Respuesta dinámica de depósitos de suelos considerando ...
Transcript of Respuesta dinámica de depósitos de suelos considerando ...
RESPUESTA DINÁMICA DE DEPÓSITOS DE SUELOS CONSIDERANDO
PROPAGACIÓN VERTICAL DE ONDAS SH Y VARIACIÓN LINEAL DE LA
VELOCIDAD DE ONDA DE CORTE
DORA LUCÍA CARVAJAL GUTIÉRREZ
UNIVERSIDAD EAFIT
ESCUELA DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL
MEDELLÍN
2017
RESPUESTA DINÁMICA DE DEPÓSITOS DE SUELOS CONSIDERANDO
PROPAGACIÓN VERTICAL DE ONDAS SH Y VARIACIÓN LINEAL DE LA
VELOCIDAD DE ONDA DE CORTE
DORA LUCÍA CARVAJAL GUTIÉRREZ
Proyecto de grado para optar por el título de Magíster en Ingeniería
ASESOR:
JUAN DIEGO JARAMILLO FERNÁNDEZ, PhD
UNIVERSIDAD EAFIT
ESCUELA DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL
MEDELLÍN
2017
AGRADECIMIENTOS
A Dios por todas las oportunidades de crecimiento personal y profesional que me brinda
cada día.
A Larry Gutiérrez Monsalve, mi esposo, por el apoyo incondicional que siempre me ha
brindado, sobre todo en los momentos difíciles.
Al profesor Juan Diego Jaramillo Fernández por compartir conmigo sus conocimientos,
su experiencia y su inspirador amor por la ingeniería y la investigación.
4
TABLA DE CONTENIDO
RESUMEN .................................................................................................................... 12
INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 13
NOTACIÓN Y DEFINICIONES ..................................................................................... 16
1. OBJETIVOS............................................................................................................ 18
1.1. Objetivo general ............................................................................................... 18
1.2. Objetivos específicos ....................................................................................... 18
2. ASPECTOS TEÓRICOS DE LA RESPUESTA DINÁMICA UNIDIMENSIONAL DE
DEPÓSITOS DE SUELOS CON VELOCIDAD CONSTANTE ...................................... 20
2.1. Desplazamientos para el modelo de base sobre roca rígida ........................... 22
2.2. Función de transferencia para el modelo de base sobre roca rígida ................ 23
2.3. Desplazamientos para el modelo de base sobre roca elástica ........................ 23
2.4. Función de transferencia para el modelo de base sobre roca elástica ............ 24
2.5. Efectos de considerar el modelo de roca rígida y el modelo de roca elástica .. 25
3. RESPUESTA DINÁMICA UNIDIMENSIONAL DE DEPÓSITOS DE SUELOS CON
RIGIDEZ VARIANDO CONTINUAMENTE CON LA PROFUNDIDAD .......................... 27
3.1. Aspectos Teóricos ............................................................................................ 27
3.2. Casos de estudio a través de la historia .......................................................... 29
4. RESPUESTA DINÁMICA UNIDIMENSIONAL DE DEPÓSITOS DE SUELOS CON
VELOCIDAD VARIANDO LINEALMENTE CON LA PROFUNDIDAD - CASO DE
ESTUDIO ...................................................................................................................... 33
5. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE PROPAGACIÓN UNIDIMENSIONAL DE ONDAS
CONSIDERANDO VARIACIÓN LINEAL DE LA VELOCIDAD DE ONDA DE CORTE . 36
5.1. Deducción analítica de la ecuación de desplazamientos ................................. 36
5.2. Deducción de la amplitud de las ondas de corte en superficie ........................ 39
5
5.3. Deducción de la amplitud de las ondas entre estratos de suelos (𝑪𝟏𝒎, 𝑪𝟐𝒎) ... 40
5.4. Deducción de la amplitud de las ondas en la roca (𝑪𝟏𝒓, 𝑪𝟐𝒓) ........................... 42
6. VALIDACIÓN DE LAS ECUACIONES DEDUCIDAS PARA EL CASO DE
VELOCIDAD VARIANDO LINEALMENTE CON LA PROFUNDIDAD ........................... 43
6.1. Validación No.1: Un solo estrato de suelo ....................................................... 43
6.2. Validación No. 2: Caso suelo estratificado ....................................................... 44
7. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA .......................................................................... 47
7.1. Función de transferencia para el caso de roca rígida ...................................... 47
7.2. Función de transferencia para el caso de roca elástica ................................... 48
7.3. Comparación de las funciones de transferencia para el caso de roca rígida y el
caso de roca elástica ................................................................................................. 52
8. FORMAS MODALES .............................................................................................. 55
9. COMPARACIÓN DE LA RESPUESTA DINÁMICA OBTENIDA CON EL CASO DE
VELOCIDAD DE ONDA DE CORTE VARIANDO LINEALMENTE Y EL CASO DE
VELOCIDAD DE ONDA DE CORTE CONSTANTE ...................................................... 58
10. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN APROXIMADA PARA EL PERIODO
FUNDAMENTAL ........................................................................................................... 72
10.1. Caso base sobre roca rígida ......................................................................... 72
10.2. Caso base sobre roca elástica ...................................................................... 83
10.3. Comparación de las ecuaciones de periodo fundamental aproximado
obtenidas para el caso de roca rígida y el caso de roca elástica ............................... 90
11. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN APROXIMADA PARA LA AMPLITUD MÁXIMA
93
11.1. Amplitud máxima para el caso de roca rígida ............................................... 93
11.2. Amplitud máxima para el caso de roca elástica ............................................ 96
11.3. Comparación de las ecuaciones de amplitud máxima aproximada obtenidas
para el caso de roca rígida y el caso de roca elástica ............................................... 99
6
12. CONCLUSIONES .............................................................................................. 100
13. REFERENCIAS ................................................................................................. 103
7
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Convenciones para el desplazamiento y la profundidad, para el depósito de
suelo y la roca ............................................................................................................... 20
Figura 2. Esquema depósito de suelo de un solo estrato.............................................. 25
Figura 3. Comparación funciones de transferencia para los modelos de roca rígida y roca
elástica – Caso velocidad de onda de corte constante ................................................. 26
Figura 4. Modelo depósito de suelo estratificado .......................................................... 27
Figura 5. Algunos posibles modelos de depósitos de suelos con variación continua de la
velocidad de onda de corte en profundidad .................................................................. 29
Figura 6. Representación gráfica del caso de estudio................................................... 34
Figura 7. Esquema suelo estratificado con variación lineal de la velocidad en cada estrato
de suelo ......................................................................................................................... 40
Figura 8. Funciones de transferencia para depósito de suelo con velocidad constante y
depósito con velocidad variando linealmente y tendiendo a cero el parámetro 𝑎 – Caso
un solo estrato de suelo ................................................................................................ 44
Figura 9. Esquema suelo estratificado para el análisis ................................................. 45
Figura 10. Funciones de transferencia para depósito de suelo con velocidad constante y
depósito con velocidad variando linealmente en cada estrato de suelo y tendiendo a cero
el parámetro 𝑎 – Caso suelo estratificado ..................................................................... 46
Figura 11. Comparación de la solución analítica propuesta para el caso de roca rígida
con la solución propuesta para este mismo caso por Gazetas (1982). 𝑣0 =
100 𝑚/𝑠, 𝑣0/𝑣𝐻 = 0,50, 𝐻 = 30 𝑚 𝑦 𝜉𝑆 = 5% ................................................................ 48
Figura 12. Funciones de Transferencia para diferentes relaciones 𝑣0/𝑣𝐻 para el modelo
de base sobre roca elástica 𝑣0 = 100 𝑚/𝑠, 𝑣𝑠𝑟 = 𝑣𝐻 , 𝐻 = 30 𝑚 𝜉𝑆 = 𝜉𝑟 = 0%, 𝜌𝑠 = 𝜌𝑟 =
2000 𝑘𝑔/𝑚3 ................................................................................................................... 51
Figura 13. Comparación de la función de transferencia para el caso de roca rígida y el
caso de roca elástica. 𝑣0/𝑣𝐻 = 0,10, 𝑣𝑠𝑟 = 𝑣𝐻 = 1000 𝑚/𝑠, 𝐻 = 30 𝑚, 𝜌𝑠 = 𝜌𝑟 =
1800 𝑘𝑔/𝑚3, 𝜉𝑆 = 5% 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑟í𝑔𝑖𝑑𝑎 𝑦 𝜉𝑆 = 𝜉𝑟 =
0% 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 .................................................................................. 53
8
Figura 14. Comparación de la función de transferencia para el caso de roca rígida y el
caso de roca elástica. 𝑣0/𝑣𝐻 = 0,30, 𝑣𝑠𝑟 = 𝑣𝐻 = 333,33 𝑚/𝑠, 𝐻 = 30 𝑚, 𝜌𝑠 = 𝜌𝑟 =
1800 𝑘𝑔/𝑚3, 𝜉𝑆 = 5% 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑟í𝑔𝑖𝑑𝑎 𝑦 𝜉𝑠 = 𝜉𝑟 =
0% 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 .................................................................................. 53
Figura 15. Comparación de la función de transferencia para el caso de roca rígida y el
caso de roca elástica. 𝑣0/𝑣𝐻 = 0,50, 𝑣𝑠𝑟 = 𝑣𝐻 = 200 𝑚/𝑠, 𝐻 = 30 𝑚, 𝜌𝑠 = 𝜌𝑟 =
1800 𝑘𝑔/𝑚3, 𝜉𝑆 = 5% 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑟í𝑔𝑖𝑑𝑎 𝑦 𝜉𝑠 = 𝜉𝑟 =
0% 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 .................................................................................. 54
Figura 16. Comparación de la función de transferencia para el caso de roca rígida y el
caso de roca elástica. 𝑣0/𝑣𝐻 = 0,90, 𝑣𝑠𝑟 = 𝑣𝐻 = 111,11 𝑚/𝑠, 𝐻 = 30 𝑚, 𝜌𝑠 = 𝜌𝑟 =
1800 𝑘𝑔/𝑚3, 𝜉𝑆 = 5% 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑟í𝑔𝑖𝑑𝑎 𝑦 𝜉𝑠 = 𝜉𝑟 =
0% 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 .................................................................................. 54
Figura 17. Forma modal normalizada por el desplazamiento en superficie – Modo 1 .. 56
Figura 18. Forma modal normalizada por el desplazamiento en superficie – Modo 2 .. 57
Figura 19. Forma modal normalizada por el desplazamiento en superficie – Modo 3 .. 57
Figura 20. Esquema depósitos de suelos a evaluar ...................................................... 60
Figura 21. Funciones de transferencia para el depósito de suelo No.1 ........................ 61
Figura 22. Funciones de transferencia para el depósito de suelo No.2 ........................ 61
Figura 23. Funciones de transferencia para el depósito de suelo No.3 ........................ 62
Figura 24. Funciones de transferencia para el depósito de suelo No.4 ........................ 62
Figura 25. Variación de la frecuencia fundamental del caso homogéneo con respecto al
caso no homogéneo para diferentes relaciones 𝑣0/𝑣𝐻 ................................................. 69
Figura 26. Variación de la amplitud máxima del caso homogéneo con respecto al caso
no homogéneo para diferentes relaciones 𝑣0/𝑣𝐻 .......................................................... 71
Figura 27. Variación del periodo fundamental para el caso de roca rígida considerando
𝑣0 = 100 𝑚/𝑠, 𝜉𝑆 = 5% ................................................................................................. 74
Figura 28. Variación del periodo fundamental para 𝐻 = 30 𝑚 ...................................... 75
Figura 29. Variación del periodo fundamental para 𝐻 = 15 𝑚 ....................................... 76
Figura 30. Variación del periodo fundamental para 𝐻 = 1 𝑚........................................ 76
Figura 31. Variación de la pendiente 𝑚1 con el espesor del depósito (𝐻) – Caso roca
rígida ............................................................................................................................. 77
9
Figura 32. Variación de la pendiente 𝑚2 con el espesor del depósito (𝐻) – Caso roca
rígida ............................................................................................................................. 78
Figura 33. Variación de la pendiente 𝑚3 con el espesor del depósito (𝐻) – Caso roca
rígida ............................................................................................................................. 78
Figura 34. Variación de la pendiente 𝑑 con el espesor del depósito (𝐻) – Caso roca
rígida ............................................................................................................................. 79
Figura 35. % Error Periodo obtenido con la Ecuación 𝑇𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 𝜉=5% con respecto al
Periodo Real (𝑇) considerando 𝑣0 = 100 𝑚/𝑠 𝑦 𝜉𝑆 = 5% .............................................. 80
Figura 36. Error (%) obtenido con la Ecuación 𝑇𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 con respecto al Periodo Real
(𝑇) ................................................................................................................................. 82
Figura 37. Variación del periodo fundamental para el caso de roca elástica considerando
𝑣0 = 100 𝑚/𝑠, 𝑣𝑠𝑟 = 𝑣𝐻 , 𝜌𝑠 = 𝜌𝑟 , 𝜉𝑆 = 𝜉𝑟 = 0,0 % ....................................................... 84
Figura 38. Variación de la pendiente 𝑚1 con el espesor del depósito (𝐻) – Caso roca
elástica .......................................................................................................................... 85
Figura 39. Variación de la pendiente 𝑚2 con el espesor del depósito (𝐻) – Caso roca
elástica .......................................................................................................................... 85
Figura 40. Variación de la pendiente 𝑚3 con el espesor del depósito (𝐻) – Caso roca
elástica .......................................................................................................................... 86
Figura 41. Variación de la pendiente 𝑑 con el espesor del depósito (𝐻) – Caso roca
elástica .......................................................................................................................... 86
Figura 42. % Error Periodo obtenido con la Ecuación 𝑇𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 con respecto al
Periodo Real (𝑇) considerando 𝑣0 = 100 𝑚/𝑠, 𝑣𝑠𝑟 = 𝑣𝐻 , 𝜌𝑠 = 𝜌𝑟 , 𝜉𝑆 = 𝜉𝑟 = 0,0% ..... 88
Figura 43. Error (%) obtenido con la Ecuación 𝑇𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 con respecto al Periodo Real
(𝑇) ................................................................................................................................. 89
Figura 44. Gráfica para obtener 𝑇𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 y 𝑇𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 con la ecuación 𝑇 = 4𝐻/𝑣𝑒𝑞
...................................................................................................................................... 91
Figura 45. Amplitud máxima para el caso de roca rígida considerando 𝑣0 = 100 𝑚/𝑠 y
𝜉𝑆 = 5% ........................................................................................................................ 93
Figura 46. Error Amplitud (%) obtenido con la Ecuación 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑎 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥
con respecto a la Amplitud Máxima Real ...................................................................... 95
10
Figura 47. Amplitud máxima para el caso de roca elástica considerando 𝑣0 = 100 𝑚/𝑠,
𝑣𝑠𝑟 = 𝑣𝐻 , 𝜌𝑠 = 𝜌𝑟 , 𝜉𝑆 = 𝜉𝑟 = 0,0 % .............................................................................. 96
Figura 48. Error Amplitud (%) obtenido con la Ecuación 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥
con respecto a la Amplitud Máxima Real ...................................................................... 98
Figura 49. Amplitud máxima para el modelo de roca rígida y el modelo de roca elástica.
...................................................................................................................................... 99
11
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Casos de estudio a través de la historia .......................................................... 30
Tabla 2. Configuraciones de depósito para el análisis .................................................. 59
12
RESUMEN
En el siguiente trabajo se estudia la respuesta dinámica de los depósitos de suelos
producida por la propagación vertical de ondas SH, considerando que la velocidad de
onda de corte del suelo varía linealmente con la profundidad.
A diferencia de otros estudios donde también se consideró una variación lineal de la
velocidad de onda de corte (Gazetas, 1982; Towhata, 1996), en este trabajo se consideró
el suelo como un medio viscoelástico a partir del modelo Kelvin - Voigt y se dedujo la
ecuación de desplazamientos bajo este modelo. Además del caso de roca rígida también
se consideró el caso de roca elástica en la deducción de las funciones de transferencia
y las ecuaciones aproximadas para el periodo fundamental y la amplitud máxima.
Adicionalmente, un análisis comparativo de la respuesta dinámica de depósitos de suelos
con velocidad constante y depósitos con velocidad variando linealmente en profundidad
fue realizado en términos de funciones de transferencia y formas modales (considerando
los primeros tres modos).
Finalmente, a partir de esta investigación se puede concluir en términos de frecuencias
que con el caso de variación lineal de la velocidad se obtienen depósitos de suelos que
se comportan más rígidamente que los depósitos con velocidad constante estudiados; y
en términos de amplitudes se puede concluir que ciertos depósitos de suelos con
variación lineal de la velocidad pueden ser reemplazados, con porcentajes de error
menores al 10%, por algunos casos de depósito equivalente con velocidad constante.
Palabras clave: Respuesta dinámica unidimensional, depósito de suelo, velocidad de
onda de corte, formas modales, función de transferencia, periodo fundamental, amplitud
máxima.
13
INTRODUCCIÓN
La respuesta dinámica de los depósitos de suelos debida a la propagación vertical de
ondas de corte SH o respuesta dinámica unidimensional, ha sido un tema de estudio
desde décadas atrás (Jacobsen, 1930; Ambraseys, 1959; Roesset, 1970; Dobry, Oweis
& Urzua, 1976) y por su complejidad e importancia sigue siendo un tema de gran interés
en la actualidad (Rovithis, Parashakis & Mylonakis, 2011; Vrettos, 2013).
En el estudio de la respuesta dinámica unidimensional de los depósitos de suelos se ha
abordado la velocidad de onda de corte desde dos enfoques, considerando que esta es
constante en cada estrato de suelo (Roesset, 1970; Kramer, 1996) y considerando que
tiene una variación continua en toda la profundidad del depósito, ya sea en forma lineal
(Gazetas, 1982; Towhata, 1996) o potencial (Ambraseys, 1959; Dobry et al. 1976;
Gazetas, 1982; Towhata, 1996; Afra & Pecker, 2002; Travasarou & Gazetas, 2004;
Rovithis et al., 2011; Vrettos, 2013).
En adelante, en este trabajo también se hará referencia al caso de velocidad de onda de
corte constante como caso convencional y al caso de velocidad de onda de corte con
variación continua en profundidad (lineal, potencial, hiperbólica, exponencial, entre otros)
como caso no homogéneo; dichas denominaciones son las comúnmente empleadas en
la literatura técnica.
El caso no homogéneo es un modelo más próximo a la realidad que el caso convencional,
de ahí la importancia de su estudio. De acuerdo con Rovithis et al. (2011), bajo ciertas
condiciones tales como aquellas encontradas en depósitos de suelos blandos y de
espesor considerable, los procedimientos de análisis convencionales basados en la
discretización del suelo en un sistema multi estrato con propiedades constantes en cada
estrato, pueden subestimar la amplificación del suelo con respecto a la respuesta del
caso no homogéneo, dependiendo principalmente del contenido de frecuencia del
movimiento de entrada.
14
Para el caso no homogéneo, las investigaciones se han realizado en su mayoría
considerando el modelo de base sobre roca rígida y las ecuaciones deducidas para los
desplazamientos, funciones de transferencia y frecuencias naturales han sido obtenidas,
por lo general, en términos de funciones de Bessel y series de potencia.
En esta investigación se estudia el caso no homogéneo en su expresión más simple, el
cual corresponde al caso de velocidad con variación lineal en profundidad. Por ser el
caso más simple su solución está expresada en términos de funciones elementales y su
importancia radica en que este caso brinda una mayor claridad y entendimiento de la
respuesta dinámica de los depósitos de suelos no homogéneos, y de sus resultados se
podrán obtener conclusiones que permitirán una mejor interpretación del
comportamiento de depósitos de suelos con variaciones más complejas de la velocidad
en profundidad. Por otro lado, este caso se puede aplicar individualmente por estrato de
suelo con el fin de obtener variaciones más complejas de perfiles de velocidad en el
depósito, incluso para generar perfiles de velocidad poco típicos.
El caso de estudio se aborda considerando la densidad del suelo y el amortiguamiento
como parámetros constantes en toda la profundidad y se desarrolla para los casos de
roca rígida y roca elástica.
Con el fin de estudiar los aspectos más importantes de la respuesta dinámica del caso
de estudio, el presente trabajo se desarrolla de la siguiente manera:
Se inicia con la exposición de los aspectos teóricos de la respuesta dinámica
unidimensional del caso convencional que se requieren para el estudio del caso de
velocidad de onda de corte variando linealmente. Luego, se presenta una revisión de las
investigaciones en las cuales se estudió la respuesta dinámica de depósitos de suelos
no homogéneos.
Seguidamente, se deduce de forma analítica para el caso de estudio las ecuaciones de
desplazamiento bajo el modelo de Kelvin - Voigt, se presenta la validación de dichas
15
ecuaciones y se deducen analíticamente las ecuaciones de las funciones de
transferencia tanto para el caso de roca rígida como para el caso de roca elástica.
A continuación, gráficamente se comparan las formas modales del caso de estudio con
el caso de velocidad constante.
Posteriormente, se presenta un análisis de las funciones de transferencia obtenidas con
el caso de estudio y las funciones de transferencia obtenidas con el caso convencional,
en el cual la velocidad constante se estimó para cinco casos comúnmente empleados en
la práctica: velocidad mínima del depósito de suelo, velocidad que genera el mismo
tiempo de viaje de la onda sísmica, velocidad promedio del depósito, velocidad que
genera el mismo periodo fundamental del caso de estudio y velocidad máxima del
depósito.
Luego de lo anterior, se presenta un estudio de las tendencias de las gráficas para el
periodo fundamental y la amplitud del modo fundamental y se deducen ecuaciones
aproximadas, prácticas y simples para el periodo y la amplitud máxima, tanto para el
caso de roca rígida como para el caso de roca elástica. Finalmente, se presentan las
conclusiones del trabajo desarrollado.
16
NOTACIÓN Y DEFINICIONES
𝑎 = Tasa de variación de la velocidad de onda de corte con la profundidad
𝐺 = Módulo de rigidez al esfuerzo cortante del material
𝐺𝑠 = Módulo de rigidez al esfuerzo cortante del suelo 𝐺𝑟 = Módulo de rigidez al esfuerzo cortante de la roca
𝐻 = Espesor del depósito de suelo
𝑘∗ = Número de onda complejo
𝑘𝑠∗ = Número de onda complejo del suelo
𝑘𝑟∗ = Número de onda complejo de la roca
𝑡 = Variable de tiempo
𝑢 = Desplazamiento horizontal
𝑢𝑠 = Desplazamiento horizontal del suelo
𝑢𝑟 = Desplazamiento horizontal de la roca
𝑣𝑠 = Velocidad de onda de corte del material 𝑣𝑠𝑠 = Velocidad de onda de corte del suelo 𝑣𝑠𝑟 = Velocidad de onda de corte de la roca
𝑣0 = Velocidad de onda de corte en la superficie del depósito de suelo
𝑧 = Variable de profundidad
𝑧𝑠 = Variable de profundidad para el suelo
𝑧𝑟 = Variable de profundidad para la roca
𝛾 = Deformación a cortante del material
𝛾𝑠 = Deformación a cortante del suelo
𝜂 = Viscosidad del material
𝜉 = Relación de amortiguamiento crítico del material
𝜉𝑠 = Relación de amortiguamiento crítico del suelo 𝜉𝑟 = Relación de amortiguamiento crítico de la roca
𝜌 = Densidad del material
𝜌𝑠 = Densidad del suelo
17
𝜌𝑟 = Densidad de la roca
𝜏𝑧𝑥 = Esfuerzo cortante del material en el plano 𝑧 y en dirección 𝑥
𝜏𝑠 = Esfuerzo cortante del suelo
𝜔 = Frecuencia angular del movimiento
18
1. OBJETIVOS
1.1. Objetivo general
Estudiar en términos de funciones de transferencia y formas modales la respuesta
dinámica unidimensional de depósitos de suelos con velocidad de onda de corte variando
linealmente en profundidad y comparar dichos resultados con el caso de velocidad
constante.
1.2. Objetivos específicos
• Deducir la ecuación de desplazamientos para el caso de velocidad variando
linealmente con la profundidad considerando el modelo de sólidos de Kelvin -
Voigt.
• Deducir la función de transferencia para el caso de velocidad variando linealmente
con la profundidad, para los modelos de roca rígida y roca elástica.
• Comparar gráficamente las formas modales de los tres primeros modos para el
caso de velocidad variando linealmente y el caso de velocidad constante.
• Comparar y analizar las funciones de transferencia del caso de velocidad variando
linealmente y el caso de velocidad constante.
• Determinar una ecuación aproximada, simple y práctica para el periodo
fundamental para el caso de velocidad variando linealmente con la profundidad,
tanto para el caso de roca rígida como para el caso de roca elástica.
19
• Determinar una ecuación aproximada, simple y práctica para la amplitud máxima
para el caso de velocidad variando linealmente con la profundidad, tanto para el
caso de roca rígida como para el caso de roca elástica.
20
2. ASPECTOS TEÓRICOS DE LA RESPUESTA DINÁMICA UNIDIMENSIONAL DE DEPÓSITOS DE SUELOS CON VELOCIDAD CONSTANTE
En este capítulo se presentan los aspectos teóricos de la respuesta dinámica
unidimensional de depósitos de suelos con velocidad constante, los cuales son
fundamentales y aplican para el caso de velocidad de onda de corte variando linealmente
con la profundidad.
La ecuación unidimensional de movimiento para una propagación vertical de ondas de
corte SH corresponde a la ecuación (1):
𝜌𝜕2𝑢
𝜕𝑡2=
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧 (1)
En la Figura 1 se presenta esquemáticamente la convención para el desplazamiento 𝑢
y la profundidad 𝑧, tanto para al suelo como para la roca.
Figura 1. Convenciones para el desplazamiento y la profundidad, para el depósito de
suelo y la roca
21
El suelo y la roca son usualmente representados con el modelo de sólidos Kelvin – Voigt,
para el cual la resistencia al esfuerzo cortante está dada por la suma de una componente
elástica y una componente viscosa (amortiguador) como se define en la ecuación (2):
𝜏𝑧𝑥 = 𝐺𝛾 + 𝜂𝜕𝛾
𝜕𝑡 (2)
Reemplazando la ecuación (2) en la ecuación (1) se obtiene:
𝜌𝜕2𝑢
𝜕𝑡2=
𝜕
𝜕𝑧 (𝐺𝛾 + 𝜂
𝜕𝛾
𝜕𝑡 ) (3)
Donde:
𝛾 = 𝜕𝑢
𝜕𝑧 (4)
𝜂 = 2𝐺
𝜔𝜉 (5)
𝐺 = 𝜌𝑣𝑠2 (6)
De acuerdo con la ecuación (6), el módulo de rigidez al esfuerzo cortante (𝐺) está
directamente relacionado con la velocidad de onda de corte (𝑣𝑠). Entonces, si se
considera como un parámetro constante el módulo de rigidez al esfuerzo cortante en la
ecuación (3) y se define un movimiento de entrada en la base en la forma de
desplazamientos armónicos horizontales, generando ondas de corte propagándose
verticalmente, se obtiene la solución para el caso de velocidad de onda de corte
constante, la cual se presenta a continuación:
𝑢(𝑧, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝑘∗𝑧) + 𝐵𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘∗𝑧) (7)
22
Donde:
𝑘∗ = 𝜔
𝑣𝑠 (1 + 𝑖𝜉) (8)
𝐴 y 𝐵 son las amplitudes de las ondas viajando en dirección −𝑧 (hacia arriba) y en
dirección +𝑧 (hacia abajo), respectivamente (Véase Figura 1).
2.1. Desplazamientos para el modelo de base sobre roca rígida
De acuerdo con Kramer (1996, p.264) el modelo de base sobre roca rígida establece que
cualquier onda viajando hacia abajo en el suelo será completamente reflejada de regreso
hacia la superficie del depósito por la roca, por lo tanto, toda la energía elástica de las
ondas quedará atrapada en el depósito de suelo.
En otras palabras, este modelo considera la interfaz suelo – roca como un extremo fijo y
la onda incidente es reflejada en su totalidad.
Debido a que en este modelo solo se considera el movimiento del suelo como un medio
aislado, éste es el modelo usualmente empleado para determinar las frecuencias
naturales y las formas modales.
En definitiva, los desplazamientos debido a la propagación vertical de ondas de corte en
cada estrato de suelo para el modelo de base sobre roca rígida se encuentran
determinados por las siguientes expresiones:
𝑢𝑠(𝑧𝑠, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝑘𝑠∗𝑧𝑠) + 𝐵𝑠𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑠
∗𝑧𝑠) (9)
𝑘𝑠∗ =
𝜔
𝑣𝑠𝑠∗
(10)
23
𝑣𝑠𝑠∗ = 𝑣𝑠𝑠(1 + 𝑖𝜉𝑠) (11)
2.2. Función de transferencia para el modelo de base sobre roca rígida
La función de transferencia describe la relación de las amplitudes de los desplazamientos
entre dos puntos seleccionados. Si estos dos puntos se toman como la superficie del
depósito de suelo (𝑧 = 0) y la interfaz suelo - roca (𝑧 = 𝐻) se obtiene:
𝐹(𝜔) = 𝑢𝑠 (0, 𝑡)
𝑢𝑠 (𝐻, 𝑡)=
1
cos (𝜔𝐻𝑣𝑠𝑠
∗ ) (12)
El módulo de la función de transferencia corresponde a la función de amplificación:
|𝐹(𝜔)| = 1
|cos (𝜔𝐻𝑣𝑠𝑠
∗ )| (13)
Con la función de amplificación se determinan las máximas amplitudes de
desplazamiento que se pueden presentar en el depósito de suelo. Adicionalmente, las
frecuencias en las cuales se dan dichos máximos corresponden a las frecuencias
naturales.
2.3. Desplazamientos para el modelo de base sobre roca elástica
De acuerdo con Kramer (1996, p.264) el modelo de roca elástica establece que una onda
viajando hacia abajo que alcanza la interfaz suelo - roca será reflejada solo parcialmente;
parte de su energía será transmitida a través de la interfaz para continuar viajando hacia
abajo a través de la roca. Si la roca se extiende a gran profundidad, suficiente para que
ondas reflejadas de cualquier profunda interfaz no retornen a la interfaz suelo - roca
prontamente, o con suficiente amplitud para influenciar la respuesta del depósito de
24
suelo, la energía elástica de estas ondas será efectivamente removida del depósito de
suelo. Esta es una forma de amortiguamiento que se denomina por radiación y causa
que las amplitudes en la superficie del depósito sean menores que aquellas para el caso
de roca rígida.
En este modelo los desplazamientos debido a la propagación vertical de ondas de corte
en el suelo siguen correspondiendo a los desplazamientos de la ecuación (9), pero
adicionalmente se determinan los desplazamientos en la roca a partir de las siguientes
expresiones:
𝑢𝑟(𝑧𝑟 , 𝑡) = 𝐴𝑟𝑒𝑖(𝜔𝑡 + 𝑘𝑟∗𝑧𝑟) + 𝐵𝑟𝑒𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟
∗𝑧𝑟) (14)
𝑘𝑟∗ =
𝜔
𝑣𝑠𝑟∗
(15)
𝑣𝑠𝑟∗ = 𝑣𝑠𝑟(1 + 𝑖𝜉𝑟) (16)
2.4. Función de transferencia para el modelo de base sobre roca elástica
La función de transferencia para este modelo se define como la relación entre los
desplazamientos en la superficie del suelo y los desplazamientos obtenidos en la
superficie de la roca cuando el depósito de suelo no está presente. Se obtiene entonces
la función de transferencia que se presenta en la ecuación (17):
𝐹𝑇 (𝜔) =2
(1 + 𝛼𝑧∗) 𝑒𝑖𝑘𝑠
∗ 𝐻 + (1 − 𝛼𝑧∗) 𝑒−𝑖𝑘𝑠
∗ 𝐻 (17)
Donde 𝛼𝑧∗ es la impedancia entre el suelo y la roca, como se muestra en la ecuación
(18):
𝛼𝑧∗ =
𝜌𝑠 𝑣𝑠𝑠∗
𝜌𝑟 𝑣𝑠𝑟∗
(18)
25
2.5. Efectos de considerar el modelo de roca rígida y el modelo de roca elástica
Los efectos de considerar el modelo de roca rígida y el modelo de roca elástica se pueden
evidenciar fácilmente al comparar las gráficas de las funciones de transferencia de
ambos modelos. Para este análisis comparativo se tomará como caso de estudio el
depósito de suelo que se presenta en la Figura 2:
Figura 2. Esquema depósito de suelo de un solo estrato
Las funciones de transferencia para este depósito de suelo se presentan en la Figura 3:
26
Figura 3. Comparación funciones de transferencia para los modelos de roca rígida y roca
elástica – Caso velocidad de onda de corte constante
En la Figura 3 se puede observar un cambio muy significativo en el valor de la amplitud
cuando se comparan los casos de roca rígida con los casos de roca elástica. Para los
casos con amortiguamiento se puede observar que la función de transferencia pasa de
tener un valor máximo cercano a 13 para el caso de roca rígida a tener un valor máximo
cercano a 4 para el caso de roca elástica.
Adicionalmente, se observa para el caso sin amortiguamiento, que en el caso de roca
rígida la amplitud tiende a infinito, en cambio en el caso de roca elástica la amplitud
máxima es cercana a un valor de 6; el hecho de que no tienda a infinito se debe al
fenómeno de amortiguamiento por radiación, como se explicó anteriormente.
Finalmente, es importante resaltar que los valores máximos de ambos modelos se dan
en frecuencias muy similares, pero no exactamente en las mismas frecuencias.
27
3. RESPUESTA DINÁMICA UNIDIMENSIONAL DE DEPÓSITOS DE SUELOS CON RIGIDEZ VARIANDO CONTINUAMENTE CON LA PROFUNDIDAD
3.1. Aspectos Teóricos
El módulo de rigidez al esfuerzo cortante del suelo (𝐺𝑠) se encuentra determinado por la
densidad (𝜌𝑠) y la velocidad de onda de corte (𝑣𝑠𝑠), como se establece en la ecuación (6);
es por esta razón que es posible hablar de la rigidez del suelo en términos de velocidad
de onda de corte o de módulo de rigidez al esfuerzo cortante.
Convencionalmente la respuesta dinámica de los depósitos de suelos se ha llevado a
cabo considerando que el depósito se encuentra dividido en varias capas o estratos,
donde cada capa o estrato posee un valor constante de densidad (𝜌𝑠), velocidad de onda
de corte (𝑣𝑠𝑠) o módulo de rigidez al esfuerzo cortante (𝐺𝑠), y amortiguamiento (𝜉𝑠), como
se muestra en la Figura 4.
Figura 4. Modelo depósito de suelo estratificado
28
Sin embargo, la rigidez del suelo se encuentra determinada por muchos factores como
lo son el tipo de suelo, la presión efectiva sobre éste y el grado de consolidación y
cementación. Dichos factores se toman en cuenta en la respuesta dinámica del suelo al
considerar que la rigidez presenta una variación continua con la profundidad. Towhata
(1996) encontró que la velocidad de onda de corte y el módulo de rigidez al esfuerzo
cortante varían más continuamente con la profundidad incluso cuando el tipo de suelo
cambia de cohesivo a no cohesivo.
Según Idriss & Seed (1968), en una capa de suelo compuesta principalmente de suelos
cohesivos se podría considerar que el módulo de rigidez al esfuerzo cortante es uniforme.
Pero para un estrato compuesto principalmente de suelos no cohesivos el módulo de
rigidez variará con la profundidad y de acuerdo con resultados experimentales los
módulos de rigidez de suelos no cohesivos varían con la presión de confinamiento a
potencias de 1/3 o 1/2.
Para Dobry et al. (1976) una variación de la velocidad de onda de corte de la forma 𝑉 =
𝑉0𝑧𝑝/2, siendo 𝑉0 la velocidad de onda de corte en superficie, 𝑧 la variable de profundidad
y 𝑝 variando entre 0 ≤ 𝑝 < 2, es representativa de un suelo normalmente consolidado.
Por otro lado Afra & Pecker (2002) exponen que variaciones de la rigidez de la forma
𝐺 = 𝐺0 (𝑧
𝐻)𝑃, siendo 𝐺0 el módulo de rigidez en la base del depósito, 𝐻 el espesor del
depósito y 𝑧 la variable de profundidad son encontradas en depósitos de suelos no
cohesivos, para los cuales el valor de 𝑃 varia de 0,45 a 0,60 o arcillas normalmente
consolidadas para las cuales 𝑃 varía entre 0,8 y 1,0.
Algunos posibles modelos para la velocidad variando continuamente con la profundidad
en el depósito de suelo se presentan esquemáticamente en la Figura 5.
29
Figura 5. Algunos posibles modelos de depósitos de suelos con variación continua de la
velocidad de onda de corte en profundidad
Para considerar el caso de rigidez variando con la profundidad, se reemplaza en la
ecuación (3) el valor de 𝐺 por la ecuación que represente la variación de la rigidez con la
profundidad, ya sea en términos de módulo de rigidez al esfuerzo cortante o de velocidad
de onda de corte, y se resuelve dicha ecuación diferencial.
3.2. Casos de estudio a través de la historia
A través de la historia varios autores han estudiado la respuesta dinámica unidimensional
de los depósitos de suelos considerando que la rigidez varía con la profundidad, como
se presenta en la Tabla 1:
30
Tabla 1. Casos de estudio a través de la historia
Autor (es) Modelo de estudio Deducciones Tipo de Base
Ambraseys (1959)
𝐺(𝑦) = 𝐺 (
𝑦
ℎ′)
𝐺: Módulo de rigidez en la superficie del depósito ℎ′: Altura por encima del depósito de suelo en la cual la proyección del perfil de rigidez es igual a cero 𝑦: Variable de profundidad
Ecuación de desplazamientos y ecuación de las frecuencias naturales no amortiguadas, ambas en términos de funciones de Bessel.
No se define en el
documento.
Idriss & Seed (1968)
𝐺 = 𝑘𝑦𝑝
𝑘: Constante 𝑦: Variable de profundidad 𝑝 ≤ 0,5
Ecuación de desplazamientos y ecuación de frecuencias naturales, ambas en términos de funciones de Bessel.
No se define en el
documento.
Dobry, Whitman & Roesset (1971) [Como se cita en Dobry et al.
(1976)]
𝑉 = 𝑉0𝑧𝑝/2
𝑉0: Velocidad de onda de corte en superficie 𝑧: Variable de profundidad 0 ≤ 𝑝 < 2
Ecuación de desplazamientos y ecuación del periodo fundamental no amortiguado, ambas en términos de funciones de Bessel.
No se define en el
documento.
Urzua (1974) [Como se cita en Dobry et al.
(1976)]
𝐺
𝐺𝐻
= 𝑘2 + 1 − 𝑘2
𝐻 𝑧
𝑘 = √ 𝐺0
𝐺𝐻
𝐺0: Módulo de rigidez al esfuerzo cortante en superficie 𝐺𝐻: Módulo de rigidez al esfuerzo cortante en la base del depósito 𝐻: Espesor del depósito 𝑧: Variable de profundidad. 𝑘 < 1: El módulo incrementa con la profundidad 𝑘 > 1: El módulo decrece con la profundidad.
Ecuación de desplazamientos y ecuación del periodo fundamental no amortiguado, ambas en términos de funciones de Bessel.
No se define en el
documento.
31
Autor (es) Modelo de estudio Deducciones Tipo de Base
Gazetas (1982)
𝑐 = 𝑐0 (1 + 𝜇𝑧)𝑚
𝑐0: Velocidad de onda de corte en superficie 𝜇: Constante positiva
𝑚 = 1,1
4 ,
2
3
𝑧: Variable de profundidad
Ecuación de desplazamientos, periodos naturales no amortiguados y formas modales en términos de funciones de Bessel para 𝑚 =
1
4 y en términos de
funciones elementales para 𝑚 = 1 𝑦 2
3.
Para 𝑚 = 1 presentó la ecuación de la función de transferencia considerando el caso de roca rígida.
Roca Rígida
Towhata (1996)
𝐺 = 𝐴 (𝑧 + 𝑧0)𝑛
𝑧0: Módulo de rigidez al esfuerzo cortante en superficie 𝐴: Constante 𝑧: Variable de profundidad 0 < 𝑛 < ∞
Ecuación de desplazamientos y periodos naturales no amortiguados. Para los casos 0 < 𝑛 < 2 𝑦 𝑛 > 2 las soluciones fueron obtenidas en términos de funciones de Bessel.
Roca Rígida y Roca Elástica
Afra & Pecker (2002)
𝐺 = 𝐺0 (
𝑧
𝐻)𝑃
𝐺0: Módulo de rigidez en la base del depósito 𝐻: espesor del depósito 𝑧: Variable de profundidad 0 ≤ 𝑃 < 2
En términos de funciones de Bessel presentaron las ecuaciones para el desplazamiento, las frecuencias naturales, la función de transferencia considerando el caso de roca elástica, la ecuación para la máxima amplificación y la ecuación para las amplitudes en los valles.
Roca Elástica
Travasarou & Gazetas (2004)
𝑣𝑠𝑠 = 𝑚𝑧2/3
𝑚: Constante 𝑧: Variable de profundidad
Ecuación de desplazamientos en términos de funciones de Bessel. Ecuación de las frecuencias naturales, formas modales y función de amplificación en términos de funciones elementales.
Roca Rígida
Rovithis et al. (2011)
𝑉𝑠 = 𝑉𝐻 (𝑏 + (1 − 𝑏)
𝑧
𝐻)𝑛
𝑏 = (𝑉0
𝑉𝐻)1/𝑛
𝑉0: Velocidad de onda de corte en superficie
Ecuación de desplazamientos, formas modales, frecuencias naturales y la función de transferencia, dichas ecuaciones expresadas en términos de funciones de Bessel.
Roca Rígida
32
Autor (es) Modelo de estudio Deducciones Tipo de Base
𝑉𝐻: Velocidad de onda de corte en la base del depósito 𝑧: Variable de profundidad 0 < 𝑛 < 1
Vrettos (2013)
𝐺(𝑧) = 𝐺0 + (𝐺∞ − 𝐺0)(1 − 𝑒−𝛼𝑧)
𝐺0: Módulo de rigidez a cortante en superficie 𝐺∞: Módulo de rigidez a una profundidad infinita 𝑧: Variable de profundidad
Ecuación de desplazamientos y ecuación para las frecuencias naturales, ambas en términos de series de potencia. Presentó en términos de series de potencia la ecuación de la función de amplificación para el caso de roca elástica y una ecuación aproximada para la frecuencia fundamental.
Roca Elástica
Todos los anteriores autores consideraron la densidad y el amortiguamiento como un parámetro constante en el depósito
de suelo.
33
4. RESPUESTA DINÁMICA UNIDIMENSIONAL DE DEPÓSITOS DE SUELOS CON VELOCIDAD VARIANDO LINEALMENTE CON LA PROFUNDIDAD -
CASO DE ESTUDIO
El caso de velocidad de onda de corte variando linealmente con la profundidad es el caso
más simple cuando se considera una variación continua de la rigidez con la profundidad.
Su estudio permitirá obtener una mayor claridad y entendimiento de la respuesta
dinámica de suelos con velocidad variando en profundidad y de sus resultados se
obtendrán conclusiones que permitirán una mejor interpretación de la respuesta dinámica
de suelos con configuraciones más complejas de velocidad.
Por otro lado, el caso de velocidad de onda de corte variando linealmente en profundidad
al ser aplicado en cada estrato de suelo permite obtener perfiles más complejos de
velocidad en profundidad, por lo que podrá ser aplicado para generar perfiles de
velocidad de diferentes geometrías en el depósito de suelo, lo que se traduce en la
posibilidad de generar tanto los perfiles típicos como los perfiles atípicos.
En esta investigación se estudia la respuesta dinámica de depósitos de suelos
considerando que la velocidad de onda de corte varía linealmente en profundidad de
acuerdo con la siguiente expresión:
𝑣𝑠𝑠 = 𝑎𝑧 + 𝑣0 (19)
Donde:
𝑎 = Tasa de variación de la velocidad de onda de corte con la profundidad
𝑣0 = Velocidad de onda de corte en la superficie del depósito
Adicionalmente, se considera la densidad y el amortiguamiento tanto del suelo como de
la roca como parámetros constantes y para la roca se considera una velocidad de onda
de corte constante. El caso de estudio se presenta esquemáticamente en la Figura 6.
34
Figura 6. Representación gráfica del caso de estudio
El amortiguamiento tanto del suelo como de la roca se considera como un
amortiguamiento viscoelástico a partir del modelo de sólidos Kelvin - Voigt, como se
define en la ecuación (2).
Como se había mencionado en el numeral 3.2, Gazetas (1982) estudió el caso de
velocidad de onda de corte variando linealmente con la profundidad considerando la
densidad constante y el amortiguamiento igual a cero. En su investigación dedujo la
ecuación de desplazamientos, formas modales y frecuencias naturales para el caso no
amortiguado. Adicionalmente, dedujo la ecuación para la función de transferencia
considerando el modelo de base sobre roca rígida y comparó el periodo fundamental
obtenido con el caso de velocidad de estudio (para diferentes valores de la constante 𝜇)
con el caso de velocidad constante, donde la velocidad constante se determinó como la
velocidad en la mitad del depósito de suelo.
Por otro lado, Towhata (1996) estudió indirectamente el caso de velocidad lineal al
considerar el módulo de rigidez al esfuerzo cortante variando en forma cuadrática. En su
35
investigación consideró la densidad constante y amortiguamiento del suelo nulo.
Presentó la ecuación para los desplazamientos y los periodos naturales, las cuales
coinciden con las ecuaciones presentadas por Gazetas (1982).
A diferencia de los autores anteriormente mencionados, en esta investigación se deduce
la ecuación de desplazamientos considerando un amortiguamiento viscoelástico a través
del modelo Kelvin - Voigt y se presentan las ecuaciones de desplazamientos para el caso
de un depósito de suelo estratificado con velocidad lineal en cada estrato. Se deducen
también las ecuaciones analíticas de la función de transferencia tanto para el modelo de
roca rígida como para el modelo de roca elástica. Adicionalmente, para el caso de roca
elástica se realiza un análisis comparativo de las funciones de transferencia obtenidas
para el caso de estudio con las funciones de transferencia obtenidas para el caso de
velocidad constante, donde la velocidad constante se determina por medio de cinco
metodologías comúnmente usadas en la práctica.
Así mismo, se realiza un análisis comparativo de las formas modales obtenidas para el
caso de estudio y el caso de velocidad constante, considerando los tres primeros modos
de vibración. Finalmente, se deducen ecuaciones sencillas y prácticas para el periodo
fundamental y la amplitud de desplazamientos máxima, tanto para el modelo de roca
rígida como para el modelo de roca elástica.
36
5. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE PROPAGACIÓN UNIDIMENSIONAL DE ONDAS CONSIDERANDO VARIACIÓN LINEAL DE LA VELOCIDAD DE
ONDA DE CORTE
5.1. Deducción analítica de la ecuación de desplazamientos
Al considerar en la ecuación (3) que la rigidez (𝐺𝑠) varía con la profundidad se obtiene la
siguiente expresión:
𝜌𝑠
𝜕2𝑢𝑠
𝜕𝑡2=
𝜕 (𝐺𝑠(𝑧) 𝛾𝑠)
𝜕𝑧+
𝜕
𝜕𝑧( 𝜂
𝜕𝛾𝑠
𝜕𝑡 ) (20)
Reemplazando la ecuación (4) y ecuación (5) en la ecuación (20) se llega a la siguiente
expresión:
𝜌𝑠
𝜕2𝑢𝑠
𝜕𝑡2=
𝜕
𝜕𝑧( 𝐺𝑠(𝑧)
𝜕𝑢𝑠
𝜕𝑧) +
𝜕
𝜕𝑧( (
2𝐺𝑠(𝑧)
𝜔𝜉𝑠 )
𝜕2𝑢𝑠
𝜕𝑡 𝜕𝑧 ) (21)
𝜌𝑠
𝜕2𝑢𝑠
𝜕𝑡2= 𝐺𝑠(𝑧)
𝜕2𝑢𝑠
𝜕𝑧2 +
𝜕𝐺𝑠(𝑧)
𝜕𝑧 𝜕𝑢𝑠
𝜕𝑧+ (
2𝐺𝑠(𝑧)
𝜔𝜉𝑠 )
𝜕3𝑢𝑠
𝜕𝑡 𝜕𝑧2
+ ( 2𝜉𝑠
𝜔 )
𝜕𝐺𝑠(𝑧)
𝜕𝑧(
𝜕2𝑢𝑠
𝜕𝑡 𝜕𝑧 )
(22)
Para ondas armónicas los desplazamientos pueden ser escritos como:
𝑢𝑠(𝑧, 𝑡) = 𝑈 𝑒𝑖𝜔𝑡 (23)
Derivando la ecuación (23):
37
𝜕2𝑢𝑠
𝜕𝑡2= −𝜔2 𝑈 𝑒𝑖𝜔𝑡 (24)
𝜕𝑢𝑠
𝜕𝑧=
𝜕𝑈
𝜕𝑧 𝑒𝑖𝜔𝑡 (25)
𝜕2𝑢𝑠
𝜕𝑧2=
𝜕2𝑈
𝜕𝑧2 𝑒𝑖𝜔𝑡 (26)
𝜕2𝑢𝑠
𝜕𝑡 𝜕𝑧= 𝑖𝜔 𝑒𝑖𝜔𝑡
𝜕𝑈
𝜕𝑧 (27)
𝜕3𝑢𝑠
𝜕𝑡 𝜕𝑧2= 𝑖𝜔 𝑒𝑖𝜔𝑡
𝜕2𝑈
𝜕𝑧2 (28)
Reemplazando (24), (25), (26), (27) y (28) en (22) se llega a:
𝐺𝑠(𝑧)(1 + 2𝑖𝜉𝑠) 𝜕2𝑈
𝜕𝑧2+ (1 + 2𝑖𝜉𝑠)
𝜕𝐺𝑠(𝑧)
𝜕𝑧
𝜕𝑈
𝜕𝑧+ 𝜌𝑠𝜔2 𝑈 = 0 (29)
Si se considera entonces que la velocidad de onda de corte (𝑣𝑠𝑠) varía linealmente con
la profundidad de acuerdo con la ecuación (19), se obtiene entonces a partir de la
velocidad de onda de corte (𝑣𝑠𝑠), un módulo de cortante (𝐺𝑠) que varía con la profundidad
de acuerdo a la siguiente expresión:
𝐺𝑠 = 𝜌𝑠 𝑣𝑠𝑠2 = 𝜌𝑠 (𝑎𝑧 + 𝑣0)2 (30)
y
𝜕𝐺𝑠(𝑧)
𝜕𝑧= 2𝑎𝜌𝑠 (𝑎𝑧 + 𝑣0) (31)
Reemplazando (30) y (31) en (29) se obtiene:
38
(𝑎𝑧 + 𝑣0)2(1 + 2𝑖𝜉𝑠) 𝜕2𝑈
𝜕𝑧2+ 2𝑎 (𝑎𝑧 + 𝑣0) ∗ (1 + 2𝑖𝜉𝑠)
𝜕𝑈
𝜕𝑧+ 𝜔2 𝑈 = 0 (32)
Si se considera:
𝑈 = 𝜕𝑉
𝜕𝑧 (33)
Entonces:
𝜕𝑈
𝜕𝑧=
𝜕2𝑉
𝜕𝑧2 (34)
𝜕2𝑈
𝜕𝑧2=
𝜕3𝑉
𝜕𝑧3 (35)
Reemplazando (33), (34) y (35) en (32) se llega a la siguiente expresión:
(𝑎𝑧 + 𝑣0)2(1 + 2𝑖𝜉𝑠) 𝜕3𝑉
𝜕𝑧3+ 2𝑎 (𝑎𝑧 + 𝑣0) ∗ (1 + 2𝑖𝜉𝑠)
𝜕2𝑉
𝜕𝑧2+ 𝜔2
𝜕𝑉
𝜕𝑧= 0 (36)
Definiendo 𝑉 como:
𝑉 = (𝑎𝑧 + 𝑣0)𝑟+1/2 (37)
Se obtiene la siguiente solución para la ecuación diferencial (32):
𝑈 = 𝐶1 (𝑎𝑧 + 𝑣0)𝑟−1/2 + 𝐶2 (𝑎𝑧 + 𝑣0)−𝑟−1/2 (38)
Donde:
𝑟 = √[−4𝜔2 + 𝑎2(1 + 2𝑖𝜉𝑠)] (1 + 2𝑖𝜉𝑠)
2𝑎(1 + 4𝜉𝑠2)
∗ (1 − 2𝑖𝜉𝑠) (39)
Reemplazando (38) en (23) se obtiene:
39
𝒖𝒔(𝒛, 𝒕) = [𝑪𝟏 (𝒂𝒛 + 𝒗𝟎)𝒓−𝟏/𝟐 + 𝑪𝟐 (𝒂𝒛 + 𝒗𝟎)−𝒓−𝟏/𝟐] 𝒆𝒊𝝎𝒕 (40)
Donde:
𝐶1, 𝐶2 = Constantes de integración que se determinan a partir de las condiciones de
frontera.
La ecuación (40) corresponde a la solución de la ecuación unidimensional de
propagación de onda considerando variación lineal de la velocidad de onda de corte.
5.2. Deducción de la amplitud de las ondas de corte en superficie
Una de las condiciones de frontera se debe al hecho que las ondas de corte al llegar a
la superficie no transmiten ningún esfuerzo, toda la amplitud del esfuerzo es reflejada,
por lo anterior el esfuerzo cortante desaparece en superficie:
𝜏 (0, 𝑡) = 𝐺𝑠(0)𝜕𝑢𝑠 (0, 𝑡)
𝜕𝑧+ 𝜂
𝜕
𝜕𝑡 (
𝜕𝑢𝑠 (0, 𝑡)
𝜕𝑧) = 0 (41)
𝜕𝑢𝑠
𝜕𝑧= [𝐶1 𝑎 (𝑟 −
1
2) (𝑎𝑧 + 𝑣0)𝑟−
32 𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝐶2 𝑎 (−𝑟 −
1
2) (𝑎𝑧 + 𝑣0)−𝑟−
32 𝑒𝑖𝜔𝑡] (42)
𝜏 (0, 𝑡) = 𝜌𝑠 (𝑣0)2(1 + 2𝑖𝜉𝑠) [𝐶1 𝑎 (𝑟 −1
2) (𝑣0)𝑟−
32 + 𝐶2 𝑎 (−𝑟 −
1
2) (𝑣0)−𝑟−
32] 𝑒𝑖𝜔𝑡
= 0
(43)
De la ecuación (43) se obtiene para la superficie la amplitud 𝐶2 en términos de 𝐶1:
𝐶2 = −𝐶1 (𝑟 −
12) (𝑣0)2𝑟
(−𝑟 −12)
(44)
40
5.3. Deducción de la amplitud de las ondas entre estratos de suelos (𝑪𝟏𝒎, 𝑪𝟐𝒎)
El caso de velocidad de onda de corte variando linealmente con la profundidad se puede
aplicar de manera particular a cada estrato de suelo con el fin de obtener un perfil de
velocidad que varíe en forma potencial o en formas más complejas en el depósito de
suelo, como se muestra en la Figura 7.
Figura 7. Esquema suelo estratificado con variación lineal de la velocidad en cada
estrato de suelo
Vrettos (2013) estudió el caso de un suelo estratificado y comparó la función de
amplificación sobre roca elástica obtenida con las siguientes tres diferentes
aproximaciones del módulo de rigidez al esfuerzo cortante: módulo variando
exponencialmente en profundidad en el depósito de suelo, módulo de rigidez constante
en cada estrato y módulo de rigidez variando linealmente en cada estrato de suelo.
Encontró que las funciones de amplificación daban muy similares, pero la que mejor se
ajustaba al caso exponencial era la función de amplificación obtenida considerando un
módulo de rigidez variando linealmente en cada estrato de suelo. Adicionalmente, resaltó
41
que para depósitos de suelos blandos con valores de rigidez pequeños en la superficie
y fuertes variaciones de la rigidez en profundidad, el caso de módulo de rigidez variando
linealmente en cada estrato se ajusta mejor a los resultados del caso exponencial que el
caso convencional.
Para el caso de velocidad lineal las amplitudes de onda 𝐶1𝑚 y 𝐶2𝑚 en cada estrato de
suelo, se determinan verificando la compatibilidad de esfuerzos y desplazamientos entre
estratos de suelo.
Considerando el esquema de suelo estratificado que se presenta en la Figura 7 y valores
diferentes en cada estrato para las variables 𝑎, 𝑣0, 𝜉 y 𝜌, se evaluó la compatibilidad de
esfuerzos y desplazamientos entre estratos y se obtuvo las siguientes amplitudes de
onda en términos del estrato suprayacente:
𝐶1 𝑚+1
= 𝐶1𝑚 (𝑎𝑚ℎ𝑚 + 𝑣0 𝑚)(𝑟𝑚−
1 2
) + 𝐶2𝑚 (𝑎𝑚ℎ𝑚 + 𝑣0 𝑚)(−𝑟𝑚− 12
) − 𝐶2𝑚+1 (𝑣0 𝑚+1)(−𝑟𝑚+1− 12
)
(𝑣0 𝑚+1)(𝑟𝑚+1− 12
)
(45)
𝐶2 𝑚+1 = 𝐶1 𝑚 ∗ [𝐷
𝐹 ] + 𝐶2 𝑚 ∗ [
𝐸
𝐹 ]
(46)
𝐷 = 𝜌𝑚 𝑎𝑚 (1 + 2𝑖𝜉𝑚) (𝑟𝑚 −1
2) (𝑎𝑚ℎ𝑚 + 𝑣0 𝑚)(𝑟𝑚+
12
)
− 𝑎𝑚+1 (𝑎𝑚ℎ𝑚 + 𝑣0 𝑚)(𝑟𝑚−
12
)
(𝑣0 𝑚+1)(𝑟𝑚+1− 12
) 𝜌𝑚+1 (1 + 2𝑖𝜉𝑚+1) (𝑟𝑚+1 −
1
2) (𝑣0 𝑚+1)(𝑟𝑚+1+
12
)
(47)
𝐸 = 𝜌𝑚 𝑎𝑚 (1 + 2𝑖𝜉𝑚) (−𝑟𝑚 −1
2) (𝑎𝑚ℎ𝑚 + 𝑣0 𝑚)(−𝑟𝑚+
12
)
− 𝑎𝑚+1 (𝑎𝑚ℎ𝑚 + 𝑣0 𝑚)(−𝑟𝑚−
12
)
(𝑣0 𝑚+1)(𝑟𝑚+1− 12
) 𝜌𝑚+1 (1 + 2𝑖𝜉𝑚+1) (𝑟𝑚+1 −
1
2) (𝑣0 𝑚+1)(𝑟𝑚+1+
12
) (48)
42
𝐹 = −2 (𝑟𝑚+1) (𝜌𝑚+1) (1 + 2𝑖𝜉𝑚+1) (𝑎𝑚+1) (𝑣0 𝑚+1)(−𝑟𝑚+1+12
)
(49)
5.4. Deducción de la amplitud de las ondas en la roca (𝑪𝟏𝒓, 𝑪𝟐𝒓) Para la interfaz suelo – roca, se verifica la compatibilidad de esfuerzos y desplazamientos
teniendo en cuenta para la roca una velocidad de onda de corte constante. Por lo anterior,
para los desplazamientos en la roca se trabaja con la ecuación (14).
Realizando compatibilidad de esfuerzos y desplazamientos en la interfaz suelo-roca, se
obtienen las siguientes amplitudes de onda de corte para la roca:
𝐶1𝑟 = 𝐶1𝑁 (𝑎𝑁ℎ𝑁 + 𝑣0 𝑁)(𝑟𝑁− 12
) + 𝐶2𝑁 (𝑎𝑁ℎ𝑁 + 𝑣0 𝑁)(−𝑟𝑁− 12
) − 𝐶2𝑟 (50)
𝐶2𝑟
= 𝐶1𝑁 [−𝜌𝑁 (𝑎𝑁ℎ𝑁 + 𝑣0 𝑁)(𝑟𝑁+
12
)(1 + 2𝑖𝜉𝑁) (𝑟𝑁 −12
) 𝑎𝑁 + 𝐺𝑟∗ 𝑖 𝑘𝑟
∗(𝑎𝑁ℎ𝑁 + 𝑣0 𝑁)(𝑟𝑁− 12
)
2 𝐺𝑟∗𝑖𝑘𝑟
∗ ]
+ 𝐶2𝑁 [−𝜌𝑁 (𝑎𝑁ℎ𝑁 + 𝑣0 𝑁)(−𝑟𝑁+
12
)(1 + 2𝑖𝜉𝑁) (−𝑟𝑁 −12
) 𝑎𝑁 + 𝐺𝑟∗ 𝑖 𝑘𝑟
∗(𝑎𝑁ℎ𝑁 + 𝑣0 𝑁)(−𝑟𝑁− 12
)
2 𝐺𝑟∗𝑖𝑘𝑟
∗ ]
(51)
Donde el subíndice 𝑁 corresponde a la última capa de suelo (Véase Figura 7).
43
6. VALIDACIÓN DE LAS ECUACIONES DEDUCIDAS PARA EL CASO DE VELOCIDAD VARIANDO LINEALMENTE CON LA PROFUNDIDAD
Si se tiende a cero la tasa de variación de la velocidad con la profundidad (𝑎) en la
ecuación (40), la velocidad de onda de corte (𝑣𝑠𝑠) se aproxima a un valor constante, por
lo tanto los resultados obtenidos con las ecuaciones deducidas (ecuaciones (44), (45),
(46), (50) y (51)) deben ser muy similares a los resultados obtenidos con el caso de
velocidad constante. Esta validación se realizará por medio de dos casos, en el primer
caso se considerará un solo estrato de suelo y en el segundo caso se considerará un
suelo estratificado.
6.1. Validación No.1: Un solo estrato de suelo Para este caso se considerará el depósito de suelo que se presenta en la Figura 2.
En la herramienta de software Matlab se desarrolló el algoritmo para el caso de velocidad
constante y el caso de velocidad variando linealmente con la profundidad.
En la Figura 8 se presentan las funciones de transferencia obtenidas para el caso de
velocidad constante y el caso de velocidad variando linealmente con la profundidad
considerando que el parámetro 𝑎 tiende a cero. Se puede observar que las funciones de
transferencia son muy similares.
44
Figura 8. Funciones de transferencia para depósito de suelo con velocidad constante y depósito con velocidad variando linealmente y tendiendo a cero el parámetro 𝒂 – Caso
un solo estrato de suelo
6.2. Validación No. 2: Caso suelo estratificado Para este caso se considerará el depósito de suelo que se presenta en la Figura 9:
45
Figura 9. Esquema suelo estratificado para el análisis
En la Figura 10 se observa que con las ecuaciones deducidas para el caso de estudio
se obtienen resultados muy similares al caso de velocidad constante cuando se
considera en cada estrato de suelo una velocidad de onda de corte variando linealmente
y se tiende a cero el parámetro 𝑎.
46
Figura 10. Funciones de transferencia para depósito de suelo con velocidad constante y depósito con velocidad variando linealmente en cada estrato de suelo y tendiendo a cero
el parámetro 𝒂 – Caso suelo estratificado
47
7. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
7.1. Función de transferencia para el caso de roca rígida
La función de transferencia considerando base sobre roca rígida está dada en términos
generales por:
𝐹(𝜔) = 𝑢𝑠 (0, 𝑡)
𝑢𝑠 (𝐻, 𝑡) (52)
Reemplazando en la ecuación (52) para el caso de velocidad en estudio se obtiene:
𝐹 (𝜔) =−2𝑟 𝑣0
𝑟−1/2
(−𝑟 − 1/2)(𝑎𝐻 + 𝑣0)𝑟−1/2 − (𝑟 − 1/2)(𝑎𝐻 + 𝑣0)−𝑟−1/2 𝑣02𝑟
(53)
Gazetas (1982) estudió el caso para una velocidad de onda de corte variando linealmente
con la profundidad en la forma 𝑐 = 𝑐0(1 + 𝑏𝑧). Para el caso de roca rígida planteó la
siguiente expresión para la función de transferencia:
𝐹 (𝜔) =2𝑞
(−0,5 + 𝑞)(1 + �̃�)−0,5−𝑞
+ (0,5 + 𝑞)(1 + �̃�)−0,5+𝑞
(54)
Donde:
𝑞 = √(1
4−
𝜔2
𝑐02𝑏2 (1 + 2𝑖𝜉𝑠)
) (55)
�̃� = 𝑏𝐻 (56)
48
En la Figura 11 se observa que se obtiene la misma función de transferencia con la
ecuación analítica propuesta en esta investigación (ecuación (53)) y la ecuación
propuesta por Gazetas (1982) (ecuación (54)).
Figura 11. Comparación de la solución analítica propuesta para el caso de roca rígida con la solución propuesta para este mismo caso por Gazetas (1982). 𝒗𝟎 = 𝟏𝟎𝟎
𝒎
𝒔,
𝒗𝟎
𝒗𝑯=
𝟎, 𝟓𝟎, 𝑯 = 𝟑𝟎 𝒎 𝒚 𝝃𝑺 = 𝟓%
7.2. Función de transferencia para el caso de roca elástica
La función de transferencia considerando el modelo de base sobre roca elástica está
dada por:
𝐹𝑇 (𝜔) =𝑢𝑠 (𝑧𝑠 = 0)
𝑢𝑟 (𝑧𝑟 = 0)𝑂𝑢𝑡𝑐𝑟𝑜𝑝𝑝𝑖𝑛𝑔 (57)
Donde:
𝑢𝑠 (𝑧𝑠 = 0) = Desplazamiento en la superficie del suelo
49
𝑢𝑟 (𝑧𝑟 = 0)𝑂𝑢𝑡𝑐𝑟𝑜𝑝𝑝𝑖𝑛𝑔 = Desplazamiento en la superficie de la roca considerando que no
hay suelo sobre ésta.
Si se considera 𝜉𝑠 = 𝜉𝑟 = 0 y 𝜌𝑠 = 𝜌𝑟, la ecuación de la función de transferencia para
el caso de estudio está dada por:
𝐹(𝜔)
= −2𝑟 ∗ 𝑣0
𝑟−1/2∗ 𝑒
𝑖𝜔
𝑣𝑠𝑟𝐻
(𝑎𝐻 + 𝑣0)𝑟− 12 ∗ (−𝑟 −
12
) − (𝑟 −12
) ∗ 𝑣02𝑟 ∗ (𝑎𝐻 + 𝑣0)−𝑟−
12 −
(𝑎𝐻 + 𝑣0)𝑟+12 ∗ 𝜔 ∗ 𝑖
𝑣𝑠𝑟 ∗ 𝑎+
𝑣02𝑟 ∗ (𝑎𝐻 + 𝑣0)−𝑟+
12 ∗ 𝜔 ∗ 𝑖
𝑣𝑠𝑟 ∗ 𝑎
(58)
Donde:
𝑟 = √−𝜔2
𝑎2+
1
4 (59)
Los periodos y las amplitudes se obtienen del valor absoluto de la función de
transferencia, la cual, luego de las respectivas operaciones matemáticas para agrupar la
parte real y la parte imaginaria de los números complejos y estimar su módulo queda:
a) Si −𝜔2
𝑎2 +1
4< 0
|𝐹(𝜔)| = 2 ∗ |√𝑅 ||𝑣0
−1/2|
√(𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑅𝑒𝑎𝑙)2 + (𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎)2 (60)
Donde:
𝑅 = 𝐴𝑏𝑠 (−𝜔2
𝑎2+
1
4)
(61)
50
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑅𝑒𝑎𝑙 = (𝑎𝐻 + 𝑣0)−1/2
∗ [−𝑐𝑜𝑠𝜃
2+ √𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 + √𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 +
1
2𝑐𝑜𝑠2𝛼 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − √𝑅
∗ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 +1
2𝑠𝑒𝑛2𝛼 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃] +
(𝑎𝐻 + 𝑣0)1/2
𝑣𝑠𝑟 ∗ 𝑎
∗ [𝜔 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜔 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜔 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃]
(62)
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎
= (𝑎𝐻 + 𝑣0)−1/2
∗ [−𝑠𝑒𝑛𝜃
2− √𝑅 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − √𝑅 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 +
1
2𝑠𝑒𝑛2𝛼 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − √𝑅
∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 −1
2𝑐𝑜𝑠2𝛼 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃] +
(𝑎𝐻 + 𝑣0)1/2
𝑣𝑠𝑟 ∗ 𝑎
∗ [−𝜔 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜔 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜔 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃]
(63)
𝜃 = √𝑅 ∗ ln (𝑎𝐻 + 𝑣0)
(64)
𝛼 = √𝑅 ∗ 𝑙𝑛(𝑣0)
(65)
b) Si −𝜔2
𝑎2 +1
4> 0
|𝐹(𝜔)| = 2 ∗ |𝑟| |𝑣0
𝑟−1/2|
√(𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑅𝑒𝑎𝑙)2 + (𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎)2 (48)
(66)
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑅𝑒𝑎𝑙 = (𝑎𝐻 + 𝑣0)𝑟− 12 ∗ (−𝑟 −
1
2) − (𝑟 −
1
2) ∗ 𝑣0
2𝑟 ∗ (𝑎𝐻 + 𝑣0)−𝑟− 12 (67)
51
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 𝜔
𝑣𝑠𝑟 ∗ 𝑎 [−(𝑎𝐻 + 𝑣0)𝑟+
12 + 𝑣0
2𝑟 ∗ (𝑎𝐻 + 𝑣0)−𝑟+ 12 ]
(68)
Si se considera para el caso de velocidad en estudio la proporción entre la velocidad en
superficie (𝑣0) y la velocidad en la interfaz suelo – roca (𝑣𝐻), y se evalúan diferentes
relaciones 𝑣0
𝑣𝐻 se obtienen las funciones de transferencia que se presentan en la Figura
12:
Figura 12. Funciones de Transferencia para diferentes relaciones 𝒗𝟎
𝒗𝑯 para el modelo de
base sobre roca elástica 𝒗𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝒎
𝒔, 𝒗𝒔𝒓 = 𝒗𝑯, 𝑯 = 𝟑𝟎 𝒎 𝝃𝑺 = 𝝃𝒓 = 𝟎%, 𝝆𝑺 = 𝝆𝒓 = 𝟐𝟎𝟎𝟎
𝒌𝒈
𝒎𝟑
En la Figura 12 se puede observar que entre menor se va haciendo la relación 𝑣0
𝑣𝐻 ,
mayores serán las amplitudes de los desplazamientos y por otro lado, las frecuencias
naturales del depósito de suelo también se van haciendo mayores, lo que indica que el
depósito empieza a comportarse más rígidamente.
52
7.3. Comparación de las funciones de transferencia para el caso de roca rígida y el caso de roca elástica
Para el caso de velocidad de onda de corte variando linealmente, el efecto de considerar
base sobre roca rígida o base sobre roca elástica se puede observar en la Figura 13,
Figura 14, Figura 15 y Figura 16, para diferentes relaciones 𝑣0
𝑣𝐻 considerando 𝜉𝑠 = 5%
para el caso de roca rígida y 𝜉𝑠 = 𝜉𝑟 = 0% para el caso de roca elástica. Se observa
entonces en dichas figuras, al igual que en el caso convencional, una disminución muy
significativa en la amplitud cuando se considera el modelo de roca elástica.
Adicionalmente, se observa que las frecuencias naturales no coinciden. Para el caso de
roca elástica las frecuencias naturales son mayores.
Finalmente, es importante resaltar que los picos de amplificación en el caso de roca
elástica son muy cercanos en magnitud y la gráfica no presenta valles tan pronunciados
como en el caso de roca rígida. Lo anterior conlleva a que para este caso las formas
modales no se logren identificar fácilmente.
53
Figura 13. Comparación de la función de transferencia para el caso de roca rígida y el
caso de roca elástica. 𝒗𝟎
𝒗𝑯= 𝟎, 𝟏𝟎, 𝒗𝒔𝒓 = 𝒗𝑯 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒎
𝒔, 𝑯 = 𝟑𝟎 𝒎, 𝝆𝑺 = 𝝆𝒓 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
𝒌𝒈
𝒎𝟑 , 𝝃𝑺 =
𝟓% 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒐𝒄𝒂 𝒓í𝒈𝒊𝒅𝒂 𝒚 𝝃𝑺 = 𝝃𝒓 = 𝟎% 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒐𝒄𝒂 𝒆𝒍á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂
Figura 14. Comparación de la función de transferencia para el caso de roca rígida y el caso de roca elástica. 𝒗𝟎
𝒗𝑯= 𝟎, 𝟑𝟎, 𝒗𝒔𝒓 = 𝒗𝑯 = 𝟑𝟑𝟑, 𝟑𝟑
𝒎
𝒔, 𝑯 = 𝟑𝟎 𝒎, 𝝆𝑺 = 𝝆𝒓 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
𝒌𝒈
𝒎𝟑 ,
𝝃𝑺 = 𝟓% 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒐𝒄𝒂 𝒓í𝒈𝒊𝒅𝒂 𝒚 𝝃𝑺 = 𝝃𝒓 = 𝟎% 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒐𝒄𝒂 𝒆𝒍á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂
54
Figura 15. Comparación de la función de transferencia para el caso de roca rígida y el caso de roca elástica. 𝒗𝟎
𝒗𝑯= 𝟎, 𝟓𝟎, 𝒗𝒔𝒓 = 𝒗𝑯 = 𝟐𝟎𝟎
𝒎
𝒔, 𝑯 = 𝟑𝟎 𝒎, 𝝆𝑺 = 𝝆𝒓 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
𝒌𝒈
𝒎𝟑 , 𝝃𝑺 =
𝟓% 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒐𝒄𝒂 𝒓í𝒈𝒊𝒅𝒂 𝒚 𝝃𝑺 = 𝝃𝒓 = 𝟎% 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒐𝒄𝒂 𝒆𝒍á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂
Figura 16. Comparación de la función de transferencia para el caso de roca rígida y el
caso de roca elástica. 𝒗𝟎
𝒗𝑯= 𝟎, 𝟗𝟎, 𝒗𝒔𝒓 = 𝒗𝑯 = 𝟏𝟏𝟏, 𝟏𝟏
𝒎
𝒔, 𝑯 = 𝟑𝟎 𝒎, 𝝆𝑺 = 𝝆𝒓 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
𝒌𝒈
𝒎𝟑 , 𝝃𝑺 =
𝟓% 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒐𝒄𝒂 𝒓í𝒈𝒊𝒅𝒂 𝒚 𝝃𝑺 = 𝝃𝒓 = 𝟎% 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒐𝒄𝒂 𝒆𝒍á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂
55
8. FORMAS MODALES
A partir de las frecuencias naturales obtenidas con el modelo de roca rígida se obtuvo
las formas modales en el depósito de suelo para los tres primeros modos considerando
diferentes relaciones 𝑣0
𝑣𝐻.
En la Figura 17, Figura 18 y Figura 19 se encuentran graficadas las formas modales
para el primer, segundo y tercer modo, respectivamente. Dichas gráficas incluyen a
manera de comparación las formas modales del caso de velocidad constante, las cuales
se encuentran descritas por la siguiente expresión:
𝑈 = cos ( (2𝑛 − 1)𝜋
2 𝑧
𝐻 ) 𝑛 = 1, 2, 3 … (69)
La Figura 17 corresponde a la gráfica del primer modo de vibración. En ésta se observa
la misma tendencia y una gran similitud de las gráficas para el caso de velocidad
constante y el caso 𝑣0
𝑣𝐻= 0,9. Se observa también que a medida que la relación 𝑣0
𝑣𝐻 se va
haciendo menor, las gráficas pasan de ser cóncavas a ser convexas y se van acercando
más a la superficie del depósito.
La Figura 17 coincide con la gráfica presentada por Gazetas (1982) para las formas
modales del primer modo de vibración.
56
Figura 17. Forma modal normalizada por el desplazamiento en superficie – Modo 1
En la Figura 18 se presenta la gráfica de las formas modales para el modo 2. Se observa
como a medida que la relación 𝑣0
𝑣𝐻 se hace menor los cambios de signo se dan mucho
más cerca de la superficie, las amplitudes de los desplazamientos van disminuyendo y
las gráficas se van acercando cada vez más a la superficie.
También se puede observar que a medida que la relación 𝑣0
𝑣𝐻 se hace menor, las gráficas
de las formas modales en cercanía a la superficie se van volviendo tangente a la
horizontal, lo cual refleja una deformación muy grande, tendiendo a infinito.
Un análisis similar se puede realizar para el modo 3, presentado en la Figura 19.
57
Figura 18. Forma modal normalizada por el desplazamiento en superficie – Modo 2
Figura 19. Forma modal normalizada por el desplazamiento en superficie – Modo 3
58
9. COMPARACIÓN DE LA RESPUESTA DINÁMICA OBTENIDA CON EL CASO DE VELOCIDAD DE ONDA DE CORTE VARIANDO LINEALMENTE Y EL
CASO DE VELOCIDAD DE ONDA DE CORTE CONSTANTE
En este capítulo se evaluará el impacto en la respuesta dinámica del suelo al considerar
un depósito con velocidad de onda de corte variando linealmente con la profundidad
(depósito no homogéneo) en relación con un depósito con velocidad de onda de corte
constante (depósito homogéneo), para el cual la velocidad constante se estimará a partir
de los siguientes casos típicamente usados en la práctica:
• Caso 1: Velocidad de onda de corte igual a la mínima velocidad del depósito de
suelo:
𝑣𝑠𝑠 = 𝑣0
(70)
• Caso 2: Velocidad de onda de corte obtenida como aquella velocidad que genera
igual tiempo de viaje de la onda de la base a la superficie:
𝑣𝑠𝑠 = 𝐻
∫𝑑𝑧
𝑣𝑠𝑠(𝑧)𝐻
0
(71)
Donde 𝑣𝑠𝑠(𝑧) corresponde a la ecuación (19)
Este es el caso que consideran diferentes códigos sísmicos tales como el Building
Seismic Safety Council (BSSC, 2015), International Code Council (ICC, 2015),
European Committee for Standardization (CEN, 2004), Instituto Nacional de
Normalización (INN, 2012) y Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica (AIS,
2010) para la clasificación del tipo de perfil de suelo.
• Caso 3: Estimando 𝑣𝑠𝑠 como la velocidad promedio del depósito:
59
𝑣𝑠𝑠 = 1
𝐻 ∫ 𝑣𝑠𝑠
𝐻
0
(𝑧) 𝑑𝑧
(72)
Donde 𝑣𝑠𝑠(𝑧) corresponde a la ecuación (19)
• Caso 4: Determinando la velocidad de onda de corte que genera el mismo periodo
fundamental del depósito con velocidad de onda de corte variando linealmente
(depósito no homogéneo):
𝑣𝑠𝑠 = 4𝐻
𝑇𝐷𝑒𝑝ó𝑠𝑖𝑡𝑜 𝑁𝑜 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑜
(73)
• Caso 5: Velocidad de onda de corte igual a la máxima velocidad del depósito de
suelo:
𝑣𝑠𝑠 = 𝑣𝐻 (74)
El análisis se realiza a partir de las funciones de transferencia obtenidas con el modelo
de roca elástica para cada uno de los casos anteriormente presentados, considerando
las cuatro diferentes configuraciones de depósitos que se presentan en la Tabla 2.
Tabla 2. Configuraciones de depósito para el análisis
Depósito de Suelo No.
𝑯 (m)
𝒗𝟎/𝒗𝑯 𝒗𝟎
(m/s) 𝒗𝑯
(m/s)) 𝒗𝒔𝒓
(m/s)) 1 30 0,500 100 200 200
2 30 0,250 100 400 400
3 30 0,167 100 600 600
4 30 0,125 100 800 800
En la Tabla 2 se consideraron todos los depósitos con un espesor de 30 m, ya que este
es el espesor definido en diferentes códigos sísmicos (BSSC, 2015; ICC, 2015; CEN,
2004; INN, 2012 y AIS, 2010) para la clasificación del perfil de suelo.
60
Con el fin de evaluar en la respuesta dinámica solo el efecto de la velocidad de onda de
corte, al considerarla constante o variando en forma lineal, se establecerá en las
configuraciones de depósito de la Tabla 2 que el suelo y la roca tienen igual densidad y
amortiguamiento nulo. Por último, en todos los depósitos se considera que la velocidad
de la roca es igual a la velocidad que se obtiene al final del depósito de suelo. Un
esquema de los depósitos a evaluar se presenta en la Figura 20.
Figura 20. Esquema depósitos de suelos a evaluar
A continuación, se presentan las funciones de transferencia obtenidas para cada
depósito:
61
Figura 21. Funciones de transferencia para el depósito de suelo No.1
Figura 22. Funciones de transferencia para el depósito de suelo No.2
62
Figura 23. Funciones de transferencia para el depósito de suelo No.3
Figura 24. Funciones de transferencia para el depósito de suelo No.4
63
En la Figura 21, Figura 22, Figura 23 y Figura 24 se observa para los casos de velocidad
constante (caso 1, caso 2, caso 3, caso 4 y caso 5) que las amplitudes van aumentando
a medida que la relación 𝑣0
𝑣𝐻 disminuye. Dicho aumento se va dando de acuerdo con la
siguiente expresión:
|𝐹𝑇 (𝜔)| = 𝜌𝑟𝑣𝑠𝑟
𝜌𝑠𝑣𝑠𝑠
(75)
La cual se obtiene de la ecuación (17) al considerar 𝜉𝑆 = 𝜉𝑟 = 0%
En la Figura 21, Figura 22, Figura 23 y Figura 24 también se observa que en todas las
relaciones 𝑣0
𝑣𝐻 evaluadas, las mayores amplificaciones se presentan con el caso 1, al cual
se le había asignado la menor velocidad de onda de corte del depósito.
Con respecto a las amplitudes del caso 1 y el caso de variación lineal de la velocidad, se
observa que a medida que la relación 𝑣0
𝑣𝐻 disminuye, la diferencia entre la amplitud
máxima del caso 1 y la amplitud máxima del caso de velocidad lineal se va haciendo
mayor. Para 𝑣0
𝑣𝐻= 0,50 la relación entre la amplitud máxima del caso 1 y la amplitud
máxima del caso de velocidad lineal es cercana al 132%, mientras que para 𝑣0
𝑣𝐻= 0,125
dicha relación es del orden del 240%.
En cuanto a las frecuencias naturales del caso 1 se observa que éstas se mantienen
constantes independientemente de la relación 𝑣0
𝑣𝐻, lo cual era de esperarse ya que para
el caso convencional las frecuencias naturales dependen de la velocidad de onda de
corte y el espesor del depósito de suelo, parámetros que para el caso 1 no cambian al
variar la relación 𝑣0
𝑣𝐻.
A medida que la relación 𝑣0
𝑣𝐻 disminuye se observa que la diferencia entre la frecuencia
fundamental del caso 1 y la frecuencia fundamental del caso de velocidad lineal se va
64
haciendo mayor. Esto es debido a que las frecuencias naturales del caso 1 permanecen
iguales y no se ven afectadas por la relación 𝑣0
𝑣𝐻 (como se mencionó anteriormente),
mientras que las frecuencias naturales del caso de velocidad lineal aumentan a medida
que disminuye la relación 𝑣0
𝑣𝐻. Por lo anterior, se obtiene que para 𝑣0
𝑣𝐻= 0,50 la relación
entre la frecuencia fundamental del caso 1 y la frecuencia fundamental del caso de
velocidad lineal es cercana al 45%, mientras que para 𝑣0
𝑣𝐻= 0,125 la relación es del orden
del 17%.
Siguiendo con el caso 1, es importante resaltar que este caso en relación con los otros
casos de velocidad constante (caso 2, caso 3 y caso 4) y el caso de velocidad lineal, es
el que presenta las frecuencias naturales más pequeñas, lo cual lleva a que se comporte
más flexiblemente que los otros casos mencionados.
En la Figura 21, Figura 22, Figura 23 y Figura 24 también se observa que el caso de
variación lineal de la velocidad presenta mayores amplificaciones que los casos del 2 al
5. Resultados similares encontró Vrettos (2013) quien reportó que cuando el módulo de
rigidez al esfuerzo cortante aumenta con la profundidad, se obtienen amplificaciones
mayores en relación con el caso donde el módulo de rigidez es constante. Por su parte,
Towhata (1996) llegó a la conclusión que cuando el módulo de rigidez al esfuerzo
cortante varía continuamente con la profundidad, más energía sísmica puede alcanzar
la superficie que la asumida en el análisis convencional con módulos discontinuos.
Para los casos 2, 3 y 4 se observa que a medida que disminuye la relación 𝑣0
𝑣𝐻 la velocidad
de onda de corte, las amplitudes y las frecuencias naturales aumentan.
Al comparar las funciones de transferencia de los casos 2, 3 y 4 obtenidas en cada
relación 𝑣0
𝑣𝐻, se observa que el caso 2 presentó amplitudes de desplazamiento más
cercanas al caso de variación lineal de velocidad que los casos 3 y 4. Para 𝑣0
𝑣𝐻= 0,50 la
relación entre la amplitud máxima del caso 2 y la amplitud máxima del caso de variación
65
lineal era cercana al 92%, mientras que para 𝑣0
𝑣𝐻= 0,125 la relación era del orden del
72%.
De los casos 2, 3 y 4, el caso 4 fue el que presentó las mayores diferencias de amplitudes
con el caso de velocidad lineal en todas las relaciones 𝑣0
𝑣𝐻 evaluadas. Para 𝑣0
𝑣𝐻= 0,50 la
relación entre la amplitud máxima del caso 4 y la amplitud máxima del caso de variación
lineal era cercana al 60%, mientras que para 𝑣0
𝑣𝐻= 0,125 la relación era del orden del
41%.
Se observa también en la Figura 21, Figura 22, Figura 23 y Figura 24 que a medida que
la relación 𝑣0
𝑣𝐻 disminuye, las diferencias entre las amplitudes máximas de los casos 2,3 y
4 con respecto a la amplitud máxima del caso de velocidad lineal van aumentando.
De acuerdo con Rovithis et al. (2011), el caso homogéneo podría subestimar la respuesta
dinámica del depósito de suelo. Según los resultados presentados anteriormente, para
el caso de velocidad lineal dicha subestimación de la respuesta dinámica del depósito de
suelo se puede dar cuando se consideran los casos de velocidad 2, 3, 4 y 5.
Con respecto a las frecuencias naturales, de los casos 2 y 3, el caso 3 es el que presenta
frecuencias naturales más cercanas al caso de velocidad lineal. Se observa también que
la diferencia entre las frecuencias naturales del caso 3 y el caso de velocidad lineal se
va haciendo más pequeña a medida que la relación 𝑣0
𝑣𝐻 disminuye. Para 𝑣0
𝑣𝐻= 0,50 la
relación entre la frecuencia fundamental del caso 3 y la frecuencia fundamental del caso
de variación lineal es cercana al 69%, mientras que para 𝑣0
𝑣𝐻= 0,125 la relación es del
orden del 77%.
Por el contrario, en el caso 2 aumenta la diferencia de sus frecuencias naturales en
relación con las frecuencias del caso de velocidad lineal a medida que la relación 𝑣0
𝑣𝐻 disminuye. Para 𝑣0
𝑣𝐻= 0,50 la relación entre la frecuencia fundamental del caso 2 y la
66
frecuencia fundamental del caso de variación lineal es cercana al 66%, mientras que
para 𝑣0
𝑣𝐻= 0,125 la relación es del orden del 57%.
En cuanto a las frecuencias naturales del caso 3 también se observa que éstas son
mayores a las frecuencias naturales del caso 1 y el caso 2, pero menores a las
frecuencias naturales del caso 4 y el caso de velocidad lineal.
El caso 4 por su definición siempre presentó una frecuencia fundamental igual a la
frecuencia fundamental del caso lineal. Sin embargo, las frecuencias subsiguientes son
mayores que las frecuencias del caso de velocidad lineal.
Gazetas (1982) estudió suelos con velocidad de onda de corte variando en profundidad
de la forma 𝑐 = 𝑐0 (1 + 𝜇𝑧)𝑚 con 𝑚 = 1,2
3,
1
2𝑦 ¼ (Véase Numeral 3.2); al comparar los
periodos obtenidos en estos depósitos (depósitos no homogéneos) con los periodos
obtenidos en un suelo con velocidad constante igual a la velocidad obtenida en la mitad
del depósito (depósito homogéneo equivalente), encontró que los suelos no homogéneos
presentaban periodos más cortos, es decir, se comportaban más rígidamente que el
depósito homogéneo equivalente. En la Figura 21, Figura 22, Figura 23 y Figura 24 se
observa un comportamiento muy similar, pues el caso de velocidad lineal presenta
frecuencias naturales mayores que los casos de velocidad constante estudiados. A
conclusiones similares también llegaron (Ambraseys, 1959) y (Towhata, 1996).
En el caso de velocidad variando linealmente se puede observar que a medida que la
relación 𝑣0
𝑣𝐻 disminuye, el valor de la amplitud en la función de transferencia y la frecuencia
fundamental aumentan. Gazetas (1982) también encontró que al incrementar la
constante 𝜇, el suelo no homogéneo progresivamente va siendo más rígido en
comparación con el equivalente depósito homogéneo, así mismo aumentan las
amplitudes.
67
Las conclusiones planteadas anteriormente no solo aplican para las relaciones 𝑣0
𝑣𝐻
evaluadas, aplican para cualquier relación 𝑣0
𝑣𝐻 como se muestra en la Figura 25 y Figura
26.
La Figura 25 muestra como varía la frecuencia fundamental del depósito homogéneo
(caso 1, caso 2, caso 3 y caso 4) en relación con el depósito no homogéneo ( 𝑓1 𝐻𝑜𝑚
𝑓1 𝑁𝑜 𝐻𝑜𝑚),
para valores 𝑣0
𝑣𝐻 en el rango 0,01 hasta 0,97. Se puede observar que el caso 1 y el caso
2 presentan frecuencias fundamentales menores al caso de depósito no homogéneo
para cualquier relación 𝑣0
𝑣𝐻 mientras que el caso 3 presenta frecuencias fundamentales
menores al caso de depósito no homogéneo para el rango 0,02 ≤𝑣0
𝑣𝐻 ≤ 0,97. Lo anterior
reafirma lo dicho anteriormente acerca de que el depósito no homogéneo se comporta
más rígidamente que los depósitos homogéneos estudiados, esta vez generalizado para
cualquier relación 𝑣0
𝑣𝐻.
De acuerdo con la Figura 25, para el caso 1 se obtienen frecuencias fundamentales hasta
un 35% menores a la frecuencia fundamental del caso no homogéneo para 0,88 ≤𝑣0
𝑣𝐻 ≤
0,97 . Para relaciones 𝑣0
𝑣𝐻< 0,88 la diferencia empieza a aumentar progresivamente hasta
obtenerse en 𝑣0
𝑣𝐻= 0,01 que la frecuencia fundamental del caso 1 es un 98% menor que
la frecuencia fundamental del caso no homogéneo.
Para el caso 2 se observa que se obtienen frecuencias fundamentales hasta un 35%
menores a la frecuencia fundamental del caso no homogéneo para relaciones 𝑣0
𝑣𝐻≥ 0,40.
A partir de ahí la diferencia sigue aumentando progresivamente hasta obtenerse en 𝑣0
𝑣𝐻=
0,01 que la frecuencia fundamental del caso 2 es un 56% menor a la frecuencia
fundamental del caso no homogéneo.
68
Para el caso 3 se observa que se obtienen frecuencias fundamentales hasta un 32%
menores a la frecuencia fundamental del caso no homogéneo para relaciones 𝑣0
𝑣𝐻≥ 0,28.
A partir de ahí la diferencia empieza a disminuir progresivamente hasta obtenerse en 𝑣0
𝑣𝐻= 0,01 que la frecuencia fundamental del caso 3 es un 4% mayor a la frecuencia
fundamental del caso no homogéneo.
Como se mencionó anteriormente, de los cinco casos de velocidad constante estudiados,
exceptuando el caso 4, el caso 3 es el que presenta frecuencias fundamentales más
cercanas al caso de variación lineal de la velocidad para todas las relaciones 𝑣0
𝑣𝐻. Sin
embargo, es importante destacar que para relaciones 𝑣0
𝑣𝐻≥ 0,56 el caso 2 presenta una
frecuencia fundamental muy próxima a la del caso 3, con diferencias entre ambas de tan
solo el 3%.
En la Figura 25 solo se presenta graficado el caso 4 para el rango en el cual se obtiene
que la velocidad del depósito de suelo es menor que la velocidad de la roca (𝑣0
𝑣𝐻 ≤ 0,38).
El caso 5 no se grafica ya que en este caso la velocidad del suelo y la roca son iguales,
además al suelo y a la roca se les asignó igual densidad e igual amortiguamiento, por lo
que el valor de amplificación es igual a la unidad para todo valor de 𝑣0
𝑣𝐻, como se observa
en la Figura 21, Figura 22, Figura 23 y Figura 24.
69
Figura 25. Variación de la frecuencia fundamental del caso homogéneo con respecto al
caso no homogéneo para diferentes relaciones 𝑣0
𝑣𝐻
La Figura 26 muestra como varía la amplitud máxima del depósito homogéneo en
relación con el depósito no homogéneo ( 𝐴1 𝐻𝑜𝑚
𝐴1 𝑁𝑜 𝐻𝑜𝑚) para diferentes relaciones 𝑣0
𝑣𝐻.
En esta figura se observa que el caso 1 sobreestima la respuesta del suelo para todos
los valores 𝑣0
𝑣𝐻. Para el rango 0,78 ≤
𝑣0
𝑣𝐻 ≤ 0,97 la amplitud máxima del caso 1 puede ser
hasta 10% mayor que la amplitud máxima del caso no homogéneo; de aquí en adelante
la diferencia se va haciendo progresivamente mayor hasta finalmente obtener en 𝑣0
𝑣𝐻=
0,01 que la amplitud máxima del caso 1 es 420% mayor que la amplitud máxima del caso
no homogéneo.
En la Figura 26 también se puede observar que el caso 2 y el caso 3 presentan
amplitudes 10% menores al caso de depósito de suelo no homogéneo para valores 𝑣0
𝑣𝐻 ≥
70
0,43 y 𝑣0
𝑣𝐻 ≥ 0,54, respectivamente. Además, para el caso 2 y caso 3 se obtiene para 𝑣0
𝑣𝐻<
0,43 y 𝑣0
𝑣𝐻< 0,54, respectivamente, que la diferencia se va haciendo progresivamente
mayor hasta finalmente obtener en 𝑣0
𝑣𝐻= 0,01 que la amplitud máxima del caso 2 y caso
3 es 64% y 89% menor que la amplitud máxima del caso no homogéneo,
respectivamente.
Por otro lado, el caso 4 para el rango en el cual se obtiene una velocidad de onda de
corte menor que la velocidad de la roca (0,01 ≤𝑣0
𝑣𝐻 ≤ 0,38), subestima la respuesta del
suelo entre un 43% y un 89% con respecto a la amplitud máxima del caso no homogéneo.
Se observa también que el caso 5 subestima la respuesta del suelo para todos los valores 𝑣0
𝑣𝐻. Para el rango 0,84 ≤
𝑣0
𝑣𝐻 ≤ 0,97 la amplitud máxima del caso 5 es 10% menor que la
amplitud máxima del caso no homogéneo; de aquí en adelante la diferencia se va
haciendo progresivamente mayor hasta finalmente obtener en 𝑣0
𝑣𝐻= 0,01 que la amplitud
máxima del caso 5 es 92% menor a la amplitud máxima del caso no homogéneo.
De acuerdo con lo anterior, con los casos 1, 2, 3 y 5 se pueden obtener amplitudes muy
cercanas al caso no homogéneo, con porcentajes de error menores al 10%, por lo
general cuando hay una variación suave de la velocidad con la profundidad.
Rovithis et al. (2011) estudió las funciones de transferencia para el caso de roca rígida y
encontró resultados similares, planteó que en términos de amplitudes resonantes, el
reemplazo de una capa de suelo no homogénea con una equivalente homogénea puede
ser válido solo para una variación suficientemente suave de la velocidad de onda de corte
con la profundidad.
71
Figura 26. Variación de la amplitud máxima del caso homogéneo con respecto al caso no
homogéneo para diferentes relaciones 𝑣0
𝑣𝐻
72
10. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN APROXIMADA PARA EL PERIODO FUNDAMENTAL
10.1. Caso base sobre roca rígida
Al solucionar la ecuación (21) considerando el amortiguamiento igual a cero, se obtiene
la siguiente ecuación de desplazamientos:
𝑢𝑠(𝑧, 𝑡) = [𝐶1 (𝑎𝑧 + 𝑣0)𝑟−1/2 + 𝐶2 (𝑎𝑧 + 𝑣0)−𝑟−1/2] 𝑒𝑖𝜔𝑡
(76)
Donde:
𝑟 = 𝑖 𝜆
(77)
𝜆 = √−1
4+
𝜔2
𝑎2 (78)
Para el modelo de base sobre roca rígida se consideran las siguientes dos condiciones
de frontera: desplazamiento igual a cero en la interfaz suelo – roca con el fin de
considerar las vibraciones libres (ecuación (79)) y de acuerdo con el numeral 5.2 el
esfuerzo cortante debe ser igual a cero en la superficie (ecuación (80)):
𝑢𝑠(𝐻, 𝑡) = 0
(79)
𝜏 (0, 𝑡) = 𝐺𝑠(0)𝜕𝑢𝑠 (0, 𝑡)
𝜕𝑧+ 𝜂
𝜕
𝜕𝑡 (
𝜕𝑢𝑠 (0, 𝑡)
𝜕𝑧) = 0
(80)
Finalmente, se obtienen las siguientes ecuaciones:
𝐶1 (𝑖𝜆 −1
2) 𝑣0
𝑖𝜆 + 𝐶2 (−𝑖𝜆 −1
2) 𝑣0
−𝑖𝜆 = 0 (81)
73
𝐶1(𝑎𝐻 + 𝑣0)𝑖𝜆−1/2 + 𝐶2(𝑎𝐻 + 𝑣0)−𝑖𝜆−12 = 0
(82)
Resolviendo simultáneamente las anteriores dos ecuaciones se llega a la siguiente
expresión:
𝜆𝑛 ln(𝑎𝐻 + 𝑣0) − 𝜆𝑛 ln(𝑣0) + 𝑡𝑎𝑛−1(2𝜆𝑛) = 𝑛𝜋 (83)
Solucionando numéricamente la anterior ecuación para cada valor de 𝑛 se obtienen los
valores de 𝜆𝑛, con los cuales se estiman los diferentes periodos naturales a partir de la
siguiente ecuación:
𝑇𝑛 = 4𝜋
𝑎 √4 𝜆𝑛2 + 1
(84)
Ya que la ecuación (84) requiere ser solucionada numéricamente, a continuación se
planteará para el periodo fundamental amortiguado una ecuación aproximada, práctica
y simple, para la cual solo se requiera una calculadora de mano para su solución.
De acuerdo con la ecuación (53), la función de transferencia para el caso de roca rígida
se encuentra determinada por las variables 𝜉𝑠, 𝑎, 𝐻, 𝑣0 y 𝜔.
Fijando el amortiguamiento en 𝜉𝑠 = 5% y la velocidad de onda de corte en superficie en
𝑣0 = 100 𝑚/𝑠 las variables que quedan son 𝑎, 𝐻 y 𝜔.
Con el fin de considerar todas las diferentes posibilidades de variación de la velocidad
de onda de corte que se pueden dar en el depósito de suelo, se considerará la variable 𝑣0
𝑣𝐻 para el rango 0,01 ≤
𝑣0
𝑣𝐻 ≤ 0,97. Así, la tasa de variación de velocidad con la
74
profundidad (𝑎) se obtendrá despejando de la ecuación (19) para el valor 𝑣0
𝑣𝐻 que se
desea evaluar.
Finalmente, para la variable 𝐻 se tomarán valores desde 1 m hasta 30 m y las frecuencias
angulares (𝜔) evaluadas serán las necesarias hasta encontrar el periodo fundamental.
De acuerdo con lo anterior, al graficar los resultados obtenidos para el periodo
fundamental real (𝑇) para cada 𝑣0
𝑣𝐻 desde 0,01 hasta 0,97 (con un tamaño de paso de
0,01) y cada valor de 𝐻, se obtiene la gráfica que se muestra en la Figura 27:
Figura 27. Variación del periodo fundamental para el caso de roca rígida considerando
𝒗𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝒎
𝒔, 𝝃𝒔 = 𝟓%
Al analizar cada una de las gráficas de la Figura 27, se observa que cada gráfica se
ajusta muy bien a una ecuación cúbica, como se muestra en la Figura 28, Figura 29, y
Figura 30 para diferentes valores de 𝐻:
75
Figura 28. Variación del periodo fundamental para 𝑯 = 𝟑𝟎 𝒎
76
Figura 29. Variación del periodo fundamental para 𝑯 = 𝟏𝟓 𝒎
Figura 30. Variación del periodo fundamental para 𝑯 = 𝟏 𝒎
77
De acuerdo con la Figura 28, Figura 29 y Figura 30, la ecuación que describe el
comportamiento del periodo para cada 𝐻 tiene la siguiente forma:
𝑇 = 𝑚1 (𝑣0
𝑣𝐻 )
3
+ 𝑚2 (𝑣0
𝑣𝐻 )
2
+ 𝑚3 (𝑣0
𝑣𝐻 ) + 𝑑 (85)
Entonces es posible concluir que la pendiente 𝑚1 de la gráfica para 𝐻 = 1,0 𝑚 se puede
relacionar con la pendiente 𝑚1 de la gráfica para 𝐻 = 5,0 𝑚 o 𝐻 = 20 𝑚, o en definitiva
con la gráfica para cualquier 𝐻 .
En una gráfica 𝐻 vs 𝑚x, se puede observar que las diferentes pendientes (𝑚1, 𝑚2, 𝑚3 y
𝑑) están relacionadas con la altura 𝐻 a través de una ecuación lineal, como se presenta
en la Figura 31, Figura 32, Figura 33 y Figura 34:
Figura 31. Variación de la pendiente 𝒎𝟏 con el espesor del depósito (𝑯) – Caso roca
rígida
78
Figura 32. Variación de la pendiente 𝒎𝟐 con el espesor del depósito (𝑯) – Caso roca
rígida
Figura 33. Variación de la pendiente 𝒎𝟑 con el espesor del depósito (𝑯) – Caso roca
rígida
79
Figura 34. Variación de la pendiente 𝒅 con el espesor del depósito (𝑯) – Caso roca
rígida
De acuerdo con la Figura 31, Figura 32, Figura 33 y Figura 34 las pendientes 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3
y 𝑑 se definen como se muestra en las siguientes ecuaciones:
𝑚1 = 0,015286 𝐻 (86)
𝑚2 = −0,038025 𝐻 (87)
𝑚3 = 0,062219 𝐻 (88)
𝑑 = 0,000750 𝐻 (89)
Reemplazando las ecuaciones (86), (87), (88) y (89) en la ecuación (85) se obtiene:
80
𝑇𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 𝜉=5% = 0,015286 𝐻 (𝑣0
𝑣𝐻 )
3
− 0,038025 𝐻 (𝑣0
𝑣𝐻 )
2
+ 0,062219 𝐻 (𝑣0
𝑣𝐻 ) + 0,000750 𝐻 (90)
Ahora, si se comparan los valores obtenidos del periodo aproximado (𝑇𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 𝜉=5%)
con el periodo real (𝑇) se obtienen diferencias entre ambos periodos máximas del 3,33%
(Véase Figura 35), para un rango 𝑣0
𝑣𝐻 desde 0,05 hasta 0,97.
Figura 35. % Error Periodo obtenido con la Ecuación 𝑇𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 𝜉=5% con respecto al
Periodo Real (𝑇) considerando 𝒗𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝒎
𝒔 𝒚 𝝃𝒔 = 𝟓%
Con el fin de generalizar una ecuación válida para cualquier valor de 𝑣0 y cualquier valor
de 𝜉𝑠, se realizó el mismo procedimiento descrito anteriormente con diferentes valores
de 𝑣0 y diferentes valores de 𝜉𝑠. Finalmente, se determinó la siguiente expresión para
𝑇𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥:
𝑇𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 = (1,5286 (𝑣0
𝑣𝐻 )
3
− 3,8025 (𝑣0
𝑣𝐻 )
2
+ 6,2219 (𝑣0
𝑣𝐻 ) + 0,0750 ) ∗
𝐻
𝑣0 (91)
81
La ecuación (91) es entonces la ecuación para el periodo fundamental para un depósito
de suelo con velocidad variando linealmente con la profundidad, sobre roca rígida y para
el caso con amortiguamiento. Con esta ecuación se obtienen errores menores al 3,50%
cuando se considera 0,05 ≤𝑣0
𝑣𝐻≤ 0,97, 90
𝑚
𝑠≤ 𝑣0 ≤ 400 𝑚/𝑠 y 0 < 𝜉𝑠 ≤ 15% (Véase
Figura 36).
82
a) 𝑣0 = 175
𝑚
𝑠− 𝜉𝑠 = 5%
b) 𝑣0 = 241
𝑚
𝑠− 𝜉𝑠 = 7,5%
c) 𝑣0 = 297
𝑚
𝑠− 𝜉𝑠 = 10 %
d) 𝑣0 = 333
𝑚
𝑠− 𝜉𝑠 = 15%
Figura 36. Error (%) obtenido con la Ecuación 𝑇𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 con respecto al Periodo Real (𝑇)
83
10.2. Caso base sobre roca elástica
Previamente en el numeral 2 se mostró que el modelo de roca elástica, a diferencia del
modelo de roca rígida considera las variables 𝜌, 𝜉 𝑦 𝑣𝑠 tanto del suelo como de la roca.
Ya que esta investigación se enfocó en el efecto causado por una velocidad de onda de
corte variando linealmente, se considera en este numeral 𝜌𝑠 = 𝜌𝑟 y 𝜉𝑠 = 𝜉𝑟 = 0, con el
fin de identificar más claramente los efectos anteriormente mencionados.
Adicionalmente, se consideró el perfil de velocidades presentado en la Figura 20 en el
cual se define que la velocidad de onda de corte de la roca es constante e igual a la
velocidad obtenida en la base del depósito de suelo, como se muestra a continuación:
𝑣𝑠𝑟 = 𝑣𝐻 = 𝑎𝐻 + 𝑣0 (92)
De acuerdo con la ecuación (58) la función de transferencia para el caso de roca elástica
depende de las variables 𝑎, 𝐻, 𝑣0, 𝑣𝑠𝑟 y 𝜔.
Teniendo en cuenta que 𝑣𝑠𝑟 se definió en términos de 𝑎, 𝐻 𝑦 𝑣0 (ecuación (92)) y fijando
la velocidad de onda de corte en superficie en 𝑣0 = 100 𝑚/𝑠 las variables que quedan
son 𝑎, 𝐻 y 𝜔.
De aquí en adelante se sigue el mismo procedimiento planteado en el numeral 10.1
Al graficar los resultados obtenidos para el periodo fundamental real (𝑇) para cada 𝑣0
𝑣𝐻
desde 0,01 hasta 0,97 (con un tamaño de paso de 0,01) y cada valor de 𝐻, se obtiene la
gráfica que se muestra en la Figura 37:
84
Figura 37. Variación del periodo fundamental para el caso de roca elástica considerando
𝒗𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝒎
𝒔, 𝒗𝒔𝒓 = 𝒗𝑯, 𝝆𝒔 = 𝝆𝒓, 𝝃𝒔 = 𝝃𝒓 = 𝟎, 𝟎 %
Al igual que en el caso para roca rígida (numeral 10.1) al analizar cada una de las gráficas
de la Figura 37, se concluyó que cada una de ellas se ajusta muy bien a una ecuación
cúbica y se determinó que las diferentes pendientes (𝑚1, 𝑚2, 𝑚3 y 𝑑) están relacionadas
con la altura 𝐻 a través de una ecuación lineal, como se presenta en la Figura 38, Figura
39, Figura 40 y Figura 41:
85
Figura 38. Variación de la pendiente 𝒎𝟏 con el espesor del depósito (𝑯) – Caso roca
elástica
Figura 39. Variación de la pendiente 𝒎𝟐 con el espesor del depósito (𝑯) – Caso roca
elástica
86
Figura 40. Variación de la pendiente 𝒎𝟑 con el espesor del depósito (𝑯) – Caso roca
elástica
Figura 41. Variación de la pendiente 𝒅 con el espesor del depósito (𝑯) – Caso roca
elástica
87
De acuerdo con la Figura 38, Figura 39, Figura 40 y Figura 41 se puede observar que
las pendientes 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3 y 𝑑 se definen como se muestra en las siguientes ecuaciones:
𝑚1 = 0,016975 𝐻 (93)
𝑚2 = −0,040717 𝐻 (94)
𝑚3 = 0,051144 𝐻 (95)
𝑑 = 0,000878 𝐻 (96)
Con las ecuaciones (93), (94), (95) y (96) se determinó la siguiente ecuación para el
periodo aproximado sobre roca elástica:
𝑇𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 = 0,016975 𝐻 (𝑣0
𝑣𝐻 )
3
− 0,040717 𝐻 (𝑣0
𝑣𝐻 )
2
+ 0,051144 𝐻 (𝑣0
𝑣𝐻 )
+ 0,000878 𝐻
(97)
Ahora, si se comparan los valores obtenidos del periodo aproximado (𝑇𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥) con
el periodo real (𝑇) se obtienen diferencias entre ambos periodos máximas del 4,20%
(Véase Figura 42), para un rango 𝑣0
𝑣𝐻 desde 0,04 hasta 0,97.
88
Figura 42. % Error Periodo obtenido con la Ecuación 𝑇𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 con respecto al
Periodo Real (𝑇) considerando 𝒗𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝒎
𝒔, 𝒗𝒔𝒓 = 𝒗𝑯, 𝝆𝒔 = 𝝆𝒓, 𝝃𝒔 = 𝝃𝒓 = 𝟎, 𝟎%
Variando el valor de 𝑣0 y realizando el mismo procedimiento planteado en el numeral
10.1, se determinó que la ecuación para 𝑇𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 se puede generalizar para
diferentes valores de 𝑣0 así:
𝑇𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 = (1,6975 (𝑣0
𝑣𝐻 )
3
− 4,0717 (𝑣0
𝑣𝐻 )
2
+ 5,1144 (𝑣0
𝑣𝐻 ) + 0,0878 ) ∗
𝐻
𝑣0 (98)
La ecuación (98) es entonces la ecuación para el periodo fundamental para un depósito
de suelo con velocidad variando linealmente con la profundidad, sobre roca elástica, con
densidad igual a la densidad de la roca, amortiguamiento nulo tanto de la roca como del
suelo y para el caso en que la velocidad de la roca es igual a la velocidad final del
depósito de suelo. Con esta ecuación se obtienen errores menores al 4,20% cuando se
considera 0,04 ≤𝑣0
𝑣𝐻≤ 0,97 y 90
𝑚
𝑠≤ 𝑣0 ≤ 400 𝑚/𝑠 (Véase Figura 43).
89
a) 𝑣0 = 175 𝑚/𝑠
b) 𝑣0 = 241 𝑚/𝑠
c) 𝑣0 = 297 𝑚/𝑠
d) 𝑣0 = 333 𝑚/𝑠
Figura 43. Error (%) obtenido con la Ecuación 𝑇𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 con respecto al Periodo Real (𝑇)
90
10.3. Comparación de las ecuaciones de periodo fundamental aproximado obtenidas para el caso de roca rígida y el caso de roca elástica
Las ecuaciones (91) y (98) en su forma son similares a la ecuación del periodo
fundamental para el caso de un depósito de suelo con velocidad constante sobre roca
rígida, la cual se presenta a continuación:
𝑇 =4𝐻
𝑣𝑠𝑠 (99)
Las expresiones para 𝑇𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 y 𝑇𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 se pueden expresar exactamente en la
forma de la ecuación (99) haciendo:
𝑇𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 = 4𝐻
𝑣𝑒𝑞 (100)
y
𝑇𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 = 4𝐻
𝑣𝑒𝑞 (101)
En términos generales las ecuaciones (100) y (101) conllevan a:
4𝐻
𝑣𝑒𝑞= (𝑚1 (
𝑣0
𝑣𝐻 )
3
+ 𝑚2 (𝑣0
𝑣𝐻 )
2
+ 𝑚3 (𝑣0
𝑣𝐻 ) + 𝑑) ∗
𝐻
𝑣0 (102)
Finalmente se obtiene:
𝑣𝑒𝑞 =4𝑣0
𝑚1 (𝑣0
𝑣𝐻 )
3
+ 𝑚2 (𝑣0
𝑣𝐻 )
2
+ 𝑚3 (𝑣0
𝑣𝐻 ) + 𝑑
(103)
Despejando en la ecuación (103) la relación 𝑣𝑒𝑞
𝑣0 se obtiene:
91
𝑣𝑒𝑞
𝑣0=
4
𝑚1 (𝑣0
𝑣𝐻 )
3
+ 𝑚2 (𝑣0
𝑣𝐻 )
2
+ 𝑚3 (𝑣0
𝑣𝐻 ) + 𝑑
(104)
La ecuación (104) graficada tanto para el caso de roca rígida como para el caso de roca
elástica se presenta en la Figura 44. Al leer en dicha figura la relación 𝑣0
𝑣𝐻 y su respectivo
valor de 𝑣𝑒𝑞
𝑣0, luego reemplazando por el valor de 𝑣0 se obtiene el valor de 𝑣𝑒𝑞, el cual
reemplazado en la respectiva ecuación (100) o ecuación (101) permite obtener de una
manera más fácil y rápida el valor de 𝑇𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 o 𝑇𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥.
Figura 44. Gráfica para obtener 𝑻𝑹í𝒈𝒊𝒅𝒐 𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙 y 𝑻𝑬𝒍á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙 con la ecuación
𝑇 = 4𝐻
𝑣𝑒𝑞
92
De acuerdo con la Figura 44 se concluye que con el caso de roca elástica se obtienen
periodos fundamentales hasta un 20% más bajos que el periodo obtenido con el caso de
roca rígida para 𝑣0
𝑣𝐻≤ 0,29 y hasta un 30% más bajos para 𝑣0
𝑣𝐻> 0,29.
93
11. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN APROXIMADA PARA LA AMPLITUD MÁXIMA
11.1. Amplitud máxima para el caso de roca rígida
Al graficar las amplitudes obtenidas en los periodos fundamentales para cada valor de 𝑣0
𝑣𝐻 y cada valor de 𝐻, considerando 𝑣0 = 100
𝑚
𝑠 𝑦 𝜉𝑠 = 5%, se obtiene la gráfica que se
presenta en la Figura 45:
Figura 45. Amplitud máxima para el caso de roca rígida considerando 𝒗𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 𝒎/𝒔 y
𝝃𝒔 = 𝟓%
En la Figura 45 se puede observar que se obtiene la misma gráfica o una gráfica muy
similar para los diferentes valores de 𝐻. Lo anterior no indica que la amplitud no depende
de 𝐻, ya que como se puede observar en la ecuación (53) la variable 𝐻 está siempre
94
presente, lo que sucede es que 𝐻 se encuentra dentro del paréntesis que define a 𝑣𝐻
(𝑣𝐻 = 𝑎𝐻 + 𝑣0).
Al variar el valor de 𝑣0 y el valor de 𝜉𝑠, se dedujo la siguiente ecuación aproximada para
la amplitud máxima del caso de roca rígida:
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑎 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 =2
𝜋 𝜉𝑠(
𝑣0
𝑣𝐻) −0,13246 (105)
Aunque la ecuación (105) depende de la relación 𝒗𝟎
𝒗𝑯 la cual es un parámetro
adimensional, se concluye que la amplitud máxima no depende del espesor del depósito
de suelo ni de la velocidad de onda de corte, lo anterior es consistente con la ecuación
de la amplitud máxima del caso de velocidad constante para el modelo de roca rígida, la
cual está dada por la ecuación (106):
𝐴 = 2
𝜋
1
𝜉𝑠
(106)
La ecuación (105) es entonces la ecuación para la amplitud máxima para un depósito de
suelo con velocidad variando linealmente con la profundidad, sobre roca rígida y para el
caso con amortiguamiento. Con esta ecuación se obtienen errores menores al 4,30%
cuando se considera 0,02 ≤𝑣0
𝑣𝐻≤ 0,97, 90
𝑚
𝑠≤ 𝑣0 ≤ 400 𝑚/𝑠 y 0 < 𝜉𝑠 ≤ 15% (Véase
Figura 46).
95
a) 𝑣0 = 175 𝑚/𝑠 𝜉𝑠 = 5%
b) 𝑣0 = 241 𝑚/𝑠 𝜉𝑠 = 7,5%
c) ) 𝑣0 = 297 𝑚/𝑠 𝜉𝑠 = 10 %
d) 𝑣0 = 333 𝑚/𝑠 𝜉𝑠 = 15 %
Figura 46. Error Amplitud (%) obtenido con la Ecuación 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎𝑅í𝑔𝑖𝑑𝑎 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 con respecto a la Amplitud Máxima
Real
96
11.2. Amplitud máxima para el caso de roca elástica
Por las razones planteadas en el numeral 10.2, en este numeral también se consideró
𝜌𝑠 = 𝜌𝑟 y 𝜉𝑠 = 𝜉𝑟 = 0. Adicionalmente, se consideró el perfil de velocidades presentado
en la Figura 20, en el cual se define 𝑣𝑠𝑟 = 𝑣𝐻.
Al graficar las amplitudes máximas obtenidas en los periodos fundamentales para cada
valor de 𝑣0
𝑣𝐻 y cada valor de 𝐻, considerando 𝜌𝑠 = 𝜌𝑟 , 𝜉𝑠 = 𝜉𝑟 = 0,0 % 𝑦 𝑣0 = 100
𝑚
𝑠, se
obtiene la gráfica que se presenta en la Figura 47:
Figura 47. Amplitud máxima para el caso de roca elástica considerando 𝒗𝟎 =
𝟏𝟎𝟎𝒎
𝒔, 𝒗𝒔𝒓 = 𝒗𝑯, 𝝆𝒔 = 𝝆𝒓, 𝝃𝒔 = 𝝃𝒓 = 𝟎, 𝟎 %
97
Siguiendo el procedimiento planteado en el Numeral 11.1, se obtuvo la siguiente
ecuación para la amplitud máxima del caso de roca elástica, la cual aplica para cualquier
valor de 𝑣0:
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 = 1,01838 (𝑣0
𝑣𝐻) −0,5637 (107)
La ecuación (107) es entonces la ecuación para la amplitud máxima para un depósito de
suelo con velocidad variando linealmente con la profundidad, sobre roca elástica, con
densidad igual a la densidad de la roca, amortiguamiento nulo tanto de la roca como del
suelo y para el caso en que la velocidad de la roca es igual a la velocidad final del
depósito de suelo. Con esta ecuación se obtienen errores menores al 2,20% cuando se
considera 0,03 ≤𝑣0
𝑣𝐻≤ 0,97 y 90
𝑚
𝑠≤ 𝑣0 ≤ 400 𝑚/𝑠 (Véase Figura 48).
98
a) 𝑣0 = 175 𝑚/𝑠
b) 𝑣0 = 241 𝑚/𝑠
c) 𝑣0 = 297 𝑚/𝑠
d) 𝑣0 = 333 𝑚/𝑠
Figura 48. Error Amplitud (%) obtenido con la Ecuación 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 con respecto a la Amplitud Máxima
Real
99
11.3. Comparación de las ecuaciones de amplitud máxima aproximada obtenidas para el caso de roca rígida y el caso de roca elástica
En la Figura 49 se presentan gráficamente las amplitudes máximas para diferentes
relaciones 𝑣0
𝑣𝐻, para los modelos de roca rígida y roca elástica. Se puede notar en dicha
gráfica las diferencias en las amplitudes máximas al considerar el modelo de roca rígida
y el modelo de roca elástica.
En esta gráfica es importante destacar el hecho que con el caso de roca elástica con
amortiguamiento nulo del suelo y la roca se obtienen amplitudes bastante menores que
el caso de roca rígida, incluso cuando se compara con el caso de roca rígida con
amortiguamiento del suelo del 15%.
Figura 49. Amplitud máxima para el modelo de roca rígida y el modelo de roca elástica.
100
12. CONCLUSIONES
Entre menor es la relación 𝑣0
𝑣𝐻, mayores serán las amplitudes de los desplazamientos, por
otro lado, las frecuencias naturales del depósito de suelo también se van haciendo
mayores, lo que indica que el depósito empieza a comportarse más rígidamente.
Al comparar las funciones de transferencia obtenidas con el modelo de roca rígida y el
modelo de roca elástica, se observó al igual que en el caso convencional, una
disminución muy significativa en la amplitud cuando se considera el modelo de roca
elástica, incluso cuando se considera para el caso de roca elástica un amortiguamiento
nulo.
Al comparar las funciones de transferencia obtenidas con el modelo de roca rígida y el
modelo de roca elástica, se observó que las frecuencias naturales no coinciden, como sí
sucede para el caso de velocidad constante. Para el caso de roca elástica las frecuencias
naturales son mayores, es decir, presenta periodos naturales más pequeños que el caso
de roca rígida. Para relaciones 𝑣0
𝑣𝐻≤ 0,29 el periodo fundamental del caso de roca
elástica puede ser hasta un 20% más bajo que el periodo fundamental del caso de roca
rígida, mientras que para relaciones 𝑣0
𝑣𝐻> 0,29 puede llegar a ser hasta un 30% más bajo.
Lo anterior indica que en el caso de roca elástica el depósito de suelo se comporta más
rígidamente.
En la función de transferencia para el caso de roca elástica se observó que los picos de
amplificación de los diferentes modos son muy cercanos en magnitud y no se presentan
valles pronunciados como en el caso de roca rígida, por lo que en muchas ocasiones no
es fácil identificarlos. Lo anterior pareciera indicar que no hay modos de vibración claros
y que todas las frecuencias tienen una respuesta importante, por lo que se deben
considerar todas de manera continua.
101
Las formas modales para los tres primeros modos mostraron que a medida que la
relación 𝑣0
𝑣𝐻 disminuye, las amplitudes de desplazamiento se reducen más rápidamente
con la profundidad. Para los modos 2 y 3, que tienen cambio de signo, estos cambios de
signo se dan mucho más cerca de la superficie a medida que la relación 𝑣0
𝑣𝐻 disminuye.
En las gráficas de las formas modales también se observó que a medida que la relación 𝑣0
𝑣𝐻 se hace menor, dichas gráficas en cercanía a la superficie se van volviendo tangente
a la horizontal, lo cual refleja una deformación muy grande, tendiendo a infinito.
Gráficamente se compararon las funciones de transferencia del caso de variación lineal
de la velocidad con las funciones de transferencia obtenidas con el caso convencional,
considerando los siguientes casos de velocidad constante: velocidad de onda de corte
mínima del depósito de suelo (caso 1), velocidad que genera el mismo tiempo de viaje
de la onda de la base a la superficie (caso 2), velocidad promedio del depósito de suelo
(caso 3), velocidad que genera el mismo periodo fundamental del depósito no
homogéneo (caso 4) y velocidad máxima del depósito de suelo (caso 5).
Con el caso 1 siempre se presentaron mayores amplificaciones que con el caso de
variación lineal de la velocidad y los casos 2, 3, 4 y 5. Así mismo, con el caso 1 siempre
se obtuvo frecuencias naturales más pequeñas y por lo tanto un comportamiento más
flexible del suelo en relación con el caso de variación lineal de la velocidad y los casos
2, 3 y 4.
El caso de velocidad variando linealmente presenta frecuencias naturales mayores que
los casos 1, 2 y 3, por lo tanto, se comporta más rígidamente que los casos de velocidad
constante anteriormente mencionados.
En términos de frecuencias fundamentales se resalta que reemplazar el depósito no
homogéneo por un depósito homogéneo equivalente con el cual se obtengan magnitudes
de error ≤ 10%, es posible solo con el caso 3 en el estrecho rango de 0,01 ≤𝑣0
𝑣𝐻 ≤ 0,04.
102
De acuerdo con esto se concluye que en términos de frecuencias fundamentales no es
posible reemplazar el depósito no homogéneo con un depósito homogéneo equivalente
cuya velocidad de onda de corte se defina por los casos del 1 al 3.
El caso de velocidad variando linealmente en profundidad genera mayores
amplificaciones que los casos 2, 3, 4 y 5. De acuerdo con lo anterior, se concluye que
dichos casos de velocidad constante subestiman la respuesta dinámica del depósito de
suelo.
En términos de amplitudes máximas se concluye que reemplazar el depósito no
homogéneo por un depósito homogéneo equivalente con el cual se obtengan magnitudes
de error ≤ 10%, es posible con los siguientes casos de velocidad cuando el perfil lineal
de velocidad se encuentra entre los rangos que se definen a continuación:
Con el caso 1 cuando 𝑣0
𝑣𝐻 ≥ 0,78
Con el caso 2 cuando 𝑣0
𝑣𝐻 ≥ 0,43
Con el caso 3 cuando 𝑣0
𝑣𝐻 ≥ 0,54
Con el caso 5 cuando 𝑣0
𝑣𝐻 ≥ 0,84
El comportamiento del periodo fundamental tanto para el caso de roca rígida como para
el caso de roca elástica se ajustó con un porcentaje de error menor al 4,20% a una
ecuación cúbica, sencilla y práctica, la cual depende de las variables 𝑣0,𝑣0
𝑣𝐻 𝑦 𝐻.
El comportamiento de la amplitud máxima tanto para el caso de roca rígida como para el
caso de roca elástica se ajustó con un porcentaje de error menor al 4,30% a una ecuación
potencial, sencilla y práctica, la cual solo depende de las variables 𝜉𝑠 y 𝑣0
𝑣𝐻.
103
13. REFERENCIAS
Afra, H., & Pecker, A. (2002). Calculation of free field response spectrum of a non-
homogeneous soil deposit from bed rock response spectrum. Soil Dynamics and
Earthquake Engineering, 22(2), 157-165.
Ambraseys, N. N. (1959). A note on the response of an elastic overburden of varying
rigidity to an arbitrary ground motion. Bulletin of the Seismological Society of
America, 49(3), 211-220.
Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica (AIS). (2010). Reglamento Colombiano de
Construcción Sismo Resistente NSR-10. Bogotá, D.C.
Building Seismic Safety Council (BSSC). (2015). NEHRP Recommended seismic
provisions for new buildings and other structures . FEMA Federal Emergency
Management Agency.
Dobry, R., Oweis, I., & Urzua, A. (1976). Simplified procedures for estimating the
fundamental period of a soil profile. Bulletin of the Seismological Society of
America, 66(4), 1293-1321.
European Committee for Standardization (CEN). (2004). EN 1998-1: 2004 Eurocode 8:
Design of structures for earthquake resistance - Part 1: General rules, seismic
actions and rules for buildings. Brussels, Belgium.
Gazetas, G. (1982). Vibrational characteristics of soil deposits with variable wave
velocity. International journal for numerical and analytical methods in
Geomechanics, 6(1), 1-20.
104
Idriss, I. M., & Seed, H. B. (1968). Seismic response of horizontal soil layers. Journal of
the soil mechanics and Foundation Division, 1003-1031.
Instituto Nacional de Normalización (INN). (2012). NCh 433. Of1996 modificada en 2012
Diseño sísmico de edificios. Santiago, Chile.
International Code Council (ICC). (2015). IBC International Building Code.
Jacobsen, L. S. (1930). Motion of a soil subjected to a simple harmonic ground
vibration. Bulletin of the Seismological Society of America, 20(3), 160-195.
Kramer, S. L. (1996). Geotechnical Earthquake Engineering. Prentice Hall International
Series.
Roesset, J. M. (1970). Fundamentals of soil amplification. Massachusetts Ins. of Tech.
Rovithis, E. N., Parashakis, H., & Mylonakis, G. E. (2011). 1D harmonic response of
layered inhomogeneous soil: Analytical investigation. Soil Dynamics and
Earthquake Engineering, 31(7), 879-890.
Towhata, I. (1996). Seismic wave propagation in elastic soil with continuous variation of
shear modulus in the vertical direction. Soils and Foundations, 36(1), 61-72.
Travasarou, T., & Gazetas, G. (2004). On the linear seismic response of soils with
modulus varying as a power of depth: the maliakos marine clay. Soils and
foundations, 44(5), 85-93.
Vrettos, C. (2013). Dynamic response of soil deposits to vertical SH waves for different
rigidity depth-gradients. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 47, 41-50.