Resumen DANY PERICH+

8/7/2019 Resumen DANY PERICH+

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Danny Perich C.

www.sectormatematica.cl 1

REPASO GENERAL PSU

Estimados alumnos: Les he preparado este repasocomo una última actividad para realizar antes de enfrentarla Prueba de Selección Universitaria P.S.U. Matemática.

En él se encuentran la mayoría de las contenidosincorporados en la prueba y para una mayor comprensiónde sus aplicaciones, he agregado algunos ejerciciosresueltos, optando especialmente por aquellos que han

salido en los ensayos oficiales publicados por el DEMRE.Espero que este material sirva como una últimarevisión antes de rendir la PSU, el que reforzará losconocimientos que has adquirido tras 4 años de estudio enla enseñanza media.

Números y Proporcionalidad

Números Naturales N = {1, 2, 3, 4, ...}Números Cardinales N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}Números Primos: Números naturales mayores que sólotienen dos divisores, la unidad y el mismo número.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...}

Números Compuestos: Números naturales que no son

primos.

C = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ...}

Números enteros Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Números racionales Q = {ba

/a y b ∈ Z, b ≠ 0}

Las equivalencias más utilizadas entre fracciones,decimales y porcentaje:

%, 50502

1== %,

3

13330

3

1==

%, 252504

1== %, 2020

5

1==

%,, 51212508

1== %, 1010

10

1== (Un décimo)

%, 757504

3== %101,0

1001

== (Un centésimo)

*** Ejercicios PSU ***

1. =

−

+

22

1

1

2

1

A)6

1B)

6

1− C)

2

3−

D)10

1E) 0

El orden de resolución es muy importante para noequivocarse. Resolvamos

6

1

6

43

3

2

2

1

2

3

1

2

1

2

41

1

2

1−=

−=−=

−+=

−+

La alternativa B es la correcta.

2.250

8

3

1

7508

3

1

,, −

+

−

A)3

15B)

3

16C)

3

16− D) 4 E)

3

8

La alternativa correcta es B.

Porcentaje:

100

a%a =

a% del b% de c= cba

⋅⋅100100

Sugerencia: Siempre que resuelvas un ejercicio deporcentaje y obtengan un resultado, vuelve a leer lo que tepreguntan para que no te equivoques al responder por algoque no te estaban consultando. (Muy común en %)

*** Ejercicios PSU *** 1. En un curso de 32 alumnos 8 de ellos faltaron a clases.¿Qué porcentaje asistió?

A) 75% B) 25% C) 24%D) 0,25% E) 0,75%

Lo típico es que se plantee que

x

%100

8

32= obteniéndose para x = 25%, que obviamente

está en las alternativas, pero que no es lo que preguntan,¡cuidado! La alternativa correcta es A ya que se preguntapor el porcentaje de asistencia.

2. En un supermercado hay supervisores, cajeros yreponedores. Si el 60% de los trabajadores sonreponedores, 18 son supervisores y éstos son un tercio delos cajeros, ¿cuál es el total de trabajadores?

A) 108 B) 72 C) 180 D) 90 E) 54

18 son supervisores, por lo tanto los cajeros son 54. Entotal, 72 trabajadores que corresponden al 40%. Luego secalcula el 100%La alternativa correcta es C.

RegularidadesSe trata de obtener un patrón o regla de formación pararesolver una situación problemática.Ejemplo: ¿Cuántos triángulos se forman con 71 fósforos sise sigue con la secuencia de la figura?

A) 30 B) 34 C) 35 D) 36 E) 43

Debemos fijarnos que para formar el primer triángulo (T)se necesitan 3 fósforos, para formar 2 triángulos, 5fósforos y para tres triángulos, 7 fósforos. Se van

obteniendo números impares, comenzando desde el 3, locual se puede representar como 2T + 1, o sea F = 2T + 1.Luego con 71 fósforos tenemos 71 = 2T + 1, de dondeT=35. Alternativa correcta C.

*** Ejercicios PSU *** 1. Las siguientes figuras están formadas por triángulosequiláteros congruentes ¿Cuántos triángulos se necesitanpara construir la n-ésima figura?

A) 2n B) 3nC) n3 D) 2n2 E) n2

La alternativacorrecta es E.

2. La cantidad de cubos de acuerdo a los escalones que sequieren obtener (n), está dada por la fórmula )nn( +2

2

1.

¿Cuántos cubos se necesitarán para que la escalera tenga14 peldaños?

A) 210B) 105C) 14D) 91E) 182

Basta con reemplazar por 14 que es el número deescalones o peldaños. La alternativa correcta es B

Interés simple

C = K + Knr, donde K es el capital inicial, n los períodos, Ccapital acumulado y r la tasa de interés simple.La ganancia obtenida en un periodo determinado esG = Knr.

Interés compuesto

C = K�(1 + i)n donde K es el capital inicial, n los períodos, Ccapital acumulado e i la tasa de interés compuesto.



Danny Perich C.


*** Ejercicio PSU *** 1. Si $ 50.000 se invierten al 10% de interés compuestoanual, ¿cuál es el capital total después de dos años?

A) $ 60.000 B) $ 60.500 C) $ 70.000D) $ 90.000 E) $ 110.000

Aplicamos la fórmula que permite calcular el interéscompuesto anual, sabiendo que 10%=0,1 o sea

( )210100050 ,.C += 21100050 ,.C ⋅= 21100050 ,.C ⋅=

C= 60.500La alternativa B es la correcta.

2. Una persona deposita $1.000 y en tres años gana$157,5. Calcular el interés simple anual.

A) 5% B) 5,25% C) 5,5%D) 5,75% E) 15,75%

1.157,5 = 1.000 + 1.000�3�r. Se calcula el interés r enforma decimal y luego como porcentaje..La alternativa correcta es B

Proporcionalidad Directa: (Dividir)

kba=

Proporcionalidad Inversa: (Multiplicar)

a � b = kPara ambos casos, k recibe el nombre de constante deproporcionalidad.

*** Ejercicios PSU *** 1. y es inversamente proporcional al cuadrado de x,cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =

A)2

1B)

4

1C) 2 D) 4 E) 9

Como y es inversamente proporcional al cuadrado de x,entonces y�x2 = k reemplazando se obtiene 16�12 = k, dedonde k = 16. Entonces si x = 8, resulta y�82 = 16, o sea

64y=16 donde4

1

64

16==y . Alternativa B.

2. Dos electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando8 horas diarias. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) verdadera(s)?

I. 4 electricistas harán el trabajo en 3 días,trabajando 8 horas diarias.

II. Los electricistas y las horas son directamenteproporcionales.

III. La constante de proporcionalidad es 3.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y IIID) Sólo II y III E) I, II y III

La alternativa correcta es A.

3. Dada la siguiente tabla:

A B10 315 x20 1,5

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)?:

I. A y B son directamente proporcionales.II. El valor de x es 2.III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.


La alternativa correcta es D.

LENGUAJE ALGEBRAICO

Hay diversas palabras que tienen un significadomatemático cuando forman parte de una situaciónproblemática.Palabras como agregar, añadir, aumentar y otras,corresponde, a una adición. Mientras que diferencia,disminuir, exceso y otras nos señalan que debemos restar.Las palabras veces, factor, de, del, producto y otras; nos

conducen a una multiplicación, mientras que razón,cuociente y otras indican una división.Otras palabras que conviene dominar para resolverproblemas verbales son: doble, duplo, múltiplo de 2,número par, que pueden representarse por 2n.El cuidado principal debe estar en el orden en que se leenlas expresiones, ya que debe hacerse comenzando por loque afecta a toda la expresión.Ejemplo: 2x3: El doble del cubo de un número.

32 )x( : El cubo del doble de un número.

43

yx − : La diferencia entre el triple de un número y la

cuarta parte de otro número.

4

3 yx −: La cuarta parte de la diferencia entre el triple de

un número y otro número. También puede leerse: la cuartaparte del exceso del triple de un número sobre otronúmero cualquiera.

*** Ejercicios PSU *** 1. La expresión h3 – 3g significa

A) la diferencia de los cubos de h y gB) la diferencia de los triples de h y gC) la diferencia entre el cubo de h y el triple de gD) el cubo de la diferencia entre h y el triple de gE) el triple de la diferencia entre el cubo de h y gLa alternativa correcta es C.

2. El enunciado: “A un número d se le suma su doble, y

este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d”,se escribe

A) d + 2d ⋅ 3d2 B) d + 2d ⋅ (3d)2 C) (d + 2d)⋅(3d)2 D) (d + 2d)⋅3d2 E) (d + 2)⋅(3d)2 La alternativa correcta es C.

Cuadrado del Binomio:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Suma por Diferencia:

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2


1. ( ) ( )( ) =+−−− 32322232 www

A) 22122 −− ww B) 2212

2 +− ww

C) 5122 −− ww D) 1312

2 +− ww

E) 14122 +− ww

Resolvemos el cuadrado de binomio y la suma por sudiferencia, obteniéndose:

)w(ww 942412922 −−+− =

Se resuelve el paréntesis. ¡Cuidado con los signos!1884129

22 +−+− www =

22122 +− ww Alternativa B.

2. Dada la siguiente figura:

Se sabe que a y b son positivos y a > b. ¿Cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?



Danny Perich C.


I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al áreaachurada.

II. (a + b)(a - b) es igual a ladiferencia de las áreas delcuadrado de lado a y el de lado b.

III. a(a + b) > a2

+ b2

A) Sólo I B) Sólo I y II C) SóloI y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

FACTORIZAR

Un polinomio cuyos términos tienen un factor común.

mx - my + mz = m( x - y + z )

Ejemplos: 1) 2x – 2y + 2z = 2(x – y + z)2) 12a + 18b – 36c = 6(2a + 3b – 6c)3) ax – ay = a(x – y)

4) )a1(aaa 2353 +=+

5) )b53(ba4ba20ba12 22322 −=−

Un trinomio cuadrado perfecto.

a2 ± 2ab + b2=(a ± b)2

Ejemplos: 1) 22 )1x(1x2x +=++

2) 22 )3a(9a6a −=+−

Factorización de la diferencia de dos cuadrados

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Ejemplos: 1) )3x)(3x(9x2 −+=−

2) )6a)(6a(36a2 −+=−

Factorizar trinomio de la forma x2+mx+n.

x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ejemplos: 1) )3x)(4x(12x7x2 ++=++

2) )3x)(4x(12xx2 −+=−+

3) )4x)(3x(12x7x2 −−=+−

*** Ejercicios PSU *** 1. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son)

divisor(es) de la expresión algebraica 20622 −− xx ?

I) 2 II) (x – 5) III) (x + 2)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y IIIE) I, II y III

Generalmente los alumnos responden la alternativa A, yaque se dan cuenta que todos los términos del trinomio sonmúltiplos de 2, pero no consideran que se puede factorizary obtener que:

)x)(x()xx(xx 5221032206222 −+=−−=−− . Por lo tanto

la alternativa correcta es E.

ECUACION DE LA RECTA

Forma Principal: y = mx + n

Donde m corresponde a la pendiente de la recta y n es elcoeficiente de posición.Si m > 0 la recta se “inclina” a la derecha.Si m < 0 la recta se “inclina” hacia la izquierda.Si m = 0, la recta es paralela al eje x.Si m = ∞, la recta es paralela al eje y.El valor n corresponde al punto (0, n) que es la intersecciónde la recta con el eje y.

Ejemplo: 1) y = -2x + 3m = -2; n = 3

2)5

1x3y

+=

m=53

; n =51

Forma General: ax + by + c = 0, donde la pendiente

ba

m−

= y el coeficiente de posiciónbc

n−

=

Ejemplo: 1) 3x + 2y – 5 = 0

23

m−

= ;25

2)5(

n =−−

=

Pendiente dado dos puntos: (x1, y1) y (x2, y2)

12

12

xxyy

m−

−=

Ejemplo: ¿Qué pendiente tiene la recta que pasa por lospuntos (5, 3) y (2, 4)?

31

31

5234

m −=−

=−

−=

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

1

1

12

12

xxyy

xxyy

−

−=

−

−

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos(2, 4) y (3, 5)?

2x4y

2345

−

−=

−

−, entonces

2x4y

1−

−= , x – 2 = y – 4

La ecuación es x – y + 2 = 0

Ecuación de la recta dado punto-pendiente

y - y1 = m(x - x1)Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por(3, 5) y tiene pendiente -2.y – 5 = -2(x – 3) ; entonces y – 5 = -2x + 6La ecuación es 2x + y – 11 = 0

Rectas Paralelas

L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2; n1 ≠ n2

Rectas Coincidentes

L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1=n2

Rectas Perpendiculares

L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,L1 ⊥ L2 sí y sólo si m1� m2 = -1

*** Ejercicios PSU *** 1. La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-4) yque es paralela con la recta x+5y–3=0, es:

A) –x+y+5=0 B) x+5y+19=0 C) x+y+3=0D) –5x+y+9=0 E) x+5y+21=0

Al despejar y de la recta dada se obtiene5

3 xy

−= , o sea

la pendiente es –1/5. Entonces la recta pedida tambiénpendiente -1/5 por ser paralelas y como pasa por el punto

(1,-4) queda determinada por la fórmula punto pendiente,)x(y 1

5

14 −−=+ que al resolver resulta x+5y+19=0. La

alternativa B es correcta.

2. Determinar el valor de K para que las rectas y + 3 = Kxy 2x = -4K – y sean perpendiculares.

A) K = 3/4 B) K = 1/2 C) K = -1/2D) K = –4/3 E) K = -2



Danny Perich C.


PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

Producto y división de raícesDel mismo índice:

nn

n abba =⋅

n

n

n

b

a

b

a=

De distinto índice

mnmn baba

11

⋅=⋅

Raíz de una raíz

mnmn aa =


1. =32

2

A) 3 4 B) 3 2 C) 68 D) 6

2 E) 1

33

1

6

2

6

13

6

1

2

1

6

1

2

1

6322222

2

2

2

2

2

2=======

−−

Alternativa B.

2. Si t=−−+ 3232 , entonces el valor de 22 −t es:

A) 222 − B) 2 C) 32 D) 0 E) -2

Primero determinemos

2

t , elevando ambos lados de laecuación. Lo principal es darse cuenta que el lado izquierdoes un binomio, por lo tanto:

22

3232 t=

−−+

Se desarrolla el cuadrado del binomio:2

323232232 t=−+−⋅+⋅−+

Se reducen los términos semejantes y multiplicamos lasraíces:

23424 t=−−

4 – 2 = t2 2 = t2

Nos preguntan por 22 −t , por lo tanto la respuesta es 2 –

2 = 0.Alternativa D.

3. 3 32727

−⋅x =

A) 932727

−⋅x B) 9333−⋅x C) 3

3+x

D) 39

+x E) 33

−x

333 93 33 933333333

−−−− =⋅=⋅=⋅ xxxx La alternativa correcta es E.

4. ( ) ( ) ( ) ( )344322222222 +−++− es un número:

A) racional positivo B) racional negativoC) irracional positivo D) irracional negativoE) no real

( ) ( ) ( ) ( )3333222222222222 +−−+++− )()( =

3342222242 ))(()()( −−++−

21616281628228228 −=+−−−=−−+− )()(La alternativa correcta es D.

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Si ax2 + bx + c = 0, entonces

a2ac4bb

x2 −±−

=

*** Ejercicios PSU *** Las raíces (o soluciones) de la ecuación

x(x–1)=20 son

A) 1 y 20 B) 2 y 20 C) 4 y 5D) 4 y –5 E) –4 y 5

Se efectúa el producto y se obtiene que x2 – x = 20, osea x2 – x – 20 = 0.

Entonces2

91

2

8011 ±=

+±=x de donde x1 = 5 y x2

= -4. Alternativa E.

Suma de las soluciones o raíces de una ecuaciónde segundo grado:

a

b

xx

−

=+ 21

Producto de las soluciones o raíces de unaecuación de segundo grado:

ac

xx =⋅ 21

*** Ejercicio PSU *** Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación x2 + 5x + c =0, ¿cuál es el valor de c?

A) -24 B) -8 C) -2 D) 2 E)3

5

Al ser x = 3 una solución, este valor puede serreemplazado en la ecuación obteniéndose 32 + 5�3 + c = 0de donde c = -9 – 15 = -24. Alternativa A.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

f(x) = ax2 + bx + cSu gráfica corresponde a una PARÁBOLA.

ConcavidadEl coeficiente a indica si las ramas de la parábola se abrenhacia arriba (a>0) o hacia abajo (a<0)

VérticePara determinar el vértice es conveniente determinar

primeroab

x2

−= , posteriormente se reemplaza el valor

obtenido en la función para calcular el valor y.

Eje de simetría de la parábola

Corresponde a la rectaab

x2

−= , paralela al eje y.

Si a>0 y b>0 el eje de simetría está a la izquierda del ejex.Si a>0 y b<0 el eje de simetría está a la derecha del eje x.Si a<0 y b>0 el eje de simetría está a la derecha del eje x.Si a<0 y b<0 el eje de simetría está a la izquierda del ejex.

Intersección con los ejes

La intersección con el eje y la da el coeficiente c ycorresponde al punto (0, c).

La intersección con el eje x está determinada por el valordel discriminante b2-4ac.

Si b2-4ac>0, la parábola intersecta en dos puntos al eje x.Si b2-4ac=0, la parábola intersecta en un punto al eje x.Si b2-4ac<0, la parábola no intersecta al eje x.



Danny Perich C.



1. Considere la parábola 21

2

1)x(y −= ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La parábola se abre hacia arriba.II) Su vértice se encuentra en (1, 0).III) Su eje de simetría es x = 1.


Resolvamos:

2

1

2

112

2

11

2

1 222 +−=+−=−= xx)xx()x(y

I. Se cumple ya que el coeficiente2

1=a es mayor que 0.

II. Se cumple. Basta con reemplazar x por 1 en la ecuaciónoriginal y el resultado es 0.

III. Se cumple. El eje de simetría es 1

2

12

1

2=

⋅

−−=

−

ab

. La

alternativa es E.

2. Según la ecuación axxy +−= 22 es correcto afirmar

que:

I. Si a > 1, existen 2 intersecciones con el eje x II. Si a = 1, existe 1 intersección con el eje x III. Si a < 1, no hay intersección con el eje x

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo IIID) Sólo I y III E) Sólo II y III

La alternativa correcta es B.

3. Dada la siguiente figura:¿Cuál es la ecuación que mejorrepresenta al gráfico de la figura?

A) y=x2 B) y=x3 C) y=4x4 D) y=4x E) y=4x2 La alternativa correcta es E.

TRIGONOMETRÍA

En un triángulo rectángulo secumple que: (α ángulo agudo)

hipotenusaopuestocateto

sen =α

hipotenusaadyacentecateto

cos =α

adyacentecatetoopuestocateto

tg =α

opuestocatetoadyacentecateto

ctg =α

adyacentecatetohipotenusa

sec =α

opuestocatetohipotenusa

eccos =α

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

1.α

=αcos

sec1

2.α

=αsen

eccos1

3.α

α=α

cossentg 4.

α

α=α

sencosctg

5. 122 =α+α cossen 6. α+=α 22

1 tgsec

7. α+=α 221 ctgeccos

VALORES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASFUNDAMENTALES

0º 30º 45º 60º 90º

sen 02

1

2

2

2

3 1

cos 12

3

2

2

2

1 0

tg 03

3 1 3 ∞

*** Ejercicios PSU *** 1. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, AB=5

cm. y tg α=2

3, entonces BC =

A) 3 cm B)13

15cm.

C)13

10cm D)

2

15cm. E) 2 cm.

Como tgα =

2

3=

p

p

2

3, se plantea por

Pitágoras que 254922 =+ pp de donde

13

5=p . Luego

13

15=BC La alternativa B es correcta.

2. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm. y 12cm., entonces el coseno del ángulo menor es:

A)13

5B)

13

12C)

12

5D)

5

12E)

12

13

Como tenemos los catetos, podemos obtener la hipotenusaa través del teorema de Pitágoras.

222 125 x=+ , de donde x = 13.

El coseno del ángulo menor (opuesto al lado menor) es13

12.

Alternativa B.3. Un ratón observa a un águila en la copa de un árbol conun ángulo de elevación de 70º. Si la distancia del ratón alárbol es 12m., determinar la distancia entre el águila y elratón.

A)ºtan70

12B)

ºcos7012

C)ºsen70

12

D)12

70ºsenE)

12

70ºtan

La alternativa correcta es B.4. Dada la siguiente figuraEs verdadero que:

I.29

5=αsen

II.29

2=αcos

III.2

5=αtg

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y IID) Sólo I y III E) I, II y III

La alternativa correcta es E.

LOGARITMOS

Logaritmo de base a de un número n

naxnlog xa =⇔=

Logaritmo del producto de dos números:

log(a⋅b) = loga + logb

A

α

B

C



Danny Perich C.


Logaritmo del cociente de dos números:

blogalogba

log −=

Logaritmo de una potencia:

alognalog n ⋅=

Logaritmo de una raíz.

alogn

alogn 1=

Logaritmo de un número a, en base a.

1=aloga

Cambio a base 10:

blogxlog

xlogb =

Valores de algunos logaritmos:

log 1 = 0 log 10 = 1

log 100 = 2 log 1000 = 3

log 0,1 = -1 log 0,01 = -2

log 0,001 = -3


1. Si 21

1=

−)

xlog( , entonces x vale

A)100

99− B) –99 C)

100

99D)

100

101− E)

20

19

Si 21

1=

−)

xlog( , entonces 100

1

1log)

xlog( =

−

Entonces 1001

1=− x de donde 1=100 – 100x.

Por lo tanto 100x = 99 y x =100

99

Alternativa C.

2. ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 12?

A) log 6 � log 2 B) log 10 + log 2 C) 2log 6 D) log 2 �log 2 � log 3 E) log 6 + log 2

Debemos descomponer el 12 de manera conveniente paraobtener la alternativa correcta y en este caso es 12 = 6 � 2.

Luego log 12 = log (6 � 2) = log 6 + log 2.

Alternativa correcta E.

INECUACIONES LINEALES

Desigualdades

En los números reales se cumple que dos números x e yson x>y, x<y o x=y.

Las desigualdades corresponden a expresiones relacionadaspor los signos <, >, ≤, ≥.

Una desigualdad no cambia al sumarle o restarle unacantidad a ambos lados de ella.

Tampoco cambia al multiplicarla o dividirla por un realpositivo, pero CAMBIA al multiplicarla o dividirla por unnúmero negativo.

Ejemplo: 3 < 5 y si multiplicamos la desigualdad por -1 seobtiene que -3 > -5.

Intervalos

Conjunto de números reales los cuales pueden sercerrados, abiertos, semiabierto o infinitos.

Cerrado: incluye a los valores extremos [ ]b,a , o sea

bxa ≤≤ .

Abierto: No incluye los valores extremos ( )b,a , o sea

bxa <<

Semiabierto: No incluye uno de los extremos [ [b,a

Infinito: Uno de los extremos tiende a un valor infinito.] ]b,−∞

Inecuaciones de Primer Grado

Es una desigualdad que contiene una o más incógnitas lacual se resuelve aplicando las propiedades de lasdesigualdades.Ejemplo:

4x – 1 > 74x > 8x > 2

Solución: x pertenece al intervalo ] [∞,2

*** Ejercicio PSU ***

1. La solución de la inecuación5

2

15

8

3≥

−−

xxes el

intervalo:

A)

∞− ,

2

1B)

∞− ,

2

1C)

∞,

2

1

D)

∞,

2

1E)

−

2

1

2

1,

La alternativa correcta es A.

2. Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones esverdadera?

A) xx > B) xx<

1C) x

x>

1

D) x > 1 E) xx <

Alternativa correcta C.

Cálculo de probabilidades

PosiblesCasosFavorablesCasos

)A(P =

1=+ )A(P)A(P , siendo )A(P la probabilidad de que no

ocurra el suceso A.

*** Ejercicio PSU *** Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45,¿cuál es la probabilidad de que el suceso no ocurra?

A) 0,45 B) 0,55 C) 0,65D) -0,45 E) -0,55

0,45 + )A(P = 1, entonces )A(P = 1 – 0,45 = 0,55.Alternativa B.

PROBABILIDAD TOTAL

Probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B oambos sucesos.

)BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪

Si los eventos son excluyentes (A ∩ B = φ), la probabilidadde que se produzca A o B es:

)B(P)A(P)BA(P +=∪

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Probabilidad que se den simultáneamente dos sucesos:)A/B(P)A(P)BA(P ⋅=∩

o sea la probabilidad de A multiplicada por la probabilidadde B, una vez ocurrido A.



Danny Perich C.


Si el suceso B es independiente de la ocurrencia del sucesoA, se dice que son eventos independientes. En este casose da que:

)B(P)A(P)BA(P •=∩

*** Ejercicios PSU *** 1. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, deuna baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de queambas cartas sean reyes.

A)100

1B)

5

1C)

130

1D)

130

23E)

20

1

La probabilidad de obtener un rey en la primera sacada es4/40 y luego de extraer otro rey, sin devolución, es 3/39, ,

por lo tanto la probabilidad total es130

1

13

1

10

1

39

3

40

4=⋅=⋅ .

La alternativa C es correcta.

2. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2bolas blancas y 3 bolas negras; mientas que la segundacontiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige unaurna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidadde que la bola extraída sea blanca?

A)5

6B)

25

8C)

5

2D)

5

3E)

5

4

Para obtener la probabilidad pedida se debe efectuar la

siguiente operación5

3

5

4

2

1

5

2

2

1=⋅+⋅ , donde el 1/2

corresponde a la probabilidad de elegir una de las urnas, el2/5, de sacar una bola blanca de la primera urna y el 4/5de sacar una bola blanca de la segunda urna. Alternativacorrecta: D.

3. En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamaño. 12son rojas, 20 son cafés y 18 son amarillas. ¿Cuál es laprobabilidad de sacar una roja, una café, una amarilla ynuevamente una roja, en ese orden y sin reposición?

A)50

11

50

18

50

20

50

12+++ B)

47

11

48

18

49

20

50

12+++

C)50

11

50

18

50

20

50

12⋅⋅⋅ D)

47

12

48

18

49

20

50

12⋅⋅⋅

E)47

11

48

18

49

20

50

12⋅⋅⋅


4. Se tienen 10 fichas con los números: 44, 44, 45, 46, 46,46, 47, 48, 48, 49. ¿Cuál es la probabilidad de sacar unaficha con un número mayor que 46?

A) 0,4 B) 0,41 C) 0,42D) 0,5 E) Ninguno de los valores anteriores.

Alternativa correcta A.

5. Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cuál es laprobabilidad de que sumen 3 ó 4?

A)6

1B)

36

7C)

36

4D)

36

5E)

36

21

Alternativa correcta D.

6. Una ruleta está dividida en 8 sectores iguales,numerados del 1 al 8. ¿Cuál es la probabilidad de obtenerun número impar y mayor que 3?

A) 8

7

B) 4

1

C) 2

1

D)8

3E)

8

5

Alternativa correcta B.Estadística

Principalmente las preguntas están relacionadas con laMedia (Promedio), la Moda, la Mediana.

Si tenemos los siguientes datos: 3, 7, 6, 9, 3, 4, 7, 7, 1, 8.

La Media (Promedio) es

5510

55

10

8177439673,==

+++++++++

La Moda corresponde al valor que más se repite (conmayor frecuencia), en este caso, el 7. (Puede haber más deun valor que sea moda)Para obtener la Mediana se deben ordenar los datos enforma ascendente o descendente, o sea 1, 3, 3, 4, 6, 7, 7,7, 8, 9. La mediana, valor que divide a los datos en dos

partes iguales, está entre 6 y 7 por lo que es 6,5.

*** Ejercicios PSU *** 1. Las notas de pablo en Biología son 6,3; 3,8; 6,7 y 6,7.¿Qué nota debe obtener Pablo en su quinta prueba paraque su promedio final sea un 6,0?

A) 7,0 B) 6,5 C) 6,3 D) 6,0 E) 5,9

En total son 5 las notas que se deben promediar, 4 de ellasconocidas, o sea

065

76768336,

x,,,,=

++++, de donde

23,5 + x = 30

x = 6,5.La alternativa correcta es B.

2. Dados los siguientes datos: a – 3d, a – 2d, a – d, a, a +d, a + 2d, a + 3d con d>0. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es a + 3d.II) La media aritmética es a.III) La mediana es a.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo IIID) Sólo II y III E) I, II y III

Son verdaderas II y III. En la II se suman todos los datosse divide por 7 y así se obtiene que la media es a. La

mediana corresponde al valor a (los datos ya estánordenados)

3. Se compran 5 pantalones a $5.000, $8.000, $10.000,$10.000 y $15.000. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La moda es $10.000.II. La mediana es $10.000III. El promedio es $9.600.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y IID) Sólo I y III E) I, II y III


GEOMETRÍA

Triángulos congruentes: Un ∆ABC es congruente conotro ∆DEF si sus lados respectivos (homólogos) soncongruentes y sus ángulos respectivos (homólogos)también los son.

En la figura vemos que AB≅

DE; BC≅

EF; AC≅

DF; y∠

CAB≅ ∠FDE, ∠CBA ≅ ∠FED, ∠BCA ≅ ∠DFE, entonces el ∆ABC ≅ ∆DEF.

Para que dos triángulos sean congruentes, es suficienteque sólo algunos lados y/o ángulos sean congruentes. Lascondiciones requeridas para esto se conocen como criteriosde congruencia y se expresan en los siguientes:



Danny Perich C.


Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ladoscongruentes y el ángulo comprendido por ellos tambiéncongruente.

∆ABC ≅ ∆DEF porque, AB ≅ DE; ∠ABC ≅ ∠DEF y BC ≅ EF.

Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ánguloscongruentes y el lado común a ellos, también congruente.

∆GHI ≅ ∆JKL porque, ∠GHI ≅ ∠JKL; HI ≅ KL y ∠HIG ≅ ∠KLJ

Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres ladosrespectivamente congruentes.

∆MNO ≅ ∆PQR porque, MN ≅ PQ; NO ≅ QR y OM ≅ RP

Criterio LLA (Lado-Lado-Ángulo)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ladoscongruentes y el ángulo opuesto al lado de mayor medida,también congruente.

∆ACE ≅ ∆BDF porque, AC ≅ BD; CE ≅ DF y ∠CEA ≅ ∠DFB,siendo AC y BD los lados de mayor medida.


1. Los triángulos ABC y DEF de la figura son congruentes,entonces la medida de EF es:

A) 9 B) 15 C) 17 D) 40 E) Falta informaciónAlternativa correcta C.

2. En la figura, el ∆ABC ≅ ∆DEF, entonces se verifica que:

A) AC ≅ DF B) BC ≅ DE C) AB ≅ FED) AC ≅ FE E) AB ≅ FDAlternativa correcta A.

Transformaciones Isométricas

Traslación: Los pares indican si la traslación es hacia laizquierda o hacia la derecha (abscisa del par) y si latraslación es hacia arriba o hacia abajo (ordenada del par).

Rotaciones de un punto (x, y)

Al rotar: En 90º se transforma en (-y, x)

En 180º se transforma en (-x, -y)En 270º se transforma en (y, -x)

En 360º vuelve a ser (x, y)

A la derecha (sentido horario), rotación negativa.

A la izquierda (sentido antihorario), rotación positiva.

Simetrías (o Reflexiones)

Axial: Simetría con respecto a un eje. La reflexión de unpunto A en torno a una recta L, es un punto A’ tal que

L'AA ⊥ y 'PAAP = .

Si reflejamos el punto A(x, y) en torno al eje x, obtenemosel punto A’(x, -y). Si reflejamos A(x, y) en torno al eje y,

obtenemos el punto A’(-x, y).Central: Simetría con respecto a un punto. La reflexión deun punto A en torno a un punto P, es un punto A’ tal que A,

P y A’ son colineales y 'PAAP = . Si reflejamos el puntoA(x, y) en torno al origen (0,0), se obtiene el punto A’(-x, -y)

*** Ejercicios PSU *** 1. Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5), B(2,1) yC(3,1), según el vector de traslación (4,-1), el vérticehomólogo de B es:

A) (3,4) B) (2,1) C) (6,0) D) (4,-1) E) (7,0)

Como el vector traslación es (4,-1) debemos trasladar los

puntos dados 4 unidades a la derecha y 1 hacia abajo. Porconsiguiente el punto B quedará ubicado en (6,0).La alternativa correcta es C.

2. En la figura, las coordenadas del punto A son (-4, -1),¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)?

I) El punto simétrico de A con respecto al eje y es elpunto (4, -1)

II) Al rotar el punto A en 90º en sentido horario, entorno al origen seobtiene el punto (-1, 4).

III) Al trasladar el punto Ados unidades a laderecha y 2 unidadeshacia arriba, se obtieneel punto (-2, 1)

A) Sólo I B) Sólo IIC) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

El I es verdadero, ya que para que sea simétrico conrespecto al eje y, debe estar a igual distancia de éste, peroen sentido opuesto. El II es verdadero ya que al rotar seaplica (-y, x) y el III verdadero y sólo hay que contar losespacio para darse cuenta de ello.


3. ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos regularespermite(n) teselar (embaldosar) el Plano?

I) PentágonosII) Triángulos EquiláterosIII) Hexágonos

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y IIID) Sólo II y III E) I, II y III

Para teselar el plano al unir las figuras y que no quedenhuecos entre ellas, debe cumplirse que la suma de losángulos en la unión de los vértices debe ser 360º.

A

C

1

B

40

80

15

F

D

E

6080

C

A B

D

F E



Danny Perich C.


Por lo tanto, cumplen con esa condición los triángulosequiláteros (60º cada ángulo interior) y los hexágonos(120º cada ángulo interior). Los ángulos interiores delpentágono miden 108º, por lo que al unir tres de ellos,completan en los vértices 324º y no 360º.La alternativa correcta es D.

4. El triángulo ABC tiene coordenadas A(2, 3), B(-3,8) yC(3, 7). Si se aplica una traslación según el vector (5, -7),

las nuevas coordenadas del triángulo serán:I. A’(7,-4)II. B’(-8, 1)III. C’(8, 0)

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y IIID) Sólo II y III E) I, II y IIILa alternativa correcta es C.

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son igualesuno a uno, respectivamente; los lados opuestos a dichosángulos son proporcionales

Para determinar la semejanza entre dos triángulos existentres criterios que son los siguientes:

Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA) Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulosrespectivamente iguales.

Si se dice que ∠A =

∠D y que el ∠C = ∠F, entonces el ∆ABC ≅ ∆DEF

Segundo Criterio: Lado-Ángulo-Lado (LAL)Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados sonproporcionales respectivamente y congruente el ángulo queforman.

Si se dice que

EFBC

DEAB = y que ∠B = ∠E, entonces el ∆ABC ≅ ∆DEF

Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL) Dos triángulos son semejantes si sus tres lados sonrespectivamente proporcionales.

Si se dice que

FDCA

EFBC

DEAB

== entonces el ∆ABC ≅ ∆DEF


Los

triángulos ABC y DEF son semejantes. AB = 6 cm., BC = 12cm., DE = 10 cm. y DF = 7,5 cm. Determinar AC + EF.

A) 7,2 cm. B) 12,5 cm. C) 19,5 cm.D) 19,7 cm. E) 24,5 cm.


Teorema de Thales

Algunas proporciones:

BDPB

ACPA

= ;PDPB

PCPA

= ;CDPC

ABPA

= (Esta es la principal)

*** Ejercicios PSU *** 1. En el ∆ ABC de la figura 13, se sabe que AB = 48 cm, SP= 12 cm, CB//QR//SP y AP : PR : RB = 1 : 2 : 3, entoncesel valor de CB es:

A) 96 cmB) 72 cmC) 48 cmD) 36 cmE) 24 cm

Como AP:PR:RB =1:2:3 y AB=48cm. Entonces AP+2AP+3AP=48; AP=8.

LuegoBCAB

PSAP

= reemplazando por los valores

correspondientes y despejando CB, se obtiene que sumedida es 72 cm.Alternativa correcta B.

2. La figura muestra un rectángulo ABEF con BC=10, CF=5y CD=4. ¿Cuánto mide el perímetro del trapecio ABCD?

A) 16B) 22C) 28D) 32E) 36

Alternativa correcta D.

Teoremas de la circunferencia

1. El ángulo del centro mideel doble que todosaquellos ángulos inscritosque subtienden el mismoarco.

<AOC = 2<ABC

2. Todos los ángulos inscritosque subtienden el mismo arco, miden lo mismo.

3. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia esrecto.

4. Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tienemedida igual a la mitad de la medida del ángulo delcentro, que subtiende el mismo arco.

5. La intersección de un radio y la tangente a lacircunferencia forman un ángulo recto.

5. Si desde un punto se trazan dos tangentes a unacircunferencia, los trazos formados son congruentes.

D

FC

B EA



Danny Perich C.


6. La medida de un ángulo interior es igual a la semisumade las medidas de los arcoscorrespondientes.

2CDAB

AEB+

=<

7. La medida de un ángulo exterior es igual a lasemidiferencia de las medidas de los arcoscorrespondientes.

2

BECDCAD

−=<

Proporcionalidad en la circunferencia

Dos cuerdas

PA • PC = PB • PD

Dos secantes

PB • PA = PD • PC

Una secante y una tangente

PC2 = PB • PA


1. En la figura siguiente, AC y BC son tangentes a lacircunferencia de centro O. Si <ACB = 70°, entonces el<ABO =

A) 20° B) 35° C) 45° D) 55° E) 70°

El ángulo ACB = 70º, ademáslos ángulos CBO y CAO, sonrectos, obteniéndose para elángulo AOB = 110º. ComoAO = OB, por ser radios,entonces el ángulo ABO =35º. La alternativa B es lacorrecta.

2. Desde un punto distante 5 cm. del centro de una

circunferencia se ha trazado a ésta una tangente de 3 cmde longitud. Determinar la medida del diámetro de lacircunferencia.

A) 2,5cm B) 4cm C) 5cmD) 8cm E) 10cm

Se aplica el teorema de la tangente y la secante o elteorema de Pitágoras, obteniéndose que el radio de lacircunferencia es 4 cm. Luego el diámetro mide 8 cm.Alternativa D: correcta.

3. En la circunferencia de la figura AB // CD. ¿Cuál(es) delas siguiente afirmaciones es(son) verdadera(s)

I. β=α

II. γ =β+α

III. º180=γ +β+α

A) Sólo I B) Sólo II C) SóloIIID) Sólo I y II E) I, II y IIIAlternativa correcta D.

4. Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A. Suscatetos miden 1. AD, DE y DF son radios de lasemicircunferencia y DF es perpendicular a BC . ¿Cuántovale el radio de la semicircunferencia inscrita?

A) 12 + B)2

2

C) 12 − D) 13 −

E) 22 −

Alternativa correcta C.

TEOREMAS DE EUCLIDES

BDADCD •=2

ADABAC •=2

BDABBC •=2

AB

BCAC

CD

⋅

= o sea hipotenusa

catetocateto

altura

⋅

=

*** Ejercicios PSU *** 1. En la figura 9, si AD = 1 cm y AB = 6 cm, entonces¿cuánto mide CD?

A) 5 cm

B) 6 cm

C) 26 cm

D) 6 cmE) 25 cm

Alternativa correcta A.

2. En la circunferencia de centro O, AB es diámetro, CD ⊥ BD; CD = 4; BD = 3. El radio es:

A) 5 B)3

25

C)3

5D)

9

25

E)6

25


Perímetros, Áreas y Volumenes

Triángulo Cualquiera

p = a + b + c

2h�c

2altura�base

á ==

C

D BA



Danny Perich C.


Triángulo Rectángulo

p = a + b + c

22

b�acateto�catetoá ==

Triángulo Equilátero

p = 3a2

3ah =

4

32a

á =

Cuadrado

p = 4aá = a2

2d

á2

=

Rectángulo

p = 2a + 2b

á = lado � lado = a�b

Rombo

p = 4a

á = base � altura = b � h

2f �e

2diagonal�diagonal

á ==

Romboide

p = 2a + 2b

á = a � h

Trapecio

p = a + b + c + d

2h)�ca(

2altura)�2base1base(

á+

=+

=

á = Mediana � altura = M � h

Circunferencia y Círculo

p = 2π�rá = π�r2

Sector Circular

360

222

απ+=+=

rrABrp

360

2 απ=

�rá

Cubo o Hexaedro: Ortoedro donde las tres dimensionesson iguales.

26aA = 3

aV =

Paralelepípedo u ortoedro: Prisma cuyas bases son dosrectángulos.

A = 2(ab+ac+bc)V = abc

Cilindro: Es el Cuerpo geométrico engendrado por larevolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados

)(2 r H r A += π H r V ⋅= 2

π

Pirámide: Cuerpo geométrico cuyabase es un polígono cualquiera y suscaras laterales triángulos

lateralbase AAA +=

H BV ⋅=3

1

Cono: Es el Cuerpo geométrico engendrado por larevolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno

lateralbaseAAA +=

H r V ⋅= 2

3

1π

Esfera: Cuerpo geométrico engendrado por la revolucióncompleta de un semicírculo alrededor de su diámetro.

24 RA π =

3

3

4RV π =


1. Unas pelotas se venden en latas de forma cilíndrica quecontienen 3 pelotas cada una. Si el diámetro de la lata esde 6 cm. Calcular el volumen, en cm3, que queda libre en elinterior de una lata.

a) 162π b) 126π c) 108π d) 54π e) Ninguno de los valores anteriores

El volumen del cilindro del enunciado queda determinado

por π=π 16218·3·2 y el volumen de cada esfera por

π=π 3633

4 3� y como son 3 esferas, π=π⋅ 108363 . Por

lo tanto, el volumen libre al interior de la lata es 162π -108π = 54π cm3. La alternativa D es la correcta.

2. Se tiene un prisma cuya base es un hexágono regular de

lado 2 . La altura del prisma es 3 . ¿Cuál es el volumendel prisma?

A) 9 B) 18 C) 29

D) 39 E) 69

Como la base es un hexágono regular,esta formado por 6 triángulosequiláteros. Por lo tanto su área es

33

4

312

4

326

4

36

22

==⋅

⋅=⋅=a

A

Volumen del prisma A�h = 9333 =⋅ La alternativa correcta es A.

Geometría del espacio

Aquí lo fundamental es ubicar puntos en el sistema decoordenadas tridimensional. Es conveniente practicar paratener claridad en la posición de cada punto, utilizando paraello paralelepípedos.



Danny Perich C.


*** Ejercicio PSU *** 1. El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices ubicadosen las coordenadas A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0,0, 1). Su área y su perímetro miden, respectivamente:

A) 22

1y 23

B) 3

2

1y 2

C) 3 y 23

D) 32

1y 23

E) 22

1y 2

Los puntos A, B y C están a una distancia 1 del origen. Por

Pitágoras se obtiene que AB = BC = AC = 2 , por lo tanto

el perímetro del triángulo es 23 . Para determinar el áreade este triángulo, que es equilátero, lo hacemos aplicando

la fórmula4

32a

A = donde el lado a = 2 . Por lo tanto,

23

432

2

== �A .


2. Un plano queda determinado mediante:

I. Tres puntos cualesquieraII. Una recta y un punto no contenido en ella.III. Dos rectas paralelas no coincidentes.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II yIII E) I, II y III


3. Un cubo tiene lado 2, como el de la figura. ¿Cuáles son

las coordenadas del centro de gravedad del cubo?

A) (0, 1, 0)B) (2, 2, 2)C) (1, 0, 1)D) (0, 0, 0)E) (1, 1, 1)


Resumen DANY PERICH+

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