Riem Man
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¡ Tu Curso de Cálculo Gratis ! Autor: Profesor Raúl Vega Muñoz
EJERCICIOS RESUELTOS:
ÁREA BAJO LA CURVA MEDIANTE SUMAS DE RIEMANN
En este documento encontrarás varios ejercicios resueltos paso a paso mediante el método de sumas de Riemann.
1.- Considera la región R acotada por la parábola f (x)=x2+2, el eje de las x, las rectas verticales x=−3, x=−3, determinar su área mediante sumarias de Riemann con rectángulos inscritos.
Nota cultural: Esta es la fórmula de Riemann para rectángulos circunscritos, aunque en este problema no la vamos a utilizar, te podría servir en un futuro no muy lejano.
A=limx→∞
∑i=1
n
( b−an ) f (a+i ∆ x )Y aquí está la fórmula para rectángulos inscritos que es la que sí vamos a utilizar en este problema:
A=limx→∞
∑i=1
n
( b−an ) f (a+(i−1)∆ x)
Primero debemos determinar el valor del incremento (la base de los rectángulos) mediante la operación:
∆ x=[ b−an ]… en la que a y b son los extremos del intervalo, es decir -3 y +3 respectivamente, y la “n” es una constante
arbitraria, solo representa el número de rectángulos que se van a emplear, en este caso serán infinitos.
∆ x=[b−an ]=[ (3 )−(−3)n ]=[3+3n ]=[6n ]
En seguida vamos a calcular la parte de la fórmula que corresponde a la expresión: a+(i−1)∆ x, en la que “a” es el extremo izquierdo, o sea -3, mientras que i es solo la variable postiza “dummie” de la fórmula de sumatoria (o sea, no importa, solo sigue el procedimiento y verás que sucede). Por su parte ∆ x es el dato que calculamos anteriormente.
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a+ ( i−1 )∆ x=−3+(i−1) [ 6n ]Simplificando obtenemos:
−3+ 6 in
−6n
… solo es álgebra básica.
Ahora viene la parte donde más atención debes poner porque es la “sustitución” del resultado anterior en la función principal.
f (a+(i−1)∆ x)
Donde a+(i−1)∆ x equivale a −3+6 in
−6n
tal como lo calculamos.
La función en la que debemos sustituir es: f ( x )=x2+2
f (a+( i−1)∆ x )=f (−3+ 6 in −6n )=(−3+ 6 in −6
n )2
+2
Como habrás notado, lo único que hice, fue quitar la “x” de la función y en su lugar, colocar un paréntesis que
contiene la expresión −3+6 in
−6n
ahora solo hay que desarrollar la multiplicación. Tú sabes, es álgebra
básica.
(−3+ 6 in −6n )
2
+2
Omitiré los pasos, pero aquí dejo el resultado:
36 i2
n2−72in2
−36 in
+ 36n2
+ 36n
+11
Ahora, que ya tenemos prácticamente todos los componentes de la fórmula vamos a sustituir:
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A=limx→∞
∑i=1
n
( b−an ) f (a+ (i−1 )∆x )
Por ejemplo: la expresión f (a+(i−1 )∆ x ) equivale a 36 i2
n2−72in2
−36 in
+ 36n2
+ 36n
+11
A=limx→∞
∑i=1
n
( b−an )[ 36 i2n2 −72 in2
−36 in
+ 36n2
+ 36n
+11]Por su parte ( b−an ) es [ 6n ] recuerda que ya lo habíamos resuelto.
A=limx→∞
∑i=1
n
[ 6n ][ 36 i2n2 −72in2
−36in
+36n2
+ 36n
+11]Hay que multiplicar término:
A=limx→∞
∑i=1
n [ 216 i2n3−432 in3
−216 in2
+ 216n3
+ 216n2
+66n ]
Ahora separamos, dejando una sumatoria por cada término:
A=limx→∞
∑i=1
n216i2
n3−∑i=1
n432 in3
−∑i=1
n216 in2
+∑i=1
n216n3
+∑i=1
n216n2
+∑i=1
n66n
Simplificando de acuerdo a las reglas de las sumatorias:Nota: (si tienes dudas de estas reglas consulta la teoría en CursoDeCalculo.com)
A=limx→∞
216n3
∑i=1
n
i2−432n3
∑i=1
n
i−216n2
∑i=1
n
i+ 216n3
∑i=1
n
1+ 216n2
∑i=1
n
1+ 66n∑i=1
n
1
A=limx→∞
216
n3(n ) (n+1 )(2n+1)
6−432
n3(n )(n+1)2
−216
n2(n )(n+1)2
+216n
n3+216n
n2+66 nn
A=limx→∞
216
n2(n+1 )(2n+1)
6−432
n2(n+1)2
−216n
(n+1)2
+216
n2+216n
+66
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A=limx→∞
36 (n+1 )(2n+1)n2
−216(n+1)
n2−108(n+1)
n+216
n2+216n
+66
A=limx→∞
72n2+108n+36n2
−216n+216n2
−108 n+108n
+ 216n2
+ 216n
+66
A=limx→∞
72+108n
+ 36n2
−216n
−216n2
−108−108n
+216n2
+ 216n
+66
A=limx→∞
36
n2+30=36
∞+30=0+30=30u2
COMPROBACIÓN MEDIANTE INTEGRAL DEFINIDA:
Una integral definida simplifica considerablemente el trabajo, y te darás cuenta que no es necesario realizar todo ese trabajo, pero muchos profesores aun lo incluyen en el temario.