Resumen de Campos Electromagnetic Os

IntroduccionEcuaciones de Maxwell

Distribuciones de carga y corrienteLey de Coulomb

Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua

Densidad de flujo electricoLey de Gauss

Campos Electromagneticos

profesor: Martin Bravo Obando

Universidad Surcolombiana2015-1

profesor: Martin Bravo Obando Campos Electromagneticos





Contenido

1 Introduccion

2 Ecuaciones de Maxwell

3 Distribuciones de carga y corriente

4 Ley de Coulomb

5 Intensidad de Campo Electrico

6 Campos electricos debido a distribuciones de carga continua

7 Densidad de flujo electrico

8 Ley de Gauss






Introduccion






Ecuaciones de Maxwell

1 ∇ ·D = ρv .

2 ∇× E = −dBdt.

3 ∇ ·B = 0.

4 ∇×H = J+ dDdt.






Distribuciones de carga y corriente

En el caso de que las cargas esten en movimiento, constituyendistribuciones de corriente.

Las cargas pueden distribuirse en un volumen, superficie o a lolargo de una lınea.







Densidades de carga

ρv = lim△v→0

△q

△v=

dq

dv(C/m3).

ρs = lim△s→0

△q

△s=

dq

ds(C/m2)

ρL = lim△L→0

△q

△L=

dq

dL(C/m)

Carga total

Q =

∫

v ,s,L

ρv ,s,Ld(v , s, L)







Densidad de corriente







Densidad de corriente

J = ρvu (A/m2)

Corriente sobre una superficie

I =

∫

s

J · ds (A)







Ejercicios

1 Calcule la carga total Q contenida en un tubo cilındrico decarga orientada lo largo del eje z. La densidad de carga linealesta dada por ρl = 2z , donde z es la distancia en metros alextremo inferior del tubo. La longitud de este es de 10 cm.

2 Un disco circular de carga electrica, esta caracterizado por unadensidad de carga superficial azimutalmente simetrica que seincrementa de forma lineal con ρ, desde cero en el centrohasta 6/Cm2 con ρ = 3 cm. Calcular la carga total presenteen la superficie del disco.






Ley de Coulomb

Ley experimental que debe su nombre al coronel francesCharles Augustin de Coulomb.

La ley de Coulomb fue formulada en 1785.

Consiste en la fuerza que una carga puntual ejerce en otracarga puntual.

Esa carga se mide en Coulomb (C), el cual equivale a 6× 1018

electrones.

La carga de un electron es de −1.6019 × 10−19C .






Ley de Coulomb

La ley de Coulomb establece:

que la fuerza entre dos cargas Q1 y Q2 es de direccion igual alas lıneas que las une.

es directamente proporcional al producto de las cargas Q1Q2.

es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entreellas (R).

La Fuerza esta dada por:

F =kpQ1Q2

R2 (N), donde kp = 14πǫ0

y ǫ0 = 8.85 × 10−12(F/m)






Ley de Coulomb

F para n cargas puntuales

F = kpQ∑N

k=1Qk(r−rk)

|r−rk|3






Intensidad de Campo Electrico (E)

Definicion de E

La intensidad del campo electrico es la fuerza por unidad de cargaen el campo electrico.

Estimacion de E

E = limQ→0

F

Qo simplemente E = F

Q(V /m)

E para n cargas puntuales

E = kp∑N

k=1Qk(r−rk)

|r−rk|3






Ley de coulomb e intensidad de campo electrico

Ejercicios

Dos cargas puntuales de 1mC y −2mC se localizan en (1,2,3)y (1,-2,4), respectivamente. Calcular la fuerza electrica sobreuna carga de 10 nC localizada en (0,7,2) y la intensidad decampo electrico en ese punto.

Dos cargas puntuales de igual masa m y carga Q, estansuspendidas en un punto comun por dos hilos de masadespreciable y longitud l. Demostrar que, en equilibrio, elangulo de inclinacion α de cada hilo respecto de la verticalesta dado por Q2 = 16πǫ0mgl2sen2αtanα, si α es ınfimo,

demuestre que α = 3

√

Q2

16πǫ0mgl2.






Campos electricos debido a distribuciones de carga

continua







continua

La intensidad de campo electrico debido a cada una de esas cargasesta dada por:

E =∫

ρldl4πǫ0R2ar, (carga de lınea).

E =∫

ρsds4πǫ0R2ar, (carga superficial).

E =∫

ρvdv4πǫ0R2ar, (carga volumetrica).







continua

Carga de lınea







continua

Carga superficial







continua

Carga volumetrica







continua

Ejercicios

1 Un anillo circular de radio a, porta una carga uniforme ρl(C/m) y esta situado en el plano xy con eje en el eje z.

Demostrar que E(0, 0, h) = ρlah

2ǫ0[h2+a2]32.

Que valores de h producen el valor maximo de E.Si la carga total en el anillo es Q, encontrar E cuando a → 0.







continua

Ejercicios

2 Una lamina finita 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, en el plano z = 0

tiene una densidad de carga dada por ρs = xy(x2 + y2 + 25)32

(nC/m2) hallar:

La carga total en la lamina.El campo electrico en (0,0,5).La fuerza experimentada por una carga de −1mC localizadaen (0,0,5).






Densidad de flujo electrico

D = ǫ0E ( Cm2 ).

Flujo electrico

ψ =∫

D · ds (C )






Densidad de flujo electrico

Ejercicio

Determinar D en el punto (9,-1,0) en presencia de una cargapuntual de −5πmC en (4,0,0) y de una carga de lınea de 3πmC

ma

lo largo del eje Y.






Ley de Gauss

Establece que el flujo electrico total ψ a traves de cualquiersuperficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esasuperficie.

Carga total

Q =∮

sD · ds =

∫

vρvdv






Ley de Gauss∮

sD · ds =

∫

v∇ ·Ddv

Aplicando el teorema de la divergencia a la anterior ecuacion

ρv = ∇ ·D






Ley de Gauss

La ley de Gauss aporta un medio simple para hallar E y D, enel caso de distribuciones de carga simetricas.

Una distribucion continua de carga posee simetrıa rectangularsi solo depende de x, o y, o z.

simetrıa cilındrica si solo depende de ρ y simetrıa esferica sisolo depende de r (Θ y φ son independientes).






Ley de Gauss






Aplicaciones de la ley de Gauss

Carga puntual







Carga de lınea infinita







Lamina infinita de carga







Esfera con carga uniforme







Ejercicios

1 Puesto que D = zρcos2φazCm2 , calcular la densidad de carga

en (1, π4 , 3) y la carga total encerrada por el cilındro de radio1m con −2 ≤ z ≤ 2m.

2 Una distribucion de carga con simetrıa esferica posee la

densidad f (n) =

{

ρ0rR

si 0 ≤ r ≤ R

0 si r > R, determinar E en

cualquier punto.






Potencial Electrico

Desplazamiento de una carga puntual Q en un campoelectrostatico






Potencial Electrico

Trabajo realizado en el desplazamiento de la carga

dw = −F · d l = −QE · d lTrabajo total

W = −Q∫ B

AE · d l






Potencial Electrico

Diferencia de potencial

VAB = WQ

= −∫ B

AE · d l

Diferencia de potencial

1 Al determinar VAB , A es el punto inicial y B es el punto final.

2 Si VAB es negativo, hay perdida de energıa potencial en eldesplazamiento de Q.

3 Si VAB es positivo, hay ganancia de energıa potencial.

4 VAB es independiente de la trayectoria.

5 VAB se da en Joules por Coulomb, lo que es voltios (V).






Potencial Electrico

Potencial en cualquier punto

El potencial en cualquier punto es la diferencia de potencial entreese punto y un punto elegido como referencia en el que el potencialsea cero.

Potencial en cualquier punto

V = −∫ r

∞ E · d l






Potencial Electrico

Diferencia de potencial para una carga puntual en un punto r’

V (r) = Q4πǫ0|r−r ′|

Diferencia de potencial para n cargas puntuales

V (r) = 14πǫ0

n∑

k=1

Qk

|r − rk |






Potencial Electrico

Distribuciones continuas de carga

Carga lineal

V (r) = 14πǫ0

∫

l

ρl(r′)dl ′

|r − r ′|

Carga superficial

V (r) = 14πǫ0

∫

s

ρs(r′)ds ′

|r − r ′|






Potencial Electrico

Distribuciones continuas de carga

Carga volumetrica

V (r) = 14πǫ0

∫

v

ρv (r′)dv ′

|r − r ′|






Potencial Electrico

Ejercicio

Una carga puntual de 1nC se localiza en (1,−2, 5) , mientras queen la lınea Y = 1,Z = 1 porta una carga uniforme de 7nc/m. SiV=0v en (0, 0, 0), halle V en A(7,0,2).






Relacion entre E y V

VAB = −VBA∮

E · d l = 0Aplicando el teorema de Stokes

∮

E · d l =∫

∇× E · ds = 0







Un campo electrostatico es conservativo

∇× E = 0La intensidad de campo electrico es el gradiente de V

E = −∇V







Ejercicio

Dado el potencial V = 10r2senΘcosφ, hallar la densidad de flujo

electrico D en el punto (2, π2 , 0).






Densidad de energıa en campos electrostaticos

WE = 12

∑nk=1 QkVk (Joules).






Densidad de energıa en campos electrostaticos

WE = 12

∫

E ·Ddv = 12

∫

ǫ0(Joules).






Condiciones en la frontera

En una interfaz entre

dielectrico y dielectrico.

conductor y dielectrico.

conductor y vacıo.

Para determinar las condiciones de frontera∮

E · d l = 0,∮

D · ds = Qenc , E = Et + En







Dielectrico–Dielectrico







Refraccion







Conductor y Dielectrico







Blindaje electrostatico







Conductor y Vacıo







Ejercicio

Dos dielectricos isotropicos extensos se encuentran en el planoz=0. Respecto de z ≥ 0, ǫr1 = 4 y respecto de z ≤ 0, ǫr2=3. Uncampo electrico uniforme E1 = 5ax − 2ay + 3az

kVm

existe paraz ≥ 0. Hallar E2 respecto de z ≤ 0 y los angulos que E1 y E2

forman con la interfaz.







Ejercicio






Bibliography

Sadiku, Matthew N.O. Elements of Electromagnetics. ThirdEdition. Oxford University Press. 2001.

Fawwas T. Ulaby, Fundamentos de Aplicaciones enElectromagntismo, Quinta edicion, Pearson, 2007.


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