1.-Sea un haz plano propagándose oblicua y paraxialmente a lo largo del eje z, dado por : que incide en el plano z = 0 sobre un dióptrio esférico de índice n y de radio , siendo R > 0 y . 1.1.- Haciendo uso de las condiciones de continuidad en la frontera, determinar la expresión paraxial transmitida propagándose en el dióptrio, (2.0 p) 1.2.- Hallar el vector de onda local en la superficie de ésta. ¿A partir de que valor de z, la onda es divergente (1.0 p)

E (x, y, z ) = E0 eiko 2n(αx+z) e− iω t uy

R1 = −R z2 y z1 z(1)

z=0

z

x

R >01

R <02

x2 + y2 + (z − Ri )2 = Ri

2 ⇔ z( i ) = Ri ± Ri2 − (x2 + y2 ) = Ri ± Ri 1− (x

2 + y2 )Ri2 ≈ Ri − Ri 1−

(x2 + y2 )2Ri

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

solución:

por continuidad en la frontera del dióptrio:

considerando la pequeña curvatura de éste :

igualando fases:

igualando amplitudes:

de aquí:

E0 eiko 2n(αx+z(1 ) ) = ′Bz2

eikonz1( )e−ikonx− x1( )2 + y− y1( )2

2z2

E0 eiko 2n(αx+z(1 ) ) = ′Bz2 − z 1( )( )e

ikonz1( )e−ikon

x− x1( )2 + y− y1( )2

2 z2 − z 1( )( )

y1 = 0 z2 = R x1 = 2αz2 = 2αR

2n(αx+z(1) ) = nz 1( ) − nx − x1( )2 + y − y1( )2

2z2→ 2nαx − 2n (x

2 + y2 )2R2

= −n(x2 + y2 )2R2

− nx − x1( )2 + y − y1( )2

2z2

E0 =′Bz2e−iko

n x122z2 → ′B = E0 z2e

ikon x122z2 = E0 Reiko2α 2R

1.1

1.2

Etransmitida =E0R − z

Reiko2α 2Reikonzeikonx−2αR( )2 +y22 z−R( )

s =∇Ln

=x − 2αRz − R( ) ,

yz − R( ) ,1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ → ∀z > R⇒ onda divergente

Examen Parcial 24 abril

2.1.- Utilizando el método de cálculo totalmente ondulatorio y en condiciones de paraxialidad (basta con desarrollar la expresión para una longitud de onda) calcule la Visibilidad de la figura de interferencia resultante en un plano situado a una distancia (z = D) (2.0 p) 2.2.- Si composición espectral de la fuente es ahora equienergética(i0 = cte.) en el dominio [kc − ∆k , kc + ∆k] centrado alrededor de una frecuencia central kc . ¿Cuál sería el valor de la Visibilidad ? (2.0 p)

i0 : λ0 ,λ0 + Δλ ,λ0 + 2Δλ2.- Sea una fuente luminosa puntual que emite tres longitudes de onda, con la misma intensidad situada una distancia z = −f de una lente esférica delgada (de focal:f ), situada en el plano z = 0 cuya función de transmisión es:

nota: La contribución diferencial de cada frecuencia es: siendo i(k0 ) la intensidad que llega al plano z = D dI (ko ) = 2i(ko )dko [1+ cos( kc + ko( ) dx

D)]

solución:

2.1

tL x, y( ) = t1t2eikon do exp −iko (x2 + y2 ) 2 f{ }

La luz emergente de la lente ilumina un interferómetro de Young, formado por dos pequeños orificios situados en los puntos de coordenadas (d/2, 0, 0) y ( −d/2, 0, 0). (Considere la función de transmisión de la lente y el plano de los dos orificios del interferómetro de Young situados ambos en z = 0)

-f D

S

S

z

x x

d/2

z=0

0

-d/2

1

S2lentedelgada

ψ tL ( z=0 )=

i0feik0 f e

ik0x2 +y22 f t1t2eikon doe

−ik0x2 +y22 f =

i0feik0 f t1t2eikon do

ψ i ( z=0 ) =i0feik0 f e

ik0x2 +y22 f

ψ+d 2

=i0feik0 f t1t2eikon do

1Deik0Deik0

x−d 2( )2 +y22D

ψ−d 2

=i0feik0 f t1t2eikon do

1Deik0Deik0

x+d 2( )2 +y22D

ψ T ( z=D ) =ψ +d 2+ψ

−d 2=

i0fD

e−ik0xd2D + e+ik0

xd2D⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪eiϕ

ϕ = k0 f + D( ) + k0n do + k0d 2

8D+ k0

x2 + y2

2D

2.2

IT λi = 2I0 1+ cos k0ixdD

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

λi →

IT = 2I0 1+ cos k01xdD

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+ 2I0 1+ cos k02

xdD

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+ 2I0 1+ cos k03

xdD

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

= 2I0 3+ cos k0 − Δk0( ) xdD

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ cos k0

xdD

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ cos k0 + Δk0( ) xd

D⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 6I0 1+

13+23cos Δk0

xdD

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥cos k0

xdD

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

visibilidad

ko ∈ kc − Δk , kc + Δk[ ]

Q = 2 iof 2D2 dk0kc −Δk

kc +Δk∫ =2iof 2D2 Δk = I0

C = 2 iof 2D2 cos k0

xd

D⎛⎝

⎞⎠kc −Δk

kc +Δk∫ dk0 =2iof 2D2

Dxdsen k0

xd

D⎛⎝

⎞⎠

kc −Δk

kc +Δk

=2iof 2D2 2cos kc

xd

D⎛⎝

⎞⎠ senc Δkc

xd

D⎛⎝

⎞⎠

S = 2 iof 2D2 sen k0

xd

D⎛⎝

⎞⎠kc −Δk

kc +Δk∫ dk0 = −2iof 2D2

Dxdcos k0

xd

D⎛⎝

⎞⎠

kc −Δk

kc +Δk

=2iof 2D2 2sen kc

xd

D⎛⎝

⎞⎠ senc Δkc

xd

D⎛⎝

⎞⎠

dI (ko ) = 2i(ko )dko [1+ cos( kc + ko( ) dxD)]

i(k0 ) ==0 k0 < kc − Δk

io kc − Δk ≤ k0 ≤ kc + Δk0 k0 > kc + Δk

⎧

⎨⎪

⎩⎪

V (Q,C ,S ) = C 2 + S2

Q= senc Δkc

xd

D⎛⎝

⎞⎠ visibilidad

3.- Sean dos láminas de vidrio de caras planoparalelas de 75 mm de longitud por 25 mm de ancho (porta-objeto de microscópio), colocadas formando una cuña debido a un cubre-objeto de microscópio de 100 µm de espesor, interpuesto entre ellas en uno de los extremos. Si se ilumina con una onda de λ = 600 nm perpendicularmente a la superficie de las placas, mediante un divisor de haz, y observando con un microscopio reflejos de los extremos de la cuña de aire, a través del mismo divisor de haz:3.1.-Determinar el valor de la interfranja que puede medir el observador.¿Dónde se forman y cómo se denominan éstas? (2.0 p) 3.2.-Si entre las láminas se introduce un líquido de índice a determinar, ¿cuánto vale éste si las franjas se han aproximado entre ellas una distancia igual al 25 % de su separación inicial ? (1.0 p)

d x( ) = a + bx

desfase entre las ondas φ = 2k0n a + bx( ) ± π

I x( ) = 121+ cos 2k0n a + bx( ) ± π⎡⎣ ⎤⎦{ }intensidad normalizada

Xm = (2m +1) λ4nb

−ab

Xm → 2k0n a + bx( ) ± π = 2mπmáximos

xm → 2k0n a + bx( ) ± π = 2m +1( )πmínimos

xm = 2m λ4nb

−ab

solución:

3.1

3.2

donde b = 0,1 / 75 = 1, 3310−3 b <<( )

i = Xm+1 − Xm = xm+1 − xm =λ2nb

→ i = 600 10−9

2 1, 3310−3 = 2,256 10−4m

i´= 2,256 10−4 1− 0,25( ) = 1,692 10−4m n =λ2 i´b

=600 10−9

2 1,692 10−4 1, 3310−3 = 1, 33

franjas de igual espesor observables en el infinito. i.e. plano focal de una lente

!"#$%&'(!%

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0122

34522

lámina de espesor linealmente variable