Revista de Didáctica de las Matemáticas Noviembre de 2011 ...

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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Volumen 78, noviembre de 2011, página 2 ISSN: 1887-1984


NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza, aplicaciones de la investigación…

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex, Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Directores Alicia Bruno (Universidad de La Laguna) y Antonio Martinón (Universidad de La Laguna)

Comité editorial Hugo Afonso (“La Caixa”), Dolores de la Coba (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo, La Laguna), Miguel Domínguez (Instituto Educación Secundaria Garoé), Fátima García (Centro de Formación ARHAT), Fernando León (Instituto Educación Secundaria San Hermenegildo), Antonio Ramón Martín Adrián (Colegio Público Aguamansa), María Aurelia Noda (Universidad de La Laguna), Josefa Perdomo Díaz (Instituto Educación Secundaria Adeje 2), Inés Plasencia (Universidad de La Laguna).

Consejo asesor José Luis Aguiar (Instituto Educación Secundaria Agustín de Betancourt), Claudi Alsina (Universidad Politécnica de Catalunya), Abraham Arcavi (Instituto Científico Weizmann), Luis Balbuena (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo), Carmen Batanero (Universidad de Granada), Lorenzo Blanco (Universidad de Extremadura), Teresa Braicovich (Universidad Nacional del Comahue, Argentina), Juan Contreras (Inspección Educativa de Canarias), Norma Cotic (Centro de Investigación Educativa, Buenos Aires, Argentina), Manuel Fernández (Colegio Público Punta del Hidalgo), Joaquim Giménez (Universitat de Barcelona), Juan Antonio García Cruz (Universidad de La Laguna), Jacinto Quevedo (Grupo 17-29), Tomás Recio (Universidad de Cantabria), Victoria Sánchez (Universidad de Sevilla), Arnulfo Santos (Instituto Educación Secundaria Doctor Antonio González y González)

Evaluadores Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas agradece a los siguientes profesores su generosa y valiosa colaboración en el proceso de evaluación de artículos durante el año 2011: Víctor Almeida, Teresa Bermúdez, Lorenzo J. Blanco, Antonio Bonilla, Teresa Claudia Braicovich, Noemí Cabrera, Agustín Carrillo, Eva Cid, Mariana Cuesta, Ramón Depool, José Ángel Dorta, Carlos Duque, Rafael Escolano, Isabel Mª Escudero, Mª Candelaria Espinel, Carmen Sonia Fernández, Carmen Galván, Israel García, Juan Antonio García, Mª Carmen García, Mª Mercedes García, José María Gavilán, Rosa Gómez, Carolina Guerrero, María Candelaria González, Josefa Hernández, Agustín Isidro, Mª Soledad Montoya, Francisco Morales, José Muñoz, Mª Mercedes Palarea, Manuel Pazos, Mª Carmen Peñalva, Arturo Prieto, Mª Encarnación Reyes, Lourdes Rodríguez, Juan José Salazar, Alejandro Sanabria, Teresa Vázquez, Antonino Viviano.

Portada. Autor: Pablo López Ramos. Título: Hoja radial.

Edita Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Apartado 329. 38200 La Laguna (Tenerife) España Email: [email protected] Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas Ana Alicia Pérez Hernández (Presidenta), José Manuel Vidal González (Vicepresidente), Victoria Soto Cabrera (Secretaria General), Sergio Alexander Hernández Hernández (Tesorero), María Jesús Rodríguez Martín (Vicesecretaria), Manuel Herrera Pérez (Secretario de actas), Zoraida de Armas Ravelo (Bibliotecaria). Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Luis López García (Gran Canaria), Eustaquio Bonilla Ramírez (Lanzarote), Carmen San Gil López (La Palma), Dolores de la Coba García (Tenerife).

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y noviembre.


Volumen 78, noviembre de 2011, páginas 3–4 ISSN: 1887-1984


Índice

Apertura Tareas matemáticas en la formación de maestros. Caracterizando perspectivas

5-16 Salvador Llinares

Artículos

Propuesta para fortalecer una educación con valores en ciencias 17-32

Jesús Salinas Herrera

Las Matemáticas en los anuncios 33-46

José María Sorando Muzás

Los positivos y negativos como medios de organización de familias de rectas en el plano 47-71

Aurora Gallardo Cabello y Eleazar Damián Velázquez

Materiales didácticos concretos en Geometría en primer año de Secundaria 73-94

Silvia Villarroel y Natalia Sgreccia

Coherencia entre criterios de evaluación y prácticas evaluativas de matemática 95-112

Patricia Villalonga de García, Susana González de Galindo y Susana B. Mercau de Sancho

Módulo de enseñanza para la introducción de las ecuaciones diferenciales ordinarias en un ambiente de resolución de problemas con tecnología 113-134

Josefa Perdomo Díaz Secciones

Experiencias de aula

La gran torre: Matemáticas en la Educación Infantil a través de un proyecto de construcción 135-156

Beatriz Escorial González y Carlos de Castro Hernández

Problemas

De fósiles, fantasmas, y algunas cosas más 157-168

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz

Índice (continuación)

4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 78 noviembre de 2011

En la red

WIRIS, mucho más que tu calculadora en la red 169-176

Sergio Alexánder Hernández Hernández

Juegos

Más Wari y Tchouka. Ahora Abalone 177-187

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz

Leer Matemáticas

La música de los números primos. El enigma de un problema matemático abierto. Marcus du Sautoy 189-190

Reseña: María Candelaria Espinel Febles

La armonía es numérica. Javier Arbonés y Pablo Milrud 191-193

Reseña: Noelia González Cruz

Logicomix. Una búsqueda épica de la verdad. Apostolos Doxiadis y Christos H. Papadimitriou 195-196

Reseña: Manuel Darias

Informaciones 197-198

Normas para los autores 199




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Tareas matemáticas en la formación de maestros. Caracterizando perspectivas

Salvador Llinares (Universidad de Alicante) 1

Artículo solicitado al autor por la revista

Resumen El diseño de tareas en los programas de formación de maestros se vincula al desarrollo del conocimiento necesario para realizar diferentes tareas profesionales- organizar el contenido matemático, interpretar el aprendizaje, gestionar la enseñanza. Se ejemplifica esta perspectiva en el caso del diseño de tareas matemáticas considerando la tarea profesional del maestro de analizar libros de texto.

Palabras clave Didáctica de la matemática, formación de maestros, diseño de tareas, competencia docente

Abstract The design of tasks in mathematics teacher education is linked to develop of knowledge necessary to perform different professional tasks - organizing the mathematical content to teach, interpreting the mathematical learning, manage to mathematics teaching. We exemplify this perspective considering the design of mathematical tasks in order to develop the mathematical knowledge need to analysis mathematical problems from primary textbooks.

Keywords Mathematics education, mathematics teacher education, design of task, teaching competence

1. Introducción

Uno de los ámbitos en la educación matemática en los que la investigación y la práctica están íntimamente ligadas es en la formación de profesores. En este ámbito, uno de los ejemplos en los que esta relación es más clara tiene que ver con las reflexiones sobre el diseño, implementación y análisis de tareas en los programas de formación. Estas tareas están dirigidas a que los profesores adquieran el conocimiento y desarrollen las destrezas necesarias para la enseñanza de las matemáticas. Desde hace algunos años reflexiones realizadas por los formadores de profesores dirigidas a conceptualizar y compartir la actividad de diseño, implementación y análisis de tareas en los programas de formación se están presentando de manera cada vez más explícita (Clarke, Grevholm y Millman, 2009; Laborde, 2011; Llinares y Olivero, 2008; Tirosh y Wood, 2008; Zaslavsky & Sullivan, 2011) y adoptando perspectivas teóricas diferentes procedentes algunas del ámbito del diseño instruccional (Willis, 2009) o el uso de recursos específicos (Brophy, 2004). Estos aportes han puesto de manifiesto la diversidad de aproximaciones adoptadas y la riqueza de los materiales producidos mostrando de manera implícita que no existen respuestas uniformes en esta cuestión. Esta situación a nivel internacional también ha tenido un reflejo claro en el contexto español (Blanco, Cárdenas, Gómez y Caballero, 2011; Godino, 2004; Contreras y Blanco, 2002; Llinares, Valls y Roig, 2008; Penalva y Llinares, 2011).

1 Este artículo forma parte de un trabajo más amplio realizado conjuntamente por el autor y la profesora Julia Valls, de la Universidad de Alicante.

Tareas matemáticas en la formación de maestros. Caracterizando perspectivas S. Llinares

6 NÚMEROS Vol. 78 noviembre de 2011

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Las tareas diseñadas, implementadas y analizadas van desde el uso de videos, casos-viñetas procedentes de situaciones de enseñanza-aprendizaje y problemas matemáticos planteados como procesos investigativos para los estudiantes para profesor. Aunque existen diferencias entre las aproximaciones adoptadas en formación inicial o formación continua y entre la formación de maestros y la formación de profesores de secundaria, existen algunas ideas que empiezan a ser permeables a las diferentes aproximaciones y contextos. Una de estas ideas procede de adoptar una perspectiva situada hacia el aprendizaje del profesor y derivar a partir de aquí características que deben tener las tareas en los programas de formación y cómo deben ser implementadas.

Desde esta perspectiva, las tareas que los formadores de profesores plantean a sus estudiantes se consideran como instrumentos de una práctica que debe ser comprendida y aprendida. En este sentido, el instrumento, las tareas o el conocimiento que se pretende como foco del aprendizaje, es el medio técnico o conceptual que permite al usuario, en este caso los estudiantes para profesor, llegar a comprender y mejorar una determinada práctica. En los programas de formación de profesores las tareas son los instrumentos que utilizamos los formadores para que los estudiantes para profesores puedan desarrollar el conocimiento y destrezas necesarios para enseñar matemáticas y al mismo tiempo empiecen a generar las destrezas que les permita seguir aprendiendo a lo largo de la vida profesional. Usando estas referencias, tan importante es determinar las características de una tarea como caracterizar la manera específica en la que es implementada. La tarea, la manera en la que es implementada y las ideas del formador de profesores que definen los contextos de uso son por tanto los referentes para las oportunidades de aprendizaje (entornos de aprendizaje) para los estudiantes para profesor.

Una reflexión adicional en la cuestión del diseño de tareas en los programas de formación de profesores es la consideración de la idea de competencia docente entendida como el uso del conocimiento para resolver los problemas profesionales de la práctica de enseñar matemáticas (Llinares, 2009). Las tareas en los programas de formación son implementadas para promover el desarrollo de competencias especificas y por tanto el aprendizaje y desarrollo de conocimiento y destrezas vinculadas a contextos-problemas específicos. Algunos de los contextos–problemas específicos vinculados a la enseñanza de las matemáticas y que constituyen un sistema de actividad para el profesor de matemáticas en el que se encuadra la práctica de enseñar matemáticas viene dado por

- Analizar las producciones de los estudiantes - Organizar el contenido matemático para su enseñanza - Gestionar la comunicación matemática en el aula

Sistemas de actividad en la enseñanza de las matemáticas como una práctica

La enseñanza de

las matemáticas

como una práctica

Seleccionar y diseñar tareas matemáticas

adecuadas

Interpretar y analizar el pensamiento

matemático de los estudiantes

Iniciar y guiar el discurso matemático y gestionar las interacciones matemáticas

en el aula


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de Profesores de Matemáticas Vol. 78 noviembre de 2011

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Estos diferentes sistemas de actividad se visualizan en la práctica del profesor de matemáticas mediante la realización de algunas tareas. Por ejemplo, cuando el profesor tiene que seleccionar, analizar o diseñar algunas tareas matemáticas para sus alumnos a partir de un material docente como puede ser un libro de texto y determinar en qué medida los problemas o la manera de organizar el contenido que propone el libro de texto es adecuado para sus objetivos. En este caso el análisis de las tareas-problemas, ejercicios y/o actividades- que aparecen en el libro de texto- es una actividad característica de la práctica de enseñar matemáticas (Fernández, 2011). La misma reflexión podemos hacer en relación a la actividad del profesor de valorar en qué medida las respuestas de sus alumnos a las tareas matemáticas propuestas reflejan el aprendizaje pretendido, y cuando interacciona con sus alumnos en la resolución de los problemas durante la enseñanza de las lecciones.

Para gestionar cada una de las componentes de este sistema de actividad el profesor pone en funcionamiento diferentes dominios de conocimiento de manera integrada (Gavilán, García y Llinares, 2007; Escudero y Sánchez, 2007, 2008; Llinares, 2000):

- Sus perspectivas sobre y su comprensión de las matemáticas - Su perspectiva sobre y su comprensión del aprendizaje de las matemáticas - Su perspectiva sobre y su comprensión de la enseñanza de las matemáticas

Estos dominios de conocimiento y creencias (perspectivas) está íntimamente relacionados unos con otros durante la práctica de enseñar matemáticas. Desde estas referencias, las tareas en los programas de formación deberían contribuir al desarrollo de los diferentes dominios de conocimiento en uso en estas diferentes actividades de la práctica. Este contexto ha definido una línea de reflexión, investigación y práctica en la formación de profesores centrada en el diseño e implementación de tareas en los programas de formación considerando los contextos de uso. Una característica de esta línea de reflexión es el desarrollo de procesos cíclicos de diseño-implementación-análisis y modificación de las tareas en los programas de formación. Y vinculado a estos procesos cíclicos emerge una agenda de investigación centrada en qué y cómo aprenden los estudiantes para profesor (Llinares y Krainer, 2006; Lupiañez y Rico, 2006; Penalva, Escudero y Barba, 2006) que pone de manifiesto la relación entre la teoría y la práctica de formar profesores.

2. Comprender el contenido matemático para enseñar matemáticas en la educación primaria

Con estas referencias generales, el contexto particular de formación de maestros en el ámbito de las matemáticas introduce además peculiaridades dadas por el contexto de formación y por los conocimiento previos de los estudiantes para maestro y por las características del perfil profesional que deben desarrollar (por ejemplo ser maestros de diferentes materias y no solo de matemáticas). Estas peculiaridades ha hecho emerger líneas de reflexión especificas centradas en el diseño de tareas en los programas de formación de maestros en el ámbito de la educación matemática (Clarke, Grevholm, y Millman, 2009) que ponen de manifiesto el carácter cíclico del trabajo realizado por los formadores de maestros. Este proceso cíclico vincula la creación de la tarea, la reflexión sobre las reacciones de los estudiantes para maestro y como consecuencia el refinamiento de la tarea inicialmente propuesta. Este rasgo característico hace referencia a la necesidad de explicitar los principios del aprendizaje del estudiante para maestro sobre los que se fundamentan las decisiones del formador de maestros en su papel de diseñador de tareas. Esto es debido a que los formadores de maestros tienen que considerar la manera en la que sus estudiantes aprenden para determinar en qué medida las tareas propuestas cumplen con los objetivos con los que habían sido diseñadas.

Un aspecto particular lo centra las cuestiones relativas a qué matemáticas debe llegar a conocer un estudiante para maestro y cómo debe llegar a conocerlas para empezar a generar la competencia



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docente en el ámbito de la enseñanza de las matemáticas. Aquí nos centramos únicamente en el conocimiento de matemáticas que debe ayudar al estudiante para maestro a desempeñarse adecuadamente en las diferentes tareas a través de las que se articula la práctica de enseñar matemáticas – analizar las tareas matemáticas que debe proponer a sus alumnos cuando está pensando en la organización del contenido matemático a enseñar, interpretar las producciones matemáticas de sus alumnos para determinar el aprendizaje conseguido, o gestionar las interacciones durante la enseñanza. Una reflexión sobre el conocimiento de didáctica de las matemáticas integrado con lo matemático en este contexto puede reflejar los mismos principios que intentamos caracterizar aquí: diseñar las tareas para generar el conocimiento necesario para enseñar matemáticas en los contextos de uso.

En este caso, un aspecto particular de este proceso es determinar qué principios debe seguir el proceso de diseñar tareas matemáticas en los programas de formación de maestros que tengan en cuenta los contextos de uso de este conocimiento por parte del maestro al realizar la práctica de enseñar matemáticas (por lo tanto, una reflexión paralela tendría en cuenta el conocimiento de didáctica de las matemáticas) (Osana, Lacroix, Tucker y Desrosieres, 2006). Para describir un posible camino en este proceso vamos a ejemplificar una posible toma de decisiones del formador de maestros a la hora de decidir las características de las tareas matemáticas que puede proponer en el programa de formación para intentar generar oportunidades de aprendizaje matemático en sus estudiantes para maestro.

2.1. Aprendiendo matemáticas para analizar las tareas en los libros de texto

Las tareas matemáticas en los programas de formación de maestro cumplen tres objetivos. Por una parte, deben permitir que los estudiantes para maestro re-examinen su comprensión de las ideas matemáticas para que puedan llegar a cuestionarse su propio conocimiento de las matemáticas escolares. En segundo lugar, las tareas matemáticas deben permitir que los estudiantes para maestro amplíen su comprensión de algunos contenidos matemáticos. Finalmente, proporcionan la posibilidad de que los estudiantes para maestro reflexionen sobre sus creencias en relación a la naturaleza de la actividad matemática. Estos objetivos pretenden que los estudiantes para maestro puedan llegar a ser sensibles a las matemáticas de sus alumnos para poder ayudarles en su aprendizaje. La cuestión aquí es cómo alguien puede llegar a comprender mejor lo que se supone ya conoce – reaprender algunos contenidos matemáticos - , y ampliar su comprensión de otros contenidos matemáticos.

2.2. Diseñando tareas en los programas de formación para iniciar el desarrollo de la competencia docente

La idea de competencia docente viene caracterizada por saber cómo y cuándo usar el conocimiento específico en la resolución de problemas profesionales, como puede ser el análisis de los problemas que propone los libros de texto en el nivel educativo considerado. En el ámbito de la enseñanza de las matemáticas, caracterizar la competencia docente significa comprender las ideas matemáticas de manera que el estudiante para maestro pueda llegar a ser capaz de identificar lo relevante matemáticamente hablando de la situación, interpretarlo y poder llegar a tomar decisiones de enseñanza adecuadas. Esto implica que el estudiante para maestro debe llegar a ser consciente de qué conocimiento de matemáticas es relevante en esa situación y poder analizar aquellos aspectos que puedan llevar a los alumnos de primaria a comprensiones no adecuadas.

En la tarea profesional del maestro de analizar las propuestas de los libros de texto, por ejemplo, en el caso particular de la enseñanza de los números decimales en sexto y el papel que desempeñan los modos de representación, ante un problema como el planteado en la Figura 1, la comprensión




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matemática de los números decimales como parte de los números racionales y sus modos de representación debe permitir al estudiante para maestro considerar (Centeno, 1988; Castro, 2001)

• El significado de número racional y su representación sobre una recta numérica • Fracciones equivalentes y fracciones irreducibles como forma de representar a los

números racionales. • Fracción decimal entendida como el par de números enteros (a,b) donde b es igual a una

potencia de 10, y el reconocimiento de que existe representaciones de los números racionales en forma de fracción que no son fracciones decimales

• Número racional decimal es un número racional que se puede representar con una fracción decimal (o cualquier otra equivalente a esta, pudiendo ser estas irreducibles o no) o mediante expresiones con coma finitas.

• Número racional no decimal es un número racional que se puede representar con una fracción que no sea equivalente a ninguna fracción decimal (pudiendo ser estas irreducibles o no) o mediante expresiones con coma infinitas: periódicas puras o mixtas.

• Y considerando conversiones entre los distintos modos de representación de los números racionales: fracciones ⇔ expresiones con coma

Figura 1. Fragmento de un libro de texto de 6º de primaria

La comprensión de los números racionales y sus representaciones debe permitir al estudiante para maestro ser consciente de que en la tarea 7 existen fracciones que representan a números racionales decimales y, en consecuencia, es posible hacer conversiones entre los modos de

representación fracción y expresión con coma finita (número decimal). Sin embargo, la fracción 6

4 no

representa a un número racional decimal. La tarea 8 sólo hace referencia a la conversión de expresiones con coma finita (número decimal) a fracciones decimales que son las representantes de los números racionales decimales. El análisis de la tarea desde el conocimiento matemático explícito debería permitir al estudiante para maestro poder modificar la propuesta realizada por los libros de texto en el sentido de hacer nuevas propuestas a sus alumnos con el objetivo de que los estudiantes de primaria puedan identificar las propiedades o relaciones matemáticas implícitas.

Desde este análisis previo, la cuestión que se plantea en el programa de formación de maestros es determinar

• Qué comprensión de estos contenidos matemáticos debe tener el estudiante para maestro para empezar a realizar esta tarea profesional de manera competente, y

• Cómo puede llegar a esta comprensión teniendo en cuenta que muchas veces los estudiantes para maestro llegan con un conocimiento procedimental de estas cuestiones.



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En cuanto a la primera pregunta cabe señalar que el conocimiento matemático que el estudiante para maestro necesita saber está directamente relacionado con la existencia de números racionales decimales y números racionales no decimales así como con sus representantes y dos de sus modos de representación, la fracción y las denominadas “expresiones con coma”.

El desarrollo por parte de los estudiantes para maestro de la comprensión de la red de ideas matemáticas necesarias para poder realizar de manera competente el análisis de la tarea en la figura 1, puede estar vinculado a la realización y discusión en los programas de formación de tareas como las reproducidas en el Cuadro 1.

Tarea 1.1

Dadas las fracciones 4

7;

11

3;

6

3;

3

2;

5

1. Indica cuál de ellas son equivalentes a una fracción

decimal y cuáles no. Justifica tu respuesta.

Tarea 1.2.

Sin hacer la división halla la expresión con coma finita (expresión decimal finita) de las

siguientes fracciones 40

8;

50

7;

5

1;

4

3. Justifica tu respuesta.

Cuadro 1. Ejemplo de tareas de formación

La realización de las tareas 1.1. y 1.2. por los estudiantes para maestro puede favorecer una comprensión más amplia de estos conceptos matemáticos. La resolución de las tarea 1.1. y 1.2. conlleva que el estudiante para maestro vea:

• los números decimales expresados con diferentes representaciones • los números naturales desde la representación decimal y factorial, en particular, el 10 y

sus potencias como 10 = 2·5 y 10n = 2n · 5n

La importancia de este enfoque radica en que los estudiantes para maestro puedan llegar a comprender la diferencia de conocer los conceptos desde su etapa de estudiantes a comprenderlos para llevarlos a las aulas. Es decir, la comprensión de un concepto matemático varia si este se conoce desde la perspectiva de “usuario” a conocerlo desde la perspectiva de “formadores de usuarios” (en este caso del maestro). Por ejemplo, la discusión colectiva entre los estudiantes para maestro de tareas como la siguiente ayudarían a este objetivo (Castro, 2011; p. 325)

¿Se puede escribir 2/7 como decimal finito?

Para escribir 2/7 como decimal finito hay que hallar un número X tal que 2/7= (2.x)/(7.x), donde 7x tiene que ser potencia de 10, lo que conduce a 7x=2n · 5n

Pero este resultado contradice el teorema de factorización única (teorema fundamental de la aritmética), ya que el factor 7 aparece en el primer miembro pero no en el segundo. Mediante un razonamiento similar pero aplicando al teorema fundamental de la aritmética de forma general, se obtiene el siguiente resultado:

Las únicas facciones que se pueden expresar como decimales finitos son la que, escritas en su forma irreducible, tienen solo el 2 y/o al 5 como factores primos del denominador.




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Este es por tanto el significado dado a la idea de red conceptual de ideas matemáticas (relación entre representaciones de los números con coma, fracciones, teorema fundamental de la aritmética, descomposiciones en factores primos, etc.) que constituyen en este ejemplo la comprensión matemática que da sentido a la idea de competencia docente, vista desde la perspectiva de la tarea profesional de analizar las actividades propuestas en los libros de texto.

Siguiendo con este ejemplo, y para profundizar más en la red de ideas matemáticas que articulan la enseñanza de los números decimales y que fundamentan la competencia docente en la tarea de analizar las tareas matemáticas en los libros de texto, el objetivo del análisis de las tareas 3 y 24 procedentes de los libros de texto (figura 2 y 3), es poner de manifiesto la existencia de dos tipos de representaciones con coma para los números racionales no decimales. La pregunta para el formador de maestros en su papel de diseñador de tareas en el programa de formación es

• ¿cuál es la comprensión matemática que debe tener un estudiante para maestro de los números racionales y sus representaciones que le permita realizar un análisis competente de estas dos tareas?



A partir de la tarea 3 de la figura 2 el alumno de primaria, usando una calculadora, puede llegar a pensar que además de la existencia de fracciones con un número finito de cifras decimales, existen fracciones a las que les corresponden expresiones con coma con “infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente” e incluso pueden llegar a pensar que son las que tienen como denominador potencias de tres. Esta interpretación no les impedirá resolver el apartado 2 de la tarea 24 de la figura 3 salvo que usen la calculadora. Puede que tampoco observen que al resolver la tarea propuesta en la figura 4, a través de la calculadora, esta les ofrece 7 resultados aproximados hasta el número de cifras

que admite su pantalla y uno sin aproximar, 8

1. Posiblemente, ante esta tarea podrían reafirmarse en



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la idea de que sólo a las fracciones cuyo denominador sea una potencia de 3 le corresponden expresiones con coma con infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente, al resto de fracciones les corresponden expresiones con coma finitas ya que los resultados que podrían reflejarse en la pantalla de su calculadora, si esta mostrará 8 dígitos, presentarán las siguientes características:

• expresiones con coma para las divisiones 44 : 3 y 41 : 5 del tipo 14,666666 y 4.5555555, respectivamente.

• expresiones con coma para divisiones 50 : 7 ; 1 : 7 ; 15 : 7 y 12 : 13 del tipo 7.1428571; 0.1428571; 2.1428571 correspondientes a las divisiones de divisor 7 y 0.9230769, expresiones donde a primera vista no se repite ninguna cifras periódicamente.

No obstante, cabe resaltar en este caso que el resultado 1.4166666 procedente de la división 17 : 12 podría generar ciertas dudas ya que también le corresponde una expresión con coma con infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente pero no como las anteriores.


Realizar un análisis competente de estas tareas procedentes de libros de texto de primaria se apoya en la comprensión de una red de ideas matemáticas necesarias para interpretar de manera amplia la situación descrita en la figura 2, 3 y 4, y formada por

• D = d·c + r , dr <≤0

• Teorema fundamental de la aritmética: expresión en factores primos de un número. • Si multiplicamos, dividimos en división exacta, dividendo y divisor por un mismo

número, el cociente no varía y el resto viene multiplicado o dividido por dicho número. • Isomorfismos entre los conjuntos (N, +, x) y (Q, +, x): Toda división se puede expresar

como una fracción.

El desarrollo por parte de los estudiantes para maestro de la comprensión de esta red de ideas matemáticas para la realización competente de la tarea profesional de analizar las actividades propuestas en los libros de texto puede vincularse en los programas de formación a la realización y discusión de tareas como la reproducida en el Cuadro 2.




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Tarea 2.1

Encuentra una expresión con coma para los siguientes números racionales:

20

3,

13

1,

11

1,

30

7,

125

7,

15

1

¿Qué particularidades observas entre las distintas escrituras? ¿Qué características tienen sus

denominadores?

Tarea 2.2

Dadas las fracciones irreducibles 46

,25

,19

cba. Indica qué tipo de expresión con coma

le corresponde a cada una de ellas. Justifica tu respuesta.


Las tareas 2.1. y 2.2. tienen como objetivo que el estudiante para maestro sea capaz de generar por si mismo y/o colaborativamente la comprensión de los criterios siguientes:

Proposición 1

La expresión con coma, correspondiente a una fracción irreducible, será finita si el

denominador no contiene más factores que Nparaoy ∈∀ βαβα ,,5/2

Proposición 2

La expresión con coma, correspondiente a una fracción irreducible, será periódica pura si el denominador no tiene como factores ni al Nparaalni ∈∀ βαβα ,,52

Proposición 3

La expresión con coma, correspondiente a una fracción irreducible, será periódica mixta si el

denominador tiene como factores al Nparao ∈∀ βαβα ,,52 , además de

otros factores primos

La realización de este tipo de tareas en los programas de formación de maestros intenta cumplir con el objetivo de ayudar a los estudiantes para maestro a re-aprender el contenido matemático que presumiblemente ellos creen que conocen y al mismo tiempo ampliar la comprensión en relación a nuevas ideas. Sin embargo, algunos estudiantes para maestro acuden a las tutorías con el formador al ser incapaces de responder a la segunda pregunta de la tarea 2.1. Estos estudiantes para maestro son incapaces de ver los denominadores representados mediante su expresión factorial. “Este no ver” no les permite relacionar el tipo de expresión con coma con la expresión factorial, en consecuencia, no son capaces de establecer o comprender los criterios que permiten realizar la tarea 2.2. Otros estudiantes, optan por aprender de manera algorítmica los criterios y responden adecuadamente a la tarea 2.2. Una forma de diagnosticar si este aprendizaje es sólo algorítmico sin comprender el significado del propio algoritmo es plantear tareas como las siguientes (cuadro 3).



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Tarea 3.1

Da al menos siete ejemplos de fracciones que le corresponda una expresión con coma

periódica mixta

Tarea 3.2

Indica que expresión con coma le corresponde a la fracción 147

Tarea 3.3

¿Cuál(es) de las fracciones ,41

,31

,51

en base seis, tiene una expresión con coma del

mismo tipo que las fracciones irreducibles 17

,20

ba representadas en base diez?


Para responder a la tarea 3.1 el estudiante suele acudir a ejemplos triviales donde para conseguir los siete ejemplos solo cambia el numerador y el denominador y lo expresa en forma decimal. El hecho de solo cambiar el numerador le lleva, en la mayoría de los casos, a presentar fracciones no irreducibles a las que no les corresponde una expresión con coma periódica mixta. En ningún caso, recurren a ejemplos donde el denominador venga expresado en factores primos. La respuesta mayoritaria dada por los estudiantes a la tarea 3.2. es que a la fracción le corresponde una expresión con coma periódica mixta, al no tener en cuenta que no es una fracción irreducible. Por último, la tarea 3.3. , a aquellos que han aprendido los criterios de manera algorítmica, les resulta difícil establecer una relación entre 10 = 2·5 en base diez y el 10(6 = 2·3 en base seis.

3. Diseñando tareas en la formación de maestros. Caracterizando perspectivas

El diseño de tareas en los programas de formación de maestros es una actividad cada vez más explícita en la responsabilidad de los formadores de maestros tanto a nivel internacional como a nivel nacional. En este trabajo hemos querido describir una perspectiva para la toma de decisiones en relación al diseño de tareas en el programa de formación que tiene en cuenta criterios procedentes del aprendizaje situado que subrayan la importancia de la generación del conocimiento necesario para realizar una determinada actividad profesional como es la enseñanza de las matemáticas. Como consecuencia, en la perspectiva descrita aquí nos hemos centrado en la formación de maestros y en relación al aprendizaje del conocimiento de matemáticas necesario para la práctica de enseñar matemáticas. Para ello, hemos partido de considerar cuáles son las tareas profesionales que articulan la práctica de enseñar matemáticas en la educación primaria para identificar tareas que deben ser realizadas por los profesores e intentar caracterizar el conocimiento de matemáticas que sería necesario para realizar esta tarea de manera competente. Utilizando el contexto específico generado por la tarea profesional del maestro de analizar propuestas curriculares y en particular la secuencia de problemas propuestos por los libros de texto para un contenido matemático particular hemos descrito un posible camino para diseñar tareas en el programa de formación dirigidas a crear las oportunidades para que los estudiantes para maestro lleguen a comprender el contenido matemático de manera que les permita llegar a realizar de manera competente esta tarea.

Finalmente nos gustaría indicar que lo que hemos intentado describir aquí es una perspectiva para organizar la manera de pensar sobre el diseño de tareas en el programa de formación que tiene en cuenta la idea de competencia docente como conocimiento en uso para resolver problemas




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profesionales. Es decir, lo que hemos intentado subrayar es pensar en el conocimiento que necesita un maestro desde la perspectiva de las tareas profesionales que realiza en la práctica de enseñar matemáticas, y derivar desde allí rasgos característicos de las tareas en el programa de formación.

Bibliografía

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Salvador Llinares, Departamento de Innovación y Formación Didáctica, Universidad de Alicante, España. Coordinador del grupo de investigación “Investigación y formación didáctica” en la Universidad de Alicante. Autor de publicaciones en Educación Matemática sobre el desarrollo del conocimiento matemático y sobre la formación de profesores.




Propuesta para fortalecer una educación con valores en ciencias

Jesús Salinas Herrera (Escuela Nacional Colegio de Ciencia y Humanidades, UNAM. México)

Fecha de recepción: 30 de noviembre de 2010 Fecha de aceptación: 12 de abril de 2011

Resumen Este trabajo presenta una reflexión crítica sobre el enfoque de competencias y llama la atención a no encuadrar esta noción en una perspectiva económica, en donde dominan los intereses del mercado. Se reivindica la idea de educación como promoción de una formación integral del ser humano, y se destaca la importancia de construir una mayor armonía entre la dimensión individual y social del ser humano mediante la promoción de valores que el ser humano ha construido con el desarrollo de las ciencias y las humanidades. Se propone que, en este sentido, es conveniente usar la historia de las matemáticas como un recurso didáctico.

Palabras clave Competencias, valores, historia de las matemáticas, recurso didáctico.

Abstract This paper presents a critical reflection on the competencies and considers inconvenient to reduce this notion in an economical perspective, which prevail the market’s interests. Here, we propose to emphasize the idea of education as an integral formation of the human being. It is underlined the importance of constructing a major harmony between the individual and the social dimension by promoting the values that human beings has constructed in the development of the sciences and humanities. Because of that, it is proposed it is suitable to use the history of the mathematics as a didactic resource.

Keywords Competencies, values, history of the mathematics, didactic resource.

1. Introducción

La noción de “competencias” está orientando la reforma que a nivel internacional se propone revisar los fines del sistema educativo en todos sus niveles. Por ello, “en estos momentos la comunidad educativa se encuentra en pleno debate para proveer de sólidos fundamentos teóricos a esta nueva noción” (Rico, 2008, p.2). El término "competencias" tiene una larga tradición y está influido por una carga fuertemente conductista que había simplificado inicialmente la complejidad de los procesos de enseñanza y aprendizaje (Pérez Gómez, 2007). Más recientemente, ha vuelto a emerger este concepto con una visión radicalmente distinta. Ahora se le da una interpretación comprensiva, constructivista y holística (Pérez Gómez, 2009), relacionada con una preocupación productiva y por tanto de orden económico. Por ello, la preocupación central de las reformas que se inspiran en este enfoque es organizar la educación para responder fundamentalmente a las expectativas de las empresas. “Las necesidades del sector industrial son el ámbito de presión más importante que promueve la selección de competencias” (Martínez Rodríguez, 2009, p. 103).

La noción de competencia que ahora está en boga, surge en el marco de los procesos de evaluación que impulsa la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OCDE). El

Propuesta para fortalecer una educación con valores en ciencias J. Salinas Herrera


Proyecto Internacional para la Producción de Indicadores de Rendimiento de los Alumnos (PISA), fue creado en 1997, y constituye un compromiso por parte de los gobiernos de los países miembros de la OCDE para establecer un seguimiento de los resultados de los sistemas educativos en cuanto al rendimiento de los alumnos, dentro de un marco internacional común (OCDE, 2004).

Así, el fuerte impulso de las reformas basadas en el enfoque por competencias que se están realizando en el sistema educativo mexicano, al igual que en otros países, se debe a exigencias de organismos internacionales que son quienes están promoviendo este nuevo modelo de formación. Las dos propuestas más importantes son: El Proyecto Tuning, Tuning Educational Structures in Europe, impulsado por la Unión Europea, y el Proyecto DeSeCo (Definition and Selection Competencies), que promueve, desde 1997, la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE).

Ante este escenario, es muy importante que los profesores de los diferentes niveles del sistema educativo se involucren y promuevan una reflexión bien informada y crítica sobre este asunto. No es conveniente adoptar mecánicamente y de manera dogmática estas nuevas directrices, pero tampoco es conveniente la omisión o la descalificación sin argumentos, de las nuevas propuestas de reforma.

Me propongo, en este documento, dar algunos pasos en la dirección de reflexionar críticamente sobre dicho enfoque educativo y vislumbrar algunos aspectos que puedan contribuir a mejorar este tipo de propuesta. Particularmente, me interesa argumentar sobre la necesidad de construir un sentido de educación basado en valores, que favorezca las actitudes y los conocimientos que permitan desarrollar una mejor civilización. Por una mejor civilización entiendo aquella que debería proporcionar una vida agradable a los individuos que la componen, basada en valores. El lineamiento medular de utilidad, que inspira a la noción de competencias que se está difundiendo, reduce a un aspecto económico la variedad y complejidad de necesidades y aspiraciones de una sociedad. De esta manera, convierte un medio en un fin y trastoca el sentido de la educación. Bertrand Russell decía, que:

Si queremos impedir que la vida humana se convierta en algo insípido y tedioso es importante darse cuenta de que hay cosas que tienen un valor completamente independiente de la utilidad. Lo útil es útil porque es un medio para alguna otra cosa, y esa otra cosa, si no es a su vez simplemente un medio, debe valorarse por sí misma, ya que, de otro modo, la utilidad es ilusoria”. (Russell, 2005, pp.112- 113).

2. Un modelo educativo del bachillerato de la UNAM

A manera de ejemplo, podemos dar una mirada rápida a un modelo educativo que todavía no se decide a aceptar el enfoque de competencias. Este caso puede ilustrar de algunos riesgos que se presentan por la velocidad con que se pretende adoptar o imponer las nuevas directrices de dicho enfoque, en el entorno educativo.

En la Universidad Nacional Autónoma de México existen dos bachilleratos con distinta visión educativa y diferente plan de estudios. El más antiguo es el de la Escuela Nacional Preparatoria (ENP) y desde la década de los años 70, del siglo pasado, el del Colegio de Ciencias y Humanidades (CCH).

La UNAM ha sido prudente en adoptar el enfoque de competencias para incorporarlo en sus programas de estudio. No obstante, cada vez más el discurso de las competencias se introduce subrepticiamente en el léxico de los profesores. Con cierta frecuencia, puede uno escuchar a profesores del Colegio de Ciencias y Humanidades, afirmar que hay cierta relación entre el enfoque de competencias y el modelo educativo de esta institución. Sin embargo, nunca se hacen explícitas tales




similitudes teóricas. Se suele asociar alguna noción o afirmación general con otras y parece ser suficiente para aventurar alguna aseveración. Sin embargo, se carece de una adecuada información sobre el enfoque de competencias que, por otra parte, sí se está implementando en el bachillerato nacional mexicano. Asimismo, se carece de indicadores y análisis que nos permitan comparar dicha propuesta con el modelo educativo del CCH que se ha puesto en práctica desde hace más de 30 años.

El CCH se presenta, en el entorno educativo mexicano, como un modelo educativo innovador. Sin embargo, más allá de la retórica, en realidad no se cuenta con una evaluación de los resultados del tipo de formación que está obteniendo este sistema educativo. Sólo existen estudios estadísticos que muestran el aspecto cuantitativo de la reprobación o del manejo, de parte de los alumnos, de ciertos contenidos disciplinarios. Por consiguiente, sin dejar de reconocer, que a nivel de la práctica docente cotidiana hay cierta riqueza de experiencia y creatividad, no es posible mostrar fehacientemente la calidad de la educación que el modelo educativo del CCH ofrece, y sí es conveniente o no reformarlo. Este escenario, además, presenta un riesgo: que por la presión del contexto sólo se adopte un nuevo discurso sin reflexión, como ya se puede apreciar, o se imponga sin cuestionamiento alguno la idea de que el modelo del CCH es análogo al enfoque por competencias, y se continúe haciendo lo mismo. Sin embargo, esta situación no es irrelevante.

Todo discurso –señala Gimeno Sacristán- refleja una manera de pensar y de ver el mundo, no es algo sin importancia ni ingenuo. El lenguaje que elegimos o adoptamos no aparece por azar sino que está relacionado con las características de la sociedad en que se utiliza. De esta manera, detrás del término “competencias”

debe existir, pues, una epistemología o visión del conocimiento justificada en una teoría, habrá una visión de la sociedad, una política del conocimiento traducida en las instituciones –las educativas, en nuestro caso- y alguna previsión de las funciones de ese conocimiento para la práctica” (Gimeno Sacristán, 2009, p. 17).

Por consiguiente, es necesario que los profesores enfrenten con más elementos de juicio cuestiones como las comentadas antes, relacionadas con la comparación de diferentes propuestas educativas. De lo contrario, se puede caer fácilmente en una sobre simplificación con consecuencias nefastas. Pretender comparar planteamientos que pueden tener algo en común pero también diferencias significativas es indeseable. Esto no ayuda en un análisis académico sino que sólo alimenta una retórica sin sustento. Así, es importante también reflexionar si la noción de competencias que se propone es la que se requiere para la formación de los ciudadanos mexicanos. Por ello, considero necesario llamar la atención hacia diversos aspectos:

1. Es muy importante que las instituciones educativas, con la participación de sus profesores, elaboren evaluaciones acerca de los logros e insuficiencias de su propio modelo educativo. Es necesario superar un discurso burocrático de éxitos, que no siempre es real, con base en un análisis académico más serio y riguroso; o de fracasos, sin que se valore realmente que está mal.

2. Las estadísticas de egreso y reprobación, que abundan, no distinguen entre diferentes enfoques de la educación. De esta manera, no es posible caracterizar el tipo de estudiantes que se forman.

3. No es suficiente identificar un modelo educativo con ciertos postulados generales. Se requiere mayor información, estudio y reflexión sobre la complejidad de los procesos de enseñanza y aprendizaje. Por ejemplo, en el CCH se repiten enunciados como: "aprender a aprender", "aprender a hacer" y "aprender a ser", sin embargo, estos se han convertido en slogans sin mucho significado.



4. El enfoque de competencias conlleva una serie de aspectos que requieren clarificación. Así, aunque se habla mucho de competencias se sabe poco, y existe mucha confusión. Por ejemplo, ¿cuál es el significado que debemos dar al concepto de competencias?, ¿cómo diseñar e implementar un currículo por competencias?, ¿cómo evaluarlas?, son cuestiones que aún falta responder; sobre todo a nivel de la práctica (Gimeno Sacristán, 2009).

3. El sentido de formación del enfoque de competencias

Lo que reclaman, quienes usan el constructo “competencias”, es simplemente efectividad de lo que se pretende en la educación. Se trata de una visión utilitarista y funcional que promueve ciertos comportamientos, conocimientos y habilidades de comunicación. Sin embargo, deberíamos preguntarnos si tales metas son las únicas que deben proponerse.

Un reflejo de esta posición lo representan las experiencias de formación de profesores que buscan el dominio de determinadas destrezas y habilidades como condición primordial del sentido de la formación. Pero, ¿a esto se debe reducir la formación de profesores? Es importante llamar la atención acerca de que este enfoque descuida todo aquello que se refiere al contexto sociocultural, y asimila la preparación de docentes al de un trabajador o técnico de una industria (Barnett, 2001).

Por otra parte, la adopción del enfoque de competencias implica introducir cambios en la concepción, diseño, desarrollo y concreción del currículo, así como en las formas de enseñar y aprender. Esto implica crear nuevos ambientes de aprendizaje y nuevos modos de entender la evaluación de esos aprendizajes, así como nuevas formas de concebir la función docente. Sin embargo, todos estos aspectos no son claros para nadie, menos aún para los profesores que tienen que concretar dichas propuestas en el aula.

Además, es importante insistir en que los nuevos ambientes de aprendizaje no deben confundirse sólo con dotar de nuevo equipo a las aulas y laboratorios. Algunos autores han señalado que el aprendizaje es fundamentalmente un subproducto de la participación del individuo en prácticas sociales, de llegar a ser miembro de una comunidad social (Lave & Wenger, 1991). Por ello, una peculiaridad clave de los contextos educativos de aprendizaje es la atención al clima social y a las interacciones emocionales. Sin embargo, esta componente no es considerada explícitamente en este enfoque.

Cuando se comenta sobre el tema de las competencias, también aparecen opiniones de que se trata de una nueva moda. Esto nos llama a ser prudentes y un tanto escépticos. El escepticismo es una actitud muy natural de un pensamiento científico. Sin embargo, tradicionalmente ha sido una actitud reprobable para quien ostenta el poder. Pues, como señala Carl Sagan:

El escepticismo tiene por función ser peligroso. Es un desafío a las instituciones establecidas. Si enseñamos a todo el mundo, incluyendo por ejemplo a los estudiantes de educación secundaria, unos hábitos de pensamiento escépticos, probablemente no limitarán su escepticismo a los ovnis, los anuncios de aspirinas y los profetas canalizados de 35 000 años. Quizás empezaran a hacer preguntas importantes sobre las instituciones económicas, sociales, políticas o religiosas. Quizá desafiarán las opiniones de los que están en el poder (Sagan, 1997, p. 448).

De cualquier manera, no es conveniente pasar de largo o ser meros espectadores de lo que ocurre. Es mejor entender que esta situación abre una oportunidad para reflexionar sobre el sentido de




la educación y aportar ideas que puedan ayudar a avanzar hacia una mejor formación de los jóvenes. El papel de los profesores en esta deliberación es fundamental.

Particularmente, considero que es necesario insistir en el carácter formativo de la educación, sobre todo en los niveles preuniversitarios, y en promover una mayor y mejor comprensión de las matemáticas como un instrumento fundamental de la ciencia. En este sentido, es necesario resaltar la dimensión que tiene la ciencia como una forma de pensar (Sagan, 1997) y los valores que le son propios (Bronowsky, 1968). En esta perspectiva cultural más amplia, se debe considerar igualmente su relación con las humanidades. Más adelante abundaremos sobre esta idea.

Al considerar los lineamientos educativos que los países más desarrollados establecen, es necesario pensar qué aspectos de la noción de competencias, que considera la OCDE, corresponden a las necesidades de sociedades como la mexicana, no sólo con un gran rezago económico sino en una situación escandalosa de inequidad e injusticia. Pero, más aún, con un sistema político corrupto y autoritario que no permite avanzar y sólo profundiza el retraso. No es posible definir competencias si se desconoce el contexto cultural, social y económico.

4. Dimensión sociocultural de la reforma educativa basada en competencias

Llama la atención que para la aplicación del enfoque de competencias en la reforma de los planes de estudio, no se tenga en cuenta el contexto sociocultural en el que se desarrolla el proceso educativo. Lo que ocurre es, que se sigue una orientación general y abstracta a la cual se pretende dar contenido sólo tomando dicha propuesta como un molde y vaciando en ella los contenidos de los programas. Así, se dice que el bachillerato nacional mexicano se ha incorporado al enfoque de las "competencias" en la educación, con el propósito de mejorar la calidad de los procesos y resultados del aprendizaje. En dicha propuesta, las competencias se conciben como una combinación de conocimientos, habilidades y actitudes. ¿Pero, éstas responden realmente a las necesidades de la sociedad mexicana? Es necesario tener reservas a planteamientos generales alejados de la realidad. En su crítica a un racionalismo inconsecuente, Feyerabend decía:

Es vanidad creer que uno tiene soluciones para personas con cuyas vidas no tiene nada en común y cuyos problemas no conoce. Es una locura esperar que este ejercicio de humanismo a distancia vaya a tener efectos que satisfagan a los interesados (Feyerabend, 1982, p. 141).

Más allá de las insuficiencias teóricas de que adolece la noción de “competencias”, es necesario reivindicar el sentido formativo de la labor del profesor, es decir, el sistema escolar debe pretender más que el mero adiestramiento de mano de obra para el mercado laboral, y comprometerse en una tarea de formación de seres humanos conscientes de su realidad y capaces de construir una mejor sociedad. Consideramos que esta labor puede ser emprendida tomando en cuenta y acentuando la componente de las actitudes, lo cual nos conduce a tratar explícitamente el tema de los valores. Y, en nuestra opinión, una opción importante es considerar explícitamente algunos valores que son inherentes a la actividad científica.

Dos consecuencias importantes del desarrollo de la ciencia, las cuales deben ocupar un lugar preponderante en nuestra reflexión, son la globalización y la democracia. Y, ambos temas requieren la consideración de los valores. Por ello, necesitamos comprender mejor nuestro entorno socio-cultural y poder de esta manera orientar a los alumnos en un mundo que les enfrenta a muchos riesgos, pero que también les puede ofrecer muchas oportunidades. Se suele considerar la globalización como un fenómeno casi exclusivamente económico, lo cual, es un error. La globalización es igualmente



política, tecnológica y cultural (Giddens, 2000). Todo ello tiene consecuencia para la forma de vida de las personas.

La educación no sólo debe servir a las empresas, sino a los individuos y a la sociedad en su conjunto. Existe una responsabilidad social que se debe fundamentar en principios éticos, con la premisa de que la educación es un bien público que debe contribuir a la democracia y la justicia social. En este sentido, la universidad debe coadyuvar en la formación de individuos críticos y creativos que contribuyan al desarrollo social de su país y a una adecuada incorporación con el mundo global. Además, es importante que tal incorporación no signifique uniformidad, no es deseable que se elimine la diversidad cultural.

Se requiere un proyecto educativo que esté por encima de las estrictas reglas del mercado y promueva la ética, el humanismo, la ciencia y la cultura. Es necesario reflexionar en que competencias básicas requieren estos ámbitos. Y, no sólo limitarse a las competencias de resolución de problemas cotidianos.

Sí un fin importante de la educación es apoyar el desarrollo de ciudadanos reflexivos, críticos, y autónomos para su propia realización y para construir una mejor sociedad, entonces necesitamos enriquecer el enfoque de las competencias que se encuentra acotado por una visión empresarial. No sólo es necesario mejorar la manera de abordar los contenidos disciplinarios previstos por nuestros programas, sino también construir creativamente estrategias de enseñanza y aprendizaje que nos permitan orientar a los alumnos en el tipo de valores que una sociedad democrática requiere y que son compatibles con los de la ciencia. Asimismo, es importante cultivar el gusto por la creatividad y un sentido de respeto y dignidad por sí mismos. En esta labor es necesario distinguir entre educar e instruir. La labor de educar implica la consideración de valores, la formación de una personalidad y no sólo la capacitación de mano de obra.

Se ha propuesto en Europa considerar una competencia social y ciudadana como una de las claves en la formación (Martínez Rodríguez, 2010, p. 102). Este asunto abre un tema de reflexión que se debe abordar sin precipitación, puesto que necesariamente habrán de discutirse diferentes sentidos que pudieran darse a la noción de ciudadanía. Este problema rebasa el ámbito de la ciencia y por consiguiente no puede ser abordado sólo por una visión científica, es imprescindible la intervención de una pluralidad de voces. Así, incluso, es importante revisar qué tipo de educación científica se está realizando y promoviendo, como señala el poeta Tomás Segovia:

Si abordamos la cuestión de la educación científica desde la perspectiva de la formación de ciudadanos, me parece que hay que poner el acento mucho más en el término educación que en el término científica. Creo en efecto que la formación del ciudadano es algo que necesita a todas luces revisarse en nuestros días, pero no creo que eso tenga que ver directamente con la ciencia, salvo en la medida en que tanto esa formación como la formación científica se relacionan ambas con la educación. Pero es perfectamente concebible una formación científica que no implique para nada la formación del ciudadano, o incluso que más bien vaya en su detrimento. (Segovia, 2010, p.1).

5. Los valores en la educación

El desarrollo de la ciencia y la tecnología y su impacto en la sociedad obliga a una gran atención sobre sus consecuencias. En los escenarios actuales, la responsabilidad ética de los científicos debe ser muy alta. Sin embargo, no sólo depende de ellos cuidar los efectos de la tecnología en la naturaleza y en la sociedad. En una sociedad democrática los propios ciudadanos deben estar interesados en la




aplicación de la ciencia y, adecuadamente informados de los riesgos que conllevan el avance científico y tecnológico, y presionar a los políticos a actuar con responsabilidad ante la sociedad.

Al reflexionar sobre el tema de la educación y los valores, es importante tener en cuenta el hecho de poder distinguir nuestra condición biológica de nuestra condición social. Biológicamente somos una especie más, como otras, que hemos tenido una evolución. Sin embargo, una característica fundamental que nos distingue de otras especies es nuestro desarrollo sociocultural. Nuestra condición humana no es un producto solamente biológico o natural sino que tiene un carácter artificial; es de orden sociocultural. La diferencia de actitud y desempeño que podemos reconocer en personas de diferentes nacionalidades no son debidas a diferencias biológicas sino a los diferentes contextos socioculturales y económicos que tienen. Así, la tarea de construir un mejor entorno no es algo secundario. El progreso del ser humano no es algo que dependa ya solamente de la evolución biológica, sino que reside en la habilidad de formarnos a nosotros mismos. En esta perspectiva la educación juega un papel fundamental.

La construcción de una sociedad democrática y equitativa es una condición importante para un mejor desarrollo humano. Por ello, una posición filosófica orientadora acerca de los valores que se requiere inculcar a los jóvenes en la educación básica y el bachillerato es el llamado pluralismo consensual:

El objetivo es que los estudiantes tomen conciencia de la búsqueda humana de las justificaciones últimas y sean capaces de dialogar con personas que tienen convicciones diferentes sin sentirse amenazados u hostiles, sino trabajando junto con ellas para lograr que la comunidad democrática se desenvuelva moralmente como es debido. (Stephenson, Ling, Burman y Cooper, 20001, p.36)

En este paradigma se reflejan los valores indispensables para sustentar una sociedad secular, democrática y plural.

Como seres humanos que somos no podemos omitir la dimensión afectiva. Nuestros currículos reflejan una noción de cultura, según la cual son importantes únicamente los conocimientos que hemos adquirido sobre objetos, fenómenos y sucesos que acontecen en nuestro exterior pero no aquellos que tienen lugar dentro de cada persona. Ello supone el menosprecio de la cognición en el campo de las emociones y su importancia en el aspecto personal e interpersonal. Es necesario cuestionar el tipo de dicotomía que ha prevalecido en nuestra cultura de separar lo intelectual de lo emotivo (Sastre Vilarrasa y Moreno Marimon, 2007).

Una nueva visión ha cobrado gran fuerza a partir de los últimos años del siglo pasado, gracias a una serie de estudios realizados en el campo de la neuropsicología y de la psicología. Por ejemplo, algunos estudios en el ámbito de la neurología señalan la íntima relación que existe entre la cognición y las emociones. Basado en sus trabajos, Antonio Damasio (2006) desarrolla una teoría, según la cual no solamente cognición y emoción están recíprocamente implicadas en los procesos de pensamiento sino que el cerebro y el cuerpo están también indisociablemente integrados mediante circuitos bioquímicos y neurales que se conectan mutuamente, de tal manera que todo lo que ocurre en el cuerpo tiene sus repercusión en el cerebro y viceversa. Por consiguiente, pensamientos y emociones están interconectados y el contenido de los pensamientos no es ajeno al organismo en su totalidad, puesto que tiene una repercusión corporal, ya que su acción no queda limitada únicamente al cerebro sino que se trasmite a diferentes órganos a través del sistema nervioso. Igualmente, según Damasio (2006), existe una fuerte influencia de los sentimientos sobre el funcionamiento cerebral. Por lo tanto, existe una componente afectiva fundamental en la elaboración de los pensamientos.



En el campo de la psicología, los trabajos de algunos autores han mostrado también que las emociones tienen una fuerte influencia sobre las creencias de las personas (Frijda, Manstead y Med, 2000). Existe una relación entre creencias y emociones. Las emociones y sentimientos sirven de apoyo a las creencias y estas últimas inducen cierto tipo de emociones. Las emociones son el motor para la acción (Coleman, 1995). Debido a la relación entre emociones y creencias, estas últimas son un medio idóneo para impulsar la acción en ciertas direcciones deseables. Este es el papel importante de los valores. Los valores, como señala Hill (1991), están relacionados con creencias y sentimientos a los cuales las personas otorgan especial prioridad para organizar sus vidas.

6. Ciencia y valores humanos

Una tesis fundamental, que adoptamos aquí, de dos grandes divulgadores de la ciencia, J. Bronowsky y C. Sagan, es que la ciencia no se reduce a sus contenidos disciplinarios ni a las habilidades para realizar algo, sino que sobre todo es una manera de pensar. Por ello, consideramos importante conocer la historia de la ciencia y utilizarla para propiciar una mejor comprensión de los valores que caracterizan a la actividad científica. La historia de la ciencia nos muestra que ésta se ha distinguido del dogmatismo por su posición abierta al debate y por la búsqueda permanente del conocimiento.

Contrariamente a una visión absolutista, consideramos que los valores no son innatos ni inmutables sino que están enmarcados en un contexto sociocultural determinado. La historia da cuenta de la evolución de los valores contemporáneos. Algunos valores muy importantes en la actualidad tienen su base en el Renacimiento y en la revolución científica, es decir, las artes y la ciencia promovieron el cambio de los valores predominantes de la Edad Media, y este cambio, consistió en un enriquecimiento, en un avance hacia rasgos que consideramos más humanos. Si ahora hablamos de respeto a las ideas del otro, de tolerancia, de independencia de pensamiento, de la importancia del cambio y de la novedad y originalidad; no es porque estos valores hayan sido siempre compartidos por todos. El mundo de la Edad Media era un mundo servil y dogmático que no conocían la tolerancia ni respetaba la independencia, y precisamente de estas dos derivan racionalmente los valores humanos contemporáneos (Bronowsky, 1968). Así, pues, la ciencia no es sólo un cuerpo de conocimientos supuestamente neutral, sino que incide en la formación de los valores. De la misma manera ocurre con la literatura y el arte en general. Todas estas actividades son actividades creadoras. Tanto el arte como la ciencia han mejorado al ser humano.

El problema de los valores solamente se plantea cuando el ser humano intenta armonizar sus necesidades sociales con sus necesidades individuales. Esta doble componente es la que hace difícil establecer los valores. Diversas filosofías a lo largo de la historia han acentuado uno de estos polos en perjuicio del otro, afectando un adecuado balance del aspecto social e individual; y las consecuencias indeseables se pueden ver.

Hablar de valores implica suponer la existencia de una comunidad en la cual tales valores se expresan y se desarrollan. Así, el dinámico avance de la ciencia, teórica y práctica, se debe a la existencia de una comunidad de científicos, cuyos principales rasgos son la libertad de pensamiento y la búsqueda franca del conocimiento. A estas características se debe su éxito. Por ello, es deseable que estos rasgos prevalezcan y sean cultivados en las comunidades académicas, en las instituciones escolares y en la sociedad en su conjunto. Sin embargo, hay que tener en cuenta que la ciencia es también una tradición particular que debe estar abierta a una discusión y no convertirse en otro dogma (Feyerabend, 1982).

En un mundo en el que tanto el estado como las sociedades dogmáticas están constantemente ocupados en la amenaza y al halago, la comunidad formada por los científicos cultiva otro tipo de




sensibilidad y se ha organizado de modo que evite todo factor de persuasión que no sean los hechos. La historia de la ciencia nos da cuenta de muchos casos que han ostentado esta actitud, uno de los más emblemático, posiblemente, es el de Galileo.

Así, toda sociedad está relacionada con un tipo de valores, los cuales son promovidos de manera explícita o implícita como formas de convivencia entre las personas. Por lo señalado antes, consideramos conveniente promover la libertad de pensamiento y el franco respeto a la dignidad de las personas en lugar de la simulación y la manipulación de las conciencias. Una comunidad científica se debilitaría en sus expectativas si se condujera como una comunidad cortesana. Pues, como afirma Bronowsky:

La sociedad de los científicos debe ser democrática. Únicamente, podrá pervivir y desarrollarse gracias a la constante tensión entre disentimiento y el respeto, entre la independencia con respeto a las opiniones ajenas y la tolerancia hacia ellas. El nudo del problema ético se halla en la fusión de las necesidades privadas y las necesidades públicas (Bronowsky, 1968, p. 105).

En la sociedad existen diferentes prácticas y estas generan conocimientos y actitudes. La educación debería mostrar y permitir a los individuos elegir aquella que les permitiera una mejor vida.

Podemos reconocer, en términos generales, que como herencia de su desarrollo histórico la comunidad de científicos se ha propuesto promover una serie de actitudes, como evitar los prejuicios y la imposición de la autoridad. Desde el siglo XVII, algunos pensadores entendieron la necesidad de una permanente renovación de la ciencia y para ello Bacon (1984) alertaba contra los errores que se siguen por tradición, basados en prejuicios y falsas nociones, los “ídolos” que constituyen obstáculos para el desarrollo del conocimiento. Similarmente, se entendió que contra una actitud dogmática es necesaria la duda metódica; una actitud crítica y racional para la construcción del conocimiento (Descartes, 1984).

Sin embargo, es importante señalar que los valores de la ciencia no derivan de las virtudes de quienes la cultivan, sino que tales valores han nacido de la misma práctica de la ciencia, pues tales actitudes son condiciones imprescindibles para el desarrollo científico (Bronowsky, 1968). En la caracterización de esta práctica hay que evitar caer en la pretensión de absolutizarla y convertirla en un nuevo dogma.

7. La función social de la educación moral

Habíamos comentado antes que el ambiente educativo no se reduce a las condiciones físicas en que se desarrollan los procesos de enseñanza y aprendizaje. Ciertamente, es necesario contar con mobiliario adecuado y cierta infraestructura de la nueva tecnología, pero estas condiciones materiales no son suficientes. La calidad del proceso educativo depende también de otros factores, entre los cuales es importante tomar en cuenta los siguientes:

1. Reconocer que el acto educativo tiene un carácter social, cognitivo y afectivo. 2. Ser conscientes de la ideología que va calando en la sociedad a través de los medios de

comunicación y que promueve un sistema de valores y una visión de la sociedad y del individuo.

3. Ver a la escuela como una institución arraigada en una cultura que requiere ser renovada, acorde con las expectativas de desarrollo de la sociedad. Por ello, es importante relacionar el proceso educativo con el contexto social en que vivimos.



4. Considerar que la forma más importante de aprendizaje para el ser humano, es el desarrollo de formas distintas de interpretar la realidad y de actuar en ella.

Consideramos a la ciencia, más allá de sus contenidos cognitivos, podemos percibir su dimensión histórica, y podemos develar una dimensión esencial para la formación de las personas. Esta dimensión de la enseñanza de la ciencia tradicionalmente ha permanecido oculta, y nos parece que ocurre así fundamentalmente por dos razones: por ignorancia o por temor a los valores que representa. Si estamos en lo correcto en esta apreciación entonces se refuerza la necesidad de caminar en esta dirección. La ignorancia y el temor han sido lastres muy poderosos para la vida y el desarrollo humano y es muy importante seguir luchando contra ellos.

El dogmatismo, el autoritarismo, la superstición y el fanatismo fueron valores predominantes desde la edad media hasta la edad moderna y se han debilitado pero no han sido derrotados. Hubo tiempos en que decenas de miles de mujeres fueron quemadas vivas acusadas de herejía o brujería (Russell, 1973). Cualquier actitud de duda o independencia de pensamiento era objeto de persecución. Sin embargo, como producto del desarrollo científico y de las humanidades hemos llegado poco a poco a valorar lo nuevo y audaz de las creaciones del pensamiento.

El disentimiento no es un fin en sí mismo, sino el signo superficial de un valor más profundo. El disentimiento es el signo de la libertad, del mismo modo que la originalidad es el signo de la independencia de criterio. Estas libertades jamás han destacado en una sociedad dogmática y conservadora (Bronowsky, 1968). Si consideramos que el disentimiento es la actitud nata del científico y la valoramos y la promovemos creativamente, como ha ocurrido en la ciencia, muy probablemente esta actitud puede convertirse en una gran fuerza de transformación y desarrollo de la sociedad.

8. La historia de las matemáticas como un recurso didáctico

De acuerdo con lo dicho antes, una propuesta para incidir en el espíritu de formación que se ha bosquejado, es diseñar experiencias de enseñanza que se lleven a cabo con alumnos, del nivel de secundaria y bachillerato, en las cuales se utilice la historia de la ciencia como un recurso didáctico. En particular, nos referiremos a las matemáticas, sin embargo consideramos que es posible extender tales planteamientos a cualquier otra disciplina.

El sentido fundamental de esta propuesta se basa en la premisa de que la historia de las matemáticas permite un acercamiento a las matemáticas que no se restringe a sus contenidos disciplinarios, sino que hace posible relacionarla con las ciencias y con la cultura en general. Asimismo, incorpora un tratamiento más humano y, contribuye a valorar una manera de pensar. Por ello, somos de la opinión que una estrategia didáctica que retome una perspectiva histórica de las matemáticas no sólo puede propiciar en los alumnos mayor interés por su estudio, sino también coadyuvar a un mejor entendimiento de los conceptos matemáticos.

La consideración de la historia de las matemáticas en clase, debe estar en un nivel didáctico y no como objeto mismo de la enseñanza, esto es como un elemento motivador, que permita a los estudiantes conseguir una mejor comprensión (Maz, 1999). Además, en esta propuesta no se pretende abordar todos los contenidos con este enfoque, sino que, en cada curso, los profesores podrían seleccionar algún concepto o tema del cual consideraran conveniente resaltar aspectos contextuales y culturalmente significativos. Por consiguiente, adoptando esta dimensión como un aspecto transversal de los programas de matemáticas, los alumnos adquirirían una imagen más humana de las matemáticas y concatenada con la cultura.




En este sentido, proponemos diseñar, por ejemplo, experiencias de enseñanza cuyos contenidos reproduzcan, por analogía, procesos históricos que muestren a los alumnos algunos aspectos del desarrollo del pensamiento matemático. Un proceso muy importante para estudiar es el relacionado con la aparición de la geometría deductiva. Abordar este proceso nos permitiría acercar a los alumnos a un rasgo fundamental del pensamiento matemático, es decir, su carácter abstracto y general. En México, la geometría euclidiana se estudia en el segundo semestre del bachillerato, aunque por supuesto los alumnos ven algunos temas desde la secundaria.

El desarrollo histórico del pensamiento matemático que da origen a la geometría deductiva muestra un paralelismo con las dificultades del desarrollo conceptual que se observa en los alumnos para comprender el carácter abstracto y general de las matemáticas. Un avance deseable del pensamiento geométrico de los alumnos, es que puedan superar la limitación de centrar su atención en la representación visual de las propiedades geométricas y pudieran elaborar gradualmente un razonamiento que se basa en el carácter general de las propiedades, es decir, que pudiera comprender el carácter intelectual de la prueba en matemáticas (Balacheff, 1987).

Dicho proceso cognitivo es muy complejo para la comprensión de los alumnos, pero paralelamente al tratamiento de contenidos geométricos, es posible mostrarles que históricamente el pensamiento matemático avanzó en esa dirección. Es posible mostrar a los estudiantes que la matemática de las antiguas culturas de Mesopotamia y Egipto se desarrolló en un contexto histórico determinado y en contacto con la solución de problemas prácticos. Asimismo, pueden darse cuenta que el carácter empírico de esta matemática fue modificado gradualmente por un nuevo enfoque, el que imprimió el pensamiento griego. La matemática helena, en su vínculo con la filosofía, fue acentuando el aspecto más racional y abstracto del conocimiento. En este contexto adquirió sentido, por vez primera, el carácter deductivo de las matemáticas.

No fue el mero intelectualismo lo que produjo la riqueza de la matemática helena; sino una visión más amplia. Las matemáticas no eran un mero instrumento sino portadoras de un sentimiento y una estética que dieron origen a la ciencia, como la entendemos, incluso, hoy. Por ello, la matemática tuvo en este tiempo un carácter eminentemente educativo. Tampoco las matemáticas tenían un fin en sí mismas, eran parte de las aspiraciones de un pueblo y de una civilización, como señala Egmont Colerus:

Detrás de todo ello está, y siempre lo ha estado, el pensamiento de la defensa, el concepto de ascenso de todo un pueblo, el ideal de una preparación perfecta. Y así se resuelve con gran facilidad y armonía la aparente contradicción entre la “ciencia como un fin en sí misma” y la “ciencia como instrumento”: un pequeño grupo de precursores, animados por un sagrado entusiasmo, se olvida de los fines prácticos para los cuales son creados los “instrumentos”, el instrumento alcanza la máxima perfección y belleza en sí y por sí, conforme a principios existentes en lo más profundo de la naturaleza espiritual e intuitiva de sus creadores. En cualquier caso, las armas de aquel pueblo o comunidad se ven enriquecidas. (Colerus, 1972, p. 20)

Acorde con lo anterior, consideramos que es conveniente destacar brevemente, en el aula, dos momentos fundamentales del proceso de desarrollo histórico de la matemática helena. Por una parte, el trabajo de los pitagóricos, y por otra, la filosofía de Platón. Así, la vinculación del pensamiento matemático con los problemas de la filosofía, permite a los alumnos vislumbrar la conexión e incidencia de la matemática con la cultura de una sociedad, en determinado momento histórico. Asimismo, los alumnos pueden darse cuenta que las creencias y valores de una sociedad juegan un papel en el tipo de conocimiento que se construye y en el tipo de problemas a los que se les otorga importancia.



La visión mística de los números que tenían los pitagóricos y el papel central que les otorgaban para el conocimiento del mundo, les llevó a interesarse por el estudio de sus propiedades. Para los pitagóricos los números eran la esencia de la naturaleza pues consideraban que todas las cosas están literalmente compuestas de números, es decir, no distinguían realmente los números de los puntos geométricos, entendidos naturalmente como puntos extensos o esferas minúsculas. No había distinción entre cuerpo físico y cuerpo geométrico (González Urbaneja, 2009). La asociación del número con una figura geométrica permitió representar visualmente las propiedades y relaciones de los números, de esta manera se abrió para el pensamiento matemático la posibilidad de pasar de una generalización empírica a la demostración rigurosa de proposiciones.

Trabajando estas situaciones en clase, los alumnos pueden tener un acercamiento muy natural a la aritmética pitagórica, en la cual empezaran a centrar su atención en las propiedades de los números mediante una representación visual y al mismo tiempo comenzaran a involucrarse en aspectos más abstractos del pensamiento matemático como el reconocimiento de regularidades y patrones, tanto aritméticos como geométricos (Salinas, 2010).

Hemos abordado este tema con alumnos del primer año de bachillerato con resultados interesantes. Sin entrar en muchos detalles, nuestra experiencia se basa en la aplicación de una secuencia didáctica. Como punto de partida se comenta a los estudiantes que la aritmética pitagórica se prestaba por sí misma a una representación geométrica de los números. Debido al papel fundamental de los números en su visión filosófica, los pitagóricos estudiaron las propiedades de los números y realizaron diversas clasificaciones, asimismo acuñaron nombres para los diversos tipos de números. Entre el tipo de números que caracterizaron están los números poligonales. Estos números se van formando como suma de los términos de ciertas sucesiones de números enteros, y de acuerdo con cierta disposición geométrica.

Tomando en cuenta lo anterior, se les presenta a los estudiantes la tabla, que aparece en la figura 1, para observarla y en base a ella responder las siguientes preguntas:

1. Indica los números triangular, cuadrado, pentagonal y hexagonal que siguen a los de la tabla; y dibújalos.

2. ¿Cómo se forman los diferentes números poligonales que se muestran en la tabla?

Figura 1. Representación de los números triangulares, cuadrados, pentagonales y hexagonales. Tomado, de González Urbaneja (2009).




Después de comentar y discutir sus respuestas, en otra sesión, se les pide tomar en cuenta las figuras de los números poligonales y mostrar que:

1. Todo número cuadrado es la suma de dos números triangulares sucesivos. 2. La suma de dos números triangulares iguales es igual a un número poligonal cuyo valor en

puntos es el producto de los puntos en cada lado.

Se puede observar que estas actividades ayudan a focalizar la atención de los alumnos en las propiedades y relaciones entre los números, distanciándolos de su aplicación práctica. Esta es una manera interesante de introducir a los alumnos a la prueba de teoremas relativos a propiedades de los números poligonales. Estas actividades implican procesos más abstractos de representación y de razonamiento, no determinados por un contexto real sino por el uso de instrumentos psicológicos, es decir, esquemas de representación aritmética y geométrica.

Para finalizar la secuencia didáctica, se considera una contribución griega fundamental a la matemática, a saber, el énfasis de Platón de que los objetos matemáticos, números y figuras geométricas son ideas elaboradas por la mente y claramente diferenciadas de los objetos o imágenes físicas. Esta concepción platónica, que distingue las figuras visibles y concretas de las ideas que ellas representan, es la que se encuentra plasmada en los Elementos de Euclides.

Los alumnos se pueden acercar a estas ideas leyendo y comentando sobre el mito de la caverna. Esta narración es realmente maravillosa y muy interesante para los estudiantes. En mi experiencia completo esta reflexión explicando la idea platónica de los objetos matemáticos, consistente en la desmaterialización de la idea pitagórica de los objetos matemáticos. Se puntualiza a los estudiantes que para Platón los conceptos matemáticos no se refieren a las figuras visibles y concretas, como a los pitagóricos, sino a las ideas que ellas representan. Puesto que en la geometría euclidiana, el razonamiento que hacemos se basa en las figuras geométricas definidas por sus propiedades, se les pide realizar la siguiente actividad:

En la figura que sigue A y B son centros de las circunferencias que aparecen. Si se trazan los segmentos AP y BP se forma un triángulo. ¿Qué tipo de triangulo es? ¿Qué argumentos puedes dar para demostrar que tu afirmación es verdadera?

Figura 2

En esta actividad es muy interesante observar si los alumnos trasladan la atención del aspecto empírico de la figura hacia el aspecto formal, es decir, hacia las propiedades y relaciones. En los casos que así ocurre, ya hay un desarrollo conceptual necesario para introducirse en la geometría deductiva. Los alumnos que no logran desprenderse de su anclaje empírico muestran dificultades sobre las cuales nos proporcionan pistas para seguir trabajando en ellas. Así, una estrategia didáctica que retome algún momento histórico y vincule el conocimiento matemático con un contexto cultural más rico e



interesante, permite a los alumnos un acercamiento no usual a las matemáticas, al cual ellos pueden encontrar motivador e interesante.

Por otra parte, es importante señalar que el trabajo con la historia de las matemáticas en el aula permite mostrar, también, su origen multicultural y su naturaleza interdisciplinar. Hay múltiples posibilidades de relacionar la historia de las matemáticas con las humanidades. De esta manera, mediante una integración entre diversas áreas se pueden realizar experiencias de trabajo enriquecedoras académica y actitudinalmente, y contribuir en una formación más integral de los alumnos.

9. La imagen pública de la ciencia

Nuestra generación vive en una época de logros extraordinarios en muy diferentes campos, entre otros, en la ciencia y la tecnología. La matemática ha sido un instrumento fundamental para el desarrollo de la ciencia, sin embargo, su estudio se encuentra regularmente aislado o ajeno al desarrollo científico. Por esto, no es extraño que tanto la matemática en particular como la ciencia en general no se encuentren reflejadas en la cultura de la sociedad. Paradójicamente, estas conquistas del pensamiento humano no forman parte de nuestra tradición intelectual y cultural (Holton, 1998). Incluso, se puede afirmar que existe una valoración negativa muy amplia de la ciencia y de desinterés por las matemáticas.

Existen múltiples indicios del pobre papel de la ciencia en la cultura general en la actualidad. Por ejemplo, Gerald Holton (1998) señala que una encuesta aplicada en los Estados Unidos de Norteamérica indica que casi el 40% de las personas que habían asistido a la universidad no habían llevado un sólo curso en ciencias físicas o biológicas. Dada esta situación, si pensamos ahora en el público en general, podríamos afirmar que la población es ajena a la cultura científica, puesto que en el mejor de los casos el ciudadano común podría tener algún contacto a través de los medios de información, pero, como se sabe, éstos dan al tema una atención insignificante.

En opinión de Holton (1998), es debido al deterioro de la cantidad y calidad de la educación, que el lugar de la ciencia como componente significativa de nuestra cultura está muy debilitado. Esta situación nos reafirma la importancia de revertir esta tendencia. Desde nuestro punto de vista, la reflexión actual sobre el enfoque de las competencias es una oportunidad para recuperar un sentido de la educación que favorezca las actitudes y conocimientos que permitan desarrollar una mejor civilización.

La incomprensión de la ciencia moderna y el desinterés por las humanidades tienen consecuencias indeseables. Por ello, un reto muy importante es incorporar la ciencia en nuestra tradición cultural y vincularla con las humanidades. Este es el desafío al que deben enfrentarse ahora los profesores de matemáticas y de ciencias. Necesitamos una educación que recupere la idea de bien público que enriquece tanto a los individuos como a toda la sociedad y que no se reduzca a un modelo empresarial.

Reconocimiento: Este trabajo ha sido realizado en el marco del proyecto La historia de la ciencia para el desarrollo de competencias, del programa INFOCAB, de la Dirección General de Asuntos del Personal Académico, UNAM.




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Jesús Salinas Herrera. Nació en la ciudad de México. Realizó la licenciatura en Física y Matemáticas, en la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional (IPN). Maestría de Filosofía de las Ciencias Naturales por la Universidad Autónoma Metropolitana, Iztapalapa y Doctorado en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa, en el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados, IPN. Ha sido profesor de Matemáticas en diferentes niveles, bachillerato, licenciatura y maestría. Ha coordinado diferentes programas de formación de profesores en la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM). Actualmente, es Profesor Titular “C” de tiempo completo, del Área de Matemáticas, en la Escuela Nacional Colegio de Ciencia y Humanidades, Plantel Vallejo, UNAM. Le interesa investigar acerca de los procesos de enseñanza y aprendizaje relacionados con la geometría, la probabilidad y estadística, y acerca del papel de la historia y filosofía de la ciencia para la enseñanza de la ciencia.




Las Matemáticas en los anuncios

José María Sorando Muzás (Instituto de Enseñanza Secundaria Elaios de Zaragoza)

Fecha de recepción: 2 de enero de 2011 Fecha de aceptación: 4 de marzo de 2011

Resumen La Publicidad utiliza recursos muy variados, también matemáticos. A través de ejemplos se analizan en este artículo los usos y abusos publicitarios con respecto a las matemáticas, así como qué valores y qué prejuicios negativos difunden. Esos anuncios no sólo describen una percepción social de las matemáticas, sino que a su vez la fomentan. Como profesores, es una situación que nos conviene conocer y gestionar en el aula.

Palabras clave Publicidad, imagen social de las matemáticas.

Abstract Advertising uses a wide variety of resources including mathematics. In this article uses and abuses of advertisements using mathematics are discussed through various examples, as well as the values and anti-values that they spread. These advertisements not only describe a social perception of mathematics but also they promote it. Being a teacher, this situation should be understood in order to manage the students.

Keywords Advertising, social image of mathematics.

1. Introducción

Encontramos anuncios en prensa, radio, televisión e internet; en vallas, escaparates y paradas de autobús; también en los acontecimientos deportivos. La publicidad nos envuelve y nos busca, incitándonos una y otra vez al consumo; y es eficaz, pues lo consigue. Utiliza hábilmente nuestros prejuicios, necesidades, caprichos y anhelos recurriendo a un amplio abanico de recursos comunicativos. Es seductora e innovadora, no en vano sus artífices son llamados “creativos”. El consumidor que sea analfabeto funcional ante alguno de sus muchos lenguajes está indefenso porque los anuncios seducen con imágenes, músicas, asociaciones oníricas, juegos de palabras y códigos de todo tipo, ¡también matemáticos!1

El 18 de agosto de 2008, el tenista Rafael Nadal alcanzó el nº 1 en la clasificación mundial de la A.T.P. Canal Plus, que había comprado los derechos de retransmisión del siguiente torneo, el U.S. Open, en un anuncio en prensa enfatizó la dificultad de lo logrado por Nadal. Y si de transmitir dificultad se trata, ¿qué hay más expresivo, pensaron los publicistas, que los cálculos matemáticos? Así que, tras la figura del deportista con gesto victorioso, aparecía un larguísimo desarrollo de cálculos complicados que terminaban en el número 1. Debajo se leía:

1 Mi agradecimiento a los compañeros que, sabedores de mi interés por el tema, me han proporcionado en los últimos años los ejemplos que encontraban: Ángel M. Díaz Solaz, Manuel Simón Montesa y Daniel Sierra Ruíz.

Las Matemáticas en los anuncios J. M. Sorando Muzás


Llegar al número 1 no ha sido fácil

... aunque para ello incurrieron en dos igualdades erróneas, pero supondrían que nadie se iba a entretener en verificarlas. Confiamos que Nadal mantenga el número 1 sin “arreglos” como esos. Hay varias lecturas, positivas y negativas, en un mismo anuncio: las Matemáticas como paradigma de la dificultad, el esfuerzo recompensado y la indiferencia social hacia la precisión matemática.

Haremos un recorrido por las variadas formas en que los anuncios usan las Matemáticas. ¿Qué interés puede tener para nosotros, profesores de la materia, conocerlas? Esos usos y abusos publicitarios nos muestran la realidad de cómo nuestra sociedad considera las Matemáticas, fomentando valores y antivalores. Es una realidad social donde demasiadas veces impera la trivialidad, pero no por ello parece sensato menospreciarla con suficiencia académica. Está en el mundo que viven nuestros alumnos y les influye. Sólo conociéndola podemos intentar, en la medida de nuestro alcance, aprovecharla o alterarla en pos de nuestros objetivos docentes. Algo que podemos hacer, por ejemplo, comentando en el aula las campañas con elementos matemáticos que en cada momento los alumnos ven en casa o en la calle; mostrando de paso que es posible y necesaria una lectura crítica de esa publicidad que tantas veces recibimos indefensos.

A continuación se citarán bastantes ejemplos. En este artículo no se van a mostrar todos ellos, pero se pueden ver en esta dirección de Internet en el mismo orden en que se citan:

http://catedu.es/matematicas_mundo/PUBLICIDAD/publicidad.htm

2. Usos

Mucho se han valorado las Matemáticas como lenguaje, pero al hacerlo no se pensaba en un lenguaje publicitario. Y sin embargo, figuras y símbolos matemáticos son a veces eficaz vehículo transmisor de ideas para el marketing. Ocurre, por ejemplo, cuando se intenta asimilar la perfección geométrica con la calidad del producto.

BMW realizó un spot para la campaña ¿Te gusta conducir? que se basaba en la simetría, queriendo transmitir mediante composiciones de imágenes simétricas la idea de armonía en la conducción. Enlace:

http://www.youtube.com/watch?v=PK6mADDPcF0

La promoción del Jamón de Teruel nos presentaba en la última Navidad un plato donde las lonchas de jamón formaban una estrella de ocho puntas, que es el logotipo de la denominación de origen y símbolo recurrente del mudéjar aragonés, coincidiendo además en este caso con la simbología navideña: un póker de connotaciones.

Otras veces, encontramos logotipos geométricos de sociedades o productos. En su búsqueda de la síntesis conceptual los publicitarios tienen un filón en la Geometría. Así, por ejemplo había una banda de Moebius en el logo de la hoy fusionada caja de ahorros gallega Caixanova y una doble banda de Moebius en el de los artículos fotográficos Kodak Advantix.




Se añade un punto de sorpresa y paradoja cuando se busca inspiración en la imaginación geométrica de M.C. Escher. Lindt nos presenta la escalera imposible formada por porciones de chocolate y un lema:

Entender de chocolate tiene su secreto (lo encontrarás al final de la escalera)

Audi promocionó el modelo A6 con un video clip donde el coche circula por autopistas y bajo pórticos sacados de las geometrías imposibles escherianas. Enlace:

http://www.youtube.com/watch?v=KZPorSd246k

Hay pocos anuncios que se vertebren sobre el cálculo o la estimación. La última campaña publicitaria de la marca automovilística Peugeot incluía un spot televisivo donde se ve a una pareja a bordo de un Peugeot 308; él al volante y ella de copiloto (roles tradicionales).

Ella: He contado que en este trayecto nos llevamos por delante unos 60 mosquitos; 300 a la semana; 1.200 al mes; 14.400 al año; y así 5 años.

Voz en off: Con las ofertas de Peugeot Fácil vas a tener que empezar a buscar nuevas preocupaciones.



Y sin embargo, parece que una forma lógica de ofrecer las ventajas de un producto debiera ser “hacer números” que nos convenzan. Al menos es lo que un consumidor racional hace antes de tomar una decisión.

Un caso especialmente interesante se da cuando se utilizan conceptos matemáticos cuyo nombre tiene sentido en otros campos. Así ocurre, sobre todo, con la suma para representar la unión de esfuerzos y voluntades. En una campaña de sensibilización con la inmigración, la Xunta de Galicia recurría a la propiedad asociativa de la suma para lanzar el eslogan “Sumamos todos”.

Y si multiplicar es sumar varias veces, en los folletos de Unicef la multiplicación aparece como símbolo de eficacia en la acción solidaria. En su campaña de afiliaciones, se ven una casilla en blanco con una leyenda y un mensaje:

Sí, quiero hacerme socio.

El poder de una x. ¿Multiplicas?

Se juega con un doble significado: la x como marca de una elección y como operador aritmético.

Pero además de los anteriores usos aceptables, también encontramos errores inexplicables cuando se trata de grandes compañías con fuertes inversiones en este ámbito. Una publicidad en prensa de Pikolín decía:

¿Por qué hacemos somieres con fibra de vidrio y carbono que nunca pierden su flexibilidad? Porque tú si la pierdes.

Y bajo ese correcto enunciado, se veían estas figuras:




No se entiende que El Corte Inglés anuncie:

Del 6 al 20 de abril. 8 días de oro. Lo nunca visto en precios.

Ni en precios, ni en Aritmética.

Tampoco le salen las cuentas a Carrefour:

Del 24 de septiembre al 12 de octubre. 30 días de chollos.

El chollo para nuestras nóminas sería que los meses en verdad durasen 18 días.

Al lado de los anteriores gazapos es pecata minuta el de la empresa de trabajo temporal Direcciona cuando anuncia:

La posibilidad de que el hijo del jefe y tú seáis la misma persona es del 0,00000000001%. ¿Necesitas un buen trabajo?

Posibilidad vs probabilidad es una confusión muy habitual.

Los anteriores gazapos, sobre todo los aritméticos, aún pueden verse con un punto de humor. Pero hay otras veces en que los errores vienen revestidos de intención y por ello pueden ser considerados como abusos.

3. Abusos

La publicidad pretende ante todo llamar la atención del público y a veces las Matemáticas son rehenes de ese propósito. Me refiero a los falsos errores, aquellos que se enuncian muy conscientemente, queriendo llamar la atención con infracciones clamorosas de la Aritmética elemental. La cadena hotelera Meliá anunciaba en prensa:

2 x 1 = 90. Disfrute 2 noches, por el precio de 1, desde 90 euros.

Imperial Tobacco ofrecía, también en prensa:

1 = 50 €. Si usted tiene acciones de Altadis tiene una gran oferta.



La empresa Freedom Finance, dedicada a la refinanciación de créditos, se recreaba en la gracia antimatemática:

Las nuevas matemáticas.

716 (hipoteca) + 115 (coche) + 321 (otros préstamos) + 72 (tarjetas) = 617 € (ésta es la única cuota que pagará cada mes)”.

Este hallazgo publicitario parece ser universal. En los anuncios de la empresa de software Oracle en el metro de Tokyo se leía, entre caracteres nipones: 48 < 1.

La osadía puede llegar al infinito, lo cual no es una frase retórica. En un anuncio, cuyo significado se me escapa, la marca automovilística Lexus destacaba sobre la foto del coche promocionado:

1 + 1 = ∞.

El curso pasado, justamente cuando mis alumnos de 1º ESO estudiaban el tema Proporcionalidad y porcentajes, las marquesinas de autobuses y mupis (MUPI significa mueble urbano para la presentación de información) en todo el barrio se llenaron con los anuncios de Burger King en que se leía este tremendo lema:

El pollo, si 100% pollo, dos veces pollo.

Tal “matematicidio” fue rigurosamente analizado en clase por los alumnos. Parece mentira que en una sociedad donde el analfabetismo causa vergüenza, se fomente así el anumerismo.




A una escala algo más leve pertenece otro tipo de abusos: los abusos de lenguaje a propósito del infinito, tomado como símbolo del lujo y la perfección. Para Loewe:

Los deseos son infinitos.

Es éste un uso metafórico de lo matemático aceptable, como cuando BMW nos dice:

La felicidad se mide en kilómetros.

Enlace: http://www.youtube.com/watch?v=I5L6RwxSzaY

Para Givenchy, el infinito está cerca pues dice, en francés (para que sea más glamouroso):

π un peu plus loin que l’ínfini.

En castellano:

π, algo más allá del infinito.

… suspenso en conocimientos de la recta real.

En la promoción turística institucional de la Comunidad Cántabra, se anuncia:

Cantabria infinita.

Lo cual podía entenderse benévolamente como licencia poética, si no fuera porque el lema llevó a su presidente a decir:

Desde hoy, Cantabria es más infinita.

(1 de julio de 2005, en la inauguración oficial del acondicionamiento para visitantes de la Cueva de El Soplao).

Un tercer rango de abusos corresponde a la utilización de un lenguaje pseudoalgebraico en la promoción del producto. Así lo aplica Axe, la principal marca de desodorantes masculinos cuyo uso, según su publicidad, garantiza la seducción sobre el sexo femenino. Véase la "ecuación" impresa en los envases:



Un caso parecido es el del anuncio de la tarjeta Visa Vips donde dicha tarjeta aparece como resultado del siguiente cálculo:

O cuando Canal Plus en su publicidad del fútbol televisado de pago mostraba al entonces seleccionador nacional, Luis Aragonés, junto a esta “ecuación” (obsérvese la extraña aparición del símbolo “&” entre otros símbolos matemáticos):

Sorprende que un disco del cantante italiano Eros Ramazotti se llame e2 y que en la portada aparezca él mismo escribiendo símbolos matemáticos; aunque bien es verdad que se le ve más atento al objetivo de la cámara que a lo que escribe. ¿Qué pinta aquí el número e? No pensemos más en clave matemática. Simplemente se trata de que e es la inicial del nombre del cantante y en el imaginario colectivo algo "al cuadrado" es sinónimo de reafirmación (como en el anuncio de Axe, el exponente sobre la chica). Así que e2 en este caso significa, más o menos, Eros Ramazotti en estado puro.

Del anuncio a toda página del BMW modelo M5, recortamos el motivo central:




Debajo de la igualdad se lee:

Impresiona calcular la fórmula del BMW M5 con 507 CV, motor V10 atmosférico de altas revoluciones y cambio secuencial SMG de 7 velocidades. Probablemente, las matemáticas nunca antes habían llegado a ser tan emocionantes.

Pase la fórmula, acostumbrados como ya estamos a estos "usos creativos" de las Matemáticas en los anuncios. Pero la frasecita última, se las trae...

Como último ejemplo de este uso lingüístico tan libre, la Clínica Quirón de Zaragoza nos dice:

(equipamiento profesionales calidad)2

El máximo exponente en la sanidad privada de Aragón

¿Exponente 2? En tal caso, no parece que el máximo exponente sea alto.

Hemos dejado para el final el cuarto tipo de abusos, que en nuestra opinión es el más grave: la presentación de datos, fórmulas, términos y gráficos con poco o nulo fundamento, cuando no “apañados”, pretendiendo aparentar seriedad y utilizándolos como argumento de autoridad ante el consumidor. Explotan el anumerismo de buena parte de la población y por ello merecen nuestro juicio más severo.

En los escaparates de farmacias hay en la actualidad paneles anunciando en grandes caracteres un tratamiento antiarrugas que:

Reduce las arrugas en un 38%. Resultados obtenidos de estudios clínicos.

El 38%, oiga, ni más ni menos. Por cierto, ¿cómo se calculan las arrugas?: ¿por número, longitud, profundidad, coloración, visibilidad...? ¡Qué poder persuasivo tienen los números!

Otro ejemplo se produce a propósito de la Guerra de las audiencias. Periódicamente se publica el EGM (Estudio General de Medios). La cadena o el diario líder en un tipo de programas, en un segmento horario o en ventas, publica anuncios donde los porcentajes de seguidores son representados mediante gráficos estadísticos sui generis. Una y otra vez, tanto por unos como por otros, esos gráficos sobredimensionan las diferencias que convienen al anunciante. Sabida la pereza numérica de buena parte de la población, se ofrecen los datos en gráficos deformados cuyo impacto visual es lo que prevalece como mensaje. El siguiente gráfico fue publicado en junio de 2008 por el periódico 20 Minutos.

Obsérvese cómo, siendo 20 Minutos un diario gratuito, se ha puesto el mayor énfasis no tanto en destacar ellos mismos sino en perjudicar a sus competidores de la prensa gratuita (destacados en color azul): a Qué! con respecto a El País (casi igualados en números, pero bien alejados en la gráfica); y especialmente a ADN, tanto con respecto a Metro (a quien prácticamente iguala en número pero se le aleja mucho en la gráfica) como con El Mundo (a quien supera en medio millón de ejemplares pero se le iguala en la gráfica).



4. Valores

Lamentablemente son pocos los ejemplos de publicidad que exalten en positivo las características de nuestra ciencia, pero los hay. Suelen mostrar desarrollos matemáticos como símbolo de excelencia, precisión y trabajo bien hecho. Ya vimos anteriormente el anuncio de Canal Plus donde cálculos laboriosos conducían al número 1, al éxito de Rafa Nadal.

Marqués de Riscal promocionó sus vinos con esmerados anuncios a toda página en los suplementos dominicales de la prensa. En ellos se veía una larga expresión con sumatorios, radicales, exponenciales, límites, logaritmos, integrales y funciones trigonométricas. En lugar de argumentos numéricos o algebraicos, aparecían imágenes de viñedos, vendimia y bodegas, concluyendo con un signo igual; al otro lado, una botella y la leyenda:

Marqués de Riscal 2001. ¿Qué lo hizo perfecto?

En la misma línea, la marca automovilística Audi promocionó el modelo A5 comparando su belleza, armonía y equilibrios mecánico y estético con la proporción áurea: del trazado de una espiral áurea se pasaba a establecer un paralelismo con la presencia de dichas cualidades en los legendarios violines Stradivarius.

La sección Tentaciones del diario El País anunciaba con este dibujo, a la vez shakespeariano y matemático, una entrevista con el actor argentino Leonardo Sbaraglia, titulada La perfección del método.




La ONCE mostraba a un estudiante que ayudado de unos prismáticos miraba una pizarra repleta de cálculos con sumatorios. Sobre él, una frase y el lema de campaña:

Llevo más cálculos que Einstein.

La ONCE cumple 65 años ayudando a las personas ciegas a acceder a la Universidad.

En este caso, las Matemáticas, con su complejidad puesta en evidencia, acentúan el mensaje de esfuerzo y tesón del invidente. No se habla en positivo de ellas, pero son elemento significativo para enviar un mensaje positivo en sí.

Una especial muestra de aprecio por las Matemáticas se vio en la campaña de Turismo de Grecia con motivo de los JJ. Olímpicos de Atenas 2004. Se veía un precioso paraje de la costa del Egeo con aguas cristalinas. En la parte superior, esta leyenda:

Matemáticas. Una idea griega.

Soluciona a dónde ir en vacaciones. Ejemplo: 15.030 kilómetros de costa x 17 horas de sol por día = 14 días aquí.

Disculparemos esas cuentas peculiares del final por el impacto de la frase inicial. Grecia se reclama con orgullo cuna de las Matemáticas como ciencia; y no lo hace en ámbitos culturales, sino en anuncios de sol y playa.



5. Prejuicios negativos

Hay consenso sobre la dificultad de las Matemáticas. Y ciertamente, como ya dijera Euclides al faraón Tolomeo, “no hay un camino real para la Geometría” (ni para el resto de ramas matemáticas). Pero si en unos casos, como acabamos de ver, se usa como apoyo para poner en valor la superación a través del esfuerzo, el trabajo riguroso y el éxito merecido, las más de las veces en los anuncios esa dificultad se exhibe como paradigma de complicación, quebraderos de cabeza y miedo al fracaso.

La cosa hasta tiene su gracia en el spot televisivo con el que la cadena Calle 13 anunciaba la sexta temporada de la serie Numb3rs, paradójicamente la que más y mejor ha reivindicado la utilidad social de las Matemáticas. Un grupo de fuerzas especiales del FBI entra por la fuerza en la vivienda de unos delincuentes y rápidamente los encañonan y esposan. Mientras sucede esta escena de acción, se produce este breve diálogo entre el amenazante policía al mando y un amedrentado detenido:

- ¡Venga, al suelo, con las manos en la cabeza! No nos obliguéis a usar un logaritmo.

- ¿Un logaritmo? ¡No, por favor! Eso no será necesario, agente.

- ¡Dadme un motivo, imbéciles, uno solo!… y os llenaré la cabeza de ecuaciones de segundo grado.

Enlace: http://www.youtube.com/watch?v=EzKvLIqR8VY

Pero no siempre hay ese tono humorístico. Lo más habitual es que la insuperable complicación se represente con un fondo de fórmulas que para el público en general tenga visos de verosimilitud, pero que normalmente no resisten un mínimo análisis matemático. Así, en la última campaña de Citroën vemos al fondo un muro de fórmulas y en primer plano dos coches con el eslogan:

Que no te compliquen. Operación Diesel.

Entre las fórmulas “complicadoras” leemos claramente: loga (0 / 16%) = 2000 E.

Si esa es la cuota temible, podemos estar tranquilos, el logaritmo de cero no existe. Sea cual sea el valor de E, nunca será 2000 E.

Todas esas connotaciones negativas con frecuencia apelan a tormentosos recuerdos escolares donde somos los “malos de la película”. El mensaje es recurrente, aunque se haga en clave de humor. Por ejemplo, en la campaña de Disney Chanel para promocionar la programación de Halloween:

Vampiros, brujas, monstruos, profesores de Matemáticas… todo lo que te da miedo, hoy en Disney Chanel.

En los 90, una campaña de Edelvives ¡dirigida a los profesores! Intentaba promocionar su software con este eslogan:

El primer profesor de Matemáticas al que todos los alumnos adorarán.

Este “ogro escolar” vuelve a aparecer en la reciente campaña de SEAT:

El mismo cero en Mates que tantos septiembres te arruinó, vuelve para compensarte. Este septiembre, toda la gama SEAT al 0% TAE.




Quizás uno de los anuncios más duros de cuantos abundan en la terrible dificultad de las Matemáticas y el papel de los profesores sea uno de FAD (Fundación de Ayuda a la Drogadicción) en el que, para animar hacia una postura activa del profesorado en contra de las drogas, se le dice:

Si tienes el poder de hacerles creer que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, imagínate el poder que tienes.

Así que ¿todo es una cuestión de quién manda? Se conocen más de 200 demostraciones del Teorema de Pitágoras; pero, según este anuncio, si los alumnos se lo creen es por el poder que ejerce el profesor. ¡A ver si no es verdad el Teorema! Lo doloroso que subyace es dar por supuesto que los alumnos se creen nuestras enseñanzas por imposición o persuasión (según se ejerza ese poder), pero no por convicción.

Y, claro, ante ese panorama ¡sálvese el que pueda! Hasta las “chuletas” se exhiben con descaro en un anuncio:

También se hace burla de los matemáticos dando a entender que las cosas no son complicadas, sino que las complicamos nosotros, dándole vueltas innecesarias a lo obvio. Nuevamente, a propósito de la financiación de los vehículos. Ahora es la marca Kia:



Un caso digno de análisis, quizás con varias lecturas posibles, es el de este anuncio televisivo de Carrefour:

Primero creamos el 3 x 2. Después, la segunda unidad a mitad de precio. Y ahora, anunciamos en exclusiva el descuento 20-30, una promoción más flexible para ti que convierte tu compra en ahorro. Que compras dos paquetes de detergente, te hacemos un descuento del 20%. Que compras tres o más, te hacemos un descuento del 30%.

Entre matemáticos no se precisan aclaraciones: el descuento se va reduciendo (de la primera a la segunda oferta y de cualquiera de ellas dos a su homóloga en la tercera doble oferta). Mejor será para los clientes que no sigan inventando… Ahora bien, ¿por qué un anuncio se basa en aportar unos datos que van en contra del propósito del anunciante? Sólo se me ocurre pensar que se está muy seguro de que el consumidor se creerá a pies juntillas que los sucesivos cambios le benefician, sin pararse a calcular porcentajes de descuento, ¡qué pereza! Si así fuera, nos toman por tontos o por vagos. Y dado que, como tal dice la sabiduría popular, las grandes empresas “no pierden ni en lejía”, me temo que puedan tener razón, lo cual resulta demoledor. ¿O hay otra interpretación?

Para terminar, una reflexión. Como se ha visto a lo largo de muchos ejemplos, los anuncios no sólo describen una percepción social de las Matemáticas, sino que a su vez la fomentan. Y es en ese punto donde, llegado el caso, podemos actuar como colectivo consciente, mejor si organizado, dentro de la sociedad civil. Ya hubo un precedente con la retirada de un anuncio de la ONCE ante las protestas del profesorado de Matemáticas. Era aquel en que un niño soñaba como algo deseable “que las Matemáticas no existieran”. Pienso que desde las sociedades de profesores de Matemáticas debiéramos hacernos oír con más frecuencia.

Bibliografía

Dávila, M.P. y Losada, M. (1997). Las matemáticas en la publicidad. Cuadernos de Pedagogía, 262, 32-35.

Ibáñez, R. (2010). Las matemáticas de la publicidad. Divulgamat [en línea], diciembre de 2010. Recuperado el 1 de diciembre de 2010, de http://divulgamat.net

Muñoz, J. (2010). Las matemáticas en el lenguaje cotidiano. Números, 75, 89-95. Muñoz, J. (1998). Las matemáticas en los anuncios. Educación y publicidad, Grupo Comunicar,

Huelva. Colección Educación y Medios de Comunicación II, 43-50.

José María Sorando Muzás, Catedrático de Matemáticas en el IES Elaios de Zaragoza. Sociedad Aragonesa “Pedro Sánchez Ciruelo” de Profesores de Matemáticas. Temas de interés: didáctica y divulgación. Algunas publicaciones, entre otras: La ciudad y las matemáticas, cuaderno del Día Escolar de las Matemáticas 2009. Artículos de la sección de cine CineMATEca de la Revista Suma. Web: http://catedu.es/matematicas_mundo. E-mail: [email protected]




Los positivos y negativos como medios de organización de familias de rectas en el plano

Aurora Gallardo Cabello (Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav, I.P.N. México) Eleazar Damián Velázquez (Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav, I.P.N. México)

Fecha de recepción: 15 de septiembre de 2010 Fecha de aceptación: 29 de Abril de 2011

Resumen Presentamos una propuesta Freudenthaliana para la enseñanza de los números negativos en la escuela secundaria. Este artículo recoge la experiencia desarrollada con alumnos extremos: uno de bajo rendimiento y otro de alto rendimiento. El análisis de los procesos de resolución observados en entrevista individual de estos estudiantes, permitieron identificar hechos que muestran la necesidad de basarse en el principio de permanencia geométrico-algebraico para lograr una mejor comprensión de las operaciones con números positivos y negativos.

Palabras clave Plano cartesiano, números negativos, operaciones básicas, familias de rectas.

Abstract The work described in this article was based on a Freudenthalian perspective in order to analyze the teaching of addition and subtraction of positive and negative numbers in students’ transition from arithmetic to algebra. Two extreme subjects were chosen for videotaped individual clinical interviews. Analysis of students´ work showed the need to consider the Geometric-Algebraical Permanence Principle in order to convince the learners of the validity of operations with negative numbers.

Keywords Cartesian plane, negative numbers, basic operations, families of straight lines.

1. Introducción

Compartimos la concepción Freudenthaliana referente al hecho de que el currículo de matemáticas debe enseñar a organizar campos de fenómenos. Más aún, Freudenthal (1983) afirma que la fenomenología didáctica puede empezar por los fenómenos que necesitan ser organizados y desde este punto de partida, enseñar al estudiante a manipular esos medios de organización. Así, los números naturales organizan el fenómeno de la cantidad, advierte el autor. En relación al tema que nos concierne, Freudenthal adopta una perspectiva histórica y plantea: “[…] Los números negativos se originaron a partir de la necesidad algebraica formal de validar la solución general de las ecuaciones, pero no fue sino hasta la algebrización de la geometría (la geometría analítica) que se vuelven vigentes, esto es, vigentes de contenido. […] La algebrización y los sistemas de coordenadas presuponen los números negativos que conflictuaron a Descartes. Los números fueron introducidos como magnitudes y se utilizaron letras para indicarlas, es decir, números positivos. Cuando se usa el método cartesiano no se puede evitar que las letras representen también números negativos. Si las rectas son descritas algebraicamente en su totalidad, si las curvas son descritas en cualquier situación es necesario admitir los valores negativos” p. 432, obra citada.

Los positivos y negativos como medios de organización de familias de rectas en el plano A. Gallardo Cabello y E. Damián Velázquez


Insiste Freudenthal que la didáctica de las matemáticas le ha prestado poca atención a la siguiente situación: “Las operaciones numéricas y las leyes que las rigen, se justifican vía la simplicidad de la descripción algebraica de figuras geométricas, esto es, el álgebra es validada por el hecho de funcionar en geometría. […] este planteamiento resulta muy convincente en la enseñanza del álgebra elemental a fin de que los estudiantes acepten los números negativos. […] la recta numérica no posee una estructura visual lo suficientemente rica, se requiere de la bidimensionalidad del plano cartesiano” (pp. 450, obra citada).

Por lo tanto, para este autor no sólo debe basarse la enseñanza de los números negativos en el principio de permanencia algebraico, sino en el geométrico-algebraico, ya que éste permite que una sola fórmula algebraica represente la totalidad de una curva, independientemente de los cuadrantes que atraviese. Define lo que él considera como principio de permanencia geométrico-algebraico, al incorporar a la geometría y no quedarse sólo en la manipulación algebraica de los números negativos. Ya que los negativos son necesarios para describir completamente el plano cartesiano y las figuras planas con toda su extensión por ecuaciones, “la justificación de las operaciones numéricas y sus leyes se simplifica por la descripción algebraica de figuras y sus relaciones geométricas”, (pp. 432-460 obra citada). Continua este autor, “desde la didáctica visualizo el principio de permanencia algebraico (retomado de Hankel (1867) referente a la extensión del sistema numérico de la matemática formal) más bien como un principio de permanencia geométrico-algebraico. Este principio se ajusta mejor a la perspectiva histórica que muestra a los negativos como indispensables para la permanencia de expresiones, ecuaciones y fórmulas pertenecientes a la geometría analítica” (pp. 435-436, obra citada).

Propone “esquemas didácticos” en que las operaciones con positivos y negativos se pueden integrar en tablas como las siguientes (figura 1), para la suma.

Figura 1. Esquemas para la adición con números positivos y negativos

Al observar la figura anterior podemos ver que las coordenadas en el plano cartesiano están marcadas con números positivos y negativos, esto es, ceros, unos, dos…, negativo uno, negativo dos…etc., si fijamos nuestra atención en los ceros y verificamos la suma de sus coordenadas (x, y) todas ellas nos darán como resultado igual a cero, lo mismo con el uno, el dos, negativo uno, negativo dos etc. Pongamos un ejemplo, localizamos el punto de coordenadas (-1, -3) y vemos que está marcado con el -4, si sumamos las coordenadas x = - 1 e y = -3 el resultado es igual a -4. Entonces, si sumamos las coordenadas de los puntos en el plano cartesiano cuya suma sea igual a negativo 4 obtenemos la recta x + y = -4. Lo mismo pasa con los demás puntos, por lo tanto, se observa que la suma con números positivos y negativos organiza la familia de curvas x + y = a.




Para la sustración de números positivos y negativos observemos la figura 2:

Figura 2. Esquemas para la sustracción con números positivos y negativos

Al igual que en la adición se observan que los puntos marcados con números positivos y negativos son el resultado de restar las coordenadas (x, y) de cada punto, esto es, x - y . Analicemos el siguiente ejemplo: centremos la atención en el punto de coordenadas (3, -1), ahora restemos al valor de la coordenada en “x” el valor de la coordenada en “y” así: 3 - (-1) = 4, realizando esta operación con cada uno de los puntos de coordenadas (x, y) y que den como resultado 4, queda definida la recta x-y=4. Así mismo, pasa con los demás puntos, quedando definida la familia de rectas x - y = a.

Para la multiplicación muestra esquemas como los que siguen (figura 3):

Figura 3. Esquemas para la multiplicación con números positivos y negativos



Para definir la familia de rectas para la multiplicación a través de los números positivos y negativos, Freudenthal (1983, pp. 432-460) hace lo siguiente: el valor de la coordenada en “y”es igual al valor de la coordenada en “x”, multiplicada por cualquier número positivo o negativo, esto es, algunos de los puntos que conforman la recta y = 3x son: (3, 9); (2, 6); (1, 3); (0, 0); (-1, -3); (-2, -6); (-3, -9)…etc., como podemos ver la coordenada en “x” es multiplicada por 3 y se obtiene la coordenada en “y”. De esta forma queda definida la familia de rectas para la multiplicación.

Para la familia de rectas de la división el autor propone dar el trato a las fracciones como cociente de enteros, quedando así definida la familia de rectas para la división. Pongamos por ejemplo:

2−−−−====

xy . En este caso se observa que el valor de la coordenada en “y” es igual a dividir el valor de la

coordenada en “x” por negativo dos, esto es, algunos puntos que conforman esta recta son: (4, -2); (2, -1); (0, 0); (-2, 1); (-4, 2); etc., así queda definida la familia de rectas para la división. Por lo tanto, las operaciones elementales de los números positivos y negativos organizan familias de rectas en el plano.

2. El Estudio Empírico

Nos basamos en el hecho ampliamente conocido, de que las manifestaciones de la negatividad matemática surgen en la historia y en la didáctica mucho antes de la emergencia de los números enteros, Lizcano (1993). Por otra parte, Gallardo (1994; 2002) realizó un estudio histórico-epistemológico con el propósito de analizar la extensión del dominio numérico de los naturales a los enteros en estudiantes ubicados en la transición de la aritmética al álgebra. Identificó cuatro categorías de la negatividad en los textos históricos, así como también, en las tareas aritmético-algebraicas propuestas al alumno de secundaria. Estas son las siguientes.

• Número sustractivo. Donde la noción de número se subordina a la magnitud (en a – b, a es siempre mayor que b donde a y b son números naturales).

• Número signado. Donde el signo más o menos es asociado con la cantidad, sin ser necesario agregarle significado alguno.

• Número relativo. Donde en el dominio discreto surge la idea de cantidades opuestas en relación con una cualidad y en el dominio continuo la idea de simetría.

• Número aislado. Donde se advierten dos niveles, el resultado de una operación o como la solución de un problema o ecuación.

2.1 Objetivos de la investigación

En nuestro estudio empírico nos preguntamos: ¿Cómo interpretan los estudiantes los números negativos y cómo aprenden las operaciones elementales a partir de los números naturales? Bajo el telón de fondo de la propuesta Freudenthaliana pretendemos analizar los siguientes objetivos:

− Identificar las dificultades y habilidades que manifiestan dos estudiantes extremos, uno de bajo rendimiento y otro de alto rendimiento, al representar las adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones, con números positivos y negativos, en el plano cartesiano.

− Analizar los procesos de resolución de estos dos estudiantes extremos, en las operaciones elementales con positivos y negativos que organizan rectas en el plano.




2.2 Metodología

La investigación se realizó en una escuela secundaria pública urbana de México Distrito Federal, con 13 alumnos de 14 a 15 años de edad. En primer lugar se aplicó un cuestionario inicial, luego se desarrolló un programa de enseñanza, después se aplicó un cuestionario final y por último se llevaron a cabo entrevistas a dos alumnos, uno de bajo rendimiento y otro de alto rendimiento, de acuerdo a los resultados obtenidos en las etapas ya mencionadas. Los ejercicios del protocolo que se pidió resolver a los estudiantes en las entrevistas se encuentran enunciados en el apartado 3 de este artículo.

Es importante mencionar que, los cuestionarios inicial y final tienen la misma estructura que el protocolo de las entrevistas, en donde se manejan distintos estratos del lenguaje algebraico como son: a ± = b, (a y b son números negativos y/o positivos), y = ± ax (a es un número negativo o positivo) y expresiones de la forma x ± y = a (x, y, a, son números positivos y/o negativos). Así mismo se diseñó el programa de enseñanza, es decir, primero se plantearon actividades para abordar la adición y sustracción, luego se les enseño a tabular estas operaciones de acuerdo con la propuesta de Freudenthal, lo que él llama la extrapolación del cero, es decir, le da valores a “x” de la siguiente manera: …4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4,… y encontrar los valores de “y”, que cumplan la condición x ± y = a. Enseguida se recurre al plano cartesiano para dibujar los puntos de la representación tabular. Después que han dibujado la recta correspondiente se da una coordenada en “x” o en “y” a través de

expresiones como x ± = a, ± y = a, y se busca la coordenada faltante apoyándose en la recta trazada. Para la multiplicación se introduce el concepto de múltiplos, es decir, una vez que se tabuló y se dibujó la recta de acuerdo con Freudenthal, se explicó que esa recta representa los múltiplos de un número, de la siguiente manera: en la expresión de la forma y = ± ax, “a” es un número constante positivo o negativo, “x” es cualquier número negativo, positivo o cero y los valores de “y” son los múltiplos del número “a”. Por último para la división se utilizaron a las fracciones

como cociente de enteros, por ejemplo en las expresiones como: y = a

x, donde “a” es diferente de

cero y es un número positivo o negativo, “x” es un número positivo o negativo y la “y” representa el cociente de dividir “x” entre un número constante “a” quedando definida la división entre cualquier número positivo o negativo y diferente de cero.

Es importante señalar que, estas ideas de Freudenthal, eran desconocidas tanto para el profesor como para el grupo de estudiantes. Estos jóvenes ya habían tenido experiencia con contenidos previos referente a las operaciones elementales con los números positivos, negativos y con temas relacionados al plano cartesiano, ya que se encontraban cursando el tercer grado de secundaria. Para constatar este hecho se consultó con el profesor del grupo y se comprobaron los contenidos desarrollados a través de algunos cuadernos de los alumnos, observándose que fueron enseñados como lo señala el programa oficial, es decir, sin ningún vínculo entre las operaciones elementales con positivos y negativos y el plano cartesiano. Además se recurrió al Modelo Chino (Gallardo, 1994), basado en el método Fang-Cheng descrito en el texto chino “El libro de los Nueve Capítulos del Arte de las Matemáticas” (250 A.C.). Agrega Gallardo “los modelos concretos de enseñanza no pueden ser desterrados del ámbito aritmético escolar y recurrir solamente a las reglas sintácticas de operatividad de enteros, a pesar de las dificultades intrínsecas del modelaje”. La operatividad empleada en ese modelo es la misma que presentan los matemáticos chinos y consiste en esencia, en la oposición entre positivos y negativos; específicamente el modelo chino se basa en: 1) el conteo de los números positivos extendido a los números negativos, 2) en el proceso de sustracción existen casos en que se requiere de una representación alternativa del minuendo para llevar a cabo la operación de resta, recurriendo entonces a la adición adecuada de ceros según sea el caso.



Los estudiantes extremos que se escogieron para realizar las entrevistas fueron, una alumna de nombre Erika de 13 años de edad, que obtuvo la menor cantidad de aciertos, en los cuestionarios inicial y final y así mismo, manifestó un bajo rendimiento durante la fase de enseñanza. El otro estudiante de nombre Diego y con 13 años de edad, reveló un alto rendimiento en los custionarios, obteniendo el mayor número de aciertos y se destacó su desempeño en la fase de enseñanza. A los dos estudiantes se les aplicó el mismo protocolo de entrevista, las cuales se realizaron por separado, con una duración de 60 minitos para cada una de las entrevistas. Aunque los dos sujetos trabajaron con lápiz y papel, para dar mejor claridad a las imágenes en este artículo, éstas se elaboraron con la computadora, copiando fielmente lo que los estudiantes realizaron.

En este artículo únicamente presentamos el análisis de las entrevistas de los dos estudiantes extremos. “A través de un protocolo se puede dar seguimiento a estrategias de solución que surgen de preguntas específicas y de otras situaciones que emergen durante la entrevista, alienta al informante a describir sus experiencias en detalle y el significado que les atribuyen”, afirman Cohen & Manion, (1980, pp. 80-90, 241-262).

3. Entrevista de Erika

A continuación se muestran algunos de los diálogos de la entrevista de Erika (Damián, 2009), una alumna que presentó bajo rendimiento, en toda la ruta de investigación. Acompaña a los diálogos el análisis del proceso de resolución del ejercicio. El entrevistador se identifica con la letra E y al informante con la letra M.

Ejercicio 1: Representa la recta x + y = 8 en el plano cartesiano

M: “Tengo que ver los números que tiene “x” para que cuando sea sumada a “y” me dé un resultado a 8”.

Construye una tabla de dos columnas.

x y 1 7 2 6 3 5 0 8 -1 -7 -2 -6 -3 -5

Los primeros valores asignados a “x” 1, 2, 3, la conducen a valores correctos de “y”. Cuando la “x” la considera negativa también le asigna valores negativos a “y”. Ella extrapoló los valores de “y” correspondientes a la “x” positiva y solamente les agregó un signo menos. Obtuvo así: (-1, -7), (-2, -6), (-3, -5). Obsérvese que no escribió una tercera columna correspondiente a x + y en la tabla anterior que le hubiera podido advertir de los valores negativos erróneos asignados a la “y”. Las cantidades negativas las nombra como: menos uno, menos dos,… asignándoles la categoría de números signados.

E: “¿Qué vas hacer ahora?” M: “Esta gráfica la voy a representar en el plano cartesiano.




M coloca los puntos (-1, -7), (-2, -6), (-3, -5). Duda y afirma:

M: “Creo que ya me equivoqué”. E: “¿Por qué?” M: “Porque no conté muy bien los números del plano cartesiano”.

M atribuye los errores al conteo, localiza en el plano cartesiano las coordenadas de su tabla como sigue (Figura 4):

Figura 4. Respuesta de Erika en el Ejercicio 1

E: “¿Qué figura tiene que formarse para que represente una suma?”. M: “Una recta, pero a mí no me da una recta”.

En este momento se da cuenta que tiene dos rectas separadas una en el primer cuadrante y otra en el tercero.

E: “Ya localizaste todos los puntos de tu tabla, ¿qué pasó con estos puntos?” (señala los localizados en el terecer cuadrante) ¿por qué no están alineados con estos otros? (señala los localizados en el primer cuadrante)”. M: “Aquí (apunta los del primer cuadrante) son números positivos y aquí (se refiere a los del tercer cuadrante) son números negativos”.

Nótese que en el plano cartesiano les asigna la categoría de relativo a los números positivos y negativos. Utiliza una regla para unir los puntos obtenidos en el primer cuadrante.

E: “¿Hasta dónde llega la recta?” M: “Puedo ver cuantos números me dan 8 y no es un número hasta mil sino un número infinito”.

M logra extender la recta por ambos extremos, esto le permite cruzar otros cuadrantes y no quedarse en el primero.

E: “¿Qué representa esta recta?”. M: “Está es una recta de suma que me da igual a 8”. Se muestra la recta trazada por M (Figura 5):




M ya se había percatado de que los puntos en el tercer cuadrante no estaban alineados con los del primero. Este hecho lo confirma al ver trazada la recta que une los puntos localizados en el primero, sabe que esa recta trazada representa la suma de las parejas de números (x, y), que al sumarse le dan como resultado 8.

E: “Vamos a comprobar estos puntos (señala los que localizó M en el tercer cuadrante), señala el punto (-1, -7), en tu tabla colocaste que “x” vale negativo 1, ¿cuánto debe valer “y”?” M: “A lo mejor no es 7 negativo, sino 7 positivo”.

Este hecho indica que M sabe que el punto (-1, -7) debe estar en el segundo cuadrante que es por donde pasa la recta trazada. Cambia el signo de la coordenada en “y”. E le sugiere que localice el valor de “x” igual a -1 y encuentre el valor correspondiente a “y”, M coloca la regla perpendicularmente sobre el eje de las abscisas en x = -1, observa la intersección de la regla y la recta. Retira la regla y cuenta desde la coordenada señalada con su dedo en “x” hacia arriba y dice:

M: “Nueve”.

En este momento se da un tratamiento fenomenológico entre la operación adición y la recta trazada, es decir la suma x + y está organizando la recta x + y = 8. La recta le está ayudando a corregir los errores cometidos. Se observa una transición del principio de permanencia algebraico al geométrico-algebraico.

E cuestiona a M:

E: “Entonces cuando “x” es igual a negativo uno tú dices que “y” es 9 ¿estás segura que al sumarse esos dos números el resultado es 8?” M: “Aja”. E: “¿Porqué?”

M abandona la gráfica y escribe en su hoja de trabajo -1 + 9= 8 “Porque éste es menos (señala -1) por más (señala + 9) da menos o sea sería nueve menos uno, da ocho”. El razonamiento es erróneo, aunque el resultado es correcto dada la equivalencia sintáctica: -1+ 9 = 9 - 1= 8.




Observaciones al Ejercicio 1:

● La representación tabular fue un obstáculo, ya que M siguió un patrón numérico de arriba para abajo en la tabla, sin relacionar a “x” e “y”, con la suma de ambas, pues omitió la tercera columna x + y = 8. Si “x” es negativa también lo es “y”.

Ejercicio 2: En cada cuadrito en blanco colca un número (positivo, negativo o cero), para que se cumpla la igualdad. Puedes apoyarte en la gráfica anterior que trazaste.

A) + = 8 C) + = 8

B) + = 8 D) + = 8

E: “¿Cuánto va ahí?”, señala el cuadrito en blanco de la operación: 2A. M: “Necesito ver el número que representa “y”, para saber si nos da igual a 8.

M cuenta 12 sobre el eje positivo de las abscisas a partir del origen, toma la regla y la coloca perpendicularmente al eje en este punto, observa la intersección con la recta x + y = 8, retira la regla y dice

M: “Entonces sería menos tres”. E: “Bien. El que sigue” se refiere al ejercicio: 2B. M: “Aquí nos están dando el resultado de “y” que es menos cinco, localizamos aquí está menos cinco”, (señala -5 sobre el eje de las ordenadas y sin ayuda de la regla se desplaza horizontalmente a partir de la coordenada y = -5 y dice: “Aquí me queda, podría ser a trece positivo”. E: “bien, el que sigue” (ejercicio 2C). M: “Aquí me están dando un número en “x” que es menos diez, tengo que buscar, “y” para que el resultado me dé a ocho”. M localiza la coordenada en x = -10 con su dedo, luego cuenta hacia arriba y dice: “Sería diez negativo coma más dieciseis”.

El entrevistador le pide que se auxilie con la regla para que verifique si el punto de coordenadas (-10, 16) pertenece a la recta x + y = 8 que trazó en el plano cartesiano anteriormente. M dice que sí pertenece, ya que si observamos la recta que ella trazó es incorrecta y la coordenada en “x” más cercana a esa recta trazada es 16.

E: “Bien, por último tienes éste” dice el entrevistador refiriendose a 2D. M: “Aquí me están dando un 20 positivo y tengo que buscar el valor de “x”, entonces voy a localizar 20 positivo en la recta para ver cuál de los puntos me da 8”, M cuenta 20 sobre el eje de las abscisas, coloca su dedo y se dezplaza hacia abajo en forma vertical y dice: “Aquí…y aquí me da un resultado de menos diez”.

M ya no hace uso de la regla, no prolongó más la recta trazada y encuentra esta coordenada en y = -10 apoyándose únicamente en su vista, es decir, hace una prolongación de la recta mental y afirma que es ahí donde se da la intersección con la recta x + y = 8.

12 -10

20 -5



Observaciones al Ejercicio 2.

● Aunque comete errores de localización, podemos afirmar el uso fenomenológico que hace entre la recta y la operación adición, ya que advierte que en esta operación intervienen numeros negativos y positivos, denotados como relativos (“trece positivo”). Sin embargo, cuando coloca su respuesta en el cuadrito en blanco los considera como números naturales.

● M está totalmente centrada en lo que ha obtenido en la gráfica y no se cuestiona que tiene dos resultados erróneos en un mismo primer sumando a saber: -10 + 16 = 8 y -10 + 20 = 8.

Ejercicio 3: ¿Existen parejas de números negativos que sumados den como resultado 8? ¿Por qué?

M: Señala con el dedo el semieje negativo de las abscisas y el semieje negativo de las ordenadas, “-x” y “-y”,respectivamente. Menciona: “No, mi gráfica queda encima, al ver mi gráfica, yo me estoy dando cuenta que hay más números positivos (cubre con su mano el primer cuadrante), bueno, hay un número de combinaciones positivo con negativo y me da 8” (se extiende al segundo cuadrante).


● M logra dar una justificación a través de un principio de permanencia geométrico, al observar que la recta trazada cruza otros cuadrantes y no sólo el primero.

● Cuando señala con su dedo los semiejes negativos de las abscisas y ordenadas, su pasado unidimensional de la recta numérica se hace presente y cuando cubre con su mano la región del primer cuadrante y se extiende con la misma al interior del segundo cuadrante, se observa la transición a la riqueza visual de lo bidimensional.

● Observamos una manipulación geométrica espontánea, es decir, la estudiante realizó acciones físicas y verbales, inducidas por la recta y el desplazamiento de sus manos y dedos en el plano.

Ejercicio 4: ¿Cuántos pares de números diferentes crees que existan de modo que al sumarse obtengas como resultado 8?

M: “Un número infinito”. E: ¿Por qué?” M: “Porque nosotros no podemos saber hasta donde llega ese número infinito y pueden salir muchas sumas, qué obtengamos como resultado de 8”. E: “¿Cómo lo puedes comprobar?” M: “Con la recta…porque podemos extenderla por un lado y otro, así no podemos llegar a un número exacto, porque hay un número infinito”.





● Advertimos una transición del principio de permanencia algebraico al geométrico-algebraico cuando observa que la recta trazada la puede prolongar por ambos extremos.

Ejercicio 5: Representa la recta x - y = -10 en el plano cartesiano

M: “Primero vamos a buscar los números de “x” que serían igual, del positivo sería, del 1 al 3 y negativo del 1 al 3”.

Nótese en esta verbalización la presencia de negativos como números aislados; M elabora la tabla de dos columnas “x” e “y”, mostrada a continuación:

x y 1 9 2 10 3 11 0 10 -1 -9 -2 -10 -3 -11

M: “Voy a localizar “y” para que me de un resultado de menos diez, entonces aquí podría ser uno más nueve, a lo mejor me podría dar menos diez, entonces ahora voy a ver en la recta cuál número “y” me puede dar menos diez”. M cuenta nueve sobre el semieje negativo en “y”, hace una breve pausa (está señalando sobre el semieje negativo de las ordenadas y = -9), recorre su dedo hacia abajo un número más (señalando con su dedo y = -10) y dice: “Aquí me podría dar diez” (nótese que ignoró el signo negativo de -10). E: “¿1 - 10, te da diez? M: “No, menos diez”. E: “A ver, ¿porqué no haces la operación aquí? (señala una hoja en blanco). M: (Escribe en la hoja 1 - 10 = 9) “aquí sería uno menos diez…a nueve, entonces lo voy a localizar”.

Se observa la presencia del negativo como sustractivo.

E: “Bien, entonces ya conoces el primer punto”. M: “ (Coloca el 9 en la tabla de dos columnas que ya había elaborado) aquí podría ser 2 coma 10 y aquí 3 coma 11, y aquí sería cero coma 10; y aquí sería menos 9, menos diez y menos 11 (correspondientes a los números en la columna de “x” -1, -2, -3, respectivamente).

La estudiante abandona la operación centrándose en un patrón numérico y sólo cambian los signos de las coordenadas en “y” de positivos a negativos.

E: “Bien, ¿qué vas a hacer?”. M: “Lo voy a graficar en el plano”.

M localiza los puntos correspondientes a la tabla que elaboró, trazando las rectas siguientes (Figura 6):





● M tiene dificultades con la operación x - y = -10, debido a que la representación tabular constituye un obstáculo para ella.

● La estudiante localiza correctamente los puntos erróneos tabulados en el plano cartesiano y las rectas trazadas correspondientes a los valores de la tabla. Representa geometricamente los falsos puntos, vía dos rectas. No hubo un trato fenomenológico entre la expresión x -y = -10 y la recta que debió trazar.

Ejercicio 6: En cada cuadrito en blanco coloca un número (positivo, negativo o cero), para que se cumpla la igualdad. Puedes apoyarte en la gráfica anterior.

A) - = -10 C) - = -10

B) - = -10 D) - = -10

M: “Podría poner cero para que me dé menos diez”, se refiere al ejercicio: 6A. E: “El siguiente” se refiere a 6B. M: “Y aquí me está dando el valor de “y” que es menos cinco y voy a localizar en la gráfica el valor de “x”. Localiza -5 en el semieje negativo “x”señalándolo con el dedo, se detiene y se desliza hacia abajo hasta que su dedo índice se intersecta con la recta trazada en el tercer cuadrante, señalando el punto de coordenadas (-4, -11) una vez ubicada ahí, recorre con el mismo dedo hacia la derecha hasta intersectarse con el semieje negativo “y”, se desplaza hacia arriba contando en voz baja y M dice: “Aquí podría ser once. De acuerdo a la gráfica sería menos once, menos cinco igual a menos diez”. La estudiante coloca en el cuadrito en blanco -11. M: “El valor de “x” (se refiere a la operación 6C), es menos ocho, sería…(cuenta ocho a partir del origen hacia la izquierda desplazándose con el índice sobre el semieje negativo “x” encuentra x= -8,

10 -8

-5 3




de ahí se desplaza hacia abajo contando en voz baja hasta que su dedo se intersecta con la recta del tercer cuadrante en el punto de coordenadas (-8,-15))…aquí sería un valor de quince para que me de menos diez, sería menos quince”. Coloca en el cuadrito en blanco el número -15 y continua diciendo: “Y aquí me están dando un número en “y” positivo (refiriendose a 6D), lo voy a localizar en la recta y lo voy a desplazar aquí, sería once coma tres,…sería menos diez”.

Obsérvese que para resolver el ejercicio 6D, M acude a la gráfica del ejericio 5 y localiza con el índice en el semieje positivo de “x”, x = 3, se desplaza con el mismo dedo hacia arriba contando en voz baja hasta que inersecta con la recta trazada en el primer cuadrante. Se detiene en el punto de coordenadas (3, 11) un punto que ya tenía localizado y marcado desde que tabuló, luego coloca en el cuadrito en blanco el número 11.

E: “¿Encontraste números que se están sumando o restando? M: “Que al restarse te de un número de menos diez”. E: “Entonces ¿qué operaciónes resolviste? M: “Restas”.

M no olvidó que se trataba de la operación sustracción al observar constantemente los ejercicios planteados. Se da la transferencia del plano a las expresiones con los cuadritos en blanco.


● Recurre a la gráfica, donde realiza manipulaciones geométricas de los números negativos. Les asigna dos categorías como sustractivo y signado, realizando acciones físicas y verbales en el plano.

● Pasa de la identificación de los números negativos ubicados sólo en los semiejes “x” e “y” a internarse en las regiones de los cuadrantes.

Ejercicio 7: ¿Existen parejas de números negativos que al restarse se obtiene como resultado -10? ¿Por qué?

M: “En el plano cartesiano me está dando un resultado de menos diez, o sea, sí se puede ver qué números negativos se pueden restar y nos da un resultado de diez”. E: “En tu plano cartesiano se observan dos rectas trazadas, ¿cuál de ellas te indica que existen dos números negativos que al restarse te da un resultado igual a negativo diez?” M: “Esta”, señala la recta que cruza por los cuadrantes primero, tercero y cuarto del plano cartesiano.


● M está conforme con los puntos erróneos localizados en el plano cartesiano y con las dos rectas trazadas en él.

● Se observa una doble centración en el plano, por un lado, le ayuda y se siente confiada al validar sus propias respuestas aunque éstas sean erróneas y por el otro, el plano se vuelve un obstáculo que no le permite relacionar la expresión algebraica con la gráfica trazada.



Ejercicio 8: ¿Cuántos pares de números diferentes crees que existan de modo que al restarse obtengas como resultado -10?

M: “Un número infinito”. E: “¿Por qué?” M: “Porque, o sea, aquí me están demostrando que hay muchos puntos…cómo localizarlos (señala la recta que pasa por los cuadrantes primero, tercero y cuarto), pero no hay un número exacto”.


● La estudiante ignora la recta que trazó en el ejercicio 7 y cruza los cuadrantes primero, segundo y tercero. La respuesta es correcta (debido a que tiene un concepto intuitivo de infinito). Se puede observar que ignoró la sustracción, se basa solamente en la recta que cruza por los cuadrantes primero, tercero y cuarto. Muestra una visión bidimensional del plano construida a partir de la adición (ejercicio1).

● M no logra establecer una descripción geométrico-algebraica entre la recta trazada y la operación que la describe.

Ejercicio 9: Completa la siguiente tabla. Después dibuja en el plano cartesiano los puntos de coordenadas (x,y) correspondientes a esta tabla.

x y = - 4x 3 2 1 0 -1 -2 -3

M: “Tengo que buscar los números de “y” y luego los tengo que localizar en el plano para ver si me da menos cuatro equis”. E: “¿Menos cuatro equis será alguna operación? M: “A lo mejor podría ser una operación”. E: “¿Qué operación?”. M: “ Una resta”. E: “Entre el negativo cuatro y la equis ¿qué operación se está realizando?”. M: “No puedo saber porque no me están dando otro número, o sea, ésta (señala la equis) se toma como una letra más”. E: “El primer valor de la “x” es tres, si ese valor lo sustituyes en tu expresión y = -4x, ¿qué valor obtendrás que corresponderá a la “ye”?” M: “En la “y”. (M coloca en su hoja de trabajo y=-43)…cuarenta y tres”.

M sólo cambió la “x” por el primer número de su tabla: el tres. De esta manera continua llenando su tabla (Figura 7)





Pero cuando “x” toma el valor de -1 dice: “Y aquí sería…como son números negativos y el 4 es número negativo, puedo multiplicar menos por menos da más y me da un resultado de 43”.

Nótese que no cambió el valor de la x = -1, sino que al realizar la multiplicación de los signos señala el menos de -1 y lo multiplica por el menos de la expresión y = -4x que tiene en la parte superior de la tabla y se le quedó fijo mentalmente el número 43, luego siguiendo el patrón de la tabla la completa con los números 42 y 41.

E: “Ya completaste la tabla, ahora ¿qué vas a hacer?” M: “Que los puntos los vea en el plano cartesiano, como me están dando números mayores, lo puedo dividir a la mitad (realiza subdivisiones sobre el semieje positivo de “x”)”.

M contó sobre el semieje positivo de las “x”, de dos en dos, hasta que sumó 42 y colocando su dedo se desplaza hacia abajo hasta -2, señalando con su otro índice en el semieje negativo de las ordenadas, marcando el punto de coordenadas (11, -2), de la misma forma localiza los puntos quinto y séptimo de la tabla que completó, obteniendo la gráfica que se observa a continuación (Figura 8):




E: “Y esa recta ¿qué operación representa?” M: “ Una suma”. E: “¿Segura?” M: Sí, juntamos lo que es 4 y los números, en este caso juntamos 4 y 3 que nos da menos 43”.


● En la expresión y = -4x, M sustituye los valores de “x” recurriendo al sistema de numeración posicional y lo interpreta como una suma, ya que junta los valores que toma “x” con el -4.

● No consigue justificar la operación a través de la descripción algebraica de la recta y sus relaciones geométricas. Para M la “x” es sólo una literal agregada como etiqueta y no puede ver la expresión -4x como una multiplicación.


x y = 4

x

12 8 4 0 -4 -8 -12

M: “Aquí me están diciendo que voy a dividir”. E: “¿Qué vas a dividir?” M: “La “ye” igual a equis entre cuatro, entonces como no sabemos el valor de “x” aquí me están dando x = 12 y es a dos”. E: “¿Por qué dos?” M: “Doce entre cuatro es a dos”. E: “Bien, el que sigue”. M: “Ocho entre cuatro a una y aquí cuatro entre cuatro a cero, aquí me da como resultado a cuatro (se refiere a cero entre cuatro) y aquí es menos cuatro igual a cero (en vez de decir menos cuatro entre cuatro igual a cero), luego menos ocho igual a menos uno (no verbaliza menos ocho entre 4 igual a -1) y doce igual a menos dos”.

Nótese que comete errores al efectuar las divisiones y posteriormente la representación tabular constituye un obstáculo, ya que al seguir una secuencia ordenada completa la tabla sin recurrir a operar, esto lo podemos observar a partir de que la “x” toma el valor de -4. A continuación se muestra la tabla con los valores que M llenó:




x y = 4

x

12 2 8 1 4 0 0 4 -4 0 -8 -1 -12 -2

E: “Bien, ahora, ¿qué vas a hacer?” M: “Voy a localizar en el plano cartesiano”.

A continuación se muestra la gráfica trazada por M:



● M identifica la operación en el segundo miembro de la expresión y = 4

x como una división.

● No logra justificar la operación a través de la descripción algebraica de la recta y sus relaciones geométricas.

● Nuevamente la representación tabular constituye un obstáculo para M.



4. Entrevista de Diego

Se muestran algunos de los diálogos de la entrevista realizada a Diego (Damián, 2009), que presentó un alto desempeño en toda la ruta de investigación, se le hicieron las mismas preguntas que a M. El entrevistador se identifica con la letra E y al informante con la letra D. Sólo se exhiben los diálogos de los ejercicios 5, 6 y 9 que merecen análisis de los procesos realizados por el estudiante. El resto de los ejercicios fueron contestados correctamente por Diego.

Ejercicio 5: Representa la recta x - y = -10 en el plano cartesiano.

D elabora una tabla de tres columnas (Figura 10).

Figura 10. Respuesta de Diego en el Ejercicio 5

Como se puede observar, los resultados que corresponden a la columna y son incorrectos.

E: “Vamos a revisar los primeros valores que escribiste (se refiere a x = 2 e y = -12).

D escribe: 2 - 12.

E: “¿Qué operación vas a resolver?”. D: “La resta”. E: “Este signo (se refiere al signo negativo de -12) ¿de qué es?”. D: Escribe 2 - (-12). E: “Bien y el resultado de esa operación ¿a qué es igual?”. D: “A menos diez” (D hace un uso del negativo como sustractivo).

Se observa que el estudiante aun no está resolviendo la sustracción.

D le pide al entrevistador un plano cartesiano, localiza los puntos de coordenadas (2, -12) y (-5, -5), y dice: “Éste último no va a dar”.

E: “¿Por qué?”. D: “Da igual a cero”.

En este momento el alumno se percata de que tiene errores.

E: “¿Qué pasa si yo te propongo una tabla con los siguientes valores y tú la completas?”

El entrevistador escribe:




x y x-y 3 2 1 0 -1 -2 -3

E: “ ¿Recuerdas en las clases anteriores que teníamos alguna manera de comprobar las operaciones con números positivos y negativos?” D: “El método chino”. E: “ Entonces vamos a comprobarla” se refiere a 2 - (-12) = -10.

D representa al minuendo en el modelo chino con dos fichas blancas. E: “¿Ahora, qué vas a hacer?” D: “Agregarle ceros” (agrega doce ceros representados cada uno con un círculo blanco y otro negro). E: “¿Y ahora?” D: “Voy a quitar doce negativos” (el estudiante cruza con una línea los doce círculos negros).

Nótese la verbalización del estudiante (doce negativos) haciendo un uso del negativo como relativo. A continuación, se muestra como D representó la operación en el módelo chino (Figura 11):


E: “¿Cuál es el resultado?” D: “Catorce positivo” (esta verbalización refuerza al negativo como relativo). E: “¿Y que pasó con el otro resultado?” (se refiere a -10). D: “Estaba mal”. E: “Ahora trata de resolver y completar los valores de la tabla”.

D representa el primer valor de la tabla x = 3 en el modelo chino con tres círculos en blanco, luego agrega diez ceros y posteriormente tacha con una línea 13 círculos blancos.

E: “¿El resultado es?”. D: “Menos diez” (verbalización del negativo como sustractivo).

D coloca 13 en la columna de “y”. A partir de este momento el estudiante abandona el modelo chino y completa la tabla propuesta por E correctamente (Figura 12).




E: “¿Cómo puedes comprobar que los resultados de la tabla son corectos?”. D: “Con el plano”.

Mostramos la gráfica realizada por D en la Figura 13.



● La utilización del modelo chino, ayudó a D a resolver las sustracciones con positivos y negativos.

● Valida sus resultados a través de la recta, vinculando ésta con la operación de sustracción.

Ejercicio 6: En cada cuadrito en blanco coloca un número (positivo, negativo o cero), para que se cumpla la igualdad. Puedes apoyarte en la gráfica anterior.

A) - = -10 C) - = -10

B) - = -10 D) - = -10

D contesta el resultado que debe ir en el cuadrito en blanco en la operación 6A, diciendo:

D: “Veinte”. E : “¿Seguro, cómo sabes qué estás en lo correcto?” y responde D: “Localizando los puntos en el plano”.

10

-5

-8

3




Nótese la necesidad que se ha creado para validar los puntos. Se está dando un tratamiento fenomenológico entre la operación y la recta trazada, ya que la operación resuelta ha funcionado como medio de organización para la recta x -y = -10.

D toma el plano cartesiano y partiendo del origen cuenta en voz alta sobre el semieje positivo de las “x” hasta diez, señalando cada dezplazamiento con su bolígrafo, una vez ubicado en x = 10 se mueve sin despegar el bolígrafo hacia arriba contando en voz alta hasta 20 y marca el punto de coordenadas (10, 20), luego con la regla alinea correctamente los puntos que ya tenía trazados y prolonga la recta hasta el punto antes mencionado. D sigue el mismo proceso para encontrar los números que faltan en los cuadritos vacíos.


● D es competente para extender la recta por otros cuadrantes del plano cartesiano y no quedarse sólo en el primero.

● Se observa la transición del principio de permanencia algebraico al geométrico-algebraico, cuando se incorpora la geometría para validar y comprobar los resultados de la operación x - y = -10.


x y = - 4x 3 2 1 0 -1 -2 -3

E: “¿Qué operación es?”. Señala la expresión y = -4x. D: “Resta”(el estudiante ve a -4x como x - 4). E: “¿Qué operación es? (el entrevistador vuelve a señalar con el dedo la expresión y = -4x). D: “Una suma”(D visualiza la expresión -4x como -4 + x). E: “Veamos… si tú tienes la expresión (el entrevistador escribe2( ) = 6) ¿qué número debe ir en el paréntesis para que el resultado sea igual a seis?”. D: “Cuatro”. E: “Si tienes un número y enseguida un paréntesis, y entre ellos no hay nada, representa una operación, ¿cúal es esa operación?. D: “Dos por tres igual a seis”. E: “Bien, entonces qué operación es y = -4x”. D: “Una multiplicación”. E: “¿Una multiplicación de qué?. D: “De números”. E: “¿Qué números?”. D: “De menos cuatro y equis”.



El estudiante D es capaz de visualizar a la literal “x” como un número.

E: “La equis ¿cuánto vale? D: “Tres”(D está observando la tabla de dos columnas y por ello dice que es tres refiriendóse al primer valor). E: “Entonces cuánto vale “ye””. D: “Menos doce”.

El estudiante anotó y = -4 ( ) y escribió -12 en la tabla en la columna correspondiente a la expresión y = -4x. D completa la tabla como se ve a continuación (Figura 15)


Después D dibuja los puntos obtenidos en la tabla anterior (Figura 15).


E: “¿Qué operación te representa la recta trazada? D: “Una multiplicación”. Durante la fase de enseñanza se manejó la operación multiplicación bajo el concepto de múltiplos de un número. Por tal motivo, el entrevistador pretende que D concluya que encontró una recta que representa los múltiplos de -4. E: “Entonces, todos los valores que toma “x” están multiplicados por ¿cuánto? D: “Por menos cuatro” (presencia del negativo como sustractivo).




E: “¿Entonces todos esos resultados, que son del -4”. D: “Multiplicadores”. E: “Si te digo que x = 5 ¿cuánto vale “y”? D: “menos 20”. E: “Bien, anótalo en la tabla”. D anota en la columna de “x” 5 y en la columna de y = -4x escribe -20. E: “¿Puedes comprobar que el resultado es correcto?”. D En silencio toma la regla, la coloca sobre la recta trazada y la prolonga hasta el punto (5, -20). E: “¿Pertenece a la recta?” D: “Sí”. E: “¿Por qué el resultado de multiplicar -4(5) no puede ser positivo 20?” D: “Porque sería para arriba”. E: “¿Dónde quedaría?” D: “Por aquí”(señala el primer cuadrante). E: “¿Y pertenece a la recta?”. D: “No” E: “Entonces porqué un número negativo por un negativo te da como resultado un número positivo”. D: “Por…la ley de los signos”. E: “¿Podríamos verificar esas leyes de los signos en el plano cartesiano? Si yo digo que éste no fuera -12, sino positivo 12” (se refiere al primer punto de la tabla de coordenadas (3, -12)). D: Localiza el punto en el plano y contesta “No está en la recta”. E: “Entonces ¿qué puedes afirmar en cuanto a la ley de los signos para este caso?” D: “Que menos por más da menos”.

Esta afirmación de D justifica la ley de los signos (-)(+) = - de manera gráfica, ya que si no fuera así, D dice “que no estaría en la recta”. Podemos afirmar que la operación y = -4x y la recta encontrada le han brindado a D una fuente de significados para validar las leyes de los signos para la multiplicación.


● D presenta dificultades para descubrir la operación involucrada en la expresión y = -4x. Primero la visualiza como una resta: x - 4, después como una suma: 4 + x. El entrevistador le presenta la operación 2( ) = 6 y D sigue pensando que es suma visualizándola como 2 + 4 = 6. Finalmente D advierte que es una multiplicación.

● Logra pasar del principio de permanencia algebraico al geométrico-algebraico, cuando verifica que los valores asignados a “x” y multiplicados por -4 son los resultados correspondientes a “y” situados sobre la recta y = -4x.

5. Conclusiones

A partir de los resultados del cuestionario inicial, se pudo comprobar que la mayoría de los estudiantes sólo recurren al principio de permanencia algebraico cuando resuelven operaciones básicas con positivos y negativos, ya que sólo hacen una manipulación algebraica y no logran incorporar a la geometría para manejar e interpretar dichas operaciones (Damián, 2009, p.p. 78-79). Después de haber aplicado la propuesta de enseñanza al grupo escolar elegido, se manifiesta en concordancia con Freudenthal (ver página 2 de este artículo) el principio de permanencia geométrico-algebraico.



En esta investigación hemos seguido el camino de Freudenthal para introducir la enseñanza de las operaciones elementales de los números positivos y negativos, organizando familias de rectas en el plano. Esta ruta poco explorada o quizás nunca, utilizada con sujetos que se encuentran en la transición de la aritmética al álgebra, ha revelado la presencia de diferentes y contrastantes procesos de resolución a través de los diálogos de entrevistas video grabadas.

A continuación se muestran los hechos más reveladores del Estudio para los casos de los dos estudiantes extremos. Estos hechos pueden contribuir a una mayor comprensión de las operaciones elementales con números positivos y negativos a nivel de secundaria.

En el caso de Erika (estudiante de bajo rendimiento) la representación tabular constituye un obstáculo impidiéndole realizar operaciones con positivos y negativos ya que, recurre al seguimiento de patrones numéricos de arriba para abajo en la tabla. Se observó una doble centración del plano cartesiano. Por un lado, valida sus propias respuestas, aunque sean erróneas, y por el otro, el plano cartesiano se vuelve un obstáculo al no permitirle relacionar las expresiones algebraicas de las operaciones elementales y las familias de rectas trazadas en el plano.

Erika manifiesta dificultades operativas que la conducen a asociar dos rectas a las representaciones geométricas de las expresiones algebraicas. No tiene consolidada la noción de variable. Utiliza dos categorías del número negativo, como signado al colocarlo en las representaciones tabulares y como relativo cuando se centra en las rectas trazadas en el plano cartesiano. Al trabajar en papel y lápiz, usa erróneamente la ley de los signos del dominio multiplicativo en situaciones aditivas, que la regresan al uso de los números naturales. A pesar del camino intrincado que recorre para resolver las tareas propuestas, resulta muy notable su avance hacía el reconocimiento del principio de permanencia geométrico-algebraico manifestado en los siguientes hechos entresacados de los diálogos que sostiene con el entrevistador: Surge un tratamiento fenomenológico entre las rectas trazadas y las operaciones elementales cuando concreta la idea de que en ellas intervienen números positivos y negativos. Así mismo, se advierte una transición del principio de permanencia algebraico al geométrico-algebraico cuando el concepto intuitivo de infinito que construye desde la operación adición, le permite extender por ambos lados las rectas trazadas en el plano, cruzando otros cuadrantes y no quedarse sólo en el primero. Realiza manipulaciones algebraicas con los positivos y negativos, conduciéndola en algunos casos a respuestas erróneas y en otros, sus resultados son correctos. De la misma manera observamos una manipulación geométrica, es decir, realizó acciones físicas y verbales, describiendo desplazamientos con sus manos y dedos sobre el plano cartesiano en forma espontánea. De hecho, ella inició el proceso de resolución señalando únicamente con su dedo los semiejes de las abscisas y ordenadas, haciéndose presente su pasado unidimensional de la recta numérica y al cubrir con su mano la región interior de los cuadrantes, se observa la transición a lo bidimensional. Finaliza identificando las operaciones elementales entre positivos y negativos así como estableciendo un puente aunque endeble entre los ámbitos geométrico y algebraico.

El caso de Diego (estudiante de alto desempeño) reveló que al representar la suma x + y = 8 en el plano cartesiano, logra la extrapolación del cero sin ninguna dificultad. Se observa el paso del principio algebraico al geométrico-algebraico cuando relaciona la expresión x + y = 8 con la recta trazada. También logra dar un tratamiento fenomenológico entre las expresiones planteadas en los ejercicios: 2A, 2B, 2C y 2D, donde se asigna un valor numérico a uno de los cuadritos y la recta encontrada en el plano cartesiano. Hace uso de los negativos como signados y relativos al recorrer correctamente con su bolígrafo en el plano cartesiano las ordenadas y abscisas respectivamente. Se observa la presencia del número negativo como sustractivo al restar las cantidades de las expresiones de los ejercicios: 2A, 2B, 2C y 2D, ignorando el signo (+) de la operación de adición. Se advierte claramente el paso del principio de permanencia algebraico al geométrico-algebraico.




Diego es capaz de justificar por qué dos números negativos al sumarse nunca van a dar como resultado un número positivo. La operación adición organiza la recta x + y = 8 suministrándole información para justificar que “la recta tiene un número infinito de puntos, y por lo tanto existe un número infinito de parejas que al sumarse dan 8 como resultado”. Realiza la prolongación de la recta por ambos extremos, cruzando otros cuadrantes y no quedándose sólo en el primero. La utilización del modelo chino lo ayudó a resolver las sustracciones, transitando de los números sustractivos a los relativos. Finalmente, validó espontáneamente sus resultados a través de la recta que trazó, justificando la operación de sustracción vía la descripción algebraica y la representación geométrica de la misma, identificando correctamente los cuadrantes que debía cruzar la recta. Presenta dificultades para descubrir qué operación representa la expresión y = -4x. Una vez que Diego advierte que se trata de una multiplicación resuelve correctamente las operaciones con positivos y negativos. Pasa del principio de permanencia algebraico al geométrico-algebraico cuando verifica que los valores asignados a “x” y multiplicados por -4 son los resultados correspondientes a “y”, situados sobre la recta y = -4x. En el caso de la división no presentó ninguna dificultad para llegar al principio de

permanencia geométrico-algebraico. Las representaciones de las rectas y = – 4x, y = 4

x, le permitieron

a Diego, justificar las leyes de los signos de manera geométrica, ya que si no se cumplieran dichas leyes, los puntos no pertenecerían a las rectas encontradas. Logra el principio de permanencia geométrico-algebraico al ser Diego capaz de conjugar los dominios aditivo y multiplicativo, que aparecen desconectados en la mayoría de los modelos de enseñanza, exhibidos en el currículo escolar y la literatura de investigación al respecto.

Bibliografía

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Aurora Gallardo Cabello, nació en México D.F. Doctora en Ciencias, especialidad en Matemática Educativa. Investigadora titular del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del I.P.N. Publicaciones en Recherches en Didáctiques des Mathématiques, Revista Educación Matemática, Proceding of the Conference of the International Group of Psychology of Mathematics Education (PME) Educational Studies in Mathematics, Procedings of the Annual Meeting, North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME-NA).

Eleazar Damián Velázquez, nació en México D.F. Es Licenciado en Educación Media con especialidad en Matemáticas por la ENSM y Maestro en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa por el CINVESTAV-IPN. Actualmente se desempeña como Profesor de Matemáticas en una Escuela Secundaria en México D.F dependiente de la SEP.




Materiales didácticos concretos en Geometría en primer año de Secundaria

Silvia Villarroel (Escuelas de Enseñanza Media N° 227, N° 498 y N° 353, Argentina) Natalia Sgreccia (Universidad Nacional de Rosario y Consejo Nacional de Investigaciones

Científicas y Técnicas, Argentina)

Fecha de recepción: 21 de febrero de 2011 Fecha de aceptación: 3 de septiembre de 2011

Resumen Este trabajo se propone identificar y caracterizar los materiales didácticos concretos que pueden utilizarse en la enseñanza de los contenidos geométricos en primer año de la Educación Secundaria. Además, interesa reconocer las habilidades geométricas que tales materiales permiten desarrollar al ser aplicados. La investigación se fundamenta teóricamente en las ideas que sustenta la Educación Matemática Realista. Mediante un enfoque cualitativo de alcance exploratorio-descriptivo, se distinguen siete grandes grupos de materiales: modelos fijos 2D y 3D, rompecabezas geométricos, tangram, geoplano, transformaciones dinámicas, origami o papiroflexia, objetos del entorno real. Los mismos, dependiendo de la intencionalidad didáctica, favorecen el desarrollo de variadas habilidades geométricas. Sobre esto, se presentan ejemplos de actividades.

Palabras clave Materiales didácticos concretos – Habilidades geométricas – Geometría – Educación Secundaria – Educación Matemática Realista.

Abstract This paper intends to identify and characterize didactical concrete materials that can be used in the teaching of geometrical content in first year of Secondary Education. In addition, to recognize the geometrical skills that such materials can develop to be applied. Research is theoretically based on the ideas of the Realistic Mathematics Education. Through a qualitative approach of an exploratory-descriptive scope, seven large groups of materials are distinguished: 2D and 3D fixed models, geometrical puzzles, tangram, geoboard, dynamical transformations, origami, objects of the real environment. These ones, depending on the didactical intention, favor the development of varied geometrical skills. About this, some examples of tasks are presented.

Keywords Didactical concrete materials – Geometrical skills – Geometry – Secondary Education – Realistic Mathematics Education.

1. Planteamiento del problema

De todas las ramas de la Matemática, la Geometría es una de las más intuitivas, concretas y ligadas a la realidad que conocemos. Por ello, ofrece numerosas posibilidades para experimentar, mediante materiales adecuados, sus métodos, conceptos, propiedades y problemas. En la actualidad se conoce que existen muchos materiales que pueden emplearse en el trabajo de aula. Algunos de ellos han sido diseñados específicamente para estudiar Geometría y otros pueden ser adaptados para utilizarse en su enseñanza. Sin embargo, son pocos los docentes que están al tanto de ello o que se animan a aplicarlos en sus clases. En muchas ocasiones, esto se debe al desconocimiento tanto del manejo de este tipo de herramientas como de las oportunidades que brinda su utilización. Estas

Materiales didácticos concretos en Geometría en primer año de Secundaria S. Villarroel y N. Sgreccia


oportunidades están asociadas al enorme potencial que tienen los materiales didácticos concretos en el desarrollo de habilidades geométricas. Por lo tanto, este trabajo tiene como propósito hacer un recorrido general sobre la oferta de materiales existentes en el mercado y sobre aquellos que, sin ser comercializados, pueden realizar importantes aportes cuando se los utiliza en las clases de Geometría de la Educación Secundaria. Además, este trabajo intenta identificar las habilidades geométricas que desarrolla la utilización de cada uno de ellos. De este modo es posible reconocer el potencial didáctico de los mismos para así propiciar una difusión fundamentada de ellos.

En este marco de ideas, surgen los siguientes interrogantes: ¿Cuáles son los materiales didácticos concretos que se pueden utilizar para la enseñanza de los contenidos geométricos en 1° Año de la Educación Secundaria (alumnos de 13 años de edad)? ¿Qué habilidades geométricas permite desarrollar la utilización de estos materiales?

2. Marco teórico

Este trabajo se enmarca dentro de la corriente didáctica de la escuela de Hans Freudenthal (1905-1990), desarrollada en Holanda desde fines de los años sesenta y conocida como Educación Matemática Realista (EMR). Esta corriente le asocia suma importancia al uso de situaciones realistas, entendidas como razonables, realizables o imaginables, en forma concreta. Concibe a la Matemática escolar como un conjunto de actividades progresivas y reflexivas de simbolización, modelización, esquematización y algebrización, guiadas por un docente capaz de anticipar, organizar didácticamente y facilitar estas trayectorias de aprendizaje. Con el objeto de preservar el sentido de la actividad matemática, se insiste en que desde la enseñanza se mantenga accesible el camino de retorno a las situaciones y contextos que sirvieron de fuente de inspiración para dicha actividad. De esta manera, el foco de atención en la Educación Matemática no es la Matemática como un sistema cerrado, sino la actividad, el proceso de matematización.

La EMR refleja un determinado punto de vista sobre la Matemática como asignatura, sobre cómo la aprenden los estudiantes y sobre cómo deberían enseñarla los docentes. Es posible caracterizar esta perspectiva en términos de seis principios donde cada uno refleja una parte de la identidad de la EMR (Van Den Heuvel-Panhuizen, 2008):

Principio de actividad. Los alumnos aprenden Matemática haciendo y son tratados como participantes activos en el proceso educativo, donde desarrollan toda clase de herramientas y discernimientos matemáticos por sí mismos.

Principio de realidad. Resulta fundamental el uso de contextos y situaciones realistas, en el sentido de realizables o imaginables, no sólo como dominio de aplicación, sino también y sobre todo como punto de partida para la matematización.

Principio de niveles. Al aprender Matemática los estudiantes pasan por diversos niveles de comprensión: capacidad para inventar soluciones informales relacionadas con un contexto (nivel situacional), creación de diversos niveles de atajos y esquematizaciones (nivel referencial), desarrollo mediante la exploración, reflexión y generalización de las esquematizaciones, superando la referencia al contexto (nivel general), adquisición de una comprensión de los principios subyacentes y el discernimiento de relaciones más amplias (nivel formal). La génesis y el desarrollo de modelos matemáticos a partir de la organización de situaciones realistas cumplen la función de puentes entre los distintos niveles (de informales a formales) de matematización.




Principio de reinvención guiada. Se trata de un proceso de aprendizaje por medio del cual el conocimiento matemático formal en sí mismo puede ser reconstruido. La Educación Matemática, mediante los profesores, debe dar a los estudiantes una oportunidad de re-inventar la Matemática.

Principio de interrelación. Resolver problemas de contexto rico suele involucrar la aplicación de una amplia variedad de herramientas matemáticas. La fuerte interrelación de los distintos ejes y unidades curriculares da una mayor coherencia a la enseñanza desde la EMR y posibilita distintos modos de matematizar las situaciones.

Principio de interacción. Se considera al aprendizaje de la Matemática como una actividad social, donde los estudiantes dan a conocer, unos a otros, sus estrategias e inventos. Al escuchar lo que otros averiguan y comentar estos hallazgos, los estudiantes nutren sus ideas y mejoran sus estrategias. La interacción lleva a la reflexión de los alumnos, favoreciendo así una comprensión más profunda.

En relación con el objeto de estudio de este trabajo, Freudenthal (1973, citado por Villarroya, 1994), citando a J. J. Sylvester (s.f.), decía:

La Geometría sólo puede tener sentido si explota su relación con el espacio vivenciado. Si el educador elude este deber, desperdicia una ocasión irrecuperable. La Geometría es una de las mejores oportunidades que existen para aprender a matematizar la realidad. Es una ocasión única para hacer descubrimientos. Los descubrimientos realizados por uno mismo, con las propias manos y con los propios ojos, son más convincentes y sorprendentes. Hasta que de alguna forma se puede prescindir de ellas, las figuras espaciales son una guía indispensable para la investigación y el descubrimiento (p. 95).

En este estudio se adhiere a esta postura en cuanto a que la manipulación dinámica de objetos concretos permite hacer descubrimientos geométricos propios y construir mentalmente los objetos matemáticos correspondientes, poniendo en juego en este proceso diversas habilidades geométricas.

De acuerdo a lo expresado en el Diseño Curricular Jurisdiccional (DCJ) de la provincia de Santa Fe en relación al estudio y enseñanza de la Geometría, se recomienda su renovación y revalorización en los distintos niveles educativos (Ministerio de Educación de la provincia de Santa Fe, 1999). En el 1° Año de la Educación Secundaria se requiere desarrollar las ideas de formas geométricas y favorecer al máximo la intuición espacial, apuntando hacia una imaginación de formas espaciales originales que trascienda la mera identificación de figuras y cuerpos regulares.

Lo anterior se pretende lograr a través del reconocimiento, la producción, el análisis y la construcción de figuras y cuerpos geométricos, argumentando en base a propiedades, en situaciones problemáticas que requieran: determinar puntos que cumplan condiciones referidas a distancias y construir circunferencias, círculos, mediatrices y bisectrices como lugares geométricos; explorar diferentes construcciones de triángulos y argumentar sobre condiciones necesarias y suficientes para su congruencia; construir polígonos utilizando regla no graduada y compás, a partir de diferentes informaciones, y justificar los procedimientos utilizados en base a datos o propiedades de las figuras; formular conjeturas sobre las relaciones entre distintos tipos de ángulos a partir de propiedades del paralelogramo y producir argumentos que permitan validarlas (opuestos por el vértice, adyacentes y los determinados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal); analizar afirmaciones sobre propiedades de las figuras y argumentar su validez, reconociendo los límites de las pruebas empíricas.

A fin de organizar el tratamiento de los contenidos conceptuales citados en el documento de referencia mediante el uso de materiales didácticos concretos, se consideran los siguientes: Posiciones entre rectas y planos; Sistemas de referencias para la ubicación de puntos en el plano; Cuerpos



poliedros; Cuerpos redondos; Ángulos; Lugares geométricos -Circunferencia y círculo, Mediatriz y bisectriz, Alturas y medianas-; Polígonos; Transformaciones; Teorema de Thales; Semejanza.

A la enseñanza de la Geometría se puede acceder por dos vertientes: lógica-racional, la cual define a la Geometría como una teoría axiomática que se desarrolla bajo leyes rigurosas de razonamiento deductivo, o la más intuitiva y experimental, basada en la búsqueda, descubrimiento y comprensión por parte del sujeto que aprende de los conceptos y propiedades geométricas en función de explicarse aspectos del mundo en que vive (Bressan, Bogisic y Crego, 2000). La más cercana a las posibilidades y necesidades cognitivas de los alumnos de la Educación Secundaria es la segunda. Asimismo el docente debe saber que su meta en este nivel es crear las condiciones para que el alumno pueda avanzar, en estudios posteriores, hacia la primera.

Bishop (1983) define: “La Geometría es la Matemática del espacio” (p. 16) y es a través del estudio del espacio físico y de los objetos que en él se encuentran por donde el alumno ha de acceder a las captaciones más abstractas de la misma. Esto no implica que su enseñanza en la educación básica deba quedar restringida al espacio físico. El pensamiento geométrico puede tomar a éste como punto inicial, pero ha de avanzar hacia el establecimiento de imágenes, relaciones y razonamientos manejables mentalmente. Por otro lado, la interrelación entre el espacio físico y el matemático no se corta en un punto determinado del desarrollo humano, ni aún en el del matemático profesional. El pensamiento matemático, aunque sea el más abstracto, suele buscar y crear modelos físicos o gráficos para representarse y, viceversa, el mundo físico tiende a ser explicado a través de modelos matemáticos y la Geometría suele ser muy útil en estos casos.

Se admite entonces que el sentido del espacio, y por ende el geométrico, se inicia en las personas mediante la experiencia directa con los objetos del mundo/entorno circundante para enriquecerse a través de actividades de construcción, dibujo, medida, visualización, comparación, transformación, discusión de ideas, conjetura y comprobación de hipótesis, facilitándose así el acceso a la estructura lógica y modos de demostración de esta disciplina.

Desde este punto de vista, la enseñanza de la Geometría debe orientarse al desarrollo de habilidades específicas. Según Hoffer (1981), las habilidades básicas que una buena enseñanza de la Geometría debería ayudar a desarrollar son clasificadas en cinco áreas: visuales, de comunicación, de dibujo y construcción, lógicas o de razonamiento y de aplicación o transferencia.

1. Habilidades visuales: Visualizar implica tanto representar lo mental a través de formas visuales externas como representar a nivel mental objetos visuales. El proceso de visualización requiere de dos tipos de habilidades globales: captación de representaciones visuales externas y procesamiento de imágenes mentales. A su vez, comprende siete habilidades específicas que son consideradas como básicas: coordinación visomotora, percepción figura-fondo, constancia perceptual o constancia de forma tamaño y posición, percepción de la posición en el espacio, percepción de relaciones espaciales entre objetos, discriminación visual y memoria visual. Muchos conceptos en Geometría no pueden ser reconocidos y comprendidos a menos que el estudiante pueda percibir visualmente ejemplos e identificar figuras y propiedades por asociación con conocimientos previos. El proceso de aprendizaje de la Geometría requiere de la capacidad de distinguir las características esenciales de una configuración particular que aparece dibujada en concreto o mentalmente, a partir de las características accidentales o irrelevantes. Resulta sumamente importante dar a los alumnos variedad en los estímulos visuales para que puedan generalizar sus imágenes y conceptos acerca de las propiedades geométricas, dejando de lado los aspectos no matemáticos e irrelevantes para el problema planteado (Bressan, Bogisic y Crego, 2000).




2. Habilidades de comunicación: Abarcan la competencia del alumno para leer, interpretar y explicar, en forma oral y escrita, información (en este caso geométrica), usando el vocabulario y los símbolos del lenguaje matemático en forma adecuada. Habilidades de comunicación son: escuchar, localizar, leer e interpretar información geométrica presentada en diferentes formas, así como denominar, definir y comunicar información geométrica en forma clara y ordenada, utilizando los lenguajes natural y simbólico apropiados. Resulta esencial que los alumnos y el docente analicen diversos significados e interpretaciones de las palabras, frases y símbolos, de manera que cada uno sepa claramente lo que el otro entiende y quiere decir al utilizar determinadas expresiones lingüísticas. Según Van Hiele (1970, citado por Bressan, Bogisic y Crego, 2000), los distintos niveles de razonamiento geométrico “no sólo se reflejan en la forma de solucionar problemas sino en la forma de expresarse y en el significado que se le da a determinado vocabulario” (p. 63). De allí la necesidad de que el docente interprete el vocabulario que usan sus alumnos, pero al mismo tiempo tienda a mejorarlo y rigorizarlo, proveyéndoles de mejores herramientas para expresar sus pensamientos.

3. Habilidades de dibujo y construcción: Están ligadas a las de uso de representaciones externas, como son: una escritura, un símbolo, un trazo, un dibujo, una construcción, etc., con las cuales se puede dar idea de un concepto o de una imagen interna relacionada con la Matemática. Estos conceptos e imágenes de los que trata la Matemática son objetos mentales con existencia real pero no física. Ni los cuerpos que confeccionamos ni las figuras que dibujamos son las “figuras geométricas” de las que trata la Geometría. Son sólo modelos más o menos precisos de las ideas que tenemos respecto de ellas. Las representaciones o modelos geométricos externos confeccionados por el docente o realizados por los propios alumnos no sólo sirven para evidenciar conceptos e imágenes visuales internas, sino también se constituyen en medios de estudio de propiedades geométricas, sirviendo de base a la intuición y a procesos inductivos y deductivos de razonamiento. En su aprendizaje de la Geometría, los alumnos deben desarrollar habilidades de dibujo y construcción relacionadas con: la representación de figuras y cuerpos, la reproducción a partir de modelos dados y la construcción sobre la base de datos dados. El docente ha de tener especial cuidado al representar conceptos geométricos, ya que a menudo representaciones únicas o demasiado imprecisas suelen conducir a errores.

4. Habilidades lógicas o de razonamiento: Están relacionadas con las habilidades necesarias para desarrollar un argumento lógico. Habitualmente en Matemática, cuando se habla de razonamiento se hace referencia al razonamiento lógico. Las habilidades lógicas a desarrollar con el estudio de la Geometría en el período escolar de interés son: abstracción de características o propiedades de las relaciones y de los conceptos geométricos; generación y justificación de conjeturas; argumentación; formulación de contraejemplos; seguimiento de una serie de argumentos lógicos; realización de deducciones lógicas. Reconociendo que las habilidades lógicas son relevantes en el desarrollo del razonamiento matemático, no pueden dejarse de lado las habilidades de creación, como por ejemplo: crear, inventar, imaginar, intuir situaciones, explorar y descubrir conceptos, regularidades y relaciones.

5. Habilidades de aplicación o transferencia: Se espera que los alumnos sean capaces de aplicar lo aprendido no sólo en el mismo contexto geométrico, sino también que modelen geométricamente situaciones del mundo físico, de otras disciplinas o de la vida misma. Al aprender Geometría los alumnos están en condiciones de desarrollar habilidades de aplicación o transferencia relacionadas con: sensibilización acerca de los aspectos visuales y geométricos del mundo que los rodea; interrogación acerca de por qué las cosas tienen esa forma o guardan tal o cual relación; representación, descripción y explicación de ideas o imágenes en términos geométricos (verbales, visuales o simbólicos); análisis de representaciones para ver si se ajustan al concepto, imagen o problema planteado. Tishman, Perkins y Jay (1995) sostienen que si no existe una transferencia rica y plena de lo que los alumnos aprenden, la educación no cumple su deber. Sin transferencia no existe un proceso rico de aprendizaje sino yuxtaposición de conocimientos fragmentados, aplicables sólo a casos particulares y previsibles. Aprender a transferir o aplicar conocimientos, estrategias y actitudes de un contexto en otro y a buscar relaciones entre ellos es un proceso que hay que enseñar, ya que por



lo general no se realiza de manera espontánea. Son recursos para enseñar a transferir: la búsqueda de analogías y generalizaciones entre situaciones y formas de solución; el uso de distintas estrategias para un mismo problema; el descubrimiento de aplicaciones de un contenido en diferentes contextos; el establecimiento de relaciones entre lo que se conoce informalmente y lo que se trata en la clase; etc.

Desde la perspectiva de la EMR, el término manipulable se usa como sustantivo colectivo para material táctico y representaciones gráficas, que funcionan como modelos. El término modelo abarca las representaciones de las situaciones donde se reflejan aspectos esenciales de los conceptos y relaciones matemáticas que son relevantes para solucionarlas. No se considera en sentido literal como ejemplo de algo o sólo involucrando objetos y símbolos matemáticos puros; sino que abarca materiales, bosquejos visuales, situaciones paradigmáticas, esquemas, diagramas, símbolos.

En la EMR los modelos deben tener por lo menos dos características importantes: estar enraizados en contextos realistas, imaginables, y a la vez tener suficiente flexibilidad para ser aplicados en un nivel más avanzado o más general. Los estudiantes siempre deberían poder volver a niveles más bajos reencontrando los orígenes de los modelos más abstractos, lo cual torna a los modelos muy poderosos. Otro requerimiento es que sean viables, donde los alumnos deben poder re-inventar esos modelos por sí mismos, en concordancia con la mirada de la EMR sobre los estudiantes. Para lograrlo, los modelos deberían: comportarse de una manera natural y autoevidente (en contraposición con artificial y forzada), ajustarse a las estrategias informales de los alumnos (como si ellos los pudieran haber inventado) y ser fácilmente adaptados a otras situaciones (polivalentes).

En la EMR hay un uso representacional del modelo: como modelo de trabajo (se ejerce una acción sobre él) y como modelo de reflexión (a partir del cual se visualizan y derivan propiedades). Es importante aclarar que el mero hecho de usar materiales manipulables no es “garantía de éxito”. No hay que olvidarse tampoco de que el material puede ser concreto, pero que la idea está en la forma en que el alumno entiende el material y canaliza sus acciones sobre él. Los recursos no muestran por sí mismos una idea. Asimismo tampoco podemos enseñar intentando que nuestros alumnos “vean” la interpretación correcta de los materiales que nosotros les presentamos para trabajar. El objetivo de una actividad debería estar orientado a permitir y favorecer que afloren todas las interpretaciones posibles. Para ello el docente debe estar capacitado para conocer previamente todas las interpretaciones que pueden surgir en el aula y no limitar el descubrimiento de sus alumnos. Para la EMR no es el material el que transmite cierto conocimiento. El material es una ayuda para resolver ciertos problemas prácticos en un determinado contexto y se usa para provocar acciones (mentales, más allá de físicas).

Por otro lado, son varias las definiciones que se proponen para las nociones de recurso y material didáctico. Por ejemplo, Álvarez (1996) prescinde del término recurso y utiliza sólo el de material didáctico para referirse a “todo objeto, juego, medio técnico, etc. capaz de ayudar al alumno a suscitar preguntas, sugerir conceptos o materializar ideas abstractas” (p. 9). De forma similar, se expresan Alsina, Burgués y Fortuny (1988a) al afirmar que “bajo la palabra material se agrupan todos aquellos objetos, aparatos o medios de comunicación que pueden ayudar a describir, entender y consolidar conceptos fundamentales en las diversas fases de aprendizaje” (p. 13). Estos autores tampoco usan el término recurso aunque en una posterior clasificación de materiales incluyen los diseñados con fines educativos como caso particular, al igual que los materiales para leer o los dedicados a la comunicación audiovisual.

Al reflexionar sobre la relación existente entre los recursos y los materiales didácticos, Coriat (1997) opta por hacer explícita la diferencia entre ambos términos, entendiendo por recurso didáctico a cualquier material, no diseñado específicamente para el aprendizaje de un concepto o procedimiento que el profesor decide incorporar en sus enseñanzas y por material didáctico al que se diseña con fines educativos (si bien, en general, un buen material didáctico trasciende la intención de uso original y admite variadas aplicaciones; por ello, no hay una raya que delimite claramente qué es un material




didáctico y qué es un recurso). Siguiendo con esta última clasificación, en este trabajo se ha decidido englobar ambos términos en materiales didácticos, en concordancia con lo expuesto sobre el tema por Alsina, Burgués y Fortuny (1988a). Así, se entiende por materiales didácticos concretos a todos aquellos objetos usados por el profesor y/o los alumnos en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática con el fin de lograr ciertos objetivos específicos. Es decir, aquellos objetos que pueden ayudar a construir, entender o consolidar conceptos, ejercitar y reforzar procedimientos e incidir en las actitudes de los alumnos en las diversas fases de sus procesos de aprendizaje. Cabe aclarar que no se considerarán a los instrumentos de dibujo geométrico de uso elemental (regla, compás), ya que los mismos merecen un tratamiento en particular.

Debemos tener en cuenta que en general no existe una correspondencia biunívoca entre un material y un contenido. Un mismo contenido ha de trabajarse, en lo posible, con diversidad de materiales y, recíprocamente, la mayoría de los materiales son utilizables para realizar actividades diversas (Alsina, Burgués y Fortuny, 1988a). En ello radica la importancia de indagar sobre todas las posibles representaciones que puede provocar un determinado material didáctico.

Por otro lado, el modelo de Van Hiele (1957) es un punto de referencia para la enseñanza de la Geometría, que tiene en cuenta su aprendizaje y, en función a ello, sugiere pautas a seguir, explicando cómo aprenden los alumnos y cómo evoluciona su pensamiento. Este modelo estratifica el conocimiento en una serie de niveles que permiten categorizar los distintos grados de representación del espacio. Ha sido validado por extensos estudios de psicólogos soviéticos y actualmente está siendo utilizado y recomendado por sociedades de profesores, como el National Council of Teachers of Mathematics en Estados Unidos, la Sociedad Andaluza en la enseñanza de las Matemáticas y la Federación Española de Sociedades de profesores de Matemáticas en España. Tuvo su origen en Holanda, en la década de 1960 (al igual que la EMR), donde los esposos Van Hiele, profesores de Matemática, se encontraron con problemas para poder hacer entender a sus alumnos las definiciones, los procesos y las situaciones relacionadas casi exclusivamente con la enseñanza de la Geometría.

El modelo consta principalmente de dos partes. La primera de ellas es descriptiva, ya que identifica una secuencia de tipos de razonamiento que Van Hiele define como “niveles de razonamiento”, a través de los cuales progresa la capacidad de razonamiento matemático de los individuos desde que inician su aprendizaje hasta que llegan a su máximo grado de desarrollo intelectual en este campo. La otra parte del modelo da las directrices a los docentes sobre cómo pueden ayudar a sus alumnos para que puedan alcanzar con más facilidad un nivel superior de razonamiento; estas directrices se conocen con el nombre de “fases de enseñanza/aprendizaje”.

La presencia de niveles de razonamiento en la enseñanza de la Geometría se debe a que existen diferencias en las formas de aprender, en los modos de trabajar y de expresarse en los distintos períodos por los que atraviesa una persona. Los niveles de razonamiento se definen como estadios del desarrollo de las capacidades intelectuales del estudiante y no están directamente ligados con el crecimiento o la edad. Estos niveles se repasan sucesivamente en cada ocasión en que el estudiante se encuentra con un nuevo contenido matemático y, a medida que se va avanzando en su conocimiento, los primeros niveles son superados de una manera más rápida que en ocasiones anteriores.

Tales niveles son: Nivel 0 o de Visualización/Reconocimiento; Nivel 1 o de Análisis; Nivel 2 o de Deducción informal/Clasificación; Nivel 3 o de Deducción formal; Nivel 4 o de Rigor. Para un mayor detalle de los mismos consultar, por ejemplo: Jaime y Gutiérrez (1990), Corberán, Gutiérrez, Huerta, Jaime, Margarit, Peñas y Ruiz (1994), Vilchez (2004), entre otros. Entre sus características se encuentran (Crowley, 1989):

- La jerarquización y secuencialidad de los niveles se refiere a la necesidad de transitar primero un nivel para pasar al siguiente superior, siendo obligatorio cursar todos sin omitir ninguno.



- La relación entre el lenguaje y los niveles está asociada al desarrollo del estudiante y la manera en que se comunica con los demás, ya sea con el profesor o con sus compañeros. Se dice que a cada nivel de razonamiento le corresponde un lenguaje específico (González y Larios, 2001), a partir de lo que se infiere que dos personas con distinto nivel de razonamiento, difícilmente se entenderán al dialogar sobre cierto contenido.

- El paso de un nivel al siguiente se produce en forma continua y de manera gradual, lo cual implica que el estudiante puede presentar rasgos que corresponden a un estado de transición entre dos niveles. La evidencia de este período es que el alumno muestra deseos de usar el nivel superior, pero cuando encuentra dudas tiende a refugiarse en el nivel inferior, donde se siente más cómodo y seguro.

Las fases de enseñanza/aprendizaje a las que alude Van Hiele forman parte de la segunda parte del modelo y se refieren a las directrices para que los profesores puedan ayudar a sus alumnos a subir al siguiente nivel de razonamiento. Se trata de etapas en la graduación y organización de las actividades propuestas para tal fin. Son cinco: Fase 1 o de Información/Indagación; Fase 2 o de Orientación dirigida; Fase 3 o de Explicitación; Fase 4 o de Orientación libre; Fase 5 o de Integración. Para un mayor detalle sobre las fases consultar, por ejemplo, Alsina, Burgués y Fortuny (1988b), entre otros.

Desde esta postura, el alumno es el que construye sus conocimientos a partir de “redes de relaciones”, entretejidas en los procesos de construcción y modificación sucesivos en los diversos niveles de razonamiento. El profesor asume un papel de coordinador de los trabajos y acompañante de este proceso. Para ello, busca y diseña los ejercicios, actividades y medios necesarios -como por ejemplo los materiales didácticos más adecuados- para crearle al alumno un ambiente propicio para el desarrollo de su razonamiento, a través del tránsito por los diferentes niveles.

3. Metodología de la investigación

La presente investigación se enmarcó dentro del enfoque cualitativo (Hernández, Fernández y Baptista, 2003), ya que se procuró realizar un aporte hacia la comprensión acerca de la forma en que el uso de materiales didácticos concretos en 1° Año de la Educación Secundaria fomenta el desarrollo de habilidades geométricas. El estudio fue exploratorio, ya que su finalidad ha sido recolectar información referida a los distintos materiales didácticos concretos que pueden ser utilizados en el abordaje de los contenidos geométricos en 1° Año de la Educación Secundaria, y descriptivo, para caracterizarlos y reconocer los aportes que los mismos hagan para el desarrollo de las habilidades geométricas. Se recabó información pertinente haciendo un recorrido por: artículos vinculados al tema de investigación publicados en revistas de Educación Matemática de la última década; memorias de congresos de Educación Matemática del mismo período temporal; empresas que comercialicen materiales didácticos; sitios web referidos a la problemática tratada. Además se tuvo en cuenta, en la recolección de información, la lectura de libros relacionados con la temática. En todos los casos, se priorizaron las fuentes de información provenientes de Latino e Ibero-América.

Se procedió a su estudio utilizando la técnica de análisis del contenido del discurso escrito. Esta técnica de recopilación de información permite, según Ander-Egg (2003), “estudiar el contenido manifiesto de una comunicación, clasificando sus diferentes partes de acuerdo con las categorías establecidas, con el fin de identificar de manera sistemática y precisa las características de dicha comunicación” (p. 245) y al análisis del material didáctico concreto para la enseñanza de Geometría en 1° Año de la Educación Secundaria, comercializado por empresas como apoyo para dicha enseñanza. En particular, el estudio se realizó sobre el contenido de las indicaciones o instrucciones que suelen acompañarlos, complementado por los conocimientos de las autoras como profesoras en Matemática, buscando indicadores asociados a las categorías de análisis. El diseño de la investigación fue no




experimental, debido a que no se manipularon variables, y transversal, ya que se recolectaron datos en un solo momento y en un tiempo único (Bravin y Pievi, 2008).

Una vez recolectados los datos se tabularon en un Registro de Materiales didácticos concretos que tiene en cuenta tres dimensiones de análisis. Dicho registro no se detalla en estas páginas debido a la limitación del espacio. Tales dimensiones se encuentran dividas en categorías. Algunas de estas categorías fueron planteadas desde el inicio y orientaron la recolección de información, otras se originaron para dar respuesta a las necesidades que fueron surgiendo en el avance de este proceso, permitiendo -como es propio de estudios cualitativos- profundizar y completar la perspectiva que en cada una de las dimensiones se pretendía dar. Por ello, el Registro de Materiales quedó organizado de la siguiente manera:

Dimensión 1 “Descripción del material”. Establece la relación con lo imaginable y la viabilidad del material que plantea en sus principios la EMR. Está constituida por tres categorías:

Categoría 1: Características generales. Descripción del material indicando su tamaño, forma y mencionando las propiedades más sobresalientes que lo caracterizan. En algunos casos se hace referencia a su historia.

Categoría 2: Variantes/Integrantes. Enumera las diferentes presentaciones del material, señalando las particularidades principales que caracterizan a cada tipo o bien mencionando aquellos que participan del agrupamiento por haberlos incluido dentro del mismo.

Categoría 3: Construcción y accesibilidad. Nombra el/los tipos de materiales con que está fabricado, si puede ser construido o elaborado por el docente/alumno, y las posibilidades actuales de acceder al mismo.

Dimensión 2 “ Interés didáctico-matemático”. Determina el aporte didáctico-matemático que cada material puede realizar. Está formada por tres categorías de análisis:

Categoría 1: Contenidos geométricos conceptuales y procedimentales. Expone los contenidos geométricos (DCJ, 1999) que los materiales concretos considerados permiten abordar.

Categoría 2: Habilidades geométricas. Enumera las habilidades geométricas (Hoffer, 1981) que se pueden desarrollar mediante su implementación.

Categoría 3: Niveles de razonamiento geométrico y fases de enseñanza/aprendizaje. Establece la relación con los niveles de razonamiento (Van Hiele, 1957), justificando el uso del material correspondiente en los diferentes estadios propuestos por el modelo. Además, se señalan las fases de enseñanza/aprendizaje en las cuales el docente puede utilizarlos, de modo tal que se maximice su utilidad.

Dimensión 3 “Versatilidad del material”. Plantea la flexibilidad que presenta el material, su aplicación y/o adaptación en niveles más avanzados del aprendizaje, características estas que, desde la visión de la EMR, debe cumplir todo modelo utilizado con fines didácticos. Está integrada por tres categorías de análisis:

Categoría 1: Adaptación a diversos contenidos geométricos. Destaca la variedad de contenidos geométricos en los cuales determinado material puede ser aplicado y si el mismo favorece el desarrollo de nociones espaciales y/o del plano.



Categoría 2: Vinculación con otros ejes del área. Establece vinculación con los demás ejes del área y se mencionan algunas vinculaciones con otros ejes de otras áreas del conocimiento.

Categoría 3: Uso en otros niveles de escolaridad. Plantea la utilidad que puede brindar su implementación tanto en niveles más avanzados como en niveles previos de la escolaridad.

4. Resultados de la investigación

A partir de la investigación realizada, se identificaron siete grupos de materiales didácticos concretos que pueden ser utilizados en la enseñanza de los contenidos geométricos de 1° Año de la Educación Secundaria. Para cada grupo identificado, se enumeran las variantes del material didáctico concreto, se presenta una figura ilustrativa y se ejemplifica con una actividad, indicándose las habilidades geométricas que podrían desarrollarse.

4.1 Modelos fijos 2D y 3D

Modelos fijos 2D y 3D: Bloques lógicos de Dienes, Cuerpos geométricos rígidos.

Actividad 1: “Adivina qué es”

Momento 1.1: Comentarios iniciales

Se necesitan: dos conjuntos iguales de cuerpos geométricos rígidos (uno de ellos se exhibe con sus respectivos nombres y el otro se coloca en una bolsa que no permita ver en su interior), tarjetas con las definiciones de cuerpo redondo y cuerpo poliédrico convexo (poliedro convexo).

Momento 1.2: Explora y contesta

Colocados en grupos de dos personas, resuelve:

a. Por turno, cada integrante del grupo extrae un cuerpo geométrico de la bolsa y sin mirarlo lo describe oralmente. Su compañero registra las características mencionadas e intenta identificarlo. De esta manera se continúa hasta terminar con todos los cuerpos.

b. Propongan alguna clasificación entre los cuerpos explorados y justifíquenla. Compartan dicha clasificación con el resto de la clase.

c. Tomen las tarjetas con las definiciones, interprétenlas y compárenla con la clasificación realizada en el ítem anterior.

d. Busquen ejemplos de su alrededor que sean representados por los cuerpos geométricos estudiados.

Figura 1: Modelos fijos 2D y 3D




Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora, constancia perceptual y memoria visual); de comunicación (recolección e interpretación de información, denominación, definición, escucha, registro, lectura y localización de datos y objetos); lógicas o de razonamiento (clasificación, comparación y justificación); de aplicación o transferencia (sensibilización).

4.2 Rompecabezas geométricos

Rompecabezas geométricos: Poliominós y poliamantes, Rompecabezas de la T, de la H, de la casita o la cruz griega, Rompecabezas de las cuatro T, Rompecabezas de piezas idénticas, Cubos y policubos, Demostraciones dinámicas, Rompecabezas de mosaicos de Van Hiele, Rompecabezas por cuadratura.

Actividad 2: “Construye con cubos”


Los policubos son cuerpos geométricos formados por cubos iguales encajados o pegados por medio de sus caras. Se pueden considerar diferentes colecciones de agrupaciones de cubos, entre ellas una de las más conocidas es el cubo Soma, formado por siete agrupaciones diseñado por el danés Piet Hein (1905 – 1997) en el año 1936. El objetivo de este rompecabezas es colocarlos de manera que todos juntos formen un cubo 3x3x3.

Momento 2.2: Antes de comenzar

Observa los policubos con los que está formado el cubo de soma:

a. Utilizando los cubos representa cada uno de ellos.

b. ¿Por cuántos cubos está formado cada uno de los siete policubos del cubo de Soma?

Figura 2: Rompecabezas geométricos

Figura 3: Agrupaciones que originan el cubo Soma



Momento 2.3: Investiga y luego responde

Con la ayuda de los cubos descubre cuántos policubos diferentes se pueden formar con tres (tricubos), cuatro (tetracubos) y cinco unidades (pentacubos). ¡En este último caso hay 29 disposiciones distintas!

c. Construye dos figuras idénticas a la que aparece en la figura siguiente,utilizando cuatro cubos para cada una. Observa que se pueden encajar una en otra para formar un cubo de tamaño 2x2x2

d. Hay otras dos figuras que se pueden construir con cuatro cubos cada una y que reunidas forman un cubo 2x2x2. Descúbrelas.

e. Piensa: ¿Cuál es el motivo por el que al ubicar de determinada manera estas disposiciones forman un cubo?

Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora, percepción figura-fondo, discriminación visual, constancia perceptual y percepción de la posición en el espacio y de relaciones espaciales entre objetos);de dibujo y construcción (representación y reproducción de figuras a partir de modelos dados); de comunicación (denominación y definición); lógicas o de razonamiento (creación, invención y exploración de figuras); de aplicación o transferencia (interrogación y análisis de representaciones).

4.3 Tangram

Tangram: Chino, de Fletcher, Cardiotangram, Hexagonal, Pentagonal, Triangular, de Lloyd, Pitagórico, de Brügner, Stomachion, Ovoide, Espacial.

Actividad 3: “Juega y aprende con el Tangram”

Momento 3.1: Conociendo el Tangram

El Tangram es un juego chino muy antiguo llamado "Chi Chiao Pan" que significa "juego de los siete elementos" o "tabla de la sabiduría". Es un rompecabezas que consta de 7 piezas y requiere de

Figura 5: Tangram

Figura 4: Ejemplo de tetracubo




ingenio, imaginación y, sobre todo, paciencia. Estas piezas son llamadas Tans y las figuras obtenidas mediante su composición Tangramas. Todas ellas juntas forman un cuadrado.

Sus piezas son las siguientes: “cinco triángulos de diferentes tamaños”, “un cuadrado”, y “un paralelogramo”. Las reglas del juego son muy simples:

1. Con dichos elementos, ni uno más ni uno menos, se deben construir figuras. Es decir, al momento de formar las distintas figuras no debe quedar ninguna pieza sin utilizar.

2. Las piezas no deben superponerse.

3. El tangram (que estamos utilizando ahora) es un juego planimétrico, es decir, todas las figuras deben estar contenidas en un mismo plano.

4. Se tiene libertad total para elaborar las figuras, por lo cual no es necesario seguir un orden.

Momento 3.2: Construcción y reconocimiento del juego

a. Construye tu propio juego de Tangram mediante el doblado de papel, siguiendo los pasos que se detallan a continuación:

b. Algunas de las figuras que pueden construirse son las que se presentan a continuación. Como verás se pueden representar figuras humanas, animales y muchos objetos. Inténtalo.

c. Las figuras construidas son las soluciones de los correspondientes tangramas. El objetivo de este juego es que vos solo puedas encontrar dichas soluciones. Aquí tienes algunos para que pongas en juego tu ingenio:

1° 4°

5°

6°

2°

3°

Figura 7: Soluciones de algunos tangramas

Figura 6: Pasos para la construcción del Tangram chino por plegado de papel



Momento3.3: Investiga y luego responde

d. Toma uno de los triángulos pequeños y clasifícalo.

e. Toma el otro triángulo pequeño y con ellos forma diferentes figuras geométricas.

f. Las figuras formadas, ¿se parecen a alguna otra pieza del Tangram?

g. ¿Qué podemos concluir acerca de sus áreas?

Acabas de descubrir el:

“Principio de conservación de la cantidad y no necesariamente de la forma”

A estas figuras se las llama equivalentes. En particular si conservan la misma superficie, se las llama equisuperficiales. Por lo tanto, los tangramas son……….………………………………………

h. Piensa y justifica, ¿las figuras equisuperficiales tendrán el mismo perímetro (isoperimétricas)?

i. Piensa, averigua y completa: Cuando tenemos dos o más figuras geométricas, éstas pueden ser:

Figuras congruentes:……………………… Figuras semejantes: ………………………

Figuras equivalentes: ……………………… Figuras diferentes: ………………………

j. Identifica entre las piezas del Tangram un par de figuras que se correspondan a cada una de las clasificaciones anteriores.

Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora, percepción figura-fondo, discriminación visual, constancia perceptual, rotación mental, percepción relaciones espaciales entre objetos); de dibujo y construcción (representación y reproducción de figuras a partir de modelos dados); de comunicación (escucha, localización, lectura, interpretación, denominación y definición); lógicas o de razonamiento (abstracción de características y propiedades, invención y exploración de figuras); de aplicación o transferencia (interrogación y análisis de representaciones).

4.4 Geoplano

Geoplano: Cuadrado u ortogonal, Triangular o isométrico, Circular.

Figura 9: Geoplano

Figura 8: Ejemplos de tangramas




Actividad 4: “Comprueba relaciones entre los ángulos en una circunferencia”


Un ángulo inscrito en una circunferencia es aquél cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados determinan cuerdas sobre la misma. Un ángulo central de una circunferencia es aquél cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de la misma.

a. Construye en tu geoplano un ángulo inscrito y un ángulo central cualquiera.

b. Investiga cuánto mide el ángulo central más pequeño de lados no coincidentes que puede hacerse en tu geoplano e indica por qué.

c. Según lo anterior, ¿serías capaz de calcular cuánto miden los ángulos inscrito y central que has construido?

d. Vas a descubrir ahora el modo de calcular ángulos inscritos en la circunferencia. A continuación tienes un ángulo y otros que tienen los lados paralelos al primero: mídelos y anota las medidas junto a cada uno.

¿Qué relación existe entre ellos?

e. ¿Cómo puedes aplicar la relación anterior al cálculo de la amplitud de un ángulo inscrito en la circunferencia?


f. En tu geoplano, construye dos ángulos inscritos que abarquen el mismo arco de circunferencia. ¿Cómo son sus amplitudes? Prueba con varios ejemplos. ¿Puedes extraer alguna conclusión?

g. Ahora, construye un ángulo central y un ángulo inscrito que abarquen el mismo arco. ¿Cómo son sus amplitudes? Prueba con varios ejemplos. ¿Puedes extraer alguna conclusión?

h. Por último, construye un ángulo inscrito que abarque una semicircunferencia. ¿Cuál es su amplitud? Justifica.

Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora); de dibujo y construcción (representación de figuras y cuerpos); de comunicación (lectura, interpretación, denominación y definición); lógicas o de razonamiento (abstracción de características y propiedades, argumentación y exploración de figuras); de aplicación o transferencia (interrogación y análisis de representaciones).

Figura 10: Ejemplos de ángulos de lados paralelos



4.5 Transformaciones dinámicas

Transformaciones dinámicas: Poliformas, Varillas de mecano, Retículas, Desarrollos planos.

Actividad 5: “Construye y clasifica cuadriláteros”


Si construyes un triángulo, con las varillas de mecano, comprobarás que esta figura geométrica es rígida; es decir, aunque se haga presión sobre los vértices, el triángulo no se deforma, no se mueve. Esta propiedad, la indeformabilidad o bien la estabilidad, es una característica propia de los triángulos y es por lo que se los utiliza en diferentes construcciones. En cambio, las figuras de cuatro lados, los cuadriláteros, no gozan de esta propiedad.


Toma cuatro varillas de mecano, todas de distinta longitud, y construye un cuadrilátero. La construcción, ¿es siempre posible?, ¿qué resulta necesario?

Presionando sobre un vértice se comprueba que puede lograrse que dos lados lleguen a ser paralelos. Así se obtiene un………………………………………………………

a. Si conservamos fija la posición de tres de sus varillas y hacemos girar una alrededor de una mariposa, vemos que es posible obtener una infinidad de trapecios y que en un momento determinado obtenemos un ……………………………

b. ¿Qué puedes concluir?

1. Toma cuatro varillas de mecano, dos de las cuales sean iguales entre sí, lo mismo para las otras dos, aunque no sean iguales a las dos primeras. Únelas para formar un rectángulo.

c. Presionando en uno de los vértices o en los lados, el rectángulo se transforma en un ………

d. ¿Qué puedes concluir?

e. Observa y anota lo que ocurre con los elementos de un rectángulo (lados, ángulos, diagonales) durante la transformación de aquél en paralelogramo.

2. Vimos que las diagonales de un rectángulo son iguales y se cortan en el punto medio. Esta propiedad nos permite hacer la siguiente construcción: toma dos piezas iguales de mecano y únelas por su punto medio. Luego, pasa un hilo elástico por los cuatro agujeros que hay en los extremos de las varillas y separa las varillas. Se forman distintos ………………………………………………….

f. Observa lo que sucede cuando las diagonales son perpendiculares y anótalo.

g. ¿Qué puedes concluir?

3. Toma cuatro varillas de mecano iguales y ponlas de manera que formen un cuadrado.

h. Realiza una leve presión sobre uno de los vértices o sobre uno de los lados, para ver que un cuadrado no es rígido, sino que se transforma en un ………………………………………………..

Figura 11: Transformaciones dinámicas




i. ¿Qué puedes concluir?

j. Observa y anota lo que ocurre con los elementos de un cuadrado (lados, ángulos, diagonales) durante la transformación de aquél en rombo.

4. Une, por su punto medio, dos varillas de mecano de distinta longitud y pasa luego el hilo elástico por los cuatro agujeros extremos. Abriendo las piezas tendremos un …………………………

k. Observa lo que sucede cuando las diagonales son perpendiculares y anótalo.

l. ¿Qué puedes concluir?

Momento 5.3: Extrayendo conclusiones

5. Intenta resumir las actividades anteriores en una red conceptual que muestre la clasificación de los cuadriláteros realizada.

Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora, constancia perceptual, percepción de la posición espacial y discriminación visual); de comunicación (escucha, lectura, interpretación y diálogo entre pares y con el docente); de dibujo y construcción (representación y construcción sobre la base de datos dados); lógicas o de razonamiento (argumentación, clasificación de objetos geométricos por sus atributos abstracción de propiedades, comparación de conceptos y propiedades).

4.6 Origami o Papiroflexia

Origami o Papiroflexia: Modelos sin corte de papel, Con cortes de papel, Con apoyo de materiales adicionales, Multi-capas, Multi-hoja, Desarrollados partir de módulos, Decorados, Con técnica de encorvado.

La actividad considerada en tangram también involucra la técnica del origami.

Objetos del entorno real: Entornos natural, artificial y artístico.

Figura 13: Objetos del entorno real

Figura 12: Origami o Papiroflexia



Actividad 6: “La Geometría nos rodea”


Ubicado en pequeños grupos de 2 o 3 personas, recorre distintos ámbitos escolares y toma fotografías de ellos. Puedes tomar distintas fotografías de un mismo objeto desde diferentes lugares.

Momento 6.2: A trabajar sobre ellas

a. Describe, desde el punto de vista geométrico, las fotografías tomadas.

b. Fundamenta en base a tus conocimientos la descripción anterior.

Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (percepción figura-fondo, discriminación visual, constancia perceptual, percepción de la posición espacial y de la relación entre objetos); de comunicación (recolección e interpretación de información, denominación); de dibujo y construcción (obtención de distintas vistas de un mismo objeto); lógicas o de razonamiento (Argumentación, abstracción de propiedades); de aplicación y transferencia (identificación de formas y relaciones geométricas en el mundo natural y artificial, análisis de las formas n relación con el objeto en donde se encuentran).

4.7 Criterios de análisis

A partir de una mirada holística-interpretativa del Registro de materiales didácticos concretos, se proponen los siguientes siete criterios, con sus correspondientes categorías y subcategorías. Estos criterios constituyen los ejes de análisis que orientan el agrupamiento realizado de los materiales. En las categorías y/o subcategorías se consideran los materiales didácticos concretos -o sus variantes- que intervienen en el agrupamiento en cuestión. Estos criterios surgen, por un lado, para dar respuesta a una completa caracterización de los materiales didácticos concretos analizados y, por otro lado, para responder a diferentes demandas que muchos docentes presentan relacionadas con posibilidades específicas de interés -como por ejemplo: utilizar un objeto concreto/tangible en sí mismo o una técnica, requerir el uso de una determinada materia prima, construir los materiales en forma artesanal o bien adquirirlos en comercios, resaltar la utilidad de que el material sea estático o móvil/dinámico, trabajar las diferentes dimensiones, desarrollar determinados conceptos, aplicar dichos materiales en diferentes niveles y fases de enseñanza/aprendizaje o enfocar la aplicabilidad de los mismos en otras áreas de conocimiento o niveles de escolaridad.

Criterio 1. Cualidad: Considerando la característica propia de cada material surgen dos categorías. Objeto tangible: Modelos fijos 2D y 3D, Rompecabezas geométricos, Tangram, Geoplano, Transformaciones dinámicas y Objetos del entorno real; Técnica: Origami.

Criterio 2. Materia prima: Teniendo en cuenta el o los recursos necesarios para su fabricación surgen tres categorías. Papel: Origami; Cartón, cartulina, madera, plástico, acrílico, goma eva, telgopor: Modelos fijos 2D y 3D, Rompecabezas geométricos, Tangram, Geoplano y Transformaciones dinámicas; Otros recursos: Objetos del entorno real.

Criterio 3. Disponibilidad : De acuerdo a la posibilidad de obtener cada material, teniendo en cuenta que todos ellos son de fácil acceso, se contemplan tres categorías. Construcción artesanal: Modelos fijos 2D y 3D, Rompecabezas geométricos, Tangram, Geoplano, Origami, Caleidoscopios, Desarrollos planos y Varillas de mecano; Adquisición en comercios: Espejos/mira o réflex,




papel/cartulina, Mapas, Rejas, Diarios/revistas, Fotografías, Poliformas y Retículas; Observación directa: Entorno natural y artístico.

Criterio 4. Movilidad : Teniendo en cuenta el modo de interactuar con el material se observan dos categorías. Dinámico: Rompecabezas geométricos, Tangram, Geoplano, Transformaciones dinámicas y Origami y algunos objetos del entorno real (como por ejemplo la masa para modelar); Estático: Modelos fijos 2D y 3D y algunos objetos del entorno real (como por ejemplo una estatua).

Criterio 5. Dimensión: De acuerdo a la dimensión geométrica que se pretenda abordar, se consideran tres categorías. Bidimensión: Bloques lógicos de Dienes, Poliominós y poliamantes, Rompecabezas de la T, de la H, de la casita o la cruz griega, Rompecabezas de las cuatro T, Rompecabezas de piezas idénticas, Demostraciones dinámicas, Rompecabezas de mosaicos de Van Hiele, Rompecabezas por cuadratura, Tangram chino, Tangram de Fletcher, Cardiotangram, Tangram hexagonal, Tangram pentagonal, Tangram triangular, Tangram de Lloyd, Tangram pitagórico, Tangram de Brügner, Stomachion, Tangram ovoide, Geoplano ortogonal, geoplano circular y Entorno artificial; Tridimensión: Cuerpos geométricos rígidos, Cubos y policubos, Cubo soma, Cubo de Rubik, Tangram espacial, geoplano isométrico, Entorno natural y artístico; Bidimensión-tridimensión: Poliformas, Varillas de mecano, Retículas, Desarrollos planos y Origami.

Criterio 6. Contenidos conceptuales: De acuerdo a lo expresado en el DCJ (1999) sobre el área de Matemática en 8° Año EGB (actual 1° Año de Educación Secundaria) en relación con el eje Geometría, se organizan nueve categorías. Posiciones entre rectas y planos: Tangram, Geoplano, Origami, Entorno natural y artificial; Sistemas de referencia para la ubicación de puntos en el plano: Geoplano, Origami, Entorno natural y artificial; Cuerpos poliedros: Origami, Entorno Natural y Artificial, Cuerpos geométricos rígidos, Poliominós y poliamantes, Cubos y policubos, Cubo soma, Cubo de Rubik, Retículas, Tangram espacial, Geoplano triangular, Poliformas y Desarrollos planos; Cuerpos redondos: Origami, Entorno Natural y Artificial, Cuerpos geométricos rígidos y Desarrollos planos; Ángulos: Modelos fijos 2D y 3D, Rompecabezas geométricos, Tangram, Geoplano, Transformaciones dinámicas, Origami, Varillas de mecano y Objetos del entorno real; Lugares geométricos: Círculo y circunferencia: Cardiotangram y Geoplano circular, Mediatriz y bisectriz: Origami y Espejo/mira o réflex, Varillas de mecano y Papel/cartulina, Alturas y medianas: Origami, Varillas de mecano y Papel/cartulina; Polígonos: Tangram, Geoplano, Origami, Entorno natural, Entorno artificial, Bloques lógicos de Dienes, Poliominós y poliamantes, Rompecabezas de mosaicos de Van Hiele, Poliformas, Varillas de mecano, Caleidoscopios y Papel/cartulina; Transformaciones: Bloques lógicos de Dienes, Cuerpos geométricos rígidos, Poliominós y poliamantes, Espejos, Rompecabezas de piezas idénticas, Cubos y policubos, Caleidoscopios, Poliformas, Fotografías, Papel, Rejas, Tangram, Geoplano, Origami, Entorno natural y artificial; Teorema de Thales. Semejanza: Bloques lógicos de Dienes, Poliominós y poliamantes, Rompecabezas de Van Hiele, Mapas, Diarios/revistas, Fotografías, Tangram, Geoplano, Origami y Entorno natural.

Criterio 7. Versatilidad : Se considera aquí la aplicabilidad de cada material didáctico concreto en los diferentes ejes del área de Matemática, o de otras áreas de conocimiento, y la adaptación de los mismos en los distintos niveles de escolaridad. De esta manera se originan dos categorías y subcategorías. Vinculación intra e inter área: Matemática: Eje Medidas: Modelos fijos 2D y 3D, Rompecabezas geométricos, Tangram, Geoplano, Transformaciones dinámicas, Origami y Objetos del entorno real; Eje Números y operaciones: Rompecabezas geométricos, Tangram y Objetos del entorno real; Eje Funciones: Geoplano y Objetos del entorno real; Eje Estadística y Probabilidades: Rompecabezas geométricos, Transformaciones dinámicas y Objetos del entorno real; Otras áreas: Origami y Objetos del entorno real. Niveles de escolaridad: Inicial: Modelos fijos 2D y 3D, Geoplano, Entorno natural y Papel/cartulina; Primario: Completo: Modelos fijos 2D y 3D, Geoplano, Origami y Objetos del entorno real; Último cursos: Rompecabezas geométricos, Tangram y Transformaciones dinámicas; Secundario: Primeros cursos: Modelos fijos 2D y 3D, Geoplano,



Transformaciones dinámicas y Objetos del entorno real; Completo: Rompecabezas geométricos, Tangram y Origami; Superior: Origami y Objetos del entorno real.

En cuanto al reconocimiento de las habilidades geométricas, se puede determinar que todos ellos favorecen el desarrollo de las cinco habilidades geométricas reconocidas por Hoffer (1981). Esto está estrechamente vinculado con las intenciones didácticas con que se los utiliza dentro de la actividad sugerida al alumnado y el aporte que el docente puede realizar al respecto. Una conclusión análoga le cabe a la vinculación entre materiales y niveles/fases de Van Hiele.

5. Conclusiones

Desde el comienzo de este artículo se ha sostenido que la Geometría, por su carácter intuitivo, concreto y ligado a la realidad, constituye uno de los medios más eficaces para aprender en forma experimental, recreativa y reflexiva la Matemática. Debido a esto, se considera que la manipulación responsable de los materiales didácticos concretos presentados -esto es, con pleno conocimiento de las potencialidades y limitaciones que los mismos ofrecen- es un elemento clave para favorecer la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría en 1° Año de la Educación Secundaria.

Según lo analizado, la utilización de los materiales didácticos concretos, que se presentan en este artículo, abarcan todos los contenidos conceptuales sugeridos por el DCJ (1999) en el eje Geometría para el año escolar de referencia. También se ha podido observar que dichos materiales son facilitadores y potenciadores intelectuales de las habilidades geométricas, favoreciendo y colaborando en el desarrollo del pensamiento geométrico. Es decir, pueden servir de andamio a estrategias metodológicas para el desarrollo de competencias matemáticas en el ámbito de la Geometría. De igual modo, se ha observado que los materiales didácticos concretos propuestos satisfacen las características de los modelos según la EMR respecto a viabilidad, flexibilidad y enraizamiento en contextos realistas que los mismos deben presentar. Además, se ha podido reconocer que ellos pueden ser aplicados -dependiendo de las intenciones didácticas con que se los utilice- en las diferentes fases de enseñanza/aprendizaje que el modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele considera. De esta manera, se colaboraría en el tránsito de un nivel a otro.

Al mismo tiempo, se ha concluido que la implementación de este tipo de materiales en la enseñanza de la Geometría en 1° Año de la Educación Secundaria tiene plena coherencia con los principios de la corriente matemática que fundamenta este trabajo de investigación -la EMR-, por cuanto satisface los seis principios que la identifican: favoreciendo un aprendizaje activo donde el alumno aprende haciendo (Principio de actividad); siendo realizables e imaginables permitiendo iniciar el proceso de matematización (Principio de realidad); funcionando como puentes entre los distintos niveles de organización de la Matemática (Principio de niveles); favoreciendo la construcción de sus propias herramientas y juicios matemáticos mediante la manipulación directa de los mismos (Principio de reinvención guiada); estableciendo relaciones entre los distintos ejes y unidades curriculares dentro de la Matemática y con las demás áreas de conocimiento, proporcionando mayor coherencia a la enseñanza (Principio de interrelación) y, por último, fomentando el aprendizaje como una actividad social donde la reflexión conjunta y el intercambio de ideas permiten alcanzar niveles de comprensión más elevados (Principio de interacción).

Esta investigación ha realizado su aporte en ese sentido, identificando y caracterizando los materiales didácticos concretos que pueden utilizarse en 1° Año de la Educación Secundaria y reconociendo las habilidades geométricas que permiten desarrollar. Además se considera que los resultados de esta investigación pueden considerarse como puntos de partida para futuras indagaciones, tales como: Ubicados en la enseñanza de la Geometría en 1° Año de la Educación Secundaria: ¿qué otros materiales didácticos concretos, si es que existen, se utilizan fuera de




Iberoamérica?, ¿cuáles son los riesgos de un uso inapropiado de los materiales didácticos concretos?, ¿qué instancias de formación de profesores se requieren para contribuir a un uso intencional y responsable de los materiales didácticos concretos?; En el mismo nivel educativo, pensando ahora en el área Matemática en general: ¿cuáles otros materiales didácticos concretos existen para los restantes ejes?, ¿por qué, a pesar de conocer sus beneficios y contar la institución con ellos, los materiales didácticos concretos a veces no son usados en las clases?

Entre tantos otros interrogantes que pueden ir surgiendo y cuyas puertas se espera haber abierto desde esta investigación. Para finalizar, al considerar a la Geometría como la comprensión del espacio que nos rodea, tal como lo expresa Freudenthal (1991, citado por Vilchez, 2004) en la siguiente definición: “La Geometría es aprehender el espacio… ese espacio en el que vive, respira y se mueve el niño” (p. 30), los materiales didácticos concretos han mostrado ser una herramienta muy útil para alcanzar este aprendizaje. Así, se espera haber colaborado en la generación de conocimiento sobre este tipo de materiales y, de este modo, aproximarnos un poco más a lograr que la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría en 1° Año de la Educación Secundaria puedan gozar de los beneficios que brinda una utilización responsable y reflexiva de los mismos.

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Silvia Villarroel es Profesora Titular en el área de Física en la Escuela de Enseñanza Media N° 498 de General Gelly, Profesora Interina en el área de Matemática en la Escuela de Enseñanza Media N° 227 de Máximo Paz y Tutora Académica en el área Matemática de la Escuela de Enseñanza Media N° 353 de Sargento Cabral, reside en la localidad de Sargento Cabral (Argentina), nació el 23 de enero de 1978, tiene los títulos de Profesora de Matemática y Física y Licenciada en Enseñanza de la Matemática.

Natalia Sgreccia es Profesora Adjunta en el área Educación Matemática en la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura de Universidad Nacional de Rosario y Becaria doctoral del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, reside en la ciudad de Rosario (Argentina), nació el 24 de octubre de 1979, tiene los títulos de Profesora de Enseñanza Media y Superior en Matemática y Magíster en Didácticas Específicas.




Coherencia entre criterios de evaluación y prácticas evaluativas de matemática

Patricia Villalonga de García, Susana González de Galindo y Susana Beatriz Mercau de Sancho (Universidad Nacional de Tucumán. Argentina)

Fecha de recepción: 1 de noviembre de 2010 Fecha de aceptación: 26 de mayo de 2011

Resumen Para diagnosticar el sistema de evaluación del aprendizaje de un curso universitario masivo de Matemática de una Facultad de ciencias, en un artículo anterior, se establecieron criterios orientadores basados en teorías cognitivas de aprendizaje. En base a tales criterios, se implementaron encuestas a alumnos y docentes y se analizó el diseño de los exámenes escritos. Se presenta aquí el diseño y validación del cuestionario aplicado a los docentes y se analizan sus resultados. Siguiendo principios de Samaja se construyó el objeto modelo de esta investigación, y se ideó un procedimiento de análisis, de tipo formal, basado en sistemas de matrices de datos, útil para estudiar los datos de cualquier investigación empírica. Se dedujo que existe escasa coherencia entre los criterios de evaluación y la práctica evaluativa implementada.

Palabras clave Evaluación del aprendizaje; criterios; enfoque cognitivo; estándares N.C.T.M.; encuesta a docentes; objeto modelo; investigación empírica; Samaja.

Abstract In a previous article and in order to diagnose the learning assessment system of a massive university course of Mathematics of a Faculty of Science, guiding criteria were established which were based on cognitive theories of learning. On the basis of those criteria surveys for students and teachers were implemented and the design of written examinations was discussed. We present here the design and validation of the questionnaire given to teachers and their results are analyzed. The model object for this investigation was built by following Samaja’s principles, and an analysis procedure of a formal type -based on systems of data matrixes- was developed which is useful for studying the details of any empirical research. It was deduced that there is little consistency between the evaluation criteria and the evaluation practice implemented.

Keywords Learning Assessment, criteria, cognitive approach, NCTM standards, survey for teachers, object model, empirical research, Samaja.

1. Introducción

Matemática I es una asignatura del primer cuatrimestre de primer año de la Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia de la Universidad Nacional de Tucumán, Argentina. Su currículo, de tipo técnico, abarca los contenidos sostenes del Cálculo Diferencial y de Integral indefinida de funciones de una variable, necesarios para el aprendizaje de otras asignaturas de las especialidades cursadas en la Facultad. En el año 2007 el número inicial de alumnos fue de 420 estudiantes con una relación docente alumno de 1/70 en clases prácticas y 1/420 en clases teóricas. El docente desempeñó un rol protagónico y resultaron escasas las situaciones de comunicación entre los distintos participantes del proceso educativo. Las evaluaciones llevadas a cabo mediante dos pruebas parciales

Coherencia entre criterios de evaluación y prácticas evaluativas de matemática P. Villalonga de García, S. González de Galindo y S. B. Mercau de Sancho


y un examen final integrador, fueron realizadas mediante pruebas de papel y lápiz, en fechas prefijadas con antelación. Se consideró que todos estos problemas tendrían influencia en la calidad de la enseñanza y evaluación del aprendizaje. Intentando mejorar la enseñanza y superar la limitación de realizar en cursos masivos sólo evaluación sumativa se diseñó el proyecto: “Estrategia didáctica que valoriza la regulación continua del aprendizaje en aulas multitudinarias de Matemática”. El mismo fue aprobado por el Consejo de Investigaciones de la Universidad Nacional de Tucumán (CIUNT) Argentina. Este proyecto, siguiendo lineamientos de teorías cognitivas y considerando las limitaciones del contexto, propone integrar la regulación en las situaciones de aprendizaje, diseñando actividades que no requieren intervención continua del profesor y favorecen la interacción social.

Para construir el marco conceptual del proyecto se estudiaron principios de enfoques cognitivos sustentados por la Teoría Psicogenética de Piaget, el Enfoque Histórico Cultural de Vigotsky y seguidores y la Teoría del aprendizaje significativo de Ausubel. Además, se analizaron lineamientos para la regulación y autorregulación del aprendizaje sostenidos por Jorba y Casellas y principios de los Estándares de evaluación del aprendizaje de la Matemática del National Council of Teachers of Mathematics (N.C.T.M) (Jorba y Casellas, 1997; Camillioni et al., 1998; Pérez González, 2000; Hernández Fernández, Delgado Rubí, y Fernández de Alaíza, 2001; Pacheco, 2005; Moreira y Caballero, 2008; N.C.T.M, 1995, 2000).

Del marco teórico se derivaron una serie de criterios orientadores de la evaluación del aprendizaje de la Matemática, que se constituyeron en referentes durante el desarrollo del proyecto (Villalonga de García, 2006, pp. 60-65; Villalonga, González, Holgado, Marcilla y Mercau, 2009; pp.1812-1829).

En base a estos criterios, se estableció el siguiente objetivo general: diseñar e implementar en aulas multitudinarias de Matemática, una estrategia didáctica que recurre al empleo de un material curricular elaborado ad hoc. Esta estrategia pretende favorecer aprendizajes significativos, valorizar la regulación continua del aprendizaje y contribuir a mejorar la calidad de la evaluación del aprendizaje, limitada en la asignatura sólo a evaluaciones sumativas. La descripción de la estrategia fue plasmada en un trabajo previo (González de Galindo, Villalonga de García y Marcilla, 2009, pp. 3-13).

Para analizar las metodologías de evaluación vigentes en esta asignatura se consideraron los resultados de una encuesta a alumnos del año 2007, se analizó el diseño de los exámenes escritos de ese año (únicos instrumentos de evaluación del aprendizaje implementados de manera sistemática) y se encuestó a docentes de la asignatura en el año 2008 (Villalonga de García, González de Galindo, Mercau de Sancho y Marcilla, 2009, pp. 658-668; Villalonga de García y González de Galindo, 2009, pp. 169-180; Villalonga, González, Mercau, Holgado y Marcilla, 2009, pp. 1-10).

Este artículo presenta: a) la construcción y validación del cuestionario aplicado a los docentes (ver Anexo 2), b) el diseño del espacio de atributos propio de este estudio, empleado como instrumento para analizar la información obtenida de la encuesta y c) los resultados obtenidos de la misma.

Siguiendo principios de Samaja se construyó el objeto modelo de esta investigación, basado en sistemas de matrices de datos, el cual se utilizó como procedimiento de análisis, para estudiar los datos del cuestionario. Lo más notable de los principios de Samaja es que dentro de la teoría clásica de la metodología de investigación, basada en variables, presenta, desde la perspectiva de la dialéctica, a los sistemas de matrices de datos como soporte básico del diseño investigativo, los cuales permiten formalizar el objeto modelo de cualquier tipo de investigación empírica. De esta manera se consigue, simultáneamente, la integración y complementariedad de las denominadas, por otros autores, técnicas cualitativas y cuantitativas.




El análisis de los datos de la encuesta permitió, con un costo de tiempo mínimo, deducir que existiría escasa coherencia entre los criterios generales que orientan la evaluación del aprendizaje y las prácticas evaluativas en uso.

2. Marco teórico

2.1. Criterios generales orientadores de la evaluación del aprendizaje de la Matemática

El marco teórico se construyó integrando principios de la teoría Psicogenética de Piaget, del Aprendizaje Significativo de Ausubel, del Enfoque Histórico Cultural de Vigotsky y de los estándares de evaluación del National Council of Teachers of Mathematics. En un trabajo anterior, basándose en la concepción de aprendizaje promovida por estas teorías cognitivas, se construyó una serie de criterios generales orientadores para evaluar el aprendizaje de la Matemática (N.C.T.M., 1995; N.C.T.M., 2000; Jorba y Casellas, 1997; Fernández de Alaíza García, 2001, pp.27-31; Villalonga de García, 2006, pp.60-65; Moreira, 2008; Villalonga, González, Holgado, Marcilla y Mercau, 2009, pp.1812-1829). Estos criterios establecen que la evaluación del aprendizaje debiera:

-Con relación al aprendizaje del estudiante:

1) Enriquecer el aprendizaje de la matemática. Este objetivo se alcanzará en la medida que la evaluación del aprendizaje sea continua e integral, y se caracterice por: a) Retroalimentar el proceso de enseñanza aprendizaje, informando al estudiante de los progresos logrados en el aprendizaje, b) Optimizar la comunicación entre los participantes, c) Desempeñar una función motivadora y educativa, y d) Formar a los alumnos como aprendices independientes mediante el empleo de técnicas autoevaluativas.

-Respecto al conocimiento matemático de los alumnos:

2) Enfatizar objetivos y contenidos relevantes. Es decir, aquellos destacados por el currículo y por los estándares de evaluación del N.C.T.M, que sean motivantes y coherentes con el nivel de desarrollo del estudiante. Además, se sobreentiende de que la evaluación debe indagar sobre contenidos integrados: conceptos, procedimientos y actitudes, y, ser un instrumento para desarrollar el pensamiento del alumno, el espíritu crítico y la creatividad.

-Acerca de la manera de implementarla:

3) Promover la igualdad de oportunidades (equidad). Esto implica, brindar un trato diferenciado a cada estudiante según sus características, potencialidades y limitaciones, ofreciéndole oportunidades para evaluar e incrementar su potencia matemática1 (N.C.T.M., 1995).

1 “La potencia matemática incluye la habilidad para explorar, efectuar conjeturas, y razonar lógicamente; para resolver problemas no rutinarios; para comunicar ideas matemáticas, y comunicarse usando la matemática como herramienta; y conectar ideas dentro de la matemática y, entre matemática y otra actividad intelectual. La potencia matemática también involucra el desarrollo personal de la auto-confianza y la disposición de buscar, evaluar y emplear información cuantitativa en la resolución de problemas y en la toma de decisiones. La flexibilidad del estudiante, perseverancia, intereses, curiosidad e inventiva también contribuyen a alcanzar la potencia matemática” (N.C.T.M., 1995). Corresponde a una traducción efectuada por las autoras, extraída del glosario de la versión electrónica de los estándares del N.C.T.M. del año 1995.



4) Ser un proceso abierto. Es decir, todos los implicados deben tener información sobre él, conocer los criterios de evaluación e interpretar los resultados de la misma.

5) Promover inferencias válidas acerca de aprendizajes significativos de la matemática. Este tipo de inferencias se logra: i) Con un programa pertinente de evaluación que emplee múltiples fuentes de información: observación, entrevistas, situaciones problemáticas abiertas y cerradas, diarios del profesor, pruebas de papel y lápiz, proyectos, portafolios etc. ii) Planificando los instrumentos de evaluación respetando tres momentos: diagnóstico, formativo y sumativo. iii) Empleando instrumentos válidos y confiables, y iv) Evaluando, también, objetivos no previstos.

6) Ser un proceso coherente con lo enseñado. 7) Ser una herramienta valiosa para la toma de decisiones para la enseñanza y el aprendizaje.

Las decisiones serán efectivas si: a) provienen de un programa de evaluación cuyas actividades son coherentes con la experiencia, conocimientos previos y necesidades de los estudiantes, b) brindan al docente información relevante acerca de aprendizajes significativos del estudiante que le permitan retroalimentar el proceso de enseñanza y c) otorgan al estudiante oportunidades para realizar gestión de errores y refuerzo de sus éxitos.

8) Mejorar aspectos generales de la personalidad del estudiante (tolerancia, colaboración, solidaridad, comprensión, corrección para obrar, respeto ante el trabajo ajeno, etc.).

Villalonga de García (2006, pp. 60-65), enuncia además, una serie de criterios específicos para evaluar los contenidos de la disciplina matemática. Estos criterios se refieren a evaluación de conceptos, procedimientos, resolución de problemas matemáticos, comunicación matemática y actitudes hacia la matemática.

2.2. Marco teórico de la metodología de investigación

Se presenta en este apartado una apretada síntesis de los principios de Samaja (2003) sobre los que se funda el diseño del objeto modelo de cualquier investigación empírica. Se sugiere al lector recurrir a la bibliografía para ahondar detalles de esta teoría.

El objeto modelo de investigación fue construido a partir de la concepción ternaria de ciencia refrendada por Pierce y por Samaja (Pierce, 1988). Dicha concepción considera que la idea de ciencia resultante de la operación hipotético-deductiva es restringida, por ello incorpora a la misma el conocimiento proveniente del mundo de la vida (la praxis o pragma) obtenido por la experiencia de protagonismo del sujeto al interactuar con el medio. En esta idea de ciencia, basada en el enfoque de la Teoría Fundada de Glaser y Strauss (Kornblit, 2004, pp.47-76), el investigador construye sus propias teorías sobre la realidad que indaga, obteniendo las categorías e indicadores del estudio durante el proceso. En consecuencia, el sujeto se relaciona subjetivamente con el objeto de conocimiento. Además, Samaja al superar la clásica dicotomía inducción-deducción, incluye en la ciencia otras formas de inferencias que considera válidas: la abducción y la analogía (Samaja, 2003, pp.104-108).

La tarea en toda investigación empírica es interpretar en términos teóricos los hechos de la experiencia. Dado que todo objeto real de estudio es complejo, es necesario que el indagador, en base a modelos preexistentes al acto investigativo: consecuencias de la historia personal, intuiciones, experiencia y circunstancias, o sea, en base a la preconcepción modelizante (Ladrière, 1978), efectúe una reducción de su complejidad, explicitando qué aspectos relevantes de sus componentes tendrá en cuenta y qué procedimientos concretos usará para llevar a cabo su descripción (Samaja, 2004). Es decir, debe construir un objeto modelo mediante el cual describirá al objeto de estudio basándose en un sistema propio de categorías. En esta etapa de la tarea científica, la acción y la modelización interactúan de manera que una determina sucesivamente a la otra. El concepto de operación o




procedimiento de relación entre conceptos es fundamental como lenguaje traductor apropiado de ser aplicado tanto en las hipótesis como en los datos experimentales. El autor caracteriza a las operaciones como: “a. acciones de transformación, b. de naturaleza formal, c. que pueden ser tematizadas (y ser incorporadas en operaciones de nivel más elevado), c. son generalizables; y d. no se dan aisladamente sino que están inscriptas en redes operatorias” (Samaja, 2003, p.158). Para emplear este lenguaje será necesario un intermediario del objeto de estudio: el objeto modelo.

Samaja (2003) considera cuatro operaciones básicas propias de la tarea científica: 1) El procedimiento de selección de las unidades de análisis (Entificación). 2) El procedimiento de identificación de variables y de sus valores (Categorización). 3) Los procedimientos que se ponen en juego con las dimensiones de las variables para llegar a los indicadores (Operacionalización). 4) El procesamiento de las observaciones, condicionado por las operaciones anteriores. El mismo, podrá realizarse centrado en las variables, en las unidades de análisis o en los valores (Procesamiento). Las cuatro operaciones, mediadoras entre el plano de los hechos y el plano de las ideas, constituyen los procedimientos necesarios para la determinación del objeto modelo o sistema de matrices de datos.

Desde esta perspectiva todo “dato” (Samaja, 2003, p.160) de cualquier investigación empírica, posee una estructura compleja invariante de cuatro componentes: unidad de análisis (UA), variables (V), valores (R) e indicadores (I). Esta estructura se denomina matriz de datos y en ella el indicador es el procedimiento aplicado a cada dimensión relevante de la variable para efectuar su medición o valoración. Tales procedimientos incluyen desde el empleo de un indicio perceptivo simple, hasta la construcción de escalas o números índices que combinan muchos ítems o dimensiones de una variable compleja.

A esta noción conviene agregar una representación espacial, como se muestra en la Figura 1 (Samaja, 2004, p. 49), que ayude a advertir el carácter jerárquico de algunas relaciones que se dan entre los cuatro elementos de la estructura del dato. En este diagrama debajo del símbolo del valor (R), figura el símbolo del indicador (I ), que está en relación de igualdad con la dimensión y el procedimiento, cuyos símbolos (d) y (p) están inmediatamente por debajo de la variable (V). Esta ubicación en el diagrama busca sugerir la relación de subordinación de la dimensión a la variable.

Figura 1: Estructura del dato científico. Carácter jerárquico de sus componentes (Samaja, 2004, p. 49).

El conjunto de variables relevantes que se eligen para describir el objeto real de la investigación se denomina espacio de atributos. El objeto modelo de la investigación queda delimitado, entonces, por los distintos tipos de unidades de análisis escogidas para la investigación mediante la aplicación de un espacio de atributos propio de cada unidad de análisis.

De esta manera, dentro de la teoría clásica de la metodología de la investigación basada en variables, Samaja (2003) replantea la teoría de Galtung (1978, pp. 1-21). Según este autor, en ciencias sociales cualquier dato posee una estructura que puede representarse a través de una matriz de tan sólo tres componentes: unidades de análisis, variables y valores. Samaja (2003), ampliando esta perspectiva en la dirección de una metodología dialéctica, propone en su tesis tres postulados:

UA (unidad de análisis) V (variable) R (valor de la variable)

d (dimensión)

p (procedimiento) I indicador



1. En cualquier ciencia empírica todos los datos de una investigación científica pueden subsumirse a una matriz de datos, con lo cual dicha matriz asume el carácter de invariante estructural del dato científico.

2. Todas las investigaciones poseen datos de distinto nivel, por lo cual no existe una única matriz sino un sistema de matrices de datos que dan cuenta de diferentes niveles de integración.

3. La estructura del dato no es tripartita sino cuatripartita, pues agrega al dato un cuarto elemento, los indicadores oportunamente definidos como “procedimientos aplicados a cada dimensión de la variable para efectuar su medición o valoración”.

Lazarfeld y Galtung sólo seleccionan la o las dimensiones relevantes de las variables para interpretar el sentido global de las mismas, pero no le otorgan un status epistemológico a los procedimientos u operaciones que se deberán llevar a cabo para observar la configuración de cada dimensión (Galtung, 1978, pp. 1-21). Para ambos autores la dimensión es observable por sí misma. En cambio, Samaja, sosteniendo el principio kantiano de que no hay intuición de conceptos, afirma que como la dimensión es un concepto no puede ser observable por sí misma. Considera necesario la existencia de un enlace entre los sentidos y el concepto de dimensión. Ese intermediario es el procedimiento o operación. De acuerdo a Samaja (2003, p.190),

Todo dato está cargado de praxis y por estarlo, puede ser un eslabón entre los hechos y los conceptos

por ello incluye al indicador en la estructura del dato y lo define compuesto por la dimensión de la variable más el procedimiento. De esta manera, Samaja (2003; 2004) sostiene que la descripción de un objeto complejo, y en principio, todo objeto de estudio en el área educativa es complejo, puede realizarse mediante un sistema, considerado como una clase especial de modelo. La noción de sistema permite descomponer un objeto complejo en diversos elementos con el fin de facilitar su análisis. Precisamente, estudiando el estado de un sistema en un punto determinado y evaluando sus elementos será posible compararlo con el de un estado subsiguiente.

El concepto de operación permite imprimir a la organización jerárquica de los hechos de la realidad, una connotación dinámica de gran importancia para el establecimiento de un sistema. De esta manera se da una dialéctica interna al mismo: sistema / suprasistema / subsistema. Sin embargo, es necesario puntualizar que para que este esquema funcione se debe entender que todo individuo pueda ser concebido como un colectivo y todo colectivo pueda ser concebido como un individuo. Así, en toda investigación empírica se determinan como mínimo tres matrices de datos relacionadas entre sí, constituyentes de un sistema de matrices de datos (Samaja, 2003, pp. 160-189): a) Una matriz central identificada con la matriz objetivo de la investigación, llamada matriz focal o de anclaje. b) Una matriz constituida por los contextos de las unidades de análisis del nivel de anclaje, llamada matriz de nivel supraunitario o contextual. c) Una matriz constituida por los componentes (partes) de las unidades de análisis del nivel de anclaje, llamada matriz de nivel infraunitario.

Algunas de las relaciones que pueden darse entre los tres niveles de matrices, son: a) las variables del nivel inferior pueden funcionar como dimensiones (o sea subvariables) de los indicadores del nivel superior; b) las unidades de análisis del nivel inferior pueden considerarse como variables del nivel superior; y, c) las unidades de análisis del nivel superior pueden obrar como contextos relevantes del nivel inferior. Estas relaciones indican que cada matriz de datos puede ser un elemento de un sistema pero, a su vez, en un nivel de integración inferior, ella misma puede ser un sistema siendo sus elementos los componentes del mismo.

El diagrama que muestra la Figura 2 fue diseñado por Samaja (2004, p.52) y brinda aproximadamente las relaciones jerárquicas que presentaría un sistema elemental de matrices de




datos. En el mismo, las flechas verticales unen elementos diferentes de las matrices de datos de distinto nivel. Con una flecha de trazo simple, une a la variable V del nivel inferior con el valor R del nivel inmediato superior; con una flecha de trazo doble, une a la unidad de análisis UA del nivel inferior con una variable V del nivel superior; y con una flecha horizontal con líneas de puntos, se simboliza la proyección de la unidad de análisis UA del nivel superior sobre el nivel inferior como variable contextual. Las flechas horizontales de trazos simples unen componentes del dato de un mismo nivel de integración.

Figura 2: Relaciones jerárquicas que presenta un sistema elemental de matrices de datos (Samaja, 2004, p. 52)

Es importante destacar que la presencia del indicador en la matriz de datos, se justifica a partir de su papel como mediador entre matrices de distinto nivel de integración, a la vez que incorpora al procedimiento como parte de él. Además, el indicador, al remitir al procedimiento, permite vincular un concepto con un “estado de cosas” del mundo externo, a través de la observación de una o más dimensiones de dicho concepto (Samaja, 2003).

3. Metodología

3.1. Las preguntas de investigación

Los criterios del modelo evaluativo seleccionado, además de servir como guías orientadoras para la indagación, originaron una serie de interrogantes motivo de reflexión en el contexto de la asignatura abordada en este estudio:

¿Se realiza evaluación sistemática en forma continua? ¿Es retroalimentado el proceso de enseñanza y aprendizaje en función de los resultados de las evaluaciones? ¿Tienen relevancia para el estudiante los contenidos evaluados? ¿Se evalúa con tareas coherentes a las efectuadas en clases? ¿Se prevén actividades de evaluación que permitan al estudiante monitorear sus logros y errores? ¿Se considera a la evaluación como instrumento que permite optimizar la comunicación de los participantes, motivar al alumno y formar aprendices independientes? ¿Se evalúa el incremento de la potencia matemática del alumno? ¿Se reflexiona sobre el grado de incidencia de la metodología de enseñanza y de los procedimientos de evaluación, como responsables en gran medida del fracaso de los estudiantes?

Estos interrogantes llevaron a enunciar la siguiente hipótesis sustantiva de investigación de tipo descriptiva.

R V UA (Contexto) Nivel Supraunitario

R V UA (Texto) Nivel Focal (anclaje)

R V UA (Subtexto) Nivel Infraunitario



3.2. La hipótesis de investigación

“La evaluación del aprendizaje de Matemática 1, se realiza con una concepción reduccionista”. En esta hipótesis la particularidad atribuida a la evaluación del aprendizaje alude a que la misma se considera desintegrada de los procesos de enseñanza y aprendizaje, siendo equivalente a examen y empleada sólo con el fin de acreditar (Pérez González, 2000). Es decir, no existe coherencia entre los criterios de evaluación establecidos y las prácticas evaluativas de la asignatura.

3.3. Acciones llevadas a cabo para contrastar esta hipótesis. Sus condicionamientos

Se consideró que las acciones realizadas para contrastar la hipótesis estarían condicionadas por los siguientes factores propios del contexto de la asignatura: baja relación docente alumno, estudiantes con excesivos compromisos horarios de los cuales podía disponerse muy poco tiempo para realizarles entrevistas, encuestas etc., imposibilidad por parte de las docentes participantes en esta investigación de alterar el normal funcionamiento de la asignatura. Teniendo en cuenta esta situación, se consideró que la manera más económica para recabar información acerca de la evaluación del aprendizaje sería mediante el empleo de:

i) Los resultados de un trabajo previo: una encuesta a una muestra aleatoria representativa de alumnos evaluados en la asignatura en el año 2007 (Villalonga de García, González de Galindo, Mercau de Sancho y Marcilla, 2009, pp. 658-668). Dicha encuesta fue diseñada en base a los criterios del marco teórico.

ii) El análisis de los ítems de todas las pruebas de evaluación sumativa (exámenes parciales y finales) del año 2007 (Villalonga, González, Mercau, Holgado y Marcilla, 2009, pp. 1-10; Villalonga de García y González de Galindo, 2009, pp. 169-180).

iii) Una encuesta implementada en 2008 a todo el personal docente de la asignatura, cuyo diseño y análisis es el objetivo de este artículo.

3.4. El cuestionario

Atendiendo a los criterios derivados del marco teórico y a características del contexto se diseñó un cuestionario con cinco ítems, tres de ellos de preguntas de respuestas cerradas con una o varias alternativas de elección y dos con preguntas abiertas (Vieytes, 2004, pp. 485-493). Se pretendía detectar, desde la perspectiva de los docentes, cuestiones relativas a la evaluación del aprendizaje y a los motivos de fracaso de los alumnos (ver Anexo 2):

A) Si la práctica evaluativa implementada: 1) enriquecía el aprendizaje; 2) evaluaba contenidos relevantes; 3) estaba abierta a todos los participantes del acto evaluativo; 4) promovía inferencias válidas; 5) era un proceso coherente; y 6) facilitaba la toma efectiva de decisiones.

Observación: dada las características del curso y la baja relación docente alumno, no puede otorgarse a cada estudiante igualdad de oportunidades y un trato diferenciado. Esta circunstancia llevó a dejar de lado el análisis de la equidad en este estudio.

B) Las causas de fracasos de los estudiantes.




3.4.1. Pilotaje

La encuesta se aplicó a una muestra de tres docentes, a modo de encuesta piloto, con el fin de verificar la claridad de los ítems del cuestionario. Se realizaron luego las modificaciones pertinentes del mismo.

3.4.2. Sujetos

Para responder el cuestionario se seleccionó a los diez docentes que participaron en el dictado de la asignatura Matemática 1 durante el primer cuatrimestre de 2008.

3.4.3. Estudio de las características técnicas del instrumento: validez y confiabilidad

Se estudió la validez de contenido de la encuesta sometiéndola al juicio de jueces expertos en el tema, quienes comprobaron que los items respondían a los objetivos de la encuesta. La muestra de expertos se seleccionó teniendo en cuenta: años de experiencia docente, capacidad de análisis, espíritu crítico y vínculo con la enseñanza de la asignatura en la universidad. Los jueces seleccionados fueron cinco docentes universitarios de Física y Matemática abocados a la investigación en educación en ciencias. Debían responder al siguiente interrogante: ¿Están contemplados en los ítems de la encuesta todos los objetivos enunciados para su construcción? Ante esta cuestión los jueces debían, para cada uno de los objetivos enunciados, seleccionar una de las opciones: “Adecuadamente Contemplado”, “Medianamente Contemplado” y “No Contemplado”, considerando el grado en el que el objetivo había sido contemplado en las preguntas del cuestionario.

Se testó mediante la prueba de rangos de Friedman la hipótesis nula de concordancia de las valoraciones asignadas por los jueces a cada objetivo. Prefijando un nivel de significación α = 0,05 se obtuvo un p-value = 0,107, con lo que se aceptaría la hipótesis de concordancia de las valoraciones asignadas a los objetivos por los cinco jueces. Además, es de destacar que en la concordancia de opiniones, primó en las respuestas la categoría “Adecuadamente Contemplado” en un porcentaje igual al 90 %.

La validez de contenido de la encuesta pudo también corroborarse por el marco teórico de referencia construido en base a principios avalados por la comunidad científica actual. Para favorecer la confiabilidad de las mediciones, la respuesta al cuestionario fue anónima, tomada en un ambiente distendido y sin haberse fijado un tiempo máximo para responderla.

3.5. Unidades de análisis, variables, indicadores y valores. Definición operacional de las variables

Los objetivos de esta investigación llevaron a escoger como unidad de análisis a la respuesta al ítem (pregunta) del cuestionario, siendo el nivel de anclaje de la matriz focal, el nivel unitario.

En esta investigación se hizo un análisis centrado en las variables (Samaja, 2003, pp. 287-288). Las variables consideradas relevantes para el contexto de investigación fueron: 1.Enriquecer el aprendizaje, 2.Relevancia, 3. Apertura, 4. Promover inferencias válidas, 5. Coherencia, 6. Toma de decisiones y 7. Causas de fracasos.

Las mismas se definieron conceptualmente atendiendo al marco teórico, a experiencias docentes de las autoras de este trabajo y a características propias del contexto de investigación es decir, a partir La definición conceptual de las variables es la siguiente:



1. Enriquecer el aprendizaje: prácticas evaluativas de una asignatura que mejoran el aprendizaje.

Para esta variable se construyeron las siguientes dimensiones de estudio:

1.1 Evaluación continua: prácticas evaluativas del aprendizaje implementadas como procesos sistemáticos y continuos, integradas a la enseñanza y al aprendizaje.

1.2 Monitoreo de logros y errores: tareas evaluativas que informan continuamente al estudiante de los logros alcanzados y errores cometidos.

1.3 Función comunicativa: tareas evaluativas de una asignatura que favorecen la comunicación entre los participantes (alumno –docente y alumnos entre sí).

1.4 Función motivadora: tareas evaluativas que despiertan el interés del aprendizaje por la asignatura.

1.5 Aprendices independientes: tareas evaluativas que forman a los alumnos en la regulación de sus propios procesos de pensamiento y de aprendizaje.

2. Relevancia: tareas evaluativas llevadas a cabo mediante el empleo de instrumentos integradores que enfatizan contenidos destacados por el currículo, coherentes con el nivel de desarrollo del alumno, que lo motivan y, además, favorecen procesos reflexivos.

3. Apertura: prácticas evaluativas del aprendizaje que brindan continuamente al estudiante información sobre el proceso de enseñanza aprendizaje y le permiten conocer los criterios de evaluación e interpretar los resultados de la misma.

4. Inferencias válidas: prácticas evaluativas implementadas en tres momentos: diagnóstico, formativo y sumativo, que promueven inferencias ciertas acerca del aprendizaje del estudiante y que son llevadas a cabo mediante un programa de evaluación pertinente y validado por expertos.

5. Coherencia: prácticas evaluativas del aprendizaje que se corresponden con lo enseñado en la asignatura.

6. Toma de decisiones: prácticas evaluativas que permiten tomar decisiones valiosas para la enseñanza y el aprendizaje y que se caracterizan por: i) el empleo de múltiples fuentes de información, ii) respetar los tres momentos de la evaluación: diagnóstico, formativo y sumativo, iii) ser motivadoras y iv) emplear instrumentos válidos.

7. Causas de fracasos: factores que tienen mayor influencia en el bajo rendimiento académico de los alumnos de una asignatura.

En el Anexo 1, la Tabla 1 muestra el espacio de atributos relevantes para este estudio y la definición operacional de las variables. Si a la respuesta al ítem, unidad de análisis de esta indagación, se le aplica este espacio de atributos obtendremos el sistema de matrices de datos correspondiente a los niveles de anclaje e infraunitario.




4. Resultados

En las tablas se presentan los resultados de cada ítem como el cociente de la frecuencia de respuesta al ítem dividido en el número de docentes encuestados (10).

Pregunta 1 Pregunta 3 Pregunta 4

Ítem Frecuencia de respuesta /10



1 a ) 7/10 3 a ) 8/10 4 a ) 10/10 1 b ) 2/10 3 b ) 10/10 4 b ) 6/10 1 c ) 7/10 3 c ) 2/10 4 c ) 5/10 1 d ) 9/10 3 d ) 7/10 4 d ) 1/10 1 e) 0/10 3 e) 10/10 4 e) 2/10 1 f ) 0/10 3 f ) 2/10 4 f ) 6/10 1 g ) 10/10 3g ) 0/10 4 g ) 6/10 1 h ) 10/10 4 h ) 2/10 4 i ) 9/10 4 j ) 0/10

Pregunta 2: 9 docentes respondieron que evalúan mediante exámenes parciales y finales. Un docente no respondió.

Pregunta 3 h): Cite otros factores que considere importantes: “carga horaria de la materia insuficiente”, “escasa ejercitación adicional”, “falta de hábitos de estudio”, “poco uso de recursos brindados por la cátedra: consultas”.

Pregunta 5: no hubo ninguna respuesta.

5. Discusión de los resultados. Análisis descriptivo de los datos

En los párrafos que siguen se presenta, para cada dimensión de las variables, el análisis descriptivo efectuado.

Enriquecer el aprendizaje

La información recabada de la dimensión evaluación continua, evidencia que en la práctica la evaluación es concebida como sinónimo de acreditación, ya que 9 de los docentes opinan que se evalúa el aprendizaje mediante exámenes parciales y un examen final. Por otra parte, tan sólo dos docentes manifestaron emplear encuestas para recabar opiniones sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje (ítem 4h). Un número mayoritario considera que la evaluación es un instrumento para reflexionar sobre la enseñanza impartida (7/10; ítem 1c) y para ajustar el proceso de enseñanza y aprendizaje (9/10; ítem 1d), acciones que, de acuerdo al sistema evaluativo implementado, se ejecutarían a posteriori de la evaluación sumativa y no como formas de remediar deficiencias durante el proceso de enseñanza y aprendizaje. También, se evidenciarían carencias en la función formativa de la evaluación, dado que los docentes no implementarían acciones para facilitar el monitoreo de logros y errores (0/10; ítem 4j). Tan sólo 2 afirman que la evaluación mejora el aprendizaje (ítem 1b) y ninguno revisa en clases los resultados de los exámenes. Simultáneamente, la evaluación no cumpliría una función motivadora (0/10, ítem 1e). Tampoco favorecería la formación de aprendices independientes: sólo un docente opina que la evaluación propicia procesos reflexivos (ítem 4d) y tan sólo 2 informan a sus alumnos los criterios de evaluación (ítem 4e). Estos datos, sumado a lo ya mencionado, de que no se realizan clases especiales para revisar resultados de exámenes (0/10; ítem 4j) inducirían a



pensar que la evaluación del aprendizaje es implementada sólo como instrumento de control y no como una necesidad emanada del mismo proceso de enseñanza y aprendizaje.

Ocho de los docentes (ítem 1f) consideran que la evaluación no favorece la comunicación, postura que podría justificarse dada la baja relación docente-alumno. Para los docentes encuestados la escasa comunicación docente-alumno (2/10; ítem 3f) y alumno- alumno (0/10; ítem 3g) no son interpretados como factores de bajo rendimiento académico.

En base a los criterios establecidos en el marco teórico, este análisis indicaría que la evaluación del aprendizaje implementada en Matemática 1 no enriquecería en gran medida el aprendizaje.

Relevancia

Conforme a principios vigentes de investigación educativa en enseñanza de la Matemática, los resultados revelarían que en la asignatura, hay deficiencias en la relevancia de los contenidos incluidos en la evaluación. Los docentes concuerdan con una problemática que presenta el alumno ingresante a la universidad: conocimientos previos deficientes (10/10; ítem 3b), señalada como una de las principales causas de fracasos de los estudiantes. Otros aspectos que contribuirían a pensar en la escasa relevancia de los contenidos evaluados serían: actividades que difícilmente favorecerían procesos reflexivos (un solo docente opina lo contrario, ítem 4d). No siempre se comparten objetivos con los estudiantes, ni se diseñan tareas evaluativas integradoras. Sólo 6 de los docentes atienden ambos aspectos (ítems 4b y 4f). El estudio relativo a la relevancia se amplió con el análisis de los documentos que contienen los exámenes del año 2007, estudio, que se efectuó en base a criterios específicos para evaluar los contenidos de la disciplina Matemática (evaluación de conceptos, procedimientos, resolución de problemas matemáticos, comunicación matemática y actitudes hacia la matemática) enunciados en un trabajo de Villalonga de García (2006, pp. 60-65) (Villalonga, González, Mercau, Holgado y Marcilla, 2009, pp. 1-10; Villalonga de García y González de Galindo, 2009, pp. 169-180).

Apertura

Sólo 2 de los docentes informan a sus alumnos los criterios de evaluación. Todos los encuestados opinan que la evaluación no favorece la comunicación y que nunca se implementan clases especiales para revisar resultados de exámenes. Estos datos indicarían deficiencias en la información que los estudiantes tienen del proceso evaluativo. La baja relación docente-alumno y el escaso tiempo disponible para desarrollar los contenidos del currículo, determina que se restrinjan los espacios para compartir criterios evaluativos y juicios que genera la evaluación.

Coherencia

Existiría coherencia entre lo enseñado y lo evaluado mediante pruebas de papel y lápiz, únicos instrumento empleado para tal fin (10/10; ítem 4a).

Toma de decisiones

En la asignatura se efectúa sólo evaluación sumativa mediante exámenes parciales y finales (9/10; ítem 2). En consecuencia, la toma de decisiones se efectuaría a posteriori de cada examen. Las dimensiones consideradas: ajustar el proceso de enseñanza y aprendizaje (9/10; ítem 1d), realizar cambios en la planificación (6/10; ítem 4g), reflexionar sobre la enseñanza impartida (7/10; ítem 1c), analizar logros y falencias del aprendizaje (10/10; ítem 1g) y la posibilidad de diagnosticar a partir de la evaluación (7/10; ítem 1a), exhiben acciones que se concretarían después de la evaluación sumativa.




La excesiva carga horaria de las tres asignaturas que cursan simultáneamente los alumnos, sumada a los numerosos contenidos matemáticos a desarrollar en un cuatrimestre, determinan que las acciones correctivas de la enseñanza y el aprendizaje deducidas después de cada evaluación sumativa, se implementen recién en el período lectivo siguiente. Estos resultados y los que se observan del análisis de la pregunta 3, referida a factores de mayor influencia en los bajos rendimientos, permiten afirmar que no se implementan, durante el cursado de la asignatura, prácticas evaluativas que posibiliten tomar decisiones valiosas para la enseñanza y el aprendizaje.

Inferencias válidas

Para promover inferencias válidas acerca del aprendizaje de la matemática es necesario evaluar empleando múltiples fuentes de información. La preponderancia del empleo de instrumentos de evaluación sumativa y la baja relación docente alumno, tornan de dudosa validez las inferencias de aprendizajes significativos que puedan obtenerse de la evaluación implementada.

Causas de fracasos

Los cuatro factores de mayor influencia en los bajos rendimientos académicos de los estudiantes, ordenados en forma decreciente según porcentajes de respuestas, serían: a) Carencias de conocimientos previos (10/10; ítem 3b) y falta de estudio (10/10; ítem 3e), b) infraestructura inadecuada para grupos numerosos (8/10; ítem 3a) y c) factores personales del alumno (7/10; ítem 3d). Otros causas de fracasos citadas en la opción abierta de la pregunta 3h fueron: “carga horaria de la materia insuficiente”, “escasa ejercitación adicional”, “falta de hábitos de estudio”, “poco uso de recursos brindados por la cátedra: consultas”. Sorprende que los docentes, a pesar de trabajar con aulas multitudinarias, no señalen a la escasa comunicación como causa importante del fracaso en las evaluaciones.

6. Conclusiones

Corroboración de la hipótesis de investigación

Los resultados obtenidos de este trabajo evidenciarían que la evaluación del aprendizaje sería equivalente a examen, medición o acreditación. Es decir, al estar desintegrada de los procesos de enseñanza y aprendizaje, no sería implementada como un componente estructural y dinámico que posibilita el monitoreo de los avances de cada estudiante hacia las metas de aprendizaje, proporcionándole una retroalimentación relevante y útil que le permita apreciar el incremento de su potencia matemática. Por lo tanto, es posible corroborar la hipótesis de investigación enunciada. O sea, no existiría coherencia entre todos los criterios de evaluación enunciados en el marco teórico y las prácticas evaluativas implementadas en la asignatura.

Líneas de investigación que quedan abiertas

Han quedado abiertas cuestiones a abordar en el futuro. Los resultados obtenidos a través del tratamiento de los datos aportados por la encuesta a docentes, se completarán posteriormente triangulando información obtenida de otras fuentes: opiniones de los alumnos y de las evaluaciones sumativas (Forni, Gallart y Vasilachis de Gialdino, 1992, pp. 85-86).

Las falencias detectadas en este análisis llevan a formular la siguiente pregunta: ¿Podría revertirse esta situación si se implementara un programa de evaluación, ajustado al contexto de



referencia? ¿Contribuiría el mismo a elevar la calidad de la evaluación del aprendizaje de la asignatura?

El diseño y puesta en práctica de tal programa será precisamente el objetivo último que se propondrán las autoras del presente trabajo.

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Villalonga de García, Patricia, nacida en 1952 en Tucumán, Argentina. Lic. en Matemática y Mg en Enseñanza de la Matemática Superior. Prof. Asociada de Matemática 1 y Matemática 2 de la Fac. de Bioquímica, Química y Farmacia de la U.N.T., Argentina. Dictó cursos de posgrado. Investigadora del Consejo de Investigación de la U.N.T. Tiene publicados numerosos trabajos en el área Matemática y Educativa en Revistas Nacionales e Internacionales. Email: [email protected]

González de Galindo, Susana, nacida en 1948 en Tucumán, Argentina. Lic. en Matemática, Prof. en la Enseñanza Media, Normal y Especial (Especialidad Matemática) y Mg. en la Enseñanza de la Matemática Superior. Prof. Asociada de Matemática 1 y Matemática 2 de la Fac. de Bioquímica, Química y Farmacia, Tucumán. Argentina. Investigadora del Consejo de Investigación de la U.N.T. Dictó cursos de postgrado y publicó numerosos trabajos en el área Matemática y Educativa en Revistas Nacionales e Internacionales. Email: [email protected]

Mercau de Sancho, Susana Beatriz, nacida en 1967 en Tucumán, Argentina. Lic. en Matemática y Esp. en Investigación Educativa (UNT). J.T.P. de Matemática 1 de la Fac. de Bioquímica, Química y Farmacia. Tucumán. Prof. Adjunta de Análisis Matemático I de la Fac. de Ingeniería de la Universidad del Norte Santo Tomás de Aquino. Investigadora del Consejo de Investigación de la U.N.T .Tiene publicados trabajos en el área Matemática y Educativa. Email: [email protected]



Anexo 1

Tabla 1: Espacio de atributos con la definición operacional de las variables

Variable Dimensión Subdimensión Valor y procedimiento

Enriquecer el aprendizaje

Evaluación continua

Diagnosticar 1: es verdadera 1a. 0: es falsa 1a.

Mejorar el aprendizaje 1: es verdadera 1b. 0: es falsa 1b.

Reflexionar sobre la enseñanza impartida

1: es verdadera 1c. 0: es falsa 1c.

Ajustar el proceso de E-A 1: es verdadera 1d. 0: es falsa 1d.

Examen final 1: la U.A pertenece a la clase examen final (p 2). 0: la U.A no pertenece a la clase examen final (p 2).

Examen parcial 1: la U.A. pertenece a la clase examen parcial (p 2). 0: la U.A no pertenece a la clase examen parcial (p 2).

Encuestas 1: la U.A. pertenece a la clase encuestas (p. 2). 0: la U.A. no pertenece a la clase encuestas (p 2).

Acreditación 1: es verdadera 1h. 0: es falsa 1h.

Monitoreo de logros y errores

Mejorar el aprendizaje 1: es verdadera 1b. 0: es falsa 1b.

Revisar en clases resultados de exámenes

1: es verdadera 4j. 0: es falsa 4j.

Comunicación

Favorecer la comunicación 1: es verdadera 1f. 0: es falsa 1f.

Comunicación docente - alumno 1: señala 3f. 0: no señala 3f.

Comunicación alumno – alumno 1: señala 3g. 0: no señala 3g.



Función motivadora

Motivar al alumno 1: es verdadera 1e. 0: es falsa 1e.

Aplicaciones a las ciencias 1: es verdadera 4c. 0: es falsa 4c.

Aprendices independientes

Favorecer procesos reflexivos 1: es verdadera 4d. 0: es falsa 4d.

Informar los criterios de evaluación 1: es verdadera 4e. 0: es falsa 4e.

Apertura

Se informan criterios de evaluación

1: es verdadera 4 e. 0: es falsa 4 e.

Favorecer la comunicación

1: es verdadera 1f. 0: es falsa 1f.



Evaluación acorde a los objetivos

1: es verdadera 4 b. 0: es falsa 4 b.

Relevancia

Conocimientos previos 1: se señaló como factor de bajos rendimientos 3b. 0: no se señaló como factor de bajos rendimientos 3b.

Aplicaciones a las ciencias

1: es verdadera 4 c. 0: es falsa 4 c.

Favorecer procesos reflexivos

1: es verdadera 4 d. 0: es falsa 4 d.

Instrumento integrador 1: es verdadera 4 f. 0: es falsa 4 f.

Evaluación acorde a los objetivos

1: es verdadera 4 b. 0: es falsa 4 b.

Coherencia 1: es verdadera 4a. 0: es falsa 4a.

Nota: 1a,1b,1c,1d,1e,1f, 1h, p2, 3b,3g,3f, 4a, 4b,4c, 4d, 4e, 4f, 4j son los correspondientes números de ítems del cuestionario.




Tabla 1 (Continuación): Espacio de atributos con la definición operacional de las variables

Variable Dimensión Subdimensión Valor y Procedimiento

Causas de

fracasos

Comunicación alumno – alumno

1: señala 3g. 0: no señala 3g.

Comunicación docente – alumnos

1: señala 3f. 0: no señala 3f.

Metodología implementada 1: señala 3c. 0: no señala 3c.

Factores personales 1: señala 3d. 0: no señala 3d.

Infraestructura inadecuada 1: señala 3a. 0: no señala 3a.

Conocimientos previos deficientes

1: señala 3b. 0: no señala 3b.

Falta de estudio 1: señala 3e. 0: no señala 3e.

Inferencias

válidas

Cambios o ajustes en la planificación

. 1: es verdadera 4g. 0: es falsa 4g



Validez de contenido 1: es verdadera 4i. 0: es falsa 4i.

Diagnóstico 1: es verdadera 1a. 0: es falsa 1a.

Encuestas 1: la U.A. pertenece a la clase encuestas (p 2). 0: la U.A. no pertenece a la clase encuestas (p 2).

Examen parcial 1: la U.A pertenece a la clase examen parcial (p 2). 0: la U.A. no pertenece a la clase examen parcial (p 2).

Examen final 1: la U.A pertenece a la clase examen final (p 2). 0: la U.A. no pertenece a la clase examen final (p 2).

Toma de

decisiones

Ajustar el proceso de E-A

1: es verdadera 1d. 0: es falsa 1d.



Cambios o ajustes en la planificación

1: es verdadera 4g. 0: es falsa 4g.

Motivar al alumno 1: es verdadera 1e. 0: es falsa 1e.



Analizar logros y falencias 1: es verdadera 1g. 0: es falsa 1g.

Diagnóstico 1: es verdadera 1a. 0: es falsa 1a.

Encuestas 1: la U.A. pertenece a la clase encuestas (p 2). 0: la U.A. no pertenece a la clase encuestas (p 2).

Examen parcial 1: la U.A pertenece a la clase examen parcial (p 2). 0: la U.A. no pertenece a la clase examen parcial (p 2).

Examen final 1: la U.A pertenece a la clase examen final (p 2). 0: la U.A. no pertenece a la clase examen final (p 2).

Nota: 1a, 1c, 1d, 1e, 1g, p2,3a 3b,3c,3d,3e,3f, 3g, 4g, 4i, 4j son los correspondientes números de ítems del cuestionario.



Anexo 2

ENCUESTA A DOCENTES DE MATEMÁTICA 1. AÑO 2008

El objetivo de este cuestionario es conocer las características que para usted tiene la evaluación en MATEMÁTICA 1. Se agradece su respuesta anónima, la cual será un aporte valioso para analizar este aspecto fundamental del proceso de enseñanza y aprendizaje vigente en esta asignatura. 1) Señale con una cruz la proposición que considere verdadera. Puede marcar una o más: En Matemática 1 los instrumentos de evaluación que se implementan permiten:

a) diagnosticar el nivel de conocimientos del grupo de alumnos, b) enriquecer el aprendizaje de los alumnos, c) reflexionar sobre la enseñanza impartida, d) ajustar el proceso de enseñanza y aprendizaje, e) motivar al alumno, f) favorecer la comunicación entre los participantes, g) conocer logros y falencias en el aprendizaje, h) acreditar.

2) ¿Qué instrumentos emplea para evaluar a los alumnos y al proceso de enseñanza y aprendizaje? 3) Señale los cuatro factores que de acuerdo a su criterio, tienen mayor influencia en los bajos rendimientos académicos de sus alumnos.

a) Infraestructura inadecuada para grupos numerosos. b) Deficiencias en los conocimientos previos. c) La metodología de enseñanza implementada. d) Factores personales del alumno. e) Falta de estudio. f) Escasa comunicación entre docente y alumnos. g) Escasa comunicación entre alumnos entre sí. h) Cite otros factores que considere importantes:

4) Califique las siguientes proposiciones, referidas a Matemática I, de verdaderas o falsas: a) Se evalúa lo que se enseña. b) Se evalúa de acuerdo a los objetivos propuestos. c) En las evaluaciones se incluyen actividades de aplicación a las ciencias. d) Las actividades de evaluación favorecen procesos reflexivos sobre los contenidos matemáticos

desarrollados en clase. e) Se informa a los alumnos sobre los criterios de evaluación. f) Para otorgar la condición de alumno regular, se evalúa con un instrumento integrador de todos los

temas estudiados. g) A partir de la información que se recoge de la evaluación se realizan cambios o ajustes en la

planificación establecida. h) Durante el cursado de la asignatura, el docente implementa encuestas a sus alumnos a fin de

autoevaluarse y modificar posteriormente su accionar en las clases restantes. i) Cada instrumento de evaluación goza de validez de contenido (contiene un alto porcentaje del total

de contenidos desarrollados durante el curso) j) Se implementan clases especiales para analizar logros y errores cometidos por los alumnos en las

pruebas escritas. 5) Sugiera los aspectos acerca de la evaluación que, de acuerdo a su opinión, no fueron incluidos en esta encuesta.




Módulo de enseñanza para la introducción de las ecuaciones diferenciales ordinarias en un ambiente de resolución de problemas con tecnología1

Josefa Perdomo Díaz (Universidad de La Laguna)

Fecha de recepción: 15 de julio de 2011 Fecha de aceptación: 30 de septiembre de 2011

Resumen En este artículo se presenta parte de una investigación relacionada con los procesos de enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Se distinguen dos partes principales: en primer lugar se muestra el análisis de la forma en que un grupo de estudiantes que han recibido una formación tradicional del concepto utilizan sus conocimientos matemáticos para resolver problemas y responder a cuestiones relacionadas con las EDO, para continuar con el diseño e implementación de un Módulo de Enseñanza para la introducción de las EDO en un ambiente de resolución de problemas, haciendo uso de TIC (calculadora VoyageTM200). Finalmente se analiza el papel que la resolución de problemas, la tecnología y la interacción jugaron en el proceso de aprendizaje y se describen los aspectos cognitivos observados en el desarrollo de este Módulo.

Palabras clave Ecuaciones diferenciales ordinarias, resolución de problemas, tecnología, interacción.

Abstract In this article we present a part of a research related with ordinary differential equations (ODE) teaching and learning processes. Two main parts are distinguished: in first place we show an analysis of how a group of students who received a traditional training of the concept use his mathematical skills to solve problems and answer questions related to ODE. The paper continues with the design and implementation of a teaching module to introduce ODE by creating an environment of problem solving, using TIC (VoyageTM200 calculator). Finally the role that problem solving, technology and interaction played in the learning process is analyzed and cognitive aspects observed in the development of this module are described.

Keywords Ordinary differential equations, problem solving, technology, interaction.

1. Introducción

Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) están consideradas como uno de los tópicos básicos en la formación de profesionales de especialidades relacionadas con la ciencia y la tecnología, tal y como se refleja en diversos currículos del nivel universitario, por ejemplo las licenciaturas o los grados en Matemáticas, Física, Química, Económicas... La razón de su importancia es clara: las ecuaciones diferenciales permiten describir fenómenos de variación y por tanto resultan de utilidad para modelizar, analizar y resolver numerosos problemas que surgen en diferentes contextos.

1 Este artículo está basado en la memoria de Tesis Doctoral realizada por la autora, dirigida por los Doctores Matías Camacho Machín (Universidad de La Laguna, Tenerife) y L. Manuel Santos Trigo (Cinvestav-IPN, México) y presentada en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de La Laguna, el 3 de diciembre de 2010.

Módulo de enseñanza para la introducción de las ecuaciones diferenciales ordinarias en un ambiente de resolución de problemas y uso de tecnología J. Perdomo Díaz


La investigación que se presenta en este artículo surge como respuesta a la preocupación mostrada por diversos profesores universitarios que han enseñado ecuaciones diferenciales durante su trayectoria profesional, al observar que sus estudiantes tenían dificultades para resolver problemas presentados en un contexto no matemático.

El trabajo se realizó en dos fases. La pregunta de investigación que guía la primera de las fases es:

Pregunta de investigación 1: ¿Cómo utilizan los estudiantes sus conocimientos matemáticos para resolver problemas en los que intervienen conceptos y significados relacionados con las ecuaciones diferenciales ordinarias?

En esta primera fase de la investigación el objetivo es indagar acerca de la red de significados que un grupo de estudiantes, que están en pleno proceso de aprendizaje de las EDO, ha construido en torno a dicho concepto y la forma en que lo utilizan para resolver problemas y responder a cuestiones relacionadas con las ecuaciones diferenciales, sus soluciones y el campo de direcciones asociado a una ecuación particular. En esta primera etapa participaron alumnos de las licenciaturas en Física y Matemáticas de la Universidad de La Laguna (España) que habían recibido una enseñanza del concepto que denominaremos tradicional, centrada en la definición formal del concepto, la posterior clasificación de las ecuaciones y el uso de métodos algebraicos de resolución.

Los datos obtenidos mostraron cierta tendencia de los participantes a centrarse en la búsqueda de algoritmos de resolución para dar respuesta a las actividades propuestas, presentando un sistema débil de conexiones entre distintas interpretaciones del concepto de derivada y su relación con el concepto de ecuación diferencial ordinaria, además de ciertas carencias en cuanto a habilidades y capacidades esenciales para el aprendizaje de las matemáticas y la resolución de problemas matemáticos, como reflexionar, representar, abstraer o generalizar.

La segunda fase de la investigación surge como respuesta a los resultados obtenidos en la primera fase y en ella nos planteamos las siguientes preguntas de investigación:

Pregunta de investigación 2: ¿Cómo diseñar y desarrollar en el aula una ruta de enseñanza y aprendizaje, basada en la resolución de problemas, que promueva la construcción del concepto de EDO de forma integrada con el concepto de derivada?

Pregunta de investigación 3: ¿Qué procesos cognitivos desarrollarán los estudiantes haciendo uso de un modelo de enseñanza para la introducción de las ecuaciones diferenciales ordinarias basado en la resolución de problemas?

Pregunta de investigación 4: ¿Qué influencia tendrán los tres elementos introducidos en el proceso de aprendizaje (resolución de problemas, tecnología e interacción entre estudiantes)?

De esta forma, la segunda fase de la investigación comienza con el diseño y la implementación de un Módulo de Enseñanza para la introducción del concepto de EDO, tomando como punto de partida diferentes significados asociados al concepto de derivada de una función (Thurston, 1994) y conjugando tres elementos: la resolución de problemas, el uso de tecnología y la interacción entre alumnos. Este Módulo de Enseñanza se diseñó con el objetivo de introducir el concepto de EDO en un primer curso de la licenciatura en Química de la Universidad de La Laguna y se implementó con un grupo de alumnos que ya habían estudiado cálculo en una y varias variables.

Módulo de enseñanza para la introducción de las ecuaciones diferenciales ordinarias en un ambiente de resolución de problemas y uso de tecnología

J. Perdomo Díaz



A lo largo de este artículo describiremos las actividades que se propusieron a los estudiantes de cada una de las fases de investigación y mostraremos parte de las respuestas a las preguntas de investigación formulada. Previamente, presentaremos algunos resultados de otras investigaciones que están directamente relacionados con el problema de investigación tratado en este artículo.

2. Antecedentes de la investigación

Las investigaciones relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales se pueden dividir en dos grandes grupos: aquellas centradas en la detección y análisis de dificultades en el proceso de aprendizaje y las que proponen modelos de enseñanza alternativos al modo tradicional, basado en el tratamiento algebraico del concepto, la clasificación de las ecuaciones en diferentes tipos y el uso de métodos algebraicos de resolución específicos para cada tipo de ecuación.

La mayoría de las investigaciones centradas en el aprendizaje de las EDO están relacionadas con el concepto de solución, en particular, las soluciones de equilibrio. Distintos trabajos señalan este concepto como elemento que provoca la aparición de dificultades en el tratamiento de las EDO, considerando dos posibles causas: (i) el hecho de que el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial es un espacio formado por funciones y no por valores numéricos y (ii) el uso de métodos de resolución o de cálculo en el que se consideran las variables como símbolos que se deben manipular, sin tomar en cuenta su significado (p. e. Rasmussen, 2001; Zandieh y McDonald, 1999).

Rasmussen y Whitehead (2003) realizaron una revisión de distintos trabajos relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de las EDO, identificando distintas estrategias, dificultades y formas de comprender que muestran los estudiantes en relación con la creación, interpretación y coordinación de distintos sistemas de representación (incluyendo diagramas de fase y de bifurcación) y la formulación de predicciones justificadas acerca del comportamiento de las funciones solución. En una investigación más reciente, Guerrero, Camacho y Mejía (2010) analizan la forma en que los estudiantes utilizan sus conocimientos matemáticos para representar el campo de direcciones asociado a una EDO, observando que no logran articular correctamente los sistemas de representación gráfico y algebraico, lo que les dificulta el análisis de las soluciones de una EDO cuando no disponen de su expresión algebraica.

Ante estas dificultades han surgido distintas propuestas de modificación del modelo de enseñanza de las ecuaciones diferenciales ordinarias. La primera de ellas fue formulada por Artigue (1987) y su característica principal es que potencia el uso de los sistemas de representación gráfico y algebraico para la enseñanza de las EDO. Los resultados de esta investigación muestran que los estudiantes que participaron en ella tuvieron éxito en la resolución de determinadas actividades en las que se simultaneaban los dos registros (p.e. relacionar diferentes ecuaciones diferenciales con las gráficas de distintas funciones o estudiar la monotonía de las soluciones analizando el signo de la primera derivada), sin embargo presentaron dificultades con el tratamiento gráfico de las funciones. Habre (2000) y Guerra-Cáceres (2003) comprobaron que, aún considerando distintos sistemas de representación en el tratamiento de las EDO, los estudiantes siguen relacionando el concepto con un conjunto de estrategias para la clasificación de las ecuaciones y una serie de métodos algebraicos para la resolución de cada uno de los tipos de EDO.

Otro modelo de enseñanza propuesto en el ámbito de la investigación en Educación Matemática es el realizado en el marco del proyecto Inquiry-Oriented Differential Equation (IO-DE), en el que se interpreta el concepto de EDO como una expresión que indica la evolución de una función en el tiempo (Rasmussen y Kwon, 2007). Los estudiantes que participan en este proyecto trabajan en un



ambiente en el que se promueve la discusión, el planteamiento de conjeturas, la justificación de las ideas y la creación de métodos de resolución propios (Rasmussen y Blumenfeld, 2007). Distintas investigaciones han mostrado que estos estudiantes obtienen mejores resultados que otros grupos que no participaron en este proyecto, sobre todo en actividades relacionadas con la modelización y el análisis del comportamiento de las soluciones de una ecuación (Rasmussen, Kwon, Allen, Marrongelle y Burtch, 2006), además de tener una mayor capacidad de retención de sus conocimientos y habilidades matemáticas (Kwon, Rasmussen y Allen, 2005).

En este artículo se conjugan los dos tipos de investigación mencionados: por una parte se analiza la red de significados que un grupo de estudiantes ha construido en torno al concepto de ecuación diferencial ordinaria y cómo los utilizan para resolver problemas (sección 3) y, posteriormente, se diseña e implementa un Módulo de Enseñanza en el que se introduce el concepto de EDO en un primer curso de universidad, en un ambiente de resolución de problemas en el que se promueve la interacción entre estudiantes y el uso de tecnología (sección 4).

3. Red de significados construida en torno al concepto de EDO en un ambiente de enseñanza tradicional

Para analizar, en relación con la primera pregunta de investigación, qué conocimientos matemáticos utilizan los estudiantes para resolver problemas y responder a cuestiones relacionadas con las ecuaciones diferenciales ordinarias, de qué forma lo hacen y cómo interpretan y emplean los conceptos de solución y campo de direcciones asociado a una ecuación diferencial, se diseñaron un cuestionario y unas entrevistas dirigidas a un grupo de alumnos que estaban en pleno proceso de aprendizaje del concepto.

En esta sección describiremos el contexto en que se desarrolló esta primera etapa de la investigación, los estudiantes con los que se realizó y los instrumentos que se utilizaron para recopilar la información necesaria.

3.1 Participantes y contexto

En esta fase de la investigación participaron 21 estudiantes de las licenciaturas en Física y Matemáticas que estaban tomando su primer curso de ecuaciones diferenciales. En ambas licenciaturas, la introducción de las EDO se realizaba partiendo de la definición formal del concepto y continuando con actividades centradas en la clasificación de las ecuaciones en distintos tipos y la presentación de métodos algebraicos específicos para resolver cada uno de esos tipos. Los problemas con un contexto no matemático (los llamados problemas de aplicaciones) aparecían al final de cada tópico y, en general, se trataba de actividades similares a otras resueltas previamente por el profesor de la materia.

Los profesores de cada uno de los grupos eran completamente ajenos a la investigación. Las sesiones de clase eran de tipo magistral, jugando el papel central el profesor; a los estudiantes se les entregaba una serie de actividades y problemas que debían resolver y que servían de preparación para el examen final de la materia. En general, durante el proceso de enseñanza, no se hizo uso de ningún tipo de herramienta tecnológica. En el momento que se realizó esta primera fase de la investigación estos estudiantes habían cubierto aproximadamente la mitad de los contenidos de la asignatura, lo que incluye las EDO de primer orden de variables separadas, homogéneas, lineales, de Bernouilli, Ricatti y las ecuaciones exactas.


J. Perdomo Díaz



3.2 El cuestionario y las entrevistas

El interés principal de esta fase de la investigación era analizar la red de significados y conceptos matemáticos que los estudiantes utilizaban para resolver problemas y responder a cuestiones relacionadas con las ecuaciones diferenciales ordinarias, sus soluciones y el campo de direcciones asociado a una ecuación particular. Para ello se diseñaron un cuestionario y una entrevista basada en tareas (Goldin, 2000) que nos permitieran indagar en los recursos utilizados por los estudiantes y dar respuesta a la pregunta de investigación correspondiente a esta primera etapa.

El cuestionario consta de once actividades (entre preguntas y problemas) que provienen de diferentes fuentes2: libros de texto, trabajos de investigación relacionados con el nuestro (Brodetsky, 1919;1920; Habre, 2000) y otras tareas que fueron diseñadas por el equipo de investigación para alcanzar algunos objetivos concretos.

El diseño de las entrevistas se realizó a partir de un primer análisis de las respuestas de los estudiantes al cuestionario, en el que se detectaron ciertos patrones de comportamiento en los que era necesario profundizar. En las entrevistas se utilizaron algunas de las preguntas del cuestionario y se incluyeron otras cuatro (Tabla 1). En total, en esta fase de la investigación se emplearon quince actividades, que pueden consultarse en Perdomo-Díaz (2010) 3, donde también se incluye el escenario en que se usaron (cuestionario, entrevista o ambos) así como los objetivos que se perseguían con la inclusión de cada una de ellas.

Pregunta P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15

Cuestionario

Entrevista

Tabla 1. Escenario en que se utilizaron cada una de las 15 preguntas de la primera fase

Las actividades propuestas a los estudiantes se clasificaron en cuatro tipos, de cada uno de los cuales mostramos un ejemplo a continuación. En esos ejemplos podrá observarse que, excepto en las actividades relacionadas con el concepto de solución de una EDO, las ecuaciones diferenciales planteadas pueden ser resueltas sin el conocimiento de métodos específicos de resolución de ecuaciones diferenciales. Se tomó la decisión de que así fuera con el objetivo de poder observar los recursos que los estudiantes utilizaban para resolver los problemas, sin que el desconocimiento o el olvido de los métodos de resolución supusieran un impedimento al proceso de solución.

Actividades de tipo 1: Requieren del conocimiento del concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria. Se trata de comprobar si una expresión algebraica es solución particular o general de una EDO o utilizar el hecho de que lo sea y en analizar algunas propiedades generales de las soluciones de una ecuación en función de los términos de la misma (P3, P4, P5 y P11).

2 El cuestionario completo puede consultarse en Camacho, Perdomo y Santos-Trigo (2007). 3 Pendiente de publicación. Puede consultarse en: http://dl.dropbox.com/u/26255014/JosefaPerdomo-TESIS.pdf



Actividades de tipo 2: Su resolución se puede abordar haciendo uso de conocimientos matemáticos estudiados con anterioridad o empleando métodos algebraicos sencillos (P1, P2 y P12). Conllevan la representación gráfica de funciones elementales, pero no se ven involucrados ni la construcción o interpretación del campo de direcciones ni la interpretación de datos desde y hacia un contexto matemático. En estas actividades se pide a los estudiantes representar gráficamente algunas soluciones de determinadas ecuaciones que pueden ser clasificadas como de variables separadas pero que también pueden resolverse utilizando únicamente el concepto de derivada de una función.

Actividades de tipo 3: Cuestiones para cuya completa resolución es necesaria la representación y/o interpretación del campo de direcciones asociado a una EDO (P6, P8, P10, P14 y P15). En algunas de estas actividades se trata de que los estudiantes representen el campo de direcciones asociado a determinadas EDO y una solución particular; en otras, los alumnos deben interpretar la información dada por un campo de direcciones ya representado.

Actividades de tipo 4: Preguntas en las que es necesario interpretar información proporcionada en términos algebraicos o gráficos, en un contexto o viceversa (P7, P9 y P13). Se trata de establecer relaciones entre el contexto matemático y contextos no matemáticos.

A continuación resumiremos brevemente los aspectos más relevantes observados en las respuestas de los estudiantes a las preguntas del cuestionario y las entrevistas.


J. Perdomo Díaz



3.3 Características principales observadas en las respuestas de los estudiantes

Un primer análisis de las respuestas de los estudiantes de Física y Matemáticas al cuestionario permitió observar que no existían diferencias que justificaran la presentación de los resultados de ambos grupos por separado (Camacho y Perdomo, 2005a; 2005b). Por tanto, las observaciones presentadas en esta sección hacen referencia al conjunto de los 21 participantes, sin distinguir entre aquellos que estudiaban la licenciatura en Física o en Matemáticas.

En relación con el conjunto de soluciones de una EDO, se pueden considerar dos procesos asociados a dicho concepto (Raychadhuri, 2008): el proceso de definición, que consiste en derivar la expresión de la función candidata a solución y sustituir la expresión obtenida en la ecuación, y el proceso de generación, por el que se obtiene la expresión de las soluciones a partir de la resolución de la ecuación.

En las respuestas de los alumnos a las preguntas de Tipo 1 se observó que la mayoría consideraba únicamente uno de estos procesos, los estudiantes que trataban de responder a alguna de las cuestiones con uno de los métodos (derivando ó resolviendo la EDO) y no lo conseguían, no trataban de hacerlo empleando el otro proceso válido, mostrando así limitaciones en cuanto a heurísticas y una construcción débil del concepto de solución de una ecuación diferencial.

En cuanto a la interpretación y la construcción del campo de direcciones asociado a una EDO (actividades de tipo 3), se constató que la mayoría de los participantes tenían dificultades con estos procesos y no relacionaban el concepto de campo de direcciones con la conexión que existe entre la derivada de una función en un punto y la pendiente de la recta tangente a dicha función en ese punto. Más de la mitad de los estudiantes no responde a los problemas de Tipo 3, aún cuando han estudiado los elementos necesarios para abordar este tipo de cuestiones.

En líneas generales, la tendencia de los alumnos es buscar un algoritmo que les permita resolver las ecuaciones presentes en cada actividad. La tercera parte de los estudiantes no utiliza el concepto de derivada o significados asociados al mismo para analizar y responder a cuestiones relacionadas con las EDO. La siguiente imagen (Figura 1) muestra un ejemplo de cómo un estudiante

utiliza el método de separación de variables para obtener las soluciones de la ecuación 0=dx

dy.

Figura 1. Respuesta de Jordan que muestra su tendencia al uso de algoritmos de resolución

En cuanto a los problemas planteados en un contexto no matemático (Tipo 4), pudimos observar que un número considerable de estudiantes no respondía a este tipo de actividades y que las respuestas de otros alumnos presentaban características diferentes a las mostradas en otro tipo de actividades. Por ejemplo, en la siguiente imagen incluimos las respuestas de Edna a tres preguntas del cuestionario clasificadas en grupos diferentes (Tipo 2, Tipo 3 y Tipo 4, respectivamente). En ella puede observarse que plantea las dos primeras ecuaciones como problemas de valores iniciales y utiliza una expresión



general para las soluciones de las EDO de primer orden lineales, mientras que en el problema P7, cuyo enunciado hace referencia a una población, hace uso de sus conocimientos acerca de la derivada de una función, cometiendo el error de no considerar la constante de integración correspondiente, lo que le hace resolver el problema de manera incorrecta.

Figura 2. Respuestas de Edna a las preguntas P1b, P6 y P7, respectivamente

En resumen, los resultados de esta primera fase de la investigación reflejaron que, con una enseñanza de las ecuaciones diferenciales ordinarias basada en su clasificación y resolución algebraica, puede que los estudiantes consigan disponer de los recursos conceptuales necesarios para resolver los problemas planteados en el aula (derivación, integración, algoritmos de resolución de distintos tipos de EDO...) pero no acceden a ellos ni los utilizan de manera eficiente ante situaciones a las que no se han enfrentado con anterioridad.

El aprendizaje de conceptos matemáticos requiere que los estudiantes desarrollen estrategias y habilidades para resolver problemas en distintos contextos, reflexionando, seleccionando y discriminando, de su catálogo de recursos, las herramientas necesarias en cada momento (Kilpatrick et al., 2009). El análisis que se acaba de mostrar refleja que los estudiantes no han logrado desarrollar estas competencias.

4. Diseño e implementación de un Módulo de Enseñanza para la introducción de las EDO en un ambiente de resolución de problemas

El objetivo principal de la segunda fase de la investigación era tratar de dar respuesta a esas dificultades de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones diferenciales ordinarias detectadas en la etapa anterior y que se acaban de describir. Para ello, nos planteamos diseñar y desarrollar en el aula una ruta de enseñanza y aprendizaje que promoviera la construcción del concepto de EDO de forma integrada con el concepto de derivada y en la que los estudiantes trabajaran inmersos en un ambiente de resolución de problemas (pregunta de investigación 2).


J. Perdomo Díaz



Para tratar de dar respuesta a esta cuestión debemos tener en cuenta que, los resultados de la primera fase de la investigación muestran que, tal y como señalan Kilpatrick et al. (2009), el aprendizaje de las matemáticas no debe limitarse al uso de definiciones, procedimientos y algoritmos sino que conlleva el desarrollo de habilidades y capacidades entre las que se encuentran:

• Comprensión conceptual: comprensión de los conceptos matemáticos, las operaciones y las relaciones entre ellos.

• Fluidez con los procedimientos: habilidad en la ejecución de procedimientos de forma flexible, precisa, eficiente y correcta.

• Competencia estratégica: habilidad para formular, representar y resolver problemas matemáticos.

• Razonamiento adaptativo: capacidad para pensar de forma lógica, reflexionar, explicar y justificar.

• Predisposición productiva: inclinación para ver las matemáticas como prácticas, útiles y valiosas; confianza en la propia eficacia y diligencia.

Para promover el desarrollo de estas capacidades y habilidades optamos por plantear un modelo de enseñanza para la introducción del concepto de ecuación diferencial ordinaria en el que los estudiantes tuvieran la oportunidad de reflexionar y discutir acerca de sus propios conocimientos. En el diseño del Módulo de Enseñanza se conjugan tres elementos que contribuyen a la creación de un ambiente de discusión y reflexión: la resolución de problemas, el uso de tecnología y la interacción entre estudiantes. Como herramienta tecnológica se optó por el uso de la calculadora VoyageTM200 que, entre sus múltiples opciones, cuenta con un sistema de álgebra computacional y un sistema de representación gráfica que pueden ser presentados de forma simultánea en la pantalla, lo que facilita el análisis de los fenómenos.

En esta sección describimos el Módulo de Enseñanza, así como las características del grupo de estudiantes con los que se implementó y del escenario en el que se desarrollaron las actividades.

4.1 Diseño del Módulo de Enseñanza

El Módulo de Enseñanza está compuesto por tres problemas cuyos enunciados se adaptaron de situaciones que tradicionalmente se plantean a los estudiantes como ejemplos de aplicación de las ecuaciones diferenciales ordinarias: descomposición de elementos químicos, problemas de mezclas y de dinámica de poblaciones. Dichos problemas se han denominado Desintegración del uranio, Contaminación de mercurio y Dinámica de poblaciones, respectivamente.

Los tres problemas diseñados tienen en común que tratan el concepto de EDO partiendo de su relación con el concepto de derivada de una función, considerándolo como un significado más a añadir en la lista de interpretaciones que Thurston (1994) asocia con el concepto de derivada de una función. Con el primer problema se introduce el concepto de EDO partiendo del significado simbólico de la derivada de una función (la derivada de xn es nxn-1, la derivada de sin x es cos x...Thurston, 1994, p. 3). En el segundo problema, se utiliza el concepto de derivada para indicar variación y construir una EDO a partir de dicho significado, mientras que en el tercero se estudia la monotonía de las funciones solución de una EDO analizando el signo de su derivada a partir de la expresión de la ecuación diferencial.

De esta forma se trata de facilitar el aprendizaje partiendo de las dificultades que los participantes en la primera fase de la investigación mostraron al tratar de resolver problemas



relacionados con las ecuaciones diferenciales ordinarias: el establecimiento de relaciones entre distintos conceptos matemáticos, en particular las EDO y la derivada de una función.

La tabla 2 muestra un esquema de las características principales de cada uno de los problemas del Módulo de Enseñanza: número de sesiones en las que se trabaja cada problema, contexto en el que se plantea el enunciado, estructura general del problema y descripción general de su contenido.

Problema Desintegración del

uranio (1 sesión)

Contaminación de mercurio

(5 sesiones)

Dinámica de poblaciones (4 sesiones)

Contexto Descomposición de elementos químicos

Mezcla de sustancias Población de peces

Estructura

Planteamiento de una situación general, seguido de una serie de cuestiones.

Planteamiento de una situación concreta, seguido de seis etapas de resolución en las que se incluyen diferentes cuestiones y actividades.

Planteamiento de una situación concreta, seguido de cinco etapas de resolución en las que se incluyen diferentes cuestiones y actividades.

Descripción

Se analizan diferentes situaciones de variación y sus representaciones en lenguaje matemático. Finaliza con la introducción del concepto de EDO, orden y solución de la misma. No requiere del uso de tecnología.

Se obtiene la expresión de una EDO partiendo de una situación de variación. Se analizan las representaciones gráfica y algebraica de la función solución. Se generaliza la situación. Se utilizan los entornos algebraico y gráfico de la calculadora.

Se obtiene la expresión de una EDO partiendo de una situación de variación. Se analiza el comportamiento de la función solución a través de la EDO. Se generaliza la situación. Se utilizan los entornos algebraico y gráfico de la calculadora.

Tabla 2. Esquema descriptivo del Módulo de Enseñanza

A continuación realizaremos una descripción más detallada de cada uno de los tres problemas del Módulo, presentando algunos ejemplos de las cuestiones y actividades planteadas a los estudiantes.

4.1.1 Problema 1: Desintegración del uranio

Esta actividad está basada en el fenómeno de la descomposición de elementos químicos; su enunciado comienza con una situación general que varía a medida que los estudiantes van respondiendo a una serie de cuestiones. El objetivo principal de este problema es estimular que los alumnos establezcan relaciones entre distintas situaciones reales y diferentes expresiones matemáticas, relacionadas siempre con el concepto de derivada. La actividad finaliza con una parte centrada en el contexto matemático, no relacionada de forma explícita con la situación planteada inicialmente, que se utiliza para introducir los conceptos de EDO, orden y solución de la misma.

El problema comienza de la siguiente forma:


J. Perdomo Díaz



Muchos minerales contienen uranio 238 en su composición. El uranio es una sustancia radiactiva, lo que significa que emite una cierta energía que hace que se vaya transformando en otras sustancias a medida que pasa el tiempo. Por ejemplo, el uranio 238 se va modificando hasta convertirse en plomo 206.

Situación planteada en el problema 1 del Módulo de Enseñanza

Una vez presentada la situación general, se formula a los estudiantes una serie de cuestiones, atendiendo a unos objetivos principales, que se enumeran a continuación, junto con algunos ejemplos de las cuestiones que se les planteaban para cada uno de los objetivos.

Preguntas: Supongamos, de momento, que dicho número de átomos no varía. ¿Cómo expresarías esta situación en términos matemáticos?, ¿se te ocurre alguna otra posibilidad?, ¿cómo indicarías que la cantidad de átomos de uranio va disminuyendo?

El objetivo de estas cuestiones es promover que los estudiantes se ejerciten en el proceso de representación de información en términos matemáticos (del contexto de la situación planteada al contexto matemático).

Preguntas: ¿Puede ser que u’(t) sea igual a t? Justifica tu respuesta. ¿Puede ocurrir que u’(t) sea igual a -t?, ¿puede ocurrir que u’(t) sea igual a -t2?Indica al menos otras dos posibilidades para la expresión de u’(t).

Con estas preguntas se persigue que los estudiantes reflexionen sobre posibles expresiones matemáticas que permitan modelar la situación real planteada (del contexto matemático al contexto de la situación planteada).

Preguntas: ¿Qué diferencia habría entre el enunciado del problema cuando u’(t)=-1 y u’(t)=-2?,¿qué diferencia habría entre el enunciado del problema cuando u’(t)=-1 y u’(t) =-t?

Este tipo de preguntas se formularon con el fin de promover que los estudiantes establezcan relaciones entre diferentes variaciones de la situación general y distintas expresiones algebraicas (interrelación entre el contexto matemático y el contexto de la situación planteada).

Preguntas: Completa la siguiente tabla escribiendo una función cuya derivada satisfaga lo indicado en cada fila:

u’(t) u(t) u’(t) u(t)

-1 -t

-2 -t2

-3 2

t−

¿Hay alguna otra función que cumpla que su derivada es la que aparece en cada fila de la tabla anterior? Escribe al menos otras dos funciones que satisfagan cada uno de los apartados.



Esta actividad se utiliza para introducir la definición formal de los conceptos de ecuación diferencial ordinaria, orden y solución de la misma (contexto matemático).

Los otros dos problemas del Módulo de Enseñanza presentan una estructura diferente al primero. En ellos se distinguen diferentes etapas de resolución y en cada una de esas etapas se incluye una serie de cuestiones y actividades que guían a los estudiantes en el proceso de construcción, análisis y generalización del modelo matemático.

4.1.2 Problema 2: Contaminación de mercurio

Se trata de un problema de mezcla de sustancias, en el que se plantea una situación concreta. Su enunciado es el siguiente:

A la atención del Colegio Oficial de Químicos de Canarias

Acabamos de recibir el último informe del Ministerio de Sanidad y Consumo sobre la calidad del agua que proviene de nuestros estanques de tratamiento. Uno de ellos, el más antiguo, no cumple con los estándares recomendados. En el estanque hay 10.000 litros de agua y estamos introduciendo en él una solución que contiene 0’1 gramos de mercurio por litro, a razón de tres litros por minuto. Con esta operación, hemos contaminado el agua del depósito, la cuál sale del estanque también a una velocidad de tres litros por minuto. A partir del informe del Ministerio, hemos reducido la cantidad de mercurio que bombeamos en el estanque, pero me temo que no la hemos reducido lo suficiente puesto que la concentración actual es de 0’7 gramos por litro. Necesito un modelo que me permita calcular cuánto mercurio hay en el estanque en cada momento, para poder así controlar la contaminación.


Los principales aspectos conceptuales considerados en este problema son la clasificación de las EDO de primer orden, la presentación del método algebraico de resolución de ecuaciones de variables separadas y la definición de las condiciones iniciales y el problema de Cauchy.

Esta actividad fue diseñada atendiendo a dos objetivos principales: (i) que los estudiantes reconocieran distintas etapas en el proceso de resolución de problemas e identificaran las características generales de cada una de ellas y (ii) promover el desarrollo de procesos del pensamiento matemático avanzado, como la abstracción o la generalización, y de aspectos relacionados con la competencia estratégica y el razonamiento adaptativo como la habilidad para representar y resolver problemas o la capacidad para reflexionar, explicar y abstraer (Kilpatrick et al., 2009).

Estos objetivos marcaron la estructura del problema en el que se distinguieron seis etapas de resolución: una actividad inicial, seguido de las etapas de comprensión y análisis de la situación, la solución del caso particular, el planteamiento y la resolución de casos generales y un análisis retrospectivo del proceso de resolución. Además, algunas de las actividades propuestas en este problema fueron planteadas para ser realizadas utilizando la calculadora VoyageTM200. Esta herramienta tecnológica se utilizó para resolver ecuaciones diferenciales, representar funciones gráficamente, calcular límites, etc.


J. Perdomo Díaz



• Etapa 0: Actividad inicial

Se pide a los estudiantes que elaboren un informe en el que expliquen de qué trata el problema, cuáles son los datos relevantes para su resolución y qué procedimientos seguirían para resolverlo. Con esta actividad se pretende que los alumnos reflexionen acerca de la situación planteada y las posibles vías de resolución, antes de comenzar con la ruta establecida.

• Etapa 1. Comprensión de la situación

En esta etapa se incluyen preguntas como ¿qué cantidad de mercurio entra en el estanque por cada litro de agua introducido?, el mercurio que entra en el depósito, ¿permanece siempre en él?, ¿a qué velocidad sale la disolución del estanque?... El objetivo de estas cuestiones es que los estudiantes identifiquen la información relevante para la resolución del problema.

• Etapa 2. Análisis de la situación

Durante esta etapa se guía a los estudiantes en el proceso de representación de la información en términos matemáticos. Siendo )(tp la cantidad de mercurio que hay dentro del depósito en cualquier instante de tiempo, se pide a los alumnos expresar en términos matemáticos la cantidad de mercurio que entra y sale del depósito por unidad de tiempo y relacionar dichas expresiones para indicar cómo varía la cantidad de mercurio que hay en el depósito. Esta etapa concluye con la expresión de la EDO

que modela la situación, pdt

dp0003'03'0 −= .

• Etapa 3. Solución del caso particular

Esta etapa comienza planteando a los estudiantes una serie de cuestiones cuyo objetivo es que reflexionen acerca de los contenidos matemáticos introducidos hasta el momento (definición de ecuación diferencial ordinaria y orden), relacionándolos con la expresión obtenida al final de la etapa anterior. Algunas de dichas cuestiones son: la expresión que has obtenido al final de la etapa anterior, ¿es una EDO?, ¿de qué orden?, ¿qué elementos aparecen en la ecuación que hacen afirmar que se trata de una EDO y que ese es su orden?

A continuación, el profesor presenta a todo el grupo la clasificación de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y el método algebraico de resolución de las EDO de variables separables. Los alumnos clasifican y resuelven la EDO obtenida en la etapa anterior de dos formas: empleando el método algebraico y utilizando la VoyageTM200 y comparando los resultados obtenidos en ambos casos. Esta etapa finaliza con la representación gráfica de la solución del caso particular, correspondiente al dato inicial 0)0( =p (Figura 3), y su análisis a partir de preguntas como ¿crees que hay una cantidad máxima de mercurio que puede haber en el depósito?, ¿cuál es esa cantidad?; El cliente te ha dicho en su mensaje que, en este momento, la concentración de mercurio que hay en el depósito es de 0’7 gramos por litro. ¿Es eso posible?



Figura 3. Representación gráfica de la solución

• Etapa 4. Planteamiento y solución de casos generales

En esta etapa del proceso de resolución del problema se persigue que los estudiantes reflexionen acerca del significado de cada uno de los términos de la EDO en relación con la situación planteada, al igual que con la interpretación de la solución general y particular de dicha ecuación. Está formada por cuatro apartados análogos, en cada uno de los cuales se van considerando y generalizando determinados elementos que influyen en la situación planteada: la cantidad de mercurio que se introduce en el estanque ( )m , la velocidad a la que entra y sale la disolución ( )v , el volumen del

depósito ( )V y la cantidad inicial de mercurio que hay en el estanque ( )0P . Cada uno de estos

apartados comienza con una tabla que los estudiantes deben cumplimentar y en la que figuran las EDO, soluciones generales y particulares correspondientes a distintos valores del parámetro a generalizar (Figura 4).

Figura 4. Primer apartado de la etapa 4

Cada uno de los cuatro apartados termina planteando a los estudiantes una serie de cuestiones cuyo objetivo es el análisis del modelo parcialmente generalizado que se acaba de obtener. Por ejemplo, en el primer apartado, donde se consideran diferentes valores para la cantidad de mercurio que se introduce en el depósito, se formulan preguntas como: La función que modela la situación, ¿depende de m?, ¿Y la cantidad máxima de mercurio que se puede alcanzar en el depósito? Representa gráficamente, en una misma pantalla, las funciones que modelan la situación para los casos en los que se introducen 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4 gramos de mercurio por litro de solución. En un instante de tiempo determinado, ¿en cuál de los casos se alcanza una mayor concentración de mercurio en el depósito? ¿Qué cantidad de mercurio debemos introducir para que la concentración máxima que se alcance sea de 0’7 gramos por litro?


J. Perdomo Díaz



La etapa 4 concluye proponiendo a los estudiantes una actividad en la que se comparan dos depósitos y cuyo objetivo es establecer si interrelacionan los dos contextos y han contestado a las cuestiones anteriores de forma razonada. El enunciado de dicha actividad es el siguiente:

Supongamos que tenemos dos depósitos, el primero con un volumen de 60.000 litros en el que introduce una solución con 0’2 gramos de mercurio por litro, y el segundo con un volumen de 45.000 litros en el que se introduce una solución con 0’6 gramos de mercurio por litro. Si en cada depósito tenemos una cantidad inicial de 250 gramos de mercurio y las soluciones entran y salen de ambos depósitos a una velocidad de 3 litros por minuto, ¿En cuál de los depósitos se alcanza antes una concentración de mercurio de 0’1gr/l? ¿En qué instante de tiempo se alcanza?

• Etapa 5. Análisis retrospectivo

En esta última etapa se pide a los estudiantes que realicen un informe en el que figuren aspectos como: cuál es la función que permite calcular la cantidad de mercurio que hay en el depósito en cada instante, qué información se puede obtener de dicha función, por qué no es posible que el depósito que se está considerando en el caso particular tenga una concentración de mercurio de 0’7 gr/l. Cómo has resuelto el problema planteado por el cliente, indicando por qué has necesitado utilizar una EDO para modelar la situación. Cómo has encontrado una solución más general y cuál es su utilidad. El objetivo es que los estudiantes reflexionen sobre el proceso de resolución seguido, desde la propuesta inicial que hicieron hasta el planteamiento y la resolución de situaciones más generales.

4.1.3 Problema 3: Dinámica de poblaciones

La estructura general de este problema es similar a la del anterior, en el sentido de que se explicitan diferentes etapas de resolución que contemplan la comprensión, análisis y resolución de un problema concreto, el planteamiento y resolución de casos más generales y un análisis retrospectivo del proceso de resolución. Una de las diferencias más significativas que existen entre este problema y los anteriores es que en él hay una mayor presencia del sistema de representación gráfico, jugando un papel fundamental el uso de la calculadora VoyageTM200.

En cuanto a los aspectos de tipo conceptual, la característica que distingue a este problema del Módulo de Enseñanza es que se utiliza la expresión de la EDO que modeliza la situación planteada para describir la monotonía de la función solución, ante la dificultad para analizar la expresión algebraica de la misma. De esta forma se presenta a los estudiantes una nueva interpretación del concepto de EDO, relacionada directamente con el significado geométrico de la derivada.

En relación con los procesos, en el diseño de este problema se incluye un grupo de cuestiones relacionadas con el proceso de verificación. La decisión de incluir este tipo de preguntas está fundamentada en la observación, durante el desarrollo de los problemas anteriores, de que los estudiantes en general no se planteaban si los procedimientos utilizados o las soluciones obtenidas eran correctas.

El problema se enuncia presentando una situación hipotética en un contexto real para el estudiante. Dicha situación es la siguiente:



A la atención del Colegio Oficial de Químicos de Canarias

La piscifactoría “La mar de bueno” solicita sus servicios para buscar una manera sencilla de comunicar a sus inversores cómo varía la cantidad de peces que hay en uno de los recintos que utilizan para la cría de doradas. Los últimos recuentos del número de peces que hay en uno de los recintos han mostrado que el número de peces está disminuyendo considerablemente. Los técnicos de nutrición y de epidemiología no han detectado ningún problema relacionado con la alimentación o alguna enfermedad, pero me apuntan que quizás el problema esté en la cantidad de peces que hay dentro del recinto. Necesito que realice un estudio sobre cómo varía el número de peces que hay en el recinto a lo largo del tiempo y que analice cuál puede ser el problema.Para presentar el informe a los inversores, sería conveniente que este se presentara en un formato de fácil comprensión como, por ejemplo, una representación gráfica que refleje cuál es la situación en cualquier instante de tiempo. Le adjunto cierta información recogida por nuestros trabajadores que podrían serle de utilidad en su trabajo: la tasa de nacimiento de doradas es de 410 por cada mil, cada año y la tasa de mortalidad de doradas es de 220 por cada mil, cada año.


• Etapa 1: Comprensión de la situación

Las primeras cuestiones que se plantean a los estudiantes tienen como objetivo promover la reflexión acerca de la situación planteada y del significado de expresiones que aparecen en el enunciado. Algunas de las preguntas formuladas fueron: ¿qué significa que la tasa de nacimiento sea 410 peces por cada mil?; en la situación planteada, ¿qué está cambiando?

• Etapa 2: Análisis de la situación

En esta etapa, los estudiantes analizan la situación a partir del estudio de casos particulares, para finalizar indicando la expresión de la EDO que modeliza la situación: )(19'0)(' tPtP = .

• Etapa 3: Solución de casos particulares

En esta etapa del problema, los estudiantes resuelven la EDO anterior y analizan la expresión de la solución en función de la situación planteada. Para ello se les formulan cuestiones como: ¿la constante de integración puede ser negativa?, ¿qué necesitarías conocer para poder obtener el valor de dicha constante?, el número de peces, ¿aumenta, disminuye o se mantiene constante? A continuación se introduce el término de competición, los alumnos reescriben la EDO que modeliza la

situación ( 219'0' bPPP −= ) y estudian el comportamiento de la función solución con cuestiones como: Analiza para qué valores de P la población (a) aumenta, (b) disminuye y (c) se mantiene constante; ¿qué sucede con la población a lo largo del tiempo?

Posteriormente se pide a los estudiantes que representen gráficamente funciones solución correspondientes a distintos datos iniciales, tomando 001.0=b . El objetivo de estas actividades es que los estudiantes analicen si las representaciones gráficas que han obtenido se corresponden con las respuestas que han dado a las cuestiones anteriores.


J. Perdomo Díaz



Esta etapa finaliza con una serie de preguntas planteadas con el objetivo de que los estudiantes formulen conjeturas y las verifiquen. Algunas de ellas son: ¿qué ocurre con el valor límite de la población si el término de competición aumenta? ¿y si disminuye?

• Etapa 4: Planteamiento y solución de casos generales

En esta etapa se hace un análisis de la situación similar a la de la fase anterior, pero considerando la tasa de crecimiento como un parámetro, a. Se estudia qué ocurre cuando dicho parámetro es positivo, negativo o nulo. Se plantean preguntas como: ¿qué significa, en términos de los nacimientos y las muertes de los peces, que la tasa de crecimiento sea negativa?, ¿qué ocurriría en ese caso con la población de peces a medida que pase el tiempo?... Supongamos que a es un valor negativo. Calcula el valor al que se aproxima la cantidad de peces a medida que pasa el tiempo. Representa gráficamente la función que indica el número de peces que hay en el recinto en cualquier instante de tiempo, si en dicho recinto inicialmente había 280 peces, la tasa de crecimiento de dicha especie es -0'19 y el término de competencia es 0'001.

• Etapa 5: Análisis retrospectivo del proceso de solución

Al igual que en el problema anterior, en esta última etapa los estudiantes realizan un informe cuyo objetivo es que reflexionen y expongan el proceso de resolución que han seguido. En dicho informe se les pide indicar qué factores influyen en la situación, por qué han surgido diferentes ecuaciones diferenciales, qué ocurre con el comportamiento de las funciones solución en el infinito.

4.2 Implementación del Módulo de Enseñanza: participantes y contexto de desarrollo

El Módulo de Enseñanza para la introducción de las ecuaciones diferenciales ordinarias se implementó con un grupo de 15 estudiantes de primer curso de la licenciatura en Química que ya habían cursado las materias correspondientes al cálculo en una y varias variables. Para el desarrollo del Módulo se dispuso de un total de 10 sesiones de clase, de una hora de duración cada una. Durante estas sesiones los estudiantes se agruparon formando seis parejas y un trío (tabla 3), conforme a sus propios criterios de selección de compañeros.

Trío 1 Pareja 2 Pareja 3 Pareja 4 Pareja 5 Pareja 6 Pareja 7

Sonia Alberto

Juan

Manuel Ginés

Milagros Silvia

Nicanor Mar

Virginia Carmen

Alexis Zoraida

Nieves Naomi

Tabla 3. Participantes en la segunda fase de la investigación

Ninguno de los estudiantes del grupo conocía la herramienta tecnológica elegida para el desarrollo del Módulo de Enseñanza, la calculadora VoyageTM200, por lo que se decidió dedicar una sesión de clase a mostrar su funcionamiento a los alumnos. Además se les entregó un manual, diseñado por el grupo de investigación, para que pudieran consultar dudas sobre el manejo de la calculadora durante las diez sesiones de trabajo.

Cada sesión de clase comenzaba con un breve resumen, por parte del profesor, de las actividades realizadas durante la sesión anterior. A continuación se entregaba a cada grupo una calculadora y la documentación correspondiente a la etapa del problema que se fuera a resolver durante esa sesión y estos se ponían a trabajar en ella. La figura del profesor es la de asesor ante



situaciones de duda, asistiendo a los estudiantes cuando estos lo requerían y guiándoles en el trabajo que estaban realizando, además de provocar discusiones y situaciones de reflexión El profesor realizaba otras intervenciones, dirigidas a todo el grupo de estudiantes, cuyo objetivo era el de formalizar los conceptos matemáticos que iban surgiendo.

5. Aspectos cognitivos observados durante el desarrollo del Módulo de Enseñanza e influencia de los elementos introducidos en el proceso de aprendizaje

El análisis de los procesos cognitivos mostrados por los estudiantes durante el desarrollo del Módulo de Enseñanza (pregunta de investigación 3) y de la influencia, en el proceso de aprendizaje, del uso de un ambiente de resolución de problemas, en el que se utiliza tecnología y se promueve la interacción entre estudiantes (pregunta de investigación 4) se realiza mediante un minucioso proceso de revisión de grabaciones (de audio, vídeo y de las producciones en la calculadora VoyageTM200) y de la documentación escrita por los estudiantes. Un ejemplo de cómo se realizó este proceso puede encontrarse en Camacho Machín et al. (por aparecer), donde se presenta el análisis de los aspectos observados durante el desarrollo del problema 2 del Módulo, Contaminación de mercurio.

La primera parte de la sesión dedicada a la resolución del primer problema se puede caracterizar como un proceso de asimilación, por parte de los estudiantes, de una nueva forma de concebir las matemáticas, modificando la creencia de que todos los problemas matemáticos pueden ser resueltos en un corto espacio de tiempo y con expresiones de las soluciones que pueden ser únicamente valores numéricos o expresiones algebraicas cerradas (Schoenfeld, 1992).

El análisis del trabajo diario de cada uno de los grupos de estudiantes que participaron en la segunda fase de esta investigación refleja que, en lo relativo a aspectos de tipo conceptual, el Módulo de Enseñanza promovió la reflexión sobre:

• El uso del concepto de función para indicar dependencia del tiempo; la relación entre tipos de dependencia y distintas funciones; el reconocimiento de asíntotas en representaciones gráficas y algebraicas; interpretaciones del concepto de límite de una función; identificación de las variables en el sistema de representación gráfico; la representación gráfica y las propiedades de la función exponencial y la función cuadrática.

• El uso de la derivada de una función para expresar dependencia del tiempo, aumento o disminución de cierta cantidad, velocidad de cambio, variación, monotonía...la existencia de infinitas funciones cuya derivada coincide y las relaciones entre ellas.

• Uso del concepto de inecuaciones como elemento para el análisis del signo; comparación entre x2 y x.

• El uso de una ecuación diferencial para expresar situaciones de variación y analizar el comportamiento de las funciones solución; la relación entre la constante de integración y un problema de valores iniciales. Interpretación de una EDO como la expresión de la derivada como función de la variable dependiente4.

4 En las EDO no autónomas de la forma ),( tyf

dt

dy = , la derivada es una función que depende de dos variables,

una de ellas una función. En el caso de ecuaciones de la forma )(yfdt

dy = , al representar gráficamente la función

derivada frente a y , la que inicialmente era la variable dependiente (en este caso y ) se convierte en la variable

independiente. Esto provoca dificultades como han mostrado Rasmussen (2001) y Guerrero et al. (2010).


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El hecho de introducir el concepto de ecuación diferencial ordinaria a partir de su relación con el concepto de derivada de una función estableció un puente entre ambos conceptos, contribuyendo así a que los estudiantes establecieran relaciones entre distintos conceptos matemáticos. Por otra parte, el hecho de considerar diferentes significados asociados al concepto de derivada de una función en el diseño de los problemas del Módulo de Enseñanza contribuyó a que los alumnos fortalecieran la red de significados asociados a dicho concepto matemático, desarrollando así su comprensión conceptual. De esta forma, la imagen que los estudiantes muestran del concepto de derivada de una función se transforma de un conjunto de algoritmos a un concepto que aporta información y de resultado de un proceso (el de derivación) a formar parte de los recursos que los estudiantes utilizan para resolver problemas.

Dentro de los procesos cognitivos distinguimos entre procesos, procedimientos y heurísticas. Los procesos analizados incluyen la abstracción y la generalización; los procedimientos hacen referencia a métodos específicos, por ejemplo, de resolución de ecuaciones, reglas de derivación, etc. Por último, las heurísticas contemplan las diferentes maneras de buscar la solución a un determinado problema. Durante las diez sesiones de trabajo en la resolución de los problemas del Módulo se pudo observar el uso, por parte de los estudiantes, de los procesos de representación, interpretación, reflexión, abstracción, generalización, argumentación y verificación, todos ellos de gran importancia en el desarrollo de la competencia matemática (Kilpatrick et al., 2009).

En cuanto a las heurísticas pudimos observar el uso de métodos como ensayo y error, asociar términos lingüísticos con representaciones matemáticas, basarse en lo empírico, utilizar conocimientos adquiridos en otras asignaturas, considerar las unidades de medida como referente para realizar operaciones, comparar distintas preguntas y sus respuestas, analizar casos particulares y buscar patrones de comportamiento.

Finalmente, en relación con los procedimientos, se observó que la mayoría de los estudiantes mostraban fluidez en el uso de los procedimientos de derivación e integración, si bien algún alumno mostró dificultades con dichos procedimientos, especialmente con la aplicación de la propiedad ( ) '' fCf =+ , siendo f una función derivable y C una constante cualquiera. Otros procedimientos matemáticos en los que los estudiantes tuvieron que mostrar su fluidez fueron el cálculo de límites, la clasificación de ecuaciones diferenciales ordinarias y la resolución de EDO de variables separadas.

En cuanto a la influencia que tuvieron en el proceso de aprendizaje los tres elementos introducidos en el Módulo de Enseñanza (resolución de problemas, uso de tecnología e interacción entre estudiantes) cabe destacar que la dinámica de trabajo en el aula favoreció la autonomía de los alumnos y creó un ambiente de colaboración en el que los alumnos se sentían cómodos al mostrar sus razonamientos y criticar los de sus compañeros, lo que permitió que reconsideraran ciertas ideas y concepciones matemáticas.

El uso de la calculadora VoyageTM200 actuó como activador de conocimientos latentes, permitiendo que los estudiantes indagaran, formularan conjeturas y las comprobaran. En la siguiente imagen, por ejemplo, puede observarse cómo Virginia y Carmen utilizan la calculadora para hallar el valor del límite de una función; después de varios intentos en los que cometieron errores de sintaxis, la herramienta les devuelve un valor que Virginia comprueba haciendo uso de sus conocimientos acerca de los procedimientos para el cálculo de límites (Figura 5).



Virginia: Mira, si esto era una chorrada [Haciéndolo ahora a mano] Esto da menos infinito… esto es cero y te queda 1000 ¿sabes?

Figura 5. Muestra del uso del proceso de verificación por parte de Virginia

Finalmente, el hecho de plantear el Módulo de Enseñanza en un ambiente de resolución de problemas contribuyó a desterrar en los estudiantes la idea de que los problemas matemáticos deben ser resueltos en un corto espacio de tiempo y los introdujo en un escenario en el que cuestionarse, reflexionar, conjeturar y verificar son procesos necesarios y útiles.

6. Implicaciones didácticas

El análisis de los datos obtenidos en la primera fase de la investigación, unido con la revisión de otros trabajos existentes en el campo de la Educación Matemática, relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de las EDO, permitieron constatar que el enfoque de enseñanza habitual, en el que se introduce el concepto a partir de su definición formal y los métodos algebraicos de resolución, no favorece el desarrollo, por parte de los estudiantes, de heurísticas que permitan plantear y resolver problemas enunciados en un contexto diferente al que se les presenta como ejemplos de aula, en especial aquellos cuyo enunciado se plantea en un contexto no matemático. En particular se observó que la mayoría de los estudiantes mostraban dificultades para establecer relaciones entre el concepto de EDO y el de derivada de una función, produciéndose una discontinuidad en el aprendizaje de las matemáticas que impide la realización de actividades cuando no se recuerda el método específico para resolverlas (Camacho et al., 2009). Se ha constatado que la tendencia de estos estudiantes es reducir el estudio de las EDO a la búsqueda de un algoritmo que resuelva tipos particulares de ecuaciones, limitando así sus posibilidades para abordar problemas contextualizados. Los resultados obtenidos en otras investigaciones (por ejemplo, Guerra-Cáceres, 2003; Habre, 2000; Rasmussen & Whitehead, 2003) concuerdan con los nuestros.

El diseño y la implementación de un Módulo de Enseñanza para la introducción de las ecuaciones diferenciales ordinarias en un escenario de resolución de problemas en los que se dedica especial atención a la relación entre el concepto de EDO y los distintos significados asociados al concepto de derivada de una función, permitió que la red de significados asociados al concepto de derivada se viera ampliada y fortalecida a medida que los estudiantes avanzaban en los problemas del Módulo. De esta forma, la introducción del concepto de EDO a partir de su relación con la derivada de una función establece un puente entre los dos conceptos, y, además de contribuir en la construcción de un concepto matemático nuevo, fortalece conceptos que ya se encontraban en la cognición de los estudiantes.


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El uso de la herramienta tecnológica, la calculadora VoyageTM200, y el modelo de trabajo en el aula dieron un mayor protagonismo al estudiante en su propio proceso de aprendizaje. El trabajo en un ambiente entre iguales, el diseño de los problemas y la facilidad de uso de la herramienta tecnológica elegida contribuyeron a crear un clima de indagación, reflexión, planteamiento de conjeturas y verificación. Así se conjugaron diferentes elementos fundamentales para el aprendizaje de las matemáticas: comprensión conceptual, fluidez en el uso de procedimientos, habilidad para representar y resolver problemas, capacidad para reflexionar, explicar y justificar y confianza en la propia eficacia (Kilpatrick et al., 2009).

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Este trabajo ha sido financiado parcialmente por el Proyecto de Investigación con referencia EDU 2008-05254 del Ministerio de Ciencia e Innovación del Plan Nacional I+D+i.

Josefa Perdomo Díaz. Licenciada y doctora en Matemáticas por la Universidad de La Laguna, en Tenerife, España. Las líneas de investigación en las que trabaja están relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, principalmente en los últimos cursos del nivel secundario y en el nivel universitario, así como el uso de la resolución de problemas y la tecnología como elementos que promueven el desarrollo de la competencia matemática en estos niveles. Otros temas de interés son la modelización y la formación de profesorado. Ha impartido docencia en distintos centros de Enseñanza Secundaria (estudiantes entre 12 y 18 años) y Escuelas de Arte (mayores de 16 años) de Canarias.




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La gran torre: Matemáticas en la Educación Infantil a través de un proyecto de construcción

Beatriz Escorial González (CEIP Virgen de Peña Sacra, Manzanares el Real, Madrid) Carlos de Castro Hernández (Universidad Complutense de Madrid)

Fecha de recepción: 18 de Julio de 2011 Fecha de aceptación: 6 de septiembre de 2011

Resumen Narración de un proyecto que surge de una situación de juego libre de construcción en un grupo de 5-6 años de Educación Infantil. La maestra da a los pequeños un material de construcción pensado para promover el aprendizaje matemático. Tras varias sesiones de juego libre, en las que los pequeños se muestran atraídos por construir torres altas, la maestra, basándose en este interés infantil, propone el ‘reto de las torres’. Los niños deberán construir una torre e intentar, al día siguiente, hacer otra torre más alta. De esta situación, orientada al aprendizaje de la comparación indirecta y la medición, surge la idea de los niños de construir una gran torre en el patio, para que no choque con el techo del aula. Así, la actividad se convierte en un proyecto. Tras mucho esfuerzo de colaboración y trabajo en grupo, el proyecto concluye con la construcción de ‘la gran torre’.

Palabras clave Matemáticas, Medición, Geometría, Juego de Construcción, Educación Infantil, Aprendizaje por proyectos.

Abstract This is a narrative of a project that emerges from a situation of free block play in kindergarten (5-6 years). The teacher gave the children a building material designed to promote mathematical learning. After several sessions of free play, in which children show interest in building tall towers, the teacher, based on children's interest, proposes the 'challenge of the towers': Children need to build a tower and try, the next day, to build another tower higher. In this situation, designed by the teacher for the learning of indirect comparison and measurement, arises children’s idea of building a high tower outdoors, to avoid collision with the ceiling of the classroom. Then the activity becomes a project. After much effort of collaboration and teamwork, the project concludes with the construction of the 'great tower'.

Keywords Mathematics, Measurement, Geometry, Block Play, Early Childhood Education, Project Approach.

1. Prólogo: Las matemáticas del juego de construcción en la Educación Infantil

El juego de construcción con piezas de madera tiene una larga tradición en Educación Infantil, especialmente en países de habla inglesa. Son muchos los autores que, a partir de Froebel (1782-1852) han destacado la relación que hay entre el juego de construcción y las matemáticas, especialmente con la geometría tridimensional y las habilidades espaciales, pero también con numerosas destrezas lógico-matemáticas (Ginsburg, 2006; Leeb-Lundberg, 1996). Ginsburg (2006) considera el juego de construcción como un contexto especialmente adecuado para aprender matemáticas en la Educación

La gran torre: Matemáticas en la Educación Infantil a través de un proyecto de construcción B. Escorial González y C. de Castro Hernández

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Infantil. Partiendo de estas premisas, desde el curso 2005/06 venimos desarrollando experiencias para el aprendizaje de las matemáticas a través del juego de construcción (De Castro y Escorial, 2006). A continuación, presentamos la narración de una de estas experiencias: “La gran torre”. En el texto, optamos por citar aspectos matemáticos, como la clasificación, la búsqueda de equivalencias, la simetría, la comparación directa e indirecta, la propiedad transitiva, los registros de la altura previos a la medición, los patrones basados en la repetición, el razonamiento inductivo… Hemos optado por citarlos, pero sin detenernos demasiado en estos aspectos, para no interrumpir el flujo de la narración. Esperamos que pueda leerse como una experiencia globalizada de Educación Infantil, en la que el lector instruido en matemáticas pueda ir captando, entre líneas, la significación de todo lo que contamos para el aprendizaje de las matemáticas.

2. Tiempo y materiales empleados en la experiencia

La experiencia narrada en este artículo se ha desarrollado en un aula de 5 y 6 años, durante el segundo trimestre del curso. Comenzó el 25 de enero y concluyó el 30 de marzo; algo más de 2 meses en los que dedicamos 15 sesiones al trabajo de construcción. Durante este periodo, la base de la experiencia era una sesión semanal de una hora de duración. Cuando el avance de la experiencia lo requería, se realizaban dos sesiones por semana1, dedicando algunas de ellas a la reflexión y el análisis. Estas sesiones de discusión, acerca del trabajo de construcción, favorecían la continuidad en el desarrollo del trabajo y en los aprendizajes. Antes de esta experiencia, los alumnos no habían trabajado en grupo, por lo que fue necesario, durante el primer trimestre, realizar actividades orientadas al trabajo en grupos pequeños. En el segundo trimestre, los alumnos comenzaron a construir, en momentos de juego libre, con el material de la Figura 1. El material2 está especialmente diseñado para favorecer la actividad matemática. La característica fundamental del mismo es que casi todas las piezas pueden componerse utilizando otras piezas del material. Es, por tanto, un material especialmente pensado para los procesos de composición y descomposición, fundamentales en geometría. Por ejemplo, en la esquina superior derecha (Figura 1) hay una tabla cuadrada grande, de 24 cm de lado, que puede componerse con dos mitades de tabla, con cuatro cuartos de tabla, con ocho pilares largos, o con cuatro tablas cuadradas pequeñas de 12 cm de lado (Figura 1, izquierda). Al construir, los niños se plantean continua y espontáneamente tareas de composición con el material, lo que les ‘obliga’ a una actividad matemática intensiva.

Figura 1. El material de construcción

1 Para estas sesiones extra de duración menor de una hora, se solían utilizar momentos de asamblea, habituales en Educación Infantil, para las discusiones, y situaciones de juego libre para avanzar en las construcciones. 2 El material está basado en su diseño en los “Dones de Froebel” (Material descrito en Michelet, 1977, pp. 184-223), y en los “Bloques Unidad” de Caroline Pratt (Material descrito en Hirsch, 1996, p. 149).


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3. Narración de la experiencia: El inicio en situaciones de juego libre (6 sesiones)

Al principio, las sesiones eran de juego libre. Las mesas y las sillas se retiraban para dejar espacio libre en el aula. Después, todo el material de construcción se volcaba en el centro de la clase. El material se presentaba a los niños sin clasificar, de forma desordenada, amontonado, con la intención de que se familiarizaran con él para, más adelante, proponerles una actividad de clasificación sin haberles impuesto previamente un criterio de clasificación adulto3. Durante las sesiones de juego libre, los niños realizaban construcciones y se implicaban en situaciones de juego simbólico. Algunos jugaban, por ejemplo, a ser zapateros, golpeando un pilar corto con uno largo, emulando los golpes del martillo sobre el zapato. Dos niñas acumularon parte del material y organizaron una carpintería, para surtir de materia prima a sus compañeros. Su única construcción fue una sencilla imitación de una caja registradora. Utilizaron un teléfono de plástico, que encontraron en el aula, para recoger sus pedidos. Las construcciones “cobran vida” y se convierten en participantes activos en todo tipo de juegos. A veces, los niños representan edificios conocidos. Paula terminó orgullosísima la Torre Picasso y El Corte Inglés (Figura 2, izquierda). Varias niñas construyeron una réplica del Palacio Real (Figura 2, derecha) sin escatimar detalles: camas, cuarto de baño completo, sillones y televisión, la torre, un mirador para el Rey, etc. También asistimos a la recreación de un templo romano (Figura 2, centro).

Durante el juego libre, niños y niñas forman pequeños grupos que unen, separan y rehacen varias veces, incluso dentro de una misma sesión. Hay también niños que juegan individualmente al principio y luego se integran en un grupo; otros juegan individualmente durante toda la sesión. Este tipo de propuestas, a través del juego, sirve a los niños para desarrollarse de forma autónoma; a los maestros les da pautas para comprender comportamientos y situaciones que se dan luego en el trabajo en pequeño grupo. Este trabajo nos permite incidir en las adquisiciones infantiles en los ámbitos emocional y social, que se desarrollan con estos tipos de metodologías. Concebimos la vida del aula como algo complejo, que implica aspectos cognitivos y relativos a contenidos curriculares (aquí resaltamos los matemáticos), pero también a la esfera de lo afectivo. Los maestros debemos crear espacios para que todos estos afectos y emociones, que niñas y niños deben aprender a manejar, afloren y se expongan; así podrán aprender a identificarlos y, con el tiempo, alcanzar cierto control sobre los mismos.

Figura 2. Construcciones realizadas en situaciones de juego libre (cuarta sesión)

4. El juego orientado a un aprendizaje matemático: El reto de la altura (8 sesiones)

Los niños dedican varias sesiones a conocer el material y a manipularlo libremente. Entre las diversas iniciativas que toman los pequeños, destaca el deseo de construir torres muy altas. Una forma de intervenir en el juego libre, consiste en observar la actividad infantil y proponer una investigación

3 Esto se hizo en la quinta sesión, tras cuatro sesiones de juego libre. Después, otra sesión de juego libre concluyó la primera fase de la experiencia.


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que profundice sobre aspectos que conciten el interés de una mayoría de los miembros del grupo (Chalufour y Worth, 2004). Así, llegado este momento, consideramos a los niños preparados para afrontar un reto que queremos plantearles. La maestra se lo explica a los niños: los niños formarán tres grupos que no competirán entre sí, sino que construirán una torre en cada grupo y compararán su altura con la de otra construida en la siguiente sesión. Será una competición del grupo consigo mismo. Dado que la torre hecha el primer día se destruirá, los niños deben inventar algún método para comparar la torre del primer día, destruida antes de recoger el material al final de la sesión, con la torre construida al día siguiente. Se trata de una comparación indirecta, pues no disponemos de las dos torres simultáneamente para compararlas directamente. La comparación indirecta es una adquisición importante dentro del aprendizaje de la medición, pues requiere el dominio de la propiedad transitiva, característica de relaciones de equivalencia y de orden, y fundamental en matemáticas. En esta situación, hemos pasado de una actividad de juego libre a una situación diferente de aprendizaje orientada a un aprendizaje matemático concreto. Nuestra orientación constructivista hace que sean los niños quienes deban inventar un método para comparar las torres. A veces los maestros nos precipitamos previendo las soluciones a problemas que pueden surgir a los alumnos, e incluso, evitamos que los problemas surjan. Esto hace que desperdiciemos un sinfín de oportunidades, que promueven en los niños autonomía de pensamiento y seguridad en sí mismos. Entonces, serán ellos los que deban decidir cómo comparar una torre con la de la sesión siguiente. Aquí se produce una conversación con el grupo completo de la que reproducimos algunas propuestas hechas por los niños4 y debatidas en el grupo. Un rasgo del trabajo cooperativo es el desarrollo de habilidades de intercambio personal y en pequeño grupo. Ningún grupo funciona satisfactoriamente si sus componentes no poseen y no desarrollan determinadas habilidades de relación social: de comunicación, de toma de decisiones, de resolución de conflictos (Jonhson y Jonhson5, 1991).

Illya: A mí se me ocurre una idea para que no se nos olvide. Podíamos medirlo, dibujarlo en un papel [Para los niños, ‘dibujar’ significa muchas veces ‘escribir’ y otras ‘dibujar’] y al otro día, cuando lo vayamos a hacer, lo mirábamos.

Cristina: [Haciendo otra propuesta] Hacer una foto y luego, otro día, lo podíamos saber. A ver cómo era la mía, a ver [como simulando la situación]. Si no sabíamos cuál era de los equipos… pues, podíamos... Haces una foto a cada... Lo haces una foto y, cuando llegue el otro día, ya lo sabemos. [Algunos no ven muy claro esta propuesta, y Carmen la apoya].

Carmen: Pues le hacemos una foto. Si es pequeña... Si es mediana, le hacemos una foto mediana; y si es grande, le hacemos la foto grande.

Illya: Pero no se puede hacer una foto grande. Carmen: Doblando la cámara [Quiere decir rotándola 90º]. Poniéndola así [señala en el aire]. A ver.

Déjame la cámara. Así… y así... [Pone la cámara en horizontal y luego en vertical].

A continuación, Aínvar resume correctamente gran parte de la problemática que genera el uso de la cámara de fotos para registrar la altura de las construcciones.

Aínvar: Yo no creo que ni así, ni así [ni poniéndola horizontal, ni vertical], porque la pantalla es pequeña y no nos saldría todo y nos saldría de este tamañito. Y si es de este tamaño, no veríamos. Y como detrás no se puede escribir el nombre [porque no es una foto en papel], no sabremos de cuál grupo será [cada foto]. Podemos coger muchas cartulinas y después ponerlas juntas y poner las mesas, para ver qué altas eran las torres que nosotros hicimos.

Pero hay algunos que siguen empeñados en hacer uso de las cámaras de fotos. En parte, pensamos, porque reproducen fielmente la realidad, algo que a ellos les costaría mucho hacer a través de un dibujo. Por otro lado, una cámara de fotos es un elemento muy motivador en estas edades.

4 Entre corchetes, incluiremos aclaraciones y comentarios que complementen las palabras de los pequeños. 5 Las citas indirectas al trabajo de Jonhson y Jonhson (1991), están tomadas de Mir (1998).


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Maestra: Y ¿cómo pondrías las cámaras? María: En una torre. Maestra: ¿Una torre de cámaras? Varios: Sí. Carmen: Una torre como es la otra que está ahí. Ponemos las cámaras de todas las profes y cada uno

hacen cada uno una foto, y después… Y para que sepamos qué grande es la cámara, la torre, entonces cogemos una cartulina y ponemos en cada una, una foto, donde va.

A pesar de que parece una propuesta descabellada, permitimos a los pequeños que intenten desarrollarla. Entonces algunos niños (elegidos responsables de esta iniciativa) van a diferentes clases a preguntar si alguien puede prestarles cámaras de fotos. Cuando vuelven a clase, sigue la discusión.

Responsables: Que no tiene nadie. No. No tiene nadie. Nicolás: [Surge otra propuesta diferente] Con el ‘ipomeno’ [sic]. Maestra: ¿Con qué? Nicolás: Con la cosa de sujetar la cámara. Maestra: ¿Con el trípode? [El trípode se ha utilizado en clase para grabar alguna sesión de vídeo]. Nicolás: La ponemos arriba. La segunda, la haces tú. Y la última, la hacemos nosotros.

Para estos alumnos de Educación Infantil, la cámara de fotos, igual que la grabadora, son dos instrumentos muy familiares. Los utilizamos habitualmente para documentar procesos. A veces, los pequeños observan las fotografías. Saben que ésta representa fielmente ciertos aspectos de la realidad pero, por otra parte, quizá no sea apropiada para registrar… ¡La altura real de la torre! A veces los niños inventan procedimientos que podrían parecer absurdos a los adultos. Permitirles recorrer estos caminos se antoja una completa pérdida de tiempo. Sin embargo, son ellos los que necesitan transitar estos caminos. Al trabajar por proyectos, siguiendo la iniciativa infantil, hemos aprendido del inmenso valor de las “pérdidas de tiempo”. El tiempo de los pequeños no es el de los adultos, no es el de los pedagogos, ni el de las propuestas curriculares. Es una opción pedagógica característica de los proyectos, y de otros enfoques constructivistas, intentar que el tiempo de la clase sea “tiempo de los niños”. Esto es imposible si el maestro no desarrolla, a través de la escucha, una gran sensibilidad hacia sus necesidades de tiempo. También destacamos las discusiones sobre situaciones problemáticas hipotéticas. Aún no han construido ninguna torre, por lo que no se han visto en la tesitura de tener que registrar su altura. A pesar de ello, nos parece importante poner a niñas y niños en este tipo de situaciones, incluso cuando al final no llegan a ninguna solución concreta. Esto no le resta valor a su trabajo y, en cambio, les sitúa en una posición intelectualmente más rica. Creemos que cuando se enfrentan luego a la situación real, sus análisis de la misma son más profundos.

4.1. La construcción de las torres (7.ª sesión)

Como hemos dicho, los niños se organizan para trabajar en tres grupos. La clase provenía del desdoble de un grupo excesivamente numeroso (de 28 alumnos) y había quedado en 14 alumnos, con lo que los grupos eran de 4 o 5 niños. Los propios niños se distribuyeron según sus afinidades. El trabajo era lo suficientemente complejo, así que optamos por minimizar los conflictos. Aun así, el trabajo emocional fue intenso. En los tres grupos los niños comienzan elaborando construcciones muy ‘conservadoras’, buscando más la estabilidad que la altura. El grupo A está formado por Carmen, Irene, Inés, Sandra y Julieta y se enfrenta a varios problemas: el primero es que, cuando se acaban las piezas de un tipo, recurren a otras piezas para formar piezas equivalentes; el segundo es que el grupo sufre disputas acerca del liderazgo que durarán varias sesiones; y el tercero es que algunas figuras, como los triángulos (mitades de tablas cuadradas) y los cilindros, resultan especialmente incómodas al construir. Todo parece ir bien, hasta que las niñas observan que la torre parece ligeramente inclinada. Si la tocan un poco, podría caerse. La situación es crítica y las chicas deciden convocar una reunión urgente. Una de ellas dice: «¿Qué hacemos? ¿Seguimos construyendo y que se nos caiga o lo dejamos así?». Tras una larga discusión, deciden no arriesgar. Su trabajo de construcción ha concluido (Figura


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3, izquierda). El grupo B está formando por Diego, Nicolás, Nacho e Illya. Comienzan su construcción como en el grupo anterior. Eligen como “piso” la tabla cuadrada grande y comienzan a poner una tabla sobre otra. La búsqueda de equivalencias en forma y tamaño adquiere gran virtuosismo al usar las piezas pequeñas (Figura 3, centro). En la imagen, una torre de base cuadrada vista desde arriba, los niños han construido el lado del cuadrado de seis formas distintas, con combinaciones de piezas equivalentes en longitud. Aunque durante esta sesión no surgen problemas entre los miembros, en sesiones posteriores también tendrán que trabajar sobre ello. Su trabajo concluye al acabarse las piezas. En el grupo C están Paula L., Paula V, Cristina, María y Aínvar y empiezan de forma distinta: clasifican el material y se detienen, dudosos sobre qué hacer. Finalmente, deciden copiar al equipo de al lado (el grupo anterior). La torre, poco a poco, va tomando altura y anchura pues, a medida que va creciendo, los pequeños la van apuntalando, adosando material a los lados (Figura 3, derecha). En este caso también surgen problemas entre los miembros, ya que uno de ellos al principio prefiere trabajar individualmente, y al resto del grupo le cuesta mucho hacerle entender que debe integrarse.

Figura 3. Los tres grupos trabajando

4.2. El registro de la altura (7.ª sesión, continuación)

Uno de los objetivos que teníamos los profesores implicados en la experiencia es que los niños trabajasen en el ámbito de la medición, por lo que orientamos el trabajo, visto su interés, hacia el tema de la altura. Sabíamos que en estas edades no tiene mucho sentido para ellos recurrir al metro para medir los objetos. Por otra parte, los niños sí suelen realizar en la Educación Infantil ciertas actividades de medición con unidades de medida como el brazo, el pie, o con diversos objetos. Sin embargo, en nuestras experiencias anteriores6 habíamos constatado que lo que se les ocurre a los niños hacer “de forma natural7” es utilizar la comparación, antes que cuantificar empleando una unidad de medida. En este contexto, comparar la altura que tiene la torre construida por un grupo con la de otra torre erigida por el mismo grupo al día siguiente, plantea cierta dificultad. En efecto, las dos torres no pueden compararse directamente, lo cual fuerza a buscar un tercer elemento que sirva para establecer una comparación indirecta. El paso de la comparación directa a la indirecta supone un hito en el aprendizaje de la medición. Más allá de la comparación, los alumnos deben elaborar un “registro” (analógico, no numérico) de la altura de sus torres.

A pesar de las discusiones de días anteriores sobre el tema, una vez se encuentran en la situación real, los niños parecen ver de forma clara cómo solucionar el problema que se les plantea. Así que para registrar la altura de la torre y poder compararla con las que hagan otros días, los pequeños deciden utilizar papel continuo. En el grupo A primero estiman cuánto papel van a necesitar, dibujan sobre él algo parecido a un alzado de su torre y lo comparan con la torre real, acercando el papel a la torre. Al ver que se han equivocado, tachan lo que creen que sobra del edificio y vuelven a comprobarlo. Sobre el papel, también escriben sus nombres, detalle fundamental para ellos, como

6 Por ejemplo, en la experiencia descrita en De Castro y Escorial (2005). 7 Por propia iniciativa y sin ninguna sugerencia o aportación por parte de la maestra.


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pudo apreciarse en la conversación sobre el uso de las cámaras. Siguen corrigiendo y comprobando. La estrategia básica de trabajo es el ensayo y error. Julieta se empeña en ponerse en medio para marcar dónde debe empezar la torre. Quiere hacer coincidir la marca del papel con la base de la torre (Figura 4, izquierda), por eso sujeta al suelo con la mano derecha la base dibujada de la nueva torre, que queda en medio del papel continuo. Las demás integrantes del grupo, que permanecen con la idea “seguir probando”, se enfadan con ella, pues no deja el papel libre para moverlo. Al final, las compañeras descubren el sentido de la acción de Julieta. Deciden entonces doblar el papel por donde indica Julieta, para comparar las alturas de la torre y el dibujo. Tras comprobar que la torre construida y la dibujada tienen la misma altura, terminan de escribir sus nombres. En el grupo B (Figura 4, derecha), los chicos hacen una estimación del papel que van a necesitar, hacen un primer dibujo, y lo comparan con la torre. Como el modelo elaborado en papel resulta un poco más bajo, hacen otro al lado y vuelven a comparar. Esta vez les parece perfecto, con lo cual, sólo falta apuntar sus nombres. Es interesante ver que la estrategia base para resolver el problema vuelve a ser el ensayo y error. Los ensayos no se realizan al azar, sino que van orientados por la destreza de estimación de longitudes, una importante destreza matemática a desarrollar que los pequeños utilizan a menudo. A los niños se les da libertad para que utilicen la estrategia que consideren más apropiada. Su elección queda documentada. Somos plenamente conscientes de que en estas situaciones, hay un aprendizaje “incidental”. Los niños aprenden cosas distintas (dentro del grupo) y los profesores a veces no somos capaces de prever qué van a aprender los niños8. En el grupo C, igual que en los demás, estiman cuanto papel necesitarán y hacen un dibujo de la torre. Uno de los integrantes del grupo dice: «Hacemos una raya y vemos hasta dónde llega. Si pongo el dedo, puedes hacer la marca. A partir de la marquita es desde donde tengo que borrar» [lo que sobra del dibujo anterior de la torre]. Vuelven a comprobar si está bien y con la referencia de la altura, dibujan la torre completa. No les basta la marca que representa la altura.

Figura 4. Trabajando por ensayo y error para registrar la altura de la torre

Es curioso que, al contrario de lo que suele suceder con las fichas, los niños no preguntan en ningún momento a la maestra si están haciendo bien su trabajo. Tienen perfectamente claro qué están haciendo y por qué lo hacen. Ellos “gobiernan” la actividad y esto les permite trabajar de forma autónoma. Las sucesivas comprobaciones que realizan tienen un doble estatus: Constituyen la autoevaluación que hace el grupo de su “tarea escolar” y, además, son un verdadero trabajo matemático (de comparación de longitudes). Se produce un fenómeno fundamental para el aprendizaje de las matemáticas: Los niños incorporan a su trabajo matemático la validación de su propio trabajo9.

8 Por esta razón, es recomendable que cuando un grupo de niños trabaja por proyectos, tengan también otro tipo de experiencias más orientadas al aprendizaje de contenidos matemáticos concretos. 9 Como cuando un niño utiliza la regla del 9 para comprobar si ha hecho bien una división en lugar de preguntar a la maestra si la tiene bien. Se logran dos objetivos: La prueba del 9 sirve al alumno para autoevaluarse y además, es un trabajo matemático en sí mismo. El caso que estamos tratando es más especial todavía que el propuesto en el ejemplo de la prueba del 9. En efecto, muchos niños aprenden a realizar la prueba de un modo rutinario, de modo que realizar dicha prueba no significa que estén asumiendo la responsabilidad de autoevaluarse. Sin embargo, en la situación que describimos, sale de ellos mismos la idea de validar su trabajo.


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4.3. Continuación del reto de la altura (8.ª sesión)

La siguiente sesión consiste en volver a construir torres, pero con el añadido de que éstas deben de ser más altas que las de la semana anterior. Esto requiere un plan de trabajo dentro de cada grupo. Por ello, antes de ponerse a construir, todos los grupos dedican unos minutos a dialogar sobre cuál va a ser la estrategia a utilizar. El grupo A, igual que en la sesión anterior, tiene muchos problemas para ponerse a trabajar, debido a que existen muchas tensiones entre los miembros del grupo. Al final el trabajo empieza y deciden hacer la torre más estrecha, para así llegar más alto. Parten con una preocupación básica: que no se les ‘tuerza’ la torre, como la vez anterior. Así, se muestran muy atentas a que todas las piezas estén bien colocadas unas sobre otras. Los cuadrados, ahora, con este ancho, sí sirven para algo. Al poco empiezan los primeros momentos de crisis. La torre, no solo se está torciendo, sino que además parece perder estabilidad. Siguen adelante, colocando sillas para poder seguir ganando altura y, en parte, para apuntalar la torre. La maestra les avisa de que separen un poco las sillas, porque la torre se tiene que sostener sola. El trabajo continúa alegremente dentro del grupo, bajo la mirada entre fascinada y envidiosa de los que no consiguen llegar tan alto. Pero al final… se cae. Más tarde, los pequeños achacarán el derrumbe a la existencia de un ‘huequito’ cerca de la base de la torre (Figura 5, izquierda). Hay que comenzar de nuevo. Esta vez, haciendo la torre más ancha. Cuando comparan la torre con la del día anterior, observan con cierta desilusión que la nueva torre es un poco más baja. El nuevo registro de la altura queda junto al de la otra torre (Figura 6, izquierda).

Figura 5. Las tres nuevas construcciones

Figura 6. Los registros de altura de las tres torres junto con los del día anterior

En el grupo B, deciden trabajar como lo hicieron la semana anterior, pero intentando conseguir más piezas. Desde el principio, tres de los cuatro miembros del grupo deciden jugar “más de lo debido”, lo que desembocará en un “final fatal” (Figura 5, centro). Los equilibrios que hacen con las piezas dan lugar a la caída, casi al final de la sesión, de gran parte de la torre. Ni las reprimendas de la maestra por su actitud, ni las de Nicolás (el único que quería trabajar con seriedad) sirven para enderezar el rumbo del trabajo. Al compararla con la de la semana pasada, queda mucho más pequeña (Figura 6, centro), lo cual produce un gran enfado en Nicolás. Jonhson y Jonhson (1991) establecen que una de las características del trabajo cooperativo consiste en asumir responsabilidades


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individuales. Cada componente del grupo debe responsabilizarse personalmente de su propio trabajo, de los resultados a los que se llegue y, en consecuencia, de sus aportaciones al grupo. En este grupo, estamos todavía lejos de conseguirlo. En el grupo C demuestran tenerlo muy claro desde el principio: «dos pilares y una tabla», propone Paula L.; «No. Mejor, cuatro», dice Cristina. Construyen intensamente, pero no consiguen alcanzar más de cuatro “pisos” de altura con este método (Figura 5, derecha) y la torre resulta exactamente igual que la de la semana anterior (Figura 6, derecha). Ninguno de los grupos ha construido una torre más alta que la semana anterior, pero la actividad ha ofrecido alternativas nuevas. Así que pensamos que los niños se han ganado continuar el reto de las torres. Pero antes se pone en común lo que ha ocurrido en cada grupo. Es una reflexión conjunta en la que surgirán aproximaciones al concepto de estabilidad. En cuanto al material, existe ya un dominio claro del mismo; saben utilizar cada tipo de pieza para una función concreta dentro de la construcción de la torre y, al final, sólo sobran los cilindros, empleados para decorar.

4.4. Discusión sobre la construcción de las torres (9.ª sesión)

Una vez que se ha hecho un trabajo intenso en pequeños grupos, es la hora de reunirse en gran grupo y compartir las experiencias, qué se ha estado haciendo, qué han probado, qué ha salido bien y qué no, para poder buscar soluciones conjuntas a los mismos problemas. La conversación se desarrolla a lo largo de una sesión de, aproximadamente, cuarenta y cinco minutos, en la que surgen tanto problemas de construcción, como disputas entre los miembros y diversas preocupaciones. Exponemos algunas de las conclusiones a las que se llega a lo largo de la conversación. El equipo B, al que se le cayó la torre en el último momento, tiene muy claro lo que pasó: «Y a nosotros se nos cayó porque estábamos haciendo el tonto», dice acertadamente Diego. En el grupo C, buscan soluciones para poder continuar construyendo más alturas repitiendo pisos con cuatro pilares y una tabla.

Paula: Yo le estaba diciendo que ‘pongábamos’ [sic] más cosas, para que así no se nos cayera, y no me hacían caso.

Maestra: ¿Poner más cosas? ¿Cómo? Paula V: Más pilares, para que no se cayera. Y no me hacían caso. Maestra: Poner más pilares. ¿Cuántos pilares poníais? Paula: Cuatro. Maestra: Y tú decías poner más pilares. Paula V: Cinco. María: O seis. Cristina: [Cambiando de propuesta] Podemos coger el cuento que has traído tú de las piezas [un libro de

rascacielos que trajimos para dar ideas, Figura 7, derecha] y pasarlo a cada equipo y así no se nos cae, o intentamos que no se nos caiga.

El problema, más que en el número de pilares, estaba en la estabilidad de los mismos. Eran pilares cilíndricos de 24 cm de longitud y 3 cm de diámetro. En experiencias posteriores los hemos cambiado por pilares de 16 cm de longitud y 4 cm de diámetro, mucho más estables. Surge también la duda de por qué los edificios de la calle son mucho más altos que sus torres, pero no se caen.

Nicolás: Sí, pero en la tierra hay algo que sujeta a los edificios [Los cimientos. Hay varios niños hablando a la vez. No se le oye y no le hacen caso.] Podemos coger el libro, dos personas cada uno, y hacer más equipos, y luego lo ‘construyamos’ [sic].

Julieta: [Intervienen los miembros del grupo A] Los vamos a hacer más gordo que en las puntas. Donde están las paredes, que no quede ni un huequito.

Maestra: ¿Y “gordo”? ¿A qué os referís con que sea “gordo”? Irene: Por las paredes, para que no se nos caiga. Pero tenemos que ver muy bien por abajo, que no se

nos quede ningún hueco que se nos vaya a caer. Y si se nos va a caer, una amiga diga: “Sujetad por ahí”, y así ya no se cae. Con las tablas, sujetándolo.


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A lo largo de estas conversaciones surge la idea de que van a construir una torre tan alta que no les va a caber dentro de la clase. Y eso lo expresan como una dificultad para continuar con su trabajo. La maestra les tranquiliza prometiéndoles que si eso ocurriera, bajarían al patio para seguir construyendo sin que el techo les limite. En este momento la actividad da un giro. Los niños ya no están motivados por construir una torre más alta que la anterior. Desean, sobre todo, conseguir construir torres tan altas que sea necesario hacerlas en el patio del colegio.

Figura 7. Dos momentos fundamentales: la discusión y la documentación

4.5. Una nueva sesión de trabajo (10.ª sesión)

Una vez debatidas las distintas propuestas en gran grupo, los niños vuelven a construir intentando conseguir torres más altas que las de las sesiones anteriores. El grupo A se plantea como objetivo la construcción de una buena base, con las piezas bien colocadas. Como en la sesión anterior, antes de comenzar a construir, los niños se reúnen para decidir qué van a hacer. La conversación muestra sus concepciones sobre cómo hacer una buena construcción. Lo primero es hacer «unas paredes gordas y bien colocado todo». En la figura 8, a la izquierda, Inés está decorando la torre en la parte superior con pilares cilíndricos cortos, y puede valorarse la anchura de la base de la torre. Cuando se acaban las tablas cuadradas y las rectangulares, se intenta seguir con los pilares cilíndricos. «Tengo una idea. Vamos a poner más pilares en la base», dice Irene. Al compararla con las torres de días anteriores, resulta aún más baja, aunque no se les ha caído ni una sola vez. Tan ancha y tan estable era, que se quedaron sin piezas para alcanzar mayor altura.

Figura 8. Las tres torres, en la 3.ª sesión del reto de las alturas (10.ª de la experiencia)

En el grupo B, después de haber estado perdiendo el tiempo en la sesión anterior, emplearon más tiempo a decidir su plan de construcción y deciden usar «más gordas que finas» y «más largas» [sic]. Y se ponen manos a la obra. Cuando se acaban las piezas planas, hay que seguir construyendo con las rampas y los cilindros (Figura 8, centro). Al compararla, estaban seguros de que era más alta que la de la semana anterior (que se les había caído), pero no esperaban alcanzar tanta altura. Objetivo cumplido: la torre era más alta que las anteriores (Figura 9, centro). Además, experimentaron la satisfacción por el trabajo bien hecho. En el grupo C, al principio, lo intentan con más pilares. Primero


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muchos; luego, sólo cinco. Pero todo se les acaba cayendo y con mucha más facilidad que cuando ponían sólo cuatro pilares. Proponen pegar los pilares a la tabla, pero esta solución no es válida en el planteamiento de la experiencia, ya que el material debía de quedar intacto al finalizar cada sesión. De esta manera, los integrantes del grupo cambian de estrategia. Utilizan la misma estrategia que los otros dos grupos (Figura 8, derecha). Cuando ya no quedan piezas planas, los cilindros se emplean para decorar la torre y, de paso, para ganar un poco más de altura. Después deben comparar el resultado con las torres anteriores. La torre, gracias a los cilindros, es mucho más alta que las otras dos. Al mostrar el resultado a la maestra (Figura 9, derecha) le dicen: «Es la línea roja». Al solicitarles aclaraciones, en el grupo responden: «No sólo la línea roja, sino que desde abajo hasta la línea roja».

Figura 9. Los registros de las tres torres. A la izquierda más baja y en el centro y la derecha, más altas

4.6. Vídeo “Érase una vez el hombre: Los constructores de catedrales” (11.ª y 12.ª sesiones)

Llegados a este punto de la experiencia, tanto los maestros implicados como los niños nos sentíamos estancados. Los pequeños estaban muy motivados para construir en el patio, pero no sabían cómo mejorar la estabilidad de las torres. Decidimos entonces realizar dos propuestas diferentes, para aclarar las ideas. La primera fue la proyección del video “Los constructores de catedrales”, capítulo decimoprimero de la serie “Érase una vez el hombre”10 y, la segunda, fue pedir ayuda a un experto, visita desarrollada en el siguiente apartado. Con respecto al video, parecía oportuno porque los protagonistas del mismo expresan el deseo de construir un techo tan alto que llegue al cielo. También porque se les cae tantas veces la catedral y tantas veces tienen que recomenzar, que resultaba imposible que los pequeños no se sintiesen identificados. Después del vídeo, se produce una charla de la que surge la idea de pedir ayuda a los padres. A varios no les parece bien, porque las madres «tienen que trabajar». Después del vídeo, hicieron un dibujo del mismo11. Los que iban acabando veían los libros de rascacielos y de historia de la arquitectura12. La maestra iba escribiendo a mano, junto a los dibujos, los comentarios que los niños hacían sobre los mismos, bastante ricos en imaginación: «Este es un hombre corriendo, un poquito más cerca, que va a avisar al rey porque unos ladrones han atacado a su hija», dice uno de los pequeños. Algunos hablan de lo visto en el vídeo, otros lo mezclan con cosas que relacionan con la Edad Media: dragones, reyes, princesas, etc. Después de este trabajo de análisis, los niños se encuentran en situación de poder sintetizar el trabajo realizado. Ahora pueden describir cuáles son los problemas que deben afrontar y deciden pedir ayuda a un experto. En este caso, al padre de uno de los niños de la clase, que es arquitecto. Antes de la visita, entre todos hacen una lista de preguntas que les preocupan (12.ª sesión):

• ¿Cómo se pueden sujetar las torres? ¿Qué podemos hacer para que no se nos caigan? • ¿Qué pieza vamos a necesitar mucho para que no se nos caigan las torres? • Si nos podías dar ideas para que no se nos caigan.

10 Este vídeo se encuentra disponible en: http://www.youtube.com/ 11 Es algo anecdótico, pero resulta curioso como la mayor parte de los dibujos de los niños eran simétricos. 12 “Grandes construcciones”, volumen 17 de la Enciclopedia visual de las preguntas, de El País.


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• Que nos dé muchísimas ideas para otros días. • ¿Se pueden hacer torres con agujeros y que no se nos caigan? • Si necesitamos “echarle un ojo” en los sitios en los que hay agujeros. • ¿Cómo podemos sujetar las piezas? • ¿Se puede construir alto con cuatro pilares y una tabla y llegar alto? • ¿Se tiene que construir con una tabla y pilares tumbados que valgan para la medida de

la tabla? • Queremos hacer una torre alta entre todos y queremos saber cómo podemos hacer que

tenga una puerta para entrar dentro (y la puerta tiene que tener la medida del más alto de la clase), también que tenga ventanas y un tejado con una chimenea.

Figura 10. Cada niño elabora su dibujo y se consultan libros de arquitectura

5. La visita de Alejandro, el experto (13.ª y 14.ª sesiones)

Alejandro, arquitecto y padre de Nicolás, vino a visitar a los niños para trabajar con ellos. Antes de su visita, la maestra le había pasado las preguntas que los niños habían preparado para él, junto con algunas fotos de sus construcciones. La visita fue muy larga, y de ella extraemos los siguientes fragmentos, en los que se puede comprobar que los niños van revisando conceptos junto al experto:

Figura 11. Los niños trabajan sobre el peso, la estabilidad y la traba, y lo aplican a la construcción de una torre

Alejandro: Cuando tuvieron aquella pequeña ciudad, ustedes funcionaron como la historia de las ciudades. Empezaron a construir una torre, y querían hacer la torre más alta, pero el problema que tenían era que las torres se les caían. Bueno, ¿quién sabe lo que es el peso?

Aínvar: Una cosa que pesa mucho. Inés: Como un piano. Alejandro: El peso, todos pensamos que es algo que pesa mucho, pero las cosas pueden pesar mucho o

pueden pesar poco. ¿Una pluma pesa? Varios: No, no pesa. Alejandro: ¿Cómo que no? Tiene su peso. ¿Un ladrillo pesa? Varios: Sí. Alejandro: ¿Y el agua pesa?


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Inés: Sí, dos [sic]. Alejandro: [En otro momento de la conversación] Lo único que hicieron fue poner las piezas una al lado

de la otra, no buscaron una forma de entrelazarlas. Alguna vez habéis prestado atención de cómo se ponen las paredes de ladrillos.

Nacho: Se ponen en un sitio así. Uno encima de otro. Alejandro: ¿Sólo encima uno de otro? Nacho: No, también para los lados, para atrás y para delante. Alejandro: Ahí está, así que los van trabando. Diego: Con cemento. Alejandro: Bueno. Sí se les pone cemento. Pero si no tuvieran cemento, porque aquí no tenemos

pegamento para hacer la torre. Si le pusiéramos pegamento, aguantaría mucho mejor la torre. Nacho: Pero después no podríamos jugar.

Figura 12. Los niños experimentando lo que acaban de aprender

A lo largo de la conversación, Alejandro les va dando diferentes pautas: les explica cómo realizar distintos modelos de trabas con el material: «Primero hay que seleccionar el material. Todas las piezas iguales». También da consejos sobre el trabajo en equipo: «Esto es otra cosa importante. En todo proceso de construcción es importante el trabajo de cada uno. Escuchen: las construcciones funcionan como un equipo, porque miren, si en este equipo no ponemos este pilar que nos falta, mira lo que pasa» [Alejandro quita una pieza y se ve como pierde estabilidad]. A la vez que va explicando a los niños, va construyendo una torre en la se aplica lo que se va explicando: repartir el peso, utilizar piezas iguales, trabar… Siguen construyendo la torre y Alejandro explica distintas maneras de equilibrar el peso. Como se han acabado las tablas, utilizan cuentos y descubren que, si el peso está bien situado, se pueden hacer hasta voladizos. En este momento Nacho dice: «Bea, ¿por qué no la dibujas para que no se nos olvide?». Beatriz (la maestra) devuelve la pelota a los pequeños y les pide que la dibujen ellos. De este modo, la actividad se divide en dos grupos: los que terminan la torre con Alejandro y se dedican a decorarla, y el grupo de niñas que intenta dibujarla.

Figura 13. Discusión final y torre final construida con Alejandro


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Pero no han acabado, por supuesto. Mientras las niñas terminan de dibujarla, los demás hacen la traba, con Alejandro asesorándoles (Figura 12). Diego, Illya y Nico construyen una mazmorra y le piden a Alejandro que les enseñe a hacer una puerta (una de las preguntas preparadas). También han conseguido hacer torres con agujeros, como querían. Después, a Carmen no le sale la traba y Diego se lo explica, pero tienen problemas con el tamaño de las piezas (Figura 12, derecha). Han mezclado piezas de diferentes tamaños y no encajan. Al final, lo dejan. Acabamos con un tiempo de discusión para ver si todas las dudas han quedado resueltas y atar los últimos cabos (Figura 13). La visita del experto fue altamente satisfactoria y fructífera. En gran parte debido a la capacidad de Alejandro para adaptarse al nivel de los niños y, también debido a que el trabajo previo de los niños les dio la capacidad de profundizar sobre el tema. Eran pequeños expertos, con un objetivo preciso y con necesidad de resolver dificultades concretas. Por la tarde, durante el juego libre, los alumnos traban las piezas con otro material distinto y sin ayuda de nadie (Figura 14, izquierda). Parece que lo han comprendido. Tras una puesta en común, para sintetizar la visita de Alejandro, las conclusiones son anotadas por los niños en la pizarra con mayúsculas:

• TRABAR • LOCEPESAMUCHOABAJO • LOCEPESAPOCOARRIBA • PODEMOS ACER ABUGEROS • PUERTAS IBENTANAS • MAS ANCHA PORA BAJO

Figura 14. Los niños aplican todo lo aprendido tras la visita de Alejandro

En la siguiente sesión (14.ª), antes de construir, recordaron también que las piezas en cada parte de la construcción debían ser iguales. Sus construcciones resultan sorprendentes, incluso para ellos (Figura 14, imágenes del centro y de la derecha):

Inés: [Sorprendida] Llevamos aquí horas y no se nos ha caído nada. Irene: Vamos a probar a quitar estas piezas porque, si se nos cae, ya sabemos cómo hacerlo.

6. La gran torre (15.ª y última sesión)

Al final, llegó el gran día13. Desde el día de planificación de la visita del experto, los niños se habían propuesto firmemente realizar una torre gigante. Por supuesto, la torre debería construirse en el patio, para que el techo del aula (de 2,5 m de altura) no “limitase” su altura. Dividimos la descripción de la actividad en episodios, que coinciden con las fases de la construcción de la torre y también con las etapas por las que pasa el grupo a lo largo de esta aventura compartida.

13 Mientras que la mayoría de las sesiones ordinarias semanales tuvieron una hora de duración, y las extraordinarias, algo menos, la culminación del proyecto de construcción llevó todo un día de trabajo.


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6.1. La preparación

Por la mañana, los pequeños llegaron muy emocionados. La primera tarea, nada sencilla, consistió en bajar todo el material del aula, en un primer piso, al patio. Tenían dos sacos de piezas y un baúl de paja lleno de material, y lo bajaron casi sin ayuda. Al principio, iban bajando el material poco a poco. Cuando la cesta de paja ya no pesaba tanto, la arrastraron desde la clase hasta el patio, salvando incluso un tramo de escaleras. Después tuvieron que volcar la cesta, que seguía pesando mucho, y los sacos (Figura 15). Una tarea pesada y aburrida que se convirtió en un reto y en un juego, debido a su gran dificultad. Y todo se desarrolló sin la ayuda de ningún adulto. Ya con todo el material preparado, se sentaron en corro para decidir qué iban a hacer y cómo hacerlo, igual que en sesiones anteriores (Figura 15, derecha). El qué era fácil: la torre más alta que pudieran. El cómo, es lo que llevaban dos meses investigando. Los niños comienzan repasando lo que han aprendido:

Inés: Lo que no pesa, arriba. María: Lo que pesa mucho, abajo. Sandra: Y trabar.

Pero no lo tienen muy claro. Para no despistarse del objetivo, Nacho propone hablar por turnos. Así, cada uno puede expresar su opinión. Sin embargo, a medida que les va tocando hablar, no se les ocurren muchas ideas. Nacho, como hará durante el resto del día, guía y cohesiona el grupo, buscando soluciones e intentado que cada uno aporte su granito de arena. Así, en un momento de la conversación en la que a nadie se le ocurre nada, dice: «A ver… Concentración». Y todos agachan la cabeza, adoptando un gesto de reflexión. Al fin, consiguen llegar a un acuerdo que satisface a todos, y se ponen manos a la obra. En el trabajo cooperativo se produce una interdependencia positiva donde los alumnos, en el desarrollo de sus tareas de grupo, se perciben mutuamente como necesarios para resolverlas. Esto supone compartir recursos, objetivos comunes y roles específicos para cada uno; así mismo, se favorece la interdependencia cara a cara, en la que ayudarse, compartir esfuerzos, animarse, explicarse algo mutuamente, discutir, etc., serían ejemplos significativos (Jonhson y Jonhson, 1991).

Figura 15. El transporte del material y la planificación

6.2. Construcción de la base

El comienzo fue lo más complejo. Había que asentar bien los cimientos de la torre y, por otro lado, asentar los cimientos de trabajar todo el grupo junto para que la actividad funcionara. Los niños, hasta ese momento, habían trabajado en gran grupo sólo para exponer dificultades o llegar a conclusiones pero, a la hora de construir, sólo estaban acostumbrados a hacerlo en pequeño grupo. ¡Deben trabajar catorce personas a la vez, en una misma tarea! Al principio, la base de la torre se cayó; a la segunda, la destruyeron. La hicieron mal y la tuvieron que repetir varias veces, pero no desistieron. En el asentamiento de las bases del grupo, ocurrió lo mismo: aparecieron problemas de liderazgo, malos entendidos, surgieron grupos disidentes. Al final, gracias al esfuerzo de todos, los que cedieron, los que buscaban el consenso, los que se pelearon para conseguir algo mejor… el grupo


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funcionó como tal. Y consiguieron construir la torre más alta que habían realizado hasta el momento, y no se les cayó. Y el grupo se cohesionó, cristalizando así los esfuerzos por intentar comprenderse como compañeros y como amigos. Al principio todo eran expectativas. Los niños transmiten sus ilusiones y sus deseos:

Diego: La torre será más alta que la que hicimos en mi equipo porque ahora... Todos juntos. Sandra: Ahora podremos coger las sillas si no llegamos.

Figura 16. Se prueban distintos procedimientos para formar la base de la torre

Subirse en una silla o en una mesa es muy divertido en estas edades y hacerlo con consentimiento adulto, casi por obligación, es aún más divertido. Nada más empezar, surgen los primeros problemas de construcción de la base de la torre y, análogamente, aparecen las primeras dificultades en el grupo. Tienen que decidir dónde van a empezar la torre.

Irene: Aquí hay muy poco sitio. Nacho: Aquí, en el medio.

Tienen tanta ilusión por hacerlo que lo intentan todos juntos, pero no caben. No pueden trabajar todos a la vez y además no se han puesto de acuerdo en cómo iban a empezar: «Yo pensé que íbamos a trabar», comenta Diego, cuando ve que sus compañeros empiezan por otra técnica que les enseñó Alejandro. Empiezan haciendo la base de “quesitos” (una base hexagonal, imitando la que hicieron con Alejandro) pero las tablas se les caen una y otra vez. Diego y Nacho intentan organizar al grupo, discuten sobre qué problemas están ocurriendo y dan consejos a sus compañeros:

Diego: No acercarnos tanto a las piezas [a lo mejor se caen porque alguien las toca y hay que evitarlo]. Julieta: ¡Sí, pero que no manden los chicos solo! [Con actitud de queja].

Empieza la primera división del trabajo: unos construyen y otros clasifican las piezas, por dos motivos: habían aprendido de Alejandro que debían de utilizar siempre piezas iguales y en segundo lugar, no caben todos haciendo la base de la torre (figura 16, derecha). Todo esto no funciona. La base se cae continuamente. No consiguen colocar ni siquiera tres tablas sin que se les caigan. Esto empieza a producir desesperación. De repente, surge una idea:

Nacho: Ah, ya sé. Tenemos que conseguir algo plano. Sin nada, sin arena, sin nada [El suelo del jardín no es llano; no es como el suelo de la clase. Por eso las maderas no aguantan de pie].

Diego: Hay que barrer [porque también había arenilla]. Maestra: [Viendo a los pequeños desconcertados] ¿Qué otro sistema de los que conocéis podéis usar? Illya: Ir trabando. Hacer otra, pero trabando (Figura 16).

Empiezan a construir trabando y surgen las primeras disidencias del gran grupo. Se forman distintos grupos de trabajo: uno principal y varios secundarios. Estos están formados por una o dos


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personas, que intentan hacer otras bases, aplicando algún otro tipo de técnica (Figura 16, izquierda). También hay quienes tratan de unir a la clase entera:

Diego: No, chicos. Dejad eso, que se cae todo. Ahora estamos trabando. Nacho: ¿Pero por qué vosotros no lo hacéis con nosotros? Diego: [Insistiendo] Aínvar. Lo estamos haciendo aquí, ya todos juntos.

Pero sigue sin funcionar: no consiguen hacer la base de la torre. En varias ocasiones la destruyen y reconstruyen hasta conseguir que les convenza. Además, repasan qué era trabar. Algunos integrantes del grupo lo explican a los que no lo tienen claro. Como se ve en la Figura 17, las piezas de la base no están trabadas y eso hace que se produzca una peligrosa grieta en la construcción. Los niños se dan cuenta de la importancia de tener una buena base, optan por deshacer lo que han construido. Inés (Figura 17, centro) indica cómo deben colocarse las piezas para que estén trabadas y así evitar las grietas. Durante un tiempo no sale nada, pero lo siguen intentando.

Algo similar ocurre en el grupo. Surgen conflictos por el liderazgo y los niños “pelean” por hacerse oír. Se discute, se destruye, se llora, se habla. Los amigos interceden en el conflicto, pero falta actitud de escucha. Irene e Illya protagonizan uno de los mayores enfrentamientos y tendrán de dialogar mucho para solucionarlo. Debe haber una verdadera discusión sobre los motivos de la disputa, sobre sus sentimientos, y hablar con sinceridad. Habrá que dedicar tiempo al otro para escucharle y discutir con él. Las relaciones deben crearse entre ellos; no se pueden imponer por parte del adulto. Este estará presente durante el proceso en calidad de mediador. Debe haber sinceridad y, sobre todo, respeto. En ambos casos, en la torre y en el grupo, parece destruirse todo y se vuelve a empezar. Pero ya no se empieza desde el mismo sitio. Ya sabemos en qué nos hemos equivocado y por qué caminos no se llega a ningún sitio. «El que quiera seguir construyendo que venga aquí», propone Nacho. Sus palabras resuenan en el grupo en un momento clave. Irene e Illya se han reconciliado, pero se han formados dos grupos: uno construye, el otro juega con las piezas. Los constructores se quejan de que les dejan solos y los que juegan protestan porque no se les deja intervenir. Cuando han conseguido una base más o menos a su gusto, aparece otro problema. La base es más ancha de lo usual, lo que obliga a buscar soluciones (Figura 17, derecha). Illya, emocionado, exclama: «Bea… ¡Qué divertida [sic] es hacer la torre! ¡Porque nos pasan ‘mollones’ [mogollones] de problemas!»

Figura 17. Durante la construcción, surgen problemas con los que no nos habíamos encontrado antes

Después de darle vueltas, deciden poner un pilar en el centro para que no se caiga. El problema planteado era totalmente nuevo; no había surgido en la visita del experto. Sin embargo, los niños fueron capaces, no sólo de aplicar los aprendizajes adquiridos, sino de buscar soluciones nuevas y creativas a problemas que no pertenecían al repertorio de su experiencia anterior. Al final de esta etapa, la base de la torre está asentada y el grupo ha conseguido crear un ambiente de trabajo en el que todos participarán y construirán juntos la torre. La base de la torre es más ancha de lo que hasta entonces habían trabajado. También se han ensanchado los lazos que unen al grupo, produciéndose un salto cualitativo en las relaciones personales. Han necesitado hora y media para llegar aquí. La base no levanta más de 20 centímetros, pero es sólida para construir sobre ella. Desde este momento, todo será


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más rápido y fácil. El grupo parece el mismo, pero no lo es. Ahora trabajan los catorce juntos. Han creado, a los cinco años, un ambiente de trabajo en que todos participan. Hay división del trabajo, discusión para solucionar problemas, se escuchan las propuestas de los demás y se admiten los errores.

6.3. Construcción del cuerpo de la torre

El grupo participa unido en la construcción del cuerpo de la torre, utilizando las técnicas aprendidas con Alejandro y aplicándolas con oportunidad (Figura 18). Los problemas de relación en el grupo han desaparecido. Tampoco ahora la construcción ofrece graves dificultades. Sin embargo, el grupo deberá mantenerse unido para afrontar “nuevos retos” que irán surgiendo. El primero es que, a medida que la altura de la torre avanza, los niños no llegan a poner nuevas piezas. Así, deciden primero bajar las sillas de la clase. En seguida, necesitan subirse sobre algo más alto y eligen las mesas. Pero las mesas hay que bajarlas, y al igual que al bajar las piezas, hay que sortear un tramo de escaleras. Con esfuerzo, logran entre varios bajar dos mesas. Inmediatamente, surge otro inconveniente: los mayores bajan al recreo. La torre se está construyendo en el patio; no en el centro del mismo, pero tampoco en un lugar protegido. Los pequeños temen que, intencionadamente o no, alguien pueda destruir la torre. Por esta razón, deciden hacer un cartel para que nadie se acerque demasiado. Inés e Irene, con ayuda de algún otro compañero como supervisor, escriben: “PORFA BOR NO TOCAR LATORE” (Figura 18, derecha). Además, establecen espontáneamente turnos de vigilancia alrededor de la torre durante el recreo, y deciden que van a permitir a los mayores acercarse a mirar, pero no tocar nada. Antes de irse al recreo, guardan las piezas sobrantes sin indicación de la maestra: una muestra de la responsabilidad asumida en el cuidado del material de construcción.

Figura 18. Se aplican distintas técnicas para la construcción y se sube a las sillas para ganar altura

Después del recreo de la mañana, con la torre intacta, la construcción continúa. El trabajo se reparte: unos traen las piezas, otros las clasifican, y otros construyen. Los niños emplean con destreza las distintas técnicas aprendidas (Figura 18, izquierda y centro). Hay tres partes diferenciadas en el cuerpo de la torre. La inferior, realizada con “pilares”. Dado que éstos no han podido colocarse verticalmente, se adaptan para un uso horizontal, aprovechando que tienen la misma longitud que el lado de una tabla cuadrada. A continuación, hay una parte “maciza” de la torre, sin huecos. Finalmente, se utilizan los prismas cuadrados pequeños, con huecos entre ellos, pero siempre trabando las piezas. Es curioso como algunos niños se anticipan a la fase siguiente al colocar la tabla superior, con voladizos, antes de concluirse la parte anterior. Esta es la ventaja de usar patrones en la construcción. Permite anticipar mentalmente el final de la construcción y poder planificar, y comenzar a ejecutar, la siguiente fase del proyecto. La torre empieza a ser tan alta que, incluso encima de las mesas, los pequeños tienen grandes dificultades para rematar el trabajo. Así, comienzan a proponer soluciones peligrosas para su integridad física. Dado que no se les permite poner una silla encima de una mesa, tratan de buscar otra solución: «Otra mesa, no. Algo que pese… algo alto, pero que no se caiga». Quizá hubiese sido razonable emplear una escalera, pero a los niños no se les ocurrió y les damos un grado muy alto de autonomía. Así, ante la pregunta de la maestra: «¿Qué necesitáis?», Diego contesta: «Tu ayuda». Entonces Cristina (de 5 años) se encarga de la grabación del vídeo (tarea


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de documentación) y Beatriz sube a la mesa. Los niños le indican qué pieza poner y dónde (Figura 19, centro). Llegada la hora de comer, la torre está terminada. Queda decorarla (Figura 19, derecha). Los triángulos, difíciles de encajar en la construcción, encuentran ahora su protagonismo en la decoración.

Figura 19. Momento final de decoración de la torre

6.4. El final del trabajo y la celebración

Antes de ir a comer, con la torre terminada y decorada (Figura 20), surge una especie de “rito ancestral” en el que los niños cantan y bailan girando alrededor de la torre, mientras repiten: «¡Qué viva la Torre Eiffel!» La idea surge de Inés, cuya madre acababa recientemente de volver de un viaje a París. El baile alrededor de la torre supone el éxtasis por el trabajo bien hecho. Es la celebración del éxito común a través de una manifestación completamente espontánea. Los pequeños dejan recogido todo el material sobrante. Las sillas, que hasta ahora les habían servido de escaleras sobre las que subirse para construir, son empleadas como barrera protectora (Figura 20, centro).

Figura 20. La torre terminada con sus últimos detalles

En el recreo de la tarde, cuando todo el colegio está en el patio y durante más de hora y media, se repiten los turnos de vigilancia alrededor de su torre. Al final del recreo la torre sigue intacta. El resto del colegio ha respetado y admirado el trabajo, sin supervisión adulta. El profesor encargado de cuidar el recreo tenía instrucciones de no intervenir en caso de surgir problemas. Se confiaba en los niños y las niñas y éstos nos devolvieron la confianza depositada en ellos: los participantes en la actividad, porque se responsabilizaron de su trabajo de manera espontánea, ya que surgió de ellos la necesidad de establecer turnos de guardia; el resto de los niños, porque supieron respetar el trabajo de sus compañeros. Si no lo hubieran hecho, habría sido una dura lección para ellos. Habrían tenido que aprender, de una manera drástica, por qué hay que respetar las cosas que están en el patio, sean nuestras o no. Afortunadamente, la lección dada por el resto de los niños fue superior. Por la tarde, después de que la torre sobreviviese a todo el recreo de mediodía, con todo el colegio en el patio, los niños dibujaron la torre (Figura 20, derecha). Sabían que al final, como en otras ocasiones, habría que


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destruirla. La torre estaba condenada a desaparecer. En ese momento, los niños quizá no advierten, tras tantas horas de grabación, que todo el proceso queda registrado en video. Por eso el dibujo de la torre es tan importante para ellos. Una vez destruida, el “único” rastro que quedará de su creación será el dibujo que hagan de ella. Por eso se esfuerzan y dedican mucho tiempo a dibujarla. Al respecto, recordamos la observación de Delval (2002):

El dibujo tiene un importante componente cognitivo que hace que refleje muy bien la comprensión que el niño tiene de la realidad, su representación espacial y cómo concibe las cosas. Igualmente el aspecto afectivo es muy destacado ya que el niño representa en el dibujo aquello que le interesa, que le preocupa o que desea. Como en el juego simbólico, refleja en él sus intereses y sus conflictos. El dibujo es, pues una actividad que implica al niño totalmente (p. 249).

Más adelante, añade: “El dibujo contribuye mucho al desarrollo del niño, pues, al dibujar, profundiza en el conocimiento de la realidad y su capacidad de observación” (p. 260). Pensamos que el dibujo de la torre no sólo se convierte en “memoria” de la aventura vivida, sino que tiene además un valor cognitivo y afectivo. Tras el dibujo de la torre, los niños meriendan. Ese día toca bocadillo de crema de chocolate y la merienda se convierte en «un banquete, una fiesta», como dice Nacho.

6.5. La destrucción de la torre y la recogida del material

La destrucción de la torre es un momento fundamental que dura sólo unos segundos. Sin embargo, durante todo el proyecto, la destrucción de cada construcción, ha estado cargada de emoción. En esta ocasión, los pequeños destruyen la torre e invitan a Jaime, el profesor de Educación Física del Colegio, con el que mantienen un profundo vínculo afectivo. Tanto la destrucción, como la “gran fiesta” posterior, constituyen la parte de celebración social del proyecto. Las niñas y los niños de la clase han conseguido formar un verdadero grupo, han trabajado juntos, han conseguido construir una torre más alta de lo que se podían imaginar, y hacerlo con unas bases de construcción sólidas y estables. Lo mismo ocurre con el grupo. Se ha transformado en un grupo distinto al que comenzó el trabajo, más cohesionado y con más afecto entre sus miembros. También han ganado seguridad en sus propias capacidades: «Ahora ya se nos puede caer la torre muchas veces, porque ya sabemos cómo hacerlo» –dice Irene, con alegría, en un momento de la construcción de la torre. Los niños han tomado en sus manos la responsabilidad de todo el proceso. Igual que han bajado las piezas, las mesas, las sillas y todo el material de dibujo, deben recogerlo. Aunque al bajarlo juega a favor la motivación de la actividad, también asumen la responsabilidad de recoger todo aquello que han utilizado.

7. Reflexiones finales

La construcción de la gran torre constituyó la culminación de un proyecto que mantuvo a los niños y niñas del grupo trabajando durante un periodo de dos meses. La investigación fue protagonizada por los pequeños y guiada por un objetivo claro: ganar altura y estabilidad en la construcción de sus torres. Los niños alcanzaron el objetivo con esfuerzo y con la valiosa colaboración del experto. También contaron con el tiempo necesario para desarrollar su proyecto. Esta aportación debe agradecerse a la maestra14. La dinámica de trabajo permitió que los niños realizaran conquistas fundamentales en su aprendizaje. Quizá la más importante fue la propia formación, cohesión y afianzamiento del propio grupo. A lo largo del proyecto se fue modelando la figura del grupo a través de la discusión, la escucha y la aportación de ideas o posibles soluciones a los problemas que surgían. La torre final, con su testimonio a través de la documentación del proyecto, nunca hubiera podido ser

14 A su falta de intervención, para dejar a los niños y niñas trabajar de forma autónoma.


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construida individualmente. Sólo la cooperación en el grupo, tras un largo esfuerzo compartido, ha podido dar lugar a una producción tan impresionante para niños y niñas de 5 y 6 años. Sobre la importancia del trabajo en grupo, queremos concluir citando a Malaguzzi (2001): “El bienestar que los niños consiguen con los juegos interactivos con los coetáneos es uno de los aspectos que les da mayor seguridad, y cuya fecundidad tiene una repercusión que todavía no ha sido valorada” (p. 37). Ciertamente, durante el proyecto hemos asistido a situaciones en las que el desarrollo afectivo ha adquirido una posición central en el proceso. Más adelante, Malaguzzi (2001) añade:

Las actividades en pequeño grupo (dos, tres o cuatro niños) son módulos de enorme deseo y eficacia comunicativa. Se trata de una tipología de organización que es la más adecuada para desarrollar la pedagogía relacional y donde, con mayor probabilidad, se desarrolla la complejidad de las interacciones; y donde emergen mayores acomodaciones autorreguladoras, conflictos productivos y juegos de reciprocidad interactiva (p. 56).

Y es sobre esa base de pequeño grupo de coetáneos, sobre la que hemos trabajado durante todo el proyecto, cristalizando todos estos efectos positivos en la actividad final, dentro del gran grupo.

Desde el punto de vista del aprendizaje de las matemáticas, la experiencia estaba fundamentalmente orientada al desarrollo del sentido espacial, el aprendizaje de conceptos básicos relacionados con la medición (como la creación de registros de la altura y la comparación indirecta), el establecimiento de relaciones de equivalencia (de forma, longitud, grosor…) entre las piezas, la clasificación, y la resolución de problemas de composición y descomposición de formas geométricas tridimensionales, que surgían espontáneamente durante la construcción, al intentar construir con piezas iguales que al final se agotaban (lo cual obligaba a componer, con otras piezas del material, la pieza deseada). Para nosotros fue una sorpresa la destreza demostrada por algunos niños en la elaboración de construcciones simétricas. Tampoco esperábamos la “explosión” que se produjo en el uso de patrones y regularidades a partir de la visita del experto, Alejandro, ni que los pequeños llegaran a sentir la necesidad de bajar a construir al patio la gran torre final. Mirando hacia atrás, concluimos con la clara convicción de que el juego de construcción puede favorecer notablemente el desarrollo del pensamiento matemático de niñas y niños de Educación Infantil, que constituye un tipo de actividad matemática adecuada al desarrollo infantil en estas edades, y que las capacidades matemáticas de los pequeños, cuando son adecuadamente estimuladas, siempre superan nuestras expectativas.

Bibliografía

Chalufour, I., & Worth, K. (2004). Building structures with young children. St. Paul, MN: Redleaf Press.

De Castro, C., y Escorial, B. (2005). Aprendiendo matemáticas a través de proyectos: Una experiencia inspirada en el enfoque de Reggio Emilia. Em E. Rodrigues (Coord.), Actas do I Congresso Internacional de Aprendizagem na Educação de Infância - CIANEI (pp. 139-150). Porto: Gailivro. Recuperado el 15 de julio de 2011 de http://eprints.ucm.es/12642/

De Castro, C., y Escorial, B. (2006). El juego de construcción: Una experiencia matemática para la escuela infantil. INDIVISA Revista, 15, pp. 15-17. Recuperado el 15 de julio de 2011 de http://eprints.ucm.es/12635/

Delval, J. (2008). El desarrollo humano (8.ª imp.). Madrid: Siglo XXI. Ginsburg, H. P. (2006). Mathematical play and playful mathematics: A guide for early education. In

D. Singer, R. M. Golinkoff & K. Hirsh-Pasek (Eds.), Play = learning: How play motivates and enhances children’s cognitive and social-emotional growth (pp. 145-165). New York: Oxford University Press.


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Hirsch, E. (Ed.) (1996). The Block Book (3rd ed.). Washington, DC: NAEYC. Jonhson, D. W.; & Jonhson, R. T. (1991). Joining together. Boston. Allyn & Bacon. Leeb-Lundberg, K. (1996). The block builder mathematician. In E. S. Hirsch (Ed.), The block book

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Barcelona: Graó.

Beatriz Escorial González es maestra especialista en Educación Infantil en el CEIP Virgen de Peña Sacra de Manzanares el Real (Madrid, España). E-mail: [email protected]

Carlos de Castro Hernández es profesor de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad Complutense de Madrid (España). E-mail: [email protected]




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De fósiles, fantasmas, y algunas cosas más

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen El Proceso de Resolución de Problemas aplicado a la búsqueda de números fósiles. Uso de tablas y esquemas de árbol en su resolución. Nuevos problemas a resolver y comentar, un par de ellos de abuelos.

Palabras clave Proceso Resolución Problemas. Números fósiles. Tablas, esquemas, árboles. Problemas de abuelos.

Abstract The Problem Solving Process applied to the search for fossil numbers. Use tree diagrams and tables in its resolution. New problems to solve and discuss a couple of them grandparents.

Keywords Problem Resolution Process. Numbers fossils. Tables, diagrams, trees. Problems grandparents.

¿Qué les pareció nuestra sorpresa del sitio web del Coro “Carpe Diem”? Pueden ustedes escuchar allí las canciones de sus dos discos editados hasta la fecha. Hay una buena versión coral, original, de la canción de Les Luthiers “El teorema de Thales”. Y muchas cosas más.

Al grano. Éstos son los problemas presentados en el número anterior de la revista. ¿Los han resuelto? Han tenido un verano por delante... Estamos seguros de que la mayoría de nuestros lectores sí los han resuelto. Comentaremos ahora sus correspondientes soluciones y, para ello, utilizaremos la que una buena lectora de nuestros artículos nos ha enviado.

El fósil de un número

(Procedencia: Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Dado un número natural N, se multiplican todas sus cifras. Se repite el proceso con el resultado obtenido, hasta obtener un número de una cifra únicamente; a ese número se le llama el fósil de N. Por ejemplo, el fósil de 327 es 8.

Hallar el mayor número natural, con todas sus cifras distintas, cuyo fósil sea impar.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]

De fósiles, fantasmas, y algunas cosas más J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


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Proceso de resolución

Esta primera propuesta era bastante sencilla. No fija cuál debe ser el fósil. Se trata de una propuesta más abierta y puede proponerse a los alumnos de Primaria sin ninguna dificultad.

Fase I. Comprender

En la fase de “Comprender”, los alumnos han de llegar a la siguiente conclusión: Como buscamos un fósil impar, ninguna de las cifras del número que buscamos puede ser par.

Y como consecuencia de ella, tenemos esta otra: Como todas sus cifras deben ser diferentes, para ser lo más grande posible deberíamos usar todas las cifras impares.

Fase II. Pensar

La fase de “Pensar” debe decidirse por un ENSAYO Y ERROR dirigido, en forma de pequeña investigación a partir de las cifras 1, 3, 5, 7 y 9.

Fase III. Ejecutar

La fase de “Ejecutar” debe iniciarse, pues, con el producto de todas las cifras: 1 x 3 x 5 x 7 x 9 = 945, que tiene una cifra par, y con la consiguiente aplicación de la regla del juego tendríamos al final un fósil par.

Por tanto, tenemos que usar cuatro cifras. Quitar la más pequeña, el 1, no ayuda, pues el producto seguiría siendo el mismo.

Debemos entonces probar a quitar sucesivamente cada una de las otras cifras y formar un producto de cuatro. Naturalmente, como vamos a buscar el mayor número formado, empezaremos quitando la cifra a partir de la más pequeña.

Probamos a quitar el 3, obtenemos el producto 1 x 5 x 7 x 9 = 315, y como 3 x 5 = 15, y siendo 1 x 5 = 5, eso nos proporciona un fósil impar, el 5.

Fase IV. Responder

Para la fase de “responder”, ya sabemos que debemos usar los números 1, 5, 7 y 9, y para que sea lo mayor posible pondremos los mayores en las posiciones más a la izquierda.

El número buscado es, entonces, el 9751.

El fantasma de un número

Otra versión del mismo (Procedencia: 15° Olimpíada de Mayo, Olimpiada Matemática Argentina, 9 de Mayo de 2009, Nivel: 3er Ciclo Primaria –1er Ciclo Secundaria)

(Web: http://www.oma.org.ar/enunciados/index.htm#omn)

A cada número natural de dos cifras se le asigna un dígito de la siguiente manera: Se multiplican sus cifras. Si el resultado es un dígito, éste es el dígito asignado. Si el resultado es un número de dos cifras se multiplican estas dos cifras, y si el resultado es un dígito, éste es el dígito


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Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 78 noviembre de 2011

asignado. En caso contrario, se repite la operación. Por ejemplo el dígito asignado a 32 es el 6 pues 3×2 = 6; el dígito asignado a 93 es el 4 pues 9 × 3 = 27, 2 × 7 = 14, 1 × 4 = 4.

Halla todos los números de dos cifras a los que se les asigna el 8.

Para la solución de este problema hemos tomado la que, gentilmente, nos ha cedido la profesora Sonia Fernández, de La Laguna (Tenerife), miembro también del Seminario Newton de Resolución de Problemas, el mismo al que pertenece y coordina nuestro conocido Alexander Hernández, bajo la tutela de la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas.

Proceso de resolución

Fase I. Comprender

Datos Objetivo Relación - El dígito 8. - Número de dos

cifras.

Encontrar los números a los que se les asigna el dígito 8.

Que cada dígito se obtiene por la multiplica-ción de las cifras de un número o por las sucesivas multiplicaciones de las cifras del producto hasta que se consiga sólo un dígito.

DIAGRAMA: (A través de un diagrama de árbol binario, de dos ramas.)

Fase II. Pensar

1. Estrategia (específica) EMPEZAR UN PROBLEMA DESDE ATRÁS

Se conoce el final (cuál es el dígito asignado, 8) y se quiere conocer el comienzo (a qué números se les asigna el dígito 8).

Hay que elaborar el diagrama inverso, teniendo en cuenta que en las multiplicaciones de dos factores diferentes importa el orden en que las cifras se coloquen: 2·3 = 1·6 = 6 y 1·2 � 12, 2·1 � 21

Para ello, utilizamos un diagrama de árbol más amplio



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Posibles soluciones: xy, tz, pq, mn…

Ejemplos:

Esquema 1.

Aspectos a tener en cuenta:

Al plantear la resolución del problema por la estrategia “empezar un problema desde atrás”, se deben realizar las operaciones inversas a como indica el problema para llegar a la solución. En este caso, como el problema plantea multiplicaciones, entonces se deben efectuar divisiones y más concretamente divisiones exactas.

En definitiva, se trata de obtener todos los divisores de los números que van apareciendo y seleccionar aquellos, de una sola cifra, con los que se consiga una multiplicación con otro divisor también de una sola cifra que dé como producto dicho número.

Luego, se plantea la cuestión de cómo obtener todos los divisores de un número de una forma fácil y amena, para lo cual se propone hacer uso de la siguiente tabla (web “El Tinglado”):

http://www.tinglado.net/?id=averiguar-todos-los-divisores-de-un-numero&page=1


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Sólo es necesario disponer de la descomposición factorial de los números de los que se pretende obtener los divisores. En la primera fila se colocan las potencias del primer factor primo (tantas como tenga en su descomposición el número). En las filas sucesivas se va multiplicando por el resto de los factores primos y sus potencias. Los divisores serán todos los que aparecen desde la 2ª columna hasta la última. Por ejemplo: 60 = 22·3·5

2. Estrategia (básica) ORGANIZAR LA INFORMACIÓN

Es importante organizar los números que se vayan obteniendo en la estructura de árbol para luego poder hacer las comprobaciones más rápidamente.

Esquema 2. Organización

Fase III. Ejecutar

Ahora llega el momento de realizar las operaciones:

PRIMER NIVEL

Esquema 3. Número 18

SEGUNDO NIVEL


Y tendríamos esquemas semejantes para los números 42 y 81.



P

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O

B

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E

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A

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Antes de pasar al tercer nivel, veamos cómo va quedando el árbol de posibles soluciones:

TERCER NIVEL



Análogamente, se elaboran los esquemas para los números 63, 92, 38, 46, 64, 83, 67, 76 y 99.

CUARTO NIVEL


Figura 1. Árbol de posibles soluciones


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Los esquemas para los valores 94, 79, 97 y 88 completarían los casos factibles en este nivel.

QUINTO NIVEL


Luego, el árbol de posibles soluciones quedaría así:

Figura 2. Árbol de posibles soluciones y tabla de comprobación



P

R

O

B

L

E

M

A

S

Fase IV. Responder

COMPROBACIÓN

En este apartado se debe comprobar la solución obtenida. Así que se invierte el diagrama de árbol, comprobando que cada ramificación da como producto final 8 (Figura 2).

Y se escribe la solución.

Los números a los que se les asigna el 8 como dígito son:

18 – 24 – 29 – 36 – 38 – 42 – 46 – 49 – 63 – 64 – 66 – 67 – 76 77 – 79 – 81 – 83 – 88 – 92 – 94 – 97 – 99

ANÁLISIS

Además, se debe verificar la relación de la solución obtenida con la realidad que expone el problema.

Por otro lado, se podría SIMPLIFICAR el problema planteando con otro número como dígito asignado, según la dificultad, como el 1, el 3, el 7, el 9 ó el 5.

Incluso se podría GENERALIZAR el problema hallando los números a los que se les asigna como dígito cualquiera de los números del 0 al 9. En este caso, se debería contemplar inicialmente las multiplicaciones que dan como resultado un dígito de 0 a 9, reflejadas en la tabla 1, adjunta, y si es factible representarlas como un número de dos cifras.

No se pueden tener en cuenta las multiplicaciones 0·n, pues daría lugar a números de una cifra y no de 2 cifras como pide el problema.

A continuación se presentan otros comentarios realizados por los compañeros del Seminario.

Utilizando la estrategia de ENSAYO Y ERROR se conseguirían todos los dígitos asignados a todos los números de dos cifras, colocando en la primera columna de una tabla el producto de sus cifras, en la segunda el producto de las cifras del resultado obtenido en la primera columna, etc. tal como se muestra en la tabla 2.

Tabla 1. Generalización


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Cada columna corresponde a un nivel:

Tabla 2.

Números 1º Nivel 2º Nivel 3º Nivel 4º Nivel

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11 1

12 2

13 3

14 4

15 5

16 6

17 7

18 8

19 9

20 0

21 2

22 4

23 6

24 8

25 10 0

26 12 2

27 14 4

28 16 6

29 18 8

30 0

31 3

32 6

33 9

34 12 2

35 15 5

36 18 8

37 21 2

38 24 8

39 27 14 4

40 0

41 4

42 8

43 12 2

44 16 6

45 20 0

46 24 8

47 28 16 6

48 32 6

49 36 18 8

50 0

51 5

52 10 0

53 15 5

54 20 0

Números 1º Nivel 2º Nivel 3º Nivel 4º Nivel

55 25 10 0

56 30 0

57 35 15 5

58 40 0

59 45 20 0

60 0

61 6

62 12 2

63 18 8

64 24 8

65 30 0

66 36 18 8

67 42 8

68 48 32 6

69 54 20 0

70 0

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72 14 4

73 21 2

74 28 16 6

75 35 15 5

76 42 8

77 49 36 18 8

78 56 30 0

79 63 18 8

80 0

81 8

82 16 6

83 24 8

84 32 6

85 40 0

86 48 32 6

87 56 30 0

88 64 24 8

89 72 14 4

90 0

91 9

92 18 8

93 27 14 4

94 36 18 8

95 45 20 0

96 54 20 0

97 63 18 8

98 72 14 4

99 81 8



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A través de una hoja de Excel se pueden hallar los valores, utilizando las funciones de la hoja de cálculo.

De esta forma se tendrían todos los números de dos cifras asociados a los dígitos.

En la tabla 3, de la derecha, se procedería de forma inversa a la tabla anterior: en la primera columna el producto final (0), en la segunda (1º nivel) el número de dos cifras más sencillo que da ese resultado (10), en la tercera el número superior a este, que al multiplicar sus cifras da el escrito en esa columna, y así se van contemplando todos los casos posibles, columna a columna y fila a fila.

Tabla 3. Como nota final:

Tener en cuenta que dado un número se pueden encontrar divisores de una cifra cuyo producto sea dicho número si el número en cuestión se encuentra en las tablas de multiplicar del 0 al 9.

¡Fantástico! ¿No?

Dígito 1º Nivel 2º Nivel 3º Nivel 4º Nivel

0 10 25 55

0 10 25

0 10 52

0 10

0 20 45 59

0 20 45 95

0 20 45

0 20 54 69

0 20 54 96

0 20 54

0 20

0 30 56 78

0 30 56 87

0 30 56

0 30 65

0 30

0 40 58

0 40 85

0 40

0 50

0 60

0 70

0 80

0 90

1 11 2 12 26

2 12 34

2 12 43

2 12 62

2 12

2 21 37

2 21 73

2 21 3 13

3 31

4 14 27 39

4 14 27 93

4 14 27

4 14 72 89

4 14 72 98

4 14 72

4 14

4 22

4 41

5 15 35 57

Dígito 1º Nivel 2º Nivel 3º Nivel 4º Nivel

5 15 35 75 5 15 35

5 15 53

5 15

5 51

6 16 28 47

6 16 28 74

6 16 28

6 16 44

6 16 82

6 16

6 23

6 32 48 68

6 32 48 86

6 32 48

6 32 84

6 32

6 61 7 17

7 71

8 18 29

8 18 36 49 77

8 18 36 49

8 18 36 66

8 18 36 94

8 18 36

8 18 63 79

8 18 63 97

8 18 63

8 18 92

8 18

8 24 38

8 24 46

8 24 64 88

8 24 64

8 24 83

8 24

8 42 67

8 42 76

8 42

8 81 99

8 81

9 19

9 33

9 91


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Y ahora nuestra propuesta de resolución para las próximas semanas. Provienen del 18º Rally Matemático Transalpino, Prueba Final, mayo-junio de 2010.

Para alumnos de los primeros años de Primaria:

Los siete enanitos se pesan

Blancanieves ha regalado una balanza a los siete enanitos. Se colocan uno tras otro en la balanza y escriben su peso en una hoja de papel que dan a Blancanieves, sin poner sus nombres:

22 kilos, 14 kilos, 16 kilos, 11 kilos, 17 kilos, 24 kilos, 19 kilos Para divertirse, suben de dos en dos en la balanza con excepción de Gruñón que no quiere jugar.

Entonces dicen a Blancanieves que: - Dormilón y Sabio estaban juntos en la balanza - Tímido y Bonachón estaban juntos en la balanza - Mudito y Tontín estaban juntos en la balanza y añadieron con sorpresa que la balanza indicaba

cada vez el mismo peso. Blancanieves dice: "No me digas más, ahora sé lo que pesa Gruñón".

¿Cuál es el peso de Gruñón?

Para alumnos de los últimos años de Primaria y primeros de Secundaria:

Espirales

En la cuadrícula están dibujadas dos espirales de distinto tipo, una obtenida uniendo segmentos, la otra uniendo semicircunferencias:

La espiral de la izquierda (tipo A) está construida a partir del punto O con 10 segmentos y tiene 30 unidades de largo.

La espiral de la derecha (tipo B) está construida a partir del punto S y está formada por 6 semicircunferencias.

¿Cuál es el mínimo número de segmentos necesarios para obtener una espiral del tipo A que sea más larga que una espiral del tipo B construida con 30 semicircunferencias?

Y ahora, algo que se está convirtiendo en una costumbre: los problemas de los abuelos

Dos abuelos y sus nietos en la librería

Dos abuelos, Garden y Zerepur, entran en una librería con sus nietos Lucía y Mario y compran libros. Cuando salen se dan cuenta de que cada uno ha pagado por cada uno de sus libros una cantidad de euros igual al número de libros que ha comprado. Cada familia, abuelo y nieto, o nieta, ha pagado 65 €. Garden ha comprado un libro más que Zerepur, y Lucía ha comprado solamente un libro.

¿Quién es el abuelo de Lucía?



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Los abuelos plantean un problema

Al pagar en la librería, le dan a uno de los abuelos cuatro vales con una cantidad de puntos diferentes cada uno, que les servirán para un descuento en las próximas compras que hagan. Los abuelos quieren sacar provecho de esto y plantean a sus nietos la siguiente cuestión: selecciono tres vales cualesquiera y encuentro su media aritmética, que sumo con el valor del cuarto vale. Haciéndolo obtengo los números 29, 23, 21 y 17. El vale con más puntos será para Mario, el menor de los nietos:

¿Cuántos puntos hay en cada uno de los cuatro vales?

Y aquí, como hasta ahora ¡y ya van veintinueve!, quedamos hasta la próxima entrega (que será de la triple X). Pero insistimos, como siempre también: lean el artículo, resuelvan los problemas, úsenlos con sus alumnos, si es posible, aporten luego a nuestra revista sus comentarios, soluciones, propuestas o simplemente el rico anecdotario acerca del comportamiento de la clase al resolver uno de estos problemas o cualquier otro. Como ha hecho Sonia (¡gracias!).

Vamos, ¡anímense!

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista.

Un saludo afectuoso del Club Matemático.





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WIRIS, mucho más que tu calculadora en la red

Sergio Alexánder Hernández Hernández

Resumen Los productos Wiris están orientados para dar soluciones educativas. La primera fue Wiris Cas, una calculadora en red, diseñada inicialmente para el álgebra computacional. El equipo creativo e Math for More ha diseñado otras herramientas que se pueden probar en www.wiris.com.

Palabras clave Witris, calculadora, red, educamadrid, editor, cuestionario, pizarra, moodle.

Abstract Wiris products are focused on giving eduactional solutions. The first one was Wiris Cas, an online calculator based on computational algebra. Since then, the group Mathformol has created several applications which can be tested on its website www.wiris.com

Keywords Wiris, cas, editor, quizzes, whiteboard, math, moodle.

1. Introducción

WIRIS… ¿Qué significa? ¿Qué es? Seguramente has pensado en la calculadora en red, uno de esos programas que “viven” en la nube de internet y que puedes ejecutar desde cualquier navegador. Y es normal, ya que la aplicación Wiris Cas fue la primera que ofreció un potente motor de cálculo capaz de hacer no sólo las operaciones científicas más habituales sino también cálculo simbólico, derivación, integración, representación de gráficas en dos y tres dimensiones, y más. Wiris Cas también fue la primera aplicación del grupo Maths for More, y digo la primera, porqué luego llego una segunda, una tercera, una cuarta... y quién sabe hasta dónde llegará este grupo, creando aplicaciones para la implantación de los avances tecnológicos en la matemática, con orientaciones claramente pedagógicas.

Mucho más, es lo que puedes encontrar en la página oficial de Math of more, www.wiris.com, puedes probar el editor de ecuaciones y fórmulas matemáticas, Wiris editor, o su nueva y muy interesante aplicación para crear cuestionarios matemáticos, Wiris Quizzes, y cómo no, algunas actividades preparadas para la pizarra digital en Wiris Whiteboard. Hay más, se ofrecen cursos modle para aprender a manejar sus aplicaciones, una tienda para adquirir sus productos, una sección para fomentar los proyectos de colaboración como Intergeo (de este proyecto hablamos en esta sección, Números Vol. 70), una sección para seguirlos en las redes sociales y su sección de contacto, donde se presenta el equipo humano-matemático que ideó e impulsa este proyecto.

WIRIS, mucho más que tu calculadora en la red S. A. Hernández Hernández

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NNÚÚMMEERROOSS Vol. 78 noviembre de 2011

Figura 1. Vista de la página principal de www.wiris.com

Este artículo está orientado a dar a conocer las aplicaciones Wiris, que sin duda simplifican el cálculo no sólo aritmético, sino simbólico hasta un nivel que, siempre desde el punto de vista de este simple profesor de secundaria, está cambiando la manera de percibir las matemáticas por los alumnos y profesores, de tal forma que una pregunta no deja de cruzar mi cabeza:

¿Hasta cuándo enseñaré algoritmos repetitivos que un programa realiza en un instante?

2. Wiris Cas

Tu calculadora en la red, es el eslogan de esta aplicación desde que llegó a la red en 1999, en este tiempo ha sido usada por miles de personas, no sólo en España sino en el resto del mundo; sus puntos fuertes son sin duda la de poder usarla sin instalación previa, su gran variedad de operadores y funciones, su capacidad para realizar cálculo simbólico, la posibilidad de dibujar en tres dimensiones y que todos sus operadores nos recuerdan a los editores de fórmulas de la mayoría de los editores de


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Vol. 78 noviembre de 2011

texto, que lo hace más intuitivo para los alumnos y profesores. La calculadora está pensada para el uso normal de la enseñanza secundaria, por lo que se puede llenar su memoria con algunos cálculos superiores, o no conseguir la precisión que busca un universitario en la representación gráfica de funciones especiales.

Figura 2. Ejemplo de uso de Wiris Cas

En la página oficial de Wiris se puede acceder a una versión de prueba de Wiris Cas, además de un tutorial en moodle para los principiantes.

2. 1 Moodle: Wiris Básico

Figura 3. Vista decampus.wiris.net


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Desde la sección de formación de la página, se puede acceder al campus virtual de Wiris, (o directamente campus.wiris.net); allí hay un menú para seleccionar distintos cursos. Si se quiere aprender lo principal para el uso de la calculadora, se puede acceder al curso básico que es gratuito y da acceso como invitado o si se prefiere puede registrarse fácilmente.

En el curso básico se encuentran distintas lecciones que recorrerán las utilidades más comunes de Wiris cas y al terminar el curso se consigue un nivel usuario. Tiene una ventaja importante ya que cualquiera puede apuntarse y realizarlo, incluso los alumnos de secundaria.

2. 2 EducaMadrid

Muchos han tenido su primera experiencia con Wiris Cas con la versión de EducaMadrid, esta plataforma adquirió una licencia para albergar esta aplicación en su servidor, y dar este servicio a todo el que lo desee usar, ya hace más de 7 años. En este tiempo se ha afianzado su uso, de tal forma que se considera una herramienta fundamental, así como editor de ecuaciones que se demanda para todos los cursos moodle que requieran matemáticas. Además se esta probando la nueva herramienta Quizzes para la realización de cuestionarios.

Figura 4. Ejemplo de uso de Wiris cas, en la plataforma de EducaMadrid

3. Wiris Editor

Para introducir una fórmula en un correo electrónico, en un blog o en un foro de internet sin necesidad de recurrir al LaTeX, porque se desconoce su utilización o por incompatibilidad con la plataforma utilizada, se puede recurrir al Wiris Editor, que es una herramienta fácil de usar y compatible con diferentes plataformas. Para introducir una expresión en código MathML o una imagen para asegurar cualquier problema de visualización, este editor lo soluciona en un clic sobre la preferencia. Además, mantiene un entorno similar al de Wiris Cas, por lo que los que estén familiarizados con él, sólo les quedará aprender a usar su nueva función; para ello se puede hacer uso del tutorial al que se puede acceder desde la sección de productos, pinchando en +info.


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Figura 5. Menú para acceder al tutorial de Wiris editor

Desde este tutorial se puede acceder a la versión de prueba de Wiris Editor, solo hay que fijarse en el menú izquierdo y seleccionar la demo. Se puede hacer uso de ella para las primeras 1000 fórmulas.

Figura 6. Apariencia de la demo de Wiris editor

El editor está diseñado para poderlo integrar en plataformas web principalmente LMS, CMS o editores HTML (moodle, joomla, wordpress,...) de tal forma que se puede acceder a él en el momento que lo necesites, y dar servicios a aquellos que las usen sin necesidad de adquirirlo individualmente.

4. Wiris Quizzes

La última apuesta del equipo Math for More consiste en el desarrollo de una aplicación para crear cuestionarios con contenido matemático; hoy en día hay varios programas que sirven para desarrollar cuestionarios, pero Wiris Quizes es el primero que tiene un motor de cálculo integrado.

Figura 7. Vista de la sección “Pruebas gratuitas”


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Esto hace que se puedan construir preguntas que se auto-corrigen, no porque hallamos precalculado la solución e indicado cuál es la correcta, sino porque usa el motor de cálculo y un algoritmo diseñado previamente. Esto permite la realización de la misma cuestión con distintos datos y soluciones por parte del alumno, que puede practicar con distintos ejemplos. Pero para verlo y comprender la potencia de esta aplicación, lo mejor es probarlo; para ello basta con acceder a la sección “Pruebas Gratuitas” y realizar un recorrido por las cuestiones que hay de ejemplo. Realmente abre un mundo de posibilidades para la creación de cuestionarios on-line.

Figura 8. Prueba de Wiris quizzes. Comprobación del resultado

Figura 9. La aplicación permite “comenzar de nuevo” dando una nueva función aleatoria


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Figura 10. Al hacer clic en “Enviar página” nos muestra la solución correcta

5. Recopilación de ejercicios. Wiris whiteboard

Hoy en día está en auge el uso de la pizarra digital en el aula, casi a diario se pueden encontrar nuevas aplicaciones e ideas para dinamizar una clase. Aquí se encuentra una recopilación de varios ejercicios matemáticos de distintos temas. Para ver y usar algunos ejemplos podemos entrar a la demo, de la misma manera que se accede a la demo del editor, o directamente a:

www.wiris.net/demo/whiteboard/es/)

Figura 11. Ejemplo de ejercicio de combinatoria. Al pinchar en “Nuevo” el enunciado cambia.


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Figura 12. Ejemplo de ejercicio de probabilidad de Wiris whiteboard

6. Math for More

El equipo de trabajo que está detrás de los productos Wiris, es Math for More. Un grupo que nació en la Universidad Politécnica de Cataluña, Ramon Eixarch y Daniel Marquès pasaron de su trabajo de álgebra computaciónal, denominado proyecto Omega dentro de la universidad, a proyectar una salida comercial orientada a las aplicaciones pedagógicas, en busca de un mundo más extenso y con más demanda. “Wiris cas, tu calculadora en la red” fue el proyecto que los impulsó los primeros años y los inspiró para trabajar en nuevas herramientas como el Wiris editor de fórmulas o el Wiris quizzes, en el que empezaron a trabajar de forma no oficial en 2008, apoyándose siempre en profesores de la universidad para poner a punto una herramienta, que desde junio de 2010, está disponible para su uso.

Figura 13. Ramon Eixarch, Daniel Marquès y Carles Aguiló

Desde sus orígenes la empresa ha crecido para ofertar más variedad y llegar más lejos con sus productos. Ya en 2006 contaba con 6 personas en su equipo y en estos momentos son 10, lo que tiene un mérito especial, teniendo que competir con el mercado actual. Hoy en día su búsqueda de clientes no se centra en las licencias individuales, sino en plataformas que quieran contar con los productos para sus usuarios, llegando a contar con clientes distribuidos por todo el globo.

Agradecimientos

Debo agradecer su colaboración al personal de EducaMadrid por prestarme su tiempo, y dar un agradecimiento especial a Carlos Aguiló responsable de marketing y venta a cliente final a nivel mundial de Math for More, por ser tan amable en contestar mis preguntas y guiarme por la página web de su empresa.

Sergio Alexánder Hernández Hernández, nació y vive en Tenerife desde 1979, se licenció en 2005 en Matemáticas en la Universidad de la Laguna, obtuvo el Máster en Viticultura, enología y dirección de empresa vitícola en 2006. Su vida laboral se divide entre profesor de matemáticas en secundaria y empresario en viticultura, enología y restauración.




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Más Wari y Tchouka. Ahora Abalone

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Un análisis de aperturas, jugadas intermedias y finales en unos juegos (Wari, Tchouka y Abanone), que permiten aplicar estrategias de uso en la resolución de problemas, métodos de anotación para las jugadas y contribuyendo al conocimiento y a la divulgación de estos interesantes juegos.

Palabras clave Resolución de problemas; Wari; Tchouka; Abalone; Jugadas de apertura; Notación de jugadas; Reglas de juego.

Abstract An analysis of openings, intermediate and final played a few games (Wari Tchouka and Abanone), which allow you to apply strategies used in problem solving, methods of notation for the moves, and contributing to knowledge and dissemination of these exciting games.

Keywords Problem Solving; Wari Tchouka, Abalone, opening moves, moves notation, rules of plays.

En nuestro anterior artículo, dedicado a los Juegos de Siembra, indicábamos la conveniencia de disponer de un tablero de juego, Wari o Tchuka, buscarse un adversario y practicar. También ese consejo valía para afrontar las propuestas de trabajo, aunque no es estrictamente necesario; se puede trabajar con lápiz y papel.

Soluciones a las propuestas sobre Juegos de Siembra

Propuesta nº 1

Disponemos de un tablero 2 x 6 de Wari, con 3 semillas en la casilla “a” (la más a la izquierda).

3

A. ¿Cuál es el menor número de jugadas que me permiten enviar las 3 semillas al campo adversario? (Desplazamiento rápido)

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]

Más Wari y Tchouka. Ahora Abalone J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

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El desplazamiento rápido, evidentemente, debe buscar la manera de que cada semilla haga el menor recorrido posible; para ello debe realizarse la mayor cantidad posible de agrupaciones en las posiciones intermedias. ¿Agrupaciones de 3 semillas? Parecería mejor, pero al probarlo se observa que se necesita una jugada más que si los agrupamientos se hacen de 2 semillas.

Primer ejemplo, en 7 jugadas

Jugada Sur Norte

Inicio 3 0 0 0 0 0

1ª 0 1 1 1 0 0

2ª 0 1 0 2 0 0

3ª 0 0 1 2 0 0

4ª 0 0 0 3 0 0

5ª 0 0 0 0 1 1 1

6ª 0 0 0 0 0 2 1

7ª 0 0 0 0 0 0 1 – 2

Y las tres semillas se encuentran en el campo del adversario.

Segundo ejemplo, en 6 jugadas

Jugada Sur Norte

Inicio 3 0 0 0 0 0

1ª 0 1 1 1 0 0

2ª 0 0 2 1 0 0

3ª 0 0 0 2 1 0

4ª 0 0 0 0 2 1

5ª 0 0 0 0 0 2 1

6ª 0 0 0 0 0 0 1 - 2

Se ha conseguido el mismo objetivo en una jugada menos. ¿Será el mínimo? Evidentemente sí, pues ése es el mínimo número de jugadas para una sola semilla colocada en la misma posición. Obsérvese la curiosa posición que adoptan las tres fichas a partir de la 2ª jugada. Es la denominada “trampa 2-1”, muy importante en el desarrollo del juego.

B. ¿Cuál es el mayor número de jugadas para alcanzar el mismo objetivo? (Desplazamiento lento)

Ahora buscamos lo contrario. Por tanto, cada semilla debe recorrer la totalidad de casillas a partir de la segunda jugada. No deben, pues, hacerse agrupaciones de semillas en ninguna otra jugada.


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Tercer ejemplo, en 13 jugadas

Jugada Sur Norte

Inicio 3 0 0 0 0 0

1ª 0 1 1 1 0 0

2ª 0 1 1 0 1 0

3ª 0 1 1 0 0 1

4ª 0 1 1 0 0 0 1

5ª 0 1 0 1 0 0 1

6ª 0 1 0 0 1 0 1

7ª 0 1 0 0 0 1 1

8ª 0 1 0 0 0 0 2

9ª 0 0 1 0 0 0 2

10ª 0 0 0 1 0 0 2

11ª 0 0 0 0 1 0 2

12ª 0 0 0 0 0 1 2

13ª 0 0 0 0 0 0 3

Consiguiendo así enviar las tres semillas al campo Norte (el adversario) en el mayor número posible de jugadas.

Propuesta nº 2

Disponemos de un tablero 2x 6 de Wari, con 8 semillas para el jugador Sur y 1 para Norte, situadas como se ve en el diagrama. Juega Norte.

¿Cómo ha de jugar Sur para capturar la mayor cantidad de semillas posible sin ahogar a Norte (recuerde la última regla)?

Recordemos la manera de nombrar las casillas del tablero. Utilizaremos dicha codificación para describir las jugadas de ambos jugadores.

Utilizaremos, en parte, lo que hemos conseguido en la propuesta anterior, es decir, la técnica de la trampa 2-1.

Posición inicial:

Norte juega en A (forzado):

Sur juega en f y captura en B (2 semillas):

1 4 2 2

F E D C B A a b c d e f

1 4 2 2

1 4 2 2

1 4 2


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Sur juega en d y captura en B (2 semillas):


Sur juega en e y captura en B (2 semillas):


Sur juega en f y captura en B (2 semillas):

En total Sur ha capturado 2 x 4 = 8 semillas, la totalidad de las que había en su propio campo al

inicio.

Propuesta nº 3

Para el Tchouka- Ruma:

1. Cuál es la estrategia ganadora? 2. Prueba el juego con un número diferente de piedras. 3. Prueba el juego con un número diferente de agujeros.

No se puede comenzar en cualquier sitio. Sólo comenzando en el tercer hoyo se termina con las semillas en la Ruma. Sólo harán falta 10 jugadas, que son las siguientes:

Jugada Tchouka Ruma Inicio 2 2 2 2 0

1ª 3 2 0 3 1 2ª 3 3 0 0 2 3ª 3 0 1 1 3 4ª 4 0 0 2 3 5ª 0 0 0 0 4 6ª 0 1 1 1 5 7ª 0 1 0 0 6 8ª 0 0 0 0 6 9ª 0 0 1 1 7 10ª 0 0 0 0 8

1 4 2

1 3 1

1 3 1

1 2

1 2

1


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Para llegar a este resultado se puede intentar con diversas estrategias, dependiendo del nivel de los alumnos implicados. Muy simple es utilizar el ENSAYO Y ERROR, con una buena organización y siendo muy exhaustivo. Otra es intentar IR HACIA ATRÁS, tal y como hacen en su trabajo los amigos sevillanos del Grupo Alquerque.

Los apartados 2 y 3 son, está claro, para una investigación de aula.

En una próxima revisión de los Juegos de Siembra haremos alguna nueva propuesta de trabajo e investigación. Mientras tanto, estaremos a la espera de algún comentario sobre lo tratado aquí.

Ahora toca el Abalone

Abalone es un juego de mesa de estrategia para dos jugadores, diseñado en 1987 por Michel Lalet y Laurent Lévi (Patente Nº DM/012362), en el que cada jugador controla bolas de colores opuestos sobre un tablero hexagonal. El objetivo del juego es echar del tablero seis bolas del oponente.

Posición inicial

Ya en los números 58 y 60 de la revista NÚMEROS, en la Sección de Problemas Comentados, presentábamos el Abalone como un juego interesante y moderno, para plantear inmediatamente algunas partidas que sirvieran como problemas a resolver por nuestros lectores.

Vamos a recordar lo que decíamos en aquel entonces y añadir algo más sobre este juego poco conocido en España.

Se encuentra en casi todas las jugueterías, aunque su precio es algo excesivo. A nosotros nos cautivó por su presencia visual y, sobre todo, por su cualidad sonora en el movimiento de las bolas. Sus reglas de juego, muy abreviadas, son las siguientes:

El tablero tiene forma de hexágono, formado por 61 celdillas hexagonales, con 5 celdillas por lado y un diámetro de 9 celdillas. La posición inicial es de 5-6-3 bolas en tres filas a partir de un lado del hexágono; enfrente, el adversario realiza la misma disposición. Los jugadores sortean el color y comienzan las negras. El objetivo es ser el primero en expulsar 6 bolas del contrincante, una tras otra, fuera del hexágono.

Para conseguirlo, Cada jugador desplaza cada vez que sea su turno, 1, 2 o 3 bolas contiguas en un solo movimiento. Puede moverse una sola bola hacia cualquier posición libre a su alrededor. Pueden desplazarse grupos de 2 o 3 bolas alineadas del siguiente modo:

• tanto “en línea” (adelante o atrás) • como “en flecha” lateralmente, sin

modificar la alineación.


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En un movimiento en línea, las bolas se mueven conjuntamente en línea recta desde una sola posición, todas a la vez, en la misma dirección que ellas definen. En un movimiento en flecha, las 2 o 3 bolas avanzan, en el mismo sentido de una sola posición cada una, terminando en una línea paralela y contigua a la de partida.

En una alineación que comprenda más de 3 bolas, el jugador elige la parte de esta alineación que quiera mover.

Está prohibido desplazar más de tres bolas de un mismo color en un solo movimiento.

Cuando las bolas de un jugador están en contacto con las del adversario pueden empujarse, si se encuentra en situación de “sumito”, es decir, en superioridad numérica.

Tres sumitos posibles: “Sumito de 2 sobre 1”, “Sumito de 3 sobre 1”, “Sumito de 3 sobre 2”.

El empuje sobre el adversario sólo es posible en un mismo eje.

Debe existir necesariamente un punto libre detrás de la bola o de las dos bolas atacadas.

El jugador no está nunca obligado a empujar.

Hay “pac” (igualdad de fuerza) cuando las fuerzas alineadas se anulan:

• 1 bola contra 1 • 2 bolas contra 2 • 3 bolas contra 3 (las bolas que sobrepasen de 3 no cuentan)

En posición de “pac” nadie puede empujar. Hay que romper el “pac” con otro eje de ataque.

Una bola está “fuera” cuando un empuje la hace salir del tablero.

El vencedor será el que haya echado fuera 6 bolas del color contrario.

Para poder comunicar los movimientos, dada la variedad y complejidad de los mismos, debemos acordar una notación. Una notación de las jugadas, en el transcurso de una partida, permite ensayar, hallar soluciones diferentes, mejorar ciertamente la representación que se hace del juego y el encadenamiento de las jugadas posibles teniendo en cuenta las reacciones del adversario.

¿Será usted capaz de inventar un sistema sencillo de notación para este juego?

Uno muy sencillo consistiría en tomar unas coordenadas “cartesianas” sobre el tablero hexagonal, de manera que pudiéramos determinar la posición de una bola en cada instante. Para el desarrollo de una partida anotaríamos en cada jugada qué bola se mueve y a dónde va. Algún comentario esquemático para señalar las incidencias (expulsiones) bastaría para poder seguir la partida. Cada punto del tablero vendría señalado por una letra (de la A a la I) y un número (de 1 a 9).


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Pero la Federación Francesa del Juego de Abalone (Fédération Française de Jeu d’Abalone; Parc d’activité la Roseraie; 15 Rue du Buisson aux Fraises-91300 MASSY) ya dispone de un sistema de notación muy eficaz. En la revista JEUX ET STRATEGIE, nº 1 (noviembre 1989), nos encontramos la notación anteriormente mencionada.

Si no lo conoce se lo ofrecemos explicado en esta partida que reproducimos a continuación.

Blanco espera inmóvil. Maniobrando solamente con las bolas negras, respetando todas las

reglas de movimiento y de empuje, busque la manera de expulsar todas las bolas blancas con un mínimo de jugadas.

Habíamos propuesto, para el juego de Abalone un pequeño ejercicio en solitario; expulsar, con un mínimo de jugadas y de bolas, las 14 piezas del contrario, que permanecen inmóviles.

Para poder realizar este problema, es necesario que pensemos un poco en los pasos que debemos respetar:

• Hay que hacer un mínimo de 14 jugadas para expulsar las bolas contrarias.

• Hay que acercarse a las bolas contrarias en un mínimo de jugadas.

• Hay que limitar al máximo las jugadas de desplazamiento.

La imagen muestra la posición de partida.

En el tablero pondremos una letra del alfabeto al final de cada una de las líneas que forman la retícula isométrica que resulta al unir con rectas todos los agujeros de las orillas del tablero. Se hará en orden alfabético y en sentido antihorario, a partir de la esquina inferior izquierda del tablero: A, B, C, D, E (lado inferior), F, G, H, I (lado inferior derecha), J, K, L, M (lado superior derecha), N, O, P, Q (lado superior), R, S, T, U (lado superior izquierda), W, X, Y (lado inferior izquierda), como se muestra en la imagen.

Colocadas las 24 letras en un orden alfabético estricto. El tablero queda dividido en 6 partes triangulares, determinadas al enlazar la extremidad de cada base al centro del tablero.

Con la ayuda de este sistema, podemos fijar la posición de una bola y señalar el movimiento. Siempre la referencia inicial es la bola que está en contacto con los dedos.


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Para determinar una bola o serie de bolas que se van a mover, anotaremos su posición con las dos letras que indican el cruce de las líneas en que se halla la que tocamos dentro del triángulo que incluye a la bola y si hay varias posibilidades de escritura se toman las que sean más próximas del comienzo del alfabeto. Las bolas colocadas en los lados sólo necesitan una letra.

A continuación, separada por un guión o una flecha, se anota el movimiento que realiza. Si es un movimiento lineal, basta indicar con una letra la dirección en que se desplaza o desplazan. Si es un movimiento lateral se indicará con dos o tres letras, que señalan las direcciones en que se desplaza cada una de ellas. En el ejemplo del tablero de la derecha: GK-OPQ

Si hay expulsión, ésta se anota “e” seguida de la cifra de orden de la bola expulsada, en cifras árabes para las Blancas, en cifras romanas para las Negras. La primera bola Negra expulsada está codificada: e I. La tercera bola Blanca expulsada está codificada: e 3.

Ejemplo

La jugada Blanca anotada como UY-D (e 2), significa que las tres bolas blancas que están a partir de la situada en la intersección UY se mueven en dirección al hoyo D, empujando dos bolas negras y expulsando la primera de ellas fuera del tablero, siendo la segunda bola negra que ha expulsado Blanco.

No lo olvide: las bolas negras se colocan sobre la parte AE, las bolas blancas se colocan enfrente sobre la parte MQ. Después se sortea la salida; las negras comienzan.

A partir de estos convencionalismos seremos capaces de valorar adecuadamente la siguiente solución del problema en 28 movimientos.

Se han necesitado ocho jugadas para alcanzar el contacto en una posición muy ofensiva. Esta apertura es, hasta el momento, la más eficaz. Veamos la continuación del desarrollo.

9) HI-N (e I) 10) MN-H

Esta jugada de desplazamiento es muy importante porque permite conservar las siete bolas en situaciones ofensivas.

1) A-M 3) AC-M 5) DE-JKL 7) G-IJK

2) AB-M 4) BD-L 6) F-IJK 8) H-N

11) AD-M 13) JK-TU 15) JL-L(e IV)

12) AE-M (e II) 14) GI-O (e III) 16) L-I


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Esta pequeña jugada de desplazamiento, precedida de una expulsión hecha con dos bolas (JL-L (e)), es notable. Esta es, de hecho, la llave del desarrollo.

17) K-S 18) IL-P (e V)

Ahora, la situación está realizada y cada jugada siguiente corresponderá a una expulsión.

19) JM-P (e VI) 20) KL-S

Esta vigésima jugada se hace posible por la elección, hecha en decimoquinto lugar, de expulsar la bola L con solamente 2 en lugar de 3 bolas.

21) KM-S (e VII) 23) MN-R (e IX) 25) S-Q (e XI) 27) Q-M (e XIII)

22) NP-S (e VIII) 24) NO-R (e X) 26) OQ-O (e XII) 28) P-M (e XIV)

Y se acabó el problema. Esta solución es de Ludovic Vialla y se ha tomado, al igual que el problema, de las páginas de la revista Jeux et Strategie, nº 4 y 6, de febrero y abril de 1990, donde aparece con varias jugadas erróneas. Hasta ahora éste es el mínimo de jugadas para resolver el problema. Pruebe usted a buscar una solución con menor número de movimientos y dénosla a conocer usando la notación descrita.

Los jugadores de este juego suelen mantener algunas normas estratégicas que ayudan a ganar en este juego. Entre ellas se cuentan las siguientes:

• Mantener las bolas propias cerca del centro del tablero y forzar al oponente a moverse a los bordes del mismo

• Mantener las bolas propias juntas para tener más capacidad de defensa y de ataque, especialmente si forman un hexágono para ser capaces de defender y atacar en cualquier dirección

• Expulsar una de las bolas del contrario no suele ser una buena idea si eso lleva a debilitar la geometría del propio jugador.

En la revista Jeux et Strategie, ya mencionada, se dan algunos consejos para jugar al Abalone. Por ejemplo: “Echar al adversario fuera del tablero es el fin último. Ahora bien, no se puede lograr este fin sino después de haber cumplido dos condiciones: dominar el espacio y obligar al adversario a acercarse a los bordes del tablero. Esto supone una actitud activa, incluso agresiva, en el juego, que permita jugada a jugada impedir ciertos espacios claves al adversario, después de ocuparlos uno mismo con toda seguridad.

Aperturas clásicas: Rappel

La conquista del centro y en particular de las casillas de la alineación U-I da una aproximación táctica segura.

El jugador principiante lo comprende muy pronto, y tiene tendencia a reagrupar en bloque sus fuerzas hacia el centro.


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Un ejemplo de estas aperturas:

1) A-M, Q-E; 2) B-L, P-F; 3) C-K, O-G;

4) AB-M, OP-F (jugada para reforzar la posición OP por L-R)

5) BC-L, L-R; 6) D-J, (jugada forzada para mantener la posición FI)

O este segundo ejemplo:

1) AC-MLK, Q-E;

2) F-PQR, PQ-E (Blanco se adueña inmediatamente de la casilla AE, y las jugadas siguientes tendrán por objeto el control de esta casilla AE)

3) C-KJI, M-A;

4) A-M (respuesta obligada), OP-F (prepara la jugada L-R)

5) BC-L (obligatoria para la conquista de AE), L-R

6) CD-K, R-L (la jugada NO-G no aporta nada nuevo, porque Negro: BD-L, después DE-Q si Blanco juega NQ-JI)

7) GI-U (Negro consigue la casilla AE)

En estos dos ejemplos, ni Negro ni Blanco consiguen economía de fichas ni de tiempos, puesto que ellos buscan colocar sus 14 bolas en juego. Se ha visto que es más ventajoso maniobrar con 9 bolas para desestabilizar más de prisa y más eficazmente al adversario.

Numerosos jugadores piensan que jugando bloque a bloque de manera ultradefensiva, se bloquea el juego, y se pone a resguardo de una derrota. ¡Es un error!

Este tipo de táctica no resiste más de 20 jugadas contra un jugador aguerrido, y conduce ineludiblemente a la derrota.”

También la misma revista hace propuestas de problemas de Abalone como el siguiente:

Aperturas activas

Al contrario que en las aperturas clásicas, la apertura activa busca una puesta en juego inmediata llevando la amenaza de las primeras jugadas en el campo contrario.

El comienzo de la partida que se comenta a continuación ilustra este principio.

1) E-Q, M-A (respuesta más activa que Q-E, porque si Negro persigue DE-Q, pierde el centro I)

2) D-R (da a Negro el dominio del espacio AE), N-Y (permite a Blanco ocupar AE, para el caso en que Negro no vaya hacia AE en la jugada siguiente)

3) DE-Q (Negro se apodera de AE), NO-Y (Blanco va a intentar regresar hacia AE)

4) CD-R, NP-Y (Blanco persigue su objetivo)

5) BC-L (apoyando AE),...


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Negro amenaza la casilla UY por FI-U. Blanco debe proteger esta posición si quiere proseguir con su objetivo, pero también llevar la amenaza a Negro.

La jugada de Blanco será una jugada tipo de “protección activa”.

¿Cuál es? ¿Se atreve a intentarlo?

Envíenos su solución. La publicaremos. No olvide que para entender y trabajar las ideas estratégicas indicadas y resolver el problema propuesto es necesario que tome un tablero de Abalone y practique la notación señalada al comienzo del artículo.

La versión comercial que poseemos es: JUEGO DE ABALONE, 1990. Fabricado por ABALONE, Rue des Archives, 75004 PARÍS. RCS PARÍS B 343 873 741. Importado y distribuido por DISET, S.A., Calle C, Nº 3, Sector B, Zona Franca, 08040 BARCELONA. N.I.F. A-08261588. Nº Ref. Ind. A-08/80944.

Para tener más información sobre este juego puede visitar los sitios y páginas web aquí indicados:

� http://fr.abalonegames.com � http://jeuxsoc.free.fr/a/abalo.htm � http://www.hasbro.com � http://www.geocities.com � http://www.geocities.com/Colosseum/Sideline/5299/grulabal.htm � http://jeuxsoc.free.fr/a/abalo.htm � http://www.gettogethergames.com � http://www.sharewaresoft.com/Abalone-dowunload-5608.htm � http://www.areyougame.com/Interact/item.asp � http://www.bonweb.com/p_4_556.php � http://www.wikipedia.org/wiki/Abalone_game

Hay más. Usando Google y marcando la búsqueda de Abalone+game encontrará muchas más.

Si prefiere jugar en su ordenador, existe una versión que circuló en su momento: “Games the Best 2”, CD-ROM de águiainformática, Lisboa (En la carpeta BOARD: “Abalone”).

Y esto es todo por el momento. Habrá una revisión de las propuestas de este artículo en una próxima ocasión. Y tal vez alguna ampliación. Ya veremos. Todo dependerá de las respuestas y comentarios, o peticiones, que recibamos de nuestros lectores.

Hasta el próximo

pues. Un saludo.

Club Matemático





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La música de los números primos

El enigma de un problema matemático abierto

Marcus du Sautoy

ACANTILADO, 2007

ISBN: 9788496489837 528 páginas

El argumento central de este libro gira en torno a la Hipótesis de Riemann, que este matemático formuló en 1859. La Hipótesis de Riemann es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann, y está relacionada con la forma en que los números primos están distribuidos dentro del conjunto de los números naturales. Es mérito del autor del libro, Marcus du Sautoy, catedrático en la Universidad de Oxford, que un lector, sin ser especialista en el tema, pueda disfrutar del placer de conocer el recorrido histórico de un problema matemático tan complejo.

A los números primos se les ha llamado “los ladrillos de las matemáticas”, “los átomos de la aritmética” o “el ritmo cardiaco de las matemáticas”. Para este autor los números primos son música, de ahí el título del libro, “La música de los números primos”. En varias de sus páginas se alude a la música mediante distintas analogías. Así, el lector se encontrará con que el sonido del clarinete da lugar a ondas que se asemejan a los perfiles de las almenas de las murallas de un castillo. La “orquesta

La música de los números primos. Marcus du Sautoy Reseña: M. C. Espinel Febles

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matemática” suena en un grifo que gotea y en un diapasón que vibra, todo ello para perseguir a los números primos.

La historia de la búsqueda de una fórmula que genere los números primos se describe como un testigo que va pasando de una generación de matemáticos a otra, partiendo de la criba de los griegos. Al mismo tiempo, el lector tiene la oportunidad de hacer un viaje que es un recorrido por las ciudades y países que han contribuido en el desarrollo de las matemáticas, ya sea Gotinga, en Alemania, meca de las matemáticas durante mucho tiempo, pasando por Pisa, en Italia, viajando a San Petersburgo, en Rusia, posteriormente se incorpora Cambridge y se narra cómo los ingleses captan a Ramanujan, en la India. El autor narra las circunstancias de cada momento y las va uniendo, hasta llegar a la época de los ordenadores, al nacimiento de la criptografía y casi sin darse cuenta, el lector se encuentra con las investigaciones más recientes.

Marcus du Sautoy describe la correspondencia postal entre matemáticos, y las dificultades que ocasionaba ese lento carteo, añadiendo algunas intrigas e inocentadas. En la obra se alude al temperamento, al carisma, al misticismo y a los sentimientos de los matemáticos. También se narra las distintas formas en que surgen las ideas a los investigadores, siempre que previamente se haya trabajado en el tema. Por ejemplo, a veces un sencillo paseo por los bosques puede dar una perspectiva de los números primos. Vemos como hay problemas que se resisten, aunque se ofrezcan premios y dinero por su solución, si bien es una forma de despertar el interés entre los jóvenes y enganchar, pues parece que todos queremos ser millonarios.

Apreciado lector, si es profesor, encontrará en este libro anécdotas y curiosidades sobre la historia de los números primos que le aportarán información para sus clases. Si es estudiante de informática, matemáticas, física,…, seguro que la trama de este libro le permitirá conectar con sus propios conocimientos del tema. Como 2011 es primo, seguro que es un buen año para deleitarse con este libro o bien, apúntelo a su lista.

María Candelaria Espinel Febles (Universidad de La Laguna)




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La armonía es numérica

Javier Arbonés y Pablo Milrud

RBA Colección: El mundo es matemático

ISBN: 978-84-9867-943-4 159 páginas

La música y las matemáticas guardan estrechas relaciones. Suele decirse incluso que la música es pura matemática. Pero… ¿hasta dónde podríamos relacionar ambas disciplinas?

En este libro, Javier Arbonés y Pablo Milrud nos muestran, en cinco cortos pero intensos capítulos, la relación que existe entre la música y algunos aspectos de las matemáticas, al tiempo que exponen claros ejemplos de compositores que han utilizado las matemáticas en algunas de sus obras más conocidas. Además, y para los menos entrenados en el ámbito musical, los autores adjuntan al final del libro un anexo en el que se explican aspectos básicos relacionados con la escritura y la teoría de la música.

El primero de los capítulos de este libro comienza con un breve repaso de la historia de determinados conceptos musicales y sus definiciones actuales, para a continuación centrarse en la

La armonía es numérica. Javier Arbonés y Pablo Milrud Reseña: N. González Cruz

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presentación de relaciones matemáticas como el hecho de que entre dos notas que se encuentran a un intervalo de cuarta (por ejemplo, do y fa) la frecuencia de la más aguda (fa) sea 4/3 de la de la más grave (do).

La estructura del segundo capítulo es análoga a la del primero. En su desarrollo podríamos destacar la inclusión de un claro ejemplo de canon rítmico visto como algo parecido a dos sistemas binarios, en los que cada una de las voces a participar en dicho canon debe seguir una secuencia determinada de ceros y unos. Por ejemplo, el siguiente canon está compuesto por dos secuencias (voces) en las que el número 1 se interpreta como una corchea y el 0 como un silencio de corchea:

1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 …

1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 ...

El capítulo tres es, a mi entender, el más interesante desde el punto de vista didáctico. Nos adentra en la geometría de la composición y nos facilita ideas acerca de ejercicios que podríamos llevar a la práctica con estudiantes de los primeros cursos de la Educación Secundaria Obligatoria (12-13 años). En este capítulo se tratan principalmente temas relacionados con transformaciones “geométrico-musicales” (simetrías, traslaciones, rotaciones, reflexiones y combinaciones de las anteriores en pentagramas, con sus respectivos símbolos musicales). Además, el capítulo posee muchísimas imágenes de partituras de obras originales en las que el lector puede apreciar, no sin prestar cierto grado de atención, el tipo de transformación que se ha llevado a cabo, lo cual resulta muy útil para llevarlo al aula y trabajar la geometría de forma diferente. Por ejemplo, la siguiente imagen muestra una fracción de una partitura, tomada de la Sinfonía nº5 en do menor op. 67 de Beethoven, en la que se observa una traslación diagonal del quinto compás, combinación de una traslación hacia la derecha y otra hacia arriba.

El cuarto capítulo tiene que ver más con la física, pues en él, como en el resto, se relaciona la música con las matemáticas, pero tratando primero temas como, por ejemplo, el sonido, la superposición de ondas, la digitalización,… También aquí se podrían tomar algunos ejemplos de ejercicios sobre funciones y representación de las mismas, a un nivel muy básico.

El quinto y último capítulo nos explica algunas técnicas de composición de obras siguiendo patrones que podríamos denominar matemáticos: series, matrices, congruencias… De este hecho se deduce que el nivel es algo superior, en relación con los capítulos anteriores, pero siempre a la altura de cualquier estudiante de matemáticas universitarias.

La armonía es numérica. Javier Arbonés y Pablo Milrud Reseña: N. González Cruz

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Además de todo lo anterior, el libro ofrece una serie de “curiosidades” (por llamarlas de alguna manera) relacionadas con los temas tratados en cada uno de los capítulos, que permiten al lector conocer otros aspectos que le pueden resultar de interés (simetrías del teclado, funcionamiento y tipos de metrónomos, notas históricas…). Sin embargo, cabe resaltar, a modo de crítica a esta edición, que la inclusión de este tipo de curiosidades no se expone de manera ordenada, circunstancia que también ha sido observada por los autores de otras reseñas de libros de esta colección (véase la reseña del libro Los secretos del número π, publicada en el volumen 77 de esta misma revista). Este hecho puede llevar a confusión, ya que el lector no sabe en qué momento debe leerlos: ¿en el orden en el que aparecen?, ¿al finalizar la lectura de la página en la que se incluye?, ¿al terminar el capítulo correspondiente?

A pesar de que a lo largo de esta reseña se ha mostrado que se pueden tratar diversos temas del libro en determinados niveles de enseñanza, es de destacar que no estamos ante un documento de fácil lectura para los alumnos/as. En este sentido, recomiendo que el profesor/a adapte los contenidos a sus estudiantes, ya que los temas tratados contienen mucha información irrelevante y demasiado dificultosa para los alumnos/as, requiriéndose una especial atención y ciertos conocimientos tanto matemáticos como musicales, aunque estos últimos pueden ser estudiados con antelación mediante el anexo adjunto, tal y como se apuntó en el segundo párrafo de esta reseña. Quizás aquél que no sepa absolutamente nada de música se pierda en algunas partes del libro pero, aún así, podrá sacarle provecho a otras.

Por último, y a modo de conclusión, aprovecho para añadir una cita de uno de los capítulos que, sin duda, nos deja ver que la música, por mucho que queramos “matematizarla”, siempre será un arte:

“Las reglas que sigue la música pueden ser analizadas matemáticamente, pero siempre hay un límite a partir del cual las explicaciones apelan a términos dificultosos, como inspiración, espiritualidad, sensibilidad, arte,…” (p. 142)

Noelia González Cruz (Universidad de La Laguna. Tenerife. España)




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Logicomix. Una búsqueda épica de la verdad

Apostolos Doxiadis y Christos H. Papadimitriou

SINSENTIDO

ISBN: 978-84-96722-74-3 352 páginas

Si bien he de reconocer que, mientras hice el Bachillerato, las Matemáticas siempre se me dieron razonablemente bien, he de confesar que se me atragantaron un poco cuando hice el Selectivo de Ciencias, un curso que, en los años cincuenta y sesenta del pasado siglo, servía de comodín para entrar en el segundo año de diversas carreras, especialmente técnicas. En mi época de estudiante, en el momento en que llegaba a entender una asignatura en su integridad adquiriendo una visión total de la misma, se producía en mi cerebro como una especie de “clic”, que me abría los ojos a esa materia de una manera global y clarificadora. Tengo que admitir que este “clic” no llegó a desencadenarse cuando abordé el agobiante Selectivo con un libro bajo el brazo, el Castro, que contenía unas matemáticas de integrales, diferenciales y logaritmos, entre otros complicados campos de esta ciencia singular, que consiguió inquietarme.

En concordancia con lo dicho, he de confesar que cuando llegó a mis manos Logicomix, un tebeo editado por Sinsentido que se introducía en los principios de la Filosofía y de las Matemáticas de la mano de Bertrand Russell, lo fui situando progresivamente en lo más profundo de la pila de cómics

Logicomix. Una búsqueda épica de la verdad. Apostolos Doxiadis y Christos H. Papadimitriou. Reseña: M. Darias

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pendientes de leer. Y además, después de echarle una breve ojeada, con el “agravante” de que observé que todo el hilo argumental giraba alrededor de una conferencia titulada El papel de la lógica en los asuntos humanos, que Russell pronunció en septiembre de 1939, en una universidad estadounidense. Sinceramente, no creía que pudiera interesarme.

Craso error. Cuando llegó el momento en que ya no pude eludir por más tiempo mi cita con Logicomix e inicié su lectura con mucho escepticismo y bastante poco entusiasmo, quedé gratamente sorprendido. Desde las primeras páginas, el voluminoso libro me atrapó con una fuerza inusitada, prueba fehaciente de que el equipo realizador de la obra había culminado un excelente trabajo a pesar de las dificultades que tal proyecto acarreaba. Pude entonces reconocer que los audaces creadores de Logicomix: Apostolos Doxiadis (Brisbane, Australia, 1953), novelista que usa las matemáticas en sus relatos de ficción; Christos Papadimitriou (Atenas, Grecia, 1949), también novelista y profesor de Informática; Alecos Papadatos (Tesalónica, Grecia, 1959), dibujante, animador e historietista; y Annie Di Donna (Philippeville, Argelia), esposa del anterior, pintora, grafista y animadora, habían dado en el clavo.

En el epílogo de la obra, sus autores nos confían lo siguiente: “Logicomix se inspira en la historia de la búsqueda de los fundamentos de las Matemáticas, cuya etapa más intensa abarcaría desde las últimas décadas del siglo XIX hasta el estallido de la Segunda Guerra Mundial. Sin embargo, a pesar de que la mayoría de sus personajes son personas reales, nuestro libro está muy lejos de ser -ni de querer serlo- una obra de historia. Es -y quiere ser- una novela gráfica. En concreto, para nuestra reconstrucción de la vida de Bertrand Rusell hemos tenido que manejar una ingente cantidad de material: lo hemos seleccionado, reducido, simplificado, interpretado y, bastante a menudo, inventado. Además, aunque hemos basado lo más posible nuestros personajes principales en sus homólogos de la vida real, en más de una ocasión nos hemos alejado del detalle fáctico con el fin de dotar a nuestra narración de una mayor coherencia y profundidad”.

El resultado es un tebeo apasionante que se monta sobre un sólido, trabajado y muy documentado guión, sustentado luego con una correcta realización gráfica que se puede englobar en lo que definimos como “línea clara”. Logicomix es un tebeo que se lee con interés y fluidez y que tiene, como original aditamento, el intercalado de otra historia, que se desarrolla en paralelo a la narración principal, en la que los autores del libro, convertidos también en héroes de papel, nos explican sus cuitas, dudas y discusiones para, finalmente, desembocar en acuerdos parciales que, poco a poco, llevarían a buen término la obra.

Manuel Darias (Diario de Avisos)

Nota: Esta reseña fue publicada en el periódico Diario de Avisos, el 24 de julio de 2011, en la sección "Historieta", dedicada al mundo del cómic. Agradecemos a dicho periódico y, en especial a D. Manuel Darias, su colaboración con esta revista.




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Congresos

LXXX Encuentro Anual Sociedad

Matemática de Chile

Fecha: 3 al 5 de noviembre de 2011 Organiza: Sociedad de Matemática de Chile Lugar: Termas El Corazón Información: http://encuentro2011.somachi.cl/descripcion.html

II Encuentro Nacional de Enseñanza de la Matemática. I Congreso Internacional de Enseñanza de las Ciencias

y la Matemática.

Fecha: 8 al 11 de noviembre de 2011 Organiza: Departamento de Formación Docente. Facultad de Ciencias Exactas. Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires Lugar: Tandil. Provincia de Buenos Aires. Argentina Información: [email protected]

I Conferencia Latino-Americana

de Geogebra

Fecha: Del 13 al 15 de Noviembre de 2011 Organiza: Pontificia Universidade Católica de Sau Paulo Lugar: Sao Paulo. Brasil Información: http://www.pucsp.br/geogebrala/index.html

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Coloquio Internacional La didáctica de la matemática: enfoques y problemas.

Homenaje a Michèle Artigue (Profesora Emérita de la Universidad Paris Diderot, ex-presidente de ICMI/CIEM)

Fecha: 31 Mayo, 1 y 2 de Junio, 2012 Organiza: Laboratoir de Didactique André Revuz. Mathématiques, Phisique, Chimie Lugar: Université París Diderot, París Información: www.lar.univ-paris-diderot.fr/colloque/artigue

The 12th International

Congress on

Mathematical Education

Fecha: 8 al 15 de Julio, 2012 Organiza: International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) Lugar: COEX, Seul, Korea Información: http://www.icme12.org/



Volumen 78, noviembre de 2011, página 199 ISSN: 1887-1984

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1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.

2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected] 3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de

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el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares. • Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones. • Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de

texto (no enviarlas por separado). • Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el

autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53). • Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,

ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo: o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y

científicos en los niños. Madrid: Morata. o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on

whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.

o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.

o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/

5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.

6. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial. Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en un periodo no mayor de 3 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.

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