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UNIVERSIDAD DE PANAM CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE VERAGUAS CONGRESO CIENTFICO SEMINARIO TEORA ELEMENTAL DE NMEROS A TRAVS DE MATHEMATICA FACILITADORES PROFESOR JORGE E. HERNNDEZ, Ph.D. PROFESOR JAIME GUTIRREZ , Ph.D. Del 1 de octubre al 5 de octubre 2012
UNIVERSIDAD DE PANAMFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTASDEPARTAMENTO DE MATEMATICA
COLOQUIOS MATEMTICOS
OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT.REPRESENTACION MATRICIAL
EXPOSITORESPROFESOR JORGE E. HERNNDEZ, Ph.D.
ABRIL, 2013
RESUMENEn el presente trabajo presentamos los proyectores (ortogonales) como una aplicacin del problema de la mejor aproximacin y estudiamos sus propiedades fundamentales. Tambin presentamos un teorema que caracteriza los proyectores. Posteriormente utilizamos las propiedades de los proyectores para descomponer un espacio de Hilbert como suma directa de un subespacio cerrado y su complemento ortogonal.Basados en la descomposicin representamos a los operadores lineales acotados sobre H mediante una matriz y utilizamos esta representacin para estudiar, desde un ngulo diferente, los operadores lineales positivos.
Dado un espacio con producto interno X, un subconjunto no vacio K de X y . Existir un tal que
?
A los elementos de este conjunto los llamaremos una mejor aproximacin a x por elementos de K y a la funcin
la llamaremos la proyeccin (mtrica) sobre K.
Si para todo , entonces diremos que K es un conjunto proximal.Si es un conjunto unitario para todo , entonces diremos que K es un conjunto de Chebyshev. En este caso se puede considerar a como una funcin univaluada
donde es el nico elemento del conjunto
Preguntas:
Existencia: Cules conjuntos son proximales?
Unicidad: Cules conjuntos son Chebyshev?
Caracterizacin de la mejor aproximacin: Cmo se reconocen?
Error de la mejor aproximacin: Cmo se calcula el error de la aproximacin d(x, K).
Calcular la mejor aproximacin.
Continuidad de la mejor aproximacin.Teorema (Existencia y Unicidad): Sean X un espacio con producto interno y K un subconjunto no vaco convexo y completo X. Entonces, para cada existe un nico tal que
es decir K es un conjunto de Chebyshev.
Teorema (Caracterizacin): Sean X un espacio con producto interno, K un subespacio completo de X y Entonces
es decir,, para todo
Corolario: Sean H un espacio de Hilbert y Y un subespacio cerrado de H. Entonces Y es un conjunto de Chebyshev y
Del corolario anterior se tiene que si Y es un subespacio cerrado de H, entonces para todo se tiene que x = y + zdonde . Luego como , se tiene que
y si tal que
entonces . Adems
Ejemplo: Sea Y un subespacio de dimensin finita n del espacio de Hilbert H. Por el proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt podemos encontrar una base ortonormal de Y. Luego para cada se tiene que
Como para todo i = 1, . . . , n.
de donde
Por consiguiente,
es lineal.
Es un operador lineal acotado y
para todo ; o sea que
o sea que es idempotente.
o sea que
es un operador auto-adjunto .
Definicin: Sean H un espacio de Hilbert y un operador lineal acotado. P es una proyeccin (o una proyeccin ortogonal) si P es autoadjunto e idempotente; o sea que
Observaciones: 1. Si Y es un subespacio cerrado de H, entonces son operadores proyecciones.2. Si P es una proyeccin sobre H, entonces Ran(P) es un subespacio cerrado de H.
Teorema: Sean H un espacio de Hilbert y una proyeccin, entonces
Demostracin: Ker(P) es un subespacio cerrado de H.
Como Ran(P) es cerrado,
As pues
Teorema: Sea una proyeccin. Entonces donde Y = Ran(P).Demostracin:
Sea entonces x = y + z con De donde
P(x) = P(y) + P(z) = P(y) = y.As pues
Definicin: Sean H un espacio de Hilbert y un operador lineal acotado auto-adjunto T es un operador positivo si
para todo
En este caso escribimos
En base a la definicin anterior podemos definir una relacin de orden parcial en el conjunto de los operadores lineales acotados y auto-adjuntos definidos en un espacio de Hilbert H como sigue
Se prueba sin mayor dificultad que si H es un espacio de Hilbert complejo, entonces es reflexiva, antisimtrica y transitiva.
Teorema: Sea H un espacio de Hilbert y Y un subespacio cerrado de H. Entonces es un operador positivo.
para todo
Representacin Matricial de Operadores Lineales Acotados en Espacios de Hilbert.Denotemos por el conjunto de los operadores lineales acotados positivos sobre el espacio de Hilbert H. Sea Y un subespacio cerrado de H. Entonces
Denotemos por la proyeccin sobre Y y sea T un operador lineal acotado sobre H. Entonces
PTP + PT(I P) + (I P) TP + (I P) T (I P)
= PT + PT PTP+TP PTP + T TP PT + PTP
= T
o sea que
T= PTP + PT(I P) + (I P) TP + (I P) T (I P)
Denotemos
Sea
entonces
Por lo tanto,
As podemos hacer la identificacin
Si entonces
Por lo tanto podemos escribir
donde
Note adems que
para todo .
para todo .
Por consiguiente
Si entonces y
por lo tanto
donde
Si entonces
donde
Sea ahora un operador idempotente tal que T(H) = Y. Entonces T(y) = y para todo Por lo tanto,
As pues
donde
entonces
Si
y a, d son operadores invertibles, entonces
Por lo tanto, A es un operador invertible y
Si
y a, d son operadores invertibles, entonces
Por lo tanto A es un operador invertible y
En general, si
se prueba que si, los correspondientes operadores son invertibles, entonces
En efecto,
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Sea un operador lineal positivo en un espacio de Hilbert complejo H. Entonces un operador auto-adjunto es llamado raz cuadrada de T si
Si adems entonces A es llamado la raz cuadrada positiva de T y lo denotamos por
Ejemplo:
T es lineal
T es un OLA,
Sea
Luego Y es un subespacio cerrado de y
Note que
Como , se tiene que
Si
entonces
As pues
Teorema: Sea H un espacio de Hilbert complejo y un operador lineal acotado positivo. Entonces T posee una nica raz cuadrada positiva A. Adems si es tal que LT = TL , entoncesLA = AL.
Propiedades: Sea H un espacio de Hilbert complejo y un operador positivo. Entonces
1.
2.
3.
Teorema: Sea H un espacio de Hilbert complejo y Entonces
i.
ii.
iii. R(T) es cerrado s y slo s
Teorema (Teorema de Douglas): Sea H un espacio de Hilbert complejo y sean Los siguientes enunciados son equivalentesa. Existe un tal que AD = Bb. c. Existe un nmero real positivo tal que
Si una de estas condiciones es satisfecha, entonces existe un nico operador tal que AX = B; N(X) = N(B) y
Ms an
X es llamado la solucin reducida de la ecuacin AX = B.
Teorema: Sean H un espacio de Hilbert complejo y con representacin matricial
entonces
i.
Ii.
Sean H un espacio de Hilbert complejo y . Definamos la funcin
Propiedades:
es una forma sesquilineal acotada y no negativa.
no es un producto interno sobre H.
Como A es inyectivo es inyectivo.
Si A es inyectivo, entonces es un producto interno sobre H.
Teorema: Sea invertible. Entonces es un producto interno equivalente a
de donde
Como A es invertible,
Definicin: Sean y , . El A-ortogonal de S se denota por y se define por
Propiedades:
1.
2. Si Y es un subespacio cerrado de H, entonces
Definicin: Sean y . Un operador es un A-adjunto de T si
para todo
Propiedades: Sean y 1. W es un A-adjunto de T
2. Si A es invertible, entonces todo operador posee un A-adjunto
Definicin: Sean y . T es A-autoadjunto si
Definicin: Sean y Z un subespacio cerrado de H. El par (A, Z) es compatible si , donde
Problema: Sean M, N subespacios cerrados de H.
1.
2.
3. Sea
BIBLIOGRAFA
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[2]. Bhatia, R.: Matrix Analysis, Berlin-New York, Springer 1997.
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