1. Unidad III: Solucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales Anlisis Numrico SAIA B 2. El objetivo primordial de la unidad III es conocer y entender los diferentes mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones, entre los cuales tenemos los de eliminacin y los iterativos. Entre los mtodos de eliminacin tenemos: Eliminacin gaussiana, el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan, (descomposicin LU, factorizacin de Cholesky y el de QR, factorizacin Householder.) Los mtodos iterativos son el de Gauss Seidel y el de Jacobi. 3. Mtodos de Eliminacin: Eliminacin Gaussiana: Este mtodo consiste en descomponer una matriz ampliada del sistema de ecuaciones dado, en una matriz Diagonal superior o Diagonal inferior, y segn el caso se hace sustitucin hacia atrs o hacia adelante para hallar el valor de las variables en cuestin. Para la descomposicin matricial existen varios mtodos: descomposicin LU, factorizacin de Cholesky y el de QR, factorizacin Householder. Para la eliminacin Gaussiana se requiere conocer las operaciones bsicas con matrices, a saber: Cualquier rengln de la matriz de coeficientes aumentadas puede multiplicarse por cualquier constante. Es posible sumar un mltiplo de un rengln a un mltiplo de cualquier otro rengln. Es posible intercambiar el orden de dos renglones cualesquiera. 4. Supongamos que se quiere resolver el sistema: 4x1-2x2+x3=15 -3x1-x2+4x3=8 X1-x2+3x3 =13 La matriz ampliada es: Si multiplicamos 5. la matriz final resultante se conoce por matriz triangular superior, puesto que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son ceros. Pudimos haber hecho que todos los ceros quedaran por encima de la diagonal principal, en este caso sera una matriz diagonal inferior. Esta matriz podra descomponerse de la forma A=L*U donde L es diagonal inferior y U diagonal superior. Pero podra descomponerse de la forma: A=L*Lt, siendo Lt la transpuesta de la matriz diagonal inferior (Esto se conoce por factorizacin de Cholesky) y finalmente pudimos descomponerla con el mtodo QR, que es un mtodo computacional que trabaja con valores propios de la matrices. 6. Eliminacin de Gauss-Jordan: Este mtodo consiste en realizar las mismas operaciones anteriores pero en mayor cantidad, pues se requiere dejar una matriz ampliada Diagonal, es decir los elementos por encima y por debajo de la diagonal principal son ceros. En el ejemplo anterior, si opersemos un poco mas deberamos llegar a la matriz: 7. Mtodos Iterativos: Los mtodos anteriores son mtodos fijos que utilizan un nmero determinado de operaciones que permiten llegar a un resultado exacto o aproximado. Los mtodos iterativos resuelven un sistema de ecuaciones A.X=B a partir de valores iniciales Xo. Si el limite de Xn converge se dice que el mtodo es consistente con el sistema y la solucin existente converge a la solucin del mismo. Entre estos mtodos tenemos el de Jacobi y el de Gauss- Seidel. 8. Mtodo de Jacobi: El mtodo Jacobi es el mtodo iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales ms simple y se aplica solo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incgnitas como ecuaciones. Primero se determina la ecuacin de recurrencia. Para el lo se ordenan las ecuaciones y las incgnitas. De la ecuacin i se despeja la incgnita i. En notacin matricial se escribirse como Donde x es el vector de incgnitas esta se le designa por Se itera en el ciclo que cambia la aproximacin 9. Ejemplo Partiendo de aplique dos iteraciones del mtodo de Jacobi para resolver el sistema: Solucin Debemos primeramente despejar de la ecuacin la incgnita correspondiente Escrito en la notacin vectorial quedara: Aplicamos la primera iteracin partiendo de Aplicamos la segunda iteracin partiendo de 10. Aplicamos la siguiente iteracin partiendo de Aplicamos la siguiente iteracin partiendo de Aplicamos la siguiente iteracin partiendo de Aplicamos la siguiente iteracin partiendo de 11. El Mtodo de Gauss-Seidel: El mtodo de Gauss-Seidel es muy semejante al mtodo de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incgnitas para determinar una nueva aproximacin, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incgnitas recin calculados en la misma iteracin, y no en la siguiente. Por ejemplo, en el mtodo de Jacobi se obtiene en el primer calculo xi+1, pero este valor de x no se utiliza sino hasta la siguiente iteracin. En el mtodo de Gauss-Seidel en lugar de eso se utiliza de xi+1 en lugar de xi en forma inmediata para calcular el valor de yi+1 de igual manera procede con las siguientes variables; siempre se utilizan las variables recin calculadas 12. Mtodo de Gauss-Seidel: Ejemplo Partiendo de aplique dos iteraciones del mtodo de Gauss- Seidel para resolver el sistema: Solucin Debemos primeramente despejar de la ecuacin la incgnita correspondiente Aplicamos la primera iteracin partiendo de Aplicamos la segunda iteracin partiendo de 13. Aplicamos la tercera iteracin partiendo de