicos (numeral 4.3.2 ). Los

resultados se presentan en la Figura 16 . Como en el numeral anterior, cada gráfico

de la Figura 16 va acompañado de una tabla de resultados y de un comentario a

manera de conclusión.

148

Figura 16. Análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 9 presas

Apishapa

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)

HPI= 0.8H

HPI= 0.4H

Ref, 0.18H

HPI= 0.1H

Altura de la presa (m): 34.14

Altura de inicio de tubificación (m):

Carga hidráulica

(m)

Tiempo en el cambio de flujo

confinado a libre (h)

Caudal en el cambio de flujo

confinado a libre (m3/s)


Caudal pico (m3/s)

0.8H 27.31 4.29 0.82 156.4 2.10 5,090.6 0.4H 13.66 17.94 1.24 3,909.3 1.77 5,181.8

Ref, 0.18H 6.10 25.50 1.50 6,851.6 1.50 6,851.6 0.1H 3.41 28.18 1.74 6,518.6 1.53 6,731.2

En el caso de Apishapa el caudal de referencia corresponde a una altura equivalente

a 0.18H. Para una altura de 0.1H se obtiene un caudal pico un poco menor para el

mismo tiempo; obsérvese el pequeño retraso en el ascenso de la hidrógrafa y la

mayor pendiente de la misma. El paso de tubificación a brecha se tarda más

tiempo. Si se aumenta la altura de inicio de tubificación a 0.4H se acelera el cambio

de flujo confinado a brecha, pero como se ha reducido la carga hidráulica no se

alcanza un caudal mayor. Para una altura de 0.8H el retraso para el comienzo del

proceso es notable debido a la poca carga hidráulica, sin embargo el cambio de flujo

confinado a brecha se realiza más rápido que para las demás alturas. El caudal

máximo se produce durante tubificación para 0.1H y 0.18H y en flujo libre para 0.4H y

0.8H, siendo superior en magnitud en los primeros.

149

Figura 16. Análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 9 presas (viene de la p. anterior)

Baldwin Hills

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)

Ref, 0.88H

HPI= 0.8H

HPI= 0.4H

HPI= 0.1H



Carga hidráulica

(m)






Caudal pico (m3/s)

Ref, 0.88H 62.70 7.30 0.60 241.0 1.39 1,134.4 0.8H 56.80 13.20 0.55 576.0 1.59 775.9 0.4H 28.40 41.60 0.59 2,046.5 0.51 2,641.0 0.1H 7.10 62.90 no hay cambio 0.58 4,198.4

Como en el caso anterior, los caudales pico superiores ocurren cuando la cota de

inicio de tubificación es más baja y el caudal máximo se presenta durante la

tubificación. Debe resaltarse que sólo para 0.1H la erosión se realiza hasta que se

alcanza la base de la presa (aunque no se completa la modelación por motivos no

precisados por el programa BREACH). Esto quiere decir que para las demás

alturas, el piso de la brecha no alcanza a llegar a la base de la presa, por lo tanto no

se lleva a cabo un desembalse completo.

150


Buffalo Creek

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)

HPI= 0.8H

HPI= 0.4H

HPI= 0.1H

Ref, 0.02H



Carga hidráulica

(m)






Caudal pico (m3/s)

0.8H 11.22 2.80 7.61 6.52 7.51 6.53 0.4H 5.61 8.41 no hay cambio 1.46 91.51 0.1H 1.40 12.62 no hay cambio 0.83 218.97

Ref, 0.02H 0.30 13.72 no hay cambio 0.66 242.44

Los valores superiores se producen en los casos donde el caudal máximo ocurre

durante la tubificación, siendo mayor para la menor altura (0.02H). Para la altura de

0.8H, donde ocurre cambio de flujo confinado a libre, no se alcanza el máximo caudal

debido a que la poca carga hidráulica no logra erosionar la brecha. El modelo no

genera las hidrógrafas completas por causas no precisadas por el programa

BREACH.

151


Davis Reservoir

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

0 1 2 3 4 5 6 7

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)

HPI= 0.8H

HPI= 0.4H

HPI= 0.1H

Ref, 0.03H



Carga hidráulica

(m)






Caudal pico (m3/s)

0.8H 9.51 0.99 0.81 3.8 4.34 5,697.5 0.4H 4.75 5.75 0.46 216.8 3.76 5,657.2 0.1H 1.19 9.31 0.67 487.0 4.03 5,565.8 Ref, 0.03H 0.30 10.20 no hay cambio 0.67 514.0

En este caso, para la altura de referencia (0.03H) la proximidad al piso de la presa

restringe el crecimiento del conducto que controla el caudal de manera que no se

alcanza a producir suficiente erosión, evitando así mismo la transición a brecha. Para

las demás alturas, donde sí se produce la transición a brecha, se alcanzan caudales

pico y tiempos al pico muy similares, todos después de la transición al flujo

libre. Para estos tres casos se realiza un desembalse casi completo.

152


Frenchman Creek

0

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

2,000

0 2 4 6 8 10

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)

HPI= 0.7H

HPI= 0.4H

HPI= 0.1H

Ref, 0.02H



Carga hidráulica

(m)






Caudal pico (m3/s)

0.7H 8.75 0.20 no hay cambio sin desarrollo 0.4H 5.00 3.94 1.18 127.1 4.83 1,893.3 0.1H 1.25 7.70 1.37 803.4 4.33 1,723.9

Ref, 0.02H 0.30 8.64 1.83 971.9 4.87 1,422.3

Para la altura de 0.7H, con una carga hidráulica inicial de 0.20 m, no se logra ningún

desarrollo del conducto y por lo tanto no hay rompimiento. Para los demás casos, el

cambio de flujo confinado a libre se produce más pronto en la medida en que la

altura de inicio de tubificación es mayor. Los valores superiores de caudal pico

ocurren durante el flujo libre y son mayores en la medida en que se haya dado la

transición más temprano.

153


Hatchtown

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)

Ref, 0.81H

HPI= 0.8H

HPI= 0.4H

HPI= 0.1H



Carga hidráulica

(m)






Caudal pico (m3/s)

Ref, 0.81H 15.54 2.19 0.58 29.4 1.92 3,085.8 0.8H 15.36 2.38 0.57 36.2 1.91 3,079.7 0.4H 7.68 10.06 0.73 1,209.3 2.11 2,731.7 0.1H 1.92 15.82 1.13 3,212.8 1.13 3,213.7

El caudal pico superior ocurre para el caso en el cual la altura de tubificación es más

baja (0.1H) y donde el caudal máximo se produce durante la tubificación. Para las

demás alturas se produce la transición de flujo confinado a brecha en un menor

tiempo aunque se llega a alcanzar para 0.8H y 0.81H valores de caudal pico

cercanos al producido por 0.1H.

154


Hell Hole

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

) HPI= 0.6H

HPI= 0.5H

Ref, 0.45H

HPI= 0.4H

HPI= 0.1H



Carga hidráulica

(m)






Caudal pico (m3/s)

0.6H 40.24 5.47 no hay cambio >3.86 no lo alcanza 0.5H 33.53 12.18 1.79 1,290.4 2.39 7,807.6

Ref, 0.45H 30.48 15.23 1.57 1,959.4 2.08 7,370.2 0.4H 26.82 18.89 1.41 2,847.8 1.90 6,637.1 0.1H 6.71 39.00 1.11 8,222.9 0.99 8,768.0

En esta presa de gran altura se realizan desembalses completos para todos los

casos con excepción de 0.6H, donde el desarrollo del conducto se detiene porque la

baja carga hidráulica no alcanza a producir más erosión. El valor superior del caudal

pico ocurre para la altura de 0.1H y se produce durante la tubificación. En los demás

casos el caudal pico se produce después de la transición a brecha.

155


Kelly Barnes

0

100

200

300

400

500

600

0 0.5 1 1.5 2

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)

Ref, 0.97H

HPI= 0.8H

HPI= 0.4H

HPI= 0.1H



Carga hidráulica

(m)






Caudal pico (m3/s)

Ref, 0.97H 11.28 0.30 0.69 0.2 1.05 524.1 0.8H 9.26 2.32 0.13 33.7 0.36 514.9 0.4H 4.63 6.95 0.17 416.8 0.17 416.8 0.1H 1.16 10.42 0.35 505.9 0.26 542.4

En esta presa de pequeña altura se presentan dos casos en los que el caudal pico

se produce durante la tubificación y otros dos donde ocurre luego de la transición a

brecha. El valor superior corresponde a 0.1H y se produce durante la

tubificación. Aquí se puede desvirtuar una afirmación hecha en la aplicación de los

modelos paramétricos: que un menor tiempo al pico conducía a un resultado mayor

del caudal pico. Esto es cierto para las hidrógrafas de los modelos paramétricos,

dada su simetría. En el caso particular del BREACH, donde no existe siempre

156

simetría por la posibilidad de transición de flujo libre a confinado (los colapsos

súbitos), y las demás condiciones geotécnicas como la estabilidad de taludes, no se

cumple tal afirmación que relaciona tiempo y caudal.


Teton

0

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

70,000

0 1 2 3 4 5 6

Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)

HPI= 0.8H

Ref, 0.69H

HPI= 0.4H

HPI= 0.1H



Carga hidráulica

(m)






Caudal pico (m3/s)

0.8H 74.37 17.13 1.40 4,512.5 1.85 66,121.0 Ref, 0.69H 64.01 27.49 1.89 11,762.0 2.30 65,199.4

0.4H 37.19 54.32 2.71 33,822.4 3.26 41,164.5 0.1H 9.30 82.20 3.43 43,388.6 2.88 50,073.0

En Teton los caudales pico se producen después de la transición excepto para

0.1H. Para este caso el valor superior se alcanza con 0.8H. Pueden compararse

estos resultados con los de Hell Hole, la otra presa de gran altura. Cabe destacar la

notable diferencia entre los caudales pico de Teton y los de Hell Hole. Esto se

explica por la gran diferencia en el volumen de los respectivos embalses (356 106 m3

de Teton y 30.6 106 m3 de Hell Hole). Se reconoce así que la única variable de

predicción no debe ser la altura del embalse (hw).

157

La Tabla 30 es un cuadro comparativo de los caudales pico y los tiempos al caudal

pico de los resultados de los archivos de referencia con los originados por el cambio

de cada altura inicial de tubificación.

Tabla 30 Resumen del estudio de sensibilidad de la cota de inicio de tubificación para 9 presas

Referencia 0.8H 0.4H 0.1H

Apishapa 0.18 Q<Qref

T>Tref

Q<Qref

T>Tref

Q<Qref

T>Tref

Baldwin Hills 0.88 Q<Qref

T>Tref

Q>Qref

T<Tref

Q>Qref

T<Tref

Buffalo Creek 0.02 Q<Qref

T>Tref

Q<Qref

T>Tref

Q<Qref

T>Tref

Davis Reservoir 0.03 Q>Qref

T>Tref

Q>Qref

T>Tref

Q>Qref

T>Tref

Frenchman Creek 0.02 no se corrió Q>Qref

T<Tref

Q>Qref

T<Tref

Hatchtown 0.81 Q<Qref

T<Tref

Q<Qref

T>Tref

Q>Qref

T<Tref

Hell Hole 0.45 no se corrió Q<Qref

T<Tref

Q>Qref

T<Tref

Kelly Barnes 0.97 Q<Qref

T<Tref

Q<Qref

T<Tref

Q>Qref

T<Tref

Teton 0.69 Q>Qref

T<Tref

Q<Qref

T>Tref

Q<Qref

T>Tref

Los resultados cualitativos de la Tabla 30 no contribuyen a una conclusión

generalizada. Sin embargo los análisis realizados para cada una de las presa de la

Figura 16 demuestran que es posible hacer interpretaciones juiciosas del fenómeno

de rompimiento con base en los resultados de la modelación.

En la Figura 17 se presentan correlaciones lineales entre la carga hidráulica inicial

con el caudal en la transición (del cambio de flujo confinado a libre) y con el tiempo

en el cual ocurre la transición para las mismas 7 presas de la Figura 15 . Se han

llevado los datos y resultados de la Figura 16 . La Figura 17 demuestra (con una

buena correlación) que una mayor carga hidráulica inicial (es decir, una más baja

cota de tubificación), produce un caudal mayor en la transición; sin embargo, en la

relación de la carga hidráulica inicial con el tiempo en el cual se produce el cambio

de flujo confinado a libre la correlación es muy baja.

158

Figura 17. Correlaciones entre la carga hidráulica inicial con los caudales y el tiempo en el cambio de flujo confinado a libre

Sensibilidad en la cota de inicio de tubificación

y = 5.3735x2.129

R2 = 0.9479

0

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

70,000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Carga hidráulica inicial (m)

Cau

dal (

m3 /s

)

Sensibilidad de la cota de inicio de tubificación

y = 0.4071x0.3506

R2 = 0.2977

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Carga hidráulica inicial (m)

Tie

mpo

de

cam

bio

de fl

ujo

conf

inad

o a

libre

(h)

4.3.4 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad al diámetro medio y a la porosidad

para el caso Teton

159

En el apartado 4.3.2 se ha concluido que los parámetros geotécnicos identificados

como de mayor sensibilidad son el diámetro medio y la porosidad. La Figura 18

presenta además de las hidrógrafas de caudal para distintos valores de porosidad,

las curvas que representan la variación en el tiempo del ancho del piso de la

brecha. La línea horizontal que se observa en las curvas de Tiempo versus Bo

corresponden al momento de la transición de tubificación a brecha, y se refieren al

tiempo en el cual es arrastrado el material de suelo proveniente del colapso súbito,

tiempo durante el cual no se desarrolla la brecha. Una vez este material es

transportado el crecimiento de la brecha se realiza con una tasa de tiempo

proporcional con la porosidad (mayor porosidad produce una mayor tasa de

crecimiento del ancho del piso de la brecha), tal como se concluyó en el apartado

4.3.2 .

Figura 18. Sensibilidad a la porosidad para el caso Teton

Sensibilidad a la porosidad (casoTeton )

0

20,000

40,000

60,000

80,000

100,000

120,000

0 1 2 3 4 5 6Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)

0.15

0.25

0.35

0.45

0.55

0.65

0.85

160

Sensibilidad a la porosidad (casoTeton )

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 1 2 3 4 5 6Tiempo (h)

Bo

(m)

0.15

0.25

0.35

0.45

0.55

0.65

0.85

El análisis del d50 es más complejo que el de la porosidad. La Figura 19 permite

identificar dos situaciones que afectan el desarrollo de la brecha: para un diámetro

menor el proceso erosivo comienza más temprano que para uno mayor, pero la tasa

de erosión es menor. Esta última situación es consistente con las conclusiones del

aparatado 4.3.2 , de que un d50 menor retrasa el cambio de flujo confinado a

libre. Sin embargo la combinación de las dos situaciones antagónicas pueden

provocar un cambio en cuanto al tiempo en el que ocurre la transición.

Figura 19. Sensibilidad al diámetro medio para el caso Teton (con cohesión)

Teton (sensibilidad al d50) con cohesión de 0.35 105 kgf/m2

0

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

70,000

80,000

90,000

0 1 2 3 4 5 6Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)

0.01

0.05

0.09

0.2

0.5

1

5

8

10

161

Teton (sensibilidad al d50)con cohesión de 0.35 105 kgf/m2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 1 2 3 4 5 6

Tiempo (h)

Bo

(m)

0.01

0.05

0.09

0.2

0.5

1

5

8

10

En la Figura 19 el tiempo en el cual se produce la transición va disminuyendo con el

aumento del diámetro para d50 entre 0.01 mm y 5 mm, pero aumenta directamente

con él para d50 entre 5 mm y 10 mm. Este comportamiento se refleja en las

hidrógrafas particularmente en el tiempo al pico que disminuye con el aumento del

diámetro para d50 entre 0.01 mm y 5 mm, pero aumenta con el aumento del

diámetro para d50 entre 5 mm y 10 mm. El caudal pico en cambio, siempre aumenta

directamente con el diámetro. La Figura 20 presenta otro caso de análisis para el

d50 considerando cohesión nula.

Figura 20. Sensibilidad al diámetro medio para el caso Teton (sin cohesión)

162

Teton (sensibilidad al d50) sin cohesión

0

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

70,000

80,000

90,000

0 1 2 3 4 5 6Tiempo (h)

Cau

dal (

m3 /s

)0.01

0.05

0.09

0.2

0.5

1

5

8

10

Sensibilidad al D50 (caso Teton )sin cohesión

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 1 2 3 4 5 6Tiempo (h)

Bo

(m)

0.01

0.05

0.09

0.2

0.5

1

5

8

10

La cohesión no afecta el crecimiento del piso de la brecha pero si interviene en la

altura crítica de estabilidad de los taludes y por tanto en el crecimiento del ancho

superior de la brecha. Por esta razón, sin cohesión se alcanzan mayores caudales

pico.

4.3.5 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad de una presa a varios parámetros

Si se trata de realizar análisis de sensibilidad a un caso de falla en particular, es

conveniente involucrar todos los parámetros geotécnicos, hidráulicos e

163

hidrológicos. El modelo BREACH permite considerar además de los 5 parámetros

geotécnicos mencionados atrás, el índice de plasticidad, la condición de engramado

en el paramento de aguas abajo de la presa, el número de Manning del cauce del río

en el pie de la presa aguas abajo y el nivel inicial del embalse.

En esta sección se presenta un análisis de sensibilidad para una presa en

Antioquia. Las características geométricas de la presa las presenta la Tabla 31 .

Tabla 31. Características geométricas de la presa y del embalse CARACTERÍSTICA VALOR

Elevación de la cresta (msnm) 2,161

Elevación del fondo (msnm) 2,128

Altura (m) 37.5

Ancho de la cresta (m) 8

Longitud de la cresta (m) 581

Pendiente de la cara aguas arriba Zu, 1(v):Zu(h)

3.5

Pendiente de la cara aguas abajo Zd, 1(v):Zd(h)

3.0

Volumen del embalse (106 m3) 14.04

Los rangos de variación de los parámetros considerados, se han seleccionado en el

caso de los datos geotécnicos con base en ensayos de laboratorio del material

constitutivo de la presa y en el caso de las cotas de inicio de tubificación y niveles del

embalse de acuerdo con un criterio ingenieril y con datos históricos. La Tabla 32

presenta tales valores.

Tabla 32. Rangos de variación de los parámetros para el análisis de sensibilidad

Variable Rango de variación

Diámetro medio de partícula (mm) 0.01 – 0.1

Porosidad (%) 14.75 – 44.5

Ángulo de fricción (o) 0-35

Índice de plasticidad (adimensional) 0 – 10.3

164

Características de engramado (GL-GS) (adimensional) 0.0 – 1.0

n de Manning en la primera sección después de la presa 0.03 – 0.04 – 0.05

Cohesión (kgf/m2) 0.0 – 5,400

Altura de inicio de falla (msnm) 2130 – 2139 – 2151 – 2154

Nivel del embalse (msnm) 2,155.5

En este análisis de sensibilidad se han llevado a cabo distintas combinaciones entre

todos los parámetros, generando 31 casos diferentes. La Tabla 33 presenta los

valores de los parámetros de entrada al modelo para cada caso y los resultados de

caudal pico (Qp) y tiempo al pico (Tp). La Figura 21 recopila todos los casos y

muestra el correspondiente valor de caudal pico. La presa puede ser comparada en

altura con la de Apishapa, estudiada en las secciones 4.3.2 y 4.3.3, pero en

Apishapa los mayores valores de caudal pico se producen durante la tubificación

antes del cambio de flujo confinado a libre. Los caudales máximos sin embargo son

similares para estas dos presas.

165

Tabla 33. Valores de los parámetros considerados para 31 casos de modelación para una presa Caso D50

(mm) Po Grama Manning Coh

(kgf/m2) a HPI

(msnm) IP Qp

(tub.) Qp

(brecha) Tp

1 0.011 0.45 si 0.05 0 30 2,139 10.3 1,653 5.83

2 0.1 0.45 si 0.05 0 30 2,139 10.3 2,137 3.27

3 0.011 0.15 si 0.05 0 30 2,139 10.3 1,359 6.7

4 0.1 0.15 si 0.05 0 30 2,139 10.3 2,240 4.5

5 0.011 0.45 no 0.05 0 30 2,139 10.3 1,653 5.83

6 0.1 0.45 no 0.05 0 30 2,139 10.3 3,238 4.1

7 0.011 0.45 si 0.03 0 30 2,139 10.3 1,653 5.83

8 0.011 0.45 si 0.04 0 30 2,139 10.3 1,653 5.83

9 0.1 0.45 no 0.03 0 30 2,139 10.3 3,238 4.1

10 0.1 0.45 no 0.04 0 30 2,139 10.3 3,238 4.1

11 0.011 0.45 si 0.05 5,400 30 2,139 10.3 1,653 5.83

12 0.1 0.45 no 0.05 5,400 30 2,139 10.3 2,140 3.25

13 0.011 0.45 si 0.05 0 24 2,139 10.3 1,653 5.83

14 0.011 0.45 si 0.05 0 31 2,139 10.3 1,653 5.83

15 0.011 0.45 si 0.05 0 35 2,139 10.3 1,653 5.83

16 0.1 0.45 no 0.05 0 24 2,139 10.3 3,238 4.1

17 0.1 0.45 no 0.05 0 31 2,139 10.3 3,234 4.1

18 0.1 0.45 no 0.05 0 35 2,139 10.3 3,185 4.1

19 0.011 0.45 si 0.05 0 30 2,130 10.3 2,239 4.44

20 0.011 0.45 si 0.05 0 30 2,151 10.3 964 5.14

21 0.011 0.45 si 0.05 0 30 2,154 10.3 850 5.14

22 0.1 0.45 no 0.05 0 30 2,130 10.3 2,917 2.08

23 0.1 0.45 no 0.05 0 30 2,151 10.3 7,833 4.55

24 0.1 0.45 no 0.05 0 30 2,154 10.3 8,495 4.84

25 0.011 0.45 no 0.05 0 30 2,154 10.3 7,324 6.9

26 0.1 15% no 0.05 0 30 2,154 10.3 7,446 5.73

27 0.1 0.45 si 0.05 0 30 2,154 10.3 1,013 4.41

28 0.011 0.45 si 0.05 0 30 2,139 0 1,653 5.83

29 0.011 0.45 si 0.05 0 30 2,139 6.9 1,653 5.83

30 0.1 0.45 no 0.05 0 30 2,154 0 8,495 4.84

31 0.1 0.45 no 0.05 0 30 2,154 6.9 8,495 4.84

HPI= cota de inicio de tubificación

166

Figura 21. Estudio de sensibilidad para una presa en Antioquia (Colombia)

31 casos modelados de una presa (Antioquia, Colombia)

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

21 20 27 3 1 5 7 8 11 13 14 15 28 29 2 12 19 4 22 18 17 6 9 10 16 25 26 23 24 30 31

Identificación del caso

Cau

dal m

áxim

o (m

3 /s)

Tubificación Brecha

Insensibilidad aGL-GS, M, C, α, IP

Insensibilidad aGL-GS, y C

Insensibilidad aM y α

Insensibilidad aIP

En la Figura 21 se han señalado unos tramos horizontales conformados por valores

de caudal pico de varios casos. El primero de estos tramos lo conforman los valores

de caudal pico de los casos 1,5,7,8,11,13,14,15,28 y 29; el segundo, los valores de

caudal pico de los casos 2, 12,19 y 4; el tercero, los de los casos 18,17,6,9,10 y 16;

y el último tramo, los de los casos 24,30,31. Revisando los valores de los parámetros

considerados en estos casos se concluye que existe una muy baja sensibilidad a los

siguientes parámetros: engramado, número de Manning, cohesión, ángulo de fricción

interna e índice de plasticidad. Se concluye entonces que los parámetros de mayor

sensibilidad son el diámetro medio, la porosidad y la cota de inicio de tubificación,

reafirmando lo que se ha trabajado en secciones anteriores ( 4.3.2 y 4.3.3 ). En

general el aumento en la porosidad produce un caudal pico mayor y un tiempo al pico

menor. Un aumento en el diámetro medio también aumenta el caudal y disminuye el

tiempo al pico. En cuanto a la cota de inicio de tubificación se presentan dos

comportamientos contrarios: en los casos donde el caudal pico ocurre durante la

tubificación, un mayor valor de la cota produce un menor caudal; en los casos donde

el caudal pico ocurre después de la trans ición, es decir, en condición de flujo libre, un

mayor valor de la cota produce un mayor caudal.

167

Los saltos que se observan en la gráfica entre los casos 27 y 3, 3 y 1, 29 y 2, 4 y 22,

16 y 25, 25 y 26, 26 y 23, 23 y 24, se explican por el cambio en los valores de

porosidad, diámetro medio y cota de inicio de tubificación.

Utilizando la ecuación de predicción de Barros (2002) para el cálculo del caudal pico

( Ecuación 18 ) se obtiene un valor de 5,547.8 m3/s, valor que está entre el mínimo (

850 m3/s) y el máximo ( 8,495 m3/s) obtenido en la modelación de los 31 casos

utilizando el BREACH.

168

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Se han analizado en este trabajo tres métodos de predicción para el caudal pico

resultante en un rompimiento de presa: ecuaciones de predicción (Capítulo 2 ),

modelos paramétricos (Capítulo 3 ) y modelos matemáticos físicamente basados

(Capítulo 4 ). Se presentan a continuación algunas conclusiones en particular para

cada método de predicción y en general con relación al uso conjunto de los mismos.

5.1 LAS BASES DE DATOS

Se ha contado con una base de datos bien documentada de 108 presas ( ANEXO A

), a partir de la cual se ha logrado construir otra base de datos de 45 presas

(ANEXO B ). Esta última base de datos ha sido utilizada en los tres métodos de

predicción para el estudio del caudal pico y puede ser utilizada además en el estudio

del tiempo al pico y en el del desarrollo de la brecha. Sería conveniente aumentar

además el número de presas documentadas de manera que se puedan hacer

análisis mediante una agrupación más numerosa de casos similares. La base de

datos contiene en su mayoría pequeñas presas ( Figura 1 ).

A pesar de la considerable cantidad de eventos en masa por deslizamiento,

generadores de presas naturales en nuestros andinos ríos de montaña, hace falta un

esfuerzo por recopilar la información que pueda existir en los informes técnicos de

los organismos de atención de desastres y una mayor dedicación por parte de ellos

para que esa documentación contribuya a un mejor conocimiento de casos y al

estudio de riesgos por rompimiento de presas naturales. La ocurrencia de desastres

de gran proporción como los casos Mantaro en el Perú (p. 32 ) y La Josefina en

169

Ecuador (p. 34 ) demuestran la necesidad de darle atención al tema del rompimiento

de presas de tierra naturales.

Conviene también que las empresas propietarias de presas dediquen atención al

tema del rompimiento. En este caso se hace indispensable el uso de modelos de

predicción para la obtención del caudal pico y preferiblemente de la hidrógrafa del

rompimiento que ha de ser transitada aguas abajo de la presa para la determinación

de la llanura y los tiempos de inundación. En este sentido, las Empresas Públicas de

Medellín han entendido la importancia de estas investigaciones y han apoyado varios

estudios de modelación del rompimiento y del tránsito de la creciente producida.

Con los casos de falla que se relatan en el Capítulo 1 (Teton, Mantaro y La Josefina)

se quiere mostrar la manera como han ocurrido rompimientos de presa catastróficos

para que se entienda la magnitud que puede alcanzar el fenómeno y sus

consecuencias.

5.2 LAS ECUACIONES DE PREDICCIÓN

Existe una numerosa variedad de ecuaciones estadísticas conocidas como

ecuaciones de predicción para el desarrollo de la brecha y para el caudal pico. Estas

ecuaciones relacionan variables independientes como la altura de presa (hd, hb) o

características del embalse como profundidad (hw), capacidad (S) y volumen de

almacenamiento (Vw), con variables de interés como el ancho promedio de brecha

( B )y el tiempo de falla (tf) para el caso de desarrollo de la brecha o con el caudal

pico (Qp). La aplicación de las ecuaciones es muy sencilla debido a que

normalmente dependen de una o máximo dos variables, pero es tan solo una

aproximación dada las complejas condiciones del fenómeno de rompimiento, donde

se distinguen principalmente tres tipos de falla: el sobrevertimiento, la tubificación y

170

los defectos de fundación. La predicción del desarrollo de la brecha presenta mayor

dificultad que la del caudal pico debido a las características del proceso. Se puede

determinar el máximo caudal (caudal pico) a pesar de que la hidrógrafa del

rompimiento pudiera presentar varios picos de caudal, pero no es sencillo

determinar el máximo desarrollo del conducto o de la brecha debido a los diferentes

fenómenos que intervienen en el proceso además de la erosión, como son el

colapso en el cambio de flujo confinado a libre (de tubificación a brecha) o los

sucesivos colapsos de los taludes por inestabilidad geotécnica

Se desarrolló un completo análisis estadístico tanto para las 45 presas como para

las 13 ecuaciones de predicción para el caudal pico, siguiendo criterios de

Chauvenet (con base en la media) y de Rousseeuw (con base en la mediana),

utilizados para determinar el rechazo de datos que estén por fuera de cierta

distancia de los demás valores de la muestra. Aunque el criterio de Rousseeuw ha

demostrado mayor exigencia en las aplicaciones realizadas, ambos criterios son

consecuentes con las determinaciones de rechazo y se pueden utilizar como

complementarios. El análisis estadístico ha sido utilizado para depurar las bases de

datos de las variable independientes (hw, hb, hd, S, Vw), llevar a cabo nuevas

correlaciones entre cada una de estas variables o su combinación (hw*Vw, S*hd) y el

caudal pico observado, y proponer con base en los coeficientes de determinación de

estas correlaciones una nueva ecuación de predicción (ecuación de Barros (2002),

Ecuación 18 ). La misma clase de análisis estadísticos puede desarrollarse con

otros datos de presas o con ecuaciones de predicción adicionales.

5.3 LOS MODELOS PARAMÉTRICOS

Se presentan dos modelos paramétricos. Estos modelos son de fácil aplicación y se

complementan de manera estrecha con las ecuaciones de predicción. El

171

requerimiento de un coeficiente de erosión cuyo valor puede estar en un rango de

varios órdenes de magnitud ( Tabla 21 ), produce para una misma presa caudales en

iguales órdenes de magnitud. Para controlar esta situación se ha utilizado la

ecuación de Barros (2002) para determinar un caudal pico y dos valores extremos

(mínimo y máximo) de una banda de confianza del 95%. Con los tres valores de

caudal pico se obtienen los correspondientes coeficientes de erosión con la

ecuación que relaciona el caudal pico con el coeficiente de erosión, la altura y la

sección transversal de la presa y el área media superficial del embalse ( Ecuación

56 ).

Se presentan dos modelos: un modelo propuesto por Singh que considera el ancho

de la brecha constante y otro propuesto por Pacheco-Barros que considera el

desarrollo del ancho de la brecha manteniendo su profundidad constante. Se realiza

una aplicación a 13 presas de la base de datos utilizando la ecuación de Barros

(2002) y generando las hidrógrafas para los correspondientes coeficientes de

erosión. La generación de esta hidrógrafa provee un valor agregado si se considera

la determinación del tiempo al pico que se resuelve con la aplicación del modelo

paramétrico ( Ecuación 51 ).

5.4 LOS MODELOS MATEMÁTICOS FÍSICAMENTE BASADOS

Se describen dos modelos matemáticos físicamente basados: BREACH y

BRECCIA. Estos modelos emplean además de las variables utilizadas en los otros

métodos (las ecuaciones de predicción y los modelos paramétricos), parámetros

relacionados con las propiedades del material de la presa, geometría de la presa y

curvas de calibración del embalse.

172

Se realiza un análisis de sensibilidad mediante la aplicación de los dos modelos a

los casos Mantaro y La Josefina para analizar el cambio en los resultados de caudal

pico y de tiempo al pico, debido a la variación en los valores del diámetro medio, la

porosidad y el ángulo de fricción. En general se cumple que el aumento en el

diámetro medio produce una disminución en el caudal pico y un aumento en el

tiempo al pico; un aumento en la porosidad produce un aumento en el caudal pico y

disminución en el tiempo al pico; los resultados por el cambio en el ángulo de fricción

no muestran una tendencia marcada hacia un solo sentido.

Se llevan a cabo aplicaciones con el BREACH a 13 presas de la base de datos con

el fin de analizar la sensibilidad a cinco parámetros geotécnicos. Se analiza la

situación en cada presa y en general se concluye que: la disminución del diámetro

medio produce disminución en el caudal y aumento en el tiempo al pico (esta

afirmación aunque contradice la conclusión del párrafo anterior no es discutible dado

que no es determinante en todos los casos sino en la mayoría); el aumento en la

porosidad produce aumento en el caudal y disminución en el tiempo al pico. La

sensibilidad de los otros tres parámetros (ángulo de fricción, peso específico y

cohesión) no es tan marcada como para el diámetro medio y la porosidad, y los

resultados presentan con el cambio en el valor del parámetro tendencias en ambos

sentidos.

Se realiza también un análisis de sensibilidad a la cota de inicio de la tubificación

aplicando el BREACH a 9 presas de falla por tubificación. Las consideraciones del

modelo en cuanto al desarrollo de la brecha (cambio de tubificación a brecha (

Ecuación 64 )), colapso en los taludes de acuerdo con una altura crítica de

estabilidad ( Ecuación 67 ), permiten obtener hidrógrafas de forma muy distinta a las

simétricas que se obtienen con los modelos paramétricos. La revisión de los

resultados del BREACH permite conocer la ocurrencia de los cambios en la brecha y

173

la situación en cada instante, de la brecha (sus dimensiones) y del embalse (su

nivel). Se demuestra la directa relación entre la carga hidráulica inicial sobre el

conducto de tubificación con el resultado del caudal que se presenta durante la

transición de flujo confinado a libre, cuando el conducto cerrado se convierte en canal

abierto o brecha ( Ecuación 17 ). Así mismo se muestra la baja correlación de esa

carga hidráulica con el tiempo en el que se produce el cambio. Debe reconocerse

que estos resultados no dependen únicamente de la altura de la presa y de la cota

de inicio de la tubificación sino también del volumen del embalse que determina la

tasa de cambio del nivel y por lo tanto la variación de la carga hidráulica.

Se estudia con el BREACH la sensibilidad de los resultados en el caso Teton para

cambios en la porosidad y en el diámetro medio teniendo en cuenta en este último

parámetro la influencia de la cohesión. Se concluye que el aumento en la porosidad

produce aumento en el caudal pico y disminución en el tiempo al pico; el aumento en

el diámetro medio produce aquí siempre un aumento en el caudal, pero dos

situaciones distintas para el tiempo al pico según el valor del diámetro: si el diámetro

es menor de 5 mm, la disminución del diámetro produce un aumento en el tiempo al

pico y si es mayor de 5 mm, el aumento del diámetro produce aumento en el tiempo

al pico. Se reconoce la influencia de la cohesión particularmente con el aumento del

caudal pico cuando es nula.

Finalmente se presenta un caso de falla hipotética para una presa en el

departamento de Antioquia con resultados de caudal y tiempo al pico para 31 casos

de combinaciones de cinco parámetros geotécnicos, condición de engramado del

paramento de aguas abajo de la presa y valor del número de Manning del cauce en

el pie de la presa. Se reafirma la mayor influencia en los resultados por cambios en

el valor del diámetro medio, la porosidad y la cota de inicio de tubificación. El mayor

valor de caudal pico se obtiene en este caso cuando se presenta después de la

174

transición de flujo confinado a libre. El aumento de la porosidad y del diámetro

aumentan el caudal pico y disminuyen el tiempo al pico. La cota de inicio de

tubificación varía los resultados en una dirección o en otra, dependiendo si el caudal

máximo se alcanza durante la tubificación o después de la transición a flujo libre:

cuando el máximo caudal ocurre en tubificación, al aumentar la cota de inicio de

tubificación ocurre disminución en el caudal pico; cuando el máximo caudal ocurre

después de la transición a flujo libre, al aumentar la cota de inicio de tubificación se

obtienen caudales pico mayores. Se calcula el caudal pico con la ecuación de

predicción de Barros (2002) obteniéndose un valor comprendido entre el mínimo y el

máximo de la modelación con el BREACH.

5.5 RECOMENDACIONES Y ESTÍMULO PARA OTRAS INVESTIGACIONES

Si bien se ha llevado a cabo un recorrido por los principales métodos de predicción,

son considerables las diferentes propuestas que pueden encontrarse en cada uno de

estos métodos. Por ejemplo, en la medida en que se logren agrupar más presas

bien documentadas a la base de datos, será posible obtener una mejor ecuación de

predicción. Particularmente el método por el cual Froehlich propone su ecuación de

predicción a partir de una base de datos de 22 presas, puede ser empleado a la

base de las 45 presas para obtener una nueva ecuación de predicción con hw y Vw

como variables independientes.

Existen estudios de soluciones adimensionales para modelos paramétricos que

pueden conducir a la construcción de dominios de solución para los posibles valores

de caudal pico para una presa en particular. Conviene explorar esta alternativa que

puede ser muy útil en la toma de decisiones de los resultados obtenidos aun con los

modelos matemáticos físicamente basados.

175

Los modelos físicamente basados utilizados en esta exploración son básicamente

iterativos. Existen modelos de solución numérica de las ecuaciones diferenciales del

movimiento que aunque pueden presentar con más frecuencia problemas numéricos,

posibilitan una mejor representación física del fenómeno.

No se han presentado en este trabajo investigaciones de modelos físicos de

laboratorio. Estos modelos existen incluso para casos reales como el de La

Josefina. Sin embargo los resultados por lo general no son contundentes y se

parecen a los casos de presas estudiados aquí mediante la simulación matemática

con el BREACH. Existe un reto particular en la determinación de los parámetros

adimensionales para la similitud dinámica de la modelación.

176

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180

ANEXOS

181

ANEXO A. BASE DE DATOS DE 108 PRESAS48

48 WAHL, Tony L. Report DSO-98-004: Prediction of embankment dam breach parameters - A literature review and needs assessment. U.S. Department of the Interior, Bureau of Reclamation, Dam Safety Office. July 1998. Disponible en Internet: <http://www.usbr.gov/wrrl/twahl/>

182

DATA SOURCES (these are the codes that were used during early development of

this spreadsheet)

A Froehlich, 1987 (aa - Froehlich, 1995 [18 previously uncited cases])

Aaa Froehlich, written communication

Aq Froehlich, 1996

B V. Singh & Scarlatos, 1987

C MacDonald & Langridge-Monopolis, 1984

D Physical and Breach Parameters for Dams with Large Storage to Height Ratios

E Actual and Equation Derived Dam Failure Flood Peaks

F K. Singh & Snorasson, 1982

G Costa, 1985

H Ballentine, 1993 ASDSO

I SCS, 1981

183

DATA SOURCES (Codes used when published)

a Babb, 1968

b ICOLD, 1974

c SCS, 1981

d K. Singh & Snorrason, 1982

e Jansen, 1983

f MacDonald & Langridge-Monopolis, 1984

g Costa, 1985

h V. Singh & Scarlatos, 1987

i Froehlich, 1987

j Froehlich, 1995a

k Froehlich, 1995b

m Froehlich, written communication

n Ballentine, 1993

o Baker & Bliss, 1996

p Graham, undated written communication, Physical and Breach Parameters for Dams with Large Storage to Height Ratios

q Graham, undated written communication, Actual and Equation Derived Dam Failure Flood Peaks

r http://www.wa.gov/ecology/shwr/dams/iowa.html

184

ANEXO B. BASE DE DATOS DE 45 PRESAS49

49 Base de datos de 45 presas utilizada en los métodos de predicción para el caudal pico: ecuaciones de predicción (Cap. 2), modelos paramétricos (Cap. 3) y modelos matemáticos físicamente basados (Cap. 4).

185

ANEXO C. LISTA DE PRESAS PARA ANÁLISIS DE REGRESIÓN

186

ANEXO D. ANÁLISIS ESTADÍSTICO PARA CADA ECUACIÓN DE PREDICCIÓN

187

ANEXO E. ANÁLISIS ESTADÍSTICO PARA CADA PRESA

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