RESISTENCIA MATERIALES.pdf

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MG. ING. GENARO DELGADO CONTRERAS

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

La Presentacin y disposicin deRESISTENCIA DE MATERIALES,Son propiedad del autor.

Primera Edicin : Febrero de 2009Segunda Edicin : Octubre de 2012

IMPRESO EN PER

DERECHOS RESERVADOS 2009 en LIMA PER por:EDICIVIL SRLtda.

Prohibida la reproduccin parcial o total, por cualquier medio o mtodo, de este

libro sin la autorizacin legal del autor y/o de EDICIVIL SRLtda.

A mis Queridos Alumnos

de la Facultad de Ingeniera Qumica y Textil

de la Universidad Nacional de Ingeniera; que

gracias a su entusiasmo y talento hicieron posible

sacar adelante la presente publicacin.

y a mi Mariser

Con todo mi Amor.


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PROLOGO A LA SEGUNDA EDICION

Es para EDICIVIL una inmensa alegra poder publicar el libro Resistencia de Materiales del Ingeniero Genaro Delgado Contreras.

La presente edicin es el primer libro de texto que publica nuestro autor respecto a las Ciencias Bsicas de la Ingeniera ya que lo hemos siempre auspiciado en libros de tecnologa de la Ingeniera Civil.

Dicha obra es el resultado de la Ctedra que dict en la Facultad de Inge-niera Civil de la Universidad Nacional de Ingeniera en el ao 1989 y que culminar con el dictado en la ctedra de MECANICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES en la FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA.

Asimismo esta obra es la culminacin que nuestro autor publicara en 1991 con el nombre de Resistencia de Materiales.

El autor ha enfocado los diferentes temas de la resistencia de Materiales en una forma ordenada y secuencial para que los jvenes que cursen cual-quier carrera de Ingeniera pueda llevarlo como libro de texto ya que ha sido preparado de acuerdo a los silabos dictados en diferentes facultades que utilizan dicho curso como parte de su plan de estudios.

Siendo la Resistencia de Materiales la columna vertebral en el estudio de las estructuras el autor presenta una teora acompaada de ejemplos que ayudan al lector a aclarar las dudas que pudieran tener.

Aprovechamos la oportunidad para agradecer a todo el equipo de Edicivil especialmente a la Ingeniera Elena Quevedo Haro, especializada en dicho campo por la elaboracin y composicin de dicha obra.

Resistencia de Materiales

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Asimismo nuestro ms profundo agradecimiento al seor Demstenes Nez por el servicio de calidad que presenta en la reproduccin de los li-bros y a la seorita Silvia Vargas por la eficiencia demostrada en el diseo,

diagramacin, revisin y correccin de las obras del ingeniero.

Estamos seguros que la presente obra contribuir en la formacin de nues-tros futuros ingenieros y creemos que ser un excelente libro de consulta para todos los estudiantes que lleven dicha disciplina en su formacin profesional

Creemos que con esta obra se est haciendo una escuela peruana de la ingeniera razn por la cual felicitamos al autor por contribuir en la protec-cin del libro peruano y de tener una autntica editorial de libros tcnicos peruanos en la que EDICIVIL est empeada en realizar

Los editores


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NDICEFuerzas Internas 17Anlisis de Fuerzas Internas 19Esfuerzo 25Concepto Fundamental 25Tipos de Esfuerzos 25Introduccin al Concepto de Esfuerzos 25Hiptesis Bsicas de la Resistencia de Materiales 29Conceptos y Definiciones 29

Deformacin Axial y de Corte 33Traccin y Compresin 41Materiales Dctiles y Frgiles 41Ley de Hooke 41Modulo de Elasticidad 42Propiedades Mecnicas de los Materiales 42Limite de Proporcionalidad 42Limite Elstico 43Zona Elstica 43Zona Plstica 43Limite Elstico Aparente o De Fluencia 43Resistencia a Traccin 44Resistencia de Rotura 44Modulo de Resiliencia 44Modulo de Tenacidad 44Estriccin 44Alargamiento de Rotura 45Tensin de Trabajo 45


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Limite Elstico Convencional 45Modulo Tangente 46Coeficiente De Dilatacin Lineal 46

Relacin De Poisson 46Forma General De La Ley De Hooke 46Clasificacin de los Materiales 47

Tensin Cortante 51Definicin De Esfuerzo Cortante 52

Definicin De Tensin Cortante 52

Comparacin De Las Tensiones Cortante y Normal 52Deformaciones Debidas A Tensiones Cortantes 53Deformacin Por Cortante 54Modulo De Elasticidad En Cortante 54Problemas Resueltos 55Deformacin Tangencial 65Efectos de Torsin 69Problemas de Aplicacin 73Efectos Axiales 75Problemas Resueltos 77Sistemas De Fuerzas Estticamente Indeterminados 89

Problemas Resueltos 89Mtodo De La Carga Unitaria Para Efectos Axiales 111Problemas de Aplicacin 112Tensin en Vigas 133Mdulo de Rotura 140Aplicaciones de Tensiones en Vigas 141Deduccin de la Frmula de la Tensin Cortante Horizontal 149


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Flujo Cortante 151Relacin entre la tensin cortante horizontal y vertical 152Aplicacin a la seccin rectangular 154Teora de Pequeas Deformaciones 159Giro en los Nudos 162Rigidez y Elasticidad de Elementos Estructurales 163Convencin de Signos 167Mtodo de la Doble Integracin 171Problemas Resueltos 173Mtodo del rea de Momentos 179Convencin de Signos 184Ecuacin de Bresse 184Concavidad y Convexidad 185Concavidad y Convexidad de Deformadas y su Relacincon el Diagrama de Momentos 186Problemas resueltos 188Mtodo de la Viga Conjugada 221Problemas resueltos 227Mtodo de los Tres Momentos 247Problemas de Aplicacin 252Mtodo de las Deformaciones Angulares 259Aplicaciones 267Mtodos Energticos 287Problemas de aplicacin 289Mtodo de la Energa de Deformacin 296Miscelneas de Problemas 313Esfuerzos Combinados 323


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QUE HACE UN INGENIERO?

Todo estudiante de Ingeniera se pregunta cuando inicia sus estudios uni-versitarios; a qu se dedica un ingeniero?, pregunta interesante, ya que de la respuesta; el joven sabr lo que har el resto de su vida.

Los libros de ingeniera dicen que todo ingeniero disea, construye m-quinas y edificios; y por este punto iniciaremos nuestra exposicin, para entender el campo de la Mecnica y Resistencia de Materiales.

La primera pregunta que surge es qu es disear?

Disear es dimensionar, dar forma y determinar el tipo de material, y los tipos de apoyos de lo que queremos construir posteriormente.

La otra pregunta inmediata que surge es Qu es una mquina? y Qu es un edificio?, al respecto diremos, que toda mquina o edificio es una combinacin de elementos unidos entre s, para:

l.- SOPORTAR CARGAS

2.- TENER CAPACIDAD DE DEFORMARSE Y RECUPERAR SU FORMA.

3.- MANTENER SU POSICION ORIGINAL.

Es decir toda mquina y edificio debe tener RESISTENCIA, es decir ca-pacidad de soportar cargas, adems debe tener RIGIDEZ, capacidad de deformarse y recuperar su forma, y finalmente ESTABILIDAD, es decir capacidad de mantener su posicin original.

Finalmente podemos concluir que toda mquina y edificio deben cumplir tres principios fundamentales de la Mecnica de Materiales, que son: RE-SISTENCIA, RIGIDEZ Y ESTABILIDAD.


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Todo el diseo de mquinas y edificios se basa en la Mecnica y Resisten-cia de Materiales.

Otra pregunta que se har el estudiante es cul es la diferencia entre la Mecnica y Resistencia de Materiales?

Al respecto diremos que la Mecnica, analiza las fuerzas exteriores que actan sobre una estructura; y la considera a sta como un cuerpo rgido; capaz de soportar todas estas cargas, sin deformarse.

En cambio a la Resistencia de Materiales le interesa saber si la estructura tendr la capacidad para soportar dichas cargas; teniendo que analizarse en este caso las fuerzas internas del cuerpo y su relacin con las fuerzas exteriores que actan en l.

La Resistencia de Materiales estudia y establece las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas y sus efectos en el interior de los slidos. No supone que los slidos son rgidos, como en la Mecnica; sino que las deformaciones por pequeas que sean tienen gran inters en nuestro an-lisis.

Otra pregunta que surge de la exposicin es si una mquina o estructura soportan cargas, qu es una carga y de que tipo son?

A lo largo de la exposicin iremos analizando los diferentes tipos de car-gas que existen y sus efectos que ocasionan en las mquinas y edificios, pero a manera de introduccin diremos que las cargas son fuerzas que actan en un cuerpo y que cuando se les multiplica por su brazo de pa-lanca se generan momentos.

Toda mquina o edificio estar sometida a fuerzas y momentos, y de acuer-do a como acten en los elementos de las mquinas o estructuras genera-rn los siguientes efectos: AXIALES, CORTANTES, FLEXIONANTES y DE TORSIN.

Los efectos axiales y de corte son generados por fuerzas, los flexionantes y de torsin son generados por pares.


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A continuacin pasaremos a analizar los cuatro efectos que todo edifico o mquina tendrn, al ser sometidos a cargas o pares, segn sea el caso.

EFECTOS AXIALESLos efectos axiales aparecen cuando las fuerzas actan en el centro de gravedad de la seccin recta del elemento estructural y se desplazan a lo largo de su eje de simetra.

Los efectos axiales pueden ser de traccin o de compresin. Los primeros generan alargamiento y los segundos acortamiento en los elementos.

EFECTOS DE CORTELos efectos de corte aparecen cuando las fuerzas actan en la direccin de la seccin recta del elemento. Son los componentes de la resistencia total al deslizamiento de la porcin del elemento a un lado de la seccin de exploracin respecto de la otra porcin.

EFECTOS DE FLEXIONLos efectos flexionantes aparecen cuando se aplican pares en el plano don-de se encuentra el eje de simetra del elemento estructural. Dichos pares tratarn de curvar o flexar el elemento en el plano donde estn actuando los pares.

Este efecto genera tensiones normales de traccin y de compresin en las fibras que se encuentran a un lado y otro del eje neutro del elemento, asi-mismo tambin se generan tensiones de corte debido a la flexin.

EFECTOS DE TORSIONEste efecto surge cuando actan, dos pares iguales en magnitud, en la misma direccin pero en sentido contrario, perpendicularmente al eje del elemento estructural en anlisis.

Mas adelante veremos que estos efectos se pueden combinar entre si ge-nerando efectos combinados.

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CAPITULO I

FUERZAS INTERNAS


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En mecnica se determina la resultante de fuerzas para averiguar si el slido se encuentra o no en equilibrio. Si la resultante es nula, existe equilibrio esttico, que en general existe en una estructura. Si la resultante no es nula, y si introducimos en el sistema exterior de fuerzas, las fuerzas de inercia correspondiente, obtenemos el equilibrio dinmico.

Por el momento consideramos el equilibrio esttico.

La resistencia de materiales estudia la distribucin interna de esfuerzos que produce un sistema de fuerzas exteriores aplicadas.

Para nuestro anlisis haremos un corte ideal en el slido mostrando en la figura en la que tendremos una seccin de exploracin, buscando que fuerzas deben actuar en esta seccin para mantener el equilibrio del slido aislado de cada una de las dos partes en que ha quedado dividida el total.

En general, el sistema de fuerzas internas equivale a una fuerza y un par resultante que, por conveniencia, se decomponen segn la normal y tangente a las seccin como se muestra en la figura.

ANLISIS DE FUERZAS INTERNAS


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Considerando un slido cualesquiera sobre el que actan una serie de fuerzas, como se muestra en la figura.

El origen del sistema de ejes coordenados se considera siempre en el centro de gravedad, que es el punto de referencia de la seccin.

Si el eje X es normal a la seccin, est se denomina superficie o cara X. La orientacin de los ejes Z e Y en el plano de las seccin se suele elegir de manera que coincidan con los ejes principales de inercia de la misma.

La notacin empleada en la figura identificada tanto la seccin de exploracin como la direccin de las componentes de la fuerza y del momento. El primer subndice indica la cara sobre la que actan las componentes, y el segundo la direccin de cada una de ellas. Por lo tanto, Pxy es a fuerza que acta sobre la cara X en la direccin Y.

Cada componente representa un efecto distinto de las fuerzas aplicadas sobre el slido, en esta seccin, y recibe un nombre especial, que se nombra a continuacin.


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Esta componente mide una accin de tirar

sobre la seccin. Tirar representa una fuerza

de extensin o traccin que tiende a alargar el

slido, mientras que empujar representa una

fuerza de compresin que tiende a acortarlo.

Son componentes de la resistencia total al

deslizamiento de la porcin de slido a un

lado de la seccin de exploracin respecto de

la otra porcin. La fuerza cortante total se

suele representar por V y sus componentes,

V yV identifican sus direcciones.

Esta componente mide la resistencia a la

torsin del slido considerando, y se suele

representar porMt

Esta componente miden la resistencia del

cuerpo a curvarse o flexar respecto de los ejes

Y o Z y se suelen expresar por M y M ,

respectivamente.

y z

y z

P Fuerza Axialxx

M Momento Torsor o parxx

M , Momentos Flectoresxy Mxz

P Fuerza Cortantexy, Pxz

De lo expuesto el efecto interno de un sistema de fuerzas exterior dado depende de la eleccin y orientacin de las seccin de exploracin.

En particular, si las cargas actan en un plano, que se suele considerar xy. La fuerza axial Pxx P; la fuerza cortante Pxy o V y el momento flector Mxz o M.

Si reducimos nuestro anlisis al plano, vemos que las componentes equivalen a una fuerza resultante R. Como se muestra en la figura.


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Si la seccin de anlisis hubiera sido el eje b b, perpendicular a R el efecto de la cortadura en la seccin se pudo.

25

CAPITULO II

ESFUERZO


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Concepto FundamentalSabemos que la mecnica estudia las fuerzas sin considerar los efectos que generan en el elemento en el que actan.

Si queremos saber la magnitud de una fuerza, tendremos que tener en consideracin el rea en la que acta.

Es decir, si tenemos una fuerza de 1000 kgs. y acta sobre un rea de 100 cm2 diremos que la fuerza de 1000 kg tiene una intensidad de 10 kg/cm2; si el rea hubiera sido de 10 cm2 la magnitud de la fuerza ser de 100 kg/cm2.Como podemos observar la magnitud de la fuerza est en funcin del rea en que acta. Al hecho de medir la intensidad de una fuerza se denomina Esfuerzo que es la intensidad de una fuerza por unidad de rea en la que acta.

Tipos de EsfuerzosLos esfuerzos pueden ser normales o cortantes dependiendo de cmo actan dichas fuerzas y los esfuerzos generar una deformacin en el elemento que analizamos.

Si la fuerza acta perpendicular a la seccin recta generar alargamiento o acortamiento. Si son cortantes no generan desplazamiento sino giro.

ESFUERZO

Introduccin al Concepto de EsfuerzosSea la estructura mostrada en la figura en laque deseamos conocer las tensiones en cada barra. De nuestros conocimientos de Esttica.Podemos concluir del diagrama de cuerpo libre mostrado.


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Que la barra BC soporta una tensin de P/Sen y la barra AB de Pcotg, ejerciendo la primera un efecto de traccin en BC y la segunda un efecto de compresin en AB, como se muestra en los diagramas de cuerpo libre de cada barra.

Como tenemos que mantener el equilibrio en ambas barras, concluimos que se producen fuerzas internas de P/Sen y PCotg por el principio de accin y reaccin.

Un anlisis ms detallado del equilibrio de las fuerzas internas y externas lo podemos ver a continuacin


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Los resultados obtenidos representan un paso inicial necesario en el anlisis de estructuras, pero no nos dicen si las cargas que actan en cada barra puedan ser soportadas por cada una sin peligro.

Para el caso de la varilla BC, la posibilidad de que se rompa o no; no depende slo de la fuerza interna de traccin P/Sen que tambin depende del tipo de material de que est hecha, y de la seccin de la varilla.

La fuerza interna TBC = P/Sen representa realmente la resultante de fuerzas elementales distribuidas en el rea A de la seccin y la intensidad de tales fuerzas es igual a la fuerza por unidad de rea TBC/A, en la seccin.

Como conclusin podemos decir que bajo la accin de la fuerza dada la varilla se rompa o no, depende de la capacidad del material para soportar el valor de TBC/A de la intensidad de las fuerzas internas distribuidas.

Es decir la resistencia del elemento depender de la tensin TBC, del rea de la seccin A, y del material de la barra.

La fuerza por unidad de rea, o intensidad de las fuerzas distribuidas sobre la seccin, se conoce como esfuerzo en dicha seccin y se representa por la letra griega (sigma).


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El esfuerzo en un elemento de seccin transversal de rea A sometido a una carga axial P se obtiene dividiendo la magnitud de P de la carga por el rea A.

= P/A Unidades: F/L2

Un signo positivo significa esfuerzo en traccin y genera un alargamiento del elemento, y negativo representa un esfuerzo de compresin generando un acortamiento del elemento.

Considerando una seccin A para la barra BC tendremos que = P/A.

Pero, para determinar si podemos usar la varilla BC sin peligro, tenemos que comparar con el mximo que puedes soportar. Si el obtenido es menor que el mximo, entonces podemos concluir que la barra BC puede tomar la carga hallada sin ningn peligro.

Anlogo anlisis tenemos que hacer en la barra AB, as como en los pasadores y soportes.

Finalmente, tenemos que analizar si las deformaciones producidas son aceptables.

Pero; el Ingeniero disea estructuras y mquinas, es decir crea nuevas posibilidades, en este sentido podemos plantearnos el problema de la siguiente manera:

Cul ser el dimetro de las barras si el material a utilizares de aluminio.

En este caso tendremos como dato el max del aluminio y de la frmula = P/A.

Tendremos A = P/ que ser la seccin de la barra.

Si la barra es circular tendremos r2 = A.; donde el radio a usar ser:


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1. Se hace una idealizacin o modelo del problema, se harn suposiciones sobre los elementos, las cargas aplicadas y los apoyos

2. Se supone que los materiales son linealmente elsticos. Relacin esfuerzo deformacin, linealidad de los materiales.

3. Se supone que el material no contiene vacos interiores, es decir es continuo. Sus propiedades son iguales en cualquier punto, son homogneos, y sus propiedades son iguales en cualquier direccin, es decir son materiales isotrpicos.

4. Linealidad Geomtrica. Los desplazamientos son pequeos en comparacin a las dimensiones de la estructura. Se cumple la teora de los desplazamientos pequeos. Las ecuaciones de equilibrio se pueden establecer en funcin de la geometra original de la estructura

5. Se cumple el principio de SAINT VENANT. Los esfuerzos que actan en una seccin distante al punto de aplicacin de la carga tienen una distribucin uniforme.

6. Hiptesis de NAVIER.

Las secciones planas permanecen planas despus de la deformacin.

HIPOTESIS BASICAS DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

1. Masa. Es la resistencia que ofrecen los cuerpos a la traslacin.

2. Momento de inercia. Es la resistencia que ofrece los cuerpos a la rotacin.

3. Tensin Cortante. Se produce por fuerzas que actan paralelamente al plano que los soporta.

CONCEPTOS Y DEFINICIONES


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4. Traccin y Compresin. Son fuerzas que actan perpendicularmente o normales al plano sobre el que actan.

Por esta razn a las tensiones de traccin y compresin se llaman tambin tensiones normales, mientras que a la tensin cortante se denomina tensin tangencial.

5. Deformacin Tangencial. Es generada por las fuerzas cortantes. La fuerza cortante no vara la longitud de sus lados, manifestndose slo un cambio de forma; de rectngulo a paralelogramo por ejemplo.

6. Materiales Dctiles. Pueden desarrollar grandes deformaciones sin llegar a la rotura. Presentan fenmeno de estriccin y escaln de fluencia.

Ejemplo: Acero con bajo contenido de carbono, cobre, aluminio, latn, etc.

7. Materiales Frgiles. Llegan a la rotura de forma abrupta, no aceptan grandes deformaciones.

Ejemplos: Piedra, Concreto, Vidrio, ladrillo, etc.

8. Homogeneidad, Continuidad, Isotropa. Continuidad supone que el material no contiene vacos interiores, Homogeneidad supone que sus propiedades son iguales en cualquier punto. Isotropa, sus propiedades son iguales en cualquier direccin.

Ejemplo: Acero es isotrpico, Madera es anisotrpico.

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CAPITULO III

DEFORMACION AXIAL Y DE CORTE


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Si tenemos una barra de seccin recta rectangular A, de longitud l y jalada por una fuerza P actuando en el centro de gravedad de la seccin recta A y tiene un mdulo de elasticidad E , sabemos por Mecnica que dicha fuerza P generar un alargamiento .

La carga P externa se equilibrar con una fuerza interna que la denominaremos A; donde, es el esfuerzo expresado en unidades de fuerza por unidades al cuadrado de longitud (F/L2).

Si hacemos un corte perpendicular a la seccin recta; corte A-A.

DEFORMACION AXIAL Y DE CORTE

El sistema para que est en equilibrio tendr que:

A = P =

Al cual se le denomina Esfuerzo Normal y se expresa en F/L2; es decir, Kg/cm2 o sus equivalentes.

PA


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Pero si hacemos un corte inclinado con un ngulo , tendremos una seccin recta inclinada donde aparecen esfuerzos de corte () y esfuerzos normales ().

Si trazamos un sistema de referencia , .

La seccin A.

Ser Cos = AA

A = A = A Cos

ACos


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Al analizar el equilibrio tendremos:

Podemos observar que existen esfuerzos Normales y Esfuerzos de Corte.

Hooke hizo experimentos con diferentes tipos de materiales sometindolos a efectos axiales llegando a la siguiente conclusin.

= PlEA

Se observa que el alargamiento de una barra es directamente proporcional a la fuerza que acta y su longitud l, inversamente proporcional a la seccin y de la caracterstica del material que la denominaremos Mdulo de Elasticidad E.


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Deformacin Unitaria Longitudinal ()

Se define como:

Al graficarse y , se llega a analizar el comportamiento de los materiales llegndose a:

CURVA ESFUERZO DEFORMACION UNITARIA

1. Limite de Proporcionalidad (L.P.)

Hasta este punto los esfuerzos son proporcionales a las deformaciones

2. Limite Elstico (L.E)

Alcanzado este punto de esfuerzo, el material no va a recuperar su forma y dimensiones primitivas


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3. Punto de Fluencia (Yieldpoint) (P.F.) Llegado a este punto denominado punto de fluencia, significa que

habr deformaciones que se irn incrementando an sin incremento de cargas

4. Resistencia ltima (R.U.) Es el punto donde est el mximo esfuerzo que puede alcanzar el

material antes que se produzca la falla, colapso o claudicacin.

Relacin de Poisson ( )

Donde:

: Deformacin Unitaria Transversal.

: Deformacin Unitaria Longitudinal

Segn Poisson:

0


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Relacin de Poisson

Sea la barra mostrada sometida a la carga P como se muestra.

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CAPITULO IV

EFECTOS INTERNOSDE LAS FUERZAS:

TRACCION Y COMPRESION

Ing. Genaro Delgado Contreras

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EFECTOS INTERNOS DE LAS FUERZAS

MATERIALES DCTILES Y FRGILES. Los materiales metlicos usados en la ingeniera se clasifican generalmente en dctiles y frgiles. Un material dctil es el que tiene un alargamiento a traccin relativamente grande hasta llegar al punto de rotura (por ejemplo, el acero estructural o el aluminio), mientras que un material frgil tiene una deformacin relativamente pequea hasta el mismo punto. Frecuentemente se toma como lnea divisoria entre las dos clases de materiales un alargamiento arbitrario de 0,05 cm/cm. La fundicin y el hormign son ejemplos de materiales frgiles.

LEY DE HOOKE. Para un material cuya curva tensin-deformacin es similar al de la figura 1, resulta evidente que la relacin entre tensin y deformacin es lineal para los valores relativamente bajos de la deformacin. Esta relacin lineal entre el alargamiento y la fuerza axial que lo produce (pues cada una de estas cantidades difiere solo en una constante de la deformacin y la tensin, respectivamente) fue observada por primera vez por sir Robert Hooke en 1678 y lleva el nombre de ley de Hooke. Por tanto, para describir esta zona inicial del comportamiento del material, podemos escribir:

TRACCIN Y COMPRESIN

= Ee

Donde:

E representa la pendiente de la parte recta (OP) de la curva tensin-deformacin de la Figura 1.


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Figura N 1

MODULO DE ELASTICIDAD. La cantidad E, es decir, la relacin de la tensin unitaria a la deformacin unitaria se suele llamar mdulo de elasticidad del material en traccin o, a veces, mdulo de Young. En los manuales aparecen tabulados los valores de E para diversos materiales usados en la ingeniera. Como la deformacin unitaria e es un nmero abstracto (relacin entre dos longitudes) es evidente que E tiene las mismas unidades que la tensin, por ejemplo, kg/cm2. Para muchos de los materiales usados en la ingeniera el mdulo de elasticidad en compresin es casi igual al encontrado en traccin. Hay que tener muy en cuenta que el comportamiento de los materiales bajo una carga, se limita (si no se dice lo contrario) a esa regin lineal de la curva tensin-deformacin.

PROPIEDADES MECNICAS DE LOS MATERIALES

La curva tensin-deformacin de la Fig. 1, se puede usar para determinar varias caractersticas de resistencia del material. Estas son:

LIMITE DE PROPORCIONALIDAD. A la ordenada del punto P se le conoce por lmite de proporcionalidad; esto es, la mxima tensin que se puede producir durante un ensayo de traccin simple de modo que la tensin sea funcin lineal de la deformacin. Para un material que tenga la curva tensin-deformacin como la representada en la Fig. 2, no existe lmite de proporcionalidad.


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Figura N 2

LIMITE ELSTICO. La ordenada de un punto que casi coincide con P se conoce por lmite elstico, esto es, la tensin mxima que puede producirse durante un ensayo de traccin simple de modo que no haya deformacin permanente o residual cuando se suprime totalmente la carga. Para muchos materiales son casi idnticos los valores numricos del lmite elstico y del lmite de proporcionalidad, por lo que a veces se consideran sinnimos. En los casos en que es notoria la diferencia, el lmite elstico es casi siempre mayor que el de proporcionalidad.

ZONA ELSTICA. La regin de la curva tensin-deformacin que va desde el origen hasta el lmite de proporcionalidad.

ZONA PLSTICA. La regin de la curva tensin-deformacin que va desde el lmite de proporcionalidad hasta el punto de rotura.

LIMITE ELSTICO APARENTE O DE FLUENCIA. A la ordenada del punto Y en el que se produce un aumento de deformacin sin aumento de tensin se le conoce por lmite elstico aparente o lmite de fluencia del material. Cuando la carga ha aumentado hasta el punto Y, se dice que se produce fluencia. Algunos materiales presentan en la curva tensin-deformacin dos puntos en los que hay aumento de deformacin sin que aumente la tensin. Se les conoce por lmites de fluencia superior e inferior.


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RESISTENCIA A TRACCIN. La ordenada del punto U, mxima de la curva, se llama resistencia a traccin o, a veces, resistencia ltima del material.

RESISTENCIA DE ROTURA. La ordenada del punto B se llama resistencia de rotura del material.

MODULO DE RESILIENCIA. El trabajo realizado en un volumen unidad de material, cuando se aumenta una fuerza de traccin simple gradualmente desde cero hasta un valor tal que se alcance el lmite de proporcionalidad del material, se define como mdulo de resiliencia. Puede calcularse por el rea bajo la curva tensin-deformacin desde el origen hasta el lmite de proporcionalidad y se representa por la superficie rayada en la Fig. 2. Las unidades en que se mide son kg/cm3. As, pues, la resiliencia de un material es su capacidad de absorber energa en la zona elstica.

MODULO DE TENACIDAD. El trabajo realizado en un volumen unidad de material, cuando se aumenta una fuerza de traccin simple gradualmente desde cero hasta el valor que produce la rotura, se define como mdulo de tenacidad. Puede calcularse por el rea total bajo la curva tensin-deformacin desde el origen hasta la rotura. La tenacidad de un material es su capacidad de absorber energa en la zona plstica del material.

ESTRICCION. La relacin entre la disminucin del rea de la seccin transversal respecto a la primitiva en la fractura, dividida por el rea, primitiva y multiplicada por 100, se llama estriccin. Hay que observar que cuando actan fuerzas de traccin en una barra disminuye el rea de la seccin transversal, pero generalmente se hacen los clculos de las tensiones en funcin del rea primitiva, como en el caso de la Fig. 2. Cuando las deformaciones se hacen cada vez mayores, se ms interesante considerar los valores instantneos del rea de la seccin transversal (que son decrecientes), con lo cual se obtiene la curva tensin-deformacin verdadera, que tiene el aspecto de la lnea de trazos de la Figura 2.


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ALARGAMIENTO DE ROTURA. La relacin entre el aumento de longitud (de la longitud patrn) despus de la fractura y la longitud inicial, multiplicada por 100, es el alargamiento de rotura. Se considera que tanto la estriccin como el alargamiento de rotura son medidas de la ductilidad del material.

TENSIN DE TRABAJO. Se pueden usar las caractersticas de resistencia que se acaban de mencionar para elegir la llamada tensin de trabajo. Todas las tensiones de trabajo estarn dentro de la zona elstica del material. Frecuentemente, esta tensin se determina simplemente dividiendo la tensin en la fluencia o rotura por un nmero llamado coeficiente de seguridad. La eleccin del coeficiente de seguridad se basa en el buen juicio y la experiencia del proyectista. A veces se especifican en los reglamentos de la construccin valores de determinados coeficientes de seguridad.

La curva tensin-deformacin no lineal de un material frgil, representada en la Fig. 2, caracteriza otras varias medidas de la resistencia que no se pueden definir si la mencionada curva tiene una zona lineal. Estas son:

LIMITE ELSTICO CONVENCIONAL. La ordenada de la curva tensin-deformacin para la cual el material tiene una deformacin permanente predeterminada cuando se suprime la carga se llama lmite elstico convencional del material. Se suele tomar como deformacin permanente 0,002 0,0035 cm por cm; pero estos valores son totalmente arbitrarios. En la Fig. 2 se ha representado una deformacin permanente en el eje de deformaciones y se ha trazado la recta O Y paralela a la tangente inicial a la curva. La ordenada de Y representa el lmite elstico convencional del material, llamado, a veces tensin de prueba.

MODULO TANGENTE. A la pendiente de la tangente a la curva tensin-deformacin en el origen se la conoce por mdulo tangente del material.


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Hay otras caractersticas de un material que son tiles para los proyectos, que son las siguientes:

COEFICIENTE DE DILATACIN LINEAL. Se define como la variacin por unidad de longitud de una barra recta sometida a un cambio de temperatura de un grado. El valor de este coeficiente es independiente de la unidad de longitud, pero depende de la escala de temperatura empleada. Consideraremos la escala centgrada, para la cual el coeficiente que se representa por es para el acero, por ejemplo, 11x10-6 por C. Las variaciones de temperatura en una estructura dan origen a tensiones internas del mismo modo que las cargas aplicadas.

RELACINDEPOISSON. Cuando una barra est sometida a una carga de traccin simple se produce en ella un aumento de longitud en la direccin de la carga, as como una disminucin de las dimensiones laterales perpendiculares a sta. La relacin entre la deformacin en la direccin lateral y la de la direccin axial se define como relacin de Poisson. La representaremos por la letra griega m. Para la mayora de los metales est entre 0,25 y 0,35.

FORMAGENERALDELALEYDEHOOKE. Se ha dado la forma simple de la ley de Hooke para traccin axial cuando la carga est totalmente segn una recta; esto es, es uniaxial. Se consider solamente la deformacin en la direccin de la carga y se dijo que era:

e = E


49

En el caso ms general, un elemento de material est sometido a tres tensiones normales perpendiculares entre s, x, y, z , acompaadas de tres deformaciones ex, ey, ez respectivamente. Superponiendo las componentes de la deformacin originada por la contraccin lateral debida al efecto de Poisson a las deformaciones directas, obtenemos el enunciado general de la ley de Hooke:

CLASIFICACIN DE LOS MATERIALES

Toda la discusin se ha basado en la suposicin de que prevalecen en el material dos caractersticas, esto es, que tenemos un

MATERIAL HOMOGNEO.- Que tiene las mismas propiedades elsticas (E,m) en todos los puntos del cuerpo.

MATERIAL ISTROPO.- Que tiene las mismas propiedades elsticas en todas las direcciones en cada punto del cuerpo. No todos los materiales son istropos. Si un material no tiene ninguna clase de simetra elstica se llama anistropo o, a veces, aeolotrpico. En lugar de tener dos constantes elsticas independientes (E,m) como un material istropo, esta sustancia tiene 21 constantes elsticas. Si el material tiene tres planos de simetra elstica perpendiculares entre s dos a dos se dice que es ortotrpico, en cuyo caso el nmero de constantes independientes es 9.

51

CAPITULO V

TENSIONCORTANTE


53

Definicin:

Es cuando la fuerza acta en la direccin de la seccin recta de una barra, genera una tensin cortante.

TENSION CORTANTE

Se supone que las caras del elemento paralelas al plano del papel estn exentas de cargas.

Como no actan tensiones normales en el elemento, las longitudes de los lados del rectngulo elemental original no variarn cuando las tensiones cortantes adopten el valor .


54

Sin embargo habr una distorsin de los ngulos del elemento primitivamente rectos, despus de cuya distorsin, debida a las tensiones cortantes, el elemento adopta la configuracin representada por las lneas de trazos en la figura (b) anteriores.

DEFINICION DE ESFUERZO CORTANTE. Si se hace pasar un plano a travs de un cuerpo, una fuerza que acta a lo largo del plano se llama esfuerzo cortante. Se representar por V.

DEFINICION DE TENSION CORTANTE. El esfuerzo cortante, dividido por la superficie sobre la que acta, se llama tensin cortante. La representaremos por t. Por tanto,

t = VA

COMPARACION DE LAS TENSIONES CORTANTE Y NORMAL. Consideremos una barra cortada por un plano a-a perpendicular a su eje, como se ve en la figura adjunta. Una tensin normal es perpendicular a este plano.

Una tensin cortante es la que acta a lo largo del plano, como la t indicada. Por tanto, la diferencia entre las tensiones normales y cortantes es la direccin.


55

HIPOTESIS. Es necesario hacer alguna hiptesis referente al modo en que se distribuyen las tensiones cortantes y, a falta de un conocimiento ms preciso, en todos los problemas de este captulo se tomarn como uniformes. Por ello, la expresin t = T/A indica una tensin cortante media en la superficie.

APLICACIONES. Ejemplos comunes de sistemas que contienen tensiones cortantes son las uniones roblonadas, las probetas de ensayo de madera y las chavetas usadas para bloquear las poleas a los ejes.

DEFORMACIONES DEBIDAS A TENSIONES CORTANTES. Consideremos la deformacin de un elemento plano rectangular cortado de un slido, en el que se sabe que las fuerzas que actan son tensiones cortantes t , en la direccin representada en la Figura (a).

Se supone que las caras del elemento paralelas al plano del papel estn exentas de carga. Como no actan tensiones normales en el elemento, las longitudes de los lados del rectngulo elemental original no variarn cuando las tensiones cortantes adopten el valor t . Sin embargo, habr una distorsin de los ngulos del elemento primitivamente rectos, despus de cuya distorsin, debida a las tensiones cortantes, el elemento adopta la configuracin representada por lneas de trazos en la Fig. (b) anterior.


56

DEFORMACION POR CORTANTE. La variacin del ngulo A del elemento se define como deformacin por cortante. Se mide en radianes y se suele representar por g.

MODULO DE ELASTICIDAD EN CORTANTE. La relacin de la tensin cortante t a la deformacin y se llama mdulo de elasticidad en cortante y se suele representar por G. As, pues,

A G se le conoce tambin por mdulo de rigidez y por coeficiente de elasticidad transversal.

Las unidades de G son las mismas que las de la tensin cortante, esto es, kg/cm2, pues la deformacin por cortante no tiene dimensin. La determinacin experimental de G y la regin de comportamiento lineal de t y g . Los diagramas tensin-deformacin para cargas normales, se pueden trazar esos diagramas para esfuerzos cortantes y diversos materiales.

G = tg


57

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Considerar la unin atornillada de la Fig. (a) que sigue. La fuerza es de 3.000 kg y el dimetro del perno de 1,2 cm. Determinar el valor medio de las tensiones cortantes que existen en cada uno de los planos a-a b-b.

Solucin: Como no tenemos ms datos, podemos suponer que la fuerza P est

repartida por igual entre las secciones a-a y b-b, por lo que acta una fuerza de 3.000/2 = 1.500 kg, segn cada uno de estos planos, sobre una seccin de = p (1,2)2 = 1,13 cm2.

Por tanto, la tensin cortante media en cada uno de los planos es

14

P / 2A

1.5001,13

t = = = 1.330 kg/cm2

2. Con referencia a la Fig. (b), la fuerza P tiende a cortar el tope a lo largo del plano a-a. Si P = 4.000 kg, determinar la tensin cortante media en el plano a-a. .

Solucin: Para producir esta tensin cortante solo interviene la componente

horizontal de P, que est dada por 4.000 cos 45 = 2.825 kg.


58

Por tanto, la tensin cortante media en el plano a-a es

P cos 45A

2.82530 (20)

t = = = 4,7 kg/cm2

3. El acero de estructuras, de bajo contenido en carbono, tiene una tensin de rotura a cortante de 3.100 kg/cm2 . Determinar la fuerza P necesaria para punzonar un agujero de 2,5 cm de dimetro en una chapa de 1 cm de espesor de ese acero. Si el mdulo de elasticidad en cortante para este material es 8,4 x 105 kg/cm2 , hallar la deformacin por cortante en el borde del agujero cuando la tensin cortante es de 1.500 kg/cm2

Solucin: Supondremos una distribucin uniforme de cortantes en una superficie

cilndrica de 2,5 cm de dimetro y 1 cm de espesor, como se ve en el esquema adjunto. Para que haya equilibrio es necesario que la fuerza P valga

Para determinar la deformacin por cortante g, cuando la tensin cortante t es de 1.500 kg/cm2, emplearemos la definicin G = t/g obteniendo


59

tG

1.500 840.000g = = = 0,00178 radianes

4. Considerar la probeta rectangular de la figura, de seccin 2,5 x 5 cm, que se usa a veces para determinar la resistencia a traccin de la madera. Para el roble albar, que tiene una carga de rotura a cortante paralela a la fibra de 65 kg/cm2, determinar la mnima longitud de probeta que debe haber en la mordaza a para que no se produzca un fallo por cortante en ella antes de la rotura a traccin de la probeta. La fractura a traccin tiene lugar para una carga P de 3.300 kg

Solucin:Las tensiones cortantes actan como se ve en la figura, sobre la superficie del extremo derecho, as como otra del extremo izquierdo de la probeta.

Suponiendo una distribucin uniforme de las tensiones cortantes, tenemos

PA

3.300 2(5)(a)t = , 65= y a = 5,08 cm

Naturalmente, la longitud de las mordazas ser mayor que 5,08 cm para estar seguro de que se produce primero la rotura a traccin.


60

5. En la industria de la madera se usan a veces tacos inclinados de madera para determinar la resistencia a cortante-compresin de las uniones encoladas. Considerar el par de tacos encolados A y B que tienen un espesor de 4 cm en la direccin perpendicular al plano del papel. Determinar la carga de rotura a cortante del encolado si se necesita una fuerza vertical de 4.000 kg para producir la rotura del ensamble. Es de observar que una buena unin encolada hace que una gran proporcin de las roturas se produzcan en la madera.

Solucin: Consideremos el equilibrio del taco inferior A. La reaccin del taco

superior B sobre el inferior consiste en fuerzas normales y de corte que aparecen como en la perspectiva y la vista ortogonal representadas.

Con referencia al croquis de la derecha, vemos que para que haya equilibrio en la direccin horizontal

Para que exista equilibrio en la direccin vertical, tenemos


61

Sustituyendo = 0,269t y despejando, hallamos t = 193/kg/cm2

6. La tensin cortante es de 1.050 kg/cm2 en una pieza de acero de estructuras. Si el mdulo de rigidez G es 840.000 kg/cm2, hallar la deformacin por cortante g.

Solucin:

tg

1.050840.000

G = , por lo que g = = 0,00125 radianes

7. Para unir dos placas se utiliza un solo robln, como se ve en la figura. Si el dimetro del robln es de 2 cm y la carga P de 3.000 kg, Cul es la tensin de cortante media producida en el robln?

Solucin: Aqu, la tensin cortante media en el robln es P/A, donde A es la

seccin de ste.

Por consiguiente, la tensin media est dada

3.000p4

t = = 955 kg/cm2(2)2


62

8. Habitualmente, se unen entre s los rboles y las poleas por medio de una chaveta, como se ve en la Fig. (a).

Considerar una polea sometida a un momento de giro T de 11.000 cm-kg enclavada con una chaveta de 1,2 x 1,2 x 7,5 cm a un rbol. Determinar la tensin cortante en un plano horizontal a travs de la chaveta.

Solucin:

Trazando un esquema de cuerpo en libertad de la polea sola, como el que aparece en la Fig. (b), vemos que el, momento de giro de 11.000 cm-kg aplicado ha de ser resistido por una fuerza tangente horizontal F que la chaveta ejerce sobre la polea. Para que exista equilibrio de momentos respecto al centro de la polea, tenemos

Mo = 11.000 - F(2,5) = 0 F = 4.400 kg


63

Hay que observar que el rbol ejerce fuerzas adicionales sobre la polea, que no se han representado, que actan en el centro O y no entran en la ecuacin de momentos anterior. En la Fig. (c) aparecen las fuerzas resultantes que actan en la chaveta. En realidad, la fuerza F de la derecha es la resultante de fuerzas repartidas sobre la mitad inferior de la cara de la izquierda, y, del mismo modo, las otras fuerzas F que se representan son las resultantes de sistemas de fuerzas repartidas. No se conoce la verdadera naturaleza de la distribucin de fuerzas.

En la Fig. (d) se muestra el diagrama de cuerpo en libertad de la parte de chaveta bajo un plano horizontal a-a trazado por su seccin media. Para que exista equilibrio en la direccin horizontal, tenemos

Fig. (c) Fig. (d)

Fh = 4.400 - t(1,2)(7,5)=0

t = 490 kg/cm2

Esta es la tensin cortante horizontal en la chaveta.

65

CAPITULO VI

DEFORMACIONTANGENCIAL


67

Las fuerzas cortantes producen una deformacin tangencial o distorsin, de la misma manera que las fuerzas axiales originan deformaciones longitudinales, pero con una gran diferencia, ya que un elemento sometido a efectos axiales experimenta un alargamiento o un acortamiento ya sea efecto axial de compresin o de traccin respectivamente.

En cambio el elemento sometido a una fuerza cortante no vara la longitud de sus lados, manifestndose un cambio de forma, de rectngulo a paralelogramo como se muestra en la figura.

DEFORMACION TANGENCIAL

Es decir es la variacin experimentada por el ngulo entre dos caras perpendiculares de un elemento diferencial.

Suponiendo que la Ley de Hooke tambin es vlida para la cortadura entonces existe una relacin lineal entre la distorsin y la tensin cortante dada por:

t = G. g


68

Donde:G : Mdulo de elasticidad transversal llamado Mdulo de Rigidez Transversal

La relacin entre la deformacin tangencial total y las fuerzas cortantes aplicadas es:

Donde:

V : Fuerza cortante que acta sobre la seccin de rea A.

La frmula obtenida tiene una relacin con la frmula de deformacin axial:

Teniendo en consideracin que al existir efectos axiales se genera una deformacin transversal; relacin que viene dad por la Relacin de Poisson, tenemos una importantsima relacin:

Los valores ms comunes de la relacin de Poisson son 0.25 a 0.30 para el acero; 0.33 aproximadamente para otros muchos metales y 0.20 para el hormign.

V. I .G.A.

d =

P . I .E.A.

d =

E2(1+m)

G=

69

CAPITULO VII

EFECTOS DETORSION


71

La Torsin es generada cuando actan dos pares de igual magnitud, en la misma direccin, en sentidos contrarios y perpendiculares a la seccin recta del elemento analizado. Como podemos ver en la figura n01 y cuya seccin recta es:

EFECTOS DE TORSION

Si consideramos un rbol circular de radio r el par estar conformado por las fuerzas F actuando en el sentido mostrado (sentido horario).

Mostrando dicho efecto en el espacio tendremos:


72

Ya que la torsin se genera por pares perpendiculares al eje ( fuerzas actuando en la direccin de la seccin recta); es decir, si la fuerza P acta en la direccin del eje z en sentido positivo generar un momento M = (l i xPk) = -Pl j, es decir el momento acta en sentido horario en el punto B autogenerndose el otro momento del par en el empotramiento por la tercera ley de Newton: Principio de Accin y Reaccin.

Si sus pares que actan en la direccin de la seccin (perpendiculares al eje del elemento analizado) entonces dichas fuerzas estn generando corte, por el concepto de fuerza cortante.

Es decir, si tomamos dos secciones infinitamente prximas; al generarse la rotacin debido a los pares, entrarn en contacto una con otra generando una seccin de corte respecto a la otra.

Por el principio de Accin y Reaccin; el elemento equilibrar por sus fuerzas internas a dicho par externo actuante, generndose en la seccin recta un Momento Torsor (Mt).


73


74

Vemos una analoga en dichos trminos.

El ngulo de giro ser directamente proporcional al momento torsor y la longitud del elemento y inversamente proporcional al mdulo de elasticidad al corte y el momento polar de la seccin que juntos G.Ip forman la rigidez torsional, es decir la resistencia que ofrece el elemento a la torsin.

Frmulas Aplicadas


75

El rbol compuesto representado es de acero G=8.4x105 kg/cm2. Determinar la tensin cortante mxima en cada parte del rbol y los ngulos de torsin en B y en C.

PROBLEMAS DE APLICACION

77

CAPITULO VIII

EFECTOSAXIALES


79

1. Determinar el alargamiento total de una barra recta inicialmente de longitud L, rea de la seccin transversal A y mdulo de elasticidad E, si acta en sus extremos una carga de traccin P.

Solucin: La tensin unitaria en la direccin de la fuerza P no es ms que la

carga dividida por la seccin, esto es = P/A. De igual modo, la deformacin unitaria e viene dada por el cociente del alargamiento total D dividido por la longitud inicial, esto es, e= D/L. Por definicin, el mdulo de elasticidad es la relacin entre y e es decir,

Obsrvese que D tiene unidades de longitud, seguramente centmetros o metros.

2. Una cinta de agrimensor, de acero, de 25 m de longitud tiene una seccin de 6 mm por 0,8 mm. Determinar el alargamiento cuando se estira toda la cinta y se mantiene tirante bajo una fuerza de 6 kg. El mdulo de elasticidad es 3,1 x 106 kg/cm2.

PROBLEMAS RESUELTOS

P P

L D

e

P/AD/L

PLAD

E = = = PLAED =


80

Alargamiento

3. Una barra de acero de 5 cm2 de seccin est sometida a las fuerzas representadas en la Fig. (a). Determinar el alargamiento total de la barra. Para el acero E = 2,1 x 106 kg/cm2.

PLAE

(6)(2.500)(0,6)(0,08)(2,1x106)

D = = = 0,15cm

Figura N (a)

Figura N (b)

Solucin:Toda la barra est en equilibrio, por lo que cada una de sus partes lo est tambin. El trozo de barra entre A y B tiene una fuerza resultante de 5.000 kg que acta sobre cada seccin transversal, por lo que un diagrama de cuerpo en libertad de esos 50 cm es como aparece en la Fig. (b). Para conservar el equilibrio con la fuerza aplicada al extremo izquierdo, la del extremo derecho ha de ser de 5.000 kg. El alargamiento de este trozo viene dado por

PLAE

5.000(50)(5)(2,1 x 106)

D = = = 0,024cm


81

La fuerza que acta en el trozo entre B y C se halla considerando la suma algebraica de las fuerzas situadas a la izquierda de una seccin situada entre esos puntos, lo que indica que acta una fuerza resultante de 3.500kg hacia la izquierda, por lo que la seccin est sometida a traccin. Indudablemente, podramos haber llegado al mismo resultado considerando las fuerzas situadas a la derecha de esa seccin. Como consecuencia, se obtiene el diagrama de cuerpo en libertad dado en la Figura (c).

El alargamiento de este trozo viene dado por:

3.500(75)(5)(2,1 x 106)

D 2= = 0,025cm

Del mismo modo, la fuerza que acta sobre cualquier seccin entre C y D ha de ser de 4.500 kg para mantener el equilibrio con la carga aplicada en D. En la Fig. (d) aparece el diagrama de cuerpo en libertad del segmento CD.

Figura N (c)

Figura N (d)


82

El alargamiento de esta parte viene dado por:

(4.500)(100)(5)(2,1 x 106)

D3= = 0,043cm

Por consiguiente el alargamiento total es:

D = 0,024 + 0,025 + 0,043 = 0,092 cm.

4. La armadura Howe de la Fig. (a) soporta la carga nica de 60.000 kg. Si se toma como carga de trabajo a traccin del material 1.200 kg/cm2, determinar la seccin necesaria de las barras DE y A C. Hallar el alargamiento de la barra DE en toda su longitud de 6 m. Se supondr que el nico factor a considerar para determinar el rea buscada es el valor lmite de la tensin de trabajo a traccin. Tomar como mdulo de elasticidad de la barra 2,1x106 kg/cm2.

Figura N (a) Figura N (b)

Figura N (c)


83

Solucin:Esta armadura es estticamente determinada exterior e interiormente, esto es, se pueden determinar las reacciones en los apoyos por medio de las ecuaciones del equilibrio esttico, y se puede hallar la fuerza axial en cada barra por un estudio esttico simple.

Primeramente es necesario determinar las reacciones verticales en A y H. Por simetra, son de 30.000 kg cada una. En la Fig. (b) aparece un diagrama del nudo A como cuerpo en libertad. En ella Se han expresado las fuerzas desconocidas en las barras por la misma designacin de dichas barras, AB y AC, y se ha supuesto que se trata de tracciones, por lo que si se halla para ellas valores positivos sern realmente fuerzas de traccin, mientras que si son negativas se tratar de compresiones, estando as los signos de acuerdo con el criterio habitual de suponer positivas las tracciones y negativas las compresiones. Aplicando la ecuacin del equilibrio esttico al diagrama de cuerpo en libertad anterior, tenemos:

45

Fa = 30.000 + (AB) = 0 o AB=-37.500 kg

35

Fh = (-37.500)+AC = 0

Fi =ED-60.000=0

o AC=22.500 kg

o ED=60.000 kg

De igual modo, en la Fig. (c) aparece un diagrama de cuerpo en libertad del punto E. De la esttica, tenemos

La consideracin simple de las armaduras utilizada aqu supone que todas las barras son elementos de los que podran llamarse de dos fuerzas, esto es, sometidos a traccin o compresin axiales, sin ninguna otra carga.


84

Para la carga axial, la tensin viene dada por = P/A, donde P es la fuerza axial y A la seccin de la barra. En nuestro caso, la tensin es de 1.200 kg/cm2 en cada barra, por lo que las secciones sern

60.0001.200

22.5001.200

yADE = =50cm2 AAC = =18,75cm

2

El alargamiento de la barra bajo la traccin axial viene dado por

Para la barra DE tenemos:

PLAE

D=(60.000)(600)(50)(2,1 x 106)

D= = 0,34 cm

5. En un dispositivo de cierre para asegurar la tapa de un depsito cilndrico que contiene fluido a presin se ha usado una serie de barras prismticas de seccin rectangular de 5 x 9 cm. La pared exterior del depsito de presin tiene unas aletas salientes soldadas a ella, encajando las barras prismticas (en sentido lateral) entre dos aletas contiguas.

Para asegurar el efecto de fijacin, la barra est mecanizada de modo que es demasiado corta en sus cabezas (A) para encajar sobre la tapa del depsito, que apoya en la parte superior de las aletas. A la temperatura ambiente le faltan 25 mm. Se calienta la barra (pero no las aletas) de forma que pueda deslizar sobre la parte superior del depsito, y despus de enfriarse ejerce una fuerza normal a dicha parte superior.


85

Solucin: Si la superficie total de apoyo en cada extremo de la barra (superficie

en contacto con la parte superior del depsito) es de 45 cm2, hallar la presin unitaria que ejerce cada barra sobre el depsito, as como la temperatura a que habra que calentarlas para que entrasen justo en la tapa. Las barras son de acero, para el cual a = 11 x10 -6 / C

0,25 = (11 x 10-6)(90)(DT), de donde DT = 252

La fuerza axial necesaria para alargar la barra esta misma cantidad es P, siendo

P(90)(45)(2,1 x 106)

0,25 = y P = 262.500 kg

Se supone que la presin est uniformemente repartida sobre la superficie de apoyo entre la cabeza y la parte superior del depsito, por lo que dicha presin es

262.50045 = 5.800 kg/cm

2

6. Determinar el aumento total de longitud de una barra de seccin constante, colgada verticalmente y sometida como nica carga a su propio peso. La barra es recta inicialmente.

Solucin: La tensin normal (traccin) en una seccin horizontal est producida

por el peso de material situado debajo de esa seccin. El alargamiento del elemento dy de la figura es:

dD = (Ayg)dyAE


86

Donde: A representa la seccin de la barra y g su peso especfico (peso/volumen unidad). Integrando, el alargamiento total de la barra es

D = = = =.Ayg dyAE

AgAE

(AgL)L2AE

L22

WL2AE

Donde: W indica el peso total de la barra. Hay que observar que el alargamiento total producido por el peso es igual al producido por una carga mitad de dicho peso, aplicada en el extremo.

7. En la construccin de un edificio se usa un cable de acero de 6 mm de dimetro para la elevacin de materiales. Si cuelgan verticalmente 150 m del cable para elevar en su extremo inferior una carga de 200 Kg, determinar el alargamiento total del cable. El peso especifico del acero es de 0.0078 Kg/cm3 y E=2,1 x 106 kg/cm2.

Solucin: El alargamiento total es debido en parte a la fuerza aplicada de 200 kg

y en parte al peso del cable. El debido a la carga es

(200)(15.000)PLAE p

4

D = = = 5 cm2(0,6)2 (2,1x 106)

Por el Problema 6, el alargamiento debido al peso del cable es:


87

(0,6)2(15.000)(0,0078)(15.000)WL2AE p

4

p4

D2 = = = 0,4 cm2 (0,6)2 (2,1x 106)( (

Por consiguiente, el alargamiento total es D = 5 + 0,4 = 5,4 cm

8. Un cable recto de aluminio de 30 m de largo est sometido a una tensin de traccin de 700 kg/cm2 . Determinar el alargamiento total del cable. Qu variacin de temperatura producira este mismo alargamiento? Tomar E=7 x 105 kg/cm2 y a (coeficiente de dilatacin lineal) 21,6 x 10-6 / C

Solucin:

El alargamiento total est dado por:

(700)(3.000)PLAED = = = 3 cm(7x 105)

3= (21,6 x 10-6)(3.000(DT) y = DT = 46 C

Un aumento de temperatura de DT producira la misma dilatacin. Por tanto,

9. Dos barras prismticas estn unidas rgidamente y soportan una carga de 5.000 kg, como se ve en la figura. La barra superior es de acero con una densidad de 0,0078 kg/cm3 , una longitud de 10 m y una seccin de 60 cm2. La inferior es de bronce con densidad 0,008 kg/ cm3 , una longitud de 6 m y una seccin de 50 cm2 . Para el acero E = 2,1 x106


88

kg/ cm2, y para el bronce E = 9 x 105 kg/cm2. Determinar las tensiones mximas en cada material.

Solucin: La tensin mxima en el bronce tiene lugar inmediatamente bajo

la unin en B-B. All, la tensin normal vertical es debida al efecto combinado de la carga de 5.000 kg y del peso de toda la barra de bronce situada bajo B-B.

El peso de la barra de bronce es

Wb= (600)(50)(0,008 =240 kg

La Tensin es esta seccin es

5.000+240PAs = = = 105kg/cm

2

50

La tensin mxima en la barra de acero se produce en la seccin A-A de suspensin porque en ella producen tensin normal todo el peso de las barras de acero y de bronce, mientras que en cualquier seccin situada ms abajo slo actuara una parte del peso de la barra de acero.

El peso de la barra de acero es Wa= (1.000)(60)(0,0087 =468kg

La Tensin es esta seccin es A-A es

5.000+240+468PAs = = = 95kg/cm

2

60


89

10. Una barra troncocnica maciza de seccin circular vara uniformemente entre un dimetro menor d y uno mayor D, con longitud L. Determinar el alargamiento debido a una fuerza axial P aplicada en cada extremo. Vase la Figura (a).

La coordenada x indica la distancia de un elemento en forma de disco de espesor dx al extremo menor. Por tringulos semejantes se halla fcilmente para radio de este elemento

Solucin: El alargamiento del elemento discoidal se puede hallar aplicando la

frmula para la carga axial, D = PL/AE..

Para el elemento, esta expresin se convierte en

D - d2

d2

xLr= + ( (

D - d2

d2

xL

dD=

+ ( (Pdx

[ [p E2

Figura N (a)


90

El alargamiento de toda la barra se obtiene sumando los de todos los elementos a lo largo de la misma, lo que se consigue integrando. Si expresamos por D el alargamiento de toda la barra,


91

1. La barra, representada en la Fig. (a) es de seccin constante y est sujeta rgidamente entre los muros. Si se aplica una carga P a la distancia del extremo izquierdo, determinar las reacciones de los muros sobre la barra.

Solucin: Dibujaremos primero el diagrama de cuerpo en libertad de la barra,

mostrando la fuerza aplicada P juntamente con las tracciones de los muros, que representaremos por R1 y R2 como se ve en la Figura (b).

Hay solo una ecuacin de equilibrio esttico, que es

SISTEMAS DE FUERZAS ESTATICAMENTEINDETERMINADOS

PROBLEMAS RESUELTOS


Fh = R1 - P + R2 = 0

Como esta ecuacin contiene dos incgnitas (R1 y R2) el problema es estticamente indeterminado, por lo que hay que suplementar la ecuacin con otra basada en las deformaciones de la barra.


92

Conociendo esas reacciones, es evidente que el alargamiento de la parte derecha (L2 ) de la barra es

Y el acortamiento de la izquierda (L1 )

Por lo que:

El acortamiento de la parte de barra de longitud L1 debe ser igual al alargamiento del trozo de longitud L2 lo que proporciona la base para obtener la ecuacin referente a las deformaciones. La fuerza axial que acta en la parte Izquierda de la barra es R1 (kg) y en la derecha R2 (kg). La ecuacin que relaciona las deformaciones es

R2L2R1L1 =AEAE

Donde: A representa el rea de la seccin de la barra y E el mdulo de elasticidad. De esta ecuacin tenemos que R1L1= R2L2 y resolvindola, juntamente con la de la esttica, hallamos

PL2 yL1 + L2R1 =

PL1L1 + L2

R2 =

PL1L2R2 L2AE

De= = (L1 + L2)AE

PL1L2R1 L1AE

Dc= = (L1 + L2)AE

De= - Dc


93

2. Considerar un tubo de acero que rodea a un cilindro macizo de aluminio, comprimido todo el conjunto entre placas infinitamente rgidas, por fuerzas aplicadas centralmente, como se ve en la Fig. (a). El cilindro de aluminio tiene 7,5 cm de dimetro y el dimetro exterior del tubo de acero es de 9 cm. Si P = 24.000 kg, hallar las tensiones en el acero y en el aluminio. Para el acero, E = 2,1 x106 kg/cm2 y para el aluminio E = 2,8 x 105 kg/cm2.


Solucin:Tracemos un plano horizontal a travs del conjunto a una altura cualquiera, excepto en la inmediacin de las placas, y separemos una parte de la otra, por ejemplo, la superior. La parte que hemos quitado debe ser sustituida por el efecto que ejerce sobre el resto, efecto que consiste en esfuerzos verticales normales, distribuidos en los dos materiales. En la Fig. (b) se representa el diagrama de cuerpo en libertad de la parte del conjunto situada bajo el plano de corte, siendo ac y al las tensiones normales que existen en el acero y el aluminio, respectivamente.

Si representamos la fuerza total soportada por el acero por Pac(kg) Y la del aluminio por Pal,

Pac = Aac x ac y Pal = Aal x al


94

Donde: Aac y Aal y representan las secciones del tubo de acero y el cilindro de aluminio, respectivamente. Solo disponemos de una ecuacin de equilibrio esttico para este sistema de fuerzas, y toma la forma

Fv = P - Pac - Pal= 0

As, pues, tenemos una ecuacin con dos incgnitas Pac y Pal por lo que el problema es estticamente indeterminado. En este caso tenemos que suplementar la ecuacin de la esttica por otra deducida de las deformaciones de la estructura. Esta ecuacin se obtiene fcilmente porque las placas infinitamente rgidas obligan a ser iguales a las deformaciones axiales de los dos metales.

La deformacin debida a la carga axial est dada por D=PL/AE .Igualando las deformaciones axiales del acero y el aluminio, tenemos

Pal x LPac x LAac x Eac

=Aal x Eal

(9)2 (7,5)24

Pac x L

[p - [(2,1 x 106)de donde Pac = 3,3Pal

Resolviendo esta ecuacin conjuntamente con la de la esttica

P -Pac

- Pal = 0, hallamos Pal = 0,233P , Pac = 0,767 P .

Para una carga de 24.000 kg, se obtienen Pal=5.590kg, Pac=18,410kg y dividiendo las fuerzas resultantes en cada material por su seccin, se obtienen las tensiones buscadas:


95

al= ac== 126kg/cm2 = 947kg/cm25.590 18.410

(7,5)24 4p p (9)2 (7,5)2[ - [

3. La barra AB es absolutamente rgida y est soportada por tres varillas, como se ve en la Fig. (a). Las dos varillas extremas son de acero y tienen una seccin de 3 cm2. La central es de cobre y de seccin 9cm2. Para el acero, E = 2,1 x 106 kg/cm2, y para el cobre, E = 1,2 x 106 kg/cm2. Todas las varillas tienen 2,10 m y estn igualmente separadas entre s, estando aplicadas las cargas de 6.000 kg en el punto medio entre ellas. Despreciando el peso de la barra AB, determinar la fuerza en cada una de las barras verticales. AB permanece horizontal despus de aplicar las cargas.


Solucin: Primero dibujaremos un diagrama de cuerpo libre de la barra AB en

que aparezcan todas las fuerzas que actan en ella, incluyendo las dos cargas aplicadas y las reacciones de las varillas verticales. Si se representa la fuerza en cada una de las varillas de acero por Pac(kg) y la de la de cobre por Pcu(kg), el diagrama aparece como en la Figura (b).


96

Pac(210) Pac(210)

(3)(2,1 x 106) (9)(1,2 x 106)

Ya se ha hecho uso de la condicin de simetra al decir que las fuerzas son iguales en las dos varillas de acero, por lo que solo queda una ecuacin de equilibrio esttico, que es

Fv = 2Pac - Pcu -12.000 = 0

Tenemos, pues, una ecuacin con dos incgnitas y el problema es estticamente indeterminado, por lo que hay que suplementarla con otra que provenga de las deformaciones de la estructura.

Se determina fcilmente esta ecuacin porque el alargamiento de las varillas de acero y de cobre es el mismo.

Aplicando la expresin del alargamiento debido a una carga axial D=PL/AE a las varillas, tenemos

= Pac = 0,583Pcu

Resolviendo esta ecuacin juntamente con la de la esttica, se tiene

2(0,583Pcu) + Pcu-12.000 = 0

Y despejando,

Pcu= 5,540 kg y Pac= 3.230kg


97

4. Considerar un pilar cuadrado de hormign armado de 30 x 30 cm de seccin y 2,40 m de altura. El hormign est armado con ocho barras verticales de acero, cuadradas, de 2 cm de lado, colocadas simtricamente respecto al eje vertical del pilar. Se ha aplicado una fuerza de compresin axial de 45.000 kg, a travs de una placa absolutamente rgida en la parte superior del hormign. Considerar, para el acero E = 2,1 x106 kg/cm2 y para el hormign E = 1,75 x 105 kg/cm2. Determinar la tensin en el hormign y en el acero.

Solucin: Cortemos el pilar por un plano horizontal y quitemos la parte de

encima de este plano. La parte suprimida deber sustituirse por cualquier efecto que ejerciera sobre la parte inferior, efecto que consiste en fuerzas verticales distribuidas sobre el hormign y sobre el acero. El diagrama de cuerpo en libertad de la parte inferior tiene el aspecto representado en el diagrama adjunto, donde Pa y Pb representan las fuerzas resultantes que se ejercen sobre el acero y sobre el hormign, respectivamente, por la parte superior que se ha suprimido. La fuerza Pb , por ejemplo, es en realidad la resultante de las tensiones normales que se supone uniformemente repartidas sobre toda la seccin transversal del hormign. Como la carga es axial, es razonable suponer una distribucin uniforme de la tensin normal, por lo que la resultante Pb est en el eje geomtrico del pilar.

Solo hay disponible una ecuacin de equilibrio esttico para este sistema, que es

Fv = 45.000 - Pb - Pa = 0

Esta ecuacin contiene dos incgnitas, por lo que el problema es estticamente indeterminado y es necesario tratarla juntamente con otra ecuacin basada en la deformacin de la estructura. Esta ecuacin


98

se obtiene fcilmente, pues el acortamiento del hormign y del acero son iguales a causa de la placa rgida. La deformacin bajo la carga axial es D=PL/AE, y aplicando esta expresin a los dos materiales, tenemos

Pa x L Pb x L8(2)2(2,1 x 106) 900 - 8(2)2 (1.75 x 105)

=[ [

Donde: L representa la altura del pilar. Despejando, Pa = 0,442Pb y

45.000 - Pb - 0,442Pb = 0, Pb = 31.200 kg, y Pa= 13.800 kg

La tensin en el acero se halla dividiendo la fuerza resultante en las ocho barras, por su seccin. Del mismo modo, se obtiene la tensin en el hormign dividiendo la fuerza resultante Pb por la seccin del hormign. As,

13.800 31.200s = sb == 430kg/cm

2 = 36kg/cm28(2)2 900- 8(2)2

5. Un tubo de acero, vertical, de dimetro exterior 90 cm e interior 88 cm, est lleno de hormign. Si el lmite esttico aparente del acero es de 3,1 x 103 kg/cm2, se admite un coeficiente de seguridad 2,25 y la resistencia a rotura del hormign es de 175 kg/cm2 y su coeficiente de seguridad 2,5, qu carga axial total de compresin puede soportar? Suponer que los dos extremos del tubo estn cubiertos por placas infinitamente rgidas, y despreciar los efectos de la expansin lateral de los dos materiales. Tomar para el acero E=2,1 x 106 kg/cm2 y para el hormign E=1,75 x 105 kg/cm2 (La relacin del mdulo de Young para el acero y para el hormign se suele designar por n, esto es, n=Ea/Eb. Aqu, n = 12.


99

Solucin: La seccin del hormign es de 6.082 cm2, y la del acero 280 cm2.

Como la variacin total de altura del acero debe ser igual a la del hormign, tenemos

Pb x L Pa x L

(6.082)(1,75 x 105) (280)(2,1 x 106)= Pb = 1,81Pa

Siendo Pb y Pa las fuerzas resultantes en el hormign y en el acero, respectivamente. Por la esttica solo tenemos la ecuacin P = Pa + Pb, siendo P la carga axial total soportada.

Es improbable que se alcance la tensin de trabajo admisible para los dos materiales simultneamente. Probablemente, el procedimiento ms sencillo es calcular dos valores de la carga total axial, uno basado en la hiptesis de que el hormign est sometido a su carga de trabajo de 70 kg/cm2 y el otro suponiendo que el acero alcanza la suya de 1.380 kg/cm2, siendo el menor de estos dos valores el determinante. As, si el hormign est sometido a su tensin de trabajo mxima, tenemos

P = 70(6.082) 1+1/1,81 = 661,000Kg[ [

P = 1.380(280) 1+1/1,81 = 1.086.000Kg[ [

Por otro lado, si el acero est sometido a 1.380 kg/cm2, tenemos

Por consiguiente, la carga axial admisible es P = 661.000 kg


100

6. La barra AD, inicialmente recta, tiene una seccin uniforme y est amordazada en los apoyos extremos, como se ve en la figura, sin que exista ninguna tensin inicial. Se aplican las cargas simtricamente colocadas de la Fig. (a) a las mnsulas (cuyo efecto se desprecia) y se desea hallar la fuerza de traccin o compresin resultante sobre cada seccin transversal en cada una de las zonas AB, BC y CD.

Consideremos primero solamente la carga total de 2.000 kg aplicada en B y comprobemos que la barra AD est en equilibrio. Habr dos reacciones F1 y F2 en los extremos de la barra para equilibrar la fuerza de 2(1.000) = 2.000 kg. Entre A y B habr una traccin de F1 , y entre B y D una compresin, como se ve en la Fig. (b), lo que puede representarse tambin como en la Fig. (c). As,F1 alarga AB y B se mueve la distancia D1= F1 (75) / AE hacia la derecha. Del mismo modo, F2 comprime BD y B se mueve D2= F2 (125) / AE.

Evidentemente, 1 = 2 y podemos escribir

F1(75)AE

F2(125)AE

= 53

F1= F2( (


101

De la esttica tenemos solamente la ecuacin

Sustituyendo,

(5/3) F2 + F2 = 2000 , F2= 750kg (BD est en compresin) y F1 = 1.250kg (AB est en traccin)

La distribucin de las fuerzas axiales internas es ya evidente. Debido a la carga de 2(3.000) = 6.000 kg , tenemos

(5/8)(6.000) = 3.750 kg (CD est en traccin)

(3/8)(6.000) = 2.250 kg (AD est en compresin)

Sumando algebraicamente los resultados anteriores, se pueden hallar ya las fuerzas axiales resultantes en las distintas partes de AD. Los valores finales son

AB = 1.250 - 2.250 = - 1.000 kg , BC = - 750 2.250 = - 3.000 kg

CD = - 750 + 3.750 = 3.000 kg

Donde el signo positivo indica fuerza de traccin y el negativo de compresin.

Fh = - F1 -F2 + 2.000 = 0


102

7. Considerar la barra AB de la Fig. (a) absolutamente rgida y horizontal antes de aplicar la carga de 20.000 kg, articulada en A y soportada por la varilla de acero EB y la de cobre CD. La longitud de CD es de 90 cm y la de EB de 150 cm. Si la seccin de CD es de 5 cm2 y la de EB de 3 cm2, determinar la tensin en cada varilla vertical y el alargamiento de la de acero.

Despreciar el peso de AB. Para el cobre, E = 1,2 x 106 kg/cm2 y para el acero E = 2,1 x 106 kg/cm2

Figura N (b)

Figura N (c)

El primer paso para resolver el problema es trazar el diagrama de cuerpo en libertad de la barra AB, con todas las fuerzas que actan sobre ella. Es lo que se ha hecho en la Figura (b).


103

De la esttica, tenemos

Como las dos ltimas ecuaciones tienen tres incgnitas, el problema es estticamente indeterminado, por lo que hay que buscar otra, basada en las deformaciones del sistema. Como la barra AB es rgida, el nico movimiento que puede producirse es un giro del cuerpo rgido alrededor de A como centro. La lnea de trazos de la Fig. (c) indica la posicin final de AB despus de aplicar la carga de 20.000 kg. Inicialmente, esa barra era horizontal, como muestra la lnea llena.

Los extremos inferiores de las varillas estaban al principio en D y B y se trasladan a D y B despus de aplicar la carga. Como la barra AB es rgida, los tringulos semejantes ADD y ABB nos proporcionan una relacin sencilla entre las deformaciones de las dos barras verticales Dcu/ 120 = Da /240 expresando por Dcu y Da los alargamientos de las varillas de cobre y acero, respectivamente. Por tanto, la ecuacin suplementaria basada en las deformaciones es

Da =2 Dcu

Pero el alargamiento bajo carga axial viene dado por D =PL/AE. Utilizando esta expresin en la relacin anterior entre deformaciones, tenemos

Pa(150)(3)(2,1 x 106)

2Pcu(90)(5)(1,2 x 106)

= Pa = 1,26 Pcu


104

Resolviendo el sistema formado por esta ecuacin y la (2) de la esttica, tenemos

120Pcu + 240(1,26Pcu) = 360.000 Pcu = 8.500 kg y Pa = 10.700kg

Las tensiones se obtienen por la relacin s =P/A

En la varilla de cobre, scu = 8.500/5 = 1.700kg/cm2

En la varilla de acero, sa = 10.700/3 = 3.600kg/cm2

8. Una barra de cobre tiene seccin uniforme y est unida rgidamente a los muros, como se ve en la figura. La longitud es de 150 cm y la seccin de 15 cm2. A la temperatura de 25 C la varilla no tiene tensiones. Determinar las que existen en ella cuando descienda la temperatura a 10, suponiendo que los apoyos no ceden. Para el cobre, E = 1,1 x 106 kg/cm2 y a = 16 x 10-6 por C.

Solucin: Un modo de resolver este problema es suponer que se corta la barra

y se la separa del muro en el extremo derecho. En tal caso, es libre de contraerse cuando la temperatura desciende, contrayndose la longitud

Ahora, es necesario hallar la fuerza axial P que hay que aplicar a la barra para alargarla 0,036 cm, esto es, para volver a llevar el extremo derecho a su posicin verdadera, porque sabemos que en la realidad

D = (16 x10-6)(150)(15) = 0,036cm


105

el extremo no se desplaza en absoluto al bajar la temperatura. Para determinar esta fuerza P, utilizamos la ecuacin

P(150)PLAE

D= que da 0,036=(15)(1,1 x 106)

P=3.960 kg

La tensin axial que produce esta fuerza es

9. La barra compuesta de la figura est rgidamente sujeta a los dos apoyos. La parte de la izquierda es de cobre, con seccin uniforme 70 cm2 y longitud 150 cm, mientras que la derecha es de aluminio, con seccin uniforme de 18 cm2 y longitud 100 cm. A la temperatura de 25 C, el conjunto est sin tensiones. La temperatura de la estructura desciende, y durante este proceso el soporte derecho cede 0,05 cm en el sentido de la contraccin del metal. Determinar la, temperatura mnima a que puede someterse el conjunto para que la tensin en el aluminio no exceda de 1.700 kg/cm2. Para el cobre, E = 1,1 x 106 kg/cm2, a = 17 x 10-6 /C, y para el aluminio, E = 7 x 105 kg/cm2 y a= 22,2 x 10-6 /C.

Solucin: Nuevamente, como en el ejemplo anterior, es quiz ms sencillo

considerar que la barra se corta inmediatamente a la izquierda del muro que la soporta por el lado derecho, quedando libre para contraerse por la baja de temperatura DT. El acortamiento total de la barra compuesta est dado por:

s = P/A = 3.960/15= 264kg/cm2


106

(17 x10-6)(150)(DT) +(22,2 x 10-6)(100) (DT)

Es de observar que la forma de la seccin no tiene influencia en el cambio de longitud de la barra por variacin de la temperatura.

An cuando la barra se haya contrado esta cantidad, sigue estando libre de tensiones, pero no hemos terminado el estudio, porque

se ha suprimido la reaccin del muro de la derecha cortando all la barra. Por tanto, debemos representar la accin del muro por una fuerza axial P, aplicada a la barra, como se ve en el adjunto diagrama. Para que exista equilibrio, la fuerza resultante sobre cada seccin transversal del cobre o del aluminio debe ser igual a P. La aplicacin de la fuerza P alarga la barra compuesta en una longitud

P(150) P(100)70(1,1 x 106) 18(0,7 x 106)

+

Si no cediera el apoyo derecho, igualaramos la ltima expresin a la que da el acortamiento total debido al descenso de temperatura, pero como dicho apoyo cede 0,05 cm, podemos escribir

= (17 x10-6)(150)(DT) +(22,2 x 10-6) (100) (DT)-0,05

P(150) P(100)70(1,1 x 106) 18(0,7 x 106)

+


107

La tensin en el aluminio no debe exceder de 1.700 kg/cm2 y como viene dada por la frmula s = P/A, la fuerza mxima es

P= A x s = 18(1.700) = 30.600kg

Sustituyendo este valor de P en la ecuacin anterior entre deformaciones, hallamos DT = 74C, por lo que la temperatura puede descender 74 desde la original de 25, siendo la final de 49 C.

10. Considerar la barra cnica de acero de la figura, que tiene los dos extremos sujetos en apoyos indeformables y est inicialmente libre de tensiones. Si la temperatura desciende 22 C, determinar la tensin mxima en la barra. Tomar E = 2,1 x 106 kg/cm2 y a = 11 x 10-6/C

Solucin: Quiz el modo ms sencillo de resolver este problema es imaginar que

un extremo de la barra, por ejemplo, el derecho, est temporalmente suelto de su apoyo. En este caso, la barra contrae una longitud:

(22)(90)(11x10-6) = 0,0218cm; ; debido al descenso de temperatura.


108

Hallemos, ahora, la fuerza axial que hay que aplicar al extremo derecho libre, para que la barra se alargue 0,0218 cm, esto es, para que se satisfaga en ese extremo la condicin de lmite verdadera, de fijeza completa. Adoptando el sistema de coordenadas de la figura, tenemos

r = 5 + 5x / 90 = 5+ x/18

Como el ngulo con que vara la seccin es relativamente pequeo, se puede suponer que la fuerza de traccin est uniformemente distribuida en cada seccin transversal. Como tampoco hay cambios bruscos de seccin, podemos determinar el alargamiento del elemento discoidal de espesor dx aplicando D= PL/AE, donde L = dx, al disco e integrando luego a lo largo de toda la barra:

y despejando, P = 80.000 kg, siendo P la fuerza resultante axial que acta sobre cada seccin, esto es, la fuerza necesaria para volver a llevar la barra a su longitud original.

Debe observarse que la fuerza resultante en cada seccin vertical es P (kg) para que exista equilibrio en cualquier parte de la barra. Sin embargo, como el rea de la seccin vara de un extremo de la barra al otro, la tensin vara desde un valor mximo en el extremo izquierdo en que la seccin es mnima, hasta un mnimo en el extremo derecho en que es mxima la seccin.

La tensin mxima en el extremo izquierdo est dada por


109

11. Un cilindro hueco de acero rodea a otro macizo de cobre y el conjunto est sometido a una carga axial de 25.000 kg, como se muestra en la Fig, (a). La seccin del acero es de 18 cm2, mientras que la del cobre es de 60 cm2, Ambos cilindros tienen la misma longitud antes de aplicar la carga. Determinar el aumento de temperatura del sistema necesario para colocar toda la carga en el cilindro de cobre. La placa de cubierta de la parte superior del conjunto es rgida, y para el cobre E = 1,1 x 106 kg/cm2, a= 17 x10-6//C , mientras que para el acero E = 2,1 x 106 kg/cm2, a= 11 x 10-6/ C

Solucin: Un procedimiento para resolver este problema es suponer que se

suprimen la carga y la placa superior de tapa, permitiendo al sistema dilatarse libremente en sentido vertical por un aumento de temperatura DT. En estas condiciones, los extremos superiores de los cilindros adoptan las posiciones representadas en la Fig. (b) por lneas de trazos.

Naturalmente, el cilindro de cobre se dilata hacia arriba ms que el de acero, porque el coeficiente de dilatacin lineal del cobre es mayor que el del acero. La dilatacin del acero es

Mientras que la del cobre es


(11 x 10-6)(600)(DT) (17 x 10-6)(600)(DT)


110

No cabe duda de que sta no es la situacin real, porque todava no se ha considerado la carga de 25.000 kg. Si toda esta carga axial ha de ser soportada por el cobre, solo ser comprimido l, y la compresin viene dada por

El enunciado del problema dice que el aumento de temperatura DT es el preciso para que el cobre soporte toda la carga. Por tanto, la longitud del cobre aumentada, representada por las lneas de trazos en el esquema anterior, disminuir por efecto de la fuerza, y la dilatacin total ser la causada por el aumento de temperatura menos la compresin debida a la carga. La variacin de longitud del acero es debida solo al cambio de temperatura. En consecuencia, podemos escribir :

25.000(600)PLAE

Dcu= = (60)(1,1 x 106)

(17 x 10-6)(600)(DT) - 25.000(600)(60)(1,1 x 106)

= (11 x 10-6)(600)(DT) = DT 63C

12. La barra rgida AD est articulada en A, y unida a las BC y ED, como se ve en la Fig. (a). Todo el sistema est al principio sin tensiones y son despreciables los pesos de las barras. La temperatura de la barra BC desciende 30 C y la de la barra ED aumenta los mismos 30 C. Despreciando toda posibilidad de pandeo lateral, hallar las tensiones normales en las barras BC y ED. Para BC, que es de bronce, suponer E = 9,8 x 105 kg/cm2, a = 17,7 x 10-6/C, y para ED, que es de acero, tomar E = 2,1 x 106 kg/cm2 y a = 11 x 10-6/C, La seccin de BC es de 6 cm2 y la de ED de 3 cm2.


111

Solucin: Expresemos las fuerzas

aplicadas sobre AD por Pac y Pbr y supongamos que actan en las direcciones representadas en el diagrama de cuerpo en libertad de la Fig. (b). Como AD gira rgidamente alrededor de A (como se representa por la lnea de trazos), tenemos

Dbr/26 = Dac/65 donde Dbr y Dac representan el acortamiento y el alargamiento axiales de BC y DE, respectivamente:

Figura N (a)

Figura N (b)

Figura N (b)


112

La variacin total de longitud de BC est compuesta por un acortamiento debido al descenso de temperatura y el debido a la fuerza axial Pbr. La variacin total de longitud de DE est compuesta por un alargamiento debido al aumento de temperatura y otro producido por la fuerza Pac Por tanto, tenemos

5,102Pbr - 1,587Pac = 19.230

de la esttica MA = 26Pbr - 65Pac = O

y resolviendo el sistema formado por estas dos ecuaciones, Pac = 1.720kg, Pbr = 4.300kg,

Utilizando la expresin s= P/A para cada barra, obtenemos sac = 573 kg/cm2 y sbr= 716 kg/cm

2.


113

El Mtodo consiste en aplicar una carga unitaria en el punto que deseamos conocer su desplazamiento.

Si nos piden el desplazamiento vertical u horizontal; tendremos que aplicar una carga unitaria vertical u horizontal respectivamente, en el punto a analizar.

Si nos piden el giro; tendremos que aplicar un giro unitario.

Para resolver casos por este mtodo, se analiza el sistema con sus cargas reales y luego slo con la carga unitaria.

Al sistema real lo denominaremos N y al de la carga unitaria n.

Este mtodo energtico nos evita determinar la deformacin por mtodos geomtricos.

El desplazamiento , viene dado por:

METODO DE LA CARGA UNITARIA PARA EFECTOS AXIALES

= N.n.lE.A.


114

Calcular las tensiones en cada barra:

PROBLEMA DE APLICACIN

Solucin:Tenemos lo sgtes Esquemas:


115

Luego:

Asimismo:

Por Mtodos Geomtricos:


116


117

1. Para la estructura mostrada. Calcular el desplazamiento vertical y horizontal del punto B

PROBLEMAS DE APLICACION

E, A, I1E, A, I2

E, A, I1


118

1

2

2

1


119


120

2. Calcular el desplazamiento del punto B para el sistema que se muestra. (E,A=Cte).

B


121


122

3. Para la barra mostrada. Calcular el VD y VB


123


124


125

4. Calcular los componentes del desplazamiento de la articulacin en B.

E = 2x106 Kg./cm2

A = 4 cm2 cada uno


126


127


128

De forma general; podemos expresar los desplazamientos de la siguiente manera:


129

5. Dos barras de acero AB y BC soportan una carga P=6000 Kgf. La seccin de AB es 4 cm2 y la de BC 6 cm2. Si E=2x106 Kg/cm2. Determinar el desplazamiento vertical y horizontal del punto B.


130


131

Resist

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