ResumenResumenUnidadesUnidades IIII--VV

II. Interpolacióna) polinomio de Newton – funcion que pasa por todos los puntosb) spline cubico - un valor

IV. Integracióna) Función tabulada –, segmentos_desigualesb) Función analítica - reglas_simpsonc) Diferenciación (derivadas_altax para una serie de datos,

spline_cubico para un dato)V Ecuaciones diferenciales (RK-4)

Nota: se dan los métodos de mayor exactitud

Conceptos generales• Problema general: Se tiene un conjunto discreto de

valores (mediciones) de unacantidad, se requiere conocerun valor intermedio entre los valores discretos.

Opciones• 1. Obtener una curva que

represente la tendenciageneral de los datos. Vimosregresión por mínimoscuadrados.

• 2. Una curva que pase porcada uno de los puntos en forma directa. Interpolación, vimos mediante polinomios, ahora veremos trazadores

1

2

Datos de entrada: tabla de datos x, f(x)

f(x) a orden n

],...,,[))...()((...],,[))((

],[)()()(

0110

01210

0100

xxxfxxxxxxxxxfxxxx

xxfxxxfxf

nnn

n

−−−−++−−+−+=

ji

jiji xx

xfxfxxf

−−

=)()(

],[

ki

kjjikji xx

xxfxxfxxxf

−−

=],[],[

],,[

Con las diferenciasdivididas

1. a) 1. a) PolinomioPolinomio de de interpolaciinterpolacióónn de Newtonde Newton

El programa interp_newton.for calcula:a) el valor de la función (interpolado) en un puntob) los coeficientes del polinomio (o sea, las diferencias

divididas

1.b) Polinomios de interpolación de Lagrange

∑=

=n

iiin xfxLxf

0

)()()(

n+1 datos xi, yi, i=0,1,…,n

∏≠= −

−=

n

jij ji

ji xx

xxxL

0

)(

Interp_lagrange.for calcula el valor de la función en un punto

1.c) 1.c) ComparaciComparacióónn entreentre los los distintosdistintostrazadorestrazadores

Polinomio de grado 1(lineal, pasa por 2 puntos)

Polinomio de grado 2(parábola, pasa por 3 puntos)

Polinomio de grado 3(cúbico, 4 puntos)Spline_cubico.for calculaa) valor interpolado para una x

b) Primera y segunda derivadasen ese punto

iiiii dxcxbxaxf +++= 23)(

IntegraciIntegracióónnOperación inversa de la derivación.

∫ ∑=

→ΔΔ=

b

a

n

iii xwfdxxf

10||||)(lim)(

Integral definida de f de a a b, si el límite existe

||Δ|| es la norma de la partición.

x

f(x)

Significado geométrico:Área bajo la curva

a b

f(x) es el integrando

FFóórmulasrmulas de de integraciintegracióónn de Newtonde Newton--CotesCotes

• Se sustituye el integrando (dado como funciónanalítica o en datos tabulados) por un polinomio de aproximación

nnn xaxaxaxaaxf +++++= ...)( 3

32

210

∫∫ ≅=b

an

b

a

dxxfdxxfI )()(

Formas

Cerradas: datos al inicio y al final de los límitesde integracion conocidos

Abiertas: límites de integracion más allá del intervalo de datos (útil para integrales impropias, solución de ecuaciones, etc.)

ReglaRegla del del trapeciotrapecio• El integrando se

aproxima por un polinomio de primer grado

2)()()( bfafabI +

−=

xaaxf 101 )( +=

∫∫ ≅=b

a

b

a

dxxfdxxfI )()( 1

3))((21 abfEt −′′−= ξ

ξ en [a,b]

Error de truncamiento

Ancho x altura promedio

DescripciDescripcióónn grgrááficafica de la de la reglaregla del del trapeciotrapeciommúúltipleltiple

x

f(x)

a b

f(a)

f(xi)

b= xna= x0

x1 xix2

h

ReglasReglas de Simpsonde Simpson• Regla de Simpson 1/3:

El integrando se aproxima por un polinomio de segundogrado.Requerimos de tres puntos: dos extremos y uno a la mitad entre ellos. Usamos un polinomiode Lagrange

6)()(4)()( 210 xfxfxfabI ++

−=

22102 )( xaxaaxf ++=

∫∫ ≅=b

a

b

a

dxxfdxxfI )()( 2

)(2880

)( )4(5

ξfabEt−

−=ξ en [a,b]

Error de truncamiento

Ancho x altura promedio

DescripciDescripcióónn grgrááficafica de la de la reglaregla de Simpson de Simpson mmúúltipleltiple

x

f(x)

a b

f(a)

f(xi)

b= xna= x0

x1 xix2

h

ReglaRegla de Simpson: de Simpson: polinomiospolinomios de 3er. de 3er. gradogrado

• Regla de Simpson 3/8: El integrando se aproxima por un polinomio de tercergrado.

• Requerimos de cuatropuntos equidistantes. Usamos en realidad unpolinomio de Lagrange

8)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxfabI +++

−=

33

22102 )( xaxaxaaxf +++=

∫∫ ≅=b

a

b

a

dxxfdxxfI )()( 3

)(6480

)( )4(5

ξfabEt−

−=ξ en [a,b]

Error de truncamiento

Ancho x altura promedio

RepresentaciRepresentacióónn grgrááficafica de la de la reglaregla 3/83/8

Por cuatro puntospasa un polinomio de tercer grado

Ilustracióngráfica de la combinación

de reglasLa regla 3/8 se aplica a los tresúltimos segmentos. Para los primeros(un número par) se usa entonces la regla 1/3 y se suman las áreasdadas por cadaregla.

Programas para integración• Escribir la integral a resolver. Note que el

integrando puede darse comoa) Un función analítica. (reglas_simpson.for)b) Una tabla x,f(x). (segmentos_desiguales.for)c) Una derivada de la cual obtenemos la integral

por variables separables

∫ ∫= dxxXyY

dy )()(

)()(),( yYxXyxfdxdy

==

Separando variables e integrando

Ecuaciones diferenciales ordinarias(EDO)

• La incógnita es unafunción y=y(x) tal que

f(x,y) dada),( yxf

dxdy

=

hyy ii φ+=+1

Ecuaciones diferenciales ordinarias

• La incógnita es unafunción y=y(x) tal que

f(x,y) dada),( yxf

dxdy

=

hyy ii φ+=+1La solución dada por

Estamos extrapolando de un valor anterior a un nuevo valor que está a una distancia h

Todos los métodos de un paso solo difieren en la forma en que se calcule f, la pendiente

MMéétodostodos de de RungeRunge--KuttaKutta (RK)(RK)

• Tan exactos como los basados en serie de Taylor pero sin derivadas de orden superior.

• Forma generalizada de la ecuación queincluye la pendiente

hyxyy iiii ),(1 φ+=+

nnii kakakayx +++= ...),( 2211φ

Donde la función incremento

MMéétodotodo ClCláásicosico de de cuartocuarto ordenorden• Es el más popular• Varias versiones, ésta es la clásica• Similar a la regla de Simpson d1/3• Similitud con el método de Heun: promedio de

estimaciones (las ks) de pendientes

hkkkkyy ii *)22(61

43211 ++++=+

),(),(),(

),(

34

221

21

3

121

21

2

1

hkyhxfkhkyhxfkhkyhxfk

yxfk

ii

ii

ii

ii

++=

++=

++==

Para comprobar resultado• Resolvemos ED con rk4.for (cambiar función f(x,y))Obtenemos archivo (datosy.dat) con tabla de datos x y(x)

Calculamos derivada de yUsamos programa derivada_altax.forArchivo de entrada : datosy.datArchivo de salida : derivada.dat

En Excel, colocamos en columnasa) datos x, y (datosy.dat), b) derivada (derivada.dat)c) Calculamos f(x,y) con los datos de a) De modo que tenemos una tablax y(x) dy/dx f(x,y)

dy/dx debe ser igual a f(x,y)

),( yxfdxdy

=

Recomendaciones generales• Lea cuidadosamente los problemas. Debe entender qué

se pregunta, si no entiende pregunte.• Analice la información proporcionada (función analítica o

tabulada, condición inicial).• Una vez establecido el tipo de problema a resolver, elija

el método adecuado• Identifique las ecuaciones y escríbalas de acuerdo a la

forma que el método requiere.• Verifique las unidades de modo que sean compatibles

los términos en las ecuaciones. Convierta cantidades sies necesario.

Más recomendaciones

• Determine el programa a usar• Establezca los datos de entrada y salida (crear

archivos si es necesario)• Haga los cambios necesarios (funciones,

nombres de archivos, etc.)• Al escribir los resultados, no olvide especificar el

método usado y los datos relevantes• No olvide escribir unidades.• Limpieza y orden.