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RESUMEN PARA EXAMEN FINAL

Aplicaciones de la integral doble Volumen de un slido

dAyxfSVyxfSiR ;)(Ry)(x, 0),(

rea de una placa delgada R

Masa de una lmina (regin) plana R

Aplicaciones de la integral Triple Volumen de un slido E

E

dVEV )(

Masa de un slido E

Coordenadas cilndricas

Coordenadas Esfricas

R

dARA )(

densidadfunciondAyxmR

:;);(

densidadfunciondVzyxmE

:;);;(

d

c

h

h

rsenru

rsenruE

rdzdrdzrsenrfdVzyxf

2

1

2

1

,cos

,cos,,cos,,

dddfdVzyxfd

c

b

aE

sencos,cossen,cossen,, 2

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Campos escalares y vectoriales

Gradiente de un campo escalar en el plano

Gradiente de un campo escalar en el espacio

Operador nabla

DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

0) (

,,) (

.div,,

FxFotativo si res conservF

PQRPQRFxFrot

zR

yQ

xPFFRQPFsi

yxxzzy

INTEGRAL DE LINEA

),,(),,(/,,

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zyxFzyxfzyxf

fRfQfP

RQRPQP

ativoes conservzyxRzyxQzyxPzyxFOBS

z

y

x

yzxzxy

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)),,(),,,(),,,((),,( zyxfzyxfzyxfzyxf zyx

zyx

;;

potencialfuncion f arfbrfrdFSi

TrabajodttrtrFrdFW

Ccuerdamasadttrtrfdszyxm

dttrtrfdszyxf

a,blar en curva reguCbattrC

C

b

aC

C

b

a

C

b

a

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Teorema de Green Sea C una curva simple, cerrada, suave por secciones y con orientacin positiva en el plano XY. Sea D la regin encerrada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continas en una regin abierta que contiene a D, entonces:

Clculo de reas mediante integral de lnea El rea de una regin limitada por una curva simple, cerrada y suave por secciones se puede calcular mediante una integral curvilnea de varias maneras:

Integral sobre una curva cerrada de un campo conservativo Si la curva C es simple, cerrada y suave por secciones, P y Q tienen derivadas parciales continuas en el interior de C y se cumple que Entonces

Integral de superficie de un campo escalar

1, ( )zS D

fS i g e n t o n c e s A S d S d A

f

D zS

SXY

dAf

yxzyxfyxzyxgdszyxg

proyeccionDzyxfSSi)),(,,()),(,,(

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fSi g entonces m S dS dA

f

DC

dAyP

xQQdyPdx

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21)(Area

yP

xQ

0C

QdyPdx

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m(s): Masa de la superficie S Integral de superficie de un campo Vectorial

Teorema de Stokes

Sea S una superficie orientada, suave por partes, que est acotada por una curva C de frontera, simple, cerrada suave por partes, que tenga orientacin positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen

derivadas parciales continuas en una regin abierta de R3 que contiene a

S.

Teorema de la Divergencia

Sea E una regin simple de R3 y S su superficie frontera, orientada hacia fuera. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en una regin abierta que incluye a E. Entonces:

f

fn

dAyxzyxf

yxzyxfyxzyxFdSnzyxFdzyxFD zSS

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SC

SdFrdF )(rot

ES

dVFSdF )(div