Sólido de Revolución

21/03/16

Jhon Carieles 23.488.578

Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional.

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción.

Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.

Los sólidos en revolución son aquellos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje fijo (eje de revolución).

Los solidos en revolución son aquellos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje fijo (eje de revolución).

Sólidos en Revolución

Sea S un solido tal que S esta entre los planos perpendiculares al eje x en a y b. Si la medida del área de la sección plana S, perpendicular al eje x en x , esta dada por A (x), donde A es continua en [a,b], entonces la medida del volumen de S esta dado por:

El volumen V de un solido de revolución obtenido al girar la región R sobre el eje x o y es posible calcularlo, mediante:

Método del Disco. Método de Washer o de arandela. Método de capaz cilíndricas. Método de las tajadas.

Cálculos de volúmenes sólidos de Revolución

El volumen del solido de revolución obtenido al girar la región R sobre el eje x, esta dado por:

METODO DEL DISCO

Cuando el eje de rotación es el eje y, y la región que esta girando entre el eje y, y una curva x=g(x) entre y=c y y=d, el volumen del solido esta dado por:

Este método consiste en hallar el volumen de un solido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas . Si la región que giramos para formar un solido no toca o no cruza el eje de rotación , el solido generado tendrá un hueco o agujero.

METODO DE WASHER O ARANDELA

Cuando gira alrededor del eje Y:

Cuando gira alrededor del eje x:

Se considera el solido de revolución obtenido al girar en torno del eje y, y la región R en el primer cuadrante entre el eje x y la curva y=f(x), que queda entre x=a y x=b gira en torno al eje y. El volumen del solido esta dado por:

Método de capas cilíndricas

Una formula similar se cumple cuando los papeles de x y y se invierten , es decir la region R en el primer cuadrante entre el eje y y la curva x= f(x), que queda entre y=c y

y=d, gira en torno del eje x.

Se asume que un solido queda completamente entre el plano perpendicular al eje x en x=a y el plano perpendicular al eje x en x=b. Para cada x tal que a ≤ x ≤ b.

Método de las Tajadas

Se asume que el plano perpendicular al eje x en dicho valor de x corta al solido en una región de área A(x). Entonces el volumen del solido esta dado por: