Robotica 4

Capítulo IV: Cinemática

o Motivacióno Espacio Articular y cartesianoo Problema cinemático directoo Problema cinemático inversoo Cinemática de movimientoo Fuerzas estáticas

Introducción a la robótica 2

o Cinemática:

Estudia la postura del robot sin tener en cuenta las fuerzas y pares que causan el movimiento.

Motivación


Motivación

o Cinemática:Se pueden plantear dos problemas:

o Conocer la posición del extremo del robot basándose en la posición de las articulaciones (Problema Cinemático Directo)

o Conocer la posición de las articulaciones del robot basándose en la posición del extremo del robot (Problema Cinemático Inverso)


o Espacio articular:

o Considerado un robot de n articulaciones, el valor de posición de la articulación i viene determinado por qi, siendo denominado este valor como variable articular.

o Vector de variables articulares define la posición de todas las articulaciones del robot:

q=[q1, q2, q3, ..., qn]T

Espacio articular y cartesiano


o Espacio cartesiano:

o Determina la posición y orientación del extremo del robot en el espacio cartesiano tridimensional euclídeo.

o El vector de coordenadas del extremo viene definido por:

p=[x, y, z, α, β, γ]T

Espacio articular y cartesiano


o IntroducciónBusca obtener la localización del extremo del robot

basándose en las variables articulares.

p=F(q)

o Método geométricoo Mediante transformaciones homogéneas

Problema cinemático directo


o Método geométrico:

o Utiliza relaciones trigonométricas para obtener la posición del extremo del robot.

o Normalmente sólo se utiliza para obtener la posición y no la orientación.


y

x

q1 l1

q2

l2 p(x,y)( )

( )22

2211

sincos

qlyqllqx

⋅=⋅++=



o Mediante transformaciones homogéneas:

o Asocia sistemas de referencia a cada eslabón.

o Tiene en cuenta transformaciones homogéneas compuestas de traslaciones y giros básicos para pasar del sistema asociado al eslabón i al del i+1.

o La transformación queda en función de los parámetros de la articulación i.

iTi+1 = F(qi)



o Mediante transformaciones homogéneas:De esta manera se obtiene, iterando el proceso de búsqueda,

las n+1 transformaciones homogéneas.



o Solución de Denavit-Hartenberg:El algoritmo se divide en tres partes:

1. Definición de los parámetros de Denavit-Hartenberg.2. Asignación de sistemas de referencia.3. Transformación homogénea.

o Los eslabones se numeran comenzando por 0 en la base y las articulaciones comenzando por 1.

o Se define el eje de cada articulación según el eje con respecto al que se produce el movimiento



o Solución de Denavit-Hartenberg:1. Definición de los parámetros de Denavit-Hartenberg:Parámetros relativos al tamaño y forma del eslabón:

ai ⇒ Distancia entre los ejes i e i+1 de las articulaciones a lo largo de la normal común (Longitud del eslabón).

αi ⇒ Ángulo que existiría entre los ejes i e i+1 de las articulaciones si éstos se cortasen en los puntos de corte de la línea normal común (Ángulo de torsión del eslabón).

Parámetros que relacionan la posición relativa de un eslabón conrespecto a su predecesor:

di ⇒ Distancia entre las intersecciones de las normales comunes al eje de la articulación i, medida a lo largo de dicho eje (Longitud articular).

θi ⇒ Ángulo que existiría entre las líneas normales comunes al eje de la articulación i si se cortasen en el mismo punto de la articulación (Ángulo articular).



o Solución de Denavit-Hartenberg:1. Definición de los parámetros de Denavit-Hartenberg:



o Solución de Denavit-Hartenberg:2. Asignación de los sistemas de referencia:



o Solución de Denavit-Hartenberg:2. Asignación de los sistemas de referencia:Casos especiales:o Cuando los ejes son paralelos:El origen i-ésimo queda indefinido; por conveniencia se toma el

origen en la articulación i+1.o Cuando los ejes se cortan:El origen i-ésimo se localiza en el punto de corte y el sentido de xi

se toma de forma arbitraria.o El referencial 0 debe ser dextrógiro.o El referencial n-ésimo tiene la dirección del eje zn coincidente con

el eje zn-1.



( ) ( ) ( ) ( )iiiiiiiiii xRotaxTrasdzTraszRotT αθ ,,,, 11

1 ⋅⋅⋅= −−−

Secuencia

1. Rot(zi-1,θi)

2. Tras(zi-1,di)

3. Tras(xi, ai)

4. Rot(xi, αi)

o Solución de Denavit-Hartenberg:3. Transformación homogénea:



( ) ( ) ( ) ( )iiiiiiiiii xRotaxTrasdzTraszRotT αθ ,,,, 11

1 ⋅⋅⋅= −−−

o Solución de Denavit-Hartenberg:3. Transformación homogénea:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−

=−

1000cossin0

sincossincoscossincossinsinsincoscos

1

iii

iiiiiii

iiiiiii

ii

daa

Tαα

θθαθαθθθαθαθ


Problema cinemático directoo La representación de Denavit-Hartenberg (Resumen)o Sobre la posición del sistema de referencia de cada articulación:Sobre la articulación i-ésima descansa el referencial (i-1)-ésimo fijo al elemento

(i-1)-ésimo.

o Sobre la dirección y orientación de los ejes coordenados:El eje zi-1 esta a lo largo del eje de la articulación.El eje xi es normal al eje zi-1 y apunta alejándose de él.El eje yi completa el sistema de coordenadas.

•Casos especiales:oCuando los ejes son paralelosoCuando los ejes se cortanoEl referencial 0 debe ser dextrógiro.oLa dirección del eje zn coincidente con el eje zn-1.


Problema cinemático directoo La representación de Denavit-Hartenberg (Resumen)o Sobre los parámetros de Denavit-Hartenberg:θi: es el ángulo en la articulación desde el eje xi-1 al eje xi respecto del eje zi-1.di: es la distancia medida desde el origen del sistema de coordenadas (i-1)-

ésimo hasta la intersección del eje zi-1 con el eje xi a lo largo del eje zi-1.ai: es la distancia que separa la intersección de los ejes zi-1 y xi con el origen del

sistema i-ésimo medida a lo largo del eje xi.αi: es el ángulo desde el eje zi-1 y al eje zi respecto del eje xi.



o Solución de Denavit-Hartenberg:Ejemplo:




θi di ai αi

1 q1 l1 0 90º

2 q2+90º 0 l2 0

3 q3-90º 0 0 -90º

4 q4-90º l3 0 -90º

5 q5 0 0 90º

6 q6 l4 0 0


Problema cinemático inverso

o Introduccióno Busca obtener el valor de las variables articulares para

localizar el extremo del robot en un lugar conocido.o Este problema puede tener una única solución, más de

una o no tener.

o Solución algebraicao Consiste en obtener un sistema de n ecuaciones en

función de la localización del extremo del robot.o Se puede obtener partiendo de la solución de la

cinemática directa mediante el algoritmo de Denavit-Hartenberg, despejando de la matriz de transformación final las variables articulares.



o Solución geométricao Busca descomponer la cadena cinemática del robot en

varios planos geométricos, resolviendo por trigonometría el problema asociado a cada plano.

o Solución de Piepero Consiste en separar las articulaciones de la muñeca del

resto, resolviendo ambos conjuntos por separado.



o Solución algebraicaEjemplo:

θi di ai αi

1 90 q1 l1 0

2 q2 0 l2 0

3 q3 0 l3 0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000

0

0

0

30

000

000

000

extremozyx

extremozyx

extremozyx

zzzzyyyyxxxx

Textremoextremoextremo

extremoextremoextremo




o Solución algebraicaEjemplo:

θi di ai αi

1 90 q1 l1 0

2 q2 0 l2 0

3 q3 0 l3 0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000

0

0

0

30

000

000

000

extremozyx

extremozyx

extremozyx

zzzzyyyyxxxx

Textremoextremoextremo



0T3=0T1·1T2 ·2T3

(0T1)-1·0T3=1T2 ·2T3 q1

(1T2)-1·(0T1)-1·0T3=2T3 q3, q2



o Solución geométricaEjemplo:

01 extremozq =

cbq −=2

10

0

tanly

xbextremo

extremo

−=

332

33

cossintan

qllqlc

⋅+⋅

=( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−−−+=32

23

22

21

020

3 2arccos

lllllyxq extremoextremo



o Solución de Piepero La posición de la muñeca es o La posición del extremo es

Ya se pueden obtener las 3 primeras articulaciones

005 muñecapp =

006 extremopp =

6606

05 zdpp ⋅−=



o Solución de Piepero Para las últimas 3 se utiliza la orientación

extremo

conocidaconocida

extremo RotRotRot 33

00 ⋅=32143421

633 RotRotextremo=

( ) extremoRotRotRot 013

06

3 ⋅=−


Cinemática de movimiento

o IntroducciónEstudia las relaciones entre el espacio articular y el

cartesiano considerando velocidades además de posiciones.

iiiii

ieslabóni

ieslabón zqRot ⋅⋅+= −−−+ &1111 ωω

11111

−−−−+ ×+= i

ii

ieslabóni

iónarticulacii

iónarticulaci pvv ω


Cinemática de movimientoo Matriz JacobianaEs una matriz de derivadas.

Permite relacionar la velocidad de las articulaciones con la velocidad del extremo del robot.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⇒

⋅∂∂

++⋅∂∂

+⋅∂∂

=

⋅∂∂

++⋅∂∂

+⋅∂∂

=

⋅∂∂++⋅

∂∂+⋅

∂∂=

⋅∂∂++⋅

∂∂+⋅

∂∂=

⋅∂∂

++⋅∂∂

+⋅∂∂

=

⋅∂∂++⋅

∂∂+⋅

∂∂=

⇒=⇒

======

n

extremo

extremo

extremo

extremo

extremo

extremo

nn

extremo

nn

extremo

nn

extremo

nn

zzzextremo

nn

yyyextremo

nn

xxxextremo

derivando

nextremo

nextremo

nextremo

nzextremo

nyextremo

nxextremo

q

qq

qJzyx

qqf

qqf

qqf

qqf

qqf

qqf

qqfq

qfq

qf

qqfq

qfq

qfz

qqf

qqf

qqf

y

qqfq

qfq

qfx

qqqfqqqfqqqfqqqfzqqqfyqqqfx

&

M

&

&

&

&

&

&

&

&

&L&&&

&L&&&

&L&&&

&L&&&

&L&&&

&L&&&

L

L

L

L

L

L

2

1

0

0

0

0

0

0

22

11

0

22

11

0

22

11

0

22

11

0

22

11

0

22

11

0

210

210

210

210

210

210

,,,,,,,,,,,,,,,,,,

γβα

γ

β

α

γβα

γγγ

βββ

ααα

γ

β

α

qTp n0


Cinemática de movimientoo Matriz JacobianaEjemplo:

( )( )

10

3232210

323220

coscossinsin

qzqqlqlly

qqlqlx

extremo

extremo

extremo

=+⋅+⋅+=

+⋅+⋅=

( )

( ) ( )

( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⋅−+⋅−⋅−+⋅+⋅+⋅

=001

sinsinsin0coscoscos0

32332322

32332322

qqlqqlqlqqlqqlql

qJ


Cinemática de movimientoo Matriz Jacobiana Inversa

Relaciona la velocidad del extremo del robot con las velocidades de las articulaciones.

Hay que tener en cuenta la aparición de singularidades que implican la no existencia de la matriz Jacobiana inversa.

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−0

000000012

1

,,,,,extremo

extremoextremoextremoextremoextremoextremoextremo

n

vzyxJ

q

qq

ωγβα

&

M

&

&


Cinemática de movimientoo Matriz Jacobiana InversaEjemplo:

( )

2

0

2

20221

01

arcsin

21

lxq

xllyq

extremo

extremoextremo

=

−−−=

( )( )

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅

−=−

01

1

1

21

21

202

2022

0

1

extremo

extremo

extremo

q

xl

xl

x

J


Fuerzas estáticaso Para que un robot se mantenga en equilibrio estático en

una determinada posición y orientación es necesario que las articulaciones ejerzan unas determinadas fuerzas o pares.

( ) FJτ Tq ⋅=

( ) ( )zyxzyx nnnfff ,,,,,== nf,F

( ) qx ∂⋅=∂ qJ

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