Resolucion de La Primera Practica Dirigida-conjuntos

U N I V E R S I D A D A L A S P E R U A N A S DIRECCIN UNIVERSITARIA DE EDUCACIN A DISTANCIA

Facultad de Ciencias Empresariales ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACION Y NEGOCIOS INTERNACIONALES

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ASIGNATURA: Matemtica I CICLO: 2013-II DOCENTE: Ing. Omar Castillo Paredes TEMA: Conjuntos

RESOLUCIN DE LA PRIMERA PRCTICA DIRIGIDA

I. EJERCITACIN BSICA Y GENERAL

1. Determinar por extensin:

a) A = {3x+3/ xN 3x5} b) B = {4x / xN 1x5}

Solucin:

a) A = {3x+3/ xN 3x5}

x=3 3x+3 = 3(3)+3 = 12 x=4 3x+3 = 3(4)+3 = 15 A = { 12 ; 15 ; 18 }

x=5 3x+3 = 3(5)+3 = 18

b) B = {4x / xN 1x5}

x=1 4x = 4(1) = 4 x=2 4x = 4(2) = 8

x=3 4x = 4(3) = 12 B = { 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 } x=4 4x = 4(4) = 16 x=5 4x = 4(5) = 20

2. Calcular 3x-y sabiendo que el conjunto M={5x-y; 7x-y-2; 23} es unitario.

a) 9 b) 13 c) 10 d) 12 e) 11

Solucin:

M={5x-y; 7x-y-2; 23} Es unitario (Tiene un solo elemento)

Entonces: 5x-y = 7x-y-2 = 23 5x-y = 7x-y-2 ^ 7x-y-2 = 23

Resolviendo: 5x-y = 7x-y-2 5x-y = 7x-y-2 5x-7x = -2 -2x = -2 x = 1

DUED-Escuela de Negocios Internacionales Matemtica I 2013 II

Tambin: 7x-y-2 = 23 7(1)-y-2 = 23 -y = 23-7+2

-y = 18 y = -18

Se pide: 3x-y = 3(1)-(-18) = 3+18 3x-y = 18

Ninguna de las alternativas es correcta.

3. Si, S={2x+7/ xN 1


4. Si un conjunto A tiene 6x elementos otro B tiene 8x elementos. Cuntos elementos tendr (AUB) sabiendo que (AB) tiene 5x elementos? Adems M=N; M={3x;5} y N={9;y}

a) 13 b) 27 c)30 d) 24 e) 18

Solucin:

M = N , siendo: M={3x ; 5} ; N={9 ; y}

Entonces: 3x = 9 5 = y x = 3 y = 5

Luego: n(A) = 6x = 6(3) = 18 n(B) = 8x = 8(3) = 24 n(AB) = 6x = 5(3) = 15 n(AUB) = ??

Recordar que: n(AUB) = n(A) + n(B) - n(AB) n(AUB) = 18+24-15 n(AUB) = 27 Respuesta: b

5. Dados los conjuntos: P={h;e;x;a;g;o;n;o} y Q={p;e;n;t;a;g;o;n;o}. Determinar: a) PQ b) PQ c) Q P d) n(P UQ) Solucin:

P = { h; e; x; a; g; o; n; o } = { h; e; x; a; g; o; n } Q = { p; e; n; t; a; g; o; n; o } = { p; e; n; t; a; g; o }

Haciendo el Diagrama de Venn-Euler:

a) P Q = { h; x; p; t }

b) P Q = { e; n; a; g; o }

c) Q-P = { p; t } d) n(PUQ) = 9

6. Si: M={2x-1/ xN 3


Solucin:

( *) M = { 2x-1/ xN 3


x-2 = 0 x = 2

(*) H = { xZ/ 2x-6 = 0 } I = { 3 } 2x = 6 x = 3

(*) J = { xZ/ 2 < x < 3 } J = { }

Luego:

I. n(H)=1 ; n(I)=1 n(H)=n(I) . . .VERDADERO

II. HUI = { 2 } U { 3 } = { 2 ; 3 } ; J = { }

HUI J FALSO

III. HI = {2} {3} = { } ; J = { }

HI = J VERDADERO

9. Si el conjunto A tiene 5 elementos, el conjunto B tiene 3 elementos, y adems se sabe que (AB) tiene 2 elementos entonces, cul es la cardinalidad de (AB)?

Solucin: Se cumple: n(A) = 5 n(B) = 3 n(AUB) = n(A)+n(B)-n(AB) n(AB) = 5 n(AUB) = 5+3-2 n(AUB) =?? n(AUB) = 6

10. Dado que el conjunto A est definido como: A={(a;b)/ aN, bN a+b=12}. Cul es la cardinalidad del conjunto A?

Solucin:

A={ (a;b) / aN, bN a + b = 12 }

Luego: A = { (0;12) ; (1;11) ; (2;10) ; (3 ; 9) ; ; (11;1) ; (12;0) }

0 12

( 0 ; 12 ) ( 1; 11 ) ( 2 ; 10 ) ( 3 ; 9 ) ( 4 ; 8 )

.

.

.

( 11 ; 1 ) ( 12 ; 0 )

1 11 2 10 3 9 4 8 .

.

.

.

.

.

11 1 12 0

Forman los pares

ordenados


U(365) N(215) G(210)

215-x 210-x x

0

n(A)=13

Nota: Cada par ordenado (a;b) es un elemento del conjunto A.

11. Determinar cul(es) de las siguientes proposiciones es(son) falsas:

I. '=U II. AA'=U III. AA'=U

12. Si A={1; 2; 3; 4; 5} y B={3;5}. Determinar el conjunto B-A.

13. Si A={a;b;c;d;e}; B={b;c;e} y C={a;e}. Cul es el conjunto (AB)-C?

14. Cul es la interseccin del Conjunto H={0;1;2} y el Conjunto vaco?

15. Dados los conjuntos: A={xN/ x


U(80) M(50) C=(40)

50-x 40-x x

20

U(12) P(8) T(11)

8-x 11-x x

0

17. De un grupo de 80 alumnos, 50 aprobaron matemtica, 40 aprobaron comunicacin y 20 no aprobaron ni matemtica ni comunicacin Cuntos aprobaron los dos cursos?

Solucin:

Representando los conjuntos en Diagramas de Venn-Euler: n(U) = 80 alumnos

x = 30

Respuesta: 30 alumnos aprobaron los dos cursos.

18. Sandra realiza un viaje mensual durante todo el ao a Piura o, a Tumbes. Si 8 viajes fueron a Piura y 11 viajes a Tumbes. Cuntos meses visit los dos lugares?

Solucin:

Representando los conjuntos en Diagramas de Venn-Euler: n(U) = 12 meses

x = 7

Respuesta: En 7 meses del ao, visit los dos lugares.

19. En un grupo de 55 personas, 25 hablan espaol, 32 quechua, 33 ingls y 5 los tres idiomas. Cuntas personas hablan slo 2 de estos idiomas?

Solucin:

Representando los conjuntos en Diagramas de Venn-Euler: n(U) = 55 personas

x: Nmero de alumnos que aprobaron los dos cursos

Del Diagrama de Venn:

50 x + x + 40 - x + 20 = 80 50 + 40 + 20 80 = x

x: Nmero de meses que visit ambos lugares


8 x + x + 11 - x + 0 = 12 8 + 11 + 0 12 = x


U(55) E(25) Q(32)

U(31) G(21) L(15)

21-x 15-x x

0

Sumando en cada miembro: a+b+c+d+e+f+b+d+e+5+5+5 = 25+32+33 Agrupando correctamente: (a+b+c+d+e+f)+( b+d+e)+15 = 90

(a+b+c+d+e+f)+(b+d+e) = 75 (2) Reemplazando (1) en (2):

50+(b+d+e) = 75 b+d+e = 25 Respuesta: Hay 25 personas que hablan slo 2 de estos idiomas.

20. Durante todas las noches del mes de Octubre, Amelia toca guitarra o lee un libro. Si toca guitarra 21 noches y lee un libro 15 noches. Cuntas noches toca guitarra y lee un libro simultneamente?

a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 10

Solucin:

Representando los conjuntos en Diagramas de Venn-Euler: n(U) = 31 noches (El mes de Octubre tiene 31 das)

x = 5

Respuesta a : En 5 noches del mes de Octubre, toc guitarra y ley un libro.

I(33)

a b c

d e

f

5

0

Del Diagrama de Venn-Euler:

(*) Hablan slo 2 idiomas: b + d + e = ? ?

Contando todos los elementos:

a + b + c + d + e + f + 5 + 0 = 55 a + b + c + d + e + f = 50 (1)

Por cada idioma:

E: a + b + d + 5 = 25 Q: b + c + e + 5 = 32 Q: d + e + f + 5 = 33

x: Nmero de noches que toc guitarra y ley un libro simultneamente.


21 x + x + 15 - x + 0 = 31 21 + 15 + 0 31 = x


U A(8) B(12)

21. De 600 alumnos de la academia Jos Mara Arguedas se tienen los siguientes datos: 320 practican ajedrez, 240 practican vley y 100 no practican estos deportes. Cuntos practican ambos deportes?

22. En un curso compuesto por 22 alumnos; 12 estudian alemn; 11 estudian ingls y 11 francs; 6 estudian alemn e ingls; 7 estudian ingls y francs; 5 estudian alemn y francs y 2 estudian los tres idiomas. Cuntos alumnos estudian slo ingls?

23. En una encuesta sobre preferencias de los canales de T.V., 7, 9 y 13 se obtuvo la siguiente informacin:

55 encuestados ven el canal 7 15 slo ven el canal 7 y el canal 9 33 ven el canal 7 y el canal 13 3 slo ven el canal 13 25 ven los tres canales 46 ven el canal 9 6 no ven T.V. 2 slo ven el canal 13 y el canal 9

Sealar: a) La cantidad de personas encuestadas. b) La cantidad de personas que ven slo el Canal 9.

24. Se tienen 3 conjuntos A, B y C, que cumplen las siguientes condiciones:

a) n(A)=3 b) n(AC)=3 c) n(BC)=4 d) n(A)=8 e) n(B)=12 f) n(C)=10 g) n(AC)=1

Determinar la cardinalidad de AUBUC; AUB; BUC.

Solucin: Representando los conjuntos en Diagramas de Venn-Euler

C(10)

3 2 6

2 3

4

1

0

1) Ubicamos en el centro: n(AC)=1

2) Ubicamos: n(A)=3 n(AC)=3 n(BC)=4

3) Completamos: n(A)=8 n(B)=12

n(C)=10

Completada cada regin con su nmero de elementos, ya podemos responder lo que se pide.


Respuestas:

(*) Cardinalidad de (AUBUC):

n(AUBUC) = 3 + 2 + 6 + 2 + 1 + 3 + 4 n(AUBUC) = 21

(*) Cardinalidad de (AUB):

n(AUB) = 3 + 2 + 6 + 2 + 1 + 3 n(AUB) = 17

(*) Cardinalidad de (BUC):

n(BUC) = 2 + 6 + 2 + 1 + 3 + 4 n(BUC) = 18

OCP. Lima, Junio del 2013

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