Revista de Didáctica de las Matemáticas Julio de 2011 Volumen 77

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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Volumen 77, julio de 2011, página 2 ISSN: 1887-1984


NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza, aplicaciones de la investigación…

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex, Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Directores Alicia Bruno (Universidad de La Laguna) y Antonio Martinón (Universidad de La Laguna)

Comité editorial Hugo Afonso (“La Caixa”), Dolores de la Coba (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo, La Laguna), Miguel Domínguez (Instituto Educación Secundaria Garoé), Fátima García (Centro de Formación ARHAT), Fernando León (Instituto Educación Secundaria San Hermenegildo), Antonio Ramón Martín Adrián (Colegio Público Aguamansa), María Aurelia Noda (Universidad de La Laguna), Josefa Perdomo Díaz (Instituto Educación Secundaria Adeje 2), Inés Plasencia (Universidad de La Laguna).

Consejo asesor José Luis Aguiar (Instituto Educación Secundaria Agustín de Betancourt), Claudi Alsina (Universidad Politécnica de Catalunya), Abraham Arcavi (Instituto Científico Weizmann), Luis Balbuena (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo), Carmen Batanero (Universidad de Granada), Lorenzo Blanco (Universidad de Extremadura), Teresa Braicovich (Universidad Nacional del Comahue, Argentina), Juan Contreras (Inspección Educativa de Canarias), Norma Cotic (Centro de Investigación Educativa, Buenos Aires, Argentina), Manuel Fernández (Colegio Público Punta del Hidalgo), Joaquim Giménez (Universitat de Barcelona), Juan Antonio García Cruz (Universidad de La Laguna), Jacinto Quevedo (Grupo 17-29), Tomás Recio (Universidad de Cantabria), Victoria Sánchez (Universidad de Sevilla), Arnulfo Santos (Instituto Educación Secundaria Doctor Antonio González y González)

Portada. Autor: Luis Balbuena Castellano. Título: Máximo entre tajinastes (Pico Teide-3718m) Mayor altura del Atlántico. Tenerife

Edita Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Apartado 329. 38200 La Laguna (Tenerife) España Email: [email protected] Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas Ana Alicia Pérez Hernández (Presidenta), José Manuel Vidal González (Vicepresidente), Victoria Soto Cabrera (Secretaria General), Sergio Alexander Hernández Hernández (Tesorero), María Jesús Rodríguez Martín (Vicesecretaria), Manuel Herrera Pérez (Secretario de actas), Zoraida de Armas Ravelo (Bibliotecaria). Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Luis López García (Gran Canaria), Eustaquio Bonilla Ramírez (Lanzarote), Carmen San Gil López (La Palma), Dolores de la Coba García (Tenerife).

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y noviembre.


Volumen 77, julio de 2011, páginas 3–4 ISSN: 1887-1984


Índice

Apertura

La enseñanza del Álgebra en la Educación Obligatoria. Aportaciones de la investigación 5-34

Martín Socas Artículos

La matemática y su relación con las ciencias como recurso pedagógico 35-49

Milagros Elena Rodríguez

Análisis de los términos de Inferencia Estadística en Bachillerato 51-73

Israel García Alonso

El infinito en matemáticas 75-83

Ramón Sebastián Salat Figols

Un análisis del uso de la tecnología para el cálculo de primitivas 85-98

Juan Carlos Ponce Campuzano y Antonio Rivera Figueroa

Tareas para el desarrollo de habilidades de visualización y orientación espacial 99-117

Margherita Gonzato, Teresa Fernández Blanco y Juan Díaz Godino

Jugando con teselas 119-126

José Muñoz Santonja, Juan A. Hans Martín y Antonio Fernández-Aliseda Redondo Secciones

Experiencias de aula

Tres tristes trípticos… ¿tristes? 127-136

Carlos Duque Gómez y Eva M.ª Quintero Núñez

Problemas

Soluciones de Gardner, además de tangos, fósiles, fantasmas y otras cosas 137-149

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz

Índice (continuación)

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En la red

Matemágicas: web mágica para aprender y disfrutar de las matemáticas 151-156

Claudia Karin Högemann y Josefa Hernández Domínguez

Juegos

Juegos de siembra: juegos africanos con aplicación didáctica 157-166

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz

Leer Matemáticas

Los secretos del número π. Joaquín Navarro 167-169

Reseña: Rut Almeida Cabrera y Víctor Almeida Lozano

50 cosas que hay que saber sobre MATEMÁTICAS. Tony Crilly 171-172

Reseña: María Gutiérrez Toledo

Informaciones 173

Normas para los autores 175




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La enseñanza del Álgebra en la Educación Obligatoria. Aportaciones de la investigación

Martín Socas (Universidad de La Laguna)

Artículo solicitado al autor por la revista

Resumen En este trabajo se analizan estudios que se han desarrollado a nivel internacional en Álgebra y las aportaciones de las investigaciones que deben ser consideradas para un mejor desarrollo del currículo de Álgebra: el lenguaje, las múltiples representaciones, la semiótica, los mediadores tecnológicos (calculadoras y ordenadores), la contextualización, las dificultades y los errores, la Pre-Álgebra, el “Early Algebra”, el énfasis en nuevos contenidos: caos (fractales), grafos, etc., la enculturación, los procesos de pensamiento algebraico, el empirismo, las actividades y los proyectos “Open-ended”…

Estas aportaciones se organizan desde cinco perspectivas: la relación entre la Aritmética y el Álgebra: dificultades y errores, las fuentes de significados para el Álgebra, los mediadores tecnológicos, la organización de la enseñanza y la formación del profesorado.

Palabras clave Álgebra, aprendizaje y enseñanza, dificultades y errores, desarrollo curricular, educación obligatoria y formación del profesorado.

Abstract This paper analyzes the studies that have been developed at an international level in Algebra and the contributions of the investigations that should be considered for a better development of the curriculum of Algebra: language, multiple representations, semiotic, technological environments (calculators and computers), context, difficulties and errors, Pre-Algebra, Early Algebra, emphasis in new contents as chaos (fractals), graphs, etc., enculturation, processes of algebraic thought, empiricism, activities and projects "Open-ended"…

These contributions are organized according to the five perspectives: relations between Arithmetic and Algebra as difficulties and errors, sources of algebraic meaning, instruments of technological mediation, organization of teaching and teacher education.

Keywords Algebra, learning and teaching, difficulties and errors, curricular development, obligatory education and teacher education.

1. Introducción

En general la investigación en Álgebra, se ha ocupado de los fenómenos de enseñanza, aprendizaje y comunicación de los conceptos y procedimientos algebraicos en el Sistema Educativo y en el medio social.

El Álgebra tiene una gran presencia como contenido matemático en diferentes etapas en el Sistema Educativo, especialmente desde la Secundaria Obligatoria hasta la Universidad, aunque en los últimos veinte años han surgido propuestas de incorporar ciertas cuestiones del Pensamiento algebraico en la Educación Primaria. En este trabajo nos vamos a referir, por ello, a la Educación

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Obligatoria, tomando en consideración, tanto los aspectos del Lenguaje algebraico como: las letras con significado algebraico (variables), las expresiones algebraicas, las ecuaciones lineales y cuadráticas, los procesos de pensamiento algebraico y la resolución de problemas, como ciertos aspectos del conocimiento numérico que constituyen la base para la Aritmética Generalizada, es decir, aquellos conocimientos que facilitan la transición del pensamiento numérico al algebraico y que tienen que ver con ideas acerca de los distintos tipos de números y de las relaciones numéricas, en particular las ideas de estructuras y procesos numéricos.

Una revisión de los estudios realizados sobre el Lenguaje algebraico se puede organizar desde ámbitos diferentes, uno sería el que hace referencia a los tres campos por antonomasia de la didáctica: Epistemológico (historia y epistemología), Cognitivo (cognición y aprendizaje) y Didáctico (enseñanza y desarrollo curricular), poniendo el énfasis en algunos de los aspectos más relevantes de los tres ámbitos; otro puede ser tomar en consideración las cuestiones básicas que han incidido más en las investigaciones en Álgebra, en estos últimos treinta años, como por ejemplo: la relación entre la Aritmética y el Álgebra: dificultades y errores, la búsqueda de significados para el Álgebra y la organización de la enseñanza y la formación del profesorado, esta es la consideración que vamos a tomar en este trabajo por su relación más directa con el desarrollo curricular en Álgebra.

La organización del trabajo para su presentación se realiza en torno a las siguientes cuestiones: investigaciones en Pensamiento Algebraico, aportaciones de la investigación al desarrollo curricular en Álgebra y consideraciones finales sobre el Pensamiento Algebraico.

2. Investigaciones en Pensamiento Algebraico

A grandes rasgos, sin la intención de ser exhaustivos, se puede decir que a nivel internacional las investigaciones en Pensamiento Algebraico, se han orientado en estos últimos treinta años:

• Al análisis de las características esenciales del Pensamiento Algebraico, niveles de organización y problemas que ocasionan en la enseñanza y en el aprendizaje.

• La descripción y estudio de respuestas y procesos de solución de estudiantes y profesores en tareas específicas en Pensamiento Algebraico.

Diferentes trabajos como los de Wagner y Kieran (1989), Kieran y Filloy (1989), Socas y otros (1989), Kieran (1992, 2006, 2007), Rojano (1994), Bednarz, Kieran y Lee (1996), Palarea (1998), Socas (1999), Socas y otros (2007), muestran que la investigación en Pensamiento Algebraico trata de encontrar soluciones a preguntas como: ¿Qué pueden hacer y qué no pueden hacer los estudiantes y los profesores en los distintos ciclos o niveles del sistema educativo en Pensamiento Algebraico?

Si tomamos como referencia los contenidos tratados podemos agrupar estas investigaciones en tres grandes núcleos:

1. La transición del Pensamiento Numérico al Algebraico, analizando los aspectos del primero que son la base para los conocimientos de la Aritmética Generalizada.

2. Los procesos específicos del Pensamiento Algebraico como la sustitución formal, la generalización y la modelización.

3. La búsqueda de propuestas que mejoren la enseñanza y aprendizaje del Álgebra en la Educación Secundaria.

Una visión general sobre las investigaciones en Pensamiento algebraico en la Educación Obligatoria se puede extraer de los siguientes trabajos:


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Wagner y Kieran (1989), nos aportan un primer documento que presenta gran parte de los resultados de las investigaciones en Álgebra hasta la década de los ochenta, señalando perspectivas de investigación en Álgebra. Este trabajo coordinado por Wagner y Kieran constituye de hecho "Una agenda para la investigación del aprendizaje y la enseñanza del Álgebra". Las perspectivas investigadoras en Álgebra presentadas en la agenda se basaron en: contenido, aprendizaje, enseñanza, pensamiento algebraico, afectividad, representación, tecnología, desarrollo curricular, evaluación y formación del profesor.

Kieran y Filloy (1989), describen algunas de las contribuciones más significativas de la investigación sobre procesos cognitivos implicados en el aprendizaje del Álgebra escolar hasta finales de los ochenta, entre las que cabe destacar el marco aritmético de referencia. Estas aportaciones ponen de manifiesto la presencia de un cuerpo creciente de conocimientos sobre los procesos cognitivos involucrados en el aprendizaje del Álgebra de Secundaria (variables, expresiones y ecuaciones, resolución de ecuaciones y funciones y gráficas).

En el marco de las consideraciones teóricas, señalan la falta de modelos teóricos paradigmáticos (en el sentido de Kuhn, 1962) en la investigación del Álgebra, y centran su atención en los fenómenos didácticos cuyas causas puedan atribuirse a la materia matemática implicada en el proceso de enseñanza-aprendizaje del lenguaje algebraico. Ponen de manifiesto que entre las nuevas tendencias en Pensamiento Algebraico destacan la influencia de la lingüística y la teoría del procesamiento de la información, como disciplinas relacionadas con la Didáctica de la Matemática. La psicolingüística y la inteligencia artificial permiten delimitar un modelo procesual de las habilidades humanas que explica la aparición de errores en los procedimientos sintácticos de los usuarios del lenguaje algebraico. También prestan atención al significado, con preferencia al abstracto, que ha proporcionado un punto de vista pragmático, y ha conducido a un cambio de dirección en el interior del trabajo en Álgebra que se aparta de la "competencia" y va hacia la "actuación" del usuario del lenguaje algebraico. Se pretende que la gramática - el sistema formal abstracto del Álgebra- y la pragmática- principios del uso del lenguaje algebraico- sean dominios complementarios en el estudio de la psicología del aprendizaje del Álgebra.

Kieran (1992), presenta un documento sobre las investigaciones en Álgebra, en el que realiza un análisis histórico del Álgebra, una descripción del contenido del Álgebra escolar, una reflexión y discusión de las demandas psicológicas hechas sobre el aprendiz de Álgebra por el contenido matemático, y una descripción breve del panorama de la perspectiva de enseñanza. En su informe adopta una perspectiva histórica/epistemológica y hace una revisión y reconceptualización de gran parte de las investigaciones existentes en Álgebra en términos de un modelo que llama “experimental-estructural”, y lo propone como marco en el que analiza y trata de comprender mejor las dificultades que los estudiantes tienen al aprender el Álgebra y los problemas de su enseñanza.

Este análisis histórico del desarrollo del simbolismo algebraico y sus reglas de transformación le permite hacer distinción entre: usar letras para representar incógnitas, en resolución de ecuaciones; usar letras para representar datos, expresando soluciones generales, y usar letras como herramienta para proveer reglas que expresen las relaciones numéricas, que surgen en Lenguaje Algebraico en momentos históricos diferentes.

Parte de los procesos cognitivos implicados en el aprendizaje del Álgebra escolar tiene sus raíces en el desarrollo histórico del Álgebra como un sistema simbólico. La invención de Viète de una notación extremadamente condensada, permitió al Álgebra ser más que una herramienta procedimental. Permitió asimismo que las formas simbólicas fueran usadas estructuralmente como objetos. Los desarrollos estructurales en Álgebra durante ciento cincuenta años han provocado un considerable impacto, no solamente sobre el modo en que es percibida el Álgebra por los algebristas, sino también sobre el modo en que es presentada en los textos escolares.



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El análisis histórico permite ver el desarrollo del Álgebra como un ciclo de evolución procedimental-estructural. De un modo similar, el estudio del Álgebra escolar puede ser interpretado como una serie de adaptaciones proceso-objeto (por ejemplo procedimental-estructural) que los estudiantes deberían asumir para llegar a comprender el aspecto estructural del Álgebra.

Este marco de análisis permite según Kieran comprender mejor las dificultades que los estudiantes tienen al aprender Álgebra. Propone además que los estudios pongan el énfasis en el análisis de la instrucción en el aula, creando bases sólidas para desarrollar concepciones estructurales del Álgebra por encima de concepciones procedimentales. La misma atención dada a este planteamiento tendría que prestarse a los libros de texto.

Podemos decir que las investigaciones desarrolladas en Pensamiento Algebraico las referencias a consideraciones históricas y el análisis epistemológico es algo inherente a las mismas. Se acepta como punto de partida que la discusión histórica y el análisis epistemológico del pensamiento algebraico juegan un papel esencial a la hora de determinar los procesos de enseñanza y aprendizaje del Álgebra escolar.

Bednarz, Kieran y Lee (1996), ofrecen a través de diferentes autores un análisis y reflexión desde el punto de vista de la investigación sobre las distintas vías de introducción del Álgebra en el ámbito escolar. Las aproximaciones que se tratan en el libro son: la generalización de patrones numéricos y geométricos y de las leyes que gobiernan las relaciones numéricas; la resolución de problemas, la modelización de fenómenos físicos y matemáticos y la introducción de problemas funcionales.

Kieran (2006), aporta un amplio resumen de los trabajos de investigación llevados a cabo por los investigadores en Álgebra del “International Group of the Psychology of Mathematics Education” (PME). El grupo tiene como objetivo inicial caracterizar los cambios que se han producido en el Pensamiento Algebraico y el papel que juega el simbolismo en este cambio. Kieran organiza en tres grandes núcleos los trabajos realizados en los treinta años de historia:

• Transición de la Aritmética al Álgebra, variables e incógnitas, ecuaciones y resolución de ecuaciones, y planteamiento y resolución de problemas verbales de álgebra (desde el principio hasta la actualidad).

• Uso de herramientas tecnológicas, representaciones múltiples y proceso de generalización (desde la década de los 80 hasta la actualidad).

• El pensamiento algebraico en los estudiantes de la escuela elemental, la enseñanza-aprendizaje del Álgebra y la modelización dinámica de situaciones físicas y en entornos algebraicos (desde los noventa hasta la actualidad).

Kieran (2007), aporta un nuevo trabajo en el que hace una revisión de la enseñanza y el aprendizaje del Álgebra en la Educación Secundaria, mostrando formas de construir significados para los símbolos algebraicos y para su manipulación. Parte de unas breves referencias a los principales problemas de la enseñanza y el aprendizaje del Álgebra en la Educación Secundaria, centrándose, especialmente, en las diferentes fuentes de significado para el Lenguaje algebraico en esta etapa educativa. La parte central de este trabajo lo dedica a analizar actividades e investigaciones sobre el Álgebra y distingue: la secundaria obligatoria y la secundaria no obligatoria y primer año de universidad. El análisis de estos trabajos lo hace mediante el Modelo de conceptualización de las actividades algebraicas (GTG), que había propuesto en Kieran (1996), al desarrollar la idea del “Álgebra como actividad”. Este modelo sintetiza las actividades algebraicas en tres tipos: “Generational”, “Transformational” y “Global/Meta-Level”.


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En el caso de la secundaria obligatoria, las actividades de tipo “Generational” las organiza sobre: variables, expresiones y ecuaciones, el signo menos y los números negativos, el sentido de estructura (inicio); múltiples representaciones y conexiones; y problemas verbales que implican múltiples representaciones o planteamiento y resolución de ecuaciones. Las actividades de tipo “Transformational”, supone en el alumno el reconocimiento de equivalencias y cierto control teórico del proceso y analiza las expresiones, las ecuaciones y la resolución de ecuaciones y el uso de materiales manipulativos. Las actividades de tipo “Global/Meta-Level”, supone el uso del Álgebra como herramienta, y analiza la generalización, las pruebas y la demostración, y la medelización, en este caso analiza el impacto de la tecnología.

En relación con la secundaria no obligatoria y primer año de universidad el estudio lo realiza en el mismo sentido.

La parte final del capítulo lo dedica a analizar la enseñanza del Álgebra y al profesor de Álgebra, tomando en consideración cuestiones como las implicaciones de la investigación en las prácticas del profesor de Álgebra, conocimiento y creencias de los profesores de Álgebra, o la integración de nuevos aspectos en el currículo del Álgebra en esta etapa educativa.

Carraher y Schliemann (2007), realizan una amplia revisión sobre un foco reciente de investigación en Educación Matemática: el razonamiento algebraico de los alumnos de 6 a 12 años, para apostar por esta corriente de investigación y fundamentar en ella que el Álgebra tiene un lugar en el currículo de la Educación Primaria. Esta corriente se denomina “Early Algebra” y abarca tanto el razonamiento algebraico como las relaciones algebraicas, con alumnos de Educación Primaria.

Comienzan con una introducción al razonamiento algebraico para pasar a analizar este foco de investigación sobre el razonamiento algebraico en la Educación Primaria. Señalan dos sucesos decisivos en los Estados Unidos para el desarrollo de este enfoque de investigación: las publicaciones del “The Nacional Council of Teachers of Mathematics” (NCTM, 1989 y 2000) y el informe del Panel de investigación y desarrollo de la Corporación RAND sobre Álgebra en K-12 (RAND Mathematics Study Panel, 2003), y determina cinco cuestiones problemáticas como fundamentales: las relaciones entre la Aritmética y el Álgebra, la dualidad proceso/objeto en Álgebra, el papel referencial del Álgebra en las Matemáticas y las representaciones simbólicas del Álgebra en los dos sentidos: formal y no formal. Presenta a continuación una explicación detallada del desarrollo de “Early Algebra”, no si antes comparar la “Early Algebra” con la propuesta conocida como Pre-Álgebra.

La idea central que sugieren es que la “Early Algebra” enriquece la enseñanza tradicional de las matemáticas, en los diferentes niveles educativos, facilitando a los alumnos un desarrollo adecuado del Pensamiento algebraico, de esta manera se puede organizar la enseñanza de la Aritmética y del Álgebra evitando saltos, rupturas y cortes didácticos entre ambas; y establecen tres puntos básicos para comenzar con “Early Algebra”: Aritmética y razonamiento numérico, Aritmética y razonamiento cuantitativo, Aritmética y funciones.

Aporta el documento un breve análisis sobre diferentes aspectos en los que hay controversia entre los distintos autores, por ejemplo, entre otros señala: ¿qué tareas y formas de aprendizaje son algebraicas y cuáles no?, ¿qué tipo de evidencias se necesitan para evaluar la presencia de pensamiento algebraico?, ¿qué enfoques pedagógicos son adecuados para desarrollar la “Early Algebra” en la Educación Primaria?, o ¿qué tipo de formación de profesores debe promoverse?

Como hemos indicado en la introducción caben diferentes propuestas para organizar la revisión las investigaciones en pensamiento algebraico, pero todas ellas pueden analizarse desde los tres grandes ámbitos: Epistemológico (historia y epistemología), Cognitivo (cognición y aprendizaje) y



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Didáctico (enseñanza y desarrollo curricular ), y los que encontramos diferentes estudios desde enfoques diferentes, pero en todos ellos se identifican factores significativos que afectan a la enseñanza y aprendizaje del Álgebra; y que están dirigidos, especialmente, a determinar, por una parte, los procesos cognitivos involucrados en el aprendizaje de la misma, en los que se pueden diferenciar dos grandes bloques: los procesos cognitivos que se derivan de considerar la aritmética como fundamento del álgebra y los procesos específicos del pensamiento algebraico, y por otra, los intentos continuados de los investigadores en desarrollar una teoría de la enseñanza y aprendizaje del Álgebra. Entre estos enfoques sobresalen: la historia, la epistemología, la psicología cognitiva, el lenguaje, la semiótica, las calculadoras, los ordenadores, la enseñanza, el desarrollo curricular…, ámbitos que se intersectan, obviamente, en los diferentes trabajos de investigación. Ahora bien, ha sido el ámbito cognitivo el que ha tenido un papel preponderante en las diferentes investigaciones en Pensamiento Algebraico y constituye el común denominador de casi todas ellas (Socas, 1999; Socas y otros, 2007).

3. Aportaciones de las investigaciones al desarrollo curricular en Álgebra

Queremos tomar en consideración, ahora, aquellos aspectos más sobresalientes de las investigaciones en Álgebra que han incidido con mayor profusión en el desarrollo del currículo del Álgebra en la Educación Obligatoria. El estudio de estas aportaciones al currículo nos permitirá mostrar también una revisión de las investigaciones en Álgebra. Este estudio lo presentaremos analizando: la relación entre la Aritmética y el Álgebra: dificultades y errores; la búsqueda de significados para el Álgebra; los mediadores tecnológicos; la organización de la enseñanza y la formación del profesorado, que no son compartimentos estancos y tienen muchos puntos en común en los diferentes trabajos.

3.1 Relación entre la Aritmética y el Álgebra: dificultades y errores

La transición de la Aritmética al Álgebra, ha sido y es un tema de investigación permanente, por ejemplo, ha sido desde el principio y lo es en la actualidad uno de los núcleos de trabajo del grupo de investigadores en Álgebra del PME (Kieran, 2006).

Hemos de señalar que esta transición ha sido abordada, en un primer momento, tratando de entender la relación entre la Aritmética y el Álgebra, para poner énfasis más tarde en aquellos aspectos de esta relación que pueden mejorar la transición, ello ha originado en el desarrollo curricular dos propuestas: Pre-Álgebra y “Early Algebra”, condicionadas, entre otras cuestiones, por los resultados obtenidos en las investigaciones desarrolladas sobre las dificultades y errores en la enseñanza y aprendizaje de la Aritmética y el Álgebra.

Dificultades y errores

Las dificultades y los errores en el aprendizaje de las Matemáticas han sido y son hoy un foco de estudio e investigación en Educación Matemática, en el que a pesar de su antigüedad, de los resultados obtenidos y de los esquemas teóricos utilizados para interpretar esos resultados, hay cuestiones importantes aún no resueltas.

En el estudio de las dificultades y errores podemos distinguir, a grandes rasgos, tres etapas. En una primera etapa la investigación consistía, prioritariamente, en hacer recuentos del número de soluciones incorrectas a una variedad de situaciones problemáticas y en hacer una análisis de los tipos de errores detectados, para proceder a una clasificación que permita examinar cómo éstos surgen a partir de la solución correcta, y, hacer inferencias sobre qué factores, especialmente del contenido matemático, pueden haber conducido al error, Radatz (1980), Rico (1995).


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En una segunda etapa, a partir, aproximadamente, de la década de los ochenta, se toma conciencia de que el error es algo normal en los procesos de enseñanza y aprendizaje. Ello supone indagar sobre los errores, no únicamente desde cuestionarios generales, sino, además, profundizar en el mismo proceso de construcción de los objetos matemáticos por parte de los alumnos como recurso para saber en que están pensando. Por ejemplo en Brousseau, Davis, y Werner (1986), se describe que: los errores que cometen los alumnos muestran, en algunos casos, un patrón consistente; los alumnos tienen con frecuencia concepciones inadecuadas (“misconceptions”) sobre los objetos matemáticos; a veces, estas concepciones inadecuadas los conducen a usar procedimientos equivocados que no son reconocidos como tales por sus profesores; llegan a utilizar, en algunos casos, métodos propios ignorando el método propuesto por el profesor. Esto les lleva a señalar posibles caminos en los que el error puede presentarse: los errores como consecuencia de concepciones inadecuadas, los errores como la aplicación correcta de un procedimiento sistematizado que es inapropiado, los errores como consecuencia del uso de métodos propios del estudiante, en general informales, entre otros. Esta segunda etapa se caracteriza por reconocer que los errores son también producto de otras variables del proceso educativo: profesorado, currículo, contexto (sociocultura, institucional)…, y de sus interacciones, Mulhern (1989), lo que pone de manifiesto la complejidad para analizar los errores en el aprendizaje de las Matemáticas, y la necesidad de tener marcos teóricos para el análisis y la explicación de los mismos, como señalaba Radatz (1979).

De estos estudios sobre el análisis, clasificación y causas de los errores, podemos señalar, varias cuestiones: en primer lugar, que algunas investigaciones ponen de manifiesto la categorización de los errores fundamentándose, exclusivamente en el conocimiento matemático; en segundo lugar, que en las investigaciones que combinan resultados empíricos con algunos supuestos sobre las estructuras mentales y ciertas leyes generales del procesamiento humano de la información, es posible predecir algunos patrones comunes de los errores, es decir, que las interpretaciones que toman como base teórica algunos principios del procesamiento de la información ofrecen versiones más completas de las clasificaciones de los errores; en tercer lugar, que a partir de estos informes sobre la clasificación de los errores y su frecuencia, desafortunadamente, no se puede explicar su origen y en consecuencia no podemos aportar un trato sistemático a los mismos.

El Lenguaje algebraico no es ajeno a este proceso de estudio, una parte destacada de los estudios cognitivos en lenguaje algebraico se organizan en torno al análisis de las dificultades y errores en Álgebra (Matz, 1980; Kücheman, 1981; Wagner, Rachlin, y Jensen, 1984; Booth, 1984, 1988; Kieran, 1992, 2006, 2007; Socas, 1997, 2001, 2007; Palarea, 1998; Ruano, Socas y Palarea, 2003).

El proyecto SESM sobre estrategias y errores en las Matemáticas de Secundaria, llevado a cabo en el Reino Unido entre 1980 y 1983, trataba de explicar no sólo los errores que cometen comúnmente los estudiantes sino de explicar las razones de estos errores. Los resultados del grupo de Álgebra, entendida esta como aritmética generalizada se describen en Booth (1984); o el Proyecto sobre Aprendizaje del Álgebra, de mediados de los ochenta, descrito en Wagner, Rachlin, y Jensen (1984), en el que uno de los objetivos fue identificar las dificultades que los estudiantes tenían en la resolución de ecuaciones estándares y no estándares. Dos de los ejercicios fueron diseñados para probar la creencia de los estudiantes de que la solución de una ecuación está determinada por la estructura superficial de la misma y no por los símbolos usados para representar la variable, son buenos ejemplos de los estudios sobre dificultades y errores en la década de los ochenta.

En los últimos años, tercera etapa, encontramos estudios en los que se abordan globalmente las dificultades y errores que se dan en el aprendizaje del lenguaje algebraico en la Educación Secundaria, es el caso del grupo de Álgebra de la Universidad de La Laguna (España), en la que la propuesta de trabajo se aborda no sólo un análisis y clasificación de los errores que cometen alumnos de secundaria de forma global considerando todos los aspectos del Lenguaje algebraico: operaciones, estructuras y



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procesos (sustitución formal, generalización y modelización), sino que se estudia en un marco teórico denominado Enfoque Lógico Semiótico (ELOS), los orígenes de los mismos, lo que permite arbitrar procedimientos que ayudan a los alumnos a corregir sus errores (Socas, 1997, 2001, 2007; Palarea, 1998; Palarea y Socas 1995 y 1998; Socas y Palarea (1996 y 1997; Ruano, Socas y Palarea, 2003).

Las dificultades son organizadas en cinco grandes categorías que permite describir la procedencia de estas dificultades, dos asociadas a la propia disciplina, complejidad de los objetos de las Matemáticas y procesos de pensamiento matemático, una tercera relacionada con los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje de las Matemáticas, la cuarta está asociada a los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos, y la quinta está asociadas a actitudes afectivas y emocionales hacia las Matemáticas. Los errores se analizan desde tres ejes, no disjuntos, que permiten estudiar el origen del error. De esta forma se sitúan los errores que cometen los alumnos en relación con tres orígenes distintos: Obstáculo (cognitivos, didácticos y epistemológicos), Ausencia de sentido (semiótico, estructural y autónomo) y Actitudes afectivas (emociones, actitudes y creencias) (Socas, 1997, 2001 y 2007).

El panorama investigador reflejaba en los años noventa una insatisfacción generalizada sobre las formas tradicionales de la enseñanza del Álgebra, dadas las dificultades y errores que tenían los alumnos, a la vez que se manifestaba un reconocimiento sobre la importancia del papel esencial del Álgebra en las Matemáticas y el de las capacidades y hábitos mentales que desarrollaba. Esta crítica generalizada se concretaba en: gran fracaso de los estudiantes que les hace abandonar los estudios en Matemáticas, ausencia de significado en el aprendizaje de los estudiantes y escasa conexión entre el Álgebra y los otros bloques de contenidos matemáticos (Booth, 1988, Kaput, 1995).

Ello generó una preocupación por hacer del Álgebra un estudio accesible a todos los estudiantes. Esta preocupación, que aún hoy perdura en los investigadores, ha llevado a buscar formas más efectivas que las tradicionales para abordar con garantías la enseñanza del Álgebra.

Igualmente, como indicábamos anteriormente, las investigaciones realizadas en Pensamiento algebraico ponían de manifiesto que la Aritmética es primordial para acceder al Álgebra. Ahora bien, la búsqueda de esta relación entre la Aritmética y el Álgebra nos ha llevado a dos posiciones diferentes.

Una la podemos ilustrar tomando como referencia el trabajo de Drijvers y Hendrikus (2003), entre otros autores, en la que el Álgebra tiene sus raíces en la Aritmética y depende fuertemente de su fundamentación Aritmética, puesto que la Aritmética tiene muchas oportunidades para simbolizar, generalizar y razonar algebraicamente.

La otra posición sugiere que se debe promover en la Educación Primaria el desarrollo de los aspectos algebraicos que ya posee el pensamiento de los niños, o bien, que debemos fomentar cambios en la forma de pensar de los niños que les conduzca al pensamiento algebraico y que estos pueden ser promovidos mediante el uso de ciertas herramientas, como notaciones, diagramas o gráficos que impliquen un nivel más elevado de generalidad desde la Educación Primaria (Lins y Kaput, 2004).

Estas posiciones han generado dos propuestas conocidas como Pre-Álgebra y “Early Algebra”, respectivamente.

Pre-Álgebra

Muchas de las investigaciones realizadas durante las décadas de los 80 y 90 centradas en el análisis de las dificultades y errores de los alumnos en Álgebra que tomaban en cuenta los estadios de


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desarrollo de los alumnos contribuyeron a mantener que los estudios formales del Álgebra era mejor dejarlos para los últimos cursos de la Educación Obligatoria. Igualmente, las investigaciones, mostraban que la perspectiva del Álgebra como Aritmética generalizada era insuficiente para desarrollar en los alumnos un pensamiento algebraico adecuado y que el uso de nuevas fuentes de significados, como las nuevas tecnologías facilitaban entornos de enseñanza aprendizaje del Álgebra que aportaban concepciones diferentes de la misma.

El enfoque de Pre-Álgebra se apoya, en dos hechos esenciales. Uno, es la concepción de que el Álgebra está presente cuando se hace uso del simbolismo algebraico, pero en el que la noción del simbolismo algebraico es una concepción mucho más amplia y va más allá de las escrituras formales de la Aritmética generalizada (Sutherland et al., 2001; Drijvers y Hendrikus, 2003). Dos, en la validez de las propuestas de organización de los estadios de desarrollo cognitivos en la que el Álgebra ocupa el estadio de desarrollo formal (Collis, 1974), y en consecuencia se considera fuera de las capacidades cognitivas de los alumnos en los primeros años de la Educación Primaria. Varias investigaciones han puesto de manifiesto ciertos cortes didácticos o rupturas cognitivas entre el pensamiento aritmético y el algebraico, son por ejemplo, los casos de Filloy y Rojano (1989) o de Herscovics y Linchevski (1994), entre otros. Estas rupturas o cortes didácticos encontrados en la Psicogénesis se han determinado también en la Psociogénesis (Piaget y García, 1982), es decir, en el aprendizaje de los alumnos encontramos ciertas incapacidades para operar espontáneamente con variables al igual que las encontramos en la evolución histórica del Álgebra.

En este sentido, diferentes investigaciones han puesto de manifiesto estas dificultades y errores, generados por estas rupturas o cortes didácticos, como las relacionadas con la limitada interpretación del signo igual en Aritmética, las concepciones erróneas de los alumnos sobre el significado de las letras utilizadas como variables, el rechazo de expresiones no numéricas como respuestas a un problema, la no aceptación de la falta de clausura o la operatividad con las incógnitas… se han considerado como inherentes al aspecto más abstracto del Álgebra y a limitaciones en el desarrollo cognitivo de los alumnos de edades más tempranas (Herscovics y Kieran, 1980; Kuchemann, 1981; Booth, 1984; Filloy y Rojano, 1989; Kieran, 1989 y 1992).

Igualmente, diferentes investigaciones, por ejemplo, desde la década de los 70 y principio de los 80 ponían de manifiesto que el Álgebra podía proveer a los alumnos muchas oportunidades para la resolución de problemas y para el desarrollo de la creatividad, la originalidad y una comprensión profunda de las Matemáticas (Davis, 1985).

También desde la década de los ochenta diferentes autores, como por ejemplo Davis (1985) o Vergnaud (1988), argumentaban la necesidad de iniciar una enseñanza del Álgebra, desde la Educación Primaria, que preparase a los alumnos para abordar los aspectos epistemológicos involucrados en la transición de la Aritmética al Álgebra que se daban en la Secundaria. No eran propuestas para hacer un desarrollo de los aspectos formales del Álgebra sino una preparación en términos de los que hoy denominamos Pre-Álgebra.

Esto genera un campo de investigación sobre la búsqueda de actividades que se denominaron pre-algebraicas y que se situaban en los últimos años de la Educación Primaria. Estas actividades pre-algebraicas, están relacionadas con el planteamiento y la resolución de ecuaciones, aproximaciones a la generalización, patrones numéricos y geométricos, variables y funciones. Debemos decir que las actividades sobre variables y funciones han estado, en general, asociadas a las computadoras.

Un hecho relevante lo constituye la opción de los Estándares de la NCTM (1989), que sugiere adelantar la introducción del Álgebra, como una generalización de la Aritmética, en los dos últimos cursos de Educación Primaria, y aporta una concepción más amplia del Álgebra, poniendo énfasis en actividades que provoquen el desarrollo de interpretaciones procedimentales y, que a su vez expliciten



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la transición de las concepciones procedimentales a las estructurales. Apuesta, inicialmente, por un acercamiento Pre-Algebraico para los últimos cursos de Educación Primaria, Estándares 8 y 9: Patrones y funciones, y Álgebra, respectivamente, para los niveles de quinto a octavo. En este acercamiento al Álgebra la tecnología se propone también como muy un mediador muy interesante (Kaput, 1989).

Diferentes han sido las propuestas de trabajo en Pre-Álgebra, un buen ejemplo, aparte de las consideraciones del NCTM (1989), es el Proyecto “ArAl Project” (Malara y Navarra, 2003), sobre la búsqueda de caminos aritméticos que favorecen el pensamiento Pre-Ágebraico.

Early Algebra

Como ya hemos indicado “Early Algebra” es una propuesta de cambio curricular que propone introducir el Álgebra desde la Educación Primaria integrada en los otros bloques de contenido matemático de esta Etapa. Emerge como consecuencia de diversas investigaciones que se han desarrollado en la última década (Bastable y Schifter, 2007; Carraher y Schliemann, 2007; Kaput, 1998, 2000).

De manera concreta, se propone incorporar a las aulas de Educación Primaria actividades dirigidas a la observación de patrones, relaciones y propiedades matemáticas para de este modo desarrollar competencias propias del Álgebra. Tal y como señalan Blanton y Kaput (2005) son actividades que generan un ambiente de trabajo en Matemáticas en la que los alumnos exploran, modelizan situaciones, hacen predicciones, discuten, argumentan y comprueban ideas además de practicar habilidades de cálculo. En definitiva, se trata de desarrollar simultáneamente el pensamiento numérico y el algebraico desde la Educación Primaria, con la finalidad de desarrollar un aprendizaje con comprensión que facilite el estudio posterior del Álgebra en la Educación Secundaria.

En sentido amplio la expresión “Early Algebra” considera el Álgebra en una concepción amplia que abarca el estudio y generalización de patrones y relaciones numéricas, el estudio de relaciones funcionales, el desarrollo y la manipulación del simbolismo, el estudio de estructuras abstraídas de cálculos y relaciones, y la modelización (Kaput, 1998, 2000; Schliemann, et al., 2003), comprende en definitiva la instrucción a alumnos de 6 a 12 años tanto del razonamiento algebraico como de las relaciones algebraicas.

Veamos algunos antecedentes. A finales de los ochenta, encontramos autores que ponen de manifiesto que los alumnos pueden resolver problemas de Álgebra antes de conocer el uso de la notación algebraica, y los estudiantes pueden trabajar con variables y las reglas de la aritmética antes de tener un pensamiento algebraico (Harper, 1987).

A finales de los noventa se comienza a aportar evidencias de que en ciertas condiciones de trabajo los alumnos desde muy jóvenes pueden hacer mucho más en Matemáticas de lo que se les suponía previamente. De esta manera, se observa que ciertas actividades matemáticas que implicaban modos de pensamiento más elevados podían ser resueltas por los alumnos con el apoyo o no de la tecnología (Lins y Kaput, 2004). En el caso del Álgebra, además, se tiene conciencia de que el pensamiento involucrado en la actividad algebraica incorpora significados nuevos y más amplios que los desarrollados para la Aritmética y que estos necesitan de un periodo prolongado de tiempo para consolidarse cognitivamente.

Estas ideas toman cuerpo en forma de directrices para los diseños del Currículo de Matemáticas de Educación Primaria y tiene su mayor auge en los comienzos del siglo XXI, asociada a los resultados de estas investigaciones, pero de manera especial, a la recomendación del NCTM (2000),


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de que el desarrollo del pensamiento algebraico sea abordado desde los primeros años de escolarización.

Más recientemente algunas investigaciones sitúan el origen de las dificultades y errores en Álgebra en el tipo de enseñanza recibida, al menos en ciertos contenidos y modos de pensamiento algebraicos, tratando de mostrar de paso que los alumnos de Educación Primaria poseen ciertas capacidades para comprender nociones algebraicas elementales y utilizar modos de pensamiento algebraicos en el desarrollo de ciertas actividades algebraicas (Blanton y Kaput, 2005; Carpenter et al., 2003; Carraher y Schliemann, 2007; Kaput, 2000).

No obstante, aunque el comienzo de esta propuesta es reciente, su origen lo encontramos en la Escuela Soviética en la década de los cincuenta, en la que se hace patente la posición de (Vygotsky, 1973), en relación con la interacción social, los procesos de interiorización y la “Zona de Desarrollo Próximo”, para poner de manifiesto que el aprendizaje precede al desarrollo (Davydov, 1962 y 1991; Freudenthal, 1974). En Davydod (1991) encontramos trabajos que nos muestran como los estudiantes de Educación Primaria pueden utilizar la notación y técnicas algebraicas por ellos mismos; por ejemplo, en Bodanskii (1991) se muestran resultados en la que los estudiantes de Educación Primaria aprenden a representar y a encontrar correctamente el valor numérico de la incógnita en problemas de ecuaciones de primer grado. Más recientemente, Dougherthy (2007) ha implementado en Estados Unidos ideas de los trabajos de Davydod. Los resultados descritos por Dougherthy sugieren que el enfoque con cantidades numéricas o de magnitudes es provechoso como un camino hacía el desarrollo del Pensamiento algebraico, incluso con alumnos muy jóvenes.

Podemos decir, que la propuesta de adelantar a la Educación Primaria el desarrollo de ciertos aspectos del pensamiento algebraico, tales como la observación de patrones, relaciones y propiedades matemáticas, es para unos autores consecuencia de que éstos son aspectos propios del pensamiento de los niños y, para otros, porque estos cambios de pensamiento, muy útiles en las maneras de pensar matemáticamente, pueden ser desarrollados utilizando herramientas tales como notaciones o diagramas que permiten actuar a los alumnos en un nivel mayor de generalidad y pueden ser promovidos en el contexto aritmético propio de esta Etapa Educativa (Lins y Kaput, 2004).

Hacemos ahora algunas consideraciones sobre estas dos propuestas. “Early-Algebra”, sugiere un aprendizaje con comprensión de las Matemáticas que facilite el aprendizaje del Álgebra. En este sentido no hay diferencia con la propuesta que se hace desde Pre-Álgebra. “Early-Algebra” considera también que ciertos modos de pensamiento algebraicos pueden emerger con naturalidad de las matemáticas del currículo de la Educación Primaria, enriqueciendo las matemáticas de esta etapa y facilitando el desarrollo conceptual de matemáticas más profundas en esta etapa. Ahora bien la propuesta no caracteriza cuáles son esos modos de pensamiento algebraico y cuando describe alguno de ellos son en realidad modos de pensamiento numérico.

En ambos casos las propuestas Pre-Álgebra y “Early-Algebra”, son enfoques relacionados con la enseñanza y aprendizaje de ciertos aspectos de las Matemáticas antes de la enseñanza formal del Álgebra, pero que presentan diferencias significativas. Mientras la finalidad de Pre-Álgebra es facilitar la transición de la Aritmética al Álgebra, dadas las dificultades y los errores que tienen los alumnos en Álgebra, como consecuencia de un tratamiento insuficiente de lo aritmético y lo numérico en la Educación Primaria, “Early-Algebra” apuesta por incorporar modos de pensamiento algebraico al desarrollo curricular de Educación Primaria como parte integrante del pensamiento matemático de esta etapa educativa.

La supuesta visión más amplia del Álgebra que se formula en “Early-Algebra”, se ha ido desarrollando en estos últimos treinta años, y es considerada también en la propuesta de Pre-Álgebra (Usiskin, 1988; Socas y otros, 1989; Bednarz, et al, 1996; Drijvers y Hendrikus, 2003), y han



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propiciado diferentes enfoques, a lo largo de estos años. Estos enfoques han tomado como punto de partida ciertos aspectos del Álgebra para llegar al Pensamiento algebraico: resolución de clases específicas de problemas, el estudio de estructuras algebraicas, las reglas para la transformación y resolución de ecuaciones, la generalización de leyes de los conjuntos numéricos o la introducción del concepto de variable y de función (Bednarz et al., 1996).

Desde el punto de vista curricular si podemos decir que la diferencia es significativa, para Pre-Álgebra la enseñanza formal del Álgebra debe comenzar en la Educación Secundaria Obligatoria mientras que para “Early-Algebra” debe comenzar en la Educación Primaria (Carraher y Schliemann, 2007). Y también que la propuesta de “Early-Algebra” genera controversia, como hemos indicado, con algunos resultados obtenidos en Álgebra en la década de los ochenta y noventa que sugerían posponer el estudio del Álgebra para los últimos cursos escolares, al ponerse de manifiesto en diferentes investigaciones ciertos cortes didácticos o rupturas cognitivas entre el pensamiento aritmético y el algebraico.

También conviene tener en cuenta que en la misma propuesta de “Early Algebra” nos encontramos con dos posiciones que son relevantes. Unos, sugieren que el Pensamiento algebraico está explícito en la Aritmética, es decir, ésta necesita del pensamiento algebraico y por tanto es difícil hacer Aritmética sin Álgebra, en consecuencia, se debe promover en la Educación Primaria el desarrollo de los aspectos algebraicos que ya posee el pensamiento de los niños (Hewitt, 1998; Mason, et al 2005). Otros, en cambio, opinan que lo que debemos hacer es fomentar cambios en la forma de pensar de los niños desde la Educación Primaria que les conduzcan al pensamiento algebraico y que estos pueden ser promovidos mediante el uso de ciertas herramientas, como notaciones, diagramas, gráficos o la misma tecnología, que les permitan realizar actividades que impliquen un nivel más elevado de generalidad (Lins y Kaput, 2004).

Hemos de señalar que tanto la orientación de Pre-Álgebra como la “Early Algebra” se encuentran en una fase de desarrollo inicial en los tres ámbitos que caracterizan la Educación Matemática: epistemológico, cognitivo y didáctico. No tenemos respuestas claras sobre qué tareas y formas de aprendizaje son algebraicas y cuáles no, qué tipo de evidencias se necesitan para evaluar la presencia de pensamiento algebraico y qué enfoques pedagógicos y tipo de formación de profesores deben promoverse (Carraher y Schliemann, 2007; Kieran, 2007).

Al no ser conscientes de qué tareas y que aprendizajes son algebraicos y cuáles no, se pone de manifiesto que la pretendida separación entre la Aritmética y el Álgebra no están claramente delimitada en términos epistemológicos, lo que si sabemos es que una posición que potencie únicamente un pensamiento operacional para la Aritmética acentúa y prolonga las dificultades de los alumnos para desarrollar un pensamiento estructural en el Álgebra, y este hecho presente el gran parte de los currículos de la Educación Obligatoria acrecienta la separación entre la Aritmética y el Álgebra que se manifiesta en término de dificultades y errores para los alumnos. Esto ha llevado a las dos orientaciones: Pre-Álgebra y “Early Algebra”, a buscar una transición que integre aspectos del enfoque estructural y que rompa el énfasis en el pensamiento operacional dominante, pero se hace, en ambos casos, desde planteamientos diferentes. Pre-Álgebra, desde los estadios de desarrollos cognitivos del Álgebra, manteniendo el estudio formal del Álgebra en la Educación Secundaria y proponiendo una transición al pensamiento estructural en los últimos años de Educación Primaria, con actividades que minimicen el pensamiento operacional dominante. Por el contrario para “Early Algebra” no cuenta tanto los estadios de desarrollo cognitivo y se sitúa en una interpretación particular de la dualidad proceso/objeto para los objetos aritméticos y algebraicos y propone trabajar con actividades que faciliten la transición e integración de ambas, mediante un enfoque estructural que no potencie el énfasis operacional predominante en los primeros cursos de Educación Primaria y que favorezca el desarrollo de modos de pensamiento algebraicos. El objetivo es en definitiva simultanear y promover el pensamiento algebraico en relación con el aritmético.


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Para los propulsores de “Early Algebra”, las distinciones entre Pre-Álgebra y “Early Algebra”, no debe provocar un debate sobre la terminología y mucho menos crear una división entre partidarios o no partidarios de uno u otro enfoque (Carraher y Schliemann, 2007), aunque esto no parece claro que sea así.

Debemos considerar a Pre-Álgebra y a “Early-Algebra como líneas de investigación que buscan información relevante para establecer la relación y a la transición entre la Aritmética y el Álgebra, debido a la variedad de cuestiones que se necesitan explorar. Entre ellas está la determinación del papel que debe jugar la incorporación del Álgebra en el currículo de Educación Primaria y la influencia de este cambio curricular en la enseñanza del Álgebra en la Educación Secundaria. Surgen también en estas propuestas otros campos de investigación que tienen enorme interés y es la necesidad de tomar en consideración la formación inicial y permanente del Profesorado de Educación Primaria en relación con el Lenguaje algebraico, ausente en general en la formación del profesorado de esta etapa educativa en Matemáticas. En Palarea y Socas (2003), se esboza una propuesta de introducción del Álgebra, en términos de Pre-Álgebra en la formación Matemática y Didáctica de los futuros profesores de Educación Primaria con la intención de ayudarles a conocer y reflexionar sobre la relación entre el conocimiento numérico y algebraico y profundizar en el conocimiento didáctico que le facilite su implementación con alumnos de Educación Primaria.

3.2 Búsqueda de significados para el Álgebra

La búsqueda de significados para el Álgebra ha sido una constante en los treinta últimos años de investigación en Álgebra y ha estado presente en la mayoría de las investigaciones (Kaput, 1989; Lins, 2001; Kieran, 1992, 2007). Diferentes autores han tratado de identificar las diferentes fuentes de significados para los sistemas de representación semióticos del Álgebra (Kaput, 1987; Socas y Palarea, 1997; Radford, 2004; Kieran, 2007), en todas ellas encontramos fuentes internas asociadas a la propia disciplina: operaciones, estructuras y procesos del Álgebra que implican letras y símbolos y en el planteamiento y resolución de problemas contextualizados. Y fuentes externas, relacionadas con: actividades lingüísticas, metáforas, imágenes, experiencias vividas…, llegando inclusive hasta el lenguaje de los gestos y del cuerpo humano.

En esta búsqueda de significados para el Álgebra, del resultado de las investigaciones en estos últimos treinta años, sobresalen tres cuestiones esenciales: las múltiples representaciones, el planteamiento y la resolución de problemas algebraicos contextualizados y el papel referencial del Álgebra en las Matemáticas

Múltiples representaciones

La semiótica ha generado un interés reciente en la Educación Matemática, al tomar los investigadores conciencia de que la actividad matemática es esencialmente simbólica y de que los signos son portadores de convenciones y formas culturales de significación que hacen de la semiótica un campo apropiado para entender las relaciones entre los signos a través de los cuales piensan los individuos (Radford, 2006).

Por otra parte las representaciones semióticas y su papel en el aprendizaje de las Matemáticas constituyen una importante línea de investigación (Resnick y Ford, 1981), que se ha desarrollado con profusión en estos últimos treinta años. Entre las razones de su importancia podríamos citar, fundamentalmente, dos: la primera tiene que ver con las propias Matemáticas, en las que las representaciones son algo inherente a ellas, y la otra es de tipo psicológico, ya que las representaciones mejoran notablemente la comprensión en los alumnos (Vega, 1985).



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El papel de las Representaciones Semióticas múltiples en la formación de conceptos ha sido destacado por diferentes investigadores; en este sentido, Janvier (1987), Hiebert (1988), Kaput (1987, 1991), Duval (1993, 1995), Rico, Castro y Romero (1996), Palarea y Socas (1995 y 1998), Socas y Palarea (1996), han realizado experimentos y desarrollado aspectos teóricos, con la intención de aclarar los mecanismos de articulación que se dan dentro de un proceso de comprensión del conocimiento matemático.

El uso de Representaciones Semióticas múltiples constituye una recomendación al desarrollo curricular en casi todas las propuestas en términos parecidos a la recomendación de los estándares: Los estudios de Matemáticas deben dar oportunidad a los estudiantes para que puedan modelizar situaciones usando representaciones verbales, concretas, pictóricas, gráficas y algebraicas” (NCTM, 1989, 2000).

El planteamiento y la resolución de problemas algebraicos contextualizado

Las investigaciones resaltan la importancia que adquiere en los procesos de significación y comunicación en Educación Matemática “los ambientes en que se desarrolla la actividad matemática”. Estos resultados se ponen de manifiesto en el diseño instruccional de actividades que pretende cubrir tres aspectos esenciales en el Lenguaje Algebraico: conectar con el conocimiento informal situado de los estudiantes; preparar a los estudiantes para un desarrollo más sofisticado, abstracto, del conocimiento formal del Álgebra, y respetar los principios básicos de la autonomía intelectual del alumnado.

Se ha desarrollado en estos años la tendencia a utilizar como fuentes de significados la resolución de problemas contextualizados para generar y desarrollar en los alumnos el pensamiento algebraico con significado (Arzarello, 1992; Bednarz y Janvier, 1996; Bell, 1996).

Sobresalen en estas propuestas dos tendencias: la de resolución de problemas en ambientes de enculturación y la resolución de problemas como actividades o proyectos “Open-ended”.

Las investigaciones han puesto de manifiesto que la noción de socialización en una comunidad o cultura que resalta los valores de la misma, es central en el desarrollo de hábitos y destrezas y en la construcción de significados en esa cultura. Schoenfeld (1992) llamó “enculturación” a estos valores o formas propias de proceder en la comunidad o cultura matemática. A los alumnos en su trabajo en Matemáticas debe inculcárseles hábitos y actitudes propios de la comunidad como la perseverancia en el trabajo, el interés, la motivación, la flexibilidad, etc. en la resolución de problemas. Las investigaciones sugieren que los currículos deben proponer ambientes de trabajo que resalten el espíritu de búsqueda, de investigación, etc., propios del quehacer matemático.

Se sugiere también la necesidad de incorporar al desarrollo curricular del Álgebra actividades y proyectos “Open-ended”, cuestiones o proyectos de resolución abierta donde el estudiante puede dar una serie de respuestas correctas. Considerándose dentro de los problemas “Open-ended” a una larga clase de problemas abiertos tanto en los datos como en el objetivo, proyectos de trabajos, la mayor parte de problemas de la vida real, el planteo de problemas a partir de unos datos, etc. Situaciones en las que se insiste más en el proceso que en la solución. Sin embargo cabe resaltar que las actividades y proyectos “Open-ended” presentan cierta complejidad a la hora de evaluar al tener que escoger entre los diversos caminos antes que en las soluciones mismas. Aparecen de este modo aspectos como “la fluidez” entendida como el número correcto de diferentes respuestas o aproximaciones a la resolución del problema; “la originalidad” entendida como presentaciones “poco comunes” de la actividad; o “la flexibilidad” entendida como el número de presentaciones matemáticamente diferentes; etc.


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El papel referencial del Álgebra en las Matemáticas

El papel referencial del Álgebra en las Matemáticas se manifiesta en múltiples facetas, pero sobresalen tres que han tenido repercusión en el desarrollo curricular: el lenguaje, los procesos de pensamiento algebraico y nuevos aspectos del desarrollo matemático.

En relación con el Lenguaje en Rojano (1994), se muestra la investigación de la Matemática escolar considerada como lenguaje en los años 80 y 90, frente a las tendencias de los 70, que estuvo más centrada en la construcción de conceptos. La autora plantea algunas de las implicaciones didácticas de esta nueva localización de la Matemática escolar y, en especial, se refiere al lenguaje algebraico por ser el Álgebra simbólica el lenguaje básico de la Matemática. La autora pone de manifiesto como en las dos últimas décadas, se va despertando el interés por los aspectos semánticos y sintácticos de la Matemática para poder explicar las observaciones hechas acerca de las interpretaciones y usos que los estudiantes hacen de los símbolos matemáticos, y, se va observando un cambio significativo en la educación matemática que lleva a considerar esta disciplina como un lenguaje.

Una aportación relevante es la de Freudenthal (1983), que, desde su análisis fenomenológico, recompone los principales elementos conceptuales y organizativos del lenguaje algebraico y realiza un análisis profundo sobre las diferencias y similitudes del lenguaje algebraico con la lengua materna y la Aritmética.

También en la interacción del lenguaje algebraico con otros lenguajes se encuentra los estudios de Filloy (1991 y 1993) y Filloy-Rojano (1991) en los que se analizan problemas de traducción de lenguajes, del natural al algebraico y viceversa, en el marco de tendencias cognitivas presentes en el aprendizaje de conceptos más abstractos.

El estudio de la sintaxis algebraica como especificidad de la sintaxis matemática, al considerar el Álgebra simbólica como el lenguaje básico de la Matemática, es abordado en los trabajos del modelo de Kirshner. Su propuesta teórica, interpreta las manipulaciones algebraicas como un lenguaje en el sentido de Chomsky (1957) y adapta los modelos de la lingüística generativa transformacional al estudio del Álgebra (Kirshner, 1985, 2001).

Existen, también, investigaciones con una fuerte orientación didáctica que aplican los conocimientos actuales sobre la psicolingüística al estudio de la Matemática, como es el caso de Pimm (1987), que además ubica su trabajo concretamente en la Matemática como lenguaje; este autor pretende construir la Matemática en términos lingüísticos con el elemento básico de la "metáfora" entendida como comprender y experimentar una cosa en términos de otra (Lakoff y Johnson, 1980). Plantea el tratamiento del aprendizaje de la Matemática como el de una lengua extranjera no como el de la lengua materna en el sentido, que el centro de atención no sea el propio lenguaje sino la "competencia comunicativa" del mismo.

Se observa que los aspectos semántico y sintáctico del lenguaje matemático, se han convertido en centro de atención de las investigaciones. Y que la variedad de enfoques de la investigaciones de carácter lingüístico son consecuencia de que las bases teóricas de éstas se corresponden con diferentes corrientes de la psicolingüística y son, además, una manifestación de la ausencia de un paradigma para el estudio del sistema matemático de signos que, abarque sus aspectos sintáctico, semántico, pragmático y sociocultural.

En relación con los procesos del pensamiento algebraico: la sustitución formal, la generalización y la modelización, son los procesos característicos del lenguaje algebraico que se



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utilizan también en otras partes de las Matemáticas y en otras ramas del saber. Con anterioridad hemos visto que diferentes estilos de enseñanza del Álgebra toman como base los procesos de generalización y modelización.

La generalización y la modelización han sido analizadas por múltiples autores. Por ejemplo, para Mason (1996), la generalización es el corazón de las matemáticas y consiste en ver tanto los casos particulares en la generalidad como ver la generalidad a través de los casos particulares. Para otros como Radford (1996), la generalización es un procedimiento que llega a una conclusión que, posteriormente, hay que validar, a partir de una sucesión de hechos observados. De esta manera, todo proceso de generalización conlleva una fase de validación.

Sin embargo, la modelización implica, en primer lugar, una fase de formulación que se completa con una de validación, de manera que durante la fase de formulación se examina un fenómeno o situación para establecer alguna relación entre las variables implicadas. Estas relaciones proceden de las observaciones o simplemente de conjeturas hechas sobre la situación bajo estudio. Además, comprende una serie más o menos compleja de transformaciones u operaciones matemáticas que, por último, lleva a un modelo expresado simbólicamente. La fase de validación consiste en comprobar la validez del modelo regresando a la realidad que se supone representa, Janvier (1996).

Para Freudenthal (1983), todas las Matemáticas están impregnadas de la sustitución formal. Así, la sustitución formal es un instrumento de cálculo algebraico importante a causa de su amplio campo de aplicaciones, que se manifiesta en diferentes procesos matemáticos tales como: generalización, simplificación, eliminación, complicación estructural, particularización; se puede afirmar que para Freudenthal, la modelización y la generalización son partes explicitas de un proceso más general que él describe como sustitución formal.

En Ruano (2003) encontramos un estudio sobre los procesos de sustitución formal, generalización y modelización en Matemáticas con alumnos de Educación Secundaria, en el que se analizan las dificultades de estos alumnos, en términos de errores, en los diferentes procesos, y, se comparan los resultados de los alumnos de ESO con los de Bachillerato, aportando algunas implicaciones didácticas para su implementación en estas etapas educativas.

En los últimos treinta años la Matemática finita se ha convertido en parte integrante de los conocimientos necesarios para diferentes disciplinas científicas, y en particular la Matemática discreta, especialmente relacionada con el ordenador. De esta manera tópicos como: combinatoria, grafos, matrices, problemas de optimización, fractales, procesos iterativos y recursivos, etc., aparecen como nuevos contenidos en algunos currículos. Los sistemas dinámicos nacen del planteamiento de problemas del mundo físico por medio de ecuaciones diferenciales y constituye una matemática próxima a la realidad, pero una barrera infranqueable se levantaba entre la facilidad con que era posible analizar los llamados sistemas dinámicos lineales y la dificultad o imposibilidad de los no lineales. La ruptura de esta situación se produce a causa de los ordenadores que hicieron posible simular el movimiento de los sistemas no lineales, mostrando que generaban una “dinámica caótica” esencialmente distinta a la lineal pero presente en la naturaleza, tal es el caso de la “geometría fractal”, que analiza procesos y formas geométricas cada vez más próximas a las generadas por la vida. Muchos aspectos de esta teoría en sus formas más simples e intuitivas, como los fractales pueden ser utilizados para desarrollar aspectos del Pensamiento Algebraico como la sustitución formal, la generalización y la modelización. Por otra parte, la teoría de grafos es un lenguaje útil en diversas disciplinas de la ciencia y es una teoría de relaciones, que potencia procesos de modelización que pueden ser expresados en el lenguaje de los grafos y en el lenguaje algebraico.


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3.3 Los mediadores tecnológicos

Mención especial, dentro de la revisión de las investigaciones en Álgebra, merecen los recursos tecnológicos: calculadoras, ordenadores o tecnologías de la información y la comunicación (TIC). En el comienzo del siglo XXI no podemos obviar que las nuevas tecnologías tienen que jugar un papel significativo dentro de la enseñanza de las Matemáticas. Vemos en este apartado, algunas referencias a las calculadoras y los ordenadores que representan un mediador didáctico que bien utilizado, puede ayudar en el desarrollo del aprendizaje significativo de los conceptos algebraicos.

En Kieran y Filloy (1989), se hace referencia al enfoque mediante computadoras. Presentan una revisión de los principales trabajos realizados en la década de los ochenta. Citan trabajos realizados en distintos entornos como el Logo, Pascal y LSE (Samurcay, 1985), Logo Math (Hoyles, Sutherland y Evans, 1985, Sutherland y Hoyles, 1986, Sutherland, 1987 a y b ) para el análisis del trabajo de los estudiantes relacionado con el concepto de variable.

El papel de la computadora en el aprendizaje de los conceptos algebraico parece aportar ventajas tales como: aprovechar el tiempo en actividades que edifiquen la comprensión de conceptos algebraicos claves y habilidades de resolución de problemas; cambiar las notaciones para representar las relaciones y los procesos matemáticos y enfatizar los procesos y las acciones en la enseñanza del Álgebra. Cita a Sfard (1987), como autora de estudios que confirman que "la interacción entre el conocimiento conceptual y procesual y el aprendizaje continuará siendo una cuestión absolutamente central sobre la que la investigación puede aconsejar las decisiones curriculares" y que existe "predominio significante entre los estudiantes de secundaria de las concepciones operacionales sobre las estructurales" y, por tanto, con la ayuda de las computadoras se pueden desarrollar enfoques nuevos de la enseñanza del Álgebra que está más en sintonía con una de las maneras de pensar y aprender Álgebra preferida por el estudiante.

Podemos considerar que la investigación sobre la enseñanza-aprendizaje del Álgebra en ambientes computacionales se desarrolla con profusión en la década de los ochenta con investigaciones relacionadas tanto con aspectos operacionales, con ambientes basados en Logo, Pascal, LSE y Basic, como con aspectos estructurales.

En la década de los noventa observamos cómo programas de ordenador creados fundamentalmente con objetivos de hacer matemáticas -manipuladores simbólicos tales como DERIVE, MAPLE, MATHEMATICA-, utilizados convenientemente pueden ser válidos para enseñar los conceptos del Álgebra. Algunos programas cuyos fines no son exclusivamente educativos, como por ejemplo hojas de cálculo (EXCEL, WORKS) han sido utilizadas en experiencias educativas destinadas a desarrollar aspectos fundamentales del pensamiento algebraico con algún éxito (Rojano, 1996).

Otros investigadores centran sus trabajos con programas de ordenador, creados con fines educativos más generales, en desarrollar situaciones problemáticas con entornos interactivos mediante los cuales se incita a los alumnos a construir y hacer uso de ideas algebraicas para resolver problemas propuestos, por ejemplo, el LOGO, poniendo de manifiesto que es un ambiente apropiado para propiciar un acercamiento a ideas algebraicas Ursini (1994). También, en algunos casos, se ha elaborado software específico para la enseñanza del Álgebra, tal es el caso del programa CARAPACE, empleado en el desarrollo de un proyecto de investigación realizado durante siete años con alumnos de 12-15 años. La consideración que se hace del Álgebra en dicho proyecto es exclusivamente funcional (Kieran et al, 1996).

En Rojano (2003), encontramos la incorporación de entornos tecnológicos de aprendizaje a la



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cultura escolar: Se trata de un proyecto de innovación educativa en matemáticas y ciencias en las escuelas secundarias de México.

En Cedillo y Kieran (2003), se analizan el trabajo de profesores que inician a los estudiantes al Álgebra mediante el uso de una calculadora. Estos manifiestan las ventajas de los estudiantes, así como una actitud más positiva hacía las Matemáticas entre los estudiantes más y menos avanzados y como ellos cambian sus estilos de enseñanza a un aprendizaje más centrado.

El desarrollo de los entornos tecnológicos esta asociado en los últimos años a la creciente implementación de las múltiples representaciones y a la incorporación de los Programas de Cálculo Simbólico (PCS) (Computer Algebra System, CAS) que generan nuevas aproximaciones al Álgebra escolar.

Se observa con relación a la enseñanza del Álgebra, que los recursos tecnológicos amplían la consideración habitual del Álgebra como un lenguaje. La facilidad de obtener diferentes formas de representación para expresar relaciones cuantitativas influirá tanto en la enseñanza como en el aprendizaje del Álgebra.

El potencial del ordenador para crear ambientes de aprendizaje que difícilmente podrían ser logrados sin disponer de este recurso está fuera de duda. Estos ambientes computacionales requieren, unas veces, la elaboración de programas o códigos para establecer secuencias que permiten desarrollar aspectos operacionales del conocimiento algebraico, así como hacer predicciones. Otras, estos ambientes se centran en las relaciones entre distintas representaciones de objetos matemáticos, poniendo énfasis en los aspectos estructurales, y a veces combinan ambos.

Podemos decir que la investigación en ambientes computacionales es un dominio emergente de la investigación en pensamiento algebraico, pero que está aún en sus inicios al no disponer de información respecto a los efectos en el aprendizaje a largo plazo.

Las investigaciones en entornos tecnológicos enfatizan que la inserción de los Programas de Cálculo Simbólico (PCS) en las clases de Álgebra no elimina las técnicas algebraicas de lápiz y papel, sino todo lo contrario, y que el uso de esta tecnología como herramienta didáctica generan discusiones matemáticas que generalmente no ocurren en las clases de Álgebra cuando solamente se utilizan lápiz y papel, pero advierten, también, que en estas discusiones el papel del profesor es de crucial importancia.

3.4 Organización de la enseñanza del Álgebra

En Kieran (1992, 2006, 2007), se pone de manifiesto que la investigación llevada a cabo con relación a la enseñanza del Álgebra en la Educación Obligatoria ha sido escasa. No obstante, en los estudios realizados se detecta que el acercamiento al Álgebra en la enseñanza se ha hecho, en general, con concepciones estructurales. Lo mismo ha ocurrido con las propuestas recogidas en los libros de texto, aunque sus guías no están fácilmente disponibles. Señala también la autora las dificultades que existen actualmente para que los profesores puedan aprender de los hallazgos de la investigación y cómo aplicarlos en la instrucción. Algunas de las revistas de investigación en educación matemática tienen como metas específicas expresar hallazgos cognitivos y discuten sus implicaciones instruccionales. Sin embargo, muchos de los artículos aparecen escritos para otros investigadores, no para el profesorado. Por otra parte, los profesores tienen muy poco tiempo para buscar los resultados de las investigaciones; muchos realizan la enseñanza que está en el libro de texto, pero es posiblemente que este vacío acerca de cómo los profesores interpretan y deliberan sobre el contenido de las investigaciones, una de las áreas con mayor necesidad de atención investigadora.


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Ahora bien, del análisis de las diferentes propuestas curriculares podemos observar distintas tendencias en los currículos del Álgebra en la Educación Secundaria Obligatoria. Hasta la década de los ochenta se observan diferentes propuestas curriculares: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra como el estudio de métodos para resolver ciertos problemas concretos, Álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades y Álgebra como modelo estructural (Mason y otros (1985), Usiskin (1988); Socas y otros (1989)): En la década de los noventa surgen otras aproximaciones a la enseñanza del Álgebra en la Escuela Secundaria, que cambian sustancialmente con las propuestas de la década anterior: generalización, resolución de problemas, modelización y funciones, donde el aspecto funcional permanece en ambientes computacionales (Bednarz, Kieran, y Lee, 1996).

En la actualidad, también encontramos cuatro grandes enfoques del Álgebra escolar, como señala Drijvers y Hendrikus (2003): Álgebra como un medio para resolver problemas; Álgebra como el estudio de las funciones, es decir las relaciones entre variables; Álgebra como la generalización de relaciones y el estudio de patrones y estructuras; y Álgebra como un lenguaje, es decir, un medio de expresión de ideas Matemáticas.

No podemos afirmar que los resultados de la investigación hayan generado cambios profundos en las maneras de proponer el Álgebra en los currículos de la Educación Obligatoria, más bien podemos decir que son muy pocos los países y profesores que interpretan y desarrollan propuestas curriculares en forma de textos para las Matemáticas de Educación Primaria y Secundaria Obligatoria que incorporan aspectos relevantes de los resultados de la investigación en lenguaje algebraico al desarrollo curricular. No obstante, sí se observan cambios locales o de grupos de trabajo que enfatizan ciertos aspectos de las investigaciones. Por ejemplo, en algunas propuestas de desarrollo curricular del Álgebra, se ponen de manifiesto el uso de técnicas, procedimientos y criterios de secuenciación que parten de la estructura del contenido algebraico que queremos enseñar o de los resultados esperados del aprendizaje algebraico o de ambos a la vez. Estos usos tienen como finalidad concretar y secuenciar las intenciones educativas para el Álgebra partiendo del análisis del contenido o de los resultados esperados. Igualmente, dentro del análisis del contenido aparecen las referencias históricas y epistemológicas del Álgebra y del análisis de tareas sobresale las consideraciones al funcionamiento cognitivo del alumnado en términos de dificultades, obstáculos y errores que subyacen en la secuencia de ejecuciones de las tareas algebraicas.

Veamos, a modo de ejemplos, el desarrollo curricular en algunos países:

En España, la propuesta que se contempla para el Lenguaje Algebraico en el currículo de Matemáticas para la ESO (MEC, 1989, 2006), trata de la simbolización de las relaciones numéricas generales, de las estructuras matemáticas y de las operaciones de esas estructuras. En este sentido, el álgebra escolar se interpreta como una "Aritmética generalizada" y como tal involucra la formulación y manipulación de relaciones y propiedades numéricas. El Álgebra se contempla en estos diseños como un Bloque Conceptual, además de aparecer de manera transversal a lo largo de todos los Bloques. No obstante, en la propuesta del 2006, aparecen algunos elementos significativos: “El trabajo con patrones y relaciones, la simbolización y la traducción entre lenguajes son fundamentales en los primeros cursos”, “En la construcción del conocimiento los medios tecnológicos son herramientas esenciales para enseñar, aprender y en definitiva, hacer matemáticas”, “La resolución algebraica (de ecuaciones) no se plantea como el único método de resolución y se combina también con otros métodos numéricos y gráficos y mediante el uso adecuado de la tecnología de la información”…

En Estados Unidos, las propuestas de los Estándares de la NCTM (1989), sugiere adelantar la introducción del Álgebra, como una generalización de la Aritmética, en los dos últimos cursos de Educación Primaria, y aporta una concepción más amplia del Álgebra, poniendo énfasis en actividades que provoquen el desarrollo de interpretaciones procedimentales y, que a su vez expliciten la transición de las concepciones procedimentales a las estructurales. Apuesta, inicialmente, por un



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acercamiento Pre-Algebraico para los últimos cursos de Educación Primaria, Estándares 8 y 9: Patrones y funciones, y Álgebra, respectivamente, para los niveles de quinto a octavo. En este acercamiento al Álgebra la tecnología se propone también como un mediador muy interesante (Kaput, 1989).

Diez años después, la tendencia del NCTM (2000), recogida en los “Principios y Estándares para la Educación Matemática”, mantiene y amplía las ideas desarrolladas en la propuesta del 1989, de manera que en el Estándar número 2, aborda el Álgebra y propone que todos los estudiantes deberían aprender Álgebra desde el principio de la Educación Obligatoria, es decir, desde los grados K al 12, añadiendo que desde los primeros años de la escolarización los programas de Matemáticas deberían orientarse a capacitar a los estudiantes para: comprender patrones, relaciones y funciones; representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas utilizando símbolos algebraicos; usar modelos matemáticos para representar y comprender relaciones cuantitativas; y analizar los cambios tanto en contextos reales como abstractos. Este adelanto del Álgebra a los primeros curso va a permitir ayudar a los alumnos a “construir una base sólida de aprendizaje y experiencia como preparación para un trabajo más sofisticado en el álgebra de los grados medio y superior” (NCTM, 2000). Hay en este documento una apuesta decidida por “Early Algebra”.

En el Reino Unido, por ejemplo, los textos de Álgebra del South Notts Projects (Bell y otros, 1980) se basa en una "enseñanza con significado", que propone la utilización de modelos concretos para la resolución de ecuaciones lineales. Asimismo crea situaciones concretas con el propósito de desembocar en el planteamiento de las ecuaciones mencionadas. Los textos del NMP de 1987, serie inglesa de textos de Matemáticas para la Secundaria, a la que contribuyeron Harper y Küchemann, entre otros, presentan el Álgebra como un curso basado en la idea de desarrollar sucesivamente las nociones de letras como incógnitas específicas y como datos integrados en una secuencia gradual desde lo procedimental a lo estructural. El alcance del impacto cognitivo del planteamiento de estos textos no ha llegado a ser investigado, pero sí algunos elementos de este acercamiento, que han mostrado algunos signos prometedores para la enseñanza del Álgebra.

En Holanda, la investigación y desarrollo del currículum en el marco de la Educación Matemática Realista (RME), cuyo objetivo es desarrollar vías significativas para la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas con sentido, considerando las Matemáticas como una actividad humana (Freudenthal, 1991), y las propuestas de los estándares de la NCTM (1989), forman la base para el enfoque hacía el Álgebra en el proyecto “Las Matemáticas en contextos” (MIC). En este proyecto los estudiantes aprenden a describir las relaciones entre variables con una variedad de representaciones y deben ser capaces de conectar las representaciones. El Álgebra se utiliza para resolver problemas y los estudiantes deben realizar elecciones inteligentes sobre qué representación algebraica utilizar. En la resolución de problemas, el Álgebra (su estructura y símbolos) no es un objetivo en sí mismo, es una herramienta para resolver problemas. Los problemas son problemas realistas que surgen del mundo real y se presentan contextualizados. Podemos señalar que el Pensamiento Algebraico prima sobre la manipulación algebraica (Reeuwijk, 1995).

La tendencia francesa en el marco de la ingeniería didáctica queda bien reflejada en trabajos como los de Chevallard (1990), en los que muestra una diferenciación entre la enseñanza “funcional” del Álgebra y la enseñanza “formal”. El autor es partidario de que la enseñanza debe ser funcional. Pero ¿qué significa esto?, significa que el aprendizaje no se debe hacer “in vacuo”, es decir, sin objetivo. Cuando enseñamos de esta manera (formal) estamos haciendo una enseñanza que no es inútil pero sí incompleta y por tanto fuente de errores y obstáculos. Señala que en general en la enseñanza del Álgebra se hace más un planteamiento formal que funcional. En realidad lo que se hace en Álgebra no se sabe para qué sirve. En definitiva, el alumno tiene la sensación de que se hace porque lo quiere el profesor y con eso basta.


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3.5 Formación del profesorado de Álgebra

En la revisión de las investigaciones en Álgebra de Kieran (1992), esta manifestaba que sabemos muy poco sobre los diferentes acercamientos a la enseñanza del Álgebra, sobre cómo los maestros enseñan Álgebra y sobre sus concepciones y creencias acerca del Álgebra; la mayor parte de las investigaciones, hasta principio de los noventa, están dirigidas a estudiar los fenómenos de aprendizaje. Sin embargo, en Kieran (2007), señala que hay signos de que las investigaciones en Álgebra, en los últimos 15 años, han cambiado y existe un número creciente de trabajos sobre: el desarrollo profesional y la formación del profesorado (inicial y en activo) en Álgebra. Por ejemplo, investigaciones relacionadas con la formación inicial del profesorado de Álgebra las encontramos en (Zaskis y Liljedahl, 2002; Van Dooren y otros 2003; Sánchez y Llinares, 2003; Nathan y Patrosino, 2003…), o sobre los conocimientos y creencias de los profesores de Álgebra (Nathan y Koedinger, 2000), etc. Sin embargo, a pesar de este desarrollo significativo en relación con el principio de los noventa, quedan aún grandes áreas de investigación en Álgebra. Kieran (2007), señala cuatro focos importantes que necesitan de un esfuerzo investigador en Álgebra. En primer lugar, la necesaria búsqueda de modelos apropiados para observar y analizar las prácticas de la enseñanza del Álgebra. En segundo lugar, la necesidad de determinar nuevos caminos que permita incorporar el cuerpo de conocimientos sobre los aprendizajes en Álgebra al desarrollo profesional y a la formación inicial y permanente de los profesores de Álgebra. En tercer lugar, la necesidad de establecer interacciones entre el conocimiento de Álgebra de los profesores, su conocimiento pedagógico y la comprensión de los estudiantes del conocimiento algebraico, es decir, sitúa en tercer lugar la necesaria relación entre la enseñanza y aprendizaje del Álgebra. En cuarto lugar, ante el progresivo incremento del uso de la tecnología como herramienta para el aprendizaje del Álgebra, se necesitan más investigaciones sobre el determinante papel que juega el profesor en maximizar estos beneficios.

4. Consideraciones finales sobre Pensamiento Algebraico

En este apartado sobre consideraciones finales nos referiremos a diferentes cuestiones desarrolladas en el artículo, unas de carácter más generales, otras más específicas y otras más locales referidas al grupo de Pensamiento algebraico de la Universidad de La Laguna.

De manera general, las diferentes investigaciones realizadas sobre Pensamiento algebraico tratan de buscar respuestas a los principales interrogantes en torno a la naturaleza del Álgebra y a los procesos de pensamiento implicados, que faciliten procesos significativos de enseñanza-aprendizaje del Álgebra que permitan a los alumnos construir significados para los símbolos algebraicos y para su manipulación. Muchas son, sin embargo, las preguntas que aún hoy no tienen respuesta en el tratamiento del Álgebra en la Educación Obligatoria. Estas investigaciones ponen de manifiesto, en primer lugar, las implicaciones negativas que tienen para el aprendizaje del Álgebra, el considerar únicamente a la Aritmética como su antecesora; se ha puesto de manifiesto hasta la saciedad, que el Álgebra no se puede considerar únicamente como una simple generalización de la Aritmética; aprender Álgebra no es meramente hacer explícito lo que estaba implícito en Aritmética; el Álgebra supone un cambio en el pensamiento del estudiante y la dificultad para muchos principiantes de la transición desde lo que puede considerarse modo informal de representación y resolución de problemas, al modo formal. Y en segundo lugar, en la mayor parte de los trabajos referenciados se muestra la preocupación por la gran escasez de modelos de enseñanza del Álgebra así como de la literatura relacionada con las creencias y actitudes de los profesores de Álgebra.

También se puede observar que en ciertos desarrollos curriculares, se superan las versiones simplistas, claramente reflejadas en los programas de estudio y textos tradicionales, que consideraban la enseñanza del Álgebra elemental como una mera extensión de la Aritmética, y hay también un reconocimiento de que en la adquisición del lenguaje algebraico, ciertos cambios de concepción



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respecto de las operaciones que se realizan y de los objetos operados, juegan un papel fundamental. No obstante, las investigaciones también ponen de manifiesto la necesidad de hacer una distinción entre las dificultades cognitivas de los estudiantes y las cuestiones didácticas, esto es, qué podemos hacer para ayudar a los estudiantes en sus dificultades cognitivas. Tendríamos que plantearnos el importante reto de cómo organizar el material para capturar y sostener el interés para que los estudiantes puedan implicarse en los procesos intelectuales, identificados por los análisis cognitivos como necesarios o suficientes para adquirir conocimiento preciso del Álgebra. Por tanto, debemos diseñar unidades de aprendizaje que correspondan a unidades manejables tanto por los profesores como por los estudiantes.

A modo de consideraciones finales podríamos destacar tres razones principales que resaltarían el especial interés que hoy tiene el desarrollo del Pensamiento algebraico en los alumnos de la Educación Obligatoria.

La primera, es la continua y generalizada dificultad con que los estudiantes y profesores se enfrentan a la materia a pesar de tres décadas de reformas y desarrollos de planes de estudios. Es necesario, en la actualidad desarrollar marcos de trabajo que permitan hacer estudios rigurosos de los factores que subyacen en las dificultades de los estudiantes y profesores en la transición de la Aritmética al Álgebra, en el desarrollo del Pensamiento Algebraico y en la Resolución de Problemas Algebraicos.

La segunda, es la necesidad de caracterizar el Pensamiento algebraico, que podemos formular en la siguiente pregunta: ¿Qué es el Pensamiento algebraico y cuáles son las razones esenciales de la actividad algebraica que deben constituir las metas que tenemos para el aprendizaje de los alumnos en este campo? Esta caracterización del Pensamiento Algebraico permitirá señalar con claridad las metas para la educación de los alumnos en cada etapa educativa: “Early Algebra”, Prealgebra, Álgebra en la Educación Secundaria Obligatoria…

La tercera, es la necesaria coordinación de los diversos hallazgos de la investigación en Álgebra que existen en este campo. Es necesario contar con una visión integrada de los hallazgos de la investigación en Pensamiento Algebraico, como medio para fomentar el desarrollo curricular y la evaluación en Álgebra.

Ahora bien, las tres razones deben tomar en consideración que el desarrollo curricular en Álgebra en este siglo XXI, no puede ser ajeno a las consideraciones sociales y culturales: competencias generales y específicas, capacidades…; no puede ser ajeno a la tecnología: TIC, calculadoras…; y no puede ser ajeno a los cambios en la disciplina: caos (fractales), grafos, combinatoria, matrices, problemas de optimización, procesos iterativos y recursivos...

De manera más concreta, observamos del análisis de las cuestiones más relevantes de la investigación en Didáctica de las Matemáticas que tienen una mayor incidencia en el desarrollo curricular del Álgebra, que éstas se pueden concretar en poner énfasis en: los aspectos del lenguaje; los aspectos semióticos, facilitando el acceso a múltiples representaciones; los mediadores tecnológicos (calculadoras y ordenadores); los nuevos aspectos del desarrollo matemático: caos (fractales), grafos, etc.; resaltar el papel de los contextos; propiciar ambientes de enculturación en el trabajo de los estudiantes en Álgebra; tomar en consideración los procesos del pensamiento algebraico; proponer y desarrollar actividades y proyectos “open-ended” para el trabajo en Álgebra; iniciar las actividades de Álgebra desde la Educación Primaria Pre-Álgebra o “Early Algebra”; con la finalidad de profundizar en el análisis de contenidos y tareas algebraicas tomando en consideración el papel de los errores que se cometen ante las dificultades y los obstáculos de los estudiantes, y


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potenciar actividades prealgebraicas o algebraicas individuales y de grupo del alumnado, como base para la construcción del conocimiento algebraico a partir del conocimiento numérico.

Igualmente, podemos considerar que las propuestas de Pre-Álgebra y de “Early-Algebra” de incorporar el Álgebra al currículo de la Educación Primaria tienen como finalidad ayudar al desarrollo del pensamiento numérico y algebraico, facilitando la transición de la Aritmética al Álgebra, permitiendo organizar la enseñanza de la Aritmética y del Álgebra evitando saltos, rupturas o cortes didácticos entre ambas, que tantas dificultades y errores está ocasionando en el alumnado de la ESO, además de enriquecer, en general, la enseñanza de las matemáticas. Pudiendo concluir que también existe un cierto acuerdo general en la comunidad investigadora internacional en que el Álgebra debe tener un lugar en el currículo de la Educación Primaria, como Pre-Álgebra o como “Early-Algebra”, aunque la investigación sobre la integración en un sentido o en otro del Álgebra en el currículo escolar está todavía en desarrollo y se conoce aún poco. Sin embargo, algunos currículos nacionales como el español ha incorporado la iniciación al lenguaje prealgebraico en términos de iniciación a los números enteros negativos y al uso de ciertos aspectos de las letras como variable y como incógnita (Consejería de Educación, Cultura y Deportes de Canarias, 2007)

De manera más local, el grupo de Pensamiento algebraico de la Universidad de La Laguna (España), trabaja el Álgebra desde la óptica de la multiplicidad de vínculos que este pensamiento tiene con el pensamiento numérico y analítico, de manera que los problemas derivados de la enseñanza y aprendizaje de estos tres campos, numérico, algebraico y analítico, tienen muchos aspectos comunes y las bases teóricas y metodológicas para su estudio poseen también componentes afines.

Las investigaciones, ponen de manifiesto, la necesidad de progresar en Álgebra tomando en consideración tanto la concepción procedimental como la estructural, que, por otra parte, coincide con el desarrollo histórico del Álgebra. Sin embargo, aunque diferentes propuestas enfatizan las consideraciones estructurales del Álgebra, la mayoría de los estudiantes no alcanzan esta meta. Se tiene claro que el paso de la Aritmética al Álgebra queda determinado como el tránsito de lo procedimental a lo estructural, pero este tránsito podría conducir a lo mismo si no se interpreta correctamente.

Para algunos autores como Filloy y Sutherland (1996), se presenta una falsa disyunción cuando el aspecto relacional del pensamiento matemático quita mérito a su uso instrumental y viceversa; por ejemplo, cuando el aspecto de resolución de problemas se separa falsamente del conocimiento matemático.

Nuestro trabajo en Álgebra desarrolla una propuesta de transito de la Aritmética al Álgebra desde una perspectiva global que comprende el desarrollo del pensamiento operacional, estructural y procesual tanto en la aritmética como en el Álgebra, mediante un acercamiento semiótico al lenguaje algebraico que integre los contextos numérico y geométrico, en un marco del Álgebra como Lenguaje, en el que las fuentes de significado y los sistemas de representación juegan un papel determinante. Los sistemas de representación que se utilizan para dar significado del Lenguaje Algebraico, además de considerar su carácter conceptual y procedimental, abordan también la necesidad de considerar el Álgebra como una actividad más de los alumnos, y los signos, como un instrumento específico y mediador de la actividad.

Los alumnos comienzan desarrollando las bases del pensamiento algebraico: determinan semejanzas, diferencias, ordenan, clasifican, etiquetan… El Álgebra aparece como el lenguaje para la expresión y manipulación de generalidades. En la generalización se usan variables e incógnitas, fórmulas y ecuaciones en un marco de resolución de problemas. La generalización y la resolución de problemas son campos complementarios en la enseñanza del Álgebra, Radford (1996).



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Las aproximaciones que lleven a los estudiantes a la construcción de fórmulas o ecuaciones en las que se aprecie la generalidad de la misma, deben ser variadas: visualización; manipulación de figuras cuya construcción involucre el proceso de generalización facilitando la construcción de la fórmula; formulación de reglas recursivas que muestran cómo construir el siguiente término usando el precedente; y encontrar un patrón que lleve directamente a la fórmula…

En este trabajo los objetos del Álgebra son representados bajo diferentes registros semióticos (internos o externos al propio Lenguaje algebraico), aceptando que las operaciones de cambio entre ellos constituye una operación cognitiva básica, que permite analizar las dificultades, y errores conceptuales y de procedimiento, en los aspectos operacionales, estructurales y procesuales, y que la naturaleza abstracta del lenguaje algebraico debe ser entendida como un proceso caracterizado por diferentes etapas, reflejadas en los diferentes estadios de desarrollo que se dan en los sistemas de representación cognitivos, que se caracterizan como estadios semiótico, estructural y autónomo. Es en este desarrollo en el que entendemos la construcción del conocimiento conceptual y procedimental del Álgebra.

En este sentido, el modelo desarrollado permite profundizar en las dificultades y obstáculos que tienen los alumnos en el aprendizaje del lenguaje algebraico y posibilita nuevas maneras de enfocar el estudio de los errores, especialmente desde dos perspectivas:

• Los errores que tienen su origen en un obstáculo. • Los errores que tienen su origen en una ausencia de significado; a esta última, se le asigna dos

procedencias distintas, una, relacionada con las dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos y a los procesos de pensamiento matemático, y otra, relacionada con las dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales hacia el Álgebra.

Se trabaja además de propuestas de desarrollo curricular del Álgebra en la Educación Obligatoria, en la construcción de un marco teórico local para el estudio de lo errores en Álgebra desde el que tratarlos sistemáticamente, no en términos de proceder a una clasificación de los mismos sino en términos de dar una explicación de su origen a nivel del grupo e individualmente.

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La matemática y su relación con las ciencias como recurso pedagógico

Milagros Elena Rodríguez (Universidad de Oriente)

Fecha de recepción: 28 de junio de 2010 Fecha de aceptación: 18 de marzo de 2011

Resumen Para comprender cualquier fenómeno se necesita la matemática, ésta forma parte de la construcción de las ciencias, todas ellas creaciones del ser humano; por lo que para poder interpretarlas en toda su dimensión y que muchas puedan existir es necesaria la ciencia lenguaje del universo; pero la relación matemática-ciencias muchas veces está ausente en la enseñanza, sus conocimientos se dan de manera aislada, sin mostrar su cultura y utilidad. Como recurso didáctico se puede utilizar tal reciprocidad de manera amena, en cualquiera de sus formas para enriquecer la enseñanza, la praxis y formación del docente de matemática. Todo esto se puede hacer desde una pedagogía integral que aboga por un proceso educativo vivo y transdisciplinar que muestre el concierto de fantasías que entrelazan todas las ciencias, en mayor o menor intensidad.

Palabras clave Matemática, ciencias, recursos didácticos, pedagogía integral, transdisciplinariedad.

Abstract To understand any phenomena, Mathematics is needed; it becomes a part of the all sciences’ very schemata, all of these creations of human beings; so in order to interpret them in their whole dimensions and for them to exist, science, the universe’s language, is needed. But most of the times, the relationship mathematics-sciences is vetoed in the teaching of formal sciences, their contents are thought in an insulated way without displaying their culture and usefulness. As a pedagogical tool, such reciprocity can be used in a pleasant way, in any of its forms to enrich teaching, the praxis y the mathematics teacher training. All of this can be achieved through the applying of an integral pedagogy that pleads for a transdisciplinary, vivid educative process that shows the concert of fantasies that entwines all the sciences, whether on a major or a minor intensity.

Keywords Mathematics, sciences, didactic tools, integral pedagogy, transdisciplinarity.

El libro del universo está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin cuya mediación es humanamente imposible comprender ni una palabra.

Galileo Galilei (1564-1642)

La matemática y su relación con las ciencias como recurso pedagógico M. E. Rodríguez


1. Introducción

Las ciencias son un conjunto de conocimientos adquiridos por la humanidad, una necesidad del ser humano para su progreso y desarrollo, son un acto creativo del individuo. La gran mayoría de estas ciencias están relacionadas con la ciencia lenguaje del universo: la matemática. Ésta les ha aportado criticidad y les ha permitido el desarrollo de grandes teorías y aplicaciones; basta estudiar alguna de ellas en particular para ver su huella plasmada en el fantástico concierto de sus teorías, que da muestra del profundo poder de creación que tiene la figura más compleja del universo: el hombre.

Las ciencias tienen varias clasificaciones, en especial Carnap (2006) las divide en formales, naturales y sociales. Las primeras estudian las formas válidas de inferencia; las segundas tienen por objeto el estudio de la naturaleza y las terceras son todas las disciplinas que se ocupan de los aspectos del ser humano. En las primeras se encuentran la lógica y la matemática, que no tienen contenido concreto en oposición con el resto de las ciencias. En las naturales se encuentran la: astronomía, biología, física, geología, química, entre otras. Y en las ciencias sociales están la: filosofía, administración, antropología, política, demografía, economía, derecho, historia, psicología, sociología, entre otras.

Desde luego, existen otras clasificaciones de las ciencias como la de Bunge (2000) quién las cataloga como: ciencia formal y ciencia factual, la primera en función del enfoque que se da al conocimiento científico sobre el estudio de los procesos naturales o sociales, y la segunda al estudio de procesos puramente lógicos y matemáticos.

En todas las ciencias está presente la matemática y por tanto puede usarse la relación matemática-ciencias como recurso didáctico en cualquier nivel educativo. Cada una de las ciencias necesita de grandes enfoques pedagógicos para ser enseñadas, no se pretende hacer un recorrido histórico; sino dar pinceladas de cada una y mediante ejemplos abrir el abanico de posibilidades que ofrecen. Es menester volver la mirada sobre el estudio de la matemática viva en el aula, consustanciada con las grandes creaciones de la humanidad y con los procesos dialógicos de los discentes, según Uzuriaga, Vivian y Martínez (2006, p.268), hoy por hoy

cobra más importancia el problema de la Enseñanza-Aprendizaje de las Matemática, pues una buena metodología conllevaría a nuestros estudiantes a ver la matemática como una ciencia esencial, bonita, prioritaria y clave en el desarrollo social, económico y político del país y podría permitir la formación de nuevos cerebros matemáticos. Además, lograríamos que nuestros alumnos no sigan viendo a la Matemática aburrida, abstrusa, inútil, inhumana, muy difícil, como un conjunto de temas misteriosos, desconectados de la realidad, que no se entienden y sin ninguna aplicación y le quitaríamos a la matemática esa reputación de presumida e inalcanzable que se le ha dado por muchos siglos.

Todos los ejemplos que se exponen en el transcurso de éste artículo son susceptibles de ser usados en el aula, adaptándolos al nivel educativo correspondiente. Sirve también esta indagación para tratar de mostrar que es absurdo el divorcio ciencias y matemática en el aula, como si no estuviesen relacionadas, y hayan vivido separadas a lo largo de la humanidad. Esto ha contribuido a que la matemática se vea como una ciencia apartada de las demás, colocándola en un sitiar casi imposible de acceder.

Se debe ofrecer al estudiante un acercamiento a otras ciencias desde la matemática y viceversa, percibiendo que todos los campos del saber están relacionados de alguna manera; mostrar la profunda transdisciplinariedad de las ciencias. Para ello se realiza una exposición reflexiva, con apoyo


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de Profesores de Matemáticas Vol. 77 julio de 2011

documental para proponer elementos o recursos pedagógicos para la enseñanza de la matemática a través de su relación con las ciencias. Desde luego se revisan grandes obras y publicaciones que tratan de darle otra mirada a la ciencia formal, diferente a las tradicionales visiones de dicha ciencia formal.

De esta manera en algunos momentos se recurrirá a la historia de grandes creaciones de las ciencias y algunos descubrimientos para presentar la investigación. Teniendo presente a Gómez (2002, p.119)

Enseñar Matemática como si estuviesen aisladas es una distorsión del conocimiento. Convendría enseñar Matemática yendo más allá de las propias Matemática: considerando sus relaciones y buscando su sintonía con las corrientes principales del pensamiento. Esta nueva actitud motivaría a los estudiantes, crearía nuevas aplicaciones y abriría nuevas vías de debate.

Reconocer y volver sobre la relación matemática-ciencias es una posibilidad para revisar la historia de las ciencias en general y esto es de capital importancia para los docentes y estudiantes, pues todos se reeducarían y motivarían sobre las grandes creaciones. No hay que olvidar que “cada persona debe pasar aproximadamente por las mismas experiencias por las que pasaron sus antepasados si quiere alcanzar el nivel de pensamiento que muchas generaciones han alcanzado”. (Kline, 1978, p.48).

2. La matemática y su relación con las ciencias como recurso didáctico

Se suele aceptar como un absoluto incuestionable que la matemática juega un papel importante en el desarrollo de las ciencias, en la tecnología y para interpretar la vida cotidiana. Sin embargo, el proceso académico enseñanza - aprendizaje se realiza, en ocasiones, con unos grados de abstracción que alejan la ciencia formal de la realidad de los estudiantes, de sus intereses. Es menester que los profesionales, matemáticos y docentes de la ciencia se formen para recobrarla en las aulas, es así como Uzuriaga, Vivian y Martínez (2006, p.269) afirman que

La educación matemática debe ser valorada y rescatada por los matemáticos, pues es claro que debe combinar una muy buena solidez y conocimientos matemáticos con las teorías pedagógicas y centrar nuestra atención en desarrollar, o por lo menos usar adecuada y críticamente, metodologías que le permitan a nuestros alumnos un aprendizaje a lo largo de la vida, a aprender a aprender, aprender a emprender, aprender a ser, aprender a conocer, aprender a trabajar en colaboración, a valorar el contexto histórico cultural.

La utilidad y concepción de las teorías matemática, sus saberes se utilizaban en las otras ciencias existentes en cada época, tales como la astronomía y la música, por ejemplo. Los resultados matemáticos obtenidos dan pie y utilidad al estudio en diversos ámbitos. Sin la matemática, el ser humano no hubiera alcanzado los niveles de desarrollo necesarios.

Desde luego cada ciencia tiene su trascendental importancia en saberes; y bajo el punto de vista de su influencia en el bienestar social, cada una ha dado su aporte valioso; pero si es cierto que el conocimiento es uno de los elementos que ayudan en el destino de las sociedades para que las necesidades fundamentales de la vida sean satisfechas, se admite que la matemática puede con toda justicia demandar uno de los lugares más privilegiados en el sistémico concierto de las fantasías de la inteligencia, integrada a todos los saberes de las ciencias.

Lo anterior, lleva a mirar los puntos de vista de la ciencia matemática, desde el comienzo de la historia, a fin de que sean apreciados los aportes de la ciencia lógica. Han existido diversas maneras de



concebirla; en la antigüedad en los filósofos presocráticos ya existía inquietud por encontrar la naturaleza de las cosas más allá de sus apariencias múltiples. Pitágoras (582 a. C. - 507 a. C) y sus seguidores denominados los pitagóricos afirmaban que a toda materia se le asociaba un número. Estos estudiosos le dieron suma importancia a las proporciones y se consideran los precursores de la matemática. En su época entonces no se enseñaban las ciencias de manera separadas (ni separadas de la filosofía) y el fin último de la educación era la formación integral del individuo; ideales plasmados en la Paideia griega.

Más adelante, al surgir el positivismo con Comte (1798-1857), después de la revolución industrial, se execra en las aulas a la matemática de las ciencias y la filosofía. Se rechazan conocimientos provenientes de la psicología, sociología, considerándolas a todas estas fuera de los cánones de la ciencia; como se puede notar se reduce el estudio a meros asuntos probables y la educación entra en decadencia, porque es esta convergen aspectos claramente humanos fuera de las pruebas científicas.

De esta manera se impone el espíritu positivista como único conocimiento válido, reduciendo y supeditando la cultura a la ciencia, execrando la filosofía, abandonando el sentido común crítico, exigiendo inclusive el percibir la realidad sólo desde un punto de vista. Predomina, en consecuencia, una visión empirista, aproblemática, ahistórica, acumulativa y lineal; desprovista antes los ojos del mundo de subjetividad y dinamismo.

La situación antes descrita trae consecuencias graves sobre la evolución de la matemática en el siglo XX y la interpretación de la matemática en la educación. En estos años existieron más matemáticos que en todos los años anteriores juntos, la gran cantidad de descubrimientos e influencias sobre las ciencias es enorme y significativos para el avance de la humanidad. Pero al mismo tiempo la enseñanza de la matemática comienza a entrar en crisis notable.

El hombre del siglo, Einstein (1879 –1955), propuso las dos teorías de la relatividad; la mecánica cuántica, un desafío fundamental de la manera de mirar al mundo, fue otra creación magistral de la mano de la matemática. La aeronáutica, en vista de los avances de ésta ciencia formal nació en 1903 y la reacción de los teóricos fue drástica y a la altura del desafío. Éste gran científico humanista decía “estoy convencido de que mediante construcciones puramente matemática se pueden descubrir los conceptos y las leyes que los conecten entre sí, que son los elementos que nos ofrecen la clave para la comprensión de los fenómenos naturales” (Einstein, 2000, p.95).

El cálculo de probabilidades, el caos determinista, la teoría de juegos, la economía con el mercado financiero, los ordenadores y la computación son apenas unos pocos de los descubrimientos que van de la mano de la matemática y que influyen en todas las ciencias. Se recomienda revisar el texto Pensar la Matemática de Guénard y Lelíevre (1984), para información más profunda de todas estas relaciones.

La ciencia matemática no es estacionaria; se ha desarrollado por el genio de los grandes pensadores; está presente en todas las ciencias, y lo que tiene de característico es que sus progresos son siempre deducciones, corolarios implícitos de cada una de sus teorías fundamentales. Pero es menester considerar que la naturaleza de la matemática es bastante compleja, por ello según Cantoral (1999) es menester la reconstrucción del conocimiento en las aulas de clase, a fin de hacer la matemática socializable, entendible en la diversidad de educandos y maneras de pensar o significados. Según este autor los conocimientos matemáticos tienen un origen y una función social que tienen que ver con las prácticas humanas.




Todos estos resultados son indicios de que es preciso asumir una postura filosófica que permita asentar las bases sobre las cuales se formará al individuo, a través del uso de la matemática en la vida y en su desarrollo integral. Los estudiantes de este milenio necesitan comprender los descubrimientos matemáticos previos a partir de los cuales se generó esta disciplina; así como también descubrir y describir sus propias ideas matemáticas adquiridas en su vida cotidiana y muchas veces ignoradas en el proceso educativo.

Para que los estudiantes descubran sus propias ideas matemáticas, es menester asumir la postura inicial de mostrar la relación matemática-cotidianidad, porque alienta en primer lugar al estudiante a dejar su predisposición inicial, y verla como inalcanzable y en segundo lugar, aprecian su verdadero valor y utilidad al relacionarla con los problemas del mundo y de su cotidianidad. Rodríguez (2010a, p.117) afirma que dicho binomio:

existe ineludiblemente desde la creación de las matemática, pero que esta realidad no es evidenciada en las escuelas, priorizando la abstracción en primer lugar antes que tal relación. Apremia la necesidad de consustanciarla con la vida y hacerlo visible en las escuelas, ya que el ser humano sólo es capaz de construir el mundo donde se integra y desarrolla su cotidianidad.

En el siglo XX, se incrementó el reduccionismo, el atomismo, la fragmentación de los saberes y ello condujo a un aislamiento de esta ciencia lógica, incluso de la cotidianidad del estudiante. En efecto “este aislamiento de la matemática es un chocante signo de la fragmentación intelectual (…) A través de los siglos, muchos de los grandes matemáticos han hecho también contribuciones importantes en otros campos” (Capra, 1998, p.167). Y es que las ciencias nunca han estados separadas de la matemática, ni han obtenidos sus resultados sin sus aportes, sólo que la segregación, secuela del modernismo, ha producido visiones equivocadas.

Pese a este aislamiento mostrado en las aulas, la matemática sigue asimilando datos y entendiendo los fenómenos. Las visiones complementarias de esta ciencia: su aspecto cultural, su importancia en la enseñanza como vehículo del pensamiento racional, su preponderancia para comprender al mundo cotidiano, su aspecto de juego intelectual; siguen situando a la ciencia en un lugar privilegiado. Hoy en día tiene el reto del desarrollo computacional, de capacidad y efectividad de procesar información.

De especial interés es tener en cuenta los aportes de la estadística (muchas veces considerada parte de la matemática, con largas discusiones al respecto). Hoy en día, ni el diseño ni el análisis de los resultados de los estudios clínicos o epidemiológicos se conciben sin técnicas estadísticas; al igual que ocurre en las situaciones de interés para las ciencias sociales, la multiplicidad casi indescriptible de factores que concurren en cada caso hace que la estadística sea imprescindible para llevar a cabo cualquier análisis racional.

La matemática mantiene estrechas relaciones con las denominadas ciencias sociales o ciencias humanas, nombre que, por cierto, insinúa que la matemática está fuera de las ciencias del ser humano, terrible error que divide las ciencias entre científicas y humanísticas. Por ejemplo, en la psicología las teorías de aprendizaje son procesos probabilísticas en la mayoría de los casos. En la sociología se aplican las cadenas de Markov y el análisis de redes sociales se basa esencialmente en teoría de grafos y combinatoria. En la geografía humana, el análisis de las imágenes obtenidas por los satélites se hace con operadores lineales. En la medicina es útil en el tratamiento de imágenes.

Con todas las relaciones y resultados que se han venido exponiendo sobre la matemática y las ciencias, es bueno dejar claro aquí que no se piensa que todos los hechos puedan ser matematizados en



su totalidad; se debe aceptar que siempre quedan residuos sin matematizar, como, por ejemplo, los fractales figuras que no se rigen en un orden exacto como la geometría euclidiana.

Es evidente que los resultados aquí esbozados, necesitan de una reflexión profunda sobre su sentido e implicaciones para el ser humano y la sociedad. Los científicos y los educadores deben ser conscientes del modo de pensar que la cultura informática propicia, y deben tener presente que la informática es una herramienta que facilita el aprendizaje.

Existen relaciones de la matemática con la física, la medicina, la computación, la biología, la música; las ciencias sociales y la educación que vale la pena revisar específicamente. En general la transdisciplinariedad de las ciencias ha estado presente en sus construcciones con la matemática como centro, base de las construcciones. Basta observar que la estadística está presente en todas las ciencias, de ahí que separar en exclusivo la relación entre dos ciencias es difícil porque siempre aparece en el escenario otra. Pero en la mayoría de los casos no se muestran estas relaciones en la enseñanza de la matemática, salvo casos excepcionales; terrible error pedagógico que ha aislado la ciencia formal y la muestra apartada del resto de las creaciones.

2.1. La matemática y la física

La geometría de Euclides, trae consigo en sus investigaciones un estudio sobre la naturaleza del espacio, comenzando allí a emerger la física. Existió la necesidad de la construcción y la medida de terrenos, entre otras aplicaciones. La geometría de Euclides (325 a. C - 265 a. C.) es así de suma importancia y tiene su diversidad de aplicaciones. Aristóteles (384 a. C. - 322 a. C.), también un gran estudioso de la física, afirmaba que los cuerpos más pesados caen más rápido. Desde luego, se encuentran la geometría y la estática; Arquímedes de Siracusa (287 a. C. - 212 a. C) escribió una tratado del equilibrio de los planos y de sus centros de gravedad, desarrolló la teoría de la palanca y de los centros de gravedad de varias figuras planas entre ellas la parábola. Mágicas teorías donde no se separan los saberes entre físicos y matemáticos, se insinúa que sería un éxito en cuanto a motivación si se mostraran de esta manera las teorías.

Es claro y notable el hecho de que la práctica diaria de la física y la ingeniería utilizan cantidades enormes de matemática del más alto nivel. Es más, los mismos conceptos con los que formulan sus teorías son fundamentalmente matemáticos. La mayor parte del desarrollo de la matemática en los últimos tres siglos tiene origen y motivación en el deseo de resolver problemas físicos. Sin exagerar, nada de la física: de la creación de aviones a los rayos X, del nacimiento del automóvil a la resonancia magnética, de las telecomunicaciones a la radioterapia, hubiese sido posible sin matemática. ¡Todos estos resultados van de la mano de la ciencia, lenguaje del universo y son creaciones del hombre! Es imposible entonces, como afirma Feynman (1999), que el hombre no pueda dominar tales teorías de la ciencia formal.

El cálculo infinitesimal trajo consigo grandes aplicaciones de la matemática que dieron un impulso extraordinario a la ciencia formal y al avance de la humanidad. Esta propulsión es inseparable de la aparición de la física. Los conceptos mismos, como aceleración o momento de inercia de la física que crea Newton (1643-1727), son expresables en términos de derivadas o integrales; es así como, sin matemática, la física carecería de lenguaje en que expresarse. Estos conceptos matemáticos se deben enseñar desde estas notables relaciones.

Los siglos XIX y XX son claves, y evidencian la relación de la matemática con el resto de las ciencias, puesto que son los años más fructíferos en los grandes descubrimientos. El siglo XIX conforma los años de las ciencias, es sorprendente en la física los descubrimientos como: la




electricidad y el magnetismo con la teoría electromagnética y el desarrollo de las ecuaciones diferenciales, también los fluidos reales gobiernan el comportamiento de los fenómenos atmosféricos.

También la termodinámica adquiere una fundamentación matemática sólida con las derivadas parciales y el cálculo diferencial. Algunos de los muchos resultados del floreciente siglo XIX. La revolución industrial de éste trae consigo la extensión de los estudios científicos e industriales tanto en las universidades como en los centros especializados. Una desventaja es que los matemáticos, físicos e ingenieros se separan debido al enorme crecimiento de sus campos de estudio.

Como se puede notar el lenguaje de la física es la matemática, ya lo decía Poincaré (1946, p.112)

todas las leyes se extraen de la experiencia, pero para enunciarlas se precisa de una lengua especial; el lenguaje ordinario es demasiado pobre, y es además demasiado vago, para expresar relaciones tan delicadas, tan ricas y tan precisas. Esta es la razón por la que el físico no puede prescindir de las matemáticas; éstas le proporcionan la única lengua en la que puede hablar.

Hay muchos ejemplos que se pueden ilustrar a los estudiantes en la relación matemática-física; en la industria se usan conceptos matemáticos en la construcción de los molinos de viento modernos llamados turbinas de viento, para generar corriente eléctrica. Estas turbinas están hechas con dos o tres hélices que rotan sobre un eje.

Proponer cuestiones reales, por ejemplo: ¿cómo puede la matemática colaborar con las autoridades de tránsito? El conductor de un automóvil involucrado en un accidente reclama que él conducía con la velocidad permitida de 60 Km. por hora. Se verifica su automóvil y deja una marca de deslizamiento de 20 metros. ¿El conductor del automóvil dice la verdad?

La matemática y sus teorías han sido primordiales en el desarrollo de satélites; el 4 de octubre de 1957 la Unión Soviética lanzó el Sputnik 1, el primer satélite artificial de la historia. Este país desarrollo un matemática más avanzada, para la época, que EEUU, por eso logró esta hazaña muchos años antes. Actualmente Venezuela ha logrado, en colaboración con China, lanzar su propio satélite, denominado Simón Bolívar, un hecho que traerá grandes avances en la comunicación.

Los retos a los que se enfrenta la física en el siglo XXI son innumerables, entre estos: la estabilidad y caos en sistemas dinámicos en la mecánica celeste, los problemas de combustión en la aeronáutica, la matemática del mundo atómico en la física. Entre muchos otros retos que tiene la matemática en el presente se encuentran: las ecuaciones cinéticas en la astrofísica, las ecuaciones de la extracción de petróleo en las ciencias de la tierra, la elasticidad lineal y no lineal en las ciencias de materiales, el acoplamiento de modelos con estados cuánticos en la nanotecnología, los prototipos de la industria automovilística en la ingeniería industrial o la teoría de campos electromagnéticos en las comunicaciones.

2.2 La matemática, la computación, la biología y la medicina

La relación de la matemática y la medicina es importantísima. Un ejemplo lo encontramos en dispositivos para realizar tomografías computarizadas, entre tantos avances. Hay que tener presente que el cuerpo humano es el sistema de procesamiento de información más complejo. Si se juntan todos los procesos humanos de información, los conscientes y los inconscientes involucraríamos el procesamiento de 1024 bits de información diariamente. Esta cantidad astronómica de bits es un millón de veces mayor que el total de conocimiento humano que es de 1018 bits almacenados en todas las bibliotecas del mundo.



La matemática tiene gran aplicación en estudios de los procesos dinámicos biológicos y abarcan todas las áreas de la biología. Desde esta perspectiva, líneas de investigación prometedoras se realizan en campos tan diversos como la respuesta inmune, las interacciones genéticas en el desarrollo temprano, la regulación metabólica, la quimiotaxis, las pautas epidémicas, las dinámicas de poblaciones y ecosistemas, las redes catalíticas, los ritmos fisiológicos, la actividad cerebral, las correlaciones existentes en las bases nucleotídicas del ADN; entre muchos otros retos de la matemática.

Los modelos matemáticos son una de las herramientas que se utilizan para el estudio de problemas relacionados con la medicina como la: biología, fisiología, bioquímica, farmacocinética; sus objetivos primordiales son de demostración, enumeración, representación, explicación y predicción de fenómenos en dichas áreas. De hecho los estudiantes de estas ciencias deben poseer las siguientes competencias: razonamiento, operatividad, modelización y representación, medición, trabajo con patrones y funciones, uso de la tecnología; todas provenientes de la matemática. Actualmente esta ciencia formal se usa, según Uzuriaga, Vivian y Martínez (2006, p.266) en:

modelos matemáticos para describir agentes infecciosos como depredadores y células anfitrionas como presas, ha redefinido muchos aspectos de la Inmunología, la Genética, la Epidemiología, la Neurología y el diseño de medicamentos. Como ejemplo importante se tiene los resultados sobre el estudio de la epidemia del SIDA.

Modelar significa encontrar una representación matemática para un objeto, un proceso o un sistema no matemático, construyendo una teoría o estructura matemática que incorpora sus características esenciales. El modelo construido, de tipo matemático, permite obtener resultados acerca del proceso en cuestión. Actualmente, los modelos se simulan en computadoras para poder predecir resultados sin la construcción efectiva del objeto.

Muchos de estos modelos son los avances más notables de los últimos tiempos de la aplicación de la matemática computacional en la medicina. Muchas veces no se es consciente que en la práctica diaria existe una cantidad de teoría matemática que está involucrada en los modernos aparatos de diagnóstico, en el diseño de cirugía ocular, por ejemplo.

La aplicación de las matemáticas no lineales, de las cuales son muchas las demostraciones que se hacen en un aula, se utilizan para estudiar fenómenos complejos dinámicos en cardiología. No es exagerado decir que, con la ayuda de los rayos X u otras técnicas, más el avance en el cálculo de las computadoras actuales, la tomografía computarizada y la resonancia magnética, entre otras, son verdaderos instrumentos matemáticos, en los que se reconstruye una imagen conociendo la atenuación y el ángulo de los rayos. Muchos de estos ejemplos son modelos de integrales dobles que se enseñan en la mayoría de los cursos de matemática en las universidades; es conveniente dar vida a esos cálculos desde su utilidad.

La matemática y la biología son denominadas muchas veces la pareja ideal. La biología ocupa un lugar esencial en el desarrollo científico mundial. Los comienzos del siglo XXI están siendo años de muchos éxitos de la biología; esto se debe a que se desarrollan los mayores estudios en métodos cuantitativos que describen, explican y analizan los procesos biológicos; interviene aquí la estadística en muchos fenotipos que necesitan de probabilidades, análisis de varianza y pruebas de hipótesis.

Las ecuaciones diferenciales han sido clave en el estudio de crecimiento y decrecimiento poblacionales; tiene mucha cabida aquí el concepto de nicho ecológico de la biología; esto es un conjunto de condiciones ambientales y bióticas que necesita una población para sobrevivir. Si se sigue




ilustrando cómo la matemática interviene en estos problemas de la biología, se tendría que recurrir a las bifurcaciones, y demás resultados de la ciencia lenguaje del universo.

Actualmente existen ciencias llamadas bioestadística y biomatemática; esta última es un área interdisciplinaria que necesita a su vez de la: zoología, matemática, física y química; entre otras. Actualmente Nancy Kopell ha sido una gran estudiosa de la biomatemática; Camas, Fernández y Núñez (2007) tienen un artículo muy interesante dedicado a sus estudios, también existe allí una reseña importante sobre la matemática y la neurociencia; se recomienda revisar dicho texto.

2.3 La matemática y la música

La música es, con justa razón, la hija privilegiada de la matemática. Se estudiaba, en las enseñanzas clásicas de la época griega dentro del quadrivium, junto con la aritmética, la geometría y la astronomía, estas enseñanzas correspondían a los saberes exactos, de ahí que la música se pueda considerar, aparte de un arte, como una ciencia. No interesa en estos momentos la discusión en cuanto a su naturaleza, o no, de ciencia, esta discusión está fuera de estas reflexiones

En este escrito se intenta rescatar la relación música-matemática ausente en una docencia de la ciencia formal carente de sentido en la vida de los discentes. Algunos educadores no muestran en clases que el creador de la escala música fue Pitágoras, utilizando un instrumento musical denominado monocordio.

En general, un instrumento musical es un dispositivo físico que produce lo que se llama una onda de presión, que es capaz de mover la pequeña membrana del oído denominada tímpano. La frecuencia de vibración define lo que se llama el tono, de graves a agudos, que se mide en el número de vibraciones por segundo o unidad física (Hertzios, Hz). Un diapasón, es un objeto metálico en forma de U que se utiliza para afinar instrumentos que vibra cuando se le da un golpe a 440 Hz, lo que corresponde a la nota musical: La.

Durante mucho tiempo la teoría de la música y la matemática se han cedido el protagonismo la una a la otra; unión sumamente interesante, pues dice, entre otras cosas, que la música tiene mucho de orden y la matemática mucho de sensibilidad, belleza y armonía. La belleza se explica porque un sonido puede ser agradable o menos agradable. Aunque ésta sea una apreciación subjetiva, la mayoría de las personas, independientemente de su educación musical, distinguen claramente los dos tipos de sonidos.

Una de las formas que hay de producir un sonido es hacer vibrar una cuerda. La nota que emite la cuerda depende de la longitud de ésta y, como las longitudes pueden ser asociadas a números, Pitágoras decidió estudiar la relación que había entre las longitudes de las cuerdas y los sonidos armoniosos.

Para ello, Pitágoras dividió la cuerda en doce partes y buscó los intervalos consonantes; aquéllos que producían un sonido agradable o armonioso. Se encontró con que las longitudes en las que se producían las armonías eran proporcionales a 9, 8 y 6. Nótese que aquí se inmiscuye la belleza, una variable subjetiva, con la matemática; de ésta manera Pitágoras concebía la ciencia: con misticismo, armonía y belleza. Es justo que tanto docentes como estudiantes se maravillen de estos resultados, de la historia que da sentido a las grandes creaciones. Todo esto se puede apreciar estudiando la historia de la matemática. Pues como afirma González (2004, p. 27)



la Historia de las Matemática es una fuente inagotable de material didáctico, de ideas y problemas interesantes y también, en un alto grado, de diversión y recreo intelectual, en suma de enriquecimiento personal, científico y profesional, que el profesor puede aprovechar para motivar su labor de transmisión del conocimiento, desdramatizando la Enseñanza de las Matemática.

Mankiewicz (2000) y Boyer (1986), entre otros, tienen textos sobre la historia de la matemática donde aparecen estas ideas sobre la belleza, la música y las matemáticas que conviene revisar; aparte de artículos que relacionan la matemática con la música como los de Pastor (2008), Contreras, Díez, y Pacheco (2007), entre otros. Para crear la escala musical Pitágoras denominó tono a la nota producida por la longitud total de la cuerda, poniendo a las otras tres los nombres de diatesarón, diapente y diapasón, que son los intervalos que actualmente se denominan octava, quinta y cuarta, y sobre los que Pitágoras construyó la primera escala musical de la historia de la humanidad.

Las relaciones: 1·12 = 12, (3/4) ·12 = 9, (2/3) ·12 = 8, (1/2) ·12 = 6, proporcionan las correspondientes razones de la longitud de la cuerda: 1 = tono, 3/4 = cuarta, 2/3 = quinta, 1/2 = octava. Se puede comprobar que las combinaciones armónicas de una cuerda pulsada guardan una relación con las longitudes respectivas de la cuerda, como se muestra la siguiente tabla:

do re mi fa sol la si 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128

El fundamento de la música lo estableció Pitágoras con los cuatro números 1, 2, 3 y 4, que representaban la perfección del número diez 1+2+3+4=10, cuyas partes dan lugar al punto, la línea, el plano y el espacio. Fue así como Pitágoras estableció el lazo de unión que había entre la belleza de la música y la de los números. Luego, extrapoló sus conocimientos geométricos y musicales hasta concebir una original concepción del universo: la música de las esferas, en la que cada planeta debía emitir un sonido característico, en perfecta armonía con los demás. Sobre la música de las esferas, Miyara (2007) hace un estudio que se recomienda revisar.

La música y la matemática, están también relacionadas con la astronomía, más adelante se estudia esta relación. Se creía que conociendo la velocidad y la masa de una esfera, podía determinarse el sonido que producía. Un sonido que nadie podía oír porque era continuo y carecía de silencios. Esta investigación desemboca en las tres famosas leyes que rigen el movimiento de los planetas de Kepler (1571-1630).

Esta teoría está ampliamente publicada en Xenakis (1992), de manera que es cuestión de que el docente se forme al respecto y con buena voluntad se disponga a mostrar otra cara de la matemática, su relación con la música. Sería una buena forma de devolver a la ciencia formal, título muy bien ganado de la reina de las ciencias y la que más ha aportado al desarrollo de la humanidad. Además el docente puede nutrirse de las grandes creaciones de la ciencia y entender que enseñar matemáticas no es vaciar contenidos, sino transmitir una cultura, y un legado de la humanidad fraguado en el tiempo.

En la historia de la música, así como de la matemática, Mozart (1756-1791) compuso, a los 21 años, un vals de 16 compases. Y lo hizo siguiendo las instrucciones de un juego de dados que él mismo había diseñado: juego para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición. El juego consistía en dos dados y dos tablas de números diferentes. La primera debía usarse para la primera parte del vals y la otra para la segunda.

Para componer la primera parte del vals, que constaba de ocho compases, se lanzaban los dos dados y se sumaban los números que habían salido. Contando las posibilidades mediante las técnicas




de combinatoria, se puede probar que hay unos 750 trillones de variaciones. ¡Para que todos pudieran componer un vals diferente! Y muchos más. Grandiosa toda esta historia que emociona y de seguro engrandece a los docentes y estudiantes, ávidos de nuevas visiones de la matemática.

2.4 La matemática en las ciencias sociales especialmente en la educación

Las ciencias sociales se refieren exclusivamente a una acción humana, estudian el origen y desarrollo de la sociedad; se encuentran aquí entre otras la sociología, la psicología, la arqueología y la educación. A éstas se les han ido agregando en el transcurso del tiempo muchas otras como las) ciencias de la comunicación, la lingüística, la etnográfica o el urbanismo. La matemática en estas ciencias también es una herramienta fundamental para consolidar sus conocimientos, destacándose la ayuda en la decisión de las variables a estudiar, las pruebas de hipótesis, los análisis de varianza, los modelos para estudiar la realidad social, entre otros.

La matemática aporta el lenguaje y la estructura conceptual necesaria para expresar reglas generales de comportamiento y obtener predicciones de validez general, cuestión que aporta también la estadística. Se nota nuevamente lo inconveniente de la división de las ciencias, en ciencias y humanidades, ni siquiera las matemáticas se deben exponer en un aula separadas del resto.

Hay una relación que interesa en particular en este punto es: matemática-educación. Para ello se enfatiza un poco en el significado de éste último componente junto a la pedagogía. Esta es una ciencia que estudia los procesos de la educación, “la reflexión, teoría y práctica que se construye para abordarlo y desarrollarlo sistemáticamente (…) la educación es una acción que se advierte por las influencias culturales que se ejercen recíprocamente los seres humanos en la convivencia cotidiana” (Rodríguez, 2005, p.31).

La función de la pedagogía es penetrar en la realidad de la educación y derivar de ella experiencias. La ciencia es un producto de la realidad; ésta proporciona los elementos, fenómenos, objetos y naturaleza. Es así como por ejemplo, las ciencias de la naturaleza no existen sin la naturaleza, las ciencias sociales sin los fenómenos de comunicación y la matemática sin la cotidianidad. La pedagogía es una ciencia imprescindible de la educación que le hace ocupar un lugar central y una función integradora de otras ciencias vinculadas con la educación, produciendo un cuadro multidisciplinario del sistema de ciencias pedagógicas. Entre las que se encuentran la: filosofía de la educación, sociología de la educación y psicología pedagógica.

La pedagogía se concibe idealmente como la ciencia que reconoce y reconquista los aspectos ideológicos, socio-históricos y culturales de los hechos educativos. Es menester entender esta ciencia como el proyecto que integra la reflexión epistemológica para razonar lo educativo desde los procesos de quienes participan, vinculando la teoría con la práctica como elementos indisociables en toda ciencia educativa, en especial de la educación matemática.

Es así como la pedagogía debe imprimir valor sobre la enseñanza de la matemática y reconquistar sus valores desde el educando y sus necesidades, no solo desde el educador. Por estas razones, el campo de estudio de la pedagogía de la matemática debe estar en una profunda y continúa construcción al considerar los elementos diversos que le dan origen y en los cuales el proceso educativo se desarrolla; y en profunda comunicación con su historia, la cultura, el ideal de educación y del individuo a formar.

La educación matemática, su devenir evolutivo, histórico y concreto, ha estado influenciada por las condiciones económicas, políticas, culturales y sociales que han intervenido con mayor y menor



fuerza en el desarrollo del conocimiento pedagógico y que lleva consigo un tipo de cultura, valores e ideales con intención de formar un tipo de hombre.

En general, desde el pensamiento de Sócrates (470 a. C. - 399 a. C.), Aristóteles y Platón (427 a. C. /428 a. C. - 347 a. C.) hasta estos tiempos, el pensamiento sobre la pedagogía ha estado en constante reconstrucción, buscando renovar la práctica educativa. No es fácil, pero sí hay caminos abiertos para su renovación. Al respecto la matemática, en la formación y educación del ser humano, tiene sus aportes esenciales y González (2001, p.15) afirma que los docentes

profesionales de la transmisión del conocimiento matemático, enfaticemos con vehemencia las cualidades de las Matemáticas: la capacidad para manejar la cantidad y la extensión, la regularidad y la disposición, la estructura y la implicación, la inducción y la deducción, la observación y la imaginación, la curiosidad y la iniciativa, la lógica y la intuición, la invención y el descubrimiento, el análisis y la síntesis, la generalidad y la particularidad, la abstracción y la concreción, la interpolación y la extrapolación, la decisión y la construcción, la belleza y la utilidad, la armonía y la creatividad, la interpretación y la descripción.

Para reformular la pedagogía tradicional hacia una manera integradora es menester tener que una visión total, teórico-práctica y, fundamentalmente, de gran profundidad social, que vincule al hombre a su escuela, a su colectividad y a los procesos de creación, que engrandezca los más altos ideales del humanismo, el ser humano, ante todo y sobre todo. En definitiva, la formación que se adquiere al estudiar matemáticas podría verse en forma integral, en varios sentidos: como conocimiento elemental y de cultura general; como motora del desarrollo de las capacidades como la deducción, la comparación, la clasificación y el orden, y finalmente como impulsora para ser críticos e investigar.

La relación de la matemática con todas las demás ciencias, Rodríguez (2010b, p.98) la ilustra mediante el siguiente gráfico; en él, se enfatiza que la enseñanza de la ciencia formal y el resto de las ciencias son procesos paralelos que pocas veces se juntan en el aula. Se clama por un proceso transdisciplinar de la matemática que muestre el concierto de fantasías entre todos los conocimientos, creaciones humanas, a fin de regresar el amor por ésta magnífica ciencia.




3. A modo de conclusiones

En el aula hay muchos ejemplos que se pueden mostrar a fin de avivar el interés del discente por la matemática. Por ejemplo, en cuanto al cálculo, existen sucesiones maravillosas que pueden agradar a los estudiantes por su comportamiento, por ejemplo los números de la llamada serie de Fibonacci (1170 - 1250), son elementos de una serie infinita. El primer número de esta serie es 1, y cada número subsecuente es la suma de los dos anteriores. Como el primero es 1 y antes no hay nada, el segundo es 1, el tercero 1+1, el cuarto es 1+2, y así sucesivamente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...Ésta serie se puede ilustrar a los discentes a la manera de los pétalos de una margarita: espirales al centro de una margarita: 21 hacia un lado, 34 hacia el otro. Esta serie tiene muchas aplicaciones en ingeniería en la programación dinámica y se cree que está relacionada con la tensión se usa dicha serie para crear micro estructuras que crecen en un laboratorio.

La serie de Fibonacci está relacionada con factores psicológicos de los participantes del mercado accionista, ya que estos se llevan por la conducta de las masas y van repitiendo las mismas directrices y errores de un periodo a otro. Abramovich y Leonov (2008) tienen un artículo muy interesante sobre las ecuaciones diferenciales en dos parámetros y dicha serie, que se recomienda revisar. También Smania (2007) tiene estudios sobre la serie y la geometría, entre los innumerables que se encuentran publicados. Es de hacer notar que la matemática es el lenguaje de las ciencias, pero tiene su propia estructura intrínseca; esto es uno de los aspectos más interesantes a la hora de resolver problemas.

La autora llama la atención en cuanto a que se debe reconocer que en la educación tradicional de la matemática y de las demás ciencias se han escogido caminos que no se cruzan, esto es, no se relaciona la matemática con las demás ciencias y viceversa; excepto claros ejemplos de docentes que en la enseñanza de la matemática educan en otras ciencias, y recíprocamente.

La situación anteriormente descrita ha afectado la concepción que se tiene de la matemática, pues se define y se le coloca de manera apartada, fuera de contexto, y es que la ciencia en cuestión también es creación humana, y el motivo, entre otros, que ha dado pie al desarrollo de muchas ciencias, incluyendo aquellas de reciente aparición como la economía, y últimamente, en las ciencias sociales con la matemática cualitativas de la complejidad y el estudio de los fractales; la geometría no euclidiana: aquella que estudia figuras no regulares como las que tradicionalmente se ilustran. Estas figuras irregulares están en todas partes: en nuestro cuerpo, en la naturaleza.

Difícilmente ha existido algún descubrimiento humano donde la matemática no haya estado presente, que esta ciencia ha cambiado en su estructura para entender fenómenos que antes no hacía como la matemática de la complejidad; pero de manera tradicional la ciencia formal se muestra separada y alejada de las demás ciencias y de la vida en las aulas. Se aboga por un proceso educativo, vivo y transdisciplinar que muestre el concierto de fantasías que entrelazan todas las ciencias, en mayor o menor intensidad.

En una reflexión crítica de la praxis de los docentes de matemáticas seguramente darán cuenta de que la historia y filosofía de la matemática tiene aporte inmensurables a la construcción de la teorías matemáticas y en la puesta en escena de una ciencia formal viva y transdisciplinar en el contexto, cotidianidad y cultura del discente; los cuales están ávidos de otra mirada de la matemática que los haga apreciar su legado y entender la necesidad de sus teorías en sus vidas y a favor del avance de la humanidad.

Es menester entender que para mostrar la relación matemáticas-ciencias en el proceso de enseñanza-aprendizaje de dicha ciencia la formación del profesional es clave, en el entendimiento que



aquí están las soluciones de los problemas de dicho proceso en las aulas. La matemática merece el sitio de honor que le corresponde por la justa valoración de cada uno de sus creadores y por los aportes para la supervivencia del ser humano y en los avances de la humanidad.

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Agradecimiento al Profesor Jonathan Chimaras Caraballo, de la Universidad de Oriente, por su valiosa colaboración en la traducción al inglés del resumen de este articulo.

Milagros Elena Rodríguez desde hace 16 años es Docente investigadora asociada de la Universidad de Oriente, Departamento de Matemáticas, Venezuela; Licenciada en Matemáticas, Magister Scientiarum en Matemáticas, Doctora en Innovaciones Educativas. Reside en Cumaná Estado Sucre, código postal 6101. Ha sido jurado de Tesis, publicado diversos artículos y ha sido árbitro en revistas indexadas y arbitradas, asistencias a eventos nacionales e internacionales y ha realizado diversas ponencias y conferencias. Email: [email protected]




Análisis de los términos de Inferencia Estadística en Bachillerato1

Israel García Alonso (Instituto de Enseñanza Secundaria El Médano. Tenerife)

Fecha de recepción: 15 de marzo de 2011 Fecha de aceptación: 12 de abril de 2011

Resumen Realizaremos un estudio pormenorizado de los significados de los diferentes términos que se utilizan en los libros de texto de Bachillerato en el momento en el que se comienza el estudio formal de la Inferencia Estadística. Se presenta un modelo de clasificación de los términos atendiendo al significado que presentan éstos según el contexto de trabajo: cotidiano o matemático. Analizaremos además cómo los comprenden los estudiantes y presentaremos una propuesta de enseñanza de la Estimación por Intervalos de Confianza.

Palabras clave Estadística, Inferencia, Lenguaje, Contexto

Abstract We present a detailed study of the meanings of different terms used in high school textbooks at the moment in which begins the formal study of statistical inference. We present a classification model taking into account the terms that have meaning in context of their work: everyday or mathematical. We will also analyze how students understand and present a teaching proposal for the Estimation of Confidence Intervals.

Keywords Statistical, Inference, Language, Context

1. Introducción

La estadística surge como un conocimiento cultural imprescindible en la sociedad en la que vivimos actualmente. Este conocimiento adquiere cada vez más relevancia social, pues son muchas las informaciones y comunicaciones que se hacen utilizando esta herramienta, lo que ha significado que aparezca en la escuela, para su enseñanza y aprendizaje. Ya desde el año 1961 aparece la estadística en los currículos de Inglaterra (Holmes, 2002). Pero no será hasta la aparición de la LOGSE en 1990 cuando lo haga con mayor entidad en España; cuyo testigo recogieron las leyes posteriores hasta llegar a la actual Ley de Orgánica de Educación (LOE).

Por otro lado, existe una preocupación creciente en cómo se está formando en estadística durante la enseñanza obligatoria, qué dificultades existen y cómo podemos mejorar dicha formación. Todo esto ha llevado a que exista una cantidad creciente de investigaciones en Educación Estadística en los últimos años. A su vez, la comunidad investigadora quiere conocer cómo se están formando los futuros profesores de matemáticas que posteriormente van a enseñar la estadística. Como vemos, se trata de una cadena en la que estamos todos inmersos y cuya finalidad es la formación de ciudadanos capaces de interpretar, utilizar y transmitir informaciones que requieran el lenguaje estadístico. 1 Este artículo está basado en la memoria de Tesis Doctoral realizada por el autor y dirigida por el Dr. Juan Antonio García Cruz, en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de La Laguna, el 5 de noviembre de 2010.

Análisis de los términos de Inferencia Estadística en Bachillerato I. García Alonso


Una característica que tiene la estadística que no debemos pasar por alto, y que ha ayudado a que se utilice en muchos campos del conocimiento, es que tiene un carácter eminentemente interdisciplinar. Esto es una gran ventaja, pues nos permite conocerla desde muchos puntos de vista diferentes y analizarla en diferentes contextos.

Los profesores de Enseñanza Secundaria estamos formando ciudadanos y la primera pregunta que nos hacemos es: ¿qué conceptos estadísticos debe conocer cualquier ciudadano? A esta cuestión nos responde el trabajo realizado por McLean (2002) que nos da como respuesta a la cuestión anterior lo siguiente:

- Probabilidad como una formalización del modo normal de pensamiento. - Desarrollo y utilización de modelos probabilísticos. - Utilización predictiva de modelos probabilísticos. - Papel de los distintos métodos de cuantificación de la probabilidad. - Concepto de población, particularmente como un modelo. - Concepto de muestreo aleatorio de una población conocida. - “Random variation” (variación aleatoria) y su modelización. - Diseño de Muestreo aleatorio y razones para ello. - Aproximación de una variable mediante intervalos. - Modelo probabilístico para la variabilidad de una muestra estadística sobre una población de

muestras. - Intervalos de confianza para un parámetro. - Selección entre modelos basados en una muestra de datos. - Contraste de hipótesis como modelo de selección. - Modelos de recuento para diferentes variaciones. - Más selección entre modelos.

El autor reconoce que su lista difiere de otras en el tipo de expresiones utilizadas y en que ha escogido el contraste de hipótesis como elemento básico que debe conocer cualquier ciudadano. Son dos razones las que aporta para integrar este conocimiento en este listado: es el equivalente estadístico del método científico y por otro lado, tanto el contraste de hipótesis como la investigación científica son desarrollos formalizados de un método de pensamiento cotidiano.

Además, debemos tener en cuenta que ante un resultado estadístico existe un aspecto que fácilmente aparece en cualquier ciudadano y que no debemos subestimar: las intuiciones. No podemos perder de vista que las intuiciones en probabilidad, pues si no se orientan adecuadamente, pueden ser elementos que nos distraigan en la toma de decisiones o cuando realizamos juicios de valor. Un ciudadano estadísticamente culto debe controlar sus intuiciones sobre el azar, utilizando el razonamiento estadístico.

Todo lo anterior nos muestra las habilidades, hábitos, intuiciones, conocimientos y expresiones que de la cultura estadística se requiere en nuestra sociedad, y que debemos controlar y utilizar de manera correcta. En este sentido, el profesorado será el responsable de desarrollar en los ciudadanos la estadística que se exige. Pero previamente el profesorado debe poseer dicha cultura estadística. Por ello es muy importante la formación y motivación del profesorado. Que la estadística aparezca en el currículo no significa que se esté enseñando en las aulas. El profesor debe encontrarse con la formación y capacidad suficiente para poder desarrollar la formación estadística en el aula con confianza y seguridad. Y esto se consigue con una formación adecuada. ¿Se está teniendo esto en cuenta en la formación del profesorado?




Un aspecto a considerar en la formación del profesorado es el conocimiento didáctico de la materia (Thompson, 1992). Este conocimiento didáctico no es exclusivamente el conocimiento de la materia, sino que además debe haber realizado el profesorado una reflexión epistemológica del significado de los conceptos, un estudio de las dificultades, errores y obstáculos del alumnado en el aprendizaje y sus estrategias en la resolución de problemas, y un análisis de los recursos metodológicos disponibles.

Todo lo anterior hace que se investigue en Educación Estadística. En este artículo se presenta una investigación realizada en este campo, en la que se trata de esclarecer las dificultades que aparecen cuando comenzamos el estudio de la Inferencia Estadística en Bachillerato, en lo relativo a los términos que utilizamos y cómo son introducidos en el aula. Nos interesa conocer ante qué dificultades se encuentran los docentes que en ocasiones provocan errores conceptuales graves y que deben ser evitados o corregidos tan pronto como se conozcan. ¿Se pueden evitar los errores de lenguaje? ¿Los errores conceptuales pueden surgir del lenguaje? ¿Se subsanan dichos errores con una mayor formación? Estas y otras cuestiones son las que nos interesan a lo largo de esta investigación.

La investigación desarrollada se divide a su vez en tres trabajos diferentes:

• Análisis de los libros de texto y de los términos de Inferencia Estadística que en ellos aparecen.

• Análisis de cómo comprenden los estudiantes los términos encontrados en los libros de texto relativos a la Inferencia Estadística.

• Elaboración de una propuesta de enseñanza para mejorar la comprensión de aquellos términos de Inferencia Estadística que suelen aparecer con errores conceptuales.

2. Análisis de los libros de texto de bachillerato

Nuestro primer trabajo de investigación consiste en analizar el tratamiento que de los términos estadísticos dan los libros de texto de Bachillerato. Para ello comenzamos seleccionando los libros de texto utilizados en 2º de Bachillerato por los profesores de la materia de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (curso previo a la universidad, 17-18años). Así, en una de las reuniones trimestrales a las que acuden los profesores de la materia, en la que se hace un seguimiento de la programación que se está desarrollando en este nivel educativo, se les preguntó por el libro de texto que utilizan, ya sea directamente en el aula o bien para elaborar los apuntes que luego utilizan en clase. Cabe resaltar que, a estas reuniones, acuden todos los profesores de la provincia de Santa Cruz de Tenerife (Islas Canarias, España), tanto los profesores de la enseñanza pública como los de la enseñanza privada-concertada y privada que imparten las matemáticas en 2º de Bachillerato en la modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales. La mayor parte de los profesores son licenciados en matemáticas y a la citada reunión acudieron en total 37 profesores.

Para la recogida de datos se elaboró un pequeño cuestionario. Se les pidió que indicaran el libro de texto que utilizaban. Del cuestionario extrajimos los cuatro libros de texto más utilizadas por el profesorado y sobre los que hemos realizado nuestra investigación. Estos textos son los correspondientes a las editoriales:

Anaya (T1); SM (T2); Santillana (T3); Edelvives (T4)

Por otro lado, también se preguntó a los profesores sobre la utilidad que tenía el libro de texto para él, es decir, si se utilizaba directamente en el aula por el alumnado, o sólo para elaborar los



apuntes. Nos parece muy significativo que, para una parte importante del profesorado encuestado (unos 30 profesores de los 37) el libro de texto se utiliza para refrescar, recordar los conceptos estadísticos que luego van a desarrollar con el alumnado. Por lo tanto, el libro de texto es un elemento fundamental en la formación del propio docente en cuanto a los conceptos estadísticos que luego va a impartir. Con esta información, podemos considerar que el libro de texto tiene una relevancia aún mayor, si cabe, pues de él va a depender, no sólo la formación en estadística de los estudiantes, sino también parte de la formación del propio docente.

Una vez seleccionados los libros de texto, prestamos especial atención a las lecciones relacionadas con la inferencia estadística. En este sentido, realizamos una descripción de cómo trata el libro de texto la inferencia estadística, qué términos utiliza, en qué contexto se presenta un término, así como los ejemplos que ofrece para ilustrar las explicaciones. Seguidamente, seleccionamos todos los términos relacionados con Inferencia Estadística y aquellos términos estadísticos presentes en estos niveles y que se corresponden con conceptos previos a la inferencia estadística. La siguiente tabla recoge dichos términos según la editorial del libro de texto utilizado:

Anaya Edelvives Santillana SM

Población Muestra Media

Desviación Típica Distribución Probabilidad

Tamaño de la muestra Inferir

Grado de certeza Estimación

Nivel de confianza = grado de certeza

Margen de error Estadística inferencial

Incertidumbre Estadística inductiva

Estadística hipotético-deductiva Hipótesis Parámetro

Muestra aleatoria Estimar

Media muestral Proporción muestral Estimación puntual

Estimación mediante intervalos

Intervalo de confianza Nivel de confianza

Tamaño de la muestra Eficacia de la estimación

α Nivel de confianza

Error máximo admisible Cota de error

Población Individuo Muestra

Tamaño de la muestra

Parámetros Nivel de confianza.

Estadísticos Estimación paramétrica

Estimación puntual Estimación por

intervalos Estadístico

Estimador puntual Estimador insesgado Estimador eficiente

Límites de confianza superior e

inferior Nivel de riesgo: α

Valor crítico: 2/αz

Estimación puntual Estimación por

intervalos Probabilidad

Media muestral Media poblacional

L(X) Ley normal Muestras

representativas Parámetro poblacional

Observaciones muestrales

Nivel de confianza Límites de confianza

Estadístico Precisión del

intervalo

Muestras Azar

Población Teoría del muestreo

Inferir Parámetro Estadístico

Estimador puntual Estimación puntual

Teoría de la estimación

Sesgo Estimador insesgado Estimador eficiente

Intervalo de confianza Nivel de confianza Margen de error

Amplitud Intervalo

Estimador por intervalo

Coeficiente de confianza

Nivel de significación o de riesgo

Valor crítico Margen de error

Distribución binomial

Tabla 1. Términos seleccionados en los libros de texto




Como era de esperar, muchos términos son comunes a las diferentes editoriales. Aunque destacamos que aparecen algunos términos en algunas editoriales que se pueden considerar de un nivel de abstracción muy elevado para ser tratados en un primer curso de inferencia estadística, tales como eficacia de la estimación, estimador eficiente o estimador insesgado.

Una vez seleccionados los términos estadísticos encontrados en los libros de texto, nuestro siguiente paso consistió en estudiar el contexto en que habitualmente se presenta al alumnado. Hemos visto que los estudiantes, habituados al contexto cotidiano, se encuentran con un nuevo contexto que es el contexto matemático. Nuestro propósito es analizar la influencia de uno y otro contexto en los significados de los términos. Así, analizamos el significado de cada término, tanto en el contexto cotidiano como en el matemático. Pero en nuestro caso, como ya indicamos antes, no entendemos por “cotidiano” al significado que se da del término en la calle, el mercado, los pasillos de las escuelas, … Pues nuestra intención es poder realizar un análisis riguroso del significado del contexto cotidiano y que pueda ser lo más universal posible. Es por lo que decidimos utilizar como referencia el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española. Entendemos que esta elección puede ser discutible, pero creímos desde un principio que se trataba del diccionario de referencia para todos los hispanohablantes y que recoge las acepciones de los términos del español que más se utilizan de forma habitual.

Como referente del contexto matemático hemos tomado dos Manuales Universitarios: ME = Mendenhall (1982) y MO = Moore (2005). El primero de ellos es un manual universitario con muchas aplicaciones y ejemplificaciones cuando desarrolla los conceptos estadísticos; y el segundo manual está escrito por el que fuera presidente de la Asociación Estadística Internacional. Con ellos tratamos de mostrar la definición formal que se da a los términos estadísticos. Encontramos que en algunos términos se daba un excesivo tecnicismo y requerían de un complicado aparato matemático para dar su definición. En estos casos tratamos de analizar si la simplificación llevada a cabo en los libros de texto de Bachillerato desvirtúa la definición correcta.

Una vez conocemos el significado de los términos en el contexto cotidiano y matemático, analizamos en qué categoría de las descritas por Shuard & Rothery (1984) se sitúa y realizamos la clasificación de cada término. Para ello, si ocurre que las definiciones del Diccionario y de los Manuales Universitarios son equivalentes o muy cercanas, situamos el término dentro de la categoría de “términos con el mismo significado en ambos contextos”(1). Si no está definido en el Diccionario y sólo aparece la definición en los Manuales Universitarios, diremos que dicho término tiene “significado propio en el contexto matemático”(3). Y cualquier término que no presente la misma definición en el Diccionario y en los Manuales Universitarios será catalogado como “término con distinto significado en ambos contextos”(2). El último paso de esta fase de la investigación consistirá en analizar qué ocurre con estos mismos términos en los textos de Bachillerato seleccionados, esto es, analizaremos cómo tratan los libros de texto cada uno de los términos estudiados para comprobar si se puede determinar a qué contexto se acerca más la definición y, en su caso, si la definición dada se puede considerar correcta o no.

Entendemos que el libro de texto de Bachillerato se sitúa entre los dos contextos (cotidiano y matemático) y está pensado para que el estudiante, con su lenguaje cotidiano, pueda acercarse a conceptos matemáticos más elaborados e incorpore términos propios del lenguaje matemático.

En total analizamos 28 términos relativos a la Inferencia Estadística quedando catalogados de la siguiente manera, tabla 2:



Tabla 2.

A continuación mostraremos algunos ejemplos de cómo procedimos a la clasificación de los términos y qué pudimos observar con respecto a las definiciones dadas en los libros de texto de Bachillerato analizados para cada uno de ellos.

2.1. Categoría 1: Mismo significado en ambos contextos

Integramos en esta categoría aquellos términos que no modifican su significado ni en el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española ni en los manuales universitarios. Vamos a mostrar algunos términos a modo de ejemplo, y analizaremos el comportamiento que tienen los libros de texto con estos términos:

Término: POBLACIÓN

Diccionario Manuales Universitarios 1. Acción y efecto de poblar 2. Conjunto de los individuos o cosas sometido a una evaluación estadística mediante muestreo.

ME .- Conjunto de todas las mediciones de interés para quien obtiene la muestra. MO .- Un grupo entero de individuos sobre el que queremos información se llama población.

TEXTOS T1.- “Población o universo es el conjunto de todos los individuos objeto de nuestro estudio”. T2.- “es el conjunto de todos los elementos que poseen una determinada característica. En general supondremos que la población es muy grande.” T3.- “cuando una investigación estadística va referida a un conjunto, colección o colectivo de elementos, este colectivo se llama población.” T4.- “el conjunto homogéneo de personas, animales o cosas sobre el que se va a realizar un estudio”.

Si comparamos estas definiciones con las dadas en los diferentes textos, cabe destacar la definición dada en T4, donde se señala que el conjunto sea homogéneo. Se trata de un requisito que no es necesario, y podría inducir a errores conceptuales posteriores. Debemos tener en cuenta que pudiera

Categoría 1 Mismo significado en ambos

contextos

Categoría 2 Distinto significado en ambos

contextos

Categoría 3 Significado propio en el

contexto matemático Estadística Población Individuo

Tamaño de la muestra

Media Estimación

Muestra Probabilidad

Inferir Distribución

Riesgo Significativo

Estadístico Parámetro

Muestreo aleatorio Nivel de confianza

Error máximo admisible Desviación típica

Normal Sesgado

Eficiencia Proporción muestral

Contraste de Hipótesis Hipótesis Nula

Nivel de Significación Hipótesis Alternativa

Error de Tipo I Error de Tipo II




ser que la finalidad del estudio estadístico fuera determinar cierta característica homogénea en la población.

2.2 Categoría 2: Distinto significado en ambos contextos

En esta categoría clasificamos los siguientes términos: Media (como algoritmo), Muestra, Estimación, Inferir, Distribución, Probabilidad, Representativo, Riesgo.

Término: MUESTRA

Diccionario Manuales Universitarios 1. Porción de un producto o mercancía que sirve para conocer la calidad del género. 2. Parte o porción extraída de un conjunto por métodos que permiten considerarla como representativa de él.

ME .- Una muestra es un subconjunto de mediciones seleccionadas de la población de interés. MO .- Una muestra es la parte de la población que realmente examinamos con el objetivo de obtener información.

TEXTOS T1.- “un subconjunto extraído de la población. Su estudio sirve para inferir características de toda la población”. “Sin embargo, si la muestra está mal elegida (no es representativa)…” T2.- “un subconjunto de la población”. Para que “un estudio sea fiable habrá que cuidar mucho la elección de la muestra, con el fin de que sea realmente representativa de la población”. T3.- “parte de la población, debidamente elegida, que se somete a la observación científica en representación de la misma, con el propósito de obtener resultados válidos para toda la población”. Y que para que “una muestra se considere válida debe cumplir que (…) sea representativa” T4.- “Subconjunto de la población”. Se debe “hacer una buena selección”.

Para este término podemos observar que la definición dada por los manuales universitarios es equivalente entre sí, mientras que la dada por el diccionario agrega la idea de que el subconjunto debe ser representativo del total. Este requisito no aparece en los manuales universitarios, pero podemos observar que sí lo recogen los libros de texto.

¿Qué se entiende por algo representativo? El Diccionario define este término como:

1. Hacer presente algo con palabras o figuras que la imaginación retiene.

2. Ser imagen o símbolo de algo, o imitarlo perfectamente.

Según esta definición, cuando se dice que una muestra es representativa se está indicando que la muestra debe “imitar perfectamente” o “ser imagen” de la población. Encontramos que se está fomentando de esta manera la concepción errónea descrita por Kahneman et al. (1982) denominada heurística de la representatividad, donde el estudiante espera que pequeñas muestras hereden todas las propiedades de la población. Sabemos que no es el parecido con la población lo que valida una muestra, sino su método de selección.

Pero además, es un hecho destacable que el Diccionario recoja la definición de muestra indicando que sea representativa. Esto nos demuestra que en el contexto cotidiano se ha adoptado una definición errónea de este tecnicismo, y que pudiera generar un obstáculo en el aprendizaje. Constatamos que algunos libros de texto fomentan esta concepción errónea.



Otro ejemplo de este tipo de categoría es el siguiente:

Término: INFERIR

Diccionario Manuales Universitarios

Sacar una consecuencia o deducir algo de otra cosa.

ME.- El objetivo de la estadística es hacer inferencias (predicciones, decisiones) acerca de una población. MO.-La inferencia estadística proporciona métodos que permiten sacar conclusiones de una población a partir de los datos de una muestra.

Las editoriales no dan una definición explícita del término.

Inferir es otro término de uso extendido en el contexto cotidiano. Pero, podemos observar que, el Diccionario hace una equivalencia entre inferir y deducir. En matemáticas son términos opuestos y con significados distintos. Por tanto, observamos que hay diferencia entre el significado del término en el contexto cotidiano y en el contexto matemático, lo que puede llevar a generar obstáculos en el aprendizaje.

Por otro lado, creemos que es algo muy relevante que ninguna de las editoriales más utilizadas dé una descripción o introducción al concepto de inferir, teniendo en cuenta que es un concepto central y que además es, obviamente, el objetivo fundamental de la Inferencia Estadística.

2.3 Categoría 3: Significado propio del contexto matemático

Esta es la categoría en la que más términos clasificamos: Estadístico, Parámetro, Muestreo aleatorio, Media muestral, Media poblacional, Nivel de confianza, Desviación típica, Nivel de significación, Estadística inductiva, Estadística hipotético-deductiva, Error máximo admisible, Normal, Sesgado, Eficiente, Proporción muestral.

Término: ESTADÍSTICO

Diccionario Manuales Universitarios 1. Perteneciente o relativo a la estadística. 2. Persona que profesa la estadística.

MO. Un estadístico es un número que se puede calcular a partir de los datos de la muestra sin utilizar ningún parámetro desconocido. En la práctica, solemos utilizar un estadístico para estimar el parámetro desconocido.

TEXTOS T1.- No lo define. T2.- “un valor numérico que describe una característica de la muestra”. T3.- “ [valores o medidas] que caracterizan a una muestra”. T4.- No lo define.

En el diccionario no encontramos ninguna definición de este término, tal y como se trabaja en estadística. Es por ello que este término lo situamos como un término específico del contexto matemático.

Es significativo que, no todos los libros de texto lo definen, y, aunque lo hagan, no lo utilizan posteriormente y hablan de parámetros poblacionales en vez de estadísticos, siendo un concepto tan importante, pues es el valor a partir del cual realizamos la inferencia estadística.




Término: PARÁMETRO


1. Dato o factor que se toma como necesario para analizar o valorar una situación.

2. Variable que, en una familia de elementos, sirve para identificar cada uno de ellos mediante su valor numérico.

ME.- Las poblaciones son caracterizadas por medidas descriptivas numéricas, llamadas parámetros.

MO. Un parámetro es un número que describe la población. En la práctica estadística el valor del parámetro no es conocido ya que no podemos examinar toda la población.

TEXTOS

T1.- No lo define.

T2.- “valor numérico que describe una característica de la población”.

T3.- “los valores o medidas que caracterizan a la población”

T4.-“a partir de una distribución podemos definir una serie de medidas características de la variable aleatoria denominadas parámetros.”

Podemos observar que el diccionario no da una definición apropiada de lo que representa este término en el contexto estadístico. Entendemos, por ello, que este término tiene que ver con el lenguaje específico de la matemática. Pero, además, dentro del propio contexto matemático, encontramos que el término puede presentar varias acepciones, pues en la estadística se denomina así al valor de una característica de la población. Esto hace que necesariamente debamos definir el término.

Cabe destacar, que no todas las editoriales dan la definición de este término. Y las que lo hacen no dan ejemplos con los que facilitar su comprensión.

Término: NIVEL DE CONFIANZA


El diccionario no define este término.

ME.- Probabilidad de que un intervalo de confianza incluya al parámetro estimado.

MO. Un nivel de confianza C, proporciona la probabilidad de que en un muestreo repetido, el intervalo contenga el verdadero valor del parámetro.

TEXTOS

T1.- “A partir de una muestra de tamaño n podemos estimar el valor de un parámetro de la población (…) Dando un intervalo dentro del cual confiamos que esté el parámetro. (…) Hallando la probabilidad de que tal cosa ocurra. A dicha probabilidad se la llama nivel de confianza”.

T2.- “ la probabilidad de que un estimador por intervalo cubra el verdadero valor del parámetro que se pretende estimar. Generalmente se representa por 1 - α .”

T3.- “el nivel de confianza que tenemos de que la media de la población pertenezca al intervalo es 1-α ”.

T4.-“Calcular dos valores entre los que esperamos que esté el parámetro buscado con un cierto nivel de confianza, que llamaremos 1-α , donde α es el nivel de riesgo fijado de antemano”.



Observamos que T2 y T3 hablan de la probabilidad de que el estimador esté en el intervalo, pero a continuación introducen una nomenclatura en la que interviene un valor nuevo: 1-α . Previamente no se ha definidoα . En cambio, en T4 se dice que α es el nivel de riesgo. Se define un término en función de otro no definido.

Tanto T2 como T3 exponen un ejemplo que no va más allá de una anécdota sobre el significado de nivel de confianza. No hay ninguna de las actividades que incida en este concepto, sino que se trabaja con él en otros ejercicios.

T1 comenta el significado del concepto, pero T4 no hace mención alguna a ningún ejercicio en el que se explique el significado de nivel de confianza.

Entendemos que se trata de un concepto nuevo para los estudiantes y cuya comprensión puede no resultar fácil, pues dejamos de hablar de probabilidad y pasamos a hablar de nivel, y la confianza aparece como el opuesto de la significación, que a su vez representa un tipo de Error. Son varios conceptos entremezclados que las editoriales no consiguen separar y aclarar convenientemente, para facilitar su comprensión.

2.4 Conclusión del estudio de los términos estadísticos en los libros de texto

La primera categoría la constituyen los términos con el mismo significado en ambos contextos, y que por tanto no deberían presentar dificultad a los estudiantes, por aparecer de manera habitual en el lenguaje cotidiano. En este caso, la mayoría de los textos analizados han dado la definición correcta de los términos. Aunque hay algunos que en ocasiones añaden aspectos en la definición que modifican sensiblemente su significado.

La segunda categoría está formada por los términos con distinto significado en ambos contextos, que aparecen tanto en un contexto cotidiano como en el contexto matemático, pero, en este último contexto modifican su significado, y en ocasiones, este hecho pasa desapercibido para estudiantes y profesores. Esto puede provocar que el estudiante aprenda este concepto matemático con errores. Apreciamos que la mayoría de los textos analizados utilizan las definiciones dadas en el contexto cotidiano, en vez de usar la definición del contexto matemático. Esto es algo que consideramos grave, puesto que el libro de texto como herramienta de trabajo en el aula, tiene que ayudar a salvar los posibles obstáculos que en el proceso de enseñanza y aprendizaje se producen y presentar al estudiante los conceptos matemáticos de forma correcta.

La tercera categoría la constituyen los términos propios del contexto matemático que por tanto el estudiante desconoce y se introducen por primera vez a través del libro de texto. Encontramos que muchos de los textos no los definen, ya sea porque entienden que los conocen los estudiantes o por creer que de esta forma puedan simplificar el proceso de enseñanza y aprendizaje. En otros casos, hemos observado que algunos textos introducen términos propios de la Inferencia Estadística que luego no vuelven a utilizar, o que utilizan denominándolos de otra forma. Ejemplo de ello es el término estadístico, al que se refieren los libros de texto como parámetros poblacionales. Esto, entendemos que puede provocar confusión o, al menos, nos indica que el libro de texto es inconsistente, por no utilizar aquellos términos que define.

Hemos constatado que las dificultades y posibles obstáculos debidos al lenguaje, descritos por Orton (1990), no son exclusivos del profesor, sino que los libros de texto también pueden provocar confusiones en las definiciones y tratamiento que se le da a los términos por no estar definidos correctamente. Cuando se escribe un libro de texto se debe pensar que sea legible, tal y como lo define Orton (1990), esto es, que no interrumpa el lenguaje la comprensión de los conceptos que estamos




estudiando. Existen libros de texto que no hacen un esfuerzo en este sentido y no dan la definición de los términos que corresponde en el contexto matemático. En otras ocasiones, el libro de texto adorna la definición, o simplemente da una definición errónea. Estas diferencias en las definiciones no son fácilmente localizables, y los estudiantes no posee el conocimiento necesario para identificar el error. Además, el profesorado admite que utiliza el libro de texto como instrumento de formación sobre estos conceptos relativos a la Inferencia Estadística, con lo que la única definición que conoce de los términos es la que aparece en estos libros de texto. Esto hace que el docente no tenga criterio para decidir qué términos están bien definidos y cuáles no, dejando toda la responsabilidad sobre los términos relativos a la Inferencia Estadística a los libros de texto. Con este estudio también hemos podido constatar que, efectivamente, el lenguaje que se utiliza en este nivel educativo está compuesto, en gran medida, por términos específicos matemáticos. Debemos ser conscientes de que estos estudiantes se están preparando para comenzar el estudio de una matemática superior, por lo que los conceptos, y por tanto, los términos son fundamentales y deben estar bien definidos. En particular, el Contraste de Hipótesis necesita muchos términos propios del lenguaje matemático para su desarrollo. Son muchos conceptos nuevos que el estudiante debe asimilar correctamente para así entender el razonamiento y el procedimiento necesario para resolver correctamente un Contraste de Hipótesis.

Concluyendo: en el análisis de los libros de textos, sobre aquellos términos relativos a la Inferencia Estadística, hemos encontrado que el contexto de trabajo es determinante en el significado de los términos, y que en ocasiones, la definición que de estos términos aparece en los libros de texto no se corresponde con la propia del contexto matemático, sino más bien con la del contexto cotidiano.

3. Análisis de cómo entienden los términos los estudiantes

Una vez hemos clasificado los términos, nos interesa conocer cómo cada una de las características que hemos encontrado en la fase anterior afecta a la comprensión de los términos por parte de los estudiantes: concordancia, o no, entre el contexto, la tecnificación de los términos o la ausencia de definiciones.

Para ello realizamos un cuestionario en el que se le plantea al estudiante que elabore su definición o utilice conceptos estadísticos que aparecen en los libros de texto, siguiendo la clasificación de los términos dada en el apartado anterior. Así, para la elaboración del cuestionario se tuvieron en cuenta tanto los términos que se estudian en Bachillerato como las categorías en que se enmarca cada uno. En la siguiente tabla se muestran los términos seleccionados para el cuestionario según cada categoría:

Categoría Término estudiado (Número de pregunta) Mismo significado en ambos

contextos Población (P2), Individuo(P3)

Distinto significado en ambos contextos

Muestra (P4, P5B, P6), Inferir (P12), Significativo (P15), Distribución (P13)

Significado propio en el contexto matemático

Estadístico (P14), Muestreo aleatorio (P16)

El estudio se realizó con 26 estudiantes. De estos, 14 eran estudiantes del último curso de Bachillerato con edades comprendidas entre 17 y 20 años, mientras que los otros 12 estudiantes eran del último curso de la Facultad de Matemáticas con edades comprendidas entre 21 y 25 años.

Para el análisis del cuestionario utilizaremos la taxonomía SOLO (Biggs & Collis, 1982, 1991). Este análisis caracterizará la respuesta del estudiante ante una situación concreta en un estadio determinado de la taxonomía. Esto nos permitirá analizar la cualidad del aprendizaje, siendo los



estadios de comprensión las formas equivalentes de expresar la cualidad del aprendizaje manifestado por los estudiantes ante una tarea particular. Los estadios de comprensión son: Preestructural, Uniestructural, Multiestructural, Relacional y de Abstracción ampliada.

En nuestro modelo no hemos planteado tareas encaminadas hacia la abstracción ampliada, por lo que no utilizaremos este estadio y sí aparecen muchas respuestas de alumnos que no podemos situar en el estadio Multiestructural ni Relacional, por lo que, utilizando la clasificación adaptada de García Cruz & Garrett (2008), introducimos un estadio denominado de Transición. Así, los diferentes estadios de la clasificación adaptada que utilizamos para el análisis del cuestionario queda de la siguiente manera:

El estadio Preestructural queda asociado con las respuestas que indican un nivel bajo de aprendizaje con respecto al nivel de abstracción que exige la tarea, o que expresan fundamentos de carácter subjetivo, mostrando que el estudiante está despistado o atraído por aspectos irrelevantes. En algunas respuestas el estudiante da simplemente una afirmación y no argumenta, presenta ideas incompletas, o muestra no haber hecho ningún intento real de dar una respuesta apoyada en evidencias.

El estadio Uniestructural se asocia con las respuestas fundamentadas en ideas imaginarias y/o relacionadas con sus experiencias de lo cotidiano. En algunas de ellas, el estudiante se centra en un aspecto del dato y lo usa para justificar su respuesta, o considera un atributo concreto dentro de sus propias experiencias, estimándolo suficiente para la situación.

El estadio Multiestructural se caracteriza por la respuesta del alumno dada en la dirección de la tarea, muestra algunas características adecuadas de la misma, pero no integra correctamente los diferentes elementos, fundamentalmente porque atribuye significados diferentes al requerido en la tarea. El estudiante en este estadio muestra un conocimiento aislado de definiciones, fórmulas, algoritmos y procedimientos.

El estadio de Transición que recogerá las respuestas de aquellos alumnos cuyos pensamientos manifiestan el uso de razonamientos adecuados, llegando incluso a proporcionar vías correctas y coordinadas. Sin embargo, aún necesitan de un refinamiento o perfeccionamiento, pues no aparece aún una estructura coherente y significativa en lo que exige la tarea.

El estadio Relacional se caracteriza porque en él, el estudiante realiza conexiones precisas entre los diferentes elementos. Integra las diferentes partes, definiciones, propiedades, fórmulas, algoritmos, procedimientos, condiciones de aplicación, en el proceso de desarrollo de la misma y con ella completa una estructura coherente y significativa.

Tras el análisis de las respuestas hemos podido constatar que los estudiantes presentan dificultades a la hora de trabajar con los términos estadísticos. En las definiciones de los términos correspondientes a la Categoría 1 encontramos que, a pesar de presentar el significado en ambos contextos, los estudiantes no son capaces de dar la definición adecuada para el contexto en el que se encuentran. Incluso, teniendo una formación mucho mayor, los estudiantes universitarios no mejoran la definición de términos clasificados en esta categoría. Un término tan utilizado en estadística como es el de Población, los estudiantes de bachillerato, sin formación estadística, no son capaces de dar una definición adecuada. Llama la atención que, a pesar de estar en el aula de matemáticas, con el profesor de matemáticas, las respuestas parecen no estar enmarcadas en el contexto matemático. ¿Qué hace que el estudiante se sienta en un contexto matemático?

Cuando analizamos los términos de la Categoría 2, observamos que la confusión entre los tipos de respuestas aumenta. Esto corrobora lo que en principio se intuía, que estos términos hay que definirlos correctamente para que no haya confusión entre los contextos de trabajo. Pero por otro lado,




subyacen concepciones erróneas que con el paso del tiempo y una mayor formación, no se subsanan y persisten. Así, entre los estudiantes universitarios hay muchos que, independientemente del contexto del ejercicio, sigue pensando en que la muestra debe ser representativa e imitar a la población de la que proviene. Cometen el error descrito por Kahnemann et al. (1982): la heurística de la representatividad, anteriormente citado. Otro hecho que podemos observar es que el contexto de urnas y monedas le resulta al estudiante más fácil de analizar que otro tipo de contexto. En clase de matemáticas se trabaja mucho este tipo de situaciones y en cambio, no se trabajan otros tipos de contextos de los que extraer muestras. Esto hace que para el alumnado resulte más familiar y manejable, mientras que el contexto del centro educativo que, aparentemente parece ser cercano, en él el alumnado no es capaz de decidir correctamente si el muestreo realizado es adecuado para el estudio estadístico o si es preferible realizar otro tipo de muestreo.

Con los términos de la Categoría 3 la situación cambia completamente. Los estudiantes de Bachillerato no han recibido ningún tipo de formación sobre ellos y podemos observar que, efectivamente, si los términos no han sido definidos previamente difícilmente podrá acercarse lo que entienden por él a su definición en Estadística. Pero es más, entre los estudiantes universitarios, que sí han recibido formación estadística en algún momento, observamos que también tienen dificultades para dar su definición y muchos de ellos ni responden a lo que se les pide o lo hacen de manera incorrecta.

En general, la formación que tienen los estudiantes sobre los términos se reduce a dar su definición. Es necesario que mostremos las definiciones en diferentes situaciones y a su vez dar situaciones que no cumplan la definición. Sólo de esta manera podrán integrar bien todos los elementos que forman parte del concepto. Por otro lado, es importante que trabajemos concienzudamente los errores conceptuales que pueden venir del contexto cotidiano, pues estos errores no se superan con una mayor formación o con el paso del tiempo, sino que persisten mientras no se traten de erradicar. Los estudiantes universitarios tienen mayor formación y, por tanto, mayores estrategias y están más habituados a reflexionar sobre sus decisiones, pero los errores que se perciben en los estudiantes de bachillerato no varían sustancialmente con el paso del tiempo ni con una formación más específica.

4. Diseño didáctico

Dentro de la investigación desarrollada nos planteamos diseñar una propuesta de enseñanza que nos permitiera desarrollar la enseñanza de la estadística en Bachillerato con la que salvar alguna de las dificultades encontradas. Para ello seguimos el diseño propuesto por Swan (2008), que en origen lo desarrolló para la elaboración de diseños didácticos en álgebra. Hemos hecho una adaptación a la Inferencia Estadística, y más concretamente a la estimación de un parámetro mediante un intervalo, pues es el punto de partida de la Inferencia Estadística en Bachillerato.

En este modelo se propone que el papel del docente incluya:

- guiar a los estudiantes y hacer un uso constructivo del conocimiento previo; - que el propósito de la actividad sea claro; - desafiar a los estudiantes a través de cuestiones efectivas y probadas; - realizar debates en pequeños grupos y con toda la clase; - alentar la discusión de puntos de vista alternativos; - extraer las ideas importantes en cada lección; - ayudar a los estudiantes a establecer conexiones entre sus ideas.



Como podemos observar, este modelo difiere del aprendizaje “por descubrimiento”, donde el profesor presenta simplemente tareas y espera que los estudiantes exploren y descubran las ideas por sí mismos. El docente tiene otro papel.

Los principios que nos propone Swan (2008) que sigamos son los que a continuación indicamos:

- La importancia de centrarse directamente en los obstáculos conceptuales clave, basándose en los conocimientos que ya tienen los estudiantes;

- La creación de tensión y conflicto cognitivo que pueda ser resuelto a través de la discusión;

- Utilización de tareas que sean «accesibles, extensibles, que alienten la toma de decisiones, creativas y que cuestionen un orden superior;

- Uso de múltiples representaciones para crear conexiones; - Uso de tareas que permitan a los estudiantes cambiar su papel, en el que se expliquen y se

enseñen unos a otros.

Además debemos tener en cuenta las trayectorias de enseñanza y aprendizaje de Heuvel-Panhuizen (2001) que describen cómo aprenden los estudiantes. Esto es, que el alumnado ha tenido diferentes experiencias formativas y presenta diferentes ritmos de aprendizaje. Todo esto provoca que los estudiantes aprendan un mismo concepto en diferentes momentos y requieran de distintos puntos de vista.

En nuestra propuesta tratamos de conjugar todo lo dicho para favorecer el aprendizaje que buscamos en los estudiantes.

4.1 Elaboración de la propuesta de enseñanza

Proponemos a los alumnos encontrar un dato que resuma las estaturas de 180 estudiantes de 2º de Bachillerato.

174 180 162 161 165 171 162 163 175 169 162 167 172 178 174 162 160 172 183 168 184 180 169 160 155 169 163 164 169 165 168 177 170 160 165 176 168 162 165 170 156 168 174 150 170 187 152 170 169 173 174 163 176 155 173 178 199 174 179 161 164 168 175 162 170 180 181 170 174 170 164 175 167 178 170 176 168 178 167 175 160 173 164 168 160 171 171 163 166 177 183 174 175 176 160 182 171 168 170 173 165 169 181 175 165 172 158 168 167 167 175 165 184 182 175 172 171 167 168 171 181 165 181 163 173 176 175 187 163 172 178 154 186 163 189 178 182 168 162 171 175 178 175 170 178 172 162 162 156 175 188 181 160 165 174 180 161 180 184 168 179 160 165 172 175 175 181 168 186 159 159 182 173 174 171 179 177 162 173 162




El primer planteamiento que se les hará al alumnado es el siguiente:

1. Queremos resumir la información contenida en esta tabla. ¿Qué se te ocurre que podría resumir los datos? ¿Por qué?

Con esta primera cuestión, tratamos de que los estudiantes se enfrenten a una situación estadística real, en la que tienen que trabajar con muchos datos y sacar conclusiones. Al principio tendrán que utilizar las herramientas que poseen y que en este caso estarán relacionadas con la estadística descriptiva.

Hacemos hincapié en el contexto, pues creemos que es importante que se utilicen situaciones cercanas a los estudiantes y que, de esta manera, las interpretaciones que hagan tendrán mayor sentido para ellos.

En este momento, el profesor ha lanzado la pregunta y el planteamiento debe ser que los estudiantes comenten entre ellos y al grupo las ideas que van surgiendo. En un primer momento el profesor no debe intervenir salvo para animar la discusión.

El desarrollo de esta primera parte será oral, aunque en ocasiones le propondrá que realicen operaciones en su libreta para justificar las exposiciones que realicen los estudiantes de manera oral.

Una vez, hayan pensado que la media es el parámetro que conocemos que mejor resume los datos que tengamos pasaremos a la siguiente cuestión:

2. Ahora que sabemos que buscamos la media, ¿cómo la podemos calcular para todos los datos?

El profesor deja caer la pregunta para que reflexionen sobre el método de cálculo. Al principio tratarán de hacerlo con todos los datos, pues están habituados a calcular la media de los datos que se presenten, sin reflexionar sobre el esfuerzo que puede llevar. En este caso, y dado que hemos presentado una cantidad importante de datos, esperamos que algunos estudiantes se planteen la dificultad que surge por la enorme cantidad de datos. Si no es así, el profesor les planteará que busquen la manera de calcularla pero sin tener que hacerlo con todos los datos.

Una vez que los estudiantes lleguen a reconocer que se podría extraer una muestra para realizar el cálculo de la media se les propone lo siguiente:

a. MUESTRA. ¿Por qué una muestra? ¿cómo la escogemos?

Con esto queremos explicitar la necesidad que surge en ocasiones de trabajar con muestras y qué cosas tenemos que decidir a la hora de seleccionarlas. También veremos si se explicitan aquellos errores conceptuales que hemos descrito previamente y que tienen que ver con este término. Tendremos que decidir varias cosas de la muestra:

b. AZAR. ¿de qué forma sabes que los estás escogiendo al azar?

i) Sorteo. ¿cómo?

ii) Escoger los 20 primeros, ¿estaría bien?

Tratamos de mostrar a los estudiantes que decidir que algo es debido al azar no es muchas veces tan sencillo como “escoger como quiera”. Queremos que analicen modos de seleccionar de los datos y



que indiquen si son o no al azar, es decir, si creen que pudiera darse una circunstancia para pensar que la selección hecha ha sido intencionada.

c. CANTIDAD. ¿Cuántos datos escogemos? ¿Muchos? ¿cuántos son muchos? ¿la mitad son muchos? ¿cuántos son pocos? ¿Cinco datos son pocos, y diez?

Otro elemento que tenemos que decidir cuando realizamos una muestra. ¿Qué ventajas e inconvenientes tienen unas cantidades frente a otras? Deben darse cuenta que a mayor cantidad de datos más trabajo y también más nos acercamos al verdadero valor de la media para esta población.

d. ALGORITMO

i) Media. ¿Cuál escogemos de todas? ¿Son todas buenas?

ii) CASO. Mi sorteo me dio los resultados: 189, 199, 187, 186, 187, 186, 184, 184, 188, 184. La media es: 187’4. ¿Es buena aproximación?

iii) Media de medias. ¿Sería mejor aproximación? ¿qué le pasa a la media de medias?

Ya hemos llegado a la conclusión de que debemos realizar una muestra de la población, que esta debe ser al azar y que con los datos que escojamos calcularemos una media. Nuestro siguiente problema es que la media que vamos a obtener cada uno será diferente. Enfrentaremos así a los estudiantes por primera vez a la no-unicidad de las soluciones en estadística. Aparece el error por primera vez. Está claro que en estadística se cometen errores, pues no obtenemos la solución exacta, sino una aproximación y por esto se dice que estamos estimando un valor. Esto debe causar en los estudiantes cierta inseguridad, pues están acostumbrados hasta este momento que en la clase de matemáticas los resultados tienen que darles a todos igual. En ocasiones, cuando se trabaja inferencia estadística también se hacen los problemas para que a todos los estudiantes les dé el mismo resultado. Todo esto va generando una confusión conceptual, y por comodidad del docente, transmitimos que la estadística es inmutable, como el resto de las matemáticas.

3. ESTIMACIÓN. Define este término.

En este punto queremos fijar algunos conceptos. Queremos ver qué entienden los estudiantes por este término y partiendo de sus concepciones tratar de dar la definición matemática de este término. Para ello les realizaremos las siguientes cuestiones, con las que podremos extraer su idea de estimación:

a. ¿Qué significa obtener una estimación? ¿qué estamos estimando?

No sólo nos interesa que conozcan el significado sino que sepan cómo se utiliza y cómo se extraen estimaciones. Estamos siguiendo el modelo propuesto por Swan (2008), pues guiamos a los estudiantes y hacemos un uso constructivo del conocimiento previo.

b. La media obtenida, ¿es una estimación? ¿de qué?

Con esta cuestión les estamos desafiando a que prueben que es una estimación, que cumple los requisitos que ellos creen que debe tener un valor estimativo. Alentamos la discusión y ayudamos a los estudiantes a realizar conexiones.




4. Define “ESTIMACIÓN PUNTUAL”

Seguimos sentando las bases de los términos específicos matemáticos. Ahora con Estimación Puntual. Este término y el siguiente son muy recurridos en estadística. Es por ello que debemos dejarlos bien definidos para evitar dificultades de comprensión posteriores de otros términos en los que estos se vean implicados.

5. Define “ESTIMACIÓN POR INTERVALOS”

Aunque no añade el profesor más cuestiones sobre estos términos, está claro que durante el desarrollo de la sesión de clase, éste podrá incorporar cuestiones relativas a estos términos y los podrá ilustrar dentro del trabajo que están desarrollando con las estaturas de los alumnos.

6. ERROR de la estimación. ¿Cómo lo definirías?¿qué puede hacer que este error de estimación sea mayor o menor? ¿De qué depende?

No podemos hablar de estimación sin mencionar el error. Como se indicó anteriormente, para los estudiantes es una novedad que los resultados en matemáticas no sean exactos y que tengamos que llegar a conclusiones sobre resultados aproximados.

Con todos estos términos estamos tratando de que el estudiante siga los pasos para comprender los conceptos, tal y como lo describe Swan (2008), identificando los términos, discriminándolos de otros similares, generalizando extrayendo sus propiedades y sintetizándo.

7. FORMALIZACIÓN. Variable X = estatura de los estudiantes. Sigue una distribución normal. Pero desconocemos la media de la distribución. Sí conocemos la desviación típica: 8’07.

Llegados a este punto, el profesor tendrá que matematizar el proceso seguido. Se trata de redactar en lenguaje matemático formal la situación en la que se encuentra nuestro problema. Esto es un salto importante en el discurso de la clase, pero es necesario para poder lograr el objetivo propuesto: encontrar un intervalo que nos permita controlar la media de la población con un error determinado. Hay un valor que será conocido en todo el proceso: la desviación típica de la población. De esta manera tratamos de centrarnos en la media de la distribución y de la población, aislamos el problema que tenemos desde un principio para que los estudiantes no se pierdan ante muchos datos desconocidos. Los estudiantes conocen la distribución normal teórica, reconocen los parámetros que la identifican y son capaces de realizar cálculos utilizando la tabla de valores de dicha distribución.

8. ¿Qué distribución siguen las medias muestrales?

Esta pregunta se realiza aquí en una situación concreta. Los estudiantes han estudiado de manera teórica y con problemas ficticios la distribución de medias muestrales. Tratamos de ver si con la formación recibida son capaces de trasladarla a esta situación nueva que da sentido a lo estudiado previamente.

9. Buscamos un intervalo de la distribución normal que encierre el 90% de todas las medias que podamos calcular.

a. Se trata de un intervalo característico.

b. Busca el valor superior del intervalo para el caso concreto de los datos que tenemos de nuestra distribución.



c. ¿Qué harías con la media que desconoces?

d. Si la sustituimos por la media muestral, lo que hacemos es CONFIAR en que la media de la población esté dentro del intervalo que encontremos. 95% es la CONFIANZA que fijamos de tener la media de la población dentro.

e. ¿A todos les dio el mismo número? ¿Por qué? ¿Está mal?

f. La media de la población es 170’76. Indica cuántos la tienen en su intervalo. Comprobar que se trata de un 95% de los casos.

En este momento aparece el intervalo de confianza. El profesor tiene aquí una labor muy complicada, pues tratará de hacer ver a los estudiantes cómo un intervalo característico pasa a ser un intervalo de confianza. Muchos de los libros de texto analizados se saltan esta explicación y van directamente a mostrar una fórmula con la que calcular el intervalo de confianza. La explicación que va a seguir el profesor será la siguiente:

Tratamos de buscar “d” que cumpla:

Con esto aseguramos que el 95% de las medias muestrales diste menos de una cantidad d de la media poblacional.

Sea cual sea la media poblacional, pues no depende de su valor.

Recordemos que la desviación típica y n son conocidos.

Buscamos los valores, en la N(0,1) que encierran esa probabilidad y que coinciden con los valores críticos para dicha probabilidad.

Lo que obtenemos es la distancia que habrá entre las medias con probabilidad 0,95

Deshaciendo totalmente la desigualdad obtenemos la fórmula del intervalo de confianza comúnmente utilizada.

10. Ahora se trata de encontrar una fórmula que nos dé el valor superior de dicho intervalo. ¿Qué se te ocurre hacer?

11. Busca también la fórmula para el valor inferior del intervalo.




Estas cuestiones tratan de extraer las fórmulas que conocemos para el cálculo de los intervalos de confianza.

12. ¿Qué amplitud tiene nuestro intervalo? O lo que es lo mismo, ¿qué distancia hay entre los extremos de los intervalos?

Anteriormente hablamos de que en toda estimación se cometía un error. Tratamos ahora de ver que, independientemente de la media que hemos elegido de la muestra, todos tenemos un intervalo con la misma amplitud. Todos tienen la misma distancia entre los extremos. Les trataremos de pedir que analicen por qué ocurre esto, qué estamos haciendo todos por igual para que nos dé el mismo valor.

13. La amplitud ¿varía entre nosotros? Ese dato es el ERROR.

Daremos nombre a ese valor común a todos los resultados, la amplitud del intervalo es el error que estamos cometiendo en nuestra aproximación.

14. ¿Qué datos influyen en este error? ¿Qué hemos necesitado para construir el intervalo? ¿Puedes dar la fórmula de cálculo del error cometido?

Volveremos a analizar los datos que intervienen en el cálculo de dicho error para aislarlos y poder comprender cómo funciona.

15. ¿Qué datos necesitamos conocer para calcular el intervalo de confianza?

Definimos como Intervalo de Confianza de confianza α% a aquel que en una muestra repetida contiene el valor real de la media poblacional con una probabilidad igual a la confianza que prefijamos para construir el intervalo.

Veamos cómo afecta al intervalo de confianza los datos que entran en juego.

16. Ahora supongamos que cambiamos el nivel de confianza al 99%. ¿Qué le pasará al nuevo intervalo de confianza?

Ahora que ya conocemos cómo calcular un intervalo de confianza trataremos de ver cómo varía este cuando cambiamos la confianza. Los estudiantes tienen que llegar a la conclusión que cuanta más confianza queremos, mayor es el intervalo y mayor es, por tanto, el error que estamos cometiendo.

17. Si cambiamos el tamaño de la muestra, ¿cómo variaría el error cometido? ¿Y en consecuencia, qué ocurriría con el intervalo de confianza?

En cambio, con el tamaño de la muestra las cosas cambian, cuantos más datos tenemos más podremos afinar en nuestro intervalo, más pequeño será y con más confianza podemos decir en qué intervalo se encuentra la media poblacional.

18. Y si en vez del error modificamos el nivel de confianza, ¿qué ocurriría con el intervalo? ¿Y con el error?

19. Sobre los intervalos de confianza:

a. Si aumentamos el nivel de confianza, ¿aumentará la cantidad de datos que tenemos en el intervalo? ¿o lo que aumenta será el número de decimales?



b. ¿Qué significa este intervalo?

c. ¿Qué significa el nivel de confianza?

Estas dos últimas cuestiones tratan de sistematizar todo lo que hemos ido viendo a lo largo de esta sesión para que los estudiantes tengan claro el trabajo que se ha realizado hasta este momento.

Hasta este momento hemos descrito el trabajo previo de preparación de las sesiones encaminadas hacia la construcción del intervalo de confianza. En esta preparación hemos podido observar que el profesor ha tratado de hacer partícipe a los estudiantes en la construcción de los objetos matemáticos que se pretende conocer, y partiendo de sus conocimientos previos, llegar a construir de manera guiada los nuevos conceptos.

El desarrollo de la propuesta de enseñanza se llevó a cabo durante el curso 2008/2009 con estudiantes de 2º de Bachillerato, en la Modalidad de Ciencias Sociales, en un Instituto de Educación Secundaria de Santa Cruz de Tenerife. El centro educativo se encuentra situado en una zona periférica de la ciudad y los estudiantes tienen poca motivación hacia el estudio, tanto interna como externa. El entorno socioeconómico en el que se sitúa el centro es medio-bajo, con un alto índice de paro y con familias con escasa cualificación profesional.

La clase estaba compuesta por 14 alumnos, 9 chicas y 5 chicos. Son los mismos estudiantes a los que se les administró la encuesta sobre los términos estadísticos, presentada en el apartado 3. Todos ellos son muy regulares en la asistencia a clase, por lo que no faltaron durante el desarrollo de las sesiones.

En este caso, el investigador coincide con el profesor que les da clase durante el citado curso. Además, fue su profesor de matemáticas durante el curso anterior. Por tanto, es conocedor de la formación estadística que poseen y cuál puede ser el punto de partida adecuado para comenzar a desarrollar la inferencia.

4.2 Conclusiones del desarrollo de la propuesta de enseñanza

La propuesta ha tenido como objetivo de la instrucción la construcción de los intervalos de confianza y el análisis de todos los términos y conceptos que van surgiendo por necesidad hasta llegar a los intervalos de confianza. Del desarrollo del modelo propuesto podemos destacar los siguientes aspectos:

Metodología

El modelo exige que los estudiantes participen de manera activa y que lo hagan comunicando su razonamiento, primero por escrito y luego en voz alta, a toda la clase. Esto es un cambio significativo tanto para ellos como para el profesor, pues este tiene que perder protagonismo y debe cederlo a los alumnos. Este elemento dentro de las sesiones ha hecho, en principio, que las clases fueran más lentas, que los alumnos se atascaran ante las cuestiones que plantea el profesor y que éste tuviera que decidir el avance para evitar la sensación de “pérdida de tiempo”. Todo esto hizo que en ocasiones el profesor diera la respuesta de lo que preguntaba sin esperar que los estudiantes intervinieran o expresaran sus razonamientos. Por otro lado, hubo estudiantes que no participaron o lo hicieron de manera muy limitada. La metodología propuesta requiere que los estudiantes sean capaces de seguir el trabajo desarrollado. Esto obliga a que los estudiantes lleven el trabajo al día y hay estudiantes que presentan rechazo hacia la asignatura por las dificultades que la materia les supone. Es por ello que los




estudiantes que más participaron fueron aquellos que llevaban las tareas al día y se sentían capaces de responder al profesor de manera más o menos coherente, y son los que participaron en el estudio.

Términos

Los términos estadísticos surgen de manera natural en el aula. Hemos visto que aparecen los términos de las distintas categorías descritas a lo largo de este trabajo.

Cabe destacar que los estudiantes no son capaces de permanecer en los estadios más avanzados durante las sesiones. Los alumnos llegan, en el mejor de los casos, a reconocer los diferentes aspectos de la tarea, pero que no los integran correctamente. Creemos que esto se debe a varias razones. En primer lugar, estamos trabajando con términos propios del lenguaje matemático en muchos casos y son abordados por los estudiantes por primera vez. Estos términos, aparte de ser definidos, requieren que se trabaje con ellos para poder llegar a asimilarlos correctamente y en toda su extensión. Para ello es necesario trabajarlos en diferentes situaciones y contextos. Por otro lado, el factor tiempo es muy importante. Les hemos dedicado cuatro sesiones y han aparecido los términos: muestreo aleatorio, nivel de confianza, media poblacional, media muestral. Son todos términos nuevos y se dispone de poco tiempo para asimilarlos y comprender cómo interactúan entre sí todos ellos y con los que ya se conocían: tamaño de la muestra, media, muestra, probabilidad, entre otros. Todo esto justifica que los estudiantes no produzcan respuestas más ricas en cada uno de los términos estudiados.

El contexto

Para los estudiantes el contexto propuesto ha resultado bastante cómodo y sencillo de entender. Este elemento es básico, pues no estamos añadiendo dificultad en el planteamiento de la actividad, sólo aquellas que son propias de los conceptos que vamos a desarrollar. Por otro lado, los conceptos estadísticos surgen de forma natural y, además, situados en una situación concreta sobre la que se está realizando el estudio. La naturalidad con la que aparecen los conceptos ayuda a que los estudiantes puedan entenderlos mejor y, que por otro lado, puedan reconocer situaciones semejantes en las que puedan aplicar los mismos procedimientos utilizados en esta situación. Así, por ejemplo, los estudiantes reconocen la media como valor intermedio para un conjunto de datos, pero, a través de este trabajo han visto que la media además sirve para resumir la información contenida en una tabla. Ese aspecto de la media lo han asimilado con naturalidad debido al contexto en el que se les presenta la tarea. Los estudiantes, fácilmente comprendieron lo que se les pedía y aceptaron que la media era un buen estimador de las estaturas. Por otro lado, mostrar muchos contextos de trabajo diferentes en los que surgieran los términos nos hacía reflexionar sobre el temor a que dichos contextos se convirtieran en un obstáculo para el aprendizaje. Esto ha provocado que finalmente no se muestre un mismo término en varios contextos desde que se define.

El profesor

El trabajo se desarrolló en cuatro sesiones de clase, las cuales fueron insuficientes para ver el desarrollo del modelo en toda su extensión. No se pudieron añadir más sesiones debido a la falta de disponibilidad de tiempo en el curso por parte de los participantes y del profesor. En este sentido, el nivel en que se realizó el estudio hizo que no se pudiera dedicar más de una semana (cuatro sesiones) a construir el intervalo de confianza, para luego abordar problemas rutinarios típicos de la Prueba de Acceso a la Universidad.

Además, los tiempos estaban tan cerrados que generó en el profesor cierta sensación de agobio, por temor a no cumplir con los plazos previstos. Esto repercutió de igual forma en el aprendizaje, pues en ocasiones, se limitó el tiempo para la enseñanza, pensando que de igual manera se limitaba el



tiempo para el aprendizaje. Lo cual es un error, pues el aprendizaje de cada alumno tiene su propio tiempo que es diferente y depende de muchos factores. Todo esto está en consonancia con la denominada Trayectoria de Enseñanza-Aprendizaje descrita por Heuvel-Panhuizen (2001), y, efectivamente, los alumnos describen diferentes trayectorias de aprendizaje para una misma trayectoria de enseñanza. Por otro lado, el aprendizaje no se puede considerar de manera lineal, y los estudiantes pueden llegar a conseguir las habilidades que se les requiere cuando menos lo espere el profesor, como también nos advierte Heuvel-Panhuizen (2001).

Por tanto, aunque no se han podido trabajar todas las actividades que configuran el programa establecido para nuestro experimento de enseñanza, dado que no se pudo extender la fase de trabajo en el aula, pensamos que nuestro proyecto de enseñanza-aprendizaje ha ayudado a comprender de qué manera aparecen los términos estadísticos en el aula, y las dificultades con las que se pueden encontrar los profesores y los alumnos cuando se enfrentan con estos términos. No es nada sencillo tener que construir un concepto estadístico en el que intervienen tantos elementos diferentes, y tener en cuenta además los errores conceptuales previos para poderlos tratar de superar. Hemos visto cómo la heurística de la representatividad descrita por Kahnemann et al. (1982) está continuamente presente. Además, es tan recurrente que interfiere en la construcción de todos los conceptos relacionados con las muestras extraídas. Creemos que la propuesta ayuda a que, los estudiantes sean conscientes del error que cometen cuando generan muestras que exigen que sean representativas de la población. Por otro lado, los términos que manejan los estudiantes se encuentran en un estadio poco avanzado, entre otros motivos, porque entendemos que cuando se introducen nuevos términos, estos hacen que entren en conflicto con los términos previos y por tanto, desarrollen tareas con dichos términos dentro de los estadios poco elaborados. Aún así, creemos que es el camino para poder avanzar y comprender mejor los términos, pues los estudiantes han tenido que aislar los términos y contrastarlos entre sí.

El hecho de exponer los razonamientos en voz alta también es muy importante, pues permite que utilicen el lenguaje matemático y que adquieran los términos nuevos con más facilidad, pues no es sólo el profesor el que los utiliza, sino que el alumnado, desde un primer momento debe hacer uso de ellos y facilita al profesor la oportuna corrección. Esto permite, a su vez, que el profesor pueda ir comprobando que los estudiantes los vayan asimilando correctamente y si no fuera así ayudarles a corregir el error conceptual que muestran.

5. Conclusiones generales del trabajo

A lo largo de toda la investigación nuestro objetivo principal ha sido el estudio de los términos estadísticos relativos a la Inferencia Estadística que surgen en Bachillerato, cómo los entienden y cómo los podemos introducir de manera que sean más fácilmente entendibles por el alumnado.

Hemos detectado que los libros de texto no dan siempre la definición correcta de los términos estadísticos y que lejos de ayudar a salvar problemas conceptuales graves los generalizan tomándolos como propios de la definición. Por otro lado, el libro de texto es también instrumento de formación del profesorado por lo que dichos errores conceptuales son transmitidos a los docentes que posteriormente formarán a los estudiantes.

Hemos comprobado que una mayor formación no implica que los errores conceptuales arraigados desaparezcan si no hay un interés concreto en ello. Por tanto, los docentes debemos ser muy cuidadosos a la hora de introducir los conceptos de Inferencia Estadística, y hacerlo de la forma más contextualizada y rica posible para que los estudiantes puedan comprenderlo sin cometer errores conceptuales graves.




Por último, la propuesta de enseñanza es válida para un aprendizaje guiado y en el que el alumnado pueda construir los conceptos evitando los errores conceptuales, pero requiere una serie de premisas que tal vez no se dieron en el experimento: suficiente tiempo para el desarrollo y exposición de los conceptos desde diferentes contextos y por otro lado, que los alumnos estén habituados a esta forma de trabajo y así evitar posibles dificultades que surgen por su puesta en marcha, más que por los conceptos a desarrollar.

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Israel García Alonso, Licenciado y Doctor en Matemáticas por la Universidad de La Laguna. Actualmente es profesor de Enseñanza Secundaria en el Instituto de Enseñanza Secundaria El Médano, Granadilla de Abona en Tenerife. Ha realizado varias publicaciones en revistas nacionales e internacionales sobre la Inferencia Estadística y el lenguaje.




El infinito en matemáticas

Ramón Sebastián Salat Figols (Escuela Superior de Física y Matemáticas, IPN. México)

Fecha de recepción: 31 de agosto de 2010 Fecha de aceptación: 9 de marzo de 2011

Resumen En este trabajo se presenta la evolución del concepto de infinito y algunas relaciones con otros desarrollos de las matemáticas. También presento el hecho de que de varios axiomas intuitivos podemos obtener proposiciones que ya no nos resultan tan evidentes; esto se sustenta con datos experimentales. Discuto la relación entre la igualdad 0.999...=1 y el concepto de infinito; y la posibilidad de usar el concepto de infinitesimal en Cálculo. A partir de esta información, presento algunas consideraciones de importancia para la didáctica de las matemáticas.

Palabras clave Infinito, cálculo, infinitesimal.

Abstract In this work I present the evolution of infinite concept and some relations with other developments of mathematics. Also, I show the fact of that of several intuitive axioms we can obtain propositions which aren’t evident to us; this is supported by empirical data; I discuss the relation of the equality 0.999...=1 and the concept of infinite; and the possibility to use the concept of infinitesimal in Calculus. From this information, I present some remarks of importance for the didactics of mathematics.

Keywords Infinite, calculus, infinitesimal.

1. Introducción

Desde la antigua Grecia, Aristóteles (1995, 384-322 A.C.) ve al infinito como una fuente de contradicción. Esta visión persiste con Galileo, aunque éste reconoce por primera vez un hecho importante: que en los conjuntos infinitos, a diferencia de los finitos, un subconjunto propio puede tener la misma cantidad de elementos que el conjunto. Y establece el hecho por medio del concepto de biyección. Esta idea es clave en el desarrollo de la Aritmética de los Números Transfinitos de George Cantor (1995, 1851). Esta teoría, la paradoja de Russell (1902) y la aparición de la axiomática formal de Hilbert, entre otros factores, conducen al logicismo, al intuicionismo y al formalismo, tres corrientes que surgen en un esfuerzo por fundamentar la Matemática.

Por otro lado, los estudiantes, antes de estudiar los conceptos de Cantor, tienden a aplicar el principio de que un conjunto siempre es mayor que cualquier subconjunto propio, válido para conjuntos finitos, a conjuntos infinitos.

Un hecho importante dentro del método deductivo es que un conjunto de axiomas que pueden resultar intuitivos, producen teoremas que ya no resultan tan evidentes. Cuando esto ocurre es el momento de dejar de confiar de manera irrestricta en la intuición y ser más estrictos en procurar la validez de los métodos usados en la deducción. Esta evolución en el pensamiento matemático que se

El infinito en matemáticas R.S. Salat Figols


da en la historia, tendrá que darse también en los alumnos que piensen estudiar a la Matemática por sí misma, más allá de sus aplicaciones.

Primero se presentará una breve reseña histórica, en la que se verán aspectos tales como el surgimiento de la definición de conjunto infinito, basada en la idea de que para los conjuntos infinitos existen subconjuntos propios que pueden ponerse en correspondencia biunívoca con él mismo; los conceptos de números infinitamente grandes y pequeños. Después se verá que dos segmentos, aún cuando tengan diferente longitud, tienen el mismo número de puntos y la cuestión de la igualdad

1...999.0 = . Finalmente, se presentarán las respuestas que dan los estudiantes a varias preguntas tratando de obtener información acerca de qué piensan ellos acerca del infinito.

2. La historia en breve

Aristóteles (1995, 384-322 A.C), afirma que la teoría del infinito conduce a consecuencias imposibles, tanto si se supone que existe, como si se supone que no existe. Distingue entre el infinito potencial y el infinito realizado o en acto. Y en Metafísica (209, 384-322 A.C.), afirma que el infinito no puede existir en acto, es decir, que no existe el infinito realizado.

En Consideraciones y Demostraciones Matemáticas sobre dos Nuevas Ciencias, Galileo (1981, 1638), en uno de los diálogos entre Simplicio y Salviati, Simplicio señala que un segmento mayor que otro tiene una cantidad de puntos infinita mayor que la cantidad infinita de puntos del otro segmento, lo cual resulta difícil de comprender. Salviati responde que la confusión procede de aplicar a cantidades infinitas conceptos que se aplican a cantidades finitas; es decir, a las cantidades infinitas no se les puede aplicar los conceptos de mayor que, ni menor que. Salviati también propone el ejemplo de los números naturales cuadrados perfectos, los que son iguales al cuadrado de otro. Salviati plantea a Simplicio, que en principio hay más números naturales que cuadrados, pero después le hace ver que hay la misma cantidad, ya que existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los números cuadrados y el conjunto de todos los números naturales, y plantea que de ésta aparente contradicción se deduce que la cantidad de números cuadrados y de sus raíces son infinitos. Galileo (1981, 1638) emplea la posibilidad de establecer una biyección entre un conjunto y un subconjunto propio del mismo como un modo de saber si el conjunto es infinito; pero interpreta a la existencia de esta biyección como una contradicción.

Bolzano (1995, 1851) afirma que una característica de los conjuntos infinitos es que los elementos del conjunto pueden ponerse en correspondencia biunívoca con los elementos de un subconjunto propio de él mismo y lo ilustra con varios ejemplos. Uno de ellos hace referencia a la ecuación xy 125 = y afirma que si y es una cantidad entre 0y 12, entonces xes una cantidad

entre0 y 5; y viceversa, si xes una cantidad entre0 y 5, entonces y es una cantidad entre 0y 12.

Cantor (1955), en 1895 da a conocer su teoría de los números transfinitos, revolucionando el concepto del infinito en la Matemática. Parecía que el infinito por fin había sido controlado por el raciocinio humano. Russell (1902), en una carta dirigida a Fregue plantea la siguiente paradoja: sea el conjunto Ade todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismo, esto es, { }xxxA ∉= | , ¿A

pertenece a sí mismo o no? Si AA∈ , entonces, por definición de A , se obtiene que AA∉ , o sea, se obtiene una contradicción; si AA∉ , por definición, AA∈ , nuevamente se obtiene una contradicción. Esta paradoja pone en tela de juicio la noción de conjunto o colección utilizada por Cantor en su teoría de los números transfinitos. Las paradojas son importantes porque, según la lógica clásica, de una contradicción puede deducirse cualquier proposición (Irvine, 2009).




David Hilbert (1967, 1926) afirma que el infinito no lo encontramos en la realidad; argumenta su observación partiendo de la Física del mundo microscópico (Mecánica Cuántica), en cuanto a la imposibilidad de dividir la materia indefinidamente y de la Astronomía en cuanto a la finitud del espacio por consideraciones geométricas. Y continúa afirmando que el infinito puede ser un concepto necesario en nuestro pensamiento, aunque no exista en la realidad. También señala que la inferencia lógica solamente ha fallado cuando se aplica a conceptos abstractos como los que se refieren a conjuntos infinitos. Propone una fundamentación de la Matemática, que pretende librarla de posibles contradicciones. Se inicia una discusión acerca de la formalización de la Matemática. Queda a discusión la validez del principio del tercero excluido y como consecuencia, está también a discusión la validez del procedimiento de demostración conocido como reducción al absurdo.

La Matemática además de tratar con el infinito a través de la cardinalidad de los conjuntos, también lo hace al considerar magnitudes infinitamente pequeñas e infinitamente grandes. Las cantidades infinitamente pequeñas se usaron en los primeros desarrollos del Cálculo, aunque no estaban definidos con precisión. Un infinitesimal positivo i puede definirse como aquel que cumple con ri <<0 , para cualquier número real positivo r . La existencia de infinitesimales está íntimamente relacionada con la propiedad arquimediana, que dice que para cualquier número real positivo a , existe un número natural n , tal que na < . Como el conjunto de los números reales satisface la propiedad arquimediana no puede tener infinitesimales. En general, para que un cuerpo ordenado pueda tener infinitesimales debe ser no arquimediano.

Un ejemplo de un cuerpo no arquimediano lo encontramos en Hilbert (1902), en su Fundamentación de la Geometría, en el cual hay elementos infinitesimales e infinitamente grandes; esto es, con la intención de probar la independencia de la propiedad arquimediana del resto de los axiomas de cuerpo, en el contexto de una aritmética con segmentos. Imaz (2001), presenta un ejemplo sencillo de un cuerpo no arquimediano y una introducción acerca de cómo puede usarse éste en el ámbito del Cálculo. Con la existencia de modelos para cuerpos no arquimedianos, el infinitesimal deja de ser un objeto sujeto a las contradicciones que le eran propias en los inicios del Cálculo. Finalmente, la fundamentación del Cálculo usando un cuerpo no arquimediano y por lo tanto, en el que no vale la completitud, no es una tarea sencilla; es decir, el uso de un cuerpo no arquimediano simplifica la parte operativa del Cálculo, pero no su fundamentación. Robinson (1966), recupera el concepto de infinitesimal en el contexto formal de la Matemática y también la fundamentación del Cálculo empleando infinitesimales; una introducción a este enfoque puede encontrarse en Henle y Kleiberg (1979). Salat (1993), construye una propuesta de un primer curso de Cálculo usando infinitesimales.

Como puede observarse de esta breve revisión, la conceptualización del infinito en la Matemática ha sido un proceso largo; surge como un concepto necesario que va más allá de la realidad (material). La invención por el hombre de objetos que no están en la realidad material promueve la atención en los aspectos formales de la Matemática; cómo es que deducimos las proposiciones, cómo evitar contradicciones; estamos en el terreno de la metamatemática. Estas nuevas discusiones pasan a formar parte de la Matemática misma. El teorema de Gödel es un ejemplo importante de estas discusiones; para una introducción sencilla ver Martinón (2006).

3. Dos ejemplos ilustrativos

3.1 Número de puntos de un segmento

Dos segmentos cualesquiera tienen la misma cantidad de puntos. Este hecho contraria nuestra intuición, tal vez porque si un segmento de longitud menor lo sobreponemos a otro de longitud mayor de tal manera que coincidan por uno de sus extremos, se exhibe que existen puntos en el segmento mayor que no están en el menor. Siempre puede establecerse una correspondencia biunívoca entre los



puntos de dos segmentos cualesquiera disjuntos; la construcción geométrica frecuentemente usada se muestra en la fig. 1. Así, a cada punto E del segmento AB le corresponde un único punto G del segmento CD , y recíprocamente, a cada punto G del segmento CD , le corresponde un único punto E del segmento AB . Para asegurar que la prolongación de EF corta a CD hay que usar el teorema de la barra transversal, que se enuncia a continuación.

Figura 1

Teorema de la barra transversal. Sea Q en el interior de AOB∠ . Entonces el rayo →

OQ corta al

segmento AB.

Figura 2

Y para demostrar este teorema tan solo se necesitan los siguientes axiomas y algunas definiciones.

I1. Dos puntos cualesquiera determinan una única recta. I2. En cada recta existen por lo menos dos puntos. O1. Si CBA ,, son puntos de una recta y B está entre A y C entonces B también está entre

C y A.




O2. Si A y C son dos puntos en una recta, entonces existe otro punto B entre A y C y un punto D , tal que C está entre A y D .

O3. Dados tres puntos en una recta, existe solamente uno de los tres que está entre los otros dos.

O4. Cuatro puntos DCBA ,,, de una recta se pueden colocar de tal manera que B esté entre

A y C y también entre A y D y que C esté entre A y D y también entre B y D . O5. Sean CBA ,, tres puntos no colineales y sea l una recta que no pase por ninguno de los

tres puntos. Entonces si la línea pasa por algún punto del segmento AB, ésta deberá pasar también por algún punto del segmento BC o por algún punto del segmento AC .

Estos son los postulados de incidencia y de orden de la Geometría de Hilbert, omitiendo las partes que se refieren al espacio.

Es curioso que ninguno de estos postulados contraria a nuestra intuición. Sin embargo, el hecho de que cualesquiera dos segmentos tengan la misma cantidad de puntos es más difícil de aceptar. El axioma O2 obliga a los segmentos a tener una infinidad de puntos.

Por lo tanto, si aceptamos estos axiomas tendremos que aceptar el hecho de que para conjuntos infinitos deja de valer el principio de que el todo es mayor que cualquiera de sus partes, aunque este hecho esté o no de acuerdo con nuestra intuición. Es decir, de un conjunto de axiomas que nos pueden parecer verdades evidentes, usando el método deductivo, podemos obtener proposiciones que ya no se nos presentan como verdades evidentes.

3.2 ¿0.999…=1?

Para aceptar la igualdad tenemos que aceptar por ejemplo, que el proceso de localización de ...999.0 en la recta numérica, que es infinito, termina; es decir, tenemos que aceptar el infinito actual o

realizado. En general, muchas personas con poca información acerca del infinito en Matemáticas no aceptan la validez de la igualdad.

Existen por lo menos dos formas diferentes de argumentar la validez de la igualdad. Una de ellas es la siguiente:

...000.99

....999.0

....999.910

===

x

x

x

Se multiplica la igualdad ....999.0=x por 10 y se le resta la misma igualdad; en otras palabras, se calcula xxx −=109 . Este procedimiento presupone la posibilidad de realizar una resta infinita y que en la parte decimal de x10 haya la misma cantidad de nueves que en la parte decimal de x . No he observado un solo caso en el que un estudiante ponga en duda este procedimiento, aunque muchos de ellos, antes de conocer el argumento, no aceptan la validez de la igualdad.

La segunda suposición presupone aceptar que si a un conjunto infinito numerable le quitamos un elemento, el conjunto que se obtiene tiene el mismo número de elementos que el original; es decir, que una parte de un conjunto puede tener la misma cantidad de elementos que el conjunto mismo. El

otro procedimiento consiste en emplear los conceptos del Análisis Matemático. ...109

109

109

32+++ es

una serie infinita. El término general de su sucesión de sumas parciales es



nnns101

1109

...109

109

2−=+++= . Esta sucesión de sumas parciales converge a 1, por lo tanto de

acuerdo a la definición de convergencia de series, la serie converge a 1, es decir,

1...109

109

109

32=+++ . Que la sucesión de sumas parciales converja a 1 , significa que para cualquier

número positivo ε existe un número natural k , tal que la distancia entre n10

11− y 1, es menor que

ε para cualquier kn> . Con estos argumentos no necesitamos tratar el asunto de si un subconjunto puede tener la misma cantidad de elementos que el mismo conjunto o no. Acaso, ¿han desaparecido los problemas con el infinito? Lo que ocurre es que por definición podemos escribir

caaa =+++ ...321 si y solamente si la sucesión { }ns definida por nn aaaas ++++= ...321

converge a c , es decir, si { }ns se acerca a c tanto como se quiera para nsuficientemente grande,

aunque nunca llegue a valer c .

Si consideramos a n como un natural infinitamente grande, entonces nns

10

11−= es

infinitamente próximo a 1, pero diferente de 1. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta planteada depende del modelo que se emplee para el Análisis; es decir, depende de si buscamos la respuesta en el cuerpo de los números reales o en una extensión que contenga números infinitamente grandes e infinitamente pequeños.

4. Qué piensan los estudiantes

A continuación se presentan los datos acerca de las respuestas dadas por estudiantes del primer año de la Licenciatura en Física y Matemáticas de la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional (México), a varias preguntas relativas al infinito. La idea principal es la de tratar de detectar si los estudiantes tienden a aplicar las mismas ideas acerca de los conjuntos finitos a los conjuntos infinitos. Específicamente, la idea de que si A es un subconjunto propio de B entonces la cardinalidad de A tiene que ser menor que la cardinalidad de B . En la pregunta uno, se trata de observar si los estudiantes piensan que los dos segmentos de longitud diferente, tienen o no el mismo número de puntos. Las preguntas dos, tres y cuatro tratan de obtener información acerca de hasta qué punto los estudiantes aceptan, que para el caso de conjuntos infinitos, un conjunto y un subconjunto propio de él, puedan tener los mismos elementos. La pregunta cinco, busca observar si los estudiantes se inclinan por aceptar o por rechazar la igualdad (recuérdese que en un cuerpo que sea la extensión de los números reales que contenga números infinitamente grandes e infinitamente pequeños no se cumple la igualdad).

1. Considere los segmentos AB y CD de la figura.

A___________B C_________________________________D

¿CD tiene más o igual cantidad de puntos que AB ?

Solamente el 28 % de los estudiantes respondieron que los dos segmentos tienen el mismo número de puntos. El argumento más comúnmente esgrimido para afirmar que CD tiene más puntos que AB es que CD tiene mayor longitud que AB.




2. Considere al conjunto de los números naturales {{{{ }}}},...6,4,3,2,1====N y ahora considere

{{{{ }}}}...,10,8,6,4,2====P , el subconjunto de los números pares. ¿Hay igual cantidad de enteros en N que en P , o hay más en N ?

El 43 % de los estudiantes contestó que hay igual cantidad de números en ambos conjuntos. Un argumento frecuente para afirmar que hay más números naturales que pares es que en los naturales están los pares y otros más.

3. Si se multiplican los dos miembros de la igualdad 0.999...=x por 10 se obtiene 9.999...10x= La parte decimal de 10x, ¿tiene la misma cantidad de nueves que la parte

decimal de x?

El 62 % contestó que en las partes decimales de los dos números había la misma cantidad de nueves. Uno de los estudiantes argumentó la respuesta de que había la misma cantidad de nueves diciendo “porque es un número infinito”.

4. Considere al conjunto de los números naturales {{{{ }}}},...6,4,3,2,1====N y ahora considere el

conjunto {{{{ }}}}...,6,5,4,3,2====B , que se obtiene a partir del conjunto de los números

naturales quitando el elemento 1. ¿N tiene más elementos que B o tiene la misma cantidad de elementos que B ?

El 33 % respondió que había la misma cantidad de elementos en ambos conjuntos. Un estudiante para argumentar que hay más elementos en N dijo: “porque es un número menos”.

5. ¿Es válida la igualdad 1....99999999.0 ==== ?

24 % de los estudiantes contestaron que la igualdad es válida. El argumento dado para sustentar la afirmación de que no vale la igualdad es que ...99999999.0 es aproximadamente igual a 1 . El 76 %, piensa que las dos expresiones representan números diferentes, por pequeña que pueda ser esta diferencia.

Las repuestas a las preguntas dos y cuatro dan cuenta de que para los estudiantes un subconjunto propio de un conjunto siempre tiene que tener menos elementos que el conjunto, es decir, tienden a aplicar la noción válida para los conjuntos finitos de que un subconjunto propio tiene menos elementos que el conjunto, a los conjuntos infinitos. Sin embargo, llama la atención que en la pregunta tres, el 63 % piensa que x y x10 tienen la misma cantidad de nueves. Posiblemente porque la forma en que se presenta, sugiere la correspondencia biunívoca.

Cuando a los estudiantes se les presenta el argumento de multiplicar por 10 a ...999.0 y restarle la misma cantidad, ninguno de ellos presentó alguna objeción, pero muchos de ellos se sintieron contrariados al ver el resultado. Además, no mostraron interés en descubrir los principios que se estaban usando; simplemente, no dudaban de la prueba.



5. Conclusiones

Los estudiantes a los que se presentó el cuestionario, que ya habían concluido el bachillerato, mostraron que tienden a aplicar al caso de conjuntos infinitos el principio de que todo conjunto es mayor que cualquiera de sus subconjuntos propios. Así que el concepto de infinito develado por Cantor y aún las concepciones de Galileo aparecen tardíamente en la formación matemática de los estudiantes. Quizá porque el concepto de infinito es una construcción del hombre que va más allá de la realidad material. Si el desarrollo psicológico intelectual del alumno corresponde al de la etapa de las operaciones formales, no hay necesidad de protegerlo del infinito. Varias de las discusiones importantes que se dan en la historia del infinito son totalmente accesibles en la adolescencia.

De unos cuantos postulados cuya validez es accesible a nuestra intuición pueden obtenerse por medio del método deductivo proposiciones cuya validez es mucho menos obvia o incluso que pueden contrariar nuestra intuición. Este hecho nos obliga a confiar menos en nuestra intuición y preocuparnos más sobre la posible validez de los métodos lógicos en la construcción de la Matemática. Esta característica de la Matemática, en el momento apropiado debe mostrársele al alumno, no tanto quizá como una vocación estética hacia el formalismo, sino como el resultado de una evolución histórica natural y necesaria.

Parece razonable pensar que hay que proponer a los estudiantes discusiones acerca del infinito en matemáticas y sus implicaciones en torno a la reflexión sobre el propio pensamiento matemático, tan pronto como sea posible.

Por otro lado, es posible diseñar un curso de Cálculo con énfasis en las aplicaciones, sin pretender una fundamentación al estilo de Weierstrass, basado en un modelo de cuerpo no arquimediano. El obligar a fundamentar un primer curso de Cálculo en exceso se asemeja a que en los primeros temas de teoría de conjuntos fuera necesario estudiar la teoría de Fraenkel-Zermelo para evitar la paradoja de Russell. Esta comparación, seguramente exagerada, hace reflexionar en aspectos de la implementación didáctica del conocimiento matemático en los cursos. Aunque hay que tener presente que en un cuerpo no arquimediano, no es válida la propiedad de la completitud y esto lleva a una fundamentación que puede ser muy diferente de la usual.

Bibliografía

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Bolzano, B.(1995, 1851). Las paradojas del infinito. Mathema. México: Servicios Educativos de la Facultad de Ciencias, UNAM (pp 64-66).

Cantor, G.(1955) . Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. Republication of the original translation of 1915. New York : Dover Publication, Inc.

Galilei, G. (1981, 1638). Consideraciones y Demostraciones Matemáticas sobre dos Nuevas Ciencias. Madrid: Editorial Nacional.

Henle, J.M.; Kleinberg, E.M. (1979). Infinitesimal Calculus. MIT Press. Hilbert, D. (1967, 1926). Über das Unendliche, Mathematische Annalen, 95: 161-90. Lecture given

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Authorized translation by E.J. Towsend. Imaz, C. (2001). ¿Qué pasa con el infinito? Avance y Perspectiva, 20, pp. 305-311.




Laugwitz, V.D. (1968). Eine nichtarchimedische Erwiterung angeordneter Körper. Math. Nachr. 37, pp. 222-236.

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Martinón, A. (2006). La cumbre del imposible matemático. Números [en línea], 64. Recuperado el 15 de mayo de 2010, de http://www.sinewton.org/numeros/.

Robinson, A. (1966). Non-estándar Analysis. Holanda: North Holland. Salat, R. (1993). Elaboración, prueba y análisis de un modelo infinitesimal del Cálculo. Tesis

doctoral. México: CINVESTAV.

Ramón Sebastián Salat Figols, Escuela Superior de Física y Matemáticas, Instituto Politécnico Nacional, México, D.F. Originario de Villafranca del Panadés, Barcelona, España, 26 de septiembre de 1950. Licenciado en Física y Matemáticas por la Escuela Superior de Física y Matemáticas; Maestría y Doctorado en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa por el CINVESTAV, México, DF. Becario de EDD y SIBE del Instituto Politécnico Nacional.




Un análisis del uso de la tecnología para el cálculo de primitivas

Juan Carlos Ponce Campuzano (Cinvestav-IPN. México) Antonio Rivera Figueroa (Cinvestav-IPN. México)

Fecha de recepción: 22 de octubre de 2010 Fecha de aceptación: 17 de enero de 2011

Resumen En el presente documento planteamos y analizamos situaciones matemáticas que surgen cuando contrastamos resultados obtenidos usando un Sistema de Cómputo Algebraico con la teoría matemática. En particular, damos ejemplos en el caso del cálculo de primitivas. Trabajar con este tipo de situaciones puede ser provechoso para la reflexión y la enseñanza de contenidos matemáticos.

Palabras clave Primitiva, Integral definida, Teorema Fundamental del Cálculo, CAS.

Abstract In this paper we introduce and analyze mathematical situations that arise when we contrast results obtained by using a Computer Algebraic System with mathematical theory. In particular, we give examples in the case of the calculation of primitives. Working with this kind of situations can be helpful for reflection and teaching of mathematical topics.

Keywords Primitive, Definite integral, Fundamental Theorem of Calculus, CAS.

1. Introducción

Los sistemas de cómputo algebraico (CAS, por sus siglas en inglés: Computer Algebraic System) son un tipo de software que nos permite manipular expresiones algebraicas, dibujar funciones y operar con números. En el caso del cálculo diferencial e integral existe software especialmente poderoso y de gran ayuda tanto para el aprendizaje de las matemáticas como para el mismo quehacer matemático. En general, los algoritmos utilizados en estos programas son eficientes métodos que en ocasiones entrañan relaciones matemáticas mejor conocidas por los expertos programadores que por los matemáticos.

También suele ocurrir que los CAS empleen métodos que producen resultados más complejos a los obtenidos con lápiz y papel o incluso llegan a producir resultados erróneos aún en casos simples. Nuestra experiencia y capacidad de análisis en ocasiones supera a los ordenadores y nos ayuda a elegir mejores métodos para casos específicos.

Las capacidades numéricas, gráficas, simbólicas y de programación de las nuevas herramientas tecnológicas, juegan un papel importante en el futuro de la enseñanza de las matemáticas, no sólo como ayuda pedagógica sino como un vehículo para nuevas aproximaciones (Lagrange, 2005). A continuación, analizamos casos particulares del cálculo de primitivas usando diferentes tipos de CAS.

Un análisis del uso de la tecnología para el cálculo de primitivas J. C. Ponce Campuzano y A. Rivera Figueroa


2. El Cálculo de primitivas: CAS vs Teoría

Un teorema importante dentro del Cálculo diferencial e integral es el famoso Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece relaciones de reciprocidad entre los procesos de integración y diferenciación. Antes de citarlo, primero recordemos que una función :[ , ]G a b → R , derivable en

todo [ , ]a b , es una primitiva de la función :[ , ]f a b → R si cumple que (́ ) ( )G x f x= para todo

[ , ]x a b∈ .

Teorema Fundamental del Cálculo: Sea :[ , ]f a b → R una función continua y sea :[ , ]F a b → R dada por

( ) ( )x

c

F x f u du= ∫ , con [ , ]c a b∈ .

Entonces

1. F es derivable en cada [ , ]x a b∈ y además (́ ) ( )F x f x= para toda [ , ]x a b∈ .

2. Si :[ , ]G a b →R es una primitiva de f , se tiene que

( ) ( ) ( )b

a

f u du G b G a= −∫ .

Observación 1: La función ( ) ( )x

c

F x f u du= ∫ del inciso 1, llamada integral indefinida, es una

primitiva de f .

Observación 2: El teorema anterior se puede encontrar de distintas formas, en diversos libros de Cálculo avanzado. Incluso se puede encontrar de manera más general para funciones Riemann integrables (ver por ejemplo Apostol, 1998 y Spivak, 1996). Sin embargo, es suficiente citarlo aquí para funciones continuas.

La fórmula

( ) ( ) ( )b

a

f u du G b G a= −∫

nos ofrece una herramienta para calcular integrales en un intervalo, razón por la cual resultan importantes los famosos Métodos de Integración, que no son otra cosa que métodos para encontrar primitivas de funciones.

Algunos de los métodos de integración más populares que suelen estudiarse en los primeros cursos de Cálculo son:

1. Identificación de integrales inmediatas. 2. Integración de funciones racionales, mediante la descomposición en fracciones simples. 3. Integración por partes. 4. Cambio de variable.

Para el caso del cálculo de primitivas el CAS resulta ser una herramienta eficaz ya que en la práctica puede facilitar cálculos engorrosos. Camacho (2005) comenta, por ejemplo, que:




…el uso del software (Derive y Maple) proporciona un importante instrumento para que los estudiantes puedan librarse de memorizar fórmulas o procedimientos de cálculo, aunque es fundamental tener en cuenta que los estudiantes necesitan un cierto tiempo para madurar y desarrollar una comprensión conceptual segura de los conceptos. Necesitan prestar atención al proceso de transformación y relación que pueden establecerse entre las representaciones gráficas, algebraicas y numéricas. (Camacho, 2005, pp. 108)

Sin embargo, existen casos donde los resultados del CAS difieren a los obtenidos con lápiz y papel usando la teoría, lo cual puede influir de diversas maneras. Lo idóneo es analizar el porqué de esta diferencia.

En la siguiente sección ilustraremos con algunos ejemplos, situaciones matemáticas relacionadas con el cálculo de primitivas en donde los resultados obtenidos con el ordenador difieren de aquellos obtenidos de “manera natural” con lápiz y papel. Estas situaciones pueden servir para analizar y profundizar conceptos matemáticos específicos del Cálculo tales como: cálculo de primitivas, integral definida, constante de integración, continuidad de funciones y el Teorema Fundamental del Cálculo.

Para nuestro análisis hemos utilizado tres herramientas de CAS: los programas Derive 6.0 y el Scientific Work Place 4.0 y el sitio de acceso libre WolframAlpha (basado en Mathematica: para mayor información acerca de este sitio consultar la página http://www.wolframalpha.com/). Es importante señalar que no se trata de casos aislados, sino de ejemplos particulares de una familia de situaciones que muestran fenómenos similares.

2.1. Situación matemática I

Como primer ejemplo consideremos el problema de calcular

cos 2

sen cos

xdx

x x∫ .

Es posible que esta integral sea uno de los primeros ejercicios de integrales inmediatas en un curso de cálculo elemental. No se requiere mucha experiencia para mirarla en la forma

cos 2 cos 22

sen cos sen 2

x xdx dx

x x x=∫ ∫ ,

así que alguien que inicia sus estudios de métodos de integración, seguramente escribirá

cos 2 cos 22 log(sen 2 )

sen cos sen 2

x xdx dx x C

x x x= = +∫ ∫ .

Alguien con más información o más reflexivo escribiría

cos 2 cos 22 log | sen 2 |

sen cos sen 2

x xdx dx x C

x x x= = +∫ ∫ .



En la Tabla 1 se muestran los resultados obtenidos utilizando el CAS.

CAS Resultado

Derive

WolframAlpha

Scientific WorkPlace

)4cos22ln(21

cossin)2cos(

xxdxx

x −−−−====∫∫∫∫

Resultado teórico

cos 2log | sen 2 |

sen cos

xdx x C

x x= +∫

Tabla 1. Diferentes resultados del CAS para el cálculo de una primitiva

Además de las diferencias de forma en estas respuestas, también hay diferencias de fondo. Primero veamos las diferencias de forma: ¿Nos encontramos ante cuatro expresiones diferentes del mismo resultado? ¿De los cuatro, hay algún mejor resultado? ¿En qué sentido sería un mejor resultado?

Quizá al principio pueda parecer un problema difícil, pues podría considerarse como un problema de equivalencias de expresiones en donde, para probarlas, se requiere cierta destreza en el manejo de identidades trigonométricas para transformar cada una de ellas en cualquier otra. Una estrategia, quizá la más simple, sea derivar todos los miembros de la derecha y mostrar que en todos los casos se obtiene el integrando. La insuficiencia de este procedimiento radica en que además deben analizarse los dominios de las funciones involucradas.

Al derivar y simplificar (también se puede utilizar el CAS para simplificar esta laboriosa tarea) los resultados anteriores obtenemos:

( ) ( )( ) 1 cos 22log sen log tan 2cot 2cot 2

sen cos sen cos

d xx x x x

dx x x x x− = − = =

( ) ( )( ) sen cos cos 2log cos log sen

cos sen sen cos

d x x xx x C

dx x x x x

−+ + = + =

( )1 cos 2log 2 2cos 4 2cot 2

2 sen cos

d xx x

dx x x − = =

( ) cos 2log sen 2

sen cos

d xx C

dx x x+ =




Lo anterior podría convencernos de que los resultados son correctos, ya que las derivadas de las funciones del miembro derecho son iguales al integrando. Probablemente no es una respuesta que nos deje satisfechos, pues quizá algunos deseen verificar que ciertamente cada resultado es transformable en cualquier otro. No es una tarea fácil, por el contrario, pueden presentarse algunas dificultades, pero ofrecen una magnífica oportunidad para revisar algunas relaciones trigonométricas y propiedades de los logaritmos. La transformación de un resultado en otro requiere del importante concepto de constante de integración, ya que los resultados, deberán ser funciones que difieren en una constante. En este momento aparece la constante de integración como un concepto relevante.

a) ( ) ( )log cos log senx x+

( ) ( )2log sen log tanx x−

b) ( )log sen 2x

c) ( )( )1log 2 2cos 4

2x−

Figura 1. Gráficas de los diferentes resultados: a) WolframAlpha y Derive, b) Teórico y c) ScientificWorkplace

Figura 2. Gráfica de cos 2

sen cos

x

x x



Ahora veamos el problema de fondo: Los resultados obtenidos por los distintos programas nos ofrecen respuestas diferentes. Una manera de convencernos de estas diferencias es mediante las gráficas que los mismos programas nos proporcionan (ver Figura 1). Como podemos observar, la solución teórica es mejor que las de WolframAlpha y Derive, pues las respuestas de estos últimos no están definidas en el mismo dominio que el integrando (Figura 2). Por otra parte, Scientific WorkPlace ofrece una solución que difiere solamente en una constante.

2.2. Situación matemática II

Consideremos ahora el cálculo de

( )tan

log cos

xdx

x∫ .

Un estudiante que ya ha adquirido un poco de experiencia con integrales inmediatas, podrá darse cuenta que la integral anterior es de este tipo, ya que puede escribirse en la forma

(́ )

( )

u xdx

u x−∫

Al realizar los cálculos de manera inmediata es posible llegar al siguiente resultado:

( )tan (́ )

log( ( )) log(log(cos ))log cos ( )

x u xdx dx u x C x C

x u x= − = − + = − +∫ ∫ .

La respuesta que presentan Derive y WolframAlpha es la misma (Tabla 2).

CAS Resultado

Derive

WolframAlpha

Tabla 2.

Al parecer usan el mismo algoritmo y aparentemente todo está correcto, pero analizando cuidadosamente el integrando, observamos que está definido solamente cuando 0 cos 1x< ≤ y además en este caso se tiene log(cos ) 0x ≤ , así que no está definido log(log(cos ))x en los números reales. Esto significa que es incorrecta la respuesta

( ) ( )( )tanlog log cos

log cos

xdx x C

x= − +∫ .




Para precisar lo anterior, la función ( ) log(cos )u x x= tiene por dominio un conjunto

Z

4 1 4 1,

2 2n

n nI π π

∈

− + = ∪

(ver Figura 3). Pero lo más importante es que sus valores son negativos, por lo que la función

( ) ( )( )log log cosF x x= − tiene por dominio el conjunto vacío.

Figura 3. Gráfica de ( ) log(cos )u x x=

Por otra parte, la función ( ) ( )tan log cosf x x x= tiene por dominio la unión de intervalos de

la forma

4 1 4 1,

2 2

n nπ π− +

con excepción de los puntos 2nπ (ver Figura 4). Es decir, el dominio de la función f es el conjunto

Z

4 1 4 1, 2 2 ,

2 2n

n nJ n nπ π π π

∈

− + = ∪ ∪ .

Figura 4. Gráfica de ( ) ( )tan

log cos

xf x

x=



La función f es continua en su dominio. Si se restringe a un intervalo cerrado [ ],a b H⊂ , el

Teorema Fundamental afirma que existe una primitiva en dicho intervalo. El problema al cual nos podríamos enfrentar es el de poder expresar esa primitiva en términos de operaciones finitas de funciones elementales, es decir, es posible que la primitiva no sea elemental. Sin embargo, este no es el caso, porque podemos hallar una primitiva elemental, simplemente debemos utilizar de manera adecuada la expresión

( )( )(́ )log

( )

u xdx u x C

u x= +∫ .

Es importante resaltar que la anterior expresión es válida cuando ( ) 0u x > . Para ser más

precisos, debería escribirse de la siguiente manera

( )(́ )log

( )

u xdx u x C

u x= +∫

Considerando lo anterior, la respuesta a la que llegamos es la siguiente

( ) ( )tan (́ )log ( ) log log cos

log cos ( )

x u xdx dx u x C x C

x u x= − = − + = − +∫ ∫

Figura 5. Gráfica de ( )log log cosx−

Como hemos observado, si se aplica un método para calcular primitivas de manera automática (usado como un algoritmo sin reflexión previa), podemos llegar a soluciones incorrectas. Además, en este caso, ni Wolframalpha ni Derive nos ofrecen una respuesta apropiada.

2.3. Situación matemática III

Otra situación interesante se presenta en el cálculo de primitivas de la forma

( )sen ,cosR x x dx∫ , donde ( )sen ,cosR x x es una función racional en las funciones seno y coseno.

Supongamos, por ejemplo, que deseamos calcular la integral definida

2

0

1

5 3cosdx

x

π

+∫ .




Para ello, es suficiente encontrar una primitiva del integrando y así hacer uso del Teorema Fundamental.

Usaremos el método de cambio de variable tan2

xu = (un método muy socorrido para este tipo

de funciones, el cual suele encontrarse en diversos libros de Cálculo, ver por ejemplo: Granville, 1911, pp. 343-344; Hirst, 2006, pp. 195-196; Spivak, 1996, pp.531-532).

Con este método encontramos la “primitiva”:

( ) 1 1arctan tan

2 2 2

xF x

=

.

Por lo que, usando la segunda parte del Teorema Fundamental, tenemos

( ) ( )2

0

12 0 0

5 3cosdx F F

x

π

π= − =+∫

ya que ( ) ( )tan 2 tan 0 0π = = y ( )arctan 0 0= .

Aquí surge un problema, debido a que el integrando es una función continua y positiva en el

intervalo [ ]0,2π , por lo que el valor de la integral debe ser positivo, lo cual es contradictorio al

resultado obtenido (ver Figura 5). De hecho, el valor de la integral es

2

0

1

5 3cos 2dx

x

π π=+∫ .

Figura 6. Área bajo el integrando

En este caso, la aparente contradicción se debe a que la “primitiva” F no está definida en los

puntos de la forma ( )2 1x n π= + , con n un entero. En particular F no está definida en

[ ]0,2π π∈ . Así que F no cumple con la condición ( ) ( )'F x f x= para toda [ ]0,2x π∈ .

Propiamente dicho, F no es una primitiva del integrando en el intervalo [ ]0,2π .



Podemos afirmar que F es una primitiva del integrando sólo si se restringe a ciertos intervalos

cerrados, es decir, F es una primitiva en el intervalo cerrado [ ],a b I⊂ , donde

( ) ( )( )Z

2 1 , 2 1n

I n nπ π∈

= − +∪ .

Figura 7. Gráfica de la función F

Ahora, utilicemos el CAS para calcular una primitiva. Por una parte, WolframAlpha nos muestra el siguiente resultado

el cual tampoco nos sirve para evaluar la integral definida ya que la función

( ) 1arctan 2cot

2 2

xH x

= −

no está definida en los puntos 1 2x π= y 2 0x = . La función H no es una primitiva del integrando en

el intervalo [ ]0,2π .

Figura 8. Gráfica de la función H




Observación 3: Es posible incurrir en una falsa creencia acerca de la continuidad de las funciones F y H (mencionadas anteriormente), debido a las gráficas que observamos en las Figuras 5 y 6. Como las gráficas están formadas por trozos, es posible pensar que estas funciones no son continuas. Sin embargo, esto no es así. Ambas funciones son continuas en sus dominios. No debemos olvidar que, en la definición de continuidad se consideran los elementos pertenecientes al dominio de la función (ver Apostol, 1998, pp 160-161 y Spivak, 1996, pp. 141-144). En este caso, es fácil ver que los dominios de F y H son

( ) ( )( )Z

2 1 , 2 1n

I n nπ π∈

= − +∪ y ( )( )Z

2 ,2 1n

J n nπ π∈

= +∪ ,

respectivamente. Ciertamente, por ejemplo, si se definen las funciones F y H de la siguiente manera:

1. ( ) 1 1arctan tan

2 2 2

xF x

=

para ( )2 1x n π≠ + y ( ) 0F x = para ( )2 1x n π= + .

2. ( ) 1arctan 2cot

2 2

xH x

= −

para ( )2 1x n π≠ + y ( ) 0H x = para ( )2 1x n π= + .

Entonces, en este último caso, ambas tienen como dominio a R y además son discontinuas en los

puntos ( )2 1x n π= + y ( )2 1x n π= + , respectivamente.

Ahora continuemos con la búsqueda de una primitiva. Si utilizamos en esta ocasión Derive, este programa nos muestra lo siguiente:

Con este resultado, definimos la función :G →R R como

( ) 1 senarctan

4 2 cos 3

x xG x

x = − +

.

Esta función es una primitiva del integrando, la cual podemos utilizar para evaluar la integral definida ya que está definida en todos los reales y por lo tanto es posible aplicar el Teorema Fundamental:

( ) ( )2

0

12 0

5 3cos 2dx G G

x

π ππ= − =+∫

porque ( )22

Gππ = y ( )0 0G = .



Observación 4: Es posible utilizar la función

( ) 1 1arctan tan

2 2 2

xF x

=

para evaluar la integral definida en el intervalo [ ]0,2π pero haciendo algunas consideraciones.

Primero, utilicemos la propiedad aditiva de la integral para partirla en los intervalos [ ]0,π y [ ],2π π .

Entonces tenemos

2 2

0 0

1 1 1

5 3cos 5 3cos 5 3cosdx dx dx

x x x

π π π

π

= ++ + +∫ ∫ ∫ .

Ahora, para poder evaluar las dos integrales definidas del lado derecho es necesario usar una versión, más general, de la segunda parte del Teorema Fundamental (Apostol, 1974, pp. 207-208):

Teorema 1: Sea :[ , ]f a b → R una función continua y sea :G I → R una función derivable tal que

( ) ( )'G x f x= para todo x I∈ , con I un intervalo abierto o semiabierto. Entonces se cumplen los

siguientes casos

1. Si ( ),I a b= y los límites ( ) ( )limx a

G a G x+→

+ = y ( ) ( )limx b

G b G x−→

− = existen,

entonces ( ) ( )( )b

a

f x dx G b G a= − − +∫ .

2. Si [ ),I a b= y el límite ( ) ( )limx b

G b G x−→

− = existe, entonces

( ) ( )( )b

a

f x dx G b G a= − −∫ .

3. Si ( ],I a b= y el límite ( ) ( )limx a

G a G x+→

+ = existe, entonces

( ) ( )( )b

a

f x dx G b G a= − +∫ .

De esta manera, debido a que

( ) 1'

5 3cosF x

x=

+

para todo [ ) ( ]0, ,2x π π π∈ ∪ y además los límites ( )F π − y ( )F π + existen, entonces, por los

incisos 2 y 3 del Teorema 1, tenemos

( ) ( ) ( ) ( )2

0

10 2

5 3cos 2dx F F F F

x

π ππ π π= − − + − + =+∫




ya que ( ) ( )0 2 0F F π= = , ( )4

Fππ − = y ( )

4F

ππ + = − .

De la misma forma, la función

( ) 1arctan 2cot

2 2

xH x

= −

se puede usar para evaluar la integral definida porque

( ) 1'

5 3cosH x

x=

+

para todo ( )0,2x π∈ y los límites ( )2H π − y ( )0H + existen. Por lo tanto, por el inciso 1 del

Teorema 1, tenemos

( ) ( )2

0

12 0

5 3cos 2dx H H

x

π ππ= − − + =+∫

porque ( )24

Hππ − = y ( )0

4H

π+ = − .

3. Comentarios finales

Mucho se ha escrito sobre el gran potencial que ofrece el uso de los CAS en el aprendizaje de las matemáticas, pero poco se escribe sobre la problemática que se crea cuando estos sistemas no generan los resultados esperados o presenta resultados aparentemente incorrectos. La existencia de estas situaciones tiene su parte positiva porque pueden aprovecharse como una oportunidad para profundizar en los contenidos matemáticos.

Los ejemplos aquí expuestos muestran situaciones interesantes en relación al cálculo de primitivas. En primera instancia, mostramos que en algunos casos los resultados del CAS no son apropiados, mientras que la teoría nos da mejores resultados (un hecho prácticamente obvio). En segundo lugar, las situaciones aquí presentadas dan pauta para considerar y analizar varios hechos importantes, por ejemplo: 1) no siempre existe primitiva de una función a pesar de que esta sea integrable (en el sentido de Riemann); 2) no siempre existe una fórmula para expresar una primitiva de una función con operaciones finitas de funciones elementales y 3) no siempre se pone atención a los dominios de las primitivas.

Por último, en la tercera situación, hemos observado que al usar la teoría nos encontramos con un resultado inadecuado mientras que, usando la tecnología (en este caso Derive), obtenemos un resultado mucho mejor el cual podemos utilizar para calcular una integral definida. El uso del CAS hace que surja una problemática antigua existente pero que no está explícita en los libros de Cálculo: el método de integración que se refiere al clásico cambio de variable 2tanxu = no es válido para ciertos intervalos. El problema radica en que nos proporciona una función (aparentemente una primitiva) que no está definida en el mismo intervalo del integrando y por esta razón resulta no ser



una primitiva y este hecho puede ser usado para analizar las condiciones necesarias para aplicar el Teorema de Cambio de Variables. Esta revelación solamente es una de varias que pueden presentarse mientras se estudia matemáticas con el uso del CAS.

Bibliografía

Apostol, T. M. (1974). Análisis Matemático: Introducción Moderna al Cálculo Superior. España: Editorial Reverté.

Apostol, T. M. (1998). Calculus. Vol. I. México: Editorial Reverté. Camacho, M. (2005). La enseñanza y aprendizaje del análisis matemático haciendo uso de CAS

(computer algebra system). En A. Maz, B. Gómez y M. Torralbo. (Eds.) Investigación en Educación Matemática: Noveno Simposio de la Sociedad Española de Educación Matemática SEIEM. 97-110.

Granville, W. A. (1911). Elements of the Differential and Integral Calculus. Ginn and Company. USA.

Hirst, K. E. (2006). Calculus of one variable. Springer-Verlag London Limited. Lagrange, J. (2005). Transposing computer tools from the mathematical sciences into teaching. In D.

Guin, K. Ruthven & L. Trouche (Eds.), The Didactical Challenge of Symbolic Calculators. New York: Springer, 67-82.

Spivak, M. (1996). Cálculo infinitesimal. México: Editorial Reverté.

Juan Carlos Ponce Campuzano, Estudiante de Doctorado en el Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN, México.

Antonio Rivera Figueroa, Investigador Titular del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN, México.




Tareas para el desarrollo de habilidades de visualización y orientación espacial

Margherita Gonzato (Universidad de Granada) Teresa Fernández Blanco (Universidad de Santiago de Compostela)

Juan Díaz Godino (Universidad de Granada)

Fecha de recepción: 16 de junio de 2010 Fecha de aceptación: 17 de enero de 2011

Resumen La adquisición de habilidades de orientación y representación espacial es un objetivo incluido en los diseños curriculares, por sus aplicaciones prácticas e implicaciones en el desarrollo cognitivo de los estudiantes. No obstante, la enseñanza del tema no es una tarea fácil para los profesores como revelan las investigaciones didácticas. En este trabajo analizamos diversas tareas presentadas en las investigaciones sobre visualización y orientación espacial de objetos y espacios tridimensionales. Proponemos una clasificación de las tareas y describimos ejemplos prototípicos para cada una de las categorías expuestas, incluyendo información sobre los conocimientos puestos en juego en su realización.

Palabras clave Espacio, geometría, visualización, orientación espacial, situaciones de enseñanza, habilidades y conocimientos.

Abstract The acquisition of skills of spatial visualization and spatial orientation is an objective proposed in the curricular design, for its practical applications and implications for the cognitive development of students. However, the teaching of this subject is not an easy task for teachers, as the educational research reveals. In this paper we analyze various tasks presented in the researches about spatial visualization and orientation of three-dimensional objects and spaces. We propose a classification of these tasks and describe prototypical examples for each of the categories listed, including information about the knowledge put into effect in such activity.

Keywords Space, geometry, visualization, spatial orientation, teaching, skills and knowledge.

1. Introducción

La visualización y orientación espacial figura en las directrices curriculares como contenido a tratar en los distintos ciclos de educación primaria y secundaria ya que el desarrollo de habilidades de orientación espacial y visualización de cuerpos geométricos se considera un objetivo valioso y necesario para cualquier ciudadano.

Por ejemplo, en los Principios y Estándares del “National Council of Teachers of Mathematics” (NCTM, 2000) se indican entre los objetivos el desarrollo del sentido espacial y reconocimiento de la geometría como un medio para describir y modelizar el mundo físico. Estos objetivos relacionados con la orientación y visualización espacial se presentan desde preescolar hasta el octavo año en los “Curriculum Focal Points” de geometría. También las orientaciones curriculares españolas (MEC,

Tareas para el desarrollo de habilidades de visualización y orientación espacial M. Gonzato, T. Fernández Blanco, J. Díaz Godino


2006) hacen referencia al tema de la “orientación y representación espacial”. Concretamente en los criterios de evaluación se indica, “Describir la situación de un objeto del espacio próximo, y de un desplazamiento en relación a sí mismo, utilizando los conceptos de izquierda-derecha, delante-detrás, arriba-abajo, cerca-lejos y próximo-lejano. Este criterio pretende evaluar las capacidades de orientación y representación espacial, teniendo en cuenta tanto el lenguaje utilizado en la descripción como la representación en el plano de objetos y situaciones”.

Esto justifica que los procesos de enseñanza y aprendizaje de la visualización y orientación espacial sean objeto de atención por parte de la investigación en didáctica de la matemática (Battista, 2007; Gutiérrez, 1996a; Presmeg, 2006).

En este trabajo presentaremos una síntesis de investigaciones realizadas sobre este tema con el objetivo de facilitar el acceso de los profesores a los resultados de tales investigaciones y ayudarles a la reflexión sobre la forma de abordar la enseñanza del mismo, principalmente en los niveles de educación primaria.

Organizamos el artículo en cinco secciones. En la segunda sección fijamos la atención en los tipos de tareas o situaciones – problemas tratados en las investigaciones en las cuales se ponen en juego habilidades de visualización y orientación espacial y proponemos una clasificación en tres familias. En las siguientes secciones se describirán detalladamente cada una de las familias de tareas, presentando ejemplos prototípicos de dichas situaciones y mostrando los conocimientos puestos en juego cuando se aborda la solución de las tareas (secciones 3, 4 y 5). Terminamos con algunas reflexiones e implicaciones para la práctica escolar del uso de las distintos tipos de tareas descritas.

2. Tareas de visualización y orientación espacial

En las investigaciones analizadas en el campo de la educación matemática se proponen diferentes definiciones de visualización y orientación, tanto en el contexto de la geometría como en otras disciplinas (por ejemplo, el álgebra o la aritmética), pero muchas veces se designa un mismo concepto con nombres diferentes y conceptos diferentes con un mismo nombre. Además, estas definiciones pueden resultar de difícil aplicación directa en la enseñanza.

De forma general consideramos la visualización y la orientación espacial como un conjunto de habilidades relacionadas con el razonamiento espacial. Visualizar y orientar un objeto, un sujeto o un espacio, no incluye únicamente la habilidad de “ver” los objetos y los espacios, sino también la habilidad de reflexionar sobre ellos y sus posibles representaciones, sobre las relaciones entre sus partes, su estructura, y de examinar sus posibles transformaciones (rotación, sección, desarrollos,…). Observamos que la interpretación y la comunicación de la información de manera figural (con descripciones gráficas y modelos de hechos y relaciones espaciales) o verbal (vocabulario específico utilizado en geometría, expresiones y términos deícticos) son importantes habilidades relacionadas con la visualización y la orientación espacial.

En este apartado abordamos de una manera operativa el tema de la visualización y la orientación en el contexto de la geometría espacial, identificando y clasificando los principales tipos de tareas sobre la visualización y la orientación de objetos o espacios tridimensionales (representados en el plano o presentados físicamente). Para lograr este objetivo analizamos las tareas presentadas en las diferentes investigaciones sobre el tema en el campo de la educación matemática y de la psicología.

Observamos que dichas investigaciones presentan diferentes tipos de estudios: investigaciones sobre aspectos epistémicos, como el estudio de las representaciones planas de objetos tridimensionales




(Gutiérrez, 1996b; Parzysz, 1988) y los procedimientos (Fischbein, 1993; Lurçat, 1979; Mesquita, 1992); investigaciones sobre aspectos cognitivos como las definiciones de procesos y descripción de habilidades (Bishop, 1983; Del Grande, 1990), la descripción de etapas y niveles (Mitchelmore, 1978; Piaget e Inhelder, 1967; Weill-Fassina y Rachedi, 1993), las estrategias (Gorgorió, 1996, 1998), los errores y las dificultades (Battista y Clements, 1996); investigaciones sobre experiencias o propuestas instruccionales (Berthelot y Salin, 1992, 1993; Clements, 2004; Cuisinier y al., 2007; Galvez, 1985; Hershkowitz, Parzysz y Van Dormolen, 1996; Lappan, Phillips, Winter, 1984; Wiegand, 2006); investigaciones con profesores (Gaulin, 1985; Malara, 1998).

Estas investigaciones presentan diferentes tipos de actividades que involucran capacidades de orientación y visualización espacial, también llamadas “habilidades espaciales” (spatial habilities), pero pocas presentan una detallada clasificación de las tareas.

Hershkowitz, Parzysz, y Van Dormolen (1996) identifican dos categorías de actividades relacionados con el espacio y las formas dependiendo del tipo de relación entre los objetos que son observados y el observador. En el primer tipo la relación es directa, subjetiva e implica la reflexión sobre lo que el observador ve: el estudiante describe lo que ve como observador o lo que ve identificándose con un observador. En las actividades del segundo tipo la relación es indirecta, aunque objetiva e implica la reflexión sobre cómo el observador ve: el estudiante tiene que reflexionar sobre la situación del observador, tiene que identificarse con dos personas, una que observa y la otra que observa al observador.

Por otra parte Berthelot y Salin (1992, p.36) identificaron tres grandes categorías de acciones para que el sujeto tenga un buen control de sus relaciones con el espacio sensible, esto es: reconocer, describir, fabricar o transformar objetos; desplazar, encontrar, comunicar la posición de objetos; reconocer, describir, construir o transformar un espacio de la vida cotidiana o de desplazamiento.

Basándonos en esa categorización de acciones y centrándonos en el contexto tridimensional (prescindimos de las tareas de orientación y visualización de figuras planas) podemos diferenciar tres grandes familias de actividades, según el tópico específico tratado:

1. Orientación estática del sujeto y de los objetos 2. Interpretación de perspectivas de objetos tridimensionales 3. Orientación del sujeto en espacios reales

La primera familia es una ampliación de la categoría de acciones de Berthelot y Salin (1992) “desplazar, encontrar, comunicar la posición de objetos” donde incluimos las tareas que tratan el problema de la orientación del cuerpo del sujeto, del sujeto con relación a otros objetos, y la eventual orientación de objetos (orientaciones que involucran el conocimiento del esquema corporal y la posible proyección de este esquema en el objeto).

La segunda familia de actividades está relacionada con la categoría de acciones identificada por Berthelot y Salin como “reconocer, describir, fabricar o transformar objetos”, en las cuales incluimos también las tareas de representación (bi o tridimensional) de objetos tridimensionales (materiales o representados en el plano).

Mientras que en la tercera familia incluimos las actividades de reconocimiento, descripción, construcción, transformación, interpretación y representación de espacios de vida (espacio reales) o de desplazamientos.



Una importante diferencia entre las tareas de la familia 2 y 3 es que las actividades de “interpretación de perspectivas de objetos tridimensionales” requieren que el sujeto cambie su punto de vista de manera “discreta”, es decir, se requiere que el sujeto se imagine o se ponga en una determinada posición con respecto a una composición de objetos, sin dar importancia al movimiento que tiene que hacer para cambiar su posición, sino solo al punto de vista final. Mientras que en las actividades de “orientación del sujeto en espacio reales” el punto de vista del sujeto cambia de manera continua a lo largo de su desplazamiento, es decir, su visión del espacio está vinculada a un movimiento continuo.

Otra importante diferencia es el tamaño del espacio. Si en la familia 2 se trabaja con objetos aislados o composiciones de objetos (la composición es considerada como un todo), y la atención no se fija en el espacio donde están, sino sobre su estructura y su composición, en la familia 3 se consideran espacios más grandes, que puedan ser recorridos (físicamente o mentalmente) por el sujeto.

Esta triple clasificación de las tareas de la visualización y orientación espacial se puede observar en diferentes trabajos (Berthelot y Salin, 1992; Gaulin, 1985; Gorgorió, 1998; Lurçat, 1979). Por ejemplo Lurçat (1979) presenta actividades que requieren que el sujeto interprete la posición de su cuerpo, la posición de otro sujeto y la posición relativa de objetos, sea en un contexto estático (objetos y sujetos fijos, familia de tareas 1), como de movimiento (itinerarios, familia de tareas 3).

En Gorgorió (1998) se analizan las estrategias utilizadas por alumnos de 12 y 16 años al resolver nueve tareas que involucran la rotación espacial. Estas tareas están clasificada en dos grupos, atendiendo a si la acción requerida para resolverlas es de interpretación o de construcción (dibujo o construcción tridimensional). Observamos que entre los ítems de interpretación hay tres tareas que requieren la identificación de un objeto tridimensional tras una rotación (familia 2) y una tarea que requiere describir un itinerario entre dos puntos de una ciudad por medio de un mapa (familia 3). Esta variedad de tipos de tareas muestra la complejidad del tema y apoya nuestra propuesta de clasificar en tres familias los tipos de problemas en los que intervienen habilidades de visualización y orientación espacial.

En las secciones siguientes describimos con más detalle cada una de las tres familias de tareas propuestas, identificando trabajos de investigación centrados en cada una y algunos resultados de los mismos.

3. Tareas de orientación estática del sujeto y de los objetos

Incluimos en esta categoría las tareas que requieren comprender el esquema corporal, identificar y utilizar sus polaridades: arriba-abajo, izquierda-derecha, delante-detrás, utilizar dicho lenguaje para describir la posición del propio cuerpo, o de otro observador, con respecto a objetos u otras personas y las posiciones de objetos con respecto a otros objetos. En estas actividades consideramos que los objetos y las personas están inmóviles.

Vamos a dar algunos ejemplos de actividades de orientación estática del sujeto y de los objetos encontradas en la literatura, en libros de texto, o en otro material instruccional.

Ejemplo 1. El niño tiene que reconocer las diferentes partes de su cuerpo y de otra persona que está frente a él (García, 2009, Nivel 4, Ficha 213, Figura 1).




Figura 1: Tareas de orientación del cuerpo en el espacio real

Ejemplo 2. En una imagen de niños en diferentes posiciones (figura 2), el niño tiene que colorear los zapatos izquierdos de un color y los derechos de otro (Wiegand, 2006, p. 107).

Figura 2. Tarea de orientación estática del cuerpo

Ejemplo 3. Se utilizan un coche pequeño y un camión pequeño y se modifican sus posiciones sobre la mesa: a) ambos en dirección izquierda delante del niño; b) orientados hacia el niño; c) el auto dirigido hacia el niño y el camión en dirección opuesta; d) en dirección oblicua, uno frente al otro. Se invita al niño, en cada situación, a poner: 1) el coche delante del camión; 2) el auto detrás del camión. (Lurçat, 1979).

En las situaciones anteriores hemos evitado poner tareas de descripción de posiciones relativas de objetos que no tienen, por su estructura o su uso, una determinada y clara orientación (por ejemplo, en un dibujo, no tiene sentido pedir que se pinten los objetos que están a la derecha de una botella). Esto para evitar los conflictos de referencias que pueden aparecer según que el objeto sea visto como tal en el espacio, o bien considerado a partir de su estructura posiblemente ambigua.



Un estudio muy interesante que trata diferentes problemáticas relacionadas con dichas actividades es presentado por Lurçat (1979). En particular, en este trabajo se establece una distinción entre objetos que, por su estructura o su función, poseen una parte anterior y una posterior (y por tanto derecha/izquierda) y los que no las poseen. También se diferencia entre referentes subjetivos (dependientes de la posición del sujeto) y objetivos (independiente de la posición del sujeto). Para explorar las diferentes modalidades de la proyección del esquema corporal se proponen interesantes situaciones experimentales.

En Alberti (2004) se afirma que las relaciones con las cuales se estructura el espacio están relacionadas con las propiedades de nuestro cuerpo, que le dan un significado preciso. La distinción entre delante/detrás de una persona se define por el hecho de que el cuerpo está orientado, es decir, tiene una parte considerada como delante por su forma y funciones y otra como detrás. La orientación de la forma es, por tanto, una condición necesaria para poder usar un objeto como referencia para identificar la combinación delante/detrás. La distinción de izquierda/derecha, asume que el objeto de referencia tenga un plano de simetría, como el cuerpo humano que se caracteriza por su lateralidad, es decir, dos partes iguales de forma y función, pero cuyos movimientos tienen sentido contrario. La distinción cerca/lejos es una relación que involucra al menos a tres cuerpos, uno de los cuales sirve de referencia para establecerse y comparar las distancias de los otros. Es, por tanto, una noción de tipo métrico que se necesita para evaluar las distancias entre objetos y ponerle un orden, aunque no estén alineados en el plano o en el espacio. Implica entonces la capacidad de reconocer la conservación de las longitudes al variar la orientación de la referencia o de los objetos.

En el plano, por ejemplo, el binomio arriba/abajo no puede tener el significado del lenguaje común, ya que se refiere a las características del espacio físico que tiene la dirección vertical como dirección de referencia; por tanto, el sentido de estos términos debe ser aclarado por el profesor, de acuerdo a las convenciones en uso. Incluso la distinción delante/detrás hecha sobre la hoja puede dar lugar a ambigüedad, por lo que parece oportuno evitar proponer a los niños fichas con estos temas.

Observamos que estas problemáticas están tratadas mayormente en edad preescolar (educación infantil) siendo estos conocimientos considerados en las escuelas primarias como previos. Es por esta razón que centraremos más la atención en las otras dos otras familias de tareas relacionadas con la visualización y orientación espacial.

4. Tareas de interpretación de perspectivas de objetos tridimensionales

En esta familia de tareas incluimos las actividades que requieren reconocer y cambiar puntos de vista (cambio de perspectivas), interpretar perspectivas de objetos, rotar mentalmente objetos, interpretar diferentes representaciones planas de objetos tridimensional (perspectivas, vistas,…), convertir una representación plana en otra, construir objetos a partir de una o más representaciones planas,… Observamos que en estas tareas se construyen técnicas para representar un objeto o un espacio, y al mismo tiempo se aprende a leer diferentes tipos de representaciones planas y los códigos respectivos.

Muchas son las investigaciones que estudian las estrategias, los conocimientos, las habilidades, las dificultades, puestas en juego al resolver diferentes actividades de perspectivas de cuerpos tridimensionales. Describimos brevemente las tareas presentadas en algunos trabajos centrados en este tópico.

Gutiérrez (1996a, p. 36), en el análisis de un experimento de enseñanza de las representaciones planas de módulos multicubos, distingue tres tipos de actividades:




• A partir de una representación plana del módulo, el estudiante tiene que construir el respectivo módulo físico.

• A partir del módulo (físico o presentado en perspectiva en el ordenador con la posibilidad de girarlo libremente), tiene que dibujar diferentes tipos de sus representaciones planas.

• El estudiante tiene que relacionar dos tipos de representaciones planas del módulo, sin construirlo físicamente.

Observamos que las representaciones planas que Gutiérrez considera en este trabajo son la perspectiva (no tratada en el análisis del experimento), la representación por plantas, las vistas ortogonales, las vistas ortogonales codificadas y la proyección isométrica.

En Pittalis, Mousoulides y Christou (2009) se describen dos actividades relacionadas con la interpretación de una representación plana de un objeto tridimensional: una requiere construir un objeto tridimensional a partir de sus vistas y la otra requiere dibujar un objeto tridimensional y estudiar las propiedades del objeto que se conservan en su representación.

Muchos trabajos analizados incluyen tareas de rotación de un objeto tridimensional. Por ejemplo Gorgorió (1996, 1998) se centra en el estudio de las estrategias utilizadas por alumnos entre 12 y 16 años al resolver tareas que involucran rotaciones espaciales.

Fischbein (1993) analiza el caso del desarrollo de un cubo, como ejemplo de una práctica con estudiantes de actividades mentales en las cuales la cooperación entre el aspecto conceptual y el figural requiere un esfuerzo especial. Esta actividad se refiere al desarrollo de un cuerpo geométrico y está compuesta de tres partes:

• Dibujar la imagen obtenida desarrollando un cuerpo geométrico • Identificar el cuerpo geométrico obtenido a partir de un desarrollo plano • Indicar en el desarrollo las aristas que se hacen corresponder cuando el objeto

tridimensional sea reconstruido.

De manera más general, Ben-Chaim, Lappan y Houang (1988) estudian las habilidades de visualización espacial y el efecto de la instrucción en los grados 5-8 (identificando diferencias por sexo, edad y proveniencia) utilizando un test de visualización espacial cuyos ítems requieren reconocer vistas ortogonales o perspectivas de composiciones de cubos (edificios), añadiendo o quitando cubos, combinando dos sólidos, aplicando la idea de vista codificada superior.

En el contexto de formación de profesores señalamos dos trabajos centrados en este tema: Malara (1998) y Gaulin (1985). Malara presenta una experiencia llevada a cabo con profesores de escuela secundaria que consistía en resolver actividades que involucran la habilidad de visualizar el efecto de determinadas transformaciones sobre sólidos, o de imaginar la perspectiva de un sólido desde un determinado punto de vista. Gaulin analiza tres ejemplos de actividades propuestas a maestros en formación, para “desarrollar la visualización espacial y la intuición geométrica”, dos de estas tareas se centran en el estudio de las posibles representaciones de sólidos multicubos.

A continuación intentamos clasificar las tareas descritas en estas investigaciones.

Analizando las investigaciones anteriores observamos que las tareas presentadas tienen en cuenta tres parámetros: el estimulo inicial presentado, la acción principal requerida para resolver la tarea y el tipo de repuesta solicitada. El estímulo inicial se refiere a la presencia o no, en la descripción de la tarea, del objeto físico, o de una de sus representaciones.



Las acciones principales requeridas para resolver las tareas que se presentan en las investigaciones son:

• Cambiar el tipo de representación (plana o tridimensional): representar un objeto físico con una representación plana, construir un objeto tridimensional a partir de su representación plana, o convertir representaciones planas de tipos diferentes (perspectiva/proyección isométrica/vistas/vistas codificadas/fotografías). Observamos que el cambio de representación puede implicar también una rotación del objeto, un cambio de punto de vista.

• Rotar: rotar el objeto o partes del objeto, o de manera equivalente cambiar mentalmente de perspectiva (imaginarse en otra posición con respecto al objeto). Observamos que no hay cambio de tipo de representación plana.

• Plegar y desplegar: plegar un desarrollo plano para formar un objeto tridimensional (físico o representado), o viceversa desplegar el objeto para obtener uno de sus desarrollos.

• Componer y descomponer en partes: dadas dos o más piezas componerlas para formar un sólido, o viceversa, dado el sólido descomponerlo en dos o más partes.

• Contar elementos: dado un sólido contar los elementos que lo componen (unidades de volumen, caras, aristas, vértices, etc.).

Observamos que las acciones pueden aparecer de forma explícita o implícita en el enunciado de la tarea.

En cuanto al tipo de repuesta solicitada diferenciamos entre:

• Construcción: si se requiere la construcción del objeto tridimensional. • Dibujo: si se requiere una representación plana del objeto tridimensional. • Identificación: si se requiere identificar la repuesta correcta entre más opciones. • Verbal: si se requiere una respuesta verbal /numérica (que no exija ninguno de los

anteriores tipos de repuestas).

Observamos que Gorgorió (1996), centrándose en actividades de rotación (tipo de acción) clasificó las tareas en dos categorías: tareas de “construcción”, si la respuesta requiere la construcción del objeto o su dibujo, y tareas “de interpretación”, que requieren que el estudiante reaccione ante una acción geométrica ya cumplida. Con respecto a nuestra clasificación del tipo de respuesta, separamos las tareas de “construcción” de Gorgorió en construcción del objeto físico y dibujo como representación plana del objeto tridimensional, mientras que las tareas “de interpretación” de la autora corresponden al tipo de respuesta que nosotros llamamos de identificación.

Presentamos en la tabla 1 una síntesis de la clasificación de las tareas propuesta.

Estimulo inicial Acción (ejecutar/imaginar) Tipo de

respuesta

Presencia del objeto físico

Objeto (y/o sujeto) móvil Convertir entre representaciones (plana o 3D)

Rotar

Plegar o desplegar

Composición y descomposición en partes

Conteo de partes

Construcción

Dibujo

Identificación

Verbal

Otras

Objeto ( y sujeto) fijo

Ausencia del objeto físico

Objeto observado previamente

Objeto presentado en el plano

Tabla 1. Clasificación de las tareas de interpretación de objetos tridimensionales




Podríamos también considerar el tipo de objeto: geométricos, multicubos, cotidiano, el tipo de representación plana utilizado (perspectiva, por proyecciones ortogonales codificadas, etc.) y el tamaño del espacio: micro (objeto solo), meso (composición de objetos). Observamos que cuando se trabaja con un objeto fijo, ausente o representado en dos dimensiones, sin posibilidad de manipularlo, las acciones requeridas serían “mentales”, como, por ejemplo, imaginar la rotación de un objeto o cambiar el punto de vista. Además hacemos constatar que una tarea puede involucrar más acciones y si la respuesta es de dibujo puede necesitar de diferentes técnicas (dibujo en perspectiva caballera, en proyección, etc.).

Vamos a dar algunos ejemplos prototípicos de actividades que pertenecen a esta segunda familia encontrados en la literatura, en libros de texto o en otro material instruccional. En este trabajo elegimos clasificar las tareas según la acción principal requerida para su resolución (ver tabla 1).

4.1. Convertir representaciones

Ejemplo 4: Construye una composición de cubos que tenga las vistas ilustradas en la figura 3 (Pittalis, Mousoulides y Christou, 2009, p. 387).

Vista de frente Vista de perfil Vista desde arriba

Figura 3. Proyecciones ortogonales del objeto

Para resolver esta tarea el alumno tiene que conocer un determinado lenguaje gráfico para interpretar las representaciones planas del objeto, que en este caso son proyecciones ortogonales, llamadas vistas. El conocimiento de las propiedades de dichas representaciones (por ejemplo que conservan la forma, tamaño y posición relativa de los cuerpos proyectados y en consecuencia las caras del cubo son cuadrados cuando se miran frontalmente) permite coordinarlas e integrarlas para construir el objeto tridimensional. Esta coordinación de las vistas constituye una de las mayores dificultades para los estudiantes (Battista y Clements, 1996; Gutiérrez, 1996a).

Observamos que el estimulo inicial de esta tarea son las representaciones planas (proyecciones ortogonales) y el tipo de respuesta es de construcción. Variando el estimulo inicial (poniendo un objeto físico u otro tipo de representación plana), o bien el tipo de respuesta que se pide se pueden obtener interesantes variaciones de la tarea.

4.2. Rotar objetos

Ejemplo 5. ¿Cuál de las imágenes de la derecha continua la serie? (Ferrero, 2008, p.172, figura 4)

Figura 4. Dados que giran

En la resolución de esta tarea de rotación se tiene que leer una representación plana (perspectiva paralela) de un cuerpo tridimensional y se ponen en juego los siguientes conocimientos principales: eje



de rotación, rotación de un cuerpo alrededor de un eje, la estructura del cubo y las propiedades derivadas de la rotación como isometría.

Variando la estructura del cuerpo y su tipo de representación (estímulo inicial), combinando varios ejes de rotación y cambiando el tipo de respuesta (por ejemplo, de dibujo) se pueden formular diferentes tareas de rotación. Observamos que en muchas tareas de rotación de un objeto se puede variar el enunciado solicitando un cambio de posición con respecto al objeto (y viceversa). En Gorgorió (1998) se pueden encontrar interesantes ejemplos de tareas de rotación y un análisis de las posibles estrategias utilizadas para resolverlas. En este trabajo se mencionan también algunos errores manifestados por los alumnos en la resolución de las tareas, entre los cuales está la confusión entre la rotación de 180 grados y la simetría.

4.3. Plegar y desplegar (desarrollos)

Ejemplo 6 (figura 5). Escribe cuáles de estos desarrollos corresponden a un cubo (Almodovar y García, 2009, p. 197)

Figura 5. Desarrollos de cubos

Para resolver esta tarea es necesario conocer qué es un desarrollo y las propiedades que conserva con respecto al objeto geométrico, por ejemplo, el paralelismo de las aristas de las caras, la forma y el tamaño de las caras.

Una de las dificultades para resolver tareas de desarrollo proviene del hecho que, a diferencia de las proyecciones, en estas representaciones se produce una duplicidad de algunos elementos del cuerpo tridimensional. Por ejemplo, una arista del cubo puede ser representada por dos aristas en el desarrollo (a un punto del cubo le puede corresponder puntos del plano). Estas aristas corresponden a aquellas que se unen al plegar el desarrollo. Un análisis más detallado de esta tarea se puede encontrar en Mesquita (1992).

4.4. Composición y descomposición en partes

Ejemplo 7. Juntando dos piezas de puzle se pueden construir nuevos sólidos, como se muestra en el ejemplo. Para cada uno de los siguientes sólidos formados por las dos piezas, la figura 6 muestra cómo se construye pintando una de las piezas que lo compone. (Variación de la tarea presentada por Lappan, Phillips y Winter, 1984, p. 622).

Figura 6. Composiciones de puzles de dos piezas




En la resolución de esta actividad se tienen que interpretar representaciones isométricas de objetos y conocer sus convenios. La partición del sólido en las dos piezas dadas supone la identificación de dichas piezas en la figura, que se hace a través de movimientos isométricos de las piezas. Las posiciones relativas de las piezas permitirán obtener las diferentes construcciones.

Además de las dificultades de interpretación y representación en perspectiva isométrica tenemos las dificultades asociadas al hecho de que algunas partes de los objetos están ocultas.

4.5. Conteo de partes

Ejemplo 8. El objeto representado en la figura 7 está formado por cubos. Supongamos que pintamos toda su superficie exterior de azul y después lo desmontamos totalmente. ¿Cuántos cubitos tendrían exactamente tres caras azules? ¿Y cuántos tendrían exactamente dos caras azules? ¿Y una cara azul? ¿Y ninguna cara azul? (Bishop, 1983, p. 187).

Figura 7. Conteo de cubitos

En esta tarea se tiene que interpretar la representación del objeto y sus partes (los cubitos), se tiene que conocer la estructura del ortoedro y coordinar las diferentes caras que pertenecen al mismo cubito (las vistas ortogonales de las caras del cubitos).

5. Tareas de orientación del sujeto en espacios reales

Incluimos en esta familia aquellas tareas que requieren que el sujeto comprenda el espacio donde se sitúa (o donde se sitúa otra persona u objeto), su ubicación y orientación en el espacio. “Orientarse en el espacio” puede significar leer un mapa, un plano o comprender una maqueta de espacios de diferentes tamaños (ciudad, barrio, escuela, aula), describir verbalmente un itinerario entre dos lugares conocidos, dibujar un plano, un mapa o construir una maqueta de un espacio conocido, orientar un mapa con respecto a puntos de referencia fijos en la realidad, o con respecto a los puntos cardinales. También incluimos las situaciones que requieren que el alumno lea, construya o utilice un sistema de coordenadas para estudiar las diferentes características de un espacio. Por ejemplo, incluimos tareas donde se requiere que el alumno defina un lugar en un mapa por medio de coordenadas cartesianas o polares, o de dibujar un itinerario descrito verbalmente a través del uso de coordenadas.

Observamos que al abordar algunas situaciones de “Orientación del sujeto en espacios reales” se requiere conectar el esquema corporal al espacio físico circundante, trabajando otro aspecto de dicho conocimiento. Por ejemplo, en la descripción de un itinerario dibujado en un mapa (sin el uso de los puntos cardinales) es necesario conocer el propio esquema corporal (izquierda-derecha, arriba-abajo, delante-detrás), proyectarlo en el personaje imaginario que recorre el itinerario representado, y conectarlo con los puntos de referencia presentes en el mapa (edificios, cruces,…).



Siguiendo las ideas de las “matemáticas realistas” de la escuela holandesa, Hershkowitz, Parzysz y Van Dormolen (1996) afirman que la geometría euclidiana empieza con la orientación en el espacio real, esto es, el entorno del cual los estudiantes forman parte. Afirman que “la experiencia en el espacio comprende la posición relativa de los objetos en el espacio y la posición relativa de los objetos en relación con la posición de un observador respecto de dichos objetos” (p. 177). Estos autores subrayan que para adquirir un modo de pensamiento y de razonamiento visual es necesaria una educación visual bien planeada y sugieren interesantes tareas de interpretación de mapas y planos.

Un trabajo muy interesante que trata sobre el tema de la orientación del sujeto en espacios reales es el de Galvez (1985). En el capítulo 5, la autora describe una secuencia de situaciones didácticas para el aprendizaje de la orientación en el espacio urbano. Parte de la hipótesis de que, para trabajar con mapas, hay que aprender a orientarlos con respecto al espacio físico que representan. Las situaciones didácticas que describe en este capítulo están destinadas a promover el aprendizaje de la elaboración y uso de mapas del espacio circundante al ámbito escolar.

Otro trabajo que presenta interesantes problemas de elaboración e interpretación de planos y mapas es de Berthelot y Salin (1993). Las actividades que proponen surgen del cumplimiento de tres condiciones: la necesidad de utilizar un plano para resolver el problema, que el tamaño del espacio sea lo suficiente grande para que no se pueda abarcar con una única mirada y, por último, que el espacio sea el más indiferenciado posible (con pocos elementos identificables en el mapa) para que los alumnos tengan que tomar consciencia de la necesidad de un sistema de referencia y de su control.

Weill-Fassina y Rachedi (1993) analizan cómo adultos de bajo nivel escolar localizan en un plano de un edificio el punto donde se sitúan. En el análisis a priori de las tarea identifican tres grandes etapas de la localización espacial: 1) la macro-localización, o sea la localización de los objetos característicos, elementos del plano o materiales de percepción más saliente, 2) la orientación, o sea la puesta en congruencia de los dos espacios (el plano con el espacio físico) y la coordinación de los puntos de vistas, y 3) la micro-localización, o sea la búsqueda de elementos de localización finos para localizar el elemento requerido.

Sbaragli (2003), analizando algunas experiencias que tuvieron profesores de diferentes niveles escolares, propone actividades relacionadas con el espacio y las figuras. Sugiere que los alumnos de los primeros niveles educativos empiezan con actividades “corporales”, en el espacio real, para seguir en una representación tridimensional de tamaño reducido como puede ser la construcción de una maqueta, donde el niño no ejecuta la actividad con su propio cuerpo sino la gestiona desde el “exterior”. Solo después de las actividades en el espacio tridimensional se puede pasar a actividades en el plano, al “dibujo”. Subraya la importancia de jugar entre el espacio tridimensional y el bidimensional en todos los años de la escuela primaria.

Berthelot y Salin (1992, pp. 325-326) diferencian tres tipos de situaciones que requieren el uso de planos y mapas: la exploración de lugares desconocidos (que puede servir para elaborar un propio plano), el desplazamiento en un espacio (los planos dan las informaciones necesarias para determinar el propio itinerario) y la comunicación de una localización precisa (con planos en escalas). También se diferencian las situaciones que requieren comunicar informaciones espaciales sin un plano o con un plano.

Siguiendo estas ideas vamos a distinguir tres tipos de estímulos iniciales:

• Espacio real: tareas donde la acción del sujeto transcurre en el presente o ya ha sido realizada en el espacio real sin el apoyo de ningún tipo de representación del espacio.

• Representación espacial: tareas donde el sujeto no realiza físicamente una acción sino que sólo interpreta la información contenida en el mapa sin navegación física del espacio y sin




tener una referencia física al espacio representado. • Espacio real y representación del espacio físico: tareas donde el sujeto realiza o ha realizado

la acción en un espacio físico y dispone de una representación de dicho espacio.

Observamos que las acciones iniciales requeridas para resolver la tarea están asociadas al estimulo inicial.

Hemos distinguido entre cuatro tipos de respuesta, independientes del estimulo inicial:

• De representación: el sujeto tiene que representar un espacio y/o un trayecto en dos o tres dimensiones.

• De localización de objetos y personas: el sujeto debe localizar un objeto o una persona en mapas, planos con o sin el uso de un sistema de coordenadas.

• De descripción (verbal) de trayectos o posiciones. • Física: orientar la representación del espacio (de acuerdo a los puntos cardinales, de acuerdo

a objetos fijos en la realidad), ejecutar físicamente trayectos, ubicar físicamente objetos o personas en el espacio.

Resumimos en la tabla 2 la clasificación propuesta.

Estimulo inicial Acción inicial Tipo de respuesta

Espacio real

Explorar el espacio (con movimiento)

Observar espacios, trayectos,... (sin movimiento)

De representación: • del espacio: construir maquetas, dibujar mapas/planos • de trayectos

De localización de objetos y personas:

• en un mapa/plano/maquetas • con coordenadas

De descripción (verbalmente):

• trayectos • posiciones

Física:

• orientar la representación del espacio (de acuerdo a los puntos cardinales, de acuerdo a objetos fijos en la realidad)

• ejecutar trayectos • ubicar objetos o personas en el espacio

Representación Espacial

Interpretar información gráfica (localizar elementos, leer trayectos, interpretar sistemas de coordenadas,…)

Espacio real + representación del espacio

Relacionar el espacio con su representación espacial

Tabla 2. Clasificación de las tareas de orientación del sujeto en espacios reales

Podríamos también considerar como variables de las tareas el tipo de representación del espacio: 2D (planos, mapas, fotos,…), 3D (maqueta) y el tamaño del espacio real. Observamos que en muchos casos la respuesta a la tarea involucra también una acción y que para resolver una tarea se pueden necesitar varias acciones.

A continuación, vamos a dar algunos ejemplos prototípicos de tareas pertenecientes a esta familia de actividades encontrados en la literatura, en libros de texto o en otro material instruccional. Observamos que en los libros de textos de primaria1 se encuentran exclusivamente tareas de 1 Hemos revisado las colecciones de textos de primaria (de 1º a 6º curso) de las editoriales Santillana, SM y Anaya (ediciones de años entre 2006 a 2009).



interpretación de información gráfica, sin un referente físico. Se trabaja entonces una orientación puramente “mental”.

Para mostrar la gran variedad de situaciones de orientación del sujeto en espacios reales que se pueden proponer a alumnos de primaria, vamos a dar algunos ejemplos prototípicos, clasificados según la acción inicial requerida para su resolución (ver tabla 2), es decir: explorar el espacio (con movimiento físico), observar espacios, trayectos,… (sin movimiento físico), interpretar información gráfica, relacionar el espacio con su representación espacial. También analizaremos brevemente los conocimientos principales puestos en juegos en la resolución de las tareas.

5.1. Explorar el espacio

Ejemplo 9: “El maestro lleva a los niños de visita al parque de bomberos. Por el camino hablan acerca de las casas y las tiendas por las que pasan. Al volver a la escuela crean una maqueta de la ciudad utilizando bloques” (Wiegand, 2006, p. 93).

En esta tarea se requiere que el alumno organice la información de un espacio que se ha recorrido previamente para construir con bloques una representación tridimensional. Observamos que el tipo de repuesta requerida es de representación (construcción de maqueta). Se podría variar la tarea pidiendo la representación plana sin la ayuda de los bloques, o señalar en la representación el recorrido seguido durante el paseo. Estas variaciones supondrían un nivel superior de dificultad al perderse una de las dimensiones.

5.2. Observar espacios, trayectos,… (sin movimiento)

Ejemplo 10. Se presentan 16 cajas de cerillas sobre una mesa grande cuadrada colocada en una habitación totalmente vacía y puesta de manera que sus lados estén inclinados 45 grados con respecto a las paredes de la sala. Se disponen las cajas, cuatro por cada lado, paralelas a los bordes de la mesa. El profesor pone un bloque lógico diferente (que los alumnos saben representar) en cada caja y las deja abiertas. Los chicos observan el contenido de cada caja y tienen que recoger información (dibujar planos, escribir,…) para que el día siguiente, una vez que las cajas han sido cerradas, puedan describir el contenido de tres cajas señaladas por el profesor (Berthelot y Salin, 1993, pp. 96-97).

La situación ha sido construida para que los chicos tengan la necesidad de considerar (y representar) un elemento externo a la situación (por ejemplo las ventanas, la puerta, un cuadro,..) para poder orientar correctamente su plano y poder localizar los elementos y su posición el día siguiente. Una dificultad asociada a la interpretación del mapa es la puesta en congruencia del espacio físico con el espacio representado.

Berthelot y Salin (1992) describen los conocimientos necesarios para la realización de un plano: la determinación de un sistema de referencia pertinente, la necesidad de articular los diferentes planos obtenidos por la representación de los espacios locales situados alrededor de los puntos de referencia y, por último, la representación de los desplazamientos y su coordinación en el espacio considerado. Observan que en la realización de un plano local o un mapa global, el control de la orientación relativa entre los diferentes elementos representados es esencial. También hacen remarcar que los conocimientos que se ponen en juego dependen de la naturaleza del problema (por ejemplo, si queremos representar un plano para orientar a un amigo tenemos que respetar por lo menos las propiedades topológicas y afines del espacio) y de las características del espacio considerado. No pueden faltar las informaciones que permitan al lector del plano orientarlo con respecto a la realidad.




5.3. Interpretar información gráfica

Ejemplo 11 (figura 8): Almudena sale de su casa en la C/ Gato, va hasta el cruce con la C/ Delfín y gira a la derecha en dirección a la plaza. En la plaza coge la C/ Foca hasta el cruce con la C/ Oso, donde está la casa de su amiga Begoña. ¿Qué número corresponde a la casa de Almudena? ¿Y a la casa de Begoña? (Ferrero, 2006, p. 209).

Figura 8. Mapa de un barrio

En esta tarea es importante la coordinación de la orientación del sujeto (su derecha, su izquierda,…) y del espacio representado en el dibujo (las calles, los números,…).

Por lo que se refiere a los sistemas de referencia en la descripción de un itinerario de acuerdo a un mapa Gálvez (1985) piensa que el sujeto debe ser capaz de disociar al menos dos sistemas de referencia:

• El sistema ligado a su propio esquema corporal y proyectado por traslación sobre el papel y • El sistema correspondiente a la proyección del esquema corporal de un móvil que se

desplazaría a lo largo del itinerario que se trata de describir

Observamos que, en la tarea propuesta, Almudena representa un móvil con su esquema corporal que se desplaza siguiendo el itinerario descrito (la derecha y la izquierda dependen del sentido del trayecto seguido).

Ejemplo 12 y 13 (figuras 9 y 10; Ferrero 2006, p. 212 y p.207, respectivamente).

Figuras 9 y 10. Tareas de interpretación de un sistema de coordenadas



Estas dos tareas de localización de edificios en un plano se diferencian por el tipo de sistemas de coordenadas. En el ejemplo 12 (figura 9) se utiliza un sistema de intervalos alfa-numérico, donde cada letra y cada número designa un intervalo, y el par letra número designa una región. Por otra parte, el ejemplo 13 (figura 10) utiliza el clásico sistema cartesiano de representación de puntos en un plano, de forma que cada punto del plano viene determinado por un par de números (abscisa y ordenada). Por lo tanto, en el primer caso un elemento se sitúa en una (o más) regiones, mientras que en el segundo un elemento viene localizado por un punto (dos coordenadas). Conocer las diferencias entre los dos sistemas es fundamental a la hora de planificar las tareas.

5.4. Relacionar el espacio con una representación espacial

Ejemplo 13. “Búsqueda de un objeto escondido en una mesa usando un registro hecho en un plano del aula”. Mientras un alumno sale del salón otro esconde un objeto en una mesa y marca dicha mesa sobre un plano del aula que el maestro ha reproducido en una hoja de papel (que tiene cada niño). Entra el alumno que estaba fuera e interpretando el plano tiene que encontrar el objeto escondido. (Galvez, 1985, pp. 64-65).

Fijando la atención en el alumno que estaba afuera, el tipo de respuesta sería de localización física (respuesta física, ubicar objetos, ver tabla 2). Variando el tipo de respuesta, el número de cajas y/o su disposición se pueden obtener otras tareas.

Berthelot y Salin (1992) describen los conocimientos principales implicados en la lectura de un plano: poner en relación los elementos del plano con sus correspondientes en la realidad (se necesita conocer el código utilizado por el autor del plano) y orientar el plano materialmente o mentalmente.

Observamos que en las tareas donde se requiere la interpretación o el uso de una representación gráfica de la realidad (plana o tridimensional) es necesario hacer una correspondencia entre el objeto (o la situación) representado y la representación (modelización). Esta correspondencia realidad- modelo requiere la habilidad de interpretar, comprender y crear relaciones y analogías entre la representación de la realidad y la realidad, o entre dos representaciones diferentes de la realidad. Berthelot y Salin (1993) afirman que la resolución de un problema por modelización implica el establecimiento de una cierta relación entre dos mundos: el mundo sensible y un modelo, sistema simbólico dotado de reglas internas que permiten construir, a partir de objetos iniciales y de relaciones iniciales, nuevos objetos y nuevas relaciones validas.

En Clements (2004) y en Weill-Fassina y Rachedi (1993) se identifican dos grandes dificultades relacionadas con la interpretación de planos y mapas:

• Dificultad para orientar un mapa a través de elementos en la realidad (dificultad para considerar y poner en congruencia dos sistemas de referencia diferentes).

• Dificultad para comprender el lenguaje simbólico (dificultad para entender que un mapa representa sólo algunos aspectos de la realidad y no es la realidad en miniatura).

Observamos que esta familia de actividades tiene evidentes relaciones con situaciones diarias. Por lo tanto, sería una fuerte limitación restringir el tema únicamente a las actividades de interpretación de información gráfica presentadas usualmente en los libros de textos y olvidar la importancia y el interés de trabajar con un referente real, en un espacio que los estudiantes puedan recorrer y explorar.




6. Reflexiones finales

En este trabajo hemos propuesto una clasificación de tareas, relacionadas con la orientación y visualización de espacios y objetos tridimensionales, encontradas en las investigaciones y en los libros de texto. Esta lectura nos ha permitido poner de manifiesto la riqueza y diversidad de las tareas presentes así como los conocimientos que se ponen en juego y las potenciales dificultades asociadas a las mismas.

La distinción entre tres tipos de familias de tareas de visualización y orientación espacial puede ayudar a los profesores en la planificación de clases que cubran los diferentes aspectos del tema y que incluyan trabajos manipulativos y físicos. Las clasificaciones detalladas de las familias 2 y 3, presentadas en las tablas 1 y 2, pueden ser útiles para diseñar variaciones interesantes de las tareas: cambiando el estimulo inicial de una tarea o el tipo de respuesta se pueden obtener diferentes actividades que estimulan más aspectos de una misma acción.

Observamos que frecuentemente en los cursos de matemáticas el tema de la orientación y visualización de espacios y objetos tridimensionales es poco tratado o planteado como actividad recreativa. Las tareas que se encuentran en los libros de textos reflejan este escaso interés y cubren parcialmente los aspectos principales del tópico: se trabaja únicamente con representaciones planas de objetos y espacios sin hacer una referencia a los objetos y espacios reales que representan, no se trabaja en espacios conocidos sino con representaciones de espacios ficticios y personajes imaginarios.

Situaciones de visualización y orientación espacial podrían ser presentadas no sólo en el ámbito matemático, sino también en otras asignaturas, como pueden ser la geografía, el dibujo técnico y la educación física. En matemáticas el niño puede abordar tareas como las que hemos descrito en este trabajo; en geografía el niño se puede enfrentar a situaciones relacionadas con la lectura y elaboración de materiales cartográficos, que podrían ser incentivadas yendo al descubrimiento de nuevos espacios. En el dibujo técnico el niño podrá aprender los procedimientos de la proyección y los convencionalismos de representación, mientras que en educación física podrá experimentar la orientación de su propio cuerpo con actividades motrices. Observamos así que en la escuela primaria el tema podría ser tratado de manera interdisciplinar.

Reconocimiento

Trabajo realizado en el marco del proyecto de investigación, EDU2010-14947, Ministerio de Ciencia e Innovación (MCINN), España y de la Beca FPU, AP2008-04560.

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Margherita Gonzato, becaria del Programa de Formación de Profesorado Universitario (FPU) del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada. Email: [email protected]

Teresa Fernández Blanco, Profesora Titular de Escuela Universitaria de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Santiago de Compostela.

Juan Díaz Godino, Catedrático de Universidad de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada. Página web: http://www.ugr.es/local/jgodino




Jugando con teselas

José Muñoz Santonja (Instituto de Enseñanza Secundaria Macarena. Sevilla) Juan Antonio Hans Martín (Colegio Sta. Mª de los Reyes. Sevilla)

Antonio Fernández-Aliseda Redondo (Instituto de Enseñanza Secundaria Majuelo. Sevilla) Grupo Alquerque - Sevilla

Fecha de recepción: 5 de febrero de 2011 Fecha de aceptación: 24 de febrero de 2011

Resumen Estamos acostumbrados a pasear en nuestras ciudades por encima de mosaicos de muy diversas formas. El estudio del recubrimiento del plano ha llevado al desarrollo de múltiples formas de unir piezas más o menos regulares sin que dejen ningún hueco entre ellas. En algunos casos nos encontramos con una serie de teselas creadas por personajes como Robinson o Penrose que dan mucho pie para presentarlas como juegos que pueden ser manipulados por cualquier persona. Al estudio de esas teselas hemos dedicado este artículo.

Palabras clave Mosaicos, geometría, juegos, recubrimiento del plano, teselas.

Abstract We are accostumed to walk in our cities on very different mosaics. The study of the lining of the plane has led to the development of multiple ways of joining more or less regular parts, without leaving any gap among them. In some cases we find a series of tiles created by people as Robinson or Penrose that can be presented as games that can be manipulated by anyone. We have dedicated this article to the study of these tiles.

Keywords Mosaics, geometry, games, coating plane, tilings.

1. Introducción

Casi desde que el hombre comenzó a construir con sus manos y a realizar construcciones duraderas, uno de los aspectos que más ha cuidado ha sido el de unir elementos para teselar de la forma más eficiente posible el plano. Hay muchos restos que nos indican la perfección que se buscaba en ese trabajo. Por ejemplo, las calzadas romanas construidas uniendo piezas que ajustaban de forma que no hubiesen resquicios para que una pata de un caballo o una rueda pudiesen sufrir percances, y que hoy en día siguen permitiendo su paso sin dificultad. O esos trabajos más elaborados como son los mosaicos en los que el objetivo era unir una serie de piezas para conseguir cubrir un plano con unos vistosos y originales dibujos.

Poco a poco los mosaicos fueron convirtiéndose en la unión perfecta de piezas que se pudieran repetir de forma periódica y los científicos y artistas comenzaron a estudiar todas las posibilidades de rellenar el plano. Así, los artistas árabes llegaron a utilizar todos los grupos cristalográficos posibles en las paredes de la Alhambra.

Jugando con teselas J. Muñoz Santonja, J.A. Hans Martín y A. Fernández-Aliseda Redondo


Ese objetivo de recubrir de una forma periódica el plano ha llegado hasta nuestros días de una forma cotidiana. Si nos fijamos en nuestras calles, es usual que las aceras y calles estén llenas de mosaicos de diversos tipos. Ya sabemos que solo existen tres polígonos regulares que recubren el plano: triángulo, cuadrado y hexágono. Por eso es fácil encontrarnos, al menos con cuadrados y hexágonos en las teselas que forman las aceras, como vemos en la Figura 1, en donde además podemos ver rectángulos.

Figura 1

Pero no sólo los polígonos regulares adornan nuestros suelos, podemos encontrar teselas, obtenidas en general por transformaciones de esos polígonos regulares u otros polígonos, que se repiten periódicamente para cubrir cualquier extensión que queramos. Podemos ver dos ejemplos en las Figuras 2 y 3.

Figura 2 Figura 3

Con esa misma idea muchos artistas han buscado la forma de recubrir el plano de una forma periódica y bella. Para los matemáticos siempre ha sido muy especial la obra de M. C. Escher. En la Figura 4, Mariposas (1948, tinta y acuarela), podemos ver un recubrimiento del plano utilizando la misma pieza, aunque coloreada de distintas maneras.

Figura 4




2. La búsqueda de teselas aperiódicas

Aunque la existencia de mosaicos aperiódicos se conoce desde hace tiempo, no es hasta principios de los años 60 en que el estadounidense de origen chino Hao Wang, profesor de la Universidad de Harvard, comienza a estudiar el recubrimiento aperiódico del plano utilizando una serie de cuadrados de lado unidad con las aristas coloreadas, que él llamo dominós, y que se unían de forma que coincidieran los colores de las aristas, sin permitir giros o reflexiones. Wang conjeturó que si era posible encontrar una serie de dominós que recubrieran el plano de forma aperiódica, también lo harían de forma periódica.

En 1966, el alumno de Wang, Robert Berger, demostró que la conjetura era falsa cuando encontró un grupo de 20.426 dominós que recubrían el plano sólo de forma aperiódica. Fue el primero en encontrar este tipo de teselas exclusivamente aperiódicas. Más adelante consiguió reducir el número de teselas considerablemente, hasta las 104 y otros matemáticos redujeron ese número hasta llegar a las personas de las que vamos a hablar, Raphael Robinson y Robert Ammann que redujeron el número sólo a seis teselas, aunque en ellas si se permitían los giros y reflexiones.

Nosotros utilizamos estas teselas como puzzles, ya que unir las piezas sin dejar ningún hueco es un juego apasionante y nada inmediato. Su construcción en cartón o madera no es excesivamente difícil, y un buen ejercicio para las clases de Tecnología donde se puede plantear como un proyecto conjunto entre ese departamento y el de Matemáticas. Pero además su resolución, es decir, el encajar adecuadamente las teselas es un buen problema geométrico para trabajar la Resolución de Problemas. De entrada representa un desafío al que es difícil sustraerse, donde las reglas y el objetivo son fácilmente comprensibles, por lo que todo el mundo se presta de forma autónoma a intentar resolverlo; no deja bloqueado, pues al tener la posibilidad de manipular las piezas el primer acercamiento es de ensayo y error, pero permite reflexionar sobre la geometría particular de cada pieza y avanzar hacia su resolución y, por último, proporciona gran satisfacción a quien lo resuelve.

3. Teselas de Robinson

El matemático estadounidense Raphael Robinson Mitchell (1911-1995) fue profesor de la Universidad de Berkeley. Aunque su tesis doctoral trataba sobre análisis complejo, a lo largo de su vida desarrolló sus estudios en otras ramas, como por ejemplo, en teoría de números, geometría y combinatoria.

Fue uno de los pioneros en la utilización de ordenadores para localizar resultados en Teoría de Números.

Figura 5

Se casó con una de sus estudiantes, la famosa matemática estadounidense Julia Hall Bowman, que fue la primera mujer en ser presidente de la Asociación Americana de Matemáticas.

A partir del trabajo de Berger, consiguió construir en 1971 un conjunto de seis teselas que recubrían el plano de forma aperiódica. En las siguientes imágenes podemos ver las seis teselas de Robinson y una de sus soluciones, de las que nosotros hemos encontrado, al menos, cinco.



Figura 6 Figura 7

En la Figura 8 se puede ver un recubrimiento1 no periódico del plano utilizando las teselas de Robinson.

Figura 8

4. Teselas de Ammann

Casi de forma simultánea a Robinson, el matemático aficionado y empleado de Correos Robert Ammann (1946-1994), encontró otra serie de seis teselas que también recubrían el plano de forma aperiódica. Investigó además en la teoría de los cuasicristales. Tuvo una fluida correspondencia con el matemático y divulgador Martin Gardner a raíz de la publicación por parte de este último de un artículo sobre los trabajos de Penrose.

Las teselas que creó Ammann y una de sus variadas soluciones las vemos en las Figuras 9 y10

Figura 9 Figura 10

1 La imagen está tomada de la página http://www.spsu.edu/math/tile/aperiodic/index.htm en la que aparecen varios mosaicos aperiódicos.




Si las comparamos con las de Robinson, vemos que en estas últimas hay tres tipos distintos de puntos de enlace, mientras que en las anteriores solo había dos.

En la Figura 11 vemos un recubrimiento del plano utilizando estas teselas.

Figura 11 Figura 12

Dado que una de sus aficiones principales fueron las teselaciones aperiódicas, Ammann también encontró otra forma de teselar el plano utilizando dos piezas con la característica de que la relación entre los lados desiguales de las piezas es el número de oro. Podemos verlo en la Figura 12.

5. Teselas de Alquerque

La dificultad de resolución de los dos puzzles anteriores era alta, a pesar de haber varias soluciones posibles; lo habíamos comprobado en los salones de juegos o cuando sacábamos dichos rompecabezas a la calle. Por ello nos planteamos la posibilidad de crear, en la misma línea, unas teselas más simples.

Para ello decidimos utilizar un solo tipo de enganche entre las piezas y jugamos con la combinatoria. Así construimos todas las piezas posibles que tenían desde una punta hasta las cuatro. Obtuvimos las que llamamos Teselas de Alquerque, que son más simples de resolver aunque solamente tienen dos soluciones posibles, salvo giro o simetría, mientras que los otras teselas tienen más soluciones. En las siguientes imágenes tenemos el puzzle y una de las dos soluciones.

Figura 13 Figura 14

A continuación podemos ver un recubrimiento del plano utilizando estas teselas.



Figura 15

6. Teselas de Penrose

Los tres conjuntos de teselas que hemos visto anteriormente siguen la misma línea. Básicamente partimos de cuadrados en cuyos lados incluimos entrantes o salientes de forma más o menos aleatoria y existe una pieza que lleva en los cuatros vértices los cuadraditos que permiten no dejar huecos al unir las piezas. Pero para acabar el artículo vamos a ver un conjunto, también de seis teselas, que rompe los esquemas que hemos seguido hasta el momento.

Una de las personas que más ha estudiado la forma de recubrir el plano ha sido el matemático inglés Sir Roger Penrose.

Roger Penrose (Reino Unido, 1931), es físico y matemático y profesor emérito de la Universidad de Oxford y recibió en 1994 el título de Sir. Es miembro de la Royal Society de Londres y en 1988 se le concedió el Premio Wolf de física junto con Stephen Hawking.

Gran aficionado a las paradojas y a los rompecabezas, trabó amistad en 1954 con el pintor M. C. Escher y a partir de su relación Penrose se interesó por las figuras imposibles, creando por ejemplo el triángulo imposible o tribarra, y los recubrimientos del plano.

Figura 16

A Penrose se deben mosaicos de muy diverso tipo, por ejemplo, creó lo que se conoce como “carretilla de Penrose” que podemos ver en la Figura 17 o los llamados “Pollos de Penrose”, en la Figura 18, formado por dos piezas que recubren el plano de forma aperiódica.

Figura 17 Figura 18




A mediados de los años 70 del pasado siglo, Penrose construyó un conjunto de seis teselas2 partiendo de tres pentágonos regulares, un rombo, una estrella de cinco puntas y una media estrella, a los que modificó con entrantes y salientes para que pudieran engarzar correctamente. De esta manera creó las teselas de la Figura 19 que recubren el plano aperiódicamente como podemos ver en la Figura 20.

Figura 19 Figura 20

Posteriormente, consiguió dividir las teselas y generar el mosaico a partir de dos piezas simples. En concreto partiendo de dos cuadriláteros, uno cóncavo y otro convexo, llamados dardo (o flecha) y cometa que podemos ver en la Figura 21.

Figura 21 Figura 22 Figura 23

Como los dos cuadriláteros unidos pueden formar un rombo, con lo que se cubría el plano de forma periódica, Penrose propuso modificar las piezas para forzar el recubrimiento aperiódico y construyó las piezas que aparecen en la Figura 22. Por último, el matemático inglés John Conway, que fue quien los nombró como dardo y cometa, planteó dibujar dos semicírculos de colores distintos, como puede verse en la Figura 23, de forma que, al teselar, no se pudieran unir líneas de distinto color.

En las dos imágenes siguientes vemos una teselación del plano con estas dos piezas y un mosaico en un banco público en Ámsterdam.

Figura 24 Figura 25

2 Un estudio sobre las teselas de Penrose podemos encontrarlo en la siguiente dirección: http://cumincades.scix.net/data/works/att/11ed.content.pdf



Hemos nombrado, pero no hemos mostrado las soluciones a estos puzzles, tareas que os ponemos como deberes y entretenimiento. Si estáis interesados en las plantillas para construir los puzzles mencionados se pueden descargar en formato PDF en la página web del Grupo Alquerque: http://www.grupoalquerque.es/

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José Muñoz Santonja, catedrático de Secundaria en el IES Macarena en Sevilla, autor de los libros “Newton. El umbral de la Ciencia Moderna” y “Ernesto el aprendiz de matemago” en la editorial Nivola. Coautor del libro “Lectura matemática de un periódico” en la editorial Aljibe. Miembro del comité de dirección de la revista UNO. Durante los cuatro primeros años ha llevado la sección “¡Esto no es serio!” en la revista UNION editada por la FISEM.

Juan Antonio Hans Martín, profesor de Secundaria en el C.C. Sta. Mª de los Reyes, Torreblanca, Sevilla.

Antonio Fernández-Aliseda Redondo, profesor de Secundaria en el IES El Majuelo, Castilleja Sevilla. Coautor del libro “Lectura matemática de un periódico” en la editorial Aljibe. Ha sido asesor y subdirector del Centro de Profesado de Castilleja, en Sevilla.

Los tres autores, escriben en la sección Juegos en la revista SUMA editada por la FESPM, pertenecen al proyecto Estalmat-Andalucía, fueron autores de libros de texto de matemáticas en la editorial Vicens-Vives.




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Tres tristes trípticos… ¿tristes?

Carlos Duque Gómez (Instituto de Enseñanza Secundaria Mencey Bencomo) Eva M.ª Quintero Núñez (Instituto de Enseñanza Secundaria Manuel Martín González)

Resumen Abordamos el diseño, construcción y distribución de un tríptico como eje sobre el que confluyen diversas actividades y conceptos matemáticos: medida, formas geométricas, simetrías, recuentos, repartos… Además de los propios contenidos matemáticos que se puedan incluir en él. El trabajo se hace “a mano” y con el uso del ordenador, integrando diversas herramientas y haciendo a los alumnos protagonistas de la experiencia.

Palabras clave Diseño geométrico, medida, TIC, Experiencia de aula.

Abstract We address the design, construction and distribution of a leaflet as the axis on wich different activities and mathematical concepts converge: measurement, geometric shapes, symmetry, counting, sharing out… and mathematical contents may be included in it too. The work is done “by hand” and the use of computers, integrating various tools and students playing the leading role of the experience.

Keywords Geometric design, measurement, TIC, Classroom experience.

1. Introducción

Esta experiencia surgió casi por casualidad. En un grupo de primer año de PCE1 y alumnos con la autoestima por los suelos. Todos ellos habían repetido 1º y 2º de ESO y apenas habían aprobado nada (y mucho menos Matemáticas). Con 16 años era su última oportunidad de no salir del sistema educativo por la puerta de atrás. Su actitud hacia nuestra materia no era precisamente positiva. Con frecuencia nuestras clases de matemáticas podrían calificarse de “tristes”.

Buscamos una actividad con la que mejorar tal situación y con la que ellos pudieran “alardear” ante el resto de la comunidad escolar. Después de considerar varias opciones y una vez tanteados los propios interesados (los alumnos), decidimos proponerles la elaboración de un tríptico, con la promesa de que si su trabajo lo merecía, se harían copias para todo el instituto, siendo ellos mismos quienes distribuyeran los ejemplares, acompañando esta tarea de una explicación acerca del contenido trabajado.

La primera tarea a la que nos enfrentábamos excedía el trabajo exclusivamente matemático. Buscábamos un contenido próximo a la realidad del alumno para elaborar el tríptico y con la que hacerles participar de forma activa en la vida del centro.

El 5 de junio se celebraba el Día Mundial del Medio Ambiente. Nos pareció muy oportuno vincular esta cita con el problema de la escasez de agua en Canarias, y trabajarlo como contenido en un tríptico. 1 Programa de Capacitación profesional inicial Conducente al título de graduado en ESO. Este programa consta de dos años. Es una de las modalidades de los PCPI (Programas de Capacitación Profesional Inicial), nueva estructura de los antiguos PGS (Programas de Garantía Social).

Tres tristes trípticos… ¿tristes? C. Duque Gómez, E. Quintero Núñez

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Corríamos el riesgo de que nos salieran uno, dos, tres… tristes trípticos, o más, y decidimos afrontarlo. En este artículo contamos cómo continuamos con esta experiencia y cuál fue el resultado último de la puesta en práctica de nuestra idea.

2. Material

- Papel DIN A4. Varias unidades por alumno. (Puede ser papel usado, para reciclar).

- Regla de 30 cm o cinta métrica

- Calculadora

- Ordenador

- Programa de presentaciones (Power Point, Open Office Impress)

- Impresora

3. Temporalización

Esta actividad puede ser fácilmente adaptada a la disponibilidad horaria. Se le puede sacar mucho jugo durante varias sesiones de clase, incluso repartida entre varias materias (matemáticas, educación plástica y cualquier otra que aporte los contenidos a incluir en el tríptico). Nuestra experiencia necesitó seis sesiones de clase. Parece un tiempo excesivo, pero el perfil del alumnado del PCE (no se puede contar con realizar parte del trabajo en casa, por ejemplo) no nos permitió hacerlo en un plazo inferior.

A continuación detallamos un desglose de las actividades que conforman la experiencia realizada con su temporalización:

Act iv idad Tiempo

- Familiarizarse con el tríptico. Ver y estudiar ejemplos reales 1ª sesión

- Definir el modelo de tríptico a realizar. Hacer un boceto. Diseñar los lugares donde se colocarán los textos e imágenes de la portada y contraportada, e interiores

- Búsqueda y selección de información e imágenes. Resumen, etc. 2ª sesión

- Diseño en el ordenador utilizando un programa de presentaciones 3ª y 4ª sesión

- Hacer tantas fotocopias como trípticos se quieran repartir ---

- Doblar las fotocopias, planificar y preparar el reparto 5ª sesión

- Distribuir los trípticos por las aulas del centro 6ª sesión

Tabla 1. Temporalización en 1.º de PCE.


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4. Desarrollo de la experiencia

4.1. Primera y segunda sesión

1º) La toma de contacto con la experiencia comienza mostrando en el aula varios modelos de tríptico, animando a los alumnos a que sean ellos mismos quienes los manipulen, doblen y desdoblen… y estimulándoles en la búsqueda y recopilación de otros ejemplos. Se puede doblar de la manera “estándar” o en “acordeón”. Nuestra experiencia se realizó solamente con la primera de ellas.

2º) Tras proporcionarles papel DIN A4, se les orientará para que cada uno doble uno, formando un tríptico “a ojo”. Lo más probable sea que muchos de los resultados no sean satisfactorios. Entonces habría que hacerles reflexionar acerca de la importancia de que este aspecto esté bien logrado: un tríptico mal doblado es suficiente para que se pierda interés por su contenido.

3º) Es el momento de plantear algunas preguntas: ¿Se puede conseguir doblar de forma “exacta” un papel de este tamaño en tres partes iguales? ¿Cuánto mide una hoja de este tipo? ¿Tienen todas las hojas DIN A4 exactamente la misma medida? ¿No existe siquiera diferencia de un milímetro? ¿Resulta realmente conveniente dividir el largo de la hoja en 3 partes iguales?

� En el proceso de medir y doblar, cada uno su propio modelo, los alumnos comprueban que algunos no quedan bien, porque la parte interior (C) queda demasiado grande, siendo mayor que el pedazo central (B), y así sólo se consigue que el tríptico se “dobla mal”; o porque (A) queda muy pequeño y el aspecto final queda poco estético.

� Se les alienta entonces a encontrar solución a este problema. Este tiempo de debate puede llevarles a una conclusión propia consensuada. Pero si ésta no llega, puede ayudárseles a saldar la controversia encaminándoles a la mejor opción: dar a (A) y (B) el mismo tamaño, y hacer (C) uno o dos milímetros más corto. Una posibilidad muy cómoda y fácil de trazar es dividir el largo de la hoja (297 mm) así:

297 = 100 (A) + 100 (B) + 97 (C) (todo en mm).

4º) Llega el momento de medir, marcar y doblar, con la precisión que les permiten las últimas conclusiones, una hoja completamente en blanco. Proceso que una vez acabado, dará lugar al análisis conjunto del tríptico obtenido. Así, el tríptico doblado tiene “6 páginas”, cada una de las cuales tiene una determinada función que debemos respetar:

� La portada (que llamaremos P) debe ser sencilla, con letras grandes, incluyendo alguna foto, imagen, forma geométrica destacada (un cuadro, una estrella, un círculo o elipse), con colores y disposición adecuada, e incluyendo poca información pero sin falta de atractivo.

� La contraportada (que llamaremos C). Servirá para incluir la información identificativa: nombre del autor, datos de contacto de la empresa que hace la publicidad, nombre y dirección del centro (si se trata de un tríptico escolar)… y quizás alguna leyenda o conclusión final.

� La página de introducción (que llamaremos I). Está justo en el reverso de la portada. El tríptico se abre como un libro, así que aparecerá al desplegarlo. Haremos uso de ella para presentar la “primera información”: una introducción, la justificación del contenido tratado, los objetivos buscados, etc.


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Anverso y reverso del tríptico. Las letras en gris significan que están por la cara que no se ve.

� Las otras 3 páginas son páginas de contenido (las llamaremos X, Y, Z) y admiten distintas disposiciones y estructuras. Mostramos a los alumnos las tres posibilidades más lógicas, preferentemente con algún modelo:

X, Y y Z son tres páginas pequeñas, con contenidos separados. I es la página de “introducción”.

Alargamos la introducción (I1 + I2) y dejamos solamente dos páginas de contenidos (X e Y), que pueden diseñarse de forma independiente o conjunta.

Situamos la introducción en otra página (I). El interior del tríptico muestra contenidos ocupando las 3 páginas.


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� Abordamos ahora la siguiente cuestión: ¿En qué orden se leen las secciones cuando se abre un tríptico? Obviamente, no todos los alumnos lo verán del mismo modo. Pero debe existir una opinión mayoritaria. Ésta sería clave para decidir el diseño que queremos para nuestro tríptico. No olvidemos, sin embargo, que habría otras posibilidades lógicas. El alumno podrá investigar sobre este asunto y proponer soluciones acompañadas del correspondiente dibujo.

5º) Continuamos diseñando sobre el papel. Se trata de hacer aparecer, a modo de esquema, las formas, elegir dónde van los textos (aunque no se sepamos aún cuáles), determinar si se quiere 1 ó 2 páginas de introducción y 3 ó 2 páginas de contenidos, respectivamente; resolver si serán páginas “pequeñas” o “dobles”; decidir qué información aparecerá en la contraportada; dirimir cuál será título para el tríptico… Sin duda, éste resulta un momento especialmente apropiado para trabajar las formas geométricas y las simetrías, en la clase de Matemáticas o en la clase de Educación Plástica y Visual.

6º) Para organizar la búsqueda de información, dimos a los alumnos bastante “margen de libertad”: usaron el aula de informática, la biblioteca, el aula ordinaria, preguntaron en casa y a otros profesores… Y tan importante como buscar información es saber seleccionarla: no todo lo que seamos capaces de descubrir acerca de un tema cabe en un tríptico. La selección, resumen y redacción de toda esa información, uso del vocabulario general y específico adecuado, o adoptar formas típicas del lenguaje publicitario conviene trabajarlos de manera interdisciplinar, en la clase de Lengua Española o Inglés (¿por qué no realizar un tríptico en inglés?) o en la materia propia del tema elegido.

4.2 Tercera y cuarta sesión (aula de informática)

7º) Comenzamos con el trabajo más técnico. Pese a que los programas de diseño o de dibujo podrían ayudarnos en la construcción de nuestra idea, lo normal es que resulten desconocidos para la mayoría de los alumnos, amén de que su uso resulta complicado para el objetivo que perseguimos. Tampoco nos parecen convenientes los procesadores de texto como “Word”, ya que con frecuencia, al situar diferentes elementos en una página (cuadros de texto, imágenes…), éstos acaban desplazando a otros elementos, haciéndose muy difícil “dominar” el diseño. Por todo ello, resultará más adecuado construir el tríptico en Power Point u Open Office Impress, programas que la mayoría del alumnado conoce, realizar el diseño con ellos es cómodo, sencillo y muy visual y los alumnos empiezan a ver resultados rápidamente.

Nos encontramos entonces con el primer problema: cada impresora impone sus márgenes en el momento de estampar una diapositiva. Habría que conocer previamente cuáles son los márgenes de la impresora que utilicemos para la realización de nuestra tarea. Para ello, buscamos una solución claramente “matemática”:

� Diseñamos una diapositiva con dos líneas perpendiculares entre sí y paralelas a los bordes de la diapositiva que ocupen todo el largo y el ancho de la diapositiva (lo difícil aquí será que los alumnos entiendan a la primera nuestras indicaciones verbales).

� Imprimiendo ésta página podremos notar que las dos líneas impresas no llegan a los bordes del papel. El espacio que hay entre el final de la línea y el borde del papel es el margen que establece la impresora y que deberemos tener en cuenta al diseñar, porque todo


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lo que incluyamos en ese espacio no será observado en la impresión. De no subsanar este problema, será frecuente encontrarnos con textos cortados, imágenes incompletas, bordes difuminados. Y no olvidemos que los cuatro márgenes no tienen por qué ser iguales (ni siquiera dos a dos).

� Solucionado este asunto, borramos las líneas anteriormente trazadas y procedemos a representar las que serán las líneas divisorias del anverso del tríptico (ubicación de la portada y contraportada). Utilizando las medidas calculadas en el apartado 3º), sin tener en cuenta los márgenes y ayudándonos de la “regla” del programa de presentaciones. Mantener éstas líneas a la hora de imprimir, será decisión de cada uno. Aconsejamos, no obstante, dejar una marca que indique el lugar por el que habrá que doblar, una vez que imprimamos el tríptico.

� Iniciamos la creación de una segunda diapositiva (que será el reverso del tríptico) dibujando 4 líneas auxiliares para marcar los márgenes de la impresora (que borraremos cuando el diseño del tríptico esté terminado), y teniendo la precaución de no incluir elementos en esas zonas.

� Repetimos los pasos anteriores: marcar las dos líneas verticales que se corresponden con los dobleces, y las cuatro líneas que indican los bordes que la impresora no imprime. ¡¡Esta diapositiva es simétrica horizontalmente a la anterior!!:

Sin embargo, si observamos las diapositivas como aparecen en el programa de presentaciones (una debajo de otra), parece que pierden toda simetría, pues las líneas verticales de una y otra no coinciden. Así es como lo ven los alumnos, por eso es importante realizar bien las mediciones y ayudarse de la regla del programa de presentaciones.

� Ahora hay que hacer en el ordenador lo que se había planificado sobre el papel, incluyendo los contenidos seleccionados y dibujando las formas geométricas que previamente se habían elegido.


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Se puede apreciar cómo alumnos diferentes alcanzan distinto grado de “perfección matemática”, sentido geométrico y artístico, precisión en las medidas, etc. La capacidad, habilidad e interés de cada alumno determinan el resultado final, pero todos pueden llegar a completar su trabajo. En el tríptico de la izquierda se observa cómo las líneas verticales de las dos diapositivas (anverso y reverso) no coinciden verticalmente (esto es lo correcto), mientras que en la de la derecha, el alumno no fue tan preciso.

� Terminado el diseño, comprobamos con una prueba de impresión que al situar una página detrás de la otra todo está en su sitio: las líneas de los dobleces coinciden, la impresión junto a los márgenes es correcta y la paginación es la prevista.

� Si todo es correcto, se borran las líneas innecesarias (las de los márgenes y quizá también las que marcan los dobleces) y se hace la impresión definitiva: el original se llevará a fotocopiar.

4.3. Quinta y sexta sesión (en el aula ordinaria)

En esta sesión los profesores llevaron al aula los trípticos impresos y fotocopiados, para que los alumnos doblen y planifiquen el reparto y, si da tiempo, se haga efectivo dicho reparto. En nuestro caso el reparto se hizo en una sexta sesión de clase.

Para hacer menos ardua la ingente tarea de doblar varios cientos de hojas de papel, les sugerimos hacer los dobleces anexando los trípticos de 3 en 3, o de 4 en 4. No procede juntar para este cometido mayor cantidad de papel, ya que así evitamos que la línea de doblez se desplace con los múltiples “dobladillos”.

Para distribuir las copias de los trípticos entre los alumnos del centro hay que pensar y diseñar una estrategia adecuada que dé respuesta a unas premisas previas que impone el profesor. En nuestro caso, la situación fue la siguiente:

- Disponíamos de 8 modelos de trípticos diferentes.

- Queríamos repartirlos a los aproximadamente 700 alumnos, 65 profesores y 6 trabajadores no docentes.


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- En la mayoría de las aulas los alumnos se sientan en parejas.

- El tiempo empleado en repartir los trípticos debe ser lo más corto posible, pues estamos interrumpiendo una sesión de clase.

- Queríamos garantizar que el tríptico que recibe un alumno sea siempre diferente de los que reciben los alumnos que estén a su alrededor (su pareja de mesa, los 2 de delante y los 2 de detrás). Así provocamos que cada uno se interese por los otros modelos, no solamente por el suyo propio.

Con estas premisas se organiza un debate en el que el profesor hace de abogado del diablo para encontrar fallos y encauzar las ideas válidas para llegar a una solución eficiente. En nuestro caso, la solución llevada a cabo fue ésta:

- Cada alumno dobla sus trípticos (aproximadamente 100).

- Se colocan en fila o en círculo alrededor de algunos pupitres, cada alumno con todos sus trípticos en la mano.

- Cada alumno deposita alternativamente (siguiendo la fila) un tríptico sobre un montón único, que de esta manera tendrá los 700 trípticos colocados de forma que se alternan todos los modelos. También se pueden depositar en varios montones y luego juntarlos, pues el resultado es el mismo. Este paso, que les resulta muy entretenido, se realiza en poco más de 5 minutos.

- Haciendo el reparto a partir de ese montón único se garantiza que alrededor de un alumno se entregarán siempre trípticos diferentes.

La dinámica de la entrega por las aulas hay que prepararla y ensayarla. Cada alumno tiene que escribir y memorizar su “intervención” en el momento del reparto. Este texto es corregido por el profesor. Para ensayar, cada alumno debe salir del aula, tocar a la puerta y realizar su intervención ante su profesor y sus compañeros. Este es el texto final de Ana, después de las necesarias correcciones:

Toc, toc… (y abro la puerta)

― Buenos días. Perdonen por interrumpir. ¿Puedo comentarles algo en dos minutos? Gracias.

― Somos alumnos del PCE y queremos compartir con ustedes un trabajo que hemos hecho, son estos trípticos. Hoy se celebra el día mundial del medio ambiente y como ya saben, la escasez de agua es un problema medioambiental muy importante en Canarias. Por eso hemos hecho estos trípticos sobre ese tema. Hay 8 modelos distintos, aunque solo vamos a repartir uno a cada uno.

(A continuación se hace el reparto)

― Gracias y perdonen otra vez por interrumpir. Adiós.


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5. Evaluación

La realización de un tríptico tiene todas las características de lo que actualmente denominamos una tarea2, con diferentes aspectos evaluables desde distintas áreas y enmarcados prácticamente en todas las competencias básicas3. El hecho de que el resultado final se resuma en solamente una hoja de papel doblada facilita la realización de copias para que puedan ser valoradas por diferentes profesores y por otros alumnos.

Es una actividad ideal para la evaluación horizontal o coevaluación. El alumno se siente verdaderamente “padre” del tríptico que ha realizado y juzga los trabajos de sus compañeros generalmente con buen criterio.

6. Variaciones y alternativas

Hemos expuesto una actividad centrada en un modelo concreto de tríptico. Pueden diseñarse actividades similares variando el modelo de folleto publicitario. Apuntamos algunas ideas:

- Díptico de tamaño DIN A5 (una hoja DIN A4 doblada por la mitad), que puede ser leída horizontal o verticalmente.

- «Cuadríptico», a partir de un DIN A4 doblado dos veces, investigando todas las posibilidades de doblado (en acordeón, en armario, etc.).

- «Monópticos» de diferentes tamaños: 1/3 de un DIN A4, 1/4 de DIN A4 (en octavillas de tamaño DIN A6 o, cortando paralelamente, de tamaño 210x74,25 mm).

- Folletos con otros doblados geométricos originales, por ejemplo:

A la izquierda, una hoja cuadrada con las puntas dobladas sobre el centro deja entrever contenidos en el interior del folleto.

A la derecha, un folleto construido a partir de una hoja de tamaño DIN A4, con un doblado más elaborado, pero con muchas posibilidades geométricas.

2 Situación de enseñanza-aprendizaje en que se solicite al alumnado la resolución de algún tipo de desempeño que, partiendo de situaciones que se pudieran dar en la vida real, en un determinado contexto, les impulse a movilizar distintos tipos de aprendizajes acordes con su nivel. 3 Las ocho competencias básicas son: 1. Competencia en comunicación lingüística; 2. Competencia matemática; 3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico; 4. Tratamiento de la información y competencia digital; 5. Competencia social y ciudadana; 6. Competencia cultural y artística; 7. Competencia para aprender a aprender; 8. Autonomía e iniciativa personal.


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Consideramos interesante aprovechar oportunidades “externas” a la clase de matemáticas para justificar la realización del tríptico. El alumnado percibe así una conexión mayor de contenidos matemáticos con otras áreas de conocimiento y se facilita la incorporación de todos, incluidos aquéllos que sienten un mayor rechazo por nuestra asignatura (que en un PCE suelen ser muchos). Entre estas oportunidades se encuentran el Día del Libro, la Semana Cultural, Santa Cecilia, cualquier celebración del “día mundial de cualquier cosa”, el día escolar de las matemáticas, etc.

7. Conclusiones

La realización de un tríptico es una actividad muy versátil. Se pueden abordar contenidos y tareas de índole variada, integrando aspectos pertenecientes a diferentes áreas. Propicia fácilmente la integración de todos los alumnos, donde cada uno puede aportar inquietudes y habilidades diferentes, trabajando en grupo o de forma individual. Los contenidos matemáticos son enormes y prácticos, y los alumnos se sorprenden al comprobarlo.

Es fácilmente adaptable a distintos niveles y al tiempo disponible. El profesor puede dejar que los alumnos investiguen y descubran la mejor opción en cada paso del proceso, o solo hacerlo parcialmente y llevar algunos pasos ya definidos, con el consiguiente ahorro de tiempo. Así, la actividad se puede desarrollar entre 3 y 8 sesiones de clase.

Para el alumnado resulta muy motivador el hecho de realizar un trabajo que tenga repercusión en todo el centro. Quieren dar una buena imagen, mejor que con un trabajo que solamente va a leer su profesor.

Esta experiencia resultó muy satisfactoria, tanto para el alumnado como para los profesores. Fue enormemente rica didácticamente y quedaron al descubierto muchas posibilidades aún no exploradas. Inesperadamente contribuyó a incrementar el acercamiento y compenetración entre alumnado de perfil difícil y de éstos con sus profesores.

Y, por supuesto, no fueron tres tristes trípticos. No fueron tres, sino ocho y el semblante de los autores deja claro que en absoluto los podemos calificar de tristes.

Carlos Duque Gómez, Instituto de Enseñanza Secundaria Mencey Bencomo, Los Realejos, Tenerife. Profesor de Enseñanza Secundaria (Matemáticas). Eva M.ª Quintero Núñez, Instituto de Enseñanza Secundaria Manuel Martín González, Guía de Isora, Tenerife. Profesora de Enseñanza Secundaria (Matemáticas).




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Soluciones de Gardner, además de tangos, fósiles, fantasmas y otras cosas

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Soluciones a los ejercicios propuestos en el anterior NÚMEROS, con especial incidencia en la metodología de su resolución. Comentarios sobre problemas anteriores. Martin Gardner y sus soluciones. Breve estudio de las soluciones dadas por 450 alumnos de 2º de la ESO a una variante de uno de los problemas propuestos anteriormente. Nueva propuesta de problemas para resolver.

Palabras clave Resolución de problemas; Metodología; Martin Gardner; Estrategias; Investigaciones en el aula; Omniheurística. Problemas de abuelos.

Abstract Solutions to the exercises in the previous issue, with special emphasis on the methodology of its resolution. Comments on previous issues. Martin Gardner and solutions. Brief study of the solutions given by 450 students of 2º ESO a variant of one of the problems posed above. New proposal to solve problems.

Keywords Problem solving methodology, Martin Gardner, Strategies, Research in the classroom; Omniheurística. Grandparent Issues.

En los artículos anteriores se ha suscitado una interesante controversia acerca del problema CINCO AMIGOS Y UNA PESA. Como final de la misma hemos recibido una comunicación de nuestro compañero, el profesor Alexánder Hernández (Tenerife. España) que dice así:

Estimados profesores: Me comunico con ustedes en relación al problema Cinco amigos y una pesa, cuya respuesta comenté en el número 75 y me rebatió la profesora Nora Ferreyra en el último número, con mucha razón y acierto por cierto. Aunque mi error me ha hecho pensar que el método propuesto en el número 73, sigue sin ser del todo eficaz. Así que haciendo las modificaciones pertinentes propongo un problema similar a ése que sí puede servir para abrir un debate más interesante en clase. Cinco amigos y una pesa (II) Cinco chicos se pesan de dos en dos, de todas las maneras posibles. Los pesos de las parejas son: 92, 97, 98, 101, 102, 104, 109, 110, 113 y 114 kilos. El peso conjunto de los cinco es: __

En el artículo anterior, al hablar del admirado Martin Gardner, dimos una pequeñísima muestra de los problemas que trató en sus artículos y libros.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]

Soluciones de Gardner, además de tangos, fósiles, fantasmas y otras cosas J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

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El primero que presentamos, sacado de “Comunicación extraterrestres y otros pasatiempos matemáticos” (Cátedra, 1986), que constituye la sexta recopilación de sus artículos, en el capítulo 12 del mismo, y bajo el nombre de “El viaje alrededor de la luna y otros siete problemas” decía lo siguiente:

Las monedas del reino

En Estados Unidos, hacen falta al menos ocho monedas para obtener la suma de 99 centavos: medio dólar, un cuarto de dólar, dos monedas de diez centavos y cuatro de un centavo. Imagínese el lector como el dirigente de una pequeña nación recientemente independizada. Tiene la tarea de establecer un sistema monetario basado en el centavo, como unidad más pequeña. Su objetivo es acuñar el número más pequeño posible de monedas diferentes que permitan construir cualquier valor desde 1 hasta 100 centavos (ambos inclusive) con no más de dos monedas.

Por ejemplo, el objetivo se satisface fácilmente con 18 monedas de los siguientes valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20,30, 40, 50, 60, 70, 80,90. ¿Puede hacerlo mejor el lector? Todo valor debe obtenerse mediante una moneda o como suma de dos monedas. Por supuesto, las dos monedas no necesitan tener diferentes valores.

La solución aparece descrita en la página 186 del libro, y dice así:

“Se puede expresar cualquier valor desde un centavo a cien centavos como suma de no más de dos monedas con un número tan reducido como 16 monedas diferentes. Las monedas son: 1, 3, 4, 9, 11, 16, 20, 25, 30, 34, 39, 41, 46, 47, 49, 50. Esta solución aparece, sin demostración de que sea mínima, en el problema 19 de “Recreation in Mathematics”, de Roland Sprague, traducido del alemán por T. H. O’Beirne (Londres, Blackie and Son, 1963).

La solución de Sprague abarca sólo hasta el cien. Una solución de 16 enteros con un rango superior, 104, fue obtenida por Peter Wegner, de la universidad de Londres: 1, 3, 4, 5, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 47, 48, 49, 51, 52.”

Como ven, un ejemplo muy claro de la manera de trabajar de Gardner. Siempre mencionando las aportaciones ajenas y documentándolas. Siempre con nombres muy conocidos. Y, además, sin cerrar el problema definitivamente, con lo cual, cualquiera que se sienta atraído por el reto puede intentar mejorar la solución presentada, bien buscando otra solución mejor, bien demostrando que la aportada es mínima.

Veamos ahora el segundo problema. Fue extraído de los libros recopilatorios de artículos publicados en la revista “Isaac Asimov’s Science Fiction Magazine”, concretamente del segundo de esta serie, bajo el título “Juegos y enigmas de otros mundos” (Gedisa, 1987), y decía así:

Tania al tuntún

El coronel Renald, Couth, jefe científico de la computadora de la nave espacial Bagel, acababa de recibir información desde la Tierra sobre las nuevas órdenes para la nave.

- ¿Cuál es la misión, papá? – preguntó Tania, su hija de doce años. - Se acaba de descubrir un nuevo sistema solar cerca del extremo de la galaxia. Vamos en

camino para investigar. - ¿Existen formas de vida en alguno de los planetas?


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- Sí, me dijeron que tres de los cinco primeros planetas de la estrella central tienen cierta forma de vida.

- ¿Cuál exploramos primero? - El quinto.

Tania aplaudió.

- ¡Qué emocionante! Me pregunto si la vida se basa en el carbono.

El coronel Couth alzó las cejas.

- ¿Cómo sabes que el quinto planeta no es uno de los dos estériles? - El coronel se rió cuando Tania se lo explicó. ¿Qué le dijo?

La solución aparece descrita en las páginas 120/121 del mencionado libro:

- Porque, tonto –dijo Tania-, no hubieras dicho tres de los primeros cinco planetas tienen formas de vida a menos que el quinto fuera uno de ellos. Si el quinto fuera estéril, hubieras dicho tres de los primeros cuatro.

Y, después de dar la solución a la pregunta planteada, continúa el relato con una nueva propuesta de problema así:

- ¿Sabes cuántos planetas hay en total? - Sí –el coronel asintió con la cabeza-. Y sé también cuánto te gustan los acertijos,

entonces déjame decirlo de esta manera. Hay más de siete planetas. - Continúa –dijo Tania, que había encontrado un lápiz y un pedazo de papel en la

consola de la computadora. - Contando desde la estrella, el primero, el segundo y el sexto planeta son estériles.

Tania lo anotó, luego levantó la vista.

- El octavo planeta, contando al revés, desde el planeta más alejado a la estrella es estéril.

- Y… -dijo Tania, sosteniendo el lápiz. - Y entre el sexto planeta desde la estrella, y el octavo planeta desde el otro extremo,

hay tres planetas. Los tres tienen formas de vida.

Tania hizo el dibujo que muestra la figura y sombreó cada planeta que suponía estéril.

- Es muy simple –dijo-. Obviamente hay diecisiete planetas. Sé que cuatro son estériles y seis tienen vida, pero aún no me dijiste nada sobre los siete externos.

El coronel Couth soltó una risita.


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- Tu respuesta es incorrecta, querida –dijo-. Pero no te dije una cosa más. Hay menos de quince planetas en el sistema.

- Eso es imposible –exclamó la niña. - No –dijo el padre-. Pero tendrás que pensarlo un poco más.

Tania buscó la solución en el diagrama durante diez minutos más o menos antes de encontrar el ¡ajá! de la intuición. ¿Cuántos planetas hay en el sistema?

Nuestros lectores tienen la posibilidad de resolver, como Tania esta extensión del problema. Y no olviden que no termina así. En las páginas 182 y 226 del mismo libro podrá encontrar una ampliación más y su solución correspondiente.

Y ahí seguirá siempre Martin Gardner. Cada relectura de cualquiera de sus libros nos volverá a hacer sentir las matemáticas recreativas como él quería, como una auténtica “vuelta a su creación” (re-crear). Nunca le estaremos lo suficientemente agradecidos.

Ahora toca el turno del problema extraído de la revista portuguesa “Educaçao e Matemática”, sección “O problema do trimestre”, nº 48 de la revista, correspondiente a mayo/junio de 1988. Como ambientación del problema le sugerimos que pulse y oiga, mientras lee y piensa, este magnífico tango “muy matemático”, por cierto, en la siguiente dirección:

http://www.corocarpediem.com/audio/uno.mp3

Bailando el tango

El otro día fui a un club de danza. Estaban allí siete parejas ensayando para los próximos campeonatos de tango. Cada uno de los bailarines tenía su número en la espalda. Números todos diferentes, claro, y que iban de 1 a 14.

En el primer baile reparé en un hecho curioso: en cada pareja, la suma de los dos números era un cuadrado perfecto.

Para el segundo baile hubo un cambio de parejas y se dio una nueva coincidencia. Todas las parejas tenían una suma que era un número primo. Y además: en las tres parejas que estaban al lado izquierdo la suma era la misma, las tres que estaban a la derecha tenían sumas iguales, y el par que danzaba en el centro tenía una suma diferente de las anteriores.

Isabel tenía el número 1 en la espalda. ¿Cuáles son los números de las otras seis bailarinas?

La respuesta está extraída, aunque reelaborada, de la que presentan varios lectores de dicha revista, publicadas en el número 49 de la misma:

Comprender

Hay que buscar DATOS, OBJETIVO y RELACIÓN.

DATOS • 14 bailarines, 7 chicos y 7 chicas • un número diferente en la espalda, desde el 1 al 14


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• Isabel tiene el número 1 • bailan dos tangos, cambiando las parejas

OBJETIVO • ¿Qué números tienen las otras seis bailarinas?

RELACIÓN • En el primer tango, la suma de cada pareja era un cuadrado perfecto. • En el segundo tango, la suma de cada pareja era un número primo. • Y, además, la suma de las tres parejas de la izquierda era la misma, la suma de las

tres de la derecha era la misma, la pareja central tenía una suma diferente a ambas.

Pensar

La mejor estrategia debe ser ORGANIZAR LA INFORMACIÓN, y como hay demasiada será interesante utilizarla de forma ordenada y exhaustiva, utilizando una tabla para cada una de ellas.

Ejecutar

Para el primer tango se podrán formar 49 parejas diferentes, de las cuales sólo nos interesan aquellas que tengan como valor de la suma de sus componentes un cuadrado perfecto. No podrá haber pareja con suma 1 ni tampoco con suma 36 (la pareja mayor será 14 + 14 = 28).

Por tanto, busquemos ordenadamente las parejas que sumen 4, 9, 16 o 25.

Tabla 1

Suma 4 1 + 3 Suma 9 1 + 8 2 + 7 3 + 6 4 + 5 Suma 16 2 +14 3 + 13 4 + 12 5 + 11 6 + 10 7 + 9 Suma 25 11 + 14 12 + 13

Aparecen trece parejas y sólo pueden estar siete. En el proceso de eliminación hemos de reparar primero en los bailarines que aparecen una sola vez. Son el 8, el 9 y el 10, por ello las hemos señalado en color y negrita. Los demás aparecen varias veces.

Estas tres parejas no pueden ser separadas, lo cual implica que los bailarines que aparecen con 8, 9 y 10 no pueden estar duplicados. La primera eliminación consistirá en buscar las otras parejas donde aparezcan 1, 6, 7 y prescindir de ellas.

Tabla 2

Suma 4 1 + 3 Suma 9 1 + 8 2 + 7 3 + 6 4 + 5 Suma 16 2 +14 3 + 13 4 + 12 5 + 11 6 + 10 7 + 9 Suma 25 11 + 14 12 + 13

Nos quedan aún diez parejas posibles.

Como la (2,14) hay que tomarla (el 2 no aparece en ninguna otra), consecuentemente ha de eliminarse la otra pareja donde aparece 14, es decir la (11,14). Ahora, el 11 sólo está en la pareja


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(5,11), lo cual nos indica que ha de eliminarse la otra pareja con el 5, es decir la (4,5). Y esto nos conduce a preservar la pareja (4,12) y eliminar la (12,13).

Tabla 3

Suma 4 Suma 9 1 + 8 4 + 5 Suma 16 2 +14 3 + 13 4 + 12 5 + 11 6 + 10 7 + 9 Suma 25 11 + 14 12 + 13

Con lo cual ya tenemos las siete parejas que bailaron el primer tango.

Tabla 4

Suma 4 Suma 9 1 + 8 Suma 16 2 +14 3 + 13 4 + 12 5 + 11 6 + 10 7 + 9 Suma 25

Para el segundo tango tendríamos que hacer una tabla similar a la anterior, pero con sumas de resultado números primos: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23 (recordemos que la pareja de suma mayor daría 28).

Aquí la exhaustividad es posible y llevaría, sin duda a la solución. Pero organizar la información es también acotar los resultados.

La suma de todos los números de los bailarines es:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 105.

Como las sumas de las parejas de cada lado de la pista son iguales, llamaremos I a la suma de cada pareja del lado izquierdo, C a la de la pareja central y D a la de las que están a la derecha.

Entonces: 3 I + C + 3 D = 105

Como el número 105 es divisible por 3, también los es la suma 3 I + C + 3 D.

Para ello, es necesario que C sea múltiplo de 3, pero como C es primo como condición del problema, tenemos obligatoriamente que ha de ser C = 3.

Como consecuencia, la pareja central es (1, 2).

Y de aquí se obtiene

3 I + 3 D = 102 e I + D = 34.

Necesitamos, pues, dos números primos diferentes de la lista inicial que sumen 34.

Eso sólo es posible para 11 y 23.

La tabla de posibilidades, ahora, (recordemos que 1 y 2 no deben aparecer) es:


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Tabla 5

Suma 11 3 + 8 4 + 7 5 + 6 Suma 23 9 +14 10 + 13 11 + 12

Justamente las seis que nos faltaban. Con lo cual ya tenemos las siete parejas que bailaron el segundo tango.

Tabla 6

Suma 3 1 + 2 Suma 11 3 + 8 4 + 7 5 + 6 Suma 23 9 + 14 10 + 13 11 + 12

Responder

¿Qué números tienen las bailarinas?

Isabel tiene el número 1.

Quien bailó con ella es chico: el 8 en el primer tango y el 2 en el segundo.

Quienes bailaron con ellos son chicas:

Con el 8 bailó el 3 en el segundo tango. Con el 2 bailó el 14 en el primero.

Podemos seguir el proceso con el siguiente esquema:

Todo este proceso se puede organizar también en una tabla que enfrente a las parejas de cada tango. Coloreando sucesivamente de un color o de otro según sepamos que es chico (azul) o chica (rojo), tendremos rápidamente la solución:

Tabla 7

Primer tango 1 – 8 2 – 14 3 – 13 4 – 12 5 – 11 6 – 10 7 – 9 Segundo tango 1 – 2 3 – 8 4 – 7 5 – 6 9 – 14 10 – 13 11 – 12

Los bailarines 3 y 14 son chicas.

Quienes bailaron con ellas son chicos: el 13 en el primer tango, el 9 en el segundo.

Éstos, a su vez, bailaron con las chicas siguientes: el 7 en el primer tango, 10 en el segundo.

1

3 13

2 14 9

6 10

4 7

8

11

5

12

chica

chico


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Tabla 8



Quienes bailaron con ellas son chicos: el 6 en el primer tango, el 4 en el segundo.

Éstos, a su vez, bailaron con las únicas chicas que quedan por determinar: el 12 en el primer tango, el 5 en el segundo.

Tabla 9



Es curioso que la comprobación se realiza en el último paso, cuando al determinar las dos últimas bailarinas vemos que ambas han bailado en cada tango con el único chico que quedaba por determinar, el 11.

Respuesta: Las bailarinas tenían los números 1, 3, 5, 7, 10, 12 y 14.

Claro que también, con la misma información inicial, podríamos decir que necesitamos dos números primos iguales (¿por qué no?) de la lista inicial que sumen 34. Y nos llevaría al valor 17. En este caso, procediendo de igual manera, la solución nos llevaría de forma encadenada, hasta el final:

Tabla 10


Y la solución sería ésta:

Segunda Respuesta: Las bailarinas tenían los números 1, 9, 10, 11, 12, 13 y 14.

El tango que han escuchado (suponemos) lleva por título “UNO”, letra de Enrique Santos Discépolo, música de Mariano Mores y arreglo coral de Dante Andreo. Está interpretado por el Coro “Carpe Diem” de La Laguna (Tenerife) (www.corocarpediem.com), bajo la dirección de Luis Correa. Esta pieza, junto a otras catorce, está incluida en su disco “Como un árbol” de muy reciente estreno.

Y, por último, nuestra debilidad, los problemas de abuelos. Éstas son sus soluciones:

1

9 7

2 14 3

6 10

4

13

8

5

11

12


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El abuelo y su nieto

El abuelo dice: “Cuando yo tenía un tercio de mi edad actual, nació mi hija mayor. Cuando ella tenía 2/3 de su edad actual, con menos de treinta años, tuvo a mi primer nieto, que ahora tiene un tercio de la edad de su madre”.

¿Cuáles son sus edades, todas ellas números enteros?

En estos problemas de redacción complicada con relaciones de múltiplos y factores entre los datos, donde interviene el pasado y el presente (y a veces el futuro), puede resultar valioso el ordenar estos datos, bien tabulándolos, bien en forma arbórea, como solemos hacer en nuestros artículos.

Si llamamos x a la edad actual del abuelo e y a la de la madre, podemos resumir los datos como sigue:

Tabla 11

Época Abuelo Madre Nieto

Cuando nace la hija 3x

0 No existe

Cuando nace el nieto y32

0

Actualmente x y y31

Pero poco podemos sacar de estas expresiones, aunque sí podemos deducir por la información

dada que y<30; x e y son múltiplos de 3; y que yx32==== .

Actuaremos ahora por tanteo:

Tabla 12

Y < 30 3••••

====y 332 ••••

======== yx xy31==== y

31

29 - - - - 28 42 63 21 14 27 - - - - 26 39 - - - 25 - - - - 24 36 54 18 12 23 - - - - 22 33 - - - 21 - - - - 20 30 45 15 10 19 - - - - 18 27 - - - 17 - - - - 16 24 36 12 8


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Observamos que son soluciones las ternas (63, 42,14), (54, 36, 12), (45, 30, 10), (36, 24, 8)… y de ellas nos parecen un poco “prematuras” las que suponen una paternidad a los 12 o 15 años. Así que nuestra solución es: 63años el abuelo, 42 la hija y 14 años el nieto.

Hemos cometido la pequeña audacia de proponer este problema, ligeramente modificado, a la Comisión que crea las pruebas para el Torneo de Matemáticas para 2º de la ESO, de la Sociedad Isaac Newton.

(Puede verse la totalidad de los problemas propuestos en la siguiente dirección:

http://www.sinewton.org/cms/images/torneo/torneo27/torneo27problemas.pdf)

Problema nº 4. El abuelo y su nieto

Mi abuelo dice que mi madre, que me parió cuando ella tenía 24 años, tiene la mitad de su edad. Pero yo tengo un tercio de la edad de mi madre. ¿Cuáles son las edades de mi madre, de mi abuelo y la mía? Todas ellas son números enteros

Y lo propusieron en la primera fase del mismo, donde participaron unos 450 alumnos de toda la Comunidad Canaria. De sus respuestas es posible deducir algunas cuestiones interesantes.

Solo dos alumnos que lo dejan en blanco, y entre el resto nos encontramos varios enfoques, correctos e incorrectos. Estos enfoques los podemos agrupar en varios apartados.

• Una mayoría de los que contestan equivocadamente lo hace porque entienden que “…yo tengo un tercio de la edad de mi madre”, hace referencia, pese al tiempo del verbo, a la edad que tenía su madre cuando el nació y lo resuelven de esta manera:

Edad del nieto:

8

324 ==== ; edad de la madre: 24+8=32 ; edad del abuelo: 32 · 2=64

Otro parece entender que al tener su madre la mitad de la edad del abuelo, este debe tener dos veces la edad de la madre sumada a la que el nieto tiene:

Edad del nieto:

8

324 ==== ; edad de la madre: 24+8=32 ; edad del abuelo: 2 · 24+8=56

Que constituye una de las respuestas erróneas más frecuente. En la misma línea (aparente) de razonamientos, otros alumnos piensan que si la madre tiene o tenía 24, el abuelo tiene o tenía 48, derivando luego hacia diferentes formas de calcular la edad del nieto.

• En otros casos entienden que la madre tiene ahora el doble de la edad que aparece en el enunciado: 48 años, o que “… tiene la mitad…” equivale a “tenía la mitad” y da el resultado de 48 años para la edad del abuelo. O confunde quién tiene la mitad de edad y hace: 24/2 = 12; 24 + 12 = 36; 36/2 = 18; 36 + 18 = 54. Terminando con una interpretación de las que vuelven locos a los correctores: Sol: 32, 54, 8.

Alguno fue más allá y suma a la supuesta edad de la madre, que ha calculado es 34, su mitad; y da para la edad del abuelo: 34 + 17 = 51. Un padre joven, pero un resultado posible, no como un par


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de respuestas que podríamos considerar disparatadas: un abuelo con 144 años o unas edades de -12, -48 y -72 años (¿?sí, valores negativos, pero al fin y al cabo, enteros).

• Otro apartado lo constituye el grupo de participantes que intenta resolverlo por medio de tanteos. Por ejemplo,

Fracciones enteras:”

33.8

325 −−−−==== , no”, (escribe el autor), “ 10

330 ==== , puede ser”; “ 9

327 ==== puede ser”; etc.

Formando pares (edad madre, edad nieto), hasta encontrar uno coherente con la relación de ser un tercio: (24, 0), (25, 1), (26, 2),… (35, 11), (36, 12) y duplicando la edad de la madre obtienen la del abuelo, aunque en la mayoría de los casos no comprueban esta respuesta. Otros ya colocan la posible edad del abuelo formando ternas: (24, 0, 48), (25, 1, 50),…, hasta llegar a la solución (36, 12, 72).

Un participante busca cantidades que puedan ser la edad del abuelo comprobando si un sexto de la edad es un número entero que pueda ser la edad del nieto. Así llega a 84, 42 y 14 y, como la inmensa mayoría, no comprueba los resultados.

Otro deduce que la edad que tenía la madre es 2/3 de la edad que tiene actualmente, de donde la edad del niño es 1/3 que equivale a 12 años, y luego calcula correctamente las edades.

Otros acuden a los múltiplos de: 24/3 = 8; 27/3 = 9, así que la edad será 27 para la madre y 54 para el abuelo. Nueva interpretación de “…yo tengo un tercio de la edad de mi madre…”.

Alguno más busca múltiplos de 3 mayores que 24, pues se da cuenta de que si tiene un tercio, debe ser un múltiplo de tres. Pero lo razona.

• En otro grupo pondríamos a los que plantean ecuaciones para dar con la solución.

Plantean, por ejemplo: 2x+24+x+x+24 como un polinomio, que “resuelve” y llega a 4x = -48.

O 6x +3x = 2(x + 24) + x + 24, y resuelve obteniendo que x (la edad del nieto) es 12, siendo por tanto 6x la edad del abuelo y 3x la de la madre.

Y en otros casos plantean que 24+x=3x… También intentan plantear un sistema de ecuaciones con tres incógnitas.

Todo lo anterior nos induce a pensar que muchas veces la complejidad de un problema o un ejercicio está más en la mente y forma de razonar de los alumnos que en el ejercicio en si, objetivamente hablando.

En los archivos de la sociedad se conservan las pruebas realizadas por los alumnos desde los primeros Torneos, anónimas, esperando ser objeto de un análisis que nos parece enriquecería el campo de la Didáctica de las Matemáticas en estos niveles, alimentando de datos alguna tesis sobre el tema.


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El abuelo y su nieta

- Cuando yo tenía la edad que tu padre tiene hoy –dice el abuelo a su nieta-, él tenía la edad que tú tendrás cuando él llegue a mi edad y, por otra parte, cuando tú tengas la edad actual de tu padre yo tendré la edad que tendrá entonces tu padre más tu edad actual.

- Vaya abuelo, pensé que tenías 63 años. - Pues no, soy algo mayor. ¿Cuáles son sus edades?

Como acostumbramos hacer, tabulemos los datos introduciendo las relaciones que el enunciado dice y las que se pueden deducir del mismo:

Tabla 13

Abuelo Hijo Nieto Hace H N+A-H - Nace el hijo A-H 0 - Ahora A H N Nace la nieta A-N H-N - Tú tendrás… - A N+A-H Cuando tú tengas… (2H-N)+N 2H-N H

Donde A, H y N son las edades actuales de los tres protagonistas del problema, como puede deducirse.

Los años transcurridos desde el momento que nace el hijo hasta que el abuelo tiene la edad actual del hijo son los mismos para el abuelo (H-(A-H)) que para el hijo ((N+A-H)-0). Por tanto:

H – A + H = N + A 2H – A = N + A – H 3H = 2A + N (i)

Por otro lado, cuando la nieta tenga la edad actual del padre, la edad del abuelo ((2H-N)+N) es la edad de la nieta en ese momento más la edad que tenía el abuelo cuando ella nació ((A-N)+H). Igualando:

2H – N + N = A – N + H 2H = A – N + H H = A – N (ii)

Resolviendo el sistema formado por (i) y (ii),

−−−−====++++====NAH

NAH 23

obtenemos que A = 4N y que H = 3N.

Así que la edad del abuelo debe ser múltiplo de 4 y la del hijo múltiplo de 3. Con estas condiciones y siendo algo mayor de 63 años el abuelo, el primer múltiplo de 4 que sigue, 64, cumple las condiciones. Damos pues esta solución: Abuelo con 64 años, hijo de 48 años y el nieto con 16 años.

Para 68, siguiente múltiplo de 4, el hijo tendría 51 y la nieta 17, etc. Pero 64 es el valor “algo mayor” que enuncia el problema.


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Y bien, ahora es el turno de presentar algunos problemas nuevos para que nuestros lectores traten de resolverlos y nos envíen sus soluciones, para comentarlas aquí mismo, en esta revista y en esta sección de la misma.

El fósil de un número

(Procedencia: Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Dado un número natural N, se multiplican todas sus cifras. Se repite el proceso con el resultado obtenido, hasta obtener un número de una cifra únicamente; a ese número se le llama el fósil de N. Por ejemplo, el fósil de 327 es 8. Hallar el mayor número natural, con todas sus cifras distintas, cuyo fósil sea impar.

El fantasma de un número

Otra versión del mismo (Procedencia: 15° Olimpíada de Mayo, Olimpiada Matemática Argentina, 9 de Mayo de 2009, Nivel: 3er Ciclo Primaria –1er Ciclo Secundaria)

A cada número natural de dos cifras se le asigna un dígito de la siguiente manera: Se multiplican sus cifras. Si el resultado es un dígito, éste es el dígito asignado. Si el resultado es un número de dos cifras se multiplican estas dos cifras, y si el resultado es un dígito, éste es el dígito asignado. En caso contrario, se repite la operación. Por ejemplo el dígito asignado a 32 es el 6 pues 3×2 = 6; el dígito asignado a 93 es el 4 pues 9 × 3 = 27, 2 × 7 = 14, 1 × 4 = 4.

Halla todos los números de dos cifras a los que se les asigna el 8.

Y aquí quedamos hasta la próxima entrega. Pero insistimos una vez más: lean el artículo, resuelvan los problemas, úsenlos con sus alumnos, si es posible, aporten luego a nuestra revista sus comentarios, soluciones, propuestas o simplemente el rico anecdotario acerca del comportamiento de la clase al resolver uno de estos problemas o cualquier otro. Anímense.

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista.

Un saludo afectuoso del Club Matemático.





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Matemágicas: web mágica para aprender y disfrutar de las matemáticas1

Claudia Karin Högemann y Josefa Hernández Domínguez (Universidad de La Laguna)

Resumen Presentamos una página Web innovadora, titulada Matemágicas, que fascina por su simbiosis entre belleza artística, contenido y utilidad, que debe ser conocida no sólo por el profesorado sino por el público en general, ya que permite aprender matemáticas de forma mágica.

Palabras clave Recurso, TIC, Applets, Educación Secundaria.

Abstract This article is to present an innovative web page, called Matemágicas, which is fascinating by its symbiosis of artistic elegancy, contents and utility. Therefore not only teaching staff must know it, but also the general public because it allows learning mathematics in a magic way.

Keywords Resource, TIC, Applets, High School level.

1. Introducción

La autora de esta página es Thérèse Eveilleau, el sitio original está en francés http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/ y es mucho más amplio. Una parte ha sido traducido al español por Antonio García de Pablo y está alojado en el Proyecto Descartes del MEC, que es el que aquí presentamos, y también hay algunas actividades traducidas al inglés. La página en francés la actualiza con frecuencia.

Thérèse Eveilleau es profesora de Matemáticas para futuros profesores, posee un DEA Informático en Inteligencia Artificial en Caen, obtuvo el 27 de febrero de 2001 el Net de oro Nacional en la categoría 'Diversiones y Arte de vivir' y el Grand Prix de los Internautas.

Esta página está dirigida a todo aquel que quiera disfrutar de la magia de las matemáticas. Se requieren unos conocimientos básicos de matemáticas, de un nivel de alumnos de secundaria, y, a partir de ahí, inquietud, ganas y creatividad para descubrir las matemáticas, apreciar su aplicación y aprender de forma activa.

Es un material on-line que no necesita ninguna instalación especial, solamente poseer Internet y el programa Adobe Flash Player (En la presentación de la página hay un enlace para descargar esta aplicación gratuitamente, si no se dispone de ella).

La calidad de la página es excelente y la navegación se realiza sin problema por los distintos iconos que posee.

1 http://recursostic.educacion.es/descartes/web/matemagicas/index.htm

Matemágicas: web mágica para aprender y disfrutar de las matemáticas C.K. Högemann y J. Hernández


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La encontramos en el Proyecto Descartes (http://recursostic.educacion.es/descartes/web/), uno de los proyectos que el Ministerio de Educación de España ha puesto en marcha para promover la utilización de las tecnologías de la información y de la comunicación como recurso didáctico. Reconocemos que aún la utilización del ordenador en la educación no es lo habitual, hecho que ha sido constatado por la OCDE. El proyecto Descartes tiene como principal finalidad promover nuevas formas de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas integrando las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) en el aula como herramienta didáctica. Aparece en el año 1998 con la intención de romper esa tendencia tradicional aprovechando las circunstancias que se dan en este nuevo siglo, tanto desde el punto de vista económico y tecnológico (abaratamiento de los equipos, aparición de líneas de alta velocidad, utilización generalizada de Internet a bajo coste…), como social (uso del ordenador y de Internet, interés de muchos profesores de matemáticas y de sus alumnos por las TIC), y cada vez son más los recursos que posee.

El proyecto Descartes ofrece materiales didácticos para el aprendizaje de las matemáticas de la enseñanza secundaria, que son controlables por el profesor en un tiempo razonable, fáciles de usar por los alumnos, no tienen que emplear tiempo en su aprendizaje, cubre los contenidos del currículo correspondiente al curso donde se vaya a usar y son adaptables por cada profesor a la didáctica y metodología que crea más conveniente para los alumnos con los que va a trabajar. Un buen ejemplo es el que aquí presentamos.

2. Descripción de la página MATEMÁGICAS

Desde la ventana principal podemos acceder a las diversas actividades, que están organizadas en cinco apartados diferentes: Magias, Historias, Ingenios, Delicias y Paradojas.


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2. 1 Magia

El apartado Magia muestra 57 actividades de las cuales 24 son de Trucos matemáticos de Magia, 6 de Tangrams, 11 de Arte y teselaciones, y 16 de Mates para los peques

2. 2 Historias

En Historia aparecen 6 apartados que, a su vez, se subdividen en otros, en los que se explican aspectos concretos de la historia de las matemáticas, de forma rigurosa y amena.

2. 3 Ingenios Matemáticos

En el apartado de ingenios matemáticos hay 9 actividades. Los ejercicios propuestos tienen, en primer lugar, una comprobación utilizando Java, para dar después una explicación de la resolución, y en algunos se puede conectar con una página web, en la que se puede encontrar una demostración matemática formal de aquello que se plantea.



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2. 4 Delicias de mates

Las 10 “delicias” están relacionadas con ilusiones ópticas.

2. 5 Paradojas

Las 8 paradojas mostradas permiten al alumno argumentar y demostrar matemáticamente las razones de las mismas, todas son geométricas.

Todas las páginas van acompañadas de ilustraciones y animaciones, algunas relacionadas con el movimiento del ratón, por ejemplo globitos u otros objetos que aparecen cuando el ratón pasa por encima de personas de la ilustración. Junto con las frases de personajes famosos, las páginas encuadran de manera artística sus propios contenidos que son muy curiosos e innovadores, y despiertan interés y motivación para desarrollar, no solo la competencia matemática sino también las competencias básicas en general. Y todo en forma de juego. Así muchas actividades contienen animaciones flash o applets interactivos.

3. Ejemplos

Veamos, a modo de ejemplo, cómo se desarrollan dos actividades.

3. 1 Estrella (Ingenios matemáticos)

Con esta actividad, por medio de una animación flash se puede observar la transformación de cinco trozos de un triángulo equilátero en una estrella de 6 puntas.


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Pero no basta con la comprobación. En el siguiente paso se describe la actividad para obtener los trozos del triángulo utilizando regla y compás.

3. 2 Las mesas de Shepard (Apartado Delicias)

Esta actividad permite investigar el efecto de perspectiva, mediante la manipulación de un applet interactivo.

Todas las actividades pueden ser utilizadas en plan lúdico, como actividades complementarias o como parte de la programación didáctica del aula.



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4. Conclusiones

Entendemos que el uso de las nuevas tecnologías es una asignatura pendiente en la educación. Páginas como éstas, que no suponen ninguna preparación, ni el aprendizaje de ningún programa, pueden ayudar al profesorado que aún tienen dificultades con esta tecnología a plantear ejercicios a sus alumnos.

En estas páginas se trabajan diversos contenidos de matemáticas: números, geometría, medida,…; las actividades se enuncian con claridad y la resolución de las mismas se hace con sencillez y con rigor, utilizando muchas representaciones visuales que pensamos son imprescindibles para el aprendizaje de las matemáticas.

En este artículo no se puede apreciar la belleza en la construcción de las diversas páginas y el ingenio de las actividades, por lo que invitamos a los lectores a darse un paseo por ellas, que seguro que disfrutarán tanto como lo hemos hecho nosotras.




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Juegos de siembra: juegos africanos con aplicación didáctica

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Juegos de Siembra. El Wari, el Tchuka-Ruma y otras variantes de Mancala. Reglas y estrategias. Su uso en la escuela planteando algunos problemas y como recurso para el cálculo mental y la combinatoria

Palabras clave Juegos de Siembra. Mancala. Wari. Tchuka-Ruma. Metodología en el uso de los juegos. Cálculo mental y Combinatoria.

Abstract Sowing Games. The Wari, the Tchuka-Ruma and other Mancala variants. Rules and strategies. Its use in schools pose some problems and as a resource for mental arithmetic and combinatorics.

Keywords Sowing Games. Mancala. Wari. Tchuka-Ruma. Methodology in the use of games. Mental arithmetic and combinatorics.

Los Juegos de Siembra

Los Juegos de Siembra (Sowing Games), también llamados Juegos de Conteo y Captura (Count and Capture Games) son juegos, en general para dos jugadores, con información completa, que se juegan sobre un tablero con casillas en forma de hoyos cogiendo con la mano las semillas de uno de esos hoyos y sembrándolas, una a una, en los hoyos vecinos.

Los juegos que responden a esta tipología reciben el nombre genérico de Mancala (mancala, mangala, magala, naqala…, del árabe: mover). Son muy populares en toda África y aunque sus orígenes no están muy claros, todo apunta a que se originaron en lo que ahora es Etiopía alrededor de los siglos VI y VII. Se practicaban ya en el antiguo Egipto, pues se han encontrado tableros en la pirámide de Keops, y de allí debió extenderse a otros países de África y Asia.

En la actualidad, se practica principalmente en África donde forma parte desde tiempos muy remotos de la tradición cultural de muchos pueblos y tribus. En algunos, su práctica está ligada a ritos funerarios, a ceremonias nupciales, como objeto de adivinación y de oráculos destinados a predecir el éxito en la caza o en las batallas. Hoy, sin embargo, se juega sobre todo por placer y se ha convertido en el juego nacional de muchos países africanos. En la fotografía de la Figura 1 se puede ver como un turista juega con los nativos al Mancala en un mercado al aire libre de Dakar.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]

Juegos de siembra: juegos africanos con aplicación didáctica J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

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El Mancala es también popular en ciertos países asiáticos, como Ceilán, donde se le llama Naranch; la India, donde se le conoce como Pandi; o Filipinas, donde se denomina Dakon; también en Asia central y numerosas islas del Caribe y las costas de Brasil.

Figura 1. Jugando al Mancala

Existen numerosas variantes que difieren sobre todo en las reglas del juego. Aun así, guardan una serie de características comunes entre sí. Ese gran número de variantes de Mancala impide toda descripción simple y general de este tipo de juego. Veamos una lista de nombres de algunas de ellas en la tabla 1.

NOMBRES PAISES MANCALA Siria, Egipto, Francia NARANCH Ceilán (Sri Lanka) PAND India PALLANGULI India, Sri Lanka DAKON Filipinas OWARE Ghana WARI Mali, Florida, Antigua (Antillas) TSORO Sudán MBAN Angola MADJI Benín, Nigeria MANGOLA Zaire AWELE Costa de Marfil MWESO (MWEISO/HUS) Tanzania KIUTHI Kenia MEFUHVA Norte de Transvaal BAO KISWAHILI BAO BAU Malawi AWARI Surinam, Antillas, Dahomey, Togo, Nigeria BA-AWA Ghana LONTU-HOLO Surinam CHISOLO Zimbawe 'MBO Kenia GABATA Etiopía (III) WURI/SUBA Estados Unidos CONGKLAK Indonesia


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MANKAL'AH L'IB AL-GHASHIM Egipto LEAB EL-AKIL Egipto HOYOS/KALAHA Occidente (?) KALAH (KALAHA) Estados Unidos KIARABU (KIRIABU) Zanzíbar (IV) ISE-OZIN-EGBE Nigeria (I) TCHUKA RUMA India oriental (I) JUEGO DE LOS FRIJOLES México (?) AGASORO Burundi

Tabla 1. Nombres de variantes de Mancala y países donde se juega

En la mayoría de los casos el juego es el mismo, entendiendo que distinto nombre corresponde a distinta tribu o país, e incluso a los nombres dados por los antropólogos en su propia lengua. Las migraciones también aportan cambios en las denominaciones.

La foto de la Figura 2, correspondiente a nuestra colección personal de juegos, presenta un tablero muy toscamente labrado de 2 filas de 6 hoyos y sin depósitos que probablemente pertenezca a la variante llamada KIUTHI, jugado en Kenia, y encontrado en un poblado masai por un familiar nuestro.

Las versiones de mancala más corrientes en Europa son el AWELE (también llamado WARI), el KAKUA, el MWESO o HUS (que se juega con 64 fichas en un tablero de 32 huecos), el BAO y el OWARE, una de las variantes más sencillas y amenas.

Figura 2. Tablero keniata

Los tableros de los diferentes Mancalas, son generalmente de madera o barro (a veces grabados en piedra o excavados en la tierra) y de forma más o menos rectangular. Tienen una, dos, tres o cuatro filas con cuatro, cinco, seis u ocho hoyos cada una. En algunos suele haber dos hoyos de mayor tamaño, uno en cada extremo, que se utilizan como almacenes o depósitos para que los jugadores depositen las semillas capturadas. Los comercializados se presentan habitualmente en tabla de madera (o caja con bisagras en madera), barro o cerámica, o plástico imitando al barro. Hay distintos tipos de tableros (Figura 3), por ejemplo:

Dos filas: 12 hoyos en dos filas de 6; 16 hoyos en dos filas de 8

Cuatro filas: 24 hoyos en cuatro filas; 32 hoyos en cuatro filas


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Mancala de dos filas Mancala de tres filas Mancala de cuatro filas

Figura 3. Tableros de Mancala

Las fichas se colocan en todos los hoyos, generalmente cuatro en cada uno, antes de comenzar a jugar. Suelen ser semillas de determinados árboles, de “ngola” en Zaire o de “mulacca” en los países de África occidental, donde también se utilizan conchas de cauríes, típicas en Sierra Leona, o incluso granos de cacao en Nigeria (tabla 2). Deben tener un tamaño adecuado para que los jugadores las tomen con la mano. También se pueden usar pequeñas piedras o granos, como judías o garbanzos. Todas las piezas deben ser iguales.

Semillas Conchas

Figura 4. Fichas juego de Mancala

Piezas

Semillas

NGOLA Zaire MULACCA África Occidental CACAO Nigeria PIPAS DE CEREZAS

Conchas MOLUSCOS Sierra Leona

Guijarros PIEDRAS BOLICHES

Granos JUDÍAS; GABANZOS

Tabla 2. Fichas juego de Mancala

Aunque cada tipo de Mancala tiene sus propias reglas de juego, las diferencias entre ellas son muy pocas existiendo un cuerpo común a todos ellos. De forma general, se comienza con 4 semillas (fichas) por hoyo. Todas las fichas son iguales y no se distinguen las fichas de cada jugador. Cada contendiente tiene un campo propio, que es uno de los dos lados del tablero, y las fichas que se van situando en sus hoyos. El juego, básicamente, consiste en tomar todas las semillas de cualquier hoyo de su campo y repartirlas, una a una, en los hoyos siguientes, propios y ajenos, con objeto de acumular cierto número de fichas en ellos; cuando lo consigue podrá retirarlas y almacenarlas en su depósito. El número de semillas necesario para hacer una captura cambia de una variante a otra, pero el objetivo final es el mismo en todos los casos: dejar los cuencos del adversario vacíos y haber retirado más semillas que él al final de la partida.


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El Wari

Para utilizar en clase con los alumnos proponemos el Mancala llamado Wari con las reglas más sencillas posible. Este juego pertenece a la llamada familia de los Mancala, provenientes del antiguo Egipto. Poco extendidos por Europa, se juegan en casi toda África y el Sureste Asiático, donde existen más de 200 variantes conocidas con nombres tales como AWARI (Antillas), CONGKLAK (Indonesia), MANKAL’AL L’IB AL-GHASIM, LEAB EL-AKIL, KALAH (Egipto), GABATA (USA, Etiopía), KIARABU (Zanzíbar), AWELÉ (Costa de Marfil), etc. Lógicamente, las reglas varían de unas versiones a otras, pero fundamentalmente se parecen a las explicadas aquí.

Juego para dos jugadores que consta de un tablero con dos hileras de 6 cuencos cada una y dos huecos más grandes, depósitos, uno en cada extremo.

Reglas del juego

Se comienza con 24 fichas, semillas o piedrecitas repartidas en los 12 cuencos, 4 en cada uno.

Figura 5. Tablero de Wari

Los movimientos consisten en recoger las semillas de un cuenco propio (de la hilera del lado del jugador) y sembrar una semilla en cada uno de los cuencos siguientes en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Se juega por turnos. Llamaremos Jugador Sur al que juega en la parte inferior del tablero (casillas A – F) y Jugador Norte al que juega en la parte superior (casillas a – f). Cada jugador trata de tomar las semillas de los hoyos de su adversario. Lo consigue cuando la última semilla distribuida cae en el hoyo del adversario que sólo contiene una o dos semillas. Con la semilla depositada, el total asciende a dos o tres. Éstas son capturadas, retiradas del juego y almacenadas en el granero del jugador.

Después de efectuar una toma, un jugador puede capturar las semillas del hoyo precedente, así como las de los siguientes, si (a) los hoyos se encuentran en el lado del adversario, y (b) cada hoyo contiene el número deseado de semillas, es decir, dos o tres.

A veces, cuando el juego está avanzado, hay muchas semillas en el mismo hoyo, lo que indica que al sembrar se pueden dar varias vueltas al tablero. En este caso, una regla establece que no se pueden poner piezas en el agujero que acaba de ser liberado. Con esta modalidad se pueden capturar muchas semillas si se aprovecha el momento oportuno para jugar a partir de un hoyo que esté muy lleno.

El juego se termina cuando todos los hoyos situados al lado de un jugador están vacíos y es su turno. Pero ningún jugador puede dejar los hoyos de su adversario vacíos, si le toca jugar. También se puede dar por finalizado cuando uno de los jugadores almacena 24 o más semillas en su granero o,


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cuando con cuatro u ocho piezas se ve que es imposible el seguir capturando. Estas piezas restantes pasan al depósito de quien realizó la última captura. El vencedor es quien ha almacenado más piezas en su granero.

Este es un esquema que resume las características y reglas del Wari:

Figura 6. Características y reglas del Wari

Algunas estrategias

No hay azar en el Wari. Una "buena jugada" puede ser calculada en cualquier posición. La preocupación principal de un jugador durante la partida es calcular en qué hoyo acabará una siembra y si es conveniente o no hacerla. Controlar esto es controlar nuestro campo propio y controlar el del adversario. El cálculo mental es importante y también la combinatoria, pero no es necesario exagerar. Hay estrategias que se adquieren de manera intuitiva, jugando, y facilitan el juego divirtiéndose con él. Los aprendizajes llegan de todas maneras, aunque a veces no sean siquiera previstos por nosotros.

Una siembra desde un hoyo con seis semillas termina en el hoyo que ocupa la posición simétrica al de partida respecto al centro del tablero. El hoyo final siempre estará en campo contrario. Desde esta posición es fácil calcular dónde acabará la siembra desde un hoyo con más de seis semillas o con menos.

Una siembra desde un hoyo con doce semillas da la vuelta al tablero y termina en el hoyo siguiente al de partida. Desde esta posición es fácil calcular dónde acabará la siembra desde un hoyo con más de doce semillas o con menos.

Un hoyo que contiene dos semillas es atacable por el adversario que posee un hoyo con el número correcto de semillas para alcanzarlo en su siembra. La debilidad puede defenderse, por ejemplo, de las siguientes formas:

a) vaciando un hoyo anterior que permita añadir una piedra a las dos, haciendo así ese hoyo


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invulnerable.

b) sembrando de tal manera que se añada una semilla al hoyo enemigo fallando así su blanco.

c) vaciando el hoyo y distribuyendo las dos semillas, aunque sea en campo propio. Esto no suele ser satisfactorio del todo puesto que el adversario sólo tiene que sembrar para poner una semilla en el hoyo vacío para hacerlo vulnerable otra vez.

Todo esto nos indica claramente que hay que controlar la cantidad de semillas que hay en cada hoyo, tanto nuestros como del adversario. Se suele decir que este control numérico, que varía en cada jugada, es lo que da valor matemático a este juego. Sin embargo, con la práctica, los jugadores acaban por usar estrategias de visualización con utilización de aplicaciones biyectivas.

Un juego agresivo llama a aumentar el número de semillas de los hoyos situados a la derecha del tablero. En algunos momentos de la partida conviene acumular cuantas más semillas mejor en uno de los hoyos propios.

En otros momentos conviene que nuestras siembras no añadan semillas en los hoyos del rival, sino más bien utilizar movimientos cortos que acaben dentro del campo propio.

Es conveniente amenazar varios de los hoyos del adversario simultáneamente.

Los finales de partida son altamente interesantes. Hay muchas semillas en el tablero que pueden ser perdidas si no se juega adecuadamente. Las reglas finales favorecen al que tiene pocas semillas y, sin capacidad para capturar, puede ganar esas semillas si alcanza unas tablas. Aquí intervienen las “trampas” y la “rapidez” de las siembras.

Las trampas son disposiciones de las semillas propias que permiten ir alcanzando a las del adversario sin ahogarlas y capturándolas en el momento preciso. Se trata, sobre todo, de colocar estratégicamente nuestras semillas escalonadamente en nuestros hoyos.

En una configuración determinada, la jugada ganadora para un lado del tablero es siempre jugar la casilla n que contiene n semillas, siendo n mínimo.

En cuanto a la rapidez consideramos dos tipos de siembras: rápidas y lentas. Las rápidas se corresponden con las de los hoyos con mucha cantidad de semillas y las lentas aquellas que se realizan a partir de hoyos que sólo tienen una, dos o tres semillas y quedan, casi siempre, en campo propio. Combinando unas y otras se domina el tablero a la perfección.

Conviene, pues, disponer de un tablero de juego, buscarse un adversario y practicar. Por ahora plantearemos algunas cuestiones muy sencillas para ir entrando en funcionamiento. Serán resueltas en el próximo número dedicado a este juego y añadiremos alguna otra más complicada.

Propuesta nº 1

Disponemos de un tablero 2x6 de Wari, con 3 semillas en la casilla “A” (la más a la izquierda).

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A. ¿Cuál es el menor número de jugadas que me permiten enviar las 3 semillas al campo adversario? (Desplazamiento rápido)

B. ¿Cuál es el mayor número de jugadas para alcanzar el mismo objetivo? (Desplazamiento lento)

Propuesta nº 2

Disponemos de un tablero 2x6 de Wari, con 8 semillas para el jugador Sur y 1 para Norte, situadas como se ve en el diagrama. Juega Norte.

1 4 2 2

¿Cómo ha de jugar Sur para capturar la mayor cantidad de semillas posible sin ahogar a Norte (recuerde la última regla)?

Figura7. Tablero de CONGKLAK (DAKON),

procedente de Indonesia, con 2 filas de 5 hoyos y 2 depósitos

Figura 8. Tablero de AWALÉ, procedente de Costa de Marfil, con 2 filas de 6 hoyos y sin depósitos

Un Mancala solitario: El Tchuka Ruma

El Tchuka es un juego del tipo Mancala procedente de la India, Islas Maldivas, Malasia y Filipinas, para un solo jugador. Se juega en un tablero con 5 hoyos, el último de la derecha (de mayor tamaño) es conocido como la Ruma (Figura 9 y 10). Empieza la partida con dos semillas en cada uno de los cuatro primeros hoyos y la ruma está vacía.

Figura 9. Esquema de Tchuka

Se toman las semillas de uno cualquiera de los hoyos y se reparten de una en una en los siguientes. A la siguiente jugada se empieza por el sitio dónde se había dejado la última piedra y se siembra en los agujeros siguientes.


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Si la última piedra sembrada cae en un hoyo vacío, pierdes la partida. Si la última piedra cae en la Ruma, puedes escoger dónde empiezas la jugada siguiente. Cuando se llega a la Ruma y no se han repartido todas las piedras, se continúa por el otro extremo.

El objetivo del juego es conseguir que todas las piedras caigan a la Ruma. Debe buscarse una estrategia ganadora.

Figura 10. Tablero de Tchuka

Propuesta nº 3

1. ¿Cuál es la estrategia ganadora? 2. Prueba el juego con un número diferente de piedras. 3. Prueba el juego con un número diferente de agujeros.

El Mancala, en sus distintas variantes, ha sido objeto de muchas e importantes investigaciones. El Tchuka-Ruma no podía ser menos. Los profesores Paul J. Campbell y Darrah P. Chavey, del Beloit College (Wisconsin, USA), han estudiado la Tchuka (n,k) con el fin de saber cuándo se puede decir que es “solucionable” y hacerlo de la forma más inteligente. Su investigación es muy completa e interesante y está disponible en la web (www.beloit.edu/computerscience/assets/tchuka.pdf). Un ejemplo de proposición (como muestra que estimule el interés por conocerla) es la siguiente:

Sea n el número de casillas en la Tchuka (excluyendo el Ruma) y k el número de semillas por casilla.

Proposición 6. El Tchuka (n, k) no tiene solución cuando k = (n + 1)i, (i ≥ 1), así como cuando k = n (n + 1)i , (i ≥ 0).

Aquellos que quieran un trabajo más sencillo y asequible, en español, disponen de un artículo del Grupo Alquerque de Sevilla, formado por los excelentes amigos José Muñoz Santonja, Antonio Fernández-Aliseda y Juan Antonio Hans, publicado en la revista SUMA, de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, y disponible en:

http://revistasuma.es/index.php?option=com_docman&task=doc_details&gid=239&Itemid=33

Como alguno de nuestros lectores se interesará por este juego les indicamos unos pocos textos y sitios web donde averiguar algo más sobre el mismo:


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� Bell y Cornelius, “Juegos con tablero y fichas”, Labor � Botermans y otros, “El libro de los juegos”, Plaza & Janés � http://www.ikuska.com/Africa/Etnologia/juegos.htm

También se pueden encontrar algunos juegos de siembra para jugar en el ordenador. Unos se pueden encontrar en las tiendas apropiadas, como “Juegos de Estrategia del Mundo: Mancala, Tres en Raya y Go-Moku” EDMARK, Publicado por IONA Software Ltd., Irlanda.

Otros se pueden descargar libremente en Internet, por ejemplo en:

http://www.freedownloadmanager.org/es/downloads/mancala_gratis/

http://www.quebajar.com/programas-download-software.-descarga-juegos-de-mesa-mancala-gratis--todos-1.html

Y, finalmente, también se pueden jugar en línea. Algunas páginas interesantes para ellos son:

http://www.awale.info/joc/es/index.html

http://www.ludoteka.com/wari.html

http://awari.cs.vu.nl/awari/

¡Cuidado! Se supone que en este sitio se juega contra un ordenador que, como jugador de Mancala es invencible. ¿Nos atrevemos?

Y esto es todo por el momento. Habrá una revisión de las propuestas de este artículo en una próxima ocasión. Y tal vez alguna ampliación. Ya veremos. Todo dependerá de las respuestas y comentarios, o peticiones, que recibamos de nuestros lectores.

Hasta el próximo pues. Un saludo.

Club Matemático





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Los secretos del número ππππ

Joaquín Navarro

RBA Colección: El mundo es matemático

ISBN: 9788498679182 144 páginas

Si tuviésemos que sintetizar en una frase el argumento del libro, usaríamos el símil siguiente: “Cómo conocer a un personaje a través de su biografía y de la forma en que los demás le ven”. Obviamente, en este caso, el personaje no es humano, ni siquiera es un ser vivo, se trata de un número, pero un número con tal grado de fama que merecería un puesto en la avenida de las estrellas de Hollywood.

Sin embargo, tal y como expresa el autor en el prefacio, no podemos esperar una lectura fácil y distraída, muy al contrario debemos prepararnos para poner toda nuestra atención y concentración en ella. Si estamos dispuestos a este esfuerzo, el libro nos gratificará con anécdotas y curiosidades que posiblemente nos esperábamos.

Los secretos del número π. Joaquín Navarro Reseña: R. Almeida Cabrera y V. Almeida Lozano

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En el capítulo 1, cuyo título parece homenajear a Woody Allen (de ahí nuestra idea introductoria de comparar a π con un personaje de cine) se presenta a este número mediante un recorrido histórico. Partiendo de su alumbramiento, como una proporción asociada a la longitud de la circunferencia, y su inevitable vínculo con el problema de la cuadratura del círculo, el autor nos lleva por un pasillo, a través de los siglos y de nombres pertenecientes al Olimpo de las matemáticas, ilustrándonos sobre diferentes técnicas usadas para el cálculo de las cifras decimales de π .

En el capítulo 2, el autor nos presenta a nuestro personaje desde el punto de vista de las clasificaciones, es decir, la búsqueda de una familia de números que compartan con él todas sus características generales. Esto da lugar a que nos asomemos al siempre delicado, y muchas veces paradójico, mundo del infinito. Como buen ejemplo de paradoja, el autor nos presenta el hotel de las infinitas habitaciones ideado por Hilbert; en cuanto al aspecto delicado del deambular por estos derroteros, la demostración diagonal de Cantor es una magnífica ilustración.

Al leer el capítulo 3, “El número π y la probabilidad”, uno puede pensar que no debe haber relación entre ellos, tal y como muy bien sugiere el autor en la introducción del mismo. Pero nada más lejos de la realidad. De hecho, al finalizar la lectura de este capítulo nos damos cuenta de que nuestra impresión inicial es debida, quizás, al hecho de que el uso de tablas en el cálculo de probabilidades, nos ha hecho olvidar la presencia de π en la función de densidad de la distribución normal, cuya curva de probabilidad es la archiconocida campana de Gauss.

El capítulo 4, denominado por el autor como “Fórmulas con π ”, nosotros lo llamamos, si se nos permite la licencia y siguiendo con el símil presentado en la introducción de esta reseña, “El álbum de fotos de nuestro personaje”. En este capítulo se nos muestran una serie de fórmulas donde interviene el número π , las cuales, nosotros, desde el punto de vista de la estética de las matemáticas, asemejamos con fotos. Algunas algo desenfocadas, otras en las que π no es más que uno de un gran grupo y hay que esforzarse un poco para localizarlo, pero hay otras en las que π está perfectamente visible y magníficamente enfocado, éstas constituyen un placer para la vista.

La gran fama de π se presenta en el capítulo 5, el cual saca a nuestro personaje de su contexto natural para mostrarlo en otros prácticamente inesperados como la literatura, el arte, la música, el cine, el mercadeo y el más asombroso, en nuestra opinión, el de las leyes, pero no las leyes matemáticas, lo cual no constituiría ninguna sorpresa después de haber leído los anteriores capítulos, sino las leyes de los hombres, las que se crean y aprueban en las cámaras legislativas. En fin, no decimos más para no desvelar la sorpresa.

En el capítulo 6, el autor vuelve a llevarnos a la contemplación de π desde la óptica del infinito, planteando ciertas situaciones poco prácticas, pero creíbles, al menos desde el punto de vista de la teoría matemática, que tampoco logran domar a nuestro π y sus infinitas cifras decimales, dejándonos claro, ayudándose en la figura de Gödel, que probablemente nunca lo consigamos.

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El último capítulo es, a nuestro entender, un homenaje a la perseverancia humana, al mostrar los 10.000 primeros dígitos de π , los cuales hemos de confesar que no hemos leído.

Para finalizar esta reseña, nos gustaría resaltar que la lectura de este libro es recomendable para matemáticos, ya titulados o en fase de estarlo. También podría resultar interesante para los físicos o los estudiantes de física pero no parece adecuada para alumnos de Enseñanza Secundaria, al menos en términos generales, aunque siempre habrá algún alumno aventajado y curioso al que el libro pueda atrapar. Sin embargo, nos ha quedado la impresión de que en algún momento nos desconcentrábamos en nuestra lectura debido, quizás, al celo del autor en presentar mejoras históricas a fórmulas originarias para el cálculo de cifras decimales. Por otro lado, probablemente sería muy injusto no mencionarlas y condenar a sus autores al ostracismo. Aunque en justicia hemos de señalar que, tras un pequeño lapso, la lectura de una anécdota o un nuevo enfoque nos ha devuelto al buen camino.

Por último, y como una pequeña crítica a la edición, la aparición de recuadros con fondo gris, donde se habla sobre algún personaje o técnica, y que se encuentran diseminadas a lo largo de todo el libro, constituyen un pequeño caos al no saber el lector en qué momento debe leerlas: ¿nada más aparecer como si respetasen el orden natural del texto?, ¿al finalizar la página donde está incluido?, ¿la elección es aleatoria? Creemos que este hecho se podría evitar poniendo una llamada en el lugar que se crea más recomendable para su lectura.

Rut Almeida Cabrera y Víctor Almeida Lozano (Universidad de La Laguna)




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50 cosas que hay que saber sobre MATEMÁTICAS

Tony Crilly

Editorial Ariel, 2009 Colección: Claves

ISBN: 978-84-344-8812-0 216 páginas

Todos podríamos estar de acuerdo en que sería muy difícil llegar a un consenso sobre cuáles son las cosas imprescindibles que deberíamos saber sobre matemáticas. De hecho, el término imprescindible, de por sí, ya supondría un problema. En 50 cosas que hay que saber sobre Matemáticas, el autor británico Tony Crilly, experto en historia de las matemáticas y conocido escritor de biografías y libros de divulgación matemática, hace una selección personal de aquellas cosas que considera indispensables que cualquier persona sepa y que, en palabras del propio autor, “son 50 como podían haber sido 500”.

El libro se compone de 50 capítulos, cada uno de ellos desarrollado con el mismo guión. Se dedican cuatro páginas a cada tema, encontrando en las dos primeras una breve evolución histórica, acompañada por una cronología a pie de página con las fechas y personajes más relevantes. En las dos páginas siguientes se presenta una justificación de la importancia del tema tratado, en matemáticas o

50 cosas que hay que saber sobre MATEMÁTICAS. Tony Crilly Reseña: M. Gutiérrez Toledo

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en otras ciencias y, si cabe, cuál es el futuro del mismo. Al final de cada guión encontramos una frase o idea que sintetiza el concepto desarrollado, utilizando un tono de humor.

Los tópicos tratados son ciertamente muy variados, van desde el cero, literalmente, pasando después de conceptos básicos, como las fracciones, a nociones mucho más abstractas como la botella de Klein, característica del campo de la topología. Podemos encontrarnos con materias cotidianas, como la exposición sobre matemáticas económicas, o con problemas que todavía siguen siendo un reto para los matemáticos de todo el mundo, como la hipótesis de Riemann. Todas las ramas de las matemáticas encuentran al menos un par de capítulos dentro de este libro.

Las ideas plasmadas en este libro resultan útiles y se les puede sacar provecho para su uso en el aula, aunque no es un libro que podamos utilizar al completo en un solo curso, por la disparidad de sus temas. Por ejemplo, con estudiantes de edades comprendidas entre los 12 y los 14 años podríamos utilizar algunos capítulos como los relacionados con el cero, los sistemas numéricos o los números primos. También como curiosidad o ampliación se podría recomendar a los estudiantes de estas edades leer o utilizar como material otros temas que no son propios del currículo de estos cursos, como los relacionados con los números π, e o el infinito. Encontramos más posibilidades para estudiantes de cursos superiores, a partir de 16 años, sobre todo los referidos al álgebra, la estadística y probabilidad. En relación con estas áreas se tratan tópicos como el caos, la probabilidad, teoría de Bayes o el problema del cumpleaños. Hay capítulos que de por sí son muy atractivos para cualquier edad, como los dedicados a los fractales o los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos.

En definitiva, este es un libro que viene bien tener cerca para bucear en las distintas curiosidades, tener una pequeña idea de la cronología de muchos conceptos de las distintas ramas de las matemáticas y tal vez descubrir ese “por qué” y “para qué” que tanto preguntan los alumnos en clase.

María Gutiérrez Toledo (Instituto de Enseñanza Secundaria Lomo de la Herradura. Gran Canaria. España)




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Congresos

15 Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas

JAEM Fecha: Del 3 al 6 de julio de 2011. Organiza: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas. Lugar: Gijón. Asturias. España. Informaciones: http://www.15jaem.org

III Congreso uruguayo de Educación Matemática

Convoca: La Sociedad de Educación Matemática Uruguaya. Lugar: Montevideo. Uruguay. Fecha: Del 19 al 20 de septiembre de 2011 Información: http://www.semur.edu.uy/curem/index.php/curem/3

XV Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática SEIEM

Fecha: Del 7 al 11 de octubre de 2011. Organiza: Universidad de Castilla la Mancha. Lugar: Ciudad Real. Castilla la Mancha. España. Información: http://www.seiem.es

I Conferencia Latino-Americana de

Geogebra Fecha: Del 13 al 15 de Noviembre de 2011. Organiza: Pontificia Universidade Católica de Sau Paulo. Lugar: Sao Paulo. Brasil. Información: http://www.pucsp.br/geogebrala/index.html




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1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.

2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected] 3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de

revisión o publicación en ninguna otra revista. 4. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características:

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• Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave; también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords.

• Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos. • Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar

el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares. • Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones. • Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de

texto (no enviarlas por separado). • Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el

autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53). • Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,

ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo: o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y

científicos en los niños. Madrid: Morata. o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on

whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.

o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.

o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/

5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.

6. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial. Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en un periodo no mayor de 3 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.

Revista de Didáctica de las Matemáticas Julio de 2011 Volumen 77

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